i) Nα εξηγήσετε γιατί στην διάταξη του σχήµατος (2) οι ενδείξεις των µανοµέτρων Μ, Μ είναι ίδιες, ενώ στην διάταξη

Transcript

1 i) Nα εξηγήσετε γιατί στην διάταξη του σχήµατος () οι ενδείξεις των µανοµέτρων Μ, Μ είναι ίδιες, ενώ στην διάταξη του σχήµατος () είναι διαφορετικές. ii) Eάν η κοινή ένδειξη των δύο µανοµέτρων στο σύστηµα ροής του σχήµατος () είναι P K και οι ενδείξεις των µανοµέτρων Μ, Μ στο σύστηµα ροής του σχήµατος () είναι P, P αντιστοίχως µε P >P να βρείτε τον λόγο των ακτίνων των διατοµών των σωλήνων Σ και Σ. Να δεχθείτε ότι και στις δύο περιπτώσεις πρόκειται για την ίδια ροή ρευστού στο σύστηµα των οριζόντιων σωλήνων Σ και Σ, που θα θεω ρηθεί µονιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές. ΛΥΣΗ: i) Στην διάταξη του σχήµατος () η παρουσία των µανοµέτρων Μ και Μ ελάχιστα αλλοιώνει την µορφή της ροής του υγρού στους οριζόντιους σωλή νες, Σ και Σ, που σηµαίνει ότι οι ταχύτητες ροής στα σηµεία Α και Β είναι ίσες µε τις ταχύτητες ροής v, v του υγρού στο ευρύ και στο στενό σκέλος αντιστοίχως της όλης διάταξης. Αυτό σηµαίνει ότι οι ενδείξεις των δύο µανο µέτρων εκφράζουν τις στατικές πιέσεις των σηµείων Α και Β, οι οποίες είναι διαφορετικές και µάλιστα ισχύει P A >P B, διότι v A <v B (νόµος Bernulli). Σχήµα Σχήµα Αντίθετα η παρουσία των δύο µανοµέτρων στην διάταξη του σχήµατος () αλ λοιώνει την µορφή της ροής στις άκρες τους Α και Β δηµιουργώντας σηµεία ανακοπής της ροής στα σηµεία αυτά, δηλαδή σηµεία µηδενισµού της ταχύτητας ροής του υγρού στα Α και Β, που σηµαίνει ότι η δυναµική πίεση του υγρού στα Α και Β είναι µηδενική, οπότε οι ενδείξεις των δύο µανοµέτρων εκφράζουν την ολική πίεση του υγρού στα σηµεία αυτά και σύµφωνα µε τον νόµο Bernulli oι ενδείξεις αυτές είναι ίσες µεταξύ τους. ii) Η κοινή ένδειξη P K των δύο µανοµέτρων στην διάταξη του σχήµατος () εκφράζει την ολική πίεση του υγρού στα σηµεία Α και Β και στις δύο διατάξεις ροής του υγρού. Εξάλλου οι ενδείξεις P, P των µανοµέτρων Μ, Μ αντιστοί χως στην διάταξη του σχήµατος () και η ένδειξη P K επιτρέπουν να εκφράσου

2 µε τις δυναµικές πιέσεις των σηµείων Α και Β στην διάταξη του σχήµατος () και µάλιστα οι πιέσεις αυτές είναι P K -P και P K -P αντιστοίχως, θα ισχύουν δε οι σχέσεις: v A / = P K - P " # v B / = P K - P $ (:) v A v = P - P K v B P K - P v = P - P K () P K - P όπου v, v οι ταχύτητες ροής του υγρού στους σωλήνες Σ και Σ αντιστοίχως και ρ η πυκνότητα του υγρού. Όµως ο νόµος της συνέχειας µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: S v = S v v = S v = R v S v R = R R () όπου R, R οι ακτίνες των κυκλικών διατοµών των σωλήνων Σ και Σ αντι στοίχως. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: R 4 R 4 = P K - P P K - P R R = 4 P K - P P K - P Στην διάταξη του σχήµατος (3) το πάνω άκρο του κατακόρυφου σωλήνα είναι κλειστό, η δε διατοµή του οριζόντιου σωλήνα είναι πολύ µικρή σε σχέση µε την διατοµή του ανοικτού δοχείου Δ. Όταν το στόµιο του οριζόντιου σωλήνα κρατείται κλειστό µε την βοήθεια στρόφιγγας Σ, τότε ο αέρας που είναι εγκλωβισµένος στον κατακόρυφο σωλήνα καταλαµβάνει το µισό αυτού, ένω το άλλο µισό περιέχει ιδανικό υγρό ύψους ίσου µε το ύψος h του υγρού στο δοχείο Δ. Κατά πόσον θα κατέλθει η σταθµή του υγρού στον κατακό ρυφο σωλήνα όταν ανοίξει η στρόφιγγα; Δίνεται η πυκνότητα ρ του υγρού, η ατµοσφαιρική πίεση P α και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: Πριν ανοίξει η στρόφιγγα Σ το υγρό βρίσκεται σε ισορροπία τόσο στο δοχείο Δ όσο και στον κατακόρυφο σωλήνα. Για τις πιέσεις P A και P B του υγ ρού στα σηµεία A και B ισχύουν οι σχέσεις: P A = P + "gh και P B = P + gh όπου P η πίεση του αέρα που είναι εγκλωβισµένος στον κατακόρυφο σωλήνα. Όµως οι πιέσεις P A και P B είναι ίσες, διότι τα σηµεία Α και Β βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και στο ίδιο υγρό που ισορροπεί (σχ. 3), οπότε µε βάση τις προηγούµενες σχέσεις προκύπτει ότι P =P α. Όταν ανοίξει η στρόφιγγα Σ θα αποκατασταθεί στον οριζόντιο σωλήνα ροή ιδανικού υγρού (την ροή αυτή θα την θεωρήσουµε µόνιµη) το οποίο εκκρέει στην ατµόσφαιρα µε ταχύτητα v υπό πίεση P α, οπότε εφαρµόζοντας τον νόµο του Bernoulli κατά µήκος της ρευµατι κής γραµµής ΒΓ (σχ. 4), µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το ορι ζόντιο επίπεδο που διέρχεται από τον άξονα του σωλήνα, θα έχουµε την σχέση:

3 v B + P B = v " + P () " Σχήµα 3 Σχήµα 4 όπου v B, v οι ταχύτητες ροής του υγρού στα σηµεία Β και Γ αντιστοίχως και P B, P Γ οι αντίστοιχες στατικές πιέσεις του υγρού στα σηµεία αυτά. Όµως ισχύ ει P Γ =P α και λόγω του νόµου της συνέχειας θα είναι v B =v Γ =v, οπότε η σχέση () δίνει P Β =P α. Εξάλλου η ισορροπία του υγρού στον κατακόρυφο σωλήνα µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: P B = P + g( h - x) P a = P + g( h - x) P = P a - g( h - x) () όπου P η νέα πίεση του αέρα στον κατακόρυφο σωλήνα και x η ζητούµενη πτώση της στάθµης του υγρού σ αυτόν. Επειδή ο αέρας του σωλήνα εκτονώθη κε ισόθερµα, θα ισχύει ο νόµος του Boyle, δηλαδή θα έχουµε: () P hs = P ( h + x)s P a h = [ P a - g ( h - x) ] ( h + x) P a h = P a ( h + x) - g h - x ( ) gx + P a x - gh = 0 x + ( P a /g)x - h = 0 (3) H (3) είναι µια εξίσωση ου βαθµού ως προς x και έχει δύο ρίζες πραγµατικές και ετερόσηµες, από τις οποίες δεκτή είναι η θετική ρίζα: ( ) + 4h x = - P a g + P a /g = - P a g + P a + 4 g h g x = P a + ( gh) - P a g Tο δοχείο του σχήµατος (5) περιέχει νερό µέχρι ύψους h η δε διατοµή του θεωρείται πολύ µεγάλη σε σχέση µε την

4 διατοµή του κρουνού από τον οποίο εξέρχεται το νερό, όταν ανοίξου µε την στρόφιγγα Σ. i) Kατά πόσο θα µεταβληθεί το ύψος του νερού στον µανοµετρικό σω λήνα A, όταν ανοίξουµε την στόφιγγα; ii) Σε πόση απόσταση κάτω από τον κρουνό θα υποδιπλασιαστεί η διατοµή της υδάτινης φλέβας, σε σχέση µε την διατοµή της οπής από την οποία εκκρέει το νερό; Nα θεωρήσετε ότι η ροή του νερού µέσα στο δοχείο και στον αέρα είναι µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβές. ΛΥΣΗ: i) Όταν η στρόφιγγα Σ είναι κλειστή το νερό ισορροπεί παντού, µε απο τέλεσµα οι πιέσεις στα σηµεία του a και b να είναι ίσες, αφού τα σηµεία αυτά βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, δηλαδή ισχύει: P a = P b P 0 + gh = P 0 + g h " h = h () Σχήµα 5 όπου h το ύψος του υγρού στον µανοµετρικό σωλήνα Α, ρ η πυκνότητα του νερού, P 0 η ατµοσφαιρική πίεση και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Όταν η στρόφιγγα Σ ανοίξει συµβαίνει ροή του νερού στο δοχείο και στον οριζόντιο σωλήνα, οπότε εφαρµόζοντας τον νόµο του Bernulli κατά µήκος της ρευµατι κής γραµµής bc, µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επίπεδο (ε), παίρνουµε την σχέση: P b + v b / + 0 = P c + v c / + 0 P b + "v b / = P 0 + "v / () όπου P b η νέα στατική πίεση του νερού στο σηµείο b, v b η ταχύτητα ροής του στο σηµείο αυτό, v η ταχύτητα εκροής του στον αέρα και P b η στατική πίεσή του στο σηµείο εξόδου, ίση προς την ατµόσφαιρική πίεση P 0. Όµως ο οριζόντιος σωλήνας είναι ισοδιαµετρικός, οπότε λόγω και του νόµου της συνέχειας θα ισχύει v b =v και η () δίνει P b =P 0, που σηµαίνει ότι το νέο ύψος του νερού στον µανοµετρικό σωλήνα είναι µηδενικό, δηλαδή µε το άνοιγµα της στρόφιγγας το ύψος του νερού στον σωλήνα Α θα µειωθεί κατά h. ii) Εφαρµόζοντας τον νόµο του Bernulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής cd της εντός του αέρα υδάτινης φλέβας, παίρνουµε την σχέση:

5 P c + v / + 0 = P d + v y / - gy P 0 + v / = P 0 + v y / - gy v / = v y / - gy v y = v + gy y = ( v y - v ) /g (3) όπου y η απόσταση των διατοµών c και d, v y η ταχύτητα του νερού στην διατο µή d, ενώ οι πιέσεις P c, P d είναι ίσες µε την ατµοσφαιρική πίεση P 0. Όµως απαι τούµε το εµβαδον S d της διατοµής d να είναι το µισό του εµβαδού S c της οπής, οπότε συµφωνα µε τον νόµο της συνέχειας θα ισχύει v y =v και η () γράφεται: y = ( 4v - v ) /g = 3v /g (4) Εξάλλου τo µέτρο της ταχύτητας v υπολογίζεται από το θεώρηµα Τoricelli, δη λαδή έχουµε v= gh και η (4) δίνει: y = 6gh /g = 3h Στον κατακόρυφο σωλήνα της διατάξεως του σχή µατος (6) ρέει µε φορά προς τα κάτω υγρό πυκνότητας ρ και τότε η υψοµέτρική διαφορά του υδραργύρου στα δύο σκέλη του µανοµέτρου είναι h. Mε την προυπόθεση ότι η ροή του υγρού είναι ασυµπίεστη, µόνιµη, χωρίς εσωτερική τριβή και χωρίς τριβή µε τα τοιχώµατα του σωλήνα, να βρεθεί η ταχύτητα ροής του νερού στο ευρύ τµήµα του σωλήνα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η πυκνότητα ρ Ηg >ρ του Hg και ο λόγος α=r /R > των ακτίνων των κυκλικών διατοµών του ευρέως και του στενού τµήµατος του σωλήνα. ΛΥΣΗ: Εφαρµόζοντας τον νόµο του Βernoulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επέπεδο που περιέχει τον άξονα του σωλήνα, παίρνουµε την σχέση: P + v / + gl = P + v / + 0 P - P = v ( - v ) / - gl () όπου P, Ρ οι στατικές πιέσεις στα σηµεία και αντιστοίχως, v, v οι αντί στοιχες ταχύτητες ροής του νερού στα σηµεία αυτά και L η απόσταση από σε. Εξάλλου από τον νόµο της συνέχειας έχουµε: S v = S v R v = R v v = v ( R / R ) = v οπότε η () γράφεται: P - P = " 4 v ( - v ) / - gl P - P = (" 4 - )v / - gl ()

6 Εξάλλου οι πιέσεις στα σηµεία Α και Β του µανοµετρικού σωλήνα της διάταξης είναι ίσες, διότι τα σηµεία αυτά βρίσκονται στο ίδιο υγρό (Ηg) που ηρεµεί και στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο, δηλαδή θα ισχύει: P A = P B P + g( L + h * + h) = P + gh * + Hg gh P - P = gh ( Hg - ) - gl (3) Σχήµα 6 Συνδιάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: gh ( Hg - ) - gl = (" 4 - )v / - gl gh ( Hg - ) = " 4 - " ( )v / gh Hg $ # - % ' = ( 4 ( - )v & v = gh # 4 % - $ " - & ( v = ' " Hg gh # 4 % - $ " - & ( ' " Hg Στην διάταξη του σχήµατος (7) πραγµατοποιείται ροή υγρού, κατα την εξέλιξη της οποίας στους κατακόρυφους σωλή νες σ και σ του µανοµέτρου παρουσιάζεται υψοµετρική διαφορά h του υγρού, ενώ το υπόλοιπο µέρος του µανοµέτρου περιέχει αέρα. Εάν ρ είναι η πυκνότητα του νερού, R η ακτίνα της κυκλικής διατο µής του δεξιού σωλήνα ροής και g η επιτάχυνση της βαρύτητας, να βρείτε την παροχή υγρού της διάταξης. Να δεχθείτε ότι η ροή του υγ ρού είναι µόνιµη, ασυµπίεστη και χωρίς τριβή. ΛΥΣΗ: H παρουσία του κατακόρυφου σωλήνα σ ελάχιστα αλλοιώνει την µορφή της ροής του υγρού στον αριστερό οριζόντιο σωλήνα, που σηµαίνει ότι η ταχύτητα ροής v στο σηµείο Α είναι ίση µε την ταχύτητα του υγρού στον σω

7 λήνα αυτόν. Αντίθετα η παρουσία του κατακόρυφου σωλήνα σ αλλοιώνει την µορφή της ροής στο άκρο του Β δηµιουργώντας σηµείο ανακοπής της ροής, δηλαδή σηµείο µηδενισµού της ταχύτητας του υγρού στο Β, που σηµαίνει ότι η Σχήµα 7 δυναµική πίεση του υγρού στο Β είναι µηδενική. Εφαρµόζοντας τον νόµο του Bernoulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής ΑΜΒ, µε επίπεδο αναφοράς των υψοµετρικών πιέσεων το οριζόντιο επίπεδο (ε) που περιέχει τον άξονα του δεξι ού σωλήνα, παίρνουµε την σχέση: P A + v A / + 0 = P B gh P A + v / = P B + gh v / = P B - P A + gh () όπου P A, P B οι στατικές πιέσεις στα σηµεία Α και Β αντιστοίχως και Η η από σταση των αξόνων των δύο οριζόντιων σωλήνων ροής. Όµως για τις πιέσεις αυτές ισχύουν οι σχέσεις: ( ) ( ) P A = P a + g h + R P B = P a + g h + R " $ # % $ (" ) P B - P A = g( h + R - h - R ) () όπου P a η πίεση του αέρα και R, R oι ακτίνες των κυκλικών διατοµών των αντιστοίχων σωλήνων ροής. Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () έχουµε: v / = g( h + R - h - R + H) (3) Όµως από το σχήµα (7) προκύπτει ότι: H + R + h = R + h + h h + R - h - R + H = h οπότε η (3) γράφεται: v / = gh v = gh (4) H ζητούµενη παροχή Π του υγρού είναι: (4) = "R v = "R gh

8 O σίφωνας του σχήµατος (8) έχει πληρωθεί µε υγρό πυκνότητας ρ, µε αναρρόφηση αυτού από το άκρο του Γ, το οποίο αρχικά κρατείται κλειστό και βρίσκεται σε απόσταση x από την στάθµη της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού στο δοχείο. i) Nα δείξετε ότι, αν ανοίξουµε το άκρο Γ ο σίφωνας λειτουργεί εφ όσον το άκρο Γ βρίσκεται κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του υγ ρού στο δοχείο. ii) Eάν για κάποιο λόγο η ανεµπόδιστη λειτουργία του σίφωνα απαι τεί η πίεση του υγρού στο ανώτερο άκρο Β να µην υπολείπεται του /3 της ατµοσφαιρικής πίεσης P 0, να βρείτε την µέγιστη τιµή της από στασης h του άκρου Γ από το οριζόντιο τµήµα του σίφωνα. iii) Εάν το εµβαδόν διατοµής του σωλήνα είναι S, να βρείτε την ανά µονάδα χρόνου εκρέουσα µάζα υγρού από το άκρο Γ στην περίπτωση που είναι x=h max /. Tο µεταγγιζόµενο υγρό θα θεωρηθεί ιδανικό και η ροή του κατά µήκος του σωλήνα µόνιµη. ΛYΣH: i) Aς δεχθούµε ότι ο σίφωνας λειτουργεί, όταν το ελεύθερο άκρο του Γ βρίσκεται πάνω από την στάθµη της ελεύθερης επιφάνειας του υγρού στο δο χείο (σχ. 8). Εφαρµόζοντας τον νόµο του Bernulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµµής ΑΒΓ παίρνουµε την σχέση: P A + v A / + 0 = P " + v " / + gx () όπου x η απόσταση του Γ από το επίπεδο αναφοράς (ε) των υψοµετρικών πιέ σεων. Όµως είναι P A =P Γ =P 0 και v A <<v Γ, οπότε η () γράφεται: 0 = v / + gx v = -gx () Σχήµα 8 Σχήµα 9 H () αποκλείει την λειτουργία του σίφωνα, αφού η ταχύτητα εκροής v υγρού από το άκρο Γ είναι µη αποδεκτή. Αν όµως δεχθούµε ότι το άκρο Γ βρίσκεται

9 κάτω από την στάθµη του υγρού στο δοχείο σε απόσταση x (σχ. 9), τότε µε το ίδιο σκεπτικό θα καταλήξουµε για την ταχύτητα v στην αποδεκτή σχέση: v = gx (3) ii) Εφαρµόζοντας πάλι τον νόµο του Bernulli κατά µήκος της ρευµατικής γραµ µής ΒΓ, παίρνουµε την σχέση: P B + v B / + g( h - x) = P " + v " / - gx P B + v / + g( h - x) = P 0 + v / - gx P B + gh = P 0 P B = P 0 - gh (4) όπου P B η πίεση του υγρού στο Β, ενώ λόγω του νόµου της συνέχειας ελήφθη v B =v Γ = v. Όµως θέλουµε να ισχύει P B P 0 /3, οπότε η (4) δίνει: P 0 - gh " P 0 / 3 h P 0 / 3"g h max = P 0 / 3g (5) iii) Eάν dm είναι η µάζα του υγρού που εκρέει από το άκρο Γ σε χρόνο dt και dv ο όγκος που αντιστοιχεί στην µάζα αυτή, θα έχουµε: dm dt = dv dt = Sv (3) dm dt = S gx η οποία για x=h max / γράφεται: dm dt = S gh max (5) dm dt = S g ( P / 3g 0 ) = S P 0 / 3 (6) όπου dm/dt o ζητούµενος ρυθµός εκροής µάζας υγρού από τον σίφωνα. Μια σφαίρα αφήνεται να κινηθεί εντός του ατµοσ φαιρικού αέρα, ο οποίος θεωρείται οµογενής σε όλη του την έκταση και ακίνητος. Στην διάρκεια της κίνησης της σφαίρας αυτή δέχεται από τον αέρα δύναµη τριβής T (αντίσταση) αντίρροπη της ταχύτητάς της v, µε µέτρο που ακολουθεί την σχέση T=kv, όπου k συντελεστής αναλογίας εξαρτώµενος από την πυκνότητα του αέρα και από την ακτίνα της σφαίρας. i) Να δείξετε ότι η ταχύτητα της σφαίρας αυξάνεται µε µειούµενο ρυθ µό και τελικά τείνει να λάβει σταθερή τιµή, την λεγόµενη οριακή ταχύτητα της σφαίρας. ii) Πόσος είναι ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας της σφαίρας, την στιγµή που η ταχύτητά της αποτελεί τα /3 της οριακής της τιµής;

10 iii) Aν η σφαίρα αφεθεί σε κατάλληλη απόσταση h από το οριζόντιο έδαφος, ώστε να φθάσει σ αυτό µε την οριακή της ταχύτητα, να βρε θεί το έργο της τριβής κατά την διαδροµή της σφαίρας και η ισχύς αυτής την στιγµή που φθάνει στο έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζοντας την σφαίρα κατά µια τυχαία στιγµή t που η ταχύτητά της είναι v, διαπιστωνουµε ότι δέχεται το βάρος της w και την τριβή T απο τον αέρα (η άνωση από τον αέρα παραλείπεται ως αµελητέα σε σχέση µε τις δύο παραπάνω δυνάµεις). Εάν a είναι η επιτάχυνση της σφαίρας κατά την θεωρού µενη στιγµή t θα ισχύει, σύµφωνα τον ο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, η σχέση: w - T = ma mg - kv = m dv dt dv dt = mg - kv m = g - kv m () Σχήµα 0 Από την () προκύπτει ότι ο ρυθµός µεταβολής dv/dt της ταχύτητας της σφαί ρας µειώνεται µε τον χρόνο, διότι η ταχύτητά της v αυξάνεται εκ της ηρεµίας. Αυτό σηµαίνει ότι η αύξηση της ταχύτητας της σφαίρας συντελείται µε µειούµενο ρυθµό, δηλαδή η κίνησή της είναι µη οµαλά επιταχυνόµενη. Όταν η ταχύτητα της σφαίρας λάβει µια χαρακτηριστική τιµή v " που µηδενίζει το ο µέλος της (), τότε ο ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας µηδενίζεται, δηλαδή η ταχύτητά της τείνει* προς την σταθερή τιµή v ", που ονοµάζεται οριακή ταχύ τητα της σφαίρας και το µέτρο της υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: g - kv " m = 0 v " = mg k v = mg " k () * Αποδεικνύεται ότι η ταχύτητα της σφαίρας παίρνει την οριακή της τιµή σε χρόνο που θεωρητικά τείνει προς το άπειρο. Πρακτικά όµως η οριακή ταχύτητα προσεγ γίζεται σε πεπερασµένο χρόνο.

11 ii) H σχέση () εφαρµοζόµενη την χρονική στιγµή t *, που η ταχύτητα της σφαί ρας είναι ίση µε v " /3 δίνει: dv$ # & " dt% * = g - 4kv () '( 9m dv$ # & " dt% * = g - 4k mg 9m k dv$ # & " dt% * = g - 4g 9 = 5g 9 (3) όπου ( dv/dt) * ο ζητούµενος ρυθµός µεταβολής της ταχύτητας της σφαίρας. iii) Eφαρµόζοντας για την σφαίρα το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου από την στιγµή t=0 που αφήνεται ελευθερη µεχρις ότου φθάσει στο έδαφος έχοντας αποκτήσει την οριακή της ταχύτητα παίρνουµε την σχέση: K "# - K $%& = W + w W mv " T - 0 = mgh + W T () m mg k = mgh + W W T T = m k - mgh = m # " m k - gh $ & (4) % H ισχύς N T της τριβής λίγο πριν η σφαίρα φθάσει στο έδαφος δίνεται από την σχέση: N () ( v "# ) = Tv "# $%&' = -mgv "# = T T N T = -mg mg/k Ένα ηλεκτρισµένο σφαιρίδιο αιωρείται στον ατµοσ φαιρικό αέρα µε την βοήθεια ενός κατακόρυφου ηλεκτρικού πεδίου. Kάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου αρχίζει να ελαττώνεται και το σφαιρίδιο παύει να αιωρείται και τίθεται σε κίνηση προς τα κάτω. Aν το µέτρο της επι τάχυνσής του a µεταβάλλεται µε τον χρόνο σύµφωνα µε το διάγραµ µα του σχήµατος (), να βρείτε την επιτάχυνση του σφαιριδίου κατά την χρονική στιγµή t * που καταργείται το ηλεκτρικό πεδίο. Nα δεχθεί τε ότι, η αντίσταση που δέχεται το σφαιρίδιο από τον ατµοσφαιρικό αέρα έχει µέτρο ανάλογο πρός το µέτρο της ταχύτητάς του και ότι η άνωση από τον αέρα είναι ασήµαντη. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι το σκιασµένο εµβαδόν είναι ίσο µε το /3 του όλου εµβαδού που καθορίζει το διάγραµµα της συνάρτησης a=f(t) και ο άξονας των χρόνων. ΛYΣH: Oι δυνάµεις που δέχεται το σφαιρίδιο από την στιγµή t=0, που αρχίζει να ελαττώνεται το µέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου, µέχρι την στιγµή

12 t=t * που αυτή µηδενίζεται, είναι το βάρος του m g, η ηλεκτρική δύναµη F οµόρροπη της έντασης του πεδίου και η αντίσταση T του αέρα, που είναι αντίρ ροπη της ταχύτητας v του σφαριδίου, το δε µέτρο της είναι της µορφής T=kv, όπου k σταθερός συντελεστής αναλογίας. Σύµφωνα µε το πρόβληµα την χρονι κή στιγµή t * η επιτάχυνση του σφαιριδίου έχει την µέγιστη τιµή a max, η δε ηλεκτρική δύναµη µηδενίζεται. Έτσι, κατά τον δεύτερο νόµο του Nεύτωνα, την χρονική στιγµή t * θα ισχύει η σχέση: mg - T = ma max mg - kv * = ma max () Σχήµα Σχήµα όπου v * η ταχύτητα του σφαιριδίου την στιγµή t *. Eξάλλου, από την στιγµή t * και µετά το σφαιρίδιο θα συνεχίζει επιταχυνόµενο µε διαρκώς ελαττούµενη επιτάχυνση µε αποτέλεσµα το µέτρο της αντίστασης του αέρα να αυξάνεται. Όταν συµβεί T=mg θα µηδενιστεί η επιτάχυνση του σφαιριδίου και αυτό θα κινείται πλέον προς τα κάτω µε σταθερή ταχύτητα v ", η οποία αποτελεί την οριακή του ταχύτητα, της οποίας το µέτρο υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: mg = kv " k = mg/v " () Συνδυάζοντας τις σχέσεις () καί () παίρνουµε: mg - mgv * /v " = ma max a max = g(- v * /v " ) (3) Όµως, από το διάγραµµα της συνάρτησης a=f(t), έχουµε: ( ) ( ) v * - 0 = µ" OAt * v #$ - 0 = µ" OA% &( ' )( v * ( ) ( ) = 3 = #µ$ OAt * v " #µ$ OA% H (3), µέσω της σχέσεως (4) παίρνει την µορφή a max =g/3 (4)