SAVEZ U IZVJEŠTAJIMA POSLJEDNJE VEČERE

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "SAVEZ U IZVJEŠTAJIMA POSLJEDNJE VEČERE"

Transcript

1 Bogoslovska smotra, 80 (2010.) 1, UDK Pregledni članak Primljeno: Prihvaćeno: SAVEZ U IZVJEŠTAJIMA POSLJEDNJE VEČERE Mario CIFRAK Katolički bogoslovni fakultet Sveučilišta u Zagrebu Vlaška 38, p.p. 432, Zagreb mario.cifrak@ofm.hr Sažetak Izvještaji Posljednje večere nalaze se u Novom zavjetu kod Pavla (najstariji) te kod sinoptika. Pritom pokazuju određenu sličnost Pavlov i Lukin izvještaj te Markov i Matejev. Osobito je važno uočiti Isusove riječi ustanove euharistije: one koje prate uzimanje kruha te čaše s vinom. Uz čašu s vinom nalazimo izričaje:»novi Savez u mojoj krvi«(1 Kor 11,25 i Lk 22,20) i»krv Saveza«(Mk 14,24 i Mt 26,28). Sklapa se Savez u Isusovoj krvi. I to novi. Očito da je onaj stari nedovoljan, ili razvrgnut. Upravo Isus popravlja taj narušeni saveznički odnos između Boga i čovjeka. Čovjek nije bio dosljedan u savezničkim obvezama. Isusova smrt je stoga okajnička. Ostvaruje konačno Božje pomirenje sa svojim narodom, tako da Isusova smrt, davanje njegova tijela i krvi, ispunjava sve ono na što je pomirbeni kult ciljao: pomirena zajednica ljudi s Bogom. Govorimo dakle o savezničkoj i okajničkoj krvi novoga Saveza. Ključne riječi: Posljednja večera, (novi) Savez, krv, Pavao, sinoptici. Problematika Savez u izvještajima Posljednje večere je jedinstven u evanđeljima, gotovo hapax legomenon (iznimka je Lk 1,72). Budući da se takav izvještaj nalazi i kod Pavla u Prvoj Poslanici Korinćanima, imamo svjedočanstvo u različitim književnim vrstama. Pavlov tekst je najstariji, a i sam izvještaj je stariji od Poslanice jer»ja od Gospodina primih što vama predadoh«(1 Kor 11,23) kaže Pavao. Tradiciju Posljednje večere koja započinje s Isusom prije njegove smrti, garantira u njezinoj valjanosti proslavljeni Gospodin, koji po sakramentu Gospod- 231

2 Mario CIFRAK, Savez u izvještajima Posljednje večere nje večere, koji utemeljuje tradicijski tekst, djeluje kao neposredno prisutni. 1 Koje mjesto, gledano iz povijesti tradicije, zauzimaju izričaji»krv Saveza«(Mk 14,24 i Mt 26,28) i»novi Savez u mojoj krvi«(1 Kor 11,25 i Lk 22,20) i koje imaju značenje? 2 Ta pitanja pripadaju najprjepornijim pitanjima egzegetsko-teološkoga bavljenja Novim zavjetom. 1. Tekst i usporedba Usporedimo četiri izvještaja koja donose riječi ustanove euharistije, budući da u njima nalazimo pojam Saveza: 1 Kor 11,23-25; Mk 14,22-24; Mt 26,26-28 i Lk 22, Kor 11,23-25 Mk 14,22-24 Mt 26,26-28 Lk 22,19-20 Ἐγὼ γὰρ παρέλαβον Καὶ ἐσθιόντων αὐτῶν Ἐσθιόντων δὲ αὐτῶν καὶ λαβὼν ἄρτον ἀπὸ τοῦ κυρίου, ὃ καὶ λαβὼν ἄρτον εὐλογήσας λαβὼν ὁ Ἰησοῦς ἄρτον εὐχαριστήσας ἔκλασεν παρέδωκα ὑμῖν, ὅτι ὁ ἔκλασεν καὶ ἔδωκεν καὶ εὐλογήσας ἔκλασεν κύριος Ἰησοῦς ἐν τῇ αὐτοῖς καὶ εἶπεν λάβετε, καὶ δοὺς τοῖς μαθηταῖς νυκτὶ ᾗ παρεδίδετο τοῦτό ἐστιν τὸ σῶμά εἶπεν λάβετε φάγετε, 24 ἔλαβεν ἄρτον καὶ μου. καὶ λαβὼν ποτήριον τοῦτό ἐστιν τὸ σῶμά εὐχαριστήσας ἔκλασεν καὶ εἶπεν τοῦτό μού ἐστιν τὸ σῶμα τὸ ὑπὲρ ὑμῶν τοῦτο ποιεῖτε εἰς τὴν ἐμὴν 25 ἀνάμνησιν. ὡσαύτως καὶ τὸ ποτήριον μετὰ τὸ δειπνῆσαι λέγων τοῦτο τὸ ποτήριον ἡ καινὴ διαθήκη ἐστὶν ἐν τῷ ἐμῷ αἵματι τοῦτο ποιεῖτε, ὁσάκις ἐὰν πίνητε, εἰς τὴν ἐμὴν ἀνάμνησιν. Doista, ja od Gospodina primih što vama predadoh: Gospodin Isus one noći kad bijaše predan uze kruh, 24 zahvalivši razlomi i reče:»ovo je tijelo moje za vas. Ovo činite meni na spomen.«25 Tako i čašu po večeri govoreći:»ova čaša novi je Savez u mojoj krvi. Ovo činite kad god pijete, meni na spomen. εὐχαριστήσας ἔδωκεν αὐτοῖς, καὶ ἔπιον ἐξ αὐτοῦ πάντες. καὶ εἶπεν αὐτοῖς τοῦτό ἐστιν τὸ αἷμά μου τῆς διαθήκης τὸ ἐκχυννόμενον ὑπὲρ πολλῶν. I dok su blagovali, on uze kruh, izreče blagoslov pa razlomi, dade im i reče:»uzmite, ovo je tijelo moje.«23 I uze čašu, zahvali i dade im. I svi su iz nje pili. 24 A on im reče:»ovo je krv moja, krv Saveza, koja se za mnoge prolijeva. μου. καὶ λαβὼν ποτήριον καὶ εὐχαριστήσας ἔδωκεν αὐτοῖς λέγων πίετε ἐξ αὐτοῦ πάντες, τοῦτο γάρ ἐστιν τὸ αἷμά μου τῆς διαθήκης τὸ περὶ πολλῶν ἐκχυννόμενον εἰς ἄφεσιν ἁμαρτιῶν. I dok su blagovali, uze Isus kruh, izreče blagoslov pa razlomi, dade svojim učenicima i reče:»uzmite i jedite! Ovo je tijelo moje!«27 I uze čašu, zahvali i dade im govoreći:»pijte iz nje svi! 28 Ovo je krv moja, krv Saveza koja se za mno ge prolijeva na otpuš tenje grijeha. καὶ ἔδωκεν αὐτοῖς λέγων τοῦτό ἐστιν τὸ σῶμά μου τὸ ὑπὲρ ὑμῶν διδόμενον τοῦτο ποιεῖτε εἰς τὴν ἐμὴν ἀνάμνησιν. καὶ τὸ ποτήριον ὡσαύτως μετὰ τὸ δειπνῆσαι, λέγων τοῦτο τὸ ποτήριον ἡ καινὴ διαθήκη ἐν τῷ αἵματί μου τὸ ὑπὲρ ὑμῶν ἐκχυννόμενον. I uze kruh, zahvali, razlomi i dade im govoreći:»ovo je tijelo moje koje se za vas predaje. Ovo činite meni na spomen.«20 Tako i čašu, pošto večeraše, govoreći:»ova čaša novi je Savez u mojoj krvi koja se za vas prolijeva.«232 1 Usp. Hans-Josef KLAUCK, Herrenmahl und hellenistischer Kult. Eine religionsgeschichtliche Untersuchung zum ersten Korintherbrief, Münster, 1982., Usp. Hermann LICHTENBERGER,»Bund«in der Abendmahlsüberlieferung, u: Bund und Tora. Zur theologischen Begriffsgeschichte in alttestamentlicher, frühjüdischer und urchristli - cher Tradition, Tübingen, 1996., 217.

3 Bogoslovska smotra, 80 (2010.) 1, Najstariji novozavjetni tekst koji donosi riječi ustanove euharistije je u 1 Kor 11, Sama Poslanica je napisana oko 55. posl. Kr. Prema 11. poglavlju Poslanice razlog navođenja riječi ustanove su napetosti i poteškoće u slavljenju euharistije unutar same korintske zajednice. Pavlu je stalo do razumijevanja blagovanja kao Gospodnje večere. 3 R. 26 tumači navedenu predaju:»doista, kad god jedete ovaj kruh i pijete čašu, smrt Gospodnju navješćujete dok on ne dođe.«kruh, odnosno tijelo i vino, odnosno krv novoga Saveza povezuje Pavao sa smrću Gospodnjom. U sinoptičkim evanđeljima su izvještaji o Gospodnjoj večeri dio izvještaja muke. Blagovanje je shvaćeno kao blagovanje Pashe (usp. Mk 14,16; Mt 26,19; Lk 22,15). Kruh i kalež se, kao i kod Pavla, odnose na tijelo i krv Gospodinovu. Oni imaju spasenjski učinak (»za vas«,»za mnoge«). A krv je protumačena kao krv Saveza. Kod Mateja uočavamo da on dodaje uz prolivenu krv:»za oproštenje grijeha«. Spominjanje oproštenja grijeha po prolivenoj krvi u riječima ustanove stvara novi red u zajednici koji postaje tako sadržaj Saveza sklopljenoga Kristovim dolaskom između Boga i čovjeka i izvršenoga u njegovoj krvi, odnosno smrti. 4 Kod Luke nalazimo kao i kod Pavla činjenje euharistije na Isusov spomen i krv koja je krv novoga Saveza. Luka govori o krvi koja se prolijeva»za vas«. S obzirom na Savez u izvještajima ustanove na Posljednjoj večeri riječ je o krvi novoga Saveza (1 Kor, Lk), odnosno krvi Saveza (Mk, Mt). 2. Savez Kor 11,25 ὡσαύτως καὶ τὸ ποτήριον μετὰ τὸ δειπνῆσαι λέγων τοῦτο τὸ ποτήριον ἡ καινὴ διαθήκη ἐστὶν ἐν τῷ ἐμῷ αἵματι τοῦτο ποιεῖτε, ὁσάκις ἐὰν πίνητε, εἰς τὴν ἐμὴν ἀνάμνησιν. (Tako i čašu po večeri govoreći:»ova čaša novi je Savez u mojoj krvi. Ovo činite kad god pijete, meni na spomen.«) Riječi koje Isus govori prate uzimanje čaše koja nije vezana uz blagovanje, tj. večeru koja je već završena uz jelo i piće (μετὰ τὸ δειπνῆσαι). Riječi uz čašu, koja u Starom zavjetu metaforički označuje blagoslov, radost ili srdžbu 3 Usp. Jens SCHRÖTER, Das Abendmahl. Frühchristliche Deutungen und Impulse für die Gegenwart, Stuttgart, 2006., Usp. Jens SCHRÖTER, Das Abendmahl,

4 Mario CIFRAK, Savez u izvještajima Posljednje večere i sud, odnose se na novi Savez. 5 Krv pak označava nasilnu smrt. Ona je pretpostavka i temelj novoga Saveza. U prvom planu ovdje je sklapanje Saveza. Novi Savez se vrši po krvi Isusa Krista. Kad je riječ o novom Savezu možemo odmah pomisliti na Jr 31,31 (38,31 LXX) ili na Izl 24,8. H-J. Klauck formulaciju o takvu Savezu nalazi i kod Ez (usp. 16,60.62; 37,23.26) te kod Izaije (49,8; usp. također 42,6; 55,3). 6 Taj teologumenon je posvjedočen i u kodeksu iz Damaska (usp. CD 8,21). Esensko-kumranska zajednica je svoja blagovanja obdržavala kao žrtvene gozbe i gozbe Saveza (usp. 1QS 6,2-6; 1QSa 2,17-22) 7. Budući da se u spomenutim tekstovima ne govori o krvi, valja nam još pogledati Izl 24,8. λαβὼν δὲ Μωυσῆς τὸ αἷμα κατεσκέδασεν τοῦ λαοῦ καὶ εἶπεν ἰδοὺ τὸ αἷμα τῆς διαθήκης ἧς διέθετο κύριος πρὸς ὑμᾶς περὶ πάντων τῶν λόγων τούτων (Mojsije potom uzme krvi te poškropi narod govoreći:»ovo je krv Saveza koji je Jahve s vama uspostavio na temelju svih ovih riječi.«). Taj redak dio je cjeline sklapanja Saveza Izl 24,3-8. Naglasak je na Jahvinim riječima i obvezi Izraela da ih vrši. Stavljanje obveze i zaključenja Saveza jednog uz drugo stvara njihovo jedinstvo. 8 Savezničku Božju ljubav se tako potiskuje zbog većeg isticanja obveza, kao da se događa»pozakonjenje«pojma Saveza. Dok je tyrb, (Savez) u Izl 24,8 pojmovni okvir zajedništva Boga i čovjeka, koje je prikazano po obredu krvi obadvije strane i praćeno obvezom naroda prema objavi Božje volje, završna faza nastanka toga teksta razumije tyrb, (Savez) kao bezuvjetnu zaokupljenost Izraela Božjom voljom. Valjalo bi na tom primjeru vratiti u prvi plan Božju ljubav kao središte Saveza i kao onu koja se ne gubi u nemilosrdnom zakonskom razmišljanju. No u Izl 24,3-8 se ne govori o novom Savezu. Govori se o krvi Saveza. Savez je uspostavio Jahve. Krv je krv životinja koje su žrtvovane i čijom krvi je poškropljen narod. Razlika je očita jer Prva Korinćanima govori o novom Savezu u Isusovoj krvi. Ovdje se Isus obvezuje na Savez ali ne na temelju riječi kao što je to slučaj u Knjizi Izlaska, nego na temelju svoje krvi. Ovdje se događa nešto posve novo, što nadmašuje starozavjetno sklapanje Saveza Usp. Wolfgang SCHRAGE, Der erste Brief an die Korinther. 3. Teilband. 1 Kor 11,17 14,40, Zürich Düsseldorf Neukirchen-Vluyn, 1999., Usp. Hans-Josef KLAUCK, Herrenmahl und hellenistischer Kult, Usp. Isto, Usp. Manfred OEMING,»Siehe, deine Zeit war gekommen, die Zeit der Liebe«(Ez 16,8). Die»Psychologie«der Liebe als sachlicher Kern der Bundestheologie im Alten Testament, u: Für immer verbündet. Studien zur Bundestheologie der Bibel, Stuttgart, 2007., Usp. također Rinaldo FABRIS, Prima Lettera ai Corinzi. Nuova versione, introduzione e commento, Milano, 1999., 151.

5 Bogoslovska smotra, 80 (2010.) 1, Da se to čini Isusu»na spomen«j. Schröter vidi u ponavljanju slavljenja blagovanja ali ne i riječi ustanove. 10»Spomen«nas dovodi i u vezu s Pashom kako stoji u Izl 12,14:»Taj dan neka vam bude spomen-dan [!ArêK'zIl.; μνημόσυνον]. Slavite ga kao blagdan u čast Jahvi. Svetkujte ga po trajnoj uredbi od koljena do koljena«. Nastanak te zapovjedi spominjanja ide u predpavlovsko vrijeme i u helenističke zajednice gdje se na Isusovu Posljednju večeru gledalo kao na uzor za oblikovanje zajedničkoga blagovanja. 11 Τοῦτο ποιεῖτε,... εἰς τὴν ἐμὴν ἀνάμνησιν (Ovo činite... meni na spomen), subjekt upozorenja je raspeti, uskrsli i uzdignuti κύριος. 12 On se u blagovanju pokazuje kao prisutni i priopćuje svojima spasenje koje je na križu postigao. Ὁσάκις ἐὰν πίνητε (kad god pijete) bi značilo kad god održavate svoje zajedničko blagovanje kao Gospodnju večeru povezano s euharistijskim slavljem. 13 Večera Gospodnja nije prema tome kao»lomljenje kruha«prvobitne zajednice, tj. ponavljanje svakodnevnoga zajedništva stola (usp. Dj 2,42.46), nego posebno oblikovanje Posljednje Isusove večere s onim riječima vezanim uz tijelo i krv Mk 14,24 καὶ εἶπεν αὐτοῖς τοῦτό ἐστιν τὸ αἷμά μου τῆς διαθήκης τὸ ἐκχυννόμενον ὑπὲρ πολλῶν. (A on im reče: Ovo je moja krv Saveza, koja se za mnoge prolijeva.) Ovo su riječi koje Isus izgovara poslije zahvaljivanja nad čašom i pošto su svi iz nje pili. Riječi tumačenja se odnosi na čašu i pijenje iz nje. Pije se»moja«krv Saveza. Naglasak je upravo na posvojnoj zamjenici»moja«koji nas dovodi do osobe koja govori u prvom licu jednine. Govornik je Isus. To je Isusova krv. Ona je u isto vrijeme i krv Saveza (usp. Izl 24,8). Isusova krv je krv Saveza. Ta krv se prolijeva. Odatle proizlazi smrt. Tko prolijeva krv, umire. 15 Isus će umrijeti, prolit će (ἐκχυννόμενον) 16 svoju krv. I tim prolijevanjem krvi će se sklopiti Savez. Isus je Savez, odnosno»od njega«je taj Savez. Savez pretpostavlja ini- 10 Usp. Jens SCHRÖTER, Das Abendmahl, Usp. Hans-Josef KLAUCK, Herrenmahl und hellenistischer Kult, Usp. Thomas KNÖPPLER, Sühne im Neuen Testament. Studien zum urchristlichen Verständnis der Heilsbedeutung des Todes Jesu, Neukirchen-Vluyn, 2001., Usp. Hans-Josef KLAUCK, Herrenmahl und hellenistischer Kult, Usp. Hans LIETZMANN, An die Korinther I II, Tübingen, , Usp. također Joachim GNILKA, Das Evangelium nach Markus. 2. Teilband Mk 8,27 16,20, Zürich Einsiedeln Köln, 1979., Vidi o tom participu prezenta s futurskim značenjem u: Hans-Josef KLAUCK, Herrenmahl und hellenistischer Kult,

6 Mario CIFRAK, Savez u izvještajima Posljednje večere cijativu Božju. 17 S druge strane nalazimo zahvaljivanje Bogu (εὐχαριστήσας) za taj dar. Taj dar je namijenjen mnogima (ὑπὲρ πολλῶν). Tko su ti mnogi? O mnogima govori Marko u svom evanđelju u zadnjem retku perikope 10,35-45:»Jer ni Sin Čovječji nije došao da bude služen, nego da služi i život svoj dade kao otkupninu za mnoge«. Isusovoj smrti prema tom logionu se pridaje značenje zastupničkog okajanja. Na takvo tumačenje Isusove smrti moglo je utjecati držanje sluge Jahvina prema Četvrtoj pjesmi u Iz 52,13 53,12 u palestinskom okruženju ili utjecaj 4 Mak 18 odnosno 2 Mak (tragovi) u helenističko-judeokršćanskom okruženju. 19 Predloženi tekstovi ne predstavljaju pripremljenu shemu u koju bi se moglo svrstati govor o Isusovoj smrti, ali usprkos tome Iz 53 pruža nam ipak jedno važno uporište. Možemo vidjeti npr. određeni utjecaj Četvrte pjesme o Sluzi Jahvinu Iz 53,11: ἀπὸ τοῦ πόνου τῆς ψυχῆς αὐτοῦ δεῖξαι αὐτῷ φῶς καὶ πλάσαι τῇ συνέσει δικαιῶσαι δίκαιον εὖ δουλεύοντα πολλοῖς καὶ τὰς ἁμαρτίας αὐτῶν αὐτὸς ἀνοίσει (Zbog patnje duše svoje vidjet će svjetlost i nasititi se spoznajom njezinom. Sluga moj pravedni opravdat će mnoge i krivicu njihovu na sebe uzeti.). Ovdje nam dolazi ideja okajanja, pomirbeni karakter slugine patnje, odnosno Isusove smrti. 20 Taj čin i učinak je za sve ljude. Naime uspostavlja se u Iz 53,10-11b misteriozna veza između sluge i mnoštva ljudi koje nije posve precizirano. Ovdje moramo imati u vidu i djelo naviještanja među poganima na koje se također misli pri spominjanju smrti za mnoge. Isusova smrt je u Markovu izvještaju, u riječima koje prate pijenje iz čaše shvaćena kao okajnička žrtva čije je spasenjsko djelovanje posredovano sudionicima nove ustanove u gozbi Saveza Mt 26,27-28 καὶ λαβὼν ποτήριον καὶ εὐχαριστήσας ἔδωκεν αὐτοῖς λέγων πίετε ἐξ αὐτοῦ πάντες, τοῦτο γάρ ἐστιν τὸ αἷμά μου τῆς διαθήκης τὸ περὶ πολλῶν ἐκχυννόμενον εἰς ἄφεσιν ἁμαρτιῶν. (I uze čašu, zahvali i dade im govoreći: 17 Usp. Martin KARRER, Jesus Christus im Neuen Testament, Göttingen, 1998., Usp. Gerd HÄFNER, Nach dem Tod Jesu fragen. Brennpunkte der Diskussion aus neutestamentlicher Sicht, u: Wie heute vom Tod Jesu sprechen? Neutestamentliche, systematischtheologische und liturgiewissenschaftliche Perspektiven, Freiburg, 2002., Usp. Lorenz OBERLINNER, Der Weg Jesu zum Leiden, u: Jesus von Nazaret Spuren und Konturen, Stuttgart, 2004., Usp. Pierantonio TREMOLADA,»E fu annoverato fra iniqui«. Prospettive di lettura della Passione secondo Luca alla luce di Lc 22,37 (Is 53,12d), Roma, 1997., Usp. Hans-Josef KLAUCK, Herrenmahl und hellenistischer Kult,

7 Bogoslovska smotra, 80 (2010.) 1, »Pijte iz nje svi! Ovo je moja krv Saveza koja se za mnoge prolijeva na otpuštenje grijeha.) Matejev tekst navodi Isusa koji poslije zahvale govori i traži da iz čaše piju svi jer je to njegova krv Saveza (usp. Izl 24,8), koja se za mnoge prolijeva. 22 Matejevo navođenje riječi ustanove razlikuje se od Markova upravo po nadopuni formulacije zastupništva. Matej nadopunjuje i mijenja prijedlog ὑπέρ u περί pa ta formulacija glasi, odnoseći se na krv Saveza: τὸ περὶ πολλῶν ἐκχυννόμενον εἰς ἄφεσιν ἁμαρτιῶν. Oproštenje grijeha je učinak pomirenja, okajanja koje se dogodilo u Isusovoj smrti na križu i o kojem se govori u Gospodnjoj večeri. 23 Oproštenje grijeha kao plod Gospodnje večere podsjeća na obećanje novoga Saveza prema Jr 31,31-34, osobito u posljednjem retku gdje se govori o oproštenju grijeha:»i neće više učiti drug druga ni brat brata govoreći: Spoznajte Jahvu! nego će me svi poznavati, i malo i veliko riječ je Jahvina jer ću oprostiti bezakonje njihovo i grijeha se njihovih neću više spominjati«. Određena veza postoji i s Četvrtom pjesmom o Sluzi Jahvinu gdje čitamo:»zato ću mu mnoštvo dati u baštinu i s mogućnicima plijen će dijeliti, jer sam se ponudio na smrt i među zlikovce bio ubrojen, da grijehe mnogih ponese na sebi i da se zauzme za zločince«(iz 53,12). Pomirenje, okajanje i oproštenje grijeha podsjećaju nas i na starozavjetni taj'x; ((((((ritual (usp. Lev 4 i 5). 24 Stoga H. Leroy zaključuje:»kao što svećenik vršenjem žrtve ostvaruje okajanje, tako da Jahve onome koji žrtvuje daruje oproštenje, tako Isus po svojoj krvnoj žrtvi na križu čini okajanje koje donosi oproštenje.«25 J. Gnilka vidi i ritual pashalne krvi kao okajnički i oprosni ritual, kako se na to gledalo u doba egzila (usp. Ez 45,18). 26 O oproštenju grijeha govori se već u evanđelju djetinjstva kad anđeo tumači Josipu buduću Isusovu ulogu u Mt 1,21:»τέξεται δὲ υἱόν, καὶ καλέσεις τὸ ὄνομα αὐτοῦ Ἰησοῦν αὐτὸς γὰρ σώσει τὸν λαὸν αὐτοῦ ἀπὸ τῶν ἁμαρτιῶν αὐτῶν«(rodit će sina, a ti ćeš mu nadjenuti ime Isus jer će on spasiti narod svoj od grijeha njegovih.). Po tom tumačenju Isusova imena po- 22 Usp. Jens SCHRÖTER, Das Abendmahl, Usp. Thomas KNÖPPLER, Sühne im Neuen Testament, Usp. Georg FISCHER, Altes Testament, u: Georg FISCHER Knut BACKHAUS (ur.), Sühne und Versöhnung. Perspektiven des Alten und Neuen Testaments, Würzburg, 2000., Usp. Herbert LEROY, ἀφίημι, u: Horst BALTZ Gerhard SCHNEIDER (ur.), Exegetisches Wörterbuch zum Neuen Testament. Band I, Stuttgart Berlin Köln, Usp. Joachim GNILKA, Das Matthäusevangelium. Zweiter Teil. Kommentar zu Kapitel 14,1 28,20 und Einleitungsfragen, Freiburg Basel Wien, 2001.,

8 Mario CIFRAK, Savez u izvještajima Posljednje večere jašnjava Matej da Isus ima Jahvine kompetencije u opraštanju grijeha. 27 Iz samog je evanđelja naime vidljivo da grijehe oprašta Bog (6,12) i Gospodin Isus (9,2.5.6). Matej izričito u natpisu na križu»ovo je Isus, kralj židovski«(27,37) u imenu»isus«daje do znanja da je raspeti na križu»spasitelj«i po tome i»kralj židovski«. 28 Vidimo da je to tumačenje već pripravila perikopa Posljednje večere. Oproštenje grijeha je stoga po Isusovoj smrti posljednja konsekvencija zadaće koja se nalazi u njegovu imenu Lk 22,20 καὶ τὸ ποτήριον ὡσαύτως μετὰ τὸ δειπνῆσαι, λέγων τοῦτο τὸ ποτήριον ἡ καινὴ διαθήκη ἐν τῷ αἵματί μου τὸ ὑπὲρ ὑμῶν ἐκχυννόμενον. (Tako i čašu, pošto večeraše, govoreći: Ova čaša novi je 29 Savez u mojoj krvi koja se za vas prolijeva.) Poslije večere uzima Isus čašu. Tu čašu označuje kao novi Savez u svojoj krvi koja se prolijeva»za vas«. Njegova krv kao i njegovo tijelo u r. 19 upućuju nas na već rečeno o njegovoj muci u 22,15:»Svom sam dušom čeznuo ovu pashu blagovati s vama prije svoje muke.«30 Isus se daruje svojima, prije svega učenicima s kojima blaguje. I ovdje vidimo starozavjetnu pozadinu o sluzi Jahvinu prema Iz 52,13 53, Osobito je naglašen Isusov pasivni stav tijekom muke za razliku od njegove aktivne uloga na Posljednjoj večeri što se vidi u Iz 53, , a što nam potvrđuju i Dj 8, Značenje Isusove smrti posve je koncentrirano u izričaju ἡ καινὴ διαθήκη ἐν τῷ αἵματί μου (novi Savez u mojoj krvi). Time je posebno naglašen sadržaj formule ὑπὲρ ὑμῶν ( za vas ) koja je dvostruka jer se nalazi i u riječima koje Isus izgovara nad kruhom: τοῦτό ἐστιν τὸ σῶμά μου τὸ ὑπὲρ ὑμῶν διδόμενον ( Ovo je tijelo moje koje se za vas predaje, Lk 22,19). I Isusovo ti Usp. Adelheid RUCK-SCHRÖDER, Der Name Gottes und der Name Jesu. Eine neutestamentliche Studie, Neukirchen-Vluyn, 1999., Usp. Isto, Kopula nedostaje u grčkom tekstu. Treba li je pretpostaviti prema 22,19: τοῦτό ἐστιν τὸ σῶμά μου? P. Tremolada drži da bi to bilo nejasno čitatelju. Usp. Pierantonio TREMO- LADA,»E fu annoverato fra iniqui«, 152, bilj Usp. Jens SCHRÖTER, Das Abendmahl, T. Knöppler misli da izričaj»za vas«koji stoji kod Luke ne bi imao vezu s Iz 53 jer ondje stoji»za mnoge«. Usp. Thomas KNÖPPLER, Sühne im Neuen Testament, Usp. Pierantonio TREMOLADA,»E fu annoverato fra iniqui«, 153. Knut BACKHAUS, Neues Testament, u: Georg FISCHER Knut BACKHAUS (ur.), Sühne und Versöhnung. Perspektiven des Alten und Neuen Testaments,

9 Bogoslovska smotra, 80 (2010.) 1, jelo i krv dani su, odnosno proliveni za učenike. Valja uočiti particip prezenta ἐκχυννόμενον ( krv... koja se prolijeva, r. 20) kao i onaj koji se odnosi na kruh διδόμενον ( tijelo... koje se daje, r. 19) koji upućuju na usku vezu Posljednje večere i događanja na Kalvariji. 33 Koji su učinci Isusove smrti? Odgovor na to pitanje nalazimo u spominjanju novoga Saveza. Isus koji prihvaća da prolije svoju krv sklapa time novi Savez. I ovdje je starozavjetna pozadina koju čini Jr 31, No već smo spominjali da se kod Jeremije ne spominje prolijevanje krvi što je upravo tipično za Isusovu ustanovu Saveza gdje se povezuju novi Savez (ἡ καινὴ διαθήκη) i prolijevanje njegove krvi (ἐν τῷ αἵματί μου). 34 Novi Savez izrasta iz njegove nasilne smrti. To nas dovodi u blizinu sudbine sluge Jahvina u Iz 52,13 53,12 koji kao pojedinac umire za mnoge. 35 No T. Knöppler vidi veću sličnost s pomirbenim kultom jer se kod Luke (tj. kod Pavla) govori o upotrebi krvi kao u starozavjetnom kultu koja izražava učinak okajanja Isusove smrti. 36 Ta Isusova smrt nije samo na korist njegovih učenika (apostola: 22,14) jer je već u r. 19 naložio da to čine njemu na spomen (εἰς τὴν ἐμὴν ἀνάμνησιν). 37 Uskrsli daje za zadaću svojim učenicima da će u njegovo ime»propovijedati obraćenje i otpuštenje grijeha po svim narodima počevši od Jeruzalema«(Lk 24,47). No nalog spominjanja Isusovih gesta na Posljednjoj večeri već dolazi u okviru slavljenja spomena Pashe (usp. Lk 22,15-18) i to eshatološhe Pashe. 38 Dakle, Isus stvara novi spomen koji odgovara novomu Savezu sklopljenomu u njegovoj krvi. Postoji podudaranost između Isusova slavljenja (usp. 22,19-20) i budućega slavljenja u kraljevstvu Božjemu (usp. 22,16-18) između kojih dolazi slavljenje blagovanja zajednice na koje Isus upućuje kod Posljednje večere Zaključak U izvještajima ustanove Posljednje večere Savez se spominje uvijek uz čašu izravno pa je to novi Savez (1 Kor 11,25; Lk 22,20), odnosno neizravno gdje se govori samo o Savezu (Mk 14,24; Mt 26,28). Savez je vezan uz»moju«krv, pa je to»moja«krv Saveza (Mk 14,24; Mt 26,28), odnosno to je Savez u»mojoj«krvi (1 Kor 11,25; Lk 22,20). Očita su dva naglaska: kod Marka i Mateja u prvom planu je krv odnosno»moja krv«, a kod 33 Usp. Pierantonio TREMOLADA,»E fu annoverato fra iniqui«, Usp. Isto, Usp. Josef ERNST, Das Evangelium nach Lukas, Regensburg, , Usp. Thomas KNÖPPLER, Sühne im Neuen Testament, Usp. Pierantonio TREMOLADA,»E fu annoverato fra iniqui«, Usp. Jens SCHRÖTER, Das Abendmahl,

10 Mario CIFRAK, Savez u izvještajima Posljednje večere Pavla i Luke naglasak je na Savezu. Izl 24,8 je vjerojatni predložak po kojem bi spomenuti autori stavili krv u prvi plan, a Jr 31,31-34 (odnosno Jr 38,31-34 LXX) za stavljanje Saveza u prvi plan i to novoga Saveza. Jeremija nigdje ne spominje Savez u krvi, dok Pavao i Luka poslije navođenja novoga Saveza dodaju da je to Savez u krvi. Nadalje ta je krv prolivena. Taj particip prezenta pasivnog je teološki pasiv. Iza Isusova prolijevanja krvi stoji Bog. Bog koji sklapa Savez. Krv je prolivena za mnoge ili za»vas«. Iza ove zastupničke i okajničke smrti nalazimo Četvrtu pjesmu o Sluzi Jahvinu (Iz 52,13 53,12). Osim kod Iz 53,12, ideja otpuštanja grijeha (usp. Mt 26,28) spominje se i u Jr 31(38), Stari zavjet Izvještaji ustanove Posljednje večere prožeti su starozavjetnim tekstovima i to Izl 24,8, Jr 31(38),31-34 te Iz 52,13 53,12. U Izaijinoj Četvrtoj pjesmi o sluzi Jahvinu ne spominje se Savez Izl 24,8 Redak in examine govori o sklapanju Saveza. Cijeli taj izvještaj obuhvaća cjelinu Izl 24,3-8: 39»Dođe Mojsije i kaza narodu sve riječi Jahvine i sve odredbe. A sav puk odgovori u jedan glas:»sve riječi što ih Jahve reče, vršit ćemo.«4 Tada Mojsije popiše sve riječi Jahvine. A ujutro podrani te podigne žrtvenik na podnožju brda i dvanaest stupova za dvanaest plemena Izraelovih. 5 Zatim naloži mladim Izraelcima da prinesu žrtve paljenice i da žrtvuju Jahvi junce kao žrtve pričesnice. 6 Mojsije uhvati krv; polovinu krvi ulije u posude, a polovinu izlije po žrtveniku. 7 Prihvati zatim Knjigu Saveza pa je narodu glasno pročita, a narod uzvrati:»sve što je Jahve rekao, izvršit ćemo i poslušat ćemo.«8 Mojsije potom uzme krvi te poškropi narod govoreći:»ovo je krv Saveza koji je Jahve s vama uspostavio na temelju svih ovih riječi«. Na Mojsijevo kazivanje riječi Jahvinih narod se obvezuje da će ih vršiti. U podnožju Sinajskoga brda podiže se žrtvenik na kojem su prinošene žrtve paljenice i pričesnice. Krv životinja je dijelom spremljena u posude a dijelom razlivena po žrtveniku. Pošto je pročitana Knjiga Saveza, narod se još jedanput 39 Usp. Jean Louis SKA, Le repas de Ex 24,11, u: Biblica, 74 (1993.), 307, bilj

11 Bogoslovska smotra, 80 (2010.) 1, obvezuje na vršenje ali i na slušanje svega što je Jahve rekao. Narod je poškropljen krvlju s tumačenjem da je to krv Saveza koji je Jahve uspostavio. Dakle u tom odlomku Knjige Izlaska potvrđujemo da je riječ samo o sklapanju Saveza. A da to sklapanje Saveza implicira okajanje tek dolazi do izražaja u Tg. Onq. Izl 24,8 gdje stoji: 40 l[; qr:zw am'd> ty" hvm bysenw ah' rm;a.w: am'[; l[; ar"p'k;l. ax'b.dm;!akm.y[i ywy rz:gdi am'y"q. ~d:!ydeh'!yde `nyleaih' ay"m;g"tpi lko l[;!akyle[. I uzme Mojsije krv i poškropi žrtvenik za pomirenje naroda i reče: Gle, ovo je ta krv Saveza koji je sklopio Jahve s vama na temelju svih ovih riječi. U izvještajima Posljednje večere govorimo o krvi Isusovoj u kojoj je sklopljen Savez. Prolivena krv je za mnoge,»za vas«. Tim Savezom se ne nameću nikakve obveze, baš kao što se škropljenje krvlju prema Tg. Onq. razumije kao čin okajanja koje ne nameće obveze. 41 Ta ideja okajanja, oproštenja grijeha jasno je formulirana u Mt 26,28 gdje se o prolivenoj krvi za mnoge kaže da je εἰς ἄφεσιν ἁμαρτιῶν (na otpuštenje grijeha). Zapravo već sama činjenica da je riječ o»prolivenoj«krvi govori u prilog onome što je rečeno o žrtvama okajnicama u Lev 4 i 5. Glagol»prolijevati«(ἐκχύννω, tj. ἐκχέω) dolazi u kontekstu prolijevanja krvi npr. u Post 9,6; Pnz 19,10. Sam Izl 24,6 ima glagol ἐγχέω kao i προσχέω i to u prvom slučaju za ulijevanje krvi u posude, a drugom za prolijevanje krvi po žrtveniku:»mojsije uhvati krv; polovinu krvi ulije u posude, a polovinu izlije po žrtveniku«. Tako se radilo kod sklapanja Saveza. Jedan dio je poliven po oltaru koji na neki način predstavlja Boga kao partnera u Savezu, a s drugim dijelom je poškropljen narod kao partner Božji. 42 Takvo škropljenje je trebalo podsjetiti saveznike da bi im se moglo dogoditi isto što se dogodilo i žrtvovanim životinjama, ako se ne budu držali Saveza. Odatle bi bilo razumljivo da je Isus uzeo čašu na Posljednjoj večeri i nad njom rekao da je to krv Saveza koja će se kasnije proliti na križu za pomirenje. Kod sklapanja 40 Usp. Rudolf PESCH, Das Markusevangelium. Zweiter Teil. Kommentar zu Kapitel 8,27 16,20, Freiburg Basel Wien, 2001., Usp. Hermann LICHTENBERGER,»Bund«in der Abendmahlsüberlieferung, Usp. Josef SCHARBERT, Exodus, Würzburg, 1989.,

12 Mario CIFRAK, Savez u izvještajima Posljednje večere Saveza ljudi se škrope krvlju žrtvovanih životinja, a u izvještajima Posljednje večere prisutan je osobni dodir s krvlju kroz pijenje. 43 Zato se i govori da je to krv Saveza. Očito da je riječ o nekom novom Savezu jer je Bog već jedanput sklopio Savez s Izraelom Jr 31(38),31-34 Jeremijin tekst je zanimljiv jer nam govori o novom Savezu, iako ne spominje prolijevanje krvi:»evo dolaze dani riječ je Jahvina kad ću s domom Izraelovim i s domom Judinim sklopiti Novi savez. 32 Ne Savez kakav sam sklopio s ocima njihovim u dan kad ih uzeh za ruku da ih izvedem iz zemlje egipatske, Savez što ga oni razvrgoše premda sam ja gospodar njihov riječ je Jahvina. 33 Nego, ovo je Savez što ću ga sklopiti s domom Izraelovim poslije onih dana riječ je Jahvina: Zakon ću svoj staviti u dušu njihovu i upisati ga u njihovo srce. I bit ću Bog njihov, a oni narod moj. 34 I neće više učiti drug druga ni brat brata govoreći: Spoznajte Jahvu! nego će me svi poznavati, i malo i veliko riječ je Jahvina jer ću oprostiti bezakonje njihovo i grijeha se njihovih neću više spominjati.«savez koji naviješta Jeremija također teži Božjem oproštenju bezakonja i grijeha. 44 Oproštenje o kojem govori Jeremija objavljuje se kao obećanje. 45 Oproštenje koje daje Jahve pretpostavka je života u novom Savezu. Upravo Jr 31,34b pokazuje da nije moguće ponovno razvrgavanje Saveza. 46 Budući da po obećanju nastaje neposredni i neuklonjivi odnos s Bogom, navještenu budućnost nije moguće prestići, ona je eshatološki konačna. Dakle novi Savez nije više obnova Saveza, nego prema obećanju»novoga srca«nova odredba. Zaključak Bog je sklopio Savez i to novi Savez u Isusu Kristu i njegovoj krvi za oproštenje grijeha. Stoga se i u izvještajima Posljednje večere naglašava baš taj saveznički odnos i govori o Savezu. Dosadašnji je dakle Savez poremećen, narušen, razvrgnut ljudskim grijehom. Da bi se ponovno uspostavio ispravan životni Usp. Gerd THEIßEN Annette MERZ, Der historische Jesus. Ein Lehrbuch, Göttingen, , Usp. Hermann LICHTENBERGER,»Bund«in der Abendmahlsüberlieferung, Usp. Johann Jakob STAMM, xls, u: Zrnest JENNI Claus WESTERMANN (ur.), Dizionario Teologico dell Antico Testamento. Volume secondo, Casale Monferrato, 1982., Usp. Werner H. SCHMIDT, Der»neue Bund«als Antwort auf Jeremias kritische Einsichten, u: Für immer verbündet. Studien zur Bundestheologie der Bibel, Stuttgart, 2007.,

13 Bogoslovska smotra, 80 (2010.) 1, poredak i odnos s Bogom treba sklopiti novi Savez. Savez se sklapa žrtvovanjem životinja i škropljenjem žrtvenika i ljudi. No treba ukloniti i grijeh kao smetnju. To Bog obećava da će učiniti kod sklapanja novoga Saveza. Tako sklapanje Saveza postaje i trenutak oproštenja grijeha. Odnosno krv Saveza postaje istovremeno i okajnička krv. No okajničkom krvlju nije se škropio narod, nego samo Pomirilište (usp. Lev 16,14-15) i žrtvenik (Lev 16,19). 47 Novi Savez upućuje na nešto što je posve drukčije, što još nije bilo kod sklapanja nijednog Saveza. Upravo u novozavjetnim izvještajima o Posljednjoj večeri Isus daje sebe, svoju krv. Ona će biti prolivena kao krv Saveza. Tu nalazimo ljudsku žrtvu (usp. Iz 52,13 53,12; 4 Mak). 48 Ta se krv prolijeva na križu ali je dana i za piće. Kad se krv prolila na križu, Savez je postao pravomoćan. 49 Prepoznajemo u pozadini sklapanje Saveza u Izl 24,3-8. Targum toga starozavjetnoga teksta usmjerava sklapanje Saveza prema okajanju. Cilj novoga Saveza je dakle oproštenje grijeha (usp. Jr 31,34). Isusov križ je postao Pomirilište. Čovjek nije sposoban popraviti taj razvrgnuti, saveznički odnos s Bogom jer je grješan. Sam Bog dolazi ususret i nudi novi Savez, pomirenje. Šalje svoga Sina. A on je to učinio umjesto nas ljudi kao naš predstavnik, tj. preuzeo je našu nespašenu sudbinu na sebe nama na korist (ὑπέρ, περί) 50 i za to prolio svoju krv. To je učinio zbog naših grijeha. Zato na njegovu smrti gledamo kao na zastupničku i okajničku smrt. U osobnom davanju Isusovu za svoje ostvaruje se konačno Božje pomirenje sa svojim narodom, tako da Isusova smrt, davanje njegova tijela i krvi, ispunjava sve ono na što je pomirbeni kult ciljao: pomirena zajednica ljudi s Bogom Usp. Georg FISCHER, Altes Testament, Usp. Gerd HÄFNER, Nach dem Tod Jesu fragen, Usp. Josef SCHARBERT, Exodus, Usp. Gerd HÄFNER, Nach dem Tod Jesu fragen, Usp. Knut BACKHAUS, Neues Testament,

14 Mario CIFRAK, Savez u izvještajima Posljednje večere Summary THE COVENANT IN ACCOUNTS OF THE LAST SUPPER Mario CIFRAK Catholic Faculty of Theology, University of Zagreb Vlaška 38, p.p. 432, HR Zagreb mario.cifrak@ofm.hr Accounts of the Last Supper in the New Testament are found in Paul s writings (the oldest), and in the Synoptic Gospels. Paul s and Luke s account are to some extent similar, as are Mark s and Matthew s. It is particularly important to note the words uttered by Jesus in the institution of the Eucharist the words after the taking of the bread and the cup of wine. Besides the cup of wine we find expressions»new covenant in my blood«(1 Cor 11:25 and Lk 22:20) and»the blood of the covenant«(mk 14:24 and Mt 26:28). The new covenant in Jesus blood has been entered. The old one was obviously insufficient, or dissolved. Jesus is the one who restores this disrupted covenantal relationship between the God and man. Men did not keep their commitments imposed by the covenant. Therefore Jesus death is the death of atonement. It finally fulfils the ultimate reconciliation of God with his people, so that Jesus death, the giving of his body and blood, fulfils the target intended by the cult of reconciliation: a reconciled community of people with God. Therefore, we talk about the covenantal or atonement blood of the new covenant. Key words: the Last Supper, (new) covenant, blood, Paul, Synoptic Gospels. 244

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI

21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI 21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Rp5100 (ISVU: 31384) Biblija - Stari Zavjet ECTS 6, 2016./2017.; ponedjeljkom, srijedom u 8:30 amdg.ffdi.hr nastava. Jošua

Rp5100 (ISVU: 31384) Biblija - Stari Zavjet ECTS 6, 2016./2017.; ponedjeljkom, srijedom u 8:30 amdg.ffdi.hr nastava. Jošua Rp5100 (ISVU: 31384) Biblija - Stari Zavjet ECTS 6, 2016./2017.; ponedjeljkom, srijedom u 8:30 amdg.ffdi.hr nastava Jošua a) U Petoknjižju b) Knjiga o Jošui (šestoknjižje?) j e hošu a, LXX: Ἰησοῦς יהושׁע

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika

NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK

SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK SISTEMI DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA - ZADACI NORMALNI OBLIK. Rši sism jdnačina: d 7 d d d Ršnj: Ša j idja kod ovih zadaaka? Jdnu od jdnačina difrniramo, o js nađmo izvod l jdnačin i u zamnimo drugu jdnačinu.

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5?

Zadatak 003 (Vesna, osnovna škola) Kolika je težina tijela koje savladava silu trenja 30 N, ako je koeficijent trenja 0.5? Zadata 00 (Jasna, osnovna šola) Kolia je težina tijela ase 400 g? Rješenje 00 Masa tijela izražava se u ilograia pa najprije orao 400 g pretvoriti u ilograe. Budući da g = 000 g, orao 400 g podijeliti

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)

IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort

Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

5. Karakteristične funkcije

5. Karakteristične funkcije 5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων. Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 7: Η χρήση των πτώσεων στον σχηματισμό προτάσεων Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

ČLANCI I RASPRAVE. Sažetak

ČLANCI I RASPRAVE. Sažetak ČLANCI I RASPRAVE Anđela Jeličić SINOPTIČKI ISUS O VJERI What Did Synoptic Jesus Say about Faith? UDK: [232.33:226]:234.2 Izvorni znanstveni rad Primljeno 2/2013. 1 13. 5 Sažetak Članak donosi pregled

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:

Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a: Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010.

GLAZBENA UMJETNOST. Rezultati državne mature 2010. GLAZBENA UJETNOST Rezultati državne mature 2010. Deskriptivna statistika ukupnog rezultata PARAETAR VRIJEDNOST N 112 k 61 72,5 St. pogreška mjerenja 5,06 edijan 76,0 od 86 St. devijacija 15,99 Raspon 66

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα