Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες"

Transcript

1 Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη

2 Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 0/2 0/6 / /7 Ροή δικτύου Συνάρτηση 7/ με τις ακόλουθες ιδιότητες 7/ / Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Π.χ.

3 Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 0/2 0/6 / /7 Ροή δικτύου Συνάρτηση 7/ με τις ακόλουθες ιδιότητες 7/ / Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Π.χ.

4 Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 0/2 0/6 / /7 Ροή δικτύου Συνάρτηση 7/ με τις ακόλουθες ιδιότητες 7/ / Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Τιμή ροής: Π.χ.

5 Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 0/2 0/6 / /7 Ροή δικτύου Συνάρτηση 7/ με τις ακόλουθες ιδιότητες 7/ / Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Τιμή ροής: Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Π.χ.

6 Σημαντικό πεδίο έρευνας, πολλές εφαρμογές

7 Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Τιμή ροής: Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Ολική θετική εισροή: Ολική θετική εκροή: Ολική καθαρή ροή:

8 Ροή δικτύου Συνάρτηση με τις ακόλουθες ιδιότητες Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής: για όλα τα ζεύγη για κάθε για όλα τα ζεύγη Τιμή ροής: Θέλουμε να βρούμε μια ροή με μέγιστη τιμή Ολική θετική εισροή: Ολική θετική εκροή: Ολική καθαρή ροή: λόγω διατήρησης της ροής

9 Παρατήρηση Το μοντέλο της ροής δικτύου που χρησιμοποιούμε δεν επιτρέπει την καταστάσεις σαν την ακόλουθη Παραβιάζει την αντισυμμετρία

10 Πολλαπλοί αφετηριακοί και τερματικοί κόμβοι

11 Έστω σύνολα και Ορίζουμε Άρα Λήμμα Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες. Για κάθε 2. Για κάθε. Για κάθε τέτοια ώστε και

12 Λήμμα Ισχύουν οι ακόλουθες ισότητες. Για κάθε 2. Για κάθε. Για κάθε τέτοια ώστε και Πόρισμα (από την, ) (από την, ) (από την 2) (από την ) (από διατήρηση ροής )

13 Μέθοδος Ford-Fulkerson Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή 0/2 0/6 /20. θέτουμε τη ροή ίση με 0 2. ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή 7/ 0 9 7/ /7 /. αυξάνουμε τη ροή κατά μήκος της

14 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα /8 /8 6 Υπολειπόμενο δίκτυο όπου

15 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα /8 /8 6 Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 2/2 2 2/6 7/ 0 2/9 9/ /7 /20 /

16 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 2/2 2 2/6 7/ 0 2/9 9/ /7 /20 / Έστω οι ακμές του με ανεστραμμένη φορά Τότε

17 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 2/2 2 2/6 7/ 0 2/9 9/ /7 /20 / Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή

18 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο Αντισυμμετρία

19 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο Χωρητικότητα Ισχύει άρα

20 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Πρώτα θα δείξουμε οτι το άθροισμα είναι ροή στο Διατήρηση ροής Για κάθε κόμβο έχουμε Επειδή και είναι ροές και έχουμε

21 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου Άθροισμα ροών Λήμμα Έστω μία ροή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Τότε το άθροισμα είναι ροή στο με τιμή Απόδειξη Τιμή της ροής

22 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 2/2 2 2/6 7/ 0 2/9 9/ /7 /20 / Αυξητική διαδρομή: διαδρομή από το στο που μπορεί να δεχθεί επιπλέον ροή Υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής : Π.χ. και

23 Μέθοδος Ford-Fulkerson Υπολειπόμενη χωρητικότητα Υπολειπόμενο δίκτυο όπου 2/2 2 2/6 7/ 0 9/ 2/9 /7 Υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής /20 / Η συνάρτηση όπου αποτελεί ροή στο Επομένως η συνάρτηση αποτελεί ροή στο και

24 Τομές δικτύων ροής Δίκτυο ροής Τομή διαμέριση του συνόλου των κόμβων και έτσι ώστε και Καθαρή ροή δια μέσου της τομής 2/2 2/6 /20 Χωρητικότητα της τομής 0 2/9 /7 7/ 9/ / Ισχύει Π.χ.

