ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής

Transcript

1 ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΞΑΝΘΗ ΡΕΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Αγγελίδης Π., Αναπλ. Καθηγητής ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

2 ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Όταν μια στερεή επιφάνεια περιβάλλει ένα υγρό, αναπτύσσονται δυνάμεις στην στερεή επιφάνεια εξαιτίας του υγρού. Ο προσδιορισμός αυτών των δυνάμεων είναι σημαντικός για το σχεδιασμό φραγμάτων,θυροφραγμάτων, δεξαμενών αποθήκευσης, και άλλων υδραυλικών κατασκευών. ΓιαρευστάσεκατάστασηηρεμίαςοιεξισώσειςΝavier Stokes απλοποιούνται (εφ όσον όλες οι συνιστώσες της ταχύτητας είναι μηδενικές) στις παρακάτω εξισώσεις της υδροστατικής σε Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων: p =ρ f p =ρ f p =ρ f z Z όπου p=p(,,z) η πίεση και f, f, f z οι εξωτερικές δυνάμεις, βαρύτητας, μαγνητικές, κεντρομόλες κλπ. Στη συνέχεια υποθέτουμε μόνο δυνάμεις βαρύτητας, και επιλέγουμε το Καρτεσιανό σύστημα με τον άξονα z κατά τη διεύθυνση της βαρύτητας, οπότε

3 ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ p p p = 0 = 0 =ρg z και συνεπώς: p=p(z)=ρgz +p atm Από την σχέση που συνδέει τον τανυστή τάσεων με τον τανυστή ταχυτήτων παραμόρφωσης, είναι φανερό ότι για υγρό σε ακινησία (μηδενισμός όλων των ταχυτήτων), οι διατμητικές τάσεις μηδενίζονται, οπότε υπάρχουν μόνο ορθές τάσεις, οι οποίες ταυτίζονται με τις πιέσεις. Συνεπώς η πίεση p πρέπει να είναι κάθετη προς την επιφάνεια σε οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειας που την περικλείει. p = p atm F R p p = p atm Για μια οριζόντια επιφάνεια, όπως ο πυθμένας δεξαμενής γεμάτης με κάποιο υγρό, το μέγεθος της συνισταμένης δύναμης είναι απλά F R =p, όπου p είναι η ομοιόμορφη πίεση στον πυθμένα και Α είναι το εμβαδόν του πυθμένα. Για την ανοικτή δεξαμενή του σχήματος, p=ρg.

4 ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Αφού η πίεση είναι σταθερή και ομοιόμορφα κατανεμημένη σ όλο τον πυθμένα, η συνισταμένη δύναμη στον οριζόντιο πυθμένα ασκείται στο κέντρο βάρους του εμβαδού (όπως θα δούμε αυτό δεν ισχύει όταν η επιφάνεια είναι κεκλιμένη). p = p atm ελεύθερη επιφάνεια O θ R FR df χ d R C Ας υποθέσουμε ότι το επίπεδο στο οποίο βρίσκεται η επιφάνεια τέμνει την ελεύθερη επιφάνεια στο 0 και σχηματίζει γωνία θ μ αυτήν όπως στο σχήμα. Θέλουμε να προσδιορίσουμε τη διεύθυνση, τη θέση και το μέγεθος της συνισταμένης δύναμης που ασκείται στην μία πλευρά αυτής της επιφάνειας εξαιτίας του υγρού που έρχεται σε επαφή με αυτή CP κέντρο βάρους επιφάνειας Α κέντρο εφαρμογής υδροστατικών πιέσεων στην επιφάνεια Α

5 ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ p = p atm ελεύθερη επιφάνεια O θ R FR df χ d R C Σε κάθε βάθος, η δύναμη που ασκείται στο d, είναι df =ρg d και είναι κάθετη προς την επιφάνεια. Επομένως, το μέγεθος της συνισταμένης δύναμης μπορεί να βρεθεί αθροίζοντας αυτές τις στοιχειώδεις δυνάμεις σ ολόκληρη την επιφάνεια. Δηλ. σε μορφή εξίσωσης: FR = ρ g d = ρg sin ϑ d F R = ρ gsin θ d Το ολοκλήρωμα που εμφανίζεται στη παραπάνω εξίσωση είναι η πρώτη ροπή του εμβαδού ως προς τον άξονα : d = όπου είναι η συντεταγμένη του κέντρου βάρους που μετριέται πάνω στο κεκλιμμένο επίπεδο από τον άξονα που περνά από το 0. CP κέντρο βάρους επιφάνειας Α κέντρο εφαρμογής υδροστατικών πιέσεων στην επιφάνεια Α

6 p = p atm ελεύθερη επιφάνεια O θ R FR df χ d Άρα η εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως: R C F R = ρg sinθ ή F R = ρg CP κέντρο βάρους επιφάνειας Α κέντρο εφαρμογής υδροστατικών πιέσεων στην επιφάνεια Α όπου είναι η κατακόρυφη απόσταση από την επιφάνεια του ρευστού ως το κέντρο βάρους του εμβαδού. Παρατηρούμε ότι το μέγεθος της συνισταμένης των πιέσεων δύναμης είναι ανεξάρτητο από τη γωνία θ και εξαρτάται μόνο από το ειδικό βάρος γ του ρευστού (γ = ρg), το συνολικό εμβαδόν και το βάθος του κέντρου βάρους του εμβαδού κάτω από την επιφάνεια. Ουσιαστικά, η εξίσωση δείχνει ότι το μέγεθος της συνισταμένης δύναμης είναι ίσο με την πίεση στο κέντρο βάρος του εμβαδού πολλαπλασιασμένη με το συνολικό εμβαδό.

7 p = p atm ελεύθερη επιφάνεια O θ R FR df χ d Αφού όλες οι στοιχειώδεις δυνάμεις που αθροίστηκαν για να δώσουν την F R είναι κάθετες στην κεκλιμμένη επιφάνεια, η συνισταμένη F R πρέπει επίσης να είναι κάθετη στην κεκλιμμένη επιφάνεια. Αν και η διαίσθηση μας μπορεί να λέει ότι η συνισταμένη δύναμη πρέπει να περνάει από το κέντρο βάρους του εμβαδού, αυτό δεν ισχύει στην πραγματικότητα. Η συντεταγμένη R της συνισταμένης δύναμης μπορεί να προσδιοριστεί με άθροιση των ροπών γύρω από τον άξονα. Δηλαδή, η ροπή της συνισταμένης πρέπει να ισούται με τη ροπή της κατανεμημένης δύναμης πίεσης, ή και επομένως αφού R C CP F R = ρg sinθ d R = κέντρο βάρους επιφάνειας Α κέντρο εφαρμογής υδροστατικών πιέσεων στην επιφάνεια Α FRR = df = ρgsin θ d

8 p = p atm ελεύθερη επιφάνεια O θ R FR df χ d R d Το ολοκλήρωμα στον αριθμητή είναι η ροπή αδρανείας (δεύτερη ροπή του εμβαδού ) Ι ως προς ένα άξονα που σχηματίζεται από την τομή του επιπέδου που περιέχει την επιφάνεια και την ελεύθερη επιφάνεια (άξονας ). Επομένως, μπορούμε να γράψουμε R = = l R αλλά: l =l + l = + Η εξίσωση δείχνει καθαρά ότι η συνισταμένη δύναμη δεν περνά από το κέντρο βάρους αλλά είναι πάντα κάτω από αυτό, αφού I / >0. R C CP κέντρο βάρους επιφάνειας Α κέντρο εφαρμογής υδροστατικών πιέσεων στην επιφάνεια Α

9 p = p atm ελεύθερη επιφάνεια O θ R FR df χ d R C H συντεταγμένη R, για τη συνισταμένη δύναμη μπορεί να προσδιοριστεί κατά παρόμοιο τρόπο αθροίζοντας τις ροπές γύρω από τον άξονα. Έτσι: d I FR R = ρg sin θ d R = = όπου I είναι το γινόμενο αδράνειας ως προς τους άξονες και. Πάλι, χρησιμοποιώντας το θεώρημα των παραλλήλων αξόνων μπορούμε να γράψουμε: I R = + όπου I είναι το γινόμενο της αδράνειας ως προς ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων που περνά από το κέντρο βάρους του εμβαδού και σχηματίζεται από μία παράλληλημετατόπισητουσυστήματος συντεταγμένων,. CP κέντρο βάρους επιφάνειας Α κέντρο εφαρμογής υδροστατικών πιέσεων στην επιφάνεια Α

10 ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Εάν το βυθισμένο εμβαδόν είναι συμμετρικό ως προς ένα άξονα που περνά από το κέντρο βάρους και παράλληλο με έναν από τους άξονες ή, η συνιστάμενη δύναμη πρέπει να βρίσκεται κατά μήκος της γραμμής =, αφού το I είναι μηδέν σ αυτή την περίπτωση. Το σημείο στο οποίο εφαρμόζεται η συνισταμένη δύναμη ονομάζεται κέντρο πίεσης. Πρέπει να σημειωθεί από τις εξισώσεις R l = + R I = + ότι καθώς το αυξάνει, το κέντρο πίεσης μετατοπίζεται πιο κοντά στο κέντρο βάρους του εμβαδού. Αφού = /sinθ, ηαπόσταση αυξάνεται εάν το βάθος της βύθισης,, αυξάνεται ή αν για ένα δεδομένο βάθος, η επιφάνεια περιστρέφεται έτσι ώστε η γωνία θ να μειώνεται.

11 ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΗ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ

12 ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ & ΤΟ ΠΡΙΣΜΑ ΠΙΕΣΗΣ Μια χρήσιμη γραφική απεικόνιση της υδροστατικής κατανομής των πιέσεων και υπολογισμού των δυνάμεων μπορεί να γίνει με το λεγόμενο πρίσμα των πιέσεων. Θεωρείστε την κατανομή πίεσης κατά μήκος ενός κατακόρυφου τοιχώματος μιας δεξαμενής πλάτους b, η οποία περιέχει ένα υγρό που έχει ειδικό βάρος γ (γ=ρg ). Αφού η πίεση μεταβάλλεται γραμμικά με το βάθος, μπορούμε να παραστήσουμε τη μεταβολή της πίεσης όπως φαίνεται στο σχήμα, όπου η πίεση είναι ίση με το μηδέν στην άνω επιφάνεια και ίση με γ στον πυθμένα. Είναι φανερό από αυτό το διάγραμμα, ότιημέσηπίεση p av συναντάται σε βάθος / και επομένως η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο ορθογώνιο τοίχωμα με εμβαδόν Α =bείναι: F R =p av =ρg(/) F R F R CP /3 /3 γ γ b (a) (b)

13 F R F R CP /3 /3 γ γ b (a) (b) Αυτός ο όγκος ονομάζεται πρίσμα πίεσης και είναι ξεκάθαρο ότι το μέγεθος της συνισταμένης δύναμης που ασκείται πάνω στην επιφάνεια του κατακόρυφου τοιχώματος ισούται με τον όγκο του πρίσματος πίεσης. Επομένως για το πρίσμα του σχήματος η δύναμη που εξασκεί το ρευστό είναι: F R =όγκος=(1/)(γ)(b)=γ(/) όπου Α=b Η συνισταμένη δύναμη πρέπει να περνάει από το κέντρο βάρους του πρίσματος πίεσης. Για τον υπό συζήτηση όγκο το κέντρο βάρους βρίσκεται κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα συμμετρίας της επιφάνειας και σε απόσταση /3 πάνω από τη βάση (αφού το κέντρο βάρους ενός τριγώνου βρίσκεται σε απόσταση /3 πάνω από τη βάση του). Αυτό το αποτέλεσμα είναι σύμφωνο με αυτό που προκύπτει από τις εξισώσεις.

14 1 B γ 1 1 p F R F 1 F C γ( - ) 1 D E Αυτή η ίδια γραφική προσέγγιση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για επίπεδες επιφάνειες οι οποίες δεν εκτείνονται μέχρι την επιφάνεια του ρευστού. Σ αυτή την περίπτωση, η διατομή του πρίσματος πίεσης είναι τραπεζοειδής. Παρόλα αυτά, η συνισταμένη δύναμη εξακολουθεί να είναι ίση σε μέγεθος με τον όγκο του πρίσματος πίεσης και περνάει από το κέντρο βάρους του όγκου. Χωρίζοντας το πρίσμα σε δύο μέρη ΑΒDE και BCD όπως φαίνεται στο σχήμα, έχουμε : F R =F 1 +F όπου οι συνιστώσες F 1 και F μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν γεωμετρικά. Ηθέσητης F R μπορεί να προσδιοριστεί αθροίζοντας τις ροπές γύρω από κάποιο κατάλληλο άξονα όπως αυτόν που περνά από το Α. Σ αυτή την περίπτωση: F R =F 1 1 +F και 1 και μπορούν εύκολα να προσδιοριστούν.

15 γ 1 1 γ Για κεκλιμένες επίπεδες επιφάνειες το πρίσμα πίεσης μπορεί επίσης να σχεδιασθεί και η διατομή του πρίσματος θα είναι γενικά τραπεζοειδής. Αν και συνήθως είναι βολικό να μετρούμε αποστάσεις κατά μήκος της κεκλιμένης επιφάνειας, οι πιέσεις που αναπτύσσονται εξαρτώνται από τις κατακόρυφες αποστάσεις. Η χρήση πρισμάτων πίεσης για τον προσδιορισμό της δύναμης σε βυθισμένα επίπεδα εμβαδά είναι βολική εάν τοεμβαδόνείναιορθογώνιοοπότεοόγκοςκαιτοκέντρο βάρους μπορούν εύκολα να προσδιορισθούν. Γιαάλλαμηορθογώνιασχήματα, θα χρειαζόταν γενικώς ολοκλήρωση για να προσδιορισθεί ο όγκος και το κέντρο βάρους. Σ αυτές τις περιπτώσεις είναι πιο βολικό να χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις που παρουσιάστηκαν, στις οποίες έχουν γίνει οι απαραίτητες ολοκληρώσεις και τα αποτελέσματα έχουν παρουσιαστεί με ένα εύχρηστο τύπο που μπορεί να εφαρμοστεί σε βυθισμένες επίπεδες επιφάνειες κάθε σχήματος.

16 p atm p atm p atm p atm p atm F R F R γ (a) (b) Η επίδραση της ατμοσφαιρικής πίεσης δεν έχει ακόμη ληφθεί υπ όψιν και τίθεται το ζήτημα πως αυτή η πίεση θα επηρεάσει τη συνισταμένη δύναμη. Ας θεωρήσουμε ξανά την κατανομή πίεσης σε ένα επίπεδο κατακόρυφο τοίχωμα, όπου η πίεση μεταβάλλεται από μηδέν στην επιφάνεια έως γ στον πυθμένα. Αφού ορίζουμε την πίεση επιφανείας ίση με μηδέν, χρησιμοποιούμε την ατμοσφαιρική πίεση σαν αφετηρία και έτσι η πίεση που χρησιμοποιείται είναι σχετική πίεση. Εάν θέλουμε να συμπεριλάβουμε την ατμοσφαιρική πίεση, η κατανομή πίεσης θα είναι όπως στο σχήμα. Σημειώνουμε ότι σ αυτή την περίπτωση η δύναμη στη μια πλευρά του τοιχώματος τώρα αποτελείται από την F R σαν αποτέλεσμα της κατανομής της υδροστατικής πίεσης συν τη συνεισφορά της ατμοσφαιρικής πίεσης p atm, όπου Α είναι το εμβαδόν της επιφάνειας. Παρόλα αυτά, εάν πρόκειται να συμπεριλάβουμε την επίδραση της ατμοσφαιρικής πίεσης σε μια πλευρά του τοιχώματος πρέπει να αντιληφθούμε ότι αυτή η ίδια πίεση ασκείται στην εξωτερική επιφάνεια, έτσι ώστε μια ίση και αντίθετη δύναμη να αναπτύσσεται.

17 p atm p atm p atm p atm p atm F R F R γ (a) (b) Επομένως, συμπεραίνουμε ότι η συνισταμένη δύναμη του ρευστού πάνω στην επιφάνεια είναι αυτή που οφείλεται μόνο στη συνεισφορά της υδροστατικής πίεσης του υγρού που έρχεται σε επαφή με την επιφάνεια του τοιχώματος. Η ατμοσφαιρική πίεση δεν συνεισφέρει σ αυτή τη συνισταμένη. Βεβαίως, εάν η πίεση επιφάνειας του υγρού είναι διαφορετική από την ατμοσφαιρική πίεση (όπως μπορεί να συμβεί σε μία αεροστεγώς κλειστή δεξαμενή), η συνισταμένη δύναμη που ασκείται στο τοίχωμα θα είναι διαφορετική σε μέγεθος από αυτή που προκαλείται απλώς από την υδροστατική πίεση κατά ποσό p s, όπου p s είναι η σχετική πίεση στην επιφάνεια του υγρού (η εξωτερική επιφάνεια θεωρείται ότι είναι εκτεθειμένη στην ατμοσφαιρική πίεση) και Α το εμβαδόν της επιφάνειας.

18 ΤΟ ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ Ας θεωρήσουμε τα δοχεία του σχήματος και ας εξετάσουμε ποια είναι η δύναμη F ηοποίαασκείταιστον πυθμένα τους. Υποθέτουμε ότι όλα τα δοχεία περιέχουν το ίδιο υγρό πυκνότητας ρ, ότι η απόσταση της ελεύθερης επιφάνειας κάθε δοχείου από τον αντίστοιχο πυθμένα είναι H, και ότι το εμβαδόν του πυθμένα κάθε δοχείου είναι S. Το βάρος του υγρού σε κάθε ένα δοχείο διαφέρει σημαντικά. Η πίεση στον πυθμένα κάθε δοχείου είναι Ρ = ρgh. Η δύναμη στον πυθμένα κάθε δοχείου είναι ίδια και ίση με: F=ρgHS

19 ΤΟ ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΟΞΟ Κατά συνέπεια η δύναμη η οποία εξασκείται στον οριζόντιο πυθμένα όλων των δοχείων του σχήματος είναι ανεξάρτητη από τις μορφές των δοχείων και εξαρτάται μόνο από το εμβαδόν του πυθμένα, την απόσταση από την ελεύθερη επιφάνεια και το ειδικό βάρος του υγρού. Το γεγονός ότι η δύναμη που εξασκείται στον πυθμένα ενός δοχείου είναι ανεξάρτητη από το σχήμα του δοχείου και για μερικά δοχεία πολύ μεγαλύτερη από το βάρος του υγρού που περιέχει το δοχείο, είναι γνωστό σαν υδροστατικό παράδοξο.

20 ΚΑΤΑΝΟΜΗΤΗΣΠΙΕΣΗΣΣΕΥΓΡΟΠΟΥΚΙΝΕΙΤΑΙ ΣΑΝ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ Εφαρμόζουμε τις εξισώσεις Navier - Stokes στην περίπτωση που το υγρό ως προς κάποιο σύστημα συντεταγμένων που βρίσκεται πάνω στην κινούμενη υγρή μάζα κινείται σαν στερεά μάζα. Συνεπώς το πεδίο ταχυτήτων του υγρού ως προς σύστημα αυτό των συντεταγμένων είναι παντού μηδενικό, οπότε εχουμε μηδενικές σχετικές ταχύτητες μέσα στη μάζα του υγρού. Συνεπώς έχουμε μηδενικές διατμητικές τάσεις. Οι εξισώσεις Navier - Stokes σε μορφή συνιστωσών, βασισμένες σε ορθογώνιες συντεταγμένες με το θετικό άξονα z να είναι κατακόρυφος προς τα πάνω, μπορεί να γραφούν: p =ρ a p =ρa p =ρ g+ρaz z όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας και a,a, a z οι τρεις συνιστώσες της γνωστής σταθερής επιτάχυνσης. Για παράδειγμα εάν ένα δοχείο με υγρό επιταχύνεται με σταθερή επιτάχυνση κατά μήκος μιας ευθείας διαδρομής, το υγρό θα κινείται σαν στερεό σώμα (αφού έχει αποσβεσθεί σιγά - σιγά η αρχική κίνηση ταλάντευσης του υγρού) και κάθε σωματίδιό του θα έχει την ίδια επιτάχυνση.

21 ΚΑΤΑΝΟΜΗΤΗΣΠΙΕΣΗΣΣΕΥΓΡΟΠΟΥΚΙΝΕΙΤΑΙ ΣΑΝ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ Αφού δεν υπάρχει σχετική κίνηση μεσα στο δοχείο, δεν θα υπάρχουν διατμητικές τάσεις. Ομοίως εάν ένα ρευστό περιέχεται σε μια δεξαμενή που περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα με σταθερή γωνιακή ταχύτητα περιστροφής (οπότε και η επιτάχυνση είναι σταθερή), το υγρό απλά θα περιστρέφεται με τη δεξαμενή σαν στερεό σώμα, και πάλι οι ανωτέρω εξισώσεις μπορούν να εφαρμοστούν για να δώσουν την κατανομή πίεσης σ όλο το κινούμενο υγρό. Μια τέτοια μεγάλη (διάμετρος 5. μέτρα) διαθέτει το εργαστήριο υδραυλικής της Πολυτεχνικής Σχολής του ΔΠΘ για την εργαστηριακή έρευνα και μελέτη περιβαλλοντικών και υδραυλικών προβλημάτων όπου η περιστροφή της γης (δύναμη Coriolis) πρέπει να ληφθεί υπόψη. Επιταχυνόμενη κίνηση υγρού σε ευθεία γραμμή. Κατ αρχήναςεξετάσουμεέναανοικτόδοχείομευγρόπου μεταφέρεται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής (κάθετης στον άξονα των ) με μια σταθερή επιτάχυνση, έτσι ώστε a =0, ενώ οι επιταχύνσεις a και a z είναι σταθερές και διάφοροι του μηδενός. Αφού a =0συνεπάγεται από την πρώτη των παραπάνω εξισώσεων ότι ο λόγος μεταβολής τηςπίεσηςστηνδιεύθυνση είναι μηδέν ( p/ =0). Στις διευθύνσεις και z

22 ΚΑΤΑΝΟΜΗΤΗΣΠΙΕΣΗΣΣΕΥΓΡΟΠΟΥΚΙΝΕΙΤΑΙ ΣΑΝ ΣΤΕΡΕΟ ΣΩΜΑ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ κλίση ελεύθερης επιφάνειας = dz/d a dz z p p p 1 3 γραμμές ίσης πίεσης d p = ρ a p = ρ (g + a z ) z Η μεταβολή στην πίεση μεταξύ δύο κοντινών σημείων που βρίσκονταν στις θέσεις,z και +d, z+dz μπορεί να εκφραστεί σαν: p p dp = d + dz = ρ ( ) ρ + z z Κατά μήκος μιας γραμμής σταθερής πίεσης, dp=0, και επομένως από την ανωτέρω εξίσωση προκύπτει ότι η κλίση αυτής της γραμμής δίνεται απότησχέση: dz d = dpad g adz a g+ a Κατά μήκος μιας ελεύθερης επιφάνειας η πίεση είναι σταθερή, έτσι ώστε για την επιταχυνόμενη μάζα που φαίνεται στο σχήμα η ελεύθερη επιφάνεια θα είναι κεκλιμένη εάν a 0. Eπί πλέον, όλες οι γραμμές σταθερής πίεσης θα είναι παράλληλες στην ελεύθερη επιφάνεια όπως απεικονίζεται. z

23 ΚΑΤΑΝΟΜΗΤΗΣΠΙΕΣΗΣΣΕΥΓΡΟΠΟΥΚΙΝΕΙΤΑΙ ΣΑΝ ΣΤΕΡΕΟ κλίση ελεύθερης ΣΩΜΑ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ επιφάνειας ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ = dz/d dz a z p p p 1 3 γραμμές ίσης πίεσης dz d = g d a + a z Για την ειδική περίπτωση στην οποία a =0,a z 0, που αντιστοιχεί στη μάζα ρευστού που επιταχύνεται στην κατακόρυφη διεύθυνση, η παραπάνω εξίσωση δείχνει ότι η επιφάνεια του ρευστού θα είναι οριζόντια. Παρόλα αυτά, παρατηρούμε ότι η κατανομή πίεσης δεν είναι υδροστατική αλλά δίνεται από την εξίσωση: d p d z ( g ) = ρ + Για ρευστά σταθερής πυκνότητας αυτή η εξίσωση δείχνει ότι η πίεση θα μεταβάλλεται γραμμικά με το βάθος, αλλά η μεταβολή οφείλεται στις συνδυασμένες επιδράσεις της βαρύτητας και της εξωτερικά προκαλούμενης επιτάχυνσης ρ(g+a z ). Επομένως, για παράδειγμα, η πίεση κατά μήκος του πυθμένα μιας δεξαμενής γεμάτης με υγρό που βρίσκεται στοδάπεδοενόςανελκυστήραπουκινείταιμεεπιτάχυνση προς τα πάνω θα αυξηθεί πάνω από αυτή που υπάρχει όταν η δεξαμενή είναι σε ηρεμία (ή κινείταιμεσταθερή ταχύτητα). a z

24 ΚΑΤΑΝΟΜΗΤΗΣΠΙΕΣΗΣΣΕΥΓΡΟΠΟΥΚΙΝΕΙΤΑΙ ΣΑΝ ΣΤΕΡΕΟ κλίση ελεύθερης ΣΩΜΑ ΥΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΑΘΕΡΗΣ επιφάνειας ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ = dz/d dz a z p p p 1 3 γραμμές ίσης πίεσης d d p d z ( g ) = ρ + a z Πρέπεινασημειωθείότιγιαμάζαρευστούπουπέφτει ελεύθερα (a z =-g),οι λόγοι μεταβολής της πίεσης στις διευθύνσεις και των τριών συντεταγμένων είναι μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι εάν η πίεση που περιβάλλει τη μάζα είναι μηδέν, η πίεση παντού θα είναι μηδέν.

25 Περιστροφή υγρού σαν στερεό σώμα Άξονας περιστροφής z a = rω r θ r θ z θ θ θ r Μετά από ένα αρχικό μεταβατικό στάδιο «εκκίνησης», ένα υγρό που περιέχεται σε μια δεξαμενή που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω γύρω από ένα άξονα, θα περιστρέφεται μαζί με την δεξαμενή σαν στερεό σώμα. Ο χρόνος που απαιτείται για να περιστρέφεται το υγρό σαν ενα στερεό σώμα εξαρτάται απο τον όγκο, την ταχύτητα και την περίοδο περιστροφής. Για μια δεξαμενή διαμέτρου 5 μέτρων, μπορεί να φθάνει τις 1 ώρες. Είναι γνωστό από την φυσική ότι η επιτάχυνση ενός σωματιδίου ρευστού που βρίσκεται σε απόσταση r από τον άξονα περιστροφής είναι ίση σε μέγεθος με rω, και η διεύθυνση της επιτάχυνσης είναι κάθετη στον άξονα περιστροφής. Αφού οι διαδρομές των σωματιδίων του ρευστού είναι κυκλικές, είναι σκόπιμο να χρησιμοποιήσουμε κυλινδρικές πολικές συντεταγμένες r, θ και z. Ως προς τις κυλινδρικές συντεταγμένες η βαθμίδα της πίεσης p μπορεί να εκφραστεί σαν:

26 Περιστροφή υγρού σαν στερεό σώμα Άξονας περιστροφής z a = rω r θ r θ z θ θ θ r p 1 p p p = er + eϑ + ez r r θ z Επομένως, ως προς αυτό το σύστημα συντεταγμένων Άρα προκύπτει: a r =-rω e r a θ =0 a z =0 p =ρ a p =ρa p =ρ g+ρa z z p = ρ rω r p = 0 θ p = ρg z Άρα η πίεση είναι συνάρτηση δύο μεταβλητών r και z, και επομένως η διαφορική πίεση είναι:

27 Περιστροφή υγρού σαν στερεό σώμα dp = p dp = ρrω dr -ρ gdz r dr + p z dz Κατάμήκοςμιαςεπιφάνειαςσταθερήςπίεσης, όπως η ελεύθερη επιφάνεια, dp=0,έτσι από την εξίσωση dz r = ω ω r z = + σταθερά dr g g υτή η εξίσωση φανερώνει ότι αυτές οι επιφάνειες σταθερής πίεσης είναι παραβολικές όπως φαίνεται στο Σχήμα Με ολοκλήρωση της εξίσωσης: dp=ρrω dr -ρ gdz p ρω r = γ z + Αυτό το αποτέλεσμα δείχνει ότι η πίεση μεταβάλλεται ανάλογα με την απόσταση από τον άξονα περιστροφής, αλλά για σταθερή ακτινική απόσταση, η πίεση μεταβάλλεται υδροστατικά στην κατακόρυφη διεύθυνση

28 Περιστροφή υγρού σαν στερεό σώμα Η γωνιακή ταχύτητα ω ενός περιστρεφόμενου σώματος ή άξονα μπορεί να βρεθεί μετρώντας το βάθος o (όπου o το βάθος του νερού στον άξονα κατά την περιστροφή) με τον εξής τρόπο: R μετρητής βάθους αρχικό βάθος r dr 0 H ω (a) Το ύψος της ελεύθερης επιφάνειας πάνω από τον πυθμένα της δεξαμενής μπορεί να προσδιοριστεί από την εξίσωση που προαναφέρθηκε: ω r = + 0 g Ο αρχικός όγκος του ρευστού δεξαμενή V i, είναι ίσος με V=πR H Ο όγκος του ρευστού με την περιστρεφόμενη δεξαμενή μπορεί να βρεθεί με τη βοήθεια του διαφορικού στοιχείου που φαίνεται στο σχήμα. Αυτό το κυλινδρικό τμήμα λαμβάνεται σε κάποια αυθαίρετη ακτίνα r, και ο όγκος του είναι: dv = πr dr (b)

29 Περιστροφή υγρού σαν στερεό σώμα R μετρητής βάθους αρχικό βάθος r dr 0 H ω Ο ολικός όγκος είναι, επομένως (a) (b) R ω r V= π r + o dr 0 g 4 πω R V = + π R 4g Αφού ο όγκος του ρευστού στη δεξαμενή πρέπει να παραμείνει σταθερός προκύπτει ότι: o π RH 4 πω R = + 4g π R o H- o R = ω 4g