τεχνολογία Card ορυφορική splitter v3 σκόπευση

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "τεχνολογία Card ορυφορική splitter v3 σκόπευση"

Transcript

1 Card ορυφορική splitter v3 σκόπευση Η «δύσκολη σχέση» του αζιµούθιου και της ανύψωσης µε τις γεωγραφικές συντεταγµένες «Ένας δορυφόρος τοποθετηµένος πάνω από τον Ισηµερινό σε ύψος χιλιόµετρα, έχει τον ίδιο χρόνο περιφοράς µε τη Γη και κατά συνέπεια εµφανίζεται ακίνητος. Τρεις τέτοιοι δορυ - φόροι σε απόσταση 120 µοιρών µεταξύ τους, µπορούν να καλύψουν όλο τον πλανήτη». Έτσι άρχιζε το άρθρο «Εξωγήινες µεταδόσεις» που δηµοσίευσε το φθινόπωρο του 1945 ένας ευφά - νταστος µηχανικός, ο Arthur Clarke, στο οποίο πρόβλεψε την επανάσταση των δορυφο ρικών επικοινωνιών. Το άρθρο πέρασε απαρατήρητο, αφού προπορευόταν των δυνατοτήτων, αλλά και των αναγκών της εποχής του. Φυσικό ήταν να µην κατοχυρώσει την ιδέα του και να χάσει τα δι - και ώ µατα που απέρρεαν από αυτή. Αργότερα δηµοσίευσε ένα άλλο άρθρο, µε τίτλο «Πώς έχασα ένα δισεκατοµµύριο δολάρια!». Θα αναφερθούµε στο σπουδαίο αυτόν άνθρωπο - που εδώ και λίγες ηµέρες βρίσκεται πλέον πιο µακριά κι από τους δορυφόρους - στο επόµενο τεύχος. Έχετε αναρωτηθεί πόσο χρόνο χρειάζεται µια δορυφορική κεραία για να «ψάξει» όλο τον ουράνιο θόλο; Όσο κι αν φαίνεται απίστευτο, ο εντοπισµός κάποιου άγνωστου δορυφόρου απαιτεί από 45 ηµέρες έως χρόνια! Η ακρίβεια Γράφει ο Γιώργος Κακαβιάτος σκόπευσης για τις συνηθισµένες εµπορικές δορυφορικές κεραίες είναι 1 µοίρα. Εποµένως, υπάρχουν 360 x 180 = ση- µεία προς ανίχνευση στον ουρανό. Αν για κάθε ένα, µια µηχανοκίνητη κεραία χρειάζεται ένα λεπτό, τότε ο χρόνος ανίχνευσης 134 ΟΡΥΦΟΡΙΚΑ νέα ΜΑΪΟΣ 2008

2 1 Οι δορυφόροι διαγράφουν τριών ειδών τροχιές. Τις πολικές, στις οποίες το επίπεδο περιφοράς διέρχεται από τους γεωγραφικούς πόλους της Γης, τις ισηµερινές ή γεωσύγχρονες, στις οποίες το επίπεδο περιφοράς ταυτίζεται µε το επίπεδο που διέρχεται από το γήινο ισηµερινό και όλες τις άλλες που χαρακτηρίζονται γενικώς ως κεκλιµένες. Οι γεω - στα τικοί δορυφόροι µπορούν να χρησιµοποιήσουν µόνον τις ισηµερινές τροχιές. Οι κατασκοπευτικοί δορυφόροι και οι δορυφόροι χαµηλού ύψους (LEO) χρησιµοποιούν συνήθως τις πολικές τροχιές, ενώ οι δορυ φό ροι του συστήµατος GPS και οι δορυφόροι µέσου ύψους (MEO) κινού νται σε κεκλιµένες τροχιές, µε γωνία που ποικίλει ανάλογα µε την εφαρµογή. είναι λεπτά της ώρας, δηλαδή 1080 ώρες, δηλαδή 45 ηµέρες! Στις «σοβαρές» δορυφορικές κεραίες, όπως αυτές του «ίκτυου Επικοινωνιών Βαθέος ιαστήµατος» (Deep Space Network) που έχουν διάµετρο 70 µέτρα, η ακρίβεια σκοπεύσεως είναι δύο πρώτα λεπτά της µοίρας, δηλαδή 0,03 µοίρες. Εποµένως, τα προς ανίχνευση σηµεία στον ουρανό, αυξάνονται σε (360 x 180): (0,03 x 0,03) = Η κεραία αυτή χρειάζεται περίπου 2 λεπτά για να εστιάσει µεταξύ δύο γειτονικών σηµείων. Εποµένως, ο χρόνος ανίχνευσης γίνεται λεπτά της ώρας, δηλαδή ώρες δηλαδή ηµέρες, δηλαδή χρόνια! Από εκεί φαίνεται η δυσκολία ανίχνευσης και η ακρίβεια που χρειάζεται η σκόπευση του «ουράνιου θόλου» για να γίνει η λήψη κάποιου σήµατος. Στην ακρίβεια αυτή, σηµαντικό ρόλο παίζει η σωστή ρύθµιση των γωνιών του αζιµούθιου και της ανύψωσης. 2 Το αποτύπωµα της δέσµης εκποµπής του δορυφόρου µπορεί να αλλάζει, µε κατάλληλη ρύθµιση του λοβού εκποµπής του συστήµατος κεραιών. Πολύ συχνά, ο ίδιος δορυφόρος έχει διαφορετικά αποτυπώµατα για κάθε έναν από τους ποµπούς του. Το κλειδί της επιτυχίας της δορυφορικής τεχνολογίας είναι το γεγονός ότι από δύο σηµεία εκποµπής και µόνο (τον επίγειο σταθ- µό και το δορυφόρο), µπορεί να σταλεί σήµα σε πλήθος δεκτών διασκορπισµένων σε µια ευρεία γεωγραφική περιοχή. Το µοναδικό πρόβληµα για τον επίγειο δέκτη, είναι η σωστή και ακριβής σκόπευση του δορυφόρου. Εν προκειµένω, θα αναφερθούµε στη σκόπευση των γεωστατικών δορυφόρων, που είναι σχετικά απλή και χρειάζεται να γίνει µία και µοναδική φορά. Η δορυφορική κεραία «γνωρίζει» το σταθερό σηµείο στο οποίο πρέπει να «βλέπει» και παραµένει συνεχώς σταθερή, αφού τα γεωµετρικά στοιχεία της θέσης του δορυφόρου παραµένουν αναλλοίωτα σε σχέση µε το σηµείο λήψης. Το πολύ-πολύ να αλλάζει «σταθερές θέσεις», στοχεύοντας σε διαφορετικούς γεωστατικούς δορυφόρους. Για ό- λες τις άλλες δορυφορικές τροχιές, πολικές και κεκλιµένες (εικόνα 1), η σκόπευση είναι µεταβαλλόµενη και απαιτεί µηχανισµούς 3 Το γεωγραφικό µήκος (λ) και το γεωγραφικό πλάτος (φ) εκφράζουν τις γωνίες απόκλισης από τον Πρώτο Μεσηµβρινό ή Μεσηµβρινό του Greenwich και από το Γεωγραφικό Ισηµερινό της Γης. υψηλής τεχνολογίας για να διατηρηθεί σταθερή, ενώ η λήψη του σήµατος διαρκεί µικρό χρονικό διάστηµα, όσο ο δορυφόρος είναι «ορατός» από το σηµείο λήψης. Η τροχιακή θέση του γεωστατικού δορυφόρου, δεν συσχετίζεται µε τη δυνατότητα λήψης του σήµατος από τον επίγειο σταθ- µό. Βασικό ρόλο σε αυτό παίζει η κατεύθυνση στην οποία εκπέµπεται η δορυφορική δέσµη, καθώς και η ισχύς εκποµπής. Αυτές οι δύο παράµετροι διαµορφώνουν το «αποτύπωµα» (footprint) του δορυφόρου (εικόνα 2). Υπάρχουν δορυφόροι µε τροχιακή θέση παραπλήσια µε το γεωγραφικό πλάτος αρκετών ελληνικών πόλεων, αλλά το σήµα τους δεν φτάνει σ αυτές, ε- νώ λαµβάνεται χωρίς πρόβληµα σε περιοχές που βρίσκονται σε µεγαλύτερη απόσταση. Αυτό συµβαίνει γιατί το κεραιοσύστηµα του δορυφόρου είναι προσανατολισµένο να καλύπτει εκείνες τις περιοχές της γης. 136 ΟΡΥΦΟΡΙΚΑ νέα MΑΪΟΣ 2008

3 Γεωκεντρικό σύστηµα συντεταγµένων Η τροχιά του δορυφόρου σε σχέση µε τη Γη, καθορίζεται µέσω ενός συστήµατος σφαιρικών συντεταγµένων, που περιγράφει τη θέση µε τη βοήθεια τριών παραµέτρων, µιας χωρικής = α- πόσταση και δύο γωνιακών = γωνίες στροφής. Έχει ως κέντρο αναφοράς το κέντρο της Γης. Η θέση του δορυφόρου ορίζεται από ένα διάνυσµα µε αρχή το κέντρο της Γης και τέλος το δορυφόρο. Το διάνυσµα αυτό ονοµάζεται «επιβατική ακτίνα» και έχει µέτρο ίσο µε την απόσταση r από το κέντρο της Γης. Τότε r=r+h,όπουr η ακτίνα της Γης και h το ύψος από την επιφάνεια. Οι υπόλοιπες δύο γωνιακές συντεταγµένες, είναι το γεωγραφικό µήκος λ και το γεωγραφικό πλάτος φ της επιβατικής α- κτίνας. Αυτό το σύστηµα συντεταγµένων ονοµάζεται Γεωκεντρικό ή έσµιο Γεωγραφικό Σύστηµα (εικόνα 4). 4 Το Γεωκεντρικό Σφαιρικό Σύστηµα Συντεταγµένων χρησιµοποιεί ως κέντρο αναφοράς το κέντρο της Γης. Περιγράφει τη θέση κάθε σηµείου της επιφάνειά της, µε τη βοήθεια τριών παραµέτρων - µιας χωρικής r και δύο γωνιακών, που ταυτίζονται µε το γεωγραφικό µήκος λ και το γεωγραφικό πλάτος φ. Γεωγραφικό µήκος και πλάτος Γεωγραφικές συντεταγµένες (εικόνα 3) ονοµάζονται οι δύο γωνιακές παράµετροι, µε τη βοήθεια των οποίων προσδιορίζεται η θέση των σηµείων της επιφάνειας της Γης. Τις γεωγραφικές συντεταγµένες αποτελούν το γεωγραφικό πλάτος και το γεωγραφικό µήκος. Γεωγραφικό πλάτος (latitude) ενός τόπου στην επιφάνεια της γης, ονοµάζεται η γωνία που σχηµατίζεται από τον Ισηµερινό έ- ως το ζητούµενο σηµείο. Συµβολίζεται µε το γράµµα φ. Τογεωγραφικό πλάτος χαρακτηρίζεται Βόρειο Β (North N) ή Νότιο Ν (South S), ανάλογα σε ποιο ηµισφαίριο βρίσκεται ο τόπος. Το γεωγραφικό πλάτος εκφράζεται σε µοίρες, πρώτα και δεύτερα λεπτά, από 0-90 Β ή 0-90 Ν. Η αρχή των µετρήσεων γίνεται από το γεωγραφικό Ισηµερινό, που θεωρείται κατά σύµβαση ότι έχει γεωγραφικό πλάτος 0. Το ελληνικό γράµµα Ν δηλώνει το Νότιο, ενώ το αγγλικό Ν (Νorth) δηλώνει το Βόρειο. Στην αναφορά στίγµατος, πρώτα δίδεται το πλάτος φ. Γεωγραφικό µήκος (longitude) ενός τόπου στην επιφάνεια της γης, ονοµάζεται η γωνία που σχηµατίζεται από τον Πρώτο Μεσηµβρινό έως το ζητούµενο σηµείο. Συµβολίζεται µε το γράµ- µα λ. Κατά σύµβαση, Πρώτος Μεσηµβρινός θεωρείται ο Ισηµερινός που περνάει από την πόλη Greenwich της Αγγλίας. Το γεωγραφικό µήκος χαρακτηρίζεται ως Ανατολικό Α (East E) ή υτικό (West W), ανάλογα σε ποια θέση σε σχέση µε το Γκρήνουιτς βρίσκεται ο τόπος. Το γεωγραφικό µήκος µετράται σε µοίρες, πρώτα και δεύτερα, από Α ή Ηαρχή των µετρήσεων γίνεται από τον πρώτο µεσηµβρινό, που θεωρείται συµβατικά ότι έχει γεωγραφικό µήκος 0. Αζιµούθιο και Ανύψωση Το ακριβές σηµείο σκόπευσης του δορυφόρου από την επίγεια κεραία, υπολογίζεται µε τη βοήθεια δύο γωνιακών παραµέτρων, του αζιµούθιου (azimuth), το οποίο συµβολίζεται µε το γράµµα Α και της ανύψωσης (elevation), η οποία συµβολίζεται µε το γράµµα Ε. Η πρώτη αντιστοιχεί στη γωνία κατά την οποία θα πρέπει να στραφεί οριζοντίως το κάτοπτρο, µε αρχή µέτρησης το γεωγραφικό Νότο, ενώ το άλλο στη γωνία που σχηµατίζεται 5 Το ακριβές σηµείο σκόπευσης του δορυφόρου από την επίγεια κεραία, υπολογίζεται µε τη βοήθεια δύο γωνιακών παραµέτρων, του αζιµούθιου (azimuth), το οποίο συµβολίζεται µε το γράµµα Α και της ανύψωσης (elevation), η οποία συµβολίζεται µε το γράµµα Ε. Η πρώτη παράµετρος αντιστοιχεί στη γωνία κατά την οποία θα πρέπει να στραφεί οριζοντίως το κάτοπτρο, ενώ η άλλη στη γωνία που σχηµατίζεται µεταξύ του οριζόντιου επίπεδου και του σηµείου στο οποίο θα τοποθετηθεί η κεραία. 138 ΟΡΥΦΟΡΙΚΑ νέα ΜΑΪΟΣ2008

4 6 Τα φαινόµενα απατούν! Ο πραγµατικός άξονας λήψης της παράκεντρης (offset) δορυφορικής κεραίας βρίσκεται πιο πάνω από το φαινοµενικό άξονα συµµετρίας του. Η σύγχυση µεταξύ αυτών των δύο αξόνων οδηγεί συχνά σε λανθασµένες ρυθµίσεις και απώλεια σήµατος. Η γωνία ανύψωσης είναι µικρότερη κατά τόσες µοίρες, όσο είναι και το offset του κατόπτρου. Η τιµή αυτή είναι συνήθως 20 µοίρες. µεταξύ του οριζόντιου επίπεδου και του σηµείου στο οποίο θα τοποθετηθεί η κεραία. Τα δύο αυτά µεγέθη εξαρτώνται τόσο α- πό τη γεωγραφική θέση στην οποία βρίσκεται η κεραία, όσο και από την τροχιακή θέση του δορυφόρου (εικόνες 5, 6, 7 & 8). Εποµένως, λαµβάνουν διαφορετικές τιµές για κάθε πόλη και για κάθε δορυφόρο. Οι δύο αυτές γωνίες λέγονται συχνά και «φαινόµενες γωνίες» (look angles). Το ερώτηµα είναι πώς σχετίζονται αυτές οι δύο παράµετροι ρύθ- µισης της σκόπευσης της κεραίας, µε τις γεωγραφικές συντεταγµένες του τόπου λήψης, αλλά και την τροχιακή θέση του δορυφόρου. Πρόκειται για ένα δύσκολο πρόβληµα, που έχει απασχολήσει επί αιώνες τους µαθηµατικούς και τους αστρονόµους! Τότε δεν υπήρχαν βέβαια δορυφόροι, υπήρχαν όµως τα άστρα και οι πλανήτες, στους οποίους εφαρµόζονται τα ίδια µαθηµατικά. Σήµερα, όπου όλα αυτά είναι εύκολα, αρκεί να βάλεις τις γεωγραφικές συντεταγµένες του τόπου σε ένα από τα δεκάδες προγράµµατα που διατίθενται δωρεάν στο Internet και να βρεις τις τιµές για το αζιµούθιο και την ανύψωση, γρήγορα και σωστά. 8 Γεωµετρική απεικόνιση της γωνίας αζιµούθιου. Στη γενική περίπτωση, πρόκειται για γωνία καµπυλόγραµµου τριγώνου, που περιγράφεται µε τα δύσκολα µαθηµατικά της σφαιρικής γεωµετρίας. Στην περίπτωση των γεωστατικών δορυφόρων που κινούνται πάνω στο ισηµερινό επίπεδο, τα πράγµατα είναι πιο απλά και το αζιµούθιο υπολογίζεται πιο εύκολα. Πιθανώς να µην είναι κατανοητό τι ακριβώς υπολογίζει το πρόγραµµα, καθώς δεν γίνεται αναφορά στη γεωµετρία του προβλήµατος και στις τριγωνοµετρικές εξισώσεις που το επιλύουν. 9 Υπολογισµός της ανύψωσης και του αζιµούθιου σκόπευσης ενός γεωστατικού δορυφόρου, από κεραία που βρίσκεται στην επιφάνεια της γης. Η κεραία βρίσκεται σε γεωγραφικό µήκος Λ και γεωγραφικό πλά - τος Φ, ενώ ο δορυφόρος σε γεωγραφικό µήκος λ και γεωγραφικό πλά τος φ = 0. Το σχετικό γεωγραφικό µήκος είναι Λ λ. Με «τριγωνο µετρική επίλυση» του τριγώνου ΟΡS, µετά από πολύπλοκους και εκτετα µέ νους υπολογισµούς, προκύπτει ότι η γωνία ανύψωσης Ε είναι τέτοια, ώστε: 7 Γεωµετρική παράσταση της γωνίας ανύψωσης. Από το γραµµοσκιασµένο καµπυλόγραµµο τρίγωνο και µετά από ακόµη πιο δύσκολους υπολογισµούς, προκύπτει ότι η γωνία του αζιµούθιου Α είναι: 140 ΟΡΥΦΟΡΙΚΑ νέα ΜΑΪΟΣ 2008

5 Αλλά, για τους περισσότερους δέκτες της δορυφορικής λήψης, αυτό δεν είναι πρόβληµα. εν θέλουµε να εµβαθύνουµε στη γεωµετρική σηµασία και τα πολύπλοκα µαθηµατικά, απλώς θέλουµε να δούµε καµιά ταινία! Όσοι πάντως θέλουν να κατανοήσουν λίγο περισσότερο το θέµα, ας διαβάσουν και τη συνέχεια. Έχει αρκετό ενδιαφέρον! Αν ζούσαµε στο κέντρο της Γης, τότε ο προσανατολισµός της κεραίας για τη λήψη του σήµατος κάποιου γεωστατικού δορυφόρου, θα ήταν πολύ εύκολος! Η µοναδική ρύθµιση θα ήταν το αζιµούθιο να γίνει ίσο µε το γεωγραφικό µήκος λ στο οποίο βρίσκεται ο δορυφόρος. Επειδή όµως ζούµε στην επιφάνεια, το πρόβληµα γίνεται πιο δύσκολο στα µαθηµατικά του. Ευτυχώς, όλοι οι τηλεοπτικοί δορυφόροι είναι γεωστατικοί, εποµένως το γεωγραφικό πλάτος τους είναι φ = 0 µοίρες. Θεωρούµε ότι ο ε- πίγειος παρατηρητής, δηλαδή η κεραία, βρίσκεται σε γεωγραφικό µήκος Λ και γεωγραφικό πλάτος Φ. Στην εικόνα 9 σηµειώνεται η διαφορά του γεωγραφικού µήκους κεραίας δορυφόρου, η οποία είναι Λ λ και σηµειώνεται το γεωγραφικό πλάτος Φ της κεραίας. Το κλειδί για την επίλυση του προβλήµατος είναι το τρίγωνο ΟΡS, το οποίο για λόγους καλύτερης κατανόησης είναι σχεδιασµένο και στο κάτω µέρος της εικόνας. Στο τρίγωνο αυτό διακρίνεται µε µπλε χρώµα η γωνία Ε της ανύψωσης. Η γωνία αυτή υπολογίζεται µε «τριγωνοµετρική επίλυση» του τριγώνου ΟΡS. Μετά από πολύπλοκους και εκτεταµένους υπολογισµούς προκύπτει ότι είναι τέτοια, ώστε: όπου εφ είναι η συνάρτηση της εφαπτοµένης της γωνίας Ε και συν η συνάρτηση του συνηµίτονου. Το αζιµούθιο προκύπτει από το καµπυλόγραµµο τρίγωνο που φαίνεται γραµµοσκιασµένο στην εικόνα 9. Σηµειώνεται επίσης µε µπλε χρώµα. Ο υπολογισµός του είναι περισσότερο δύσκολος απ ό,τι στην περίπτωση της απόκλισης - ακόµη και για όσους έ- χουν αρκετές γνώσεις µαθηµατικών - και βρίσκεται ότι είναι: όπου Τοξ εφ είναι η αντίστροφη συνάρτηση της εφαπτοµένης και ηµ η συνάρτηση του ηµίτονου. Η γωνία 180 µοίρες προστίθεται για όσες περιοχές της γης βρίσκονται στο Βόρειο ηµισφαίριο και ο δορυφόρος βρίσκεται δυτικά της κεραίας (όπως είναι η περίπτωση της Ελλάδας και των πιο γνωστών δορυφόρων). Οι υπολογισµοί γίνονται απελπιστικοί στην περίπτωση των δορυφόρων πολικής τροχιάς, ενώ για τους δορυφόρους κεκλιµένης τροχιάς, καλύτερα θα είναι να µην ασχοληθείτε καθόλου µε το θέµα! 1ο Υποκ/µα: οϊράνης 138, Καλλιθέα Αθήνα, Τηλ.: , Fax: , 2ο Υποκ/µα: Επαρχιακή οδός Θεσσαλονίκης - Σίνδου Τ.Κ , Τ.Θ Τηλ.: , Fax: Κεντρικό: Κ. Καραµανλή 130, Θεσσαλονίκη,Τηλ.: , Fax: ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Μάθηµα 4 ο : ορυφορικές τροχιές

Μάθηµα 4 ο : ορυφορικές τροχιές Μάθηµα 4 ο : ορυφορικές τροχιές Στόχοι: Στο τέλος αυτού του µαθήµατος ο σπουδαστής θα γνωρίζει: Tις σηµαντικότερες κατηγορίες δορυφορικών τροχιών Τους παράγοντες που οδηγούν στην επιλογή συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση

Ο χώρος. 1.Μονοδιάστατη κίνηση Ο χώρος Τα χελιδόνια έρχονται και ξανάρχονται. Κάθε χρόνο βρίσκουν μια γωνιά για να χτίσουν τη φωλιά, που θα γίνει το επίκεντρο του χώρου τους. Ο χώρος είναι ένας οργανικός χώρος, όπως εκείνος που αφορά

Διαβάστε περισσότερα

39 40'13.8"N 20 51'27.4"E ή , καταχωρουνται στο gps ως

39 40'13.8N 20 51'27.4E ή , καταχωρουνται στο gps ως ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ,ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΝΝΟΙΩΝ &ΤΡΟΠΟΙ ΚΑΤΑΓΡΑΦΗΣ ΣΕ GPS Το γεωγραφικό πλάτος (latitude) είναι ένα από τα δύο μεγέθη των γεωγραφικών συντεταγμένων με τα οποία προσδιορίζεται η θέση των διαφόρων τόπων και

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας

Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Κοσμάς Γαζέας Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Κοσμάς Γαζέας Σφαιρικό Τρίγωνο Σφαιρικό τρίγωνο λέγεται το μέρος της σφαίρας, το οποίο περικλείεται μεταξύ των τόξων τριών μέγιστων κύκλων, με την προϋπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Η κατακόρυφη ενός τόπου συναντά την ουράνια σφαίρα σε δύο υποθετικά σηµεία, που ονοµάζονται. Ο κατακόρυφος κύκλος που περνά. αστέρα Α ονοµάζεται

Η κατακόρυφη ενός τόπου συναντά την ουράνια σφαίρα σε δύο υποθετικά σηµεία, που ονοµάζονται. Ο κατακόρυφος κύκλος που περνά. αστέρα Α ονοµάζεται Sfaelos Ioannis Τα ουράνια σώµατα φαίνονται από τη Γη σαν να βρίσκονται στην εσωτερική επιφάνεια µιας γιγαντιαίας σφαίρας, απροσδιόριστης ακτίνας, µε κέντρο τη Γη. Τη φανταστική αυτή σφαίρα τη λέµε "ουράνια

Διαβάστε περισσότερα

3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΘΕΣΗΣ τρίγωνο θέσης position triangle astronomical triangle

3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΘΕΣΗΣ τρίγωνο θέσης position triangle astronomical triangle 21 3. ΤΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΘΕΣΗΣ Ως τώρα είδαμε πως ορίζονται διάφορα συστήματα αναφοράς και πως οι συντεταγμένες, σε κάθε σύστημα, αλλάζουν ανάλογα με την διεύθυνση παρατήρησης, τον τόπο και τον χρόνο. Για να γίνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ

ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ ΤΟ ΣΧΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Χαρτογραφία Ι 1 Το σχήμα και το μέγεθος της Γης [Ι] Σφαιρική Γη Πυθαγόρεια & Αριστοτέλεια αντίληψη παρατηρήσεις φυσικών φαινομένων Ομαλότητα γεωμετρικού σχήματος (Διάμετρος

Διαβάστε περισσότερα

1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΣΤΗΝ ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ

1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΣΤΗΝ ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ 3 1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΣΤΗΝ ΟΥΡΑΝΙΑ ΣΦΑΙΡΑ 1.1 Βασικές έννοιες Για τις εφαρμογές της Γεωδαιτικής Αστρονομίας είναι απαραίτητος ο ορισμός συστημάτων συντεταγμένων, στα οποία περιγράφονται οι θέσεις και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων

Κεφάλαιο 5. 5 Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο 5 5 Συστήματα συντεταγμένων Στις Γεωεπιστήμες η μορφή της γήινης επιφάνειας προσομοιώνεται από μια επιφάνεια, που ονομάζεται γεωειδές. Το γεωειδές είναι μια ισοδυναμική επιφάνεια του βαρυτικού

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου

Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου. ρ. Σ.Πατσιοµίτου Στοιχεία και εµβαδόν πρίσµατος και κυλίνδρου ρ. Σ.Πατσιοµίτου Το ορθό πρίσµα και τα στοιχεία του Στη Στερεοµετρία τα παρακάτω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά πρίσµατα. Οι δύο παράλληλες έδρες του λέγονταιβάσεις

Διαβάστε περισσότερα

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο

15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 15 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας και Διαστηµικής 2010 Θέµατα για το Γυµνάσιο 1.- Από τα πρώτα σχολικά µας χρόνια µαθαίνουµε για το πλανητικό µας σύστηµα. Α) Ποιος είναι ο πρώτος και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ 1 η ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 2 ο Συστήματα αστρονομικών συντεταγμένων και χρόνος ΑΣΚΗΣΗ 1 η (α) Να εξηγηθεί γιατί το αζιμούθιο της ανατολής και της δύσεως του Ηλίου σε ένα τόπο,

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 63 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 77 10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ολοκληρώνοντας την συνοπτική παρουσίαση των εννοιών και μεθόδων της Γεωδαιτικής Αστρονομίας θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην αξιοποίηση των μεγεθών που προσδιορίστηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής

Δρ. Απόστολος Ντάνης. Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής Δρ. Απόστολος Ντάνης Σχολικός Σύμβουλος Φυσικής Αγωγής *Βασικές μορφές προσανατολισμού *Προσανατολισμός με τα ορατά σημεία προορισμού στη φύση *Προσανατολισμός με τον ήλιο *Προσανατολισμός από τη σελήνη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A. Οι δορυφόροι του συστήµατος GPS. GPS Block Ι. GPS Block ΙΙ και ΙΙΑ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A. Οι δορυφόροι του συστήµατος GPS. GPS Block Ι. GPS Block ΙΙ και ΙΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ A Οι δορυφόροι του συστήµατος GPS GPS Block Ι Η σειρά δορυφόρων GPS Block Ι (Demonstration) ήταν η πρώτη σειρά δορυφόρων και είχε δοκιµαστικό χαρακτήρα, ακολουθήθηκε από την επόµενη επιχειρησιακή

Διαβάστε περισσότερα

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ

8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 69 8. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΛΑΤΟΥΣ 8.1 Εισαγωγή Υπενθυμίζεται ότι το αστρονομικό πλάτος ενός τόπου είναι η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της κατακορύφου του τόπου και του επιπέδου του ουράνιου Ισημερινού. Ο προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης

Ηλιακήενέργεια. Ηλιακή γεωµετρία. Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης. ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήενέργεια Ηλιακή γεωµετρία Εργαστήριο Αιολικής Ενέργειας Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κατσαπρακάκης Ηλιακήγεωµετρία Ηλιακήγεωµετρία Η Ηλιακή Γεωµετρία αναφέρεται στη µελέτη της θέσης του ήλιου σε σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γεωδαιτική Αστρονομία (Geodetic Astronomy) τρεις δύο γεωειδούς ουράνια σφαίρα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γεωδαιτική Αστρονομία (Geodetic Astronomy) τρεις δύο γεωειδούς ουράνια σφαίρα 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γεωδαιτική Αστρονομία (Geodetic Astronomy) είναι ο κλάδος της Αστρονομίας Θέσης (Positional Astronomy) που ασχολείται με τον προσδιορισμό διευθύνσεων στον χώρο, από σημεία πάνω ή κοντά στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης

1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης 1o ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ «ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΩΚΕΑΝΩΝ» Χάρτες: Προσδιορισμός θέσης Απαραίτητο όλων των ωκεανογραφικών ερευνών και μελετών Προσδιορισμός θέσης & πλοήγηση σκάφους Σε αυτό το εργαστήριο.. Τι περιλαμβάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης)

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ-2 (ο χάρτης) Ο χάρτης ως υπόβαθρο των ΓΣΠ Tα ΓΣΠ βασίζονται στη διαχείριση πληροφοριών που έχουν άμεση σχέση με το γεωγραφικό χώρο, περιέχουν δηλαδή δεδομένα με γεωγραφική

Διαβάστε περισσότερα

ηλιακού μας συστήματος και ο πέμπτος σε μέγεθος. Ηρακλή, καθώς και στην κίνηση του γαλαξία

ηλιακού μας συστήματος και ο πέμπτος σε μέγεθος. Ηρακλή, καθώς και στην κίνηση του γαλαξία Sfaelos Ioannis 1. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΓΗΣ Η Γη είναι ο τρίτος στη σειρά πλανήτης του ηλιακού μας συστήματος και ο πέμπτος σε μέγεθος. έ θ Η μέση απόστασή της από τον Ήλιο είναι 149.600.000 km.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΙΚΑ ΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΥΛΙΚΑ ΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΥΛΙΚΑ ΓΙΑ ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΗΛΙΑΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΗΛΙΑΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Μάθημα 2o Διδάσκων: Επ. Καθηγητής Ε. Αμανατίδης ΔΕΥΤΕΡΑ 6/3/2017 Τμήμα Χημικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Πατρών Περίληψη Ηλιακή

Διαβάστε περισσότερα

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης

ΗλιακήΓεωµετρία. Γιάννης Κατσίγιαννης ΗλιακήΓεωµετρία Γιάννης Κατσίγιαννης ΗηλιακήενέργειαστηΓη Φασµατικήκατανοµήτηςηλιακής ακτινοβολίας ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιο ΗκίνησητηςΓηςγύρωαπότονήλιοµπορεί να αναλυθεί σε δύο κύριες συνιστώσες: Περιφορά

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος: GPS Βρες το δρόμο σου

Τίτλος: GPS Βρες το δρόμο σου Τίτλος: GPS Βρες το δρόμο σου Θέματα: διασταύρωση σφαιρών, συστήματα με συντεταγμένες, απόσταση, ταχύτητα και χρόνος, μετάδοση σήματος Διάρκεια: 90 λεπτά Ηλικία: 16+ Διαφοροποίηση: Πιο ψηλό επίπεδο: μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Αρχές των απεικονίσεων - προβολών Αναπτυκτές επιφάνειες και ο προσανατολισμός τους

Κεφάλαιο Αρχές των απεικονίσεων - προβολών Αναπτυκτές επιφάνειες και ο προσανατολισμός τους Κεφάλαιο 2 Σύνοψη Οι απεικονίσεις στη χαρτογραφία αναφέρονται στην προβολή ή απεικόνιση της επιφάνειας αναφοράς, δηλαδή, του ελλειψοειδούς εκ περιστροφής (ή της σφαίρας) στο επίπεδο στο επίπεδο του χάρτη.

Διαβάστε περισσότερα

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ 61 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 2014 Ώρα: 10:00-13:00 Παρακαλώ διαβάστε πρώτα τα πιο κάτω, πριν απαντήσετε οποιαδήποτε ερώτηση. Γενικές οδηγίες: 1.

Διαβάστε περισσότερα

9. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΗΚΟΥΣ

9. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΗΚΟΥΣ 73 9. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΜΗΚΟΥΣ 9.1 Εισαγωγή Υπενθυμίζεται ότι το αστρονομικό μήκος ενός τόπου είναι η δίεδρη γωνία μεταξύ του αστρονομικού μεσημβρινού του τόπου και του μεσημβρινού του Greenwich. Η γωνία αυτή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1: ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ : Ι. ΖΑΧΑΡΙΑΣ ΑΓΡΙΝΙΟ, 2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 12 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΠΟ 0/04/018 ΕΩΣ 14/04/018 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη 1 Απριλίου 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ε του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 014 Ώρα: 10:00-13:00 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 4) Τα σώματα Α και Β ολισθαίνουν κατά μήκος των δύο κεκλιμένων

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 1

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 1 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 1 Σύστημα γήινων συντεταγμένων Γήινος μεσημβρινός του τόπου Ο Μεσημβρινός του Greenwich (πρώτος κάθετος) Γεωγραφικό μήκος 0

Διαβάστε περισσότερα

Θέµα: Εφαρµογές Παγκόσµιου ορυφορικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) Καρπούζας Ηρακλής Μάρτιος 2008

Θέµα: Εφαρµογές Παγκόσµιου ορυφορικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) Καρπούζας Ηρακλής Μάρτιος 2008 Θέµα: Εφαρµογές Παγκόσµιου ορυφορικού Συστήµατος Εντοπισµού Θέσης (GPS) Καρπούζας Ηρακλής Μάρτιος 2008 ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΟΡΥΦΟΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ GLOBAL POSITIONING SYSTEM (GPS) ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Γενικά

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ Μάθημα 1

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ Μάθημα 1 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: ΓΕΩΚΕΝΤΡΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ Μάθημα 1 Γεωκεντρικό σύστημα παρατήρησης Με εξαίρεση έναν αριθμό από διαστημικές αποστολές, οι παρατηρήσεις των ουράνιων αντικειμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π.

Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π. Β.Π. Ουράνιος Ισηµερινός Ν.Π. Ανάδροµη Φορά Ορθή Φορά Η ορθή και ανάδροµη φορά περιστροφής της Ουράνιας Σφαίρας, όπως φαίνονται από το Βόρειο και το Νότιο ηµισφαίριο, αντίστοιχα Κύκλος Απόκλισης Μεσηµβρινός

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ α. Τι είναι έξαρμα του πόλου υπέρ τον ορίζοντα και γιατί ενδιαφέρει τον ναυτιλλόμενο. β. Να ορίσετε τα είδη των αστέρων (αειφανείς, αφανείς και Αμφιφανείς)και να γράψετε τις συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ (ΤΑΞΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ).

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ (ΤΑΞΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ). ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ (ΤΑΞΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ). Ονοματεπώνυμο: Ημερομηνία... Ατομική εργασία: Παρατήρησε την υδρόγειο σφαίρα καθώς και τον παγκόσμιο χάρτη που βρίσκεται κρεμασμένος στον τοίχο

Διαβάστε περισσότερα

2. Η παρακάτω φωτογραφία δείχνει (επιλέξτε τη µοναδική σωστή απάντηση):

2. Η παρακάτω φωτογραφία δείχνει (επιλέξτε τη µοναδική σωστή απάντηση): 1 ος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισµός Αστρονοµίας για µαθητές Δηµοτικού 1. Το διαστηµικό τηλεσκόπιο Χάµπλ (Hubble) πήρε πρόσφατα αυτή την φωτογραφία όπου µπορείτε να διακρίνετε ένα «χαµογελαστό πρόσωπο».

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ

ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Διδάσκων: Δρ. Εμμανουήλ Θ. Μιχαηλίδης Ασκήσεις #1 Δορυφορικές Τροχιές Άσκηση 1 2

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων Μάθημα 2 Ανατολή-δύση αστέρων Από την σχέση αυτή προκύπτουν δυο τιμές για την ωριαία γωνία Η Δ για την οποία ο αστέρας βρίσκεται στον

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Εκφράζω προς όλους τις θερμές ευχαριστίες μου για την συνεργασία και την βοήθειά τους στην προετοιμασία του τεύχους αυτού.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Εκφράζω προς όλους τις θερμές ευχαριστίες μου για την συνεργασία και την βοήθειά τους στην προετοιμασία του τεύχους αυτού. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το τεύχος αυτό περιέχει τα βασικά στοιχεία της Γεωδαιτικής Αστρονομίας (Geodetic Astronomy) που είναι αναγκαία στους φοιτητές της Σχολής Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών του Ε.Μ.Πολυτεχνείου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS - Global Positioning System) ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS - Global Positioning System) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 10 10.0 ΠΑΓΚΟΣΜΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΘΕΣΗΣ (GPS - Global Positioning System) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το σύστημα GPS επιτρέπει τον ακριβή προσδιορισμό των γεωγραφικών συντεταγμένων μιας οποιασδήποτε θέσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ

ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ Ενότητα 9: Προβολικά Συστήματα (Μέρος 1 ο ) Νικολακόπουλος Κωνσταντίνος, Επίκουρος Καθηγητής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Γεωλογίας

Διαβάστε περισσότερα

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο.

Επειδή ο μεσημβρινός τέμνει ξανά τον παράλληλο σε αντιδιαμετρικό του σημείο θα θεωρούμε μεσημβρινό το ημικύκλιο και όχι ολόκληρο τον κύκλο. ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ Η ιστιοπλοΐα ανοιχτής θαλάσσης δεν διαφέρει στα βασικά από την ιστιοπλοΐα τριγώνου η οποία γίνεται με μικρά σκάφη καi σε προκαθορισμένο στίβο. Όταν όμως αφήνουμε την ακτή και ανοιγόμαστε στο

Διαβάστε περισσότερα

Να το πάρει το ποτάµι;

Να το πάρει το ποτάµι; Να το πάρει το ποτάµι; Είναι η σκιά ενός σώµατος που το φωτίζει ο Ήλιος. Όπως η σκιά του γνώµονα ενός ηλιακού ρολογιού που µε το αργό πέρασµά της πάνω απ τα σηµάδια των ωρών και µε το ύφος µιας άλλης εποχής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας 81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας Εισαγωγή Σε πολλά προβλήματα της Χαρτογραφίας, της Ανώτερης Γεωδαισίας, της Γεωδαιτικής Αστρονομίας και της Δορυφορικής Γεωδαισίας εμφανίζονται γεωμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας 81 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Τυπολόγιο Σφαιρικής Τριγωνομετρίας Εισαγωγή Σε πολλά προβλήματα της Χαρτογραφίας, της Ανώτερης Γεωδαισίας, της Γεωδαιτικής Αστρονομίας και της Δορυφορικής Γεωδαισίας εμφανίζονται γεωμετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία Ενότητα 9: Συστήματα Συντεταγμένων. Κωνσταντίνος Περάκης Ιωάννης Φαρασλής Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις Ιωάννης Φαρασλής Τηλ : 24210-74466, Πεδίον

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες χαρτογραφικών προβολών Το σχήμα της Γης

Κεφάλαιο Βασικές έννοιες χαρτογραφικών προβολών Το σχήμα της Γης Κεφάλαιο 1 Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό εισάγονται οι βασικές έννοιες που διέπουν τις χαρτογραφικές προβολές. Αρχικά ορίζονται οι επιφάνειες που προσομοιώνουν την επιφάνεια της Γης για τις ανάγκες της Χαρτογραφίας.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Ηλιακή γεωμετρία και ακτινοβολία Εισαγωγή

Κεφάλαιο 5: Ηλιακή γεωμετρία και ακτινοβολία Εισαγωγή Κεφάλαιο 5: 5.1. Εισαγωγή Η ηλιακή γεωμετρία περιγράφει τη σχετική κίνηση γης και ήλιου και αποτελεί ένα σημαντικό παράγοντα που υπεισέρχεται στον ενεργειακό ισολογισμό κτηρίων. Ανάλογα με τη γεωμετρία

Διαβάστε περισσότερα

β. Το τρίγωνο που σχηματίζεται στην επιφάνεια της σφαίρας, του οποίου οι πλευρές αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλων, ονομάζεται σφαιρικό τρίγωνο.

β. Το τρίγωνο που σχηματίζεται στην επιφάνεια της σφαίρας, του οποίου οι πλευρές αποτελούν τόξα μεγίστων κύκλων, ονομάζεται σφαιρικό τρίγωνο. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Α ) & ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 19/04/2017 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΝΑΥΣΙΠΛΟΪΑ ΙΙ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο 1) Να χαρακτηρίσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Σεπτέµβριος 2004 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Θέµα 1 (25 µονάδες) Ένα εκκρεµές µήκους l κρέµεται έτσι ώστε η σηµειακή µάζα να βρίσκεται ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής:

Tοπογραφικά Σύμβολα. Περιγραφή Χάρτη. Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Tοπογραφικά Σύμβολα Συνήθως στους χάρτες υπάρχει υπόμνημα με τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται. Τα πιο συνηθισμένα είναι τα εξής: Κεντρική Αρτηρία Ρέμα Δευτερεύουσα Αρτηρία Πηγάδι Χωματόδρομος Πηγή Μονοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

Ειδικά κεφάλαια παραγωγής ενέργειας

Ειδικά κεφάλαια παραγωγής ενέργειας Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ειδικά κεφάλαια παραγωγής ενέργειας Ενότητα 3 (β): Μη Συμβατικές Πηγές Ενέργειας Αν. Καθηγητής Γεώργιος Μαρνέλλος (Γραφείο 208) Τηλ.: 24610 56690,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ

ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2006-2007 ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΟ ΔΟΡΥΦΟΡΩΝ ΔΙΟΝΥΣΟΥ Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 157 80 Ζωγράφος Αθήνα Τηλ.: 210 772 2666 2668, Fax: 210 772 2670 ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗΤΟΙ ΔΟΡΥΦΟΡΟΙ. Ροζ δορυφόροι

ΤΕΧΝΗΤΟΙ ΔΟΡΥΦΟΡΟΙ. Ροζ δορυφόροι ΤΕΧΝΗΤΟΙ ΔΟΡΥΦΟΡΟΙ Ροζ δορυφόροι Ερωτήσεις 1) Ειρηνικές χρήσεις δορυφόρων 2)Στρατιωτικές χρήσεις δορυφόρων; 3)Πλεονεκτήματα - μειονεκτήματα 4)Πως θα είναι στο μέλλον; Ειρηνικές χρήσεις δορυφόρων Έχουν

Διαβάστε περισσότερα

Εγκατάσταση κινητού 1.80µ prime focus στα «ορυφορικά Νέα»

Εγκατάσταση κινητού 1.80µ prime focus στα «ορυφορικά Νέα» Πρόσφατα, στα γραφεία του περιοδικού πραγµατο - ποιήθηκαν 3 εγκαταστάσεις κατόπτρων από την εταιρεία MSG,τις οποίες θα σας περιγρά ψουµε αναλυτικά, ξεκι νώντας από το κάτοπτρο Aris 1.80µ. Prime Focus.

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH TZΕΜΟΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Α.Μ. 3507 ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ 24.11.2005 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΟΥ MILANKOVITCH Όλοι γνωρίζουμε ότι η εναλλαγή των 4 εποχών οφείλεται στην κλίση που παρουσιάζει ο άξονας περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ

5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 37 5. ΔΙΑΤΑΡΑΧΕΣ ΤΩΝ ΚΙΝΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ 5.1 Εισαγωγή Οι κύριες κινήσεις της Γης είναι: μια τροχιακή κίνηση του κέντρου μάζας γύρω από τον Ήλιο και μια περιστροφική κίνηση γύρω από τον άξονα που περνά από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ

ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ Ερασιτεχνικής Αστρονομίας ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΗΣ ΟΥΡΑΝΙΟΥ ΘΟΛΟΥ ΝΙΚΟΣ ΓΙΑΝΝΑΚΟΠΟΥΛΟΣ (Εκπαιδευτικός ΠΕ19-Μεταπτυχιακός φοιτητής ΕΑΠ- Μέλος Αστρονομικής Εταιρείας Πάτρας «Ωρίων») gianakop@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ 2013 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία

Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ Τηλεπισκόπηση - Φωτοερμηνεία Ενότητα 8: Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Γεωμετρικές Διορθώσεις. Κωνσταντίνος Περάκης Ιωάννης Φαρασλής Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΡΥΦΟΡΟΙ. Παπαδοπούλου Σοφιάννα. Περίληψη

ΔΟΡΥΦΟΡΟΙ. Παπαδοπούλου Σοφιάννα. Περίληψη ΔΟΡΥΦΟΡΟΙ Παπαδοπούλου Σοφιάννα Περίληψη Οι δορυφόροι είναι ουράνια σώματα τα οποία μπορεί να μεταφέρουν είτε μια εικόνα ή οτιδήποτε άλλο. Το παρακάτω κείμενο έχει γραφτεί για να εξηγήσει σε τι περίπου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΛΑΝΗΤΗ ΓΗ

ΜΕΤΡΩΝΤΑΣ ΤΟΝ ΠΛΑΝΗΤΗ ΓΗ του Υποπυραγού Αλέξανδρου Μαλούνη* Μέρος 2 ο - Χαρτογραφικοί μετασχηματισμοί Εισαγωγή Είδαμε λοιπόν ως τώρα, ότι η γη θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί και σφαιρική και αυτό μπορεί να γίνει εμφανές όταν την

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτικό υλικό. Μέσα διδασκαλίας: Παιχνίδι Ναυμαχίας (είτε εμπορίου είτε σε φύλλο εργασίας), φύλλα εργασίας, υδρόγειος σφαίρα, internet.

Διδακτικό υλικό. Μέσα διδασκαλίας: Παιχνίδι Ναυμαχίας (είτε εμπορίου είτε σε φύλλο εργασίας), φύλλα εργασίας, υδρόγειος σφαίρα, internet. Διδακτικό υλικό Μάθημα: Αριθμητικός Γραμματισμός Τάξη: Α Ενότητα: Γεωγραφικές και Καρτεσιανές συντεταγμένες. Χρονική διάρκεια: διδακτικές ώρες. Εκπαιδευτικός: Περυσινάκη Ειρήνη, ΣΔΕ Τυλίσου Ηρακλείου Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων- Συστήματα Χρόνου Μάθημα 3

Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α. Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων- Συστήματα Χρόνου Μάθημα 3 Παρατηρησιακή Αστροφυσική Μέρος Α Κεφάλαιο 1: Συστήματα συντεταγμένων- Συστήματα Χρόνου Μάθημα 3 Εφαρμογή: Μεταβολή των ουρανογραφικών συντεταγμένων λόγω της μετάπτωσης του άξονα του κόσμου (προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

2. Ένα μπαλάκι το δένουμε στην άκρη ενός νήματος και το περιστρέφουμε. Αν το μπαλάκι

2. Ένα μπαλάκι το δένουμε στην άκρη ενός νήματος και το περιστρέφουμε. Αν το μπαλάκι 1. Α. Η κίνηση του εκκρεμούς είναι μια ( περιοδική/ ομαλή κυκλική κίνηση) Β. Ένα αυτοκίνητο που κινείται σε κυκλική πλατεία, σίγουρα εκτελεί (κυκλική / ομαλή κυκλική) κίνηση. Γ. Η κίνηση του άκρου ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ερωτήσεις 1. Στην ομαλή κυκλική κίνηση, α. Το μέτρο της ταχύτητας διατηρείται σταθερό. β. Η ταχύτητα διατηρείται σταθερή. γ. Το διάνυσμα της ταχύτητας υ έχει την

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Β Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 2013-2014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η συλλογή των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων

ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ. Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ Στοιχεία χαρτογραφίας Σύστηµα γεωγραφικών συντεταγµένων ρ. Ε. Λυκούδη Αθήνα 2005 Χώρος Η ανάπτυξη της ικανότητας της αντίληψης του χώρου, ως προς τις διαστάσεις του και το περιεχόµενό του είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σφαιρικό σύστημα αναφοράς

Σφαιρικό σύστημα αναφοράς Σφαιρικό σύστημα αναφοράς Ουρανογραφικό σύστημα αναφοράς Αστρονομικό σύστημα αναφοράς Οριζόντιο σύστημα αναφοράς Ισημερινό σύστημα αναφοράς Το τρίγωνο θέσης Αστρικός Χρόνος - 1 Ο αστρικός χρόνος είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 6 ο : ορυφορικές κεραίες

Μάθηµα 6 ο : ορυφορικές κεραίες Μάθηµα 6 ο : ορυφορικές κεραίες Στόχοι: Στο τέλος αυτού του µαθήµατος ο σπουδαστής θα γνωρίζει: Τα βασικά χαρακτηριστικά των δορυφορικών κεραιών Τους σηµαντικότερους τύπους κεραιών που χρησιµοποιούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ :

ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ : ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ -ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Θέμα 1 ον ΘΕΩΡΙΑ : α) Τι καλείται αριθμητική παράσταση και τι καλείται αλγεβρική παράσταση ; β) Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονομία

Εισαγωγή στην Αστρονομία Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 13134 Εξάμηνο: 7 ο Ασκήσεις: 12-1 Εισαγωγή στην Αστρονομία 1. Ο αστέρας Βέγας στον αστερισμό της Λύρας έχει απόκλιση δ=+38 ο 47. α) Σχεδιάστε την φαινόμενη τροχιά του Βέγα στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Γεωδαιτική Αστρονομία

Γεωδαιτική Αστρονομία Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Γεωδαιτική Αστρονομία Ρωμύλος Κορακίτης Αστροφυσικός Αναπλ. Καθηγητής ΕΜΠ romylos@survey.ntua.gr ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ Σφαιρικό σύστημα αναφοράς

Διαβάστε περισσότερα