25 Τομές δικτύων ροής Δίκτυο ροής Τομή διαμέριση του συνόλου των κόμβων και έτσι ώστε και Καθαρή ροή δια μέσου της τομής : Χωρητικότητα της τομής : Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του. Τότε

26 Τομές δικτύων ροής Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του. Τότε Απόδειξη 2/2 Έχουμε 2/6 /20 0 2/9 /7 Όμως 7/ 9/ / Άρα

27 Τομές δικτύων ροής Λήμμα Έστω μια ροή στο και μία τομή του. Τότε Απόδειξη 2/2 Έχουμε 2/6 /20 0 2/9 /7 Όμως 7/ 9/ / Άρα Επιπλέον

28 Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε 2/2 2 2/ /7 9/ / / / 2

29 Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε Απόδειξη Έστω ότι η είναι μέγιστη ροή αλλά το περιλαμβάνει αυξητική διαδρομή. Επομένως υπάρχει στο ροή και όπως έχουμε δείξει το άθροισμα αποτελεί ροή στο με τιμή Αυτό όμως αντιβαίνει το γεγονός ότι η είναι μέγιστη ροή.

30 Τομές δικτύων ροής Θεώρημα Οι ακόλουθες συνθήκες είναι ισοδύναμες. Η είναι μια μέγιστη ροή στο 2. Δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο υπολειπόμενο δίκτυο. Υπάρχει τομή του τέτοια ώστε Απόδειξη Υποθέτουμε τώρα πως δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή στο Θέτουμε το ως το σύνολο των κόμβων που είναι προσβάσιμοι από το στο και. Προφανώς και άρα το είναι μία τομή του Έστω οποιοιδήποτε κόμβοι και. Πρέπει να ισχύει έτσι ώστε γιατί διαφορετικά το περιέχει μονοπάτι από το στο Άρα

31 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή

32 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 0/2 2 0/6 0/ /0 0/ 0/9 0/ / 0/ 0/ δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

33 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 0/2 2 0/6 0/ /0 0/ 0/9 0/ / 0/ 0/ δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

34 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 2 /6 0/ /0 0/ /9 0/ / / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

35 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/ 0/0 0/ /9 0/7 0/20 / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

36 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/ 0/0 0/ /9 0/7 0/20 / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 7

37 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/ 7/0 0/ /9 7/7 7/20 / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 7

38 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/ 7/0 0/ /9 7/7 7/20 / 7 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

39 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson /2 8 /6 0/ 7/0 0/ /9 7/7 7/20 / 7 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 8

40 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 2/2 8 /6 8/ 0/0 / /9 7/7 /20 / 7 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής = 8

41 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 8/ 0/0 / /9 7/7 /20 / 8 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

42 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 8/ 0/0 / /9 7/7 /20 / 8 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

43 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 2/ 0/0 / 0/9 7/7 9/20 / 8 7 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

44 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson 2/2 2 /6 2/ 0/0 / 0/9 7/7 9/20 / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο δεν υπάρχει αυξητική διαδρομή

45 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής.

46 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο για κάθε ακμή χρόνος για την εύρεση και επεξεργασία της αυξητικής διαδρομής Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής.

47 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο αύξηση της ροής κατά μονάδα για κάθε ακμή χρόνος για την εύρεση και επεξεργασία της αυξητικής διαδρομής Ανάλυση: Υποθέτουμε ακέραιες χωρητικότητες. Τότε ο χρόνος εκτέλεσης είναι όπου η τιμή της μέγιστης ροής.

48 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 0/000 0/ / 0/000 0/ δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

49 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 0/000 0/ / 0/000 0/ δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

50 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 0/ / 0/000 / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

51 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 0/000 / 0/ / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

52 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 0/000 / 0/ / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

53 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 /000 0/ / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

54 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 /000 0/ / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο

55 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση /000 /000 0/ / / δίκτυο υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

56 Ο βασικός αλγόριθμος των Ford-Fulkerson Μια κακή περίπτωση 2/000 /000 / / / δίκτυο κ.ο.κ. υπολειπόμενο δίκτυο υπολειπόμενη χωρητικότητα αυξητικής διαδρομής =

57 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο βραχύτατη αυξητική διαδρομή Με αυτήν την τροποποίηση ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται για κάθε ακμή

58 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp για κάθε ακμή ενόσω υπάρχει αυξητική διαδρομή στο βραχύτατη αυξητική διαδρομή για κάθε ακμή Με αυτήν την τροποποίηση ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται μήκος βραχύτατης διαδρομής από το μέχρι το στο Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής.

59 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι για κάποιο το μήκος μειώνεται μετά από μία πράξη αύξησης ροής. Έστω η ροή πριν την πράξη αύξησης και η ροή μετά την πράξη αύξησης Επιλέγουμε ως τέτοιον ώστε τον κόμβο με την ελάχιστη τιμή Έστω μια βραχύτατη διαδρομή στο από το στο Έχουμε και Αν τότε Αντιβαίνει την υπόθεση

60 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Λήμμα Για κάθε κόμβο το μήκος αυξάνεται μονότονα με κάθε αύξηση της ροής. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι για κάποιο το μήκος μειώνεται μετά από μία πράξη αύξησης ροής. Έστω η ροή πριν την πράξη αύξησης και η ροή μετά την πράξη αύξησης Επιλέγουμε ως τέτοιον ώστε τον κόμβο με την ελάχιστη τιμή Έστω μια βραχύτατη διαδρομή στο από το στο Έχουμε και Άρα και η ροή από το στο αυξήθηκε η βραχύτατη διαδρομή από μέχρι το στο να ήταν επομένως ΑΤΟΠΟ

61 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι. Απόδειξη κρίσιμη ακμή αυξητικής διαδρομής

62 Μέγιστη ροή Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι. Απόδειξη κρίσιμη ακμή αυξητικής διαδρομής οι κρίσιμες ακμές εξαλείφονται από το υπολειπόμενο δίκτυο μετά την αύξηση ροής

63 Ο αλγόριθμος των Edmonds-Karp Θεώρημα Το συνολικό πλήθος των πράξεων αυξήσεως ροής είναι. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι μια ακμή μπορεί να καταστεί κρίσιμη φορές Όταν η γίνει κρίσιμη τότε Μετά την πράξη αύξησης η να αυξηθεί η ροή από το στο εξαλείφεται. Για να γίνει ξανά κρίσιμη πρέπει Επειδή έχουμε Ο ισχυρισμός μας συνεπάγεται από το ότι γίνει κρίσιμη. αν η

64 Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή 2/ / / / 2/

65 Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή 2/ / / / 2/ Η ροή δεν μπορεί να αυξηθεί μέσω μονοπατιών του τότε μπορεί να αυξηθεί μέσω μονοπατιών του ) (αν δεν είναι μέγιστη

66 Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή Επίπεδο μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο 2 () (0) () 2 Γράφημα επιπέδων Περιέχει τις ακμές για τις οποίες ισχύει (2) (2) ()

67 Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή Επίπεδο μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο 2 (0) / / () () / 2/2 / (2) (2) / / () Γράφημα επιπέδων Περιέχει τις ακμές για τις οποίες ισχύει Παρατήρηση: Το είναι άκυκλο ροή εμποδισμού του

68 Ο αλγόριθμος του Dinic Ροή εμποδισμού (blocking flow) Ροή για την οποία κάθε μονοπάτι από το στο περιέχει κορεσμένη ακμή Επίπεδο μήκος συντομότερης διαδρομής στο από το στο Γράφημα επιπέδων Περιέχει τις ακμές Παρατήρηση: Το είναι άκυκλο για τις οποίες ισχύει ροή εμποδισμού του Αλγόριθμος Αρχικά. Επαναλαμβάνει το παρακάτω βήμα μέχρι ο να μην ανήκει στο : Βήμα εμποδισμού: Βρες ροή εμποδισμού στο. Η ροή του γίνεται

69 Ο αλγόριθμος του Dinic (0) 2 2 / / () () / 2/2 / (2) (2) / / ()

70 Ο αλγόριθμος του Dinic (0) / / (2) () / 2/2 / / / () (2) ()

71 Ο αλγόριθμος του Dinic (0) / / (2) / / () / 2/2 / 2 2 /2 / / () / (2) ()

72 Ο αλγόριθμος του Dinic (0) / 2/ / 2 2 () 2 () 2/ 2/2 / / / 2 2 () 2 (2) ()

73 Ο αλγόριθμος του Dinic (0) / / / / /2 2/ / / 2 () ( ) ( ) () (2)

74 Ο αλγόριθμος του Dinic Λήμμα Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού Δείχνουμε ότι το επίπεδο του αυξάνει σε κάθε βήμα. Αφού για όλους του κόμβους τότε μπορούμε να έχουμε το πολύ βήματα Έστω και η συνάρτηση και το γράφημα επιπέδων αντίστοιχα μετά από ένα βήμα εμποδισμού. Έστω το υπολειπόμενο δίκτυο μετά το βήμα. Για κάθε ακμή ισχύει Για κάθε ακμή ισχύει ή άρα Αυτό συνεπάγεται ότι

75 Ο αλγόριθμος του Dinic Λήμμα Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού Δείχνουμε ότι το επίπεδο του αυξάνει σε κάθε βήμα. Αφού για όλους του κόμβους τότε μπορούμε να έχουμε το πολύ βήματα Έστω οποιαδήποτε συντομότερη διαδρομή του από το στο Για κάθε έχουμε άρα Όμως η είναι ροή εμποδισμού άρα τουλάχιστον μια ακμή είναι κορεσμένη και επομένως Άρα

76 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) () 2 () (2) (2) ()

77 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) () 2 () (2) (2) ()

78 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 2/ () 2/2 () (2) (2) 2/ ()

79 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) 2/ () 2/2 () (2) (2) 2/ ()

80 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) / () / 2/2 () (2) (2) / 2/ ()

81 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) / () / 2/2 () (2) (2) / 2/ ()

82 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) / () / 2/2 () (2) (2) / 2/ ()

83 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) / / () / 2/2 / () (2) (2) / / ()

84 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Επαναλαμβάνουμε το παρακάτω βήμα μέχρι να μην υπάρχει μονοπάτι από το στο Βρίσκουμε ένα μονοπάτι από το στο και δίνουμε αρκετή ροή ώστε να κορεστεί μια ακμή του. Σβήνουμε κάθε ακμή που έχει κορεστεί. (0) / / () / 2/2 / () (2) (2) / / ()

85 Ο αλγόριθμος του Dinic Υπολογισμός ροής εμποδισμού σε άκυκλο γράφημα Η εύρεση του μονοπατιού από τις παρακάτω ρουτίνες: αρχικοποίηση: μπορεί να γίνει με καθοδική διερεύνηση, που υλοποιείται. Πήγαινε στη ρουτίνα πρόοδος. πρόοδος: Aν δεν υπάρχει εξερχόμενη ακμή πήγαινε στη ρουτίνα υποχώρηση. Διαφορετικά.. Αν επανάλαβε τη ρουτίνα πρόοδος. Αν πήγαινε στη ρουτίνα επαύξηση. επαύξηση:.. Πρόσθεσε μονάδες ροής σε κάθε ακμή του, σβήσε τις κορεσμένες ακμές και πήγαινε στη ρουτίνα αρχικοποίηση. υποχώρηση: Αν τερμάτισε. Διαφορετικά έστω η τελευταία ακμή του. Σβήσε τη από το και το από το. Κάνε και πήγαινε στη ρουτίνα πρόοδος.

86 Ο αλγόριθμος του Dinic Η προηγούμενη ρουτίνα βρίσκει μια ροή εμποδισμού σε χρόνο Ο αλγόριθμος τερματίζει μετά από το πολύ βήματα εμποδισμού Επομένως ο χρόνος εκτέλεσης είναι Με δυναμικά δένδρα ο χρόνος εκτέλεσης γίνεται

87 σε επίπεδα γραφήματα Επίσης έχουν σχεδιαστεί αλγόριθμοι που επιτυγχάνουν χρόνο [G. Borradaile and P. Klein, J. ACM 6(2), 2009], [J. Erickson, SODA 200]

88 σε επίπεδα γραφήματα Θα περιγράψουμε τον αλγόριθμο των Hassin και Itai-Shiloach για την εύρεση της μέγιστης ροής σε ένα st-επίπεδο γράφημα G, όπου ο αφετηριακός κόμβος s και ο τερματικός κόμβος t βρίσκονται στην εξωτερική όψη. 2 s t Για απλότητα θα θεωρήσουμε ότι το G είναι μη κατευθυνόμενο. (Ο αλγόριθμος μπορεί να εφαρμοστεί και σε κατευθυνόμενα γραφήματα με κατάλληλο ορισμό του δυϊκού γραφήματος.)

89 σε επίπεδα γραφήματα Έστω e μια ακμή ενός κατευθυνόμενου επίπεδου γραφήματος, η οποία βρίσκεται μεταξύ των όψεων f α και f δ, όπου η f α βρίσκεται στα αριστερά της e ως προς την κατεύθυνση της e και η f δ βρίσκεται στα δεξιά της e. Τότε η αντίστοιχη δυική ακμή έχει κατεύθυνση από τον κόμβο που αντιστοιχεί στην όψη f δ προς τον κόμβο που αντιστοιχεί στην όψη f α. f α f δ f δ f α e* e* e e

90 σε επίπεδα γραφήματα Ο αλγόριθμος βασίζεται στην παρατήρηση ότι ο υπολογισμός της μέγιστης ροής σε ένα st-επίπεδο γράφημα G αντιστοιχεί στην εύρεση συντομότερων μονοπατιών στο δυϊκό γράφημα G*. Αναθέτουμε στη δυϊκή ακμή e* που αντιστοιχεί στην ακμή e, μήκος, όπου c(e) η χωρητικότητα της e. c Οι συντομότερες διαδρομές από έναν αφετηριακό κόμβο προς όλους τους άλλους κόμβους σε ένα επίπεδο γράφημα μπορούν να υπολογιστούν σε O(n) χρόνο [M. Henzinger, P. Klein, S. Rao, and S. Subramanian, JCSS (), 997].

91 σε επίπεδα γραφήματα Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών Ξεκινάμε με το st-επίπεδο γράφημα G και εκτελούμε τα παρακάτω βήματα: Εισαγάγουμε μια ψεύτικη ακμή (s,t) πάνω από το G. Κατασκευάζουμε το δυϊκό γράφημα G*, το οποίο περιλαμβάνει δύο κόμβους s* και t*, όπου ο s* βρίσκεται πάνω από το αρχικό γράφημα και κάτω από την ακμή (s,t), ενώ ο t* βρίσκεται κάτω από το G. Τέλος, διαγράφουμε την ακμή (s*,t*) από το G*. Υπολογίζουμε τις συντομότερες διαδρομές στο G* από τον s* προς τον t*. Έστω d(t*) το μήκος αυτής της διαδρομής. Τότε η μέγιστη ροή στο G έχει τιμή d(t*).

92 σε επίπεδα γραφήματα 2 s t

93 σε επίπεδα γραφήματα 2 s t

94 σε επίπεδα γραφήματα s* 2 s t t*

95 σε επίπεδα γραφήματα s* 2 s t t*

96 σε επίπεδα γραφήματα s* 2 s t t*

97 σε επίπεδα γραφήματα Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών Έστω d(j*) το μήκος της ελαφρύτατης διαδρομής από τον s* στον v* για κάθε κόμβο v* του G*. Έστω (u*, v*) μια ακμή του G*που αντιστοιχεί στην (u,v) του G, όπου. Αναθέτουμε στην (u,v) ροή από τον u στον v.

98 σε επίπεδα γραφήματα s* 2/2 / 2/ (2) / () / (6) 6/6 s / () 0/7 () / /7 / (9) 2/2 t / (7) t*

99 σε επίπεδα γραφήματα Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών Έστω d(j*) το μήκος της ελαφρύτατης διαδρομής από τον s* στον v* για κάθε κόμβο v* του G*. Έστω (u*, v*) μια ακμή του G*που αντιστοιχεί στην (u,v) του G, όπου. Αναθέτουμε στην (u,v) ροή από τον u στον v. Για κάθε ακμή (u*,v*) ισχύει : Επιπλέον αν η (u*,v*) είναι ακμή συντομότερης διαδρομής από τον s* στον v* τότε η (u,v) είναι κορεσμένη αφού θα έχουμε Άρα ικανοποιείται ο περιορισμός χωρητικότητας. Απομένει να δείξουμε ότι ικανοποιείται η διατήρηση ροής. (Η αντισυμμετρία ικανοποιείται εξ ορισμού.)

100 σε επίπεδα γραφήματα Αναγωγή στον υπολογισμό ελαφρύτατων διαδρομών Έστω d(j*) το μήκος της ελαφρύτατης διαδρομής από τον s* στον v* για κάθε κόμβο v* του G*. Έστω (u*, v*) μια ακμή του G*που αντιστοιχεί στην (u,v) του G, όπου. Αναθέτουμε στην (u,v) ροή από τον u στον v. Θεωρούμε ένα κόμβο v και τις ακμές που προσπίπτουν σε αυτόν. Οι δυικές ακμές ορίζουν ένα κύκλο γύρω από τον v όπου 2/ () 0/7 (2) v / () () / Άρα ικανοποιείται και η διατήρηση ροής.

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 13: Προβλήματα Ροών σε Δίκτυα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive

Διαβάστε περισσότερα

Ελαφρύτατες διαδρομές

Ελαφρύτατες διαδρομές Ελαφρύτατες διαδρομές Ελαφρύτατες διαδρομές Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση βάρους Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος s 3 t 7 x 5 3 y z Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής εάν

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

E(G) 2(k 1) = 2k 3. Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)

Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks) Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38

4η Γραπτή Ασκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Ασκηση 7 Φεβρουαρίου / 38 4η Γραπτή Άσκηση Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα CoReLab ΣΗΜΜΥ 7 Φεβρουαρίου 2017 CoReLab (ΣΗΜΜΥ) 4η Γραπτή Άσκηση 7 Φεβρουαρίου 2017 1 / 38 Άσκηση 1 Πρέπει να βρούμε όλες τις καλές προτάσεις φίλων για τον

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 7ο εξάμηνο Σ.Η.Μ.Μ.Υ. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 4η εβδομάδα: Εύρεση k-οστού Μικρότερου Στοιχείου, Master Theorem, Τεχνική Greedy: Knapsack, Minimum Spanning Tree, Shortest Paths

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Δρομολόγησης. Γ. Κορμέντζας

Αλγόριθμοι Δρομολόγησης. Γ. Κορμέντζας Αλγόριθμοι Δρομολόγησης Γ. Κορμέντζας Δρομολόγηση Περιεχόμενα Διαδικασίες δρομολόγησης Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Σχεδιασμός γραμμών πολλαπλών σημείων Ελάχιστα δέντρα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου

4.4 Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου . Το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου Σ αυτή την παράγραφο θα εξεταστεί μια παραλλαγή του προβλήματος της συντομότερης διαδρομής, το πρόβλημα του ελάχιστου ζευγνύοντος δένδρου. Σ αυτό το πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης

Πολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση 1 ης Εργασίας. Παραδόθηκαν: 11/12 15%

Επίλυση 1 ης Εργασίας. Παραδόθηκαν: 11/12 15% Επίλυση 1 ης Εργασίας Παραδόθηκαν: 11/12 15% ΘΕΜΑ 1 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Α) Συνθήκη συντήρησης της αρχικής ροής Το φορτίο που μεταφέρεται από τον r είναι 3 (r->1=1) + (r->3=0) + (r- >4=2) Το φορτίο που φθάνει στον

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου Χριστίνα Σπυροπούλου 8η Διάλεξη 8 Δεκεμβρίου 2016 1 Ασύγχρονη κατασκευή BFS δέντρου Στα σύγχρονα συστήματα ο αλγόριθμος της πλημμύρας είναι ένας απλός αλλά

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { Μ η Μ είναι μια ΤΜ η οποία διαγιγνώσκει το πρόβλημα ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΤΜ (διαφάνεια 9 25)} (α) Γνωρίζουμε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικότητα Γραφήματος

Συνεκτικότητα Γραφήματος Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης έννοια στη Θεωρία Γραφημάτων. Πληθώρα πρακτικών εφαρμογών, όπως: Αξιόπιστη και ασφαλής επικοινωνία. Δρομολόγηση σε δίκτυα. Πλοήγηση. Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

Γέφυρες σε Δίκτυα. Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος. Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) :

Γέφυρες σε Δίκτυα. Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος. Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) : Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος και Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) : Ακμή που περιέχεται σε κάθε μονοπάτι από το στο s a b c d e f g h i j k l Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Δενδρικά Γραφήματα 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 3.1 Εισαγωγή 3.2 Βασικές Ιδιότητες Δένδρων 3.3 Απαρίθμηση Δένδρων 3.4 Γενετικά Δένδρα 3.5 Ελάχιστα Γενετικά Δένδρα Προαπαιτούμενη Γνώση Πολύ καλή γνώση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα

Θέματα Υπολογισμού στον Πολιτισμό - Δένδρα. Δένδρα Δένδρα Δένδρα Ειδική κατηγορία γραφημάτων: συνεκτικά γραφήματα που δεν περιέχουν απλά κυκλώματα [1857] Arthur Cayley: για απαρίθμηση ορισμένων ειδών χημικών ενώσεων Χρησιμοποιούνται σε πληθώρα προβλημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαχρονικές δομές δεδομένων

Διαχρονικές δομές δεδομένων Διαχρονικές δομές δεδομένων Μια τυπική δομή δεδομένων μεταβάλλεται με πράξεις εισαγωγής ή διαγραφής Π.χ. κοκκινόμαυρο δένδρο εισαγωγή 0 18 0 5 39 73 1 46 6 80 Αποκατάσταση ισορροπίας 5 39 73 0 46 6 80

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή Ισορροπημένα Δένδρα Μπορούμε να επιτύχουμε για κάθε λειτουργία; χρόνο εκτέλεσης Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή μετά από Περιστροφές x αριστερή περιστροφή από το x y α β y

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι; Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Δρομολόγησης. Γ. Κορμέντζας

Αλγόριθμοι Δρομολόγησης. Γ. Κορμέντζας Αλγόριθμοι Δρομολόγησης Γ. Κορμέντζας Δρομολόγηση Περιεχόμενα Διαδικασίες δρομολόγησης Ροές Δικτύων - Αλγόριθμος Ford-Fulkerson Βασικοί Αλγόριθμοι Γράφων Σχεδιασμός γραμμών πολλαπλών σημείων Ελάχιστα δέντρα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων

Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Κεφάλαιο 11 Ένωση Ξένων Συνόλων Περιεχόμενα 11.1 Εισαγωγή... 227 11.2 Εφαρμογή στο Πρόβλημα της Συνεκτικότητας... 228 11.3 Δομή Ξένων Συνόλων με Συνδεδεμένες Λίστες... 229 11.4 Δομή Ξένων Συνόλων με Ανοδικά

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 6 Μαΐου 2015 1 / 42 Εύρεση Ελάχιστου Μονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ

Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ Διάλεξη 3: 25..26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη 3. Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 3. Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος αν = G[V ()].

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 8 Λύσεις

Φροντιστήριο 8 Λύσεις Άσκηση 1 Θεωρήστε την πιο κάτω Μηχανή Turing. Φροντιστήριο 8 Λύσεις Σε κάθε σκέλος, να προσδιορίσετε την ακολουθία των φάσεων τις οποίες διατρέχει η μηχανή όταν δέχεται τη διδόμενη λέξη. (α) 11 (β) 1#1

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs) Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο 11 Λύσεις

Φροντιστήριο 11 Λύσεις Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Συστήματα Πληροφορικής»

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Συστήματα Πληροφορικής» Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Συστήματα Πληροφορικής» Μεταπτυχιακή Διατριβή Τίτλος Διατριβής Μελέτη του Προβλήματος των Κίβδηλων Νομισμάτων Ονοματεπώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

(elementary graph algorithms)

(elementary graph algorithms) (elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX

ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα

Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης

Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης - Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

Κατανεμημένα Συστήματα Ι

Κατανεμημένα Συστήματα Ι Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα 20 Οκτωβρίου 2016 Παναγιώτα Παναγοπούλου Εκλογή αρχηγού σε γενικά δίκτυα Προηγούμενη διάλεξη Σύγχρονα Κατανεμημένα Συστήματα Μοντελοποίηση συστήματος Πρόβλημα εκλογής αρχηγού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ. Ατομική Διπλωματική Εργασία. Μελέτη Προβλήματος Εύρεσης Μέγιστης Ροής ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Κυριακή Χριστοδούλου.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ. Ατομική Διπλωματική Εργασία. Μελέτη Προβλήματος Εύρεσης Μέγιστης Ροής ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Κυριακή Χριστοδούλου. Ατομική Διπλωματική Εργασία Μελέτη Προβλήματος Εύρεσης Μέγιστης Ροής Κυριακή Χριστοδούλου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μάιος 205 Σ ελίδα ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μελέτη Προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 21: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους

Διάλεξη 21: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Διάλεξη 2: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Βραχύτερα Μονοπάτια σε γράφους - Ο αλγόριθμος Dijkstra για εύρεση της βραχύτερης απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης

Μέθοδοι Βελτιστοποίησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Ενότητα # : Επιχειρησιακή έρευνα Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης

ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων. Λουκάς Γεωργιάδης ΠΛΕ075: Προηγμένη Σχεδίαση Αλγορίθμων και Δομών Δεδομένων Λουκάς Γεωργιάδης loukas@cs.uoi.gr www.cs.uoi.gr/~loukas Βασικές έννοιες και εφαρμογές Αλγόριθμος: Μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος Δομή

Διαβάστε περισσότερα

(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς

(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) (α) Επιλέγουµε αυθαίρετα φυσικούς αριθµούς από το σύνολο {,,3,, 3, } Να δείξετε ότι µεταξύ των αριθµών που έχουµε επιλέξει υπάρχει πάντα ένα ζευγάρι όπου ο µεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών

9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Κεφάλαιο 9: Συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών 208 9. Συστολικές Συστοιχίες Επεξεργαστών Οι συστολικές συστοιχίες επεξεργαστών είναι επεξεργαστές ειδικού σκοπού οι οποίοι είναι συνήθως προσκολλημένοι σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

Τ.Ε.Ι. Πελοπόννησου. Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Δίκτυα και Δρομολόγηση Πακέτων

Τ.Ε.Ι. Πελοπόννησου. Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Δίκτυα και Δρομολόγηση Πακέτων Τ.Ε.Ι. Πελοπόννησου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Τ.Ε. ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Δίκτυα και Δρομολόγηση Πακέτων Νικολέττα Δελλατόλα (Α.Μ.: 2005161) Επιβλέπων καθηγητής: Γρηγόριος Καραγιώργος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Δένδρα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Δένδρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Δένδρα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.2 Διαδρομές σε Γραφήματα Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Πρόβλημα Οδικό Δίκτυο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Εισαγωγή στο Σχεδιασμό & την Ανάλυση Αλγορίθμων Εξέταση Φεβρουαρίου 2016 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα