4: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΉΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ (Statistical process control, SPC)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΉΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ (Statistical process control, SPC)"

Transcript

1 4: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΉΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ (Statistical process control, SPC) Το παρόν κείμενο δεν είναι οριστικό. Αναρτάται στο e-class ως βοήθημα των σπουδαστών/ριών που παρακολουθούν το μάθημα «Έλεγχος Ποιότητας ΔιασφάλισηΠοιότητας» το χειμερινό εξάμηνο Ο διδάσκων Δρ. Ν.Μ. Βαξεβανίδης 1

2 4.1 Εισαγωγή Η επιστήμη της Στατιστικής έχει προσφέρει ορισμένα πολύ σημαντικά εργαλεία για την αποτελεσματική λειτουργία όλων των σύγχρονων Συστημάτων Διαχείρισης της Ποιότητας. Ουσιαστικά τα εργαλεία αυτά παρέχουν τη δυνατότητα στο σύστημα ποιοτικού ελέγχου να διακρίνει εύκολα και με μικρό κόστος τα προϊόντα που δε συμμορφώνονται με τις προκαθορισμένες προδιαγραφές ώστε να ενεργοποιούνται οι διαδικασίες των ενδεδειγμένων διορθωτικών ενεργειών που διατηρούν το επίπεδο της ποιότητας σε ανταγωνιστικό επίπεδο. Ο έλεγχος ποιότητας περιλαμβάνει μεταξύ άλλων τον καθορισμό των επιτρεπτών ορίων των χαρακτηριστικών ποιότητας των προϊόντων και μετρά την απόδοση της παραγωγικής διαδικασίας σε σχέση με αυτά. Όλες οι επιτυχημένες επιχειρήσεις έχουν αναγνωρίσει σήμερα ότι το βασικότερο μέσο για τον έλεγχο, τη διασφάλιση και τη βελτίωση της ποιότητας είναι η συνεχής έρευνα και η εκπαίδευση του προσωπικού τους στις αντίστοιχες στατιστικές τεχνικές που προσαρμόζονται καλύτερα στη μορφή της παραγωγικής τους διαδικασίας. Στη σύγχρονη πρακτική του ελέγχου ποιότητας έχει σχεδόν πλήρως εγκαταλειφθεί η ιδέα ότι η πιο αξιόπιστη μορφή επιθεώρησης είναι ο 100% έλεγχος αφού αυτός είναι πολύ δαπανηρός ή και αδύνατος, ενώ ταυτόχρονα δεν εξασφαλίζει ότι μετά την εκτέλεση του ο πελάτης δε θα παραλάβει ελαττωματικά προϊόντα. Το τελευταίο πηγάζει από το αναμφισβήτητο γεγονός ότι όσο αυξάνεται ο αριθμός των ελεγχόμενων τεμαχίων αυξάνεται και η κόπωση των ελεγκτών με συνέπεια να υπάρχει μεγαλύτερη πιθανότητα διαφυγής ελαττωματικών. Η πράξη και η έγκριτη διεθνής βιβλιογραφία έχουν δείξει ότι κάθε σύγχρονο και αποτελεσματικό σύστημα ελέγχου της ποιότητας χρησιμοποιεί ένα συγκεκριμένο αριθμό στατιστικών τεχνικών. Ειδικότερα υπάρχουν τρεις κύριες κατηγορίες στατιστικών τεχνικών οι οποίες έχουν σημαντικές δυνατότητες, ευελιξία αλλά και αποτελεσματικότητα. Αυτές είναι: Ο Στατιστικός έλεγχος Διαδικασίας (statistical process control, SPC). Η Δειγματοληψία Αποδοχής (acceptance sampling). Οι Παραδοσιακές Στατιστικές Τεχνικές (traditional statistical techniques). 2

3 Το παρόν κεφάλαιο συζητά τις αρχές και την εφαρμογή του στατιστικού έλεγχου (παραγωγικών) διαδικασιών (SPC). Σημειώνεται ότι το πρότυπο ISO 9001 (2008) στο Κεφ. 8 (Μέτρηση ανάλυση και βελτίωση) αναφέρεται σαφώς σε «τεχνικές στατιστικής» που πρέπει να εφαρμόζονται για «να αποδεικνύεται η συμμόρφωση του προϊόντος» και «να εξασφαλίζεται η συμμόρφωση του συστήματος διαχείρισης της ποιότητας». 4.2 Προαπαιτούμενες έννοιες και χρήση των διαγραμμάτων ελέγχου Το διάγραμμα ελέγχου (control chart) είναι το σημαντικότερο εργαλείο του στατιστικού ελέγχου παραγωγικής διαδικασίας. Η κύρια χρήση των διαγραμμάτων είναι στον εντοπισμό συστηματικών μεταβολών της διαδικασίας, που έχουν αρνητικές συνέπειες για την ποιότητα των παραγόμενων προϊόντων ή υπηρεσιών. Επιπλέον τα διαγράμματα ελέγχου χρησιμοποιούνται στην ανάλυση των δυνατοτήτων μιας παραγωγικής διαδικασίας και στην επεξεργασία συναφών μετρήσεων για διαγνωστικούς σκοπούς. Η σωστή χρήση των διαγραμμάτων ελέγχου αποφέρει τα ακόλουθα άμεσα και έμμεσα οφέλη που δικαιολογούν την ευρύτατη εφαρμογή τους: Μείωση του κόστους εσωτερικών αστοχιών και αύξηση της παραγωγικότητας χάρη στον έγκαιρο εντοπισμό προβλημάτων της διαδικασίας και την αποφυγή παραγωγής ελαττωματικών προϊόντων. Βελτίωση της απόδοσης και ποιότητας της παραγωγικής διαδικασίας μέσω της διάγνωσης προβλημάτων που οφείλονται σε κακό σχεδιασμό της διαδικασίας. Αποφυγή υπερβολικά συχνών και όχι απαραίτητων επεμβάσεων στην παραγωγική διαδικασία. Αξιόπιστη ανάλυση των δυνατοτήτων μιας παραγωγικής διαδικασίας. Συστηματική παρακολούθηση των διαδικασιών, καταγραφή μετρήσεων και δημιουργία αρχείου με χρήσιμα στοιχεία και πληροφορίες για την αξιολόγηση των διαδικασιών (αρχεία ποιότητας κατά ISO 9001). Έμφαση στην πρόληψη δημιουργίας ελαττωματικών προϊόντων. Κατά τη διάρκεια των 80 και πλέον χρόνων ζωής των διαγραμμάτων ελέγχου έχουν σχεδιαστεί και εφαρμοστεί πολλοί τύποι τέτοιων διαγραμμάτων, που διαφέρουν, μεταξύ άλλων, κατά τη μορφή τους, το είδος του ελεγχόμενου χαρακτηριστικού ποιότητας (ιδιότητα ή μετρήσιμο) και την εκτιμήτρια που χρησιμοποιούν ανάλογα με την ελεγχόμενη 3

4 παράμετρο της κατανομής του χαρακτηριστικού ποιότητας. Παρ' όλες τις διαφορές, υπάρχουν ορισμένα κοινά στοιχεία και βασικές αρχές που χαρακτηρίζουν το σύνολο των διαγραμμάτων ελέγχου και που κρίνεται σκόπιμο να παρουσιαστούν εισαγωγικά στη συνέχεια. Η παρουσίαση των διαγραμμάτων ελέγχου στο κεφάλαιο αυτό, επικεντρώνεται στην κατηγορία των απλών διαγραμμάτων που ανέπτυξε ο Dr. W. Shewhart στα μέσα της δεκαετίας του 1920 στα Bell Laboratories και τα οποία εξακολουθούν σήμερα να είναι τα πλέον διαδεδομένα στην πράξη. Οι γενικές αρχές όμως, που διέπουν τη σχεδίαση και λειτουργία των απλών διαγραμμάτων, ισχύουν με μικρές μόνο τεχνικές τροποποιήσεις και για τα ειδικά διαγράμματα ελέγχου. Επισημαίνουμε επίσης, ότι, ιστορικά, τα διαγράμματα ελέγχου εφαρμόσθηκαν αρχικά σε διαδικασίες παραγωγής (manufacturing). Σήμερα, εφαρμόζονται εξ ίσου με επιτυχία και αποτελεσματικότητα και στον τομέα των υπηρεσιών (service sector) και αποτελούν βασικό εργαλείο κάθε συστήματος διαχείρισης της ποιότητας. Αιτίες μεταβλητότητας και στατιστικός έλεγχος Κοινό χαρακτηριστικό όλων των διαδικασιών παραγωγής προϊόντων ή παροχής υπηρεσιών είναι αναντίρρητα η ύπαρξη εγγενούς μεταβλητότητας. Όσο καλά και αν σχεδιαστεί, συντηρηθεί και εποπτευθεί μια διαδικασία, θα υπάρχουν οπωσδήποτε κάποιες, μικρές έστω, διαφορές στα χαρακτηριστικά ποιότητας των παραγόμενων προϊόντων ή υπηρεσιών. Εκείνο το οποίο διαφοροποιεί τις διαδικασίες ως προς την ποιότητα τους, δεν είναι η παρουσία ή απουσία της μεταβλητότητας αλλά το μέγεθος της. Η φυσική μεταβλητότητα αποτελεί τη συνισταμένη της επίδρασης πολλών αναπόφευκτων παραγόντων, που ονομάζονται τυχαίες αιτίες (random causes) Οι τυχαίες αιτίες, όπως π.χ. αλλαγές του εξωτερικού περιβάλλοντος ή μικρές διαφοροποιήσεις στις ιδιότητες μιας πρώτης ύλης, είναι πρακτικά αδύνατο να απαλειφθούν κατά τη διαδικασία παραγωγής. Το αποτέλεσμα μιας παραγωγικής διαδικασίας, επηρεάζεται, λιγότερο ή περισσότερο συχνά, εξαιτίας της εμφάνισης και επίδρασης πρόσθετων παραγόντων, που ονομάζονται συστηματικές αιτίες (assignable causes). Οι συστηματικές αιτίες οφείλονται συνήθως σε μηχανικές ή ηλεκτρικές βλάβες, ελαττωματικές πρώτες ύλες και ανθρώπινα σφάλματα κατά τη ρύθμιση των μηχανών ή την εκτέλεση των εργασιών. Σε αντίθεση με τις τυχαίες αιτίες, οι συστηματικές αιτίες είναι δυνατό να απαλειφθούν μετά από κατάλληλη διορθωτική επέμβαση, π.χ. ρύθμιση της μηχανής. Η επίπτωση των συστηματικών αιτιών στη διασπορά 4

5 τιμών της διαδικασίας είναι γενικά μεγαλύτερη από την επίπτωση των τυχαίων αιτιών και κατά κανόνα οδηγεί σε μη αποδεκτή στάθμη ποιότητας της διαδικασίας. Όταν μια παραγωγική διαδικασία είναι απαλλαγμένη από την παρουσία και επίδραση συστηματικών αιτιών, λέγεται ότι βρίσκεται σε κατάσταση στατιστικού ελέγχου (in statistical control), ή απλά σε κατάσταση ελέγχου (in control). Σε αντίθετη περίπτωση η διαδικασία λέγεται ότι βρίσκεται εκτός στατιστικού ελέγχου, ή απλά εκτός ελέγχου (out of control). Η κατάσταση στατιστικού ελέγχου σημαίνει ότι η κατανομή του χαρακτηριστικού ποιότητας παραμένει σταθερή κατά τη διάρκεια της παραγωγής, με τη μικρότερη δυνατή μεταβλητότητα (φυσική μεταβλητότητα). Δεν σημαίνει όμως απαραίτητα ότι το επίπεδο ποιότητας είναι αποδεκτό σε σχέση με κάποιες προδιαγραφές. Ο στατιστικός έλεγχος ορίζεται με βάση την εγγενή μεταβλητότητα της διαδικασίας, ανεξάρτητα από εξωγενείς τεχνικές προδιαγραφές. Κατά πόσο η παραγωγική διαδικασία είναι σε θέση να παράγει προϊόν ορισμένων προδιαγραφών σε ικανοποιητικό βαθμό, προκύπτει από την ανάλυση δυνατοτήτων της παραγωγικής διαδικασίας, βλέπε στη συνέχεια, όπου λαμβάνονται υπόψη τόσο η φυσική μεταβλητότητα της διαδικασίας σε κατάσταση ελέγχου όσο και οι ποιοτικές απαιτήσεις (προδιαγραφές). Για το λόγο αυτό είναι απαραίτητο η ανάλυση δυνατοτήτων παραγωγικής διαδικασίας να προηγηθεί της μαζικής παραγωγής και της παρακολούθησης της διαδικασίας με διάγραμμα ελέγχου. Μόνο εφόσον η συνολική επίδραση των τυχαίων αιτιών είναι σχετικά (με το εύρος των προδιαγραφών) μικρή, η παραγωγική διαδικασία θεωρείται ότι λειτουργεί ικανοποιητικά σε κατάσταση ελέγχου. Με άλλα λόγια, η λειτουργία μιας διαδικασίας σε κατάσταση στατιστικού ελέγχου δεν είναι αναγκαστικά ταυτόσημη με την παραγωγή προϊόντων αποδεκτής ποιότητας. Οι παραγωγικές διαδικασίες που έχουν κριθεί κατάλληλες με βάση την ανάλυση δυνατοτήτων λειτουργούν γενικά σε κατάσταση στατιστικού ελέγχου για σχετικά μεγάλα χρονικά διαστήματα, μέχρι να υποστούν την ξαφνική και απρόβλεπτη επίδραση μιας συστηματικής αιτίας, η οποία προκαλεί μεταβολή της κατανομής του χαρακτηριστικού ποιότητας και παραγωγή αυξημένου ποσοστού ελαττωματικών προϊόντων. Όταν η επίδραση της συστηματικής αιτίας είναι άμεσα παρατηρήσιμη, π.χ. έντονοι θόρυβοι και κραδασμοί σε μια εργαλειομηχανή, προκαλεί τη διορθωτική επέμβαση του υπεύθυνου για την αποκατάσταση της βλάβης. Όταν όμως η παρουσία της συστηματικής αιτίας δεν είναι προφανής, ο εντοπισμός της θα πρέπει να γίνει έμμεσα, με βάση στοιχεία από την ίδια την παραγωγική διαδικασία ή τα παραγόμενα προϊόντα. Τα διαγράμματα ελέγχου χρησιμοποιούνται ακριβώς για αυτόν το σκοπό. Αποτελούν ουσιαστικά μια γραφική 5

6 τεχνική παρακολούθησης της παραγωγικής διαδικασίας on line, η οποία αποσκοπεί στον έγκαιρο εντοπισμό συστηματικών αιτιών μεταβολής των παραμέτρων της διαδικασίας, ώστε να αποφεύγεται η λειτουργία της διαδικασίας εκτός ελέγχου επί μεγάλο χρονικό διάστημα και η συνακόλουθη παραγωγή μεγάλου αριθμού προϊόντων απορριπτέας ποιότητας. Ανάλυση δυνατοτήτων της παραγωγικής διαδικασίας Η σύνδεση της φυσικής μεταβλητότητας μιας (παραγωγικής) διαδικασίας με τις προδιαγεγραμμένες απαιτήσεις υλοποιείται με την λεγόμενη ανάλυση ικανότητας της παραγωγικής διαδικασίας. δηλαδή με την μελέτη της απόδοσης της κάτω από κανονικές (χρόνιες) συνθήκες όπου δεν εμφανίζονται τυχαίες διακυμάνσεις. Μετά τον καθορισμό της φυσικής διακύμανσης γίνεται δυνατή η πλήρης αναγνώριση της ποιοτικής στάθμης της διαδικασίας και των υπαρχουσών δυνατοτήτων της και φυσικά η επιλογή των στατιστικών τεχνικών που ενδείκνυται να χρησιμοποιηθούν για τον έλεγχο και ελαχιστοποίηση της δεδομένης μεταβλητότητας. Πριν αρχίσει η παρακολούθηση μίας διαδικασίας μέσω των διαγραμμάτων ελέγχου πρέπει να διερευνηθεί αν αυτή, στην τρέχουσα κατάσταση της λειτουργεί μέσα στα επιθυμητά όρια ποιότητας, δηλαδή να πραγματοποιηθεί ανάλυση της «ικανότητας» της. Η μελέτη της ικανότητας της παραγωγικής διαδικασίας αρχίζει με τη δειγματοληψία η οποία είναι η διαδικασία συλλογής και μέτρησης αντιπροσωπευτικών μονάδων που ονομάζονται δείγματα. Τα δείγματα μετρούνται με βάση ένα ορισμένο χαρακτηριστικό του προϊόντος και τα αποτελέσματα ομαδοποιούνται σε αντίστοιχο ιστόγραμμα, βλέπε Κεφ. 3. Ο μέσος όρος ( X ) και η τυπική απόκλιση (σ) της κατανομής των μετρήσεων των τιμών ενός δείγματος δίνονται, κατά τα γνωστά, από τις εξισώσεις: X = και n i= 1 n n X i= 1 σ = i ( X X ) i n 1 2 (4.1) (4.2) Σύμφωνα με τη μαθηματική θεωρία της κανονικής κατανομής, κάθε αποτέλεσμα είναι πιθανό. Όσο μακρύτερα τύχει να βρίσκεται αυτό από το μέσο όρο τόσο λιγότερο πιθανό 6

7 είναι να συμβεί, μέσα βέβαια σε δεδομένα πρακτικά όρια. Γενικά, είναι δυνατό να παρατηρηθούν μεγάλες αποκλίσεις από την ονομαστική τιμή σε μικρή φυσικά συχνότητα. Ο ρόλος της ανάλυσης της παραγωγικής διαδικασίας είναι να καθορίσει πόσο συχνά συμβαίνουν αυτές οι αποκλίσεις για να γίνεται δυνατή η εύκολη αναγνώριση των αποκλίσεων που προέρχονται από προβληματικές καταστάσεις και να γίνονται οι ενδεδειγμένες διορθωτικές ενέργειες. Κατά συνέπεια, μπορούμε να ορίσουμε ως ικανότητα της διαδικασίας το εύρος της διακύμανσης της τιμής ενός χαρακτηριστικού του συγκεκριμένου προϊόντος σε ολόκληρο τον όγκο της παραγωγής. Πρακτικά ως συνολικός όγκος παραγωγής θεωρείται οτιδήποτε βρίσκεται μέσα στο διάστημα των συν τριών ως πλην τριών τυπικών αποκλίσεων (-3σ - +3σ) από το μέσο όρο. Κατά τα γνωστά, στην κανονική κατανομή, το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των αποτελεσμάτων αυτού του διαστήματος είναι 99,73%. Η αποδοχή του γεγονότος ότι η τρέχουσα ικανότητα μιας παραγωγικής διαδικασίας είναι μέσα στα όρια ±3σ, ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το 0,27% των αποτελεσμάτων της θα βρίσκεται εκτός των καθορισμένων ορίων (μη αποδεκτά προϊόντα). Σημειώνεται ότι ο εκάστοτε οργανισμός μπορεί να επιλέξει οποιαδήποτε όρια επιθυμεί, λαμβάνοντας υπόψη το επίπεδο ποιότητας που επιθυμεί και είναι ικανός να παράγει. Ενδεικτικά, ικανότητα μιας παραγωγικής διαδικασίας στα όρια ±6σ ισοδυναμεί με 3,4 μη αποδεκτά ανά εκατομμύριο προϊόντων (η λεγόμενη μεθοδολογία 6 sigma). Στο σημείο αυτό, θα πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ των ορών των ορίων ανοχής (tolerance limits) όπως π.χ.. οι οριακές διαστάσεις ενός άξονα και των ορίων ικανότητας (capability limits). Οι έννοιες αυτές, αρκετές φορές, συγχέονται ωστόσο αντιπροσωπεύουν τελείως διακριτές καταστάσεις: Οι ανοχές αντιπροσωπεύουν αυτό που επιθυμούμε από την παραγωγική διαδικασία ενώ τα όρια της ικανότητας μας παρουσιάζουν αυτό που ουσιαστικά έχουμε σήμερα στην εγκατεστημένη μας μονάδα παραγωγής. Τα όρια ανοχής εκφράζουν το εύρος της διακύμανσης μίας ιδιότητας που μπορεί να διαθέτει το προϊόν, προκειμένου να είναι αποδεκτό. Αυτά είναι το ανώτατο όριο προδιαγραφών (upper specification limit, USL) και το κατώτατο όριο προδιαγραφών (lower specification limit, LSL). Τα όρια ικανότητας είναι το εύρος τιμών της ιδιότητας που τελικά παρουσιάζει μία διαδικασία. Αν τα όρια ικανότητας και ανοχής ταυτίζονται, τότε η διαδικασία λειτουργεί ικανοποιητικά και το 99.7 % των προϊόντων πληροί τις προδιαγραφές, όπως αυτές έχουν τεθεί. Σε διαφορετική περίπτωση, η διαδικασία τίθεται εκτός ελέγχου και θα πρέπει να γίνουν διορθωτικές ενέργειες για την επαναφορά της σε φυσιολογική λειτουργία. 7

8 Μέτρο που υπολογίζει τη σχέση ικανότητας και ανοχών είναι ο δείκτης ικανότητας (capability index, C p ), που ορίζεται ως: C p USL LSL = (4.3) 6σ όπου σ είναι η τυπική απόκλιση της κατανομής της διαδικασίας. Σχήμα 4.1: Τύποι διαδικασιών με διαφορετικούς δείκτες ικανότητας. Εφόσον ακριβώς το 99,7% των αποτελεσμάτων (χαρακτηριστικών) της διαδικασίας βρίσκεται εντός των ορίων ανοχής τότε το C p θα είναι ίσο με 1. Αυτή είναι μία ικανοποιητική κατάσταση αλλά δεν αφήνει περιθώρια περαιτέρω υποβάθμισης της παραγωγικής διαδικασίας. Εάν το 99,7% της διαδικασίας βρίσκεται μέσα σε όρια με μικρότερο εύρος από αυτά της ανοχής, τότε ο δείκτης C p θα είναι μεγαλύτερος του 1 και θα έχουμε μία σαφέστατα πιο αξιόπιστη (ικανή) παραγωγική διαδικασία. Αν αντίθετα, ο C p είναι μικρότερος του 1 χρειάζεται να τεθεί μεγαλύτερο όριο ανοχής για να περιλάβει το 99,7% της παραγωγής και συνεπώς θα έχουμε μία «προβληματική» κατάσταση. Για να υπάρχει μία αξιόπιστη και αποδεκτή κατάσταση ο δείκτης C p ενδείκνυται να λαμβάνει τιμές στο διάστημα 1,2-1,4. Στο σχήμα 4.1 απεικονίζονται τύποι διαδικασιών με διαφορετικούς δείκτες ικανότητας. 8

9 Η προηγούμενη ανάλυση ισχύει όταν ο μέσος όρος των ορίων ανοχής ταυτίζεται με τον μέσο όρο των ορίων ικανότητας ή όπως λέγεται, ισοδύναμα, η διαδικασία είναι «κεντραρισμένη» στην τιμή σχεδιασμού (π.χ. στην ονομαστική τιμή). Όταν η διαδικασία δεν είναι «κεντραρισμένη» στην μέση τιμή ο δείκτης C p δεν εκφράζει την ικανότητας της διεργασίας παραγωγής και πρέπει να εξετασθεί η θέση της μέσης τιμής (X ) σε σχέση με τα όρια προδιαγραφών. Στην περίπτωση αυτή ορίζεται ο δείκτης ικανότητας ( C pk ) από την σχέση: min( USL X, X LSL) C pk = (4.4) 6σ Για να είναι μια διαδικασία «ικανή» θα πρέπει C pk > 1 και κατά προτίμηση C pk > 1,33. 9

10 4.3. Γενικές αρχές των διαγραμμάτων ελέγχου Από μαθηματική (στατιστική) άποψη το διάγραμμα ελέγχου (control chart) είναι η γραφική παράσταση της πορείας μιας εκτιμήτριας σε συνάρτηση με το χρόνο ή τον αριθμό δείγματος. Η εκτιμήτρια αφορά ορισμένη παράμετρο της κατανομής του χαρακτηριστικού ποιότητας και υπολογίζεται από τα τυχαία δείγματα που λαμβάνονται κατά διαστήματα από την παραγωγική διαδικασία. Αν το χαρακτηριστικό ποιότητας είναι απαριθμήσιμο χαρακτηριστικό ή ιδιότητα διαλογής, η εκτιμήτρια αφορά το ποσοστό ελαττωματικών ή τον αριθμό ελαττωμάτων, ενώ αν είναι χαρακτηριστικό μέτρησης αφορά τη θέση ή τη διασπορά της κατανομής. Στην ορολογία του στατιστικού ελέγχου παραγωγικής διαδικασίας η εκτιμήτρια ονομάζεται γενικά στατιστική δείγματος (sample statistic). Το σχήμα 4.2 δείχνει την τυπική μορφή του ευρύτερα χρησιμοποιούμενου διαγράμματος ελέγχου, που θα ονομάζεται στη συνέχεια απλό διάγραμμα ελέγχου ή διάγραμμα ελέγχου Shewart. Η στατιστική δείγματος αφορά: α) σε χαρακτηριστικά μέτρησης όπως η μέση τιμή δείγματος, η τυπική απόκλιση δείγματος ή το εύρος τιμών του δείγματος. β) σε χαρακτηριστικά απαριθμήσιμα (διαλογής) όπως το ποσοστό ή ο αριθμός ελαττωματικών στο δείγμα, ο αριθμός ελαττωμάτων στο δείγμα ή ο αριθμός ελαττωμάτων ανά μονάδα δείγματος, Κατ αντιστοιχία διακρίνουμε δυο κύριες κατηγορίες διαγραμμάτων ελέγχου: Διαγράμματα ελέγχου μεταβλητών (control charts for variables) τα οποία χρησιμοποιούνται όταν τα χαρακτηριστικά που ενδιαφέρουν είναι συνεχή και μετρήσιμα (π.χ. διαστάσεις, θερμοκρασία, πίεση, βάρος, ταχύτητα κλ.π.). Κυριότεροι εκπρόσωποι είναι τα διαγράμματα μέσου όρου και εύρους ( X -chart, R-chart) και το διάγραμμα τυπικής απόκλισης (σ- chart). Διαγράμματα ελέγχου χαρακτηριστικών ή ιδιοτήτων (control charts for attributes) τα οποία χρησιμοποιούνται όταν τα δεδομένα είναι διακριτά και μη μετρήσιμα (π.χ. αποδεκτό-απορριπτέο). Κυριότεροι εκπρόσωποι είναι τα διαγράμματα -p, -np, -c και -u (p-chart, np-chart, c-chart και u-chart, αντίστοιχα). 10

11 Σχήμα 4.2: Τυπική μορφή απλού διαγράμματος ελέγχου Ανεξάρτητα από την κατηγορία στην οποία ανήκουν, τα διαγράμματα ελέγχου έχουν κοινή μορφή. Η κεντρική γραμμή, ΚΓ (center line, CL.) του διαγράμματος αντιστοιχεί στην τιμή της παραμέτρου (π.χ. ποσοστό ελαττωματικών, μέση τιμή) όταν η διαδικασία βρίσκεται σε στατιστικό έλεγχο. Εκφράζει δηλαδή την κατάσταση ομαλής λειτουργίας, όπου η μεταβλητότητα οφείλεται μόνο σε τυχαίες αιτίες. Οι άλλες δυο οριζόντιες γραμμές είναι τα όρια ελέγχου (control linits) και ειδικότερα το άνω όριο ελέγχου, ΑΟΕ (upper control limit, UCL) και το κάτω όριο ελέγχου, ΚΟΕ (lower control limit, LCL). Εφόσον τα σημεία του διαγράμματος, δηλαδή οι διαδοχικές τιμές της στατιστικής δείγματος, βρίσκονται μεταξύ των ορίων ελέγχου, η διαδικασία θεωρείται ότι βρίσκεται σε στατιστικό έλεγχο. Όταν ένα σημείο του διαγράμματος είναι εκτός των ορίων ελέγχου, η σχετικά μεγάλη απόσταση του από την κεντρική γραμμή αποτελεί ένδειξη μεταβολής της κατανομής του χαρακτηριστικού ποιότητας, που οφείλεται σε επίδραση συστηματικής αιτίας. Επομένως είναι σκόπιμη η διερεύνηση και αποκατάσταση του προβλήματος, αν πράγματι υπάρχει, ώστε να επανέλθει η διαδικασία σε κατάσταση στατιστικού ελέγχου. Ο παραπάνω κανόνας λειτουργίας του διαγράμματος είναι απλός αλλά ανεπαρκής. Είναι συχνό φαινόμενο όλα τα σημεία του διαγράμματος να βρίσκονται εντός των ορίων ελέγχου, αλλά η διάταξη τους να αποκαλύπτει την παρουσία μιας συστηματικής αιτίας. Στα περισσότερα διαγράμματα τα διαδοχικά σημεία ενώνονται μεταξύ τους με ευθύγραμμα τμήματα ώστε να γίνονται ευκολότερα αντιληπτές παρόμοιες, μη τυχαίες διατάξεις. Όταν η διαδικασία είναι πραγματικά σε στατιστικό έλεγχο, τα σημεία του διαγράμματος εμφανίζονται κατά απολύτως τυχαίο τρόπο, με το μεγαλύτερο ποσοστό τους κοντά στην κεντρική γραμμή αλλά και από τις δύο πλευρές της. Διάφορες συστηματικές διατάξεις σημείων που εμφανίζονται συχνά σε 11

12 διαγράμματα ελέγχου περιγράφονται και ερμηνεύονται στην παράγραφο 4.5, όπου επίσης παρουσιάζονται και διάφοροι κανόνες λειτουργίας του διαγράμματος που βασίζονται σε σειρές σημείων. Επισημαίνεται πως αν και το διάγραμμα ελέγχου είναι φαινομενικά μια απλή γραφική τεχνική (περιλαμβάνεται στα «κλασικά» 7 εργαλεία της ποιότητας), υποστηρίζεται από συγκεκριμένη στατιστική θεωρία, η οποία επιτρέπει τη βαθύτερη κατανόηση της λειτουργίας και των ιδιοτήτων του. Η ανάλυση αυτή και η εμβάθυνση στο στατιστικό υπόβαθρο των διαγραμμάτων ελέγχου δεν αποτελεί αντικείμενου του παρόντος έργου και μπορεί να αναζητηθεί στην εξειδικευμένη βιβλιογραφία. Η λειτουργία και οι στατιστικές ιδιότητες του απλού διαγράμματος ελέγχου προσδιορίζονται πλήρως από τις τιμές των παραμέτρων σχεδίασης, που είναι οι εξής: α) το χρονικό διάστημα t μεταξύ των λήψεων δύο διαδοχικών δειγμάτων, β) το μέγεθος δείγματος n, γ) η παράμετρος θέσης των ορίων ελέγχου k. Τα όρια ελέγχου με παράμετρο θέσης k ονομάζονται όρια k τυπικών αποκλίσεων. Τα περισσότερα διαγράμματα ελέγχου που χρησιμοποιούνται στην πράξη έχουν όρια 3 τυπικών αποκλίσεων. Γενικότερα, η επιλογή της θέσης των ορίων θα πρέπει να στηρίζεται σε οικονομικά κριτήρια. Δεν είναι λογικό να χρησιμοποιούνται διαγράμματα με το ίδιο πλάτος ορίων ελέγχου σε δύο διαδικασίες με διαφορετικά οικονομικά χαρακτηριστικά. Εκτός από τα όρια ελέγχου, σε ορισμένα διαγράμματα σχεδιάζονται επικουρικά δύο ακόμη οριζόντιες γραμμές μεταξύ των ορίων ελέγχου και της κεντρικής γραμμής, οι οποίες ονομάζονται προειδοποιητικά όρια (warning lines). Τα προειδοποιητικά όρια απέχουν συνήθως ±2 τυπικές αποκλίσεις της στατιστικής δείγματος από την κεντρική γραμμή. Το σχήμα 4.3 απεικονίζει ένα διάγραμμα ελέγχου μέσης τιμής δείγματος με όρια ελέγχου τριών τυπικών αποκλίσεων και προειδοποιητικά όρια δυο τυπικών αποκλίσεων. 12

13 Σχήμα 4.3: Διάγραμμα ελέγχου μέσης τιμής με προειδοποιητικά όρια Αν ένα ή περισσότερα σημεία βρίσκονται μεταξύ ενός προειδοποιητικού ορίου και του αντίστοιχου ορίου ελέγχου, αυτό αποτελεί ένδειξη πιθανής μετατόπισης της μέσης τιμής. Οι συγκεκριμένοι κανόνες λειτουργίας ενός διαγράμματος με προειδοποιητικά όρια (π.χ. έλεγχος για εντοπισμό πιθανής βλάβης μετά από δύο ή τρία συνεχόμενα σημεία μεταξύ προειδοποιητικού ορίου και ορίου ελέγχου) ορίζονται από τον μηχανικό ποιοτικού ελέγχου κατά περίπτωση. Τα προειδοποιητικά όρια αυξάνουν την ευαισθησία του διαγράμματος. Ενώ οι παράμετροι k και n καθορίζουν τις στατιστικές ιδιότητες του ελέγχου κάθε δείγματος, η παράμετρος t καθορίζει τη συχνότητα της δειγματοληψίας και επηρεάζει το κόστος ελέγχου και την ταχύτητα ανίχνευσης των συστηματικών αιτιών. Το συνολικό κόστος ελέγχου εξαρτάται από τη συχνότητα δειγματοληψίας και το μέγεθος δείγματος. Συχνή δειγματοληψία με μεγάλα δείγματα ανιχνεύει βέβαια ακριβέστερα την επίδραση συστηματικών αιτιών αλλά έχει υψηλό κόστος. Η μεγάλη πρόοδος στην τεχνολογία των αισθητήρων και των αυτόματων μετρήσεων τα τελευταία χρόνια έχει δημιουργήσει την τάση να λαμβάνονται μικρά αλλά συχνά δείγματα αντί για μεγαλύτερα δείγματα σε αραιότερα διαστήματα. Σε ορισμένες μάλιστα περιπτώσεις είναι ήδη εφικτός ο αυτόματος έλεγχος κάθε παραγόμενης μονάδας αμέσως μετά την κατεργασία Διαγραμμάτων ελέγχου μεταβλητών Για τον έλεγχο χαρακτηριστικών ποιότητας που μπορούν να μετρηθούν χρησιμοποιούνται στην πράξη τα διαγράμματα (ή πίνακες ή χάρτες) ελέγχου μεταβλητών στα όποια είναι χαραγμένες οι γραμμές ορίων ή απλά όρια που διακρίνονται σε εξωτερικά (όρια ελέγχου) 13

14 και εσωτερικά (προειδοποιητικά όρια). Τα διαγράμματα διακρίνονται σε διαγράμματα μέσων (X ) και τυπικής αποκλίσεως (σ) και σε διαγράμματα εύρους (R) της διασποράς των δειγμάτων που λαμβάνονται από την παραγωγή. Η σημασία των διαγραμμάτων ελέγχου είναι πολύ μεγάλη γιατί η μεταβλητότητα στην παραγωγή των βιομηχανικών προϊόντων είναι σύνηθες (εγγενές) φαινόμενο, βλέπε την ενότητα 4.2. Γενικά οι αντικειμενικοί σκοποί που επιδιώκονται με την κατασκευή των διαγραμμάτων ελέγχου μεταβλητών συνοψίζονται ως εξής: Η εξασφάλιση πληροφοριών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην καθιέρωση ή στην αλλαγή των τεχνικών προδιαγραφών ή ακόμη και στον έλεγχο κατά πόσο μια ορισμένη παραγωγική διαδικασία μπορεί να συμμορφωθεί με τις τεχνικές προδιαγραφές Η εξασφάλιση πληροφοριών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στη μεταβολή των παραγωγικών μεθόδων. Τέτοιες μεταβολές μπορεί να σκοπεύουν είτε να περιορίσουν τα αίτια εκείνα των διακυμάνσεων που μπορούν να εντοπιστούν, είτε να υποδείξουν βασικές μεταβολές στις παραγωγικές μεθόδους που χρειάζονται, όσες φορές ο πίνακας ελέγχου ανακαλύπτει ότι οι προδιαγραφές δεν εκπληρώνονται με τις παρούσες μεθόδους παραγωγής. Η εξασφάλιση πληροφοριών που μπορεί να χρησιμοποιηθούν στην καθιέρωση ή μεταβολή των μεθόδων ελέγχου της παραγωγής. Παρέχει στον Οργανισμό μια εκτίμηση για το μέσο επίπεδο ποιότητας των προϊόντων που παράγει. Υπενθυμίζεται ότι τα όρια ελέγχου που καταγράφονται στα διαγράμματα ελέγχου, δεν έχουν καμία σχέση με τις κατασκευαστικές ανοχές που θέτει η ομάδα σχεδιασμού. Τα όρια ελέγχου στα διαγράμματα ελέγχου είναι στατιστικά όρια που βασίζονται στη διακύμανση (μεταβλητότητα) που υπάρχει μέσα στην παραγωγική διαδικασία και στο μέγεθος του δείγματος που παίρνουμε κάθε φορά από την παραγωγή. Έτσι τα όρια ελέγχου στους πίνακες ελέγχου «πλαταίνουν» όταν η παραγωγή γίνεται σε μία σταθερή μηχανή ή με ένα καλό χειριστή της μηχανής, και θα «στενεύουν» όταν ο αριθμός των μονάδων του δείγματος που παίρνουμε από την παραγωγή μεγαλώνει. 14

15 Διαδικασία δημιουργίας διαγραμμάτων ελέγχου μεταβλητών Η κατασκευή των διαγραμμάτων ελέγχου μεταβλητών ακολουθεί ένα ορισμένο αριθμό βημάτων που αναφέρονται στις προπαρασκευαστικές ενέργειες για την κατάρτιση των διαγραμμάτων, τη μορφή των διαγραμμάτων ελέγχου, τον προσδιορισμό των ορίων ελέγχου και τέλος την ερμηνεία των διαγραμμάτων. Συνοπτικά, η διαδικασία που απαιτείται για τη δημιουργία ενός διαγράμματος μέσων ( X -chart) ή ενός διαγράμματος εύρους (R-chart) ή ενός διαγράμματος τυπικής απόκλισης (σ-chart) περιλαμβάνει τα εξής στάδια: 1. Επιλογή του χαρακτηριστικού (μεταβλητή) της ποιότητας που θα μελετήσουμε. 2. Συγκέντρωση των δεδομένων. 3. Στατιστική ανάλυση των δεδομένων. 4. Δημιουργία του διαγράμματος ελέγχου. 5. Εξαγωγή των συμπερασμάτων. Τα στάδια αυτά παρουσιάζονται συνοπτικά και περιεκτικά στις επόμενες παραγράφους, αφού προηγουμένως γίνει μια σύντομη αναφορά στο θεώρημα του κεντρικού ορίου που αποτελεί την θεωρητική βάση των διαγραμμάτων ελέγχου μεταβλητών. Θεώρημα κεντρικού ορίου. Υποθέτουμε ότι το χαρακτηριστικό ποιότητας που εξετάζουμε ακολουθεί μία τυχαία κατανομή. Το θεώρημα κεντρικού ορίου αναφέρει ότι η κατανομή των μέσων όρων (X ) δειγμάτων ενός πληθυσμού (χαρακτηριστικού ποιότητας) ακολουθεί την κανονική κατανομή. Αυτό ισχύει σε γενικές γραμμές ακόμη και όταν το δείγμα (η) είναι μικρό (δηλαδή π.χ. μεγέθους 4 ή 5). Στο θεώρημα αυτό υποστηρίζεται επίσης ότι: (1) ο μέσος όρος της κατανομής των X (X ) θα είναι ίσος με το μέσο όρο του συνολικού πληθυσμού (μ) και (2) η τυπική απόκλιση της κατανομής της δειγματοληψίας ( σ X X και τυπική απόκλιση του πληθυσμού, μεγέθους του δείγματος (n). Δηλαδή: ) θα ισούται με την σ x, διαιρεμένη με την τετραγωνική ρίζα του = μ (4.5) σ n x σ = (4.6) X 15

16 Οι αρχές του θεωρήματος του κεντρικού ορίου και οι σχέσεις (4.5) και (4.6) συνοψίζονται παραστατικά στο Σχήμα 4.4. Σχήμα 4.4: Αρχές του θεωρήματος του κεντρικού ορίου. Με βάση το θεώρημα του κεντρικού ορίου οι ιδιότητες της κανονικής κατανομής ισχύουν για τον πληθυσμό των μέσων του δείγματος. Συγκεκριμένα μπορούμε να πούμε ότι 99.7% των μέσων του δείγματος κατανέμονται μέσα σε μια ζώνη ± 3 τυπικών αποκλίσεων (ΤΑ) μετρημένες από την κεντρική τιμή (ο κύριος μέσος των μέσων όρων των δειγμάτων). Αυτές οι ±3 ΤΑ γραμμές τυπικών αποκλίσεων ορίζουν τα όρια ελέγχου στο διάγραμμα ελέγχου. Η πιθανότητα να πέσει ένα σημείο (ένας μέσος δείγματος) εκτός των ορίων ελέγχου είναι της τάξης του , (3%ο κατά προσέγγιση), και είναι τόσο ελάχιστη, που εάν συμβεί, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι δεν συνέβη τυχαία, αλλά λόγω της παρουσίας ενός ειδικού αιτίου διασποράς. Η παραδοχή ότι ένα γεγονός έχει πολύ ελάχιστη πιθανότητα να συμβεί τυχαία, διαμορφώνει τη βάση για να προσδιορίσουμε την παρουσία ενός ειδικού αιτίου διασποράς. Επομένως, για να ενεργήσει κανείς, ψάχνει για μη-πιθανά γεγονότα. Η παρουσία ενός μέσου δείγματος εκτός των ορίων ελέγχου είναι ένα μη-πιθανό γεγονός, που μας παρέχει επαρκή στατιστική απόδειξη για την παρουσία ενός ειδικού αιτίου (ή αιτίων) διασποράς. Όπως θα συζητηθεί στη συνέχεια, εφόσον διαθέτουμε πληροφορίες σχετικά με ιστορικά στοιχεία της παραγωγικής διαδικασίας και την τυπική απόκλιση μπορούμε να υπολογίσουμε το ανώτερο και το κατώτερο όριο ελέγχου. Επιλογή της μεταβλητής Η μεταβλητή σ ένα διάγραμμα ελέγχου πρέπει να είναι μετρήσιμο μέγεθος. Η πραγματική βάση για την επιλογή συνδέεται με τη μείωση του κόστους. Επιλέγουμε εκείνα τα (μετρήσιμα) χαρακτηριστικά που προξενούν απορρίψεις ή επανακατεργασίες και έχουν σαν αποτέλεσμα τη σημαντική αύξηση του κόστους παραγωγής. 16

17 Όσοι Οργανισμοί έχουν καθιερώσει το στατιστικό έλεγχο ποιότητας της παραγωγής τους, προβληματίζονται συχνά στην εκλογή της σωστής μεταβλητής. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο μεγάλος αριθμός των μεταβλητών που μπορούν να επιλεγούν, δημιουργεί σύγχυση στην απόφαση το ποια είναι η πιο ενδεδειγμένη μεταβλητή. Η επίδραση στον συνολικό κύκλο παραγωγής είτε από άποψη κόστους είτε από άποψη κρισιμότητας είναι το πλέον ουσιαστικό κριτήριο. Τρόπος επιλογής των δειγμάτων Ένα σημαντικό βήμα στη διαδικασία κατασκευής των διαγραμμάτων ελέγχου είναι η κατανομή των παρατηρήσεων / μετρήσεων σε ορθά επιλεγμένες υποομάδες (δείγματα). Γενικά η επιλογή των υποομάδων θα πρέπει να γίνει κατά τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε υποομάδα να παρουσιάζει όσο είναι δυνατό μεγαλύτερη ομοιογένεια και να δίνει τη μέγιστη ευκαιρία για διακυμάνσεις από τη μία υποομάδα στη άλλη. Αν εφαρμοσθεί αυτή η «λογική» στην παραγωγή σημαίνει ότι είναι πολύ σημαντικό να μη χαθούν τα ίχνη της σειράς της παραγωγής. Εφόσον ο λόγος κατασκευής των διαγραμμάτων ελέγχου είναι ν αποκαλυφθούν οι διακυμάνσεις της παραγωγικής διαδικασίας, τότε μία υποομάδα πρέπει να αποτελείται από μονάδες που έχουν παραχθεί όσο το δυνατό κατά προσέγγιση σ ένα ορισμένο χρόνο. Η επόμενη υποομάδα πρέπει να αποτελείται από μονάδες που έχουν παραχθεί σε κάποιο ορισμένο χρόνο μετά την πρώτη υποομάδα κ.ο.κ. Με την παραπάνω μέθοδο προσδιορισμού των υποομάδων μπορούμε π.χ. να καθορίσουμε ότι κάθε υποομάδα θα έχει 5 τεμάχια που λαμβάνονται διαδοχικά κάθε μία ώρα, π.χ. η πρώτη υποομάδα περίπου στις 8 π.μ., η δεύτερη περίπου στις 9 π.μ. κλπ. Με το σύστημα τούτο της κατασκευής των υποομάδων, είναι πολλές φορές επιθυμητό όπως ο χρόνος για τη λήψη του δείγματος να διαφέρει κατά τον ένα ή άλλο τρόπο από τον ορισμένο χρόνο και ότι αυτή η παρέκκλιση στο χρόνο λήψεως του δείγματος να μην είναι γνωστή στο χειριστή της μηχανής. Μέγεθος και συχνότητα λήψης των δειγμάτων Κατά τη βιομηχανική χρήση των διαγραμμάτων ελέγχου έχει διαπιστωθεί στην πράξη ότι δείγμα μεγέθους 5 είναι το πλέον σύνηθες και ταυτόχρονα επαρκές. Γενικά, η εκλογή των δειγμάτων πρέπει να γίνεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να δίνεται η ελάχιστη ευκαιρία για διακυμάνσεις μέσα στο δείγμα, κατά συνέπεια το μέγεθος του δείγματος είναι επιθυμητό να είναι όσο το δυνατό πιο μικρά. Βέβαια από στατιστική 17

18 άποψη ένα δείγμα από 4 μονάδες είναι καλύτερο από ένα δείγμα από τρεις μονάδες και ένα δείγμα από τρεις μονάδες είναι καλύτερο από ένα δείγμα από δυο μονάδες. Δείγματα από δύο ή τρία τεμάχια είναι επιθυμητά σ εκείνες τις περιπτώσεις που το κόστος μετρήσεως των χαρακτηριστικών είναι πολύ μεγάλο ώστε να δυσκολεύει τη χρήση για δείγματα με μεγάλο μέγεθος. Μεγαλύτερα δείγματα από 10 ή 20 μονάδες κρίνονται μερικές φορές πλεονεκτικά, ιδιαίτερα όταν επιθυμούμε το διάγραμμα ελέγχου να είναι ευαίσθητο σε μικρές διακυμάνσεις της παραγωγικής διαδικασίας. Σημειώνεται πως όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος του δείγματος, τόσο πιο στενά θα είναι τα όρια ελέγχου και πιο εύκολη η ανακάλυψη των μικρών διακυμάνσεων. Βέβαια τούτο αληθεύει μόνο στην περίπτωση, που τα δείγματα διαλέγονται κατά τέτοιο τρόπο που οι διακυμάνσεις στην παραγωγική διαδικασία παρουσιάζονται ανάμεσα στα δείγματα και όχι μέσα στα δείγματα. Ως γενικός κανόνας αναφέρεται ότι, όσο μεγαλύτερο είναι το μέγεθος από τα δείγματα, τόσο περισσότερο συνιστάται να χρησιμοποιούμε ως μέτρο διασποράς των μονάδων του δείγματος τη σταθερή απόκλιση (σ), παρά το εύρος (R). Πρακτικά, όταν το μέγεθος του δείγματος είναι μεγαλύτερο από 15 μονάδες, είναι προτιμότερη η χρήση των διαγραμμάτων ελέγχου για τους μέσους ( X ) και την τυπική απόκλιση (σ), παρά για τους μέσους ( X ) και το εύρος (R). Για τη συχνότητα λήψης των δειγμάτων δεν μπορεί να τεθούν γενικοί κανόνες. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να αποφασίζεται με βάση το κόστος για τη λήψη και ανάλυση των μετρήσεων και τα οφέλη που θα προκύψουν από τα μέτρα που θα πάρει η παραγωγική μονάδα ερμηνεύοντας τα αποτελέσματα των διαγραμμάτων ελέγχου. Σημειώνεται ότι κατά την αρχική χρήση των διαγραμμάτων ελέγχου για την ανάλυση τής παραγωγικής διαδικασίας είναι, γενικά, επιθυμητό να φθάσουμε γρήγορα σε συμπεράσματα λαμβάνοντας συχνά δείγματα. Μετά όμως αφού οι «διαταραχές» στην παραγωγική διαδικασία έχουν ανακαλυφθεί και διορθωθεί και η λειτουργία του διαγράμματος ελέγχου είναι πλέον η διατήρηση του ελέγχου στην τρέχουσα παραγωγή, τότε είναι σκόπιμο να μειώσουμε τη συχνότητα τής δειγματοληψίας. Ενδεικτικά, αν η συχνότητα της δειγματοληψίας είναι κάθε 1 ώρα, μπορεί να γίνει κάθε 4 ώρες ή και παραπάνω ανάλογα με την περίπτωση. 18

19 Έντυπα καταχώρησης δεδομένων Για την καταχώρηση και την επεξεργασία των δεδομένων χρησιμοποιούνται έντυπα συλλογής δεδομένων (data collection sheet). Αν και οι μορφές με τις όποιες καταχωρούνται τα στοιχεία των δειγμάτων που λαμβάνουμε, διαφέρουν από επιχείρηση σε επιχείρηση σε πολλές λεπτομέρειες, εντούτοις όλα τα φύλλα συλλογής δεδομένων έχουν κοινά χαρακτηριστικά πεδία. (α) (β) Σχήμα 4.5: Έντυπα συλλογής δεδομένων. 19

20 Το κύριο στοιχείο του εντύπου είναι ένας πίνακας με μία στήλη που καταγράφει τον αριθμό των δειγμάτων, ν στήλες (όπου ν το μέγεθος του δείγματος) για να καταγράφονται οι μετρήσεις και πρόσθετες στήλες για τον υπολογισμό των X και R. Θα πρέπει επίσης να καταγράφεται το τμήμα παραγωγής, η συγκεκριμένη κατεργασία, το μετρούμενο χαρακτηριστικό ποιότητας και η μονάδα μέτρησης. Στο Σχήμα 4.5 (α) και (β) παρουσιάζονται δύο έντυπα συλλογής δεδομένων το πρώτο κενό και το δεύτερο συμπληρωμένο. Ο Οργανισμός ASQ (American Society for Quality) έχει τυποποιήσει έναν αριθμό εντύπων για την καταγραφή των πρωτογενών δεδομένων και την κατάστρωση των αντίστοιχων διαγραμμάτων ελέγχου. Τα έντυπα αυτά χρησιμοποιούνται ευρέως, σήμερα, στην πράξη. Ένα υπόδειγμα παρουσιάζεται ενδεικτικά στο Σχήμα 4.6. Τεχνικές μέτρησης των χαρακτηριστικών ποιότητας Οι μέθοδοι για τις μετρήσεις των χαρακτηριστικών αναφέρονται στα όργανα μετρήσεως που χρειάζονται σε κάθε περίπτωση και το τρόπο που θα γίνονται οι μετρήσεις. Η σύγχρονη διαδικασία του ελέγχου της βιομηχανικής παραγωγής απαιτεί όργανα μετρήσεως που να μπορούν να δίνουν τα χαρακτηριστικά ποιότητας των προϊόντων με ακρίβεια. Στη σύγχρονη βιομηχανική παραγωγή υπάρχει μια μεγάλη ποικιλία από χαρακτηριστικά ποιότητας που χρειάζονται μετρήσεις. Χαρακτηριστικό γνώρισμα δε σε όλα τα σύγχρονα όργανα που χρησιμοποιούνται για τις μετρήσεις χαρακτηριστικών ποιότητας των προϊόντων είναι ότι πέρα από τη χρήση τους σαν όργανα δοκιμών και ελέγχου, παρέχουν και χρήσιμες πληροφορίες για την πορεία της παραγωγικής διαδικασίας. Για τη μέτρηση των χαρακτηριστικών ποιότητας εφαρμόζονται διαδικασίες που διαφέρουν από προϊόν σε προϊόν και από επιχείρηση σε επιχείρηση. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να ακολουθούνται ορθές μετρολογικές πρακτικές με όργανα διακριβωμένα, όταν αυτό απαιτείται. 20

21 Σχήμα 4.6: Έντυπα διαγράμματος ελεγχου κατά ASQ (ASQ control chart data sheet) [Προέλευση: ASQ] 21

22 Υπολογισμοί και χάραξη των διαγραμμάτων έλεγχου Κατά την διάρκεια της κανονικής παραγωγής επιλέγουμε k δείγματα μεγέθους n. Οι τυπικές τιμές που χρησιμοποιούνται ευρύτατα είναι k=20 και n=5. Αφού έχουν μετρηθεί τα χαρακτηριστικά ποιότητας και έχουν καταχωρηθεί στα έντυπα καταγραφής δεδομένων, στη συνέχεια υπολογίζεται σε κάθε δείγμα ο μέσος όρος ( X ) και το εύρος διασποράς (R), όπως φαίνεται και στο έντυπο του σχήματος 4.5(β). Στη συνέχεια υπολογίζουμε το μέσο όρο ( X ) των δειγματοληπτικών μέσων που δίνεται από τον τύπο: X1+ X2 + X X X n X = = (4.7) k k και το μέσο όρο από όλα τα εύρη των δειγμάτων ( R ) που δίνεται από τη σχέση: R1+ R2 + R R R n R = = (4.8) k k Σε ορισμένες περιπτώσεις υπολογίζεται και η τυπική απόκλιση σ i των τιμών του κάθε δείγματος [από την Σχέση (4.2)] και εν συνεχεία η μέση απόκλιση σ για τα k δείγματα. Τα X, R και σ είναι οι κεντρικές τιμές στα διαγράμματα ελέγχου. Οι κεντρικές τιμές παριστάνονται στα διαγράμματα ελέγχου με μία οριζόντια συνεχή γραμμή για να διακρίνονται από τα όρια που παριστάνονται, συνήθως, με λεπτές γραμμές ή διακεκομμένες. Τα διαγράμματα ελέγχου κατασκευάζονται σε ένα σύστημα από ορθογώνιες συντεταγμένες όπου στον κάθετο άξονα καταγράφουμε τις τιμές των X και R και στον οριζόντιο άξονα τους αριθμούς των δειγμάτων. Επίσης στον οριζόντιο άξονα καταγράφουμε την ημερομηνία ή την ώρα κατασκευής των πινάκων και πολλές φορές τον αριθμό των μονάδων της παρτίδας παραγωγής από την όποια πήραμε τα δείγματα. Κάθε σημείο πάνω στους χάρτες ελέγχου που αναφέρεται στο X και R παριστάνεται με μία τελεία, ή με ένα μικρό κύκλο ή σταυρό. Προσδιορισμός των ορίων έλεγχου Πριν αρχίσει ο υπολογισμός των ορίων ελέγχου θα πρέπει να προσδιοριστεί ό ελάχιστος αριθμός των υποομάδων που χρειάζεται για να έχουμε μία αξιόπιστη πληροφορία από τους πίνακες ελέγχου. Εδώ φυσικά θα πρέπει να γίνει ένας συμβιβασμός ανάμεσα στην ταχύτητα με την όποια θέλουμε να έχουμε την πληροφορία και την αξιοπιστία της 22

23 πληροφορίας. Γιατί είναι φανερό πως όσο λιγότερα δείγματα παίρνουμε τόσο γρηγορότερα θα έχουμε τις πληροφορίες, αλλά με λιγότερη αξιοπιστία από ότι θα είχαμε αν παίρναμε περισσότερα δείγματα. Από στατιστική άποψη είναι επιθυμητό ο υπολογισμός των ορίων ελέγχου να βασίζεται σ έναν ελάχιστο αριθμό από 25 δείγματα. Γενικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι, όταν μπορούμε να παίρνουμε δείγματα σε μικρό χρονικό διάστημα π.χ. κάθε μία ώρα, ο ελάχιστος αριθμός των υποομάδων πρέπει να είναι 25. Αν όμως η φύση τής παραγωγής είναι τέτοια που τα δείγματα παίρνονται σε μεγάλα χρονικά διαστήματα, τότε είναι φυσικό να χρειάζονται, για τους υπευθύνους της παραγωγής, ορισμένες πληροφορίες πάνω στην πορεία τής παραγωγικής διαδικασίας σε ορισμένο χρόνο. Στην τελευταία περίπτωση οι υπολογισμοί των ορίων ελέγχου μπορεί να βασίζονται σε ένα ελάχιστο αριθμό από 10 υποομάδες, και. όταν ό αριθμός των υποομάδων αυξηθεί τα όρια ελέγχου τροποποιούνται. Υπενθυμίζεται ότι τα όρια ελέγχου διακρίνονται σε εσωτερικά ή προειδοποιητικά όρια και σε εξωτερικά όρια. Στις περισσότερες όμως περιπτώσεις υπολογίζονται μόνον τα εξωτερικά όρια ελέγχου. Έχει ήδη αναφερθεί (βλ. θεώρημα κεντρικού ορίου) ότι η κατανομή των τιμών X που αναφέρονται στους μέσους τυχαίων δειγμάτων που λαμβάνουμε από έναν πληθυσμό, τείνει να είναι κανονική όσο το μέγεθος του δείγματος αυξάνει. Επίσης είναι γνωστό ότι για μια κανονική κατανομή σχεδόν το 99,7% των συνολικών περιπτώσεων βρίσκεται μέσα στα όρια 3 τυπικών αποκλίσεων από τις δυο πλευρές του μέσου. Κατά συνέπεια, εφόσον μια σειρά από δείγματα (ή υποομάδες) είναι πραγματικά τυχαία, οι μέσοι τους θα βρίσκονται μέσα στα όρια ( X ) ± 3σ X. Είναι γνωστό επίσης ότι σε μια κανονική κατανομή το 95,4 % των συνολικών περιπτώσεων βρίσκεται μέσα στα όρια 2 σταθερών αποκλίσεων από τις δυο πλευρές του μέσου ( X ), δηλαδή ( X ) ± 2σ X. Έχοντες υπόψη την παραπάνω ανάλυση, τα όρια ελέγχου για τρεις σταθερές αποκλίσεις υπολογίζονται με βάση τις ακόλουθες σχέσεις: Όταν το εύρος χρησιμοποιείται σαν μέτρο διασποράς Μέσος : Κατώτερο όριο ελέγχου = X 3σ X (4.9) Κεντρική γραμμή = X (4.10) Ανώτατο όριο ελέγχου = X + 3σ X (4.11) 23

24 Εύρος : Κατώτερο όριο ελέγχου = R 3σ R (4.12) Κεντρική γραμμή = R (4.13) Ανώτερο όριο ελέγχου = R + 3σ R (4.14) Όταν η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται σαν μέτρο διασποράς Μέσος : Κατώτερο όριο ελέγχου = X 3σ X (4.15) Κεντρική γραμμή = X (4.16) Ανώτατο όριο ελέγχου = X + 3σ X (4.17) Τυπική απόκλιση : Κατώτερο όριο ελέγχου = σ 3σ σ (4.18) Κεντρική γραμμή = σ (4.19) Ανώτερο όριο ελέγχου = σ + 3σ σ (4.20) Επειδή η διαδικασία υπολογισμού των ορίων ελέγχου περιλαμβάνει επίπονους υπολογισμούς συνήθως χρησιμοποιούνται πίνακες με σταθερούς συντελεστές που απλοποιούν τους υπολογισμούς. Οι κεντρικές τιμές των δειγμάτων του εύρους διασποράς καθώς επίσης και τα όρια ελέγχου γράφονται πάνω στα φύλλα συλλογής δεδομένων όπως φαίνεται και στο σχήμα 4.5(β). Όταν η κατανομή δειγμάτων που παίρνουμε από την παραγωγή θεωρηθεί ότι προσεγγίζει την κανονική κατανομή, τότε το μέσο εύρος διασποράς των δειγμάτων (R ) έχει άμεση σχέση με τη τυπική απόκλιση (σ) των τιμών των μονάδων παραγωγής, από την όποια τα δείγματα τούτα έχουν ληφθεί. Η σχέση τούτη εκφράζεται ως εξής: R σ = (4.21) d 2 Το d 2 είναι σταθερός συντελεστής και δίνεται στον Πίνακα 4.1. για μέγεθος δείγματος από 2 έως 25 μονάδες. 3σ Είναι γνωστό ότι: 3σ X = (4.6) n Από τον συνδυασμό των (4.6) και (4.20) προκύπτει 3 3σ X = R d n 2 (4.22) 24

25 Για να απλοποιηθεί ο υπολογισμός των ορίων ελέγχου από το εύρος (R), η ποσότητα d 2 3 που συμβολίζεται με Α 2, συνήθως υπολογίζεται, για τιμές του n από 2 μέχρι 25 n και δίδεται σε Πίνακες, βλέπε ενδεικτικά τον Πίνακα 4.1. Με βάση την παραπάνω ανάλυση τα όρια ελέγχου για τους διαγράμματα ελέγχου μέσων ( X -chart), όταν το εύρος χρησιμοποιείται ως μέτρο διασποράς, θα είναι: Κατώτερο όριο ελέγχου = ( X ) AR 2 (4.23) Κεντρική γραμμή = X (4.10) Ανώτερο όριο ελέγχου = ( X ) + AR 2 (4.24) Χωρίς να υπεισέλθουμε σε επιπρόσθετη στατιστική ανάλυση σημειώνουμε ότι λαμβάνοντας υπόψη το μέγεθος του δείγματος και τις στατιστικές παραμέτρους πληθυσμού και δειγμάτων οι σχέσεις (4.12), (4.13) και (4.14), με χρήση συντελεστών γράφονται με την μορφή: Κατώτερο όριο ελέγχου = DR 3 (4.25) Κεντρική γραμμή = R (4.13) Ανώτερο όριο ελέγχου = DW 4 (4.26) Οι συντελεστές D 3 και D 4 για μέγεθος δείγματος n = 2-25 δίδονται στον Πίνακα4.1. Όμοια διαδικασία ακολουθείται και όταν η τυπική απόκλιση χρησιμοποιείται ως μέτρο διασποράς. Σ αυτή την περίπτωση οι σχέσεις (4.15)-(4.20) με χρήση συντελεστών γράφονται με την μορφή: Διαγράμματα ελέγχου μέσων ( X -chart): Κατώτερο όριο ελέγχου = ( X ) 3 _ A σ (4.27) Κεντρική γραμμή = X (4.16) Ανώτερο όριο ελέγχου = ( X ) Διαγράμματα ελέγχου τυπικής απόκλισης (σ-chart): 3 _ + A σ (4.28) Κατώτερο όριο ελέγχου = B 3 σ (4.29) Κεντρική γραμμή = σ (4.19) Ανώτερο όριο ελέγχου = B4σ (4.30) 25

26 Μέγεθος δείγματος n Πίνακας 4.1: Συντελεστές για διαγράμματα μεταβλητών ( X -, R- και σ- διαγράμματα) / Συντελεστές ορίων ελέγχου Συντελεστής υπολογισμού του σ d 2 c 4 Διάγραμμα μέσης τιμής Διάγραμμα εύρους Διάγραμμα τυπικής απόκλισης Α 2 Α 3 D 3 D 4 B 3 B 4 2 1,880 2, , ,266 1,128 0, ,023 1, , ,568 1,693 0, ,729 1, , ,266 2,059 0, ,577 1, , ,089 2,326 0, ,483 1, ,004 0,030 1,970 2,534 0, ,419 1,182 0,076 1,924 0,118 1,882 2,704 0, ,373 1,099 0,136 1,864 0,184 1,815 2,847 0, ,337 1,032 0,184 1,816 0,239 1,761 2,970 0, ,308 0,975 0,223 1,777 0,284 1,716 3,078 0, ,285 0,927 0,256 1,744 0,322 1,678 3,173 0, ,266 0,886 0,283 1,717 0,354 1,646 3,258 0, ,249 0,850 0,307 1,693 0,382 1,619 3,336 0, ,235 0,817 0,328 1,672 0,407 1,593 3, ,223 0,789 0,347 1,653 0,428 1,572 3,472 0, ,212 0,763 0,363 1,637 0,448 1,552 3,532 0, ,203 0,739 0,378 1,622 0,466 1,534 3,588 0, ,194 0,718 0,391 1,608 0,482 1,518 3,640 0, , ,403 1,597 0,496 1,504 3,689 0, ,180 0,680 0,415 1,585 0,510 1,490 3,735 0, ,173 0,663 0,425 1,575 0,523 1,477 3,778 0, ,167 0,647 0,434 1,566 0,535 1,465 3,819 0, ,162 0,633 0,443 1,557 0,545 1,455 3,858 0, ,157 0,619 0,451 1,548 0,556 1,444 3,895 0, ,153 0,606 0,459 1,541 0,564 1,436 3,931 0,990 26

27 Σημειώνεται επίσης ότι μεταξύ της τυπικής απόκλισης σ του πληθυσμού και του μέσου όρου των τυπικών αποκλίσεων όλων των δειγμάτων ισχύει η σχέση: σ σ = (4.31) c 4 Οι συντελεστές Α 3, Β 3, c4 και Β 4 για μέγεθος δείγματος n = 2-25 δίδονται στον Πίνακα4.1. Όταν εφαρμοσθούν οι παραπάνω σχέσεις (4.27) και (4.29) για να υπολογίσουμε τα κατώτερα όρια ελέγχου, τότε οι τιμές που προκύπτουν είναι αρνητικές όταν n < 6 για το διάγραμμα ελέγχου εύρους, και n < 5 για το διάγραμμα ελέγχου τυπικής αποκλίσεως. Επειδή όμως τα R και σ δεν μπορεί να είναι αρνητικά, στις περιπτώσεις τούτες τα κατώτερα όρια ελέγχου τίθενται στο μηδέν, βλέπε Πίνακα 4.1. Η προηγούμενη ανάλυση αφορά (εξωτερικά) όρια ελέγχου, δηλαδή για όρια ελέγχου που υπολογίζονται με 3 σταθερές αποκλίσεις από τις δυο πλευρές του μέσου (X ) ή του εύρους. Μερικές φορές όπως ήδη αναφέρθηκε υπολογίζονται και προειδοποιητικά όρια (warning lines), που βασίζονται σε δυο τυπικές αποκλίσεις. Η διαδικασία για τον υπολογισμό των εσωτερικών ορίων ελέγχου είναι η ίδια με τη διαδικασία υπολογισμού των εξωτερικών ορίων. Κατά συνέπεια, ενδεικτικά, θα έχουμε: Για το διάγραμμα ελέγχου μέσων: Κατώτερο προειδοποιητικό όριο = X 2σ X (4.32) Ανώτερο προειδοποιητικό όριο = X + 2σ X (4.33) Για το διάγραμμα ελέγχου εύρους Κατώτερο προειδοποιητικό όριο = R 2σ R (4.34) Ανώτερο προειδοποιητικό όριο = R + 2σ R (4.35) Οι παραπάνω σχέσεις απλοποιούνται με τη χρήση των σταθερών συντελεστών Α 2, Β 3 και Β 4. που δίδονται σε πίνακες. Τυπικά, τα προειδοποιητικά όρια χαράσσονται στα 2/3 της απόστασης μεταξύ κεντρικής γραμμής και ορίων ελέγχου Δείκτης ικανότητας με χρήση διαγραμμάτων ελέγχου Στην ενότητα 4.2 αναφέρθηκε ο τρόπος υπολογισμού του δείκτη ικανότητας, όταν η τυπική απόκλιση του πληθυσμού που εξετάζεται είναι γνωστή. Κάτι τέτοιο, όμως, δεν είναι πάντοτε γνωστό. Τα διαγράμματα ελέγχου, με τα δεδομένα που περιέχουν, μπορούν 27

28 να χρησιμεύσουν στον προσδιορισμό του δείκτη ικανότητας μίας παραγωγικής διαδικασίας. Για την εκτίμηση της (άγνωστης) τυπικής απόκλισης του πληθυσμού σ 0, μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι σχέσεις (4.21) ή (4.31): R σ 0 = (4.21α) d 2 σ σ 0 = (4.31α) c 4 Ο δείκτης ικανότητας προκύπτει από την τροποποιημένη σχέση (4.3) με την μορφή C p USL LSL = (4.3α) 6σ 0 Πρέπει να τονιστεί ότι ο υπολογισμός του δείκτη ικανότητας μίας παραγωγικής διεργασίας από τα διαγράμματα ελέγχου γίνεται όταν η διεργασία βρίσκεται υπό έλεγχο Ερμηνεία των διαγραμμάτων έλεγχου μεταβλητών Όταν υπολογιστούν τα όρια ελέγχου και χαραχτούν πάνω στους χάρτες ελέγχου, μαζί με τις κεντρικές τιμές των μέσων των δειγμάτων και του εύρους διασποράς, το διάγραμμα ελέγχου είναι έτοιμος. Αν υπάρχουν σημεία που βρίσκονται έξω από τα όρια ελέγχου, είτε στο διάγραμμα ελέγχου μέσων, είτε στο διάγραμμα εύρους, τότε έχουμε μια ένδειξη ότι η παραγωγική διαδικασία είναι «εκτός ελέγχου». Στην πράξη τα σημεία που βρίσκονται έξω από τα όρια ελέγχου σημειώνονται με διαφορετικά, διακριτά σύμβολα. Η «διαπίστωση» ότι η παραγωγική διαδικασία είναι «εκτός ελέγχου», επειδή μερικά σημεία πέφτουν έξω από τα όρια ελέγχου, ισοδυναμεί με το γεγονός ότι στην παραγωγική διαδικασία κάποια αίτια προκαλούν διαταραχές και πρέπει να προσδιοριστούν. Το αντίστροφο ερώτημα δεν μπορεί να απαντηθεί εύκολα. Όταν όλα τα σημεία βρίσκονται μέσα στα όρια ελέγχου, η παραγωγική διαδικασία βρίσκεται «κάτω από έλεγχο» δηλαδή, δεν υπάρχουν αίτια που να προκαλούν διακυμάνσεις; Στην περίπτωση τούτη δεν υπάρχει άμεσο στατιστικό κριτήριο που να προσφέρει θετική διαβεβαίωση. Ο απλός κανόνας ένδειξης διαδικασίας «εκτός ελέγχου» όταν η στατιστική δείγματος ( X, R, σ) βρίσκεται εκτός των ορίων ελέγχου είναι επαρκής μόνο όταν οι συστηματικές 28

29 αιτίες προκαλούν σχετικά μεγάλες μεταβολές στην παραγωγική διαδικασία. Όταν η μεταβολή είναι σχετικά μικρή, ανάλογα μικρή είναι και η ισχύς του διαγράμματος με αποτέλεσμα καθυστέρηση στον εντοπισμό της συστηματικής αιτίας. Ακόμη, ορισμένες συστηματικές αιτίες δεν επιφέρουν μόνιμη και σταθερή αλλαγή στην παράμετρο της κατανομής του ελεγχόμενου χαρακτηριστικού, αλλά προκαλούν σταδιακές μεταβολές που χαρακτηρίζονται από περιοδικότητα, τάση κ.λπ. και μεταφράζονται σε αντίστοιχες μορφές χρονοσειρών στο διάγραμμα ελέγχου, τις οποίες ο υπεύθυνος μηχανικός ποιοτικού ελέγχου θα πρέπει να είναι σε θέση να αναγνωρίζει. Για τους παραπάνω λόγους θεωρείται αναγκαία η παρουσίαση ορισμένων χρήσιμων κανόνων λειτουργίας του διαγράμματος που βασίζονται στην ανάλυση και ερμηνεία σειρών σημείων. Άλλωστε η συνολική εικόνα μιας χρονοσειράς που συντίθεται από πολλά διαδοχικά δείγματα παρέχει ασφαλώς περισσότερες πληροφορίες από όσες παρέχει κάθε μεμονωμένο σημείο του διαγράμματος, που προέρχεται από ένα μόνο δείγμα. Τις διάφορες μορφές μη τυχαίων χρονοσειρών μπορούμε να τις κατατάξουμε σε δύο κατηγορίες ανάλογα με τον τύπο της μεταβολής που τις δημιουργεί: α) χρονοσειρές που οφείλονται σε στιγμιαία μεταβολή της τιμής μιας παραμέτρου, η οποία διατηρείται στη συνέχεια σταθερή στη νέα της τιμή (π.χ. αύξηση του ποσοστού ελαττωματικών σε διαδικασία παραγωγής ελαστικών αυτοκινήτων εξαιτίας παρτίδας ελαττωματικής πρώτης ύλης), β) χρονοσειρές που οφείλονται σε συνεχή μεταβολή μιας παραμέτρου (π.χ. συνεχής αύξηση της μέσης τραχύτητας σε κατεργασία κοπής μετάλλου εξαιτίας της σταδιακής φθοράς του κοπτικού εργαλείου) ή σε άλλες αιτίες. Οι χρονοσειρές που οφείλονται σε στιγμιαία αλλά παραμένουσα μεταβολή μιας παραμέτρου χαρακτηρίζονται από σχετικά μεγάλο αριθμό διαδοχικών σημείων από τη μία μόνο πλευρά της κεντρικής γραμμής. Π.χ. μια συστηματική αιτία προκαλεί αύξηση της μέσης τιμής από τη τιμή μ 0 του στατιστικού ελέγχου σε νέα τιμή μ 1 > μ 0. Αν η αύξηση είναι σχετικά μικρή και η παράμετρος k σχετικά μεγάλη, είναι ενδεχόμενο να καθυστερήσει η εμφάνιση σημείου εκτός των ορίων ελέγχου στο διάγραμμα -x. Όμως οι περισσότερες μέσες τιμές δείγματος θα βρίσκονται επάνω από την κεντρική γραμμή. Η περίπτωση αυτή περιγράφεται στο σχήμα 4.7, από το οποίο είναι φανερό ότι η μέση τιμή έχει αυξηθεί μετά το 3 ή 4 δείγμα. 29

30 Σχήμα 4.7: Διάγραμμα με χρονοσειρά που οφείλεται σε αύξηση της μέσης τιμής Στη βιβλιογραφία αναφέρονται πολλοί κανόνες σειρών (run rules), με βάση τους οποίους ένα διάγραμμα ελέγχου σηματοδοτεί την πιθανή παρουσία συστηματικής αιτίας μεταβολής. Οι σημαντικότεροι από αυτούς συνοψίζονται παρακάτω: - 7 (ή 8) συνεχόμενα σημεία είναι από την ίδια πλευρά της κεντρικής γραμμής (επάνω ή κάτω), - τουλάχιστον 10 στα 11 συνεχόμενα σημεία είναι από την ίδια πλευρά της κεντρικής γραμμής, - τουλάχιστον 2 στα 3 συνεχόμενα σημεία είναι εκτός ενός προειδοποιητικού ορίου δυο τυπικών αποκλίσεων, - τουλάχιστον 4 στα 5 συνεχόμενα σημεία απέχουν περισσότερο από μια τυπική απόκλιση σ^ από την κεντρική γραμμή στην ίδια κατεύθυνση (επάνω ή κάτω). Οι χρονοσειρές που οφείλονται σε συνεχή μεταβολή μιας παραμέτρου ή σε άλλες αιτίες χαρακτηρίζονται γενικά από μη τυχαίες διατάξεις των σημείων στο διάγραμμα ελέγχου. Οι κυριότερες μορφές χρονοσειρών που εμφανίζονται σε διαγράμματα ελέγχου παρουσιάζονται και ερμηνεύονται παρακάτω. α) Τάσεις Σχήμα 4.8: Εμφάνιση τάσης σε διάγραμμα ελέγχου. 30

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ. Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ. Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Ορισμοί Ποιότητας (1)

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Διαχείριση Περιβάλλοντος Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων και Οργανισμών Ακαδημαϊκό Έτος 2006-07 2η ΟΣΣ Ευτύχιος Σαρτζετάκης, Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο συστήματος διαχείρισης της ποιότητας

Μοντέλο συστήματος διαχείρισης της ποιότητας Μοντέλο συστήματος διαχείρισης της ποιότητας Διαρκής βελτίωση του Συστήματος Διαχείρισης της Ποιότητας Ευθύνη της Διοίκησης Πελάτες Πελάτες Διαχείριση Πόρων Μέτρηση, ανάλυση και βελτίωση Ικανοποίηση Απαιτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ. Πρότυπη Προτεινόμενη Απάντηση 2 ης ΓΕ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ. Πρότυπη Προτεινόμενη Απάντηση 2 ης ΓΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ ΔΕΟ 42 ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Επιμέλεια ύλης: Βίκυ Βάρδα Πρότυπη Προτεινόμενη Απάντηση 2 ης ΓΕ 2015-2016 Κ.Βάρναλη 54, 210 5711484 grammateia@eclass4u.gr

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.

Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. 7 ο ΜΑΘΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχετε ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Εισαγωγή. ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας. Τμήμα Φυσικοθεραπείας. Προπτυχιακό Πρόγραμμα. Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο )

Ενότητα 1: Εισαγωγή. ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας. Τμήμα Φυσικοθεραπείας. Προπτυχιακό Πρόγραμμα. Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) ΤΕΙ Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Φυσικοθεραπείας Προπτυχιακό Πρόγραμμα Μάθημα: Βιοστατιστική-Οικονομία της υγείας Εξάμηνο: Ε (5 ο ) Ενότητα 1: Εισαγωγή Δρ. Χρήστος Γενιτσαρόπουλος Λαμία, 2017 1.1. Σκοπός και

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο συστήματος διαχείρισης της ποιότητας

Μοντέλο συστήματος διαχείρισης της ποιότητας Μοντέλο συστήματος διαχείρισης της ποιότητας Διαρκής βελτίωση του Συστήματος Διαχείρισης της Ποιότητας Ευθύνη της Διοίκησης Πελάτες Πελάτες Διαχείριση Πόρων Μέτρηση, ανάλυση και βελτίωση Ικανοποίηση Απαιτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο συστήματος διαχείρισης της ποιότητας

Μοντέλο συστήματος διαχείρισης της ποιότητας Μοντέλο συστήματος διαχείρισης της ποιότητας Διαρκής βελτίωση του Συστήματος Διαχείρισης της Ποιότητας Ευθύνη της Διοίκησης Πελάτες Πελάτες Διαχείριση Πόρων Μέτρηση, ανάλυση και βελτίωση Ικανοποίηση Απαιτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Λέκτορας Ι. Γιαννατσής Καθηγητής Π. Φωτήλας Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Η ποιότητα των παρεχόμενων προϊόντων/υπηρεσιών αποτελεί τον

Διαβάστε περισσότερα

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β;

Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; σελ 1 από 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Α. Έστω δύο σύνολα Α και Β. Ποιά διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και πεδίο τιμών το Β; 1. Σ-Λ Η σχέση με:, είναι συνάρτηση. 2. Σ-Λ Η σχέση είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΓΙΑ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΑ ΣΤΕΛΕΧΗ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΓΙΑ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΑ ΣΤΕΛΕΧΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ ΓΙΑ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΑ ΣΤΕΛΕΧΗ Ενότητα # 7: Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι και Όργανα Περιβαλλοντικών Μετρήσεων Μέρος Α. Διαπίστευση Εργαστηρίου Δοκιμών

Μέθοδοι και Όργανα Περιβαλλοντικών Μετρήσεων Μέρος Α. Διαπίστευση Εργαστηρίου Δοκιμών Μέθοδοι και Όργανα Περιβαλλοντικών Μετρήσεων Μέρος Α Διαπίστευση Εργαστηρίου Δοκιμών ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΤΗΣ ΥΦΙΣΤΑΜΕΝΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Πίνακας των προς διαπίστευση δοκιμών Περιγραφή Δοκιμής/Ανάλυσης Υλικό/α που ελέγχονται

Διαβάστε περισσότερα

6. Διαχείριση Έργου. Έκδοση των φοιτητών

6. Διαχείριση Έργου. Έκδοση των φοιτητών 6. Διαχείριση Έργου Έκδοση των φοιτητών Εισαγωγή 1. Η διαδικασία της Διαχείρισης Έργου 2. Διαχείριση κινδύνων Επανεξέταση Ερωτήσεις Αυτοαξιολόγησης Διαχείριση του έργου είναι να βάζεις σαφείς στόχους,

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας ΔΙΑΛΕΞΗ 8 η : Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας. Δρ. Α. Στεφανή Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Δυτικής Ελλάδας - Μεσολόγγι

Διοίκηση Ολικής Ποιότητας ΔΙΑΛΕΞΗ 8 η : Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας. Δρ. Α. Στεφανή Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Δυτικής Ελλάδας - Μεσολόγγι Διοίκηση Ολικής Ποιότητας ΔΙΑΛΕΞΗ 8 η : Στατιστικός Έλεγχος Ποιότητας Δρ. Α. Στεφανή Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Δυτικής Ελλάδας - Μεσολόγγι Πρόληψη - Επιθεώρησης Τεχνικές ελέγχου: Δειγματοληψία:

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός

i μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακoλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 10. Εισαγωγή στην εκτιμητική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Απεικόνιση της σχέσης(θετική, αρνητική, απροσδιόριστη) δύο μεταβλητών. Παραδείγματα σχέσεων. Παράδειγμα

Α. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Απεικόνιση της σχέσης(θετική, αρνητική, απροσδιόριστη) δύο μεταβλητών. Παραδείγματα σχέσεων. Παράδειγμα Α. ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Απεικόνιση της σχέσης(θετική, αρνητική, απροσδιόριστη) δύο μεταβλητών. Παραδείγματα σχέσεων Παράδειγμα Μας δίνονται τα παρακάτω δεδομένα που αντιπροσωπεύουν τις τιμές πίεσης σε ατμόσφαιρες

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Χωροταξικός Σχεδιασμός Κριτήρια αξιολόγησης Χωροταξικού Σχεδιασμού Δραστηριότητες Χωροταξικού Σχεδιασμού...

5.1. Χωροταξικός Σχεδιασμός Κριτήρια αξιολόγησης Χωροταξικού Σχεδιασμού Δραστηριότητες Χωροταξικού Σχεδιασμού... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΧΩΡΟΤΑΞΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ Περιεχόμενα 5.1. Χωροταξικός Σχεδιασμός... 2 5.2. Κριτήρια αξιολόγησης Χωροταξικού Σχεδιασμού... 4 5.3. Δραστηριότητες Χωροταξικού Σχεδιασμού... 5 5.4. Τύποι Χωροταξίας...

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ SHEWHART KAI KANONAΣ ΡΟΩΝ r / m

ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ SHEWHART KAI KANONAΣ ΡΟΩΝ r / m Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι O Π Ε Ι Ρ Α Ι Ω Σ Σχολή Χρηματοοικονομικής και Στατιστικής Τ μήμα Στατιστικής κ αι Ασφαλιστικής Επιστή μης ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη

HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme. Επιλογή δείγματος. Κατερίνα Δημάκη HELLENIC OPEN UNIVERSITY School of Social Sciences ΜΒΑ Programme Επιλογή δείγματος Κατερίνα Δημάκη Αν. Καθηγήτρια Τμήμα Στατιστικής Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών 1 Τρόποι Συλλογής Δεδομένων Απογραφική

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου 2017 1/32 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium Iii Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium Iii Η Κανονική Κατανομή Λέμε ότι μία τυχαία μεταβλητή X, ακολουθεί την Κανονική Κατανομή με παραμέτρους και και συμβολίζουμε X N, αν έχει συνάρτηση πυκνότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2017-2018 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Ι. Γιαννατσής Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Η ποιότητα των παρεχόμενων προϊόντων/υπηρεσιών αποτελεί τον σημαντικότερό ίσως παράγοντα

Διαβάστε περισσότερα

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x). Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΛΟΓΙΑ. απαιτήσεις αξιοπιστίας, στις απαιτήσεις ασφάλειας, στις απαιτήσεις λειτουργίας κλπ.

ΟΡΟΛΟΓΙΑ. απαιτήσεις αξιοπιστίας, στις απαιτήσεις ασφάλειας, στις απαιτήσεις λειτουργίας κλπ. ΟΡΟΛΟΓΙΑ Γενικές έννοιες Ποιότητα: ο βαθμός στον οποίο ένα σύνολο εγγενών χαρακτηριστικών εκπληρώνει τις απαιτήσεις. Απαίτηση: ανάγκη ή προσδοκία που δηλώνεται ρητώς, συνάγεται ως συμπέρασμα ή προκύπτει

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ III ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Ι. Γιαννατσής Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Η ποιότητα των παρεχόμενων προϊόντων/υπηρεσιών αποτελεί τον σημαντικότερό ίσως παράγοντα

Διαβάστε περισσότερα

2 η Γραπτή Εργασία. ΘΕΜΑΤΑ 2 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΘΕΜΑ 1

2 η Γραπτή Εργασία. ΘΕΜΑΤΑ 2 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΘΕΜΑ 1 Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 42 Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Διαχείριση Περιβάλλοντος Ακαδ. Έτος: 2016-17 2 η Γραπτή Εργασία Γενικές οδηγίες για την εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Μεθοδολογία της Έρευνας ΕΙΚΟΝΑ 1-1 Μεθοδολογία της έρευνας.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Μεθοδολογία της Έρευνας ΕΙΚΟΝΑ 1-1 Μεθοδολογία της έρευνας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή Η Μεθοδολογία της Έρευνας (research methodology) είναι η επιστήμη που αφορά τη μεθοδολογία πραγματοποίησης μελετών με συστηματικό, επιστημονικό και λογικό τρόπο, με σκοπό την παραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 6-7 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ι. ΓΙΑΝΝΑΤΣΗΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Η Μέτρηση Εργασίας (Work Measurement ή Time Study) έχει ως αντικείμενο τον προσδιορισμό του χρόνου που απαιτείται από ένα ειδικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Πληθυσμός και δείγμα Είδη Μεταβλητών - Περιγραφική στατιστική

Ενότητα 1: Πληθυσμός και δείγμα Είδη Μεταβλητών - Περιγραφική στατιστική ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΙΑΤΡΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΝΕΥΡΟΑΝΑΤΟΜΙΑ» «Βιοστατιστική, Μεθοδολογία και Συγγραφή Επιστημονικής Μελέτης» Ενότητα 1: Πληθυσμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ

ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ ΜΕΤΡΟΛΟΓΙΑ: ΙΧΝΗΛΑΣΙΜΟΤΗΤΑ, ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΑΒΕΒΑΙΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΔΟΚΙΜΕΣ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΤΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΥ ΝΕΡΟΥ E. Λαμπή, Χ. Αλεξόπουλος, Η. Κακουλίδης ΓΕΝΙΚΟ ΧΗΜΕΊΟ ΤΟΥ ΚΡΆΤΟΥΣ Ε X.Y. ΑΘΗΝΩΝ,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

O στατιστικός έλεγχος ποιότητας του αναλυτή ILAB 600

O στατιστικός έλεγχος ποιότητας του αναλυτή ILAB 600 O στατιστικός έλεγχος ποιότητας του αναλυτή ILAB 600 Επιμέλεια: Πέτρος Καρκαλούσος O ILAB 600 είναι ένας βιοχημικός αναλυτής 67 παραμέτρων με ταχύτητα 400 τεστ/ώρα. Κατασκευάστηκε από την ιαπωνική εταιρεία

Διαβάστε περισσότερα

Στάδιο Εκτέλεσης

Στάδιο Εκτέλεσης 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο 1.4.2.2 Στάδιο Εκτέλεσης Το στάδιο της εκτέλεσης μίας έρευνας αποτελεί αυτό ακριβώς που υπονοεί η ονομασία του. Δηλαδή, περιλαμβάνει όλες εκείνες τις ενέργειες από τη στιγμή που η έρευνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ. Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΡΕΥΝΑΣ Ι. Δημόπουλος, Καθηγητής, Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων και Οργανισμών-ΤΕΙ Πελοποννήσου Σχηματική παρουσίαση της ερευνητικής διαδικασίας ΣΚΟΠΟΣ-ΣΤΟΧΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Ερευνητικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 7-8 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματικές Κατανομές

Δειγματικές Κατανομές Δειγματικές Κατανομές Στατιστική συνάρτηση ή στατιστική Δειγματική κατανομή - Εκτιμητής Τα άγνωστα στοιχεία του πληθυσμού λέγονται παράμετροι. Τα συμπεράσματα για μια παράμετρο εξάγονται με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Έννοιες και Ορισμοί

Κεφάλαιο 2: Έννοιες και Ορισμοί ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΟΛΙΚΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Ε.ΜΙΧΑΗΛΙΔΟΥ - 1 Κεφάλαιο 2: Έννοιες και Ορισμοί Η επιτυχία των επιχειρήσεων βασίζεται στην ικανοποίηση των απαιτήσεων των πελατών για: - Ποιοτικά και αξιόπιστα προϊόντα - Ποιοτικές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα