Θεωρία του Sommerfeld ή jellium model (συνέχεια από το 1 ο μάθημα).

Transcript

1 MA8HMA _08.doc Θεωρία του Sommerfeld ή jellium model (συνέχεια από το ο μάθημα). Τα e καταλαμβάνουν ενεργειακές στάθμες σύμφωνα με την αρχή του Pauli και η κατανομή τους για Τ0 δίδεται από τη συνάρτηση κατανομής f(e) : f(e) T0 για E<E F 0 για Ε>Ε F Η f(e) δίνει την πιθανότητα στάθμη ενέργειας E να είναι κατειλημμένη. Η ενέργεια της υψηλότερης κατειλημμένης στάθμης ονομάζεται ενέργεια Fermi ή στάθμη Fermi Ε F. Επίδραση της θερμοκρασίας στην κατανομή Fermi Σελίδα από 0

2 MA8HMA _08.doc Όταν Τ>Ο Κ τα μόνα e που μπορούν να απορροφήσουν ενέργεια είναι αυτά κοντά στην E F, (E F ±) αφού μόνον αυτά μπορούν να ανεβούν σε υψηλότερες στάθμες χωρίς να παραβιάσουν την αρχή του Pauli. Για Τ>0 : f (E) κατανομή Fermi-Dirac. E E ep F + Τα e που είναι στην ουρά της f(e) έχουν Ε>>Ε F ή E-E F >> > E F E f (E) e στατιστική Mawell-Boltzmann τα e περιγράφονται από την κλασσική στατιστική μηχανική και έχουν μέση κινητική ενέργεια () Προσεγγιστικός υπολογισμός της C e. Το ποσοστό των e που διεγείρονται παίρνοντας ενέργεια : E F Η θερμική ενέργεια ενός e που περιγράφεται από Boltzmann: H θερμική ενέργεια/mole: E N () A Θερμική ενέργεια/mole ηλεκτρονίων που μπορούν να διεγερθούν : () E NA() NA > E C e R T Η κλασσική προσέγγιση υπερεκτιμά την C e κατά : E F Σελίδα από 0

3 MA8HMA _08.doc Παράδειγμα: για Ε F 5eV και T300K 00 Θερμοκρασία Fermi E F F C e R (T/T F) Για κάθε Τ η C e << κλασσική τιμή Πειραματικά αποτελέσματα για την ειδική θερμότητα Υψηλές Τ (300Κ-τήξη): Χαμηλές Τ: C v 3R (νόμος Dulong-Petit) C v ατ 3 +γτ Μονωτές: γ0 C v ατ 3 δονήσεις του πλέγματος. Μέταλλα: γ 0 ο όρος γτ που οφείλεται στα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας 0 δηλαδή C e C L T μέταλλα T 3 για χαμηλή Τ μέταλλα + μονωτές 3R για υψηλή Τ μέταλλα + μονωτές Σελίδα 3 από 0

4 MA8HMA _08.doc Ακριβής υπολογισμός Προσεγγιστικός υπολογισμός π Ce (R ) 5(R ) Ce (R ) καλή συμφωνία Η επιφάνεια Fermi Τα e στα μέταλλα είναι ελεύθερα και βρίσκονται σε συνεχή, * τυχαία κίνηση > έχουν μόνον κινητική ενέργεια E m υ. Ορίζουμε τον χώρο των ταχυτήτων όπου τα e έχουν τυχαίες υ και για Τ0Κ, υ ma υ F > τα e βρίσκονται μέσα σε σφαίρα ακτίνας υ F >σφαίρα Fermi και επιφάνεια Fermi. Η υ F είναι μεγάλη : υ F 0 6 ms - για Ε F 5eV, m * kg Η Fermi παραμορφώνεται από την αλληλεπίδραση πλέγματος-e. Σελίδα 4 από 0

5 MA8HMA _08.doc Η Ε F καθορίζεται από τη συγκέντρωση Ν των e. Αποδεικνύεται ότι E F / 3 ( 3π N ) h/ * και για Ν0 8 m -3 Ε F 5eV. m Οι περιορισμοί του ΜΕΕ (η αποτυχία του ΜΕΕ). Το ΜΕΕ προβλέπει ότι σ Ν. Ομως τα δισθενή μέταλλα (Be, Cd, Zn etc) και ορισμένα τρισθενή (Al, In) έχουν χαμηλώτερη αγωγιμότητα από τα μονοσθενή αν και έχουν μεγαλύτερη συγκέντρωση e. Γιατί?? Αν και το ΜΕΕ προβλέπει ότι η αγωγιμότητα οφείλεται στα e θα έπρεπε να έχουν αρνητικό συντελεστή Hall, μερικά μέταλλα έχουν θετικό συντελεστή Hall. Γιατί?? Πειραματικές μετρήσεις της επιφάνειας Fermi αποδεικνύουν ότι συχνά δεν έχει σφαιρικό σχήμα, αντίθετα από τις προβλέψεις του ΜΕΕ. Πρέπει να λάβουμε υπ όψιν την αλληλεπίδραση των e με το πλέγμα. Σελίδα 5 από 0

6 MA8HMA _08.doc Θερμική αγωγιμότητα μετάλλων Νόμος Wiedemann-Fraz : Ο λόγος της θερμικής προ την ηλεκτρική αγωγιμότητα ενός μετάλλου είναι ανάλογη της θερμοκρασίας. Αποδεικνύει ότι η θερμική αγωγιμότητα των μετάλλων έχει κοινή αρχή με την ηλεκτρική αγωγιμότητα τους : τα ηλεκτρόνια αγωγιμότητας Ποιοτική περιγραφή: H θερμική αγωγιμότητα Κ αυξάνει με την μέση ταχύτητα των σωματιδίων, Η ηλεκτρική αγωγιμότητα σ μειώνεται αυξανομένης της μέσης ταχύτητας των σωματιδίων λόγω γεγονότων σκέδασης Επομένως αναμένεται ότι (Κ/σ) <v> όπου η <v> είναι ανάλογη της «κινητικής» θερμοκρασίας: Δηλαδή αναμένεται ότι K σ Τ mv 3 Απόδειξη To ρεύμα θερμότητας κατά μήκος μεταλλικού σύρματος με βαθμίδα θερμοκρασίας: Σελίδα 6 από 0

7 MA8HMA _08.doc dt Q K d, όπου Κ θερμική αγωγιμότητα Μέταλλα : ΚΚ e +K ph Μονωτές : K ph 0 K e K K ph Η θερμική αγωγιμότητα όπως υπολογίζεται από το μοντέλο του ελεύθερου ηλεκτρονίου: Παπαγεωργόπουλος Κεφ. 7.6) K Cυ υl (απόδειξη 3 F όπου π Cυ R και υυ F (αφού τα μόνα e που συμμετέχουν σε E F φαινόμενα μεταφοράς είναι αυτά που βρίσκονται στην επιφάνεια Fermi). Για τα στερεά : R Nk Β C π Νk Τ υ K τf 3 π k NT υ E F * m υ F l F υf Fl F Επομένως K π Nk 3m T * τf Σελίδα 7 από 0

8 MA8HMA _08.doc Όμως σ m * Ne l υ Κ σ π 3 k e T T Νόμος Wiedemann-Fraz Επίσης ορίζεται ο αριθμός Lorenz L 3 πk e K στ η σχέση ανάμεσα στα σ και Κ οφείλεται στα e που συμβάλλουν τόσο στην θερμική όσο και στην ηλεκτρική αγωγιμότητα των μετάλλων. Θερμική αγωγιμότητα επιλεγμένων μετάλλων Στοιχείο Na Cu Ag Au Al Ni Fe Κ (cal/m Ks) Φαινόμενο Hall (879) Το φαινόμενο Hall περιγράφει τις αλλαγές που συμβαίνουν σε ένα αγώγιμο υλικό, μέταλλο ή ημιαγωγό, που ενώ διαρρέεται από ρεύμα ενώ ταυτόχρονα εκτίθεται και σε μαγνητικό πεδίο Β. Σελίδα 8 από 0

9 MA8HMA _08.doc Το φαινόμενο Hall έδωσε την η πειραματική απόδειξη ότι το ηλεκτρικό ρεύμα στα μέταλλα άγεται από ηλεκτρόνια. Στο δείγμα εφαρμόζεται διαφορά δυναμικού // που οδηγεί το ρεύμα και μαγνητικό πεδίο Β //z. Τα e υφίστανται την επίδραση δύναμης Lorentz: e( vb ) F που ασκείται σε επίπεδο (,z) δηλαδή η F // άξονα y τα e συσσωρεύονται στο ένα άκρο του δείγματος ενώ στο άλλο άκρο εμφανίζεται θετικό φορτίο. αναπτύσσεται το πεδίο Hall Ε Η που είναι αντίθετο προς την Lorentz. Η συσσώρευση φορτίου σταματά όταν: ee eυ B H E H Bυ Σελίδα 9 από 0

10 MA8HMA _08.doc Γνωρίζουμε ότι: E υ B J H neυ υ J ne E H J B πεδίο Hall ne R H συντελεστής Hall ne Volt m 3 Ο συντελεστής Hall έχει αρνητικό πρόσημο όταν ο Amp Weber κυρίαρχος φορέας είναι τα e και θετικό πρόσημο όταν ο κυρίαρχος φορέας είναι οι οπές. Σε ημιαγωγούς με μεικτή αγωγιμότητα: R Επομένως: H e pμ h e ( nμ + pμ ) e nμ Από μετρήσεις Hall υπολογίζουμε τo n Το + πρόσημο του R Hall αγωγιμότητα από οπές Το πρόσημο του R Hall αγωγιμότητα από ηλεκτρόνια Στους ημιαγωγούς το πρόσημο εξαρτάται από το είδος των προσμείξεων ne τ Υπενθυμίζεται ότι : σ n e μ * m Για να προσδιορίσουμε το n πρέπει να κάνουμε μετρήσεις αγωγιμότητας σ και Hall μ h Σελίδα 0 από 0