1 x και y = - λx είναι κάθετες

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1 x και y = - λx είναι κάθετες"

Transcript

1 Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α ( 1, 1 ) και Β (, ) ορίζεται πάντα ως - 1 λ =. - 1 Σ Λ. * Η ευθεία η οποία διέρχεται από τα σημεία Α ( 1, 1 ) και Β ( 1, ) έχει συντελεστή διεύθυνσης μηδέν. Σ Λ 4. * Υπάρχουν δύο ευθείες ε 1, ε με συντελεστές διεύθυν-σης λ 1, λ αντίστοιχα για τις οποίες ισχύει συγχρόνως λ 1 = λ και λ 1 λ = - 1. Σ Λ 5. ** Οι ευθείες με εξισώσεις = λ 1 και = - λ είναι κάθετες για κάθε λ. Σ Λ 6. * Οι ευθείες + = 1 και - = 1 τέμνονται. Σ Λ 7. * Οι ευθείες = + 1 και - = 4 τέμνονται. Σ Λ 8. * Οι ευθείες = - κ + 1 και = - λ + είναι παράλ-ληλες. Τότε ισχύει κ = λ. Σ Λ 9. * Οι ευθείες = + 1 και = είναι παράλληλες. Σ Λ 1.* Οι διχοτόμοι των γωνιών των αξόνων, έχουν εξισώσεις = και = - και τέμνονται κάθετα. Σ Λ 11.* Οι ευθείες = και = είναι παράλληλες. Σ Λ 1.* Οι ευθείες 5 + = 1 και = είναι κάθετες. Σ Λ 1.* Τα σημεία Α (-, - 1), Β (1, 4) και Γ (- 4, ) είναι συνευθειακά. Σ Λ 14.* Τα σημεία Α (κ, α), Β (λ, α), Γ (μ, α) είναι συνευθειακά. Σ Λ 15.** Τα σημεία Α (α + β, γ), Β (β + γ, α), Γ (γ + α, β) είναι συνευθειακά αν α β γ α. Σ Λ 16.* Η ευθεία που περνά από τα σημεία Α ( 1, 1 ) και Β (, ) 1 - έχει εξίσωση: - = ( - ) με ( 1 ) * Από το σημείο Α (, ) περνά μία μόνο ευθεία με δεδομένο συντελεστή διεύθυνσης λ. Σ Λ 18.* Η ευθεία που περνά από το σημείο (1, ) και είναι παράλληλη προς την ευθεία = - + 4, έχει εξίσωση - = - ( - 1). Σ Λ 19.* Η ευθεία ΑΒ με Α (1, - 4) και Β (- 1, - 5) είναι παράλληλη προς την ευθεία = 1 +. Σ Λ.** Δίνονται τα σημεία Α (-, - 1), Β (, ), Γ (-, 4) και 1 Σ Λ

2 Δ (, - 6). Η ευθεία ΑΒ είναι κάθετη προς την ευθεία ΓΔ. Σ Λ 1.** Η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σημείο (1, 1) και σχηματίζει με τον άξονα γωνία ίση με 15 είναι + =. Σ Λ.* Η ευθεία β + α = 1 με α, β τέμνει τους άξονες στα σημεία Α (α, ) και Β (, β). Σ Λ.* Η ευθεία = τέμνει τον άξονα στο σημείο ( 4, ). Σ Λ 4.* Όταν ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας δεν ορίζεται, τότε η εξίσωσή της είναι της μορφής =. Σ Λ 5.* Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία + = με τον άξονα είναι 45. Σ Λ 6.** Η γωνία που σχηματίζει η ευθεία = με τον άξονα είναι 1. Σ Λ 7.* Η εξίσωση Α + B + Γ = με Α είναι πάντα εξίσωση ευθείας. Σ Λ 8.** Αν Α Β, τότε η εξίσωση Α + B + Γ = παριστάνει πάντοτε ευθεία. Σ Λ 9.** Στην ευθεία με εξίσωση Α + B + Γ = δεν ορίζεται ο συντελεστής διεύθυνσης. Τότε ισχύει Β =. Σ Λ.* Κάθε εξίσωση ευθείας μπορεί να γραφεί στη μορφή Α + B =. Σ Λ 1.* Το διάνυσμα n = (-, 1) είναι κάθετο στην ευθεία + + =. Σ Λ.* Η ευθεία με εξίσωση Α + B + Γ = είναι παράλληλη στο διάνυσμα δ = (Β, - Α). Σ Λ.* Η ευθεία με εξίσωση A + B + Γ = είναι κάθετη στο διάνυσμα n = (Α, - Β). Σ Λ 4.Δύο ευθείες παράλληλες προς τα διανύσματα δ 1 = (Α, Β) και δ = (- Β, Α) αντίστοιχα είναι μεταξύ τους κάθετες. Σ Λ 5.** Μια ευθεία κάθετη στο διάνυσμα δ = (Α, Β) με Β έχει εξίσωση της μορφής: Α + B + Γ =. Σ Λ 6.* Η απόσταση του σημείου Μ (, ) από την ευθεία (ε): A + B + Γ Α + B + Γ = δίνεται από τον τύπο d (Μ, ε) =. Α + Β 1. * Η απόσταση d (Μ, ε) του σημείου Μ (, ) από την ευθεία (ε): A + B + Γ = επαληθεύει την ισότητα A + B + Γ = d (Μ, ε) Α + Β. 7.* Το εμβαδόν ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι ίσο με την ορίζουσα det ( Α Β, Α Γ ). Σ Λ 8.* Όλα τα διανύσματα με κοινό φορέα έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης. Σ Λ Σ Σ Λ Λ

3 9.* Η ευθεία = κ + 1 σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα για κάθε κ. Σ Λ 4.* Η ευθεία + λ ( - ) - λ = τέμνει τη διχοτόμο της γωνίας O για κάθε τιμή του αριθμού λ. Σ Λ 41.** Οι ευθείες ε 1 : = + 1, ε : = - 1, ε : = και ε 4 : + + = τεμνόμενες ορίζουν ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Σ Λ 4.** Η απόσταση των ευθειών ε 1 : = λ + β 1 και ε : = λ + β β1 β δίνεται από τον τύπο: d (ε 1, ε ) =. 1 + λ 4.* Η εξίσωση της ευθείας ε που είναι κάθετη στην ευθεία ε : + = και περνά από το σημείο (, ), είναι =. Σ Λ 44.* Οι ευθείες - = 11 και = έχουν κοινό σημείο το (- 1, ). Σ Λ 45.Η ευθεία = λ + έχει δύο κοινά σημεία με τον άξονα για κάθε λ R. Σ Λ 46.* Αν οι ευθείες (μ + 1) - = και = είναι παράλληλες, τότε μ =. Σ Λ 47.** Οι ευθείες ε 1 : = και ε : = είναι κάθετες. Σ Λ 48.* Η εξίσωση = παριστάνει μια μόνο ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου. Σ Λ 5.* Το σημείο Α (ημθ, ) με θ = 7 π ανήκει στην ευθεία + κ =. Σ Λ 51.* Η απόσταση των παράλληλων ευθειών = και = + 1 είναι 1. Σ Λ 5.** Η εξίσωση = + β με β R παριστάνει οικογένεια ευθειών παράλληλων προς την ευθεία =. Σ Λ 5.* Ορίζεται τρίγωνο με πλευρές που έχουν εξισώσεις - = 4, = - 5-4, = + 5. Σ Λ 54.** Η συμμετρική της ευθείας = ως προς τον άξονα έχει εξίσωση = +. Σ Λ 55.** Η εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ με κορυφές Σ Λ Α (5, 1), Β (6, ) και Γ (, ) είναι - = - 1 ( - ). Σ Λ 56.** Το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από την ευθεία + 5 = 1 και τους άξονες και, είναι 5 τ.μ. Σ Λ 57.** Όλες οι ευθείες της οικογένειας ευθειών: ( + + 1) + λ ( - - 4) = περνούν από το σημείο (, 1). Σ Λ 58.* Το σύστημα των εξισώσεων δύο παράλληλων ευθειών είναι αδύνατο. Σ Λ 59.** Η εξίσωση της ευθείας Α + B + Γ = μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή δ. ν + Γ =, όπου δ = (Α, Β) και ν = (, ). Σ Λ 6.* Οι ευθείες A 1 + B 1 + Γ 1 = και A + B + Γ = είναι

4 κάθετες. Τότε ισχύει Α 1.Α = Β 1.Β. Σ Λ 61.* Αν Α, Β, Γ τρία σημεία του επιπέδου και (ΑΒΓ) το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, τότε: det ( Α Β, Α Γ ) = (ΑΒΓ) ή det ( Α Β, Α Γ ) = - (ΑΒΓ). Σ Λ 6.** Τα σημεία Α (1, 1), Β (- 1, 1) και Γ (1, - 1) είναι κορυφές ισοσκελούς τριγώνου. Σ Λ 6.* Για την απόσταση d (Α, ε) του σημείου Α από την ευθεία ε ισχύει d (Α, ε) =. Το σημείο Α ανήκει στην ευθεία ε. Σ Λ 64.* Η εξίσωση = για παριστάνει μια ημιευθεία. Σ Λ 65.* Η εξίσωση = παριστάνει μία μόνο ημιευθεία. Σ Λ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. ** Αν η εξίσωση με δύο αγνώστους f (, ) = (1) είναι εξίσωση μιας γραμμής C, τότε Α. οι συντεταγμένες μόνο μερικών σημείων της C επαληθεύουν την (1) Β. οι συντεταγμένες των σημείων της C δεν επαληθεύουν την (1) Γ. το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες επαληθεύουν την (1) δεν ανήκει στην C Δ. όλα τα σημεία που επαληθεύουν την (1) ανήκουν στην C Ε. υπάρχουν σημεία της C των οποίων οι συντεταγμένες δεν επαληθεύουν την (1). ** Δίνεται ένα σημείο M μιας ευθείας, η οποία είναι παράλληλη με το διάνυσμα ν = (, - 4). Ξεκινώντας από το σημείο Μ θα ξαναβρεθούμε σε σημείο της ευθείας, όταν Α. κινηθούμε μονάδες αριστερά και 4 μονάδες κάτω Β. κινηθούμε μονάδες αριστερά και 4 μονάδες πάνω Γ. κινηθούμε μονάδες κάτω και 4 μονάδες δεξιά Δ. κινηθούμε μονάδες κάτω και 4 μονάδες αριστερά Ε. κινηθούμε μονάδες δεξιά και 4 μονάδες πάνω. * Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) που δεν είναι κάθετη στον ισούται Α. με το συνημίτονο της γωνίας φ που σχηματίζει η (ε) με τον Β. με την εφαπτομένη της συμπληρωματικής γωνίας που σχηματίζει η (ε) με τον Γ. με το συντελεστή διεύθυνσης ενός διανύσματος κάθετου στην (ε) Δ. με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η (ε) με τον Ε. με την εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η (ε) με το θετικό ημιάξονα Ο 4. * Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας 7 + = - 4 είναι Α. - 4 Β. 7 Γ. - 4 Δ. - 7 Ε

5 5. * Η ευθεία (ε) έχει συντελεστή διεύθυνσης -. Μια άλλη ευθεία (ε ), που είναι κάθετη στην (ε), έχει συντελεστή διεύθυνσης Α. - Β. - Γ. Δ. Ε * Μια ευθεία (ε) έχει συντελεστή 1 και διέρχεται από τη σημείο (- 1, ). Η εξίσωσή της είναι Α. + 1 = 1 ( - ) Β. - = 1 ( + 1) Γ. + 1 = 1 ( - ) Δ. - = 1 ( + ) Ε. καμία από τις παραπάνω 7. * Στο διπλανό σχήμα ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΓ είναι 6 Α. 5 5 Β. 4 4 Γ. 5 Δ. 5 Ε. 6 6 Γ 1 A * Στο διπλανό σχήμα η εξίσωση της ευθείας ΟΑ είναι =. Η γωνία ΟΑΒ ισούται με Α. Β. 6 Γ. 45 Δ. 9 Ε. 15 α A α B 9. * Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας που είναι παράλληλη με τον ισούται με Α. 1 Β. - 1 Γ. Δ. εφ 4 π Ε. δεν ορίζεται 1. * Ο συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε), που διέρχεται από τα σημεία Α ( 1, 1 ) και Β (, ) ορίζεται πάντα όταν Α. 1 Β. 1 = και 1 Γ. 1 - και 1 Δ. 1 = και 1 = Ε ** Η εξίσωση Α + Β + Γ = παριστάνει πάντα ευθεία με Α. Α = και Β = Β. Α = ή Γ Γ. Α + Β Δ. Α + Β > Ε. Α + Β < 5

6 1. * Στο διπλανό σχήμα η γωνία ΟΑΒ είναι ορθή, α 1 και Β (β, ). Η εξίσωση της ευθείας ΟΑ είναι A α Α. = β β Β. = α Γ. = α α α B Δ. = αβ Ε. = 1. * Το κοινό σημείο του άξονα και της ευθείας ΑΒ με Α (, 4) και Β (1, 5) είναι Α. (4, ) Β. (, ) Γ. (5, ) Δ. (- 4, ) Ε. (, - ) 14. * Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (1, - 1) και είναι παράλληλη στην ευθεία + 6 = 1 είναι Α. - 1 = - 1 ( + 1) Β. + 1 = - 1 ( - 1) Γ. - 1 = 1 ( - 1) Δ. + 1 = - 1 ( + 1) Ε. + 1 = 1 ( + 1) 15. * Αν Α (1, ) και Β (-, 4), τότε η ευθεία ΑΒ έχει εξίσωση Α. + = - 1 ( - 1) Β. - 4 = - 1 ( + ) Γ. - 1 = - 1 ( - ) 1 Δ. = Ε = 16. ** Η ευθεία = λ + Α. είναι κάθετη στον για κάποια τιμή του λ R Β. είναι κάθετη στον για κάποια τιμή του λ R 1 Γ. για λ περνάει από το σημείο (, 5) λ Δ. περνάει από την αρχή των αξόνων Ε. για λ = 1 είναι κάθετη στην = 17. ** Οι ευθείες = και + λ - = Α. τέμνονται για κάθε λ R Β. είναι και οι δύο κάθετες στην = - Γ. είναι κάθετες μεταξύ τους για λ = - 1 Δ. είναι παράλληλες για λ = Ε. τέμνονται στο σημείο (- 1, ) για λ = 18. ** Το διάνυσμα δ (-, ) είναι κάθετο στην ευθεία Α = Β = Γ = Δ = Ε = 19. ** Έστω (ε): A + B + Γ = (με Α και Β ), τότε: 6

7 Α. το διάνυσμα ν = (Β, Α) είναι κάθετο στην (ε) Β. το διάνυσμα ν = (Α, - Β) είναι παράλληλο στην (ε) Γ. το διάνυσμα ν = (- Β, Α) είναι παράλληλο στην (ε) Δ. το διάνυσμα ν = (Α, Β) είναι παράλληλο στην (ε) Ε. το διάνυσμα ν = (- Α, Β) είναι κάθετο στην (ε). * Η ευθεία που περνά από το σημείο (- 1, 5) και είναι κάθετη στην ευθεία 1 = - 7 έχει εξίσωση Α. = Β. + 1 = - ( - 5) Γ. - 5 = - ( + 1) Δ. - 5 = ( + 1) Ε. + 1 = ( + 5) 1. * Η εξίσωση της ευθείας ΑΒ με Α (1998, ), Β (, 1998) είναι Α = Β = 1 Γ = 1 Δ = 1 Ε. = * Στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων δίνονται τα σημεία Α (, 5) και Β (- 1, 8). Η προβολή του ΑΒ στον άξονα έχει μήκος Α. Β. 5 Γ. - 1 Δ. 8 Ε. 4. ** Έστω ευθεία (ε) που διέρχεται από το Α (, ) και είναι παράλληλη με το διάνυσμα ν = (α, β) με αβ. Τότε η εξίσωση της ευθείας είναι - Α. = β - α Β. - = β ( - ) Γ. Δ. = α β ( - ) Ε. - = - α β ( - ) - - = α β 4. ** Η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα αμβλεία γωνία είναι Α. = λ - Β. = Γ. = + Δ. = λ + β με λ < Ε. η κάθετη στην - + = 5. ** Αν η ευθεία (ε) τέμνει τους άξονες, στα Α (α, ), Β (, β) αντίστοιχα με α = β. Τότε Α. η (ε) σχηματίζει γωνία 6 με τον Β. η (ε) σχηματίζει γωνία 9 με τον Γ. η (ε) σχηματίζει γωνία οξεία με τον Δ. η (ε) σχηματίζει γωνία αμβλεία με τον 7

8 Ε. ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι 1 6. ** Στο διπλανό σχήμα η ευθεία (ε) έχει εξίσωση Α. = + 1 Β. = - 1 Γ. = Δ. = 1-1 Ε. = * Αν το σημείο (, κ) ανήκει στην ευθεία (ε) = 1, τότε Α. κ = Β. κ = Γ. κ = Δ. κ = 5 Ε. κ = 1 (ε) 8. * Στο καρτεσιανό επίπεδο η εξίσωση = παριστάνει Α. μια ευθεία κάθετη στον Β. μόνο τη διχοτόμο της γωνίας Ο Γ. μόνο τη διχοτόμο της γωνίας O Δ. τις διχοτόμους των γωνιών Ο και O Ε. μια ευθεία κάθετη στον 9. ** Δίνονται τα σημεία Α (8, 1), Β (7, ), Γ (4, 5). Η εξίσωση του ύψους ΓΔ του τριγώνου ΑΒΓ είναι Α. - 5 = - 1 ( + 4) Β. - 5 = ( + 4) Γ. - 5 = - ( - 4) 1 Δ. - 5 = ( - 4) Ε. καμία από τις προηγούμενες. * Οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α (- 8, 4) και Β (- 6, - ) είναι Α. (1, - 7) Β. (,- 1)Γ. (- 5, - 1) Δ. (- 7, 1) Ε. (- 1, - ) 1. * Στο διπλανό σχήμα το μέσο Μ του ΚΛ έχει συντεταγμένες στον άξονα το σημείο Α. (, β - δ ) Β. ( α - γ, β - δ ) α + γ α - γ Γ. (, ) Δ. (, ) α + γ Ε. (, β + δ ) β δ Κ γ Μ α Λ. * Αν Α (1, ) και Β (5, ), το συμμετρικό του μέσου του ΑΒ ως προς τον άξονα είναι το Α. (, ) Β. (,- )Γ. (, - ) Δ. (-, ) Ε. (-, - ) 8

9 . * Δίνονται τα σημεία Α (, 4) και Β (4, ). Ο συντελεστής διεύθυνσης της διαμέσου ΑΜ του τριγώνου ΟΑΒ είναι (Ο το σημείο τομής των, ) Α. 4 Β. Γ. Δ. - Ε ** Δίνεται το παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με Α (, ), Β (, 1), Γ (5,) και Δ (κ, κ). Η τιμή του κ είναι Α. Β. Γ. 1 Δ. - Ε * Τα σημεία Α (1, 1), Β (, ) και Γ (5, κ) είναι συνευθειακά. Η τιμή του κ είναι Α. - 4 Β. Γ. 1 Δ. 5 Ε * Το σημείο Μ (, - 9 ) είναι το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ με Α (- 1, - 5). Το σημείο Β είναι το Α. (, - 5) Β. (- 1, - ) Γ. (- 1, 4) Δ. (1, - 4) Ε. (-, - ) 7. * Δίνεται ευθεία (ε): = και το σημείο Μ (1, - ). Τότε η απόσταση του Μ από την (ε) είναι Α Β. 1 6 Γ Δ. 6 1 Ε ** Η απόσταση του σημείου Α (- 1, 1) από την ευθεία α + β = με α > β είναι Α. (α + β) α α + β α + β Δ. α + β + β Ε. Β. (α β) (α β) α α + β α + β α + β + β β - α Γ. - α + β 9. * Τα σημεία Α (α, α + 1), Β (α + 1, α + ) και Γ (α +, α + ) είναι Α. συνευθειακά Β. κορυφές ορθογωνίου τριγώνου Γ. κορυφές ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου Δ. κορυφές ορθογωνίου τριγώνου Ε. κορυφές ισοσκελούς οξυγωνίου τριγώνου 4. * Τα σημεία Ο (, ), Α (κ, ), Β (, λ) με κ, λ. > ορίζουν τρίγωνο με εμβαδόν Α. κλ Β. 1 (κ + λ) κ Γ. κλ Δ. 1 (κ - λ) (κ + λ) Ε. 1 κλ 9

10 41. * Το εμβαδόν του τριγώνου με κορυφές Α (, ), Β (α, ) και Γ (α, β) είναι Α. αβ Β. α β Γ. αβ Δ. αβ Ε. α β 4. * Η απόσταση του σημείου (5, - 1) από την ευθεία - - = είναι Α Β Γ Δ Ε ** Το εμβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία + = 6 είναι σε τετραγωνικές μονάδες 9 Α. Β. 9 Γ. 4 Δ. Ε * Το συμμετρικό του σημείου (4, 1) ως προς τη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων είναι Α. (- 4, 1) Β. (4, - 1)Γ. (- 4, - 1) Δ. (, 1 ) Ε. (1, 4) 45. * Οι ευθείες = και = - 1 σχηματίζουν μεταξύ τους οξεία γωνία ίση με Α. Β. 6 Γ. 45 Δ. 75 Ε * Δυο ευθείες (ε 1 ) και (ε ) τέμνονται. Τότε το σύστημα των εξισώσεων τους Α. έχει άπειρες λύσεις Β. έχει μοναδική λύση Γ. δεν έχει λύση Δ. έχει δύο λύσεις Ε. έχει άπειρες λύσεις της μορφής (, ) 47. * Μια ευθεία δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης όταν Α. η εξίσωσή της είναι της μορφής = c Β. έχει συντελεστή διεύθυνσης Γ. είναι παράλληλη με τον Δ. δεν ορίζεται ο συντελεστής της Ε. έχει εξίσωση = λ 48. * Η ευθεία λ + + μ = είναι κάθετη στην =. Τότε ο λ είναι ίσος με Α. - Β. - 1 Γ. Δ. 1 Ε. Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1

11 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη στήλη Α του πίνακα (Ι) με τον συντελεστή της που βρίσκεται στη στήλη Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β ).Πίνακας (Ι) στήλη Α στήλη Β 1. ε 1 : = α + β Α.. ε : = Β. δεν ορίζεται. ε : = Γ ε 4 : α + β + γ =, Δ. β 5. ε 5 : α + β = 1 Ε. α Ζ. - α β Η. - β α Πίνακας (ΙΙ)

12 . ** Η πρώτη στήλη του πίνακα (Ι) περιέχει τους συντελεστές διεύθυνσης κάποιων ευθειών και η δεύτερη τις γωνίες που σχηματίζουν οι ίδιες ευθείες με τον άξονα. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία των δύο στηλών, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) 1. στήλη Α στήλη Β Α. Β. π δεν ορίζεται Γ. Δ. Ε. Ζ. Η. Θ. π π 6 π π 5π 6 π 4 Πίνακας (ΙΙ)

13 . ** Να αντιστοιχίσετε τις εξισώσεις των ευθειών της στήλης Α του πίνακα (Ι) με τη γωνία που σχηματίζουν με τον άξονα της στήλης Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) στήλη Α στήλη Β Α. 5 1). = - 1 Β. 45. = + 1 Γ. 15 Δ.. = - + α Ε. 1 Πίνακας (ΙΙ) 1 4. ** Να αντιστοιχίσετε τις ευθείες της στήλης Α του πίνακα (Ι) με τα κάθετα σ αυτές διανύσματα της στήλης Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) στήλη Α 1. = - 1 στήλη Β Α. δ 1 = (, ) Β. δ = (, - 1). + + = Γ. δ = (, ). = Δ. δ 4 = (, 1) 4. = - 1 Ε. δ 5 = (1, - ) Ζ. δ 6 = (- 1, - ) Πίνακας (ΙΙ) 1 4 1

14 5. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ζεύγος ευθειών της στήλης Α του πίνακα (Ι) με το συνημίτονο της οξείας γωνίας τους στη στήλη Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) στήλη Α 1. ε 1 : =, ε : = 5 στήλη Β Α. Β.. ε 1 : =, ε : = + 5 Γ.. ε 1 : = -, ε : - = Δ. 1 Ε. 1 Πίνακας (ΙΙ) 1 6. ** Στο καρτεσιανό επίπεδο Ο να αντιστοιχίσετε κάθε ζεύγος γωνίας - σημείου στη στήλη Α του πίνακα (Ι) με την αντίστοιχη ευθεία που ορίζεται από αυτό το ζεύγος και βρίσκεται στη στήλη Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) στήλη Α στήλη Β 1. 45, (, ) Α. = - ( + 1). 6, (, 1) Β. = ( - 1) , (- 1, ) Γ. = - 1 Δ. = 4., (1, 1) Ε. = + 1 Πίνακας (ΙΙ)

15 7. ** Να αντιστοιχίσετε σε κάθε ευθεία της στήλης Α του πίνακα (Ι) την απόσταση της αρχής των αξόνων από αυτή, που εμφανίζεται στη στήλη Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) στήλη Α 1. =. = -. - = = στήλη Β Α. Β. - Γ. 1 Δ. Ε. - 1 Πίνακας (ΙΙ) Ζ ** Κάθε σημείο της στήλης Α του πίνακα (Ι) βρίσκεται σε μια ευθεία της στήλης Β. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία των δύο στηλών, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) στήλη Α σημεία 1. (- 1, ). (, - ). (5, ) 4. (-, - 1) στήλη Β ευθείες Α. - = 9 Β. + = 15 Γ. + = 1 Δ. - = Ε = Ζ. = 5 Πίνακας (ΙΙ)

16 9. ** Κάθε ευθεία της στήλης Α του πίνακα (Ι) περιέχει ένα σημείο που βρίσκεται στη στήλη Β. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία των δύο στηλών, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) στήλη Α 1. = στήλη Β Α. (1, ) Β. (, 1). + = 6 Γ. ( 1, ) Δ. (, 1 ). = Ε. (, 7) Ζ. (7, ) Πίνακας (ΙΙ) 1 16

17 ε ε 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία της στήλης Α του πίνακα (Ι) με την εξίσωσή της που βρίσκεται στη στήλη Β, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). ε 1 ε 4 Πίνακας (Ι) στήλη Α 1. ε 1. ε. ε 4. ε στήλη Β Α. = Β. + = Γ. + = Δ. = Ε. = Ζ. = Η. = - Θ. = Ι. = + Πίνακας (ΙΙ)

18 11. ** Κάθε ευθεία της στήλης Α του πίνακα (Ι) είναι κάθετη σε μια ευθεία της στήλης Β. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία των δύο στηλών, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) στήλη Α 1. - =. =. + = 4. - = 1 στήλη Β Α. = Β. + = Γ. - = Δ. = Ε. - = 1 Πίνακας (ΙΙ) Ζ. + = ** Στη στήλη Α του πίνακα (Ι) δίνεται ο χαρακτηρισμός του συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας που βρίσκεται στη στήλη Β. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία των δύο στηλών, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). ε 1 ε ε ε 4 ε 5 Πίνακας (Ι) στήλη Α 1. αρνητικός στήλη Β Α. ε 1 Β. ε. μηδέν Γ. ε. δεν ορίζεται Δ. ε 4 Ε. ε 5 18

19 1. ** Κάθε σημείο της στήλης Α του πίνακα (Ι) είναι κέντρο μιας οικογένειας ευθειών από τη στήλη Β. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία των δύο στηλών, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) στήλη Α στήλη Β κέντρο εξίσωση οικογένειας ευθειών Α. ( + 6-7) + λ ( ) = 1. (, 1) Β. ( + + 1) + λ ( ) =. (7, 1) Γ. ( + - ) + λ ( - - ) =. (- 1, ) Δ. ( + - 1) + λ ( + - ) = Ε. ( + - 8) + λ ( ) = Πίνακας (ΙΙ) ** Δίνονται οι ευθείες ε: = λ + 7 και δ: = - 1. Για κάθε τιμή του λ που βρίσκεται στη στήλη Α του πίνακα (Ι), η ευθεία ε παίρνει μια θέση στο καρτεσιανό επίπεδο που περιγράφεται στη στήλη Β. Να αντιστοιχίσετε τα στοιχεία των δύο στηλών, συμπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ). Πίνακας (Ι) Στήλη Α 1. λ = - 1. λ = στήλη Β Α. ε // δ Β. ε // Γ. ε //. λ = Δ. ε δ Ε. ε // διχοτόμος της O Πίνακας (ΙΙ) 1 19

20 Ερωτήσεις διάταξης 1. ** Να γράψετε σε μια σειρά τους συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών: ε 1 : = ε : = π ε : = εφ + 4 ε4 : παράλληλη με το διάνυσμα δ 1 = (, 7) ε 5 : κάθετη στο διάνυσμα δ = (, 1) ε 6 : + (ημα) + 5 = ώστε καθένας να είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενό του.. ** Δίνονται οι ευθείες: ε 1 : = ε : = + 4 ε : = ε 4 : - + = ε 5 : = ε 6 : = 1 Να τις γράψετε σε μια σειρά, ώστε κάθε επόμενη να σχηματίζει με τον άξονα γωνία μεγαλύτερη από την προηγούμενή της.. ** Δίνονται τα σημεία Α (1, 1), Β (, ), Γ (- 1, ) και Δ (-, ). Να γράψετε τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ, ΑΔ, ΒΓ, ΒΔ και ΓΔ σε μια σειρά, έτσι ώστε καθένα από το προηγούμενό του να έχει μεγαλύτερο μήκος. 4. ** Δίνονται οι ευθείες: ε 1 : = ε : - + = ε : = ε 4 : = Να τις γράψετε σε μια σειρά, έτσι ώστε καθεμιά να έχει συντελεστή διεύθυνσης μεγαλύτερο από την προηγούμενή της. 5. ** Να γραφούν τα σημεία Α (1, ), Β (-, 1) και Γ (, ) σε μια σειρά, έτσι ώστε καθένα να απέχει από την ευθεία = απόσταση μεγαλύτερη από την απόσταση του προηγούμενού του. 6. ** Στο διπλανό σχήμα να γράψετε σε μια σειρά τις ευθείες που διέρχονται από το σημείο Α, έτσι ώστε καθεμιά να έχει συντελεστή μικρότερο της προηγούμενής της. ε ε ε 4 A 1 ε 1

21 Ερωτήσεις συμπλήρωσης 1. ** Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: ευθεία = = = - 1 κλίση ευθείας σχετική θέση ευθείας ως προς σχετική θέση ευθείας ως προς. ** Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: κορυφές τριγώνου ΑΒΓ Α (-, ) Β (5, ) Γ (-, 6) Α (1, 1) Β (-, 1) Γ (-1,) Α (, ) Β (, ) Γ (,) Α (, ) Β (, 4) ορθογώνιο Είδος τριγώνου ισοσκελές εμβαδόν τριγώνου Γ (-, ). * Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας (ε) που υπάρχει σε καθένα από τα επόμενα σχήματα: α) A(,1) (ε) ε: (ε) β) ω ω ε: 1

22 (ε) γ) φ φ ε: (ε) δ) 6 ε: A(,) ε) ε: A(-1,5) στ) 15 ε: ζ) (ε) A(-,-) ε: B(,) Ερωτήσεις ανάπτυξης

23 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα γωνία: α) ω = π β) ω = π γ) ω = π. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με τον άξονα μια ευθεία ε, η οποία διέρχεται από τα σημεία: α) Α (- 6, - ) Β (, 7) β) Α (1, ) Β (, 4) γ) Α (, ) Β (, 4) δ) Α (1, - 1) Β (1, ) ε) Α (, ) Β (1, ). ** Να αποδείξετε ότι τα σημεία Α (-, ), Β (- 6, 1) και Γ (- 1, - 1) είναι συνευθειακά. 4. ** Δίνονται τα σημεία Α (7, 5), Β (6, - 7) και Γ (, ). Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο. 5. * Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (, - ) και: α) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ (, - 5) β) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ (, ) γ) είναι παράλληλη προς το διάνυσμα δ (-, ) δ) είναι κάθετη στο διάνυσμα δ (, 1) ε) είναι κάθετη στο διάνυσμα δ (, - ) στ) σχηματίζει με τον άξονα γωνία ω = ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (- 1, ), Β (, - ) και Γ (1, 4). Να βρεθούν: α) οι εξισώσεις των πλευρών του β) οι εξισώσεις δύο υψών του γ) οι εξισώσεις δύο διαμέσων του δ) οι εξισώσεις δύο διχοτόμων του ε) οι συντεταγμένες του ορθοκέντρου του στ) οι συντεταγμένες του βαρυκέντρου του ζ) οι συντεταγμένες του εκκέντρου του η) οι συντεταγμένες του περικέντρου του.

24 7. ** Στο επίπεδο θεωρούμε τα σημεία Α (κσυνφ, λημφ), Β (κημφ, - λσυνφ) και Γ (κ, λ), όπου κ, λ R και < φ < π. Για ποιες τιμές του φ τα Α, Β, Γ είναι συνευθειακά; 8. * Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών: = και = και είναι: α) παράλληλη προς την ευθεία = β) κάθετη προς την ευθεία = γ) διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ) παράλληλη στον άξονα ε) παράλληλη στον άξονα στ) παράλληλη στη διχοτόμο της πρώτης γωνίας των αξόνων ζ) παράλληλη στη διχοτόμο της δεύτερης γωνίας των αξόνων η) σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο εμβαδού τ.μ. 9. ** Τα σημεία Μ 1 (1, 1), Μ (, ) και Μ (, - 1) είναι τρεις διαδοχικές κορυφές ενός παραλληλογράμμου. Να βρεθούν: α) οι συντεταγμένες της τέταρτης κορυφής του β) οι συντεταγμένες του κέντρου του γ) το εμβαδόν του 1. ** Μια κορυφή ενός τετραγώνου είναι το σημείο τομής των ευθειών - + = και = και η μια διαγώνιός του βρίσκεται επί της ευθείας =. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου καθώς και η εξίσωση της άλλης διαγωνίου του. 11. ** Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών που είναι παράλληλες προς την ευθεία ε: = και οι οποίες ορίζουν με τους άξονες τρίγωνο με εμβαδόν ίσο με 1 τ.μ. 1. ** Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουμε: Α (- 8, ), Β (7, 4) και Η (5, ) το ορθόκεντρό του. Να βρείτε: α) την εξίσωση της πλευράς ΒΓ β) τις συντεταγμένες της κορυφής Γ γ) τις εξισώσεις των πλευρών του 1. ** Τριγώνου ΑΒΓ δίνονται η κορυφή Α (1, ) και οι εξισώσεις = και - 1 = δύο διαμέσων του. Να βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών του τριγώνου ΑΒΓ. 14. ** Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που είναι μεσοπαράλληλη των ευθειών: α) ε 1 : = και ε : = β) ε 1 : = 4 και ε : = - 6 γ) ε 1 : = και ε : = - 4

25 15. ** Το σημείο A (, - 1) είναι κορυφή του τετραγώνου ΑΒΓΔ, του οποίου μία πλευρά έχει εξίσωση =. Να βρεθούν οι εξισώσεις των άλλων πλευρών του. 16. * Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (λ + ) + λ + λ - 1 = και ε : (λ - 1) + λ + 5 =. Να βρείτε τον λ, ώστε να είναι ε 1 // ε. 17. ** Δίνονται οι ευθείες ε 1 : (μ + 1) + (μ + ) = και ε : μ - (μ + ) + 7 =. Να βρείτε τον μ, ώστε η γωνία των ε 1 και ε να είναι ** Οι εξισώσεις των πλευρών ενός τριγώνου είναι: =, + + = και =. Ζητούνται: α) οι συντεταγμένες των κορυφών του τριγώνου β) το εμβαδόν του ** Δίνονται τα σημεία Α (, 1), Β (6, 4) και Γ (, 6). α) Να δειχθεί ότι η γωνία ΑΒΓ είναι ορθή. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες της κορυφής Δ του ορθογωνίου παραλλη-λογράμμου ΑΒΓΔ. γ) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του περιγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο ΑΒΓ.. ** Αν οι ευθείες ε 1 : = και ε : + + = είναι οι φορείς των δύο πλευρών ορθογωνίου παραλληλογράμμου και Α (, - 1) μια κορυφή του, να βρεθούν οι άλλες κορυφές και το εμβαδόν του. 1. *** Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σημεία Α (ημω, συνω) και Β (ημφ, συνφ). Να βρεθεί η απόσταση του Ο (, ) από αυτήν ( ω φ < π ).. ** Δίνονται τα σημεία Α (λ, ), Β (λ, λ), λ. Αν η κάθετη στην ΑΒ στο σημείο Α τέμνει την ευθεία = - λ στο Γ, να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές.. ** Έστω οι ευθείες ε 1 : =, ε : = και το σημείο Α (1, - ). Να βρεθεί σημείο Μ της ε, ώστε το μέσο του ΑΜ να ανήκει στην ε ** Να βρεθεί το εμβαδόν του τετραπλεύρου που έχει κορυφές τα σημεία Α (1, - ), Β (-, ), Γ (- 1, - 4) και Δ (5, ). 5. ** Να αποδείξετε ότι η εξίσωση - - = παριστάνει ζεύγος δύο ευθειών. Ποια είναι η σχετική θέση των δύο ευθειών που βρήκατε; 5

26 6. ** Τα σημεία Α (1, ) και Β (, 6) ισαπέχουν από το σημείο Γ (- 4, λ). Να υπολογιστεί η τιμή του λ. 7. ** Δίνονται τα σημεία Α (4, ), Β (, - 1) και η ευθεία ε: = -. Να βρεθεί σημείο Γ της ευθείας ε, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι ισοσκελές με κορυφή το Β. 8. ** Δίνονται τα σημεία Α (1, 4) και Β (- 1, - 5). α) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. β) Να βρεθεί ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας ΑΒ. γ) Να βρεθεί η εξίσωση της μεσοκαθέτου ευθείας του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ. δ) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από την αρχή των αξόνων και είναι κάθετη στην ευθεία ΑΒ. ε) Να βρεθεί το εμβαδόν του τριγώνου που έχει κορυφές την αρχή των αξόνων και τα σημεία τομής τους με την ευθεία ΑΒ. 9. ** Για ποιες τιμές των λ, μ R οι ευθείες ε 1 : (μ + 1) - μ = λ και ε : (μ - 1) - = λ - 1: α) τέμνονται, β) είναι παράλληλες, γ) συμπίπτουν.. ** Θεωρούμε τις ευθείες ε: α + β + γ =, ε 1 : α - β + γ =, ε : α - β - γ = και ε : α + β - γ = (α, β, γ ). Να αποδείξετε ότι: α) η ε 1 είναι συμμετρική της ε ως προς άξονα συμμετρίας τον β) η ε είναι συμμετρική της ε ως προς άξονα συμμετρίας τον γ) η ε είναι συμμετρική της ε ως προς κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων. 1. ** Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση + = 1. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Ρ (, ) ως προς άξονα συμμετρίας την (ε).. ** Να εξετάσετε αν η ευθεία λ + λ + 5λ = διέρχεται από σταθερό σημείο για κάθε λ R. θ. ** Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση συν + ημ ευθεία, η οποία διέρχεται από σταθερό σημείο. θ + συνθ - 1 =, θ [, π] παριστάνει 4. ** Θεωρούμε την εξίσωση (λ + λ - ) - (λ + λ - ) - 5λ - λ + 8 = (1) Για ποιες τιμές του λ R η (1) παριστάνει ευθεία; 5. ** Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ (λ - 1, λ + ), λ R. 6

27 6. ** Τριγώνου ΑΒΓ οι κορυφές είναι Α (-, κ), Β (κ, κ) και Γ (κ -, - κ), κ R. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του κέντρου βάρους του τριγώνου. 7. ** Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, τα οποία ισαπέχουν από τις ευθείες = και =. 8. ** Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση - - 4λ - λ - λ = παριστάνει δύο ευθείες κάθετες μεταξύ τους. Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του σημείου τομής των δύο αυτών ευθειών. 9. ** Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων τα τετράγωνα των αποστάσεων από τα σημεία Α (, ) και Β (- 1, ) έχουν σταθερή διαφορά c είναι ευθεία κάθετη στην ΑΒ. 4. ** Να εξετάσετε αν η ευθεία = 4 ανήκει στην οικογένεια ευθειών που έχει εξίσωση ( + - 4) + λ ( - - 4) =. 41. ** Φωτεινή ακτίνα διερχόμενη από το σημείο Σ (, ) και προσπίπτουσα στην ευθεία =, μετά την ανάκλασή της διέρχεται από το σημείο Μ (1, 1). Να βρεθούν οι εξισώσεις της προσπίπτουσας και της ανακλόμενης ακτίνας. 4. ** Ένα σημείο P του επιπέδου κινείται πάνω στην ευθεία =. Να αποδείξετε ότι το συμμετρικό σημείο Ρ του Ρ ως προς την ευθεία = κινείται πάνω στην ευθεία =. 4. ** Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α (5, ), Β (, ) και Γ (6, ). Φέρνουμε ευθεία παράλληλη προς τη ΒΓ που τέμνει τις ευθείες ΑΒ και ΑΓ στα σημεία Ε και Δ αντιστοίχως. Να βρεθεί η εξίσωση της γραμμής πάνω στην οποία κινείται το σημείο τομής των ΒΔ και ΓΕ. 44. ** Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας (ε) στις ακόλουθες περιπτώσεις: Διέρχεται από σημείο Α (, ) και είναι παράλληλη σε ευθεία (ε ). Εφαρμογή: α) Α (1, - 1) και (ε ): = β) Α (, - ) και (ε ): = - γ) Α (-, 1) και (ε ): = - 1 Διέρχεται από σημείο Α (, ) και είναι κάθετη σε ευθεία (ε ). Εφαρμογή: α) Α (- 1, 1) και (ε ): = 7

28 β) Α (4, - ) και (ε ): + 1 = γ) Α (, - 1) και (ε ): = 4 Διέρχεται από σημείο Α (, ) και σχηματίζει γωνία φ με τον άξονα. Εφαρμογή: α) Α (-, ) και φ = β) Α (4, - 5) και φ = 9 γ) Α (, - ) και φ = 15 Τέμνει τους άξονες στα σημεία Α ( 1, ) και Β (, ). Εφαρμογή: α) Α (4, ) και Β (, 4) β) Α (-, ) και Β (, 1) Είναι μεσοπαράλληλη δύο παράλληλων ευθειών (ε 1 ) και (ε ). Εφαρμογή: α) (ε 1 ): = και (ε ): = β) (ε 1 ): = 4 και (ε ): = - 6 γ) (ε 1 ): = και (ε ): = - Απέχει απόσταση d από γνωστή ευθεία (ε ). Εφαρμογή: α) d = από (ε ): = β) d = 4 από (ε ): = Διέρχεται από το Α (, ) και απέχει απόσταση d από το Β ( 1, 1 ). Εφαρμογή: α) Α (, - 1) και απέχει d = από το Β (, ) β) Α (, 1) και απέχει d = 1 από το Β (, ) Είναι μεσοκάθετη σε γνωστό τμήμα ΑΒ. Εφαρμογή: α) Α (-, 1) και Β (, ) β) Α (, ) και Β (, - 5) Είναι άξονας συμμετρίας του ΑΒ με Α, Β γνωστά σημεία. Εφαρμογή: α) Α (1, - 1) και Β (- 1, ) β) Α (-, 4) και Β (4, - ) Διέρχεται από σημείο Α (, ) και σχηματίζει γωνία φ με γνωστή ευθεία (ε ). Εφαρμογή: α) Α (, 1) και φ = 45 με την = β) Α (-, 1) και φ = με την + = Διέρχεται από το Α (, ) και είναι παράλληλη σε διάνυσμα ν. Εφαρμογή: α) Α (, - ) και ν = (, 1) β) Α (-, - ) και ν = (, ) 8

29 γ) Α (- 1, ) και ν = (- 4, ) Διέρχεται από το Α (, ) και είναι κάθετη σε διάνυσμα ν. Εφαρμογή: α) Α (5, - ) και ν = (- 1, ) β) Α (-, ) και ν = (, 4) Διέρχεται από το Α (, ) και σχηματίζει γωνία φ με το διάνυσμα ν. Εφαρμογή: α) Α (1, - ) και φ = 6 με το ν = (1, 1) β) Α (, ) και φ = 45 με το ν = (, 1) Διέρχεται από το Α (, ) και σχηματίζει με τους άξονες τρίγωνο σταθερού εμβαδού. Εφαρμογή: α) Α (- 1, ) και εμβαδόν τ.μ. β) Α (- 1, ) και εμβαδόν τ.μ. 45. ** Τον Δεκέμβριο το καλοριφέρ μιας κατοικίας λειτούργησε 4 ώρες την ημέρα και το κόστος έφτασε τις 45. δρχ. ενώ τον Ιανουάριο που λειτούργησε 5 ώρες την ημέρα το κόστος ήταν δρχ. Αν η συνάρτηση που εκφράζει το κόστος είναι = α + β, όπου οι ώρες λειτουργίας, να βρεθούν: α) οι τιμές των α, β β) το προβλεπόμενο κόστος για τον Φεβρουάριο, αν λειτουργήσει 4,5 ώρες την ημέρα (8 ημέρες). 46. ** Οι συντεταγμένες δύο πλοίων Π 1, Π είναι Π 1 (t - 1, t + ) και Π (t, t - 1) για κάθε χρονική στιγμή t (t > ). α) Να βρεθούν οι γραμμές πάνω στις οποίες κινούνται τα δύο πλοία. β) Να εξεταστεί αν υπάρχουν τιμές του t που τα δύο πλοία θα συναντηθούν. γ) Να βρεθεί η απόσταση των δύο πλοίων τη χρονική στιγμή t =. 47. ** Η πορεία δύο κινητών που κινούνται ευθύγραμμα ξεκινώντας από τα σημεία Α και Β αντιστοίχως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. α) Να βρεθεί η απόσταση των δύο σημείων Α και Β. β) Να βρεθούν οι συντεταγμένες του σημείου Γ. γ) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου Β από την A(-,-1) ευθεία στην οποία κινείται το άλλο κινητό. δ) Να εξετασθεί αν τέμνονται οι διευθύνσεις των δύο κινητών. B(1, -5) 48. ** Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων η θέση ενός λιμανιού προσδιορίζεται από το σημείο Α (, 6) και η θέση ενός πλοίου με το σημείο Π (λ - 1, + λ), λ R. α) Για ποιες τιμές του λ το σημείο Π έχει τετμημένη μικρότερη από την τετμημένη του Α; β) Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιμάνι Α, όταν κινείται ευθύγραμμα. γ) Ποια θα είναι η ελάχιστη απόσταση της πορείας του πλοίου από το λιμάνι; 49. ** Μια τριγωνική κατασκήνωση διαθέτει τρεις εισόδους, μία σε κάθε κορυφή. Ο αρχηγός της κατασκήνωσης (του οποίου η σκηνή βρίσκεται κάπου μέσα στην κατασκήνωση) θέλοντας 9 6

30 να βρει το εμβαδόν της κατασκήνωσης, αποστέλλει τρεις κατασκηνωτές (εφοδιασμένους με πυξίδες και χιλιομετρητές) να μετρήσουν τις αποστάσεις των εισόδων από τη σκηνή του. Ο πρώτος προχωρά km βόρεια και αμέσως μετά 1 km ανατολικά και εκεί συναντά την πρώτη είσοδο. Ο δεύτερος προχωρά km ανατολικά και 1 km νότια και εκεί συναντά τη δεύτερη είσοδο. Ο τρίτος προχωρά km δυτικά και συναντά την τρίτη είσοδο. α) Να τοποθετήσετε, σε ένα πρόχειρο σχέδιο, τη σκηνή του αρχηγού και τις εισόδους, αφού πρώτα χαράξετε τις πορείες. β) Να θεωρήσετε κατάλληλο σύστημα αξόνων και να βρείτε τις συντεταγμένες των τριών εισόδων σ αυτό το σύστημα. γ) Να βρείτε το εμβαδόν της κατασκήνωσης. 5. ** Σε ένα εργοστάσιο ο νέος διευθυντής ζήτησε να ενημερωθεί για την οικονομική πορεία της επιχείρησης από το έτος που ιδρύθηκε. Οι υπεύθυνοι των οικονομικών του παρέδωσαν το παρακάτω σχεδιάγραμμα: 1 Ο ε 1 ε 4 ε 1 η ευθεία των εσόδων ε η ευθεία των εξόδων Ο ο άξονας των ετών λειτουργίας Ο ο άξονας των εκατοντάδων εκατομμυρίων δραχμών α) Να βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών ε 1, ε. β) Να βρείτε πόσα χρόνια μετά την έναρξη της λειτουργίας της, η επιχείρηση αρχίζει να έχει κέρδη. γ) Να βρείτε το κέρδος (έσοδα μείον έξοδα) της επιχείρησης τον τέταρτο χρόνο της λειτουργίας της. δ) Πότε η επιχείρηση θα παρουσιάσει κέρδος εκατομμύρια ( εκατοντάδες εκατομμύρια); 51. ** Σε χάρτη με καρτεσιανό σύστημα αξόνων Ο ένα πλοιάριο ξεκινά από ένα λιμάνι Α και κατευθύνεται στο λιμάνι Ο. Το ραντάρ θέσης για κάθε χρονική στιγμή t δίνει συντεταγμένες για το πλοιάριο (t - 4, t - ), t. α) Πού βρίσκεται στο χάρτη το λιμάνι Α; β) Πόσο απέχει το λιμάνι Α από το Ο; γ) Είναι σωστή η πορεία του πλοιάριου; Ποια είναι η εξίσωσή της; 1ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Ευθεία ΘΕΜΑ 1ο Α. α) i) Τι ονομάζεται γωνία μιας ευθείας ε με τον άξονα ;

31 ii) Ποιος είναι ο συντελεστής διεύθυνσης λ μιας ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α ( 1, 1 ), B (, ) με 1 ; iii) Ποιες είναι οι συνθήκες παραλληλίας και καθετότητας δύο ευθειών ε 1, ε ; iv) Πότε η εξίσωση Α + B + Γ = παριστάνει ευθεία; v) Σε ποιο διάνυσμα είναι παράλληλη η ευθεία Α + B + Γ = και σε ποιο κάθετη; β) Αποδείξτε ότι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α (, ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είναι - = λ ( - ). Β. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σημείο τομής των ευθειών = και = και α) είναι παράλληλη προς την ευθεία = β) είναι κάθετη προς την ευθεία = γ) είναι παράλληλη στον άξονα δ) σχηματίζει με τον γωνία 15 ε) είναι κάθετη στο διάνυσμα (, ) ΘΕΜΑ ο Οι συντεταγμένες δύο κινητών P 1 και P για κάθε χρονική στιγμή t (t > ) είναι: P 1 (t, t + ), P (t - 5, t + 1) α) Όταν το P 1 έχει συντεταγμένες (1, 4) ποιες είναι οι συντεταγμένες του P ; β) Να βρεθεί η απόσταση των κινητών τη χρονική στιγμή t =. γ) Να βρεθούν οι γραμμές στις οποίες κινούνται τα δύο κινητά. δ) Να εξετάσετε αν υπάρχει περίπτωση: i) να συναντηθούν οι πορείες (όχι υποχρεωτικά τα κινητά) ii) να συναντηθούν τα κινητά. ο Σχέδιο Κριτηρίου Αξιολόγησης του Μαθητή Διδακτική ενότητα: Ευθεία ΘΕΜΑ 1ο A. Να αποδειχθεί ότι κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Α + B + Γ = με Β ή Α. Β. α) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση (α - 1) + (α + 1) + α - 1 = παριστάνει ευθεία για κάθε πραγματικό αριθμό α. Για ποια τιμή του α η ευθεία είναι παράλληλη με τον ; β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο (-1, ) και είναι παράλληλη προς την ευθεία + =. ΘΕΜΑ ο 1

32 A. Να γράψετε την εξίσωση της ευθείας (ε) που υπάρχει σε καθένα από τα επόμενα σχήματα: A(,1) (ε) α) ε: (ε) β) ω ω ε: (ε) γ) φ φ ε: (ε) δ) 6 ε: A(,) ε) ε:

33 A(-1,5) στ) 15 ε: ζ) (ε) A(-,-) ε: B(,) B. Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία του σχήματος (ε) με τους άξονες και.

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3

1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: 2π 3 Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = 2π 3 γ) ω = π 2. * Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία

Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία 1 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Μέρος Α : Θεωρία ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Εξίσωση Γραμμής Μια εξίσωση με δύο αγνώστους, λέγεται εξίσωση μιας γραμμής C, όταν οι συντεταγμένες των σημείων της C, και μόνο αυτές, την επαληθεύουν.

Διαβάστε περισσότερα

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΥΘΕΙΑ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης μιας ευθείας ε, που σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία: π 3 α) ω = β) ω = γ) ω = π 3. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηματίζει με

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΕΥΘΕΙΑ. Κεφάλαιο 2ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος». * Συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτοµένη της γωνίας που σχηµατίζει η ευθεία (ε) µε τον άξονα x x. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 1. Α. Έστω x, y και x, y δύο διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου Οxy. i. Να εκφράσετε (χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων και συναρτήσει των συντεταγμένων τους.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ. 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 2 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Να βρείτε την απόσταση του σημείου Μ( ημθ, συνθ) από την ευθεία: i) ε : y = -xεφθ ii) ε : xσυνθ - yημθ = 4. α) Να βρεθεί η απόσταση του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. = π 3 και a = 2, β =2 2. a, β AΓ =(2,-8). α) Να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =.. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται

AB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 1. Να σχεδιάσετε την καμπύλη που παριστάνει η εξίσωση x y x 2 y. x y 2. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας, η οποία τέμνει : i) τον άξονα χ'χ σε σημείο με τετμημένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε

Τάξη B. Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις. Επαναληπτικά Θέματα. Επαναληπτικά Διαγωνίσματα. Επιμέλεια: Κώστας Κουτσοβασίλης. α Ε Ν β K C Ε -α Ο α Ε Τάξη B Μ -β Λ Μάθημα: Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Επιμέλεια: Διανύσματα Ερωτήσεις θεωρίας 1. Πως ορίζεται το διάνυσμα;. Τι λέγεται μηδενικό διάνυσμα;

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7)

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. (Μονάδες 8) (Μονάδες 10) (Μονάδες 7) ΘΕΜΑ 2. AM, όπου ΑΜ είναι η διάμεσος. (Μονάδες 7) ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Άσκηση Δίνονται τα διανύσματα a και με a, = 3 και a =, =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a. β) Αν τα διανύσματα a + και κ a + είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ 1. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ.Σε καθεμία από τις παρακάτω περιπτώσεις να βρείτε το άθροισμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 2 ο (39) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1.

Ασκήσεις στην ευθεία. 2. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x 2 +y 2-2x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία της καµπύλης, αν υπάρχουν, µε τετµηµένη -1. Ασκήσεις στην ευθεία 1. Να βρείτε τα σηµεία τοµής των γραµµών µε εξισώσεις : α) 7x-11y+1=0, x+y-=0 β) y-3x-=0, x +y =4 γ) x +y =α, 3x+y+α=0. Θεωρούµε την γραµµή µε εξίσωση x +y -x+y-5=0. Βρείτε τα σηµεία

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8.

i. εστίες Ε' (-4, 0), Ε(4, 0) και η απόσταση των κορυφών είναι 5, ii. εστίες Ε'(0, -10), Ε(0, 10) και η απόσταση των κορυφών είναι 8. ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 1) Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής αν έχει: i) Εστιακή απόσταση γ=0 και άξονα β=16, 5 ii) Άξονα α=16 και εκκεντρότητα ε=. 4 ) Να βρείτε την εξίσωση της υπερβολής,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Για τις λύσεις συνεργάστηκαν οι μαθηματικοί: Βλαχόπουλος Αποστόλης Δικαιοσυνόπουλος Νίκος Κολλινιάτη Γιωργία Μάκος Σπύρος Μαρωνίτη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 8. Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής με κορυφή το (0, 0) στις παρακάτω περιπτώσεις: α) είναι συμμετρική ως προς το θετικό ημιάξονα Οx και έχει παράμετρο p = 5 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Θετικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος».

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Θεωρία Αριθµ ών) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13,

πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+7=0, 3χ+2ψ-16=0, χ-5ψ+6=0. (ΑΒ=5, ΒΓ= 13, 1 Η Ευθεία στο Επίπεδο Η Ευθεία στο Επίπεδο 1 Να βρεθεί το είδος των γωνιών του τριγώνου που οι πλευρές του κείνται στις ευθείες : 4χ-3ψ+3=0, 3χ+4ψ+4=0, χ-7ψ+8=0. (90, 45, 45 ) 2 Να βρεθεί το μήκος των

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου στο σημείο του Α, ) είναι 8 μονάδες) Β. Να δώσετε τον ορισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ taexeiolag ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 uuuu uuuu uuuu Αν OA OB 3O 0 και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ uuuu uuuu uuuu OA OB 1, O α Να δείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά

Διαβάστε περισσότερα

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a=

32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= 32 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1) Έστω το διάνυσμα a= ( xy, ). Να ορίσετε τις έννοιες α)μέτρο του διανύσματος και β) συντελεστής διεύθυνσης του διανύσματος Α2) Να γράψετε τους τύπους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 4 ο (16) -2- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β Λυκείου -3- Τράπεζα θεμάτων Μαθηματικών προσανατολισμού Β

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων

Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέµατα Εξετάσεων Καθηγητές : Νικόλαος Κατσίπης 25 Απριλίου 2014 Στόχος του παρόντος ϕυλλαδίου είναι να αποτελέσει µια αφορµή για επανάληψη πριν τις εξετάσεις. Σας ευχόµαστε καλό διάβασµα και...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΣΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Θεώρημα οξείας γωνίας Το τετράγωνο πλευράς τριγώνου, που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του, ελαττωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α, Β, τα οποία έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης x - (4λ+6μ)x - 005 = 0 και τεταγμένες τις ρίζες της εξίσωσης y + ( 5λ + μ)y

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ 1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 4) Να κάνετε τις πράξεις και μετά να βρείτε την αριθμητική τιμή του ΕΠΑΝΑΗΠΤΙΚΕ ΑΚΗΕΙ Γ ΓΥΜΝΑΙΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1. Να βρείτε τα αναπτύγματα: 1) 3 ) 3) 5 3 3 5 3 5) 5 4) 3 5 6) ( α 3 + 3β ) 7) (7 + )(7 ) 8) (β 4 + 1)(β + 1)(β + 1)(β 1). Να κάνετε τις

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v,

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα v, ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Δίνονται τα διανύσματα a, για τα οποία ισχύουν : 4, 5 και α)να αποδείξετε ότι 10 β)να βρείτε τη γωνία των και. 5. 8 γ)να υπολογίσετε το μέτρο του διανύσματος u. δ)αν το διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x

4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f (x) x 1 4.3 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f () A Ομάδας Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 164 167 1. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει με τον άξονα η ευθεία = + = 3 1 i = + 1 iv) = 3 + εφω = 1 ω = 45 ο εφω = 3 ω = 60 ο i εφω

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) :

Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ε π ι μ έ λ ε ι α ( μ ε Α λ φ α β η τ ι κ ή σ ε ι ρ ά ) : Ανδριοπούλου Τασιάννα Ανδρονίκου Γιώργος Βασσάλου Γιάννα Βελλίκης Γιώργος Καρατσιώλης Δημήτρης Κασλής Κώστας Λαλούμης Νίκος Μπέκας Χρήστος Μπίτζας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Κωνικές τοµ ές) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία θέµατα, επιλογής

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 2. Τι ονομάζουμε ημίτονο μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου;

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι ισχύει α + β α + β, για κάθε α, β R. Α. Τι ονομάζουμε νιοστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α; Α. Να χαρακτηρίσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Κάθε διάνυσμα του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο στη μορφή : i j όπου i, j μοναδιαία διανύσματα με κοινή αρχή το

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα