Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Transcript

1 Γ. Λούντος Π. Ασβεστάς Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

2 Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος:

3 Ροπή Η τάση για περιστροφή ενός σώματος γύρω από ένα άξονα, υπό την επίδραση δύναμης Οάξοναςπεριστροφής δενπρέπεινατέμνειή να είναι παράλληλος στο φορέα της δύναμης

4 Ροπή Μέτρο ροπής Μέτρο δύναμης M = F d κάθετη απόσταση άξονα περιστροφής από φορέα δύναμης Μονάδες ροπής (SI): N m

5 Ροπή Η ροπή είναι ένα διάνυσμα, το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο του σώματος Η κατεύθυνση της εξαρτάται από την κατεύθυνση στην οποία τείνει η δύναμη να στρέψει το σώμα

6 Ροπή Η κατεύθυνση της ροπής μπορεί να προκύψει με τον κανόνα τουδεξιούχεριού Ηροπήμπορείνα θεωρηθεί ως ολισθαίνον διάνυσμα. Οφορέαςτης συμπίπτει με τον άξονα περιστροφής

7 Ροπή Σύμβαση για πρόσημο ροπής: + για αριστερόστροφη περιστροφή (αντίθετα από τους δείκτες του ρολογιού) - για δεξιόστροφη περιστροφή (σύμφωνα τους δείκτες του ρολογιού)

8 Ροπή Για δυνάμεις οι οποίες δρουν στο ίδιο επίπεδο, συνήθως η ροπή αναφέρεται ως ροπή ως προς σημείο Σ αυτή την περίπτωση, οάξοναςπεριστροφής είναι κάθετος στο επίπεδο των δυνάμεων και διέρχεται από το σημείο

9 Ροπή Ροπή (διάνυσμα) Δύναμη (διάνυσμα) M = r F διάνυσμα θέσης από το σημείο ως προς το οποίο υπολογίζεται η ροπή προς οποιοδήποτε σημείο του φορέα της δύναμης

10 Ροπή M = r F sin a r sin a = d M = F d

11 Θεώρημα του Varignon H ροπή μιας δύναμης ως προςένασημείοισούταιμε το άθροισμα των ροπών των συνιστωσών της δύναμης ως προς το ίδιο σημείο

12 Θεώρημα του Varignon Απόδειξη Ισχύει: M O = r R R = P + Q M O = r (P + Q) = r P + r Q Το θεώρημα του Varignon ισχύει για οποιοδήποτε αριθμό δυνάμεων

13 Ροπή Να υπολογιστεί το μέτρο της ροπής της δύναμης ως προς το σημείο Ο.

14 Ροπή Τρόπος 1 M O = F d d = d 1 + d 2 d 1 = 4 cos40 = 3,06m d 2 = 2 sin40 = 1,29m d = 4,35m M O = (600N) (4,35m) = 2610N m

15 Ροπή Τρόπος 2 F 1 = 600N cos40 = 460N F 2 = 600N sin40 = 386N M O = F 1 (4m) + F 2 (2m) = 2610 N m

16 Ροπή Τρόπος 3 H δύναμη ολισθαίνει στο σημείο Β Η F 2 δεν προκαλεί ροπή d B = 2 tan40 = 1,68m M O = F 1 (4m + 1,68) = 460N 5,68m = 2610 N m

17 Ροπή Τρόπος 4 H δύναμη ολισθαίνει στο σημείο C Η F 1 δεν προκαλεί ροπή d C = 4/ tan40 = 4,77m M O = F 2 (2m + 4,77) = 386N 6,77m = 2610 N m

18 Ροπή Τρόπος 5 M = r F r = 2i + 4j F = 600(cos40 i - sin40 j)n F = (460i -386j)N M = 2 (-386)k k = -2610k N m

19 Ροπή ζεύγους δυνάμεων Η ροπή που παράγεται από δύο ίσες, αντίθετες και μη συγγραμικές δυνάμεις Μ = F (a+d) - F a =F d Η ροπή είναι ανεξάρτητη της απόστασης α Η ροπή έχει την ίδια τιμή για όλα τα σημεία

20 Ροπή ζεύγους δυνάμεων M = r A F + r B (-F) M = (r A - r B ) F r = r A - r B M = r F Ανεξάρτητη από το σημείο αναφοράς

21 Ροπή ζεύγους δυνάμεων Αναπαριστάται ως ελεύθερο διάνυσμα το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο του ζεύγους δυνάμεων Η κατεύθυνση προκύπτει από τον κανόνα του δεξιού χεριού

22 Ροπή ζεύγους δυνάμεων -F -F F F Αριστερόστροφο ζεύγος Δεξιόστροφο ζεύγος

23 Ροπή ζεύγους δυνάμεων Αλλαγή στην τιμή των F και d, δεν επηρεάζει το πλάτος της ροπής, εφόσον το γινόμενο Fd παραμένει ίδιο

24 Συστήματα δύναμης - ζεύγους δυνάμεων Μια δύναμη που ενεργεί σ ένα σώμα τείνει να το μετακινήσει στην κατεύθυνσή της και να το περιστρέψει γύρω από οποιοδήποτε άξονα που δεν τέμνει το φορέα της δύναμης

25 Συστήματα δύναμης - ζεύγους δυνάμεων Το ίδιο αποτέλεσμα προκύπτει αν η δύναμη αντικατασταθεί από μια παράλληλη δύναμη και ένα ζεύγος δυνάμεων

26 Συστήματα δύναμης - ζεύγους δυνάμεων Ισχύει και το αντίστροφο: ένα ζεύγος δυνάμεων και μια δύναμη που κείται στο επίπεδο του ζεύγους μπορούν να αντικατασταθούν από μία ισοδύναμη δύναμη

27 Ροπή ζεύγους δυνάμεων Να αντικατασταθεί η οριζόντια δύναμη των 80Ν πουδραστο μοχλόαπόέναισοδύναμο σύστημα που αποτελείται από μία δύναμη στο σημείο Ο και ένα ζεύγος δυνάμεων. Να υπολογιστεί η ροπή του ζεύγους. O

28 Ροπή ζεύγους δυνάμεων d = 0,23m sin60 = 0,2m Μ = 80N 0,2m = 16N m O

29 Σύνθεση δυνάμεων Στόχος: Να αντικατασταθεί ένα σύνολο δυνάμεων που ενεργούν σ ένα στερεό σώμα από ένα απλούστερο συνδυασμό δυνάμεων, χωρίς να μεταβάλλεται το εξωτερικό αποτέλεσμα στο σώμα

30 Σύνθεση δυνάμεων Μέθοδος: 1.Επιλέγεται ένα βολικό σημείο αναφοράς

31 Σύνθεση δυνάμεων Μέθοδος: 2.Όλες οι δυνάμεις μεταφέρονται στο σημείο αυτό

32 Σύνθεση δυνάμεων Μέθοδος: 3.Κατασκευάζονται τα αντίστοιχα ζεύγη δυνάμεων και υπολογίζονται οι ροπές

33 Σύνθεση δυνάμεων Μέθοδος: 4.Προστίθενται όλες οι δυνάμεις και όλες οι ροπές

34 Σύνθεση δυνάμεων Μέθοδος: 5.Το τελικό σύστημα αποτελείται από τη συνισταμένη δύναμη η οποία έχει φορέα σε απόσταση d = M / R απότοσημείοαναφοράς

35 Σύνθεση δυνάμεων Να υπολογιστούν: η συνισταμένη δύναμη η εξίσωση του φορέα της 1/12/

36 Σύνθεση δυνάμεων Επιλέγεται το Ο ως σημείο αναφοράς γιατί οι ροπές λόγω των δυνάμεων 40Ν και 80Ν είναι μηδέν 1/12/

37 Σύνθεση δυνάμεων Aναλύουμε τη δύναμη των 60Ν σε δύο ορθογώνιες συνιστώσες: 1x 1y ( ) ( ) o F = 60cos 45 i = 42,4i N o F = 60sin 45 j= 42,4j N 1/12/

38 Σύνθεση δυνάμεων Μεταφέρουμε όλες τις δυνάμεις στο σημείο Ο, δημιουργώντας τα αντίστοιχα ζεύγη δυνάμεων: Δύναμη 50Ν: δεξιόστροφη ροπή 50 5 = 250N m Κατακόρυφη δύναμη 42,4Ν: δεξιόστροφη ροπή 42,4 7 = 297N m Οριζόντια δύναμη 42,4Ν: αριστερόστροφη ροπή 42,4 4 = 172N m 1/12/

39 Σύνθεση δυνάμεων R = R x i +R y j R x = F x = cos30-42,4 = 66,9N R y = F y = sin ,4 = 132,4N R = Rx + Ry = 148,3N θ R y = tan = 63,2 Rx 1/12/ o

40 Σύνθεση δυνάμεων M O = Fd = = -235 N m Δεξιόστροφη φορά 1/12/

41 Σύνθεση δυνάμεων Η συνισταμένη δύναμη έχει μέτρο 148,3Ν και σχηματίζει γωνία 63,2 με τον άξονα χ Ησυνολικήροπήέχει μέτρο 235Ν m και είναι δεξιόστροφη 1/12/

42 Σύνθεση δυνάμεων Για να αντιπροσωπεύει η R από μόνη της το αρχικό σύστημα δυνάμεων ο φορέας της πρέπει να είναι σε απόσταση d = M / R = 235 / 148,3 = 1,6m 1/12/

43 Σύνθεση δυνάμεων Συνεπώς, η R μπορεί να εφαρμοστεί σε οποιοδήποτε σημείο της εφαπτομένης στο του κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα 1,6m, ηοποία σχηματίζει γωνία 63,2 1/12/

44 Σύνθεση δυνάμεων Ανησυνολικήροπήήταν αριστερόστροφη, ο φορέας της δύναμης θα ήταν η εφαπτομένη στο Β. 1/12/

45 Σύνθεση δυνάμεων Η εξίσωση του φορέα της R προκύπτει από τη σχέση: r R = M Ο όπου r = xi +yj είναι το διάνυσμα από το σημείο Ο σε οποιαδήποτε σημείο του φορέα της R 1/12/

46 Σύνθεση δυνάμεων Επομένως: ( x y ) ( ) i + j 66,9 i + 132,4j = 235k ( x y) 132,4 66,9 k = 235k 132,4x 66,9y = 235 1/12/

47 Σύνθεση δυνάμεων Ένα εμπορικό αεροπλάνο με 4 κινητήρες, που ο καθένας παράγει 90kΝπροωστικής δύναμης, είναι σε σταθερή, επίπεδη πορεία. Ξαφνικά σβήνει ο κινητήρας 3. Να καθοριστεί η συνισταμένη των 3 εναπομεινουσών δυνάμεων. 1/12/

48 Σύνθεση δυνάμεων Θεωρούμε ως σημείο αναφοράς, Ο, ένα σημείο στον άξονα του αεροπλάνου. 1/12/

49 Σύνθεση δυνάμεων Για κάθε μία από τις δυνάμεις, δημιουργείται το αντίστοιχο σύστημα δύναμης ροπής. 1/12/

50 Σύνθεση δυνάμεων Επομένως, συνισταμένη δύναμη στο Ο είναι: R = = 270kN 1/12/

51 Σύνθεση δυνάμεων ΗροπήστοΟλόγωτου ζεύγους δυνάμεων από τον κινητήρα 1 είναι ίση και αντίθετη μ αυτή από το ζεύγος δυνάμεων από τον κινητήρα 4. 1/12/

52 Σύνθεση δυνάμεων Συνεπώς η συνολική ροπή είναι αυτή λόγω του ζεύγους δυνάμεων από τον κινητήρα 2: Μ = = 1080 kn m με δεξιόστροφη φορά 1/12/

53 Σύνθεση δυνάμεων Ηδύναμητων270kN και η ροπή των 1080kN m ισοδυναμούν με μία δύναμη 270kN σε απόσταση: d = M / R = 1080 / 270 = 4m 1/12/