7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ

Transcript

1

2

3 61 7. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΑΖΙΜΟΥΘΙΟΥ Υπενθυμίζεται ότι αστρονομικό αζιμούθιο Α D μιας διεύθυνσης D, ως προς το σημείο (τόπο) Ο, ονομάζεται το μέτρο της δίεδρης γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ του επιπέδου του αστρονομικού μεσημβρινού του τόπου και του κατακορύφου επιπέδου που περιέχει το D. Η γωνία αυτή μετριέται κατά την ανάδρομη φορά (από το Βορρά προς την Ανατολή). x Σχήμα 7.1 Αν ήταν υλοποιημένη η διεύθυνση του μεσημβρινού, το αζιμούθιο Α D θα μπορούσε να μετρηθεί απευθείας. Επειδή αυτό δεν συμβαίνει συνήθως, πρέπει είτε - να προσδιοριστεί η διεύθυνση του μεσημβρινού, είτε - να μετρηθεί η γωνία x που σχηματίζεται μεταξύ του κατακορύφου κύκλου του D και του κατακορύφου κύκλου ενός ουρανίου σώματος (π.χ. άστρου) S κάποια χρονική στιγμή και, ταυτόχρονα, να υπολογιστεί το αζιμούθιο Α S του ουρανίου σώματος για την ίδια χρονική στιγμή, οπότε: Α D = Α S + x Στην πράξη, χρησιμοποιείται η δεύτερη μέθοδος, εκτός της περίπτωσης προσεγγιστικού μόνο προσανατολισμού, όπότε και η πρώτη είναι ικανοποιητική.

4 Προσδιορισμός της διεύθυνσης του μεσημβρινού Από τον Πολικό αστέρα Επειδή ο Πολικός αστέρας (α UMi) βρίσκεται πολύ κοντά στον Βόρειο ουράνιο πόλο, το αζιμούθιό του είναι πάντα μικρό, με ακρότατες τιμές περίπου ± 1 secφ. Επομένως, η οριζόντια ανάγνωση του Πολικού αντιστοιχεί στην οριζόντια ανάγνωση του μεσημβρινού με την παραπάνω ακρίβεια. Αυτή η ακρίβεια δεν αρκεί για τις απαιτήσεις της γεωδαισίας, παρά μόνο αν χρησιμοποιείται για να δώσει μια αρχική τιμή και πρόκειται ν ακολουθήσει ακριβέστερος προσδιορισμός με άλλη μέθοδο. Σχήμα 7.2 Στο σχήμα 7.2 παρουσιάζεται μια αναπαράσταση του βορινού τμήματος του ουρανού, όπως φαίνεται από την Ελλάδα ένα καλοκαιρινό βράδυ. Για τον εντοπισμό του Πολικού αστέρα μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι αστερισμοί της Μεγάλης Άρκτου (UMa) ή της Κασσιόπης (Cas), που είναι αειφανείς. Η Μεγάλη Άρκτος (αριστερά στο σχήμα 7.2) αναγνωρίζεται αμέσως από το χαρακτηριστικό της σχήμα κατσαρόλας. Στην προέκταση του ευθυγράμμου τμήματος που συνδέει τα λαμπρά πλευρικά άστρα και σε 5πλάσια περίπου απόσταση βρίσκεται ο Πολικός αστέρας (Polaris), που είναι το πιο ευδιάκριτο άστρο της περιοχής και ορίζει το άκρο της ουράς της Μικρής Άρκτου. Εύκολα αναγνωρίζεται και ο αστερισμός της Κασσιόπης, με το χαρακτηριστικό σχήμα ανοιχτού W (κάτω δεξιά στο σχήμα 7.2). Η ευθεία που ξεκινά από το κεντρικό άστρο του W, περίπου κάθετα στο μικρότερο σκέλος του, οδηγεί στον Πολικό Από τα ίσα ύψη ενός άστρου Κάθε άστρο βρίσκεται στο ίδιο ύψος δυο φορές κάθε 24ωρο και μάλιστα οι δυο αντίστοιχες θέσεις είναι συμμετρικές ως προς τον μεσημβρινό. Αν λοιπόν για δυο

5 63 θέσεις ίσου ύψους διαβάσουμε τις αναγνώσεις του οριζοντίου δίσκου του θεοδόλιχου, η μέση τιμή τους δίνει την οριζόντια ανάγνωση της διεύθυνσης του μεσημβρινού. Πλεονέκτημα της μεθόδου είναι ότι δεν χρειάζεται γνώση των συντεταγμένων (Φ,Λ) του τόπου ούτε των συντεταγμένων (α,δ) του άστρου. Επειδή όμως το ύψος ενός άστρου μεταβάλλεται αισθητά μόνο σε διευθύνσεις μακριά από τον μεσημβρινό, το μειονέκτημα της μεθόδου είναι ότι πρέπει να μεσολαβήσει μεγάλο χρονικό διάστημα (μερικές ώρες) ανάμεσα στις παρατηρήσεις, με συνέπεια να μη μπορεί να ελεγχθεί η μεταβολή της διάθλασης και να μειώνεται η ακρίβεια του προσδιορισμού. 7.2 Προσδιορισμός απο το αζιμούθιο ενός ουρανίου σώματος Για να προσδιοριστεί το αστρονομικό αζιμούθιο ενός σημείου μέσω του αζιμουθίου ενός ουρανίου σώματος, πρέπει το τελευταίο να υπολογιστεί από το τρίγωνο θέσης. Για το σκοπό αυτό απαιτείται να είναι γνωστό το αστρονομικό πλάτος Φ του σημείου στάσης, η απόκλιση δ του παρατηρούμενου ουρανίου σώματος και να προσδιοριστεί ένα ακόμη στοιχείο, που μπορεί να είναι είτε η ωριαία γωνία του h, είτε η ζενίθια απόστασή του z κάποια χρονική στιγμή. Στην πρώτη περίπτωση απαιτείται, κατ αρχήν, γνώση του αστρονομικού μήκους Λ του τόπου, της ορθής αναφοράς α του σώματος και της χρονικής στιγμής της παρατήρησης. Στην δεύτερη περίπτωση χρειάζεται μέτρηση των μετεωρολογικών συνθηκών, για την διόρθωση της επίδρασης της αστρονομικής διάθλασης Προσδιορισμός του αζιμουθίου από την ωριαία γωνία άστρου Η ωριαία γωνία δεν μετριέται κατευθείαν. Το μετρούμενο μέγεθος είναι ο χρόνος τη στιγμή της διάβασης του άστρου από το κατακόρυφο νήμα, δηλαδή όταν το άστρο περνάει από γνωστή οριζόντια ανάγνωση. Τότε η ωριαία γωνία είναι, ως γνωστόν: h = θ + Λ -α Από την επίλυση του τριγώνου θέσης προκύπτει ότι το αστρονομικό αζιμούθιο Α S του άστρου δίνεται από τη σχέση: sin h Α S =arctan cosφ tan δ sin Φ cos h Κατά τον υπολογισμό του αζιμουθίου A S του άστρου από την σχέση αυτή μπορεί να υπάρχουν συστηματικά σφάλματα από διάφορες πηγές. Συνήθως, οι ουρανογραφικές συντεταγμένες (α,δ) του άστρου είναι γνωστές με αρκετή ακρίβεια. Πιθανόν όμως να υπάρχει μικρότερη ακρίβεια (δηλαδή άγνωστο συστηματικό σφάλμα) στις αστρονομικές συντεταγμένες (Φ,Λ) ή/και σφάλμα χρονομέτρου. Η τυχόν ύπαρξη σφαλμάτων στο πλάτος (δφ) και στην ωριαία γωνία (δh) προκαλεί σφάλματα δα Φ και δα h στη τιμή του αζιμουθίου, αντίστοιχα. Τα επιμέρους αυτά σφάλματα υπολογίζονται με την υπόθεση ότι οι μικρές αυτές ποσότητες σχετίζονται μεταξύ τους με την ίδια συνάρτηση που συνδέει τα αντίστοιχα διαφορικά (απειροστές ποσότητες). Επομένως, η διαφόριση των καταλλήλων σχέσεων του τριγώνου θέσης οδηγεί στους ακόλουθους τύπους για τα σφάλματα: δα Φ =sin A cot z δφ δα h =cosφ tan Φ cos Α cot z δh

6 64 Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα: Η επίδραση του σφάλματος δφ στον υπολογισμό του αζιμουθίου εξαρτάται από το αζιμούθιο και το ύψος στα οποία παρατηρείται το άστρο. Το σφάλμα δαφ μεγαλώνει όσο μικραίνει η ζενίθια απόσταση του άστρου, ενώ μηδενίζεται για Α=0 ο ή 180 ο, δηλαδή όταν το άστρο περνάει από τον μεσημβρινό. Το μέγεθος της επίδρασης του σφάλματος δh στην ακρίβεια του αζιμουθίου εξαρτάται από τη θέση στην οποία παρατηρείται το άστρο και από το πλάτος του τόπου. Το σφάλμα δα h μηδενίζεται όταν tan Φ=cos Α cot z, που ισχύει όταν η παραλλακτική γωνία του άστρου είναι 90 ο, δηλαδή όταν παρατηρείται στη θέση της μέγιστης αποχής του. Οι δύο παραπάνω συνθήκες είναι αντιφατικές και δεν μπορεί να πληρούνται ταυτόχρονα. Όμως με παρατήρηση του άστρου και στις δύο θέσεις της μέγιστης αποχής του ή με παρατήρηση δύο αστέρων (ενός στην ανατολική και ενός στη δυτική θέση μέγιστης αποχής) με ίδια, κατά το δυνατόν, τιμή απόκλισης δ τα σφάλματα δαφ είναι αντίθετα και τα σφάλματα δαh μηδενίζονται. Επομένως, ο μέσος όρος του αζιμουθίου που προσδιορίζεται από το ζεύγος των παρατηρήσεων δεν έχει συστηματικό σφάλμα Προσδιορισμός του αζιμουθίου με τον Πολικό αστέρα Μια ειδική περίπτωση είναι ο προσδιορισμός του αζιμουθίου με παρατήρηση του Πολικού. Προϋπόθεση για την εφαρμογή της μεθόδου αυτής είναι η δυνατότητα καταγραφής του χρόνου παρατήρησης, όπως συμβαίνει άλλωστε και στην γενική μέθοδο Ο Πολικός αστέρας έχει το πλεονέκτημα ν αναγνωρίζεται πολύ εύκολα. Επειδή διαγράφει ένα μικρό κύκλο γύρω από το Βόρειο ουράνιο πόλο, για τόπους του βορείου ημισφαιρίου με μικρά και μεσαία πλάτη, το αζιμούθιό του είναι πάντα κοντά στο 0. Επομένως, όταν και η ζενίθια απόστασή του είναι μεγάλη (πράγμα που συμβαίνει επίσης σε μικρά και μεσαία πλάτη) η επίδραση του δφ στο σφάλμα του αζιμουθίου είναι πολύ μικρή. Επιπλέον, για μικρά πλάτη (οπότε και ο πόλος βρίσκεται σε μικρό ύψος), η επίδραση του δh στο σφάλμα του αζιμουθίου είναι επίσης μικρή. Τέλος, ο Πολικός κινείται πολύ αργά και, κατά συνέπεια, διευκολύνεται η σκόπευση. Συνεπώς, ο Πολικός είναι ιδιαίτερα κατάλληλος στόχος για τον προσδιορισμό του αζιμουθίου από τόπους όπως η Ελλάδα Προσδιορισμός του αζιμουθίου από παρατηρήσεις άστρων στη θέση μέγιστης αποχής Ο προσδιορισμός του αστρονομικού αζιμουθίου μιας διεύθυνσης μπορεί να γίνει με παρατηρήσεις αστέρων κατά τη διάβασή τους από τη θέση της μέγιστης αποχής τους, χωρίς να γίνεται καταγραφή του χρόνου παρατήρησης. Όταν ένα άστρο βρίσκεται στην θέση της μέγιστης αποχής, το αζιμούθιό του δίνεται από την σχέση: A S =arcsin cosδ cosφ

7 65 Στον υπολογισμό του αζιμουθίου από την σχέση αυτή η πιθανή πηγή συστηματικού σφάλματος είναι η χρησιμοποιούμενη τιμή του αστρονομικού πλάτους Φ. Η τυχόν ύπαρξη σφάλματος δφ προκαλεί σφάλμα δα Φ στην τιμή του αζιμουθίου, το οποίο δίνεται από τη σχέση: δa Φ = tanφ tana S δφ Στη θέση της μέγιστης αποχής ισχύει και η σχέση: cosa S = tanφ tanz, επομένως το σφάλμα στον υπολογισμό του αζιμουθίου του άστρου δίνεται από την σχέση: δα Φ = sin A S tan z δφ Το συστηματικό αυτό σφάλμα μπορεί να απαλειφθεί αν γίνουν παρατηρήσεις του άστρου και στις δύο θέσεις μέγιστης αποχής του, την ανατολική και τη δυτική. Λόγω της συμμετρίας των θέσεων ως προς τον αστρονομικό μεσημβρινό, τα σφάλματα που προκύπτουν έχουν αντίθετο πρόσημο και εξουδετερόνονται κατά τον τελικό υπολογισμό του αστρονομικού αζιμουθίου της επίγειας διεύθυνσης από τον μέσο όρο των δύο επιμέρους τιμών του αζιμουθίου, αφήνοντας ανεπηρέαστη την τελική τιμή αζιμουθίου της διεύθυνσης. Όμως, για να μεταβεί ένα άστρο από την ανατολική θέση μέγιστης αποχής στη δυτική μεσολαβεί μεγάλο χρονικό διάστημα. Προτιμάται έτσι η παρατήρηση ζεύγους άστρων, που μπορεί να αντικαταστήσει την διπλή παρατήρηση ενός άστρου. Τα άστρα του ζεύγους πρέπει να έχουν τιμές απόκλισης δ ίδιες ή να διαφέρουν όσο το δυνατόν λιγότερο, ώστε τα σφάλματα δa Φ να είναι πρακτικά αντίθετα. Εφ' όσον υπάρχει δυνατότητα παρατήρησης περισότερων άστρων, αυτά επιλέγονται ώστε να παρατηρηθούν μερικά στη δυτική θέση μέγιστης αποχής και μερικά στην ανατολική, χωρίς το κριτήριο της ισότητας των αποκλίσεων κατά ζεύγη.ο τελικός υπολογισμός του αστρονομικού αζιμουθίου της επίγειας διεύθυνσης προκύπτει με γραμμική συνόρθωση ως εξής: Συνυπολογίζοντας το σφάλμα δa Φ στον προσδιορισμό του αζιμουθίου της διεύθυνσης D προκύπτει η εξίσωση παρατήρησης: A S x i = A D sin A S tan z δφ i όπου ο δείκτης i αναφέρεται στα άστρα που παρατηρήθηκαν. Η εξίσωση είναι της μορφής y = α β x, με άγνωστα στοιχεία τους συντελεστές α, β. Στην περίπτωση αυτή άγνωστοι είναι το αστρονομικό αζιμούθιο Α D της διεύθυνσης προς τον στόχο και το σφάλμα δφ. Η οριζόντια γωνία κάθε άστρου, που συμμετέχει στον υπολογισμό του xi, αναφέρεται στη θέση της μέγιστης αποχής του. Αυτή δεν μετράται άμεσα γιατί δεν μπορεί να προσδιοριστεί η ακριβής θέση και η ακριβής χρονική στιγμή που το άστρο βρίσκεται στη θέση αυτή, ώστε να γίνει καταγραφή στον γεωδαιτικό σταθμό. Ο προσδιορισμός γίνεται με προσαρμογή κατάλληλου πολυωνύμου στο σύνολο των παρατηρήσεων του άστρου γύρω από τη θέση της μέγιστης αποχής. Χρησιμοποιείται ένα πολυώνυμο 2 ου βαθμού, που συνδέει τις μετρημένες ζενίθιες αποστάσεις με τις αντίστοιχες οριζόντιες γωνίες του άστρου, για τον υπολογισμό της τιμής της ζενίθιας απόστασης z o στη θέση μέγιστης αποχής. Κατόπιν, με προσαρμογή δεσμευμένου πολυωνύμου 4 ου βαθμού, ως προς την z o, προσδιορίζεται η οριζόντια γωνία του άστρου στη θέση της μέγιστης αποχής (σχήμα 7.3).

8 66 Σχήμα Προσδιορισμός του αζιμουθίου από τη ζενίθια απόσταση άστρου Όταν δεν μπορεί να προσδιοριστεί με ακρίβεια ο χρόνος παρατήρησης ή δεν είναι γνωστό το αστρονομικό μήκος Λ, αντί να χρησιμοποιηθεί η ωριαία γωνία μπορεί να μετρηθεί η ζενίθια απόσταση z του άστρου S. Σ αυτή την περίπτωση, το αζιμούθιο του S δίνεται από τη σχέση: sin δ sin Φ cos z A S =arccos cosφ sin z Στην περίπτωση αυτή, οι κύριες πηγές συστηματικών σφαλμάτων είναι το σφάλμα δφ στο πλάτος και το σφάλμα δr στην εκτίμηση της διάθλασης, που δημιουργεί ένα συστηματικό σφάλμα δz στη διορθωμένη για διάθλαση ζενίθια απόσταση. Αντίστοιχα με όσα αναφέρθηκαν προηγουμένως, με διαφόριση της σχέσης υπολογισμού του αζιμουθίου, προκύπτουν οι εξής σχέσεις για τα σφάλματα του αζιμουθίου που οφείλονται στην τιμή του πλάτους και την τιμή της ζενίθιας γωνίας του άστρου: δα Φ = 1 sin A S cot z cos Α S tan Φ δφ δα z = 1 sin A S tan Φ cos Α S cot z δz Από τις σχέσεις αυτές προκύπτουν τα ακόλουθα συμπεράσματα: όταν cot z=cos A S tan Φ, που ισχύει όταν η ωριαία γωνία του άστρου είναι 6 h (90 ο ) ή 18 h (270 ο ), μηδενίζεται η επίδραση του σφάλματος δφ στον υπολογισμό της τιμής του αζιμουθίου

9 67 όταν tan Φ=cos A S cot z, που ισχύει όταν το άστρο παρατηρείται στη θέση της μέγιστης αποχής του, ένα σφάλμα δz στη ζενίθια απόσταση (που μπορεί να προέρχεται από σφάλμα δείκτη του οργάνου αλλά, κυρίως, από σφάλμα στη διόρθωση για την αστρονομική διάθλαση) δεν επιδρά στην υπολογιζόμενη τιμή του αζιμουθίου. Σε κάθε περίπτωση, το σφάλμα δα είναι ελάχιστο όταν το sina S είναι απόλυτα μέγιστο, δηλαδή όταν Α S =90 ο ή 270 ο (παρατήρηση στον πρωτεύοντα κατακόρυφο κύκλο). Οι δύο πρώτες συνθήκες πληρούνται ταυτόχρονα μόνο στην ειδική περίπτωση που παρατηρείται ένα άστρο στον ορίζοντα τόπου που βρίσκεται στον Ισημερινό. Σε άλλους τόπους, για να εξαλειφθεί η επίδραση και των δύο σφαλμάτων (δα z και δα Φ ), εκλέγονται και παρατηρούνται δύο άστρα σε ειδικές, συμμετρικές θέσεις (z 1 = z 2 και Α 1 = 360 ο Α 2 ). Λόγω της ύπαρξης του όρου sina S στα σφάλματα, σχηματίζοντας το μέσο όρο των τιμών των δύο αζιμουθίων από τις συμμετρικές ως προς τον μεσημβρινό θέσεις, εξαλείφεται η επίδραση των σφαλμάτων Τυχαία σφάλματα Εκτός από τα συστηματικά σφάλματα των δεδομένων, σε κάθε διαδικασία παρατήρησης υπεισέρχονται και άλλα σφάλματα, όπως τα ακόλουθα: 1. Τα σφάλματα των οργάνων (συνθήκες θεοδόλιχου, οριζοντίωση, βαθμονόμηση δίσκου, σφάλμα συγχρονισμού του χρονομέτρου κλπ) 2. Το τυχαίο σφάλμα λήψης του χρόνου από το χρονόμετρο 3. Το τυχαίο σφάλμα σκόπευσης δs, που προκαλεί σφάλμα στον προσδιορισμό της αντίστοιχης οριζόντιας γωνίας ίσο με δ ΟΓ = δs sin z Τα σφάλματα των οργάνων μπορούν να απαλειφθούν ή να ελαττωθούν με τις γνωστές, από τις τοπογραφικές μετρήσεις, μεθόδους, ενώ η επίδραση των τυχαίων σφαλμάτων περιορίζεται με την αύξηση του πλήθους των παρατηρήσεων. Αν τα τυχαία σφάλματα δα 1, δα 2,... που επιδρούν στο μέγεθος Α είναι στατιστικά ανεξάρτητα, το συνολικό σφάλμα δα υπολογίζεται από την σχέση: δα=± δα 1 2 δα

10 68 Ανακεφαλαίωση Ο προσδιορισμός του αζιμουθίου μιας διεύθυνσης γίνεται έμμεσα, με την βοήθεια του αζιμουθίου ενός ουρανίου σώματος, όπως αυτό παρατηρείται κάποια χρονική στιγμή. Για τον υπολογισμό του αζιμουθίου ενός άστρου πρέπει να είναι γνωστά, τουλάχιστον, το πλάτος του τόπου και η απόκλιση του άστρου. Επιπλέον, πρέπει να υπολογιστεί η ωριαία γωνία του άστρου ή να μετρηθεί η ζενίθια απόστασή του σε κάποια χρονική στιγμή. Αν χρησιμοποιηθεί η ωριαία γωνία (που είναι η συνηθέστερη περίπτωση), πρέπει να είναι επιπλέον γνωστά το μήκος του τόπου και η ορθή αναφορά του άστρου και να μετρηθεί ο χρόνος παρατήρησης. Τυχόν συστηματικά σφάλματα στην ωριαία γωνία ή το πλάτος αντιμετωπίζονται με συμμετρικές, ως προς τον μεσημβρινό, παρατηρήσεις άστρων στη μέγιστη αποχή τους. Ειδική περίπτωση της μεθόδου αυτής είναι η παρατήρηση του Πολικού αστέρα. Αν δεν είναι δυνατή η καταγραφή του χρόνου παρατήρησης, μπορούν να γίνουν παρατηρήσεις άστρων γύρω από την θέση της μέγιστης αποχής τους (ανατολικά και δυτικά του μεσημβρινού). Ο προσδιορισμός της οριζόντιας γωνίας κάθε άστρου στη θέση της μέγιστης αποχής γίνεται με πολυωνυμική προσαρμογή στις μετρήσεις. Τυχόν συστηματικό σφάλμα στη τιμή του πλάτους αντιμετωπίζεται με γραμμική συνόρθωση των παρατηρήσεων όλων των άστρων. Αν μετρηθεί η ζενίθια απόσταση, χρειάζεται διόρθωση για την επίδραση της διάθλασης. Τυχόν συστηματικά σφάλματα στο πλάτος ή την ζενίθια απόσταση αντιμετωπίζονται με συμμετρικές, ως προς τον μεσημβρινό, παρατηρήσεις άστρων κοντά στον πρωτεύοντα κατακόρυφο κύκλο.

11