Μελέτη της Εξαναγκασμένης κέδασης Raman σε Οπτικές Ίνες και Ολοκληρωμένους Κυματοδηγούς Πυριτίου

Transcript

1 ΑΡΙΣΟΣΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΠΟΛΤΣΕΦΝΙΚΗ ΦΟΛΗ ΣΜΗΜΑ ΗΛΕΚΣΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΦΑΝΙΚΩΝ ΤΠΟΛΟΓΙΣΩΝ ΣΟΜΕΑ ΣΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μελέτη της Εξαναγκασμένης κέδασης Raman σε Οπτικές Ίνες και Ολοκληρωμένους Κυματοδηγούς Πυριτίου Διπλωματική Εργασία της Ευαγγελίας Ζδράλη Επιβλέπων Καθηγητής: Εμμανουήλ Κριεζής ΘΕΑΛΟΝΙΚΗ ΑΠΡΙΛΙΟ 013

2

3 τους γονείς μου, Βαγγέλη και Υωτεινή

4

5 ΠΡΟΛΟΓΟ Η εργασία που κρατάτε στα χέρια σας αποτέλεσε το κύριο αντικείμενο ενασχόλησής μου κατά το τελευταίο έτος των προπτυχιακών μου σπουδών στο τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Τπολογιστών της Πολυτεχνικής χολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Κεντρικό της θέμα είναι η μελέτη του μη γραμμικού φαινομένου της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman, το οποίο εμφανίζεται υπό συνθήκες κατά τη κυματοδήγηση οπτικών παλμών. Για τον σκοπό αυτό, επιλύεται η γενικευμένη μη γραμμική εξίσωση του Schrödinger με τη μέθοδο Split-Step Fourier. τη συνέχεια, τα αποτελέσματα που προκύπτουν εφαρμόζονται στην περίπτωση διάδοσης οπτικών παλμών κατά μήκος μιας οπτικής ίνας, παρουσία διασποράς, κάνοντας πρωτύτερα μια προσπάθεια επεξήγησης του φυσικού μηχανισμού της σκέδασης Raman σε ένα πιο μικροσκοπικό επίπεδο. Σέλος, εξετάζεται η περίπτωση διάδοσης κατά μήκος ενός κυματοδηγού πυριτίου, απουσία διασποράς, λαμβάνοντας υπόψη την απορρόφηση δύο φωτονίων. ε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου, κ. Εμμανουήλ Κριεζή, ο οποίος διέθετε πάντα το χρόνο και την υπομονή για την υποστήριξη της συγκεκριμένης εργασίας. Οφείλω, επίσης, ένα πολύ μεγάλο ευχαριστώ στους υποψήφιους διδάκτορες Αλέξανδρο Πιτιλάκη και Οδυσσέα Σσιλιπάκο για την άμεση ανταπόκριση και την απεριόριστη βοήθειά τους σε όλα τα στάδια εξέλιξής της. Επιπλέον, ευχαριστώ ιδιαίτερα τους κ.κ. Σραϊανό Γιούλτση και Εμμανουήλ Κριεζη τόσο για τη συνολική βοήθεια που μου προσέφεραν κατά τη διάρκεια των σπουδών μου όσο και για την υποστήριξη των μελλοντικών μου σχεδίων. Σέλος, ολοκληρώνοντας τις σπουδές μου, δε θα μπορούσα να μην εκφράσω την από καρδιάς ευγνωμοσύνη μου στον καθηγητή κ. Αντώνη Παπαγιαννάκη, του οποίου η διδασκαλία και η γενικότερη στάση απέναντι στα πράγματα συνέβαλαν καταλυτικά στο βαθύτερο ενδιαφέρον μου τόσο για το γνωστικό αντικείμενο όσο και για την κοινωνική πραγματικότητα της σχολής. Θεσσαλονίκη, Απρίλης 013 Ευαγγελία Ζδράλη i

6 ii

7 ΠΕΡΙΕΦΟΜΕΝΑ Πρόλογος Περιεχόμενα i iii 1. Εισαγωγή 1.1 Ιστορική αναδρομή Μη γραμμικά φαινόμενα σε οπτικούς κυματοδηγούς Περίληψη εργασίας...4. Εξίσωση διάδοσης παλμών Υαινόμενα κατά τη διάδοση.1 Μη γραμμική εξίσωση Schrödinger...1. Μέθοδος επίλυσης της εξίσωσης Schrödinger Υαινόμενα διασποράς Διασπορά ταχύτητας ομάδας (GVD) Διασπορά τρίτης τάξης (TOD) Αυτοδιαμόρφωση φάσης (SPM) Αποκλειστική επίδραση της αυτοδιαμόρφωσης φάσης Αυτοδιαμόρφωση φάσης παρουσία της διασποράς ταχύτητας ομάδας Αυτοδιαμόρφωση φάσης παρουσία της διασποράς τρίτης τάξης Τψηλότερης τάξης μη γραμμικά φαινόμενα Σο φαινόμενο Raman στις oπτικές ίνες 3.1 Υυσικός μηχανισμός του φαινομένου Φαρακτηριστικά μεγέθη Μακροσκοπική ανάλυση υνεχής (CW) και σχεδόν-συνεχής (quasi-cw) λειτουργία Παλμική λειτουργία Αμελητέα διασπορά ταχύτητας ομάδας Περιοχή ομαλής διασποράς ταχύτητας ομάδας Περιοχή ανώμαλης διασποράς ταχύτητας ομάδας Ενισχυτές Raman Σο φαινόμενο Raman στους κυματοδηγούς πυριτίου 4.1 Απορρόφηση δύο φωτονίων (TPA) και απορρόφηση ελεύθερων φορέων (FCA) 1 4. Η ενίσχυση Raman στο πυρίτιο Ανάλυση συνεχούς λειτουργίας αγνοώντας την εξάντληση του pump Ανάλυση συνεχούς λειτουργίας συμπεριλαμβάνοντας την εξάντληση του pump Περίπτωση μικρής ισχύος εισόδου χολιασμός αποτελεσμάτων ύγκριση αριθμητικής και αναλυτικής λύσης...11 iii

8 Παράρτημα Α Παράρτημα Β Βιβλιογραφία iv

9 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΑΓΩΓΗ 1.1 Ιστορική Αναδρομή Η κυματοδήγηση του φωτός σε διηλεκτρικούς κυματοδηγούς βασίζεται στο φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης [1] το οποίο ήταν γνωστό ήδη από τον 19 ο αιώνα. Αυτό λαμβάνει χώρα στη διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ του πυρήνα, δηλαδή ενός διηλεκτρικού με υψηλό δείκτη διάθλασης που συγκεντρώνει το διαδιδόμενο κύμα, και του περιβλήματος ή του υποστρώματος, δηλαδή ενός διηλεκτρικού με χαμηλότερο δείκτη διάθλασης που περιβάλλει τον πυρήνα. Η διατομή των διηλεκτρικών κυματοδηγών έχει διαστάσεις συγκρίσιμες του μήκους κύματος των διαδιδόμενων κυμάτων (diffraction limit). Οι οπτικές ίνες αποτελούν έναν πολύ χαρακτηριστικό παράδειγμα κυματοδηγού που μπορεί να παρασκευαστεί εύκολα και φθηνά από γυαλί διοξειδίου του πυριτίου (silica glass, SiO ). Η διαφορά των δύο δεικτών διάθλασης, μάλιστα, καθορίζεται κατά τη διαδικασία παρασκευής τους μέσω της επιλεκτικής προσθήκης προσμίξεων όπως τα GeO και P O 5. Η αποδοτική λειτουργία των οπτικών ινών προϋποθέτει δύο βασικά χαρακτηριστικά: χαμηλές απώλειες ισχύος (απόσβεση) και περιορισμένη διασπορά (εύρος ζώνης). Όσον αφορά στο πρώτο, διακρίνονται δύο παράθυρα χαμηλών απωλειών, ένα στην περιοχή των 1300 nm και άλλο ένα στην περιοχή των 1550 nm. Ο τομέας των οπτικών ινών άρχισε να αναπτύσσεται από τη δεκαετία του 1960 και ιστορικά το πρόβλημα της απόσβεσης αντιμετωπίσθηκε πριν από αυτό της διασποράς με την ανάπτυξη γυαλιού υψηλής ποιότητας. Αυτό είχε ως συνέπεια τη μείωση της απόσβεσης στις μονόρρυθμες οπτικές ίνες από 1000 db/km σε 0. db/km στα τέλη της δεκαετίας του Η τελευταία τιμή είναι πολύ κοντά στο θεωρητικά χαμηλότερο όριο που αναμένεται για το γυαλί τηγμένου SiO στην περιοχή των 1500 nm. Οι ίνες χαμηλών απωλειών οδήγησαν σε μια επανάσταση στον τομέα των επικοινωνιών οπτικών ινών και πλέον χρησιμοποιούνται ευρύτατα στις τηλεπικοινωνίες καθώς μπορούν να υποστηρίζουν πολλές δεκάδες GHz για αποστάσεις πολλών χιλιομέτρων []. Για παράδειγμα, μόνο με 4 ή 5 αναμεταδότες μπορεί να καλυφθεί μια απόσταση της τάξης των 500 χιλιομέτρων. Σο πρόβλημα του εύρους ζώνης, και κατ επέκταση του μέγιστου ρυθμού μετάδοσης δεδομένων σε μία ίνα, αντιμετωπίσθηκε αργότερα. Σο SiO, συγκεκριμένα, εμφανίζει μηδενική διασπορά στα 1300 nm, με την τιμή αυτή να αυξάνεται στα ~ 1310 nm για τις τυπικές μονόρρυθμες ίνες που έχουν μικρό πυρήνα (ακτίνα < 5 μm). Προκειμένου να μπορέσουν να συνδυαστούν οι πολύ χαμηλές απώλειες στα 1550 nm και η πολύ χαμηλή διασπορά στα ~1300 nm δημιουργήθηκαν ίνες μετατοπισμένης διασποράς (dispersion-shifted fibers, DSF), στις οποίες το μήκος κύματος μηδενικής διασποράς μεταφέρθηκε στην περιοχή των 1550 nm, καθώς και ίνες μηδενικής διασποράς ταχύτητας ομάδας (zero group-velocity dispersion, ZGVD), οι οποίες εμφανίζουν μηδενική διασπορά για μεγάλο εύρος συχνοτήτων. Αυτό επιτεύχθηκε εκμεταλλευόμενοι την εξάρτηση της διασποράς κυματοδηγού τόσο από τα σχεδιαστικά χαρακτηριστικά της ίνας όσο και από την ακτίνα του πυρήνα και τη διαφορά των δεικτών διάθλασης πυρήνα περιβλήματος. Οι ίνες χαμηλών απωλειών συνέβαλαν στην ανάπτυξη ενός νέου τομέα που ασχολείται με τα μηγραμμικά φαινόμενα και άνοιξε το δρόμο για εφαρμογές πλήρως-οπτικής επεξεργασίας σήματος. Κάποια από φαινόμενα αυτά, όπως η εξαναγκασμένη σκέδαση Raman (stimulated Raman scattering, SRS), η εξαναγκασμένη σκέδαση Brillouin (stimulated Brillouin Scattering, SBS), η οπτικά προκαλούμενη διπλοδιαθλαστικότητα (optically induced birefringence), η παραμετρική μίξη τεσσάρων κυμάτων (parametric four-wave mixing), η αυτοδιαμόρωση ΚΕΥ. 1: ΕΙΑΓΩΓΗ 1-1

10 φάσης (self-phase modulation, SPM) καθώς και η ετεροδιαμόρφωση φάσης (cross-phase modulation) μελετήθηκαν ήδη από τη δεκαετία του Ακολούθησαν τα οπτικά σολιτόνια (optical solitons) ως αποτέλεσμα της εξισορροπημένης αλληλεπίδρασης διασποράς και μη γραμμικότητας. Επιπλέον, στη δεκαετία του 1980 αναπτύχθηκε και η τεχνική συμπίεσης παλμών (pulse compression) και οπτικής μεταγωγής (optical switching). τη συνέχεια, στη δεκαετία του 1990 αναπτύχθηκαν ιδιαίτερα ενισχυτές και laser οπτικών ινών που ήταν ντοπαρισμένες με σπάνιες γαίες, όπως το Έρβιο, τα οποία συνδυάστηκαν με συστήματα πολυπλεξίας μήκους κύματος (wavelength division multiplexing, WDM) στην περιοχή των 1550 nm. Δημιουργήθηκε, έτσι, η δυνατότητα εισαγωγής πολύ μεγάλης ισχύος στις οπτικές ίνες, γεγονός που ενίσχυσε ιδιαίτερα την ανάπτυξη μη γραμμικών φαινομένων. Μετά το 000, μάλιστα, δυο φαινόμενα, η εξαναγκασμένη σκέδαση Raman (stimulated Raman scattering, SRS) και η μίξη τεσσάρων κυμάτων (parametric four-wave mixing), χρησιμοποιήθηκαν εκτεταμένα στην ανάπτυξη νέων τύπων ενισχυτών με ίνες χωρίς ντοπάρισμα οι οποίοι μπορούσαν να λειτουργήσουν σε πολύ ευρεία φασματική περιοχή. Η μεγάλη μείωση της διάστασης του πυρήνα της ίνας (ακτίνα < 5 μm για μονόρρυθμες ίνες) ενίσχυσε, μάλιστα, ιδιαίτερα τα μη γραμμικά φαινόμενα ενώ διάφορες δομικές αλλαγές επηρέασαν και τα χαρακτηριστικά διασποράς τους. Αποτέλεσμα ήταν η εμφάνιση ενός ακόμη φαινομένου, της γένεσης υπερσυνεχούς (supercontinuum generation), κατά το οποίο το φάσμα υπέρ-βραχέων παλμών διευρύνεται πάνω από 00 φορές σε μήκος μόλις ενός μέτρου ή και λιγότερο. Από τη μία πλευρά, τα μη γραμμικά φαινόμενα είναι επιθυμητά και χρησιμοποιούνται σε διάφορες περιπτώσεις για βελτίωση των τηλεπικοινωνιακών ζεύξεων. Σην τελευταία δεκαετία, για παράδειγμα, η εξαναγκασμένη σκέδαση Raman χρησιμοποιείται εκτεταμένα για την ανάπτυξη ενισχυτών. Από την άλλη πλευρά, μπορούν να είναι καταστροφικά για το μεταδιδόμενο σήμα, όπως η μίξη τεσσάρων κυμάτων που μπορεί να δημιουργήσει αλληλοπαρεμβολή σε συστήματα WDM. τη δεύτερη περίπτωση βοηθάει ιδιαίτερα η μημηδενική διασπορά των οπτικών ινών η οποία χρησιμοποιείται για τον περιορισμό των μη γραμμικών φαινομένων. Φαρακτηριστική περίπτωση είναι οι πολύ διαδεδομένες μονόρρυθμες ίνες με διασπορά 17 ps/nm/km στα 1550 nm. Ένας σημαντικότατος κλάδος των οπτικών επικοινωνιών ο οποίος ασχολείται, επίσης, με μη γραμμικά φαινόμενα είναι αυτός της ολοκληρωμένης οπτικής (integrated optics ) ή των οπτικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (optical integrated circuits, OIC) τα οποία εξελίχθηκαν στις δεκαετίες του 1970 και 1980 [3]. Αποτέλεσμα ήταν η επιτυχής υλοποίηση ενός αξιόλογου αριθμού παθητικών εξαρτημάτων, όπως κυματοδηγοί, διακλαδώσεις, κατευθυντικοί ζεύκτες, φίλτρα Bragg, καθώς και ενεργών εξαρτημάτων, όπως πηγές, ανιχνευτές, διακόπτες και διαμορφωτές. Ιδιαίτερα στη δεκαετία του 1990, τα ολοκληρωμένα οπτικά κυκλώματα γίνονται πλέον μία ώριμη τεχνολογία και εμφανίζονται διατάξεις με υψηλό βαθμό πολυπλοκότητας, ικανές να επιτελέσουν σύνθετες λειτουργίες. Μια πολύ διαδεδομένη δομή είναι αυτή του πυριτίου πάνω σε μονωτή (silicon on insulator, SOI). Η κυματοδήγηση είναι, μάλιστα, πολύ ισχυρή καθώς λαμβάνει χώρα στο πυρίτιο (Si) (δείκτης διάθλασης ~3.5), το οποίο εμφανίζει μεγάλη αντίθεση στο δείκτη διάθλασης με το συγγενές οξείδιο (SiO, δείκτης διάθλασης ~1.45). το 4 ο κεφάλαιο της εργασίας αυτής μελετάται η ενίσχυση ενός σήματος μέσω της διεγερμένης σκέδασης Raman σε ένα SOI κυματοδηγό. 1. Μη Γραμμικά Υαινόμενα σε Οπτικούς Κυματοδηγούς Κατά τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε μια οπτική ίνα γυαλιού διοξειδίου του πυριτίου (SiO ) επιδρούν τρεις διαφορετικές κατηγορίες φαινομένων: Απώλειες ΚΕΥ. 1: ΕΙΑΓΩΓΗ 1 -

11 Η σημαντικότερη ίσως παράμετρος των οπτικών ινών για τηλεπικοινωνίες σε μεγάλες αποστάσεις είναι οι απώλειες ισχύος (power loss), οι οποίες οφείλονται κυρίως στην απορρόφηση του υλικού και τη σκέδαση Rayleigh, ενώ συμβάλλουν επίσης η κάμψη της ίνας και η σκέδαση του φωτός στη διαχωριστική επιφάνεια πυρήνα περιβλήματος. Η αντίστοιχη σταθερά εξασθένισης (attenuation constant) α που συμπεριλαμβάνει τις συνολικές απώλειες ανεξαρτήτως προέλευσης λαμβάνει χαμηλές τιμές στις οπτικές ίνες στην περιοχή των 0.5 ως μm, με ελάχιστο όριο τα ~ 0. db/km κοντά στα 1.55 μm[1]. ύμφωνα με τον ορισμό της παραμέτρου εξασθένισης, κατά τη διάδοση ενός σήματος σε απόσταση L η ισχύς του μειώνεται κατά τον παράγοντα exp(- al). Διασπορά Η δεύτερη κατηγορία αφορά στη διασπορά (dispersion), η οποία περιγράφει την εξάρτηση των χαρακτηριστικών του οδηγούμενου κύματος από τη συχνότητα. την περίπτωση των χρονικά μεταβαλλόμενων/διαμορφωμένων σημάτων, ενδιαφέρει η εξάρτηση των φασικών χαρακτηριστικών, και πιο συγκεκριμένα η διασπορά ταχύτητας ομάδας (group velocity dispersion, GVD). Η τελευταία μπορεί να οδηγήσει σε παραμόρφωση του σήματος υψηλού-ρυθμού πληροφορίας στο δέκτη καθώς αυτό χαρακτηρίζεται από μεγάλο εύρος ζώνης, δηλαδή μεγάλη εν δυνάμει διαφοροποίηση των χαρακτηριστικών του. Η διασπορά διακρίνεται σε διαρρυθμική (intermodal), η οποία εμφανίζεται μόνο σε πολύρρυθμες ίνες, και σε ενδορρυθμική (intramodal) ή χρωματική (chromatic), η οποία εμφανίζεται σε κάθε τύπο ίνας. Η τελευταία διαχωρίζεται με τη σειρά της σε διασπορά υλικού (material) και κυματοδηγού (waveguide), με την πρώτη να κυριαρχεί έναντι της δεύτερης για μήκη κύματος μακριά από το σημείο μηδενικής διασποράς, περί τα 1.31 μm. Η επίδραση της χρωματικής διασποράς στη διάδοση του παλμού μεταφράζεται μαθηματικά στην επέκταση της σταθεράς διάδοσης β του ρυθμού σε ανάπτυγμα Taylor γύρω από την κεντρική συχνότητα του φάσματος του παλμού ω 0 με σημαντικότερο τον όρο διασποράς της ταχύτητας ομάδας (group-velocity dispersion, GVD) β. Μη Γραμμικά Υαινόμενα Η τρίτη κατηγορία περιλαμβάνει τα μη-γραμμικά (non-linear) φαινόμενα που εμφανίζονται στις οπτικές ίνες, όπως και σε κάθε διηλεκτρικό, για μεγάλης έντασης ηλεκτρομαγνητικά πεδία. ε ένα στοιχειώδες επίπεδο, η προέλευση μιας μη γραμμικής απόκρισης σχετίζεται με τη μη αρμονική κίνηση των δεσμευμένων ηλεκτρονίων υπό την επιρροή ενός εφαρμοζόμενου πεδίου. Ως αποτέλεσμα, η συνολική πόλωση P που προκαλείται από τα ηλεκτρικά δίπολα δεν είναι γραμμική ως προς το εφαρμοζόμενο ηλεκτρικό πεδίο Ε αλλά ικανοποιεί μια πιο γενική σχέση (1) () (3) όπου ε 0 είναι η διηλεκτρική σταθερά του κενού και χ (k) P 0 ( E : EE EEE...) (1.1) είναι η ηλεκτρική επιδεκτικότητα k-ης τάξης, ένας τανυστής (k+1) ης τάξης. Η γραμμική επιδεκτικότητα χ (1) αντιπροσωπεύει την κυρίαρχη συμβολή στην πόλωση P με την επίδρασή της να περιλαμβάνεται μέσω του δείκτη διάθλασης n και του συντελεστή εξασθένισης α. Η επιδεκτικότητα ης τάξης χ (), στη συνέχεια, είναι μηδενική για μέσα που εμφανίζουν συμμετρία αντιστροφής, όπως το διοξείδιο του πυριτίου. Ως αποτέλεσμα, οι ίνες SiO συνήθως δεν εμφανίζουν ης τάξης μη γραμμικά φαινόμενα. Σα χαμηλότερης τάξης μη γραμμικά φαινόμενα στις οπτικές ίνες, λοιπόν, προέρχονται από την επιδεκτικότητα 3 ης τάξης χ (3) ενώ οι τρεις τελείες στο τέλος αντιστοιχούν σε μη γραμμικά φαινόμενα υψηλότερης τάξης. ΚΕΥ. 1: ΕΙΑΓΩΓΗ 1-3

12 Σα μη γραμμικά φαινόμενα που προκύπτουν, λοιπόν, μπορούν να διακριθούν σε ελαστικά και ανελαστικά. την πρώτη περίπτωση δεν εμφανίζεται ανταλλαγή ενέργειας μεταξύ του ηλεκτρομαγνητικού πεδίου και του διηλεκτρικού μέσου, με χαρακτηριστικά παραδείγματα το φαινόμενο Kerr και την απορρόφηση δύο φωτονίων (two photon absorption, TPA). τη δεύτερη κατηγορία περιλαμβάνονται τα μη γραμμικά φαινόμενα που προέρχονται από εξαναγκασμένη ανελαστική σκέδαση κατά την οποία το οπτικό πεδίο μεταφέρει μέρος της ενέργειάς του στο μη γραμμικό μέσο και οδηγεί σε γέννηση κυμάτων νέας συχνότητας, όπως η εξαναγκασμένη σκέδαση Raman (Stimulated Raman Scattering, SRS) και η εξαναγκασμένη σκέδαση Brillouin (Stimulated Brillouin Scattering, SBS) (αλληλεπίδραση με οπτικά και ακουστικά φωνόνια αντίστοιχα). Σα φαινόμενα αυτά γίνονται αντιληπτά όταν η ισχύς εισόδου ξεπεράσει ένα συγκεκριμένο κατώφλι. Μια δεύτερη διαφοροποίηση των φαινομένων προκύπτει ανάλογα με τον αριθμό των διαφορετικών κυμάτων που εμπλέκονται σε αυτά. Όταν έχουμε διάδοση ενός μόνο μήκους κύματος, τα χαρακτηριστικά φαινόμενα αυτής της κατηγορίας που ενδιαφέρουν είναι η αυτοδιαμόρφωση φάσης (Self Phase Modulation, SPM), το self-steepening (SS) και η ενδοπαλμική σκέδαση Raman (Intrapulse Raman Scattering, IRS). Όταν έχουμε παραπάνω του ενός μήκη κύματος ενδιαφέρουν η ετεροδιαμόρφωση φάσης (Cross Phase Modulation, XPM), η δημιουργία τρίτης αρμονικής (Third Harmonic Generation, THG) και η μείξη τεσσάρων κυμάτων (Four Wave Mixing, FWM). υνοψίζοντας, λοιπόν, είναι ξεκάθαρο ότι οι απώλειες μειώνουν την ισχύ και άρα περιορίζουν τα μη γραμμικά φαινόμενα. Από την άλλη, η διασπορά δεύτερης τάξης (Group Velocity Dispersion, GVD) αλλά και τρίτης τάξης (Third Order Dispersion, TOD) είναι ανεξάρτητες της ισχύος και μπορούν να αλληλεπιδράσουν με τα μη γραμμικά φαινόμενα. Σο αν και κατά πόσο θα μεταβάλλουν το σχήμα ή/και το φάσμα του παλμού εξαρτάται κάθε φορά από τη συγκεκριμένη περίπτωση. 1.3 Περίληψη Εργασίας Αντικείμενο της παρούσας εργασίας είναι η μελέτη της διάδοσης παλμών σε οπτικές ίνες και ολοκληρωμένους κυματοδηγούς πυριτίου υπό την επίδραση της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman (stimulated Raman scattering, SRS) με την επίλυση της γενικευμένης μη γραμμικής εξίσωσης του Schrödinger (Non-linear Schrödinger Equation, NLSE) μέσω της μεθόδου Split-Step Fourier (SSF). το δεύτερο κεφάλαιο θα δοθούν κάποια βασικά στοιχεία θεωρίας και θα διαμορφωθεί η εξίσωση διάδοσης παλμών. Αρχικά, θα εξεταστεί η επίδραση της διασποράς, δεύτερης (Group Velocity Dispersion, GVD) και τρίτης τάξης (Third Order Dispersion, TOD), στους παλμούς κατά τη διάδοσή τους. τη συνέχεια, θα διερευνηθεί η επίδραση της μη γραμμικότητας όπως αυτή εκφράζεται μέσω του φαινομένου της αυτοδιαμόρφωσης φάσης. Σέλος, θα εστιάσουμε στη συνδυασμένη δράση μη γραμμικότητας και διασποράς. Θα γίνει επίσης σύντομη αναφορά και στα μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης, όπως η ενδοπαλμική σκέδαση Raman (Intrapulse Raman Scattering, IRS) και το self steepening (SS). Σα αποτελέσματα που αποκτήθηκαν με τη δική μας υλοποίηση της SSF συγκρίνονται κατά περίπτωση με τη βιβλιογραφία [1] ώστε να είμαστε σίγουροι για την ορθότητά τους. τη συνέχεια περνάμε στο φαινόμενο της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman (SRS). Σο τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται στις οπτικές ίνες και στην αρχή εξηγείται ο φυσικός μηχανισμός της σκέδασης Raman, επιχειρώντας μια απλή, ποιοτική μικροσκοπική ανάλυση του φαινομένου. τη συνέχεια, ακολουθεί η μακροσκοπική ανάλυση με τη βοήθεια της γενικευμένης NLSE. Εδώ διαχωρίζονται δύο περιπτώσεις, της συνεχούς (CW ) ή σχεδόνσυνεχούς (quasi-cw) λειτουργίας και της παλμικής λειτουργίας (pulsed pump) οι οποίες εξετάζονται ξεχωριστά, καθώς στην πρώτη αγνοούνται τα φαινόμενα διασποράς. τη δεύτερη διακρίνονται οι υποπεριπτώσεις της περιοχής ομαλής (β > 0) και ανώμαλης (β <0) διασποράς. Σέλος παρουσιάζεται η χρήση της εξαναγκασμένης ΚΕΥ. 1: ΕΙΑΓΩΓΗ 1-4

13 σκέδασης Ράμαν για την κατασκευή ενισχυτών, οι οποίοι λειτουργούν σε μια ευρεία φασματική περιοχή, οι διάφοροι τύποι θορύβου που επιδεινώνουν τη λειτουργία τους καθώς και ένα παράδειγμα μοντελοποίησης θορύβου. το τέταρτο κεφάλαιο θα εξετάσουμε την εξαναγκασμένη σκέδαση Raman σε κυματοδηγούς πυριτίου σε συνθήκες συνεχούς λειτουργίας (CW). Αρχικά αναφέρονται οι διαφορές που παρουσιάζουν οι κυματοδηγοί αυτοί από τις οπτικές ίνες και εισάγονται δύο νέα φαινόμενα, η απορρόφηση δύο φωτονίων (two photon absorption, TPA) και η απορρόφηση ελεύθερων φορέων (free carrier absorption, FCA). τη συνέχεια παρουσιάζονται αναλυτικές εξισώσεις περιγραφής της διάδοσης του κύματος άντλησης (pump) και του κύματος Stokes, τόσο όταν αγνοείται όσο και όταν συμπεριλαμβάνεται η εξάντληση του κύματος pump μέσω της SRS. τη δεύτερη περίπτωση μάλιστα υπάρχει αναλυτική παρουσίαση της μαθηματικής απόδειξης στα παραρτήματα της εργασίας. Σέλος, αναλύονται τα αποτελέσματα στην περίπτωση στην οποία λαμβάνεται υπόψη η εξάντληση του pump και συγκρίνονται με την αντίστοιχη αριθμητική επίλυση. ΚΕΥ. 1: ΕΙΑΓΩΓΗ 1-5

14 ΚΕΥΑΛΑΙΟ ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ Σο κεφάλαιο αυτό ξεκινά με την παρουσίαση του μοντέλου της μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (Non- Linear Schrödinger Equation, NLSE), η οποία αποτελεί το βασικό εργαλείο για τη μελέτη της διάδοσης ενός ηλεκτρομαγνητικού παλμού κατά μήκος ενός οπτικού κυματοδηγού, όπως οι τυπικές γυάλινες μονόρρυθμές ίνες (fused silica fibers) βηματικού δείκτη διάθλασης. Ακολουθεί η περιγραφή της μεθόδου Split-Step Fourier (SSF) που χρησιμοποιείται για την αριθμητική επίλυση της παραπάνω εξίσωσης, καθώς δεν επιδέχεται αναλυτική λύση παρά σε πολύ συγκεκριμένες περιπτώσεις. τη συνέχεια παρουσιάζεται η επίδραση των φαινομένων της διασποράς, δεύτερης (GVD) και τρίτης (TOD) τάξης, καθώς και της αυτοδιαμόρφωσης φάσης (SPM) στην εξέλιξη του παλμού, τόσο μεμονωμένα όσο και σε συνδυασμό. Σο κεφάλαιο ολοκληρώνεται με την περιγραφή δύο μη γραμμικών φαινομένων ανώτερης τάξης, του self-steepening και της ενδοπαλμικής σκέδασης Raman (Intrapulse Raman Scattering, IRS). ημειώνεται ότι όλα τα φαινόμενα που περιγράφονται είναι μονοκαναλικά (single-channel), παρατηρούνται δηλαδή κατά τη διάδοση παλμών σε ένα συγκεκριμένο κεντρικό μήκος κύματος..1 Μη Γραμμική Εξίσωση Schrödinger Με κατάλληλη επεξεργασία των εξισώσεων του Maxwell [1] η κυματική εξίσωση διάδοσης ενός οπτικού σήματος σε ένα ομογενές 1 μη γραμμικό μέσο μπορεί να πάρει τη μορφή 1 E P L P E 0 NL (.1) 0 c t t t όπου μ 0 η μαγνητική διαπερατότητα του κενού, Ε το ηλεκτρικό πεδίο του παλμού, P L και P NL το γραμμικό και το μη γραμμικό μέρος της συνολικής πόλωσης P αντίστοιχα για την οποία ισχύει P ( r, t) = PL ( r, t) P NL( r, t) (.) με t P L( r, t ) 0 ( t t ') E ( r, t ') dt ' (.3) (1) και 1 Ένας κυματοδηγός είναι γενικά ένα μη-ομογενές μέσο. Παρόλα αυτά, οι μονόρρυθμες οπτικές ίνες με διάμετρο-πυρήνα ~10 μm (~10λ) και μικρή διαφορά-δεικτών διάθλασης (Δ<0.01) μπορούν ποιοτικά να θεωρηθούν ομογενή μέσα. Αιτία είναι η ομοιότητα του ρυθμού στο εσωτερικό τους με επίπεδο κύμα: έχει πολύ μεγάλη έκταση σε σχέση με το μήκος κύματος και το πλάτος του μεταβάλλεται πολύ αργά και ομαλά στο προφίλ του. ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 1

15 (3) PNL( r, t) 0 ( t t1, t t, t t3) E( r, t1) E( r, t) E( r, t3) dt1dt dt 3. (.4) Η Εξ. (.) ισχύει με την προϋπόθεση ότι μελετάται η περιοχή των μm που είναι μακριά από τους συντονισμούς του μέσου, ενώ οι Εξ. (.3) και (.4) ισχύουν για τοπική μη γραμμική απόκριση. Όταν, επιπλέον, η απόκριση θεωρείται ακαριαία η εξάρτηση του χ (3) συναρτήσεων της μορφής δ(t-t 1 ) και τελικά (3) από τον χρόνο δίνεται από το γινόμενο τριών δέλτα PNL( r, t) 0 E( r, t) E( r, t) E( r, t). (.5) Σο σύμβολο δηλώνει τανυστικό γινόμενο, δηλαδή κάθε μία από τις τρεις συνιστώσες καθενός από τα τρία διανύσματα πολλαπλασιάζεται με τις υπόλοιπες και την τιμή του πίνακα χ (3) για τον συγκεκριμένο συνδυασμό συνιστωσών. Αποτέλεσμα είναι ένα άθροισμα 81 όρων που το καθένα αποτελεί γινόμενο της μορφής χ (3) klmnε l Ε m Ε n. Ουσιαστικά, με την παραπάνω υπόθεση αγνοείται η συνεισφορά των μοριακών δονήσεων στο χ (3) (φαινόμενο Raman). τις οπτικές ίνες η απόκριση Raman διαρκεί περίπου fs. Επομένως, η Εξ. (.5) είναι προσεγγιστικά έγκυρη για παλμούς πλάτους Σ 0 >1 ps. Η συμβολή Raman επεξηγείται αναλυτικά στο κεφάλαιο 3. Η επίλυση της Εξ. (.1) προϋποθέτει κάποιες απλουστευτικές παραδοχές. υγκεκριμένα: - Η PNL μπορεί να αντιμετωπισθεί ως μια μικρή διαταραχή της P L αφού οι μεταβολές του δείκτη διάθλασης που παρατηρούνται εξαιτίας της πρώτης είναι πρακτικά μικρότερες της 10-6, άρα P NL P L. - Οι απώλειες διάδοσης αγνοούνται σε πρώτη φάση και εισάγονται αργότερα ως μια μικρή διαταραχή του φακέλου. - Η πόλωση του οπτικού κύματος θεωρείται σταθερή κατά μήκος της οπτικής ίνας ώστε να μπορεί να χρησιμοποιηθεί η βαθμωτή προσέγγιση. Αν και αυτό δεν ισχύει στην πράξη, η συγκεκριμένη προσέγγιση δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα. - Σο οπτικό πεδίο αντιμετωπίζεται ως σχεδόν μονοχρωματικό (quasi - monochromatic), δηλαδή το φάσμα του παλμού το οποίο εκτείνεται γύρω από την κεντρική συχνότητα 0 θεωρείται ότι έχει εύρος πολύ μικρότερο της συχνότητας αυτής. την προσέγγιση αργά μεταβαλλόμενου φακέλου (slowly varying envelope approximation, SVEA) που υιοθετείται στη συγκεκριμένη ανάλυση το ηλεκτρικό πεδίο διαχωρίζεται σε δύο μέρη που μεταβάλλονται με διαφορετική συχνότητα γράφοντάς το με τη μορφή ή 1 E ( r, t ) x ˆ[ E ( r, t )exp( j0t ) c. c.], (.6) 1 Er (, t ) x ˆ[ F ( x, y ) A ( z, t )exp[ j ( 0z 0t )] c. c.]. (.7) όπου F(x,y) είναι η κατανομή του βασικού ρυθμού ΗΕ 11 στη διατομή της ίνας, Α(z,t) το πλάτος του ρυθμού κανονικοποιημένο έτσι ώστε το Α να αντιπροσωπεύει την οπτική ισχύ, ˆx το μοναδιαίο διάνυσμα κατά τη διεύθυνση της πόλωσης και με c.c. συμβολίζεται ο συζυγής μιγαδικός. Επίσης, το κύμα εισάγεται στο z = 0 και διαδίδεται κατά τα θετικά z. Ο φάκελος E( r, t) του παλμού μεταβάλλεται αργά σχετικά με το οπτικό πεδίο που ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ -

16 χαρακτηρίζεται από πολύ μεγαλύτερη συχνότητα μεταβολής 0 (της τάξης, για παράδειγμα, των Hz). Αντίστοιχα, οι συνιστώσες της πόλωσης εκφράζονται ως 1 PL ( r, t ) x ˆ[ P (, )exp( 0 )..], L r t j t c c (.8) 1 PNL ( r, t ) x ˆ[ P (, )exp( 0 )..]. NL r t j t c c (.9) Η επίδραση της χρωματικής διασποράς στη διάδοση του παλμού μεταφράζεται μαθηματικά με την επέκταση της σταθεράς διάδοσης β του ρυθμού σε ανάπτυγμα Taylor γύρω από την κεντρική συχνότητα του φάσματος του παλμού ω 0 : όπου ( ) και ( ) ( 0) ( 0) 1( 0) ( 0) ( 0)..., (.10) m m d m d 0, ( m 1,,...). (.11) Οι παράμετροι β 1 και β σχετίζονται με το δείκτη διάθλασης n(ω) και τις παραγώγους του σύμφωνα με τις σχέσεις 1 ng 1 dn 1 n, (.1) v c c d g 1 dn d n, (.13) c d d όπου n g o δείκτης διάθλασης της ομάδας και v g η ταχύτητα ομάδας. Η β ονομάζεται παράμετρος διασποράς της ταχύτητας ομάδας (group-velocity dispersion, GVD). Ο δείκτης διάθλασης μπορεί να γραφτεί στην απλούστερη μορφή του ως n, E n( ) n E (.14) όπου n(ω) είναι το γραμμικό κομμάτι, E είναι η οπτική ένταση μέσα στην ίνα και n είναι ο μη-γραμμικός δείκτης διάθλασης (nonlinear-index coefficient). Βάσει των παραπάνω παραδοχών και συμβάσεων προχωράμε από την κυματική Εξ (.1) ώστε να εξάγουμε την εξίσωση διάδοσης για τον φάκελο του οπτικού σήματος, στο πεδίο της συχνότητας. Αρχικά αντικαθιστώνται τα διάφορα μεγέθη μέσω των Εξ. (.3) και (.5) (.7) και εκτελούνται οι παραγωγίσεις ως προς το μήκος διάδοσης z και τον χρόνο t, αγνοώντας την παράγωγο ης τάξης ως προς z λόγω SVEA. Η (.1) είναι μη γραμμική εξίσωση λόγω της εξάρτησης της μη γραμμική πόλωσης από την ένταση του οπτικού πεδίου. Όμως η SVEA και η παραδοχή της αντιμετώπισης της P NL ως μικρή διαταραχή της P L (αντικαθίσταται P NL = 0 στην κυματική εξίσωση) επιτρέπει τη γραμμική προσέγγιση, η οποία με τη σειρά της οδηγεί στην απαλοιφή των ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 3

17 εμφανιζόμενων χωρικών παραγώγων ως προς τις εγκάρσιες διευθύνσεις x και y του λαπλασιανού τελεστή. Μάλιστα, για τη σταθερά διάδοσης χρησιμοποιείται το ανάπτυγμα της Εξ. (.10) κρατώντας μόνο τους όρους μέχρι η τάξη, απλοποίηση που επιτρέπεται λόγω της παραδοχής μονοχρωματικού πεδίου (Δω ω 0 ) [1]. Από την παραπάνω διαδικασία, με μετατροπή στο πεδίο του χρόνου (αντικαθιστώντας τον πολλαπλασιασμό Αω n με τη χρονική n-παράγωγο του Α), προκύπτει, τελικά, η λύση στην οποία εμφανίζονται τα εξής σύμβολα: A A j A 1 A j ( 0) A A, z t t (.15) β 1 : παράμετρος διασποράς 1 ης τάξης [s/m] β : GVD παράμετρος [s /m] α : παράμετρος απωλειών [Np/m] γ : μη γραμμική παράμετρος, [W -1 /m] ώστε ( )A να μετριέται σε [m -1 ] 0 n ( 0 0 ) ( ) 0 ca eff 3 n( 0) Re 8 n( ) 0 (3) xxxx (.16) (.17) όπου το οπτικό πεδίο υποτίθεται ότι είναι γραμμικά πολωμένο έτσι ώστε μόνο η συνιστώσα χ (3) xxxx του τανυστή 4 ης τάξης συνεισφέρει στον δείκτη διάθλασης A eff : η ενεργός επιφάνεια του ρυθμού. 1 n ( 0) 1 Re[ 1( 0)], (.18) A eff F( x, y) F( x, y) dxdy 4 dxdy. (.19) υνοψίζοντας, η Εξ. (.15) περιγράφει τη διάδοση παλμών της τάξης των picosecond, αγνοούνται δηλαδή τα μη γραμμικά φαινόμενα υψηλότερης τάξης. Περιλαμβάνει την επίδραση των απωλειών της ίνας μέσω του a, της χρωματικής διασποράς μέσω των β 1 και β και της μη γραμμικότητας της ίνας μέσω του γ. Φρησιμοποιώντας ένα πλαίσιο χρονικής αναφοράς που κινείται με την ταχύτητα ομάδας του παλμού v g και προκύπτει με τον μετασχηματισμό η Εξ. (.15) μετατρέπεται στην T t z v g t 1 z. (.0) ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 4

18 A j A j A A A 0. z T (.1) Η τελευταία μειώνει σημαντικά το υπολογιστικό παράθυρο που απαιτείται για την παρακολούθηση της εξέλιξης ενός σήματος με ευρύ φάσμα και μήκος κύματος που απέχει από το μήκος κύματος μηδενικής διασποράς και χρησιμοποιείται κυρίως για παλμούς φαρδύτερους των ~ 5 ps. Για α=0 η μορφή της μοιάζει με την αντίστοιχη της εξίσωσης Schrödinger της κβαντομηχανικής και γι αυτό έχει υιοθετηθεί το όνομα μη γραμμική εξίσωση Schrödinger (Non Linear Schrödinger Equation, NLSE ) που χρησιμοποιείται καταχρηστικά για α~=0. Η εξίσωση Schrödinger είναι μια θεμελιώδης εξίσωση των μη γραμμικών επιστημών και έχει μελετηθεί εκτεταμένα στο πεδίο των σολιτονίων. Η Εξ. (.1) είναι η πιο απλή μη γραμμική εξίσωση για την μελέτη των 3 ης τάξης μη γραμμικών φαινομένων στις οπτικές ίνες.. Μέθοδος Επίλυσης της Εξίσωσης Schrödinger Η NLSΕ είναι μια μη γραμμική με μερικές παραγώγους διαφορική εξίσωση που δεν επιδέχεται γενικά αναλυτική λύση, εκτός από μερικές ειδικές περιπτώσεις [1 κεφάλαιο]. Φρειάζεται, συνεπώς, μια αριθμητική προσέγγιση για την κατανόηση των φαινομένων που περιγράφει. υγκεκριμένα, η μέθοδος που χρησιμοποιείται εκτεταμένα για την επίλυση προβλημάτων διάδοσης παλμών σε μη γραμμικά μέσα με διασπορά είναι η Split- Step Fourier (SSF). Η SSF ανήκει στην κατηγορία των ψευδοφασματικών (pseudospectral) μεθόδων και λειτουργεί ως εξής: Η Εξ. (.15) μπορεί να γραφτεί στη μορφή A ( D ˆ N ˆ) A, (.) z όπου ο ˆD είναι ένας διαφορικός τελεστής που αντιπροσωπεύει τη διασπορά και τις απώλειες σε ένα γραμμικό μέσο και ˆN ένας μη γραμμικός τελεστής που περιγράφει τα μη γραμμικά φαινόμενα κατά τη διάδοση των παλμών και δίνονται από τις σχέσεις 3 ˆ a j D 3..., 3 T 6 T ανάλογα με τους όρους διασποράς που περιλαμβάνει, και (.3) N ˆ j A, (.4) στην περίπτωση που δεν μελετώνται μη γραμμικά φαινόμενα ανώτερης τάξης. Γενικά η διασπορά και η μη γραμμικότητα επιδρούν στον παλμό ταυτόχρονα κατά μήκος της ίνας. Η μέθοδος SSF, όμως, παράγει μια προσεγγιστική λύση υποθέτοντας ότι κατά τη διάδοση του οπτικού πεδίου σε μια μικρή απόσταση μήκους h τα δύο φαινόμενα επιδρούν σε αυτό ανεξάρτητα. Πιο συγκεκριμένα, η διάδοση από το z στο z + h εκτελείται σε δύο βήματα. το πρώτο επιδρούν μόνο τα μη γραμμικά φαινόμενα και D ˆ 0 στην εξίσωση (.). το δεύτερο επιδρά μόνο η διασπορά και N ˆ 0. Μαθηματικά αυτό συνεπάγεται ότι με τον εκθετικό τελεστή A( z h, T) exp( hdˆ)exp( hnˆ) A( z, T ) (.5) exp( hd ˆ) να υπολογίζεται στο πεδίο Fourier χρησιμοποιώντας τη σχέση ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 5

19 1 exp( hd ˆ) B ( z, T ) F exp[ hd ˆ( j )] F B ( z, T ) (.6) T όπου F T είναι o μετασχηματισμός Fourier και F -1 T ο αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier ενώ o ο τελεστής Dj ˆ( ) είναι T a 3 Dˆ( j ) j 3... (.7) 6 και προκύπτει αντικαθιστώντας τον διαφορικό τελεστή / T με jω στην Εξ. (.18), όπου ω είναι η συχνότητα στο πεδίο Fourier. Ο υπολογισμός των F T και F -1 T γίνεται πολύ εύκολα και γρήγορα μέσω του FFT αλγορίθμου. Για βελτίωση της ακρίβειας μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια παραλλαγή της SSFM, διεξάγοντας τη διάδοση του παλμού σε τρία, αντί για δύο, βήματα σύμφωνα με την εξίσωση h ˆ ˆ h A( z h, T) exp D exp( hn)exp Dˆ A( z, T ). (.8) η οποία λόγω της συμμετρίας υλοποίησης ονομάζεται και συμμετρική (symmetrized) Split-Step Fourier Method. την ουσία η Εξ.(.8) μπορεί να γραφτεί ως: h ˆ ˆ ˆ h A( z h, T) exp D [exp( hn)exp( hd) A( z, T)]exp D ˆ. (.9) Βάσει αυτής της ισοδυναμίας χρησιμοποιείται συχνά το εξής τέχνασμα, προκειμένου να μην αυξηθεί ο συνολικός χρόνος επίλυσης: αρχικά εφαρμόζεται μόνο μια φορά ο τελεστής exp[( h / ) D ˆ], στη συνέχεια οι exp( hnˆ)exp( hd ˆ) για κάθε βήμα και τέλος μόνο μια φορά ο τελεστής exp[( h / ) D ˆ]. Η εφαρμογή της SSFM είναι σχετικά απλή. Όπως φαίνεται στην εικόνα.1, το μήκος της ίνας διαχωρίζεται σε έναν μεγάλο αριθμό τμημάτων μήκους h, χωρίς να είναι απαραίτητα ίσα μεταξύ τους. Ο οπτικός παλμός μεταφέρεται από κομμάτι σε κομμάτι χρησιμοποιώντας την προδιαγραφή της Εξ. (.8). Πιο συγκεκριμένα, το οπτικό πεδίο A(z,T) πρώτα διαδίδεται κατά μια απόσταση h/ μόνο με διασπορά χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο FFT και την Εξ. (.6). το μεσαίο επίπεδο z+h/ το πεδίο πολλαπλασιάζεται με έναν μη γραμμικό όρο ο οποίος αντιπροσωπεύει την επίδραση της μη γραμμικότητας κατά μήκους του συνολικού τμήματος h. Σελικά, το πεδίο διαδίδεται στην απόσταση h/ που απομένει μόνο με διασπορά και προκύπτει το A(z+h,T). την ουσία, δηλαδή, η μη γραμμικότητα θεωρείται συγκεντρωμένη στο κεντρικό επίπεδο κάθε τμήματος. Προκειμένου να χρησιμοποιηθεί ο αλγόριθμος FFT ορίζεται ένα χρονικό παράθυρο μέσα στο οποίο γίνεται η δειγματοληψία της ισχύος του διαδιδόμενου παλμού. Σο χρονικό αυτό παράθυρο αντιστοιχεί ευθέως σε ένα φασματικό παράθυρο μέσα στο οποίο υπολογίζεται η φασματική ισχύς το παλμού. Σα δύο αυτά παράθυρα θα πρέπει να είναι αρκούντως μεγάλα ώστε, σε κάθε σημείο της διάδοσης, το σχήμα και το φάσμα του παλμού να χωράνε με άνεση (και όχι οριακά) στο αντίστοιχο παράθυρο. Αυτό σημαίνει ότι ο σωστός ορισμός τους απαιτεί να λάβουμε υπόψη τόσο τη χρονική όσο και τη φασματική διεύρυνση που αναμένεται κατά τη διάδοση. Συπικά, τα μεγέθη των παραθύρων επιλέγονται 10 με 0 φορές μεγαλύτερα από το πλάτος του παλμού. ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 6

20 χήμα.1: χηματική αναπαράσταση της συμμετρικής SSFM που χρησιμοποιείται για συμμετρικές προσομοιώσεις. Η οπτική ίνα διαχωρίζεται σε πολυάριθμα τμήματα μήκους h. ε κάθε τμήμα η μη γραμμικότητα εφαρμόζεται στο κεντρικό επίπεδο (διακεκομμένη γραμμή) ενώ η διασπορά στα όρια των τμημάτων (συνεχείς γραμμές)..3 Υαινόμενα Διασποράς Αρχικά εξετάζεται μόνο η επίδραση της διασποράς ταχύτητας ομάδας ενώ αγνοούνται τα μη γραμμικά φαινόμενα, αντιμετωπίζοντας τις οπτικές ίνες σαν γραμμικό μέσο. Προκειμένου να ισχύει η παραπάνω υπόθεση πρέπει να πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις και για τη βοήθεια της ανάλυσης ορίζονται δύο χαρακτηριστικά μήκη: Σο μήκος διασποράς (dispersion length) T L 0 D (.30) και το μη-γραμμικό μήκος (non-linear length) 1 L NL P0 όπου Σ 0 είναι το αρχικό χρονικό πλάτος του παλμού και P 0 η προσπίπτουσα ισχύς κορυφής, β η GVD παράμετρος και γ η μη γραμμική παράμετρος. Ανάλογα με τα P 0 και Σ 0 ή, ισοδύναμα, με τη σχετική τιμή των δύο χαρακτηριστικών μηκών υπερισχύουν τα φαινόμενα διασποράς ή τα μη γραμμικά, μπορεί όμως να υπάρχει και ισοδύναμη συμβολή των δύο κατηγοριών στην εξέλιξη του παλμού. υγκεκριμένα, αν L είναι το συνολικό μήκος διάδοσης τότε: (.31) Για L L NL και L L D ούτε τα φαινόμενα διασποράς ούτε τα μη γραμμικά επηρεάζουν σημαντικά την εξέλιξη του παλμού, ο οποίος διατηρεί το σχήμα του κατά τη διάδοση. Οι ίνες, δηλαδή, διατηρούν έναν παθητικό ρόλο σε αυτή την περιοχή και λειτουργούν απλώς ως μεταφορείς παλμών, αν εξαιρέσει κανείς τις απώλειες. Επομένως αυτή η περιοχή είναι γενικά επιθυμητή στα συστήματα οπτικών επικοινωνιών. Για L L NL και L~L D οπότε και ισχύει η σχέση LD P LNL η εξέλιξη του παλμού κυριαρχείται από τη διασπορά ταχύτητας ομάδας. Για L L D και L~L NL οπότε και ισχύει η σχέση ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 7

21 L L D NL 0 0 P 1 η εξέλιξη κυριαρχείται από την αυτοδιαμόρφωση φάσης που μεταβάλλει το φάσμα του παλμού. Όταν το μήκος L είναι μεγαλύτερο από ή συγκρίσιμο τόσο με το L D όσο και με το L NL, και η διασπορά αλλά και η μη γραμμικότητα επιδρούν ταυτόχρονα στον παλμό κατά μήκος της ίνας. Η αλληλεπίδραση της διασποράς ταχύτητας ομάδας (GVD) και αυτοδιαμόρφωσης φάσης (SPM) οδηγεί σε μια ποιοτικά διαφορετική συμπεριφορά σε σχέση με τη δράση κάθε φαινομένου ξεχωριστά. την περιοχή ανώμαλης διασποράς (β <0) η ίνα μπορεί να υποστηρίξει σολιτόνια (εξηγείται στο κεφάλαιο 3) ενώ στην περιοχή ομαλής διασποράς (β >0), τα φαινόμενα GVD και SPM μπορούν να χρησιμοποιηθούν για χρονική συμπίεση του παλμού. ε κάθε περίπτωση, για τη μελέτη του παλμού χρησιμοποιείται η NLSE όπως περιγράφηκε στην Εξ. (.3) η οποία επιλύεται με τη συμμετρική SSF μέθοδο..3.1 Διασπορά Σαχύτητας Ομάδας (GVD) Φρησιμοποιώντας το κανονικοποιημένο ως προς την ισχύ πλάτος U ορισμένο μέσω της εξίσωσης A( z, T) U( z, T) exp( z / ) (.3) P 0 και αγνοώντας τις γραμμικές απώλειες (α = 0) και τα μη γραμμικά φαινόμενα (γ = 0) η Εξ. (.15) μετασχηματίζεται στη U j z U. (.33) T Η Εξ. (.33) λύνεται άμεσα στο πεδίο των συχνοτήτων χρησιμοποιώντας τον μετασχηματισμό Fourier του πλάτους U( z, T) ο οποίος ορίζεται μέσω της εξίσωσης Uz (, ) 1 U( z, T) U( z, )exp j T d. (.34) Μετασχηματίζοντας την Εξ.(.34) στο πεδίο της συχνότητας προκύπτει η συνήθης διαφορική εξίσωση Uz (, ) 1 j U( z, ), z (.35) με γνωστή λύση την j U( z, ) U(0, )exp z. (.36) Η Εξ. (.36) δείχνει ότι η GVD μεταβάλλει τη φάση κάθε συχνοτικής συνιστώσας του παλμού κατά μία ποσότητα που εξαρτάται τόσο από τη συχνότητα όσο και από την απόσταση που έχει ήδη διανυθεί. Παρόλο που τέτοιες αλλαγές δεν επηρεάζουν το πλάτος των φασματικών συνιστωσών του παλμού, μπορούν να επηρεάσουν το σχήμα του στο χρόνο. Αντικαθιστώντας την Εξ. (.36) στην Εξ. (.34) προκύπτει άμεσα η λύση ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 8

22 1 j U( z, T) U(0, )exp z j T d, (.37) όπου το U (0, ) είναι ο μετασχηματισμός Fourier του παλμού εισόδου και ισούται με U(0, ) U(0, T)exp j T d. (.38) Η Εξ. (.38) αποτελεί τη γενική λύση που ισχύει για κάθε σχήμα παλμού εισόδου. την ανάλυση που ακολουθεί για παλμούς χαρακτηριστικών σχημάτων εξετάζουμε και το chirp συχνότητας (frequency chirp). Σο μέγεθος αυτό ορίζεται ως ( T) T (.39) όπου με φ συμβολίζεται η φάση του φακέλου του παλμού και με Σ η κλίμακα χρόνου που ορίστηκε στην Εξ. (.1). Σο πρόσημο μπαίνει λόγω της επιλογής exp( j0t) για τη φάση στην Εξ. (.7). Επομένως, όταν ένας παλμός εμφανίζει chirp σημαίνει ότι κάποια τμήματά του μεταβάλλονται με διαφορετική συχνότητα από κάποια άλλα που προηγούνται ή έπονται. Λόγω διασποράς οι συχνότητες αυτές διαδίδονται και με διαφορετική ταχύτητα και μπορούν να προκαλέσουν αλλοίωση στο σχήμα του παλμού. α. Γκαουσιανός Παλμός Αρχικά εξετάζεται ο Γκαουσιανός παλμός για τον οποίο το προσπίπτον πεδίο έχει τη μορφή T U(0, T) exp. T 0 (.40) όπου με Σ 0 συμβολίζεται το μισό εύρος όπου η ένταση έχει πέσει στο 1 e της τιμής κορυφής. Φρησιμοποιώντας τις Εξ. (.39) και (.40) για τον Γκαουσιανό παλμό προκύπτει η αναλυτική εξίσωση για το πλάτος U σε κάθε σημείο z της ίνας: T 0 T U( z, T) exp. (.41) 1/ ( T 0 j z) ( T0 j z) Υαίνεται, λοιπόν, ότι παρόλο που το σχήμα εξακολουθεί να παραμένει Γκαουσιανό κατά μήκος της διάδοσης, το εύρος αυξάνεται από Σ 0 σε Σ 1 σύμφωνα με τη σχέση 1/ T 1( z) T0 1 ( z / L ). (.4) D όπου LD T0. Επιπλέον, για δεδομένο μήκος ίνας οι στενότεροι παλμοί διευρύνονται περισσότερο από τους φαρδύτερους λόγω μικρότερου μήκους διασποράς L D. Γράφοντας την Εξ. (.41) στη μορφή απομονώνοντας τη φάση του φακέλου ως U( z, T) U( z, T) exp[ j( z, T )], (.43) ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 9

23 sgn( )( z / L ) 1 1 (, ) D T z zt tan sgn( ) 1 ( z / L ) T LD D 0 (.44) και συγκρίνοντας τις Εξ. (.43) και (.46) φαίνεται ξεκάθαρα ότι παρόλο που αρχικά ο Γκαουσιανός παλμός δεν εμφανίζει chirp, κατά τη διάδοση αποκτά chirp. Για το συγκεκριμένο παλμό, μάλιστα, η φάση μεταβάλλεται ανάλογα με το τετράγωνο του χρόνου σε κάθε απόσταση z και διαφέρει για ομαλή και ανώμαλη διασπορά. (α) χήμα.: (α) Κανονικοποιημένη ένταση U και (β) κανονικοποιημένο chirp συχνότητας δωσ 0 σε περιοχή ανώμαλης διασποράς (β < 0) ως συνάρτηση του χρόνου Σ/Σ 0 για έναν Γκαουσιανό παλμό στα z =0, z = L D και z = 4L D. Η τετραγωνική εξάρτηση της φάσης από το χρόνο έχει ως αποτέλεσμα τη διαφοροποίηση της στιγμιαίας συχνότητας από την κεντρική συχνότητα ω 0 κατά την ποσότητα sgn( )( z / L ) ( ) D T T. (.45) T 1 ( z / L ) T Σελικά, φαίνεται ότι η GVD επιφέρει ένα γραμμικό chirp στον παλμό που εξαρτάται από το πρόσημο της παραμέτρου β, όπως φαίνεται στο σχήμα.(β). β. Γκαουσιανός Παλμός με Αρχικό Chirp την περίπτωση των Γκαουσιανών παλμών με αρχικό γραμμικό chirp ο παλμός εισόδου περιγράφεται από την εξίσωση (1 jc) T U(0, T) exp, (.46) T0 όπου C είναι η παράμετρος του αρχικού chirp. Σο C μπορεί να είναι θετικό (C >0), δηλαδή η συχνότητα να αυξάνεται γραμμικά καθώς κινούμαστε από το άκρο του παλμού που προηγείται προς το άκρο που έπεται (upchirp). Σο αντίθετο (down-chirp) συμβαίνει για αρνητικό αρχικό chirp (C < 0). Επιλύοντας τις Εξ. (.39) και (.40) η αναλυτική έκφραση για το πλάτος σε κάθε σημείο της ίνας προκύπτει D 0 (β) ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 10

24 T 0 (1 jc) T U( z, T) exp. 1/ [ T 0 j z(1 jc)] [ T0 j z(1 jc)] (.47) Ακόμη και στην παρουσία αρχικού chirp, λοιπόν, ο Γκαουσιανός παλμός διατηρεί το σχήμα του κατά τη διάδοση. Επίσης, διευρύνεται κατά τον παράγοντα 1/ T 1 1 C z T0 z T0 T0 ενώ η παράμετρος chirp του παλμού μεταβάλλεται από C σε (.48) C ( z) C (1 C )( z / T ). (.49) 1 0 Σα παραπάνω αποτελέσματα φαίνονται στο σχήμα.3, έχοντας εισάγει το κανονικοποιημένο μήκος διάδοσης ξ = z/l D. (α) χήμα.3: (α) Παράγοντας διεύρυνσης και (β) παράμετρος chirp ως προς την απόσταση διάδοσης ενός Γκαουσιανού παλμού με γραμμικό αρχικό chirp. Η διάδοση γίνεται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς της ίνας. Οι ίδιες καμπύλες προκύπτουν στην περιοχή ομαλής διασποράς αν αντιστραφεί το πρόσημο της παραμέτρου C. Όπως φαίνεται, στην απουσία αρχικού chirp ο παλμός διευρύνεται μονότονα κατά έναν παράγοντα (1 ) 1/ και αναπτύσσει αρνητικό chirp τέτοιο ώστε C 1 = - ξ. την παρουσία αρχικού chirp, όμως, οι παλμοί μπορεί να διευρύνονται ή να συμπιέζονται, ανάλογα με τα πρόσημα των παραμέτρων β και C. υγκεκριμένα, όταν β C > 0 ο παλμός διευρύνεται μονότονα με μεγαλύτερο ρυθμό από έναν παλμό χωρίς αρχικό chirp (σχήμα.3.(α), πράσινη γραμμή). Σο chirp δηλαδή που προκαλείται κατά τη διάδοση προστίθεται στο αρχικό λόγω ομόσημων παραμέτρων. Αντίθετα, όταν β C < 0 ο παλμός αρχικά συμπιέζεται μέχρι μια απόσταση ξ στην οποία το συνολικό chirp μηδενίζεται και το πλάτος του παλμού ελαχιστοποιείται. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι το chirp που προστίθεται λόγω διάδοσης στα πρώτα στάδια διάδοσης είναι αντίθετο του αρχικού chirp εισόδου κι έτσι αλληλοαναιρούνται. τη συνέχεια, ο παλμός περνάει στο στάδιο της διεύρυνσης ακριβώς όπως στην περίπτωση των ομόσημων παραμέτρων (σχήμα.3 (α), κόκκινη γραμμή). Σο ελάχιστο εύρος, μάλιστα, στο οποίο μπορεί να φτάσει δίνεται από τη σχέση (β) ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 11

25 (1 C ) min (.50) γ. Παλμός Τπερβολικής Σέμνουσας Παλμοί αυτού του είδους παρουσιάζουν ιδιαίτερη σημασία καθώς μπορούν να διαδοθούν ως σολιτόνια. Μάλιστα, η μορφή τους προσεγγίζεται ικανοποιητικά από το σχήμα των παλμών που εκπέμπονται από κάποια lasers. Σο οπτικό πεδίο που σχετίζεται με αυτό το είδος των παλμών έχει τη μορφή (0, ) sech T exp CT U T j, (.51) T0 T 0 με τη παράμετρο C να περιγράφει το αρχικό chirp ακριβώς όπως και στην περίπτωση της προηγούμενης παραγράφου. (α) (β) χήμα.4: : (α) Κανονικοποιημένη ένταση U και (β) κανονικοποιημένο chirp συχνότητας δωσ 0 σε περιοχή ανώμαλης διασποράς για διάδοση παλμού υπερβολικής τέμνουσας και με αρχικό chirp C = 0. Απεικονίζονται οι παλμοί στην είσοδο της ίνας (z = 0) καθώς και σε απόσταση διάδοσης z = L D και z = 4L D Λόγω της απαιτητικής θεωρητικής ανάλυσης δεν είναι εύκολο να προκύψει γι αυτή την περίπτωση ένας κλειστός τύπος για το U(z,T) όπως στην περίπτωση των Γκαουσιανών παλμών. Λύνοντας αριθμητικά το πρόβλημα με τη μέθοδο SSF προκύπτει το σχήμα.4, όπου φαίνεται η εξέλιξη του παλμού κατά τη διάδοση και το αντίστοιχο chirp. υγκρίνοντας τα σχήματα. και.4 φαίνεται ξεκάθαρα ότι η βασική διαφορά εμφανίζεται στο chirp που προκαλείται λόγω GVD, το οποίο παύει πλέον να είναι αμιγώς γραμμικό κατά μήκος του παλμού. δ. Τπέρ-Γκαουσιανός Παλμός Μια ακόμη περίπτωση παλμού είναι αυτή του υπέρ-γκαουσιανού. Σο προφίλ των υπέρ-γκαουσιανών παλμών στην είσοδο της ίνας μπορεί να περιγραφεί από την εξίσωση m 1 jc T U(0, T) exp, (.5) T0 ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 1

26 όπου η παράμετρος m ελέγχει την οξύτητα των άκρων και για m = 1 προκύπτει ο Γκαουσιανός παλμός. χήμα.5: (α) Κανονικοποιημένη ένταση U και (β) κανονικοποιημένο chirp συχνότητας δωσ 0 σε περιοχή ανώμαλης διασποράς για έναν υπέρ-γκαουσιανό παλμό στα z = 0, z = L D και z = 4L D με C = 0 και m = 3. Οι διαφορές μεταξύ των σχημάτων. και.5 προκύπτουν λόγω των πιο απότομων άκρων που παρουσιάζει ο υπέρ-γκαουσιανός παλμός. υγκεκριμένα, όχι μόνο διευρύνεται γρηγορότερα από τον αντίστοιχο Γκαουσιανό αλλά μεταβάλλεται και το σχήμα του. Σο προφίλ του chirp του, επίσης, απέχει πολύ από το γραμμικό και εμφανίζει υψηλής συχνότητας ταλαντώσεις. Η μεγάλη και γρήγορη διεύρυνση που υφίσταται οφείλεται στο ευρύ του φάσμα, το οποίο περιλαμβάνει περισσότερες συνιστώσες από το αντίστοιχο του Γκαουσιανού. Καθώς η GVD επιβάλει σε κάθε συνιστώσα μια καθυστέρηση ανάλογη με την απόστασή της από την συνιστώσα κεντρικής συχνότητας ω 0, το διευρυμένο φάσμα οδηγεί σε γρηγορότερο ρυθμό διεύρυνσης του παλμού..3. Διασποράς Σρίτης Σάξης (TOD) Σις περισσότερες φορές η διασπορά τρίτης τάξης (third order dispersion,tod) μπορεί να αγνοηθεί σε σχέση με τη διασπορά ης τάξης GVD. Όταν το μήκος κύματος του οπτικού παλμού, όμως, σχεδόν συμπίπτει με το μήκος κύματος μηδενικής διασποράς της ίνας λ D και άρα β 0, η παράμετρος β 3 παρέχει τη βασική συμβολή διασποράς και η TOD πρέπει οπωσδήποτε να λαμβάνεται υπόψη. Επιπλέον, στους υπέρ-βραχείς παλμούς (Σ 0 < 1ps), αν και β 0, πρέπει να συμπεριληφθεί και ο κυβικός όρος στο ανάπτυγμα της Εξ. (.10) καθώς η παράμετρος Δω/ω 0 αποκτά αξιόλογη τιμή. Λαμβάνοντας λοιπόν υπόψη τα φαινόμενα διασποράς ης και 3 ης τάξης αλλά αγνοώντας και πάλι τα μη γραμμικά φαινόμενα, η εξίσωση που περιγράφει τη διάδοση των παλμών κατά μήκος της ίνας παίρνει τη μορφή [1]: 3 3. U U j 3 U j z T 6 T (.53) Η Εξ. (.56) επιλύεται στο πεδίο της συχνότητας με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Fourier, όπως και η Εξ. (.36) και η λύση που προκύπτει είναι η εξής: 1 j j 3 U( z, T) U(0, )exp z 3 z j T d. (.54) 6 ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 13

27 Προκειμένου, μάλιστα, να μελετηθεί η σχετική επίδραση των β και β 3 στην εξέλιξη του παλμού εισάγεται ένα επιπλέον χαρακτηριστικό μήκος που σχετίζεται με την TOD και ορίζεται ως 3 T L 0 D. (.55) 3 Σο φαινόμενο της TOD, λοιπόν, γίνεται σημαντικό για L D LDή T0 / 3 1. το σχήμα.6 φαίνεται ένας Γκαουσιανός παλμός χωρίς αρχικό chirp που έχει διαδοθεί σε απόσταση z = 5 L D. Είναι προφανές ότι ενώ η επίδραση της GVD αφήνει ανεπηρέαστο το σχήμα ενός Γκαουσιανού παλμού, η TOD το διαστρεβλώνει. Ειδικότερα, προκαλείται μια ασυμμετρία και μια ταλάντωση σε ένα εκ των δύο άκρων του παλμού. την περίπτωση θετικής διασποράς 3 ης τάξης με β 3 > 0, όπως στο σχήμα.6, η ταλάντωση εμφανίζεται κοντά στο άκρο του παλμού που έπεται. Αντίθετα, για β 3 < 0 το άκρο που προηγείται είναι αυτό που αναπτύσσει την ταλάντωση. Επιπλέον, στην απουσία διασποράς ης τάξης οι ταλαντώσεις είναι βαθιές και η ένταση του παλμού μηδενίζεται μεταξύ διαδοχικών κορυφών. Όταν αρχίζει να επιδρά η GVD, όμως, οι ίδιες ταλαντώσεις αμβλύνονται αισθητά ακόμη και για μικρές τιμές της παραμέτρου β. Για την περίπτωση στην οποία L L του σχήματος.6, ειδικότερα, οι ταλαντώσεις έχουν σχεδόν εξαφανιστεί και ο D D παλμός εμφανίζει μια μακριά ουρά στην πλευρά που έπεται. Για ακόμη μεγαλύτερες τιμές του β τέτοιες ώστε L L το σχήμα του παλμού παραμένει σχεδόν Γκαουσιανό κατά τη διάδοση καθώς η σχετική επίδραση της D D TOD μειώνεται. χήμα.6: Φρονικό προφίλ Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp: (α) στην είσοδο της ίνας (μπλε γραμμή), (β) μετά από διάδοση σε απόσταση 5 L D με τα φαινόμενα διασποράς ης και 3ης τάξης να είναι ισοδύναμα αφού L D = L D (κόκκινη γραμμή) και (γ) σε απόσταση 5 L D για λ 0 = λ D, δηλαδή χωρίς διασπορά ης τάξης (πράσινη γραμμή). Θεωρείται πάντα θετική διασπορά με β, β 3 > 0 (εκτός από την πράσινη γραμμή όπου για την παραγωγή της οποίας β = 0)..4 Αυτό-διαμόρφωση φάσης (SPM) Η αυτό-διαμόρφωση φάσης (Self-Phase Modulation, SPM) προκύπτει λόγω της εξάρτησης του δείκτη διάθλασης από την οπτική ένταση [Εξ. (1.6)] και αναφέρεται στην αυτοπροκαλούμενη ολίσθηση φάσης ενός οπτικού πεδίου κατά την διάδοσή του στην οπτική ίνα. Η παράγραφος αυτή εξετάζει το SPM τόσο καθώς επιδρά μόνο του στον παλμό όσο και σε συνδυασμό με την GVD και TOD. ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 14

28 .4.1 Αποκλειστική Επίδραση της Αυτοδιαμόρφωσης Υάσης Αρχικά, θεωρείται ότι το εύρος και το πλάτος των διαδιδόμενων παλμών είναι τέτοιο ώστε L NL L L D σε μια οπτική ίνα μήκους L και, συνεπώς, τα φαινόμενα διασποράς μπορούν να αγνοηθούν. Η παραπάνω υπόθεση ισχύει για παλμούς μεγάλου πλάτους (T 0 >50 ps) με υψηλές ισχείς κορυφής εισόδου (P 0 > 1W). Εισάγοντας, λοιπόν, το κανονικοποιημένο πλάτος της Εξ. (.33) στην Εξ. (.1) και αγνοώντας τα φαινόμενα διασποράς προκύπτει η διαφορική εξίσωση U z je L az NL U U, (.56) με το α να αντιπροσωπεύει τις γραμμικές απώλειες στην ίνα σε Np/m και το μη γραμμικό μήκος L NL να ορίζεται ως LNL 1 P0 όπως στην Εξ. (.3). Η γενική λύση της (.59) γράφεται ως U( L, T) U(0, T)exp[ j ( L, T )], (.57) NL όπου με NL ( L, T ) U (0, T ) ( L / L ) (.58) eff NL Leff [1 exp( L )]/, (.59) το ενεργό μήκος, όπως ορίζεται για οπτική ίνα μήκους L. Είναι μάλιστα μικρότερο του πραγματικού για οπτικές ίνες με απώλειες. Από την Εξ. (.58) φαίνεται ξεκάθαρα ότι η SPM προκαλεί μια εξαρτώμενη από την ένταση ολίσθηση φάσης αφήνοντας όμως ανεπηρέαστο το σχήμα του παλμού. Η μέγιστη τιμή της ολίσθησης εντοπίζεται στο κέντρο του παλμού όπου Σ = 0, δεδομένου ότι εκεί εμφανίζεται και η κορυφή του παλμού, και δίνεται από τη σχέση L eff max PL L 0 eff. NL (.60) Επιπλέον, εξαιτίας της μη γραμμικής εξάρτησης της φάσης από τον χρόνο, η στιγμιαία οπτική συχνότητα διαφέρει κατά μήκος του παλμού από την κεντρική συχνότητα ω 0 κατά ( ) NL L T eff U(0, T). (.61) T LNL T Σο chirp, λοιπόν, αυξάνεται σε μέτρο καθώς ο παλμός διαδίδεται. Δηλαδή γεννιούνται συνεχώς νέες συχνότητες καθώς ο παλμός κινείται κατά μήκος της ίνας και είναι αυτές που διευρύνουν το φάσμα σε σχέση με το φάσμα εισόδου. Σα ποιοτικά χαρακτηριστικά του chirp κατά μήκος του οπτικού παλμού εξαρτώνται σε πολύ μεγάλο βαθμό από το ακριβές σχήμα του παλμού εισόδου, όπως φαίνεται στο σχήμα.7. Ειδικότερα, συγκρίνοντας έναν Γκαουσιανό με έναν υπέρ-γκαουσιανό παλμό διακρίνει κανείς ότι και στις δύο περιπτώσεις το δω είναι αρνητικό κοντά στο προπορευόμενο σκέλος του παλμού (ολίσθηση προς χαμηλότερες συχνότητες) και γίνεται θετικό κοντά στο σκέλος που έπεται (ολίσθηση προς υψηλότερες συχνότητες). ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 15

29 χήμα.7: (α) Μη-γραμμική φάση και (β) chirp συχνότητας για έναν Γκαουσιανό (m = 1) και υπέρ-γκαουσιανό (m = 3) παλμό για L eff = L NL. Για την προσομοίωση χρησιμοποιήθηκαν οι παράμετροι: γ = W/km, P 0 = 10 mw, C = 0, m =1, 3 και α = 0. Σο chirp, όμως, εμφανίζεται μόνο κοντά στις ουρές του υπέρ-γκαουσιανού παλμού και μεταβάλλεται με μη γραμμικό τρόπο σε αντίθεση με τον Γκαουσιανό παλμό που εκτείνεται σε όλο το διάστημα και είναι γραμμικό σε μία μεγάλη κεντρική περιοχή. Επιπλέον, το chirp είναι σημαντικά μεγαλύτερο για τον υπέρ-γκαουσιανό παλμό, όπως συμβαίνει γενικότερα για παλμούς με οξύτερα άκρα. Ως αποτέλεσμα οι υπέρ-γκαουσιανοί παλμοί συμπεριφέρονται διαφορετικά από τους Γκαουσιανούς. Πολύ σημαντικό είναι, επίσης, το αρχικό chirp του παλμού εισόδου που επηρεάζει καταλυτικά τη μορφή του τελικού φάσματος. την περίπτωση απουσίας αρχικού chirp (C = 0) το SPM προκαλεί πάντα διεύρυνση του αρχικού φάσματος κατά έναν παράγοντα που ισούται προσεγγιστικά με την αριθμητική τιμή της μέγιστης ολίσθησης φάσης φ max (σχήμα.8). Επίσης, διακρίνονται διάφορες κορυφές με αυτές που βρίσκονται στα άκρα να είναι οι πιο ισχυρές. Ο αριθμός των κορυφών Μ κάθε φάσματος, μάλιστα, ικανοποιεί προσεγγιστικά τη σχέση max ( M 1 / ). (.6) Σο πιο βασικό χαρακτηριστικό είναι ότι στο τελικό φάσμα παρατηρείται μια μορφή ταλάντωσης που καλύπτει ολόκληρη την έκτασή του. ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 16

30 χήμα.8: Υάσμα διευρυμένο λόγω SPM ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp. τον τίτλο δηλώνεται η μέγιστη μη γραμμική ολίσθηση φάσης φ max. Όταν υπάρχει αρχικό chirp, για C >0 η διεύρυνση του φάσματος αυξάνεται και οι ταλαντώσεις γίνονται λιγότερο εμφανείς σε σχέση με C = 0. Αντίθετα, για C <0 το φάσμα στενεύει μέσω της SPM, όπως φαίνεται στο σχήμα.9. χήμα.9: ύγκριση του φάσματος εξόδου ενός Γκαουσιανού παλμού για διάφορες τιμές αρχικού chirp C όταν το μήκος της ίνας και η ισχύς κορυφής του παλμού εισόδου επιλέγονται έτσι ώστε φ max = 4.5π. το σχήμα.10 παρουσιάζεται η εξέλιξη του φάσματος ενός Γκαουσιανού κι ενός υπέρ-γκαουσιανού παλμού κατά τη διάδοσή τους σε απόσταση 10L NL όπου φαίνονται καθαρά οι παραπάνω διαπιστώσεις. ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 17

31 (α) χήμα.10: Εξέλιξη της διεύρυνσης φάσματος που προκαλείται λόγω SPM για μήκη διάδοσης έως 10L NL. (α) Γκαουσιανός (m = 1, C = 0) και (β) υπέρ-γκαουσιανός παλμός (m = 3, C = 0)..4. Αυτοδιαμόρφωση Υάσης Παρουσία της Διασποράς Σαχύτητας Ομάδας Καθώς οι παλμοί γίνονται στενότεροι και το μήκος διασποράς συγκρίσιμο με το μήκος της ίνας είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η συνδυασμένη επίδραση των GVD και SPM πάνω στον παλμό. Η εξίσωση που περιγράφει τη διάδοση των παλμών σε αυτή την περίπτωση προκύπτει συνδυάζοντας τις Εξ. (.) και (.35) και είναι η (β) U 1 U z j sgn( ) N e U U, (.63) όπου με ξ και τ συμβολίζονται οι κανονικοποιημένες μεταβλητές απόστασης διάδοσης και χρόνου, αντίστοιχα, και ορίζονται ως z / LD, T / T 0, (.64) ενώ η παράμετρος Ν ως N L D P 0T 0. (.65) LNL ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 18

32 Η πρακτική σημασία αυτής της αδιάστατης παραμέτρου είναι ότι οι λύσεις της Εξ. (.66) για μια συγκεκριμένη τιμή της Ν θα είναι εφαρμόσιμες για πολλούς συνδυασμούς παραμέτρων μέσω της σχέσης (.67). Η Ν, ειδικότερα, αποτυπώνει τη σχετική σημασία των SPM και GVD στην εξέλιξη του παλμού κατά μήκος της ίνας. Προφανώς, για Ν 1 κυριαρχεί η διασπορά, για Ν 1 η μη γραμμικότητα ενώ για Ν~1 και τα δύο φαινόμενα επηρεάζουν την εξέλιξη του παλμού. Η βασική επίδραση του SPM είναι να μεταβάλλει το ρυθμό χρονικής διεύρυνσης που επιβάλλεται από την αποκλειστική επίδραση της GVD. Η συνδυαστική συμβολή των δύο φαινομένων καθορίζεται από το πρόσημο της παραμέτρου β. Για ομαλή διασπορά (β > 0) η συνύπαρξη των δύο φαινομένων μπορεί να γίνει κατανοητή μέσω του σχήματος.11. (α) (β) χήμα.11: Εξέλιση του (α) σχήματος και (β) οπτικού φάσματος για διάδοση σε απόσταση 5L D ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp που διαδίδεται στην περιοχή ομαλής διασποράς (β > 0) της οπτικής ίνας με παραμέτρους τέτοιες ώστε Ν = 1. υγκεκριμένα, φαίνεται ότι ο παλμός διευρύνεται πολύ γρηγορότερα σε σχέση με την μεμονωμένη επίδραση της GVD. Σο φαινόμενο αυτό μπορεί να εξηγηθεί παρατηρώντας ότι η SPM προκαλεί τη γέννηση νέων χαμηλότερων συχνοτικών συνιστωσών (red-shifted) κοντά στο άκρο του παλμού που προηγείται, οι οποίες ταξιδεύουν γρηγορότερα από τις υψηλότερες συχνότητες στην περιοχή ομαλής διασποράς. Αντίστοιχα, γεννιούνται συνιστώσες υψηλότερης συχνότητας (blue-shifted) κοντά στο άκρο του παλμού που έπεται και οι οποίες είναι πιο αργές από όλες τις υπόλοιπες. Οι συνιστώσες με την μέγιστη και ελάχιστη ταχύτητα φτάνουν, λοιπόν, στο άκρο της διάδοσης με πολύ μεγαλύτερη χρονική διαφορά μεταξύ τους. Αυτή η ενισχυμένη χρονική ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 19

33 διεύρυνση του παλμού επηρεάζει, με τη σειρά της, τη φασματική διεύρυνση. Ειδικότερα, το φάσμα είναι τώρα στενότερο σε σχέση με την περίπτωση που θα επιδρούσε μόνο η SPM, οπότε και το σχήμα του παλμού θα παρέμενε ανεπηρέαστο. Πράγματι, συγκρίνοντας τα σχήματα.10(α) και.11(β) φαίνεται ότι σε απόσταση 5L D = 5L NL, αντί για το φάσμα δύο κορυφών που αντιστοιχεί σε φ max = 5 1.5π, προκύπτει στενότερο φάσμα μίας κορυφής που υπονοεί ότι φ max π λόγω χρονικής διεύρυνσης. Η κατάσταση αντιστρέφεται για παλμούς που διαδίδονται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς, όπως φαίνεται στο σχήμα.1. (α) (β) χήμα.1: Εξέλιση του (α) σχήματος και (β) οπτικού φάσματος για διάδοση σε απόσταση 5L D ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp που διαδίδεται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς (β < 0) της οπτικής ίνας με παραμέτρους τέτοιες ώστε Ν = 1. Ο παλμός διευρύνεται, αρχικά, με έναν πολύ χαμηλότερο ρυθμό από αυτόν που θα αναμενόταν στην απουσία της SPM και φαίνεται να παραμένει σταθερός για z > 4L D. Σαυτόχρονα, το φάσμα στενεύει αντί να διευρύνεται, όπως θα συνέβαινε στην απουσία της GVD, καθώς το chirp λόγω SPM είναι θετικό (Εξ. (.59) για Γκαουσιανό παλμό) ενώ το chirp λόγω διασποράς αρνητικό λόγω β < 0. Επομένως οι δύο συνεισφορές σχεδόν ακυρώνουν η μία την άλλη κατά μήκος του κεντρικού τμήματος του παλμού για L D = L NL. Σο σχήμα του παλμού προσαρμόζεται προκειμένου να διευκολύνει αυτή την αλληλεπίδραση. Επομένως η GVD και η SPM συνεργάζονται ώστε να διατηρήσουν έναν παλμό χωρίς chirp. Σο παραπάνω σενάριο αντιστοιχεί στην εξέλιξη των σολιτονίων πρώτης τάξης: Η αρχική αλλαγή στο σχήμα του Γκαουσιανού παλμού γίνεται γιατί το ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 0

34 Γκαουσιανό σχήμα παλμού δεν αντιστοιχεί στο χαρακτηριστικό σχήμα ενός θεμελιώδους σολιτονίου. Πράγματι, αν ο παλμός εισόδου ήταν παλμός υπερβολικής τέμνουσας, τόσο το σχήμα όσο και το φάσμα του θα παρέμεναν αμετάβλητα κατά τη διάδοση. Σο σχήμα.13 αποτελεί μια συγκεντρωτική αναπαράσταση του παράγοντα διεύρυνσης του φάσματος στις περιπτώσεις όπου η GVD δρα μόνη της (Ν = 0) και για συνδυασμένη δράση των GVD και SPM στις δύο περιοχές διασποράς. Ο παράγοντας διεύρυνσης (broadening factor) ορίζεται ως ο λόγος σ/σ 0, με το σ να αναπαριστά την rms τιμή του πλάτους του παλμού σε κάποια απόσταση διάδοσης και το σ 0 την αντίστοιχη rms 1 τιμή στην είσοδο της ίνας [1]. Η rms τιμή ορίζεται ως [ T T ], όπου με Σ συμβολίζεται το χρονικό εύρος του παλμού στη συγκεκριμένη απόσταση διάδοσης. Για τους υπέρ-γκαουσιανούς παλμούς, μάλιστα, μπορεί να εξαχθεί αναλυτική έκφραση για παράγοντα διεύρυνσης, η γραφική παράσταση του οποίου φαίνεται στο σχήμα.13. χήμα.13: Παράγοντας διεύρυνσης ενός Γκαουσιανού παλμού (m = 1) χωρίς αρχικό chirp για Ν = 1 στην περιοχή ομαλής διασποράς (μπλε γραμμή), ανώμαλης διασποράς (πράσινη γραμμή) και στην απουσία SPM (κόκκινη γραμμή)..4.3 Αυτοδιαμόρφωση Υάσης Παρουσία της Διασποράς Σρίτης Σάξης την περίπτωση που το μήκος κύματος του οπτικού παλμού λ 0 είναι πολύ κοντά στο σημείο μηδενικής διασποράς έτσι ώστε β 0 πρέπει να ληφθεί υπόψη η επίδραση της διασποράς 3 ης τάξης στη διεύρυνση φάσματος που προκαλείται λόγω SPM. Η Εξ. (.15) μετατρέπεται, λοιπόν, στην A j j 3 A j A A A 0. z 6 3 T Ορίζοντας το κανονικοποιημένο μήκος z L από τις Εξ. (.60) και (.8) προκύπτει η εξίσωση / D 3 (.66) 3 U j U z j sgn( 3) N e U U, (.67) 6 3 όπου η παράμετρος N ορίζεται ως N L D L NL P T 3, (.68) ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 1

35 και είναι χαρακτηριστική της σχετικής σημασίας των φαινομένων TOD και SPΜ κατά την εξέλιξη του παλμού. Προφανώς, η TOD κυριαρχεί για N 1 ενώ η SPM για N 1. Η Εξ. (.69) λύνεται αριθμητικά με τη μέθοδο SSF. τη συνέχεια θεωρείται ότι β 3 > 0 ενώ αγνοούνται οι απώλειες στην ίνα θέτοντας α = 0. Σο σχήμα.14 παρουσιάζει το σχήμα και το φάσμα ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp σε απόσταση διάδοσης 5 L D για N 1. Αντίστοιχα, το σχήμα.15 παρουσιάζει τα χαρακτηριστικά του ίδιου παλμού σε απόσταση 0.01 L D για N 10. (α) (β) χήμα.14: (α) χήμα και (β) φάσμα ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp στο μήκος κύματος μηδενικής διασποράς για N =1 και z = 5L. D υγκρίνοντας το σχήμα.6 (κόκκινη γραμμή), όπου φαινόταν η επίδραση μόνο της TOD, και το.14(α) φαίνεται ότι το SPM αυξάνει το πλήθος των ταλαντώσεων κοντά στην ουρά του παλμού η οποία έπεται. Επιπλέον, κοιτώντας το σχήμα.15(α) διαπιστώνουμε την παρουσία ισχυρού SPM ακόμα και μετά από μόλις 0.1L D' καθώς υπάρχουν ισχυρότατες ταλαντώσεις στο άκρο του παλμού. Απεναντίας, στην απουσία του SPM χρειάζεται απόσταση τουλάχιστον 1 με L D' για να εμφανιστούν κάποιες ταλαντώσεις και μάλιστα όχι και τόσο ισχυρές. (α) (β) χήμα.15: (α) χήμα και (β) φάσμα ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp στο μήκος κύματος μηδενικής διασποράς για N =10 και z = 0.1L. D ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ -

36 Όσον αφορά στο φάσμα, συγκρίνοντας το σχήμα.8 για φ max = 1.5π 5 (όπως προκύπτει για τις παραμέτρους του σχήματος.14) και το σχήμα.14(β), φαίνεται ότι η TOD εισάγει μια ασυμμετρία στο αρχικά συμμετρικό φάσμα των δύο κορυφών. Αυτό έρχεται σε οξεία αντίθεση με τη συμπεριφορά της εικόνας.11 για ομαλή διασπορά όπου η GVD εμπόδιζε το διαχωρισμό του φάσματος. Σο πιο αξιοσημείωτο χαρακτηριστικό πάντως, που φαίνεται και στο.15(β), είναι ότι η ενέργεια του παλμού συγκεντρώνεται κυρίως σε δύο φασματικές περιοχές και συνηθίζεται για όλες τις τιμές N 1..5 Τψηλότερης Σάξης Μη Γραμμικά Υαινόμενα Για υπέρ-βραχείς παλμούς της τάξης Σ 0 < 1 ps είναι απαραίτητο να συμπεριληφθούν και ανώτερης τάξης μη γραμμικά φαινόμενα στην NLSE [Εξ. (.)] ώστε αυτή να συνεχίσει να περιγράφει επιτυχώς την εξέλιξη των παλμών κατά μήκος της ίνας. Προκύπτει μια νέα εξίσωση περιγραφής της διάδοσης παλμών [1] 3 U sgn( ) U sgn( 3) U j z L 3 D 6LD z e j U U js U U RU LNL U. (.69) Η παραγωγή της Εξ. (.7) περιγράφεται αναλυτικά στο κεφάλαιο 3. Οι παράμετροι s και τ R χαρακτηρίζουν τα φαινόμενα του self-steepening (SS) και της ενδοπαλμικής σκέδασης Raman (Intrapulse Raman Scattering, IRS), αντίστοιχα. Σο self-steepening προκαλείται από την εξάρτηση της ταχύτητας ομάδας από την ένταση του οπτικού παλμού. υγκεκριμένα, καθώς ο παλμός διαδίδεται μέσα στην ίνα γίνεται ασύμμετρος με την κορυφή του να μετακινείται προς το άκρο που έπεται, όπως φαίνεται και στο σχήμα.16(α). (α) χήμα.16: (α) Αύξηση της κλίσης της μιας πλευράς του παλμού κατά τη διάδοση και (β) φάσμα Γκαουσιανού παλμού σε απόσταση 0L NL και s =0.01. Σο self-steepening είναι υπεύθυνο για την ασυμμετρία στο διευρυμένο λόγω SPM φάσμα. Σιμές παραμέτρων: β = β 3 = τ R = a = 0 και s = Ως αποτέλεσμα, το άκρο αυτό γίνεται σταδιακά πιο απότομο. Από φυσικής άποψης, λόγω της εξάρτησης από την ένταση, η ταχύτητα ομάδας της κορυφής είναι μικρότερη από των φτερών (wings). Μαθηματικά, το SS προκύπτει από την ενσωμάτωση και του όρου πρώτης τάξης του αναπτύγματος της μη γραμμικής παραμέτρου γ (β) ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 3

37 σε σειρά Taylor. Δηλαδή, από την ενσωμάτωση της διασποράς του γ. Με την παραδοχή ότι το n και το A eff δεν παρουσιάζουν διασπορά καταλήγουμε στο s = 1/ω 0 [1]. το σχήμα.15(β) παρουσιάζεται το αντίστοιχο φάσμα του παλμού σε απόσταση 0L NL. Σο πιο ξεκάθαρο χαρακτηριστικό του είναι η ασυμμετρία, η οποία προκύπτει από την ασυμμετρία του σχήματος στο χρόνο. υγκεκριμένα, η ολίσθηση προς την μπλε πλευρά είναι μεγαλύτερη από την κόκκινη. Αιτία είναι ότι η αύξηση της κλίσης της πλευράς που έπεται συνεπάγεται μεγαλύτερη φασματική διεύρυνση στην πλευρά αυτή, στην οποία είναι γνωστό ότι το SPM γεννάει μπλε συνιστώσες. Σο self-steepening, λοιπόν, επιμηκύνει τη μπλε μεριά του φάσματος ενώ το πλάτος των κορυφών του μειώνεται καθώς το ίδιο ποσό ενέργειας κατανέμεται σε ευρύτερο φάσμα. Επομένως, στην απουσία του selfsteepening θα αναμενόταν ένα συμμετρικό φάσμα έξι κορυφών (φ max = 6.4π). Ο τελευταίος όρος της Εξ. (.7) ο οποίος έχει αμεληθεί έως τώρα αναφέρεται στην ενδοπαλμική σκέδαση Raman (intrapulse Raman scattering, IRS). (α) (β) χήμα.17: (α) Φρονική και (β) φασματική εξέλιξη ενός Γκαουσιανού παλμού χωρίς αρχικό chirp σε απόσταση διάδοσης 5 μηκών διασποράς στην περιοχή ανώμαλης διασποράς (β < 0). Οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν στην επίλυση της NLSE είναι: Ν =, τ R = 0.03, s = 0 και β 3 = 0. τους υπερβραχείς παλμούς (T 0 <1 ps), οι οποίοι διαθέτουν πολύ ευρύ φάσμα, οι συνιστώσες υψηλής συχνότητας μπορούν να λειτουργήσουν ως κύμα άντλησης (pump) για τις συνιστώσες χαμηλότερης συχνότητας του ίδιου του ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 4

38 παλμού, μεταφέρεται δηλαδή ενέργεια προς την κόκκινη πλευρά. Από φυσική άποψη αλλάζει η συχνότητα γύρω από την οποία είναι κεντραρισμένος ο παλμός με αποτέλεσμα να μεταβάλλεται και η θέση του στο χρόνο λόγω διασποράς, όπως φαίνεται και στο σχήμα.17(α). Σο φαινόμενο, μάλιστα, είναι ιδιαίτερα έντονο στην περιοχή ανώμαλης διασποράς στα πλαίσια των σολιτονίων. Η παραπάνω συμπεριφορά αφορά στο φαινόμενο Raman στη μονοκαναλική του μορφή. το επόμενο κεφάλαιο εξηγείται το φαινόμενο της σκέδασης Raman που εμφανίζεται ως αλληλεπίδραση δύο παλμών με διαφορετικές κεντρικές συχνότητες (πολυκαναλικό). ΚΕΥ. : ΕΞΙΩΗ ΔΙΑΔΟΗ ΠΑΛΜΩΝ ΥΑΙΝΟΜΕΝΑ ΚΑΣΑ ΣΗ ΔΙΑΔΟΗ - 5

39 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 3 TO ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ Η εξαναγκασμένη σκέδαση Raman (Stimulated Raman Scattering, SRS) είναι μια σημαντική μη γραμμική διαδικασία στην οποία βασίζεται η κατασκευή ενισχυτών καθώς και laser οπτικών ινών. 3.1 Υυσικός Μηχανισμός του Υαινομένου H αυθόρμητη σκέδαση Raman (Spontaneous Raman Scattering ή Raman Effect) ανακαλύφθηκε από τον C.W. Raman το 198 [5,6]. υγκεκριμένα, παρατηρήθηκε ότι όταν κύμα δεδομένης συχνότητας προσπέσει σε κάποιο μοριακό οπτικό μέσο, τότε σκεδάζεται, αλλάζει δηλαδή διεύθυνση διάδοσης λόγω ανομοιομορφιών του μέσου, με το σκεδαζόμενο οπτικό πεδίο να περιέχει συχνότητες διαφορετικές από αυτές του προσπίπτοντος. Οι συνιστώσες μικρότερης συχνότητας (ω s ) που προκύπτουν ονομάζονται συνιστώσες Stokes ενώ μεγαλύτερης (ω a ) συνιστώσες anti Stokes. Αμέσως παρακάτω παρουσιάζονται κάποιες στοιχειώδεις έννοιες της κβαντικής φυσικής που χρησιμεύουν για την επεξήγηση του φαινομένου. Αρχικά θα παρουσιασθεί η σκέδαση Raman σε κρυσταλλικά υλικά (crystals) ενώ στη συνέχεια θα γίνει αναφορά στην περίπτωση του γυαλιού διοξειδίου του πυριτίου (SiO ), από το οποίο κατασκευάζονται οι οπτικές ίνες. Αυτό που χαρακτηρίζει μια κρυσταλλική δομή είναι η κανονική διάταξη των δομικών της στοιχείων. υγκεκριμένα, τα άτομα, μόρια ή ιόντα της διατάσσονται περιοδικά στο χώρο και σχηματίζουν το κρυσταλλικό πλέγμα, στο οποίο διακρίνεται συμμετρία μετατόπισης και επιπλέον, πολύ συχνά, άλλες μορφές συμμετρίας, όπως για παράδειγμα η συμμετρία στροφής γύρω από άξονα [7,8]. Εκτός από τα κρυσταλλικά υλικά υπάρχει και μία άλλη κατηγορία στερεών που λέγονται άμορφα (amorphous), στην οποία ανήκει και το γυαλί πυριτίου. ε αυτά δεν υπάρχει τάξη, τουλάχιστον σε μεγάλη κλίμακα, και αυτό που λείπει κυρίως είναι η συμμετρία μετατόπισης [5]. Κάθε μοριακό μέσο, λοιπόν, χαρακτηρίζεται από κάποιους ρυθμούς ταλάντωσης (vibrational modes), ένα σύνολο δηλαδή μοτίβων συλλογικής περιοδικής κίνησης που μπορούν να αναπτύξουν τα άτομα του μέσου γύρω από τη θέση ηρεμίας τους, με τη συχνότητα των ρυθμών να καθορίζεται από τη μοριακή δομή του υλικού [5]. Κάθε ρυθμός ταλάντωσης αντιστοιχίζεται σε φωνόνια (phonons) δεδομένης συχνότητας. Υωνόνιο ονομάζεται το κβάντο ενέργειας που μπορεί να μεταφερθεί στο εσωτερικό μιας στερεάς κρυσταλλικής δομής μέσω των παραπάνω ταλαντώσεων. Σο φωνόνιο αντιστοιχεί στην μηχανική ταλάντωση του ελάχιστου ταλαντωτή του πλέγματος και μεταφέρει ενέργεια από άτομο σε άτομο. Αντίστοιχα με το φωτόνιο, το φωνόνιο εμφανίζεται είτε σαν σωματίδιο με ορμή (μάζα και ταχύτητα) είτε σαν κύμα, ανάλογα με τον τρόπο που μελετά κανείς τα αποτελέσματα της συμπεριφοράς του κρυστάλλου. Είναι, δηλαδή, ένα ιδεατό σωματίδιο που εμφανίζει μετρήσιμες ιδιότητες κανονικού σωματιδίου και υπάρχει ως η μεταβολή (τοπική συμπύκνωση και αραίωση) του περιβάλλοντος στο οποίο εμφανίζεται. τη σκέδαση Raman ενδιαφέρουν τα οπτικά φωνόνια (optical phonons). Αυτά είναι κινήσεις εκτός φάσης των ατόμων του πλέγματος, με το ένα να κινείται προς μία κατεύθυνση και το γειτονικό του προς την αντίθετη, και εμφανίζονται όταν το πλέγμα είναι φτιαγμένο από άτομα διαφορετικού φορτίου ή μάζας. Ονομάζονται οπτικά επειδή στους ιοντικούς κρυστάλλους διεγείρονται από υπέρυθρη ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-1

40 ακτινοβολία. Σα φωνόνια αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, με τα ηλεκτρόνια, με τα φωτόνια και κάθε άλλο κύμα στο στερεό ενώ ένα φωνόνιο ονομάζεται αλλιώς και στοιχειώδης διέγερση (elementary excitation). Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα των ημιαγώγιμων υλικών είναι ότι οι επιτρεπόμενες ηλεκτρονικές ενεργειακές τους στάθμες έχουν τη μορφή ευρειών ζωνών που διαχωρίζονται από απαγορευμένες περιοχές [4]. Ειδικότερα, κάθε ενεργειακή στάθμη αντιστοιχεί σε μια ενεργειακή κατάσταση των μορίων. Οι πλήρεις ή σχεδόν πλήρεις ζώνες ονομάζονται ζώνες σθένους (valence bands) ενώ οι κενές ή σχεδόν κενές ζώνες αγωγιμότητας (conduction bands). ημειώνεται εδώ, επίσης, ότι η βασική κατάσταση (ground state) g είναι η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας και οποιαδήποτε άλλη κατάσταση ονομάζεται διεγερμένη (excited). Επιπλέον, οι μεταβάσεις μεταξύ των καταστάσεων γίνονται με απορρόφηση και εκπομπή φωτονίων αντίστοιχης ενέργειας, συγκεκριμένης δηλαδή συχνότητας. Η ενεργειακή διαφορά μεταξύ της υψηλότερης ζώνης σθένους και της χαμηλότερης ζώνης αγωγιμότητας είναι γνωστή ως ενέργεια διακένου (band-gap energy) E g. Μια κρίσιμη διαφορά σχετικά με τις μη γραμμικές οπτικές ιδιότητες ενός ημιαγωγού προκύπτει από την ενέργεια του προσπίπτοντος φωτονίου συγκριτικά με την ενέργεια διακένου. Για E g, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 3.1(β), η μη γραμμική απόκριση προέρχεται από τη μεταφορά ηλεκτρονίων στην ζώνη αγωγιμότητας, καταλήγοντας σε μια τροποποίηση των οπτικών ιδιοτήτων του μέσου. (α) (β) (γ) χήμα 3.1: Παρουσίαση των ενεργειακών σταθμών ενός ημιαγωγού. (α) Ζώνη σθένους (VB) και ζώνη αγωγιμότητας (CB). (β) Μετάβαση σε πραγματική ζώνη. (γ) Μετάβαση σε εικονική ζώνη. την αντίθετη περίπτωση για την οποία E g, η μη γραμμική απόκριση είναι ουσιαστικά στιγμιαία και εμφανίζεται ως αποτέλεσμα μιας παραμετρικής διαδικασίας που περιλαμβάνει εικονικές (virtual) στάθμες. Έτσι ονομάζονται οι ασταθείς καταστάσεις μέσω των οποίων το σύστημα μπορεί μόνο να μεταβεί σε κάποια άλλη και όχι να παραμείνει σε αυτές. Ιστορικά, λοιπόν, ο όρος «κέδαση Raman» σχετίζεται με τη σκέδαση του φωτός από οπτικά φωνόνια στα στερεά και τις ακόλουθες μοριακές δονήσεις [9]. Ειδικότερα, αναφέρεται σε ανελαστική σκέδαση, κατά την οποία δεν διατηρείται η κινητική ενέργεια του προσπίπτοντος φωτονίου, από φωνόνια που σχετίζονται με τους βαθμούς ελευθερίας των ιόντων και ηλεκτρονίων σε κρυσταλλικά και άμορφα υλικά. Οι διαδικασίες ανελαστικής σκέδασης είναι γεγονότα δύο φωτονίων που περιλαμβάνουν την ταυτόχρονη εξαφάνιση ενός προσπίπτοντος φωτονίου και τη δημιουργία ενός σκεδαζόμενου [6,9]. υγκεκριμένα, όταν ένα φωτόνιο προσπέσει στο οπτικό μέσο το φαινόμενο Raman μπορεί να εμφανιστεί με δύο τρόπους. τη μία περίπτωση, κάποιο ποσοστό της ενέργειάς του απορροφάται από το κρυσταλλικό πλέγμα και διαδίδεται ως φωνόνιο που σχετίζεται με έναν από τους πιθανούς ρυθμούς ταλάντωσης, ενώ η ενέργεια που απομένει μετατρέπεται σε ένα φωτόνιο χαμηλότερης ενέργειας (άρα και συχνότητας) από το αρχικό, αποτελώντας το νέο κύμα που παρατηρείται και ονομάζεται κύμα Stokes. την άλλη περίπτωση, ένα φωνόνιο που διαδίδεται στο μέσο συγχρόνως με το φωτόνιο του ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3 -

41 προσπίπτοντος κύματος ενώνεται με το δεύτερο και παράγει ένα υψηλότερης συχνότητας φωτόνιο που αποτελεί το κύμα anti-stokes ε συστήματα που βρίσκονται σε θερμική ισορροπία η ένταση του anti-stokes κύματος εξαρτάται σημαντικά από τη θερμοκρασία, αφού αυτές οι διαδικασίες μπορούν να εμφανιστούν μόνο όταν το μέσο βρίσκεται σε κατάσταση διέγερσης. Η κυρίαρχη μορφή της σκέδασης Raman, η αποκαλούμενη 1 ης τάξης, περιλαμβάνει διέγερση ενός μόνο φωνονίου. Δεν είναι όμως ασυνήθιστο για τα υλικά να εμφανίζονται ισχυρές διαδικασίες υψηλότερης τάξης που οδηγούν στη δημιουργία ή εξαφάνιση δύο ή και περισσότερων φωνονίων. (α) (β) (γ) χήμα 3.: (α) Απορρόφηση και εκπομπή φωτονίων κατά τη σκέδαση Raman, (β) κύμα Stokes και (γ) κύμα anti-stokes. ύμφωνα με το σχήμα 3.(β) και 3.(γ), λοιπόν, η σκέδαση Stokes αποτελείται από τη μετάβαση από την βασική κατάσταση g στην τελική κατάσταση n μέσω μιας εικονικής ενδιάμεσης στάθμης που σχετίζεται με τη διεγερμένη κατάσταση n ενώ anti Stokes από την αντίστροφη διαδικασία. Η anti-stokes σκέδαση είναι πολύ ασθενέστερη της Stokes καθώς, βάσει της εξίσωσης θερμικής ισορροπίας, ο πληθυσμός των μορίων στη στάθμη n, άρα και των διαθέσιμων ηλεκτρονίων για την εμφάνιση του φαινομένου, είναι μικρότερος του πληθυσμού στην g κατά τον παράγοντα Boltzmann : En Eg h n g Nn exp e N g kbt kbt n g Nn N g όπου k Β η σταθερά του Boltzmann και h του Planck, Ν n και Ν g το πλήθος των μορίων σε κάθε κατάσταση, Ε n και Ε g οι αντίστοιχες ενέργειες των μορίων και Σ η απόλυτη θερμοκρασία. Προκύπτει μάλιστα ότι, λόγω της διατήρησης της ορμής και της ενέργειας η σχέση των εντάσεων τω δύο κυμάτων είναι [9] I I s as exp kbt όπου Ι s και Ι as οι εντάσεις των κυμάτων Stokes και anti-stokes αντίστοιχα. Αντίστοιχα και στις οπτικές ίνες η ύπαρξη ενός φωνονίου σωστής ενέργειας και ορμής για την εμφάνιση του κύματος anti-stokes είναι δύσκολη και το φαινόμενο πολύ ασθενέστερο καθώς απαιτεί την παρουσία φωνονίου απόλυτα συγκεκριμένης ενέργειας αλλά και ορμής [9]. Προκειμένου να γίνει κατανοητός ο μηχανισμός σκέδασης του φωτός παρουσιάζεται το παρακάτω παράδειγμα. Έστω κύμα μονοχρωματικού φωτός συχνότητας (το p αντιπροσωπεύει το pump) με κυματικό P (3.1) (3.) ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-3

42 διάνυσμα μέτρου kp pn( p) c που προσπίπτει σε κρυσταλλικό ημιαγωγό και προκαλεί σκεδασμένο κύμα, συχνότητας s (το s αντιπροσωπεύει το signal ή Stokes) με διάνυσμα διάδοσης μέτρου k s sn( s) c. Με n ( ) συμβολίζεται ο δείκτης διάθλασης του μέσου στη συγκεκριμένη συχνότητα ενώ με c η ταχύτητα του φωτός. Η συχνότητα σκέδασης (scattering frequency) ορίζεται ως και το κυματικό διάνυσμα σκέδασης (scattering wave vector) ως p s (3.3) k k p k s. (3.4) τα κρυσταλλικά υλικά η συνολική ενέργεια και η ορμή του συστήματος των δύο φωτονίων και του φωνονίου διατηρούνται. Για να εξετασθούν οι δύο αυτοί νόμοι λαμβάνεται υπόψη το εξής: στους τέλειους κρυστάλλους τα φωνόνια μπορούν να χαρακτηριστούν από το διάνυσμα q που ονομάζεται κρυσταλλική ορμή (crystal momentum) [6] και είναι, κατά κάποιο τρόπο, η γενίκευση της ορμής του αντίστοιχου ελεύθερου ηλεκτρονίου στο εσωτερικό του πλέγματος. Δεν είναι όμως ορμή και αυτή η ποσότητα θεωρείται απλά ως ένας κβαντικός αριθμός χαρακτηριστικός της περιοδικής συμμετρίας του πλέγματος, όπως η ορμή στον ελεύθερο χώρο είναι ένας κβαντικός αριθμός χαρακτηριστικός της πλήρους συμμετρίας μετατόπισης στον ελεύθερο χώρο. Η τιμή των q ξεκινάει από το 0 και μπορεί να φτάσει στις τιμές των αντίστοιχων ηλεκτρονίων στο όριο της ζώνης Brillouin, που αποτελεί ένα σαφώς καθορισμένο θεμελιώδες κελί ορισμένο στο κρυσταλλικό πλέγμα, εξαιρετικά σημαντικό για τη μελέτη των ηλεκτρονίων στα στερεά [7,6]. Αυτοί οι ρυθμοί αντιπροσωπεύονται από μια σχέση διασποράς που καθορίζει μια συχνότητα q για κάθε τιμή του q. τις διαδικασίες 1ης τάξης συμμετέχει μόνο ένα φωνόνιο. ε αυτή την περίπτωση η διατήρηση της ενέργειας και της ορμής μεταφράζεται στην απαίτηση : k q και q. (3.5) ε διαδικασίες σκέδασης υψηλότερης τάξης, όταν δηλαδή το σκεδαζόμενο κύμα λειτουργεί ως προσπίπτον για μια επόμενη σκέδαση, η συχνότητα ω είναι το άθροισμα των συχνοτήτων δύο ή περισσοτέρων φωνονίων για τα οποία το συνολικό διάνυσμα κύματος είναι k, ισχύει δηλαδή ότι qj j και k q j j. (3.6) Σο μέτρο και ο προσανατολισμός του κυματικού διανύσματος του σκεδαζόμενου κύματος καθορίζονται από τη γεωμετρία του πειράματος σκέδασης. Σο σχήμα 3.3 δείχνει τρεις χαρακτηριστικές γεωμετρίες για τη διάδοση της προσπίπτουσας και της σκεδαζόμενης δέσμης. Σο ελάχιστο και το μέγιστο κυματικό διάνυσμα για το σκεδαζόμενο προκύπτει, αντίστοιχα, για ομόρροπη (θ = 0 ) και αντίρροπη (θ = 180 ) ως προς το προσπίπτον διάδοση. Για την θ = 0 ισχύει ότι: ενώ για θ = 180 : n( p) p n( s ) s k min (3.7) c n( p) p n( s ) s k max. (3.8) c ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-4

43 χήμα 3.3: Διάφορες γεωμετρίες σκέδασης όπου θ είναι η γωνία μεταξύ προσπίπτοντος και σκεδαζόμενου κύματος. Σο προσπίπτον συμβολίζεται με k αντί για k. L p Η διατήρηση του κυματικού διανύσματος παύει να ισχύει όταν το μέσο δεν παρουσιάζει συμμετρία μετατόπισης, όπως το γυαλί διοξειδίου του πυριτίου. Η γέννηση και η διάδοση φωνονίων στα άμορφα υλικά είναι μια διαδικασία πολύ πιο περίπλοκη από αυτή στις κρυσταλλικές δομές που περιγράφηκε παραπάνω [8]. Η έλλειψη περιοδικότητας απαγορεύει την τεράστια απλούστευση που γίνεται κατά την μελέτη των κρυστάλλων ενώ οι κανονικοί ρυθμοί του μέσου δεν είναι πλέον επίπεδα κύματα. Μια άμεση συνέπεια είναι ότι τα φωνόνια εξασθενούν με διαφορετικό τρόπο και το φαινόμενο γίνεται συνεχώς εντονότερο στις πολύ υψηλές συχνότητες, όπου το μήκος κύματος των κυμάτων πλησιάζει σε υποατομικές διαστάσεις. Επομένως φωνόνια με την αρχική έννοια δεν υπάρχουν πλέον. Λόγω της πολύ δύσκολης, αυτής, θεωρητικής ανάλυσης, που ξεφεύγει από τα όρια της συγκεκριμένης διπλωματικής, στη συνέχεια θα γίνει μια μακροσκοπική παρουσίαση του φαινομένου στις οπτικές ίνες. χήμα 3.4: Μεταβάσεις μεταξύ ενεργειακών σταθμών κατά τη σκέδαση Raman σε οπτικές ίνες. Βασικό χαρακτηριστικό είναι ότι οι τελικές διεγερμένες καταστάσεις αποτελούν μία ευρεία ζώνη και όχι μια μεμονωμένη κατάσταση. τη συνέχεια το προσπίπτον κύμα θα ονομάζεται κύμα άντλησης (pump wave) με οπτική συχνότητα p. Αυτό δρα ως πηγή ενέργειας και προκαλεί την μετατοπισμένη συχνοτικά ακτινοβολία, το κύμα Stokes, συχνότητας s μεp s, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.4, ενώ το κύμα anti-stokes είναι αμελητέο. 3. Φαρακτηριστικά Μεγέθη Μακροσκοπική Ανάλυση Η αυθόρμητη σκέδαση Raman είναι μια τυπικά ασθενής διαδικασία. Προκειμένου να την ποσοτικοποιήσουμε, ορίζεται η αντίστοιχη διατομή σκέδασης (scattering cross section), που περιγράφει την πιθανότητα μιας προσπίπτουσας δέσμης να σκεδαστεί από ένα σωματίδιο. Γενικά διαφέρει από την γεωμετρική διατομή του σωματιδίου και εξαρτάται από το μήκος κύματος της δέσμης καθώς και από την επιδεκτικότητα 1 ης ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-5

44 τάξης, το σχήμα και το μέγεθός του σωματιδίου [5]. Η τιμή της για το γυαλί διοξειδίου του πυριτίου υπολογίζεται περίπου στο 10-6 cm -1 και σημαίνει ότι για μήκος διάδοσης ενός εκατοστού μόνο το ένα εκατομμυριοστό της προσπίπτουσας ακτινοβολίας θα σκεδαστεί στη συχνότητα Stokes [5,6]. Σο 196, όμως, παρατηρήθηκε από τους Woodbury και Ng ότι για ισχυρά πεδία άντλησης εμφανίζεται το μη γραμμικό φαινόμενο της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman (Stimulated Raman Scattering, SRS) που αποτελεί τυπικά μια πολύ ισχυρή μορφή σκέδασης: το 10% ή και περισσότερο της ενέργειας της προσπίπτουσας ακτινοβολίας μεταφέρεται συχνά στο κύμα Stokes το οποίο συνεχίζει να μεγαλώνει γρήγορα μέσα στο μέσο απορροφώντας το μεγαλύτερο ποσοστό της ενέργειας της άντλησης. Μια ακόμη διαφορά μεταξύ αυθόρμητης και διεγερμένης σκέδασης Raman είναι ότι σε bulk υλικό η πρώτη οδηγεί σε ακτινοβολία με διάγραμμα παρόμοιο με αυτό του ενός δίπολου ενώ η διεγερμένη σε διάγραμμα ακτινοβολίας ενός στενού κώνου και προς την κατεύθυνση διάδοσης αλλά και προς την αντίθετη. Προκειμένου να μελετηθεί η σκέδαση Raman διακρίνονται δύο μεγάλες κατηγορίες περιπτώσεων ανάλογα με τα χαρακτηριστικά του κύματος pump, καθεμία από τις οποίες περιγράφεται με διαφοροποιημένο σύστημα εξισώσεων. Η μία αναφέρεται σε συνθήκες συνεχούς κύματος (continuous wave, CW) ή σχεδόν συνεχούς κύματος (quasi-cw), γνωστές και ως μονοχρωματική λειτουργία. ε αυτή την περίπτωση η απόκριση Raman είναι πολύ αργή για να αντιληφθεί την ταχύτατη ταλάντωση του φέροντος, με αποτέλεσμα το πλάτος του προσπίπτοντος κύματος να φαίνεται (σχεδόν) σταθερό για ένα μεγάλο διάστημα σε σχέση με τη διάρκεια της απόκρισης (60-70 fs στο διοξείδιο του πυριτίου). Η δεύτερη αναφέρεται σε παλμική λειτουργία (pulsed pump) και στην ίνα εισάγεται ένας παλμός ή μια ακολουθία παλμών μικρής διάρκειας. Παρακάτω οι δύο κατηγορίες εξετάζονται διαδοχικά, εισάγοντας τις βασικές έννοιες και χαρακτηριστικά μεγέθη του φαινόμενου με αναφορά στο συνεχές κύμα και εξειδικεύοντας για παλμική λειτουργία υνεχής (CW) και χεδόν-υνεχής (quasi-cw) Λειτουργία Κέρδος Raman ε μια πρώτη, απλουστευτική, προσέγγιση η αρχική αύξηση της έντασης του κύματος Stokes αγνοεί τη μείωση του pump λόγω της ίδιας της σκέδασης Raman (undepleted pump) και περιγράφεται από την εξίσωση [1]: dis gripi (3.9) dz s όπου I s [W/m ] είναι η πυκνότητα ισχύος του κύματος Stokes, Ip η πυκνότητα ισχύος του κύματος άντλησης και gr ο συντελεστής κέρδους Raman (Raman-gain coefficient) που σχετίζεται με τη διατομή της αυθόρμητης σκέδασης Raman. O gr μετριέται σε m/w και σχετίζεται με το φανταστικό μέρος της μη γραμμικής επιδεκτικότητας 3 ης τάξης. Ο συντελεστής κέρδους Raman g R ( ), όπου το p s είναι η συχνότητα σκέδασης, περιγράφει την ένταση του κύματος Stokes συναρτήσει της διαφοράς συχνοτήτων μεταξύ του pump και του Stokes και είναι η σημαντικότερη ποσότητα για την περιγραφή του SRS. Η τιμή του για τις οπτικές ίνες μετρήθηκε κατά τα πρώτα πειράματα και ακολούθησαν διάφορες διορθώσεις τα επόμενα χρόνια (σχήμα 3.5). Γενικά, ο gr εξαρτάται από την σύσταση του πυρήνα της ίνας και μπορεί να μεταβάλλεται σημαντικά με χρήση διαφόρων προσμίξεων. Εξαρτάται επίσης από την σχετική πόλωση των δύο κυμάτων, με την τιμή του να αυξάνεται για παράλληλες και να ελαχιστοποιείται για ορθογώνιες πολώσεις. ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-6

45 χήμα 3.5: Ο συντελεστής Raman στις οπτικές ίνες ως προς τη διαφορά συχνότητας Ω κανονικοποιημένος ως προς την τιμή m/w. Η συγκεκριμένη γραφική παράσταση αντιστοιχεί στο μήκος κύματος άντλησης p = 1 μm. Για τα υπόλοιπα μήκη κύματος η τιμή του μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα με το p. Η συνεχής γραμμή αντιστοιχεί σε παράλληλη ενώ η διακεκομμένη σε ορθογώνια σχετική πόλωση μεταξύ pump και Stokes. Σο πιο σημαντικό χαρακτηριστικό του κέρδους Raman, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.5, είναι ότι εκτείνεται σε ένα πολύ μεγάλο εύρος συχνοτήτων, της τάξης των 40 THz με μία πλατιά κορυφή κοντά στα 13. ΣΗz. Αυτή η συμπεριφορά οφείλεται στην μη κρυσταλλική δομή του γυαλιού διοξειδίου του πυριτίου. τα άμορφα υλικά, οι συχνότητες των μοριακών συντονισμών απλώνονται σε διάφορες ζώνες που επικαλύπτονται μεταξύ τους και σχηματίζουν ένα συνεχές φάσμα, καθώς είναι εφικτή η δημιουργία φωνονίων σε ένα μεγάλο εύρος συχνοτήτων (σχήμα 3.4) [7]. ε αντίθεση, επομένως, με τα κρυσταλλικά υλικά για τα οποία το κέρδος Raman εντοπίζεται σε συγκεκριμένες, σαφώς καθορισμένες συχνότητες, στις οπτικές ίνες εκτείνεται σε ένα ευρύ φάσμα με μέγιστα γύρω από τις συχνότητες που αντιστοιχούν σε κορυφές στη διευρυμένη πυκνότητα ενεργειακών καταστάσεων της αντίστοιχης κρυσταλλικής φάσης. Τπάρχουν δύο τρόποι εξέλιξης του SRS κατά τη διάδοση μιας CW δέσμης σε μια ίνα: - Εάν στην είσοδο της ίνας μαζί με το pump εισαχθεί και μια άλλη δέσμη (αναφέρεται ως probe ), η δεύτερη θα ενισχυθεί με την προϋπόθεση ότι η διαφορά συχνότητας μεταξύ τους Ω βρίσκεται στο φασματικό εύρος του κέρδους Raman. - Εάν στην ίνα εισαχθεί μόνο το pump, τότε η αυθόρμητη σκέδαση Raman ενισχύει φωτόνια που παράγονται από αυθόρμητη εκπομπή (spontaneous emission), από την μετάβαση δηλαδή ενός ατόμου από μια υψηλότερη ενεργειακή στάθμη σε χαμηλότερη με την ταυτόχρονη εκπομπή ενός φωτονίου [5]. Δημιουργείται, έτσι, η δέσμη που θα λειτουργήσει ως probe και θα ενισχυθεί περαιτέρω κατά τη διάδοση. Επειδή η αυθόρμητη σκέδαση δημιουργεί φωτόνια σε ολόκληρο το φάσμα του κέρδους, θα ενισχυθούν αρχικά όλες οι συνιστώσες. Παρόλα αυτά, η συνιστώσα της οποίας η διαφορά συχνότητας από του pump αντιστοιχεί στο μέγιστο της καμπύλης κέρδους, δηλαδή βρίσκεται 13. ΣΗz χαμηλότερα από τη συχνότητα του pump, θα ενισχυθεί γρηγορότερα. Σελικά, το SRS προκαλεί τη γένεση ενός κύματος του οποίου η συχνότητα καθορίζεται από την κορυφή του φάσματος Raman και η αντίστοιχη μεταβολή της συχνότητας ονομάζεται ολίσθηση Raman (Raman Shift) ή ολίσθηση Stokes (Stokes shift). Επιπλέον, το κύμα Stokes έχει τελικά την ίδια πόλωση με το pump, καθώς ενισχύονται σχεδόν αποκλειστικά οι αντίστοιχες πεδιακές συνιστώσες. Κατώφλι Raman Προκειμένου να γίνει σωστή εκτίμηση της έντασης των κυμάτων, η Εξ. (3.9) για το Stokes θα πρέπει να τροποποιηθεί ώστε, εκτός από τη μη γραμμική αλληλεπίδραση μεταξύ των δύο κυμάτων, να συμπεριλάβει και ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-7

46 τις γραμμικές απώλειες εξαιτίας του υλικού κατά μήκος της ίνας. Μια αντίστοιχη εξίσωση θα προκύψει και για το pump και το τελικό σύστημα εξισώσεων θα είναι: dis dz gripis asis (3.10) di dz p p g I I s R p s a I p p (3.11) όπου τα ap και a s εισάγουν τις γραμμικές απώλειες της ίνας στην συχνότητα του pump και του Stokes αντίστοιχα. Σο κατώφλι Raman (Raman threshold) είναι μια χαρακτηριστική ποσότητα του φαινομένου και ορίζεται ως η ισχύς εισόδου που απαιτείται για το pump προκειμένου τα δύο κύματα να γίνουν ίσα στην έξοδο της ίνας. Παρόλο που για μια ολοκληρωμένη ανάλυση πρέπει να λάβει κανείς υπόψη του την εξάντληση του pump (pump depletion) μέσω της μη γραμμικής αλληλεπίδρασης, αυτό μπορεί πρακτικά να αμεληθεί για τον υπολογισμό του κατωφλίου. Έτσι από την Εξ. (3.11), αγνοώντας τον 1 ο όρο στο δεξί μέλος, προκύπτει εύκολα ότι: az p( ) p 0, I z I e (3.1) όπου με I 0 συμβολίζεται η ισχύς του pump στην είσοδο της ίνας (z = 0), καταλήγοντας μέσω της Εξ. (3.10) στην Η λύση της παραπάνω εξίσωσης είναι: dis dz az p gri0 e Is asis. (3.13) Is( L) Is(0)exp gri0leff asl (3.14) όπου L το πραγματικό μήκος της ίνας ενώ L eff το ενεργό μήκος (effective length) που ορίζεται ως apl 1 e Leff. ap (3.15) Είναι φανερό ότι η ενεργός τιμή, η οποία εκφράζει την κλίμακα μήκους κατά την οποία εξελίσσεται πρακτικά η σκέδαση Raman επηρεάζοντας ουσιαστικά το πλάτος των δύο κυμάτων, μειώνεται λόγω απωλειών από L σε L eff. Προκειμένου να χρησιμοποιηθεί η Εξ. (3.14) χρειάζεται να δοθεί μια ισχύς εισόδου για το Stokes κύμα I s(0). Εάν δεν εισάγεται συγκεκριμένα κάποιο κύμα ως probe (πράγμα που συμβαίνει τις περισσότερες φορές στην πράξη) και το SRS εμφανίζεται ως αποτέλεσμα της αυθόρμητης σκέδασης κατά μήκος της ίνας ο υπολογισμός της ισχύος της δέσμης στο σκεδαζόμενο-λ στην έξοδο της ίνας μπορεί να γίνει θεωρώντας έναν φανταστικό Stokes παλμό κατάλληλης ενέργειας στην είσοδό της [1,9]. Η ενέργεια αυτή ισοδυναμεί με την εισαγωγή ενός πλασματικού φωτονίου για κάθε εγκάρσιο ρυθμό που υπεισέρχεται στην καμπύλη του κέρδους Raman. Θεωρώντας μονόρρυθμη λειτουργία η ισχύς του Stokes στην έξοδο μπορεί να υπολογιστεί θεωρώντας ενίσχυση καθεμιάς συχνοτικής συνιστώσας ενέργειας και ολοκληρώνοντας σε όλο το εύρος φάσματος του κέρδους Raman. Σο αποτέλεσμα είναι: ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-8

47 P s( L) exp g R p 0Leff asl d. (3.16) Έχει παρατηρηθεί, επίσης, ότι όταν η ισχύς του pump που εισάγεται στην ίνα υπερβεί ένα κατώφλι η συνιστώσα συχνότητας μετατοπισμένη κατά 13. ΣHz χαμηλότερα μεταβάλλεται σχεδόν εκθετικά. Εκτελώντας το παραπάνω ολοκλήρωμα και αντικαθιστώντας s προκύπτει ότι: όπου η ενεργός ισχύς στο z = 0 είναι με eff P s( L) Ps 0 exp g R p s 0Leff asl (3.17) eff s0 s eff P B (3.18) 1/ g Beff 0L R eff. (3.19) s Από φυσικής άποψης, το Beff είναι το ενεργό εύρος φάσματος του κύματος Stokes γύρω από την κορυφή του κέρδους στα R p s. Βάσει ορισμού, το κατώφλι Raman θα προκύψει όταν τα δύο κύματα γίνουν ίσα και δίνεται από την εξίσωση: Ps ( L) Pp ( L) P0 exp a pl (3.0) Θεωρώντας ότι ap as και ότι P0 I0Aeff είναι η ισχύς εισόδου του pump με Aeff την ενεργό επιφάνεια του βασικού ρυθμού της ίνας (περίπου ίση με τον πυρήνα της ίνας) και αντικαθιστώντας την (3.0) στην (3.17) δημιουργείται η συνθήκη κατωφλίου eff P s0 exp g R R P0L eff / Aeff P 0. (3.1) Από την επίλυση της παραπάνω εξίσωσης προκύπτει η ισχύς κατωφλίου. Προσεγγίζοντας την μορφή του σχήματος χ. 3.5 με μία κατανομή Lorentz, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.6, η ισχύς κατωφλίου δίνεται πλέον από την εξίσωση [1] P cr 0 g R 16A eff L eff. (3.) Η παραπάνω ανάλυση ισχύει για ενίσχυση Raman με το pump να διαδίδεται συγκατευθυντικά με το Stokes. Παρόμοια ανάλυση δίνει ότι για αντίθετη διάδοση των δύο κυμάτων ο συντελεστής του κατωφλίου Raman θα αυξηθεί από 16 σε 0, δηλαδή θα απαιτείται μεγαλύτερη ισχύς τροφοδοσίας για ίδιο κύμα εξόδου [1]. Αυτό συμβαίνει γιατί η σκέδαση Raman διαφέρει ελάχιστα στις δύο περιπτώσεις και η διαδικασία είναι λίγο πιο ισχυρή στην περίπτωση της συγκατευθυντικής διάδοσης. Η βαθύτερη αιτία αυτού του φαινομένου είναι η μικρή διαφορά που παρατηρείται στην απόσβεση των παραγόμενων φωνονίων στις δύο περιπτώσεις [4]. Ανεξάρτητα, πάντως, από αυτή τη διαφορά η απόσβεση είναι πολύ ισχυρή στις οπτικές ίνες εξαιτίας της άμορφης φύσης του SiO και η απόκριση του μέσου μπορεί να θεωρηθεί τοπική. Σελικά, αυθόρμητο SRS δεν προκύπτει προς την αντίθετη κατεύθυνση γιατί πρώτα ικανοποιείται το κατώφλι για την συνκατευθυντική περίπτωση. Μπορεί όμως να ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-9

48 γίνει χρήση του εξαναγκασμένου SRS ώστε να ενισχυθεί ο probe παλμός που έχει εισαχθεί στην ίνα με αντίθετη διεύθυνση διάδοσης από αυτή του pump. ημειώνεται επίσης ότι θεωρήσαμε κοινή πόλωση για τα δύο κύματα. ε αντίθετη περίπτωση το κατώφλι Raman αυξάνεται κατά έναν συντελεστή μεταξύ 1 και, με το να αντιστοιχεί σε πλήρη έλλειψη πόλωσης. χήμα 3.6: Προσέγγιση του κέρδους Raman στις οπτικές ίνες με συνάρτηση Lorentz [10] με μέγιστη τιμή m/w στα ΔΩ 0 = 13. THz και με εύρος ζώνης ημίσειας ισχύος (FWHM) BW = 8 THz. Μόλις η ισχύς εισόδου φτάσει το κατώφλι Raman, μεταφέρεται γρήγορα από το pump στο Stokes κύμα με τη θεωρία να προβλέπει πλήρη μεταφορά ισχύος, αν αγνοήσει κανείς τις γραμμικές απώλειες. την πράξη, όμως, όταν η ισχύς του πρώτου κύματος Stokes φτάσει με τη σειρά της το κατώφλι, το Stokes 1 ης τάξης λειτουργεί ως pump για ένα κύμα Stokes ης τάξης. Αυτή η διαδικασία του κλιμακωτού (cascaded) SRS μπορεί να προκαλέσει κύματα stokes σε πολλές ζώνες συχνοτήτων, ο αριθμός των οποίων εξαρτάται από την αρχική ισχύ εισόδου του pump. Άρα τελικά δεν παρατηρείται ποτέ πλήρης μεταφορά ισχύος από το pump στο Stokes. Η θεωρητική αντιμετώπιση που παρουσιάστηκε σε αυτή την παράγραφο ισχύει και για παλμούς διάρκειας ns περίπου, οι οποίοι χρησιμοποιούνται κατά κύριο λόγο για τη δημιουργία Raman laser και ενισχυτών. ε επόμενη ενότητα εξηγείται αναλυτικότερα η χρήση τους για κατασκευή ενισχυτών. 3.. Παλμική Λειτουργία Όταν στην οπτική ίνα εισάγονται παλμοί, περίπτωση που συναντάται ευρέως στην πράξη, παύουν να ισχύουν οι βασικές εξισώσεις (3.10) και (3.11) που αντιστοιχούν στη CW λειτουργία. Σο φαινόμενο χρειάζεται νέα μαθηματική περιγραφή, η οποία όμως απλοποιείται σημαντικά όταν το μέσο αποκρίνεται ακαριαία. Η υπόθεση αυτή δικαιολογείται για τις οπτικές ίνες καθώς το ευρύ φάσμα του κέρδους Raman υπονοεί απόκριση αρκετά κάτω από τα 100 fs, χρόνος αμελητέος σε σχέση με τη διάρκεια των παλμών που θεωρείται τυπικά μεγαλύτερη των 50fs (με εξαίρεση, φυσικά, τους υπερβραχείς παλμούς διάρκειας ~10 fs). Διευκρινίζεται, επίσης, ότι οι εξισώσεις που παρουσιάζονται παρακάτω ισχύουν για παλμούς εύρους μικρότερου του 1 ns περίπου, όπου η σκέδαση Raman κυριαρχεί απέναντι στη σκέδαση Brillouin (SBS), ένα άλλο μη γραμμικό φαινόμενο υψηλότερης τάξης που οδηγεί σε οπισθοσκέδαση σημάτων μεγάλης οπτικής ισχύος και στενού φασματικού περιεχομένου. Η αμοιβαία αλληλεπίδραση, λοιπόν, των Stokes και pump περιγράφεται από δύο συζευγμένες εξισώσεις πλάτους που προκύπτουν με μια διαδικασία παρόμοια με αυτή του κεφαλαίου και περιλαμβάνουν την επίδραση του κέρδους Raman, την εξάντληση του pump, την αυτοδιαμόρφωση φάσης, την ετεροδιαμόρφωση φάσης και της διασποράς της ταχύτητας ομάδας. ημείο εκκίνησης είναι και πάλι η εξίσωση ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-10

49 1 E P L P E 0 NL 0. (3.3) c t t t Σα φαινόμενα που εξαρτώνται από την ένταση του κύματος και ενδιαφέρουν μπορούν να συμπεριληφθούν υποθέτοντας την ακόλουθη μορφή της επιδεκτικότητας 3 ης τάξης: (3) (3) ( t t, t t, t t ) R( t t ) ( t t ) ( t t ) (3.4) όπου το R(t) είναι συνάρτηση της μη γραμμικής απόκρισης κανονικοποιημένη έτσι ώστε (3.4) αντικατασταθεί στην t t t R( t) dt 1. Εάν η PNL( r, t) 0 ( t t1, t t, t t3) E( r, t1) E( r, t) E( r, t3) dt1dt dt3, (3.5) και ορισθεί ένα αργά μεταβαλλόμενο οπτικό πεδίο E( r, t) ως (3) Er (, t) x F x, y A exp (, ) exp.. p j pz pt F x y As j sz st c c με F το προφίλ των κυμάτων και A ps, τους αργά μεταβαλλόμενους φακέλους, προκύπτει ότι t (3.6) P 3 0 (3) * NL( r, t ) (, ) ( 1) (, 1) (, 1) 4 xxxx E r t R t t E r t E r t dt 1 (3.7) με το άνω όριο της ολοκλήρωσης να εκτείνεται ως το t καθώς η συνάρτηση απόκρισης R( t t1) θεωρείται μηδέν για t t 1 ώστε να εξασφαλιστεί η αιτιότητα. Oι εξισώσεις που τελικά προκύπτουν από την επίλυση της Εξ. (3.3) είναι [1]: Ap 1 Ap jp Ap ap A (1 )( ) (, ), p j p f R A p A s A p R p z t z v t t gp As 1 A s j s As a s A (1 )( ) (, ), s j s f R A s A p A s R s z t z v t t gs Σα σύμβολα που χρησιμοποιούνται παραπάνω, με το l p, s για το pump και Stokes αντίστοιχα είναι τα εξής: A l : αργά μεταβαλλόμενος φάκελος το τετράγωνο του μέτρου του οποίου εκφράζει την ισχύ του κύματος [W] και σχετίζεται με το κύμα έντασης I l A l A eff [W/m ] 0l : σταθερά διάδοσης στην αντίστοιχη συχνότητα [rad/m] v gl : ταχύτητα ομάδας [m/sec] l : συντελεστής για τη διασπορά ης τάξης της ταχύτητας ομάδας (GVD) [s /m] a l : συντελεστής γραμμικών απωλειών [Np/m] l : μη γραμμική παράμετρος που ορίζεται ως f R l n l ca [W -1 /m] eff : αδιάστατος συντελεστής που αντιπροσωπεύει την κλασματική συμβολή της σκέδασης Raman στη μη (3.8) (3.9) ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-11

50 γραμμική πόλωση P NL και παίρνει τυπικά την τιμή 0.18 R l : η συμβολή Raman (Raman contribution) που έχει τη μορφή t R (, ) ( )[ (, ) (, ) ] l z t j l fral hr t t Al z t Ak z t dt t * j t t j,, l frak hr t t Al z t Ak z t e dt όπου l k : η ολίσθηση Raman p s R () h t : συνάρτηση απόκρισης Raman η μορφή της οποίας σχετίζεται ευθέως με τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier του φάσματος του κέρδους Raman (3.30) Για παλμούς μεγαλύτερους του 1ps Για παλμούς που υπερβαίνουν το 1 ps τα πλάτη A p και As μπορούν να θεωρηθούν σταθερά για το διάστημα μεταβολής της hr() t και η Εξ. (3.30) μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά δίνοντας: R l j l fr A l Ak Al hr Ak A l, (3.31) όπου με h R συμβολίζεται ο μετασχηματισμός Fourier της R χρησιμοποιείται για το κύμα pump (σχήμα 3.6). h και το αρνητικό πρόσημο στη συχνότητα χήμα 3.7: Υανταστικό και πραγματικό μέρος της hr( ), όταν τα pump και Stokes κύματα πολώνονται παράλληλα, (συνεχής και διακεκομμένη) ή ορθογώνια (με τελείες και με εναλλαγή τελείας-παύλας). ε αυτό το σημείο μπορούν να εισαχθούν δύο νέοι συντελεστές προκειμένου να απλοποιηθεί η μορφή των Εξ. (3.8) και (3.9). Ο ένας είναι ο συντελεστής του δείκτη διάθλασης (index coefficient) που ορίζεται ως R fr Re h R( ) (3.3) και σχετίζεται με τις αλλαγές που επέρχονται στο δείκτη διάθλασης του μέσου εξαιτίας της σκέδασης Raman. Μπορεί μάλιστα να παρατηρηθεί ότι λόγω της άρτιας συμμετρίας που παρουσιάζει το πραγματικό μέρος της απόκρισης Raman γύρω από το σημείο μηδενικής συχνοτικής μετατόπισης, η μεταβολή που θα προκληθεί στον ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-1

51 δείκτη του υλικού θα είναι ακριβώς ίδια για συγκεκριμένη ολίσθηση συχνότητας τόσο προς μεγαλύτερες όσο και προς μικρότερες συχνότητες. Ο άλλος είναι ο συντελεστής κέρδους (gain coefficient) που ορίζεται ως g f Im h ( ) (3.33) l l R R και συνδέεται άμεσα με το κέρδος Raman. Ο συντελεστής παίρνει θετικές τιμές για μεταφορά ενέργειας προς μικρότερες συχνότητες ( 0 p s) ενώ γίνεται αρνητικός για μεταφορά προς μεγαλύτερες, συμπεριφορά απόλυτα λογική από τη στιγμή που μελετώνται τα κύματα Stokes. Οι εξισώσεις παίρνουν πλέον τη μορφή Ap 1 Ap jp Ap ap g A j A f A A A A z v t t gp p p p R R s p s p s 1 s s s s A s s js As R fr Ap As A p As gs A A j A a g z v t t και συμπεριλαμβάνουν τη διαφορά στις ταχύτητες ομάδας των δύο κυμάτων, την διασπορά ταχύτητας ομάδας, τις γραμμικές απώλειες, την αυτοδιαμόρφωση και την ετεροδιαμόρφωση φάσης καθώς και τη σκέδαση Raman. Ο συντελεστής της εταιροδιαμόρφωσης φάσης μάλιστα είναι R f R, αντί για, όταν λαμβάνονται υπόψη οι μεταβολές στον δείκτη διάθλασης. Παρόλο που το φαινόμενο Raman επιφέρει μικρής τάξης αλλαγές μέσω του R, η συχνοτική του εξάρτηση μπορεί να επηρεάσει την ταχύτητα ομάδας του Stokes παλμού. Προκειμένου τα δύο κύματα να αλληλεπιδράσουν μέσω της σκέδασης Raman θα πρέπει να βρίσκονται ταυτόχρονα στην ίδια θέση της ίνας. Η διαφορά όμως που εμφανίζεται στις ταχύτητες ομάδας των pump και Stokes περιορίζει το φαινόμενο χωρικά και χρονικά κατά μήκος εκείνου μόνου του κομματιού της ίνας, στο οποίο οι παλμοί τους επικαλύπτονται σε μεγάλο βαθμό και για όσο αυτό συμβαίνει. Για το λόγο αυτό, λοιπόν, γίνεται εισαγωγή ενός νέου μεγέθους που ονομάζεται μήκος προσπέρασης (walk-off length), ορίζεται ως L W T v gp vgs (3.34) (3.35) (3.36) και αποτελεί ουσιαστικά ένα μέτρο του πραγματικού μήκους αλληλεπίδρασης. Όσο πλησιάζουν οι δύο ταχύτητες τόσο το μήκος (άρα και η διάρκεια) αλληλεπίδρασης αυξάνεται και το φαινόμενο εμφανίζεται ισχυρότερο. Για παλμούς pump διάρκειας περίπου 5 ps το μήκος προσπέρασης είναι περίπου 1 m στην ορατή περιοχή συχνοτήτων. Συπικά γι αυτούς τους παλμούς L L W κι επομένως το SRS περιορίζεται κι εμφανίζεται μόνο μέχρι απόσταση z ~ L W ακόμη κι αν η ίνα έχει πολύ μεγαλύτερο πραγματικό μήκος. Επιπλέον, τα μη γραμμικά φαινόμενα SPM και XPM αποκτούν ιδιαίτερη σημασία εξαιτίας των σχετικά υψηλών πλατών ισχύος και επηρεάζουν σημαντικά την εξέλιξη τόσο του pump όσο και του Stokes κύματος [1]. τις περιπτώσεις όπου όλα τα φαινόμενα, δηλαδή τα GVD, SPM, XPM, προσπέραση του ενός παλμού από τον άλλον και εξάντληση του pump, είναι σημαντικά οι Εξ. (3.34) και (3.35) πρέπει να επιλυθούν αριθμητικά. Για να διευκολυνθεί, όμως, η θεωρητική ανάλυση γίνονται κάποιες απλουστευτικές παραδοχές που δικαιολογούνται από τις πραγματικές συνθήκες. υγκεκριμένα αγνοούνται οι γραμμικές απώλειες εξαιτίας του μικρού μήκους των ινών που χρησιμοποιούνται στα περισσότερα πειράματα ενώ ο δείκτης διάθλασης του υλικού θεωρείται ανεπηρέαστος από το SRS θέτοντας Ω = Ω R και άρα R 0. Επιπλέον, ο χρόνος υπολογίζεται πλέον βάσει ενός πλαισίου αναφοράς που κινείται μαζί με τον παλμό του pump και προκύπτει από τον μετασχηματισμό καθυστερημένου πλαισίου: ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-13

52 T t z v gp (3.37) και οι εξισώσεις που προκύπτουν τελικά είναι A p j p A p j, p Ap fr As A g p A s A z p T A s d A s j s A s j s, s As fr A g p Ap A p A z T s T όπου η παράμετρος προσπέρασης (walk-off parameter) d ορίζεται ως (3.38) (3.39) d 1 1 v gp v gs (3.40) και εκφράζει την αναντιστοιχία της ταχύτητας ομάδας μεταξύ pump και Raman παλμών με τυπικές τιμές 6 ps/m. Οι υπόλοιπες παράμετροι εμφανίζουν επίσης μια μικρή διαφορά μεταξύ των δύο κυμάτων, εξαιτίας της ολίσθησης συχνότητας των περίπου 13 THz μεταξύ των φερόντων τους. Φρησιμοποιώντας τον χαρακτηριστικό λόγο μηκών κύματος, οι τιμές στα δύο κύματα συνδέονται μεταξύ τους ως εξής: p s p, s p s p, s g p s g p, (3.41) με τον λόγο των δύο μηκών κύματος να συμβολίζεται συνήθως με r p s. Για να συγκριθεί η επίδραση των διαφόρων όρων της εξίσωσης σε παλμούς διάρκειας T0 και κορυφή ισχύος P 0 εισάγονται τέσσερα χαρακτηριστικά μήκη που αντιστοιχούν στα διάφορα φαινόμενα και συγκεντρώνονται στον πίνακα 3.1. Κυρίαρχο είναι το φαινόμενο με το μικρότερο χαρακτηριστικό μήκος αφού θα επιδράσει στον παλμό πολύ νωρίτερα. Μήκος διασποράς (dispersion length): L D T0 διασπορά ης τάξης GVD p T0 Μήκος προσπέρασης (walk off length): LW προσπέραση ενός παλμού από τον άλλον d Μη γραμμικό μήκος (nonlinear length): Μήκος κέρδους Raman (Raman gain length): L NL 1 P μη γραμμικότητα (SPM και XPM ) p L G 0 1 σκέδαση Raman gp p Πίνακας 3.1: Φαρακτηριστικά μήκη που ορίζονται για την ευκολότερη θεωρητική μελέτη και κατανόηση της σκέδασης Raman. Κάθε ένα από αυτά παρέχει την κλίμακα μήκους για την οποία το αντίστοιχο φαινόμενο γίνεται καθοριστικό για την εξέλιξη των παλμών. Η GVD είναι γενικά αμελητέα για παλμούς της τάξης των 10 ps. Συπικά L W ~ 1 m με τα LNL και LG να είναι μικρότερα ή συγκρίσιμα με αυτή για ισχείς εισόδου P 0 > 100 W ενώ L D ~ 1 km. Όταν όμως η διάρκεια του παλμού γίνεται ~1 ps ή και μικρότερη η GVD μπορεί να επηρεάσει σημαντικά την εξέλιξη του SRS, ειδικά 0 s ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-14

53 στην περιοχή ανώμαλης διασποράς, καθώς το L D μειώνεται γρηγορότερα από το L W με την μείωση του χρονικού εύρος του παλμού. Διαχωρίζονται, λοιπόν, τρεις περιπτώσεις σχετικά με την επίδραση της GVD στη διάδοση των παλμών, χωρίς GVD, με GVD στην ομαλή περιοχή (β >0) και με GVD στην ανώμαλη περιοχή (β <0), και αναλύονται ξεχωριστά στη συνέχεια Αμελητέα Διασποράς Σαχύτητας Ομάδας Όταν το μήκος διάδοσης του παλμού, δηλαδή το μήκος του κυματοδηγού, είναι πολύ μικρότερο του μήκους διασποράς LD η GVD μπορεί να αγνοηθεί. την παράγραφο αυτή εξάγονται οι αναλυτικές εξισώσεις που περιγράφουν την εξέλιξη των δύο κυμάτων κατά τη διάδοση στα αρχικά στάδια της σκέδασης Raman. Αγνοώντας, εκτός από τη διασπορά ης τάξης ( p s 0 ), τόσο τις γραμμικές απώλειες όσο και την εξάντληση του pump κατά το SRS ( gp 0), οι Εξ. (3.38) και (3.39) παίρνουν τη μορφή da dz p p p p j A A A s d A s j s s fr A g p Ap A p A z T s. Μετά από αναλυτική επίλυση της (3.4) η μορφή του pump παλμού θα δίνεται από την εξίσωση (3.4) (3.43) Ap z, T Ap 0, T exp j p Ap (0, T) z, (3.44) όπου η XPM καθώς και η SPM του Stokes αγνοούνται υποθέτοντας, εύλογα, ότι στα αρχικά στάδια εξέλιξης του φαινομένου As A p. Υαίνεται δηλαδή ότι o pump παλμός διατηρεί τη μορφή του κατά τη διάδοση ενώ μέσω της ολίσθησης που επιφέρει η αυτοδιαμόρφωση φάσης (SPM) προκαλείται chirp διευρύνοντας, έτσι, το φάσμα του παλμού. Από την (3.43) προκύπτει για το Stokes κύμα η παρακάτω λύση: όπου A s ( z, T ) As (0, T zd )exp g s / j s fr z, T (3.45) και για Γκαουσιανούς παλμούς παίρνει τη μορφή z z, T A 0, T zd zd dz (3.46) p 0 0 z, T erf( ) erf( ) P z /. (3.47) Η Εξ. (3.45) δείχνει τη μεταβολή τόσο στο σχήμα όσο και στο φάσμα του παλμού κατά τη διάδοση. Εμφανίζεται, λοιπόν, ο παράγοντας επικάλυψης zt, ο οποίος εισάγει το σχετικό διαχωρισμό των δύο παλμών κατά μήκος της ίνας και εξαρτάται από το σχήμα του pump παλμού εισόδου. Ο παράγοντας αυτός μεταβάλλει το σχήμα από As (0, T) στην είσοδο σε As(0, T zd)exp( gs/ ( z, T)) σε απόσταση z αλλά και τη φάση κατά s( fr) ( z, T) μέσω της ετεροδιαμόρφωσης φάσης (XPM). Όσο μεγαλύτερος είναι, ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-15

54 επομένως, ο τόσο περισσότερο συγχρονίζονται χωρικά και χρονικά οι δύο παλμοί και τόσο μεγαλύτερες μεταβολές διακρίνονται στον αρχικό παλμό Stokes. Προκειμένου να γίνει δυνατή η χρήση των παραπάνω εξισώσεων χρειάζεται ένα Stokes κύμα εισόδου συγκεκριμένου πλάτους. Έχουν ήδη διακριθεί δύο σχετικές πιθανές περιπτώσεις SRS: τη μία, η ίνα τροφοδοτείται με δεδομένο seed (κάποιο μικρό σήμα που χρησιμοποιείται για την εκκίνηση της διαδικασίας μεταφοράς ισχύος από το pump στο Stokes) που αργότερα ενισχύεται ενώ στη δεύτερη, ο αρχικός παλμός Stokes σχηματίζεται από τον θόρυβο. την πρώτη περίπτωση, στις εξισώσεις εισάγεται προφανώς η χρονική εξάρτηση που περιγράφει το seed χωρίς κάποια ιδιαίτερη δυσκολία. τη δεύτερη περίπτωση όμως, η θεωρητική ανάλυση [1] είναι πάρα πολύ απαιτητική. τις οπτικές ίνες μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά αν αγνοηθούν τα μεταβατικά φαινόμενα, υποθέτοντας ότι οι pump παλμοί είναι πολύ ευρύτεροι του χρόνου απόκρισης της σκέδασης Raman. ε αυτή την περίπτωση μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι Εξ. (3.38) και (3.39) με την προσθήκη ενός όρου θορύβου στο δεξί μέλος που οδηγεί σε από-παλμό-σε-παλμό μεταβολές του πλάτους, χρονικού εύρους και ενέργειας του Raman κύματος. Πιο απλά και γενικά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η προσέγγιση ενός φωτονίου για κάθε ρυθμό σε όλες τις συχνότητες του φάσματος του κέρδους Raman, που αναφέρθηκε παραπάνω, παράγοντας έτσι εξισώσεις που περιγράφουν τα ενεργά ή σταθμισμένα χαρακτηριστικά (average features) του παλμού εισόδου. Επιλύοντας, τώρα, τις Εξ. (3.38) και (3.39) προκύπτει ότι τα μέσα χαρακτηριστικά του παλμού εξόδου δεν αλλάζουν σημαντικά για διάφορες επιλογές σχήματος του seed παλμού Περιοχή Ομαλής Διασποράς Σαχύτητας Ομάδας Όταν το μήκος της ίνας είναι συγκρίσιμο με το μήκος διασποράς L D η επίδραση της διασποράς ης τάξης γίνεται σημαντική. Η εξέλιξη των παλμών σε αυτή την περίπτωση περιγράφεται από τις Εξ. (3.38) και (3.39). Επειδή δεν μπορεί, στην περίπτωση αυτή, να υπάρξει κάποια ποιοτική-αναλυτική λύση το σύστημα των εξισώσεων λύνεται αριθμητικά γενικεύοντας την μέθοδο split-step Fourier που περιγράφηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Φρησιμοποιώντας τις σχέσεις της Εξ. (3.41) και τα μήκη του πίνακα 3.1 και ορίζοντας τις ακόλουθες κανονικοποιημένες μεταβλητές οι Εξ. (3.38) και (3.39) παίρνουν τη μορφή z z L, T W T, Aj U j, 0 P0 Up jl U W p L W L j U W, p fr Us U p U s U z L L L p D NL G Us U s jrl W Us rl W rl j U f U U W U U z L L L (3.48) (3.49) s R p s p s. (3.50) D NL G το σχήμα 3.8 φαίνονται τα αποτελέσματα της επίλυσης για διάφορες τιμές παραμέτρων, που συγκεντρώνονται στο πίνακα 3.8, με τη μέθοδο SSF χρονικού παραθύρου 16Σ 0 και πλήθους δειγμάτων 10 : ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-16

55 Είδος Παλμών Ενεργή Φρονική Διάρκεια Παλμών, Σ 0 Μέγιστη Ισχύς Εισόδου Pump, P 0 Μέγιστη Ισχύς Εισόδου Stokes, S 0 Μήκος Κύματος, λ p Γκαουσιανοί 0 ps 5 W 1 μw 1.06 μm Λόγος Μηκών Κύματος, r 0.95 Παράμετρος GVD, β Παράμετρος Μη Γραμμικότητας, γ p υντελεστής Κέρδους Raman, g p Παράμετρος Προσπέρασης, d 0. ps /km.4 W -1 /km 1. W -1 /km 10 ps/km Πίνακας 3.: Παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν στην επίλυση της NLSE με την SSF μέθοδο για την παραγωγή των σχημάτων 3.8 έως χήμα 3.8: Η εξέλιξη του pump και Stokes παλμού για διάδοση σε απόσταση 3L W με r = 0.95, λ p = 1.06 μm και χαρακτηριστικά μήκη με σχέσεις L D/L W = 1000, L W/L NL = 4 και L D/L G = 1. Σο pump στην είσοδο της ίνας θεωρείται Γκαουσιανός παλμός ενώ το seed είναι ανεξάρτητο σχήματος και με ισχύ κορυφής εξασθενημένη κατά 67dB σε σχέση με του pump. Η συγκεκριμένη γραφική παράσταση προέκυψε θεωρώντας Γκαουσιανό seed αλλά η ίδια ακριβώς προκύπτει για οποιονδήποτε σχήμα παλμού seed, αρκεί να έχει την κατάλληλη ισχύ κορυφής. ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-17

56 Εφόσον οι παλμοί βρίσκονται στην περιοχή ομαλής διασποράς, οι συνιστώσες χαμηλότερης συχνότητας κινούνται με μεγαλύτερη ταχύτητα, άρα το κύμα Stokes είναι ταχύτερο και τείνει να ξεπεράσει το pump. Η ανταλλαγή ενέργειας, επομένως, θα γίνει μέσω του τμήματος του Raman παλμού που προηγείται, γεγονός που απεικονίζεται στη γραφική παράσταση με την ενέργεια του Raman να χάνεται κατά τη διάδοση από το κομμάτι αυτό και να απομένει μόνο στο στην ουρά που έπεται. Από το 1.75L W ως το.5l W φαίνεται μια δεύτερη μικρή κορυφή στο pump εξαιτίας της εξάντλησής του που αντιστοιχεί, ακριβώς, στη θέση του Raman παλμού. Η κορυφή αυτή, μάλιστα, εξαφανίζεται στη συνέχεια καθώς ο παλμός διέρχεται από εκείνο το σημείο. Φαρακτηριστικό είναι, επίσης το γεγονός ότι η ενίσχυση ξεκινάει μετά το L W και σχεδόν ολοκληρώνεται ως το 3L W όπου οι παλμοί διαχωρίζονται πλέον χρονικά λόγω της διασποράς, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.9(α). Επομένως, στα 3L W ο pump παλμός είναι στενότερος από τον αντίστοιχο παλμό εισόδου, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.9(β), και ασύμμετρος. Αντίστοιχα, ο Raman παλμός είναι επίσης ασύμμετρος και στενότερος από τον αντίστοιχο αρχικό (που στη συγκεκριμένη περίπτωση θεωρήθηκε Γκαουσιανός) με το κομμάτι που προηγείται να είναι πιο απότομο από αυτό που έπεται. (α) χήμα 3.9: (α) Οι δύο παλμοί σε απόσταση διάδοσης 3L W. Υαίνεται ξεκάθαρα ο χωρικός τους διαχωρισμός καθώς και η πιο απότομη κλίση του μετώπου που προηγείται (προς τους αρνητικούς χρόνους). (β) Ο παλμός pump στην είσοδο και στην έξοδο της ίνας. τα φάσματα του σχήματος 3.10 μπορεί να διακρίνει κανείς χαρακτηριστικά που προκύπτουν από τον συνδυασμό της XPM, της SPM, της απόκλισης των δύο ταχυτήτων ομάδας καθώς και της εξάντλησης του pump με τη διάδοση. υγκεκριμένα, η ασυμμετρία που εμφανίζεται οφείλεται στο chirp λόγω της XPM. Από την άλλη, οι ταλαντώσεις που εμφανίζονται προκαλούνται λόγω της SPM. Η ενίσχυση Raman είναι αυτή που προκαλεί την ασυμμετρία και κάνει εντονότερες τις ταλαντώσεις προς την πλευρά των υψηλότερων συχνοτήτων ενώ αν δεν υπήρχε, το φάσμα θα ήταν συμμετρικό με ταλαντώσεις και στις χαμηλές συχνότητες. Επίσης, παραπάνω φαίνεται ξεκάθαρα ότι με τη διάδοση οι χαμηλότερες συνιστώσες του pump εξαντλούνται περισσότερο αφού αυτές κυρίως ενισχύουν το Stokes. ε αυτό το γεγονός οφείλεται σε κάποιο βαθμό και η πλατιά ουρά που εμφανίζεται στη χαμηλή περιοχή του φάσματος του Stokes κύματος. Μάλιστα ενώ το τελευταίο δεν παρουσιάζει κάποιο ιδιαίτερο χαρακτηριστικό στο L W, στη συνέχεια γίνεται πολύπλοκο λόγω της XPM και της εξάντλησης του pump που προκαλούν το αντίστοιχο chirp. (β) ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-18

57 χήμα 3.10: Υασματική πυκνότητα ισχύος των pump και Stokes παλμών του σχήματος 3.8 σε απόσταση L W και 3L W. Σα χρονικά και φασματικά χαρακτηριστικά των διαδιδόμενων παλμών εξαρτώνται έντονα από την ισχύ των εισαγόμενων παλμών στην είσοδο της ίνας μέσω των μηκών L G και L NL που υπεισέρχονται στις εξισώσεις (3.49) και (3.50). Εάν, συγκεκριμένα, η ισχύς εισόδου αυξηθεί κατά 50%, στα 7.5 W, κρατώντας σταθερές όλες τις υπόλοιπες παραμέτρους, διαπιστώνονται αλλαγές στην χρονική και φασματική εξέλιξη του παλμού, οι οποίες φαίνονται στα σχήματα 3.11 και 3.1. ημειώνεται εδώ ότι, επειδή σε αυτή την περίπτωση χρειάστηκε μεγαλύτερο φασματικό παράθυρο προκειμένου να λειτουργήσει σωστά ο μετασχηματισμός Fourier, τα χαρακτηριστικά της μεθόδου SSF μετατράπηκαν σε: εύρος χρονικού παραθύρου 8Σ 0 και πλήθος δειγμάτων 11. Από το σχήμα 3.11 φαίνεται ξεκάθαρα ότι η μεταφορά ενέργειας στον Stokes παλμό έχει ξεκινήσει νωρίτερα, ήδη από το L W, ενώ στα τελευταία στάδια της διάδοσης το pump έχει εξαντληθεί περισσότερο και το Stokes, αντίστοιχα, έχει αποκτήσει περισσότερη ισχύ εξαιτίας του αυξημένου κέρδους Raman. Επιπλέον, λόγω μείωσης του L NL μέσω της αύξησης του Ρ 0, η συμβολή τόσο του XPM όσο και του SPM στο chirp της συχνότητας έχει αυξηθεί, και το φάσμα του Stokes παλμού, ο οποίος επηρεάζεται εντονότερα από το XPM, (σχήμα 3.1) είναι πλέον φαρδύτερο από πριν (σχήμα 3.10). ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-19

58 χήμα 3.11: Η εξέλιξη του pump και Stokes παλμού για διάδοση σε απόσταση 3L W. Σα χαρακτηριστικά περιγράφονται στον πίνακα 3.3 με μόνη διαφορά ότι η ισχύς κορυφής εισόδου του pump P 0 = 7.5 W. Η Εξ. (3.) από την οποία υπολογίζεται το κατώφλι Raman στην περίπτωση της συνεχούς λειτουργίας ισχύει και στην περίπτωση της παλμικής λειτουργίας χωρίς διασπορά αν το ενεργό μήκος ληφθεί ίσο με L eff = L W [1], αλλαγή λογική καθώς το walk-off μήκος καθορίζει πρακτικά την απόσταση αλληλεπίδρασης των δύο παλμών. Εφαρμόζοντας λοιπόν την Εξ. (3.) για L eff ~3.6 km, όπως προκύπτει από τις τιμές του πίνακα 3., g R = W -1 /km και A eff = 64 μm, όπως προκύπτει για Aeff np c pμε n.6e 0 W -1 /m, η τιμή κατωφλίου προκύπτει ~3 W. Από τις προσομοιώσεις μας η τιμή προκύπτει ~8.5 W, γεγονός απόλυτα λογικό καθώς στις προσομοιώσεις συμπεριλαμβάνονται και τα φαινόμενα διασποράς που δυσχεραίνουν την ενίσχυση Raman και άρα αυξάνουν το κατώφλι. Βλέπουμε λοιπόν ότι, κοντά στην περιοχή των 13. ΣΗz για την ολίσθηση Raman, η προσέγγιση Lorentz παράγει ρεαλιστικά αποτελέσματα. Επίσης, στο σχήμα 3.13(β) είναι φανερό ότι όταν ξεπεραστεί το κατώφλι, για τροφοδοσία στα 9.5 W, η ενίσχυση Raman ξεκινάει νωρίτερα και το Stokes γίνεται ίσο με το κύμα pump σε απόσταση ~L W = km, δηλαδή ~5 km πιο πριν. την έξοδο της ίνας, όμως, τα κύματα Stokes στις δύο περιπτώσεις έχουν την ίδια ισχύ. Εδώ, λοιπόν, φαίνεται ξεκάθαρα ότι, για δεδομένο μήκος ίνας, η βέλτιστη ενίσχυση Raman επιτυγχάνεται για κάποια τιμή ισχύος εισόδου του pump. Η περαιτέρω αύξηση της τροφοδοσίας είναι σπατάλη και δε θα επιφέρει κανένα επιπλέον κέρδος στο τελικό αποτέλεσμα, εφόσον το επιπλέον κέρδος θα έχει αποσβεστεί ως την έξοδο της ίνας. ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-0

59 χήμα 3.1: Υασματική πυκνότητα ισχύος των pump και Stokes παλμών του σχήματος 3.11 σε απόσταση L W και 3L W. (α) (β) χήμα 3.13: Η μεταβολή της ισχύος του pump και Stokes κύματος, κανονικοποιημένη ως προς την ισχύ εισόδου του pump, για τις τιμές P op (α) κάτω από το κατώφλι (5 W και 7 W), (β) στο κατώφλι (8.5 W) και πάνω από το κατώφλι (9.5 W). ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-1

60 3...3 Περιοχή Ανώμαλης Διασποράς Σαχύτητας Ομάδας Όταν τα μήκη κύματος των παλμών pump και Raman βρίσκονται στην περιοχή ανώμαλης διασποράς της ίνας, γίνεται σημαντική η επίδραση των σολιτονίων (solitons). Σα σολιτόνια αποτελούν ειδικής μορφής κύματα που μπορούν να διαδοθούν ανεπηρέαστα μέσα στην ίνα για μεγάλες αποστάσεις. υγκεκριμένα, εμφανίζονται μόνο στην περιοχή ανώμαλης διασποράς και προκύπτουν από την αλληλεπίδραση της GVD και της SPM, χωρίς να μπορεί να αγνοηθεί κανένα από τα δύο φαινόμενα. Σα σολιτόνια αποτελούν τις συγκεκριμένες λύσεις παλμικής μορφής της ακόλουθης εξίσωσης, η οποία προέκυψε από το συνδυασμό των Εξ. (.1) και (.33) αγνοώντας τις απώλειες της ίνας: A j z (3.51) όπου τα Α και Σ είναι τα ίδια που ισχύουν και στις Εξ. (3.38) και (3.39). Μπορούν είτε να παραμένουν αμετάβλητα κατά τη διάδοσή τους ή να ακολουθούν ένα περιοδικό μοτίβο εξέλιξης, το οποίο δηλώνεται από την τάξη του σολιτονίου, όπως περιγράφεται παρακάτω. ύμφωνα με τις κανονικοποιημένες μεταβλητές που έχουν εισαχθεί παραπάνω στην Εξ. (3.48) και ορίζοντας ως η (3.51) παίρνει τη μορφή z, LD (3.5) U 1 U j sgn( ) U U (3.53) όπου P 0 είναι το πλάτος της ισχύος, T0 το πλάτος του προσπίπτοντος παλμού και η παράμετρος Ν που ορίζεται ως N L D P 0T 0. (3.54) LNL Αποδεικνύεται [1] ότι κάθε λύση της εξίσωσης για N = 1 διατηρεί το σχήμα της αμετάβλητο κατά τη διάδοση και ονομάζεται θεμελιώδες σολιτόνιο (fundamental solitons). Οι λύσεις για N>1 ονομάζονται σολιτόνια μεγαλύτερης τάξης. Σα θεμελιώδη σολιτόνια μάλιστα σχηματίζουν μια οικογένεια παλμών που περιγράφονται από την u(, ) sech( )exp( j ) (3.55) όπου u NU, ( t 1z) T0 και μια αδιάστατη παράμετρος που καθορίζει τόσο το πλάτος του σολιτονίου όσο και το χρονικό του εύρος, το οποίο μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα με το ως Σ 0 / Για την κανονική μορφή του θεμελιώδους σολιτονίου επιλέγεται = 1 [1]. Σα σολιτόνια έχουν, δηλαδή, πολύ συγκεκριμένο σχήμα, φάσμα, ισχύ και chirp. Η πιο κρίσιμη ιδιότητα ενός σολιτονίου είναι η αντιστρόφως ανάλογη σχέση του πλάτος του U με την χρονική του διάρκεια T 0. Για τα μεγαλύτερης τάξης σολιτόνια υπάρχει μια απόσταση που αποτελεί τη χωρική περίοδο της κίνησής τους όπου συμβαίνει το εξής: καθώς διαδίδονται κατά μήκος της ίνας, αρχικά στενεύουν μέχρι ένα κλάσμα της αρχικής τους διάρκειας, στη συνέχεια διασπώνται σε N-1 διαφορετικούς παλμούς ακριβώς στο μέσο της περιόδου και τελικά συνενώνονται ξανά ώστε να αποκτήσουν το αρχικό τους σχήμα στο τέλος της ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3 -

61 περιόδου. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται συνεχόμενα κατά τη διάδοση, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.13 που προκύπτει με επίλυση της Εξ. (3.51) με τη μέθοδο SSF. χήμα 3.14: ολιτόνιο 3 ης τάξης που διαδίδεται σε ίνα ανώμαλης διασποράς. Υαίνεται ξεκάθαρα το μέσο της χωρικής του συχνότητας στο 0.78L D και η επιστροφή του στο αρχικό του σχήμα στα 1.6L D. Κάτω από κατάλληλες, λοιπόν, συνθήκες σχεδόν όλη η ενέργεια του κύματος pump μπορεί να μεταφερθεί σε ένα σολιτόνιο, γνωστό ως σολιτόνιο Raman, που θα διαδοθεί ανεπηρέαστο κατά μήκος της ίνας. Πειραματικά δεδομένα δείχνουν [1] ότι προκειμένου να συμβεί αυτό χρειάζεται ο παλμός Stokes να σχηματιστεί σε μια απόσταση στην οποία το κύμα pump, που διαδίδεται ως σολιτόνιο μεγαλύτερης τάξης, έχει την ελάχιστη χρονική διάρκεια (κοντά στα 0.3L D στο σχήμα 3.14). Αντίθετα, αν η μεταφορά ενέργειας προς το κύμα Stokes καθυστερήσει ως μια απόσταση όπου το pump έχει ήδη διαχωριστεί στις συνιστώσες του (κοντά στα 0.64L D στο σχήμα 3.14), δε θα εξελιχθεί σε θεμελιώδες σολιτόνιο και η ενέργειά του θα διασκορπιστεί άμεσα. Για τη μελέτη του πάρα πολύ γρήγορου (ultrafast) SRS στην περιοχή ανώμαλης GVD μπορούν να χρησιμοποιηθούν πάλι, ενδεικτικά μόνο, οι Εξ. (3.49) και (3.50) με μια αλλαγή πρόσημου στους όρους παραγώγων δευτέρας τάξης. υγκεκριμένα, προκειμένου να σχηματιστεί το σολιτόνιο Raman, το μήκος L W θα πρέπει να είναι συγκρίσιμο με το μήκος διασποράς L D. τις οπτικές ίνες η συνθήκη αυτή ικανοποιείται μόνο για femtosecond παλμούς της τάξης των ~100 fs κι επομένως οι εξισώσεις (3.49) και (3.50), και ισοδύναμα (3.38) και (3.39) δεν παρέχουν πλέον μια ακριβή περιγραφή του φαινομένου, γιατί παράχθηκαν με την παραδοχή παλμού εύρους μεγαλύτερου του 1 ps. Σο φάσμα των femtosecond παλμών κυμαίνεται στα ~10 THz ενώ το μέγιστο κέρδος Raman αντιστοιχεί σε φασματική διαφορά ~13 ΣΗz. Σο αποτέλεσμα είναι τα δύο κύματα, το pump και το Stokes, να μην είναι εύκολα διαχωρίσιμα, καθώς το φάσμα τους αρχίζει να επικαλύπτεται. Σο αποτέλεσμα της επίλυσης του συστήματος των Εξ. (3.49) και (3.50) φαίνεται στο σχήμα Σο pump διαδίδεται ως ένα σολιτόνιο υψηλότερης τάξης και συμπιέζεται, ενώ ταυτόχρονα ενισχύει και τον αρχικό παλμό Stokes. Η μεταφορά ενέργειας ξεκινάει κοντά στο z ~ L W. Αν το pump έχει τη μικρότερη χρονική διάρκεια, ο παλμός Stokes θα σχηματίσει ένα Raman σολιτόνιο του οποίο το χρονικό πλάτος είναι μόλις ένα τμήμα του παλμού εισόδου. ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-3

62 χήμα 3.15: Η εξέλιξη του pump και Stokes παλμού για διάδοση σε απόσταση.88l W στην περιοχή ανώμαλης διασποράς. Οι συνθήκες είναι ακριβώς ίδιες με αυτές που ίσχυσαν για την παραγωγή του σχήματος 3.8 με μοναδική διαφορά τη χαρακτηριστική σχέση L D/L W = 0.5. Ενδοπαλμική κέδαση Raman Η παραπάνω συμπεριφορά μπορεί να ερμηνευτεί και στα πλαίσια της ενδοπαλμικής σκέδασης Raman (intrapulse Raman scattering), ενός φαινομένου που μπορεί να εμφανιστεί ακόμη και πριν το κατώφλι της SRS που προέρχεται από θόρυβο. υγκεκριμένα, καθώς ο παλμός εισόδου διαδίδεται ως ένα υψηλότερης τάξης σολιτόνιο, στενεύει χρονικά και διευρύνεται φασματικά κατά τα αρχικά στάδια της φάσης συστολής του. Η φασματική, αυτή, διεύρυνση προς χαμηλότερες συχνότητες παρέχει έναν seed προς ενίσχυση Raman και ουσιαστικά οι υψηλότερες συχνότητες του pump ενισχύουν τις χαμηλότερες συχνοτικές συνιστώσες του ίδιου του pump μέσω ενός ενδοπαλμικού SRS. Σο φαινόμενο παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο. 3.3 Ενισχυτές Raman Η σκέδαση Raman χρησιμοποιείται εκτεταμένα για τη δημιουργία ενισχυτών [11]. Με μια κβαντομηχανική προσέγγιση, όπως φαίνεται στην εικόνα 3.16, όταν ένα ισχυρό κύμα άντλησης εισαχθεί στην ίνα μαζί με το προς ενίσχυση σήμα, ένα φωτόνιο του pump μετατρέπεται σε ένα δεύτερο φωτόνιο του κύματος Stokes, που με κατάλληλη επιλογή συχνοτήτων συμπίπτει με το σήμα, και η διαφορά ενέργειας παράγει ένα οπτικό φωνόνιο. Σο αρχικό φωτόνιο του σήματος, επομένως, έχει ενισχυθεί. ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-4

63 χήμα 3.16: χηματική αναπαράσταση της ενίσχυσης ενός σήματος μέσω της εξαναγκασμένης σκέδασης Raman στο εσωτερικό μιας οπτικής ίνας. Απεικονίζεται ο δεσμός Si-O-Si που ταλαντώνεται καθώς και η μετάβαση των φωτονίων μεταξύ των ενεργειακών σταθμών. Η διαφορά των συχνοτήτων του σήματος και του κύματος άντλησης πρέπει να βρίσκεται στο φασματικό εύρος του κέρδους Raman. τη συγκατευθυντική άντληση (forward-pumping configuration) το σήμα διαδίδεται προς την ίδια κατεύθυνση με το pump ενώ στην αντικατευθυντική άντληση (backward-pumping configuration) τα δύο κύματα διαδίδονται αντίθετα, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.17 [1]. χήμα 3.17: Αναπαράσταση της ίνας και της εισαγωγής των κυμάτων άντλησης για την forward (co-propagation, CO) και backward (counter-propagation, CT) ενίσχυση. Σο σήμα πάντα εισάγεται στο z = 0 και κατευθύνεται προς τον θετικό ημιάξονα των z. Ιδιότητες Οι παρακάτω θεμελιώδεις ιδιότητες του SRS είναι κρίσιμες για τη σχεδίαση των ενισχυτών Raman [11]: - Η μέγιστη δυνατή ενίσχυση επιτυγχάνεται όταν η διαφορά συχνοτήτων Ω μεταξύ του κύματος pump και του σήματος ισούται με Ω max 13. THz. - Σο φάσμα του κέρδους Raman είναι ανεξάρτητο της σχετικής κατεύθυνσης διάδοσης του pump και του σήματος καθώς το διάγραμμα ω k των οπτικών φωνονίων είναι αρκετά επίπεδο, άρα τα φωνόνια της συγκεκριμένης επιθυμητής συχνότητας p sμπορούν να παραχθούν ανεξάρτητα από την διεύθυνση κίνησης (k) του προσπίπτοντος. - Η ενίσχυση Raman εξαρτάται από τη σχετική πόλωση των δύο σημάτων και γίνεται μέγιστη για όμοια πόλωση ενώ ελάχιστη για ορθογώνια. - Ο χρόνος απόκρισης της σκέδασης Raman είναι πάρα πολύ μικρός (της τάξης των fs). Επομένως, οι διάφορες διακυμάνσεις του pump επηρεάζουν άμεσα και την ενίσχυση. Σο φαινόμενο αυτό, όμως, μπορεί να εξισορροπηθεί λόγω του μεγάλου μήκους των οπτικών ινών που φτάνει τα αρκετά χιλιόμετρα. υγκεκριμένα, λόγω των διαφορετικών ταχυτήτων ομάδας και ενδεχομένως της αντίθετης διεύθυνσης ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-5

64 διάδοσης των pump και σήματος, ένα δεδομένο ποσοστό της ενέργειας του σήματος διέρχεται από πολλές διακυμάνσεις του pump, διαδικασία που λειτουργεί εξομαλυντικά. Εξισώσεις - Περιγραφή Οι εξισώσεις (3.10) και (3.11) μπορούν να χρησιμοποιηθούν και στην περίπτωση των ενισχυτών εφόσον το pump είναι συνεχές ή σχεδόν συνεχές. Θεωρώντας, μάλιστα, ότι το σήμα κατευθύνεται πάντα προς τα θετικά z ενώ το pump μπορεί να κατευθύνεται και προς τις δύο κατευθύνσεις, για κάθε μία από τις δύο περιπτώσεις ισχύει [11]: p p di dz p p g I I s R p s p p a I dip p g RIpIs a I dz s p p (3.56) (3.57) όπου I και I είναι οι εντάσεις του pump για co- και counter-pumping αντίστοιχα. Εάν η ένταση του σήματος παραμένει πολύ χαμηλότερα από του pump, η εξάντληση του pump μπορεί να αγνοηθεί και άρα από την Εξ. (3.14) προκύπτει ότι I L I a L g I s( ) s(0)exp s exp R 0Leff (3.58) με I 0 Ip Ip και L eff το ενεργό μήκος της ίνας όπως ορίζεται στην Εξ. (3.15). Βάσει της Εξ. (3.56) μπορούν να οριστούν δύο κέρδη: Σο καθαρό κέρδος μικρού σήματος (small signal net gain) που ορίζεται ως ο λόγος του σήματος εξόδου προς το σήμα εισόδου I ( L) G G a L g I s A net exp exp 0L I (0) s R eff (3.59) s καθώς και το ανοιχτό κλειστό κέρδος (on-off Raman gain) που ορίζεται ως ο λόγος του σήματος εξόδου με την ταυτόχρονη εισαγωγή του pump στην ίνα προς το σήμα εξόδου στην απουσία του pump Is( L) pump-on Gon-off exp gri0leff Is( L) pump-off. (3.60) Σο G on-off μπορεί να μετρηθεί πειραματικά. Για παράδειγμα, για p = 1340 nm και ενίσχυση 1 ης τάξης, όπου s = 140 nm, η τιμή του είναι περίπου 4 db ενώ για ενίσχυση ης τάξης, όπου το Stokes 1 ης τάξης λειτουργεί ως pump, με p = 140 nm και s = 150 nm πέφτει στα 8 db. Επίσης, έχει βρεθεί ότι είναι μικρότερο στην αντικατευθυντική διάταξη, γιατί ο αυθόρμητος θόρυβος αυθόρμητης εκπομπής (ASE), ο οποίος εξηγείται παρακάτω, ενισχύεται περισσότερο σε αυτή την περίπτωση μέσω της σκέδασης Raman [1,3]. Σο κέρδος μπορεί να βελτιωθεί όμως αν χρησιμοποιηθεί οπτικό φίλτρο που μειώνει το εύρος φάσματος του αυθόρμητου θορύβου, γεγονός που αναλύεται επίσης σε επόμενη παράγραφο. ε κάθε ενισχυτή Raman υπάρχει ένα όριο κορεσμού του κέρδους που προκύπτει ως αποτέλεσμα της εξάντλησης του pump μέσω της μεταφοράς ενέργειας στο σήμα. Οι χαμηλές, μάλιστα, απώλειες αυτού του είδους των ενισχυτών υπονοούν ότι η ισχύς εξόδου κορεσμού του σήματος θα είναι της τάξης του pump εισόδου ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-6

65 [1]. Σο κέρδος κορεσμού μπορεί να βρεθεί λαμβάνοντας υπόψη την εξάντληση του pump στις Εξ. (3.10) και (3.11) και προκύπτει al (1 r 0) e GS, (1 r 0) (3.61) r0 GA όπου r 0 p s Ps (0), (3.6) P (0) ω p, ω s είναι οι συχνότητες και P p(0), Ps(0) οι ισχείς εισόδου των pump και Stokes αντίστοιχα. p χήμα 3.18: Κανονικοποιημένο κέρδος κορεσμού των ενισχυτών Raman για διάφορες τιμές του κέρδους μικρού σήματος G A ως προς την κανονικοποιημένη ισχύ εξόδου. Οι απώλειες στην ίνα θεωρήθηκαν αμελητέες. Ισχύει λοιπόν ότι, ενώ για μικρές ισχύες σήματος εισόδου το κέρδος αυξάνεται εκθετικά με την αύξηση της P 0 [Εξ. (3.60) και (3.61)], μετά από κάποιο όριο το κέρδος αρχίζει να αποκλίνει από αυτή τη συμπεριφορά κινούμενο στον κορεσμό. Από το σχήμα 3.18 φαίνεται ότι το κανονικοποιημένο ως προς το G A κέρδος κορεσμού μεταβάλλεται αντιστρόφως ανάλογα με την κανονικοποιημένη ισχύ εξόδου r 0 G A, ενώ για G A από 0 db και πάνω η συμπεριφορά του σχεδόν σταθεροποιείται, όπως επαληθεύτηκε με δοκιμές. το σχήμα, όμως, παρουσιάζεται η καμπύλη ως τα 30 db για λόγους ευκρίνειας. Φρήση ενός ή περισσότερων pump Η φασματική ευελιξία της ενίσχυσης Raman επιτρέπει τη σύνθεση του συνολικού φάσματος του κέρδους ενός ενισχυτή μέσω του συνδυασμού πολλών pump διαφορετικού μήκους κύματος [11]. Δημιουργείται έτσι ένα πολυχρωματικό φάσμα άντλησης, όπως φαίνεται για παράδειγμα στο σχήμα Φρησιμοποιώντας αυτή την προσέγγιση έχουν κατασκευαστεί ενισχυτές με εύρος φάσματος μεγαλύτερο των 100 nm. Κατά την σχεδίαση τέτοιου είδους ενισχυτών, όμως, πρέπει να ληφθεί υπόψη η ισχυρή αλληλεπίδραση Raman μεταξύ των ίδιων των pump. υγκεκριμένα, τα pump μικρού μήκους κύματος ενισχύουν τα μεγαλύτερου μήκους κύματος κι έτσι χρειάζεται τυπικά περισσότερη ενέργεια τροφοδοσίας στα pump υψηλότερης συχνότητας. ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-7

66 χήμα 3.19: Αριθμητικό παράδειγμα του ευρέως κέρδους Raman που προκύπτει από τη χρήση πολλαπλών pump σε μια ίνα NZDSF (Non-Zero Dispersion Shifted Fiber). Οι μπάρες δείχνουν τα διάφορα μήκη κύματος που χρησιμοποιήθηκαν σε counter-pumping configuration και τις αντίστοιχες τιμές ισχύος εισόδου. Η συνεχής γραμμή απεικονίζει το συνολικό on-off κέρδος μικρού σήματος. Οι διακεκομμένες γραμμές παρουσιάζουν την κλασματική συμβολή κάθε pump στο συνολικό κέρδος. Παρατηρώντας κανείς τις ασύμμετρες διακεκομμένες γραμμές στο σχήμα 3.19, βλέπει καθαρά ότι το pump μεγαλύτερου μήκους κύματος, περί τα 1500 nm, ενισχύει αντίστοιχα τα κανάλια μεγαλύτερου μήκους κύματος, περί τα 1600 nm. Σο κέρδος των καναλιών μεγαλύτερου μήκους κύματος, δηλαδή, καθορίζεται κυρίως από τη θέση του pump με επίσης μεγαλύτερο μήκος κύματος, σε αντίθεση με τα ενδιάμεσα κανάλια, μεταξύ 1500 και 1550 nm τα οποία λαμβάνουν συμβολή πιο ομοιόμορφα, από διαφορετικά pump. Ως αποτέλεσμα, κι εφόσον το pump μεγάλου μήκους κύματος τροφοδοτείται με χαμηλή τιμή ισχύος, θα περίμενε κανείς το κέρδος του αντίστοιχου καναλιού να είναι μικρότερο σε σχέση με των ενδιάμεσων καναλιών. Υαίνεται όμως ότι το συνολικό κέρδος είναι ομοιόμορφο, γεγονός που οφείλεται στην ενίσχυση που δέχεται το ίδιο το pump μεγάλου μήκους κύματος από τα pump μικρότερων μηκών. Δηλαδή η ενέργεια που εισάγεται αρχικά στα pump μικρότερου μήκους κύματος μεταφέρεται, σε πρώτη φάση, στα pump μεγαλύτερου μήκους κύματος και σε δεύτερη φάση στα κανάλια μεγάλου μήκους κύματος. υγκεκριμένα, παρόλο που μόνο το 10% της εισαγόμενης ενέργειας αποδίδεται στο pump των 1490 nm, αυτό ενισχύεται από τα υπόλοιπα, λόγω του cascaded SRS, και τελικά αποδίδει το 80% του κέρδους στα σήματα περί τα 1600nm. Είδη θορύβου στους Raman ενισχυτές Εκτός από την ενίσχυση του σήματος οι ενισχυτές Raman παράγουν και θόρυβο. Η πιο σημαντική πηγή θορύβου είναι η ενισχυμένη αυθόρμητη εκπομπή (amplified spontaneous emission, ASE) που εμφανίζεται αναπόφευκτα σε όλους τους οπτικούς ενισχυτές. τους ενισχυτές Raman, συγκεκριμένα, οφείλεται στην αυθόρμητη σκέδαση Raman και η γέννηση και ενίσχυσή της γίνεται σύμφωνα με την εξίσωση: di A a 1 ( ) AIA gr IAI p gr T hfabref Ip, dz A p A p (3.63) όπου Ι Α ± είναι η ένταση του θορύβου που προστίθεται σε μια από τις συνιστώσες του σήματος με συγκεκριμένη πόλωση και κατευθύνεται προς το ± z αντίστοιχα, B ref είναι το εύρος φάσματος και Ι p η ισχύς του pump σε μια ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-8

67 συγκεκριμένη θέση z που προκύπτει από το άθροισμα των κυμάτων που κινούνται και προς τις δύο κατευθύνσεις και περιλαμβάνει όλες τις πολώσεις. Η Εξ. (3.63) περιλαμβάνει τον παρακάτω συντελεστή ( T) που ποσοτικοποιεί την θερμική εξάρτηση του κέρδους Raman ως συνάρτηση του Δf και ονομάζεται παράγοντας κατάληψης φωνονίων (phonon occupancy factor) 1 ( ), hf exp 1 (3.64) kt B όπου h είναι η σταθερά του Planck, k B η σταθερά του Boltzmann, Δf η διαφορά συχνότητας μεταξύ του pump και του σήματος και T η απόλυτη θερμοκρασία. ε θερμοκρασία δωματίου 7ºC (300Κ) και για Δf = 13. THz ο παράγοντας κατάληψης λαμβάνει την τιμή Ο παραπάνω όρος ίσως είναι αμελητέος για διάφορες άλλες συνθήκες, πρέπει όμως να λαμβάνεται υπόψη κυρίως σε ενισχυτές με ευρύ φάσμα και συστήματα πολυπλεξίας μήκους κύματος (wavelength division multiplexing, WDM), όπου τα κανάλια μικρού μήκους κύματος μπορούν να βρίσκονται κοντά στα pump μεγάλου μήκους κύματος. Σο πρόβλημα που δημιουργεί ο ASE είναι το εξής: επειδή είναι οπτικός και έχει την ίδια συχνότητα με το σήμα, προστίθεται σε φάση με τις συνιστώσες του σήματος ίδιας πόλωσης και κατεύθυνσης διάδοσης προκαλώντας διακυμάνσεις έντασης που ονομάζονται θόρυβος συμβολής σήματος με αυθόρμητη εκπομπή (signalspontaneous beat noise). Όταν το σήμα (sig) καταλήξει σε έναν ανιχνευτή τετραγώνου (φωτοδίοδο) στο δέκτη, οι συνιστώσες του beat θορύβου (n) στο ηλεκτρικό φάσμα του ανιχνευτή προκαλούν διακυμάνσεις ρεύματος (ή τάσης). υγκεκριμένα, Iel R Pop και Pop En Esig Pn Psig Re En E sig, όπου το Ι συμβολίζει την ένταση του ηλεκτρικού ρεύματος (el), το R το συντελεστή απόκρισης (Α/W) της φωτοδιόδου, το P την οπτική ισχύ (op) και τα Ε τα διανύσματα της ηλεκτρικής έντασης των οπτικών πεδίων. Επειδή ο θόρυβος χρειάζεται στοχαστική αντιμετώπιση, ο τελευταίος όρος σταθμίζεται χρονικά και προκύπτει ο ASE στο ηλεκτρικό σήμα του δέκτη [3]. Ένα πολύ βασικό και σημαντικό χαρακτηριστικό των ενισχυτών Raman είναι το ευρύ τους φάσμα που επιτρέπει την ενίσχυση πολλών καναλιών ταυτόχρονα σε ένα WDM σύστημα. Σο ίδιο το κέρδος Raman, όμως, μπορεί να αποδειχθεί καταστροφικό για τη λειτουργία και την απόδοση του συστήματος. Ο λόγος είναι ότι τα μικρού μήκους κύματος κανάλια μπορούν να λειτουργήσουν ως pump για μεγαλύτερα, μεταφέροντας έτσι μέρος της ενέργειας του παλμού σε γειτονικά κανάλια. Αυτό προκαλεί την αλληλοπαρεμβολή (crosstalk) μεταξύ καναλιών, ακριβώς με τον τρόπο που εξηγήθηκε παραπάνω για την αλληλεπίδραση των pump. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένα ισοζύγιο μεταξύ του on-off κέρδους και του κέρδους των καναλιών. ε μια απλή προσέγγιση του φαινομένου, θεωρείται σύστημα δύο καναλιών, με το κανάλι μικρού μήκους κύματος να λειτουργεί ως pump. Η μεταφορά ενέργειας υπακούει πάλι στις εξισώσεις (3.10) και (3.11) που μπορούν να λυθούν αναλυτικά αν οι απώλειες τις ίνας θεωρηθούν ίδιες και για τα δύο κανάλια, μια υπόθεση εύκολα δικαιολογήσιμη για τυπική απόκλιση καναλιών κοντά στα 1.55 μm. Η ενίσχυση για το κανάλι μεγαλύτερου μήκους κύματος δίνεται από την Εξ. (3.59). Η σχετική μείωση της ενέργειας του καναλιού μικρού μήκους κύματος δίνεται από τον παράγοντα εξάντλησης του pump (pump depletion factor) Ip L 1 r D 0 p, 0 exp 1 r (3.65) I 1 0 p apl rg 0 A όπου τα G A και r 0 δίνονται από τις Εξ. (3.59) και (3.6). Είναι ο λόγος, δηλαδή, της ισχύος που έχει το κανάλιpump στην έξοδο της ίνας προς τον λόγο της ισχύος που θα είχε στο ίδιο σημείο αν δεν υπήρχε και ο κανάλι. ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-9

68 Ορίζεται η ποινή ισχύος λόγω Raman (Raman-induced power penalty) ως η σχετική αύξηση στην ενέργεια του pump που απαιτείται για να διατηρηθεί η ίδια ενέργεια εξόδου που θα λαμβανόταν, αν δεν εμφανιζόταν η αλληλοπαρεμβολή: 1 R D p 1 ή R 10 log( ) db D. (3.66) Για παράδειγμα, αν θεωρηθεί ποινή 1 db, που αντιστοιχεί σε D p ~ 0.8, το αντίστοιχο κέρδος G A προκύπτει 1.. Για τυπικές τιμές ενός συστήματος επικοινωνίας στα 1.55 μm, με g R = 7x10-14 m/w, A eff = 50 μm και L eff = 1/α p ~0 km το κέρδος G A =1. αντιστοιχεί σε ισχύ εισόδου P 0 = 7mW. Εάν ληφθεί υπόψη και η τυχαία αλλαγή της πόλωσης το κέρδος Raman θα μειωθεί στο μισό και άρα η απαιτούμενη ισχύς θα γίνει P 0 = 14mW. p χήμα 3.0: Ο παράγοντας εξάντλησης του pump D p συναρτήσει του κέρδους μικρού σήματος G A για συγκεκριμένες τιμές του r 0. Οι γραμμικές απώλειες στην ίνα θεωρήθηκαν ίσες για το pump και το σήμα (α p = a s). Η κατάσταση είναι πολύ πιο περίπλοκη σε πολυκαναλικά συστήματα WDM. Σα ενδιάμεσα κανάλια ενισχύονται από τα κανάλια μικρότερου μήκους κύματος αλλά ταυτόχρονα ενισχύουν και τα κανάλια μεγαλύτερου μήκους κύματος από τα ίδια. Για ένα σύστημα M καναλιών η ισχύς εξόδου του σήματος σε κάθε κανάλι μπορεί να ληφθεί με την επίλυση ενός συστήματος M συζευγμένων διαφορικών εξισώσεων. Σο κανάλι μέγιστης συχνότητας είναι αυτό που επηρεάζεται περισσότερο από την αλληλοπαρεμβολή αφού μεταφέρει μέρος της ενέργειάς του σε όλα τα υπόλοιπα που η φασματική τους απόσταση από αυτό βρίσκεται στα όρια του κέρδους Raman (σχήμα 3.5). Η παραπάνω λογική δίνει μόνο χοντρικά μια εκτίμηση της αλληλοπαρεμβολής λόγω Raman καθώς αγνοεί το γεγονός ότι τα κανάλια μεταφέρουν διαφορετικές τυχαίες ακολουθίες από bit 0 και 1 και το επίπεδο της αλληλεπίδρασής τους θα μειωθεί [11]. Η επίδραση της GVD, που επίσης αγνοείται, την περιορίζει περαιτέρω καθώς οι παλμοί σε διαφορετικά κανάλια κινούνται με διαφορετικές ταχύτητες. Για ένα ρεαλιστικό σύστημα WDM, τέλος, πρέπει να συνυπολογιστούν η διαχείριση της διασποράς και η συμβολή των διάφορων τμημάτων της ίνας που διαχωρίζονται από τους οπτικούς ενισχυτές. Παράδειγμα σύγκρισης πειράματος και αναλυτικής έκφρασης θορύβου ε πείραμα του 1997 [9] προτάθηκε ένα απλό αναλυτικό μοντέλο για την αναπαράσταση του θορύβου. Θεωρήθηκε τυχαίος seed παλμός εισόδου για το Stokes κύμα και Γκαουσιανός παλμός για το pump ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-30

69 χωρίς ανεπιθύμητες διακυμάνσεις του πλάτους (αθόρυβος). Για διευκόλυνση της θεωρητικής μελέτης, αγνοήθηκαν οι γραμμικές απώλειες και η χρωματική διασπορά, καθώς μελετήθηκε η σκέδαση μεγάλων σε διάρκεια παλμών σε μικρού μήκους ίνες χαμηλών απωλειών. Η μελέτη επικεντρώθηκε, επίσης, σε μια στενή φασματική περιοχή των δύο παλμών, θεωρώντας, έτσι, το κέρδος Raman σταθερό. Οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν το μοντέλο διάδοσης είναι οι εξής: dp 1 SP dz LG ds r SP dz LG (3.67) (3.68) όπου r = λ p /λ s και P, S οι αδιάστατες ισχύες των pump και Stokes κυμάτων αντίστοιχα, ενώ το r και L G ορίζεται όπως στην Εξ. (3.41) και στον πίνακα 3.1. Όπως φαίνεται, δεν περιλαμβάνουν χρονικές παραγώγους λόγω της έλλειψης χρωματικής διασποράς. Η βασική αρχή στην οποία βασίζεται η επίλυση του συστήματος είναι η εξής: η ροή των φωτονίων διατηρείται σε μια ίνα χωρίς απώλειες, καθώς κάθε φωνόνιο Stokes μπορεί να αντιστοιχισθεί σε ένα σκεδαζόμενο φωνόνιο pump από το οποίο προήλθε. Ορίζεται, λοιπόν, η ποσότητα N 0, ανεξάρτητη του μήκους διάδοσης z ως: ή αλλιώς N0 rp( z) S( z) const (3.69) s P( z) S( z) N 0 P( z) S( z ), s (3.70) p p s με την ποσότητα P( z) p S( z) sνα αντιστοιχεί στη συνολική ροή φωτονίων σε κάθε σημείο z. Παρόλο που μετριέται σε J sec -1 και όχι σε J sec -1 m - η αντιστοιχία είναι άμεση, λόγω της υπόθεσης ότι η διατομή της ίνας παραμένει σταθερή και η λύση του συστήματος των (3.67) και (3.68) παίρνει τη μορφή N0S(0)exp( N0z LG ) Sz () rp(0) S(0)exp( N z L ) NP 0 (0) Pz () rp(0) S(0)exp( N0z LG) Για να χρησιμοποιηθεί εισάγεται ένας seed παλμός ενέργειας 0 G (3.71) (3.7) hf (0) s f S s L/ L, (3.73) σύμφωνα με την προσέγγιση των πλασματικών φωτονίων που χρησιμοποιήθηκε για την παραγωγή της (3.16), όπου f s είναι η συχνότητα του Stokes, f s το εύρος φάσματος μισής ισχύος (FWHM) της καμπύλης του κέρδους Raman, L το μήκος της ίνας και h η σταθερά του Planck. Οι εγγενείς διακυμάνσεις που είναι αποτέλεσμα της έναρξης του SRS μέσω της αυθόρμητης εκπομπής μοντελοποιούνται εισάγοντας ένα μεταβαλλόμενο Stokes seed στην είσοδο της ίνας. υγκεκριμένα, το πεδίο του παλμού θεωρείται μια τυχαία μιγαδική μεταβλητή G ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-31

70 E (0) E je. (3.74) s r i Σο πραγματικό και φανταστικό μέρος είναι Γκαουσιανές μεταβλητές με μέση τιμή μηδέν και προέρχονται μέσω του αλγορίθμου Box-Muller [9]: P E s (0) r ln( r 1 ) sin( r ) P p (3.75) P E s (0) i ln( r 1 ) cos( r ). (3.76) P p Οι μεταβλητές r 1 και r είναι τυχαίες και ομοιόμορφα κατανεμημένες και P p είναι το πλάτος της ισχύος εισόδου του pump. Ως αποτέλεσμα των Γκαουσιανών στατιστικών χαρακτηριστικών του πεδίου του Stokes 1 ης τάξης, η ισχύς εισόδου του Stokes θα είναι εκθετικά κατανεμημένη, γεγονός που συμφωνεί με την αναμενόμενη συμπεριφορά λόγω της τυχαίας διαδικασίας προέλευσής της. Για τις προσομοιώσεις που έγιναν προκειμένου να ελεγχθεί η ορθότητα που παραπάνω μοντέλου χρησιμοποιήθηκαν οι φυσικές παράμετροι που φαίνονται στον πίνακα 3.4: Είδος Παλμών Q - switched Μέγιστη τιμή του κέρδους Raman, g R m -1 W -1 Εύρος Ημίσειας Ισχύος του Κέρδους, Δf s Μήκος Κύματος του Pump, λ p Μήκος Κύματος του Stokes, λ p Μέγιστη Ισχύς Εισόδου, P 0 Μήκος Οπτικής Ίνας, L 5 THz nm nm W 71 m Πίνακας 3.4: Παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση του συστήματος των συζευγμένων εξισώσεων (3.67) και (3.68). το πείραμα χρησιμοποιήθηκαν πέντε διαφορετικές τιμές ισχύος εισόδου για το pump. Για κάθε μία από αυτές καταγράφηκαν 1100 ζευγάρια παλμών pump/εισόδου Stokes 1 ης τάξης/εξόδου. ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-3

71 χήμα 3.1: Πειραματικά δεδομένα για τιμές ισχύος εισόδου (α) 14.9 W, (b) 19 W, (c) 3. W, (d) 7.3 W, (e) 31.4 W και (f) 35.6 W. Σα ιστογράμματα δείχνουν το πλήθος των κυμάτων Stokes 1 ης τάξης δεδομένης ενέργειας. ημειώνεται ότι ο κλίμακες ενέργειας για τις διάφορες ισχύες εισόδου δεν είναι άμεσα συγκρίσιμες [9]. ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-33

72 χήμα 3. : Αποτελέσματα προσομοίωσης για τιμές ισχύος εισόδου (α) 14.9 W, (b) 19 W, (c) 3. W, (d) 7.3 W, (e) 31.4 W και (f) 35.6 W. Σα ιστογράμματα δείχνουν το πλήθος των κυμάτων Stokes 1 ης τάξης δεδομένης ενέργειας. Σόσο από την προσομοίωση όσο και από το πείραμα φαίνεται μια ξεκάθαρη τάση: η κατανομή είναι αρχικά, σε χαμηλές ισχύες εισόδου, εκθετικού χαρακτήρα και μετατρέπεται σε Γκαουσιανού τύπου καθώς το πλάτος της ισχύος του εισαγόμενου pump αυξάνεται. Επίσης, για τις υψηλές τιμές ενέργειας του pump οι δύο κατηγορίες αποτελεσμάτων είναι πολύ παρόμοιες και πιο απότομες στην μεριά της υψηλής ενέργειας. το αριθμητικό μοντέλο, βέβαια, δεν υπάρχει μηχανισμός περιορισμού της ενέργειας του Stokes 1 ης τάξης, όπως είναι για τις μετρήσεις η τροφοδοσία ενός Stokes ης τάξης. Τπάρχει όμως κορεσμός του ρυθμού αύξησής του στο μοντέλο μέσω του παρονομαστή της Εξ. (3.67), στον οποίο μάλλον αποδίδεται η απότομη, αυτή, μορφή. Τπάρχει, επίσης, μια ξεκάθαρη διαφορά στο ρυθμό εξασθένισης από εκθετική σε Γκαουσιανή κατανομή, που φαίνεται στη διαφορά του σχήματος των ιστογραμμάτων για ενδιάμεσες τιμές ισχύος και αποδίδεται στο ευρύτερο φάσμα των μετρούμενων παλμών σε σχέση με αυτό τις τιμές της προσομοίωσης. Σο συνολικό συμπέρασμα που προκύπτει από την παραπάνω πειραματική διαδικασία είναι το εξής: το γεγονός ότι το μαθηματικό μοντέλο αντιπροσωπεύει την ιδανική περίπτωση της δημιουργίας του Stokes 1 ης τάξης από ένα pump χωρίς ανεπιθύμητες διακυμάνσεις και ταυτόχρονα το μοντέλο αυτό συμφωνεί σε πολύ ικανοποιητικό βαθμό με τα πειραματικά δεδομένα αποτελεί μια ένδειξη ότι στις πειραματικές μετρήσεις του φαινομένου παρατηρείται ο σχηματισμός κυρίως του κβαντικού θορύβου μέσω του μη γραμμικού κέρδους που παρουσιάζει η ίνα. ΚΕΥ. 3: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΙ ΟΠΣΙΚΕ ΙΝΕ 3-34

73 ΚΕΥΑΛΑΙΟ 4 TO ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΟΤ ΚΤΜΑΣΟΔΗΓΟΤ ΠΤΡΙΣΙΟΤ 4.1 Απορρόφηση Δύο Υωτονίων και Απορρόφηση Ελεύθερων Υορέων Σο κεφάλαιο αυτό ασχολείται με τη διεγερμένη σκέδαση Raman στους κυματοδηγούς πυριτίου-πάνωσε-μονωτή (silicon-on-insulator, SOI) η οποία χρησιμοποιείται για την ενίσχυση οπτικών σημάτων [13]. ημειώνεται ότι το πυρίτιο, όπως και το διοξείδιο του πυριτίου, δεν παρουσιάζει επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης χ () λόγω συμμετρίας αντιστροφής (inversion symmetry) του κρυστάλλου. ε κάθε μόριο, δηλαδή, εμφανίζει ένα κέντρο συμμετρίας των ατόμων που το αποτελούν. Έτσι, τα χαμηλότερης τάξης μη γραμμικά φαινόμενα που μπορούν να παρατηρηθούν προέρχονται από την επιδεκτικότητα τρίτης τάξης χ (3), όπως συμβαίνει και με το διοξείδιο του πυριτίου. Ενισχύονται, μάλιστα, σημαντικά σε σχέση με το διοξείδιο καθώς το πυρίτιο εμφανίζει έναν μη γραμμικό δείκτη διάθλασης n μεγαλύτερο κατά 100 φορές και κέρδος Raman πολλαπλάσιο κατά περίπου φορές στην περιοχή των 1.55 μm. Επίσης, η ισχυρή συγκέντρωση του οπτικού ρυθμού, λόγω της μεγάλης διαφοράς των δεικτών διάθλασης στην SOI πλατφόρμα, σε περιοχές μικρότερες του μήκους κύματος οδηγεί σε πολύ μεγάλη πυκνότητα ισχύος στον πυρήνα (ενδεικτικά 1 GW/cm ) [14,15,16,17]. Σο βασικό εμπόδιο ώστε να επιτευχθεί υψηλή απόδοση στους ενισχυτές Raman είναι η ισχυρή απορρόφηση λόγω ελεύθερων φορέων (free-carrier absorption, FCA) που προκαλείται μέσω της απορρόφησης δύο φωτονίων (two-photon absorption, TPA), φαινόμενα που παρουσιάζονται στη συνέχεια. Απορρόφηση Δύο Υωτονίων (TPA) Σο TPA είναι ένα μη γραμμικό φαινόμενο που μπορεί να σχετιστεί με το φανταστικό μέρος της επιδεκτικότητας 3 ης τάξης, και πιο συγκεκριμένα με τη συμβολή των ηλεκτρονίων σε αυτή, το οποίο παρατηρήθηκε για πρώτη φορά πειραματικά το 1961 από τους Kaiser και Garret [4]. υγκεκριμένα, ένα άτομο μεταβαίνει από τη θεμελιώδη κατάσταση σε μια διεγερμένη με την ταυτόχρονη απορρόφηση δύο φωτονίων της ίδιας ή διαφορετικής συχνότητας, το άθροισμα των ενεργειών των οποίων ισούται τουλάχιστον με τη διαφορά ενέργειας μεταξύ των δύο καταστάσεων, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.1. Η διατομή απορρόφησης (absorption cross section) [m ] που περιγράφει την παραπάνω διαδικασία αυξάνεται γραμμικά με την ένταση του προσπίπτοντος πεδίου Ι [W/m ] σύμφωνα με τη σχέση () I, (4.1) όπου () [m 4 /W] είναι ένας συντελεστής που περιγράφει το πόσο έντονη είναι η διαδικασία απορρόφησης. ημειώνεται εδώ η αντίθεση με τη συμβατική γραμμική οπτική, στην οποία ο συντελεστής απορρόφησης είναι σταθερά. Επομένως, ο ρυθμός μετάβασης (transition rate, R) των ατόμων μεταξύ των καταστάσεων εξαιτίας της απορρόφησης δύο φωτονίων μεταβάλλεται ανάλογα με το τετράγωνο της έντασης του πεδίου εφόσον I (4.1) () I R R (4.) όπου ω η συχνότητα του πεδίου και h με h = 6.66e-34 Js τη σταθερά του Planck. ΚΕΥ. 4: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΟΤ ΚΤΜΑΣΟΔΗΓΟΤ ΠΤΡΙΣΙΟΤ 4-1

74 χήμα 4.1: Η διαδικασία απορρόφησης δύο φωτονίων με μετάβαση από τη θεμελιώδη κατάσταση g στη διεγερμένη κατάσταση n. Μπορεί να συμβεί τόσο για φωτόνια ίδιας ενέργειας (ω 1 = ω ) όσο και για διαφορετικής (ω 1 ω ). Σο TPA στους SOI κυματοδηγούς προκύπτει μέσω των ταλαντώσεων των δεσμευμένων ηλεκτρονίων. υγκεκριμένα, τα δεσμευμένα ηλεκτρόνια στη ζώνη σθένους μπορούν να διεγερθούν στη ζώνη αγωγιμότητας μέσω TPA απορροφώντας δύο φωτόνια με συνολική ενέργεια που ξεπερνά το ενεργειακό διάκενο του πυριτίου E g 1.1 ev, δημιουργώντας έτσι έναν αξιόλογο αριθμό ελεύθερων ηλεκτρονίων και οπών βάσει του πλάτους ισχύος του προσπίπτοντος κύματος. τη διαδικασία συμμετέχουν απαραίτητα και φωνόνια για τη διατήρηση της ορμής, λόγω του έμμεσου ενεργειακού διακένου του πυριτίου. Σα κατάλληλα φωτόνια έχουν μήκος κύματος μικρότερο των. μm (αντιστοιχεί σε E g / 1.1 ev/ 0.56 ev) ενώ πρακτικά το TPA φθίνει στο μηδέν για μήκος κύματος που ξεπερνά τα 1.7 μm [16]. Ο χρόνος απόκρισης, μάλιστα, είναι ιδιαίτερα μικρός και για συχνότητες μεγαλύτερες από αυτή που αντιστοιχεί στο ενεργειακό διάκενο (~70 ΣΗz) μειώνεται κάτω από τα 10 fs. Αυτή η σχεδόν ακαριαία φύση της ηλεκτρονικής απόκρισης οδηγεί σε πολλές εφαρμογές που σχετίζονται με πλήρως οπτική επεξεργασία σήματος πολύ υψηλού ρυθμού πληροφορίας. Απορρόφηση Ελεύθερων Υορέων (FCA) Η πυκνότητα των ελεύθερων φορέων που παράγονται λόγω ΣΡΑ εισάγει επιπλέον απώλειες στην διάδοση του φωτός, που αποκαλούνται «απώλειες ελεύθερων φορέων». Οι φορείς αυτοί όχι μόνο απορροφούν φως σε ένα μεγάλο φάσμα αλλά επιπλέον επηρεάζουν τη διάδοση του κύματος αλλάζοντας τον δείκτη διάθλασης του μέσου [17,] καθώς χαρακτηρίζονται από σημαντικό χρόνο χαλάρωσης. Σο τελευταίο φαινόμενο ονομάζεται, με τη σειρά του, διασπορά ελεύθερων φορέων (free carrier dispersion, FCD). 4. Η Ενίσχυση Raman στο Πυρίτιο Η ολίσθηση Raman (Raman shift) στο πυρίτιο αντιστοιχεί σε Ω R = 15.6 THz, αντί για 13. ΣΗz στο διοξείδιο του πυριτίου, ενώ το εύρος φάσματος του κέρδους Raman εκτείνεται σε 105 GHz, είναι δηλαδή πολύ στενότερο από το αντίστοιχο φάσμα των ~40 ΣHz στις οπτικές ίνες. Η διαφορά αυτή οφείλεται στη διαφορετική δομή των δύο υλικών, καθώς το πυρίτιο είναι κρυσταλλικό υλικό ενώ το διοξείδιο του πυριτίου άμορφο. Όταν η διαφορά συχνότητας μεταξύ του pump και του σήματος πλησιάσει την ολίσθηση Raman, το SRS αρχίζει να επηρεάζει τη διάδοση του παλμού και γίνεται αποτελεσματικό για παλμούς διάρκειας μεγαλύτερης των περίπου 3 ps, χρόνος που αντιστοιχεί στην απόκριση Raman [16]. Μέσω μιας pump probe προσέγγισης, κέρδη της τάξης των 6 db και 6.8 db παρατηρήθηκαν σε πειράματα που εφάρμοζαν 3.5-ps και 6.6-ps pump παλμούς, αντίστοιχα. Για ολίσθηση συχνότητας 15.6 GHz η διαφορά των ταχυτήτων ομάδας είναι σημαντική και η διαδικασία SRS επηρεάζεται από την προσπέραση του ενός παλμού από τον άλλον. Αυτό το Οι όροι «παλμός Stokes», «παλμός Raman» και «σήμα» χρησιμοποιούνται ισοδύναμα. ΚΕΥ. 4: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΟΤ ΚΤΜΑΣΟΔΗΓΟΤ ΠΤΡΙΣΙΟΤ 4 -

75 πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί κάνοντας άντληση με συνεχές κύμα (CW pumping), κάτι που γίνεται συνήθως στις πρακτικές εφαρμογές. ε αυτή την περίπτωση, τόσο το TPA πρωτογενώς όσο και το FCA δευτερογενώς επηρεάζουν σημαντικά την SRS διαδικασία αλλά αποδεικνύεται [16] ότι η FCA είναι η κυρίαρχη διαδικασία απωλειών από τις δύο Ανάλυση υνεχούς Λειτουργίας αγνοώντας την Εξάντληση του pump Οι ακόλουθες εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να περιγράψουν τη μεταβολή των εντάσεων Ips, () z των κυμάτων pump και Stokes που εισάγονται στη θέση z = 0 και διαδίδονται προς το θετικό ημιάξονα των z κατά μήκους ενός κυματοδηγού SOI όπως αυτός που παρουσιάζεται στο σχήμα 4.(α). Σο σήμα εισόδου θεωρείται μικρό ενώ αγνοείται η εξάντληση του pump λόγω μεταφοράς της ενέργειάς του στο Stokes [18]: dip dz FCA a a () z I I p p p TPA p (4.3) όπου dis dz FCA a a ( z ) I ( g ) I I s s s R TPA p s a ps, : συντελεστές γραμμικών απωλειών διάδοσης για το αντίστοιχο μήκος κύματος [Np/m] (4.4) FCA p FCA s a, a : συντελεστές απορρόφησης ελεύθερων φορέων [Np/m] TPA : συντελεστής απορρόφησης δύο φωτονίων στο πυρίτιο [m/w] g R : κέρδος Raman [m/w]. Η FCA εξαρτάται από την συγκέντρωση ελεύθερων φορέων στο υλικό καθώς και από το μήκος κύματος του πεδίου ως εξής: όπου FCA 17 a (4.5) 1.55 I eff p hv : πλήθος ζευγών οπών-ηλεκτρονίων στη μονάδα του όγκου [m-3 ] (4.6) eff : ενεργός χρόνος επανασύνδεσης των ελεύθερων φορέων [s] hv : ενέργεια φωτονίου του pump [ J] : μήκος κύματος του pump [μm] την πράξη, καθώς οι φορείς δημιουργούνται λόγω TPA στην περιοχή του ρυθμού, εκεί παρατηρείται αρχικά μεγαλύτερη συγκέντρωση σε σχέση με τα άκρα, η οποία τείνει να γίνει ομοιόμορφη. Υορείς δηλαδή μετακινούνται και προς τα άκρα του ρυθμού, όπως φαίνεται στο σχήμα 4.(β), κι έτσι η αρχική συγκέντρωση στην κεντρική περιοχή μειώνεται. Η διάχυση προκαλεί, μάλιστα, μείωση του ενεργού χρόνου επανασύνδεσης των φορέων ως εξής ΚΕΥ. 4: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΟΤ ΚΤΜΑΣΟΔΗΓΟΤ ΠΤΡΙΣΙΟΤ 4-3

76 όπου r : χρόνος επανασύνδεσης [s] 1 1 1, (4.7) eff r t t : χρόνος διάβασης /διέλευσης (transit time) [s]. (α) (α) (α) (β) (γ) χήμα 4.: (α) Φαρακτηριστικός SOI κυματοδηγός ράβδωσης (SOI rib waveguide). (β) Διάχυση φορέων από την κεντρική περιοχή του κυματοδηγού, όπου συγκεντρώνεται ο ρυθμός, προς τα άκρα του. (γ) χηματική κατανομή της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου Ε [V /m ] των βασικών ρυθμών στη διατομή του κυματοδηγού. Για παράδειγμα, για τον κυματοδηγό του σχήματος 4.(α) και λαμβάνοντας το πλάτος της περιοχής του ρυθμού στα ~ 1 μm, ο χρόνος που απαιτείται για φορείς που δημιουργήθηκαν στο κέντρο του ρυθμού να μεταφερθούν έξω από την περιοχή του υπολογίζεται [18] στα ~ τ t = 4 ns. Τποθέτοντας και χρόνο επανασύνδεσης στον SOI στη ρεαλιστική τιμή των ~ τ r = 100 ns (έχουν καταγραφεί τιμές μεταξύ των 10ns και 00ns) ο ενεργός χρόνος επανασύνδεσης μειώνεται κατά περίπου 0 φορές, στα ~τ eff = 4 ns λόγω διάχυσης. Είναι, δηλαδή, πολύ μικρότερος από τον αντίστοιχο χρόνο σε έναν ομογενή όγκο πυριτίου μεγάλων διαστάσεων με συγκρίσιμες τιμές ντοπαρίσματος εξαιτίας της παρουσίας των διεπιφανειών πυριτίου/οξειδίου που διευκολύνουν την επανασύνδεση/διάχυση φορέων, μειώνοντας έτσι τον ενεργό χρόνο ζωής των φορέων. Ο μικρός ενεργός χρόνος ζωής των ελεύθερων φορέων σε SOI κυματοδηγούς, μάλιστα, είναι πάρα πολύ κρίσιμος για την πρακτική εφαρμογή της ενίσχυσης Raman [16]. Ορίζοντας το ενεργό κέρδος του κυματοδηγού ως ΚΕΥ. 4: ΣΟ ΥΑΙΝΟΜΕΝΟ RAMAN ΣΟΤ ΚΤΜΑΣΟΔΗΓΟΤ ΠΤΡΙΣΙΟΤ 4-4