P +!v 2 /2 = P 0. - P =!v 2 /2 (1)

Transcript

1 Στη διάταξη του σχήµατος (1) η λεπτή οριζόντια πλάκα MN µπορεί να γλυστράει χωρίς τριβή κατά µήκος δύο κατα κόρυφων οδηγών, οι οποίοι είναι στερεωµένοι στην σταθερή πλάκα AΓ. Mε την βοήθεια ενός ακροφυσίου διαβιβάζεται στον χώρο µεταξύ των πλακών ρεύµα πεπιεσµένου αέρος, πυκνότητας ρ. Ποια πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα ροής του αέρα στον χώρο αυτόν, ώστε η πλάκα MN να παραµένει στην κατώτατη θέση της; Δίνεται η ανά µονάδα επιφάνειας µάζα m * της πλάκας MN και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. Nα δεχθείτε ότι, κατά την ροή του αέρα στον χώρο των δύο πλακών ισχύει ο νόµος του Bernulli. ΛYΣH: Έστω P η πίεση του πεπιεσµένου αέρα στον χώρο ανάµεσα στις οριζόν τιες πλάκες ΛΓ και MN και P η ατµοσφαιρική πίεση που επικρατεί στο κάτω µέρος της κινητής πλάκας MN και σε µεγάλη απόσταση από τις άκρες των δύο πλακών. Eφαρµόζοντας τον νόµο του Bernulli κατά µήκος µιας οριζόντιας ρευ µατικής γραµµής, της οποίας το ένα άκρο βρίσκεται στον χώρο µεταξύ των πλακών και το άλλο της άκρο σε µεγάλη απόσταση από τις άκρες τους, όπου η ταχύτητα ροής του αέρα είναι µηδενική, παίρνουµε την σχέση: P + v / = P + P - P = v / (1) Σχήµα 1 Eξάλλου η κάτω πλάκα MN δέχεται το βάρος της m g, την πιεστική δύναµη F από τον ακίνητα ατµοσφαιρικό αέρα που επικρατεί στην κάτω πλευρά της, µε φορά προς τα πάνω και την πιεστική δύναµη F από τον πεπιεσµένο αέρα που ρέει µεταξύ των δύο πλακών, µε φορά προς τα κάτω. Για να µένει ακίνητη η πλάκα MN πρέπει τα µέτρα των δυνάµεων αυτών να ικανοποιούν την σχέση: mg + F F mg F - F

2 m * Sg SP - SP m * g P - P () όπου S το εµβαδόν της κάθε πλευράς της πλάκας MN. Συνδυάζοντας τις σχέ σεις (1) και () παίρνουµε: m * g "v / v m * g/" v m * g/" v max = m * g/ P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος () συµβαίνει ροή ιδανικού υγρού δια µέσου του οριζόντιου σωλήνα, που παρουσιάζει ένα ευρύ και ένα στενό σκέλος. Το υγρό εξέρχεται στην ατµόσφαιρα από το στόµιο του στενού σκέλους του σωλήνα και στην συνέχεια συλλέγεται σε κατακόρυφο κυλινδρικό δοχείο ακτίνας R. Στο ευρύ σκέλος έχει βυθιστεί ο κατακόρυφος σωλήνας Σ 1 και στο στενό ο κατακόρυφος σωλήνας Σ. i) Εάν η υψοµετρική διαφορά των ελεύθερων επιφανειών του υγρού στους δύο αυτούς σωλήνες είναι Δh και το εµβαδόν διατοµής του ευρύτερου σκέλους του σωλήνος είναι S, να βρεθεί η ταχύτητα µεταβο λής του ύψους του υγρού στο κυλινδρικό δοχείο συλλογής. ii) Eάν ανταλλαγούν οι θέσεις των δύο κατακόρυφων σωλήνων, ποια θα είναι η µεταβολή της υψοµετρικής διαφοράς Δh; Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Στην διάταξη του σχήµατος () η παρουσία του µανοµετρικού σω λήνα Σ 1 ελάχιστα αλλοιώνει την µορφή της ροής του υγρού στον οριζόντιο σωλήνα, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα ροής του υγρού στο σηµείο Α είναι ίση µε την ταχύτητα ροής του v 1 στο ευρύ σκέλος του σωλήνα. Αντίθετα η παρουσία του µανοµετρικού σωλήνα Σ αλλοιώνει την µορφή της ροής στο άκρο του Β δη µιουργώντας σηµείο ανακοπής της ροής, δηλαδή σηµείο µηδενισµού της ταχύ Σχήµα τητας του υγρού στο Β, που σηµαίνει ότι η δυναµική πίεση του υγρού στο Β είναι µηδενική. Εφαρµόζοντας τον νόµο του Bernoulli κατά µήκος της ρευµατι

3 κής γραµµής ΑΒ, µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επίπεδο που περιέχει τον άξονα του σωλήνα, παίρνουµε: v 1 / + P A = P B + v 1 = ( P B - P A ) / (1) όπου P A, P B οι στατικές πιέσεις στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως. Όµως για τις πιέσεις αυτές ισχύουν οι σχέσεις: P A = P + "gh ( ) P B = P + "g h + #h $ % & (" ) P B - P A = g"h () όπου P α η ατµοσφαιρική πίεση. Συνδιάζοντας τις σχέσεις (1) και () έχουµε: v 1 = gh v 1 = gh (3) Λόγω της ασυµπιεστότητας του ιδανικού υγρού η παροχή του οριζόντιου σωλήνα είναι ίδια σε όλες τις διατοµές του, δηλαδή η εκροή του υγρού προς το κυλινδρικό δοχείο συλλογής του θα γίνεται υπό παροχή ίση µε Sv 1. Έαν λοι πόν dv είναι η αύξηση του όγκου του υγρού στο δοχείο σε στοιχειώδη χρόνο θα έχουµε την σχέση: dv = Sv 1 (3) R dy = S g"h dy = S R g"h (4) όπου dy/ η ζητούµενη ταχύτητα µεταβολής του ύψους y του υγρού στο κυλινδρικό δοχείο. ii) Eάν ανταλλάξουµε τις θέσεις των µανοµετρικών σωλήνων Σ 1 και Σ, τότε σκεπτόµενοι µε τον ίδιο ακριβώς τρόπο θα καταλήξουµε στην σχέση: v = g h " όπου v η ταχύτητα ροής του υγρού στο στενότερο σκέλος του οριζόντιου σωλήνα και Δh η νέα υψοµετρική διαφορά της στάθµης του υγρού που θα αποκατασταθεί στους δύο µανοµετρικούς σωλήνες. Όµως ισχύει v >v 1 οπότε µε βάση τις (3) και (5) θα έχουµε: g h " > gh h " > h (5) δηλαδή η υψοµετρική διαφορά θα αυξηθεί. P.M. fysikos Ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ, ρέει εντός αγωγού µεταβλητής διατοµής, του οποίου ο γεωµετρικός άξονας είναι οριζόν τιος, όπως φαίνεται στο σχήµα (3). Στον αγωγο έχει προσαρµοσθεί

4 µανόµετρο, που φέρει τρείς κατακόρυφους µανοµετρικούς σωλήνες που περιέχουν ύδράργυρο. Εάν η διαφορά στάθµης του υδραργύρου στους σωλήνες (1) και () είναι Δh, να βρεθεί η παροχή του αγωγού ροής του υγρού. Δίνεται η πυκνότητα ρ του υδραργύρου (ρ >ρ), τα εµβαδά S 1, S των διατοµών στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως του αγωγού, µε S 1 <S η δε ροή του υγρού θα θεωρηθεί µόνιµη. ΛΥΣΗ: Εφαρµόζοντας τον νόµο Bernulli για την ρευµατική γραµµή ΑΒ, µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επίπεδο (ε) που διέρ χεται από τον άξονα του αγωγού, παίρνουµε την σχέση: P A + v A / + = P B + v B / + P A - P B = v ( B - v A ) / (1) όπου P A, P B οι στατικές πιέσεις των σηµείων Α και Β αντιστοίχως και v A, v B οι ταχύτητες ροής του υγρού στα σηµεία αυτά. Εξάλλου ο νόµος της συνέχειας για τις διατοµές του αγωγού στα σηµεία Α και Β δίνει την σχέση: S 1 v A = S v B v B = S 1 v A /S () Σχήµα 3 Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και () έχουµε: P A - P B = S 1 v A /S ( - v A ) / P A - P B = v A ( S 1 /S - 1) / P A - P B = v A S 1 " S - 1 % $ ' P A - P B = " # 1 # S 1 & S - 1 & % ( (3) $ S 1 ' 1 όπου Π η ζητούµενη παροχή του αγωγού. Όµως οι πιέσεις σε όλα τα σηµεία της οριζόντιας ευθείας (α) είναι ίσες προς την ατµοσφαιρική πίεση P α και αυτό µας δίνει την δυνατότητα να γράψουµε τις σχέσεις: P = P A + (A")#g + h 1 # $ g & ' P = P B + (B%)#g + h # $ g ( P = P - (A")#g - h A 1 # $ g & ' P B = P - (B%)#g - h # $ g ( (-) P A - P B = g( B" - A# ) + $ g( h - h 1 ) (4) Από το σχήµα (3) προκύπτει η σχέση: A + h 1 = B" + h h 1 - h = B - A" B - A" = h

5 οπότε η (4) παίρνει την µορφή: P A - P B = g"h - # g"h P A - P B = g ( - " )#h (5) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (5) έχουµε: g ( - " )#h = $ % 1 S - 1 ( % 1 ' * g (" - ")#h = "$ & S 1 ) S - 1 ( ' * & 1 S ) % = g"h $ # - $ ( % 1 ' * / & $ ) S - 1 ( ' * = & 1 S ) 1 S 1 S g"h # (# $ - #) S ( - S 1 ) P.M. fysikos Ένα ποταµόπλοιο διασχίζοντας ευθύγραµµα το νε ρό ενός ποταµού δέχεται αντίσταση F, η οποία είναι αντίρροπη της ταχύτητάς του v, το δε µέτρο της ακολουθεί την σχέση: F = F v /v όπου F, v θετικές σταθερές ποσότητες, µε φυσικές διαστάσεις δύνα µης και ταχύτητας αντιστοίχως. Η προωθητική δύναµη F που δέχε ται το ποταµόπλοιο, λόγω της λειτουργίας της έλικάς του, είναι οµόρ ροπη της v, το δε µέτρο της µεταβάλλεται σύµφωνα µε την σχέση: F = F ( 1 - v/v ) i) Nα δείξετε ότι τελικά το ποταµόπλοιο θα κινείται µε σταθερή ταχύ τητα (οριακή ταχύτητα), της οποίας να υπολογίσετε το µέτρο. ii) To ποταµόπλοιο χρησιµοποιεί για την τροφοδοσία µιας δεξαµενής του Δ µε νερό, σωλήνα, όπως φαίνεται στο σχήµα (4), του οποίου το κάτω οριζόντιο σκέλος είναι βυθισµένο στο νερό και έχει το στόµιό του εστραµµένο προς την φορά κίνησης του πλοίου, ένω το πάνω ορι ζόντιο σκέλος του βρίσκεται µέσα στον ατµοσφαιρικό αέρα και από το το στόµιό του εκκρέει νερό προς την δεξαµενή Δ. Εάν η διατοµή του στοµίου εκκροής είναι S και η αποστασή του από την επιφάνεια του νερού του ποταµού είναι h, να βρεθεί η παροχή νερoύ προς την δεξα µενή Δ, όταν το ποταµόπλοιο κινείται µε την οριακή του ταχύτητα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Το ποταµόπλοιο δέχεται κατά την διεύθυνση της ευθύγραµµης κίνη σης του προωθητική δύναµη* F από το νερό, λόγω της περιστροφής της έλι κάς του και την αντίσταση F του νερού, που οφείλεται στην δηµιουργούµενη µορφή ροής αυτού κυρίως στο πρόσθιο µέρος του. Εφαρµόζοντας για το ποταµό πλοιο τον δεύτερο νόµο κίνσης του Νεύτωνα κατά µια στιγµή που η ταχύτητά του είναι v, παίρνουµε την σχέση:

6 F - F " = ma F ( 1 - v/v ) - F v /v = ma a = F m 1 - v - v $ # v & = F ' " v % m 1 - v 1 + v $ * ) # &, (1) ( v " v % + όπου a η επιτάχυνση του ποταµόπλοιου την στιγµή που το εξετάζουµε. Από την παραπάνω σχέση (1) προκύπτει ότι η επιτάχυνση του πλοίου µειώνεται µε Σχήµα 4 τον χρόνο, διότι η ταχύτητά του αυξάνεται, δηλαδή η κίνησή του είναι µη οµα λά επιταχυνόµενη. Όταν η ταχύτητά του τείνει σε µια τιµή v " που το µέτρο της ικανοποιεί την σχέση: 1 - v # " 1 + v & " v % $ v ( = () ' η επιτάχυνσή του θα µηδενιστεί και το ποταµόπλοιο θα κινείται ευθύγραµµα οµάλα µε ταχύτητα v ", που αποτελεί την λεγόµενη οριακή του ταχύτητα. Η προηγούµενη σχέση () γράφεται: v - v v " - v " = v " + v v " - v = (3) H (3) είναι µια εξίσωση ου βαθµού ως προς v ορ και έχει δύο ρίζες πραγµατικές και ετερόσηµες, από τις οποίες δεκτή είναι η θετική ρίζα: v " = -v + v + 4v = v ( 5-1) * H προωθητική δύναµη στο ποταµόπλοιο δηµιουργείται από την περιστροφή της έλικάς του µέσα στο νερό. Λόγω αυτής της περιστροφής εκτοξεύονται µάζες νερού προς το πίσω µέρος του ποταµόπλοιου, δηλαδή εξασκείται από την έλικα πάνω στις µάζες αυτές δύναµη. Σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας δράσης-αντίδρασης, οι υδάτινες αυτές µάζες εξασκούν πάνω στην έλικα δύναµη µε φο ρά προς το µπροστινό µέρος του ποταµόπλοιου. H δύναµη αυτή είναι ακριβώς η προωθητική δύναµη του ποταµόπλοιου. (4)

7 ii) Στο σύστηµα ηρεµίας του ποταµόπλποιου συµβαίνει ροή νερού γύρω από ποταµόπλποιο, γεγονός που µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι εισάγεται από το στόµιο Α του σωλήνα νερό, το οποίο µέσω του σωλήνα εκκρέει από το στόµιο Β αυτού στο δοχείο συλλογής Δ. Με τη προυπόθεση ότι η ροή του νερού στον σωλήνα είναι µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές µπορούµε να εφαρµόσουµε κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής ΑΒ τον νόµο του Bernoulli, οπότε µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων την ελευθερη επιφάνεια του ποτα µού θα έχουµε την σχέση: v A + P A - g h " = v B + P B + gh (5) όπου v A, v B οι ταχύτητες ροής του νερού στα στόµια Α και Β αντιστοίχως του σωλήνα και P A, P B oι αντίστοιχες στατικές πιέσεις του νερού στα στόµια αυτά. Όµως είναι v A v ορ, P B =P α και P A =P α +ρgh, οπότε η (5) γράφεται: v " + P # + g h $ - g h $ = v B + P # + gh v A = v B + gh v B = v A - gh (6) Η ζητούµενη παροχή Π νερού προς την δεξαµενη Δ είναι: (6) = Sv B = S v "# - gh = S v ( 5-1) - gh P.M. fysikos Mια σφαιρική σταγόνα βροχής κινείται κατακόρυ φα µέσα στον αέρα µε την οριακή της ταχύτητα v " και κάποια στιγ µή διασπάται σε είκοσι επτά όµοια σφαιρικά σταγονίδια που εξακο λουθούν να κινούνται κατακόρυφα. Nα βρεθεί η νέα οριακή ταχύ τητα των σταγονιδίων και να δοθεί η γραφική παράσταση του µέτρου της ταχύτητας κάθε σταγονιδίου, σε συνάρτηση µε τον χρόνο. Nα λάβετε ως αρχή µέτρησης του χρόνου την στιγµή που διασπάται η στα γόνα. Ακόµη να δεχθείτε ότι η αντίσταση T που δέχεται µια σφαίρα, όταν κινείται µέσα σε ακίνητο αέρα, έχει µέτρο που ακολουθεί την σχέση: T = krv όπου v η ταχύτητα της σφαίρας, r η ακτίνα της και k θετική σταθε ρά εξαρτώµενη από τον αέρα.

8 ΛΥΣΗ: i) Eξετάζοντας την σφαιρική σταγόνα κάποια στιγµή t πριν αποκτήσει την οριακή της ταχύτητα, διαπιστώνουµε ότι δέχεται το βάρος της w και την τριβή T απο τον αέρα (η άνωση από τον αέρα παραλείπεται ως αµελητέα σε σχέση µε τις δύο παραπάνω δυνάµεις). Εάν a είναι η επιτάχυνση της σταγό νας κατά την θεωρούµενη στιγµή t και v η αντίστοιχη ταχύτητά της θα ισχύει, σύµφωνα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, η σχέση: w - T = ma mg - krv = ma a = mg - krv m = g - krv m (1) Σχήµα 5 Από την (1) προκύπτει ότι η επιτάχυνση της σταγόνας µειώνεται µε τον χρόνο, διότι η ταχύτητά της v αυξάνεται εκ της ηρεµίας. Αυτό σηµαίνει ότι η αύξηση της ταχύτητας της σταγόνας συντελείται µε µειούµενο ρυθµό, δηλαδή η κίνησή της είναι µη οµαλά επιταχυνόµενη. Όταν η ταχύτητά της λάβει µια χαρακτη ριστική τιµή v " που µηδενίζει το δεύτερο µέλος της (1), τότε ο ρυθµός µετα βολής της ταχύτητας µηδενίζεται, δηλαδή η ταχύτητά της τείνει* προς την στα θερή τιµή v ", που ονοµάζεται οριακή ταχύτητα της σφαίρας και το µέτρο της υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: g - krv " m = v = mg " kr () Όταν η σταγόνα διαπασθεί σε είκοσι επτά όµοια σφαιρικά σταγονίδια, τότε κάθε σταγονίδιο θα έχει ακτίνα r που υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: 4r 3 /3 = 7 r " 3 / 3 r 3 = 3 3 r 3 r = r/3 (4) Η οριακή ταχύτητα v "# που θα αποκτήσει κάθε σταγονίδιο θα έχει συµφωνα µε την σχέση () µέτρο που δίνεται από την σχέση: * Αποδεικνύεται ότι η ταχύτητα της σφαίρας παίρνει την οριακή της τιµή σε χρόνο που θεωρητικά τείνει προς το άπειρο. Πρακτικά όµως η οριακή ταχύτητα προσεγ γίζεται σε πεπερασµένο χρόνο.

9 v "# = m g k r = mg 7k r (4) v "# = mg 9kr = 1 3 mg kr () v "# = v "# 3 (5) Σχήµα 6 Aπό την (5) προκύπτει ότι κάθε σταγονίδιο από την στιγµή της δηµιουργίας του υφίσταται µείωση της ταχύτητας του από την τιµή v ορ στην τιµή v ορ /3. Επειδή η µείωση αυτή γίνεται µε µεταβλητό ρυθµό η σχέση ταχύτητας-χρόνου είναι µη γραµµική, δηλαδη η κίνηση κάθε σταγονιδίου είναι µη οµαλά επιβρα δυνόµενη που σηµαίνει ότι η ζητούµενη γραφική παράσταση είναι µια κατερχό µενη καµπύλη γραµµή που καταλήγει ασυµτωτικά στην τιµή v ορ /3, όπως φαίνε ται στο σχήµα (6). P.M. fysikos Ένα αεροπλάνο εκτελεί οριζόντια ισοταχή πτήση σε ορισµένο ύψος. Eάν το µέτρο της αντίστασης του αέρα πάνω στο αεροπλάνο είναι ανάλογο προς το τετράγωνο του µέτρου της ταχύτη τάς του, να βρεθεί πόσο πρέπει να αυξηθεί η ισχύς των κινητήρων του, ώστε να διπλασιαστεί η ταχύτητά του. Πόσο θα αυξηθεί η ταχύ τητα του αεροπλάνου, αν διπλασιαστεί η ισχύς των κινητήρων του; ΛYΣH: Tο αεροπλάνο, κατα την κίνησή του µέσα στον ατµοσφαιρικό αέρα δέ χεται από αυτόν δύναµη F (αεροδύναµη), της οποίας ο φορέας είναι πλάγιος ως πρός το επίπεδο των πτερύγων του, αναλύεται δε η δύναµη αυτή σε µια κατα κόρυφη συνιστώσα A, µε φορά προς τα πάνω, η οποία ονοµάζεται δυναµική άνωση και σε µία οριζόντια συνιστώσα T, αντίρροπη της ταχύτητας v του αεροπλάνου, η οποία ονοµάζεται αεραντίσταση Όταν το αεροπλάνο εκτελεί οριζόντια ισοταχή πτήση, τότε η προωθητική του δύναµη F είναι αντίθετη µε την αντίσταση T του αέρα, η δε δυναµική άνωση είναι αντίθετη προς το βάρος του w. Έτσι θα έχουµε: F π = A F = kv (1) όπου k συντελεστής αναλογίας εξαρτώµενος από το γεωµετρικό σχήµα των πτερύγων και της ατράκτου του αεροπλάνου. Eξάλλου, η ισχύς N των κινητή ρων του αεροπλάνου είναι η ισχύς της προωθητικής δύναµης F, οπότε ισχύει:

10 (1) N = F π v N = kv v N = kv 3 () Σχήµα 7 Aπό την () προκύπτει ότι, η ισχύς των κινητήρων του αεροπλάνου είναι ανά λογη της τρίτης δύναµης του µέτρου της ταχύτητάς του. Aν λοιπόν διπλασια στεί το µέτρο της ταχύτητας του αεροπλάνου, η ισχύς των κινητήρων του θα γίνει, σύµφωνα µε τη σχέση (): N = k(v) 3 = 8kv 3 = 8N (3) Δηλαδή η ισχύς των κινητήρων θ αυξηθεί κατά: (3) ΔN = N - N ΔN = 7N (4) Eξάλλου, εάν η ισχύς των κινητήρων του αεροπλάνου διπλασιαστεί η ταχύτητά του θ αποκτήσει µέτρο v για το οποίο ισχύει: N = kv' 3 κv 3 = kv' 3 v'= v 3 Δηλαδή το µέτρο της ταχύτητας του αεροπλάνου θ αυξηθεί κατά: v = v'- v = v 3 - v v = v( 3-1) Παρατήρηση: H προωθητική δύναµη σ ένα ελικοφόρο αεροπλάνο δηµιουργείται από την περιστροφή της έλικάς του µέσα στο αέρα. Λόγω αυτής της περιστροφής εκτο ξεύονται µάζες αέρα προς το πίσω µέρος του αεροπλάνου, δηλαδή εξασκείται από την έλικα πάνω στις µάζες αυτές δύναµη. Σύµφωνα µε το αξίωµα της ισό τητας δράσης-αντίδρασης, οι αέριες αυτές µάζες εξασκούν πάνω στην έλικα δύναµη µε φορά προς το µπροστινό µέρος του αεροπλάνου. H δύναµη αυτή είναι ακριβώς η προωθητική δύναµη του αεροπλάνου. P.M. fysikos

11 Ένα ελικόπτερο βάρους w, αιωρείται σε ορισµένο ύψος από το έδαφος εκτοξεύοντας κατακόρυφα προς τα κάτω µε την βοήθεια της περι στρεφόµενης έλικάς του ρεύµα αέρος, ο οποίος αναρ ροφάται από την ατµόσφαιρα. Eάν η ακτίνα της δηµιουργούµενης αέριας φλέβας είναι R και η πυκνότητα του ατµοσφαιρικού αέρα ρ, να βρεθεί η ισχύς του κινητήρα που περιστρέφει την έλικα. ΛΥΣΗ: Aς δεχθούµε ότι σ ένα πολύ µικρό χρονικό διάστηµα ( ) η έλι κα του ελικοπτέρου αναρροφά από τον ατµοσφαιρικό αέρα µια στοιχειώδη µάζα dm, την οποία εκτοξεύει προς τα κάτω µε ταχύτητα v. Η µεταβολή d P της ορµής της µάζας αυτής δίνεται από την σχέση: d P = dm v - = dm v (1) Σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του (νόµος µεταβολής της ορµής) η µάζα dm θα δέχεται κατά τον χρόνο από τον µηχανισµό που την αναρροφά και την εκτοξεύει, δηλαδή από τα πτερύγια της έλικας δύναµη f, που ικανοποιεί την σχέση: f = d P (1) f = dm v () Σχήµα 8 Η () δηλώνει ότι η δύναµη f είναι οµόρροπη της v δηλαδή έχει φορά προς τα κάτω και το µέτρο της είναι: f = dmv (3) Εξάλλου, εάν dv είναι ο όγκος που αντιστοιχεί στην µάζα dm o όγκος αυτός θα περιέχεται σε κύλινρο ακτίνας R και ύψους v και θα ισχύει: dm = dv = "R v (4) Συνδυάζοντας την (3) µε την (4) παίρνουµε:

12 f = "R v = "R v (5) Όµως κατά το αξίωµα της ισότητας µεταξύ δράσης-αντίδρασης η µάζα dm ασκεί στην έλικα δύναµη F που έχει τον ίδιο φορέα αντίθετη φορά και ίδιο µέτρο µε την f, δηλαδή ισχύει: F = "R v (6) Eπειδή το ελικόπτερο αιωρείται εντός του αέρα η F εξουδετερώνει το βάρος του w, οπότε θα έχουµε: (6) F = w "R v = w v = w/"r (7) H ισχύς N του κινητήρα που περιστρέφει την έλικα είναι ίση µε το πηλίκο dk/, όπου dk η κινητική ενέργεια που αποκτά η µάζα dm στον χρόνο, δηλαδή θα έχουµε: N = dk = dmv (4) N = "R vv = "R v 3 (7) N = "R # w & % $ "R ( ' 3 = w 3 ( ) P.M. fysikos "R O σωλήνας του σχήµατος (9) παρουσιάζει σταθερή διατοµή εµβαδού S σε όλο το µήκος του, µπορεί δε να στρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο περί κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το µέσο του Ο. Ιδανικό υγρό πυκνότητας ρ εισέρχεται στον σωλήνα από το Ο, υπό σταθερή παροχή Π και εξέρχεται από τα άκρα του και τότε για να κρατείται σε ακινησία ο σωλήνας πρέπει να εξασκείται σ αυτόν κατάλληλη εξωτερική ροπή. Να βρείτε την γωνιακή επιτάχυνση εκκίνησης του σωλήνα, όταν καταργηθεί η εξωτερική ροπή. Δίνεται η γωνία κλίσεως φ των ακραίων τµηµάτων του σωλήνα ως προς το ευθύγραµµο τµήµα του ΑΒ, το µήκος ΑΒ=L και η ροπή αδράνειας Ι (Ο) =ml /3 του σωλήνα ως προς το κεντρο του Ο, όπου m η µάζα του. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+ εισρέει στο σωλήνα από το κέντρο του Ο µια µάζα dm οπότε θα εκρέει στον χρόνο από µεν το άκρο του Α µάζα dm/ µε ταχύτητα v από δε το άκρο του Β µάζα dm/ µε ταχύτητα - v, Η µεταβολή στον χρόνο της στροφορµής περί το O του συστήµατος σωλήνας-περιεχόµενο υγρό είναι: d L = ( dm/)v n + ( dm/)v n = dmv n d L = Lvµ" dm n (1)

13 όπου n το µοναδιαίο κατακόρυφο διάνυσµα που η κατεύθυνσή του ελήφθη συµβατικά προς τα πάνω και α η απόσταση του Ο από τους φορείς των ταχυτή των v και - v. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα τον νόµο µεταβολής της στροφορ µής παίρνουµε την σχέση: d L = (") (1) Lvµ" dm Σχήµα 9 n = # $% () όπου "# η εξωτερική ροπή περί το Ο, που πρέπει να ενεργεί στο σύστηµα για να κρατείται σε ακινησία ο σωλήνας. Από την () παρατηρούµε ότι το διάνυσµα "# είναι κατακόρυφο µε φορά προς τα πάνω, που σηµαίνει ότι η εξωτερική ροπή είναι αριστερόστροφη, το δε µέτρο της είναι: "# = Lv$µ% dm = Lv$µ% &dv (3) όπου dv ο όγκος του υγρού που αντιστοιχεί στην µάζα dm. Όµως το πηλίκο dv/ εκφράζει την παροχή Π υπό την οποία εισέρχεται το υγρό εντος του σωλήνα, η οπoία είναι ίση µε Sv οπότε η σχέση (3) γράφεται: "# = L$%v&µ' = L$% &µ' / S (4) Είναι προφανές ότι πριν καταργηθεί η εξωτερική ροπή ο σωλήνας ισορροπεί, που σηµαίνει ότι η ροπή αυτή αντισταθµίζεται από την ροπή " περί το Ο, των δυνάµεων επαφής που δέχονται τα τοιχώµατά του από το υγρό που ρέει εντός αυτού, δηλαδή ισχύει "# =- $. Όταν καταργηθεί η εξωτερική ροπή ο σωλήνας θ αρχίσει περιστρεφόµενος δεξιόστροφα περί τον κατακόρυφο άξονα που διέρ χεται από το Ο και η γωνιακή του επιτάχυνση " αµέσως µετά την κατάργηση της "# θα υπολογιστεί εάν εφαρµόσουµε για τον σωλήνα τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, οπότε θα έχουµε: " = I (o) $ # - (4) "# = ml % $ / 3 -L" #µ$ n / S= ml &% / 3 " = - 3#$ %µ& n mls δηλαδη η " έχει φορά προς τα κάτω. P.M. fysikos

14 Φλέβα υγρού σταθερής διατοµής S προσπίπτει κατακόρυφα µε ταχύτητα v σε σώµα Σ µάζας Μ, που φέρει κοιλότητα και ανακλώµενη σ αυτήν εξέρχεται µε ταχύτητα - v, όπως φαίνεται στο σχήµα (1). Το σώµα είναι κρεµασµένο µε την βοήθεια δύο όµοι ων κατακόρυφων ελάτηρίων σταθεράς k, που είναι εκατέρωθεν του άξονα συµµετριας του σώµατος σε ίσες αποστάσεις από αυτόν. i) Eάν το σώµα ισορροπεί, να βρεθεί η κοινή συσπείρωση των δύο ελα τηρίων. Δίνεται η πυκνότητα ρ του υγρού το δε σύστηµα θεωρείται εκτός πεδίου βαρύτητας. ii) Eάν διακοπεί η ροή του υγρού να υπόλογίσετε την µέγιστη ταχύ τητα που θ αποκτήσει το σώµα κατά την κίνηση που θα επακολουθή σει. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε τον όγκο του υγρού που έχει επαφή µε την κοιλότητα του σώµατος Σ (διακεκοµένη γραµµή). Έαν dm είναι η µάζα του υγρού που εισέρχεται στον όγκο αυτόν σ ένα στοιχειώδη χρόνο ( ), τότε η αντίστοι χη εισερχόµενη στον όγκο ορµή είναι dm v, όπου v η ταχύτητα εισόδου του υγρού στην κοιλότητα. Όµως στον χρόνο εξέρχεται από την κοιλότητα µάζα dm µε ταχύτητα - v, οπότε η αντίστοιχη εξερχόµενη ορµή από τον θεωρούµενο όγκο θα είναι -dm v, Η µεταβολή d L της ορµής του όγκου στον χρόνο είναι: d L = -dm v - dm v = -dm v (1) Σχήµα 1 Εφαρµόζοντας για την ποσότητα του υγρού που περιέχεται στον όγκο τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή, παίρνουµε την σχέση:

15 d L = F (1) -dm v = F - dv v = F () όπου dv ο όγκος του υγρού που αντιστοιχεί στην µάζα dm και F η δύναµη επαφής* που δέχεται ο όγκος από το σώµα Σ. Σύµφωνα µε το αξίωµα της ισότητας δράσης-αντίδρασης το σώµα δέχεται από το εν επαφή υγρό δύναµη F του ίδιου φορέα αντίθετης φοράς και ίσου µέτρου µε την F, οπότε η () γρά φεται: F = " dv v = "Sv v (3) Από την (3) προκύπτει ότι η δύναµη F είναι οµόρροπή της ταχύτητας v το δε µέτρο της είναι: F = "Svv = "Sv (4) Όµως το σώµα δέχεται ακόµη τις δυνάµεις F 1, F από τα συµπιεσµένα ελατή ρια που η συνισταµένη τους έχει φορέα τον άξονα συµµετρίας του σώµατος και λόγω της ισορροπίας του η δύναµη F έχει επίσης φορέα τον άξονα αυτόν (σχ. 1) ικανοποιεί δε την σχέση: (4) F = F 1 + F Sv = kx x = Sv / k (5) όπου x η ζητούµενη κοινή συσπείρωση των δύο έλατηρίων. ii) Όταν διακοπεί η ροή του υγρού θα µηδενιστει η δύναµη F και το σώµα υπό την επίδραση των δυνάµεων από τα συµπιεσµένα ελατήρια θα τεθεί σε κα τακόρυφη ταλάντωση. Την στιγµή που τα ελατήρια αποκτήσουν το φυσικό τους µήκος η αρχική τους δυναµική ενέργεια ελαστικής παραµόρφωσης θα έχει µετατραπεί σε κινητική ενέργεια του σώµατος Σ και αυτό θα αποκτήσει την µέγιστη ταχύτητά του v max, δηλαδή θα έχουµε την σχέση: kx = Mv max (5) " k Sv % $ # k ' & = Mv max v max = Sv Mk P.M. fysikos * Στην πραγµατικότητα η F αποτελεί την συνισταµένη δύο δυνάµεων, της δύναµης επαφής από την κοιλότητα και της πιεστικής δύναµης από τον ατµοσφαιρικό αέρα. Εάν όµως η ταχύτητα v είναι αρκετά µεγάλη η δύναµη από τον αέρα είναι ασήµαν τη σε σχέση µε την δύναµη επαφής και µπορεί να παραληφθεί.

16 Iδανικό ρευστό πυκνότητας ρ, ρέει στο εσωτερικό ενός σωλήνα σταθερής διατοµής, του οποίου ο γεωµετρικός άξονας παρουσιάζει κλίση φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση, όπως φαίνε ται στο σχήµα (11). Tο ρευστό εξερχόµενο από το άκρο του σωλήνα µε ταχύτητα v προσπίπτει σε λεία οριζόντια πλάκα η οποία είναι ακλόνητη, χωρίζεται δε σε δύο υγρές φλέβες οι οποίες ακολουθούν την πλάκα µε αντίρροπες ταχύτητες v 1, v. Αποδεικνύεται* ότι αν δεν ληφθεί υπ όψη το πεδίο βαρύτητας της Γης τα µέτρα των ταχυτή των v, v 1, v είναι ίσα µεταξύ τους. Eάν η παροχή του σωλήνα είναι Π να βρεθούν: i) η δύναµη που δέχεται η πλάκα από το ρευστό, σε συνάρτηση µε τα µεγέθη Π, ρ, v και την γωνία φ και ii) η παροχή κάθε µιας εκ των δύο φλεβών που δηµιουργούνται κα τά την πρόσκρουση του ρευστού στην πλάκα. ΛYΣH: i) Εξετάζουµε τον όγκο του ρευστού που περιλαµβάνει ένα τµήµα της φλέβας που προσπίπτει στην πλάκα και τις δύο ανακλώµενες φλέβες που εφάπτονται της πλάκας. (εστιγµένη γραµµή σχ. ).Έστω ότι σε στοιχειώδη χρό νο εισέρχεται στον όγκο αυτόν µια στοιχειώδης µάζα dm του ρευστού, που σηµαίνει ότι η αντίστοιχη εισερχόµενη ορµή στον όγκο θα είναι dm v. Σχήµα 11 Σχήµα 1 Όµως στον χρόνο εξέρχεται εκ του όγκου αυτού µια µάζα dm 1 ρευστού µε ταχύτητα v 1 και µια µάζα dm µε ταχύτητα v, όπου dm 1 +dm =dm, που σηµαί * Η απόδειξη απαιτεί πιο εξειδικευµένες γνώσεις Ρευστοδυναµικής

17 νει ότι η αντίστοιχη εξερχόµενη ορµή από τον όγκο είναι dm 1 v 1 +dm v. Η µεταβολή d L της ορµής του θεωρούµενου όγκου ρευστού στον χρόνο είναι: d L = dm 1 v 1 +dm v - dm v (1) Εφαρµόζοντας για την ποσότητα υγρού που περιέχεται στον όγκο τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη του µορφή, παίρνουµε την σχέση: d L = F (1) " dm 1 v 1 + dm v - dm v = F " () όπου F " η συνολική δύναµη που δέχεται η θεωρούµενη ποσότητα ρευστού από το περιβάλλον της. Όµως η F " αποτελεί την συνισταµένη δύο δυνάµεων, της δύναµης επαφής F από την πλάκα της οποίας ο φορέας είναι κάθετος στην πλάκα και της πιεστικής δύναµης από τον ατµοσφαιρικό αέρα. Εάν όµως η ταχύτητα v είναι αρκετά µεγάλη, η δύναµη από τον αέρα είναι ασήµαντη σε σχέση µε την δύναµη επαφής και µπορεί να παραληφθεί. Έτσι η F προσέγγιση είναι ίση µε F και η () γράφεται. F = dm 1 v 1 + dm " µε καλή v - dm v (3) H διανυσµατική σχέση (3) αναλύεται σε δύο αλγεβρικές, λαµβάνοντας τις συνισ τώσες των διανυσµάτων που περιέχει κατά τις διευθύνσεις των ορθογώνιων αξόνων x, y οπότε θα λάβουµε τις σχέσεις: και = dm 1 v 1 - dm v - dm v x (4) F = dm 1 + dm - dm v y (5) Η σχέση (5) γράφεται: F = - dm ( -v µ" ) = # dv v µ" F = "v #µ$ (6) όπου dv ο όγκος του ρευστού που αντιστοιχεί στην µάζα dm, ενώ το πηλίκο dv/ αποτελεί την παροχή Π της προσπίπτουσας φλέβας. Εξάλλου σύµφωνα µε το άξίωµα της ισότητας µετα ξύ δράσης-αντίδρασης η πλάκα θα δέχεται από το εν επαφή υγρό δυναµη - F, δήλαδή η δύναµη αυτή κατευθύνεται προς τα κάτω και το µέτρο της δίνεται από την (6). ii) H σχέση (4) γράφεται: dm 1 v 1 - dm v = dm v "#$ dm 1 v - dm v = dm v "#$

18 dv 1 - dv = dv "#$% 1 - = "#$% (7) όπου Π 1, Π οι παροχές των φλεβών µε ταχύτητες ροής v 1 και v αντιστοίχως. Όµως σύµφωνα µε τον νόµο της συνέχειας θα ισχύει και η σχέση: Π = Π 1 + Π (8) Aπό την λύση του συστήµατος των (3) καί (4) παίρνουµε τελικά τις σχέσεις: 1 = ( 1 + "#$% ) και = ( 1 - "#$% ) P.M. fysikos