/ 2 + 0! / 2 +!g( h + h/2) = P B P A. +!v A 2 / 2 + 3!gh/2 = P B. +!v B 2 / 2 (1)

Transcript

1 Στην διάταξη του σχήµατος () το νερό µιας δεξα µενής εκρέει προς την ατµόσφαιρα µέσω σωλήνος, ο οποίος παρουσι άζει ένα κεκαµµένο τµήµα διατοµής S και ένα οριζόντιο τµήµα, διατο µής S/. To στόµιο εκροής Γ του νερού βρίσκεται χαµηλότερα κατά h από την ελεύθερη επιφάνεια του ύδατος της δεξαµενής, ενώ το οριζόν τιο τµήµα του κεκαµµένου σωλήνα βρίσκεται κατά h/ κάτω από το στόµιο εκροής. Να βρεθεί το ύψος του νερού στον κατακόρυφο µανο µετρικό σωλήνα Σ. Πόσο θα γινόταν το ύψος αυτό, αν εµποδιζόταν η ροή του νερού; Δίνεται η ατµοσφαιρική πίεση P α, η πυκνότητα ρ του νερού και η επι τάχυνση g της βαρύτητας. Η ροή του νερού θα θεωρηθεί µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές. ΛΥΣΗ: Eφαρµόζοντας τον νόµο Bernulli για την ρευµατική γραµµή που διέρ χεται από τα σηµεία Α και Β λαµβανοντας ως επίπεδο αναφοράς των υψοµετ ρικών πιέσεων το οριζόντιο επίπεδο (ε), παίρνουµε την σχέση: Σχήµα P A + v A / + g( h + h/) = P B + v B / + 0 P A + v A / + 3gh/ = P B + v B / ()

2 Όµως η στατική πίεση P A είναι η ατµοσφαιρική πίεση P α και η ταχύτητα v A πολύ µικρότερη της v B (νόµος της συνέχειας), οπότε η () προσεγγίζεται µε την σχέση: P + 3"gh/ = P B + "v B / () Eξάλλου εάν x είναι το ύψος του νερού στον µανοµετρικό σωλήνα Σ, για την στατική πίεση P B θα έχουµε P B =P α +ρgx και η () γράφεται: P + 3"gh/ = P + "gx + "v B / v B = 3gh - gx (3) Eφαρµόζοντας πάλι τον νόµο Bernulli για την ρευµατική γραµµή ΑΒΓ και λαµ βάνοντας υπ όψη ότι v Α <<v Γ, P Α =P α και P Γ =P α παίρνουµε: 3gh/ = gh/ + v " / v = gh (4) Όµως από τον νόµο της συνέχειας στις διατοµές Β και Γ έχουµε: S B v B = S v S v B = S v v = v B v = 4v B (3),(4) gh = 3gh - gx x = h/ Aν κλείνοντας το άκρο Γ του οριζόντιου σωλήνα εµποδιζόταν η ροή του νερού, τοτε αυτό θα ισορροπούσε παντού και η πίεση στο σηµείο Β θα εκφραζόταν µέσω των σχέσεων: P B = P P B = P + "gx # $ + 3"gh/% x = 3h/ Στην διάταξη του σχήµατος () ο οριζόντιος σωλή νας παρουσιάζει στα ευρέα τµήµατά του κυκλική διατοµή ακτίνας R, ενώ η κυκλική διατοµή του ενδιάµεσου τµήµατός του είναι R/. Διαµέσου του σωλήνα ρέει νερό, µε αποτέλεσµα να διαµορφώνεται στο πάνω ανοιχτό άκρο του κατακόρυφου σωλήνα κατάλληλη στατική πίεση. που προκαλεί αναρρόφηση προς τα πάνω του νερού της δεξαµε νής Δ. Να βρείτε την ελάχιστη παροχή του σωλήνα, η οποία µόλις επαρκεί για να φέρει το νερό στο πάνω άκρο του σωλήνα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, ενώ η ροή του νερού θεωρείται ασυµπίε στη, µονιµη και χωρίς τριβές και ακόµη ότι το νερό εκρέει από το δεξιό άκρο του σωλήνα προς την ατµόσφαιρα. ΛΥΣΗ: Εφαρµόζοντας τον νόµο του Βernoulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής Α Β µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επέπεδο που περιέχει τον άξονα του σωλήνα, παίρνουµε την σχέση:

3 P + v / = P + v / P - P = v ( - v ) / () Σχήµα όπου P, Ρ οι στατικές πιέσεις στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως, v, v οι αντίστοιχες ταχύτητες ροής του νερού στα σηµεία αυτά και ρ η πυκνότητα του νερού. Εξάλλου από τον νόµο της συνέχειας έχουµε: S v = S v (R / 4)v = R v v = 4v οπότε η () γράφεται: P - P = 4v ( - v ) / P - P = 3"v / () διότι η στατική πίεση P είναι ίση µε την ατµοσφαιρική πίεση P α, Για να φθάσει το νερό στο πάνω άκρο του κατακόρυφου σωλήνα πρέπει η διαφορά πιέσεων P α -P να υπερβαίνει ή να είναι ίση προς την υδροστατική πίεση ρgh, δηλαδή πρέπει να ισχύει: P - P " #gh (3) H (3) συνδυαζόµενη µε την () δίνει: 3v / " gh v gh / 3 v gh / 3 ( v ) min = gh / 3 (4) H ζητούµενη ελάχιστη παροχή του σωλήνα ροής είναι: (4) min = "R ( v ) min min = "R gh / 3

4 Kυλινδρικό δοχείο ύψους H είναι γεµάτο µε νερό και βρίσκεται επί οριζόντιου εδάφους µε τον άξονά του κατακόρυφο. i) Eάν σε δύο σηµεία της παράπλευρης επιφάνειάς του δοχείου ανοί ξουµε δύο µικρές οπές, που βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη γεννέ τειρά του και σε συµµετρικές θέσεις ως προς το µέσο της, να δείξετε ότι οι δύο υδάτινες φλέβες που θα δηµιουργηθούν θα συναντήσουν το έδαφος στο ίδιο δηµείο. ii) Ποιά πρέπει να είναι η απόσταση των δύο οπών, ώστε οι δύο φλέ βες να εκτοξευθούν σε µέγιστη οριζόντια απόσταση και πόση θα είναι τότε η απόσταση αυτή; ΛΥΣΗ: i) Aς δεχθούµε ότι σ ένα σηµείο O µιας κατακόρυφης γεννέτειρας του κυλινδρικού δοχείου, που απέχει από την βάση του απόσταση y ανοίγουµε µικρή οπή. Τότε από την οπή θα εκρέει νερό µε οριζόντια ταχύτητα v της οποί ας το µέτρο, εφ όσον η ροή του νερού θεωρηθεί µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές, θα υπολογίζεται µε βάση το θεώρηµα Τοricelli, δηλάδη από την σχέση: v = g( H - y) () όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Κάθε µόριο της εξερχόµενης υδάτινης βλέβας εκτελεί οριζόντια βολή διαγράφοντας παραβολική τροχιά και έστω ότι συναντά το έδαφος σε απόσταση s από την κατακόρυφη που περνά από το Ο. Εάν t είναι ο χρόνος κίνησης του µορίου από το Ο µέχρις το έδαφος θα ισχύουν οι σχέσεις: Σχήµα 3 y = gt / " s = vt # () y = gs / v y = gs / 4g( H - y) 4y( H - y) = s y - Hy + s /4 = 0 () H () είναι µια εξίσωση ου βαθµού ως προς y, µε ρίζες: y = H - H - s και y = H + H - s (3)

5 Με την προυπόθεση ότι 0 < s H οι ρίζες y, y θα είναι πραγµατικές και δηλώνουν ότι, αν ανοίξουµε δύο µικρές οπές επί µιας κατακόρυφης γεννέτει ρας του δοχείου σε συµµέτρικές θέσεις ως προς το µέσο της Μ (σχ. 4), τότε οι δύο υδάτινες φλέβες που θα δηµιουργηθούν θα συναντήσουν το οριζόντιο έδα φος στο ίδιο σηµείο Α. ii) Aφαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (3) παίρνουµε: y - y = H - s ( y - y ) = H - s s = H - ( y - y ) (4) Aπό την (4) προκύπτει ότι η απόσταση s γίνεται µέγιστη, όταν η διαφορά y -y µηδενιστεί, δηλαδή όταν οι οπές συµπέσουν στο µέσο Μ. Στην περίπτωση αυτή η µέγιστη τιµή της απόστασης s θα είναι s max =H και y =y =H/. Οριζόντια φλέβα νερού εµβαδού διατοµής S, προσ πίπτει κάθετα στο κέντρο µιας κατακόρυφης έδρας σώµατος ορθογωνι ακής µορφής, το οποίο βρίσκεται σε επαφή µε οριζόντιο τραχύ δάπε δο, όπως φαίνεται στο σχήµα (4). Η φλέβα διαχωρίζεται σε δύο σχεδόν κατακόρυφες αντιδιαµετρικές φλέβες που κινούνται παράλ ληλα προς την έδρα προσπώσεως του νερού. Εάν Μ είναι η µάζα του σώµατος, h το ύψος του και α το πλάτος του, να βρεθεί η παροχή της οριζόντιας φλέβας, για την οποία επίκειται η ανατροπή του σώµα τος υπό την προυπόθεση ότι αυτό δεν ολισθαίνει. Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας, το δε νερό θα θεωρηθεί ιδανικό ρευστό. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το νερό που περιέχεται στον όγκο που οριοθετείται από την προσπίπτουσα φλέβα και από τα τµήµατα των δύο ανακλώµενων κατακό ρυφων φλεβών που είναι αντικρυστές προς το σώµα (διακεκοµένη γραµµή). Έαν dm είναι η µάζα του νερού που εισέρχεται στον όγκο αυτόν σ ένα στοιχει ώδη χρόνο ( 0) τότε η αντίστοιχη εισερχόµενη στον όγκο ορµή είναι ορι ζόντια και ίση µε dm v, όπου v η ταχύτητα πρόσπτωσης του νερού στο σώµα. Εξάλλου στον χρόνο εξέρχεται από τον θεωρούµενο όγκο µέσω των δύο φλεβών, µάζα νερού dm που η ορµή της είναι σχεδόν κατακόρυφη γεγονός που σηµαίνει ότι η µεταβολή της ορµής του νερού που περιέχεται στον όγκο, κατά την οριζόντια διέυθυνση, είναι ίση µε - dm v. Εφαρµόζοντας κατά την διεύθυν ση αυτή τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή, παίρ νουµε την σχέση: -dm v = F - v dv = F -" v = F () όπου ρ η πυκνότητα του νερού, Π η παροχή της οριζόντιας φλέβας και F η δύναµη επαφής που δέχεται το νερό από την επιφάνεια πρόσκρουσης, της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην επιφάνεια και διέρχεται από το κέντρο της.

6 Aπό την () προκύπτει ότι η δύναµη F είναι αντίρροπη της ταχύτητας v το δέ µέτρο της είναι: F = "v = " /S () Σχήµα 4 Σχήµα 5 Σύµφωνα µε το αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης το νερό εξασκεί στο σώµα δύναµη F αντίθετη της F της οποίας ο φορέας διέρχεται από το κέν τρο µάζας C του σώµατος (σχ. 4). Ακόµη το σώµα δέχεται το βάρος του M g και την δύναµη επαφής από το οριζόντιο δάπεδο, της οποίας ο φορέας διέρχεται από την ακµή του Ο στην περίπτωση που επίκειται η ανατροπή του. Τότε όµως το σώµα ισορροπεί οριακά και εποµένως το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών, περί την ακµή Ο, όλων των δυνάµεων που δέχεται είναι ίση µε µηδέν, δηλαδή ισχύ ει η σχέση: () " (o) = 0 F h - Mg" = 0 Fh = Mg " h/s = Mg# = MgS" /#h Από το άκρο Α του αµαξιδίου του σχήµατος (6) εισέρχεται οριζοντίως υγρό υπό την ατµοσφαιρική πίεση και εξέρ χεται επίσης οριζοντίως στην ατµόσφαιρα από το άκρο Β. Η ροή του υγρού διαµέσου του αµαξιδίου είναι συνεχής και ασυµπίεστη, το δε αµαξίδιο συγκρατείται επί λείου οριζοντίου δαπέδου µε δράση κατάλ ληλης εξωτερκής δύναµης. Εάν αποσυρθεί η δύναµη αυτή προς ποια κατεύθυνση θα κινηθεί το αµαξίδιο; Δικαιολογήσατε πλήρως την απάντησή σας. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι σε πολύ µικρό χρόνο ( 0) εισέρχεται µε ταχύ τητα v από το άκρο Α του αµαξιδίου µια µάζα dm υγρού και εξέρχεται από το άκρο του Β µε ταχύτητα v. Εξετάζοντας το σύστηµα αµαξίδιο-περιεχόµενο

7 υγρό παρατηρούµε ότι στον χρόνο εισήλθε σ αυτό ορµή dm v και εξήλθε ορµή dm v, δηλαδή µεταβλήθηκε η ορµή του κατά: d P = dm v - dm v () Eφαρµόζοντας για το σύστηµα τον δεύτερο νόµο του Νευτωνα υπό την γενικευ µένη µορφή του παίρνουµε την σχέση: d P = F " + F () dm #$ ( v - v ) = F " + F #$ () Σχήµα 6 όπου F " η εξωτερική δύναµη που κρατάει το σύστηµα ακίνητο και F "# η δύναµη που δέχεται από τον ατµοσφαιρικό αέρα που το περιβάλλει (το βάρος του συστήµατος δεν αναφέρθηκε, διότι εξουδετερώνεται). Οµως η δύναµη F "# εξαρτάται από το σχήµα της εξωτερικής επιφάνειας του συστήµατος και από την πίεση του αέρα που την περιβάλλει, που σηµαίνει ότι αν στην θέση του συστήµατος θεωρήσουµε αέρα της ίδιας πίεσης µε εκείνον του εξωτερικού του περιβάλλον τος η ποσότητα αυτή θα δέχεται από τον υπόλοιπο αέρα δύναµη ίση µε F "#. Επειδή η θεωρούµενη αυτή ποσότητα του αέρα ισορροπεί, θα είναι F "# = 0 µε αποτέλεσµα η () να παίρνει την µορφή: dm ( v - v ) = F " (3) Eπειδή το υγρό θεωρείται ασυµπίεστο ισχύει η αρχή της συνέχειας, δηλαδή µπο ρούµε να γράψουµε την σχέση: S v = S v v = S v / S v > v (4) διότι το εµβαδόν διατοµής S του άκρου Α εισόδου του υγρού είναι µεγαλύτερο του εµβαδού διατοµής S του άκρου εξόδου Β. Άρα το διάνυσµα v - v θα είναι οµόρροπο προς το v και λόγω της (3) προκύπτει ότι και το διάνυσµα F " θα εί ναι οµόρροπο του v. Αν λοιπόν καταργειθεί η εξωτερική δύναµη, το αµαξίδιο θα κινηθεί προς την κατεύθυνση ροής του υγρού, δηλαδή προς τα δεξιά.

8 Tα σηµεία A και B του υδαταγωγού του σχήµατος (7) παρουσιάζουν υψοµετρική διαφορά h, η δε διατοµή του άνω οριζόντιου τµήµατος του αγωγού είναι τριπλάσια της διατοµής του κάτω οριζόντιου τµήµατός του. Eάν η ταχύτητα εισόδου του νερού στον άγωγό είναι v µε v =gh/0, η πυκνότητά του είναι ρ, η διαφορά στατικών πιέσεων ανάµεσα στις άκρες του A και B είναι P=3g"h/5 και η παροχή νερού του αγωγού Π, να βρεθεί η ισχύς απωλειών κατά την εξέλιξη της ροής του νερού. Το νερό θα θεωρηθεί ασυµπίεστο υγρό, αλλά µε τριβές τόσο στα τοιχώµατα του αγωγού όσο και µεταξύ των στρωµάτων του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛYΣH: Ας δεχθούµε ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ εισέρχεται στον αγωγό µια µάζα dm µε ταχύτητα v υπό πίεση P και εξέρχεται µε ταχύ τητα v υπό πίεση P. Εάν dk είναι η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του νερού τον χρόνο, du η αντίστοιχη µεταβολή της βαρυτικής του ενέργειας και dw α η αντίστοιχη απώλεια της µηχανικής ενέργειας του νερού λόγω τριβών, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα έργου-ενέργειας θα έχουµε την σχέση: dk + du + dw = dw F + dw F () Σχήµα 7 όπου dw F, dw F τα έργα των πιεστικών δυνάµεων F, F στις άκρες Α και Β αντιστοίχως του αγωγού, στον χρόνο. Όµως για τις ποσότητες dk και du ισχύουν οι σχέσεις: dk = dmv / - dmv / " du = 0 - dmgh = - dmgh # () Eξάλλου για τα έργα dw F, dw F έχουµε τις σχέσεις: dw F dw F = F v = P S v # " = -F v = -P S v $ # (3) όπου S, S τα εµβαδά διατοµής του υδαταγωγού στο άνω και κάτω οριζόντιο τµήµα του αντιστοίχως. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), (), (3) παίρνουµε:

9 dmv / - dmv / - dmgh + dw = P S v - P S v dm v - v # " - gh $ & + dw ' % = P S v - P S v dv ( v - v - gh) + dw " = P S v - P S v ( ) "( v - v - gh) + N # = ( P S v - P S v ) N = ( P S v - P S v ) - "#( v - v - gh) (4) όπου dv ο όγκος νερού που αντιστοιχεί στην µάζα dm, ενώ τα πηλίκα dv/ και dw α / εκφράζουν την παροχή Π του νερού και την ισχύ απωλειών Ν α της ενέργειάς του αντιστοίχως. Όµως το νερό θεωρήθηκε ασυµπίεστο, που σηµαίνει ότι ισχύει κατά την ροή του ο νόµος της συνέχειας, δηλαδή θα έχουµε: S v = S v 3S v = S v v = 3v (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) έχουµε: N = ( P S v - P S 3v / 3) - "#( 9v - v - gh) N = ( P - P )S v - "#( 8v - gh) N = ( P - P )" - #"( 8v - gh) (5) Όµως από τα δεδοµένα του προβλήµατος έχουµε P -P =3ρgh/5 και v =gh/0, οπότε η (5) γράφεται: N = 6"gh# / 5 - "#( 8gh/0 - gh) N = ( 4"gh# + 3"gh# ) / 0 N = 7"gh# / 5 Παρατηρήσεις: Παίρνοντας αφορµή από την παραπάνω άσκηση, θέλω να ανα φέρω τα εξής: i) H κλασική Μηχανική των ρευστών αναπτύχθηκε µε βάση το µοντέλο του ιδα νικού (ιδεώδους) ρευστού, δηλαδή του ρευστού που θεωρείται ασυµπίεστο και µε µηδενική συνεκτικότητα. Λέγοντας ότι ένα ρευστό έχει µηδενική συνεκτι κότητα εννοούµε ότι µεταξύ δύο γειτονικών στρωµάτων του δεν αναπτύσσον ται κατά την σχετική τους κίνηση διατµητικές δυνάµεις, δηλαδή δυνάµεις πα ράλληλες προς τα στρώµατα αυτά (δυνάµεις τριβής), µε αποτέλεσµα τα στρώµ µατα να µη παραµορφώνονται. Λέγοντας εξάλλου ότι ένα ρευστό είναι ασυµπίε στο εννοούµε ότι ο όγκος του δεν µεταβάλλεται όταν αυτό υποβάλλεται σε πιε στικές δυνάµεις. Στην φύση δεν υπάρχουν ιδανικά ρευστά αλλά επινοήθηκαν µε σκοπό να δηµιουργηθούν µαθηµατικοί φορµαλισµοί που προσεγγίζουν µε ανεκτή πιστότητα την συµπεριφορά των πραγµατικών ρευστών.

10 ii) Για τα πραγµατικά ρευστά διακρίνουµε δύο τύπους ροής, την στρωτή ροή και την τυρβώδη ροή. Οι δύο αυτοί τύποι ροής είναι αποτέλεσµα της συνεκτι κότητάς τους και η µεν στρωτή ροή είναι συµβατή µε ισχυρές δυνάµεις συνεκτι κότητας, ενώ η τυρβώδης συµβαίνει στην περίπτωση που οι δυνάµεις συνεκτι κότητας υποχωρούν έναντι άλλων δυνάµεων που δέχεται το ρευστό. Άρα δεν έχει νόηµα να συζητάµε για στρωτή ή τυρβώδη ροή ιδανικού ρευστού. Στο ση µείο αυτό πρέπει να επισηµάνουµε ότι στο σχολικό ενχειρίδιο της Γ Λυκείου η στρωτή ροή αναφέρεται ατυχώς στα ιδανικά ρευστά και µάλιστα ταυτίζεται µε την µόνιµη ροή, γεγονός που δηµιουργεί σύνχυση εννοιών. iii) Στην περίπτωση της στρωτής ροής τα ρευστά σωµατίδια κινούνται σε πα ράλληλες διακεκριµένες στρώσεις, χωρίς αυτές µακροσκοπικά να αναµιγνύον ται µεταξύ τους. Τυχαίες αποκλίσεις της τροχιάς των σωµατιδίων εξαφανίζον ται από την δράση των ισχυρών δυνάµεων συνεκτικότητας και έτσι αυτά επα νέρχονται στην στρωσιγενή πορεία τους. Στην περίπτωση της τυρβώδους ροής τα ρευστά σωματίδια ακολουθούν ακανόνιστες τροχιές χωρίς οι δυνάμεις συνεκ τικότητας να έχουν το απαιτούμενο μέγεθος για να επιβάλλουν στρωματική κίνηση, με αποτέλεσμα να γίνεται εμφανής η μακροσκοπική ανάμίξη μεταξύ γειτο νικών στρώσεων, ενώ η ταχύτητα του ρευστού σε οποιαδήποτε σημείο παρουσι άζει συνεχείς τυχαίες διακυμάνσεις. Μια στρωτή ροή πραγματικού ρευστού μπορεί να είναι μόνιμη ή όχι, ενώ η τυρβώδης ροή είναι πάντα μη μόνιμη. Kατά την λειτουργία µιας υδραντλίας το νερό εισέρχεται µε ταχύτητα v και πίεση P, ενώ εξέρχεται µε ταχύτητα v και πίεση P. Eάν οι άκρες της υδραντλίας βρίσκονται περίπου στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, να δείξετε την σχέση: P - P = v ( - v ) + N * " όπου ρ η πυκνότητα του νερού, Π η παροχή της αντλίας και Ν * η ισχύς αυτής. Η ροή του νερού διαµέσου της υδραντλίας θα θεωρηθεί ασυµπίεστη και χωρίς τριβές. ΛYΣH: Έστω ότι ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ εισέρχεται στην υδραντλία µια µάζα dm νερού, οπότε στον χρόνο θα εξέρχεται ίση µάζα. Εάν dk είναι η µεταβολή της κινητικής ενέργειας του νερού που περιέχεται στην υδραντλία στον χρόνο και dw * η αντίστοιχη ενέργεια που παρέχεται στο νερό από τα πτερύγια της υδραντλίας, τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα έργουενέργειας θα έχουµε την σχέση: dk = dw F + dw F + dw * () όπου dw F, dw F τα έργα των πιεστικών δυνάµεων F, F στις άκρες εισόδου και εξόδου αντιστοίχως του νερού, στον χρόνο. Όµως για την ποσότητα dk ισχύει η σχέση:

11 dk = dmv / - dmv / () για δε τα έργα dw F, dw F έχουµε: dw F dw F = F v = P S v # " = -F v = -P S v $ # (3) Σχήµα 8 όπου S, S τα εµβαδά των διατοµών εισόδου και εξόδου της αντλίας αντιστοί χως. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (), (), (3) παίρνουµε: dmv / - dmv / = P S v - P S v + dw * dm dv v - v $ # " & = P S v - P S v + dw * % v - v " % $ # ' = P S v - P S v + dw * & " v - v # & % $ ( = P " - P " + N * ' P - P = v ( - v ) + N * " (4) όπου dv ο όγκος νερού που αντιστοιχεί στην µάζα dm, ενώ τα πηλίκα dv/, dw * / εκφράζουν την παροχή Π και την ισχύ Ν * της αντλίας αντιστοίχως. Παρατήρηση: Eάν επιθυµούµε να εργαστούµε µε θερµοδυναµικούς όρους πρέ πει να προσέξουµε τα εξής:. Στον χρόνο µέσω του έργου των πιεστικών δυνάµεων F, F το νερό της υδραντλίας ανταλλάσει µε το περιβάλλον του έργο P S v +P S v (το έργο της F για το νερό είναι αρνητικό ενώ το έργο της F θετικό).. To αντίστοιχο έργο dw * της δύναµης µε την οποία ωθούν τα πτερύγια της υδραντλίας το νερό, είναι για το νερό αρνητικό.

12 3. Η εσώτερική ενέργεια του νερού και η βαρυτική του δυναµική ενέργεια δεν µεταβάλλονται στον χρόνο, που σηµαίνει ότι η αντίστοιχη µεταβολή της αποθηκευµένης στο νερό ενέργειας είναι ίση µε την µεταβολή dm(v -v )/ της κινητικής του ενέργειας. 4. Στον χρόνο το νερό της υδραντλίας δεν ανταλλάσει θερµότητα µε το περι βάλλον του (dq=0). Σύµφωνα µε τον ο θερµοδυναµικό νόµο πρέπει να ισχύει: 0 = dm v ( - v )/ - P S v + P S v - dw * dmv / - dmv / = P S v - P S v + dw * δηλαδη θα καταλήξουµε τελικώς στην σχέση (4). κλπ Για να µεταγγίσουµε υγρό από µια δεξαµενή Δ σε µια άλλη δεξαµενή Δ που βρίσκεται υψηλότερα, χρησιµοποιούµε αν τλία που συνδέεται µε τους πυθµένες των δεξαµενών µέσω δύο σωλή νων, όπως φαίνεται στο σχήµα (9). Οι διαστάσεις των δύο δεξαµενών είναι κατά πολύ µεγαλύτερες των διαµέτρων των σωλήνων, µε αποτέ λεσµα να θεωρηθεί σταθερή η υψοµετρική διαφορά h 0 των ελεύθερων επιφανειών του υγρού στις δύο δεξαµενές για ικανό χρονικό διάστη µα. Χρησιµοποιώντας το συµπέρασµα της προηγούµενης άσκησης να βρείτε την ισχύ της χρησιµοποιούµενης αντλίας. Δίνεται η παροχή Π της αντλίας, η πυκνότητα ρ του υγρού και η επιτάχυνση g της βαρύ τητας. Η ροή του υγρού θα θεωρηθεί ασυµπίεστη, µόνιµη και χωρίς τριβές. ΛΥΣΗ: Εφαρµόζοντας τον νόµο του Bernoulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής ΑΓ (σχ. 9) µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόν τιο επίπεδο (ε) που διέρχεται από την αντλία, παίρνουµε την σχέση: P A + v A + gh = P + v " " + 0 P + "gh # P $ + "v $ () όπου P α η ατµοσφαιρική πίεση, P Γ η πίεση του υγρού στην είσοδο Γ της αντλί ας, v η ταχύτητα εισόδου του υγρού στην αντλία, ενώ θεωρήθηκε περίπου µηδενική η ταχύτητα ροής του Α, λόγω του πολύ µεγάλου εµβαδού της ελεύθε ρης επιφάνειας του υγρού της δεξαµενής Δ, σε σχέση µε το εµβαδον διατοµής του αντίστοιχου σωλήνα. Εφαρµόζοντας τον ίδιο νόµο κατά µήκος της ρευµατι κής γραµµής ΔΒ, παίρνουµε την αντίστοιχη προς την () σχέση:

13 P + "v # P $ + "gh () όπου P Δ η πίεση του υγρού και v η ταχύτητά του στην έξοδο Δ της αντλίας. Eξάλλου µε βάση το συµπέρασµα της προηγούµενης άσκησης µεταξύ των P Γ, P Δ, v Γ, v Δ ισχύει η σχέση: Σχήµα 9 P - P " = # v ( " - v ) + N * $ (3) όπου Ν * η ισχύς και Π η παροχή της αντλίας. Αφαιρώντας από την () την () παίρνουµε την σχέση: ( ) P + "v - P - "v # # = "g h - h P - P " = # (3) v ( " - v ) + #gh 0 N * / = "gh 0 N * = gh 0 " Τα ακραία τµήµατα () και (3) του οριζόντιου αγω γού του σχήµατος (0) είναι κυλινδρικά µε αντίστοιχες ακτίνες r και r, ενώ το µέσαιο τµήµα του () έχει την µορφή κόλουρου κώνου. Κατά µήκος του αγωγού συµβαίνει ροή αέρα µε τις ταχύτητες ροής του στα τµήµατα () και (3) να είναι αξονικές και σταθερά διανεµη µένες, οι δε πιέσεις του στα τµήµατα αυτά είναι επίσης σταθερά διανεµηµένες και µετρώνται µε ειδικό µανόµετρο που φέρει τρεις

14 κατακόρυφους µανοµετρικούς σωλήνες. Στο µεσαίο κωνικό τµήµα του αγωγού υπάρχει µηχανισµός που φέρει σύστηµα πτερυγίων, το οποίο µπορεί να περιστρέφεται είτε µε την ενέργεια του ρέοντος αέρα είτε µε την βοήθεια ηλεκτροκινητήρα. i) Eάν η παροχή του σωλήνα σε αέρα είναι Π και η πυκνότητα του αέρα ρ, να έξετάσετε αν ο µηχανισµός των πτερυγίων απορροφά ή αποδίδει ενέργεια και να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της ενέργειας αυτής στην περίπτωση που τα ύψη του υδραργύρου στους τρεις σωλή νες του µανοµέτρου είναι ίσα. ii) Να βρεθεί η διαφορά υψών h -h 3 στην περίπτωση που δεν θα υπήρ χε ο µηχανισµός των πτερυγίων. Δίνεται η πυκνότητα ρ Y του υδραργύρου, η δε ροή του αέρα θα θεωρη θεί µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές. ΛΥΣΗ: i) Θεωρούµε τον αέρα που περιέχεται στο κωνικό τµήµα () του αεραγωγού (διακεκοµµένη γραµµή) και έστω ότι εισέρχεται στο τµήµα αυτό σε ένα πολύ µικρό χρόνο ( 0) µια µάζα dm αέρα. Η αντίστοιχη ενέργεια που εισάγεται στον χώρο () είναι dmv /, όπου v η ταχύτητα ροής του αέρα στον χώρο (), ένω στον ίδιο χρόνο εξέρχεται από τον χώρο αυτόν ενέργεια dmv 3 / λόγω εκροής µάζας αέρα dm µε ταχύτητα v 3. Σχήµα 0 Εξάλλου εάν dw * είναι η ενέγεια που ανταλλάσει σε χρόνο o µηχανισµός των πτερυγίων µε τον χώρο () θα ισχύει σύµφωνα µε το θεώρηµα έργου-ενέρ γειας η σχέση: dmv / - dmv 3 / = dw F + dw F 3 + dw * () όπου dw F, dw F 3 τα αντίστοιχα έργα των πιεστικών δυνάµεων F, F 3 που δέχεται ο αέρας του χώρου (), θεωρούµενος ως σύστηµα σωµατιδίων, από τα εκατέρωρεν αυτού αέρια στρώµµατα που τον συµπιέζουν. Όµως για τα έργα dw F, dw F 3 έχουµε:

15 dw F dw F 3 = F v = P S v # " = -F 3 v = -P 3 S 3 v 3 $ # () όπου S, S τα εµβαδά των διατοµών εισόδου και εξόδου του αέρα στον κωνικό χώρο και P, P 3 oι πιέσεις του στους χώρους () και (3) αντιστοίχως Συνδυάζον τας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: dmv 3 / - dmv / = P S v - P 3 S 3 v 3 + dw * dm dv v 3 - v $ # " & = P S v - P 3 S 3 v 3 + dw * % v 3 - v " % $ # ' = P S v - P 3 S 3 v 3 + dw * & " v 3 - v # & % $ ( = P " - P 3 " + N * (3) ' όπου dv ο όγκος αέρα που αντιστοιχεί στην µάζα dm, ενώ τα πηλίκα dv/, dw * / εκφράζουν την παροχή Π και την ισχύ Ν * του µηχανισµού πτε ρυγίων αντιστοίχως. Όµως τα ύψη h, h 3 και h 0 του υδραργύρου στους τρεις κατακόρυ φους σωλήνες του µανοµέτρου είναι ίσα, που σηµαίνει ότι οι πιέσεις P, P 3 είναι ίσες µε την ατµοσφαιρική πίεση, µε αποτέλεσµα η (3) να γράφεται: N * = " v 3 - v # & % $ ( < 0 (4) ' διότι από τον νόµο τις συνέχειας προκύπτει v 3 <v. H αρνητική τιµή της ισχύος Ν * δηλώνει ότι ο µηχανισµος πτερυγίων εισπράτει ενέργεια από τον αέρα του αεραγωγού µε ρυθµό που καθορίζεται από την σχέση: N * = " v - v # & 3 % $ ( (5) ' Όµως από τον νόµο της συνέχειας έχουµε την σχέση: S v = S 3 v 3 r v = 4r v 3 v 3 = v / 4 και η (4) γράφεται: N * = " v - v # & % $ 6' ( = 5"v 3 N * = 5"3 3# r 4 (6) ii) Εάν στον µεσαίο χώρο () δεν υπάρχει ο µηχανισµός πτερυγίων, τότε θα είναι Ν * =0 και η (3) στην περίπτωση αυτή δίνει:

16 " v 3 - v # & % $ ( = P " - P 3 " " v ' 6 - v % $ ' = P - P 3 # & P 3 - P = 5v 3 = 5 3 $ " ' & % #r ) ( (7) Όµως οι πιέσεις P, P 3 και τα ύψη h, h 3 του υδραργύρου στους αντίστοιχους µανοµετρικούς σωλήνες ικανοποιουν την σχέση: (7) P + H h = P 3 + H h 3 P 3 - P = H ( h - h 3 ) 5 3 $ " ' & % #r ) ( = * H ( h - h 3 ) h - h 3 = 5 % # ( ' 3" H & $r * ) Υγρό ρέει µε ταχύτητα v σε οριζόντιο σωλήνα και περνά απότοµα σε ένα άλλο επίσης οριζόντιο σωλήνα µεγαλύτερης διατοµής προκαλων τας στριβίλους, όπως φαίνεται στο σχήµα (). Mετά από µια διαδικασία ανάµειξης του υγρού που εισχωρεί, µε το υγρό που υπάρχει στον ευρύτερο σωλήνα, θα αποκατασταθεί περίπου σταθερή ταχύτητα ροής v στον ευρύτερο σωλήνα. Eάν ρ είναι η πυκ νότητα του υγρού, να δείξετε την σχέση: P - P = v ( v - v ) όπου P, P οι στατικές πιέσεις του υγρού στους δύο σωλήνες. Συµ φωνεί η πιο πάνω σχέση µε τον νόµο Bernulli και άν όχι για πιο λόγο; ΛYΣH: Εξετάζουµε την ποσότητα υγρού που περιέχεται στον όγκο ΑΒΓΔ (διακεκοµένη γραµµή) και έστω ότι σ ένα πολύ µικρό χρόνο ( 0) εισέρ χεται στον όγκο αυτόν µια µάζα dm υγρού µε ταχύτητα v και εξέρχεται µε Σχήµα

17 ταχύτητα v. Η εισερχόµενη ορµή στον όγκο αυτόν σε χρόνο είναι dm v και η εξερχόµενη είναι dm v, που σηµαίνει ότι η αντίστοιχη µεταβολή d P της ορµής της θεωρούµενης ποσότητας υγρού είναι: d P = dm v - dm v = dv v - dv v d P = S dx v - S dx v d P = S v v - S v v d P = S v v - S v v dp = S v - S v () Σχήµα όπου S, S τα εµβαδα διατοµής των δύο σωλήνων µε S <S και dx, dx οι µετα τοπίσεις της ρευστής µάζας dm στους αντίστοιχους σωλήνες, σε χρόνο. Όµως, εάν F, F είναι οι πιεστικές δυνάµεις που εκδηλώνονται επί των επι φανειών ΑΔ και ΒΓ αντιστοίχως θα έχουµε, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή, την σχέση: dp = F - F = S P - S P () S v - S v = S ( P - P ) () όπου προσεγγιστικά δεχθήκαµε ότι τοπικά επί της επιφάνειας ΑΓ επικρατεί µέση πίεση P και ότι στην επιφάνεια ΒΓ έχει αποκατασταθεί µέση πίεση P. Επειδή το υγρό είναι ασυµπίεστο ισχύει η αρχή της συνέχειας, δηλαδή µπορού µε να γράψουµε την σχέση: S v = S v S = S v /v όποτε η () γράφεται: S v - S v v /v = S ( P - P ) v - v v /v = P - P P - P = v v - v P - P = v ( v - v ) (3) Aς υπολογίσουµε τώρα την διαφορά πιέσεων στις διατοµές S και S εφαρµό ζοντας τον νόµο του Bernulli για την ρευµατική γραµµή που διέρχεται από τα κέντρα των διατοµών αυτών. Tότε θα έχουµε: P + v / = P + v / P - P = (v - v )/ (4) Παρατηρούµε ότι, οι σχέσεις (3) και (4) δεν δίνουν την ίδια τιµή για την διαφο ρά P -P και το ερώτηµα που προκύπτει είναι, ποια από τις δύο σχέσεις είναι

18 σωστή; Eπειδή κατά την εισροή του υγρού από το στενότερο στο φαρδύτερο σω λήνα δηµιουργούνται στρόβιλοι, ο νόµος του Bernulli δεν ισχύει, οπότε η σχέ ση (4) δεν είναι σωστή. Eξάλλου η σχέση (3) είναι σωστή µε κάποια προσέγγι ση, διότι κατά την απόδειξή της δεχθήκαµε σιωπηρά ότι, οι µέσες ταχύτητες των µορίων του υγρού στην περιοχή σύνδεσης των δύο σωλήνων είναι σταθε ρές.