Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1"

Transcript

1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n 1 ) c(n... n k ) + h(n k ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1... n k. (β) Αποδείξτε ότι κάθε συνεπής h είναι και αποδεκτή. (γ) Αποδείξτε ότι αν οι h 1,..., h k είναι αποδεκτές, τότε είναι αποδεκτή και η h(n) = max{h 1(n),..., h k(n)}. (δ) Αποδείξτε ότι αν οι h 1,..., h k είναι συνεπείς, τότε είναι συνεπής και η h(n) = max{h 1(n),..., h k(n)}. (ε) Εξηγήστε γιατί με ιδανική ευρετική συνάρτηση, η πολυπλοκότητα χρόνου του αλγορίθμου Α* γίνεται O(b d). α) Έχουμε ως δεδομένο ότι η h είναι συνεπής. Άρα ισχύει ότι: h(n) c(n n ) + h(n ), για κάθε n, n Επομένως για τους κόμβους οποιουδήποτε μονοπατιού n 1 παρακάτω : h(n 1 ) c(n 1 n 2 ) + h(n 2 ) h(n 2 ) c(n 2 n 3 ) + h(n 3 )... h(n k 1 ) c(n k 1 n k ) + h(n k ) n k θα ισχύουν τα Αν προσθέσουμε κατά μέλη τις παραπάνω ανισότητες, προκύπτει: k h(n 1 ) c(n i 1 n i ) + h(n k ) h(n 1 ) c(n 1 n k ) + h(n k ) i=2 β) Για να είναι αποδεκτή μια ευρετική, πρέπει να ισχύει ότι h(n) C(n), για κάθε n, όπου C(n) το κόστος του βέλτιστου μονοπατιού από τον n σε κόμβο τελικής κατάστασης. Έστω ότι η h(n) είναι συνεπής. Τότε, από το προηγούμενο σκέλος, χρησιμοποιώντας ως μονοπάτι (n =n 1) n k το βέλτιστο μονοπάτι από τον n προς κόμβο τελικής κατάστασης και λαμβάνοντας υπόψη ότι h(n k ) = 0, αφού n k είναι κόμβος τελικής κατάστασης, παίρνουμε: Άρα η h(n) είναι και αποδεκτή. h(n) = h(n 1 ) c(n 1 n k ) + h(n k ) = C(n) + 0 γ) Αφού όλες οι h 1, h 2,, h k είναι αποδεκτές, θα ισχύουν για κάθε n τα εξής: h 1 (n) C(n) h 2 (n) C(n) h k (n) C(n) Όλες οι τιμές h i (n) συγκρίνονται με το ίδιο C(n), επειδή αυτό είναι το βέλτιστο κόστος από τον n ως τελική κατάσταση και είναι πάντα το ίδιο ανεξαρτήτως ευρετικής. Η h(n) = max{h 1 (n), h 2 (n),, h k (n)} θα έχει σε κάθε n την τιμή μιας εκ των h i (n) (1 i k) και αφού ισχύουν οι παραπάνω ισχυρισμοί για τα h i (n), θα έχουμε h i (n) C(n), άρα η h(n)είναι αποδεκτή.

2 δ) Έστω ότι η h(n) = max{h 1 (n), h 2 (n),, h k (n)} δεν είναι συνεπής, παρ όλο που οι h 1, h 2,, h k είναι συνεπείς. Τότε θα πρέπει να ισχύει για κάποια n και n ότι: h(n) > h(n ) + c(n n ) Αφού η τιμή h(n) είναι μια εκ των τιμών h 1 (n), h 2 (n),, h k (n), τότε από την προηγούμενη σχέση λαμβάνουμε: h i (n) > h(n ) + c(n n ) (1) Ωστόσο, αφού η h i είναι συνεπής, θα ισχύει το εξής: h i (n) c(n n ) + h i (n ) Αφού όμως h(n ) = max{h 1 (n ), h 2 (n ),, h k (n )}, τότε h i (n ) h(n ), οπότε από την προηγούμενη σχέση λαμβάνουμε: h i (n) c(n n ) + h(n ) (2) Οι (1),(2) αποτελούν άτοπο, οπότε η h είναι συνεπής. ε) Η ιδανική ευρετική μάς καθοδηγεί να επιλέγουμε και να επεκτείνουμε κόμβους μόνο επί του βέλτιστου μονοπατιού. Οι κόμβοι αυτοί είναι d, όσοι και το βάθος της ρηχότερης λύσης. Σε κάθε κόμβο κατά μήκος του βέλτιστου μονοπατιού παράγουμε όλα τα παιδιά του κόμβου, b στη χειρότερη περίπτωση. Στη συνέχεια, ακολουθώντας την εκτίμηση της ιδανικής ευρετικής, επιλέγουμε το παιδί που συμμετέχει στο βέλτιστο μονοπάτι. Συνεπώς κάνουμε d βήματα κατά μήκος του βέλτιστου μονοπατιού και σε κάθε βήμα παράγουμε στη χειρότερη περίπτωση b παιδιά. Άρα η πολυπλοκότητα χρόνου θα είναι O(bd) Χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο Α* (χωρίς κλειστό σύνολο) για να βρούμε στον παρακάτω γράφο ένα μονοπάτι από την Craiova στο Βουκουρέστι. Οι ακμές παριστάνουν οδούς και οι ετικέτες των ακμών τα μήκη των οδών. Χρησιμοποιούμε ως ευρετική συνάρτηση την ευθεία απόσταση μέχρι το Βουκουρέστι (βλ. πίνακα). (Σχήμα από το βιβλίο των Russel και Norvig.) (α) Σχεδιάστε το δέντρο αναζήτησης που κατασκευάζει ο αλγόριθμος μέχρι να ανακαλύψει το πρώτο μονοπάτι από την Craiova στο Βουκουρέστι. Το δέντρο να δείχνει και πώς αξιολογείται κάθε κόμβος. Απάντηση:

3 (β) Είναι αποδεκτή η ευρετική που χρησιμοποιούμε; Ναι ή όχι και γιατί; Ναι, η ευρετική είναι αποδεκτή, γιατί επιστρέφει πάντα την ευθεία απόσταση ως την πόληστόχο, που είναι υπο-εκτίμηση της πραγματικής (οδικής) απόστασης. (γ) Μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι ο αλγόριθμος θα ανακαλύπτει πάντα το συντομότερο μονοπάτι προς το Βουκουρέστι, από όποια πόλη του χάρτη και αν ξεκινήσουμε; Ναι ή όχι και γιατί; Τα κόστη των μεταβάσεων είναι πάντα θετικά, ο μέγιστος παράγοντας διακλάδωσης είναι πεπερασμένος και ξέρουμε ότι τότε ο Α* είναι πλήρης, δηλαδή βρίσκει πάντα λύση αν υπάρχει. Εδώ υπάρχει πάντα λύση (υπάρχει πάντα ένα μονοπάτι μέχρι το Βουκουρέστι), επομένως βρίσκει πάντα λύση. Η λύση που βρίσκει είναι και βέλτιστη (δηλαδή βρίσκει το συντομότερο μονοπάτι), γιατί η ευρετική είναι αποδεκτή και ξέρουμε ότι με αποδεκτή ευρετική ο Α* είναι βέλτιστος. (δ) Είναι συνεπής η ευρετική που χρησιμοποιούμε; Ναι ή όχι και γιατί; Ναι, γιατί για κάθε κόμβο (πόλη) n στον οποίο βρισκόμαστε, η ευρετική εκτίμηση, δηλαδή η ευθεία απόσταση από τον n ως το στόχο (το Βουκουρέστι) είναι πάντα μικρότερη από (ή ίση με) την πραγματική (οδική, άρα μεγαλύτερη από την ευθεία) απόσταση από τον n ως έναν άλλο γειτονικό κόμβο n (άλλη γειτονική πόλη) συν την ευρετική (ευθεία απόσταση) από τον n ως το στόχο. Δηλαδή ισχύει h(n) c(n, n ) + h(n ). (ε) Αν προσθέσουμε κλειστό σύνολο, μπορούμε να είμαστε σίγουροι ότι ο αλγόριθμος θα ανακαλύπτει πάντα το συντομότερο μονοπάτι προς το Βουκουρέστι, από όποια πόλη του χάρτη και αν ξεκινήσουμε; Ναι ή όχι και γιατί; Ναι, γιατί με συνεπή ευρετική ο Α* παραμένει βέλτιστος ακόμα και όταν χρησιμοποιούμε κλειστό σύνολο Θεωρήστε ότι στο πρόβλημα των κανιβάλων και των ιεραποστόλων υπάρχουν αρχικά τρεις κανίβαλοι και τρεις ιεραπόστολοι στην αριστερή όχθη του ποταμού. Στόχος μας είναι να μεταφέρουμε με τη βάρκα όλους τους ανθρώπους στη δεξιά όχθη. Η βάρκα χωρά το πολύ δύο άτομα και δεν μπορεί να μετακινηθεί χωρίς επιβάτες. Δεν επιτρέπεται ο αριθμός των κανιβάλων σε κάποια όχθη να υπερβεί ποτέ τον αριθμό των ιεραποστόλων στην ίδια όχθη. Οι δυνατές κινήσεις σε κάθε κατάσταση είναι η μετακίνηση ενός ή δύο ανθρώπων με τη

4 βάρκα στην απέναντι όχθη. Λύση είναι κάθε ακολουθία κινήσεων που πετυχαίνει τον επιθυμητό στόχο. Το κόστος μιας λύσης είναι ο συνολικός αριθμός μετακινήσεων της βάρκας. (α) Αφαιρούμε τον περιορισμό που δεν επιτρέπει ο αριθμός των κανιβάλων σε κάποια όχθη να υπερβεί τον αριθμό των ιεραποστόλων στην ίδια όχθη. (α1) Ποιος είναι (ως συνάρτηση του n) ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων μέχρι το στόχο (την τελική κατάσταση), αν βρισκόμαστε σε κατάσταση όπου η βάρκα βρίσκεται δεξιά (επομένως υπάρχει τουλάχιστον ένας άνθρωπος στη δεξιά όχθη) και υπάρχουν συνολικά n > 0 άνθρωποι στην αριστερή όχθη; Εξηγήστε τον υπολογισμό σας. Στην περίπτωση αυτή, η βέλτιστη ακολουθία κινήσεων είναι να πάει ένας άνθρωπος που βρίσκεται στα δεξιά τη βάρκα αριστερά, να επιστρέψει δεξιά με δύο ανθρώπους κ.ο.κ. μέχρι να έχουν έρθει όλοι οι άνθρωποι στα δεξιά, κάτι που απαιτεί 2 n κινήσεις (διασχίσεις). (α2) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων μέχρι το στόχο, αν βρισκόμαστε σε κατάσταση όπου η βάρκα βρίσκεται αριστερά και υπάρχουν συνολικά n > 0 άνθρωποι στην αριστερή όχθη; Δώστε δύο ξεχωριστές απαντήσεις για n = 1 και n > 1; Εξηγήστε τον υπολογισμό σας. Αν n = 1, τότε προφανώς χρειάζεται μόνο μία διάσχιση. Αν n > 1, τότε χρειάζονται 2 (n 1) 1 = 2n 3 διασχίσεις για n = 2, προφανώς χρειάζεται πάλι μόνο μία διάσχιση, όσες προβλέπει σωστά ο τύπος για n = 3, η βάρκα πρέπει να πάει δεξιά με δύο ανθρώπους, να γυρίσει αριστερά με έναν και να ξαναπάει δεξιά πάλι με δύο, συνολικά 3 διασχίσεις, όσες προβλέπει ο τύπος κ.ο.κ. (β) Αφαιρούμε τώρα και τον περιορισμό ότι στη βάρκα χωράνε το πολύ δύο άτομα. (β1) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων μέχρι το στόχο, αν βρισκόμαστε σε κατάσταση όπου η βάρκα βρίσκεται δεξιά και υπάρχουν συνολικά n > 0 άνθρωποι στην αριστερή όχθη; Εξηγήστε τον υπολογισμό σας. Στην περίπτωση αυτή πρέπει η βάρκα να πάει αριστερά με έναν επιβάτη (ή και περισσότερους) και κατόπιν να γυρίσει δεξιά με όλους τους ανθρώπους της αριστερής όχθης, επομένως δύο κινήσεις. (β2) Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων μέχρι το στόχο, αν βρισκόμαστε σε κατάσταση όπου η βάρκα βρίσκεται αριστερά και υπάρχουν συνολικά n > 0 άνθρωποι στην αριστερή όχθη; Εξηγήστε τον υπολογισμό σας. Προφανώς αρκεί μία διάσχιση. (γ) Επιστρέφουμε στο αρχικό πρόβλημα, όπου δεν έχει αφαιρεθεί κανένας περιορισμός. Βασιζόμενοι στις απαντήσεις που δώσατε στα σκέλη (α) και (β), γράψτε τους τύπους δύο αποδεκτών ευρετικών συναρτήσεων h 1(s) και h 2(s), για κάθε δυνατή κατάσταση s του αρχικού προβλήματος. Εξηγήστε πώς προέκυψαν οι δύο ευρετικές και γιατί είναι αποδεκτές. Ως h 1(s) και h 2(s) θα χρησιμοποιήσουμε τα ακριβή κόστη των βέλτιστων λύσεων από την s ως την τελική κατάσταση στα απλοποιημένα προβλήματα των σκελών (α) και (β) αντίστοιχα. Γνωρίζουμε ότι το ακριβές βέλτιστο κόστος λύσης σε ένα απλοποιημένο πρόβλημα (που έχει προκύψει με αφαίρεση περιορισμών) είναι αποδεκτή ευρετική του αρχικού προβλήματος (αφού στο αρχικό πρόβλημα απαιτούνται περισσότερες ή το πολύ ίσες κινήσεις).

5 Έστω n ο συνολικός αριθμός ανθρώπων που στην κατάσταση s βρίσκονται στην αριστερή όχθη. Τότε: h 1(s) = 2 n, αν η βάρκα βρίσκεται δεξιά στην s και n > 0, 1, αν η βάρκα βρίσκεται αριστερά στην s και n = 1, 2 n 3, αν η βάρκα βρίσκεται αριστερά στην s και n > 1, 0, αν n = 0. h 2(s) = 2, αν η βάρκα βρίσκεται δεξιά στην s και n > 0, 1, αν η βάρκα βρίσκεται αριστερά στην s και n > 0, 0, αν n = 0. (δ) Αν χρησιμοποιήσουμε μία από τις δύο ευρετικές του σκέλους (γ) και τον αλγόριθμο Α* χωρίς κλειστό σύνολο, είναι σίγουρο ότι θα βρούμε λύση; Γιατί; Ναι, γιατί το κόστος κάθε κίνησης είναι θετικό (>0) και ο μέγιστος παράγοντας διακλάδωσης (δυνατών κινήσεων σε κάθε κατάσταση) είναι πεπερασμένος. Στην περίπτωση αυτή γνωρίζουμε ότι ο Α* είναι πλήρης, δηλαδή αν υπάρχει λύση, σίγουρα τη βρίσκει. Και γνωρίζουμε ότι το πρόβλημα έχει λύση (βλ. διαφάνειες). (ε) Είναι σίγουρο ότι η λύση που θα βρούμε στο σκέλος (δ) θα είναι βέλτιστη; Γιατί; Ναι, γιατί γνωρίζουμε ότι με αποδεκτή ευρετική ο Α* είναι βέλτιστος. (στ) Είναι σίγουρο ότι η λύση που θα βρούμε στο σκέλος (δ) θα είναι βέλτιστη ακόμη κι αν χρησιμοποιήσουμε κλειστό σύνολο; Γιατί; Ναι, γιατί γνωρίζουμε (βλ. διαφάνειες) ότι όταν το κόστος κάθε μετάβασης είναι θετικό, οι ευρετικές που προκύπτουν με αφαίρεση περιορισμών είναι συνεπείς. Και με συνεπή ευρετική, γνωρίζουμε ότι ο Α* παραμένει βέλτιστος, ακόμα και όταν χρησιμοποιείται κλειστό σύνολο. (ζ) Ποια από τις δύο ευρετικές του σκέλους (γ) είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε και γιατί; Είναι προτιμότερο να χρησιμοποιήσουμε την h 1, γιατί είναι μεν και οι δύο αποδεκτές, αλλά η h 1 κυριαρχεί επί της h 2 (h 1(s) h 2(s), για κάθε s), που σημαίνει ότι δίνει ακριβέστερες προβλέψεις (προβλέπει πιο καλά το ακριβές βέλτιστο κόστος λύσης από την s ως την τελική κατάσταση), κάτι που γνωρίζουμε ότι βοηθά τον A* να εστιαστεί σε μικρότερο τμήμα του χώρου αναζήτησης Σε ένα πανεπιστημιακό τμήμα πρέπει να κατασκευαστεί το πρόγραμμα των εξετάσεων. Υπάρχουν n μαθήματα προς εξέταση (Μ 1,, Μ n), k διαθέσιμες ημέρες εξετάσεων (Η 1,, Η k), επιτρέπεται να εξεταστεί το πολύ ένα μάθημα ανά ημέρα και κάθε μάθημα πρέπει να εξεταστεί ακριβώς μία ημέρα. Θεωρήστε ότι n < k, οπότε τουλάχιστον μία ημέρα μένει πάντα ελεύθερη. Υπάρχουν, επίσης, r περιορισμοί (Π 1,, Π r), κάθε ένας από τους οποίους απαγορεύει να εξεταστεί ένα συγκεκριμένο μάθημα μία συγκεκριμένη ημέρα (π.χ. ο Π 18 ενδέχεται να απαγορεύει να εξεταστεί το Μ 14 την Η 7, ο Π 19 ενδέχεται να απαγορεύει να εξεταστεί το Μ 14 την Η 12). Θεωρήστε ότι υπάρχει πάντα πρόγραμμα εξετάσεων που ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς. Εξηγήστε πώς θα μπορούσε να κατασκευαστεί το πρόγραμμα των εξετάσεων χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο Α*, ξεκινώντας από ένα πρόγραμμα εξετάσεων που το κατασκευάζει ένας άνθρωπος και το οποίο καθορίζει τις ημέρες εξέτασης όλων των μαθημάτων, αλλά δεν ικανοποιεί ενδεχομένως όλους τους περιορισμούς. (α) Τι θα παρίστανε κάθε κατάσταση του χώρου αναζήτησης και πώς;

6 Κάθε κατάσταση θα ήταν ένα διάνυσμα <θ 1,..., θ k>, με θ i {0, 1, 2, 3,..., n}. Αν θ i = m, την Η i εξετάζεται το M m. Αν θ i = 0, την H i δεν εξετάζεται μάθημα. Για κάθε μάθημα, το διάνυσμα θα καθόριζε ακριβώς μία ημέρα εξέτασης. (β) Ποιοι θα ήταν οι τελεστές μετάβασης; (Ενδέχεται να χρειάζεται μόνο ένας.) Μετακίνηση ενός μαθήματος M m από την ημέρα του H i σε κενή ημέρα H j. Δηλαδή ενώ στην τρέχουσα κατάσταση θ i = m και θ j = 0, στη νέα κατάσταση θ i = 0 και θ j = m, χωρίς άλλη αλλαγή στη νέα κατάσταση. (γ) Ποια θα ήταν μια αποδεκτή ευρετική συνάρτηση; Ο συνολικός αριθμός μαθημάτων που παραβιάζουν περιορισμούς Π i στο πρόγραμμα εξετάσεων της κατάστασης που αξιολογείται. (δ) Γιατί είναι αποδεκτή η ευρετική συνάρτηση που προτείνατε στο σκέλος (γ); (Θεωρήστε δεδομένο ότι οι ευρετικές που προκύπτουν με αφαίρεση περιορισμών είναι αποδεκτές.) Επιτρέπουμε να εξεταστούν περισσότερα του ενός μαθήματα ανά ημέρα, οπότε ο τελεστής μετάβασης μπορεί να μετακινήσει ένα μάθημα σε οποιαδήποτε ημέρα, ακόμη και μη κενή. Τότε το ακριβές βέλτιστο κόστος λύσης (ο ελάχιστος αριθμός μεταβάσεων) ισούται με τον αριθμό μαθημάτων που παραβιάζουν περιορισμούς Π i: κάθε τέτοιο μάθημα πρέπει να μετακινηθεί (με μία κίνηση) σε ημέρα όπου δεν παραβιάζει περιορισμούς. Το ακριβές βέλτιστο κόστος λύσης του απλοποιημένου προβλήματος είναι αποδεκτή ευρετική του αρχικού προβλήματος. (ε) Είναι σίγουρο ότι θα καταφέρουμε να βρούμε πρόγραμμα εξετάσεων που να ικανοποιεί όλους τους περιορισμούς και γιατί; Ναι, γιατί υπάρχει πρόγραμμα που δεν παραβιάζει περιορισμούς (υπάρχει τελική κατάσταση), με τον τελεστή μετάβασης (β) μπορούμε να φτάσουμε πάντα σε αυτό από την αρχική κατάσταση (υπάρχει λύση) και ο Α* είναι πλήρης (αφού εδώ δεν έχουμε ποτέ άπειρα παιδιά και το κόστος, που εδώ είναι ο αριθμός μεταβάσεων, είναι αύξουσα συνάρτηση του βάθους). (στ) Τι ακριβώς εξασφαλίζουμε χρησιμοποιώντας αποδεκτή ευρετική σε αυτό το πρόβλημα; Είναι χρήσιμο αυτό και γιατί; Εξασφαλίζουμε ότι ο Α* θα βρει τη βέλτιστη λύση, το συντομότερο μονοπάτι από το αρχικό σε πρόγραμμα που δεν παραβιάζει περιορισμούς. Αυτό δεν είναι ιδιαίτερα χρήσιμο, γιατί μας ενδιαφέρει κυρίως να βρούμε πρόγραμμα που δεν παραβιάζει περιορισμούς, όχι πόσες τροποποιήσεις του αρχικού προγράμματος χρειάστηκαν. Όσο λιγότερες είναι οι τροποποιήσεις, όμως, τόσο ευκολότερο ίσως είναι να τις ελέγξει όποιος έφτιαξε το αρχικό πρόγραμμα και να τις αποδεχθεί α) Αν υπάρχει λύση και ο μέγιστος παράγοντας διακλάδωσης είναι πεπερασμένος και το σύνολο καταστάσεων είναι πεπερασμένο και το κόστος λύσης είναι αύξουσα συνάρτηση του βάθους (και μόνο), ο αλγόριθμος Α* με κλειστό σύνολο και αποδεκτή αλλά όχι συνεπή ευριστική: βρίσκει πάντα λύση και μάλιστα βέλτιστη δεν βρίσκει πάντα λύση _Χ_βρίσκει πάντα λύση, αλλά όχι σίγουρα βέλτιστη. Αφού το κόστος λύσης είναι αύξουσα συνάρτηση του βάθους (και μόνο), το κόστος λύσης αυξάνεται κάθε φορά που κάνουμε μια μετάβαση, άρα το κόστος κάθε μετάβασης είναι θετικό.

7 Γνωρίζουμε ότι αν ο μέγιστος παράγοντας διακλάδωσης είναι πεπερασμένος και το κόστος κάθε μετάβασης είναι θετικό, ο A* είναι πλήρης. Επομένως, αφού υπάρχει λύση, θα τη βρει. Όταν χρησιμοποιείται αποδεκτή ευρετική χωρίς κλειστό σύνολο, ξέρουμε επίσης ότι ο Α* είναι βέλτιστος. Με κλειστό σύνολο, όμως, αν η ευρετική είναι απλά αποδεκτή και όχι συνεπής, τότε ο Α* δεν επιστρέφει σίγουρα τη βέλτιστη λύση, γιατί ενδέχεται το μονοπάτι της βέλτιστης λύσης να πριονίζεται λόγω της χρήσης του κλειστού συνόλου. Επομένως, στην περίπτωση αυτού του ερωτήματος, ο Α* βρίσκει πάντα λύση, αλλά όχι σίγουρα βέλτιστη λύση. β) Αν υπάρχει λύση και ο μέγιστος παράγοντας διακλάδωσης είναι πεπερασμένος και το σύνολο καταστάσεων είναι πεπερασμένο και το κόστος λύσης είναι αύξουσα συνάρτηση του βάθους (και μόνο), ο αλγόριθμος Α* με κλειστό σύνολο και συνεπή ευριστική: _Χ_βρίσκει πάντα λύση και μάλιστα βέλτιστη δεν βρίσκει πάντα λύση βρίσκει πάντα λύση, αλλά όχι σίγουρα βέλτιστη. Όπως και στο προηγούμενο ερώτημα, στην περίπτωση αυτή ο Α* είναι πλήρης και άρα, αφού υπάρχει λύση, θα τη βρει. Ξέρουμε, επίσης, ότι με συνεπή ευρετική, ο Α* παραμένει βέλτιστος ακόμα και όταν χρησιμοποιείται κλειστό σύνολο. Επομένως, θα επιστρέψει τη βέλτιστη λύση. γ) Αν δεν υπάρχει λύση και ο μέγιστος παράγοντας διακλάδωσης είναι πεπερασμένος και το σύνολο καταστάσεων είναι πεπερασμένο, ο αλγόριθμος Α* με κλειστό σύνολο και μη αποδεκτή ευριστική: _Χ_τερματίζει πάντα δεν τερματίζει ποτέ άλλοτε τερματίζει και άλλοτε δεν τερματίζει. Αφού το σύνολο των (δυνατών) καταστάσεων είναι πεπερασμένο, τα μόνα άπειρα κλαδιά του δέντρου αναζήτησης που είναι δυνατόν να προκύψουν αντιστοιχούν σε κύκλους του γράφου καταστάσεων. Αφού, όμως, χρησιμοποιείται κλειστό σύνολο, οι άπειρες επαναλήψεις που εμπεριέχονται σε αυτά τα άπειρα κλαδιά θα πριονιστούν. Επομένως, αφού και ο μέγιστος παράγοντας διακλάδωσης είναι πεπερασμένος, το δέντρο αναζήτησης που θα ψάξει ο Α* είναι πεπερασμένο. Αφού δεν υπάρχει λύση, ο Α* θα το ψάξει ολόκληρο και θα τερματίσει. Το ότι η ευρετική είναι μη αποδεκτή δεν παίζει ρόλο εδώ. δ) Ο αλγόριθμος Α* χωρίς κλειστό σύνολο έχει: καλύτερη _Χ_χειρότερη την ίδια πολυπλοκότητα χώρου από/με τον αλγόριθμο αναρρίχησης λόφου χωρίς κλειστό σύνολο. Χωρίς κλειστό σύνολο, ο αλγόριθμος αναρρίχησης λόφου κρατά σε κάθε βήμα του στη μνήμη το πολύ την τρέχουσα κατάσταση και τα b παιδιά της (τα οποία αξιολογεί, προκειμένου να επιλέξει την επόμενη κατάσταση στην οποία θα μεταβεί). Αντιθέτως, ο Α* κρατά στη μνήμη εν γένει πολλούς κόμβους του μετώπου της αναζήτησης (και τους προγόνους τους, αν θέλουμε να μας επιστρέψει το μονοπάτι της λύσης). Στη χειρότερη περίπτωση, μια ιδιαίτερα κακή ευρετική μπορεί να αναγκάσει τον Α* να κρατήσει (π.χ. αμέσως πριν τερματίσει ανεπιτυχώς) στο μέτωπο της αναζήτησης όλους τους εκθετικά πολλούς (ως προς το βάθος) κόμβους του μέγιστου βάθους.

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ"

PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ PROJECT ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΕΥΡΕΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ" ΜΕΡΟΣ ΔΕΥΤΕΡΟ Υπεύθυνος Καθηγητής Λυκοθανάσης Σπυρίδων Ακαδημαικό Έτος:

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης

Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοημοσύνη 04 Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης Αλγόριθμοι Τυφλής Αναζήτησης (Blind Search Algorithms) Εφαρμόζονται σε προβλήματα στα οποία δεν υπάρχει πληροφορία που να επιτρέπει αξιολόγηση των καταστάσεων.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 9 Λύσεις

Φροντιστήριο 9 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 9 Λύσεις Να κατασκευάσετε μια μηχανή Turing με δύο ταινίες η οποία να αποδέχεται στην πρώτη της ταινία μια οποιαδήποτε λέξη w {a,b} * και να γράφει τη λέξη w R στη δεύτερη της ταινία.

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Α ληροφόρητη αναζήτηση

Ε ανάληψη. Α ληροφόρητη αναζήτηση ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Το ική Αναζήτηση Local Search Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Α ληροφόρητη αναζήτηση σε πλάτος, οµοιόµορφου κόστους, σε βάθος,

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΦΛΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ (1) ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ Ή ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ

ΤΥΦΛΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ (1) ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ Ή ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΤΥΦΛΗ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗ (1) ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗ Ή ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ Μια αυστηρά καθορισµένη ακολουθία ενεργειών µε σκοπό τη λύση ενός προβλήµατος. Χαρακτηριστικά οθέν πρόβληµα: P= Επιλυθέν πρόβληµα: P s

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων

Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Τεχνητή Νοημοσύνη 06 Αλγόριθμοι Αναζήτησης σε Παίγνια Δύο Αντιπάλων Εισαγωγικά (1/3) Τα προβλήματα όπου η εξέλιξη των καταστάσεων εξαρτάται από δύο διαφορετικά σύνολα τελεστών μετάβασης που εφαρμόζονται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609

Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα. Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Απαλλακτική Εργασία Γραφικά & Εικονική Πραγματικότητα Παπαπαύλου Χρήστος ΑΜ: 6609 Αναπαράσταση μοντέλου Το 3D μοντέλο το αποθηκεύουμε στην μνήμη με τις εξής δομές δεδομένων: Λίστα κορυφών Λίστα τριγώνων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου)

Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου) Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου) Ηλικίες: Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Χρόνος: Μέγεθος ομάδας: 8 ενήλικες Καμία 15 λεπτά για τη βασική δραστηριότητα, περισσότερο για τις επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες

Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες Ενότητα 2: Αναπαράσταση Γνώσης και Επίλυση Προβλημάτων Δημοσθένης Σταμάτης mos@it.tith.gr www.it.tith.gr/~mos Μαθησιακοί Στόχοι της ενότητας 2 Πως ορίζεται ένα πρόβλημα στα

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων

Οργάνωση καθημερινών ημερίδων Οργάνωση καθημερινών ημερίδων 1) Αγώνες ζευγών 1α) Διαθέσιμες κινήσεις: Φιλοσοφία, μηχανισμοί και τα χαρακτηριστικά τους. Οι κινήσεις είναι ένα από τα βασικότερα εργαλεία που έχει ένας διαιτητής στη διάθεσή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA)

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 3: Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα (DFA) Τι θα κάνουμε σήμερα Εισαγωγή στα Ντετερμινιστικά Πεπερασμένα Αυτόματα 14-Sep-11 Τυπικός Ορισμός Ντετερμινιστικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Τελικές εξετάσεις 3 Ιανουαρίου 27 Διάρκεια εξέτασης: 3 ώρες (2:-5:) ΘΕΜΑ ο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θ.Ε. ΠΛΗ31 (2005-6) ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ #1 Στόχος Η εργασία επικεντρώνεται σε θέματα προγραμματισμού για Τεχνητή Νοημοσύνη και σε πρακτικά θέματα εξάσκησης σε Κατηγορηματική Λογική. Θέμα 1: Απλές Αναζητήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης

Επίλυση προβληµάτων. Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης Επίλυση προβληµάτων Περιγραφή προβληµάτων Αλγόριθµοι αναζήτησης! Αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης Αλγόριθµοι ευρετικής αναζήτησης Παιχνίδια δύο αντιπάλων Προβλήµατα ικανοποίησης περιορισµών Αλγόριθµοι τυφλής

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

Σενάριο 17: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες

Σενάριο 17: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες Σενάριο 17: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες Φύλλο Εργασίας Τίτλος: Παιχνίδι μνήμης με εικόνες Γνωστικό Αντικείμενο: Εφαρμογές Πληροφορικής-Υπολογιστών Διδακτική Ενότητα: Διερευνώ - Δημιουργώ Ανακαλύπτω, Συνθετικές

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων (Data Structures)

Δομές Δεδομένων (Data Structures) Δομές Δεδομένων (Data Structures) Ανάλυση - Απόδοση Αλγορίθμων Έλεγχος Αλγορίθμων. Απόδοση Προγραμμάτων. Χωρική/Χρονική Πολυπλοκότητα. Ασυμπτωτικός Συμβολισμός. Παραδείγματα. Αλγόριθμοι: Βασικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Δέντρα Αναζήτησης. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Δέντρα Αναζήτησης Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Το πρόβλημα Αναζήτηση Θέλουμε να διατηρήσουμε αντικείμενα με κλειδιά και να μπορούμε εκτός από

Διαβάστε περισσότερα

Δημιουργία η-μαθήματος με τη. 3 ο Μέρος Εισαγωγή πληροφοριών: δημιουργία ιστοσελίδας

Δημιουργία η-μαθήματος με τη. 3 ο Μέρος Εισαγωγή πληροφοριών: δημιουργία ιστοσελίδας Δημιουργία η-μαθήματος με τη χρήση του Moodle 3 ο Μέρος Εισαγωγή πληροφοριών: δημιουργία ιστοσελίδας Δημιουργία η-μαθήματος με τη χρήση του Moodle 3 ο Μέρος Εισαγωγή πληροφοριών: δημιουργία ιστοσελίδας

Διαβάστε περισσότερα

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών

ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών ροµολόγηση πακέτων σε δίκτυα υπολογιστών Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για το µάθηµα Αλγόριθµοι Επικοινωνιών Ακαδηµαϊκό έτος 2011-2012 1 Εισαγωγή Οι παρακάτω σηµειώσεις παρουσιάζουν την ανάλυση του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

CSC 314: Switching Theory

CSC 314: Switching Theory CSC 314: Switching Theory Course Summary 9 th January 2009 1 1 Θέματα Μαθήματος Ερωτήσεις Τι είναι αλγόριθμος? Τι μπορεί να υπολογιστεί? Απαντήσεις Μοντέλα Υπολογισμού Δυνατότητες και μη-δυνατότητες 2

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ

Η δυαδική σχέση M ( «παράγει σε ένα βήμα» ) ορίζεται ως εξής: (q, w) M (q, w ), αν και μόνο αν w = σw, για κάποιο σ Σ Πεπερασμένα Αυτόματα (ΠΑ) Τα πεπερασμένα αυτόματα είναι οι απλούστερες «υπολογιστικές μηχανές». Δεν έχουν μνήμη, μόνο μία εσωτερική μονάδα με πεπερασμένο αριθμό καταστάσεων. Διαβάζουν τη συμβολοσειρά εισόδου

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6

Αυτόματα. Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iii) Παράδειγμα: πωλητής καφέ (iv) Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 6 Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 3η ενότητα: Αυτόματα και Τυπικές Γραμματικές http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ Αυτόματα Τρόπος κωδικοποίησης αλγορίθμων. Τρόπος περιγραφής συστημάτων πεπερασμένων

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων

Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Η αρχή του Αναλλοίωτου-Θεωρία Παιγνίων Ομιλητής: Νασιούλας Αντώνης Ιστιαία, Σάββατο 13 Απριλίου 213 Μέρος I (Αναλλοίωτα) Η Αρχή του Αναλλοίωτου είναι μια στρατηγική επίλυσης προβλήματων που έχουν σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

Πορεία της εργασίας. Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος και να χρησιμοποιούν όρους όπως ψηλό-χαμηλό, μακρύ-κοντό, και πλατύ-στενό.

Πορεία της εργασίας. Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος και να χρησιμοποιούν όρους όπως ψηλό-χαμηλό, μακρύ-κοντό, και πλατύ-στενό. 1 η περίοδος Ενότητα 2η: Πρόσθεση και ανάλυση αριθμών μέχρι το 5 Στόχοι της ενότητας: Μετά το τέλος της ενότητας οι μαθητές πρέπει να είναι ικανοί να: Να συγκρίνουν μεγέθη όπως είναι το μήκος και το πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ Α ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ' ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 26 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΥΚΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος.

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος. 1. Δώστε τον ορισμό του προβλήματος. 2. Σι εννοούμε με τον όρο επίλυση ενός προβλήματος; 3. Σο πρόβλημα του 2000. 4. Σι εννοούμε με τον όρο κατανόηση προβλήματος; 5. Σι ονομάζουμε χώρο προβλήματος; 6.

Διαβάστε περισσότερα

Η Μηχανική Μάθηση στο Σχολείο: Μια Προσέγγιση για την Εισαγωγή της Ενισχυτικής Μάθησης στην Τάξη

Η Μηχανική Μάθηση στο Σχολείο: Μια Προσέγγιση για την Εισαγωγή της Ενισχυτικής Μάθησης στην Τάξη 6 ο Πανελλήνιο Συνέδριο «Διδακτική της Πληροφορικής» Φλώρινα, 20-22 Απριλίου 2012 Η Μηχανική Μάθηση στο Σχολείο: Μια Προσέγγιση για την Εισαγωγή της Ενισχυτικής Μάθησης στην Τάξη Σάββας Νικολαΐδης 1 ο

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι

Γ ε ν ι κ ό Λ ύ κ ε ι ο Ε λ ε υ θ ε ρ ο ύ π ο λ η ς. Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Α λ γ ό ρ ι θ μ ο ι Αριθμητικοί τελεστές Οι αριθμητικοί τελεστές είναι: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση +,-,*,/ ύψωση σε δύναμη ^ πηλίκο ακέραιης διαίρεσης δύο ακεραίων αριθμών div υπόλοιπο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός»)

Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός») Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός») Ηλικίες: Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Χρόνος: Μέγεθος ομάδας: 8 ενήλικες Καμία 50-60 λεπτά από 1 άτομο και πάνω Εστίαση Γράφοι, Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ - ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΕΜΠΟΡΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2014-2015. Διαδικασία Κατάρτησης Επιχειρηματικού Σχεδίου

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ - ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΕΜΠΟΡΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2014-2015. Διαδικασία Κατάρτησης Επιχειρηματικού Σχεδίου ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ - ΜΕΣΟΛΟΓΓΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΕΜΠΟΡΙΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2014-2015 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚO ΜΕΡΟΣ B Eπιχειρηματικό Σχέδιο και Σχεδίαση 1 ης Σελίδας Σκοπός: σκοπός του Β εργαστηριακού

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας

Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Παράδειγμα σχεδιασμού και παρουσίασης μικροδιδασκαλίας Στο τρίτο άρθρο αυτής της σειράς, η οποία αποτελεί μια πρώτη, μικρή απάντηση στις ανάγκες των εκπαιδευτών του σεμιναρίου της 12 ης & 13 ης Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

O πύραυλος. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου

O πύραυλος. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου O πύραυλος Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί Στόχοι Οι

Διαβάστε περισσότερα

10 Ν 100 εκ (1 μέτρο) Άγνωστο Ψ (N) 20 εκ (0.2 Μ)

10 Ν 100 εκ (1 μέτρο) Άγνωστο Ψ (N) 20 εκ (0.2 Μ) Τεχνολογία A τάξης Λυκείου Μάθημα 20 ον - Μηχανισμοί Φύλλο εργασίας Μοχλοί σελίδες Dan-78-87 Collins 167-208 1. Ο άνθρωπος όταν πρωτοεμφανίστηκε στην γη ανακάλυψε πολύ σύντομα την χρήση του μοχλού για

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο οδηγιών. Θερμοστάτης 02905 Εγχειρίδιο χρήστη

Εγχειρίδιο οδηγιών. Θερμοστάτης 02905 Εγχειρίδιο χρήστη Εγχειρίδιο οδηγιών Θερμοστάτης 02905 Εγχειρίδιο χρήστη Περιεχόμενα 1. Θερμοστάτης 02905 2 2. Τοποθέτηση/Αντικατάσταση μπαταριών τροφοδοσίας 2 3. Οθόνη 3 3.1 Λειτουργίες πλήκτρων 4 3.2 Σύμβολα 4 3.3 Ecometer

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής

Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Μαθηματικά της Φύσης και της Ζωής Τάξη:Ε Ονοματεπώνυμο:.. Σχολείο: Το ημερολόγιο Ο Πέτρος ζήτησε από το φίλο του Χρήστο να διαλέξει 4 αριθμούς από το διπλανό ημερολόγιο που να σχηματίζουν τετράγωνο (για

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Η ΔΙΟΔΟΣ ΩΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ

Άσκηση 3 Η ΔΙΟΔΟΣ ΩΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ Άσκηση 3 Η ΔΙΟΔΟΣ ΩΣ ΗΜΙΑΓΩΓΟΣ Αυτό έργο χορηγείται με άδεια Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike Greece 3.0. Ονοματεπώνυμο: Μητρόπουλος Σπύρος Α.Ε.Μ.: 3215 Εξάμηνο: Β' Σκοπός της εργαστηριακής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η.

Κεφάλαιο 3. Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης. Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση. Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Κεφάλαιο 3 Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Τεχνητή Νοηµοσύνη - Β' Έκδοση Ι. Βλαχάβας, Π. Κεφαλάς, Ν. Βασιλειάδης, Φ. Κόκκορας, Η. Σακελλαρίου Αλγόριθµοι Τυφλής Αναζήτησης Οι αλγόριθµοι τυφλής αναζήτησης (blind

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 ΤΑ ΚΟΥΜΠΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΜΠΛΟΚ... 6 ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΟΥΣ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ... 9 ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑ...

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 ΤΑ ΚΟΥΜΠΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΜΠΛΟΚ... 6 ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΟΥΣ ΚΙΝΗΤΗΡΕΣ... 9 ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΚΙΝΗΤΗΡΑ... ΒΑΣΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 4 Η ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΟΘΟΝΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ... 4 Ο ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΣ ΡΟΜΠΟΤ... 5 ΤΟ ΠΑΡΑΘΥΡΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ... 5 ΤΑ ΚΟΥΜΠΙΑ ΚΑΙ ΤΑ ΜΠΛΟΚ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης

Κεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

Ksyla.gr Σύντομη περιγραφή λειτουργίας

Ksyla.gr Σύντομη περιγραφή λειτουργίας Οδηγός Εφαρμογής Ksyla.gr Σύντομη περιγραφή λειτουργίας Το ksyla.gr είναι μια κοινότητα αγοραπωλησίας καύσιμου ξύλου σε οποιαδήποτε μορφή (καυσόξυλα, πέλλετ, μπρικέτες, κάρβουνα) καθώς επίσης και ειδών

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο Εργασίας: Βασικά Σχήματα σχεδίαση βασικών σχημάτων χειρισμός σχημάτων διάταξη λογικές πράξεις με μονοπάτια γέμισμα και πινελιά

Φύλλο Εργασίας: Βασικά Σχήματα σχεδίαση βασικών σχημάτων χειρισμός σχημάτων διάταξη λογικές πράξεις με μονοπάτια γέμισμα και πινελιά Φύλλο Εργασίας: Βασικά Σχήματα σχεδίαση βασικών σχημάτων χειρισμός σχημάτων διάταξη λογικές πράξεις με μονοπάτια γέμισμα και πινελιά σύννεφο διπλασιάστε τον κύκλο (Ctrl-D) επαναλάβετε τους διπλασιασμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς

ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 2007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ Πανεπιστήµιο Αθηνών Εαρινό Εξάµηνο 007 ιδάσκων : Ηλίας Κουτσουπιάς Μάθηµα : Overview Of The Algorithmic Game Theory Ηµεροµηνία : 007/04/19 Σηµειώσεις : Ελενα Χατζηγιωργάκη,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΑΙΚΕ ΕΝΝΟΙΕ ΑΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΩΤΟΥ ΑΘΟΥ 1. ηµειώστε το γράµµα αν η πρόταση είναι σωστή και το γράµµα αν είναι λάθος. 1. Ο αλγόριθµος πρέπει να τερµατίζεται µετά από εκτέλεση πεπερασµένου

Διαβάστε περισσότερα

Εγχειρίδιο Χρήσης του λογισμικού. Μελέτη Περιβάλλοντος Α & Β Δημοτικού

Εγχειρίδιο Χρήσης του λογισμικού. Μελέτη Περιβάλλοντος Α & Β Δημοτικού Εγχειρίδιο Χρήσης του λογισμικού Μελέτη Περιβάλλοντος Α & Β Δημοτικού Μελέτη Περιβάλλοντος Α & Β Δημοτικού Εγχειρίδιο Χρήσης του λογισμικού ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μελέτη Περιβάλλοντος...2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ...3

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Θεωρία - Μέθοδοι Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση Επιλεγμένα θέματα «Σας εύχομαι, καλό κουράγιο και μεγάλη δύναμη

Διαβάστε περισσότερα

Άριστες κατά Pareto Κατανομές

Άριστες κατά Pareto Κατανομές Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 η ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΓΥΜΝΑΣΙΑ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2 1. Ο Άρης έφαγε 5 μιας σοκολάτας και ο Φίλιππος έφαγε 1 10 σοκολάτας περισσότερο από τον Άρη. Τι μέρος της σοκολάτας έμεινε;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΔΙΟΥ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ. χαρτονένια κομμάτια 1 ταμπλό 2 ταμπλό αγροκτήματος (ένα για κάθε παίκτη)

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΔΙΟΥ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ. χαρτονένια κομμάτια 1 ταμπλό 2 ταμπλό αγροκτήματος (ένα για κάθε παίκτη) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΠΑΙΧΝΔΙΟΥ του Uwe Rosenberg για 2 παίκτες ηλικίας 13 και άνω ΠΕΡΙΛΗΨΗ Παίρνετε τους ρόλους αγροτών και εκτρέφετε πρόβατα, γουρούνια αγελάδες και άλογα. Τρείς εργάτες σας βοηθούν στις εργασίες

Διαβάστε περισσότερα

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc

Mh apofasisimèc gl ssec. A. K. Kapìrhc Mh apofasisimèc gl ssec A. K. Kapìrhc 15 Maòou 2009 2 Perieqìmena 1 Μη αποφασίσιμες γλώσσες 5 1.1 Ανάγω το πρόβλημα A στο B................................. 5 1.2 Αναγωγές μη επιλυσιμότητας..................................

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

7ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ AAAABBBBAAAAABBBBBBCCCCCCCCCCCCCCBBABAAAABBBBBBCCCCD

7ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ AAAABBBBAAAAABBBBBBCCCCCCCCCCCCCCBBABAAAABBBBBBCCCCD ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010 11 Ιστοσελίδα μαθήματος: http://eclass.teilam.gr/di288 1 Συμπίεση

Διαβάστε περισσότερα

Εθνική Σχολή Δημόσιας Υγείας Υγειονομική Σχολή Αθηνών 1929-1994. Οδηγός Υποβολής

Εθνική Σχολή Δημόσιας Υγείας Υγειονομική Σχολή Αθηνών 1929-1994. Οδηγός Υποβολής Εθνική Σχολή Δημόσιας Υγείας Υγειονομική Σχολή Αθηνών 1929-1994 Οδηγός Υποβολής Ηλεκτρονική Υποβολή Αιτήσεων για τo Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΥΓΕΙΑΣ (μερικής φοίτησης) Διετούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Περιεχόμενα. Μέσα στο Κουτί. Εισαγωγή... 2. Στόχος... 2. Μέσα στο Κουτί... 2. Οι Κάρτες... 3. Περιγραφή των Καρτών... 3. Επιβίβαση!...

Εισαγωγή. Περιεχόμενα. Μέσα στο Κουτί. Εισαγωγή... 2. Στόχος... 2. Μέσα στο Κουτί... 2. Οι Κάρτες... 3. Περιγραφή των Καρτών... 3. Επιβίβαση!... Αριθμός Παικτών: 2-4 Χρόνος Παιχνιδιού: 45 λεπτά Ηλικίες: 12 και άνω Περιεχόμενα Εισαγωγή................................... 2 Στόχος..................................... 2 Μέσα στο Κουτί...............................

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Νίκος Μιχαηλίδης, Πληροφορικός ΠΕ19 ΣΧΟΛΕΙΟ 2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη, 24 Φεβρουαρίου 2015 1. Συνοπτική περιγραφή της

Διαβάστε περισσότερα

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών

Ε ανάληψη. Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών. ορισµός και χαρακτηριστικά Ε ίλυση ροβληµάτων ικανο οίησης εριορισµών ΠΛΗ 405 Τεχνητή Νοηµοσύνη Αναζήτηση µε Αντι αλότητα Adversarial Search Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υ ολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης Ε ανάληψη Προβλήµατα ικανο οίησης εριορισµών ορισµός και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές.

ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. ΑΣΚΗΣΗ 1 Βρείτε την ισορροπία των ακόλουθων παιγνίων απαλείφοντας διαδοχικά τις κυριαρχούµενες στρατηγικές. Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β 2 Β 3 1, -1 0, 0-1, 0 0, 0 0, 6 10, -1 2, 0 10, -1-1, -1 Α 1 Α 2 Α 3 Β 1 Β

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου

Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 7 Άσκηση επανάληψης Καθολική σχεδίαση δικτύου 1 Σχεδίαση συστήματος Η εταιρία μας θέλει να καλύψει με κυψελωτό σύστημα τηλεφωνίας μία πόλη επιφάνειας 20000 km 2 (συχνότητα

Διαβάστε περισσότερα

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών

Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών Δυνάμεις Φυσικών Αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Δυνάμεις φυσικών αριθμών Δύναμη ονομάζουμε το γινόμενο πολλών ίσων παραγόντων Πχ: 8 8= 64, 4 4 4= 64, 3 3 3 3= 81. Έτσι, το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ (2ος Κύκλος) ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ Ηµεροµηνία: Κυριακή 22 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΥΠΟΒΟΛΗΣ ΜΗΧΑΝΟΓΡΑΦΙΚΟΥ ΔΕΛΤΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΧΡΗΣΗΣ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ ΕΠΑΛ Α Έκδοση 1.0, Ιούνιος 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΛΙΣΤΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα