Επέκταση του μοντέλου DRUDE. - Θεωρία SOMMERFELD

Transcript

1 Επέκταση του μοντέλου DRUDE - Θεωρία SOMMERFELD

2 ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ DRUDE-ΘΕΩΡΙΑ SOMMERFELD Drude: κατανομή ταχυτήτων e: f MB u = n m πkt 3/ e mu k BT u Sommerfeld: το e - είναι κύμα χρήση κυματοσυνάρτησης ψ(r) χρήση T.D.S.E. + Αρχή Pauli Η αρχή Pauli + κατανομή FD Κβαντική κατανομή FD f FD u = m/ħ 3 4π 3 1 e 1 mu kt 0 /k B T + 1

3 Αέριο Ηλεκτρονίων στη θεμελιώδη κατάσταση (Τ = 0 Κ) Εύρεση κυματοσυνάρτησης ενός ηλεκτρονίου απουσία αλληλεπιδράσεων (free e - ) TDSE: ħ m ψ r + V r ψ r = ℇψ r (1) Με περιοδικές συνθήκες: ψ x, y + L y, z = ψ x, y, z ψ x, y, z + L z = ψ x, y, z ψ x + L x, y, z = ψ x, y, z () (1) ^ () Κυματοσυνάρτηση: ψ κ r = 1 V eik r επίπεδο κύμα με ενέργεια: ℇ k = ħ k m p = ħ i k : κυματάνυσμα με κβάντωση τιμών r p = ħk u e ik x L x = e ik y L y = e ik z L z = 1 = ħk m ℇ = p m = ħ k m k x L x = πn x k x = π L x n x k y = π L y n y k z = π L z n z

4 Επιτρεπτές τιμές κ σε d: Σε όγκο Δ 3 k = Δk x Δk y Δk z στο χώρο των κ υπάρχουν: Δn x Δn y Δn z = L x π Δk L y x π Δk L z y π Δk z = V π 3 Δk xδk y Δk z επιτρεπτές καταστάσεις

5 Θεμελιώδης κατάσταση (Τ=0 Κ) Ν ηλεκτρονίων Αρχή του Pauli : ηλεκτρόνια στην k = 0 με ℇ = 0 Ν ηλεκτρόνια σε σφαίρα ακτίνας k F, όγκου 4 3 πk F 3 Αριθμός επιτρεπτών καταστάσεων k στη σφαίρα: = N = 4 3 πk F 3 V Για Ν ηλεκτρόνια: π 3 k F = 3π n 1/3 V π πk F 3 n = N V Εκτίμηση k F Ταχύτητα των πιο ενεργειακών e- k F = 3π m 3 1/3 ~ /3 ~ m = A 1 A 1 u F = ħk F m = J s 1 A kg = m/s~ c Αντίθετα, στο ιδανικό αέριο: σε Τ=0 Κ και u=0! Μονάδες N m 1 m s kg = m s

6 ℇ F Η ενέργεια του τελευταίου συμπληρωμένου τροχιακού σε T = 0 K Η ενέργεια της πιο απομακρυσμένης κατειλημμένης στάθμης στην Θ.Κ E F = ħ k F m = J s kg m T F = ℇ F k B = = J 13 ev ev K ~10 4 K = J 13 ev Τυπική ατομική ενέργεια σύνδεσης Κινητική ενέργεια Ν ηλεκτρονίων στη θεμελιώδη κατάσταση ħ k E = m όπου V k<k F 8π 3 d3 k E = V ħ k 8π 3 d 3 k k<k F m d 3 k = 4πk dk Μέση κινητική ενέργεια ανά ηλεκτρόνιο: E N = 3 5 k k F 3 3π n ħ k F m E = = 3 5 = 3 5 ℇ F V 4πħ 8π 3 m Vk F 3 k F k 4 dk 0 ħ k F 3π m Αντίθετα στο ιδανικό αέριο και σε Μονάδες J s kg m = J E = 3 kt T = 0 K E = 0

7 Πίεση που εξασκεί το ηλεκτρονιακό νέφος σε T = 0 K du = TdS PdV P = U V N T = 0 K E = 3 5 Nℇ F = 3 5 N ħ k F m k F = 3π n 1/3 E = 3 5 N ħ m 3π /3 N V /3 P = E V N = 3 E V Μέτρο ελαστικότητας όγκου B = V P = V 1 V T 3 V E = 3 E V = ℇ FN 1 V = 5 ℇ Fn = 5 13 ev m 3 = J m 3 π. χ. Cu: θεωρία: πείραμα: B = Pa B = Pa = Pa ~10 10 Pa

8 Θερμοχωρητικότητα του ηλεκτρονιακού αερίου (Sommerfeld) Συνεισφέρει το ηλεκτρονιακό αέριο στη θερμοχωρητικότητα και αν ναι πως συγκρίνεται η συνεισφορά του με τις ταλαντώσεις πλέγματος (δ.λδ. των ιόντων);

9 Μποζόνια (σωματίδια με ακέραιο spin: φωνόνια, φωτόνια, πλασμόνια, εξιτόνια, πολαρόνια, άτομο He 4 ) Στατιστική Bose-Einstein (περιγράφει μποζόνια με καθορισμένη μάζα, π.χ. He 4 ) n i = 1 ℇ i μ e k BT 1 Πληθυσμός μ: χημικό δυναμικό: Μποζόνιο: πιθανότητα μία κατάσταση i του συστήματος των μποζονίων να είναι κατειλημμένη Ανοικτό σύστημα μεταβλητός αριθμός mole n du S, V, n = PdV + TdS + df S, V, n = SdT PdV + dg S, V, n = SdT + VdP + μ j = F n j T,V,n N j =1 N j =1 N j =1 μ j dn j μ j dn j μ j dn j εκφράζει την εξάρτηση των U,H,F,G από τη σύσταση Μεαβολή της F όταν προστεθεί ένα απειροαελάχιστο ποσό ουσίας υπό T = ct και V = ct μ = F N+1 F N μ = 0 (λόγω μηδενικής μάζας ηρεμίας) 1 E = n ħω = e ħω ħω Ενέργεια φωνονίου kt 1

10 Τα ελεύθερα ηλεκτρόνια είναι φερμιόνια (ημιακέραιο spin- επηρεάζονται από την αρχή Pauli π.χ. e -, p, n, άτομα He 3 ) στατιστική Fermi-Dirac Μέσος αριθμός ηλεκτρονίων σε στάθμη i Πιθανότητα ένα τροχιακό i με ενέργεια ℇ i να είναι κατειλημμένο σε ένα αέριο ηλεκτρονίων Θεμελιώδης κατάσταση f i N = 1 e ℇ i μ kt + 1 T = 0 K : εξ ορισμού: f k = 1, ℇ k < ℇ F :κατειλ.στάθμες 0, ℇ k > ℇ F : άδειες στάθμες κατειλ. στάθμες άδειες στάθμες Συνάρτηση F-D στο όριο T 0 ; lim T 0 f k 1 0 ℇ k < μ ℇ k > μ 1 e A e A + 1 e A πρέπει μ = ℇ F Σωστό για T = 0 K

11 Εφαρμογή της κατανομής Fermi-Dirac για την πρόβλεψη της ηλεκτρονιακής συνεισφοράς στη θερμοχωρητικότητα των μετάλλων C V = ðq T V = U T V Εσωτερική ενέργεια: U = Ολικός αριθμός ηλεκτρονίων: N = Ηλεκτρονιακή πυκνότητα Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα σε σφαιρικές συντ. d 3 k = 4πk dk = 1 me π ħ m ħ π 3 4π de me ħ 0 f ℇ = k k ℇ k f ℇ k V π 3 d3 k u = U V C υ = u T υ u = U V = π 3 d3 k ℇ k f ℇ k f i i n = N V = π 3 d3 k f ℇ k k dkf ℇ k + m π ħ me ħ E = ħ k m k ℇ dℇ = ħ k m dk + 1 mℇ mde π ħ ħ k f ℇ f E k de = g E f E k de

12 Ορίζουμε την ενεργειακή πυκνότητα καταστάσεων ή ενεργειακή πυκνότητα τροχιακών αριθμός καταστάσεων g ℇ = μονάδα ενέργειας g E = m π ħ 0 me ħ ℇ > 0 ℇ < 0 και g E = m π ħ ħ me k E F = ħ m n = k F 3 3π 1 π k F E F k F E E F κατειλημμένες καταστάσεις σε Τ=0 Κ = 1 π k F 3 E F E E F 1/ = 3 n E F E E F 1/ 3 n ℇ F ~ε 1/ Πυκνότητα καταστάσεων στην ενέργεια Fermi g E F = 3 n E F

13 + Άρα n = g E f E k de + και u = Eg E f E k de G(ε) Σύγκριση της συνάρτησης F-D σε T=0 K και RT Η διαφορά: + G ℇ f ℇ dℇ G E de μ Προσέγγιση διαφοράς Sommerfeld: + G E f ℇ dℇ = μ G E de + π 6 k BT G μ + θ T 4 Με χρήση της παραπάνω προσέγγισης u = u 0 + π 6 k BT g E F C υ = u = π T υ 3 k B Tg E F με g ℇ F = 3 C υ = π k B T nk E B άρα C υ T F n ℇ F Θερμικά διηγερμένα ηλεκτρόνια από 1 Αυτή είναι η συνεισφορά του ηλεκτρονιακού νέφους στην θερμοχωρητικοτητα

14 C u /T C V ηλεκτρονιακ ή C V ιδ.αερ ίου = π k B T E F 3 nk B nk B = π 3 k B Τ E F J π K K ~10 J Για T 1 K C V = γt + at 3 Ηλεκτρονιακή συνεισφορά σε T 1 K Ταλαντώσεις πλέγματος (φωνόνια) (δ.λδ. ταλαντώσεις των ιόντων) γ A H ηλεκτρονιακή συνεισφορά στη θερμοχωρητικότητα γίνεται σημαντική μόνο σε T < 1 K T

15 Μέγεθος Μοντέλο Drude Μοντέλο Sommerfeld 1) Μέση ελεύθερη διαδρομή σε 0 Κ ) Θερμοχωρητικότητα C V 3) θερμική αγωγιμότητα κ σt 4) θερμοηλεκτρική ισχύς E = Q T l = u τ = 0 (διότι u=0 σε Τ=0 Κ) C V = 3 nk B ανεξάρτητο της Τ 1 κ σt = 3 u τc V ne τ m T u = 3k BT m = J 10 3 K 300 K kg = m /s Q Drude = C V 3ne 3 = nk B 3ne = k B e = 0.4 V 10 4 K l = u F τ = m s s A u F = ħk F m C V = π κ σt = π Q Sommerfeld u F = ħk F m k B T ℇ F σωστό για nk B T 1 K = J s m kg u F = 100 u Drude C V = C VDrude k B e = π V 8 =. 10 K k B T ℇ F 3ne nk B = 10 1 m /s = Q Drude

16 Μειονεκτήματα του μοντέλου των ελεύθερων Ηλεκτρονίων (Sommerfeld) 1) Μαγνητοαντίσταση: Γιατί ρ = ρ B Συντελεστής Hall: Γιατί R H = 1 (B, T πρόσημο;) ne ) Κανόνας Wiedemann-Franz ενώ δουλεύει τέλεια σε T=RT αποτυγχάνει σε ενδιάμεσες θερμοκρασίες και τελικά: κ σt = f T 3) Το πρόσημο της θερμοηλεκτρικής ισχύος Q δεν είναι πάντα αρνητικό! 4) l = l T και αυξάνει με ελάττωση της T! 5) Η ac-αγωγιμότητα των μετάλλων είναι πιο πολύπλοκη συνάρτηση- αδύνατη η εξήγηση του χρώματος Au, Cu από την ανακλαστικότητα

17 και τέλος 6α) Γιατί γειτονικά στοιχεία στο περιοδικό σύστημα έχουν τόσο διαφορετική συμπεριφορά; ή ακόμη π.χ. B: μονωτής/ Al: αγωγός 6β) Γιατί το ίδιο μέταλλο σε διαφορετικές (αλλοτροπικές) μορφές του έχει τόσο διαφορετική συμπεριφορά άνθρακας: διαμάντι: μονωτής γραφίτης: αγωγός γραφένιο 7/1/015