ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ"

Transcript

1 Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια

2 Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε αν τα σηµεία Α( 1, ) και B( 4,1 ) ανήκουν στη γραµµή c µε εξίσωση x + y y 0 Το σηµείο Α( 1, ) θα ανήκει στη γραµµή c, αν, και µόνο αν: άτοπο. Α 1, δεν ανήκει Άρα το σηµείο στη γραµµή c, δηλαδή Α( 1,) œ c. Γνωρίζουµε ότι: ΣΧΟΛΙΟ ένα σηµείο Mx ( 0,y 0) ανήκει στη γραµ- µή c µε εξίσωση φ ( x,y) 0, αν, και µόνο αν, ισχύει φ ( x 0,y0) 0. (δηλαδή αν, και µόνο αν, οι συντεταγµένες του σηµείου Μ ικανοποιούν την εξίσωση της γραµµής c). Όµοια το σηµείο B( 4,1 ) ανήκει στη γραµµή c, αν, και µόνο αν: που ισχύει. Άρα το σηµείο B( 4,1 ) ανήκει στη γραµµή c, δηλαδή B( 4,1) Œ c. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

3 Φροντιστήρια η Κατηγορία : Συντελεστής Διεύθυνσης Ευθείας και Γωνία που σχηματίζει με τον άξονα x x 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: i) ω π ii) ω π iii) ω π iv) ω 0 i) λ εφ π ii) λ εφ π iii) εν ορίζεται iv) λ εφ0 0 ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουµε ότι αν ω π π, τότε λ εφω 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε που έχει συντελεστή διεύθυνσης: i) λ ii) λ iii) λ iv) λ 1 i) λ εφω ω π ii) λ εφω ω π π π iii) λ εφω ω π 6 iv) λ 1 εφω 1 ω π 4 ΣΧΟΛΙΟ Για τη γωνία ω που σχη- µατίζει µια ευθεία ε µε τον άξονα χχ, γνωρίζουµε ότι είναι πάντοτε: 0 ω< π. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

4 4 Φροντιστήρια 1.4 Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης και τη γωνία που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία: i) η οποία είναι παράλληλη στο διάνυσµα a ( 6, 1). β,0. ii) η οποία είναι παράλληλη στο διάνυσµα 1, 6 6 άρα ω π π 5π 6 6 ii) λ 0 ε λ 0, άρα ω 0 β i) λε λ α ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουµε ότι: όταν µια ευθεία ε και ένα διάνυσµα δ (x,y), x π 0, είναι παράλληλα, τότε έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης: λ y ε λδ x. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

5 Φροντιστήρια 5 η Κατηγορία : Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας από δυο γνωστά σημεία της 1.5 *Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης: i) Της ευθείας, η οποία διέρχεται από τα σηµεία Α( 1,4) και Β(1,6) ii) Της ευθείας, η οποία τέµνει τους άξονες στα σηµεία Γ( 1,0) και (0,). i) 6 4 Eίναι: λαβ 1 1 ( 1) ii) 0 Eίναι: λγ 0 ( 1) 1 ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουµε ότι: Αν A ( x 1,y 1), ( ) µε x πx, τότε 1 y λ x - y 1 -x 1. B x,y, 4η Κατηγορία : Συνθήκες Παραλληλίας και Καθετότητας Ευθειών 1.6 ίνονται τα σηµεία Γ( 1,0) και (0,). Να βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας, η οποία διέρχεται από το Ο και είναι i) παράλληλη στη Γ ii) κάθετη στη Γ. i) Είναι λγ 0. 0 ( 1) Η ευθεία ε είναι παράλληλη στη Γ, µόνο όταν λε λγ. ΣΧΟΛΙΟ Αν ε 1, ε είναι δύο ευθείες µε συντελεστές διεύθυνσης λ 1, λ, τότε: ii) Η ευθεία ε είναι κάθετη στη Γ, µόνο ε 1 // ε <> λ1 λ και όταν λε λγ 1 λ 1 1 ε λ. ε1 ^ ε <> λ1 λ-1 Γ Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

6 6 Φροντιστήρια 5η Κατηγορία : Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας 1.7 Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α( 4, 1) και i) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. ii) έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 0. iii) δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης. i) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται ii) από το σηµείο Α( 4, 1) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, είναι: y 1 x 4 y + 1 ( x+ 4) y x 1 Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α( 4, 1) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ 0, είναι: y 1 0 x 4 y 1 ΣΧΟΛΙΟ Αν έχουµε το σηµείο A ( x 1,y 1) τότε: Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, είναι: y - y λ χ -x. 1 1 Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το Α και δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης, είναι: x x 1 iii) Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α( 4, 1) και δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης, είναι: x 4 Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

7 Φροντιστήρια 7 6η Κατηγορία : Εύρεση Εξίσωσης Ευθείας που διέρχεται από δυο γνωστά σημεία 1.8 Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία: i) Α(,) και Β(4, ) ii) Α( 1, 5) και Β(4, 5) iii) Α(,7) και Β(, 4) i) Είναι λ ΑΒ 5, άρα 4 6 η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι: y 5 ( x ( ) ) 6 y 5x ii) Είναι λαβ 0, άρα 4 1 η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι: ( ) y 0 x y ΣΧΟΛΙΟ Αν έχουµε τα σηµεία A ( x 1,y 1) και B ( x,y ), τότε: Αν x πx, τότε 1 λ ΑΒ y - y1 και η x -x 1 εξίσωση της ΑΒ είναι - ( - ) y y λ χ x Αν x x, τότε η ΑΒ δεν έχει συντελεστή διευθύνσεως γιατί ΑΒ ^ xx. Η εξίσωση της ΑΒ είναι x x 1 iii) Η ΑΒ δεν έχει συντελεστή διεύθυσνης, γιατί τα σηµεία Α και Β έχουν την ίδια τετµηµένη: x1 x. Άρα η εξίσωση της ευθείας ΑΒ είναι: x. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

8 8 Φροντιστήρια 7η Κατηγορία : Κοινά σημεία δύο ή περισσοτέρων ευθειών 1.9 Να βρείτε το κοινό σηµείο των ευθειών µε εξισώσεις y x και y x + 8 Λύνουµε το σύστηµα: y x y x+ 8 x x+ 8 y x+ 8 5x 10 y x+ 8 x y + 8 x y 4 Για να βρούµε το κοινό σηµείο δυο ευθειών, λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεών τους. Αν βέβαια το σύστηµα αυτό είναι αδύνατο, τότε οι δυο αυτές ευθείες δεν έχουν κοινά σηµεία (δηλ. είναι παράλληλες) ενώ αν το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, τότε οι ευθείες αυτές ταυτίζονται.. Άρα το κοινό σηµείο των ευθειών αυτών, είναι το σηµείο Μ (,4 ) Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

9 Φροντιστήρια 9 8η Κατηγορία : Τρείς ευθείες που διέρχονται από το ίδιο σημείο 1.10 Να αποδείξετε ότι οι ευθείες µε εξισώσεις y 5x + 8, y x + 6 και y x + 1 διέρχονται από το ίδιο σηµείο του οποίου να βρείτε τις συντεταγµένες y 5x + 8 Λύνοντας το σύστηµα βρίσκουµε το y x + 6 σηµείο Α( - 1,) που είναι το σηµείο τοµής των δυο πρώτων ευθειών. Το σηµείο αυτό όµως ανήκει και στην τρίτη ευθεία µε εξίσωση y x + 1 γιατί ισχύει ( 1) + 1. Εποµένως και οι τρείς ευθείες διέρχονται από το σηµείο Α( - 1,). Για να αποδείξουµε ότι τρείς ευθείες διέρχονται (και οι τρείς) από το ίδιο σηµείο, αρκεί να αποδείξουµε ότι το ση- µείο τοµής των δύο πρώτων ανήκει και στην τρίτη *Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Μ,1 και τέµνει τις ευθείες y x+ 1 και y - x+ 1 στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, έτσι ώστε το Μ να είναι µέσο του ΑΒ. Οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο Μ(,1) είναι: η κατακόρυφη µε εξίσωση x και οι µη κατακόρυφες ευθείες µε εξισώσεις της µορφής y- 1 λ x-, λœ. Όταν σε µια άσκηση, θέλουµε να εξετάσουµε ΟΛΕΣ τις ευθείες που διέρχονται από κάποιο σηµείο Μχ,y 0 0, πρέπει να εξετάσουµε χωριστά: την κατακόρυφη ευθεία µε εξίσωση x χ 0 (που δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης) και τις µη κατακόρυφες ευθείες µε εξισώσεις της µορφής - ( - ) y y λ x χ, λ Œ 0 0 Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

10 10 Φροντιστήρια Εξετάζουµε πρώτα αν η ευθεία x, είναι λύση του προβλήµατος: Εύκολα βρίσκουµε ότι η ευθεία x τέµνει την y x+ 1 στο σηµείο Β(,) και την y - x+ 1 στο σηµείο Γ(, - 1). Άρα το ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ έχει µέσο το σηµείο µε συντεταγµένες + (-1), + δηλαδή συντεταγµένες του σηµείου Μ. Άρα, η κατακόρυφη x είναι µια από τις ζητούµενες ευθείες.,1, που είναι οι Εξετάζουµε τώρα αν υπάρχει τιµή του λœ, ώστε η ευθεία y- 1 λ ( x- ) να είναι επίσης λύση του προβλήµατος. y- 1 λ x- µε την y x+ 1, λύνουµε το Για το σηµείο τοµής Β της Ïy- 1 λ x- Ïx+ 1-1 λx-λ σύστηµα: Ì Ì Ó y x+ 1 Ó y x+ 1 Ïλ λx-x Ì Ó y x+ 1 Ï( λ- 1x ) λ λπ1 Ïx λ Ï x λ Ì λ-1 λ-1 Ì Ì. Ó y x+ 1 Óy x+ 1 λ λ λ 1 λ 1 y Ó λ-1 λ-1 λ -1 Άρα Β λ λ 1 (, λ-1 λ- - 1 ), µε τον περιορισµό βέβαια λ π 1. (Αν λ 1 το σύστηµα είναι αδύνατο, οπότε οι ευθείες δεν τέµνονται). y- 1 λ x- µε την y - x+ 1, λύνουµε το Για το σηµείο τοµής Γ της Ïy- 1 λ x- σύστηµα: Ì Γ λ, 1-λ Ó y - x+ 1 λ+ 1 λ + 1, λ π- 1. Το σηµείο Μ(,1) θα είναι µέσο του ΒΓ, αν και µόνο αν λ λ και όµοια βρίσκουµε Ï1 + Ï λ + λ 4 λ - 1 λ+ 1 λ- 1 λ + 1 Ì και Ì και 1 λ -1 1-λ Ó ( + ) 1 λ -1 1-λ λ- 1 λ+ 1 + Ó λ- 1 λ+ 1 Ï λ( λ+ 1) + λλ ( - 1) 4( λ+ 1)( λ -1) Ì και. ( λ- 1)( λ+ 1) + ( 1-λ)( λ- 1) ( λ+ 1)( λ -1) Ó Οι εξισώσεις όµως αυτές δεν συναληθεύουν για καµία τιµή του λ, αφού η πρώτη γράφεται λ + λ + λ - λ 4 λ (αδύνατη). Έτσι η µόνη λύση του προβλήµατός µας, είναι η κατακόρυφη ευθεία x. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

11 Φροντιστήρια 11 9η Κατηγορία : Κοινά σημεία μιας ευθείας με τους άξονες 1.1 Να βρείτε τις συντεταγµένες των σηµείων τοµής της ευθείας ε µε εξίσωση y x 5 µε τους άξονες x x και y y. Για τον άξονα x x : Λύνουµε το σύστηµα y x 5 5 y 0 x. y 0 Άρα η ευθεία ε τέµνει τον άξονα στο σηµείο A 5 (,0) x x. Για τον άξονα yy : Λύνουµε το σύ- x 0 στηµα y x 5 x 0 y 5. Άρα η ευθεία ε τέµνει τον άξονα yy B 0, - 5. στο σηµείο Για τους άξονες xx και y y γνωρίζουµε ότι: Ο xx έχει εξίσωση y 0 Ο y y έχει εξίσωση x 0. Εποµένως για να βρούµε τα σηµεία τοµής µιας ευθείας ε µε τους άξονες, για τον άξονα xx: θέτουµε y 0 στην εξίσωση της ευθείας. για τον άξονα y y: θέτουµε x 0 στην εξίσωση της ευθείας. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

12 1 Φροντιστήρια 10η Κατηγορία : Συνευθειακά Σημεία 1.1 *Να δείξετε ότι τα σηµεία Α(1, 1), Β(,0) και Γ( 1, ) είναι συνευθειακά. 1 ος 0 -(-1) τρόπος:έχουµε λab 1 και -1 --(-1) λaγ 1. Εποµένως, λab λaγ, -1-1 οπότε οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλες και εφόσον έχουν κοινό το σηµείο Α θα ταυτίζονται. Άρα, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να α- ποδείξουµε ότι οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλες, δηλαδή λ λ ΑΒ AΓ (υπό την προϋπόθεση βέβαια ότι ορίζονται οι συντελεστές διευθύνσεως) ος τρόπος: Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης 0 -(-1) λab 1 και αφού διέρχεται από -1 το σηµείο Β(,0) έχει εξίσωση y- 0 1x ( - ) y x-. Το σηµείο Γ( 1, ) ανήκει στην ευθεία αυτή, γιατί Εποµένως, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να α- ποδείξουµε ότι το ένα από τα τρία αυτά σηµεία (π.χ. το Γ) ανήκει στην ευθεία που ορίζουν τα άλλα δυο σηµεία Α και Β. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

13 Φροντιστήρια Να αποδείξετε ότι τα σηµεία Α(α 1,α + 1), Β(β +,4 β + 9) και Γ( γ,9 γ ) είναι συνευθειακά για κάθε τιµή των α,β,γ. Έχουµε ΑΒ και ΑΓ ( β + ( α 1,4β ) + 9 ( α + 1) ) ( β α+ 4,4β α + 8) ( β α+ 4,( β α + 4) ) ( β α+ 4) ( 1,), άρα ΑΒ // ( 1, ). ( γ ( α 1,9 ) γ ( α + 1) ) ( γ α + 4, γ α + 8) γ α + 4,( γ α + 4) ( γ α + 4) ( 1,), άρα ΑΓ // ( 1,) Εποµένως, τα διανύσµατα ΑΒ και ΑΓ είναι και τα δυο παράλληλα προς το διάνυσµα ( 1, ), οπότε είναι και µεταξύ τους παράλληλα.. Για να αποδείξουµε ότι τρία σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά, αρκεί να αποδείξου- µε ότι τα διανύσµατα AB και AΓ είναι παράλληλα, δηλαδή ότι det ( AB,AΓ ) 0 (ο τρόπος αυτός εφαρµόζεται και στην περίπτωση που δεν ορίζονται οι συντελεστές διευθύνσεως των διανυσµάτων) Άρα οι ευθείες ΑΒ και ΑΓ είναι παράλληλες και εφόσον έχουν κοινό το σηµείο Α θα ταυτίζονται. Άρα, τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

14 14 Φροντιστήρια 11η Κατηγορία : Γενική Μορφή Εξίσωσης Ευθείας 1.15 Να βρείτε τους συντελεστές διεύθυνσης των παρακάτω ευθειών: i) ε 1 :x y 5 0 ii) ε : x y 5 iii) ε 1 :x+ 4y 0 iv) ε 4 i) Είναι A και B-π 0, οπότε λ - Α -. Β - ii) Είναι A- και B π 0, οπότε λ - Α - -. Β iii) Είναι A και B 4π 0, οπότε λ - Α Β 4 iv) Είναι A και B 0 οπότε δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης (είναι κάθετη στον άξονα x x ). Γνωρίζουµε ότι η ευθεία µε εξίσωση Ax+ By + Γ 0: Αν B π0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ- Β Α. Αν B 0 είναι κάθετη στον άξονα xx και δεν έχει συντελεστή διεύθυνσης Για ποιες τιµές του λ παριστάνει ευθεία η εξίσωση λ 4 x λ 4 λ 4 y + λ λ 0 (1); Η εξίσωση (1) ΕΝ παριστάνει ευθεία µόνο όταν ισχύουν και οι δυο παρακάτω σχέσεις: λ 4 0 λ ή λ και και. λ 4λ 4 0 λ ή λ ΣΧΟΛΙΟ Γνωρίζουµε ότι η εξίσωση Ax+ By + Γ 0 ΕΝ παριστάνει ευθεία µόνο όταν A 0 και B 0. Παρατηρούµε ότι για λ ισχύουν και οι δυο παραπάνω σχέσεις, οπότε για την τιµή αυτή του λ, η δοσµένη εξίσωση, δεν παριστάνει ευθεία. Εποµένως για κάθε λœ -{} η (1) παριστάνει ευθεία. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

15 Φροντιστήρια 15 1η Κατηγορία : Ζεύγη Ευθειών 1.17 *Να αποδείξετε ότι η εξίσωση Έχουµε: x + 4xy + 4 y παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; x 4xy 4 y x + y ( x + y - 1x )( + y + 1) 0 x + y ή x + y Οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο παράλληλες µεταξύ τους ευθείες Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x + xy - y + x+ y 0 παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; Η εξίσωση x + xy - y + x+ y 0 γράφεται ισοδύναµα x + ( y + 1x ) + (- y + y) 0 και θεωρούµενη ως εξίσωση β βαθµού ως προς τον άγνωστο x, έχει διακρίνουσα β - 4αγ ( y y + y) 9 y + 6 y y - 16 y 5y - 10 y + 1 ( 5 y -1) 0 ( y 1) ( 5y 1) - + ± - οπότε x -( y + 1) ± ( 5y -1) x 4 -y y -1 -y -1-5y + 1 x ή x 4 4 y - y -1-8y x ή x - y 4 4 x- y ή x + y 0 Οι εξισώσεις αυτές παριστάνουν δύο κάθετες µεταξύ τους ευθείες. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

16 16 Φροντιστήρια 1η Κατηγορία : Διάνυσμα Παράλληλο ή Κάθετο σε Ευθεία 1.19 ίνεται η ευθεία ε µε εξίσωση x- y Να βρεθούν τρία διανύσµατα παράλληλα και τρία διανύσµατα κάθετα στην ευθεία ε. Η ευθεία ε έχει συντελεστή διεύθυνσης λ-. - Εποµένως κάθε διάνυσµα παράλληλο προς την ε θα έχει επίσης συντελεστή διεύθυνσης. Τέτοια διανύσµατα είναι: α,, β ( 4,6) και γ- ( 8, -1). Επίσης κάθε διάνυσµα κάθετο στην ε θα έχει συντελεστή διεύθυνσης -. δ, - ε-9,6 ζ 00, -00. Τέτοια διανύσµατα είναι:, και Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

17 Φροντιστήρια 17 14η Κατηγορία : Γωνία δυο Ευθειών 1.0 Na βρεθεί η οξεία γωνία των ευθειών ε 1 : x y 5 0 και ε : x y Η ευθεία ε 1 : x y 5 0 έχει συντελεστή διεύθυνσης λ δ,. διάνυσµα 1, οπότε είναι παράλληλη στο Όµοια η ευθεία ε : x y έχει συντελεστή διεύθυνσης λ - - δ 1,., οπότε είναι παράλληλη στο διάνυσµα Για να προσδιορίσουµε το συνηµίτονο της γωνίας δυο ευθειών, θεωρούµε δυο διανύσµατα παράλληλα µε τις ευθείες αυτές και προσδιορίζουµε το συνηµίτονο της γωνίας των δυο αυτών διανυσµάτων. Υπολογίζουµε το συνηµίτονο της γωνίας φ των διανυσµάτων δ 1 και δ : δ1 δ 1 + συνφ δ 1 δ ο Εποµένως φ 0. Η γωνία αυτή των διανυσµάτων δ 1 και δ είναι ίση µε την ο- ξεία γωνία των ευθειών ε 1 και ε. φ φ δ ε δ 1 ε 1 Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

18 18 Φροντιστήρια 15η Κατηγορία : Γεωμετρικοί Τόποι 1.1 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ( λ+ 1,λ + ), λ. Έστω Μ ( x,y ), τυχαίο σηµείο του γεω- µετρικού τόπου. x λ + 1 Τότε είναι: y λ + και απαλείφοντας τον αριθµό λ από τις δυο αυτές εξισώσεις, έχουµε: λ x 1 y x ( 1) + λ x 1 y x 1. Για να προσδιορίσουµε το γεωµετρικό τόπο ενός µεταβλητού σηµείου Μ, θεωρούµε τυχαίο σηµείο Μ( x,y ) του ζητούµενου γεωµετρικού τόπου και προσπαθούµε να προσδιορίσουµε την εξίσωση που ικανοποιούν οι συντεταγµένες x και y του ση- µείου Μ. ηλαδή οι συντεταγµένες του τυχαίου σηµείου Μ ( x,y ) του γεωµετρικού τόπου ικανοποιούν την εξίσωση y x- 1. Άρα ο ζητούµενος γεωµετρικός τόπος είναι η ευθεία µε εξίσωση y x- 1. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

19 Φροντιστήρια 19 16η Κατηγορία : Απόσταση σημείου από Ευθεία 1. Να βρεθούν οι αποστάσεις του σηµείου Ρ(,) από τις ευθείες µε εξισώσεις ε 1 : 5x + 1y 0 και ε : y x 5. Η απόσταση του σηµείου Ρ(,) από την ευθεία ε 1 : 5x+ 1y 0 είναι: dp,ε ( 1) Γνωρίζουµε ότι η απόσταση του σηµείου Mx ( 0,y 0) από την ευθεία ε : Ax+ By + Γ 0 είναι d( M,ε) Ax + By + Γ 0 0 A + B Η εξίσωση της ευθείας ε : y x 5 γράφεται ισοδύναµα y x 15 x y 15 0 και η απόσταση του σηµείου Ρ(,) από την ευθεία αυτή είναι: dp,ε Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

20 0 Φροντιστήρια 17η Κατηγορία : Απόσταση δυο Παραλλήλων Ευθειών 1. Να βρεθεί η απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε 1 : 4x y και ε :4x y Βρίσκουµε πρώτα ένα τυχαίο σηµείο της ε 1 : Για x 0, από την εξίσωση ε 1 : 4x y βρίσκουµε ότι y y 7. Α 0, 7 ανήκει στην ε 1. Άρα, το σηµείο Η απόσταση των ε 1 και ε είναι ίση µε την απόσταση του σηµείου Α 7 ( 0, ) της ε 1 Για να υπολογίσουµε την απόσταση δυο παραλλήλων ευθειών ε 1 και ε, βρίσκουµε πρώτα ένα σηµείο Α της ευθείας ε 1 και υπολογίζουµε την απόσταση του σηµείου Α από την ευθεία ε. ηλαδή: d ε,ε d A,ε. 1 από την ευθεία ε :4x y ηλαδή: da,ε d ε,ε Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

21 Φροντιστήρια 1 18η Κατηγορία : Εμβαδόν Τριγώνου 1.4 Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου µε κορυφές Α(,7), Β(, 8) Γ ( 1,5). Έχουµε ΑΒ ( -( -),-8-7) ( 5, -15) και ΑΓ - ( 1-- ( ),5-7) ( 1, -). Άρα 1 det ΑΒ, ΑΓ ABΓ τετραγωνικές µονάδες. Για το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ µε Α( x,y 1 1), B ( x,y ) και ( ) και Γ x,y, προσδιορίζουµε πρώτα τις συντεταγµένες δυο οποιωνδήποτε διανυσµάτων που ορίζονται από αυτά τα τρία σηµεία: π.χ. ΑB ( x -x 1,y -y 1) και ΑΓ x -x,y -y. 1 1 Στη συνέχεια χρησιµοποιούµε τον τύπο: 1 ( AΒΓ ) det ( AB,AΓ ) 1 x -x y -y x -x y -y Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

22 Φροντιστήρια 19η Κατηγορία : Διχοτόμοι των γωνιών δυο τεμνομένων ευθειών 1.5 *Να βρεθούν οι εξισώσεις των διχοτόµων των γωνιών που σχηµατίζουν οι ευθείες ε 1 : x 4y και ε :5x + 1y Ένα σηµείο M( x, y ) ανήκει σε µια από τις διχοτόµους των γωνιών που ορίζουν οι ευθείες ε 1 : x 4y και ε :5x+ 1y + 4 0, αν και µόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευθείες, δηλαδή, αν και µόνο αν ισχύει: dmε (, 1) dmε (, ) x - 4 y + 1 5x+ 1y ( 4) x- 4y + 1 5x+ 1y Ï1( x - 4 y + 1) 5( 5x+ 1y + 4) Ì ή Ó1( x - 4 y + 1) - 5( 5x+ 1y + 4) Οι διχοτόµοι των γωνιών που σχηµατίζουν δυο τεµνόµενες ευθείες ε 1 και ε, είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από τις ευθείες ε 1 και ε. ε 1 ηλαδή d( M,ε ) dm,ε M 1 M 1 4 ε Ï9x- 5y + 1) 5x+ 60y + 0 Ì ή Ó9x- 5y + 1-5x -60 y -0 Ïx-16 y Ì ή. Ó64 x + 8 y + 0 Άρα, οι εξισώσεις των διχοτόµων είναι οι: x-16y και 64x+ 8y + 0. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

23 Φροντιστήρια 0η Κατηγορία : Μεσοπαράλληλος δυο παραλλήλων ευθειών 1.6 Να βρεθεί η εξίσωση της µεσοπαραλλήλου των ευθειών ε 1 : x 5y και ε :x 5y Ένα σηµείο M( x, y ) ανήκει στη µεσοπαράλληλη των ευθειών ε 1 : x 5y και ε :x 5y + 6 0, αν και µόνο αν ισαπέχει από τις δύο ευθείες, δηλαδή, αν και µόνο αν ισχύει: dmε, dmε, 1 x- 5y + 1 x - 5 y ( 5) +- ( 5) Ï x- 5y + 1 x- 5 y + 6 Ì ή x- 5y + 1-( x- 5y + 6) Ó Ï1 6 ( αδύνατη) Ì ή Ó6x- 10y x - 5 y Η µεσοπαράλληλος δυο παραλλήλων ευθειών ε 1 και ε, είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου που ισαπέχουν από τις ευθείες ε 1 και ε. ε 1 ηλαδή d( M,ε ) dm,ε ε ε 1 M Άρα η µεσοπαράλληλη των ευθειών ε 1 και ε έχει εξίσωση x - 5 y Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

24 4 Φροντιστήρια 1η Κατηγορία : Συμμετρικό σημείου ως προς ευθεία 1.7 ίνονται η ευθεία ε µε εξίσωση y 1 x+ 1 και το σηµείο A(,1 ). Να βρεθούν οι συντεταγµένες του συµµετρικού του σηµείου Α ως προς την ευθεία ε. Αν A(µ,ν ) είναι το συµµετρικό του Α ως προς την ε, τότε το µέσον Μ του AA ανήκει στην ε µε εξίσωση y 1 x+ 1 (άρα οι συντεταγµένες του Μ ικανοποιούν την εξίσωση της ε) και το γινόµενο των συντελεστών διεύθυνσης των ε και AA είναι -1, αφού ε^ AA. Οι συντεταγµένες του µέσου Μ είναι ʵ + ν + 1ˆ, Ë y Ο Α (µ,ν) Μ ε Α(, 1) και ο συντελεστής διεύθυνσης Ïν µ + 1 του AA είναι ν Έτσι έχουµε το σύστηµα Ì µ - 1 ν 1, το οποίο µετά - -1 Ó µ - ϵ - ν -4 την εκτέλεση των πράξεων γράφεται Ì Óµ + ν Από τη λύση του συστήµατος αυτού βρίσκουµε µ και ν Εποµένως, το συµµετρικό σηµείο του Α ως προς την ε είναι το A Ê ˆ, Ë 5 5. x Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

25 Φροντιστήρια 5 η Κατηγορία : Οικογένειες Ευθειών 1.8 Να αποδείξετε ότι όλες οι ευθείες της µορφής Απόδειξη: λ + λ+ x+ λ - λ+ 1 y + λ+ 1 0, λœ διέρχονται από το ίδιο σηµείο. Για να παριστάνει η εξίσωση λ + λ+ x+ λ - λ+ 1 y + λ+ 1 0 (1) ευθεία γραµµή, για τις διάφορες τιµές του α, πρέπει να αρκεί οι συντελεστές των x και y δηλαδή οι παραστάσεις λ + λ+ και λ - λ + 1, να µην είναι ταυτόχρονα µηδέν. Αυτό συµβαίνει, αφού ο συντελεστής του x δεν µηδενίζεται για καµία πραγµατική τιµή του α (έχει διακρίνουσα - < 0). Θεωρούµε τώρα δυο οποιεσδήποτε από τις ευθείες που έχουν εξίσωση της µορφής (1). Γιαυτό θεωρούµε δύο τιµές της παραµέτρου λ (έστω λ 0 και λ 1 ) και λύνουµε το σύστη- µα των εξισώσεων των ευθειών που προκύπτουν για να βρούµε το σηµείο Ïx+ y (-) τοµής τους: Ì Ó6x+ y Ïx+ y Ì Ó x+ 0 Ïy - Ì Óx -1. Το σύστηµα των εξισώσεων αυτών έ- χει µοναδική λύση την ( x,y) - ( 1,). Άρα οι δυο αυτές ευθείες τέµνονται στο σηµείο A( - 1,). είχνουµε τώρα, ότι όλες οι ευθείες που έχουν εξίσωση της µορφής (1) (δηλαδή για κάθε λœ ) διέρχονται από το σηµείο Α. Έστω ότι έχουµε µια οικογένεια ευθειών, η εξίσωση των οποίων εκφράζεται συναρτήσει ενός µεταβλητού αριθµού λ (παράµετρος). Για να αποδείξουµε ότι όλες οι ευθείες µιάς οικογένειας, διέρχονται από το ίδιο σηµείο: Θεωρούµε δυο οποιεσδήποτε ευθείες ε 1 και ε από τις ευθείες της οικογένειας. Αυτό γίνεται δίνοντας δυο τυχαίες τιµές στην παράµετρο λ. Λύνουµε το σύστηµα των εξισώσεων των δυο αυτών ευθειών και προσδιορίζουµε τις συντεταγµένες ( x 0,y0) του σηµείου τοµής τους M. Εξίσωση Ευθείας Β Λυκείου

26 6 Φροντιστήρια Πράγµατι, η εξίσωση (1) επαληθεύεται από τις συντεταγµένες του σηµείου Α, αφού ισχύει: ( λ + λ + )(- 1 ) + ( λ - λ + 1 ) + ( λ + 1 ) -λ -λ- + λ - λ+ + λ Άρα, όλες οι ευθείες της οικογένειας A- 1,. (1) διέρχονται από το Αποδεικνύουµε ότι όλες οι ευθείες της οικογένειας διέρχονται από το σηµείο Μ, δηλαδή ότι η εξίσωση των ευθειών της οικογένειας επαληθεύεται για κάθε αριθµό λ, από τις συντεταγµένες ( x 0,y0) του σηµείου Μ. Εξίσωση ευθείας Β Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 5 Γιάννης Ζαµπέλης Μαθηµατικός 867 (Αναρτήθηκε 8 4 ) ίνονται τα διανύσµατα a και b µε µέτρα, 6 αντίστοιχα και ϕ [, π] a b+ x+ a b y 5= () δίνεται η εξίσωση ( ) ( ) α) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας

2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας . Ασκήσεις σχοικού βιβίου σείδας 69 7 A Oµάδας. Να αποδείξτε ότι, για κάθε πραγµατική τιµή του µ η εξίσωση (µ ) + µ + µ παριστάνει ευθεία γραµµή. Πότε η ευθεία αυτή είναι παράηη προς τον άξονα, πότε προς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου Μαθηµατικών Προσαναταισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός ποαπασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβίου

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÅÐÉËÏÃÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_ΜλΘΤ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα

Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα Επαναληπτικά συνδυαστικα θέµατα A. Αν α, β i. αβ Θέµα ο µη µηδενικά διανύσµατα και ισχύει α+ β + α β =, τότε να δείξετε ότι: και ii. Αν α β τότε ισχύει α + β =. B. Να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.

2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της Γεωμετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός

Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός ΕΥΘΕΙΑ Να προσέχεις ότι: Η γενική μορφή της εξίσωσης ευθείας είναι η από τα Α, Β διάφορο του μηδενός Ax+By+Γ=0, με κάποιο Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από ένα σημείο Α(x 0,y 0 ) και έχει συντελεστή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία

ΜΑΘΗΜΑ 8. B 2.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία ΜΑΘΗΜΑ 8. B.3 Χρησιµοποιώντας Ευκλείδεια Γεωµετρία Θεωρία Ασκήσεις γ. τόπου και µεγιστο ελάχιστου Στις ασκήσεις αυτού του µαθήµατος χρησιµοποιούµε ανισωτικές σχέσεις από την Ευκλείδεια Γεωµετρία. Θυµίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 2 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (18/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (8//04) Θέματα ης Ομάδας ο ΘΕΜΑ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP 8556

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ o Α. Τι ονοµάζουµε εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων α, β. Μονάδες 4 Β. Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόµενο δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

3.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ . Η ΕΝΝΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση πρώτου βαθµού µε αγνώστους και νοµάζεται κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ. Άγνωστοι είναι το και το. Τα α, β και γ λέγοντα συντελεστές. Ειδικότερα το γ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Ε_.ΒΜλΘ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή 6 Απριλίου 05 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου, σελίδα.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000

Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2000 Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής & Τεχν. Κατεύθυνσης Β Λυκείου 000 Ζήτηµα ο Α.. Να γράψετε την εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο Κ(x 0,y 0 ) και ακτίνα ρ. (Μονάδες ) Α.. Πότε η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ 0

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού)

Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Σχ έτος 03-04, Ν Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Μαθηματικά Κατεύθυνσης (Προσανατολισμού) ΣΧΟΛΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) :

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ανδριοπούλου Τασιάννα Ανδρονίκου Γιώργος Βασσάλου Γιάννα Βελλίκης Γιώργος Καρατσιώλης Δημήτρης Κασλής Κώστας Λαλούμης Νίκος Μπέκας Χρήστος Μπίτζας

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου

3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1. Α. Έστω α = (x 1, y 1 ) και β = (x, y ) δύο διανύσµατα Να γράψετε την αναλυτική έκφραση του εσωτερικού γινοµένου τους i Αν τα διανύσµατα δεν είναι παράλληλα προς τον

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=

Παραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)= ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης. Επιμέλεια : Αυγερινός Βασίλης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Επανάληψη Επιμέλεια Αυγερινός Βασίλης ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ SOS ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Θέμα ο Να γράψετε και να αποδείξετε την σχέση της διανυσματικής ακτίνας του μέσου ενός τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ . Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ Η ΓΡΑΦΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµικό σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους Είναι ένα σύνολο δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους και των οποίων αναζητούµε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ

Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Μαθηματικά προσαματολισμού Β Λσκείοσ Ο κύκλος Στέλιος Μιταήλογλοσ wwwaskisopolisgr Κύκλος Εξίσωση κύκλου Έστω Oxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και C ο κύκλος με M x, y του κέντρο το σημείο 0

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητής : Νικόλαος. Κατσίπης 19 Απριλίου 2013 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας εύχοµαι καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο . ΣΥΝΤΕΤΑΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΘΕΩΡΙΑ. Άξονας (Ο, i ) λέγεται κάθε ευθεία εφοδιασµένη µε αρχή Ο και µοναδιαίο διάνυσµα i.. Τετµηµένη σηµείου Μ που ανήκει σε άξονα (Ο, i ) λέγεται ο αριθµός, για τον οποίο ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ. και ( 2 2)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ. και ( 2 2) ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 05 Β ΦΑΣΗ Ε_.ΒΜλΘ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001

Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 2001 Μαθηµατικά Θετικής & Τεχν/κής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 00 Ζήτηµα ο Α.. Έστω α, β, γ ακέραιοι αριθµοί. Να δείξετε ότι ισχύουν οι επόµενες ιδιότητες: α. Αν α β, τότε α λβ για κάθε ακέραιο λ. β. Αν α β και α

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004

Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-2004 Θέµατα Εξετάσεων Β Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 1999-004 Περιεχόµενα 1 Θέµατα 1999.......................................... 3 Θέµατα 000..........................................

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΙΓΜΑΤΙΚΗ Ι ΑΣΚΑΛΙΑ «ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟ Ο ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΥΣΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ» 1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 : Γραµµική εξίσωση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ EΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 1. Να βρείτε την εξίσωση της έλλειψης όταν: α) Έχει εστία Ε (-8,0) και μεγάλο άξονα 0 β) Έχει εστία Ε(0,3) και μεγάλο άξονα 8 γ) Έχει εστία Ε(4,0) και

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο των διανυσμάτων θα πρέπει να είναι σε θέση: Να δίνει τον ορισμό του διανύσματος και των εννοιών που είναι κλειδιά όπως: κατεύθυνση φορά ή διεύθυνση, μηδενικό διάνυσμα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα