Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32"

Transcript

1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 22 Μαΐου /32

2 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Ενας νέος τύπος τσιγάρων βρίσκεται στο στάδιο ποιοτικού ελέγχου. Αν το τμήμα ποιοτικού ελέγχου της καπνοβιομηχανίας παραγωγής, ενδιαφέρεται να γνωρίζει τη μέση ποσότητα νικοτίνης που περιέχεται στα νέου τύπου τσιγάρα, μπορεί να υπολογίσει ένα διάστημα εμπιστοσύνης και να πάρει έτσι μια εκτίμηση για την άγνωστη μέση ποσότητα νικοτίνης. Στην περίπτωση όμως, που ενδιαφέρεται να γνωρίζει μόνο αν στα νέου τύπου τσιγάρα η μέση ποσότητα νικοτίνης δεν υπερβαίνει ένα μέγιστο επιτρεπτό όριο, τότε πρέπει να κάνει κατάλληλο στατιστικό έλεγχο υποθέσεων ώστε να μπορεί να αποφασίσει μεταξύ των υποθέσεων: Η μέση ποσότητα νικοτίνης δεν υπερβαίνει το μέγιστο επιτρεπτό όριο (H 0 ). Η μέση ποσότητα νικοτίνης υπερβαίνει το μέγιστο επιτρεπτό όριο (H 1 ). Ο γενικός κανόνας είναι πάντα είναι η εφαρμογή σε στοχαστικά προβλήματα απόφασης μεταξύ δύο εναλλακτικών υποθέσεων. 2/32

3 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων είναι η εξής: θέτουμε ως μηδενική υπόθεση (H0 ) αυτή για την οποία αμφιβάλουμε, αυτή που αμφισβητείται, εξετάζουμε αν ένα τυχαίο δείγμα που παίρνουμε από τον πληθυσμό συνηγορεί-δίνει αποδείξεις υπέρ της απόρριψής της, έναντι της εναλλακτικής (H 1 ). Δηλαδή, η H 0, απορρίπτεται ή δεν απορρίπτεται με βάση το τι παρατηρείται στο τυχαίο δείγμα που πήραμε από τον πληθυσμό. Πιο συγκεκριμένα, υποθέτοντας ότι η H 0 είναι αληθής, αν αυτό που παρατηρείται στο δείγμα είναι ακραίο, δηλαδή, αν έχει πολύ μικρή πιθανότητα να συμβεί, τότε απορρίπτουμε την H 0. Σε αντίθετη περίπτωση, δηλαδή, αν αυτό που παρατηρείται στο δείγμα δεν είναι ακραίο-σπάνιο (όταν είναι αληθής η H 0 ) τότε το δείγμα που πήραμε δε μας δίνει αρκετές ενδείξεις για την απόρριψη της H 0 και «αποτυγχάνουμε να την απορρίψουμε». Βέβαια, με αυτή τη στρατηγική παίρνουμε «ρίσκο», γιατί και τα ακραία, έστω και με πολύ μικρή πιθανότητα, μπορεί να συμβούν. 3/32

4 Εισαγωγή: Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Είναι φανερό, ότι για να προχωρήσουμε πρέπει να αποσαφηνιστεί: τι εννοούμε επακριβώς όταν λέμε «αυτό που παρατηρείται στο δείγμα»; Πώς εκφράζεται; Μπορεί να μετρηθεί-ποσοτικοποιηθεί; Πώς κρίνουμε ότι «αυτό που παρατηρείται στο δείγμα» είναι ή όχι «ακραίο»; Δηλαδή, με ποιον σαφή κανόνα θεωρείται το παρατηρούμενο στο δείγμα «ακραίο»; Επίσης, πρέπει να απαντήσουμε στα εύλογα ερωτήματα: Πώς υπολογίζονται οι πιθανότητες σφάλματος τύπου Ι και σφάλματος τύπου ΙΙ; Μπορούν να ελαχιστοποιηθούν; Σχετίζονται με κάποιο τρόπο Μπορούμε να τις θέσουμε υπό τον έλεγχό μας; Για να απαντήσουμε στα ερωτήματα αυτά, ας χρησιμοποιήσουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Θα μας βοηθήσει στην κατανόηση. Παράδειγμα: Το όριο αντοχής ενός τύπου καλωδίων είναι τυχαία μεταβλητή X, με μέση τιμή µ = 1500Kgr και τυπική απόκλιση σ = 175Kgr. Το εργοστάσιο που κατασκευάζει αυτόν τον τύπο καλωδίων ισχυρίζεται ότι βελτίωσε τα υλικά που χρησιμοποιεί και πλέον το όριο αντοχής των καλωδίων έχει αυξηθεί. 4/32

5 Τυπικό παράδειγμα στατιστικού ελέγχου υποθέσεων. Για να ελεγχθεί ο ισχυρισμός του εργοστασίου, ως μηδενική υπόθεση θέτουμε την H 0 : µ = 1500 Kgr, δηλαδή, αυτήν η οποία αμφισβητείται από τον ισχυρισμό που ελέγχουμε. Γενικά, η H 0 δηλώνει ότι στον πληθυσμό η κατάσταση παραμένει αμετάβλητη, δεν υπάρχει αλλαγή/διαφορά ή αλλιώς, ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή δεν έχει επίδραση στην εξαρτημένη μεταβλητή για τον πληθυσμό (στο παράδειγμά μας, ότι η βελτίωση των υλικών δεν έχει επίδραση στο όριο αντοχής των καλωδίων). Ενας δεύτερος κανόνας για τον καθορισμό της H 0 που έχει επίσης καθιερωθεί στη διεθνή επιστημονική πρακτική, είναι ο εξής: Ως μηδενική υπόθεση θέτουμε την υπόθεση της οποίας η λανθασμένη απόρριψη εγκυμονεί τους περισσότερους κινδύνους. Δηλαδή, αυτή που απαιτεί μεγαλύτερη προστασία από σφάλμα τύπου Ι. Ως εναλλακτική θέτουμε την H 1 : µ > 1500 Kgr, δηλαδή, η H 1 δηλώνει ότι η βελτίωση των υλικών επηρεάζει, και ειδικότερα αυξάνει, το όριο αντοχής των καλωδίων. Γενικά, η H 1 δηλώνει ότι στον πληθυσμό υπάρχει αλλαγή/διαφορά ή αλλιώς, ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή έχει επίδραση στην εξαρτημένη μεταβλητή για τον πληθυσμό. 5/32

6 Τύποι στατιστικών ελέγχων. Ο έλεγχος που μόλις διατυπώσαμε, είναι ένας μονόπλευρος και ειδικότερα δεξιόπλευρος έλεγχος. Γενικότερα, οι έλεγχοι H 0 : µ µ 0, H 0 : µ µ 0 H 1 : µ > µ 0, H 1 : µ < µ 0 ονομάζονται μονόπλευροι έλεγχοι (δεξιόπλευρος και αριστερόπλευρος αντίστοιχα) και ο έλεγχος, H 0 : µ = µ 0, H 1 : µ µ 0 ονομάζεται αμφίπλευρος. Σημειώνουμε, επίσης, ότι τα δύο σύνολα τιμών της παραμέτρου που ελέγχουμε (στο παράδειγμά μας, της µ) που ορίζουν οι δύο υποθέσεις, πρέπει προφανώς να είναι ξένα μεταξύ τους (ή το ένα άρνηση του άλλου). Τέλος, υπογραμμίζουμε ότι και οι δύο υποθέσεις αναφέρονται στον πληθυσμό γι αυτό δηλώνονται με όρους παραμέτρων του πληθυσμού. 6/32

7 Κατασκευή του τεστ. Στο παράδειγμά μας, αφού διατυπώσαμε την υπόθεση ότι η άγνωστη μέση τιμή του πληθυσμού των ορίων αντοχής των καλωδίων μετά τη βελτίωση των υλικών είναι 1500Kgr (H 0 : µ = 1500Kgr), παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα καλωδίων από το σύνολο της παραγωγής του εργοστασίου και μετράμε το όριο αντοχής κάθε καλωδίου του δείγματος. Για τις ανάγκες του παραδείγματος, έστω ότι ένα τυχαίο δείγμα X 1, X 2,..., X n μεγέθους n = 50, μας έδωσε τις μετρήσεις x 1, x 2,..., x 50 με X = 1550Kgr. Η «εμπειρία», δηλαδή, αυτό που παρατηρείται στο δείγμα, συμφωνεί άραγε με την υπόθεση H 0 : µ = 1500Kgr, (δηλαδή με ό,τι αυτή συνεπάγεται για το δείγμα) ή μήπως δίνει αποδείξεις εναντίον της H 0 και υπέρ της H 1 ; Για να απαντήσουμε σε αυτό το ερώτημα, πρέπει, πρώτα απ όλα, να κατασκευάσουμε/επιλέξουμε μια κατάλληλη στατιστική συνάρτηση T = T(X 1, X 2,..., X n ), δηλαδή, μια συνάρτηση του δείγματος, ώστε να ποσοτικοποιήσουμε «αυτό που παρατηρείται στο δείγμα» και η οποία, υπό την H 0, δηλαδή όταν ισχύει η H 0, να ακολουθεί γνωστή κατανομή (χωρίς άγνωστες παραμέτρους) ώστε να μπορούμε να υπολογίσουμε τις απαιτούμενες για τον έλεγχο πιθανότητες. 7/32

8 Κατασκευή του τεστ. Στο παράδειγμά μας, που αφορά στον έλεγχο της μέσης τιμής, µ, του πληθυσμού, είναι λογικό να επιλέξουμε ως στατιστική συνάρτηση T, τη δειγματική μέση τιμή X = n 1 Πρόταση 1, εβδ. 3 n X i N(µ, n 1 σ 2 ) = N(1500, ) i=1 Κανονικοποιώντας τις τιμές του δείγματος, έχουμε ότι Σελ. 20, εβδ. 4 Z = X / = 2.02 N(0, 1) 50 οπότε αυτό που παρατηρείται στο δείγμα εκφράζεται από την Z = Πως όμως ορίζουμε το ακραίο; Αν η H 0 : µ = 1500Kgr είναι αληθής, είναι λογικό να αναμένουμε ότι η τιμή της X στο δείγμα να είναι κοντά στην τιμή Αντίθετα, αν η H 0 δεν είναι αληθής, αναμένουμε η μέση τιμή του δείγματος να είναι μακριά (προς την κατεύθυνση της H 1, δηλαδή δεξιότερα) του /32

9 Κατασκευή του τεστ. Ενας λογικός, επομένως, έλεγχος είναι ο εξής: ορίζουμε μια τιμή c με βάση την οποία θα κρίνεται αν η δειγματική μέση τιμή βρίσκεται μακριά από την µ = 1500 Kgr, δηλαδή θα θεωρείται ακραία. Ετσι, αν στο παράδειγμά μας επιλέξουμε c = 1530 Kgr τότε επειδή X = 1550 > 1530, αυτό που παρατηρείται στο δείγμα κρίνεται ακραίο και η H 0 απορρίπτεται. Το κριτήριο αυτό είναι φυσικά λογικό, όμως, πόσο λογική-εύλογη είναι η αυθαίρετη τιμή c = 1530 Kgr με την οποία οριοθετήσαμε τις ακραίες από της μη ακραίες δειγματικές μέσες τιμές. Αν, για παράδειγμα, επιλέξουμε c = 1570 Kgr, τότε X = 1550 < 1570 δηλαδή τώρα το παρατηρούμενο στο δείγμα δεν κρίνεται ακραίο και το δείγμα δεν υποστηρίζει απόρριψη της H 0. Τίθεται, επομένως, το ερώτημα: πώς επιλέγουμε την τιμή της σταθεράς c; Πριν απαντήσουμε σε αυτό το εύλογο ερώτημα, ας υπολογίσουμε την πιθανότητα να κάνουμε σφάλμα τύπου Ι στην περίπτωση που επιλέξουμε c = 1530 Kgr και αντίστοιχα στην περίπτωση που επιλέξουμε c = 1570 Kgr. 9/32

10 Κατασκευή του τεστ. Για c = 1530Kgr, έχουμε: P(σφάλμα τύπου Ι) = P(απόρριψη της H 0 αληθής η H 0 ) ( ) X 1500 = P( X 1530 µ = 1500) = P 175/ / 50 = P(Z 1.21) = 1 Φ(1.21) = Ομοίως για c = 1570Kgr ( ) X 1500 = P( X 1570 µ = 1500) = P 175/ / 50 = P(Z 2.83) = 1 Φ(2.83) = Ακόμα πιο γενικά, για οποιοδήποτε c, ( X 1500 P( X c µ = 1500) = P 175/ 50 c 1500 ) 175/ 50 ( = P Z c 1500 ) ( ) c / = 1 Φ / /32

11 Κατασκευή του τεστ. Από τα παραπάνω, είναι φανερό ότι η τιμή της σταθεράς c επηρεάζει (ακριβέστερα, καθορίζει) την πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι που κάνουμε. Ετσι, με κριτήριο τον έλεγχο του μεγέθους του σφάλματος τύπου Ι (θυμηθείτε και πώς ορίζουμε την H 0 ), μπορούμε να επιλέξουμε την τιμή της c ως εξής: Ορίζουμε ένα μέγιστο ανεκτό μέγεθος σφάλματος τύπου Ι και με βάση αυτό υπολογίζουμε την τιμή της c. Με αυτό τον τρόπο, καθορίζουμε έναν απολύτως σαφή κανόνα για να κρίνουμε αν αυτό που παρατηρείται στο δείγμα, δηλαδή η τιμή της στατιστικής συνάρτησης T (στο συγκεκριμένο παράδειγμα της X ή ισοδύναμα της Z) είναι «ακραία» ή όχι, και πλέον, αποφασίζουμε για την απόρριψη ή τη μη απόρριψη της H 0, με κριτήριο ένα προκαθορισμένο μέγεθος σφάλματος τύπου Ι. Το ανεκτό επίπεδο σφάλματος τύπου Ι που προκαθορίζουμε, συμβολίζεται με α και ονομάζεται επίπεδο σημαντικότητας του ελέγχου (γιατί από αυτό προκύπτει η τιμή της c που ορίζει αν αυτό που παρατηρείται στο δείγμα είναι σημαντικό-σημαντική απόδειξη για να υποστηρίξει την απόρριψη της H 0 ). Συνήθως το επίπεδο σημαντικότητας, α, ορίζεται ίσο με 0.01 ή /32

12 Κατασκευή του τεστ. Για να ολοκληρώσουμε το παράδειγμά μας, θέτοντας επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, πρέπει να επιλέξουμε τιμή c τέτοια ώστε: ( X 1500 P( X c µ = 1500) 0.05 P 175/ 50 c 1500 ) 175/ ( P Z c 1500 ) ( ) c / Φ / ( ) c 1500 Φ 175/ 0.95 c / 50 z 0.05 = c = Ετσι, επιλέγοντας c = έχουμε X = 1550 > οπότε απορρίπτουμε την H 0 με επίπεδο σημαντικότητας α = Ισοδύναμα, αν ως στατιστική συνάρτηση επιλέξουμε την Z = ( X 1500) 50/175 έχουμε P(Z c) 0.05 c = z 0.05 = /32

13 Κατασκευή του τεστ. Δηλαδή, ως τιμή της c επιλέγουμε το α = 0.05 άνω ποσοστιαίο σημείο της τυποποιημένης κανονικής κατανομής, z 0.05, και επειδή η τιμή της στατιστικής συνάρτησης στο δείγμα, z = ( ) 50 = 2.02 > z 0.05 = απορρίπτουμε την H 0 σε επίπεδο σημαντικότητας Αν η φύση του προβλήματος που εξετάζουμε επιβάλλει μεγαλύτερη «προστασία» από σφάλμα τύπου Ι, (από εσφαλμένη απόρριψη της H 0 ), πρέπει να είμαστε πιο «συντηρητικοί» στην απόρριψη της H 0. Αυτό το επιτυγχάνουμε καθορίζοντας μικρότερο ανεκτό επίπεδο σφάλματος τύπου Ι, δηλαδή, μικρότερο επίπεδο σημαντικότητας. Ετσι, στο παράδειγμά μας, αν επιβάλλεται πιο αυστηρός έλεγχος του ισχυρισμού του εργοστασίου, κάνουμε τον έλεγχο σε μικρότερο επίπεδο σημαντικότητας, δηλαδή, κάνουμε τον έλεγχο με μικρότερη ανοχή σε εσφαλμένη απόρριψη της H 0, π.χ. με α = Στην περίπτωση πρέπει c Επαληθεύστε το ως άσκηση. Η σταθερά c ονομάζεται κρίσιμη τιμή ή όριο απόρριψης γιατί με βάση αυτή κρίνεται αν μια τιμή της στατιστικής συνάρτησης T είναι ακραία ή όχι. 13/32

14 Χρήση του p-value Με δεδομένο ότι η H 0 : µ = 1500 είναι αληθής, υπολογίζουμε την πιθανότητα να εμφανισθεί η τιμή X = 1550 Kgr που εμφανίσθηκε στο δείγμα ή κάποια μεγαλύτερή της (δηλαδή, προς την κατεύθυνση της H 1 ). Ζητάμε την πιθανότητα P( X 1550 µ = 1500) και επειδή γνωρίζουμε την κατανομή της X έχουμε, ( ) X 1500 P( X 1500 µ = 1500) = P 175/ / 50 = P(Z 2.02) = 1 Φ(2.02) = Αυτή είναι η p-value δηλ. η πιθανότητα να εμφανισθεί η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου που εμφανίσθηκε στο παράδειγμά μας ή κάποια πιο μακριά (πιο ακραία), προς την κατεύθυνση της H 1, δεδομένου ότι η H 0 είναι αληθής. Η p-value δείχνει πόσο πιθανή ήταν η εμφάνιση του δείγματος που πήραμε με την υπόθεση ότι η H 0 είναι αληθής. Επομένως, όσο πιο μικρή είναι η p-value τόσο ισχυρότερες ενδείξεις εναντίον της H 0 προκύπτουν από το συγκεκριμένο τυχαίο δείγμα ή αλλιώς τόσο πιο σημαντική είναι η τιμή της στατιστικής συνάρτησης ελέγχου που δίνει το δείγμα. 14/32

15 Στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων για τη μέση τιμή, μ, ενός πληθυσμού Θα αναφερθούμε στον έλεγχο της υπόθεσης, H 0 : µ = µ 0, δηλαδή, της υπόθεσης ότι η άγνωστη μέση τιμή, µ ενός πληθυσμού έχει τιμή µ 0. Ειδικότερα, θα δώσουμε τη στατιστική συνάρτηση ελέγχου στις ακόλουθες περιπτώσεις όπου ο πληθυσμός του οποίου ελέγχουμε τη μέση τιμή ακολουθεί αντίστοιχα, 1. κανονική κατανομή με γνωστή διασπορά 2. κανονική κατανομή με άγνωστη διασπορά 3. οποιαδήποτε κατανομή με άγνωστη διασπορά και το μέγεθος δείγματος είναι μεγάλο. 15/32

16 Κανονικός πληθυσμός με γνωστή διασπορά Εστω τυχαίο δείγμα X 1, X 2,..., X n από ένα πληθυσμό που ακολουθεί κανονική κατανομή με γνωστή διασπορά σ 2 και μέση τιμή µ = µ 0 (ελεγχόμενη), οπότε X i N(µ 0, σ 2 ), i = 1, 2,..., n Ως γνωστόν, X N(µ0, n 1 σ 2 ) οπότε σ 1 ( X µ0 ) n = Z N(0, 1) Η σ 2 είναι γνωστή οπότε η Z μπορεί να υπολογιστεί από το δείγμα. Με επίπεδο σημαντικότητας α απορρίπτουμε την H 0 : µ = µ 0 Εναντι της H 1 : µ > µ 0 για X µ 0 + σn 1/2 z α Εναντι της H 1 : µ < µ 0 για X µ 0 σn 1/2 z α Εναντι της H 1 : µ µ 0 για X µ 0 σn 1/2 z α/2 η X µ 0 + σn 1/2 z α/ Test statistic distribution µ 0 σn 1 2 z α 2 Test Statistic Distribution µ 0 + σn 1 2 z α 2 Η υπόθεση που κάναμε ότι η διασπορά, του πληθυσμού είναι γνωστή, δεν είναι μια ιδιαίτερα ρεαλιστική υπόθεση. Στην πράξη, η διασπορά του πληθυσμού συνήθως είναι άγνωστη. Οι δύο περιπτώσεις που ακολουθούν, αναφέρονται στο πώς εργαζόμαστε όταν η διασπορά του πληθυσμού είναι άγνωστη. X 16/32

17 2 2 Κανονικός πληθυσμός με άγνωστή διασπορά Εστω τυχαίο δείγμα X 1, X 2,..., X n από ένα πληθυσμό που ακολουθεί κανονική κατανομή με άγνωστή διασπορά σ 2 και μέση τιμή µ = µ 0. Εστω s 2 η δειγματική διασπορά. Εχουμε ότι T = ( X µ0 ) n S t n 1 Με επίπεδο σημαντικότητας α απορρίπτουμε την H 0 : µ = µ 0 Εναντι της H 1 : µ > µ 0 για X µ 0 + sn 1/2 t n 1,α Εναντι της H 1 : µ < µ 0 για X µ 0 sn 1/2 t n 1,α Εναντι της H 1 : µ µ 0 για X µ 0 sn 1/2 t n 1,α/2 η X µ 0 + sn 1/2 t n 1,α/ Test statistic distribution µ 0 sn t n 1, α Test Statistic Distribution µ 0 sn t n 1, α η κατανομή t είναι γνωστή και ως κατανομή Student και οι σχετικοί έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων ονομάζονται t-tests. T(x) 17/32

18 Πληθυσμός από άγνωστη F(x) και σ 2, n + Εστω τυχαίο δείγμα X 1, X 2,..., X n από ένα πληθυσμό από οποιαδήποτε κατανομή με άγνωστη διασπορά σ 2 και μέση τιμή µ = µ 0 (ελεγχόμενη). Θεωρούμε ότι n 30. Εστω s 2 η δειγματική διασπορά. T = ( X µ0 ) n s προσεγγιστικά Z N(0, 1) Με επίπεδο σημαντικότητας α απορρίπτουμε την H 0 : µ = µ 0 Εναντι της H 1 : µ > µ 0 για X µ 0 + σn 1/2 z α Εναντι της H 1 : µ < µ 0 για X µ 0 σn 1/2 z α Εναντι της H 1 : µ µ 0 για X µ 0 σn 1/2 z α/2 η X µ 0 + σn 1/2 z α/ Test statistic distribution µ 0 σn 1 2 z α 2 Test Statistic Distribution µ 0 + σn 1 2 z α 2 Η κατανομή του T προσεγγίζεται από την κανονική. Οσο μεγαλύτερο το δείγμα, τόσο καλύτερη η προσέγγιση. Ερώτηση: Πότε προτιμάμε αυτόν τον έλεγχο και πότε το t-test; X 18/32

19 2 2 Ελεγχος υποθέσεων για την ισότητα διασποράς Εστω τυχαίο δείγμα X 1, X 2,..., X n από ένα πληθυσμό με κανονική κατανομή με διασπορά σ 2. Εστω s η δειγματική διασπορά. Η συνάρτηση (n 1)s2 T = χ 2 σ 2 n 1 Για να ελέγξουμε την H 0 : σ 2 = σ 2 0, η τιμή της T μπορεί να υπολογιστεί από το δείγμα (αφού σ 2 = σ 2 0 ). Με επίπεδο σημαντικότητας α απορρίπτουμε την H 0 : σ 2 = σ 2 0 Εναντι της H 1 : σ 2 σ 2 0 για (n 1)s 2 σ 2 χ 2 n 1,α Εναντι της H 1 : σ 2 σ 2 0 για (n 1)s 2 σ 2 χ 2 n 1,α Εναντι της H 1 : σ 2 σ 2 0 για (n 1)s 2 σ 2 χ 2 n 1,α/2 η (n 1)s 2 σ 2 χ 2 n 1,1 α/2 Test statistic distribution χ n 1, α Test Statistic Distribution 2 χ n 1,1 α T(x) 19/32

20 Ασκήσεις Άσκηση 1: Η θεωρητική μέση ετήσια παραγωγή ενός προϊόντος είναι 4000Kgr. Θέλουμε να ελέγξουμε αν ισχύει αυτός ο ισχυρισμός. Για το σκοπό αυτό και με βάση ένα σχέδιο τυχαίας δειγματοληψίας, επιλέγουμε ένα δείγμα 40 προϊόντων οπότε η μέση παραγωγή, βρέθηκε 3910Kgr με τυπική απόκλιση 250Kgr. Απάντηση: Βάση στατιστικού ελέγχου θα ελέγξουμε, σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, αν αυτό που παρατηρήθηκε στο δείγμα διαφέρει από τη θεωρητική μέση ετήσια παραγωγή X. Ο δειγματικός μέσος είναι X = 3910Kgr. Η υπόθεση που ελέγχουμε είναι: H 0 : µ = 4000 έναντι της H 1 : µ Δεν έχουμε κάποια ένδειξη για την κατανομή του δείγματος οπότε καλύτερα ταιριάζει η τρίτη περίπτωση - επίσης σε αυτό συνηγορεί και το γεγονός ότι n = 40 > 30 οπότε ισχύει η προσέγγιση από την κανονική κατανομή. Ετσι, η συνάρτηση ελέγχου είναι η T = ( X µ0 ) n s = ( ) = 2.28 προσεγγιστικά Z N(0, 1) Με βάση την κρίσιμη περιοχή 2.28 > z 0.05/2 = 1.96 οπότε απορρίπτουμε την H 0 με επίπεδο σημαντικότητας α = /32

21 Ασκήσεις Άσκηση 2: Από έναν πληθυσμό που ακολουθεί κανονική κατανομή, πήραμε ένα δείγμα μεγέθους n = 9, με X = 60 μονάδες και s = 12 μονάδες. Θέλουμε να κάνουμε, σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης : H 0 : µ = 65 έναντι της εναλλακτικής: H 1 : µ 65. Απάντηση: Σε αντίθεση με την Άσκηση 1, εδώ ξέρουμε ότι ο πληθυσμός είναι κανονικός (αλλά δεν μας δίνουν την διασπορά, μόνο τη δειγματική διασπορά) οπότε το πιο κατάλληλο είναι το t-test. Η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η T = (60 65) 9 12 = 1.25 < t 8,0.05/2 = οπότε η τιμή της συνάρτησης είναι εκτός της περιοχής ελέγχου και έτσι με επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση. Ερώτηση: Μη απορρίπτοντας την: H 0 : µ = 65 αποδείξαμε άραγε ότι είναι αληθής; Απάντηση: Οχι! Δεν αποδείξαμε ότι µ = 65. Απλώς αποτύχαμε να απορρίψουμε την H 0 : µ = 65. Γι αυτό, στο συμπέρασμα δε γράψαμε ότι αποδεχόμαστε τη μηδενική υπόθεση αλλά ότι δεν την απορρίπτουμε. 21/32

22 Ασκήσεις Άσκηση 3: Από έναν πληθυσμό με άγνωστη κατανομή και άγνωστη διασπορά, πήραμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n = 36. Από παλαιότερες έρευνες είναι γνωστό ότι η μέση τιμή του πληθυσμού είναι µ = 83, όμως υπάρχουν υπόνοιες ότι έχει αλλάξει. Το δείγμα που πήραμε έδωσε, X = 86.2 και s = 10. α) Να γίνει, σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, κατάλληλος στατιστικός έλεγχος για τη μέση τιμή του πληθυσμού. β) Αν αλλαγή της μέσης τιμής σημαίνει μόνο αύξηση, αλλάζει κάτι στον έλεγχο που πρέπει να κάνουμε; Στο συμπέρασμα; Απάντηση: Ο έλεγχος είναι προφανώς ο H 0 : µ = 83 έναντι H 1 : µ 83. Η άσκηση δεν μας δίνει στοιχεία για την κατανομή του πληθυσμού αλλά μας δίνει μέγεθος δείγματος n = 36 > 30 οπότε είμαστε στην τρίτη περίπτωση. Ετσι, z = ( X µ0 ) n = ( ) 36 = 1.92 < 1.96 s 10 οπότε σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 η H 0 δεν απορρίπτεται. Στην περίπτωση β πρέπει να κάνουμε μονόπλευρο-δεξιόπλευρο έλεγχο: H 0 : µ = 83 έναντι H 1 : µ > 83. Η περιοχή απόρριψης είναι η z z 0.05 = Εμείς έχουμε ότι z = άρα η H 0 απορρίπτεται, οπότε έχουμε στατιστικά σημαντικές αποδείξεις ότι η μέση τιμή έχει αυξηθεί. 22/32

23 Στατιστικός έλεγχος για τη διαφορά δυο μέσων τιμών: ανεξάρτητα δείγματα. Με δεδομένα δείγματα X 1,..., X n και Y 1,..., Y n από δύο πληθυσμούς, θέλουμε να κάνουμε έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης H 0 : µ X µ Y = 0 έναντι της εναλλακτικής H 1 : µ X µ Y 0. Ως συνάρτηση για τον έλεγχο φυσικά χρησιμοποιούμε την T = X Ȳ. Μπορούμε να προσεγγίσουμε την κατανομή της διαφοράς, X Ȳ των αντίστοιχων δειγματικών μέσων, στις ακόλουθες περιπτώσεις: όταν τα δείγματα προέρχονται από κανονικούς πληθυσμούς με γνωστές διασπορές όταν τα δείγματα προέρχονται από κανονικούς πληθυσμούς με άγνωστες αλλά ίσες διασπορές όταν τα δείγματα είναι μεγάλα και οι διασπορές των πληθυσμών είναι γνωστές (και οι πληθυσμοί όχι κατ ανάγκη κανονικοί) όταν τα δείγματα είναι μεγάλα και οι διασπορές των πληθυσμών είναι άγνωστες (και οι πληθυσμοί όχι κατ ανάγκη κανονικοί). 23/32

24 (α) κανονικά δείγματα, γνωστές διασπορές. Με δεδομένα δείγματα από δύο κανονικούς πληθυσμούς X 1,..., X n1 N(µ 1, σ 2 1 ) και Y 1,..., Y n N(µ 2, σ 2 2 ), με γνωστές διασπορές, θέλουμε να κάνουμε έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης H 0 : µ X µ Y = δ έναντι της εναλλακτικής H 1 : µ X µ Y δ. Η συνάρτηση για τον έλεγχο είναι η T = X Ȳ. Εφόσον σ 2 1, σ2 2 γνωστά έχουμε X Ȳ N µ 1 µ 2, σ2 1 + σ2 2 X Ȳ (µ 1 µ 2 ) z N(0, 1). n 1 n 2 σ 2 1 n 1 + σ2 2 n 2 Με επίπεδο σημαντικότητας α απορρίπτουμε την H 0 : µ X µ Y = δ Εναντι της H 1 : µ X µ Y > δ για z z α Εναντι της H 1 : µ X µ Y < δ για z z α Εναντι της H 1 : µ X µ Y δ για z z α/2 24/32

25 (β) κανονικά δείγματα, άγνωστες, αλλά ίσες διασπορές. Με δεδομένα δείγματα X 1,..., X n1 N(µ 1, σ 2 1 ) και Y 1,..., Y n N(µ 2, σ 2 2 ), με άγνωστες αλλά ίσες διασπορές, Θέλουμε να κάνουμε έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης H 0 : µ X µ Y = δ έναντι της εναλλακτικής H 1 : µ X µ Y δ. Μία εκτιμήτρια της κοινής διασποράς των δύο δειγμάτων είναι η S 2 = (n 1 1)S (n 2 1)S 2 2 ) n 1 + n 2 2 Η στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιούμε για τον έλεγχο είναι T = X Ȳ (µ 1 µ 2 ) t n1 1 S n n 2 2. n 2 Με επίπεδο σημαντικότητας α απορρίπτουμε την H 0 : µ X µ Y = δ Εναντι της H 1 : µ X µ Y > δ για T t n1 +n 2 2,α Εναντι της H 1 : µ X µ Y < δ για T t n1 +n 2 2,α Εναντι της H 1 : µ X µ Y δ για T t n1 +n 2 2, α 2 25/32

26 (γ) μεγάλα ανεξάρτητα δείγματα, οποιοσδήποτε πληθυσμός. Με δεδομένα δείγματα X 1,..., X n1 και Y 1,..., Y n, όπου n 1, n 2 +, Αν τα σ 2 1, σ2 2 είναι γνωστά τότε εφαρμόζεται κατά προσέγγιση ο έλεγχος της περίπτωσης α. Για άγνωστες διασπορές αν S 2 1, S2 2 είναι οι αντίστοιχες δειγματικές διασπορές η συνάρτηση ελέγχου είναι η d = X Ȳ (µ 1 µ 2 ) S 2 1 n 1 + S2 2 n 2 προσεγγιστικά N(0, 1). Με επίπεδο σημαντικότητας α απορρίπτουμε την H 0 : µ X µ Y = δ Εναντι της H 1 : µ X µ Y > δ για d z α Εναντι της H 1 : µ X µ Y < δ για d z α Εναντι της H 1 : µ X µ Y δ για d z α/2 26/32

27 Ασκήσεις. Άσκηση 1: Σε πρόσφατο δειγματοληπτικό έλεγχο, ένα δείγμα 100 παροχών νερού από το κέντρο της πόλης έδωσε μέση συγκέντρωση μολύβδου 36ppm με τυπική απόκλιση 6ppm και ένα δείγμα 90 παροχών από τα ανατολικά προάστια έδωσε μέση συγκέντρωση 34.1ppm με τυπική απόκλιση 5.9ppm. Να ελεγχθεί αν η διαφορά είναι στατιστικά σημαντική η αν προέκυψε προέκυψε τυχαία. Απάντηση: Πρέπει να κάνουμε έλεγχο της H 0 : µ X µ Y = 0 έναντι της H 1 : µ X µ Y 0. Τα δύο δείγματα μπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα μεταξύ τους. Επίσης, οι κατανομές και οι διασπορές των πληθυσμών από τους οποίους προέρχονται τα δείγματα είναι άγνωστες. Τα μεγέθη των δειγμάτων είναι μεγάλα (n X = και n Y = 90 30) οπότε πρόκειται για έλεγχο της περίπτωσης (γ) και επομένως, σε επίπεδο σημαντικότητας α = 5%, έχουμε z = X Ȳ 0 z 0.05/2 = 2.2 > z = 1.96 s 2 X + s2 Y n Y n X οπότε σε επίπεδο σημαντικότητας α = 5%, απορρίπτουμε την H 0 δηλαδή έχουμε στατιστικά σημαντικές αποδείξεις ότι η μέση συγκέντρωση μολύβδου στο πόσιμο νερό διαφέρει στις δύο περιοχές της πόλης. 27/32

28 Ασκήσεις. Άσκηση 2: Την τελευταία χρονιά, τα κτήματα 10 αγροτών από μία περιοχή είχαν μέση στρεμματική απόδοση 8.5Kgr/στρέμμα με τυπική απόκλιση 1.2Kgr/στρέμμα. Η μέση στρεμματική απόδοση στα κτήματα 15 αγροτών άλλης ήταν την τελευταία χρονιά 11Kgr/στρέμμα με τυπική απόκλιση 1.1Kgr/στρέμμα. Η διαφορά που παρατηρείται μεταξύ των δύο δειγμάτων είναι στατιστικά σημαντική ή μήπως οφείλεται στην τύχη; Απάντηση: Εστω µ A η μέση στρεμματική απόδοση από την πρώτη περιοχή και µ B από τη δεύτερη. Θέλουμε να ελέγξουμε την H 0 : µ A µ B = 0 έναντι της H 1 : µ A µ B < 0 σε ε. σημ. α = 5%. Τα δύο δείγματα μπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα μεταξύ τους αλλά επειδή είναι μικρά και δεν γνωρίζουμε αν οι πληθυσμοί είναι κανονικοί (ούτε κάτι για τις διασπορές τους). Ελλειψη άλλης πληροφορίας θα χρησιμοποιήσουμε την περίπτωση (β) κάνοντας όμως δύο παραδοχές: τα δείγματα προέρχονται από κανονικούς πληθυσμούς με ίσες διασπορές. t = X Ȳ δ t na 1 s n A + 1 +n B 2,0.05 = 5.37 < = t 23,0.05 n B όπου s = (n A + n B 2) 1 ((n A 1)s 2 A + (n B 1)s 2 B ) = Το συμπέρασμα είναι ότι η μέση στρεμματική απόδοση της ποικιλίας Α είναι μικρότερη από τη μέση στρεμματική απόδοση της ποικιλίας Β. 28/32

29 Ασκήσεις. Άσκηση 3: 5 άτομα ακολουθούν ένα διαιτολόγιο (Α) ενώ άλλα 5 ακολουθούν το διαιτολόγιο Β. Τρεις μήνες μετά η μέση μείωση του βάρους για το Α είναι µ A = 3.1Kgr με s A = 1.3Kgr και για το Β, η μέση μείωση ήταν µ B = 1.7Kgr με s B = 1.2Kgr. Το διαιτολόγιο Α είναι πιο αποτελεσματικό από το Β; (α = 5%). Απάντηση: Ελέγχουμε την H 0 : µ A µ B = 0 έναντι της H 1 : µ A µ B > 0 Για τους ίδιους λόγους με την Άσκηση 2 είμαστε στην περίπτωση (β) οπότε όπου t = X Ȳ δ s 1 n A + 1 n B = = 1.77 < = t 8, s 2 = (n A + n B 2) 1 ((n A 1)s 2 A + (n B 1)s 2 B ) = 1.57 s = 1.25 Οπότε σε επίπεδο σημαντικότητας α = 5% δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση ότι τα δύο διαιτολόγια έχουν την ίδια αποτελεσματικότητα. 29/32

30 (δ) εξαρτημένα δείγματα (ζεύγη παρατηρήσεων). Με δεδομένα δυο ισομεγέθη δείγματα X 1,..., X n και Y 1,..., Y n, Για τα οποία θεωρούμε ότι τα (X i, Y i ), i = 1,..., n είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα ενώ εντός του ίδιου ζεύγους, τα X i και Y i είναι εξαρτημένα. Σχηματίζοντας τα ζεύγη D i = X i Y i, μπορούμε να εργαστούμε με ένα δείγμα το οποίο θεωρούμε ότι προέρχεται από πληθυσμό με μέση τιμή µ D = µ X µ Y. Θέλουμε ισοδύναμα να ελέγξουμε H 0 : µ D = δ. Αν οι διασπορές είναι άγνωστες, έχουμε g = ( D δ) n S D Με επίπεδο σημαντικότητας α απορρίπτουμε την H 0 : µ X µ Y = δ Εναντι της H 1 : µ D > δ για g t n 1,α Εναντι της H 1 : µ D < δ για d t n 1,α Εναντι της H 1 : µ D δ για g t n 1,α/2 30/32

31 Ασκήσεις κατανόησης. Ερώτηση 1. Ενας ερευνητής έκανε ένα μονόπλευρο στατιστικό έλεγχο, σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.01, και το αποτέλεσμα του ελέγχου ήταν ότι η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Ενας άλλος ερευνητής, χρησιμοποιώντας το ίδιο δείγμα έκανε έναν αμφίπλευρο έλεγχο σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05, και το αποτέλεσμα του ελέγχου ήταν ότι η μηδενική υπόθεση δεν απορρίπτεται. Είναι δυνατόν να είναι σωστά και τα δύο αποτελέσματα; Απάντηση: Οχι. Σκεφθείτε γιατί. Ερώτηση 2. Αν, σε επίπεδο σημαντικότητας α, η μηδενική υπόθεση H 0 : µ = µ 0 απορρίπτεται υπέρ της εναλλακτικής H 1 : µ > µ 0 τότε, στο ίδιο επίπεδο σημαντικότητας, πρέπει απαραιτήτως να απορρίπτεται και υπέρ της H 1 : µ µ 0 ; Απάντηση: Οχι - Σκεφθείτε γιατί. 31/32

32 Ασκήσεις. Άσκηση 1: Επιλέγουμε 10 αγρούς σε δέκα διαφορετικές τοποθεσίες και κάθε αγρό τον χωρίζουμε σε δύο αγροτεμάχια ίδιου σχήματος και ίδιου εμβαδού. Στο ένα αγροτεμάχιο κάθε αγρού καλλιεργείται σιτάρι ποικιλίας Α, και στο άλλο σιτάρι της ποικιλίας Β τα οποία επιλέγονται με τυχαίο τρόπο. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν οι ίδιες καλλιεργητικές συνθήκες και ίδιες συνθήκες συγκομιδής. Αν για κάθε ζεύγος η διαφορά των παρατηρήσεων είναι d i = 45, 30, 35, 40, 50, 50, 20, 35, 25, 30 να ελεγχθεί η H 0 : µ A µ B = 0 έναντι της H 1 : µ A µ B 0 όπου µ A, µ B η μέση απόδοση των Α, Β αντίστοιχα. Απάντηση: Παρατηρούμε ότι d = 28 και s 2 = (n 1) 1 10 i=1 (d i d) 2 = Οπότε η τιμή της στατιστικής συνάρτησης είναι g = (28 0) = 3.41 t 9,0.025 = οπότε είμαστε μέσα στην περιοχή απόρριψης, και συνεπώς σε επίπεδο σημαντικότητας α = 0.05 τα πειραματικά δεδομένα υποστηρίζουν ότι η μέση απόδοση της ποικιλίας Α διαφέρει από τη μέση απόδοση της ποικιλίας Β. Η πιθανότητα αυτό το συμπέρασμα να είναι λάθος είναι το πολύ /32

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing)

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing) Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (ypothesis Testig) Βασικές έννοιες Γενική μεθοδολογία Σφάλμα τύπου Ι και -vlue Στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων για ειδικές περιπτώσεις Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 4 ο - Κ. Μπλέκας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Έλεγχοι υποθέσεων Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x

Για το δείγμα από την παραγωγή της εταιρείας τροφίμων δίνεται επίσης ότι, = 1.3 και για το δείγμα από το συνεταιρισμό ότι, x Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική // (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [] Επιλέξαμε φακελάκια (της μισής ουγκιάς) που περιέχουν σταφίδες από την παραγωγή μιας εταιρείας

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2013 στη Στατιστική Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής ΣΕΙΡΑ Α Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 013 στη Στατιστική για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ., Γ.Β., Α.Ο.Α. και Ε.Ζ.Π.&Υ. 08/0/013 1. [0] Η ποσότητα, έστω Χ, καλίου που περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2 Έλεγχοι Υποθέσεων 7-2 7 Έλεγχοι Υποθέσεων Χρήση της Στατιστικής Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-3 7 Μαθησιακοί Στόχοι Όταν θα έχετε ολοκληρώσει την μελέτη του κεφαλαίου θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 015 Ανάλυση Διακύμανσης Η Ανάλυση Διακύμανσης είναι μία τεχνική που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό;

συγκέντρωση της ουσίας στον παραπόταμο είναι αυξημένη σε σχέση με τον ίδιο τον ποταμό; Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιουνίου 008 στο Μάθημα Στατιστική /07/08. Η πιθανότητα να υπάρχει στο υπέδαφος μιας συγκεκριμένης περιοχής εκμεταλλεύσιμο κοίτασμα πετρελαίου είναι 50%. Μια εταιρεία, που πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Για κάθε πρόβλημα που ακολουθεί, εκτός των ερωτημάτων που διατυπώνονται, να γίνουν (με τη βοήθεια κάποιου στατιστικού πακέτου)

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test

Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Έλεγχος υποθέσεων Ι z-test & t-test Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 53Ε Τομέας Επιστήμης & Τεχνολογίας Τροφίμων Έλεγχος υποθέσεων Συνεχή δεδομένα z-test Student s test (t-test) Ανάλυση παραλλακτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ .Φουσκάκης- Ασκήσεις στους Ελέγχους Υποθέσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΥΣ ΕΛΕΓΧΟΥΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ) Με µια νέα µέθοδο προσδιορισµού του σηµείου τήξης (σ.τ.) µετάλλων προέκυψαν οι παρακάτω µετρήσεις για το µαγγάνιο: 67,

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων

7.1.1 Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων 7.. Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων Όπως ήδη αναφέρθηκε, μία ευρύτατα διαδεδομένη μέθοδος για την εκτίμηση των σταθερών α και β είναι η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Η μέθοδος αυτή επιλέγει εκτιμήτριες

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης

Έλεγχος υπόθεσης: διαδικασία αποδοχής ή απόρριψης της υπόθεσης Ν161_(262)_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 06_01_Έλεγχος_Υποθέσεων Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 1 Υπόθεση: "μπορεί ο αριθμητικός μέσος του δείγματος να είναι ίδιος με τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Πολλαπλές συγκρίσεις Στην ανάλυση διακύμανσης ελέγχουμε την ισότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Έστω τυχαίο δείγμα παρατηρήσεων από πληθυσμό του οποίου η κατανομή εξαρτάται από μία ή περισσότερες παραμέτρους, π.χ. μ. Επειδή σε κάθε δείγμα αναμένεται διαφορετική τιμή του μ, είναι προτιμότερο να επιδιώκεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Εκτιμητική

Εισαγωγή στην Εκτιμητική Εισαγωγή στην Εκτιμητική Πληθυσμός Εκτίμηση παραμέτρου πληθυσμού μ, σ 2, σ, p Δείγμα Υπολογισμός στατιστικού Ερώτηματα: Πόσο κοντά στην πραγματική τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού βρίσκεται η εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Διαστήματα εμπιστοσύνης. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Διαστήματα εμπιστοσύνης Το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα διάστημα αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος

Το τυπικό σφάλμα του μέσου (standard error of mean) ενός δείγματος Το σύμβολο μ απεικονίζει 92.4% το μέσο όρο του πληθυσμού 121 92.4% το μέσο όρο του δείγματος 8 6.1% το μέσο όρο της κατανομής t 0 0% το μέσο όρο της κανονικής κατανομής 2 1.5% Το σύμβολο X απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ A εξάμηνο 2009-2010 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΟΙΝΩΝΙΟΒΙΟΛΟΓΙΑ, ΝΕΥΡΟΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Μεθοδολογία Έρευνας και Στατιστική ΑΝΤΩΝΙΟΣ ΧΡ. ΜΠΟΥΡΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2009-2010 Ποιοτικές και Ποσοτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i)

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i) Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιανουαρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική 7..8. [] Ο ανθρώπινος οργανισμός χρειάζεται καθημερινά από έως 6 mg (mllgrams) καλίου. Η ποσότητα καλίου που περιέχεται στα τρόφιμα

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα : Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Κατανομές Δειγματοληψίας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Α εξάμηνο 2010-2011 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΑΝΘΡΩΠΙΝΩΝ ΠΟΡΩΝ Ποιοτικές και Ποσοτικές μέθοδοι και προσεγγίσεις για την επιστημονική έρευνα users.sch.gr/abouras

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80.

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΤ ΧΟΛΗ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ακαδ. Έτος -3 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 47/8 v.kouras@fμe.aegea.gr Σηλ: 735457 Διωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman 3.4. Ο Συντελεστής ρ του Spearma Έστω (, ), (, ),..., (, ) ένα δείγμα παρατηρήσεων πάνω στο τυχαίο διάνυσμα (, ). Έστω ( ) ο βαθμός ή η τάξη μεγέθους της μεταβλητής όταν αυτή συγκρίνεται με τις άλλες Χ

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ, ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΙΜΟΣ ΜΕΙΝΤΑΝΗΣ, Αναπληρωτής Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, ΕΚΠΑ ΓΙΑΝΝΗΣ Κ. ΜΠΑΣΙΑΚΟΣ, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Οικονομικών

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων ΚΛΑΣΙΚΟΙ ΈΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Ημέσητιμήενόςπληθυσμούείναιίσημε δοθείσα γνωστή τιμή. Έλεγχος για τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών.

Έλεγχος υποθέσεων ΚΛΑΣΙΚΟΙ ΈΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Ημέσητιμήενόςπληθυσμούείναιίσημε δοθείσα γνωστή τιμή. Έλεγχος για τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών. Έλεγχος υποθέσεων ΚΛΑΣΙΚΟΙ ΈΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Ημέσητιμήενόςπληθυσμούείναιίσημε δοθείσα γνωστή τιμή. Έλεγχος για τις μέσες τιμές δύο πληθυσμών. Η μέση τιμή ενός πληθυσμού είναι ίση με δοθείσα γνωστή τιμή

Διαβάστε περισσότερα

Εξαμηνιαία Εργασία Β. Κανονική Κατανομή - Επαγωγική Στατιστική

Εξαμηνιαία Εργασία Β. Κανονική Κατανομή - Επαγωγική Στατιστική 1 ΕΞΑΜΗΝΙΑΙΑ Β ΤΟ ΦΩΤΟΒΟΛΤΑΙΚΟ ΠΑΡΚΟ ΑΣΠΑΙΤΕ Τμήμα Εκπαιδευτικών Ηλεκτρολογίας Εργαστήριο Συλλογής και Επεξεργασίας Δεδομένων Διδάσκοντες: Σπύρος Αδάμ, Λουκάς Μιχάλης, Παναγιώτης Καράμπελας Εξαμηνιαία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες

Διάλεξη 1 Βασικές έννοιες Εργαστήριο SPSS Ψ-4201 (ΕΡΓ) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις αναρτημένες στο: Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5.1 5.8 ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 5. 5.8 5. Ένας υγειονοµικός σταθµός θέλει να ελέγξει αν ο µέσος αριθµός βακτηριδίων ανά µονάδα όγκου θαλασσινού νερού σε µια παραλία υπερβαίνει το επίπεδο ασφαλείας των 9 µονάδων. ώδεκα

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η : μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ): εναλλακτική υπόθεση Σφάλματα εόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγος

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4Β: Έλεγχοι Κανονικότητας Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ

2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2. ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Ας θεωρήσουμε ότι είναι γνωστό από στοιχεία της Παγκόσμιας Οργάνωσης Υγείας ότι οι τιμές χοληστερίνης στον πληθυσμό έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα