Μη-γραμμική διάδοση παλμών σε κυματοδηγούς πυριτίου: επίδραση των ελεύθερων φορέων

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μη-γραμμική διάδοση παλμών σε κυματοδηγούς πυριτίου: επίδραση των ελεύθερων φορέων Διπλωματική εργασία της Ελένης Λιάσκα Επιβλέπων Καθηγητής: Εμμανουήλ Κριεζής ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΟΥΛΙΟΣ 2012

2 Πρόλογος Η παρούσα εργασία αποτελεί την διπλωματική εργασία μου, την οποία εκπόνησα κατά το τελευταίο έτος των προπτυχιακών σπουδών μου στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Κεντρικό θέμα της είναι η μελέτη της μη γραμμικής διάδοσης παλμών σε κυματοδηγούς πυριτίου, υπό την επίδραση των ελεύθερων φορέων. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή της διπλωματικής εργασίας μου, κ. Εμμανουήλ Κριεζή, για την συνεχή και ουσιαστική επιστημονική καθοδήγηση του. Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον υποψήφιο διδάκτορα του τμήματος, Οδυσσέα Τσιλιπάκο για τις πολύτιμες συμβουλές του και την αμέριστη ηθική υποστήριξη. Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2012 Λιάσκα Ελένη i

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος Περιεχόμενα i ii 1. Εισαγωγή 1.1. Ιστορική αναδρομή Περίληψη 2 2. Μη γραμμική εξίσωση Schrödinger-Διάδοση παλμών στις οπτικές ίνες 2.1. Μη γραμμική εξίσωση Schrödinger Μέθοδος επίλυσης Split-Step Fourier Φαινόμενα διασποράς Διασπορά ταχύτητας ομάδας (GVD) Διασπορά τρίτης τάξης (TOD) Αυτοδιαμόρφωση φάσης (SPM) Συνδυασμένη δράση GVD και SPM Μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης Self-steeping Ενδοπαλμική σκέδαση Raman Τεχνολογία Πυριτίου 3.1. Κυματοδηγοί πυριτίου Διασπορά κυματοδηγών πυριτίου Διασπορά υλικού Συνολική διασπορά Μη γραμμικά φαινόμενα Απορρόφηση δύο φωτονίων Φαινόμενα ελεύθερων φορέων Μαθηματικά μοντέλα NLSE Πρώτο μοντέλο Δεύτερο μοντέλο Self-steeping Μέθοδοι επίλυσης της εξίσωσης ελεύθερων φορέων Μέθοδος αναλυτικής επίλυσης Μέθοδος με χρήση του μετασχηματισμού Fourier 44 ii

4 4. Διάδοση παλμών σε κυματοδηγούς πυριτίου 4.1. Διάδοση παλμού και ελεύθεροι φορείς Επίδραση των ελεύθερων φορέων Υπολογισμός πυκνότητας ελεύθερων φορέων Διάδοση παλμοσειράς και ελεύθεροι φορείς Επίδραση του ρυθμού επανάληψης Επίδραση του ρυθμού επανάληψης στην πυκνότητα των φορέων Διασπορά τρίτης τάξης και self-steeping στους κυματοδηγούς πυριτίου Επίδραση διασποράς τρίτης τάξης Επίδραση self-steeping Συμπεράσματα και μελλοντικές κατευθύνσεις 62 Βιβλιογραφία iii

5 Κεφάλαιο 1 ο Εισαγωγή 1.1 Ιστορική αναδρομή Το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης βασικό φαινόμενο για την κυματοδήγηση του φωτός σε οπτικές ίνες είναι γνωστό από τον 19 ο αιώνα. Παρόλο που ίνες από γυαλί χωρίς εξωτερική επένδυση είχαν κατασκευαστεί ήδη από τη δεκαετία του 1920, το πεδίο των οπτικών ινών δεν είχε αναπτυχθεί μέχρι τη δεκαετία του 1950, όταν η χρήση ενός περιβλήματος οδήγησε σε βελτίωση των χαρακτηριστικών της ίνας. Την επόμενη δεκαετία σημειώθηκε αλματώδης ανάπτυξη, με σκοπό την μετάδοση εικόνας μέσω μιας δέσμης οπτικών ινών. Όμως, αυτές οι πρώτες ίνες παρουσίαζαν υψηλές απώλειες (>1000 db/km). Τεράστια πρόοδος στην τεχνολογία κατασκευής σημειώθηκε τη δεκαετία του 1970 αλλάζοντας πλήρως το τοπίο, με την επίτευξη απωλειών μόλις 0.2dB/km στην περιοχή μήκους κύματος των 1.55 μm. Η ανάπτυξη των ινών διοξειδίου του πυριτίου (silicon dioxide, Si0 2 ) χαμηλών απωλειών οδήγησε όχι απλά σε μια επανάσταση στο πεδίο των οπτικών επικοινωνιών, αλλά και στην εμφάνιση μιας καινούριας κατηγορίας, αυτής των μη γραμμικών οπτικών ινών. Τη δεκαετία του 1970 ξεκίνησε η μελέτη μη γραμμικών φαινόμενων όπως η εξαναγκασμένη σκέδαση Raman και Brillouin (Stimulated Raman and Brillouin Scattering, SRS and SBS), η αυτοδιαμόρφωση φάσης (Self Phase Modulation, SPM) και η παραμετρική μείξη τεσσάρων κυμάτων (parametric Four Wave Mixing, FWM). Σημαντική συμβολή στον τομέα αποτέλεσε το 1973 η πρόταση να υποστηριχθούν σολιτόνια από οπτικές ίνες, ως αποτέλεσμα αλληλεπίδρασης των μη γραμμικών και των φαινομένων διασποράς. Ο τομέας των μη γραμμικών οπτικών ινών συνέχισε να αναπτύσσεται και τη δεκαετία του Μια καινούρια διάσταση προστέθηκε, όταν οι οπτικές ίνες ντοπαρίστηκαν με σπάνιες γαίες με σκοπό την παραγωγή ενισχυτών και lasers. Μετά το 2000, δύο μη γραμμικά φαινόμενα η εξαναγκασμένη σκέδαση Raman και η μείξη τεσσάρων κυμάτων χρησιμοποιήθηκαν για την ανάπτυξη καινούριων τύπων οπτικών ενισχυτών. Τα πλεονεκτήματα αυτών των ενισχυτών είναι η δυνατότητα λειτουργίας σε κάθε φασματική περιοχή και το ότι δεν απαιτούν την χρήση ειδικών οπτικών ινών, όπως οι ντοπαρισμένες με Έρβιο ίνες. Παράλληλα, τα μη γραμμικά φαινόμενα ενισχύθηκαν σημαντικά από τον σχετικά μικρού μεγέθους πυρήνα της ίνας, ο οποίος είχε επιτευχθεί στην τεχνολογία της εποχής. Αυτός ο συνδυασμός οδήγησε στην γένεση υπερσυνεχούς (supercontinuum generation), ένα φαινόμενο στο οποίο το οπτικό φάσμα εξαιρετικά στενών παλμών διευρύνεται έως και 200 φορές. Με αυτές τις εξελίξεις ο τομέας των μη γραμμικών οπτικών ινών αναπτύχθηκε σημαντικά τον 20 ο αιώνα, όπως αναμένεται να κάνει και στο μέλλον. Για περαιτέρω [1]

6 εμβάθυνση στην ιστορική εξέλιξη των οπτικών ινών ο αναγνώστης παραπέμπεται στην πλούσια βιβλιογραφία [1-2]. 1.2 Περίληψη Αντικείμενο της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η ανάλυση κυματοδηγών πυριτίου επιλύνοντας της γενικευμένη μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger (Non-linear Schrödinger Equation, NLSE) με την σταδιακή προσθήκη και ανάλυση ποικίλων φαινομένων. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιηθεί για την λύση της εξίσωσης είναι η Split-Step Fourier (SSF). Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται η γενικευμένη εξίσωση και ο τρόπος σχηματισμού της. Στην συνέχεια, εξετάζεται η επίδραση της διασποράς δεύτερης (Group Velocity Dispersion, GVD) και τρίτης τάξης (Third Order Dispersion,TOD) στη διάδοση των παλμών. Επίσης, παρουσιάζεται η δράση της μη γραμμικότητας όπως αυτή εκφράζεται από το φαινόμενο της αυτοδιαμόρφωσης φάσης μεμονωμένα και σε συνδυασμό με την επίδραση της διασποράς. Τέλος, αναφέρονται και τα φαινόμενα ανώτερης τάξης, ενδοπαλμική σκέδαση Raman (Intrapulse Raman Scattering, IRS) και self-steeping (SS). Στη συνέχεια, παρουσιάζεται η τεχνολογία κυματοδηγών πυριτίου. Σε αυτήν την τεχνολογία κυματοδήγησης κάνουν την εμφάνιση τους καινούρια φαινόμενα, ενώ αυτά που αναλύθηκαν στην περίπτωση των οπτικών ινών, μεταβάλλουν ελαφρώς συμπεριφορά. Τα φαινόμενα που προστίθενται είναι η απορρόφηση δύο φωτονίων (Two Photon Absorption, TPA), η απορρόφηση ελεύθερων φορέων (Free Carrier Absorption, FCA) και η διασπορά ελεύθερων φορέων (Free Carrier Dispersion, FCD). Λαμβάνοντας υπόψη και αυτά τα φαινόμενα, παρουσιάζονται στη συνέχεια, δύο μαθηματικά μοντέλα NLSE, για την περίπτωση των κυματοδηγών πυριτίου. Σε αυτήν την μαθηματική ανάλυση πρέπει να επιλυθεί συζευγμένα με την NLSE και μια άλλη εξίσωση, η διαφορική εξίσωση του ρυθμού μεταβολής των ελεύθερων φορέων. Επίσης, παρουσιάζεται η άλλη διάσταση που αποκτά το selfsteeping στην περίπτωση των κυματοδηγών πυριτίου σε σχέση με τις οπτικές ίνες. Τέλος, αναλύονται οι δύο τρόποι επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης του ρυθμού μεταβολής των ελεύθερων φορέων. Αρχικά, στο τέταρτο κεφάλαιο, παρουσιάζεται η επίδραση των ελεύθερων φορέων στη διάδοση ενός παλμού. Για την ανάλυση της διάδοσης ενός παλμού σε έναν κυματοδηγό πυριτίου απαραίτητος είναι ο υπολογισμός της πυκνότητας φορέων που σχηματίζονται. Επιχειρείται επίσης, μια σύγκριση των μεθόδων επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης των ελεύθερων φορέων που παρουσιάσθηκαν στο προηγούμενο κεφάλαιο. Στην συνέχεια, αναλύεται η διάδοση μιας ολόκληρης παλμοσειράς για διαφορετικούς ρυθμούς επανάληψης. Και σε αυτήν την περίπτωση διάδοσης παλμών, υπολογίζεται η πυκνότητα των ελεύθερων φορέων, η οποία όμως σε αυτή την ενότητα βρίσκεται υπό την επίδραση των διαφορετικών ρυθμών επανάληψης. Κλείνοντας το τέταρτο κεφάλαιο, παρουσιάζεται η επίδραση των φαινομένων διασποράς τρίτης τάξης και self-steeping. Τέλος, στο πέμπτο κεφάλαιο, δίνονται κάποιες ιδέες για μελλοντικές κατευθύνσεις, όπως είναι η μελέτη πολύπλοκων φαινομένων στους κυματοδηγούς [2]

7 πυριτίου. Κάποια από αυτά τα φαινόμενα είναι η σχάση σολιτονίων (soliton fission) και η γένεση υπερσυνεχούς (supercontinuum generation). Επίσης, μια πιθανή επέκταση της ανάλυσης της παρούσας εργασίας είναι η θεώρηση πολυκαναλικής διάδοσης, λαμβάνοντας υπόψη όλα τα φαινόμενα που τη συνοδεύουν. [3]

8 Κεφάλαιο 2 ο Μη γραμμική εξίσωση Schrödinger- Διάδοση παλμών στις οπτικές ίνες Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται ο τρόπος εξαγωγής της γενικευμένης μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (Nonlinear Schrödinger Equation, NLSE). Η παραπάνω εξίσωση προκύπτει από τις εξισώσεις του Ηλεκτρομαγνητικού Πεδίου του Maxwell και περιγράφει μαθηματικά τα φαινόμενα που παρατηρούνται κατά τη διάδοση παλμών σε οπτικές ίνες και γενικότερα σε οπτικούς κυματοδηγούς. Επίσης, αναλύεται η μέθοδος επίλυσης της NLSE που ακολουθείται στην παρούσα εργασία. Η μέθοδος που επιλέχθηκε είναι η split-step Fourier (SSF). Στη συνέχεια, εξετάζονται μεμονωμένα και συνολικά τα φαινόμενα της διασποράς δεύτερης και τρίτης τάξης. Έπειτα προστίθεται και η επίδραση του μη γραμμικού φαινομένου της αυτοδιαμόρφωσης φάσης (Self Phase Modulation, SPM), η οποία εξετάζεται και παρουσία διασποράς. Τέλος, διερευνώνται τα μη γραμμικα φαινόμενα ανωτέρης τάξης, όπως το self-steepening (SS) και η ενδοπαλμική σκέδαση Raman (Intrapulse Raman Scattering, IRS). 2.1 Μη γραμμική εξίσωση Schrödinger Με τη βοήθεια των εξισώσεων του Maxwell, ο μετασχηματισμός Fourier που περιγράφεται από την παρακάτω μορφή (2.1) βρίσκεται να ικανοποιεί την εξίσωση του Helmholtz (2.2) όπου και (2.3) είναι η διηλεκτρική σταθερά της οποίας το μη γραμμικό κομμάτι δίνεται από (2.4) [4]

9 όπου είναι η οπτική επιδεκτικότητα ν-οστής τάξης. Στο σημείο αυτό κρίνεται απαραίτητος ο ορισμός του δείκτη διάθλασης και του συντελεστή απωλειών (2.5) όπου (2.6) Τα δύο αυτά μεγέθη συνδέονται με τη διηλεκτρική σταθερά μέσω της σχέσης Τα γραμμικά κομμάτια του δείκτη διάθλασης και του συντελεστή απωλειών συνδέονται με το πραγματικό και τα φανταστικό μέρος της επιδεκτικότητας πρώτης τάξης μέσω των (2.7) (2.8) Σημειώνεται επίσης ότι για τις ίνες διοξειδίου του πυριτίου το, δηλαδή ο συντελεστής απορρόφησης δύο φωτονίων (Two Photon Absorption, TPA) είναι αμελητέος και άρα αγνοείται. Αντιθέτως, στους κυματοδηγούς πυριτίου που θα εξετασθούν εκτενώς στα επόμενα κεφάλαια, η επίδραση του σε καμία περίπτωση δεν μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα. Η εξίσωση (2.2) λύνεται με τη μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών και άρα επιδέχεται λύση της μορφής (2.9) όπου είναι το προφίλ του ρυθμού της ίνας, είναι ο αργά μεταβαλλόμενος φάκελος, ο μετασχηματισμός Fourier αυτού και είναι η φασική σταθερά που υπολογίζεται στη συνέχεια. Η παραπάνω εξίσωση στο πεδίου του χρόνου εκφράζεται ως εξής (2.10) με το c.c. να δηλώνει τη συζυγή μιγαδική ποσότητα (complex conjugate). Αντικαθιστώντας την (2.9) στην (2.2) προκύπτουν οι δύο παρακάτω εξισώσεις: (2.11) (2.12) [5]

10 Στην (2.12) η δεύτερη παράγωγος αγνοήθηκε, καθώς η θεωρείται αργά μεταβαλλόμενη συνάρτηση του Οι (2.11) και (2.12) λύνονται κάνοντας χρήση της θεωρίας διαταραχών πρώτης τάξης. Αναλύοντας την φασική σταθερά σε σειρά Taylor γύρω από την κεντρική συχνότητα προκύπτει (2.13) όπου και οι υπόλοιποι παράμετροι ορίζονται μέσω της (2.14) Μεταφέροντας την (2.12) στο χρόνο και λαμβάνοντας υπόψη τη (2.13) προκύπτει (2.15) όπου η μη γραμμική παράμετρος ορίζεται ως (2.16) Στην (2.15) έχουμε συμπεριλάβει μέχρι και τον τρίτης τάξης όρο διασποράς ενώ στην (2.16) η είναι η ενεργός επιφάνεια του ρυθμού, η οποία σχετίζεται με το προφίλ του και δίνεται από την (2.17) Για περαιτέρω απλοποίηση της εξίσωσης, θεωρείται ένα «παράθυρο» αναφοράς, το οποίο κινείται μαζί με τον παλμό στην ταχύτητα ομάδας (group velocity). Υιοθετώντας έναν απλό μετασχηματισμό (2.18) η (2.15) μετασχηματίζεται στην (2.19) και αποτελεί τη γενικευμένη μη γραμμική εξίσωση Schrödinger. Συμπεριλαμβάνοντας και τους όρους που αντιπροσωπεύουν τα μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης self-steeping (SS) και ενδοπαλμική σκέδαση Raman (IRS), η (2.19) τροποποιείται ως εξής [1] [6]

11 (2.20) Οι σταθερές και χαρακτηρίζουν αυτά τα φαινόμενα και συμπληρώνουν τον σχηματισμό της εξίσωσης διάδοσης των παλμών. 2.2 Μέθοδος επίλυσης Split-Step Fourier Η NLSE είναι μια μη γραμμική εξίσωση με μερικές παραγώγους που γενικά δεν επιδέχεται αναλυτικές λύσεις, εκτός από μερικές ειδικές περιπτώσεις στις οποίες μπορεί να βρει εφαρμογή η μέθοδος αντίστροφης σκέδασης (inverse scattering method). Επομένως, είναι απαραίτητη μια αριθμητική προσέγγιση για την κατανόηση των μη γραμμικών φαινομένων στις οπτικές ίνες. Για αυτό το σκοπό, ποικίλες αριθμητικές μέθοδοι έχουν αναπτυχθεί. Μία από αυτές, η οποία χρησιμοποιείται ευρέως για την επίλυση του προβλήματος της διάδοσης των παλμών σε μη γραμμικά μέσα με διασπορά, είναι η Split-Step Fourier method. Ένα βασικό χαρακτηριστικό της μεθόδου είναι η σχετικά καλή της ταχύτητα, η οποία αποδίδεται στη χρήση του αλγορίθμου FFT (Fast Fourier Transform). Για την βαθύτερη κατανόηση της Split-Step Fourier μεθόδου, είναι χρήσιμο να γραφεί η (2.20) στην παρακάτω μορφή (2.21) όπου ο είναι ένας διαφορικός τελεστής ο οποίος εκφράζει τη διασπορά και τις απώλειες σε ένα γραμμικό μέσο και ο είναι ένας μη γραμμικός τελεστής ο οποίος ελέγχει τα μη γραμμικά φαινόμενα στη διάδοση των παλμών. Οι σχέσεις που περιγράφουν τους παραπάνω τελεστές είναι (2.22) (2.23) Γενικά, η διασπορά και η μη γραμμικότητα δρουν ταυτόχρονα κατά μήκος της ίνας. Η μέθοδος Split-Step Fourier εξασφαλίζει μια προσεγγιστική λύση υποθέτοντας ότι για τη διάδοση του οπτικού πεδίου σε μια μικρή απόσταση, τα φαινόμενα διασποράς και μη γραμμικότητας δρουν ανεξάρτητα. Συγκεκριμένα, η διάδοση από το σημείο στο γίνεται σε δύο βήματα. Στο πρώτο βήμα, η μη γραμμικότητα δρα μεμονωμένα και στην (2.21), ενώ στο δεύτερο συμβαίνει το αντίστροφο και. Μαθηματικά, [7]

12 (2.24) Ο εκθετικός τελεστής είναι προτιμότερο να υπολογιστεί στο πεδίο της συχνότητας χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Fourier σύμφωνα με τη σχέση (2.25) όπου δηλώνει τον μετασχηματισμό Fourier. Ο όρος προκύπτει από την (2.22) αντικαθιστώντας τον τελεστή με, δηλαδή (2.26) Η εφαρμογή της μεθόδου Split-Step Fourier είναι σχετικά απλή. Όπως δείχνει το Σχήμα 2.1, το μήκος της ίνας χωρίζεται σε έναν μεγάλο αριθμό τμημάτων, τα οποία δεν είναι απαραίτητο να είναι ίσα μεταξύ τους. Σχήμα 2.1: Σχηματική αναπαράσταση του συμμετρικού SSF. Το μήκος της ίνας χωρίζεται σε έναν μεγάλο αριθμό τμημάτων πλάτους. Το φαινόμενο της μη γραμμικότητας λαμβάνεται στο μέσον κάθε στοιχείου, όπως δείχνουν οι διακεκομμένες γραμμές. Το οπτικό πεδίο διαδίδεται αρχικά για μια απόσταση μόνο με διασπορά χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο FFT και την (2.26). Στο σημείο, το πεδίο πολλαπλασιάζεται στο πεδίο του χρόνου με έναν μη γραμμικό όρο που περιγράφει την μη γραμμικότητα σε όλο το μήκος του στοιχείου. Τελικά, το πεδίο διαδίδεται για την εναπομείνασα απόσταση μόνο με διασπορά ώστε να ληφθεί το. Κατ ουσίαν, η μη γραμμικότητα θεωρείται πως συμβαίνει στον μέσον κάθε στοιχείου (διακεκομμένες γραμμές στο Σχήμα 2.1). Λαμβάνοντας υπόψη όλα τα παραπάνω, η σχέση που περιγράφει την διάδοση του παλμού σε κάθε στοιχείο είναι [1] (2.27) [8]

13 Γενικεύοντας την παραπάνω σχέση στο συνολικό μήκος της ίνας προκύπτει (2.28) και αν συνενώσουμε το δεύτερο μισό βήμα διασποράς του τμήματος με το πρώτο μισό βήμα διασποράς του τμήματος, η διαδικασία της διάδοσης περιγράφεται από (2.29) Με σκοπό η μέθοδος να γίνει ακόμα ταχύτερη είναι δυνατό να αντιστραφεί η σειρά εφαρμογής των τελεστών και η παραπάνω σχέση να τροποποιηθεί ως εξής (2.30) Η (2.30) χρησιμοποιείται στην παρούσα εργασία. Η μέθοδος Split-Step Fourier εφαρμόζεται σε ένα πλήθος οπτικών προβλημάτων. Στην ιδιαίτερη περίπτωση της διάδοσης παλμών σε οπτικές ίνες, η SSF εφαρμόστηκε πρώτη φορά το Από τότε χρησιμοποιείται σε μεγάλο βαθμό για τη μελέτη ποικίλων μη γραμμικών φαινομένων στις οπτικές ίνες, κυρίως λόγω της ταχείας εκτέλεσης σε σχέση με τις άλλες μεθόδους. Όμως παρόλο που είναι σχετικά απλή στην εφαρμογή, απαιτεί την προσεκτική επιλογή του μεγέθους βήματος στα και, έτσι ώστε να εξασφαλίζεται η απαραίτητη ακρίβεια. Η βέλτιστη επιλογή του μεγέθους βήματος εξαρτάται από την πολυπλοκότητα του εκάστοτε προβλήματος. Μια συνθήκη που μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν κριτήριο επιλογής του μεγέθους του βήματος είναι η. Ένα στοιχείο της NLSE που αξίζει περαιτέρω συζήτηση είναι ο όρος που αντιπροσωπεύει τη διασπορά. Ενώ μέχρι στιγμής θεωρήσαμε ικανοποιητική τη διατήρηση μέχρι και του όρου της διασποράς τρίτης τάξης, σε πολλά προβλήματα όπου αναλύονται πολλοί σύντομοι παλμοί ή το μήκος κύματος διάδοσης προσεγγίζει το μήκος κύματος μηδενικής διασποράς, αυτή η θεώρηση είναι δυνατόν να οδηγήσει σε ανακρίβειες. Για αυτό το λόγο παρουσιάζεται ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού των όρων διασποράς. Ειδικότερα, το ανάπτυγμα Taylor της φασικής σταθεράς μπορεί να πάρει τη μορφή (2.31) Στην συνέχεια πολλαπλασιάζονται και τα δύο μέλη με και προκύπτει [9]

14 (2.32) Αναγνωρίζεται το δεξί μέλος της ως ο μετασχηματισμός Fourier της παράστασης (2.33) δηλαδή του συνόλου των όρων διασποράς, όπως εμφανίζονται στην NLSE. Αυτό γίνεται σαφές από το ζεύγος μετασχηματισμού (2.34) Η παραπάνω διαπίστωση απλοποιεί τον τελεστή διασποράς παρακάτω μορφή, ο οποίος παίρνει την (2.35) αντί για τη γνωστή μορφή (2.36) Σχήμα 2.2: Υπολογισμένη διασπορά με τη βοήθεια των σχέσεων (2.35) και (2.36) συναρτήσει του μήκους κύματος. Το κεντρικό μήκος κύματος είναι 1500nm. [10]

15 Οι ανακρίβειες που μπορούν να προκύψουν κάνοντας χρήση της (2.36) μπορούν να γίνουν σημαντικές, καθώς στα πρακτικά προβλήματα το άπειρο άθροισμα προσεγγίζεται με τους δύο πρώτους όρους του. Σε μερικές περιπτώσεις όμως, οι υπόλοιποι όροι του αθροίσματος γίνονται υπολογίσιμοι, έτσι η αμέλεια τους οδηγεί σε σφάλματα. Οι διαφορές μεταξύ των δύο τρόπων υπολογισμού της διασποράς απεικονίζονται συγκριτικά στο Σχήμα 2.2. Παρατηρώντας το Σχήμα 2.2, εύκολα εξάγεται το συμπέρασμα πως οι δύο τρόποι υπολογισμού της διασποράς έχουν πολύ καλή συμφωνία γύρω από το κεντρικό μήκος κύματος. Παρόλα αυτά, για μήκη κύματος μακριά από το κεντρικό οι αποκλίσεις μπορεί να είναι ιδιαίτερα μεγάλες. 2.3 Φαινόμενα Διασποράς Η παραπάνω ανάλυση έδειξε ότι η συνδυασμένη δράση των φαινόμενων διασποράς (GVD και TOD) και αυτοδιαμόρφωσης φάσης (SPM) σε οπτικούς παλμούς που διαδίδονται κατά μήκος της ίνας μπορεί να μελετηθεί με την επίλυση μιας εξίσωσης διάδοσης παλμού. Πριν αναλυθεί όμως η γενική περίπτωση είναι απαραίτητη η εξέταση των φαινομένων της διασποράς μεμονωμένα. Για το λόγο αυτό, κρίνεται σκόπιμο να διερευνηθούν οι συνθήκες υπό τις οποίες κυριαρχεί κάθε ένα φαινόμενο έναντι των άλλων. Σε αυτό το σημείο θα γίνει η εισαγωγή δύο καινούριων μεγεθών, γνωστών ως μήκος διασποράς (dispersion length, ) και μη γραμμικό μήκος (nonlinear length, ) (2.37) όπου είναι το μέγιστο πλάτος του προσπίπτοντος παλμού. Ανάλογα με τα σχετικά μεγέθη των, καθώς και το μήκος της ίνας, οι παλμοί μπορούν να εξελιχθούν πολύ διαφορετικά. Οι τέσσερις κατηγορίες συμπεριφοράς διάδοσης είναι: i. Όταν το μήκος της ίνας είναι τέτοιο ώστε και, ούτε τα φαινόμενα διασποράς, ούτε αυτά της μη γραμμικότητας παίζουν σημαντικό ρόλο κατά τη διάδοση. Ως εκ τούτου ο παλμός διατηρεί τη μορφή του και η ίνα λειτουργεί σαν ένας απλός φορέας διάδοσης οπτικών παλμών (εκτός από την μείωση της ενέργειας του παλμού λόγω των απωλειών). ii. Όταν το μήκος της ίνας είναι τέτοιο ώστε και, η εξέλιξη του παλμού ελέγχεται από το GVD και τα μη γραμμικά φαινόμενα παίζουν ελάσσονα ρόλο. Η συνθήκη που ισχύει σε αυτή την περίπτωση είναι (2.38) iii. Όταν το μήκος της ίνας είναι τέτοιο ώστε και, οι όροι της διασποράς είναι αμελητέοι συγκρινόμενοι με τους μη γραμμικούς. Σε αυτή [11]

16 την περίπτωση η διάδοση του παλμού κυβερνάται από τα μη γραμμικά φαινόμενα, τα οποία επιφέρουν μεταβολές στο φάσμα του παλμού. Η συνθήκη που ισχύει είναι (2.39) iv. Όταν το μήκος της ίνας είναι μεγαλύτερο ή συγκρινόμενο με το και το, διασπορά και μη γραμμικότητα δρουν από κοινού, καθώς ο παλμός διαδίδεται κατά μήκος της ίνας. Η αλληλεπίδραση τους μπορεί να οδηγήσει σε διαφορετικά ποιοτικά χαρακτηριστικά του παλμού σε σχέση με αυτά που παρουσιάζει, εάν η διασπορά και η μη γραμμικότητα δρουν μεμονωμένα. Στην περιοχή ανώμαλης διασποράς ( ), η ίνα μπορεί να υποστηρίξει σολιτόνια, ενώ στην περιοχή ομαλής διασποράς ( ), το GVD και το SPM μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη συμπίεση παλμών. Σε αυτό το σημείο κρίνεται απαραίτητο να παρουσιασθούν οι τιμές των παραμέτρων διασποράς για μια τυπική οπτική ίνα. Στο Σχήμα 2.3 φαίνονται οι τιμές των παραμέτρων διασποράς μέχρι και τρίτης τάξης για μια ίνα με διάμετρο 8.2 μm και για εύρος μήκους κύματος από 1.2 μέχρι και 1.6 μm Διασπορά ταχύτητας ομάδας (GVD) Το φαινόμενο του GVD σε οπτικούς παλμούς διαδιδόμενους σε γραμμικό μέσο με διασπορά μελετάται με τη βοήθεια της NLSE θεωρώντας και. Η (2.19) παίρνει την παρακάτω μορφή (2.40) όπου έχουμε θεωρήσει την κανονικοποιήση (2.41) Μεταφέροντας τη (2.39) στο πεδίο της συχνότητας προκύπτει (2.42) όπου ο μετασχηματισμός Fourier του, για τον οποίο ισχύει (2.43) [12]

17 Σχήμα 2.3: Καμπύλες των συντελεστών διασποράς μέχρι και τρίτης τάξης συναρτήσει του μήκους κύματος. Η λύση της (2.42) προφανώς είναι (2.44) Η (2.44) δείχνει πως το GVD μεταβάλει τη φάση κάθε φασματικής συνιστώσας του παλμού κατά ένα μέγεθος που εξαρτάται από τη συχνότητα και την διαδιδόμενη απόσταση. Παρόλο που τέτοιες μεταβολές στη φάση δεν επηρεάζουν το μέτρο του φάσματος του παλμού, είναι δυνατό να επιδράσουν στη μορφή του παλμού στο πεδίο του χρόνου. Αντικαθιστώντας την (2.44) στην (2.43), η γενική λύση της (2.42) προκύπτει (2.45) όπου είναι ο μετασχηματισμός Fourier του προσπίπτοντος παλμού στο επίπεδο. Γκαουσιανός παλμός Ο Γκαουσιανός παλμός αποτελεί μια βασική μορφή παλμού και χρησιμοποιείται συχνά σε πλήθος προβλημάτων ως παράδειγμα. Το προσπίπτον πεδίο ενός Γκαουσιανού παλμού είναι της μορφής (2.46) [13]

18 όπου είναι το μισό εύρος μεταξύ των σημείων στα οποία η ισχύς του παλμού έχει πέσει στο 1/e. Στην πράξη, είναι σύνηθες να γίνεται χρήση του πλήρους εύρους στο ήμισυ της μέγιστης τιμής (full width at half maximum, FWHM) αντί για το. Για έναν Γκαουσιανό παλμό τα δύο μεγέθη συνδέονται με τη σχέση (2.47) Η μαθηματική λύση της (2.45) για την περίπτωση του Γκαουσιανού παλμού είναι (2.48) Έτσι, ένας Γκαουσιανός παλμός διατηρεί τη μορφή του κατά τη διάδοση αλλά το πλάτος αυξάνεται συναρτήσει του ως εξής (2.49) Η παραπάνω σχέση δείχνει πως το GVD διευρύνει έναν Γκαουσιανό παλμό. Το πόσο θα διευρυνθεί εξαρτάται από το. Για δοσμένο μήκος ίνας, στενοί παλμοί διευρύνονται περισσότερο λόγω μικρότερου. Στο Σχήμα 2.4(α) απεικονίζεται ο παλμός μετά από απόσταση διάδοσης και. Συγκρίνοντας τις (2.46) και (2.48) παρατηρείται ότι παρόλο που ο προσπίπτον παλμός δεν έχει chirp, ο διαδιδόμενος παλμός αποκτά chirp. Αυτό γίνεται πιο κατανοητό εάν γράψουμε το στην παρακάτω μορφή όπου (2.50) (2.51) Η φάση όπως εύκολα διακρίνεται, δεν μεταβάλλεται γραμμικά. Επίσης εξαρτάται από το είδος της διασποράς που συμβαίνει στην ίνα, ομαλή ή ανώμαλη. Η χρονική εξάρτηση της υπονοεί ότι η στιγμιαία συχνότητα διαφέρει κατά μήκος του παλμού από την κεντρική συχνότητα. Η απόκλιση είναι η χρονική παράγωγος και δίνεται από τη σχέση (2.52) Η (2.52) δείχνει πως η στιγμιαία συχνότητα μεταβάλλεται γραμμικά, δηλαδή μια ίνα επιβάλει γραμμικό chirp στον παλμό. Το chirp εξαρτάται από το πρόσημο του. Στην περιοχή ομαλής διασποράς ( ), το είναι αρνητικό στην προπορευόμενη ουρά του παλμού ( ) και αυξάνεται γραμμικά κατά μήκος του παλμού. Το αντίθετο συμβαίνει στην περιοχή ανώμαλης διασποράς( ): αυτή η περίπτωση φαίνεται στο Σχήμα 2.4(β). Όπως φαίνεται σε αυτό, το chirp που προκαλείται από το GVD είναι τέλεια γραμμικό για τους Γκαουσιανούς παλμούς. [14]

19 (α) (β) Σχήμα 2.4: (α) Ένταση παλμού και (β) chirp δωτ 0 συναρτήσει του κανονικοποιημένου χρόνου Τ/Τ 0 για έναν Γκαουσιανό παλμό για z=2l D και 4L D. Στο σχήμα φαίνεται και ο παλμός εισόδου. Η διεύρυνση που προκαλείται στον παλμό λόγω GVD γίνεται καλύτερα κατανοητή εάν αναφερθεί ότι οι διαφορετικές φασματικές συνιστώσες ενός παλμού ταξιδεύουν με ελαφρώς διαφορετικές ταχύτητες κατά μήκος της ίνας. Ο παλμός μπορεί να διατηρήσει το αρχικό του πλάτος μόνο αν όλες οι φασματικές συνιστώσες αφιχθούν ταυτόχρονα. Οποιαδήποτε καθυστέρηση στην άφιξη των διαφορετικών φασματικών συνιστωσών οδηγεί σε διεύρυνση του παλμού. Ένα ακόμη ποιοτικό μέγεθος που θα ήταν χρήσιμο να εισαχθεί για την αξιολόγηση της επίδρασης των φαινομένων είναι ο παράγοντας διεύρυνσης (broadening factor), όπου είναι η RMS (root-mean-square) χρονική έκταση του παλμού όπου (2.53) (2.54) Το είναι η RMS (root-mean-square) χρονική έκταση του παλμού στο επίπεδο. Παρατηρώντας το Σχήμα 2.5 εύκολα φαίνεται η διεύρυνση που υφίσταται ένας Γκαουσιανός παλμός για απόσταση διάδοσης. [15]

20 Σχήμα 2.5: Παράγοντας διεύρυνσης σ/σ 0 συναρτήσει της κανονικοποιημένης απόστασης z/l D για β 2 <0 για έναν Γκαουσιανό παλμό. Παλμοί Υπερβολικής τέμνουσας Παρόλο που οι περισσότεροι εκπεμπόμενοι παλμοί από laser είναι με ικανοποιητική προσέγγιση Γκαουσιανοί, είναι απαραίτητο να αναλυθούν και άλλες μορφές παλμών. Σημαντικού ενδιαφέροντος είναι η μορφή υπερβολικής τέμνουσας (hyperbolic secant), που συναντάται συνήθως στον σχηματισμό σολιτονίων. Το οπτικό πεδίο που συνδέεται με τέτοιους παλμούς παίρνει την μορφή (α) (β) Σχήμα 2.6: (α) Ένταση παλμού και (β) chirp δωτ 0 συναρτήσει του κανονικοποιημένου χρόνου Τ/Τ 0 για έναν παλμό υπερβολικής τέμνουσας για z=2ld και 4LD. Στο σχήμα φαίνεται και ο παλμός εισόδου. (2.55) όπου η chirp παράμετρος C ελέγχει το αρχικό chirp, εάν υπάρχει. [16]

21 Το διαδιδόμενο πεδίο βρίσκεται από τις (2.45) και (2.55). Δυστυχώς, η (2.45) δεν επιδέχεται λύση κλειστής μορφής για μη Γκαουσιανούς παλμούς. Το Σχήμα 2.6 δείχνει τα προφίλ έντασης και τα chirp υπολογισμένα αριθμητικά για και. Συγκρίνοντας τα Σχήματα 2.4 και 2.6 εύκολα κανείς παρατηρεί ότι τα ποιοτικά χαρακτηριστικά της διεύρυνσης λόγω GVD είναι πανομοιότυπα για τους Γκαουσιανούς και τους «sech» παλμούς. Η κύρια διαφορά τους έγκειται στο ότι η το επαγόμενο λόγω GVD chirp δεν είναι πλέον γραμμική κατά μήκος του παλμού Διασπορά τρίτης τάξης (TOD) Η διεύρυνση λόγω διασποράς που αναλύθηκε παραπάνω οφείλεται στο GVD, τη διασπορά ταχύτητας ομάδας. Παρόλο που η συμβολή αυτού του όρου κυριαρχεί στις περισσότερες περιπτώσεις πρακτικού ενδιαφέροντος, μερικές φορές κρίνεται απαραίτητο να συμπεριληφθεί και η διασπορά τρίτης τάξης (Third Order Dispersion, TOD), μέσω της παραμέτρου. Για παράδειγμα, εάν το μήκος κύματος προσεγγίζει το μήκος κύματος μηδενικής διασποράς (Zero Dispersion Wavelength, ZDW) και, ο όρος του επηρεάζει πολύ περισσότερο τον παλμό σε σχέση με το GVD. Για πολύ στενούς παλμούς (με πλάτος ps), είναι απαραίτητο να συμπεριληφθεί ο όρος ακόμα και εάν, καθώς η διεύρυνση δεν είναι πλέον αρκετά μικρή σε σχέση φυσικά με το εύρος του αρχικού παλμού ώστε να δικαιολογεί την αποκοπή των όρων στην σειρά Taylor μετά τον δεύτερο. Σε αυτή την ενότητα εξετάζονται τα φαινόμενα διασποράς λαμβάνοντας υπόψη τους και όρους, ενώ αμελούνται ακόμη τα μη γραμμικά φαινόμενα. Η κατάλληλη εξίσωση διάδοσης για το πλάτος προκύπτει από την (2.19) αφού τεθεί. Κάνοντας χρήση της (2.41), η ικανοποιεί την παρακάτω εξίσωση: (2.56) Αυτή η εξίσωση μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τoν μετασχηματισμό Fourier όπως ακριβώς έγινε στην ενότητα Αντί για την (2.45), εδώ το διαδιδόμενο πεδίο προκύπτει από την (2.57) Όπως είναι προφανές, η εξέλιξη του παλμού κατά μήκος της ίνας εξαρτάται από τα σχετικά μεγέθη των παραμέτρων και. Για να καταστεί δυνατή η σύγκριση της σχετική επιρροής των όρων και στην (2.56), θα ήταν χρήσιμη η εισαγωγή του χαρακτηριστικού μήκους που σχετίζεται με το TOD [17] (2.58) Ο ρόλος του TOD είναι σημαντικός μόνο εάν ή. Το Σχήμα 2.7 δείχνει τη μορφή ενός Γκαουσιανού παλμού σε απόσταση στις περιπτώσεις που το και το είναι τέτοιο ώστε.

22 Ενώ ένας Γκαουσιανός παλμός παραμένει Γκαουσιανός όταν μόνο ο όρος επιδρά (Σχήμα 2.4), το TOD παραμορφώνει τον παλμό τόσο, ώστε να γίνει ασύμμετρος παρουσιάζοντας ταλαντώσεις σε ένα άκρο του. Στην περίπτωση θετικού (Σχήμα 2.7), οι ταλαντώσεις εμφανίζονται στο άκρο που έπεται. Όταν το είναι αρνητικό, τότε είναι το προπορευόμενο άκρο που αναπτύσσει ταλαντώσεις. Όταν, οι ταλαντώσεις είναι βαθιές, με την ένταση να πέφτει στο μηδέν μεταξύ δύο διαδοχικών κορυφών. Παρόλα αυτά, αυτές οι ταλαντώσεις μειώνονται σημαντικά ακόμα και για σχετικά μικρές τιμές του. Για την περίπτωση που (Σχήμα 2.7), οι ταλαντώσεις έχουν σχεδόν εξαφανιστεί και ο παλμός παρουσιάζει μεγάλη ουρά στο άκρο που έπεται. Για μεγαλύτερες τιμές του, τέτοιες ώστε, η μορφή του παλμού γίνεται σχεδόν Γκαουσιανή καθώς το TOD παίζει ελάσσονα ρόλο. Σχήμα 2.7: Μορφές παλμών για z=5l D ενός Γκαουσιανού παλμού παρουσία TOD. Παρουσιάζονται στις περιπτώσεις που β 2 =0 και β 2 τέτοιο ώστε L D =L D. Στο σχήμα φαίνεται και ο παλμός εισόδου. 2.4 Αυτοδιαμόρφωση φάσης (SPM) Ένα ενδιαφέρον αποτέλεσμα της εξάρτησης του δείκτη διάθλασης από την ένταση σε μη γραμμικά οπτικά μέσα είναι η αυτοδιαμόρφωση φάσης (SPM), ένα φαινόμενο το οποίο οδηγεί σε φασματική διεύρυνση των οπτικών παλμών. Το SPM παρατηρήθηκε το 1970 σε στέρεα και γυαλιά με τη χρήση picosecond παλμών. Στην ενότητα αυτή το SPM λαμβάνεται υπόψη ως ένα απλό παράδειγμα των μη γραμμικών οπτικών φαινομένων που συμβαίνουν σε μία οπτική ίνα. Αρχικά, τα φαινόμενα διασποράς θεωρούνται αμελητέα αναλύθηκαν παραπάνω οι συνθήκες υπό τις οποίες ισχύει αυτό. Εάν θέσουμε στην (2.19), και για την κανονικοποιημένη προκύπτει [18] (2.59)

23 όπου είναι ο συντελεστής γραμμικών απωλειών της ίνας. Η γενική λύση της (2.59) είναι της μορφής όπου είναι η ένταση του πεδίου στο επίπεδο και Το ενεργό μήκος για μία ίνα μήκους ορίζεται ως (2.60) (2.61) (2.62) και αναπαριστά το μήκος εκείνο το οποίο οι γραμμικές απώλειες το καθιστούν μικρότερο του, αλλά απουσία απωλειών ( ) ισχύει. Η (2.60) δείχνει ότι το SPM προκαλεί μια μεταβολή της φάσης εξαρτώμενη από την ένταση αλλά η μορφή του παλμού παραμένει αναλλοίωτη. Η μη γραμμική μεταβολή φάσης της (2.61) αυξάνεται με το μήκος. Η μέγιστη ολίσθηση φάσης συμβαίνει στο κέντρο του παλμού στο σημείο. Με κανονικοποιημένο το μέγεθος έτσι ώστε, η μέγιστη ολίσθηση φάσης δίνεται από (2.63) Οι προκαλούμενες από το SPM φασματικές μεταβολές είναι μια άμεση συνέπεια της χρονικής εξάρτησης της. Αυτό γίνεται καλύτερα κατανοητό αν αναλογιστεί κανείς ότι μια χρονικά μεταβαλλόμενη φάση υπονοεί ότι η στιγμιαία οπτική συχνότητα διαφέρει κατά μήκος του παλμού από την κεντρική συχνότητα. Η διαφορά αυτή δίνεται από (2.64) όπου το αρνητικό πρόσημο οφείλεται στη σύμβαση, που χρησιμοποιήθηκε για την αρμονική χρονική μεταβολή. Η χρονική εξάρτηση του αναφέρεται ως frequency chirping. Το chirp το οποίο προκαλείται από το SPM αυξάνει με την διαδιδόμενη απόσταση, με άλλα λόγια, καινούριες φασματικές συνιστώσες δημιουργούνται συνεχώς καθώς ο παλμός διαδίδεται κατά μήκος της ίνας. Αυτές οι καινούριες φασματικές συνιστώσες διευρύνουν το φάσμα πέρα από το αρχικό του εύρος στο επίπεδο. [19]

24 (α) (β) Σχήμα 2.8: Χρονική μεταβολή της (α) ολίσθησης φάσης και (β) του chirp δω ενός Γκαουσιανού παλμού λόγω SPM. Το Σχήμα 2.8 δείχνει την μεταβολή α) της μη γραμμικής φάσης και β) του προκαλούμενου frequency chirp κατά μήκος του παλμού για στην περίπτωση ενός Γκαουσιανού παλμού. Καθώς η είναι ευθέως ανάλογη του στην (2.61), η χρονική της μεταβολή θα είναι πανομοιότυπη με αυτή της έντασης του παλμού. Παρατηρώντας το χρονικό προφίλ του προκαλούμενου από SPM frequency chirp που φαίνεται στο Σχ.2.8(β) εξάγονται κάποια ενδιαφέροντα συμπεράσματα: το είναι αρνητικό κοντά στο προπορευόμενο άκρο του παλμού και θετικό στο άκρο που ακολουθεί. το chirp είναι γραμμικό και θετικό για μια μεγάλη περιοχή στο κέντρο του Γκαουσιανού παλμού. Γενικά, οι μεταβολές του chirp κατά μήκος του παλμού εξαρτώνται από το ακριβές σχήμα του παλμού. Το chirp λόγω SPM μπορεί να προκαλέσει είτε φασματική διεύρυνση, είτε συρρίκνωση. Στο Σχήμα 2.9 φαίνεται το φάσμα ενός Γκαουσιανού παλμού για διάφορες τιμές της μέγιστης ολίσθησης φάσης. Για δοσμένο μήκος ίνας, η αυξάνεται γραμμικά με το σύμφωνα με την (2.63). Έτσι, η φασματική εξέλιξη που φαίνεται στο Σχ. 2.9 μπορεί να παρατηρηθεί πειραματικά αυξάνοντας την. Το πλέον αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό του Σχ. 2.9 είναι ότι η φασματική διεύρυνση λόγω SPM συνοδεύεται από ταλαντώσεις που εμφανίζονται σε όλο το εύρος. Γενικά, το φάσμα αποτελείται από πολλές κορυφές με τις ακριανές να είναι οι πιο έντονες. Ο αριθμός των κορυφών εξαρτάται από το και αυξάνεται γραμμικά με αυτό. Μια προσεγγιστική σχέση για τα δύο αυτά μεγέθη είναι (2.65) [20]

25 φ max =0 φ max =0.5π φ max =π φ max =1.5π φ max =2.5π φ max =3.5π Σχήμα 2.9: Φάσμα διευρυμένο λόγω SPM ενός Γκαουσιανού παλμού για διάφορες τιμές του φ max. Οι ταλαντώσεις αυτές μπορούν να εξηγηθούν κοιτώντας το Σχ.2.8(β), όπου απεικονίζεται η χρονική εξάρτηση του chirp. Γενικά, το ίδιο chirp συμβαίνει για δύο τιμές του, φανερώνοντας ότι ο παλμός έχει την ίδια στιγμιαία συχνότητα σε δύο διαφορετικά σημεία. Ποιοτικά, αυτά τα δύο σημεία αντιπροσωπεύουν δύο κύματα με την ίδια συχνότητα αλλά διαφορετικές φάσεις, τα οποία μπορεί να συμβάλλουν είτε καταστροφικά, είτε θετικά αναλόγως της σχετικής διαφοράς φάσης τους. Οι πολλές κορυφές στο φάσμα είναι αποτέλεσμα αυτής της συμβολής. Όπως έχει αναφερθεί, η μορφή του διευρυμένου φάσματος λόγω SPM εξαρτάται από τη μορφή του παλμού. Το Σχήμα 2.10 δείχνει την εξέλιξη του φάσματος ενός Γκαουσιανού παλμού για απόσταση διάδοσης, αγνοώντας τις γραμμικές απώλειες ( ). 2.5 Συνδυασμένη δράση GVD και SPM Όπως αναλύθηκε παραπάνω το SPM περιγράφει ρεαλιστικά τη διάδοση μόνο για σχετικά μεγάλους χρονικά παλμούς ( για τους οποίους το μήκος διασποράς είναι πολύ μεγαλύτερο συγκρινόμενο και με το μήκος της ίνας [21]

26 Σχήμα 2.10: Εξέλιξη φάσματος διευρυμένου λόγω SPM για έναν Γκαουσιανό παλμό. και με το μήκος μη γραμμικότητας. Καθώς το εύρος των παλμών μειώνεται και τη τιμή του πλησιάζει αυτή του, κρίνεται απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η συνδυασμένη δράση των φαινομένων GVD και SPM. Καινούρια ποιοτικά χαρακτηριστικά προκύπτουν από την αλληλεπίδραση τους. Στην περιοχή ομαλής διασποράς, η συνδυασμένη δράση τους μπορεί να χρησιμοποιηθεί για συμπίεση παλμών. Στην περιοχή ανώμαλης διασποράς, τα δύο φαινόμενα συνεργάζονται έτσι ώστε ο παλμός να διαδίδεται ως ένα οπτικό σολιτόνιο. Ο όρος σολιτόνιο αναφέρεται στο είδος του παλμού που διατηρεί ή μεταβάλλει περιοδικά (ανάλογα με το αν είναι πρώτης ή ανώτερης τάξης) τη μορφή του κατά τη διάδοση. Η ιδιαιτερότητα του σολιτονίου έγκειται στο ότι μπορεί να διαδοθεί αναλλοίωτο για μεγάλη απόσταση. Σημείο εκκίνησης θα είναι φυσικά η NLSE της (2.19), η οποία χρησιμοποιώντας το κανονικοποιημένο μέγεθος και θέτοντας παίρνει τη μορφή (2.66) όπου ξ και τ εκπροσωπούν τις μεταβλητές της κανονικοποιημένης απόστασης και του χρόνου οριζόμενες ως εξής (2.67) και η παράμετρος εισάγεται χρησιμοποιώντας την (2.68) Όπως δείχνει η (2.68), το καθορίζει ποιο από τα δύο φαινόμενα κυριαρχεί. Για κυριαρχεί η διασπορά, για το SPM, ενώ για αμφότερα τα GVD και SPM [22]

27 Σχήμα 2.11: Εξέλιξη ενός Γκαουσιανού παλμού στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας για β 2 >0 και Ν=1. παίζουν έναν ισότιμης σημασίας ρόλο κατά τη διάδοση του παλμού. Το Σχήμα 2.11 δείχνει την εξέλιξη της μορφής και του φάσματος ενός Γκαουσιανού παλμού στην περιοχή ομαλής διασποράς με και. Η ποιοτική συμπεριφορά είναι αρκετά διαφορετική από αυτήν που αναμένεται όταν είτε το GVD, είτε το SPM κυριαρχεί. Συγκεκριμένα, ο παλμός διευρύνεται πολύ πιο γρήγορα σε σχέση με την περίπτωση στην οποία (άνευ SPM). Αυτό μπορεί να εξηγηθεί παρατηρώντας ότι το SPM δημιουργεί νέες συχνότητες μικρότερες της κεντρικής (red-shifted) στο προπορευόμενο άκρο και μεγαλύτερες της κεντρικής (blue-shifted) στο άκρο που έπεται. Καθώς οι «κόκκινες» φασματικές συνιστώσες ταξιδεύουν ταχύτερα από τις «μπλε» στην περιοχή ομαλής διασποράς, το SPM οδηγεί σε έναν ενισχυμένο ρυθμό διεύρυνσης. Η κατάσταση είναι πολύ διαφορετική για παλμούς που διευρύνονται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς. Το Σχήμα 2.12 δείχνει τι ς μορφές των παλμών και τα φάσματα υπό συνθήκες πανομοιότυπες με αυτές του 2.11 εκτός του ότι το πρόσημο του έχει αντιστραφεί. Ο παλμός διευρύνεται αρχικά με έναν ρυθμό πολύ μικρότερο από αυτόν που αναμενόταν απουσία SPM και αργότερα φτάνει μια σταθερή κατάσταση για. Ταυτόχρονα το φάσμα συμπιέζεται παρά διευρύνεται όπως αναμενόταν από το SPM απουσία GVD. Αυτή η συμπεριφορά γίνεται καλύτερα κατανοητή παρατηρώντας ότι το chirp λόγω SPM είναι θετικό ενώ το chirp λόγω διασποράς είναι αρνητικό για. Οι δύο συνεισφορές αλληλοαναιρούνται στο κεντρικό κομμάτι του Γκαουσιανού παλμού όταν. Η μορφή του παλμού προσαρμόζεται με τέτοιο τρόπο ώστε αυτή η αλληλοαναίρεση να είναι όσο το δυνατόν πιο πλήρης. Συνεπώς, το SPM και το GVD συνεργάζονται ώστε να διατηρηθεί ένας παλμός χωρίς chirp. Το παραπάνω σενάριο περιγράφει τον σχηματισμό σολιτονίου. Η αρχική διεύρυνση του Γκαουσιανού παλμού συμβαίνει γιατί το Γκαουσιανό προφίλ δεν είναι η [23]

28 Σχήμα 2.12: Εξέλιξη ενός Γκαουσιανού παλμού στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας για β 2 <0 και Ν=1. χαρακτηριστική μορφή που αντιστοιχίζεται σε ένα τυπικό σολιτόνιο. Εάν όμως ο παλμός εισόδου επιλεχθεί να είναι «sech», η μορφή και το φάσμα παραμένουν αναλλοίωτα κατά τη διάδοση. Όταν ο παλμός εισόδου αποκλίνει από την «sech» μορφή, ο συνδυασμός των GVD και SPM τον εξαναγκάζει να γίνει «sech», όπως φαίνεται στο Σχήμα Σχήμα 2.13: Broadening factor για Γκαουσιανό παλμό στην περιοχή ανώμαλης και ομαλής διασποράς με Ν=1. Συμπεριλαμβάνεται και η περίπτωση άνευ GVD. Με τη βοήθεια του παράγοντα διεύρυνσης που δίνεται από την (2.53), μπορεί πολύ συνοπτικά να παρουσιαστεί η διεύρυνση που προκαλείται σε έναν παλμό σε τρείς περιπτώσεις: απουσία GVD, στην περιοχή ανώμαλης και ομαλής διασποράς. Παρατηρώντας το Σχήμα 2.13 εύκολα βγαίνει το συμπέρασμα ότι η σημαντικότερη διεύρυνση προκαλείται στην περιοχή ομαλής διασποράς. [24]

29 Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, το SPM κυριαρχεί σε περιπτώσεις που. Ακόμα και σε αυτές τις περιπτώσεις όμως, το GVD δεν μπορεί να θεωρηθεί μια μικρή διαταραχή. Και αυτό γιατί λόγω του εκτεταμένου chirp που επιβάλλεται στον παλμό λόγω SPM, ακόμα και αδύναμα φαινόμενα διασποράς οδηγούν σε (α) (β) Σχήμα 2.14: Ένας sech παλμός στο πεδίο του χρόνου και των συχνοτήτων για Ν=30 και z=0.08l D. σοβαρή επίδραση στον παλμό. Στην περιοχή ομαλής διασποράς, η μορφή του παλμού τείνει να προσεγγίσει ένα ορθογώνιο με «απότομα» άκρα και συνοδεύεται από ένα γραμμικό chirp κατά μήκος όλου του πλάτους του. Αυτό το γραμμικό chirp μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την συμπίεση παλμών. Το Σχήμα 2.14 δείχνει την μορφή του παλμού και το φάσμα για για έναν sech παλμό. Ένα αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό του Σχ είναι η συνοδεία των ταχύτατων ταλαντώσεων που φαίνονται στα άκρα του παλμού από πλευρικούς λοβούς στο φάσμα. Το κεντρικό κομμάτι του φάσματος με τις πολλές κορυφές τροποποιείται επίσης από το GVD. Συγκεκριμένα, τα ελάχιστα δεν είναι τόσο βαθιά όσο στην περίπτωση δράσης μεμονωμένα του SPM. Φυσικά στη μελέτη των συνδυασμένων φαινομένων διασποράς και SPM, δεν μπορούμε να παραλείψουμε τo TOD, του οποίου η επίδραση γίνεται σημαντική όταν το μήκος κύματος πλησιάζει το μήκος κύματος μηδενικής διασποράς. Η εξίσωση διάδοσης παλμού σε αυτήν την περίπτωση προκύπτει από την (2.19) θέτοντας. Εισάγοντας το μήκος και ορίζοντας ως την κανονικοποιημένη απόσταση προκύπτει (2.69) όπου (2.70) Η παράμετρος καθορίζει ποιο από τα δύο φαινόμενα κυριαρχεί, το SPM για, ενώ το TOD για. Στην συνέχεια, θεωρείται και. [25]

30 Το Σχήμα 2.15 απεικονίζει τη μορφή και το φάσμα ενός Γκαουσιανού παλμού για στην περίπτωση που. Η μορφή του παλμού πρέπει να συγκριθεί με αυτή του Σχ. 2.7, όπου το SPM απουσιάζει ( ). Το SPM φαίνεται να αυξάνει τον αριθμό των ταλαντώσεων κοντά στο άκρο του παλμού που έπεται. Ταυτόχρονα, η ένταση δεν μηδενίζεται στα ελάχιστα των ταλαντώσεων. Επίσης, το TOD εισάγει μια φασματική ασυμμετρία χωρίς να επηρεάζει τη δομή των δύο κορυφών. Αυτή η συμπεριφορά έρχεται σε αντίθεση με αυτήν που φαίνεται στο Σχ για την περίπτωση ομαλής διασποράς όπου το GVD εμποδίζει την διχοτόμηση του φάσματος. (α) (β) Σχήμα 2.15: Γκαουσιανός παλμός στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας για z=5l D και =1. Η εξέλιξη του παλμού παρουσιάζει διαφορετικά ποιοτικά χαρακτηριστικά για μεγάλες τιμές του. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 2.16 φαίνεται η μορφή και το φάσμα ενός Γκαουσιανού παλμού για και Ο παλμός αναπτύσσει ταλαντώσεις και λόγω των γρήγορων χρονικών μεταβολών το TOD γίνεται όλο και σημαντικότερο καθώς ο παλμός διαδίδεται. Το πιο αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό του φάσματος είναι ότι η ενέργεια συγκεντρώνεται σε δύο φασματικές μπάντες, ένα κοινό χαρακτηριστικό για όλες τις τιμές. Καθώς μία φασματική μπάντα βρίσκεται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς, η ενέργεια του παλμού σε αυτή τη μπάντα μπορεί να οδηγήσει στον σχηματισμό σολιτόνιου. Δηλαδή, παρότι το κεντρικό μήκος κύματος αρχικά συνέπιπτε με το, εντούτοις εξαιτίας της φασματικής διεύρυνσης λόγω SPM ο παλμός δεν διαδίδεται στην πραγματικότητα χωρίς GVD αφού το φασματικό του περιεχόμενο μετατοπίζεται σε σχέση με το κεντρικό μήκος κύματος. 2.2 Μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης Η συζήτηση μέχρι τώρα βασίσθηκε στην απλοποιημένη NLSE (2.19). Για πολύ σύντομους παλμούς ( ) όμως είναι απαραίτητο να συμπεριληφθούν τα φαινόμενα ανώτερης τάξης. Κάνοντας χρήση της κανονικοποιημένης στην (2.20) προκύπτει [26]

31 (α) (β) Σχήμα 2.16: Γκαουσιανός παλμός στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας για z=0.1l D και =10. (2.71) Οι παράμετροι και ελέγχουν τα φαινόμενα self steeping (SS) και ενδοπαλμική σκέδαση Raman, αντίστοιχα και ορίζονται ως (2.72) Σύμφωνα με τον κανόνα παραγώγισης γινομένου, ο προτελευταίος όρος της (2.71) αναλύεται (2.73) Self steeping To self steeping είναι αποτέλεσμα της εξάρτησης της ταχύτητας ομάδας από την ένταση. Η επίδραση του στο SPM παρατηρήθηκε αρχικά σε υγρά μη γραμμικά μέσα και αργότερα επεκτάθηκε στις οπτικές ίνες. Το self steeping οδηγεί σε μια ασυμμετρία στο διευρυμένο λόγω SPM φάσμα των πολύ σύντομων παλμών. [27]

32 Αρχικά θα αμεληθούν τα φαινόμενα της διασποράς και του Raman scattering έτσι ώστε να φανεί η καθαρή επίδραση του self steeping. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.15, καθώς ο παλμός διαδίδεται μέσα στην ίνα, παρουσιάζει ασυμμετρίες με τη κορυφή να μετακινείται προς το άκρο που έπεται. Έτσι καθώς το z αυξάνει, το άκρο που έπεται γίνεται όλο και πιο απότομο. Η φυσική εξήγηση είναι ότι η ταχύτητα ομάδας εξαρτάται από την ένταση με αποτέλεσμα η κορυφή να κινείται με μικρότερη ταχύτητα σε σχέση με τα άκρα. (α) (β) Σχήμα 2.15: Επίδραση του self steeping στη μορφή ενός Γκαουσιανού παλμού για z=10 L NL και 20 L NL. Επίσης, φαίνεται και το φάσμα για z=l NL. Και για τα δύο ισχύει s=0.01. Το πιο αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό στο φάσμα είναι η ασυμμετρία οι κορυφές χαμηλών συχνοτήτων είναι πιο έντονες από αυτές των υψηλών. Επίσης, η φασματική διεύρυνση λόγω SPM είναι μεγαλύτερη στην περιοχή των υψηλών συχνοτήτων (ονομάζεται Anti-Stokes πλευρά στην ορολογία της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman) σε σχέση με αυτή των χαμηλών (η Stokes πλευρά). Και τα δύο αυτά χαρακτηριστικά εξηγούνται ποιοτικά από τις μεταβολές στη μορφή του παλμού λόγω self steeping. Το φάσμα είναι ασύμμετρο απλά επειδή η μορφή του παλμού είναι ασύμμετρη. Απουσία self steeping (s=0), αναμένεται ένα συμμετρικό φάσμα με έξι κορυφές λόγω για τις παραμέτρους του Σχ Το self steeping επιμηκύνει την περιοχή υψηλών συχνοτήτων. Το ύψος των κορυφών υψηλών συχνοτήτων μειώνεται επειδή η ίδια ενέργεια κατανέμεται σε μεγαλύτερη φασματική περιοχή Ενδοπαλμική σκέδαση Raman Στην ανάλυση μέχρι στιγμής έχει αμεληθεί ο τελευταίος όρος της (2.71), ο οποίος είναι υπεύθυνος για την ενδοπαλμική σκέδαση Raman (Intrapulse Raman Scattering, IRS). Στην περίπτωση οπτικών ινών, αυτός ο όρος γίνεται αρκετά σημαντικός για πολύ σύντομους παλμούς ( ) και πρέπει να συμπεριληφθεί στην μοντελοποίηση της εξέλιξης του παλμού. Στο Σχήμα 2.16 φαίνεται η χρονική και η φασματική εξέλιξη ενός Γκαουσιανού παλμού στην περιοχή ανώμαλης διασποράς για απόσταση. Για να απομονωθεί η επίδραση, τέθηκε και. Τα σημεία που αξίζει να [28]

33 επισημανθούν είναι: (i) η μεγάλη μεταβολή της χρονική θέσης του παλμού και (ii) το chirp λόγω Raman (Raman-induced frequency shift, RIFS) σε μεγαλύτερα μήκη κύματος. Σχήμα 2.16: Επίδραση του Raman scattering σε έναν Γκαουσιανό παλμό στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας για Ν=2, τ R =0.03. [29]

34 Κεφάλαιο 3 ο Τεχνολογία Πυριτίου Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιαστεί η τεχνολογία πυριτίου. Στις δομές τεχνολογίας πυριτίου κάνουν την εμφάνιση τους καινούρια φαινόμενα όπως η απορρόφηση δύο φωτονίων (Two-Photon Absorption, TPA), η απορρόφηση ελεύθερων φορέων (Free-Carrier Absorption, FCA) και η διασπορά ελευθέρων φορέων (Free-Carrier Absorption, FCD) ενώ αυτά που έχουν αναλυθεί για την περίπτωση των οπτικών ινών διασπορά και self steeping μεταβάλλουν τα χαρακτηριστικά τους. Ακόμη, δίνεται το μαθηματικό πλαίσιο υπό το οποίο προκύπτει η εξέλιξη της διάδοσης ενός παλμού σε μια τέτοια δομή. Σε αυτή την περίπτωση, εκτός από την NLSE, απαιτείται και η συζευγμένη επίλυση μιας διαφορικής εξίσωσης ρυθμού μεταβολής (rate equation), της διαφορικής εξίσωσης ελεύθερων φορέων. Τέλος, παρουσιάζονται οι δύο τρόποι επίλυσης της συγκεκριμένης διαφορικής εξίσωσης που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα εργασία. 3.1 Κυματοδηγοί πυριτίου Τις τελευταίες δεκαετίες, η έρευνα στα μη γραμμικά οπτικά φαινόμενα έχει στραφεί προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση. Αυτή η κατεύθυνση προωθεί την εξέταση των μη γραμμικοτήτων σε διηλεκτρικές δομές με διατομές κλίμακας νανομέτρων. Οι μη γραμμικότητες που παρουσιάζουν αυτές οι δομές είναι αρκετά μεγάλες. Για αυτό το λόγο και επίσης καθώς, οι δομές αυτές είναι κλίμακας chip και το μήκος κύματος διάδοσης σε αυτές είναι συγκρίσιμο με τις διαστάσεις του κυματοδηγού, οι οπτικές ιδιότητες επηρεάζονται. Ως εκ τούτου, νέα φυσικά και οπτικά φαινόμενα κάνουν την εμφάνιση τους. Αυτή η κατεύθυνση έρευνας λοιπόν, έχει επικεντρωθεί στις δομές τεχνολογίας πυριτίου, οι οποίες παρουσιάζουν υψηλή συγκέντρωση του φωτός στο εσωτερικό τους και αποτελούν ένα σημαντικό στοιχείο στη διασύνδεση συστημάτων κυματοδήγησης οπτικών ινών. Για παράδειγμα, μπορεί μια τέτοια δομή να παρεμβληθεί μεταξύ δύο τμημάτων οπτικών ινών, έτσι ώστε να επιτελέσει κάποια συγκεκριμένη λειτουργία που απαιτεί το σύστημα. Οι δομές τεχνολογίας πυριτίου βασίζονται στην τεχνολογία πυριτίου-πάνω-σεδιηλεκτρικό (Si on Insulator, SOI) με ένα στρώμα οξειδίου περίπου ενός μm. Οι μονόρρυθμοι αυτοί κυματοδηγοί έχουν διαστάσεις ύψους nm και πλάτους nm. Τα μήκη τους φτάνουν τα μερικά δεκάδες εκατοστά. Η μελέτη αυτών των δομών βασίσθηκε στις πρόσφατες εξελίξεις στην ανάπτυξη των ενεργών φωτονικών δομών τεχνολογίας πυριτίου και την κατανόηση των νόμων της φυσικής που τις διέπουν. Η απαρχή του συγκεκριμένου τομέα έρευνας συνέβη πριν από περίπου δύο δεκαετίες. Την ίδια περίοδο παρουσιάστηκε και ο πρώτος κυματοδηγός πυριτίου. Στη συνέχεια, η έρευνα γύρω από την ενεργή [30]

35 φωτονική πυριτίου επικεντρώθηκε στην κατασκευή ηλεκτροπτικών διαμορφωτών μέσω της χρήσης ελεύθερων φορέων π.χ. έγχυση φορέων και θερμοοπτικών διαμορφωτών κάνοντας χρήση του ευνοϊκού από πολλές απόψεις, θερμο-οπτικού συντελεστή του πυριτίου. Στόχος αυτών των διαμορφωτών, όπως και των άλλων ενεργών και παθητικών οπτικών δομών τεχνολογίας πυριτίου, είναι η κατά το δυνατόν ελάττωση των διαστάσεων και της κατανάλωσης ισχύος, όπως επίσης και η αύξηση της απόκρισης συχνότητας, ούτως ώστε να επιτρέπεται η πλήρης ολοκλήρωση τους με ηλεκτρονικά πυριτίου. Όντως, λόγω των ευνοϊκών ηλεκτρονικών, οπτικών και φυσικών ιδιοτήτων του πυριτίου και της ώριμης πλέον τεχνολογίας κατασκευής μετάλλου-οξειδίου-ημιαγωγού (metal-oxidesemiconductor, CMOS), είναι πλέον δυνατή η ολοκλήρωση των δομών αυτών με μεγάλης κλίμακας οπτικές συσκευές, συμπεριλαμβανομένης και της ολοκλήρωσης με σχετικά περίπλοκα ηλεκτρονικά εξαρτήματα. Όλα τα παραπάνω έχουν προκαλέσει τη ραγδαία ανάπτυξη της φωτονικής τεχνολογίας πυριτίου. Οι γραμμικές και μη γραμμικές οπτικές ιδιότητες του κρυσταλλικού πυριτίου, το ανάγουν σε ιδανικό μέσο για ολοκληρωμένες φωτονικές δομές κλίμακας νανομέτρων. Πρώτον, το γεγονός ότι το πυρίτιο παρουσιάζει μεγάλο συντελεστή ανάκλασης ( ), σε συνδυασμό με περίβλημα χαμηλού δείκτη ( για τον αέρα ή για το διοξείδιο του πυριτίου), έχει ως συνέπεια την πολύ υψηλή συγκέντρωση του φωτός στον κυματοδηγό. Επιτυγχάνεται έτσι, σε πολύ ικανοποιητικό βαθμό η μείωση της διατομής των κυματοδηγών πυριτίου, έως και τα 0.1 μm 2. Αυτές οι δομές ονομάζονται φωτονικά καλώδια πυριτίου (Si photonic wires, SPWs) και ένα παράδειγμα τους απεικονίζεται στο Σχήμα 3.1. Η μείωση της διατομής σε κλίμακα νανομέτρων, η οποία είναι Σχήμα 3.1: Διατομή SPW και τρόπος διαδύνδεσης με οπτικές ίνες. δυνατή μόνο σε ένα μέσο με μεγάλη διαφορά των συντελεστών ανάκλασης, οδηγεί σε τρία πλεονεκτήματα ιδιαίτερης σημασίας: δυνατότητα διαχείρισης της διασποράς (Dispersion Engineering), υψηλή πυκνότητα οπτικού πεδίου και μια εγγενώς μικρή διάρκεια ζωής των φορέων. Το πυρίτιο διαθέτει μια ακόμα οπτική ιδιότητα, η οποία έχει επίδραση στη χρήση του στην μη γραμμική οπτική. Ειδικότερα, ενώ το πυρίτιο δεν έχει δεύτερης τάξης μη γραμμικότητα, διαθέτει μια εξαιρετικά μεγάλη τρίτης τάξης μη γραμμική οπτική επιδεκτικότητα κοντά στην υπέρυθρη περιοχή περίπου 2 τάξεις μεγέθους μεγαλύτερη από αυτή του [31]

36 διοξειδίου του πυριτίου. Αυτή η μεγάλη κυβική μη γραμμικότητα του πυριτίου, σε συνδυασμό με την δυνατή οπτική συγκέντρωση που προσφέρει, οδηγεί σε περαιτέρω ενίσχυση της ενεργού οπτικής μη γραμμικότητας. Αυτή η ενίσχυση οδηγεί με τη σειρά της σε χαμηλή απαίτηση οπτικής ισχύος ώστε να επιτυγχάνονται έντονα μη γραμμικά φαινόμενα, όπως σε κάθε μικρών διαστάσεων μη γραμμική οπτική δομή της τάξης των μερικών εκατοντάδων μικρομέτρων [5]. 3.2 Διασπορά κυματοδηγών πυριτίου Στη συνέχεια, θα αναλυθεί η διασπορά στα SPWs. Λόγω των διατομών κλίμακας νανομέτρων, οι ιδιότητες διασποράς τους διαφοροποιούνται σημαντικά από αυτές των κοινών οπτικών ινών, των ινών φωτονικού κρυστάλλου (photonic crystal fibers, PCFs) ή ακόμα και των κυματοδηγών πυριτίου με διατομές κλίμακας μικρομέτρων. Συγκεκριμένα, λόγω των πολύ μικρών διαστάσεων, η διασπορά τους ρυθμίζεται από την ακριβή γεωμετρία της διατομής. Αυτή η ιδιότητα οδηγεί στην δυνατότητα περιορισμού των βασικών χαρακτηριστικών διασποράς, όπως το GVD. Ας σημειωθεί ότι η ιδέα αυτή έχει συζητηθεί εκτενώς κυρίως στα πλαίσια των ινών με μεγάλο κοντράστ δεικτών διάθλασης. Στην περίπτωση αυτή, οι μεταβολές των διαστάσεων της διασποράς δεν εκδηλώνονται όπως στην περίπτωση των SPWs, αλλά παρόλα αυτά, τα μεγαλύτερα μήκη διάδοσης τις κάνουν σημαντικές. Γενικά, η δυνατότητα ελέγχου της διασποράς στα SPWs επηρεάζει με πολλούς τρόπους την εξέλιξη των παλμών, για παράδειγμα τη γένεση σολιτονιών, τη συμπίεση παλμών κτλ. Στην συνολική διασπορά ενός κυματοδηγού συνεισφέρουν δύο συνιστώσες, η διασπορά υλικού και κυματοδηγού. Αμφότερες οφείλουν την ύπαρξη τους στην εξάρτηση της ταχύτητας ομάδας από την συχνότητα. Η πρώτη εξαρτάται από το υλικό του μέσου στο οποίο διαδίδεται ο παλμός, ενώ η δεύτερη από τον ρυθμό του κυματοδηγού. Στα SPWs, η διασπορά υλικού είναι αρκετά μικρή και άρα η συνιστώσα που συνεισφέρει κυρίως στη συνολική διασπορά του κυματοδηγού είναι αυτή του κυματοδηγού Διασπορά υλικού Η διασπορά υλικού οφείλεται στην εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από το μήκος κύματος. Πιο συγκεκριμένα, στην προσπάθεια σύγκρισης της διασποράς υλικού στις διάφορες δομές, σημαντική κρίνεται η διάκριση των χαρακτηριστικών του πυριτίου και του διοξειδίου του πυριτίου. Για αυτό το λόγο, εισάγεται η προσεγγιστική σχέση του Sellmeier, η οποία δίνει τον δείκτη διάθλασης (3.1) [32]

37 με τρεις όρους του αθροίσματος να είναι συνήθως αρκετοί για να περιγράψουν τις πειραματικά υπολογισμένες μεταβολές του δείκτη διάθλασης στην υπέρυθρη περιοχή. Στον Πίνακα 3.1 παρουσιάζονται οι συντελεστές και που αντιστοιχούν στο πυρίτιο και στο διοξείδιο του πυριτίου και είναι έγκυροι για το εύρος μήκους κύματος από 1.2 μέχρι και 11 μm [7]. Επίσης να σημειωθεί ότι το μήκος κύματος λ εισάγεται σε μm. Στο Σχήμα 3.2 φαίνεται η σχέση του δείκτη διάθλασης των δύο υλικών με το μήκος κύματος στο εύρος από 1.2 έως και 1.8 μm. Ακριβώς στα 1.55 μm συνηθισμένη τιμή κεντρικού μήκους κύματος διάδοσης η τιμή του δείκτη διάθλασης είναι για το πυρίτιο και για το διοξείδιο του πυριτίου. Υλικό A 1 B 1 A 2 B 2 A 3 B 3 Si 1.066e e e Si e e e e Πίνακας 3.1: Συντελεστές Α j και Β j της σχέσης Sellmeier. Σχήμα 3.2: Δείκτης διάθλασης για το διοξείδιο του πυριτίου και το πυρίτιο συναρτήσει του μήκους κύματος ( μm), όπως προκύπτει από εφαρμογή της σχέσης του Sellmeier Συνολική διασπορά Λόγω των νανομετρικών διατομών, η διασπορά στα SPWs μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερη σε σχέση με αυτή που παρουσιάζουν οι ίνες. Αυτή η έντονη διασπορά κάνει δυνατή την αξιοποίηση των οπτικών ιδιοτήτων του παλμού σε μήκος κλίμακας μόλις ενός chip πυριτίου. Επίσης, υπονοείται ότι κατά την κυματοδήγηση ή τον σχεδιασμό της δομής χρειάζεται ιδιαίτερη προσοχή στην διαχείριση των χαρακτηριστικών της διασποράς των κυματοδηγών, ώστε να επιτευχθεί η προσδοκώμενη εξέλιξη των παλμών. Το γεγονός ότι η οπτική συγκέντρωση είναι υψηλή στους πολύ μικρών διαστάσεων κυματοδηγούς πυριτίου όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, επιτρέπει τον έλεγχο των ιδιοτήτων της διασποράς στη γεωμετρία του κυματοδηγού. Αυτό το χαρακτηριστικό γίνεται πιο εύληπτο μέσω της σύγκρισης των υπολογισμένων παραμέτρων διασποράς διαφορετικών τάξεων για διάφορους μονόρρυθμους [33]

38 κυματοδηγούς ποικίλων διαστάσεων. Για αυτή τη σύγκριση ας θεωρηθεί ο κυματοδηγός του Σχήματος 3.3, για τον οποίο θα θεωρηθεί ότι ο οπτικός άξονας συμπίπτει με τον κρυσταλλογραφικό άξονα. Στο Σχ. 3.3 παρουσιάζονται οι συντελεστές διασποράς μέχρι και τρίτης τάξης όπως ορίσθηκαν στην (2.14), όπως επίσης και ο ενεργός συντελεστής ανάκλασης για ένα εύρος μήκους κύματος από 1.3 μm μέχρι και 1.8 μm για τέσσερις διαφορετικές διαστάσεις κυματοδηγών [4]. Σχήμα 3.3: Καμπύλες του ενεργού δείκτη διάθλασης n eff και των συντελεστών διασποράς μέχρι και τρίτης τάξης συναρτήσει του μήκους κύματος για κυματοδηγούς τεσσάρων διαφορετικών διαστάσεων. Μπλε:, Πράσινο:, Κόκκινο:, Γαλάζιο:. Η ένθετη εικόνα είναι μια μεγεθυμένη άποψη της διασποράς δεύτερης τάξης, η οποία υποδεικνύει την γραμμή μηδενικής διασποράς. Επίσης, φαίνεται και η γεωμετρία του κυματοδηγού. Ο ενεργός συντελεστής δίνεται από την σχέση [34] (3.2) Επίσης να σημειωθεί, ότι οι γραμμικές απώλειες στην περίπτωση των κυματοδηγών πυριτίου είναι σημαντικά μεγαλύτερες σε σχέση με αυτές των ινών ( ). Οι τυπικές απώλειες, οι οποίες έχουν μετρηθεί, είναι για μήκος κύματος διάδοσης λ=1550 nm. Παρόλα αυτά, χαμηλότερες απώλειες με τιμή έχουν καταγραφεί. Κλείνοντας αυτή την ενότητα, σκόπιμο κρίνεται να δοθούν κάποιες τιμές των χαρακτηριστικών μηκών. Τα χαρακτηριστικά μήκη, όπως έχουν ορισθεί στο 2 ο κεφάλαιο, είναι ενδεικτικά μεγέθη της αλληλεπίδρασης της διασποράς και της μη γραμμικότητας. Με σκοπό την εκτίμηση της σημασίας αυτών των μεγεθών, αλλά και τη σύγκριση των SPWs με τις οπτικές ίνες, παρουσιάζονται στον Πίνακα 3.2 συγκεκριμένες τιμές των χαρακτηριστικών μηκών που προκύπτουν για = 200 fs και 10 ps για ένα SPW. Η περίπτωση στενού παλμού συγκρίνεται στη συνέχεια με αυτήν μιας τυπικής μονόρρυθμης ίνας. Οι τιμές 10 mm και 11 mm,

39 βασίζονται σε υπολογισμούς και μετρήσεις για κυματοδηγό διατομής 220 nm x 450 nm. Διασπορά και μη γραμμικοί παράμετροι SPW =200 fs SPW =10 ps Οπτική ίνα =200 fs 1 cm 25 m 2 m 1 cm 2.5 km 80 m για =0.2W 8 mm 8 mm 2 km γ (m -1 W -1 ) 6 x x x 10-3 Πίνακας 3.2: Σύγκριση των χαρακτηριστικών μηκών για πολύ στενούς (200 fs) και ευρείς (10 ps) παλμούς και η παράμετρος γ σε ένα SPW (h x w=220 x 450 nm 2 ) και σε μία μονόρρυθμη οπτική ίνα για λ=1550 nm. Μια εξέταση του Πίνακα 3.2 δείχνει τις σημαντικές διαφορές μεταξύ της διάδοσης ενός παλμού σε οπτική ίνα και σε SPW. Πρώτον, τα SPWs έχουν μήκη διασποράς και τα οποία είναι δύο τάξεις μεγέθους μικρότερα από εκείνα των οπτικών ινών. Επίσης, το μη γραμμικό μήκος ενός κυματοδηγού είναι αρκετές τάξεις μεγέθους μικρότερο από εκείνο των οπτικών ινών, για μια τυπική μέγιστη ισχύ μερικών δεκάτων του W. Το μικρό μη γραμμικό μήκος προκύπτει λόγω της υψηλής μη γραμμικής παραμέτρου γ, η οποία είναι περίπου 10 5 μεγαλύτερη στα SPWs σε σχέση με τις οπτικές ίνες. Επιπρόσθετα, τα μήκη διασποράς εξαρτώνται και από το εύρος του παλμού. Συνεπώς, το μήκος διασποράς για ένα τυπικό παλμό μερικών picoseconds είναι αρκετές τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο από εκείνο ενός παλμού μερικών femtoseconds. Παρόλα αυτά, το μη γραμμικό μήκος είναι ίδιο για στενούς και ευρείς παλμούς, δεδομένου ότι η ισχύς του παλμού είναι η ίδια. Επομένως, σε πολύ στενούς παλμούς, τα γραμμικά και μη γραμμικά οπτικά φαινόμενα μπορούν να παρατηρηθούν καλύτερα, εάν οι τιμές του μήκους διασποράς και του μη γραμμικού μήκους επιλεχθούν να είναι συγκρίσιμα με το μήκος του κυματοδηγού. 3.3 Μη γραμμικά φαινόμενα Έπειτα από την ανάλυση των οπτικών ινών, θα πρέπει να τονισθεί στον αναγνώστη ότι τα υλικά και οι εξισώσεις διάδοσης παρουσιάζουν σημαντικές διαφορές από αυτές των κυματοδηγών πυριτίου. Πρώτον, η κρυσταλλικότητα του πυριτίου απαιτεί τον χειρισμό των οπτικών ιδιοτήτων ως διανύσματα. Αυτή η απαίτηση καθιστά την μη γραμμική οπτική επιδεκτικότητα μια πιο φυσική παράμετρο σε σχέση με τις γνώριμες βαθμωτές μη γραμμικές παραμέτρους που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τις ίνες. Δεύτερον, η υψηλή συγκέντρωση στους κυματοδηγούς πυριτίου προκαλεί την εξάρτηση της ταχύτητας ομάδας από την διατομή να παρουσιάζει αρκετά διαφορετική συμπεριφορά σε σχέση με εκείνης σε ένα bulk μέσο. Το bulk μέσο είναι ένα ομογενές, μη γραμμικό μέσο χωρίς κάποια συγκεκριμένη γεωμετρική διαμόρφωση και αναφέρεται σε αντιδιαστολή με τους [35]

40 κυματοδηγούς. Τέλος, η εξάρτηση των οπτικών ιδιοτήτων από το μήκος κύματος του κυματοδηγού είναι πολύ πιο έντονη σε σχέση με τις ίνες. Αυτή η εξάρτηση μπορεί να κάνει τον υπολογισμό της μη γραμμικής διάδοσης να πάρει αρκετά διαφορετικό χαρακτήρα από εκείνο των ινών Απορρόφηση δύο φωτονίων Για μήκη κύματος <2.2 μm, το πυρίτιο εμφανίζει ένα καινούριο μη γραμμικό φαινόμενο, την απορρόφηση δύο φωτονίων (Two-Photon Absorption, TPA). Το καινούριο αυτό φαινόμενο αποτελεί έναν μη-γραμμικό μηχανισμό απωλειών, του οποίου η ένταση εξαρτάται από την ισχύ. Στο φαινόμενο αυτό απορροφούνται δύο φωτόνια με συνολική ενέργεια μεγαλύτερη ή ίση του ενεργειακού διακένου, με αποτέλεσμα τη διέγερση μορίου σε ανώτερη ενεργειακή στάθμη. Το TPA κάνει την εμφάνιση του μέσω της παραμέτρου γ, και άρα μέσω της επιδεκτικότητας τρίτης τάξης του πυριτίου. Η παράμετρος γ στην περίπτωση των κυματοδηγών πυριτίου έχει και φανταστικό μέρος αντίθετα από τις οπτικές ίνες, μέσω του οποίου εκφράζεται το φαινόμενο TPA. Δηλαδή, το πραγματικό μέρος συνδέεται με τον συντελεστή Kerr και το φαινόμενο SPM, ενώ το φανταστικό μέρος συνδέεται με τον συντελεστή και το φαινόμενο TPA. Το πραγματικό και φανταστικό μέρος του γ δίνονται στο Σχήμα 3.3 για τις περιπτώσεις δύο κυματοδηγών Φαινόμενα ελεύθερων φορέων Για μια πλήρη περιγραφή της εξέλιξης ενός οπτικού παλμού σε ένα κυματοδηγό πυριτίου, είναι απαραίτητο να συμπεριληφθεί ο σχηματισμός ελεύθερων φορέων λόγω TPA. Αυτοί οι φορείς αλληλεπιδρούν με τον εκπεμπόμενο παλμό είτε προσθέτοντας γραμμική απορρόφηση μέσω της απορρόφησης ελεύθερων φορέων (Free-Carrier Absorption, FCA), είτε προκαλώντας μεταβολή στον δείκτη διάθλασης εξαρτώμενη από το μήκος κύματος μέσω της διασποράς ελευθέρων φορέων (Free-Carrier Absorption, FCD). Σχήμα 3.4: Πραγματικό και φανταστικό μέρος του γ συναρτήσει του μήκους κύματος, υπολογισμένα όταν μόνο η διασπορά κυματοδηγού λαμβάνεται υπόψη (λεπτές γραμμές) και όταν και η διασπορά κυματοδηγού και υλικού λαμβάνεται υπόψη (παχιές γραμμές) [5]. [36]

41 3.3.3 Μαθηματικά μοντέλα NLSE Πρώτο μοντέλο Η πλήρης κατανόηση των γραμμικών και μη γραμμικών οπτικών ιδιοτήτων των SPWs απαιτεί την περιγραφή της μορφής του οπτικού πεδίου κατά τη διάδοση σε αυτές τις δομές και συνάμα τις πολύπλοκες αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ελεύθερων φορέων που έχουν σχηματιστεί και του διαδιδόμενου οπτικού πεδίου. Για αυτό το λόγο εισάγεται μία καινούρια παράμετρος Γ, η οποία συνδέεται με την επιδεκτικότητα τρίτης τάξης. Tο πραγματικό και φανταστικό μέρος της Γ δίνονται από τις σχέσεις (3.3) Επίσης, η παράμετρος Γ συνδέεται και με την παράμετρο γ η οποία στις οπτικές ίνες δίνεται από την (2.16) ενώ στην περίπτωση των κυματοδηγών πυριτίου παίρνει την μορφή (3.4) όπου είναι η επιφάνεια του πυρήνα του κυματοδηγού. Αυτή η διαφορά των παραμέτρων γ για τα δύο μέσα διάδοσης προκύπτει από τα διαφορετικά χαρακτηριστικά των συντελεστών ανάκλασης για κυματοδηγούς με μεγάλη και μικρή διατομή. Σε τυπικές περιπτώσεις, ο συντελεστής ομάδας, ο οποίος είναι ανάλογος του, αυξάνεται καθώς η διατομή ελαττώνεται, όπως φαίνεται στο Σχ. 3.2 για λ<1.58 μm. Αυτή η αύξηση του οδηγεί σε μείωση της ταχύτητας ομάδας, η οποία προσφέρει περαιτέρω ενίσχυση της ενεργού μη γραμμικότητας, επιπροσθέτως της επίδρασης του μειωμένου. Ας σημειωθεί επίσης ότι σε κυματοδηγούς με μικρή διατομή και υψηλή διαφορά των δεικτών διάθλασης, το γ εξαρτάται από τον δείκτη ομάδας και όχι από τον ενεργό δείκτη (δείκτης ρυθμού). Η εξίσωση διάδοσης παλμών δίνεται από (3.5) Στην παραπάνω εξίσωση έχει θεωρηθεί η κανονικοποιημένη συνάρτηση της (2.41) και έχει γίνει και ο μετασχηματισμός της (2.18). Η παράμετρος δίνεται από την (3.6) [37]

42 όπου το δηλώνει ολοκλήρωση σε όλο το εγκάρσιο επίπεδο και είναι το προφίλ του ηλεκτρικού πεδίου του ρυθμού. Επίσης, ισχύει εντός του κυματοδηγού ενώ εκτός του κυματοδηγού, όπου το δηλώνει τον συντελεστή διάθλασης του πυριτίου και τον συντελεστή διάθλασης του περιβλήματος, δηλαδή είτε του αέρα, είτε του οξειδίου. Η παραπάνω σχέση αποκαλύπτει ότι μόνο ένα μέρος της οπτικής ισχύος του ρυθμού παράγει φορείς. Αυτό το φαινόμενο είναι άμεση συνέπεια του ότι το προφίλ του ρυθμού μόνο μερικώς καλύπτει τον πυρήνα του κυματοδηγού. Για παράδειγμα, οι υπολογισμοί που έχουν γίνει δείχνουν ότι για τυπικά SPWs ισχύει. Οι συντελεστές και προκύπτουν σύμφωνα με τις σχέσεις (3.7) (3.8) To είναι η μεταβολή του δείκτη διάθλασης λόγω των ελεύθερων φορέων, το είναι ο συντελεστής απορρόφησης των ελεύθερων φορέων, το είναι η απόλυτη τιμή του ηλεκτρικού φορτίου του ηλεκτρονίου και το είναι η πυκνότητα των φορέων. Οι ενεργές μάζες του ηλεκτρονίου και της οπής ορίζονται και, αντίστοιχα, όπου η μάζα του ηλεκτρονίου. Επίσης, και είναι η κινητικότητα του ηλεκτρονίου και της οπής, αντίστοιχα, και τυπικές τιμές για το πυρίτιο σε θερμοκρασία δωματίου (300 Κ) είναι 1400 cm 2 /(Vs) και 450 cm 2 /(Vs), αντίστοιχα. Ας σημειωθεί ότι στην (3.7) και (3.8) υποτίθεται ότι η πυκνότητα των ηλεκτρονίων και των οπών είναι ίση και ακόμη, ότι ενώ το είναι αδιάστατο, το έχει μονάδες μέτρησης τα cm -1. Οι (3.7) και (3.8) αποτελούν το μοντέλο προσδιορισμού των συντελεστών FCD και FCA του Drude. Η προκαλούμενη λόγω TPA πυκνότητα ελευθέρων φορέων δίνεται από την διαφορική εξίσωση ρυθμού μεταβολής (3.9) όπου είναι η σταθερά Dirac και είναι η διάρκεια ζωής των φορέων, η οποία παίρνει τιμές μεταξύ ns. Η σταθερά Dirac προκύπτει με τη βοήθεια της σταθεράς Planck h, μέσω της σχέσης [5]. [38]

43 Σχήμα 3.5: Τιμές των παραμέτρων και συναρτήσει του μήκους κύματος. Για την ερμηνεία των ποικίλων καμπυλών ο αναγνώστης παραπέμπεται στο [4] Δεύτερο μοντέλο Παρόλο που οι (3.5) και (3.9) περιγράφουν πλήρως τη διάδοση των παλμών στους κυματοδηγούς πυριτίου, υπάρχει ένα εναλλακτικό σετ εξισώσεων που μπορεί να χρησιμοποιηθεί. Για αυτό το δεύτερο μοντέλο, η NLSE παίρνει την παρακάτω μορφή [4] (3.10) όπου είναι ο συντελεστής Kerr -που παρουσιάσθηκε στην (2.16). Η αδιάστατη παράμετρος ελέγχει το φαινόμενο TPA και δίνεται από την (3.11) όπου είναι ο συντελεστής TPA. Τυπικές τιμές των παραμέτρων και που έχουν υπολογιστεί με διάφορες μεθόδους παρουσιάζονται στο Σχήμα 3.5. Εισάγεται επίσης, η παράμετρος, η οποία αποτελεί τον συντελεστή FCA, όπως επίσης και η αδιάστατη παράμετρος, η οποία ελέγχει την επίδραση του FCD. Οι δύο αυτοί παράμετροι προκύπτουν με τη βοήθεια ενός εναλλακτικού μοντέλου προσδιορισμού των συντελεστών FCA και FCD. Το συγκεκριμένο μοντέλο προέκυψε καθώς αυτό του Drude δεν προσφέρει ιδιαίτερη ακρίβεια στην πρόβλεψη των συντελεστών. Για αυτό το λόγο προέκυψε ένα εμπειρικό μοντέλο, το μοντέλο Soref [9,11,12]. Για το πυρίτιο και μήκος κύματος διάδοσης στα 1.55 μm, οι συντελεστές FCD και FCA δίνονται από (3.12) [39]

44 (3.13) ότι και Κάνοντας τους απαραίτητους συσχετισμούς με την (3.10), εύκολα προκύπτει (3.14) (3.15) Η παράμετρος εξαρτάται από την πυκνότητα των φορέων, μέσω της εξάρτησης της από την παράμετρο. Στο Σχήμα 3.6 φαίνονται οι τιμές του,,, μ συναρτήσει της πυκνότητας των φορέων για ένα συγκεκριμένο εύρος τιμών. Σε αυτό το μαθηματικό μοντέλο NLSE, η πυκνότητα ελεύθερων φορέων δίνεται από (3.16) όπου είναι η σταθερά Planck. Ας σημειωθεί ότι το συγκεκριμένο σετ εξισώσεων χρησιμοποιεί το ηλεκτρομαγνητικό πεδίο όπως δίνεται από την (2.10) και όχι κάποια κανονικοποιημένη εκδοχή του. Επίσης, έχει γίνει ο μετασχηματισμός της (2.18). Σχήμα 3.6: Παράμετρος και μ για ένα εύρος τιμών της πυκνότητας των φορέων. Τα δύο σετ εξισώσεων, είτε οι (3.5) και (3.9), είτε οι (3.10) και (3.16) απαρτίζουν το βασικό θεωρητικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για την διερεύνηση μιας σειράς γραμμικών και μη γραμμικών οπτικών φαινομένων, τα οποία χαρακτηρίζουν την διάδοση των οπτικών παλμών στα SPWs. [40]

45 3.3.4 Self-steeping Ένα τελευταίο φαινόμενο που πρέπει να συμπεριληφθεί για να ολοκληρώσει την ανάλυση είναι το self-steeping. Το self-steeping αναλύθηκε στην ενότητα για την περίπτωση των ινών. Στους κυματοδηγούς πυριτίου όμως, αποκτά μια άλλη διάσταση. Υπενθυμίζεται στον αναγνώστη ότι το self-steeping απορρέει από την εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση του παλμού, δηλαδή την οπτική ισχύ. Άρα, διαφορετικές χρονικές περιοχές του παλμού παρουσιάζουν διαφορετικό δείκτη διάθλασης και για αυτό η μεταβολή της ταχύτητας ομάδας των φασματικών συνιστωσών του παλμού εξαρτώνται από την ισχύ κάθε σημείου του παλμού. Ως αποτέλεσμα, ο παλμός παραμορφώνεται κατά τη διάδοση του, επίδραση που είναι εντονότερη για φασματικά ευρύτερους παλμούς. Για να συμπεριληφθεί και η εξάρτηση του μη γραμμικού συντελεστή από την συχνότητα, αρκεί στο ανάπτυγμα Taylor που είχε θεωρηθεί για το γ στην (2.15) να μην ληφθεί υπόψη μόνο ο πρώτος όρος, αλλά και ο δεύτερος. Κατά αυτό τον τρόπο, η (3.5) τροποποιείται ως εξής [1, 5] (3.17) όπου (3.18) και το όπως ορίσθηκε από την (3.4). H (3.17) παίρνει την μορφή (3.19) όπου χρόνο shock. Η ισχύς του self-steeping καθορίζεται από τον χαρακτηριστικό, ορισμένο ως (3.20) όπου το σχετίζεται με την εξαρτώμενη από την συχνότητα απόκριση της μη γραμμικότητας σε bulk κρύσταλλο και το ποσοτικοποιεί την [41]

46 συνεισφορά του κυματοδηγού συμπεριλαμβάνοντας και εκείνη από την τρίτης τάξης επιδεκτικότητα. Για τις οπτικές ίνες, το αγνοείται, αφού σε αυτή την περίπτωση η εξάρτηση των και από την συχνότητα είναι αμελητέες. Για την ποσοτικοποίηση του μεγέθους του self-steeping στους κυματοδηγούς πυριτίου, θα πρέπει να καθοριστεί ο χαρακτηριστικός χρόνος shock, μέσω του υπολογισμού της συχνοτικής διασποράς του. Ως ένα γενικό παράδειγμα, θεωρείται ένας κυματοδηγός με διαστάσεις, για τον οποίο προσδιορίζεται η σχέση εξάρτησης και στην συνέχεια υπολογίζεται ο με αριθμητική διαφόριση. Τα αποτελέσματα αυτής της προσέγγισης συνοψίζονται στο Σχήμα 3.7. Το αξιοσημείωτο συμπέρασμα που εξάγεται από αυτό το σχήμα, είναι ότι για τους κυματοδηγούς πυριτίου, ο χαρακτηριστικός χρόνος shock μπορεί να φτάσει μέχρι και τα 25 fs, δηλαδή περισσότερο από μία τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από τις ίνες. Υπενθυμίζεται ότι στην ενότητα 2.6.1, ο. Στην γειτονιά του μήκους κύματος αποκοπής, λαμβάνει ιδιαίτερα υψηλές τιμές, κυρίως γιατί ο ρυθμός του κυματοδηγού προκύπτει λιγότερο συγκεντρωμένος στον πυρήνα του πυριτίου. Επιπρόσθετα, ο έχει ένα υπολογίσιμο φανταστικό μέρος για τους κυματοδηγούς πυριτίου, αντίθετα με την περίπτωση των ινών, ο οποίος αναχαιτίζει τη φασματική διασπορά λόγω TPA. Σχήμα 3.7: Πραγματικό μέρος του, υπολογισμένο σε δύο περιπτώσεις: στην διακεκομμένη καμπύλη αγνοείται η συχνοτική εξάρτηση της διαπερατότητας τρίτης τάξης ενώ στην συνεχόμενη λαμβάνεται υπόψη. Στο ένθετο, απεικονίζεται το φανταστικό μέρος του συναρτήσει του μήκους κύματος. 3.4 Μέθοδοι επίλυσης της εξίσωσης των φορέων Όπως αναφέρθηκε και παραπάνω, η μη γραμμική εξίσωση διάδοσης παλμών (3.5) ή (3.10) συνοδευόμενη από την εξίσωση των ελεύθερων φορέων (3.9) ή (3.16) παρέχουν μια πλήρη εικόνα του προβλήματος της διάδοσης ενός παλμού σε κυματοδηγό πυριτίου. Η λύση της NLSE αναλύθηκε εκτενώς στην ενότητα 2.2. Σε αυτήν την ενότητα θα παρουσιαστούν οι μέθοδοι επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης των ελεύθερων φορέων. [42]

47 3.4.1 Μέθοδος αναλυτικής επίλυσης Η (3.16) είναι γραμμική, πρώτης τάξης με μη σταθερούς συντελεστές διαφορική εξίσωση της μορφής (3.21) της οποίας η λύση είναι (3.22) όπου. Άρα η γενική λύση της (3.16) προκύπτει (3.23) Το c δηλώνει την αρχική κατάσταση των φορέων, η οποία εξαρτάται από πολλούς παράγοντες και υπολογίζεται συναρτήσει του εκάστοτε προβλήματος. Στην παρούσα εργασία τα ολοκληρώματα υπολογίζονται με rectangle method. Ομοίως λύνεται και η (3.9) Μέθοδος με χρήση του μετασχηματισμού Fourier Ο δεύτερος τρόπος που μπορεί να λυθεί η (3.16) κάνει χρήση του μετασχηματισμού Fourier. Εάν μεταφερθεί λοιπόν η (3.16) στο πεδίο των συχνοτήτων εύκολα προκύπτει (3.24) όπου. Προφανώς, από την (3.22) προκύπτει (3.25) και άρα απλά με έναν αντίστροφο μετασχηματισμό της (3.25) προκύπτει η πυκνότητα των ελεύθερων φορέων. Επίσης να σημειωθεί ότι η (3.16) εξαρτάται και από την απόσταση z, αλλά αφού λύνεται σε κάθε βήμα της split-step Fourier, το z θεωρείται σταθερό. Οι δύο παραπάνω μέθοδοι ικανοποιούν πληθώρα προβλημάτων. Κάθε μία όμως παρουσιάζει ιδιαίτερα πλεονεκτήματα σε συγκεκριμένες εφαρμογές και άρα [43]

48 προτιμάται, αναλόγως του προβλήματος. Ειδικότερα, όταν η διάδοση αφορά έναν μονό παλμό, κατάλληλη είναι η αναλυτική μέθοδος. Οι υπόλοιποι παλμοί που πιθανόν να διαδίδονται πριν ή μετά τον συγκεκριμένο παλμό, δεν επηρεάζουν την διάδοση του και άρα η αρχική κατάσταση της πυκνότητας των φορέων c είναι ίση με το μηδέν. Αντίθετα, σε περίπτωση παλμοσειράς, όπου είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη η επίδραση των παλμών που προηγήθηκαν όσο αναφορά την αρχική κατάσταση του παλμού που εξετάζεται καταλληλότερη κρίνεται η μέθοδος που κάνει χρήση του μετασχηματισμού Fourier. Αυτό συμβαίνει γιατί ο μετασχηματισμός Fourier, καθώς αποτελεί περιοδική διαδικασία, εγγενώς λαμβάνει υπόψη την κατάσταση του παλμού που προηγήθηκε. Στο επόμενο κεφάλαιο θα γίνει και μια προσπάθεια σύγκρισης των δύο μεθόδων, όπου και θα αποδειχθεί πως δεν παρουσιάζουν καμία απόκλιση. [44]

49 Κεφάλαιο 4 ο Διάδοση παλμών σε κυματοδηγούς πυριτίου Αφού παρουσιάσθηκαν τα φαινόμενα και το μαθηματικό πλαίσιο που συνοδεύουν τους κυματοδηγούς πυριτίου, εξετάζεται στο παρόν κεφάλαιο η επίδραση τους στη διάδοση των παλμών. Αρχικά, θα εξεταστεί η εξέλιξη ενός μονού παλμού, στο πεδίο της συχνότητας. Στη συνέχεια, θα αναλυθεί η εξέλιξη μιας παλμοσειράς, έτσι ώστε να ληφθούν υπόψη οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των παλμών. Οι αλληλεπιδράσεις αυτές, εξαρτώνται από τον ρυθμό επανάληψης των παλμών. Τέλος, θα παρουσιαστεί η επίδραση της διασποράς τρίτης τάξης και του self-steeping, στην περίπτωση των κυματοδηγών πυριτίου. 4.1 Διάδοση παλμού και ελεύθεροι φορείς Επίδραση των ελευθέρων φορέων Στους κυματοδηγούς πυριτίου όπως έχει αναφερθεί καινούρια φαινόμενα κάνουν την εμφάνιση τους, ενώ τα ήδη υπάρχοντα αλλάζουν χαρακτήρα. Για την καλύτερη κατανόηση της επίδρασης όλων αυτών των φαινομένων στην περίπτωση των κυματοδηγών πυριτίου, θα εξετασθούν τα αποτελέσματα τους μεμονωμένα και συνολικά. Αρχικά, θα πραγματοποιηθεί ανάλυση με βάση το σετ εξισώσεων (3.10) και (3.16). Κάποιες από τις παραμέτρους που χρησιμοποιούνται στο συζευγμένο σετ εξισώσεων, εξαρτώνται από το κεντρικό μήκος κύματος, το οποίο ορίζεται στα 1.55 μm. Η επιλογή αυτής της φασματικής περιοχής είναι ιδιαίτερα συνηθισμένη σε τηλεπικοινωνιακές εφαρμογές. Σε αυτό το μήκος κύματος, και, τα οποία οδηγούν σε, βάσει της (3.11). Η παράμετρος εκτιμάται κάνοντας χρήση της με και. Η τιμή της υπολογίζεται κοντά στο 7.5 [4]. Μια σχετικά μεγάλη τιμή του υποδεικνύει ότι το φαινόμενο FCD είναι σημαντικό για τους κυματοδηγούς πυριτίου και πρέπει να ληφθεί υπόψη. Επίσης, ας σημειωθεί ότι οι ενεργές τιμές αυτών των παραμέτρων μπορεί να μεταβληθούν για κυματοδηγούς μικρών διαστάσεων. Γενικά, οι (3.10) και (3.16) απαιτούν αριθμητική λύση. Παρόλα αυτά, υπό ορισμένες συνθήκες είναι δυνατή μια προσεγγιστική αναλυτική λύση. Αυτό μπορεί να προκύψει, πρώτον, εάν τα φαινόμενα διασποράς αγνοηθούν, όπως συμβαίνει για παλμούς εύρους μερικών picoseconds. Τότε το μήκος του κυματοδηγού είναι τυπικά αρκετά μικρότερο από το μήκος διασποράς και άρα εμπίπτει στην περίπτωση (iii) που είχε παρουσιαστεί στην αρχή της ενότητας 2.3. Δεύτερον, εάν [45]

50 υποτεθεί ότι ο ρυθμός επανάληψης (repetition rate) είναι χαμηλός ( ) και επίσης, η ένταση δεν είναι ιδιαίτερα υψηλή, η πυκνότητα των φορέων που δημιουργούνται, παραμένει σε χαμηλά επίπεδα και τα φαινόμενα FCA και FCD μπορούν να αγνοηθούν. Πιο συγκεκριμένα, το θεωρείται αμελητέο, όταν η μέγιστη πυκνότητα έντασης του προσπίπτοντος παλμού ικανοποιεί την συνθήκη. Για παράδειγμα, για. Εάν τεθεί, και στην (3.3) προκύπτει [4] (4.1) Αντικαθιστώντας με προς την ένταση και τη φάση, προκύπτει και λύνοντας τις εξισώσεις ως (4.2) (4.3) όπου το δίνεται από την (2.61). Η παραπάνω λύση δείχνει το πώς επηρεάζεται η ένταση και η μη γραμμική φάση από την παράμετρο TPA,. Στο όριο (δηλαδή άνευ TPA), προκύπτει το τυπικό αποτέλεσμα που ισχύει για τις οπτικές ίνες, δηλαδή η μέγιστη μη γραμμική μεταβολή της φάσης ισούται με, όπως εξάγεται με τη βοήθεια των (2.16) και (2.62). Το δηλώνει την πυκνότητα μέγιστης ισχύος του προσπίπτοντος παλμού και εκφράζεται ως. Παρουσία TPA, η μεταβολή της φάσης στο κέντρο του παλμού παρουσιάζει την μορφή του Σχήματος 4.1(α). (α) (β) Σχήμα 4.1: (α) Η μη γραμμική μεταβολή φάσης φ 0 στο κέντρο του παλμού (Τ=0) λόγω TPA για φ max =π, 2π, 3π. (β) Η φ 0 συναρτήσει της φ max για r=0, 0.1. Για αρχή, θα εξετασθεί η επίδραση του TPA στην φάση του παλμού. Στο Σχήμα 4.1(α) απεικονίζεται η μεταβολή της μη γραμμική φάσης συναρτήσει του [46]

51 συντελεστή για τρεις τιμές της. Όπως είναι αναμενόμενο, το TPA μειώνει τη μεταβολή της φάσης λόγω SPM και αυτή η μείωση γίνεται πιο έντονη σε υψηλότερα επίπεδα ισχύος, λόγω της λογαριθμικής σχέσης της με την ένταση. Αυτή η λογαριθμική σχέση φαίνεται στο Σχ. 4.1 (β), όπου απεικονίζεται η συναρτήσει της χρησιμοποιώντας (η υπολογισμένη τιμή του πυριτίου στα 1.55 μm) και συγκρίνεται με την γραμμική αύξηση, όπου. Όπως γίνεται ξεκάθαρο από το Σχήμα 4.1, η μη γραμμική μεταβολή φάσης περιορίζεται σοβαρά από το TPA, ειδικά σε υψηλά επίπεδα εντάσεως. Στην συνέχεια, η ανάλυση επικεντρώνεται στην περίπτωση που το επίπεδο ισχύος είναι αρκετά υψηλό, έτσι ώστε οι σχηματιζόμενοι λόγω TPA φορείς και τα συσχετιζόμενα με αυτούς φαινόμενα, FCA και FCD, να μην μπορούν να αμεληθούν. Για αυτό το λόγο, επιλύονται αριθμητικά οι συζευγμένες (3.10) και (3.16) για έναν κυματοδηγό μήκους με τα εξής χαρακτηριστικά: συντελεστής γραμμικών απωλειών και συντελεστής διασποράς δεύτερης τάξης. Οι παλμοί θεωρούνται Γκαουσιανοί με κεντρικό μήκος κύματος τα 1.55 μm και. Να σημειωθεί επίσης ότι σε αυτή την παράγραφο, ο ρυθμός επανάληψης των παλμών κρατείται χαμηλός, έτσι ώστε οι ελεύθεροι φορείς που σχηματίζονται κατά τη διάρκεια του παλμού, να έχουν στην διάθεση τους αρκετό χρόνο να επανασυνδεθούν πριν αφιχθεί ο επόμενος παλμός. (α) (β) Σχήμα 4.2: Φάσμα παλμού στην έξοδο ενός κυματοδηγού 2cm για τιμή ισχύος εισόδου τέτοια ώστε (α) φ max =1.5π και (β) φ max =7.5π. Τα φαινόμενα που λαμβάνονται υπόψη είναι για την μπλε καμπύλη: ούτε το TPA, ούτε τα φαινόμενα των φορέων, για την πράσινη: το TPA και όχι τα φαινόμενα των φορέων, για την κόκκινη: όλα. Όλα τα παραπάνω εφαρμόζονται έτσι ώστε να εξαχθούν τα διαγράμματα (α) και (β) του Σχήματος 4.2. Σε αυτό απεικονίζονται τα φάσματα δύο παλμών, τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετική τιμή μέγιστης έντασης παλμού εισόδου. Το διάγραμμα (α) αντιστοιχεί σε, ενώ το (β) σε. Κάθε διάγραμμα περιέχει τρεις καμπύλες, οι οποίες αντιστοιχούν σε τρεις περιπτώσεις: i. το TPA δεν λαμβάνεται υπόψη, [47]

52 ii. το TPA ( ) λαμβάνεται υπόψη, αλλά όχι τα φαινόμενα ελεύθερων φορέων και iii. όλα τα φαινόμενα λαμβάνονται υπόψη. Ας σημειωθεί, ότι η κανονικοποιήση της έντασης του φάσματος που έχει γίνει προκύπτει με μια απλή επαγωγική σκέψη. Ενώ στα προηγούμενα διαγράμματα απεικονίζονταν το φάσμα, στο παραπάνω απεικονίζεται το φάσμα ως προς το μήκος κύματος, δηλαδή το για το οποίο ισχύει. (4.4) Μετατρέποντας λοιπόν, την συχνότητα σε κυκλική συχνότητα προκύπτει η σχέση (4.5) η οποία χρησιμοποιείται στα Σχ.4.2 και 4.3. Το έχει μονάδες μέτρησης. Η μονάδα μέτρησης των second εισήχθηκε από τον μετασχηματισμό Fourier και το υψώθηκε στο τετράγωνο, καθώς απεικονίζεται το τετράγωνο του φάσματος. Άρα για το η μονάδα μέτρησης είναι ή αλλιώς. Σε πρώτο στάδιο, παρατηρώντας το Σχ. 4.2 εύκολα εξάγονται κάποια αρχικά συμπεράσματα. Το φαινόμενο TPA γίνεται αρκετά έντονο για τον παλμό με, τόσο ώστε το φασματικό του πλάτος να μειωθεί από τα 5 σε <2 nm, δηλαδή εμποδίζεται η φασματική διεύρυνση λόγω SPM. Ας σημειωθεί επίσης, ότι το αναλυτικό μοντέλο των (4.2) και (4.3), προσφέρει μια καλή εκτίμηση του φασματικού εύρους, ακόμα και όταν το επίπεδο της ισχύος είναι υψηλό, δηλαδή όταν ο αριθμός των ελεύθερων φορέων δεν είναι αμελητέος. Αυτό συμβαίνει, καθώς οι ελεύθεροι φορείς που αμελούνται στο αναλυτικό αυτό μοντέλο επιδρούν κυρίως στη μορφή του φάσματος και όχι στο εύρος του. Άρα, η (4.3) θεωρείται ακριβής για την αναλυτική πρόβλεψη του φασματικού εύρους. Επίσης, στο (α) η επίδραση των FCA και FCD είναι σχετικά μικρή, σε σχέση με αυτή στο (β), όπου ο παλμός επηρεάζεται σε μεγαλύτερο βαθμό. Παρατηρώντας προσεκτικότερα το Σχ. 4.2, ένα χαρακτηριστικό εξέχουσας σημασίας που αξίζει να τονισθεί, είναι ότι ενώ το TPA αφήνει το φάσμα του παλμού συμμετρικό, οι ελεύθεροι φορείς που σχηματίζονται λόγω TPA, προκαλούν μια έντονη ασυμμετρία. Συγκεκριμένα, οι φορείς επηρεάζουν κυρίως το «κόκκινο» κομμάτι του φάσματος δηλαδή το κομμάτι των μεγαλύτερων μηκών κύματος, ενώ αφήνουν το «μπλε» κομμάτι αναλλοίωτο, για επίπεδα χαμηλής εντάσεως. Το ερώτημα που τίθεται σε αυτό το σημείο, είναι εάν αυτή η ασυμμετρία εισάγεται από το FCA, το FCD ή και από τα δύο. Η απάντηση βρίσκεται στο Σχήμα 4.3(α), όπου φαίνεται το φάσμα στο επίπεδο ισχύος των 12.5 στις τρεις παρακάτω περιπτώσεις: i. μόνο το TPA λαμβάνεται υπόψη, ii. μόνο το TPA και το FCA λαμβάνονται υπόψη και iii. όλα τα φαινόμενα λαμβάνονται υπόψη. Προφανώς, το φάσμα γίνεται στενότερο και ασύμμετρο, όταν το FCA συμπεριλαμβάνεται, ενώ όχι το FCD ( ). Η επίδραση του FCD ( ) πάνω [48]

53 στον παλμό είναι η φασματική του διεύρυνση και η μετατόπιση του προς το «μπλε» κομμάτι. Για βαθύτερη κατανόηση όλων αυτών των διενεργειών, απεικονίζεται στο Σχ.4.3(β), η μη γραμμική μεταβολή της φάσης κατά μήκος του παλμού στις τρεις περιπτώσεις που ορίσθηκαν παραπάνω. Το προφίλ της φάσης είναι συμμετρικό μόνο υπό την επίδραση του TPA, ενώ γίνεται ασύμμετρο όταν συμπεριλαμβάνεται και το FCA. Τέλος, αναπτύσσει αρνητικές τιμές όταν λαμβάνεται υπόψη και το FCD. (α) (β) Σχήμα 4.3: (α) Φάσμα και (β) φάση παλμού στην έξοδο ενός κυματοδηγού 2cm για τιμή ισχύος εισόδου τέτοια ώστε φmax=15.5π. Τα φαινόμενα που λαμβάνονται υπόψη είναι για την μπλε καμπύλη: ούτε το TPA, ούτε τα φαινόμενα των φορέων, για την πράσινη: το TPA και το FCA, για την κόκκινη: όλα. Φυσικά, η μη γραμμική μεταβολή της φάσης απορρέει από την χρονικά εξαρτώμενη συσσώρευση των φορέων σε κάθε σημείο του κυματοδηγού. Πριν ο παλμός περάσει από κάποιο σημείο,. Αφού ο παλμός περάσει από αυτό το σημείο, η πυκνότητα συσσωρεύεται και συνεχίζει να αυξάνεται ακόμα και αφού η κορυφή του παλμού έχει παρέλθει, υπό την προϋπόθεση ότι. Το προφίλ της πυκνότητας μπορεί να εκτιμηθεί προσεγγιστικά με την επίλυση της (3.16) κοντά στην αρχή του κυματοδηγού, όπου το είναι κοντά σε αυτό της εισόδου, σύμφωνα με τον παρακάτω τρόπο. Αν ισχύει, όρος μπορεί να αγνοηθεί καθώς οι παλμοί δεν έχουν αρκετό χρόνο να επανασυνδεθούν στην διάρκεια του παλμού. Υπό αυτές τις παραδοχές, η πυκνότητα φορέων προσεγγίζεται από την [4] (4.4) Αφού περάσει ολόκληρος ο παλμός από το σημείο του κυματοδηγού που θεωρήθηκε άκρο της εισόδου, για τις παραμέτρους του Σχ. 4.3, προκύπτει [49]

54 . Η απορρόφηση αυτών των φορέων μειώνει τη μεταβολή της φάσης με ασύμμετρο τρόπο, όπως φαίνεται στην πράσινη καμπύλη του Σχ. 4.3(β). Μελετώντας το ρόλο του FCD, παρατηρείται αρχικά, ότι η μεταβολή της φάσης λόγω FCD έχει αντίθετο πρόσημο από αυτή λόγω SPM, όπως φαίνεται από την (3.10). Για την ακρίβεια, αυτό συμβαίνει καθώς οι φορείς ελαττώνουν τον δείκτη διάθλασης, ενώ το SPM τον αυξάνει. Από φυσικής σκοπιάς, στη συνολική μη γραμμική μεταβολή φάσης συμβάλλουν και τα δύο αυτά φαινόμενα. Όμως λόγω των αντίθετων πρόσημων τους, η συνολική μη γραμμική μεταβολή φάσης ελαττώνεται κατά μήκος του παλμού (συγκρίνοντας με την περίπτωση που μόνο το TPA λαμβάνεται υπόψη). Πιο συγκεκριμένα, το γίνεται 0 για συγκεκριμένη χρονική στιγμή και αρνητικό μετά από αυτό, όπως φαίνεται στο Σχ. 4.3(β). Η μετατόπιση του παλμού προς το «μπλε» κομμάτι του φάσματος. που φαίνεται στο Σχ. 4.3(α), πηγάζει από αυτές τις αρνητικές τιμές του. Το φάσμα του παλμού διευρύνεται λόγω FCD (συγκρινόμενο με αυτό, στο οποίο επιδρά μόνο το TPA), γιατί το μεταβάλλεται δραστικά για ένα μικρό χρονικό διάστημα Υπολογισμός πυκνότητας ελεύθερων φορέων Ένα πολύ ιδιαίτερο χαρακτηριστικό των κυματοδηγών πυριτίου είναι η συσσώρευση των ελεύθερων φορέων, η οποία επηρεάζει δραστικά την εξέλιξη ενός παλμού, τόσο στο πεδίο του χρόνου, όσο και στο πεδίο της συχνότητας. Με σκοπό την εξοικείωση του αναγνώστη με την καινούρια έννοια της πυκνότητας των ελεύθερων φορέων και φυσικά, την βαθύτερη κατανόηση των φαινομένων που συνδέονται με αυτούς, θα δοθούν κάποια παραδείγματα υπολογισμού της πυκνότητας φορέων. Αρχικά, υπολογίζεται ο αριθμός των φορέων στο επίπεδο για τον κυματοδηγό και τον παλμό του Σχ.4.3(α). Οι τρόποι υπολογισμού είναι δύο: ο πρώτος βασίζεται στην αναλυτική λύση της ενότητας 3.4.1, όπως αναλύθηκε στην ενότητα και ο δεύτερος στην προσεγγιστική σχέση (4.4). Η πυκνότητα των φορέων υπολογίζεται στο επίπεδο, καθώς η (4.4) ισχύει μόνο για παλμούς κοντά στο άκρο της εισόδου. Στο Σχήμα 4.4 φαίνεται η υπολογισμένη πυκνότητα των φορέων. Σχήμα 4.4: Πυκνότητα ελεύθερων φορέων κάνοντας χρήση της αναλυτικής λύσης, και της (4.4) για τον κυματοδηγό και τον παλμό του Σχ. 4.3(α) για. [50]

55 Όπως εύκολα γίνεται αντιληπτό, οι δύο τρόποι συμφωνούν για ένα μεγάλο κομμάτι του παλμού, αλλά όχι απολύτως. Για, οι δύο μέθοδοι αποκλίνουν αρκετά. Αυτό συμβαίνει, από φυσικής άποψης, καθώς η (4.4) δεν συμπεριλαμβάνει την εκθετική μείωση λόγω επανασύνδεσης των φορέων. Ένα ακόμη παράδειγμα υπολογισμού της πυκνότητας των φορέων που κρίνεται απαραίτητο να δοθεί, με σκοπό την ουσιαστική παρουσίαση των φαινομένων των κυματοδηγών πυριτίου είναι το παρακάτω. Συγκρίνονται οι δύο τρόποι υπολογισμού που παρουσιάστηκαν στην ενότητα 3.4, δηλαδή είτε λύνοντας αναλυτικά, είτε κάνοντας χρήση του μετασχηματισμού Fourier. Στο Σχήμα 4.5 απεικονίζεται η πυκνότητα των φορέων, για τον κυματοδηγό και τον παλμό του Σχ. 4.2 (α), για (α) και β. Στο Σχ.4.5 (β) γίνεται μια προσπάθεια σύγκρισης των δύο μεθόδων υπολογισμού της πυκνότητας που παρουσιάστηκαν στην ενότητα 3.4. Υπενθυμίζεται, ότι η πρώτη μέθοδος ακολουθεί την αναλυτική λύση, ενώ η δεύτερη χρησιμοποιεί τον μετασχηματισμό Fourier. Οι δύο μέθοδοι υπολογισμού, όπως φαίνεται στο διάγραμμα, συμπίπτουν απόλυτα, προσφέροντας αμφότερες πολύ μεγάλη ακρίβεια. Δυο ακόμα παρατηρήσεις πρέπει να γίνουν σε αυτό το σημείο. Όπως προκύπτει, συγκρίνοντας τα Σχ. 4.5(α) και (β), οι φορείς μειώνονται μετά την παρέλευση του παλμού μέσω του μηχανισμού της επανασύνδεσης. Επίσης, παρατηρώντας τα Σχ. 4.4 και 4.5(α), προκύπτει πως αυξάνοντας την ισχύ εισόδου, αυξάνεται και η τιμή της πυκνότητας των φορέων. Και οι δύο αυτές παρατηρήσεις ερμηνεύονται μέσω της αναλογίας της πυκνότητας των φορέων με την ένταση του παλμού, που υποδεικνύει η (3.9). Δόθηκε με την παραπάνω ανάλυση μια καλή εικόνα της τάξης μεγέθους και της συμπεριφοράς των φορέων στους κυματοδηγούς πυριτίου. Ας σημειωθεί όμως, ότι ο ρυθμός επανάληψης έχει κρατηθεί χαμηλός, έτσι ώστε οι φορείς να προλαβαίνουν να επανασυνδεθούν πριν αφιχθεί ο επόμενος παλμός. Η αντίθετη περίπτωση θα αναλυθεί παρακάτω. (α) (β) Σχήμα 4.5: Πυκνότητα ελεύθερων φορέων για τον κυματοδηγό και τον παλμό του Σχ. 4.2(α) κάνοντας χρήση (α)της αναλυτικής λύσης για z=0 και (β) της αναλυτικής λύσης και του μετασχηματισμού Fourier για z=2 cm. [51]

56 4.2 Διάδοση παλμοσειράς και ελεύθεροι φορείς Επίδραση του ρυθμού επανάληψης Στην μέχρι τώρα ανάλυση θεωρήθηκε ότι ο ρυθμός επανάληψης των παλμών δηλαδή η συχνότητα με την οποία κάνουν την εμφάνιση τους ο ένας μετά τον άλλο είναι αρκετά χαμηλός. Κατά αυτόν τον τρόπο, οι φορείς που σχηματίζονται κατά τη διάρκεια ενός παλμού έχουν αρκετό χρόνο να επανασυνδεθούν μέχρι να έρθει ο επόμενος. Τι θα συμβεί όμως εάν αυτός ο ρυθμός μεγαλώσει; (α) (β) Σχήμα 4.6: Φάσμα παλμού για τα ίδια επίπεδα της ισχύος του Σχ Εδώ, λαμβάνονται υπόψη όλα τα φαινόμενα και θεωρούνται τρεις ρυθμοί επανάληψης. Με σκοπό την διερεύνηση της επίδρασης του ρυθμού επανάληψης, θεωρείται μια σειρά παλμών, η οποία υφίσταται φασματική διεύρυνση λόγω SPM. Σημαντική παράμετρος σε αυτή την διερεύνηση, είναι η αδιάστατη παράμετρος. Όσο ισχύει, τα αποτελέσματα που παρουσιάστηκαν παραπάνω παραμένουν επαρκώς ακριβή. Αντιθέτως, εάν η παράμετρος είναι κοντά ή ξεπερνά την τιμή 1, η κατάσταση αλλάζει δραματικά, καθώς οι φορείς που δημιουργούνται δεν έχουν αρκετό χρόνο να επανασυνδεθούν πριν αφιχθεί ο επόμενος παλμός. Ως εκ τούτου η πυκνότητα των φορέων αυξάνεται από παλμό σε παλμό, μέχρι να φτάσει μια σταθερή κατάσταση. Ο χαρακτηριστικός χρόνος που απαιτείται για να επιτευχθεί αυτή η σταθερή κατάσταση είναι. Καθώς ο παλμός στη συνέχεια, ακολουθεί περιοδικό μοτίβο, μπορεί η ανάλυση να εστιαστεί σε έναν μόνο παλμό. Στα Σχήματα 4.6 και 4.7 απεικονίζονται τα φάσματα για τρία επίπεδα ισχύος υπό συνθήκες πανομοιότυπες με εκείνες των Σχ. 4.2 και 4.3, αντίστοιχα, εκτός του ότι τώρα λαμβάνονται όλα τα φαινόμενα και ο ρυθμός επανάληψης μεταβάλλεται από μια σχετικά μικρή τιμή των 500 MHz μέχρι μια σχετικά υψηλή τιμή των 10 GHz. [52]

57 Οι μπλε καμπύλες αντιστοιχούν στα 500 MHz και είναι πανομοιότυπες με εκείνες του Σχ.4.2 και 4.3 φυσικά όταν όλα τα φαινόμενα συμπεριλαμβάνονται, αντίστοιχα, καθώς για αυτές. Τα 500 MHz αποτελούν την οριακή τιμή. Εάν ο ρυθμός επανάληψης αυξηθεί πέραν των 500 MHz, θα επέλθει συσσώρευση των φορέων και αυτή με τη σειρά της θα παραμορφώσει την μορφή του παλμού και του φάσματος του. Οι καμπύλες που αντιστοιχούν στα 2 GHz αντιπροσωπεύουν την ενδιάμεση κατάσταση, όπου. Η περίπτωση των 10 GHz, στην οποία ισχύει, αναπαριστά το χειρότερο σενάριο, όπου η πυκνότητα των φορέων γίνεται υπερβολικά μεγάλη. Το κύριο συμπέρασμα είναι ότι η παράμετρος πρέπει να ικανοποιεί την συνθήκη, εάν είναι επιθυμητή η φασματική διεύρυνση λόγω SPM. (α) (β) Σχήμα 4.7: Φάσμα παλμού και μη γραμμική μεταβολή της φάσης για το επίπεδο της ισχύος του Σχ Εδώ, λαμβάνονται υπόψη όλα τα φαινόμενα και θεωρούνται τρεις ρυθμοί επανάληψης. Στην καμπύλη που αντιστοιχεί στον ρυθμό επανάληψης των 10 GHz επισημαίνεται η διακριτή φύση του φάσματος. Όπως είναι γνωστό από τη θεωρία της σειράς Fourier, ένα περιοδικό σήμα στο χρόνο έχει διακριτό φάσμα. Η περιβάλλουσα αποτελεί έναν οδηγό για το μάτι. Ας σημειωθεί, επίσης, ότι η ανάλυση που προηγήθηκε έγινε κάνοντας χρήση του σετ εξισώσεων (3.10) και (3.16). Τα αποτελέσματα αυτής της ενότητας βασίσθηκαν στο [4]. Η ανάλυση της παρούσας εργασίας βασίσθηκε σε άλλες τιμές ρυθμών επανάληψης από αυτούς που χρησιμοποιεί το συγκεκριμένο άρθρο. Τα συμπεράσματα παραμένουν τα ίδια. [53]

58 4.2.2 Επίδραση του ρυθμού επανάληψης στην πυκνότητα των φορέων Κρίνεται σκόπιμο σε αυτό το σημείο να εισαχθεί και ο υπολογισμός της πυκνότητας των φορέων για την περίπτωση του Σχ. 4.6, για. Έτσι, θα γίνουν οι απαραίτητες συγκρίσεις με το Σχ. 4.5, στο οποίο το έχει (α) (β) Σχήμα 4.8: Πυκνότητα ελεύθερων φορέων για τον κυματοδηγό και τον παλμό του Σχ. 4.5 για z=2 cm για (α) και (β). ρυθμιστεί αρκούντως μικρό έτσι ώστε οι φορείς να προλαβαίνουν να αποσυνδεθούν και να μην συσσωρεύονται. Στο Σχ.4.5 (β), η πυκνότητα των φορέων κάθε παλμού ξεκινά για την αρχή κάθε περιόδου από το μηδέν και για κάθε τέλος περιόδου ξανά μηδενίζεται. Κατά αυτόν τρόπο, όταν αφικνείται ο i ος παλμός, οι φορείς του (i-1) ου έχουν ήδη αποσυνδεθεί. Αλλά και αυτός με τη σειρά του, όταν παρέλθει, οι φορείς του έχουν προλάβει να επανασυνδεθούν και άρα να μηδενιστεί η πυκνότητα των φορέων, πριν κάνει την εμφάνιση του ο (i+1) ος. Αντίθετα, καθώς αυξάνεται ο ρυθμός επανάληψης των παλμών, η πυκνότητα των φορέων δεν προλαβαίνει να μηδενιστεί πριν αφιχθεί ο καινούριος παλμός. Συγκρίνοντας τα Σχ.4.8(α), (β) και Σχ.4.5(β), εξάγεται το συμπέρασμα ότι όσο αυξάνεται ο ρυθμός επανάληψης, αυξάνονται οι τιμές που λαμβάνει η πυκνότητα των φορέων. Απολύτως λογικό, καθώς με τον τρόπο που αναλύθηκε παραπάνω, όσο συχνότερα εμφανίζονται οι παλμοί, τόσο αυξάνεται η πυκνότητα των φορέων, αφού όλο και λιγότεροι φορείς προλαβαίνουν να επανασυνδεθούν και άρα συσσωρεύονται. Ας σημειωθεί, τέλος, ότι το Σχ.4.8, απεικονίζει την σταθερή κατάσταση που έχει επιτευχθεί για τις δύο τιμές των ρυθμών επαναλήψεων, ύστερα από. Στο Σχήμα 4.9 απεικονίζεται η επίτευξη της σταθερής κατάστασης που περιγράφηκε παραπάνω για συνθήκες πανομοιότυπες με εκείνες του Σχ. 4.8(α). Διαδίδοντας μια παλμοσειρά που αποτελείται από 10 παλμούς και υπολογίζοντας την πυκνότητα των φορέων με τον αναλυτικό τρόπο που περιγράφηκε στην ενότητα 3.4.1, η σταθερή κατάσταση που απεικονίζεται στο Σχ.4.8(α), επιτυγχάνεται μετά από. [54]

59 Σχήμα 4.9: Διάδοση παλμοσειράς που αποτελείται από 10 παλμούς, για συνθήκες πανομοιότυπες του Σχ.4.8(α). 4.3 Διασπορά τρίτης τάξης και self-steeping στους κυματοδηγούς πυριτίου Επίδραση διασποράς τρίτης τάξης Στη συνέχεια, θα παρουσιαστεί η εξέλιξη ενός παλμού με τη βοήθεια του σετ εξισώσεων (3.5) και (3.9). Επίσης, θα συμπεριληφθεί και η διασπορά τρίτης τάξης, έτσι ώστε να εξετασθεί η επίδραση της στους κυματοδηγούς πυριτίου. Σε αυτήν την ενότητα θα εξεταστεί η περίπτωση ενός μονού παλμού, καθώς θεωρείται ότι ο ρυθμός επανάληψης είναι αρκετά μικρός, έτσι ώστε να ελαχιστοποιούνται οι επιδράσεις των άλλων παλμών [5]. Στην ανάλυση για τις οπτικές ίνες που προηγήθηκε, αναφέρθηκαν οι συνθήκες υπό τις οποίες η TOD πρέπει να συμπεριληφθεί. Πιο συγκεκριμένα, στους κυματοδηγούς πυριτίου υπάρχουν δύο μηχανισμοί επίδρασης της TOD στη διάδοση του παλμού. Πρώτον, εάν το μήκος κύματος διάδοσης πλησιάζει σε αυτό της μηδενικής διασποράς (ZGVD), ένα μέρος του φάσματος θα βρίσκεται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς και το υπόλοιπο στην περιοχή ομαλής διασποράς. Κατά τη διάδοση ο παλμός θα διαιρεθεί σε ένα ή περισσότερα σολιτόνια που διαδίδονται στη φασματική περιοχή με ανώμαλη διασπορά, ενώ το μέρος του παλμού που ανήκει στην περιοχή ομαλής διασποράς θα σχηματίσει ένα κύμα που εμφανίζει διασπορά (dispersive wave), δηλαδή ένας παλμός που θα διευρυνθεί στο χρόνο υπό την επίδραση της διασποράς (GVD). Στην δεύτερη περίπτωση, ο παλμός βρίσκεται εξ ολοκλήρου στην περιοχή ανώμαλης διασποράς. Εάν η ισχύς είναι μεγαλύτερη από την τιμή κατωφλίου ισχύος που είναι απαραίτητη για τον σχηματισμό σολιτονίων, ένα ή περισσότερα σολιτόνια σχηματίζονται, τα οποία θα διαδοθούν υπό την επίδραση της TOD. Αυτές οι πτυχές της διάδοσης σε κυματοδηγούς πυριτίου φωτίζονται με τη μελέτη της διάδοσης πολύ μικρών παλμών σε κυματοδηγό πυριτίου. Ο παλμός που διαδίδεται και αναπαριστάται στο παρακάτω παράδειγμα είναι μορφής υπερβολικής τέμνουσας («sech-shaped») με και μέγιστη ισχύ εισόδου, σε ένα κυματοδηγό με διατομή. Το μήκος [55]

60 κύματος επιλέγεται Για τον συγκεκριμένο κυματοδηγό το μήκος κύματος ZGVD είναι κοντά στα 1550 nm, οπότε ο παλμός βρίσκεται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς, όπως φαίνεται και στο Σχ Επιπλέον, οι γραμμικοί και μη γραμμικοί παράμετροι του κυματοδηγού στα 1500 nm είναι,, και Για την καλύτερη σύγκριση των δύο τρόπων υπολογισμού της εξέλιξης ενός παλμού σε έναν κυματοδηγό πυριτίου, δίνονται στον αναγνώστη η πυκνότητα ισχύος και η μέγιστη μη γραμμική φάση (α) (β) Σχήμα 4.10: Διάδοση ενός παλμού στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας. Απεικονίζεται στην πάνω σειρά η τελική μορφή του παλμού και στην κάτω η εξέλιξη του κατά μήκος της διάδοσης. Λαμβάνονται υπόψη: (α) ούτε το TPA, όυτε τα φαινόμενα των φορέων και (β) τα φαινόμενα των φορέων, ενώ το TPA όχι. Επίσης, στα διαγράμματα της τελικής μορφής περιλαμβάνεται και ο παλμός εισόδου με σκοπό την καλύτερη σύγκριση. [56]

61 Και εδώ θα θεωρηθούν τρία διαφορετικά σενάρια εξέλιξης παλμού. Στο Σχήμα 4.10(α) φαίνεται η πρώτη περίπτωση στην οποία αγνοείται το TPA και η συνακόλουθη του πυκνότητα φορέων θεωρείται επίσης μηδενική. Στην επόμενη περίπτωση, η οποία απεικονίζεται στο Σχήμα 4.10(β), το TPA πάλι αγνοείται, ενώ οι φορείς που σχηματίζονται λόγω TPA προσμετρούνται και με αυτόν τον τρόπο ερμηνεύονται οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ του οπτικού πεδίου και των φορέων. Στην τελευταία περίπτωση, η οποία φαίνεται στο Σχήμα 4.11, όλα τα φαινόμενα λαμβάνονται υπόψη. Αυτά τα τρία σενάρια διάδοσης παλμού, επιτρέπουν την εύληπτη σύγκριση της επίδρασης των διαφορετικών φαινομένων που λαμβάνονται κάθε φορά υπόψη. Όπως αναμένεται, παρατηρώντας τα διαγράμματα, εξάγεται το συμπέρασμα ότι όταν αγνοείται το TPA και ο σχηματισμός των φορέων, η εξέλιξη του παλμού είναι πολύ κοντά με εκείνη που συμβαίνει σε μια οπτική ίνα για πολύ μεγαλύτερη απόσταση, βέβαια. Συγκεκριμένα, μετά από διάδοση απόστασης περίπου 1 mm, ο παλμός εισόδου διχοτομείται σε δύο σολιτόνια, των οποίων οι ταχύτητες είναι ελαφρώς μεγαλύτερες από την ταχύτητα ομάδας του παλμού εισόδου. Επίσης, για, το TOD επιταχύνει το σολιτόνιο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4.10(α). Επιπρόσθετα, το ίδιο σχήμα δείχνει πως, μετά τη διχοτόμηση του παλμού εισόδου, τα σολιτόνια που έχουν κάνει την εμφάνιση τους, εκπέμπουν ακτινοβολία (nonsolitonic ή Cherenkov radiation) σε ένα φασματικό εύρος το οποίο βρίσκεται στην ανώμαλη περιοχή διασποράς, μεταξύ των 1670 και 1770 nm. Ακριβέστερα, έχει αποδειχθεί ότι τα σολιτόνια εκπέμπουν ακτινοβολία σε μια συχνότητα, η οποία έχει μετατοπιστεί από την συχνότητα του σολιτονίου κατά. Πράγματι, στο Σχήμα 4.10(α), ακτινοβολία εκπέμπεται στα. Όταν τα φαινόμενα των ελεύθερων φορέων περιλαμβάνονται στην ανάλυση δηλαδή στο Σχ. 4.10(β), η εξέλιξη του παλμού μεταβάλλεται από πολλές και διαφορετικές απόψεις. Ειδικότερα, στο πεδίο του χρόνου, το σολιτόνιο, με την υψηλότερη μέγιστη ισχύ, επιταχύνεται και η χρονική του θέση μετατοπίζεται προς το μπροστινό μέρος του παλμού. Επιπροσθέτως, στο πεδίο της συχνότητας, το ίδιο σολιτόνιο μετατοπίζεται προς το «μπλε» μέρος του φάσματος. Αντιθέτως, η συμπεριφορά του σολιτονίου με τη χαμηλότερη ισχύ παραμένει ουσιαστικά η ίδια. Αυτά τα χαρακτηριστικά της εξέλιξης του παλμού αποδίδονται στις μη γραμμικές απώλειες που προκαλεί ο σχηματισμός των φορέων. Αυτές οι απώλειες είναι σύμφωνα με την (3.9), ανάλογες του όρου, πράγμα που σημαίνει ότι οι απώλειες είναι χαμηλότερες στο μπροστινό μέρος του παλμού από ότι στο πίσω. Αφού το σολιτόνιο διαδίδεται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς, οι φασματικές συνιστώσες του «κόκκινου» μέρους του φάσματος (στα μεγάλα μήκη κύματος) κινούνται πιο αργά από αυτές που βρίσκονται στο «μπλε» (στα μικρά μήκη κύματος). Για αυτό το λόγο, οι συνιστώσες του κόκκινου μέρους απορροφώνται σε μεγαλύτερο βαθμό σε σχέση με αυτές του «μπλε», και κατά αυτόν τον τρόπο, το σολιτόνιο μετατοπίζεται αργά προς το «μπλε» μέρος του φάσματος. Αντιθέτως, το σολιτόνιο με τη χαμηλότερη ισχύ επιφέρει πολύ μικρότερη μη γραμμική απώλεια, δηλαδή TPA και άρα δημιουργούνται ελάχιστοι φορέις και συνεπώς το φαινόμενο αυτό είναι αρκετά πιο αδύναμο. Αυτό το σολιτόνιο επηρεάζεται κυρίως από τις απώλειες που προκαλούνται λόγω των φορέων του μεγαλύτερου σολιτονίου. Αυτές οι απώλειες δρουν μόνο σαν ένας σταθερός όρος απωλειών και άρα δεν επηρεάζουν ιδιαίτερα την εξέλιξη του παλμού. Αυτά τα [57]

62 Σχήμα 4.11: Διάδοση ενός παλμού στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας. Απεικονίζεται στην πάνω σειρά η τελική μορφή του παλμού και στην κάτω η εξέλιξη του κατά μήκος της διάδοσης. Λαμβάνονται υπόψη όλα τα φαινόμενα. Επίσης, στα διαγράμματα της τελικής μορφής περιλαμβάνεται και ο παλμός εισόδου με σκοπό την καλύτερη σύγκριση. αποτελέσματα υποδεικνύουν ότι με κατάλληλη ρύθμιση των σχηματιζόμενων φορέων, είναι δυνατόν να ελεγχθεί η εξέλιξη ενός σολιτόνιου και πιο γενικά, τα χρονικά και φασματικά χαρακτηριστικά πολύ μικρών παλμών. Τέλος, για μια πλήρη κατανόηση της εξέλιξης ενός παλμού διαδιδόμενου γύρω από τα 1500 nm, είναι απαραίτητο να συμπεριληφθεί και το TPA, δηλαδή να επιλυθεί το πρόβλημα λαμβάνοντας υπόψη το σύνολο των φαινομένων. Τα αποτελέσματα απεικονίζονται στο Σχήμα Ιδιαίτερης σημασίας είναι το γεγονός ότι η επίδραση των φορέων, όπως φάνηκε στην δεύτερη περίπτωση, σχεδόν εξαλείφεται. Άρα το TPA περιορίζει σε μεγάλο βαθμό την επίδραση των φαινομένων των φορέων. Ας σημειωθεί επίσης, ότι τα φαινόμενα του TPA, των ελεύθερων φορέων και της μη γραμμικότητας ποικίλουν καθώς η ισχύς εισόδου και το μήκος κύματος μεταβάλλονται. Για παράδειγμα, τα φαινόμενα των φορέων [58]

63 μειώνονται δραματικά καθώς το μήκος κύματος φτάνει το όριο TPA, δηλαδή για Επίδραση self-steeping Όπως αναφέρθηκε στην ενότητα 3.3.4, το φαινόμενο του self-steeping έχει ισχύ και στην περίπτωση των κυματοδηγών πυριτίου. Αλλά σε αυτήν την περίπτωση αλλάζει ελαφρώς χαρακτήρα, μέσω του χαρακτηριστικού χρόνου shock,. Και σε αυτήν την ενότητα θα θεωρηθεί η περίπτωση ενός μονού παλμού. Στο επόμενο παράδειγμα, γίνεται φανερή η επίδραση του self-steeping στην διάδοση πολύ μικρών παλμών στους κυματοδηγούς πυριτίου. Για να γίνει το παράδειγμα πιο εύληπτο, ελαχιστοποιούνται οι επιδράσεις του TPA, επιλέγοντας μήκος κύματος στη περιοχή των 2.2 μm, δηλαδή στο όριο του TPA για το πυρίτιο. Εξετάζεται η εξέλιξη ενός παλμού μορφής υπερβολικής τέμνουσας. Η χρήση της περιοχής μήκους κύματος των 2 μm απαιτεί έναν κυματοδηγό διατομής. Αυτή η διατομή επιλέγεται έτσι ώστε ο κυματοδηγός να Σχήμα 4.12: Χρονική και φασματική μορφή του παλμού που έχει διαδοθεί για απόσταση σε κυματοδηγό με διαστάσεις διατομής. παρουσιάζει ανώμαλη διασπορά, συν το μεγάλο χρόνο shock, αφού βρίσκεται στην περιοχή μεγάλου μήκους κύματος, όπως φαίνεται στο Σχ.3.7. Στο παράδειγμα επιλέγονται οι παρακάτω παράμετροι: και. Για αυτές τις παραμέτρους του παλμού ισχύει:,, και. Τα αποτελέσματα [59]

64 παρουσιάζονται στο Σχήμα Στην περίπτωση μηδενικού χρόνου shock, ο παλμός χωρίζεται σε δύο σολιτόνια, συν μια επακόλουθη εκπομπή ακτινοβολίας στη φασματική περιοχή μεταξύ 2.2 μm και 2.3 μm. Πέραν τούτου, ο παλμός μεταβάλλεται μόνο ελαφρώς εάν ο χρόνος shock επιλεγεί ίσος με αυτόν του bulk πυριτίου,. Ωστόσο, η εξέλιξη του παλμού μεταβάλλεται σημαντικά, όταν συμπεριληφθεί η διασπορά κυματοδηγού στο. Δηλαδή, σε αυτήν την περίπτωση, η μετατόπιση του παλμού, στο πεδίο του χρόνου και στης συχνότητας, ελαττώνεται, γεγονός που μπορεί να αποδοθεί στο φανταστικό μέρος του. Συνεπώς, όταν το από τη σχέση είναι μη μηδενικό, η εξίσωση (3.19) περιλαμβάνει έναν όρο ανάλογο του. Ο συγκεκριμένος όρος περιγράφει την ενδοπαλμική σκέδαση Raman στην περίπτωση των οπτικών ινών και περιγράφηκε στην ενότητα Ως εκ τούτου, αυτός ο όρος έχει μια επίδραση παρόμοια με εκείνη που έχει η ενδοπαλμική σκέδαση Raman στις ίνες, δηλαδή οδηγεί σε μια μετατόπιση του φάσματος του σολιτονίου προς μεγαλύτερα μήκη κύματος και έτσι ακυρώνει την μετατόπιση προς το μπλε μέρος του φάσματος που προκαλούν οι ελεύθεροι φορείς. Ας σημειωθεί ότι αυτή η συμπεριφορά είναι μοναδική στους κυματοδηγούς πυριτίου, καθώς για τις ίνες ισχύει και επιπλέον, δεν προκύπτει σχηματισμός φορέων. [5] Στο παράδειγμα που προηγήθηκε, χρησιμοποιήθηκαν οι (3.19) και (3.9). Μια πληρέστερη άποψη του φαινομένου του self-steeping στους κυματοδηγούς πυριτίου προσφέρει η απεικόνιση της συνολικής εξέλιξης ενός παλμού. Στο επόμενο παράδειγμα, θα χρησιμοποιηθεί ένας παλμός μορφής υπερβολικής τέμνουσας με χαρακτηριστικά και, για διάδοση σε έναν κυματοδηγό διατομής. Για αυτές τις παραμέτρους του παλμού ισχύει:,, και Στην ανάλυση θα αγνοηθεί το TPA, αλλά όχι τα φαινόμενα των φορέων. Για αυτό το λόγο τα συμπεράσματα θα είναι παρόμοια με εκείνα που προέκυψαν για το Σχήμα Τα αποτελέσματα της ανάλυσης που προέκυψαν από το σετ εξισώσεων (3.19) και (3.9), απεικονίζονται στο Σχήμα Έτσι, όπως φαίνεται στα Σχ.4.13 (α) και (β), όπου η συνεισφορά του κυματοδηγού στο αγνοείται, δηλαδή, ο παλμός σπάει σε τρία σολιτόνια και ακολούθως εκπέμπει ακτινοβολία σε μια συχνότητα μετατοπισμένη κατά από την συχνότητα του σολιτονίου, δηλαδή, στη συγκεκριμένη περίπτωση,. Επίσης, στο πεδίο του χρόνου, το σολιτόνιο με την υψηλότερη μέγιστη ισχύ, επιταχύνεται και η χρονική του θέση μετατοπίζεται προς το μπροστινό μέρος του παλμού, ενώ στο πεδίο της συχνότητας, το ίδιο σολιτόνιο μετατοπίζεται προς το «μπλε» μέρος του φάσματος. Αυτά τα χαρακτηριστικά της εξέλιξης του παλμού ερμηνεύονται από τις μη γραμμικές απώλειες που επιβάλλονται από τους φορείς. Έτσι, η (3.9) δείχνει ότι αυτές οι απώλειες είναι ανάλογες του, που σημαίνει ότι η απώλεια είναι μικρότερου μεγέθους στο μπροστινό μέρος του παλμού από ότι στο πίσω. Καθώς το σολιτόνιο διαδίδεται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς, οι συνιστώσες του «κόκκινου» μέρους του φάσματος κινούνται πιο αργά από ότι αυτές του «μπλε» και έτσι οι πρώτες απορροφούνται πιο έντονα. Ως εκ τούτου, το σολιτόνιο μετατοπίζεται αργά προς το «μπλε» μέρος του φάσματος. Αντιθέτως, τα σολιτόνιο με χαμηλότερη μέγιστη ισχύ προκαλεί μια πολύ μικρότερη μη γραμμική απώλεια και έτσι αυτή η μετατόπιση εκδηλώνεται λιγότερο. [60]

65 (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Σχήμα 4.13: Διάδοση παλμού για z=4 mm: (α) και (β) στα 1.5 μm για κυματοδηγό και, (γ) και (δ) στα 1.5 μm για κυματοδηγό και και, (ε) και (στ) στα 2.2 μm για κυματοδηγό και. Στην συνέχεια θα συμπεριληφθεί και η συνεισφορά του κυματοδηγού στο χρόνο shock. Όπως φαίνεται, στο Σχήμα 4.13 (γ) και (δ), η μετατόπιση του παλμού και στο πεδίο του χρόνου και της συχνότητας, σχεδόν εξαφανίζεται. Η μείωση στη φασματική μετατόπιση του παλμού μπορεί να αποδοθεί στο φανταστικό μέρος του. Έτσι, εάν, η (3.19) περιλαμβάνει έναν όρο ανάλογο του, έναν όρο που στις οπτικές ίνες περιγράφει την ενδοπαλμική σκέδαση Raman όπως ακριβώς περιγράφηκε και στο παραπάνω παράδειγμα. Όπως είναι γνωστό από την ανάλυση στις ίνες, το φαινόμενο αυτό οδηγεί σε μια μετατόπιση του φάσματος του σολιτονίου προς μεγαλύτερα μήκη κύματος και κατά αυτόν τον τρόπο ακυρώνει την μετατόπιση προς τα μικρότερα μήκη κύματος που προκαλούν οι ελεύθεροι φορείς. Αναμενόμενο θα ήταν, το TPA να επηρεάσει τη συμπεριφορά του παλμού που μόλις περιγράφηκε. Παρόλα αυτά, οι απώλειες λόγω TPA είναι αμελητέες για. Και έτσι οι επιδράσεις τους μπορούν να μειωθούν με μια κατάλληλη [61]