Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Transcript

1 Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη

2 Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 0/2 0/6 / /7 Ροή δικτύου Συνάρτηση 7/ με τις ακόλουθες ιδιότητες 7/ / Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Π.χ.

3 Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 0/2 0/6 / /7 Ροή δικτύου Συνάρτηση 7/ με τις ακόλουθες ιδιότητες 7/ / Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Π.χ.

4 Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 0/2 0/6 / /7 Ροή δικτύου Συνάρτηση 7/ με τις ακόλουθες ιδιότητες 7/ / Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Τιμή ροής: Π.χ.

5 Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 0/2 0/6 / /7 Ροή δικτύου Συνάρτηση 7/ με τις ακόλουθες ιδιότητες 7/ / Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Τιμή ροής: Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Π.χ.

6 Σημαντικό πεδίο έρευνας, πολλές εφαρμογές

7 Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Τιμή ροής: Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Ολική θετική εισροή: Ολική θετική εκροή: Ολική καθαρή ροή:

8 Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Τιμή ροής: Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Ολική θετική εισροή: Ολική θετική εκροή: Ολική καθαρή ροή: λόγω διατήρησης της ροής

9 Παρατήρηση Το μοντέλο της ροής δικτύου που χρησιμοποιούμε δεν επιτρέπει την καταστάσεις σαν την ακόλουθη Παραβιάζει την αντισυμμετρία

10 Πολλαπλοί αφετηριακοί και τερματικοί κόμβοι

11 Έστω σύνολα και Ορίζουμε Άρα Λήμμα Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες. Για κάθε 2. Για κάθε. Για κάθε τέτοια ώστε και

12 Λήμμα Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες. Για κάθε 2. Για κάθε. Για κάθε τέτοια ώστε και Πόρισμα (από την, ) (από την, ) (από την 2) (από την ) (από διατήρηση ροής )

13 Μέθοδος Ford-Fulkerson Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή 0/2 0/6 /20. θέτουμε τη ροή ίση με 0 2. ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή 7/ 0 9 7/ /7 /. αυξάνουμε τη ροή κατά μήκος της

14 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα /8 /8 6 Υπολειπόμενο δίκτυο όπου

15 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα /8 /8 6 Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 2/2 2 2/6 7/ 0 2/9 9/ /7 /20 /

16 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 2/2 2 2/6 7/ 0 2/9 9/ /7 /20 / Έστω οι ακμές του με ανεστραμμένη φορά Τότε

17 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 2/2 2 2/6 7/ 0 2/9 9/ /7 /20 / Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή

18 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο Αντισυμμετρία

19 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο Χωρητικότητα Ισχύει άρα

20 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο Διατήρηση ροής Για κάθε κόμβο έχουμε Επειδή και είναι ροές και έχουμε

21 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Τιμή της ροής

22 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 2/2 2 2/6 7/ 0 2/9 9/ /7 /20 / Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή Υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής : Π.χ. και

23 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 2/2 2 2/6 7/ 0 9/ 2/9 /7 Υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής /20 / Η συνάρτηση όπου αποτελεί ροή στο Επομένως η συνάρτηση αποτελεί ροή στο και

24 Τομές δικτύων ροής Δίκτυο ροής Τομή διαμέριση του συνόλου των κόμβων και έτσι ώστε και Καθαρή ροή δια μέσου της τομής 2/2 2/6 /20 Χωρητικότητα της τομής 0 2/9 /7 7/ 9/ / Ισχύει Π.χ.

25 Τομές δικτύων ροής Δίκτυο ροής Τομή διαμέριση του συνόλου των κόμβων και έτσι ώστε και Καθαρή ροή δια μέσου της τομής : Χωρητικότητα της τομής : Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του. Τότε

26 Τομές δικτύων ροής Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του. Τότε Απόδειξη 2/2 Έχουμε 2/6 /20 0 2/9 /7 Όμως 7/ 9/ / Άρα

27 Τομές δικτύων ροής Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του. Τότε Απόδειξη 2/2 Έχουμε 2/6 /20 0 2/9 /7 Όμως 7/ 9/ / Άρα Επιπλέον

28 Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε 2/2 2 2/ /7 9/ / / / 2

29 Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε Απόδειξη Έστω ότι η είναι μέγιστη ροή αλλά το περιλαμβάνει αυξητική διαδρομή. Επομένως υπάρχει στο ροή και όπως έχουμε δείξει το άθροισμα αποτελεί ροή στο με τιμή Αυτό όμως αντιβαίνει το γεγονός ότι η είναι μέγιστη ροή.

30 Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε Απόδειξη Υποθέτουμε τώρα πως δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο Θέτουμε το ως το σύνολο των κόμβων που είναι προσβάσιμοι από το στο και. Προφανώς και άρα το είναι μία τομή του Έστω οποιοιδήποτε κόμβοι και. Πρέπει να ισχύει έτσι ώστε γιατί διαφορετικά το περιέχει μονοπάτι από το στο Άρα

31 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή

32 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 0/2 2 0/6 0/ /0 0/ 0/9 0/ / 0/ 0/ δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

33 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 0/2 2 0/6 0/ /0 0/ 0/9 0/ / 0/ 0/ δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

34 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 2 /6 0/ /0 0/ /9 0/ / / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

35 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/ 0/0 0/ /9 0/7 0/20 / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

36 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/ 0/0 0/ /9 0/7 0/20 / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 7

37 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/ 7/0 0/ /9 7/7 7/20 / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 7

38 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/ 7/0 0/ /9 7/7 7/20 / 7 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

39 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/ 7/0 0/ /9 7/7 7/20 / 7 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 8

40 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 2/2 8 /6 8/ 0/0 / /9 7/7 /20 / 7 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 8

41 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 8/ 0/0 / /9 7/7 /20 / 8 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

42 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 8/ 0/0 / /9 7/7 /20 / 8 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

43 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 2/ 0/0 / 0/9 7/7 9/20 / 8 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

44 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 2/ 0/0 / 0/9 7/7 9/20 / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή

45 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής.

46 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή χρόνος για την εύρεση και επεξεργασία της αυξητικής διαδρομής Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής.

47 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο αύξηση της ροής κατά μονάδα για κάθε ακμή χρόνος για την εύρεση και επεξεργασία της αυξητικής διαδρομής Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής.

48 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 0/000 0/ / 0/000 0/ δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

49 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 0/000 0/ / 0/000 0/ δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

50 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 0/ / 0/000 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

51 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 0/000 / 0/ / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

52 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 0/000 / 0/ / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

53 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 /000 0/ / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

54 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 /000 0/ / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

55 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 /000 0/ / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

56 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 2/000 /000 / / / δίκτυο κ.ο.κ. υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

57 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο βραχύτατη αυξητική διαδρομή Με αυτήν την τροποποίηση ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται για κάθε ακμή

58 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο βραχύτατη αυξητική διαδρομή για κάθε ακμή Με αυτήν την τροποποίηση ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται μήκος βραχύτατης διαδρομής από το μέχρι το στο Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής.

59 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι για κάποιο το μήκος μειώνεται μετά από μία πράξη αύξησης ροής. Έστω η ροή πριν την πράξη αύξησης και η ροή μετά την πράξη αύξησης Επιλέγουμε ως τέτοιον ώστε τον κόμβο με την ελάχιστη τιμή Έστω μια βραχύτατη διαδρομή στο από το στο Έχουμε και Αν τότε Αντιβαίνει την υπόθεση

60 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι για κάποιο το μήκος μειώνεται μετά από μία πράξη αύξησης ροής. Έστω η ροή πριν την πράξη αύξησης και η ροή μετά την πράξη αύξησης Επιλέγουμε ως τέτοιον ώστε τον κόμβο με την ελάχιστη τιμή Έστω μια βραχύτατη διαδρομή στο από το στο Έχουμε και Άρα και η ροή από το στο αυξήθηκε η βραχύτατη διαδρομή από μέχρι το στο να ήταν επομένως ΑΤΟΠΟ

61 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι. Απόδειξη κρίσιμη ακμή αυξητικής διαδρομής

62 Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι. Απόδειξη κρίσιμη ακμή αυξητικής διαδρομής οι κρίσιμες ακμές εξαλείφονται από το υπολειπόμενο δίκτυο μετά την αύξηση ροής

63 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι μια ακμή μπορεί να καταστεί κρίσιμη φορές Όταν η γίνει κρίσιμη τότε Μετά την πράξη αύξησης η να αυξηθεί η ροή από το στο εξαλείφεται. Για να γίνει ξανά κρίσιμη πρέπει Επειδή έχουμε Ο ισχυρισμός μας συνεπάγεται από το ότι γίνει κρίσιμη. αν η

64 Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή 2/ / / / 2/

65 Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή 2/ / / / 2/ Η ροή δεν μπορεί να αυξηθεί μέσω μονοπατιών του τότε μπορεί να αυξηθεί μέσω μονοπατιών του ) (αν δεν είναι μέγιστη

66 Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή Επίπεδο μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο 2 () (0) () 2 Γράφημα επιπέδων Περιέχει τις ακμές για τις οποίες ισχύει (2) (2) ()

67 Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή Επίπεδο μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο 2 (0) / / () () / 2/2 / (2) (2) / / () Γράφημα επιπέδων Περιέχει τις ακμές για τις οποίες ισχύει Παρατήρηση: Το είναι άκυκλο ροή εμποδισμού του

68 Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή Επίπεδο μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο Γράφημα επιπέδων Περιέχει τις ακμές Παρατήρηση: Το είναι άκυκλο για τις οποίες ισχύει ροή εμποδισμού του Αλγόριθμος Αρχικά. Επαναλαμβάνει το παρακάτω βήμα μέχρι ο να μην ανήκει στο : Βήμα εμποδισμού: Βρες ροή εμποδισμού στο. Η ροή του γίνεται

69 Ο αλγόριθμος του Dinic (0) 2 2 / / () () / 2/2 / (2) (2) / / ()

70 Ο αλγόριθμος του Dinic (0) / / (2) () / 2/2 / / / () (2) ()

71 Ο αλγόριθμος του Dinic (0) / / (2) / / () / 2/2 / 2 2 /2 / / () / (2) ()

72 Ο αλγόριθμος του Dinic (0) / 2/ / 2 2 () 2 () 2/ 2/2 / / / 2 2 () 2 (2) ()

73 Ο αλγόριθμος του Dinic (0) / / / / /2 2/ / / 2 () ( ) ( ) () (2)

74 Ο αλγόριθμος του Dinic Λήμμα Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού Δείχνουμε ότι το επίπεδο του αυξάνει σε κάθε βήμα. Αφού για όλους του κόμβους τότε μπορούμε να έχουμε το πολύ βήματα Έστω και η συνάρτηση και το γράφημα επιπέδων αντίστοιχα μετά από ένα βήμα εμποδισμού. Έστω το υπολειπόμενο δίκτυο μετά το βήμα. Για κάθε ακμή ισχύει Για κάθε ακμή ισχύει ή άρα Αυτό συνεπάγεται ότι

75 Ο αλγόριθμος του Dinic Λήμμα Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού Δείχνουμε ότι το επίπεδο του αυξάνει σε κάθε βήμα. Αφού για όλους του κόμβους τότε μπορούμε να έχουμε το πολύ βήματα Έστω οποιαδήποτε συντομότερη διαδρομή του από το στο Για κάθε έχουμε άρα Όμως η είναι ροή εμποδισμού άρα τουλάχιστον μια ακμή είναι κορεσμένη και επομένως Άρα

76 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) () 2 () (2) (2) ()

77 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) () 2 () (2) (2) ()

78 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 2/ () 2/2 () (2) (2) 2/ ()

79 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 2/ () 2/2 () (2) (2) 2/ ()

80 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) / () / 2/2 () (2) (2) / 2/ ()

81 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) / () / 2/2 () (2) (2) / 2/ ()

82 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) / () / 2/2 () (2) (2) / 2/ ()

83 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) / / () / 2/2 / () (2) (2) / / ()

84 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) / / () / 2/2 / () (2) (2) / / ()

85 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Η εύρεση του μονοπατιού από τις παρακάτω ρουτίνες: αρχικοποίηση: μπορεί να γίνει με καθοδική διερεύνηση, που υλοποιείται. Πήγαινε στη ρουτίνα πρόοδος. πρόοδος: Aν δεν υπάρχει εξερχόμενη ακμή πήγαινε στη ρουτίνα υποχώρηση. Διαφορετικά.. Αν επανάλαβε τη ρουτίνα πρόοδος. Αν πήγαινε στη ρουτίνα επαύξηση. επαύξηση:.. Πρόσθεσε μονάδες ροής σε κάθε ακμή του, σβήσε τις κορεσμένες ακμές και πήγαινε στη ρουτίνα αρχικοποίηση. υποχώρηση: Αν τερμάτισε. Διαφορετικά έστω η τελευταία ακμή του. Σβήσε τη από το και το από το. Κάνε και πήγαινε στη ρουτίνα πρόοδος.

86 Ο αλγόριθμος του Dinic Η προηγούμενη ρουτίνα βρίσκει μια ροή εμποδισμού σε χρόνο Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού Επομένως ο χρόνος εκτέλεσης είναι Με δυναμικά δένδρα ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται

87 σε επίπεδα γραφήματα Επίσης έχουν σχεδιαστεί αλγόριθμοι που επιτυγχάνουν χρόνο [G. Borradaile and P. Klein, J. ACM 6(2), 2009], [J. Erickson, SODA 200]

88 σε επίπεδα γραφήματα Θα περιγράψουμε τον αλγόριθμο των Hassin και Itai-Shiloach για την εύρεση της μέγιστης ροής σε ένα st-επίπεδο γράφημα G, όπου ο αφετηριακός κόμβος s και ο τερματικός κόμβος t βρίσκονται στην εξωτερική όψη. 2 s t Για απλότητα θα θεωρήσουμε ότι το G είναι μη κατευθυνόμενο. (Ο αλγόριθμος μπορεί να εφαρμοστεί και σε κατευθυνόμενα γραφήματα με κατάλληλο ορισμό του δυϊκού γραφήματος.)

89 σε επίπεδα γραφήματα Έστω e μια ακμή ενός κατευθυνόμενου επίπεδου γραφήματος, η οποία βρίσκεται μεταξύ των όψεων f α και f δ, όπου η f α βρίσκεται στα αριστερά της e ως προς την κατεύθυνση της e και η f δ βρίσκεται στα δεξιά της e. Τότε η αντίστοιχη δυική ακμή έχει κατεύθυνση από τον κόμβο που αντιστοιχεί στην όψη f δ προς τον κόμβο που αντιστοιχεί στην όψη f α. f α f δ f δ f α e* e* e e

90 σε επίπεδα γραφήματα Ο αλγόριθμος βασίζεται στην παρατήρηση ότι ο υπολογισμός της μέγιστης ροής σε ένα st-επίπεδο γράφημα G αντιστοιχεί στην εύρεση συντομότερων μονοπατιών στο δυϊκό γράφημα G*. Αναθέτουμε στη δυϊκή ακμή e* που αντιστοιχεί στην ακμή e, μήκος, όπου c(e) η χωρητικότητα της e. c Οι συντομότερες διαδρομές από έναν αφετηριακό κόμβο προς όλους τους άλλους κόμβους σε ένα επίπεδο γράφημα μπορούν να υπολογιστούν σε O(n) χρόνο [M. Henzinger, P. Klein, S. Rao, and S. Subramanian, JCSS (), 997].

91 σε επίπεδα γραφήματα Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών Ξεκινάμε με το st-επίπεδο γράφημα G και εκτελούμε τα παρακάτω βήματα: Εισαγάγουμε μια ψεύτικη ακμή (s,t) πάνω από το G. Κατασκευάζουμε το δυϊκό γράφημα G*, το οποίο περιλαμβάνει δύο κόμβους s* και t*, όπου ο s* βρίσκεται πάνω από το αρχικό γράφημα και κάτω από την ακμή (s,t), ενώ ο t* βρίσκεται κάτω από το G. Τέλος, διαγράφουμε την ακμή (s*,t*) από το G*. Υπολογίζουμε τις συντομότερες διαδρομές στο G* από τον s* προς τον t*. Έστω d(t*) το μήκος αυτής της διαδρομής. Τότε η μέγιστη ροή στο G έχει τιμή d(t*).

92 σε επίπεδα γραφήματα 2 s t

93 σε επίπεδα γραφήματα 2 s t

94 σε επίπεδα γραφήματα s* 2 s t t*

95 σε επίπεδα γραφήματα s* 2 s t t*

96 σε επίπεδα γραφήματα s* 2 s t t*

97 σε επίπεδα γραφήματα Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών Έστω d(j*) το μήκος της ελαφρύτατης διαδρομής από τον s* στον v* για κάθε κόμβο v* του G*. Έστω (u*, v*) μια ακμή του G*που αντιστοιχεί στην (u,v) του G, όπου. Αναθέτουμε στην (u,v) ροή από τον u στον v.

98 σε επίπεδα γραφήματα s* 2/2 / 2/ (2) / () / (6) 6/6 s / () 0/7 () / /7 / (9) 2/2 t / (7) t*

99 σε επίπεδα γραφήματα Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών Έστω d(j*) το μήκος της ελαφρύτατης διαδρομής από τον s* στον v* για κάθε κόμβο v* του G*. Έστω (u*, v*) μια ακμή του G*που αντιστοιχεί στην (u,v) του G, όπου. Αναθέτουμε στην (u,v) ροή από τον u στον v. Για κάθε ακμή (u*,v*) ισχύει : Επιπλέον αν η (u*,v*) είναι ακμή συντομότερης διαδρομής από τον s* στον v* τότε η (u,v) είναι κορεσμένη αφού θα έχουμε Άρα ικανοποιείται ο περιορισμός χωρητικότητας. Απομένει να δείξουμε ότι ικανοποιείται η διατήρηση ροής. (Η αντισυμμετρία ικανοποιείται εξ ορισμού.)

100 σε επίπεδα γραφήματα Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών Έστω d(j*) το μήκος της ελαφρύτατης διαδρομής από τον s* στον v* για κάθε κόμβο v* του G*. Έστω (u*, v*) μια ακμή του G*που αντιστοιχεί στην (u,v) του G, όπου. Αναθέτουμε στην (u,v) ροή από τον u στον v. Θεωρούμε ένα κόμβο v και τις ακμές που προσπίπτουν σε αυτόν. Οι δυικές ακμές ορίζουν ένα κύκλο γύρω από τον v όπου 2/ () 0/7 (2) v / () () / Άρα ικανοποιείται και η διατήρηση ροής.