Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση."

Transcript

1 Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών. Τον τριγωνομετρικό κύκλο και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας στον τριγωνομετρικό κύκλο. Τις βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες. Τις σχέσεις μεταξύ των τριγωνομετρικών αριθμών που έχουν άθροισμα ή διαφορά 0, 90, 180, 270, 360.

2 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Οξείας Γωνίας Διερεύνηση Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn04_TrigArithmoi.ggb». Να μετακινήσετε τον δρομέα B, για να σχηματίσετε γωνία με μέτρο 32 και 0. Να μετακινήσετε το σημείο σε διαφορετικές θέσεις και να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα όπως φαίνεται στο παράδειγμα. Να δώσετε και άλλες τιμές για την και να επαναλάβετε τη διαδικασία. 27, 2,77 6,11 0, 0,891 0, Τι παρατηρείτε; 72 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

3 ΑΒ: Απέναντι κάθετη πλευρά της ΑΒ: Προσκείμενη κάθετη πλευρά της ω Μαθαίνω Η τριγωνομετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μέτρηση των στοιχείων του τριγώνου. Ονομασία πλευρών ορθογωνίου τριγώνου σε σχέση με μια οξεία γωνία του. ΑΓ: Υποτείνουσα ΒΓ: Προσκείμενη κάθετη πλευρά της ΒΓ: Απέναντι κάθετη πλευρά της ω Τριγωνομετρικός αριθμός οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του μήκους δυο πλευρών του τριγώνου. ημίτονο της = Λεκτικά Τύπος συνημίτονο της = εφαπτομένη της = Γ AΓ: Υποτείνουσα Απέναντι κάθετη BΓ: πλευρά της γωνίας Α. Α ΑΒ: Προσκείμενη κάθετη πλευρά της γωνίας Α. Β ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 73

4 Στην υπολογιστική μηχανή οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας υπολογίζονται με τη βοήθεια των πιο κάτω εντολών: Εντολή Υπολογιστικής sin -1, cos -1, tan -1 Παραδείγματα: sin cos tan Ημίτονο Συνημίτονο Εφαπτομένη Με την υπολογιστική μηχανή μπορούμε: Τριγωνομετρικός Αριθμός Δίνουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό και μας δίνει την αντίστοιχη γωνία. (α) να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς: Πράξη Εντολές υπολογιστικής Στην οθόνη sin 3 0 = 30 2 cos 4 2 = 70 tan 7 0 = Η Υπολογιστική μηχανή θα πρέπει να είναι ρυθμισμένη σε μοίρες, να φέρει την ένδειξη «DEG» ή «D». 30 0, 2 0, ,7 7 (β) να βρούμε την αντίστοιχη γωνία αν γνωρίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό: Πράξη Εντολές υπολογιστικής Στην οθόνη, 0 85 = , = = Η Υπολογιστική μηχανή θα πρέπει να είναι ρυθμισμένη σε μοίρες, να φέρει την ένδειξη «DEG» ή «D». 0,8 8, ,21 0,2 7, , 2 3, , Μπορούμε, επίσης, να υπολογίσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς μιας οξείας γωνίας, αλλά και την αντίστοιχη γωνία αν γνωρίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό, χρησιμοποιώντας τον πίνακα που έχουμε στο τέλος του κεφαλαίου. 74 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

5 Παραδείγματα 1. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας και της γωνίας. Λύση: Στο ορθογώνιο τρίγωνο η είναι η υποτείνουσα. Η είναι η απέναντι κάθετη της, αλλά είναι και η προσκείμενη κάθετη της, ενώ η είναι η προσκείμενη κάθετη της, αλλά και η απέναντι κάθετη της. 2. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας, χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής. Λύση: Κατασκευάζουμε ένα ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο με γωνίες του έχουν μέτρο ( ). Υπολογίζουμε την υποτείνουσα του ορθογωνίου τριγώνου 1. Οι οξείες εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα: ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 75

6 3. Ο κύριος Αβραάμ θέλει να υπολογίσει το ύψος ενός δέντρου που είναι στον κήπο του. Τοποθέτησε ένα γωνιομετρικό όργανο (εξάντα) σε απόσταση 6 από τον κορμό του δέντρου, παρατήρησε την κορυφή του δέντρου και υπολόγισε ότι το μέτρο της γωνίας προς την κορυφή του δέντρου είναι 6 Να υπολογίσετε το ύψος του δέντρου με προσέγγιση ενός δεκαδικού ψηφίου. Ο εξάντας είναι ένα γωνιομετρικό όργανο που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση κατακόρυφων ή οριζόντιων γωνιών δύο σταθερών αντικειμένων από τη θέση του παρατηρητή. Λύση: Στο ορθογώνιο τρίγωνο που δημιουργείται είναι δεδομένη η γωνία των 6 και η προσκείμενη πλευρά της γωνίας αυτής με μήκος 6. Το ζητούμενο είναι το ύψος του δέντρου, δηλαδή η απέναντι πλευρά της γωνίας 6. Άρα, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο της εφαπτομένης, δηλαδή: Β Α Γ 6 Με τη χρήση υπολογιστικής μηχανής υπολογίζουμε ότι η 6 2,0 και αντικαθιστούμε στην πιο πάνω σχέση, 2,0 2,0 6 12,3 Το ύψος του δέντρου είναι περίπου 12,3. 76 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

7 Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. 2. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ), να εκφράσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, και συναρτήσει των πλευρών,, του τριγώνου. 3. Δίνεται το ορθογώνιο τρίγωνο, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να βρείτε: α) τον τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας που είναι ίσος με. β) τον τριγωνομετρικό αριθμό της γωνίας που είναι ίσος με. 4. Να υπολογίσετε το και την οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου, όταν γνωρίζουμε ότι το. 5. Στο ορθογώνιο τρίγωνο δίνεται 3, και 0. Να υπολογίσετε το μήκος των πλευρών και με ακρίβεια ενός δεκαδικού ψηφίου. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 77

8 6. Να υπολογίσετε τους άγνωστους και στις πιο κάτω περιπτώσεις: (α) (β) (γ) 8 cm y 92 cm 60 y x 16 cm x x y x 7. Να υπολογίσετε τις τιμές του σε καθεμιά από τις πιο κάτω περιπτώσεις. Οι απαντήσεις να δοθούν κατά προσέγγιση ακεραίου. (α) (β) 8. Να υπολογίσετε την οξεία γωνία που δημιουργεί ο πύργος της Πίζας με το έδαφος, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. 9. Να κατασκευάσετε το τρίγωνο με κορυφές 2,1,,1 και, 3 σε ορθογώνιο σύστημα αξόνων. Να υπολογίσετε τη γωνία του τριγώνου. 10. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 30 και 60, χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής. (Υπόδειξη: Να χρησιμοποιήσετε ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς 1 ). 78 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

9 11. Στο διπλανό σχήμα η γωνία είναι 30, το είναι ύψος του τριγώνου, 11 και 3. Να υπολογίσετε τα μήκη των και και το μέτρο της γωνίας. 12. Στο σχήμα δίνεται ότι (α) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, και. (β) Να συγκρίνετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς που βρήκατε και να τους διατάξετε από τον μικρότερο προς τον μεγαλύτερο. Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 13. Δύο λαμπτήρες και βρίσκονται προς το ίδιο μέρος μιας πολυκατοικίας, στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε ύψος 1,7 από το έδαφος, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο φωτίζει την κορυφή της πολυκατοικίας υπό γωνία 22 και ο υπό γωνία 3. Αν το ύψος της πολυκατοικίας είναι 1, να βρείτε την απόσταση μεταξύ των και. 14. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ) ισχύει η σχέση Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το ημίτονο και το συνημίτονο κάθε οξείας γωνίας του είναι θετικό αλλά μικρότερο από 1. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 79

10 Γωνία σε Κανονική Θέση Το Ακτίνιο ως Μονάδα Μέτρησης Γωνιών Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας σε Κανονική Θέση Διερεύνηση (1) Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn04_Motorcycles.ggb». Οι μοτοσυκλετιστές και βρίσκονται σε διαφορετικά σημεία πάνω στον θετικό ημιάξονα και κινούνται κυκλικά γύρω από την αρχή των αξόνων. Τα κουμπιά ξεκινούν και σταματούν την κίνηση των μοτοσυκλετιστών. Να επιλέξετε τα πιο πάνω κουμπιά διαδοχικά και να περιγράψετε τη θέση του κάθε μοτοσυκλετιστή και τον τρόπο που κινείται. Διερεύνηση (2) Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn04_Rad.ggb». Να επιλέξετε τον δρομέα με την ένδειξη για να αλλάξετε την ακτίνα του κύκλου. Να υπολογίσετε το μήκος του τόξου για διάφορες τιμές της ακτίνας και να συμπληρώσετε τον πιο κάτω πίνακα., 2,3 2,3 Τι παρατηρείτε για το μήκος του τόξου; 80 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

11 Μαθαίνω Μια γωνία λέγεται ότι είναι σε κανονική θέση, αν η αρχική της πλευρά συμπίπτει με τον θετικό ημιάξονα των τετμημένων. Αν μια γωνία στην κανονική της θέση δημιουργείται με στροφή αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ρολογιού, λέμε ότι μετρούμε θετικά και η γωνία που δημιουργείται ονομάζεται θετική γωνία. Αν μια γωνία στην κανονική της θέση δημιουργείται με στροφή σύμφωνα με την κίνηση των δεικτών του ρολογιού, λέμε ότι μετρούμε αρνητικά και η γωνία που δημιουργείται ονομάζεται αρνητική γωνία. π.χ. Το μέτρο μιας γωνίας μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. π.χ. 72, 22,76, 399, 1028, Τόξο ενός ακτινίου λέγεται ένα τόξο ενός κύκλου με ακτίνα που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου. Ακτίνιο είναι η επίκεντρη γωνία που βαίνει σε τόξο ενός ακτινίου. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 81

12 Από τον ορισμό προκύπτει η σχέση μοίρας και ακτινίου ως μονάδων μέτρησης γωνιών: Όπου είναι το μέτρο σε μοίρες και το μέτρο σε ακτίνια μιας γωνίας. Απόδειξη: Έστω ότι μια γωνία είναι και. Το μήκος ενός κύκλου ακτίνας είναι 2, οπότε η γωνία 360 είναι ίση με 2 Η γωνία 1 είναι ίση με μοίρες Επομένως η γωνία είναι ίση με μοίρες. Επειδή η γωνία είναι, ισχύει ότι, οπότε έχουμε: Η γωνία είναι σε κανονική θέση και το σημείο, είναι πάνω στην τελική της πλευρά το διαφέρει από την αρχή των αξόνων 0,0. Η απόσταση του σημείου, από την αρχή των αξόνων είναι ίση με, όπου, 0. Αν η γωνία είναι οξεία τότε οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας είναι: Π.χ. Στο σχήμα το σημείο,3 είναι πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας είναι:, και 82 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

13 Οι ορισμοί για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας τους ορισμούς που έχουν δοθεί για την οξεία γωνία σε ορθογώνιο τρίγωνο. είναι συνεπείς με Γενικεύοντας τα πιο πάνω, ορίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας όπου, Παράδειγμα: Στο σχήμα το σημείο,3 είναι πάνω στην τελική πλευρά της γωνίας. Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί της γωνίας είναι:, και Συνεφαπτομένη της γωνίας ορίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό, 0 και τον συμβολίζουμε με, δηλαδή: Τέμνουσα της γωνίας ορίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό, 0 και τον συμβολίζουμε με, δηλαδή: Συντέμνουσα της γωνίας ορίζουμε τον τριγωνομετρικό αριθμό, 0 και τον συμβολίζουμε με, δηλαδή: ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 83

14 Παραδείγματα 1. Να κατασκευάσετε δύο ζεύγη γωνιών στην κανονική τους θέση που να έχουν την ίδια τελική πλευρά. Λύση: Η γωνία 120 έχει την ίδια τελική πλευρά με τη γωνία 2 0. Η γωνία 31 έχει την ίδια τελική πλευρά με τη γωνία Να εκφράσετε την γωνία 60 σε ακτίνια. Λύση: Θέτουμε στον τύπο, όπου 60 και έχουμε. Άρα ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

15 3. Να εκφράσετε τη γωνία σε μοίρες. Λύση: Θέτουμε στον τύπο, όπου και έχουμε 32. Άρα Στο πιο κάτω σχήμα να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. Λύση: Έχουμε το σημείο 3, με συντεταγμένες 3 και. Για να υπολογίσουμε το και το, υπολογίζουμε την απόσταση την αρχή των αξόνων: του σημείου από 3 2 Από τον ορισμό των τριγωνομετρικών αριθμών έχουμε: ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 85

16 Δραστηριότητες 1. Να κατασκευάσετε τις πιο κάτω γωνίες σε κανονική θέση. (α) 100 (β) (γ) 0 (δ) Να γράψετε δύο γωνίες που έχουν την ίδια τελική πλευρά με τις πιο κάτω γωνίες: (α) 13 (β) 20 (γ) 3. Να εκφράσετε τις γωνίες 30,, 90, 120 σε ακτίνια. 4. Να εκφράσετε τις γωνίες,,, σε μοίρες. 5. Στο πιο κάτω σχήμα φαίνονται οι γωνίες και. (α) Να αντιστοιχίσετε ένα δεδομένο της στήλης με το αντίστοιχο της στήλης Στήλη Στήλη αρχική πλευρά της τελική πλευρά της (β) Να συμπληρώσετε την πρόταση: Αν τότε... (γ) Να βρείτε την αρχική και την τελική πλευρά της γωνίας 720 αν είναι σε κανονική θέση. (δ) Να βρείτε την αρχική και την τελική πλευρά της γωνίας 360 αν είναι σε κανονική θέση. 6. Στο πιο κάτω σχήμα να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. 86 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

17 Τριγωνομετρικός Κύκλος Διερεύνηση Να ανοίξετε το αρχείο «AlykEn04_TrigKyklos.ggb». Δίνεται κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με μία ακεραία μονάδα. Να επιλέξετε τον δρομέα για να δώσετε διάφορες τιμές για τη γωνία. Να παρατηρήσετε τις τιμές των «,,» και να τις συνδέσετε με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, και. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 87

18 Μαθαίνω Τριγωνομετρικός κύκλος ονομάζεται ο κύκλος που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ίση με μία μονάδα. Οι άξονες, χωρίζουν τον κύκλο σε τέσσερα τεταρτημόρια: 1 ο τεταρτημόριο ο τεταρτημόριο ο τεταρτημόριο ο τεταρτημόριο Η τελική πλευρά μιας γωνίας τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο, ( 1, τότε ισχύει: τετμημένη του σημείου τεταγμένη του σημείου Από τα πιο πάνω προκύπτει ότι: και Ο άξονας των τετμημένων ονομάζεται και άξονας των συνημιτόνων, ενώ ο άξονας των τεταγμένων ονομάζεται και άξονας των ημιτόνων. Απόδειξη: Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: 88 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

19 Η προέκταση της τελικής πλευράς μιας γωνίας η οποία τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο,, τέμνει και την εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο 1, 0, στο σημείο, τότε ισχύει: τεταγμένη του σημείου Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο 1, 0 ονομάζεται και άξονας των εφαπτομένων. Απόδειξη: Στο ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε: Για να βρούμε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών, και, μελετούμε το πρόσημο των συντεταγμένων του σημείου τομής, της τελικής πλευράς της γωνίας με τον τριγωνομετρικό κύκλο. Αν η γωνία έχει τελική πλευρά στο 1 ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο, έχει 0 και 0. Συνεπώς,,, Αν η γωνία έχει τελική πλευρά στο 2 ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο, έχει 0 και 0. Συνεπώς,,, Αν η γωνία έχει τελική πλευρά στο 3 ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο, έχει 0 και 0. Συνεπώς,,, Αν η γωνία έχει τελική πλευρά στο 4 ο τεταρτημόριο του τριγωνομετρικού κύκλου, τότε το σημείο, έχει 0 και 0. Συνεπώς,,, Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί, και έχουν το ίδιο πρόσημο με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς, και, αντίστοιχα. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 89

20 Με βάση τα πιο πάνω η εύρεση του προσήμου των τριγωνομετρικών αριθμών συνοψίζεται στον πιο κάτω μνημονικό κανόνα όπου: Στο 1 ο τεταρτημόριο οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί. Στο 2 ο τεταρτημόριο θετικό είναι το ημίτονο και η συντέμνουσα. Στο 3 ο τεταρτημόριο θετική είναι η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη. Στο 4 ο τεταρτημόριο θετικό είναι το συνημίτονο και η τέμνουσα. Παραδείγματα 1. Να υπολογίσετε τα ημίτονα και τα συνημίτονα των 0, 90, 180, 270, 360. Λύση: Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 0 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 1,0. Άρα: 0 0 (τεταγμένη του 1, 0 ) 0 1 (τετμημένη του 1, 0 ) Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 90 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 0,1. Άρα: 90 1 (τεταγμένη του 0, 1 ) 90 0 (τετμημένη του 0, 1 ) 90 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

21 Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 180 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 1,0. Άρα: (τεταγμένη του 1,0 ) (τετμημένη του 1,0 ) Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 270 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 0, 1. Άρα: (τεταγμένη του 0, 1 ) (τετμημένη του 0, 1 ) Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 360 τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο 1,0. Άρα: (τεταγμένη του 1,0 ) (τετμημένη του 1,0 ) Να βρείτε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας με μέτρο 117. Λύση: Η τελική πλευρά της γωνίας με μέτρο 117 είναι στο 2 ο τεταρτημόριο. Άρα: ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 91

22 Δραστηριότητες 1. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω σχέσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Αν και είναι αρνητικοί αριθμοί, τότε και η είναι αρνητικός αριθμός ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (β) Δεν υπάρχει γωνία για την οποία να ισχύει και. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (γ) Αν,, τότε το. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (δ) Αν και, τότε η τελική πλευρά της γωνίας είναι στο 4 ο τεταρτημόριο. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 2. Το ημίτονο μιας γωνίας δεν μπορεί να είναι ίσο με: (α) (β) (γ) 2 2 (δ) (ε) Να βρείτε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών των γωνιών με μέτρο 236, 2,,. 4. Να βρείτε σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας, αν: (α) 0 και 0 (β) 0 και 0 (γ) 0 και 0 92 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

23 Τριγωνομετρικές Ταυτότητες Διερεύνηση Στο σχήμα δίνεται ο τριγωνομετρικός κύκλος. Η τελική πλευρά της γωνίας τέμνει τον κύκλο στο σημείο,. (α) Να εκφράσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και, συναρτήσει των συντεταγμένων του σημείου. (β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και. (γ) Να ελέγξετε αν η σχέση που βρήκατε στο (β) μπορεί να γενικευθεί και στις περιπτώσεις όπου η γωνία ανήκει στο 2 ο, 3 ο και 4 ο τεταρτημόριο. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 93

24 Μαθαίνω Από τους ορισμούς των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας προκύπτουν ορισμένες σχέσεις που τους συνδέουν και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες (βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες). Οι σχέσεις αυτές ισχύουν για οποιαδήποτε τιμή της γωνιάς. Απόδειξη: Η τελική πλευρά της γωνίας τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο στο σημείο,. 1 και 1 1, Απόδειξη: Η τελική πλευρά της γωνίας στο σημείο,. τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, Απόδειξη: Απόδειξη: 1 1 Απόδειξη: ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

25 Παραδείγματα 1. Αν και , να υπολογίσετε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας. Λύση: ( ) Η τελική πλευρά της γωνίας ανήκει στο 2 ο τεταρτημόριο , άρα το Να αποδείξετε την ταυτότητα:. Λύση: ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 95

26 Δραστηριότητες 1. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας στις πιο κάτω περιπτώσεις: (α), 0 90 (β), 2 (γ), Αν και 0 90, να εκφράσετε συναρτήσει του τους τριγωνομετρικούς αριθμούς και. 3. Αν και , να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της παράστασης. 4. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες: (α) (β) (γ) 1 (δ) (ε) 1 (στ) (ζ) 2 (η) (θ) 2 (ι) 5. Να εκφράσετε την συναρτήσει του 0 90 μόνο. 6. Αν 3 και 3, να δείξετε ότι ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

27 7. Η βέλτιστη οπτική γωνία σε ένα θέατρο εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, όπως το ύψος της οθόνης, η κλίση της αίθουσας, η θέση του καθίσματος, το ύψος του ματιού ενός καθήμενου θεατή. Για να επιλέξει ένας θεατής την «καλύτερη θέση» χρειάζεται να μετρήσουμε την απόσταση του ματιού από την κορυφή της σκηνής. Για το συγκεκριμένο θέατρο που φαίνεται στην εικόνα αυτή η απόσταση υπολογίζεται από τον τύπο 20 20, όπου είναι η διαγώνια απόσταση της θέσης ενός θεατή από το οριζόντιο δάπεδο. (α) Να αποδείξετε ότι ο πιο πάνω τύπος είναι ισοδύναμος με τον τύπο: (β) Να υπολογίσετε την απόσταση, αν 18, ο θεατής κάθεται στην 8 η σειρά και η υψομετρική διαφορά μεταξύ δύο διαδοχικών σειρών είναι 0, Να εξετάσετε κατά πόσο υπάρχουν τιμές του για τις οποίες: (α) Να ισχύει συγχρόνως 0 και 0 (β) Να ισχύει συγχρόνως 1 και 1 (γ) Να ισχύει συγχρόνως και (δ) Να ισχύει συγχρόνως και. 9. Αν και, να δείξετε ότι 1. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 97

28 Σχέσεις Μεταξύ των Τριγωνομετρικών Αριθμών που έχουν Άθροισμα ή Διαφορά,,,, Διερεύνηση Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των γωνιών που δίνονται στους πιο κάτω πίνακες με τη χρήση υπολογιστικής μηχανής ή με τη βοήθεια του εφαρμογιδίου «AlykEn04_SxesiTrigArith_Athr&Diafora.ggb» και να συμπληρώσετε τους πίνακες ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

29 Τι παρατηρείτε σε κάθε περίπτωση; Μαθαίνω Γωνίες με άθροισμα (αντίθετες): Οι τελικές πλευρές δύο αντίθετων γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο σε σημεία και συμμετρικά ως προς τον άξονα των συνημιτόνων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: Γωνίες με άθροισμα : Οι γωνίες είναι της μορφής και 90. Από τα ίσα τρίγωνα και έχουμε, και,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 99

30 Γωνίες με άθροισμα : Οι γωνίες είναι της μορφής και 180. Οι τελικές πλευρές των δύο γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία, και,. Τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα των ημιτόνων. Από το διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι: Γωνίες με διαφορά : Οι γωνίες είναι της μορφής και 90. Από τα ίσα τρίγωνα και έχουμε, και,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: Γωνίες με διαφορά : Οι γωνίες είναι της μορφής και 180. Οι τελικές πλευρές των δύο γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο στα σημεία, και,. Τα σημεία και είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο του κύκλου. Από το διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι: 100 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

31 Γωνίες με άθροισμα : Οι γωνίες είναι της μορφής και 270. Από τα ίσα τρίγωνα και έχουμε, και,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: Γωνίες με διαφορά : Οι γωνίες είναι της μορφής και 270. Από τα ίσα τρίγωνα και έχουμε, και,, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: Γωνίες με άθροισμα : Οι γωνίες είναι της μορφής και 360. Οι τελικές πλευρές των γωνιών τέμνουν τον τριγωνομετρικό κύκλο σε σημεία, και, συμμετρικά ως προς τον άξονα των συνημιτόνων, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Παρατηρούμε ότι: Σημείωση: Με τους πιο πάνω τύπους μπορούμε να εκφράσουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας με τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Η διαδικασία αυτή λέγεται αναγωγή στο α τεταρτημόριο. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 101

32 Παραδείγματα 1. Να γράψετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς ως τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας: (α) 187 (β) 29 (γ) 123 (δ) 120 Λύση: (α) Η γωνία 187 έχει την τελική πλευρά της στο 3 ο τεταρτημόριο, άρα το 187 είναι αρνητικό και γνωρίζουμε ότι 180. (β) (γ) (δ) Α τρόπος: Η γωνία 29 έχει την τελική πλευρά της στο 4 ο τεταρτημόριο, άρα το 29 είναι θετικό και γνωρίζουμε ότι 270. Β τρόπος: Η γωνία 29 έχει την τελική πλευρά της στο 4 ο τεταρτημόριο, άρα το 29 είναι θετικό και γνωρίζουμε ότι 360. Α τρόπος: Η γωνία 123 έχει την τελική πλευρά της στο 2 ο τεταρτημόριο, άρα η 123 είναι αρνητική και γνωρίζουμε ότι 180. Β τρόπος: Η γωνία 123 έχει την τελική πλευρά της στο 2 ο τεταρτημόριο, άρα η 123 είναι αρνητική και γνωρίζουμε ότι 90. Α τρόπος: 120 Γνωρίζουμε ότι Η γωνία 120 έχει την τελική πλευρά της στο 2 ο τεταρτημόριο, άρα το 120 είναι αρνητικό και γνωρίζουμε ότι ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

33 Β τρόπος: 120 Γνωρίζουμε ότι 60 Η γωνία 120 έχει την τελική πλευρά της στο 2 ο τεταρτημόριο, άρα το 120 είναι αρνητικό και γνωρίζουμε ότι Να δείξετε ότι. Λύση: 3. Να λύσετε την εξίσωση, αν Λύση: 30 Γνωρίζουμε ότι 180, άρα ισχύει , άρα 30 ή 1 0. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 103

34 Δραστηριότητες 1. Να χαρακτηρίσετε ΣΩΣΤΟ ή ΛΑΘΟΣ τις πιο κάτω προτάσεις, βάζοντας σε κύκλο τον αντίστοιχο χαρακτηρισμό. (α) Αν,, τότε, ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (β) Αν,, τότε ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ,. (γ) Αν,, τότε,. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ (δ) Αν, τότε. ΣΩΣΤΟ / ΛΑΘΟΣ 2. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ισότητες: (α) (β) 3. Να απλοποιήσετε τις πιο κάτω παραστάσεις: ( ) ( ) ( ) 4. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες: (α) 1 [1 ( 2 )] (β) Να αποδείξετε ότι: (α) ( ) ( ) 0 (β) ( ) ( ) 0 (γ) ( ) ( ) δ Αν και 0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

35 7. Αν,, είναι οι γωνίες ενός τριγώνου, να δείξετε ότι: (α) β (γ) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις στο διάστημα 0 360: (α) (β) 2 (γ) 3 (δ) 120 (ε) 2 0 (στ) Να υπολογίσετε τη γωνία, αν και. 10. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) ( ) 1. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 105

36 Δραστηριότητες Ενότητας 1. Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε τα μήκη και με προσέγγιση εκατοστού (χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής), χρησιμοποιώντας τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς: 30 0, 30 0, , , , , Στο διπλανό σχήμα να υπολογίσετε το ύψος του σπιτιού, αν γνωρίζετε ότι: 2 0, 1 2 0,91 2 0, 3. Ο Λίνος ισχυρίζεται ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με γωνία 30 η υποτείνουσα είναι διπλάσια από την πλευρά που βρίσκεται απέναντι της γωνίας των 30. Να εξετάσετε κατά πόσο ο ισχυρισμός αυτός είναι ορθός. 4. Να υπολογίσετε την τιμή του στο πιο κάτω σχήμα: 5. Με βάση το πιο κάτω σχήμα, να δείξετε ότι. 106 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

37 6. Να υπολογίσετε την απόσταση του πλοίου από τον πύργο, αν είναι γνωστό ότι 2 0, 2, 2 0,91, 2 0, 7. (Χωρίς τη χρήση υπολογιστικής μηχανής). 7. Να αποδείξετε τις πιο κάτω ταυτότητες: (α) (β) 8. Στο σχήμα δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο με κάθετες πλευρές 1 και 1, με Να εκφράσετε το και το συναρτήσει τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας και να δώσετε την απάντησή σας στην πιο απλή μορφή. 9. Να εκφράσετε τα μήκη των τμημάτων,, και, όπως φαίνονται στο διπλανό σχήμα, συναρτήσει των τριγωνομετρικών αριθμών της γωνίας. 10. Αν 3 να αποδείξετε ότι. 11. Αν, να δείξετε ότι. 12. Να υπολογίσετε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή των παραστάσεων: (α) 3 3 (β) 3 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 107

38 13. Να αποδείξετε ότι: (α) (β) Να δείξετε ότι η πιο κάτω παράσταση έχει τιμή ανεξάρτητη του, 2 2 ( ). 15. Αν, (α) Να δείξετε ότι. (β) Με τη βοήθεια των πιο πάνω να υπολογίσετε συναρτήσει του παραστάσεις: (i) τις (ii) (iii) 16. Να αποδείξετε ότι: (α) 1 2 (β) 1 3 (γ) Η παράσταση 2 3 έχει τιμή ανεξάρτητη του, δηλαδή είναι σταθερή. 17. Να αποδείξετε ότι: Αν ( ) ( ), να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: ( ) ( ). 19. Να βρείτε για ποιες τιμές του ισχύει η ισότητα, όταν ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

39 Δραστηριότητες Εμπλουτισμού 1. Η Σοφία προσπαθεί να υπολογίσει το ύψος του τοίχου. Πήρε ένα βιβλίο το τοποθέτησε κοντά στο μάτι της έτσι ώστε όταν κοιτάζει κατά μήκος της μιας πλευράς του βιβλίου να φαίνεται η συμβολή του τοίχου με την οροφή και όταν κοιτάζει κατά μήκος της άλλης πλευράς του βιβλίου να φαίνεται η συμβολή του τοίχου με το πάτωμα. Αν η απόσταση του ματιού της από το έδαφος είναι 16 και από τον τοίχο 2, να υπολογίσετε το ύψος του τοίχου. 2. Ο κύριος Ζήνωνας θέλει να σχεδιάσει μια γέφυρα για πεζούς η οποία θα περνά πάνω από το τρένο. Για να σχεδιάσει τη γέφυρα πρέπει να υπολογίσει το ύψος,, από το έδαφος μέχρι την κορυφή του τρένου. Να τον βοηθήσετε να υπολογίσει το ύψος αυτό. 3. Να κατασκευάσετε μια γωνία, γνωρίζοντας ότι ( ). 4. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο με ύψος έτσι ώστε και. Να περιγράψετε τον τρόπο που εργαστήκατε για να κατασκευάσετε το τρίγωνο και να υπολογίσετε το και το. 5. Αν, να αποδείξετε ότι Αν 0, να αποδείξετε ότι. ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 109

40 7. Στο διπλανό σχήμα είναι 1 και ακτίνια. (α) Να υπολογίσετε το μήκος των και και στη συνέχεια να δείξετε ότι: ( ). (β) (γ) Να βρείτε το είδος του τριγώνου και στη συνέχεια να δείξετε ότι: ( ). Να αποδείξετε ότι: (i) (ii) 110 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

41 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία 111

42 112 ΕΝΟΤΗΤΑ 4 :Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας

Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου. Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας - Φύλλο Εργασίας Απέναντι και προσκείμενη πλευρά σε γωνία ορθογωνίου τριγώνου 1. Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ του διπλανού σχήματος η πλευρά ΒΓ που βρίσκεται απέναντι από την ορθή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ - 010 48 Α. Τι λέγεται τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α και πώς συμβολίζεται αυτή; Β. Ποιος αριθμός ονομάζεται άρρητος;. Πώς ορίζονται οι πραγματικοί αριθμοί; Α. Τι λέγεται ημίτονο μιας

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Θέματα απολυτήριων εξετάσεων ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. Να συμπληρωθούν οι ισότητες: (α + β) =.., (α β) 3 = και (α + β)(α β) =.. Β. Να αποδείξετε τη δεύτερη. Θέμα ο Να γράψετε τα τρία (3) κριτήρια ισότητας τριγώνων. Να λυθεί η εξίσωση: 3 + 4 = 7 + 1 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ

3.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ 1.1 ΤΡΙΓΩΝΜΕΤΡΙΚΙ ΑΡΙΘΜΙ ΓΩΝΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Για γωνία ω µε ο < ω < 9 ο ηµω = γ α = απέ ναντι κάθετη υποτείνουσα Β συνω = β α = προσκείµενη κάθετη υποτείνουσα εφω = γ β = απέ ναντι κάθετη προσκείµενη κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ )

ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) ΘΕΩΡΙΑ ( ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ) Έχουμε δύο κάθετους άξονες x x και y y με κοινή αρχή 0. Από ένα σημείο Μ του επιπέδου φέρνουμε τις κάθετες στους δύο άξονες x x και y y. Ονομάζουμε τετμημένη του σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 3: Πραγματικοί αριθμοί Πυθαγόρειο Θεώρημα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 2: Πραγματικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων

Β Γυμνασίου. Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων υμνασίου Θέματα Εξετάσεων Θέμα 1. α. Ποια ποσά λέγονται ανάλογα και ποια σχέση τα συνδέει; β. Τι γνωρίζετε για τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=αx

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα.

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ. 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 1. Τι ονομάζουμε εφαπτομένη μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου; Να κάνετε σχήμα. 2. Τι ονομάζουμε ημίτονο μια οξείας γωνίας ενός ορθογωνίου τριγώνου;

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Επαναληπτικές Ασκήσεις (από σχολικό βιβλίο) (από βοήθημα Γ Γυμνασίου Πετσιά-Κάτσιου) Κεφάλαιο 1ο 17,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Κεφάλαιο 4ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» k R Κεφάλαιο 4ο: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Α. ΚΥΚΛΟΣ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. * Η εξίσωση ( x x ) + ( y y ) = k, k R είναι πάντοτε εξίσωση κύκλου. o o. * Η εξίσωση x + y + Ax + By + Γ = 0 παριστάνει κύκλο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο.

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. και 25x i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ΣΥΛΛΟΓΟΣ «Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ» ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΜΑΡΟΥΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Δίνονται τα πολυώνυμα (3x ) (5 x)(3x ) και 5x 9 i). Να κάνετε τις πράξεις στο πολυώνυμο. ii). Να βρείτε την τιμή του

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΩΜΕΤΡΙΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 ΤΑΞΗ ΦΥΛΛΟ ΕΡΑΣΙΑΣ Κ 1.1 ΕΝΟΤΗΤΑ : Εμβαδόν επίπεδης επιφάνειας Τάξη : υμνασίου. Καθ. Χρήστος Μουρατίδης Όνομα Μαθητή :.. Ημ/νία :. 1. Να βρείτε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1);

Γραμμικά Συστήματα Δίνεται η εξίσωση 4x y 11(1). α) Ποια από τα ζεύγη (2, 3),(0, 11), (1, 8) κα (7, 0) είναι λύση της εξίσωσης (1); 8808Δίνεται η εξίσωση x y 7 Γραμμικά Συστήματα α) Να επαληθεύσετε ότι το ζεύγος αριθμών x, y, είναι μια λύση της εξίσωσης β) Να αποδείξετε ότι το, 88Δίνεται η εξίσωση x y 8 δεν είναι λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΥΡΩΝ 11/6/014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΤΕ ΕΝΑ ΑΠΟ ΤΑ ΔΥΟ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΑΙ ΔΥΟ ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΡΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Λυμένες Ασκήσεις 1. Στο παρακάτω σχήμα να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, Η, Θ και Ι Οι συντεταγμένες των ζητούμενων σημείων είναι: Α(2,3),

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ

2.7 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ ΜΕΡΟΣ Β.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ 33.7 ΑΝΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΔΥΟ ΚΑΘΕΤΕΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΕΣ Ανάλυση διανύσματος σε δυο κάθετες συνιστώσες y x Α Γ x Δ Β y Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα κατασκευάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα στον ορισμό τη επίκεντρης

Διαβάστε περισσότερα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα

Σωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

1.4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ 34 4 ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή

Διαβάστε περισσότερα

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ klzxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjklz ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Προσομοιωμένο διαγώνισμα απολυτήριων εξετάσεων στα Μαθηματικά της Γ Γυμνασίου ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 01-01 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ Α. ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο.

Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. ΓΕΩΛΟΓΙΚΗ ΤΟΜΗ ΚΕΚΛΙΜΕΝΑ ΣΤΡΩΜΜΑΤΑ 6.1 ΚΛΙΣΗ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ Κλίση ενός στρώματος είναι η διεύθυνση κλίσης και η γωνία κλίσης με το οριζόντιο επίπεδο. Πραγματική κλίση στρώματος Η διεύθυνση μέγιστης κλίσης,

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις αντιστοίχισης

Ερωτήσεις αντιστοίχισης Ερωτήσεις αντιστοίχισης 1. ** Να αντιστοιχίσετε κάθε ευθεία που η εξίσωσή της βρίσκεται στη του πίνακα (Ι) µε τον συντελεστή της που βρίσκεται στη, συµπληρώνοντας τον πίνακα (ΙΙ) (α, β 0). 1. ε 1 : y =

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β

ΓΥΜΝΑΣΙΟ 2008 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΑΞΗ Β ΥΜΝΑΣΙΟ 008 65 ΥΜΝΑΣΙΟ 008 66 α. Πότε μια γωνία λέγεται εγγεγραμμένη και πότε επίκεντρη; β. Ποια είναι η σχέση μεταξύ επίκεντρης και εγγεγραμμένης γωνίας, που βαίνουν στο ίδιο τόξο; γ. Πότε δύο τόξα μ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1

ΠΑΝΑΓΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΤΩΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Σελίδα 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.6 ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΤΟΥ ΕΜΒΑΔΟΥ ΚΥΚΛΟΥ ΜΕ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ 11.7 ΕΜΒΑΔΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΚΑΙ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 11.8 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Εμβαδόν κυκλικού δίσκου) Θεωρούμε

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 20/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 20/6/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Β ΤΑΞΗΣ ΛΥΚΕΙΑΚΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΣΤΥΡΩΝ 0/6/0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα

Διαβάστε περισσότερα

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 61 Ορισμοί. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ Ημίτονο γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου

Διαβάστε περισσότερα

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου.

Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Τυπολόγιο Μαθηματικών Πρόλογος Το εγχειρίδιο αυτό, δεν είναι απλό τυπολόγιο αλλά μία εγκυκλοπαίδεια όλων των μαθηματικών του ενιαίου λυκείου. Π ε ρ ι ε χ ό μ ε ν α Λυκείου Άλγεβρα 001 018 Γεωμετρία 019

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής).

Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x. την παράγωγο f' ( x. 0 ) (ή και στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής). Ρυθμός μεταβολής Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ i Αν δύο μεταβλητά μεγέθη x, y συνδέονται με τη σχέση y = f( x) και η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο x τότε ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y ως προς το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α1.1 Ισότητα τριγώνων Στο διπλανό σχήμα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με ΑΒ=ΑΓ. Προεκτείνουμε τη βάση ΒΓ κατά ίσα τμήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι Ο ρ ι σ μ ο ι. Να δειχτει οτι α + α. Ποτε ισχυει το ισον; Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη π/ του Μ (εντονο. Aν μπλε) α, β θετικοι, να συγκρινεται

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (42) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (4) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Β Λυκείου - Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή

3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Γεωμετρία - Τάξη Α ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 61 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στην εωμετρία Τάξη! Λυκείου ενικό νιαίο Λύκειο εωμετρία - Τάξη 6. Να αποδείξετε ότι διάμεσος τραπεζίου είναι παράλληλη προς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 ΕΙΔΗ ΓΡΑΜΜΩΝ, ΕΙΔΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ, ΠΑΡΑΛΛΗΛΟΓΡΑΜΜΑ, ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Εκτίμηση και μέτρηση Μ3.6 Εκτιμούν, μετρούν, ταξινομούν και κατασκευάζουν γωνίες (με ή χωρίς τη χρήση της

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος

Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. Τόμος 2ος Άλγεβρα Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Τόμος ος Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Κατσαργύρης Βασίλειος Καθηγητής μαθηματικών Βαρβακείου Πειραμ. Λυκείου Παπασταυρίδης Στάυρος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΆΛΓΕΒΡΑ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 5 x - 3 + 10 2-5x + 10x= - 15 + 10x i. ( ) ( ) ( ) ii. 9( 8-x) -10( 9-x) -4( x - 1)

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα