1.1 Ιστορία του Λογισμού των Μεταβολών Εισαγωγή στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου... 8

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.1 Ιστορία του Λογισμού των Μεταβολών... 1 1.2 Εισαγωγή στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου... 8"

Transcript

1

2 v Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό είναι αποτέλεσμα των παραδόσεων, των τελευταίων έξι χρόνων ( ), του μαθήματος Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου στο πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών του Τμήματος Μαθηματικών του Α.Π.Θ.. Απευθύνεται κυρίως σε τελειόφοιτους προπτυχιακούς φοιτητές καθώς και μεταπτυχιακούς φοιτητές των Σχολών Θετικών Επιστημών, των Πολυτεχνικών Σχολών και των Σχολών Τεχνολογικών Εφαρμογών. Μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για ανεξάρτητη μελέτη από εφαρμοσμένους μαθηματικούς και μηχανικούς. Ο αναγνώστης θα πρέπει να έχει βασικές γνώσεις σε Γραμμική Άλγεβρα (Θεωρία Πινάκων και Γραμμικά Συστήματα), Απειροστικό Λογισμό μιας ή και περισσοτέρων μεταβλητών, Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις και Θεωρία Γραμμικών Συστημάτων. Για τον λόγο αυτό στο παράρτημα που βρίσκεται στο τέλος του βιβλίου γίνεται μια σύντομη παρουσίαση βασικών εννοιών από αυτούς τους τομείς των μαθηματικών. Στην Ελληνική βιβλιογραφία υπάρχουν βιβλία που έχουν γραφεί μόνο για τον Λογισμό Μεταβολών και απευθύνονται κυρίως σε Μαθηματικούς ή μόνο για την Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου και απευθύνονται κυρίως σε Μηχανικούς χωρίς να μπαίνουν σε λεπτομέρειες μαθηματικής φύσεως. Στόχος του παρόντος βιβλίου είναι να χτίσει μια γέφυρα μεταξύ των δύο πολύ σημαντικών τομέων μιας και η Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου αποτελεί μια από τις σημαντικότερες εφαρμογές του Λογισμού των Μεταβολών. Υπήρξε σημαντική προσπάθεια ώστε να μην ξεφύγουμε πολύ σε μια από τις δύο κατευθύνσεις αποθαρρύνοντας κάποιους από τους αναγνώστες στην ανάγνωση του. Για τον λόγο αυτό παραλείψαμε κάποια σημαντικά κομμάτια από μαθηματικής πλευράς δίνοντας όμως αναφορές στην βιβλιογραφία για περεταίρω ανάγνωση, ενώ προσθέσαμε έναν πολύ σημαντικό αριθμό λυμένων παραδειγμάτων ώστε να γίνει πιο κατανοητή η θεωρία. Λαμβάνοντας υπόψη την μεγάλη χρήση των ηλεκτρονικών υ- πολογιστών σε όλες τις επιστήμες, θεωρήσαμε αναγκαίο τον εμπλουτισμό του βιβλίου με παραδείγματα τα οποία επιλύονται με την χρήση συγκεκριμένων προγραμμάτων όπως το Mathematica και το πακέτο του Control Systems Professional που αναφέρεται στην Θεωρία Ελέγχου, το Matla και τα πακέτα που βρίσκονται σ αυτό Control Systems Toolo και Simulink, καθώς και το Microsoft Ecel του Microsoft Office. Το περιεχόμενο του βιβλίου χωρίζεται σε τρία κεφάλαια. Το πρώτο κεφάλαιο αποτελεί μια ιστορική εισαγωγή που ξεκινά με προβλήματα που οδήγησαν στην γέννηση του Λογισμού των Μεταβολών, συνεχίζει με τα στάδια της εξέλιξης του Λογισμού Μεταβολών και καταλήγει στην διατύπωση του προβλήματος που πραγματεύεται ο Βέλτιστος Έλεγχος δίνοντας αρκετά παραδείγματα από την σύγχρονη ζωή. Το δεύτερο κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγική προσέγγιση της θεωρίας του Λογισμού των Μεταβολών, ξεκινώντας με βασικές έννοιες που αναφέρονται πάνω σε χώρους συναρτήσεων αλλά και στην έννοια του συναρτησιακού μιας ή και περισσοτέρων συ-

3 vi ναρτήσεων. Διατυπώνει αναγκαίες και ικανές συνθήκης ύπαρξης ακρότατου σε ένα συναρτησιακό μέσω των διαφορικών εξισώσεων Euler-Lagrange στην πρώτη περίπτωση και των συνθηκών Legendre-Jacoi στην δεύτερη περίπτωση, ενώ προτείνει έναν εναλλακτικό τρόπο επίλυσης του προβλήματος εύρεσης ακρότατου μέσω των μερικών διαφορικών εξισώσεων Hamilton-Jacoi. Στη συνέχεια μελετάει την εύρεση ακρότατης καμπύλης συναρτησιακού η οποία μπορεί να έχει ασυνέχεια στις παραγώγους ή μπορεί να ικανοποιεί κάποιους συγκεκριμένους περιορισμούς υπό την μορφή αλγεβρο-διαφορικών εξισώσεων. Τέλος επιλύεται το ισοπεριμετρικό πρόβλημα, το οποίο ανάγεται σε πρόβλημα εύρεσης ακρότατης καμπύλης συναρτησιακού που υπόκειται σε περιορισμούς. Το τρίτο κεφάλαιο αναφέρεται πάνω στις εφαρμογές της θεωρίας του Λογισμού των Μεταβολών στον Βέλτιστο Έλεγχο. Πιο συγκεκριμένα επιλύεται το πρόβλημα Bolza με δύο διαφορετικούς τρόπους. Ο πρώτος τρόπος βασίζεται στην θεωρία του Λογισμού των Μεταβολών ενώ ο δεύτερος τρόπος στην θεωρία του Δυναμικού Προγραμματισμού που αναπτύχθηκε από τον Richard Bellman και η ο- ποία μας οδηγεί στην μερική διαφορική εξίσωση των Hamilton-Jacoi-Bellman. Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τα αποτελέσματα αυτά στην επίλυση του γραμμικού τετραγωνικού προβλήματος (linear quadratic regulator prolem) πεπερασμένου αλλά και ά- πειρου χρονικού ορίζοντα σε συνεχή γραμμικά συστήματα (χρονικά μεταβαλλόμενα αλλά και χρονικά αμετάβλητα). Με τις ίδιες μεθόδους μελετούμε το πρόβλημα ανίχνευσης (tracking prolem). Στο τελευταίο μέρος του κεφαλαίου διατυπώνουμε την αρχή ελαχίστου του Pontryagin (αλλού αναφέρεται και ως αρχή μεγίστου όπως θα δούμε) και βλέπουμε εφαρμογές της αρχής αυτής στην επίλυση των εξής προβλημάτων: α) πρόβλημα ελάχιστου χρόνου (time optimal control prolem), β) πρόβλημα ελάχιστων καυσίμων (fuel optimal control prolem), γ) πρόβλημα ελάχιστης ενέργειας (energy optimal control prolem), δ) πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου με περιορισμούς στα διανύσματα κατάστασης. Όπως αναφέραμε και προηγουμένως στο τέλος του βιβλίου υπάρχει παράρτημα με αναφορά σε βασικές μαθηματικές έννοιες καθώς και έννοιες της θεωρίας συστημάτων που χρησιμοποιούνται στο βιβλίο. Το βιβλίο συνοδεύεται από ένα μεγάλο πλήθος λυμένων αλλά και άλυτων παραδειγμάτων τα οποία κάνουν το βιβλίο ιδανικό για ανεξάρτητη μελέτη όπως και για ασκήσεις στην τάξη. Επίσης υπάρχει ένας μικρός αριθμών ασκήσεων αυτοαξιολόγησης τις οποίες καλείται να λύσει ο αναγνώστης και στη συνέχεια να ελέγξει την λύση τους που βρίσκεται στο τέλος του κεφαλαίου. Ένα μέρος των παραδειγμάτων λύνεται με χρήση καθαρά μαθηματικών εργαλείων προκειμένου ο αναγνώστης να κάνει μια επανάληψη σε βασικά μαθηματικά εργαλεία που χρειάζεται ενώ ένα άλλο μέρος των παραδειγμάτων λύνεται με την χρήση συναρτήσεων από γνωστά πακέτα προγραμμάτων όπως Mathematica, Matla, Ecel για να δει ο αναγνώστης τις δυνατότητες που του δίνει η τεχνολογία για την επίλυση των προβλημάτων αυτών μιας και η επίλυση τους γίνεται εξαιρετικά δύσκολη σε πραγματικά προβλήματα. Θα ήθελα να ευχαριστήσω τους παλαιούς μου καθηγητές και πλέον συναδέλφους κ. Θωμά Κυβεντίδη και κ. Αντώνιο Βαρδουλάκη για τα εποικοδομητικά τους σχόλια. Τέλος, να ευχαριστήσω τις μεταπτυχιακές φοιτήτριες Χρύσα Ζιώγου, και Σοφία Καραθανάση για την τεχνική βοήθεια που μου προσέφεραν στην συγγραφή του βιβλίου.

4 vii Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή Ιστορία του Λογισμού των Μεταβολών Εισαγωγή στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Λογισμός Μεταβολών Συνάρτησεις - Συναρτησιακά Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης Διαφορικές εξισώσεις Euler-Lagrange Mathematica και Λογισμός Μεταβολών Συναρτησιακά διανυσματικών συναρτήσεων Οι εξισώσεις Hamilton-Jacoi Συναρτησιακά καμπύλων με ασυνέχεια στις παραγώγους Συναρτησιακά καμπύλων οι οποίες υπόκεινται σε δεσμούς Ισοπεριμετρικά προβλήματα Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Εφαρμογές του Λογισμού Μεταβολών στον Βέλτιστο Έλεγχο Οι εξισώσεις Hamilton-Jacoi-Bellman Το πρόβλημα του βέλτιστου ρυθμιστή με πεπερασμένο χρονικό ορίζοντα Το πρόβλημα του βέλτιστου ρυθμιστή με άπειρο χρονικό ορίζοντα Το πρόβλημα ανίχνευσης Η αρχή ελαχίστου του Pontryagin Το πρόβλημα ελαχίστου χρόνου Το πρόβλημα ελαχίστων καυσίμων Το πρόβλημα ελάχιστης ενέργειας Προβλήματα βέλτιστου ελέγχου με περιορισμούς στα διανύσματα κατάστασης Παράρτημα Βιβλιογραφία Ευρετήριο...317

5 1.1 Ιστορία του Λογισμού των Μεταβολών 1 1 Εισαγωγή Η ιστορία της Θεωρίας Βέλτιστου Ελέγχου έχει τις ρίζες της, στην ανάπτυξη ενός σημαντικού κλάδου των Μαθηματικών, του Λογισμού των Μεταβολών. Για τον λόγο αυτό θα ξεκινήσουμε με μια αναφορά στο ιστορικό της γέννησης του σημαντικού αυτού κλάδου των Μαθηματικών, ενώ στη συνέχεια θα αναφερθούμε στον βασικό στόχο της Θεωρίας Βέλτιστου Ελέγχου. 1.1 Ιστορία του Λογισμού των Μεταβολών Ο Βιργίλιος (70-19 π.x.) στην Αινειάδα αναφέρεται σε ένα πρόβλημα που είναι γνωστό ως πρόβλημα της Διδούς, το οποίο σήμερα είναι γνωστό στα Μαθηματικά ως ισοπεριμετρικό πρόβλημα. Πιο συγκεκριμένα όταν η πριγκίπισσα Διδώ της Φοινίκης κατέπλευσε προς αναζήτηση ασύλου στα παράλια που είναι γνωστά σήμερα ως κόλπος της Τύνιδας, ζήτησε από τον τοπικό ηγεμόνα Ιάρβα, να αγοράσει τόση έκταση όση μπορούσε να «περικλείσει με τη δορά ενός ταύρου». Έπειτα από συμφωνία με τον τοπικό ηγεμόνα, η Διδώ τεμάχισε τη δορά του ταύρου σε λεπτές λωρίδες, τις έδεσε τη μια μετά την άλλη και κύκλωσε (circumdare) σύμφωνα με τον Βιργίλιο μια μεγάλη έκταση γης, όπου έκτισε ένα φρούριο και, κοντά του, την πόλη της Καρχηδόνας. Αυτό δηλώνει ότι η λύση του προβλήματος ήταν γνωστή εκείνη την εποχή. Το πρόβλημα αυτό μπορεί να διατυπωθεί και ως εξής : «Μεταξύ όλων των κλειστών επίπεδων καμπύλων με δεδομένο μήκος l να βρεθεί εκείνη η οποία περικλείει το χωρίο με το μέγιστο δυνατό εμβαδό»» ή αν υποθέσουμε ότι η Διδώ επιθυμούσε πρόσβαση στη θάλασσα : «Μεταξύ όλων των τόξων με μήκος l τα οποία περιέχονται στην ημιλωρίδα 0 a, 0 a,0 να βρεθεί ένα τόξο το y και έχουν καθορισμένα άκρα ( 0,0 ) και ( ) οποίο, μαζί με το τμήμα y = 0,0 a να περικλείει ένα χωρίο με το μέγιστο δυνατό εμβαδόν.» y l (0,0) (α,0)

6 2 1. Εισαγωγή Το παραπάνω πρόβλημα συνεπώς ανάγεται στην εύρεση του μέγιστου της παρακάτω ποσότητας : υπό τον περιορισμό a ( ) ( ) J y a = y d (1.1.1) ( ) 1 ( ( )) L y = + y d= l (1.1.2) Το παραπάνω πρόβλημα είναι γνωστό από τους αρχαίους Έλληνες ότι έχει ως λύση τον κύκλο, παρόλο που έπρεπε να έρθει ο 19 ος αιώνας για να αποδειχθεί με σύγχρονες J y που δεν είναι τίποτα άλλο από τεχνικές τις οποίες θα αναλύσουμε παρακάτω. Η ( ) ένας κανόνας αντιστοίχισης από ένα σύνολο συναρτήσεων Ω στο R ονομάζεται συναρτησιακό. Ο πρώτος που ασχολήθηκε σοβαρά με προβλήματα βελτιστοποίησης ήταν ο Ήρων από την Αλεξάνδρεια (έζησε μεταξύ 150 μ.χ. και 300 μ.χ.). Ο Ήρων στο βιβλίο του με τίτλο Κατοπτρικά έδειξε ότι όταν το φως αντανακλάται από έναν καθρέφτη, η διαδρομή που ακολουθεί από το αντικείμενο ως τα μάτια του παρατηρητή είναι η συντομότερη δυνατή από οποιαδήποτε άλλη διαδρομή. Επειδή το μέσο στο οποίο διαδίδεται το φως κατά τον Ήρωνα είναι ένα, η έννοια του συντομότερου είναι ταυτόσημη με την έννοια του γρηγορότερου. Η μελέτη της μετάδοσης του φωτός μέσα από διαφορετικά μέσα και η διατύπωση ότι το φως ακολουθεί τη γρηγορότερη διαδρομή (που δεν είναι κατά ανάγκη και η συντομότερη από άποψη απόστασης) διατυπώθηκε αργότερα από τον Fermat ( ). Η λύση μάλιστα που πρότεινε ο Fermat έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην επίλυση του βραχυστόχρονου προβλήματος που θα δούμε παρακάτω από τον Bernoulli. Το πρόβλημα του Ήρωνα μπορεί να διατυπωθεί μαθηματικά και ως εξής : «Στο επίπεδο δίνονται τα σημεία A( 0, ya ) και (, ) μέρος μαζί με το τμήμα y ( ) 0,0 B y που κείνται προς το ίδιο =. Να βρεθεί σημείο (,0) D καθώς και διαδρομή ADB η οποία να είναι η ελάχιστη δυνατή που συνδέει τα σημεία Α, Β.» d y ( y ) A 0, a B (, y) D( d,0) Το παραπάνω πρόβλημα συνεπώς ανάγεται στην εύρεση του ελαχίστου του παρακάτω συναρτησιακού:

7 1.1 Ιστορία του Λογισμού των Μεταβολών 3 ( ) = 1+ ( ( )) 2 J y y d (1.1.3) με τις προϋποθέσεις y( 0 ) ya, y( d) 0, y ( ) y παράγωγος της y ( ) πιθανώς να μην είναι συνεχής στο σημείο 0 = = = καθώς και την υπόθεση ότι η =. Όπως θα δούμε παρακάτω και όπως έδειξε και ο Ήρωνας η συντομότερη διαδρομή είναι τα ευθύγραμμα τμήματα που ενώνουν τα σημεία AD, και τα σημεία DB,, ενώ το σημείο D είναι τέτοιο ώστε η γωνία πρόσπτωσης να είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης sin φ = sin φ. δηλαδή θα έπρεπε να ισχύει ( ) ( ) 1 2 d y ( y ) A 0, a B (, y) φ 1 D( d,0) φ 2 συνέχεια (η κυκλοειδής καμπύλη ( ( ) = ( ), ( ) ( ) Οι αρχές του Λογισμού των Μεταβολών ξεκινούν με τη διατύπωση, από τον Pierre de Fermat ( ), της αρχής ότι το φως ταξιδεύει διαμέσου μιας ακολουθίας οπτικών μέσων στον ελάχιστο δυνατό χρόνο (1662). Στη συνέχεια ο Galileo Galilei ( ) διατύπωσε δύο προβλήματα τα οποία λύθηκαν στη συνέχεια με τον Λογισμό των Μεταβολών: α) το βραχυστόχρονο πρόβλημα (το οποίο θα διατυπώσουμε παρακάτω) και β) το πρόβλημα εύρεσης του σχήματος που θα πρέπει να έχει μια αλυσίδα που κρέμεται από δύο σημεία. Οι λύσεις που πρότεινε ο Galileo (ο κύκλος και η παραβολή αντίστοιχα) δεν ταυτίζονταν με τις λύσεις που δόθηκαν στην t rt sin t y t = r 1 cost ) και η αλυσοειδής καμπύλη ( ( ) C1 y Ccosh + = + C ) αντίστοιχα). 2 C Galileo Galilei Pierre de Fermat ( )

8 4 1. Εισαγωγή Αργότερα το 1685 ο Newton ( ) στην περίφημη εργασία του στη μηχανική Philosophiae naturalis principia mathematica (ή αλλιώς Principia για συντομία), μελετά τη μορφή που θα πρέπει να έχει ένα σώμα ώστε να έχει την ελάχιστη αντίσταση κατά την κίνηση του με σταθερή ταχύτητα μέσα σε ένα υγρό. Αυτό ήταν το πρώτο πρόβλημα που διατυπώθηκε και λύθηκε σωστά, σημειώνοντας τη γέννηση της θεωρίας του λογισμού των μεταβολών. Ο Newton δεν δημοσίευσε την εργασία αυτή παρά μόνο το Παρ όλη την σπουδαιότητα του και τη δυσκολία επίλυσης του, το πρόβλημα αυτό δεν έτυχε της αντίστοιχης προσοχής. Η γεωμετρική τεχνική απόδειξης του παραπάνω προβλήματος καθώς και οι ιδέες του Fermat χρησιμοποιήθηκαν αργότερα από τον Jaco Bernoulli στη λύση του βραχυστόχρονου προβλήματος και αργότερα από τον Euler. Isaac Newton ( ) Το βιβλίο του Newton Principia Το 1659 στο Horologium oscillatorium ο Christiaan Huygens ( ) διατυπώνει και επιλύει το ταυτόχρονο πρόβλημα : «Δοσμένων των σημείων Α και Β σε ένα κάθετο επίπεδο, να υπολογιστεί η καμπύλη η οποία έχει την ιδιότητα, κάθε σημείο Μ που κινείται στην διαδρομή AMB υπό την επίδραση του βάρους του και χωρίς τριβές, να φτάνει στο κατώτατο σημείο Β στον ίδιο πάντα χρόνο» Η λύση του ταυτόχρονου προβλήματος αποδεικνύεται ότι είναι η κυκλοειδής καμπύλη. Το πρόβλημα αυτό λύθηκε αργότερα και από άλλους μεγάλους μαθηματικούς όπως ο Jaco Bernoulli (το 1690 στο Acta Eruditorum), ο Joseph Louis Lagrange και ο Leonhard Euler. Christiaan Huygens ( )

9 1.1 Ιστορία του Λογισμού των Μεταβολών 5 Τον Ιούνιο του 1696, στο περιοδικό Acta Eruditorim, ο Johann Bernoulli ( ) διατυπώνει το παρακάτω ανοικτό πρόβλημα : «Δοσμένων των σημείων Α και Β σε ένα κάθετο επίπεδο, να υπολογιστεί η καμπύλη που πρέπει να διαγράψει ένα σημείο Μ που κινείται στη διαδρομή AMB υπό την επίδραση του βάρους του, έτσι ώστε ξεκινώντας από το Α, να φτάσει στο Β στον ελάχιστο χρόνο» A(0,0) y*() M B(,y f ) 1 όπου με C [, ] y() Εικόνα 1.1 Η καμπύλη y* C 1 [ a, ] που ενώνει τα σημεία Α, Β. a δηλώνουμε το σύνολο των συναρτήσεων με συνεχείς πρώτες παραγώγους. Ο Bernoulli διαβεβαίωσε τους αναγνώστες του περιοδικού ότι η λύση του προβλήματος είναι πολύ χρήσιμη στη Μηχανική και δεν είναι η ευθεία γραμμή αλλά μια πολύ γνωστή ευθεία για τους γεωμέτρες. Το πρόβλημα αυτό ονομάστηκε από τον Bernoulli «βραχυστόχρονο πρόβλημα (rachistochrone prolem)» από τη λέξη «βράχυστος (rachistos)» που θα πει σύντομος και τη λέξη «χρόνος (chronos)». Από την αρχή διατήρηση της ενέργειας θα έχουμε ότι η κινητική ενέργεια σε οποιαδήποτε θέση της καμπύλης By (, f ) θα είναι ίση με τη δυναμική ενέργεια στη θέση A( 0, 0 ) και άρα 1 2 ds mu () t = mgy ( ) u () t = 2gy ( ) = (1.1.4) 2 dt όπου u(t) και m είναι η ταχύτητα και η μάζα του σώματος αντίστοιχα, ενώ g= m /sec είναι η σταθερά επιτάχυνσης της βαρύτητας. Εάν T είναι ο χρόνος κατάβασης και s το μήκος της καμπύλης, τότε θα έχουμε : 2 ( ) gy ( ) ( 1+ ( ) ) 1/2 ( ) T T dt 1 1 y T = dt = ds = + y d= d (1.1.5) ds g y Συνεπώς η μαθηματική διατύπωση του παραπάνω προβλήματος έχει ως εξής : Να βρεθεί η καμπύλη y* C 1 [ 0, ] που ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό : ( ) T y 1 = 2g 0 y ( ) ( ) 1/2 2 1/2 (1 + ) y d 1/2 (1.1.6)

10 6 1. Εισαγωγή Η λύση του βραχυστόχρονου προβλήματος, όπως και στο ταυτόχρονο πρόβλημα (όπως θα δούμε και αναλυτικά στο κεφ. 2), είναι η κυκλοειδής καμπύλη. Την λύση στο παραπάνω πρόβλημα έδωσαν οι : Gottfried Wilhelm Leinitz ( ) (όμοια με του Johann Bernoulli), ο Newton, ο νεότερος αδερφός του Bernoulli ο Jaco Bernoulli ( ) (στηρίχτηκε στην αρχή του Huygens), ο Tschirnhaus, και τέλος ο L Hospital. Jaco Bernoulli ( ) Βασιζόμενος στην αρχή ελαχίστου χρόνου του Fermat ο Bernoulli έλυσε το βραχυστόχρονο πρόβλημα με τη μέθοδο της διακριτοποίησης. Το μνημείο του βραχυστόχρονου προβλήματος που βρίσκεται στο Groningen όπου ήταν καθηγητής ο J. Bernoulli από το 1695 έως το Ο Leonhard Euler ( ) που ήταν μαθητής του Bernoulli, πήρε τις μεθόδους επίλυσης συγκεκριμένων προβλημάτων όπως το παραπάνω και τις συστηματοποίησε σε μια συγκεκριμένη μέθοδο. Με την μέθοδο αυτή επίλυσε μια πολύ γενική κλάση προβλημάτων. Ο Joseph-Louis Lagrange ( ) ήρθε αργότερα να δείξει στον Euler με ποιο τρόπο θα μπορούσε να απαλλαγεί από τη χρήση των γεωμετρικών μεθόδων στις αποδείξεις του, κάνοντας χρήση συναρτήσεων σύγκρισης. Ο Euler ακολούθησε τις μεθόδους του Lagrange, βγάζοντας όλες τις γεωμετρικές μεθόδους από τις αποδείξεις του και ονόμασε το νέο αυτό ερευνητικό πεδίο με το όνομα που χρησιμοποιούμε σήμερα «Λογισμός των Μεταβολών» προς τιμή των μεθόδων μεταβολής που χρησιμοποίησε ο Lagrange.

11 1.1 Ιστορία του Λογισμού των Μεταβολών 7 Leonhard Euler( ) Joseph Louis Lagrange ( ) Το 1786, ο Adrien-Marie Legendre ( ) προσπάθησε να διατυπώσει συνθήκες μέσω της δεύτερης μεταβολής του συναρτησιακού που να ελέγχουν αν το ακρότατο ενός συναρτησιακού δίνει ελάχιστη ή μέγιστη τιμή στο συναρτησιακό (σε αντιστοιχία με το κριτήριο της παραγώγου δεύτερης τάξης για τον έλεγχο του ακρότατου σε συναρτήσεις). Η απόπειρα αυτή του Legendre δεν στέφθηκε με επιτυχία, μιας και ο Lagrange διατύπωσε πολλές αντιρρήσεις στη μέθοδο αυτή. Ότι δεν κατάφερε ο Legendre, το ολοκλήρωσε ο Gustav Jaco Jacoi ( ) το 1836 (50 χρόνια αργότερα), ο οποίος διατύπωσε ικανές και αναγκαίες συνθήκες ύπαρξης ακρότατου σε ένα συναρτησιακό. Andrien-Marie Legendre Carl Gustav Jaco Jacoi Την ίδια εποχή ο William Rowan Hamilton ( ) διατυπώνει την αρχή ελάχιστης δράσης σε μηχανικά συστήματα, σύμφωνα με την οποία η χρονική εξέλιξη ενός μηχανικού σώματος γίνεται κατά τέτοιον τρόπο ώστε το ολοκλήρωμα της διαφοράς Sir William R. Hamilton Richard E. Bellman,

12 8 1. Εισαγωγή μεταξύ κινητικής και δυναμικής ενέργειας να είναι στάσιμο. Η αρχή αυτή περιλάμβανε δύο μερικές διαφορικές εξισώσεις. Ο Jacoi δείχνει το 1838, ότι μόνο μια από τις μερικές διαφορικές εξισώσεις χρειάζεται και έτσι δημιουργείται η περίφημη Hamilton-Jacoi εξίσωση η οποία αποτέλεσε την βάση του Δυναμικού Προγραμματισμού που ανακαλύφθηκε από τον Richard Ernest Bellman ( ) 100 χρόνια αργότερα (το 1953). Σημαντικά βήματα στην εξέλιξη του λογισμού μεταβολών γίνονται στη συνέχεια από τον Karl Wilhelm Theodor Weierstrass ( ) και αργότερα από τους Oskar Bolza ( ), Gilert A. Bliss ( ), Constantin Carathéodory ( ) και McShane ( ). Ο Λογισμός των Μεταβολών, βρήκε πολλές εφαρμογές όπως για παράδειγμα στη Θεωρία Morse (Marston Morse ( )), στη Θεωρία Ελαχίστων Επιφανειών (2 μετάλλια Field δόθηκαν στην περιοχή αυτή στους Jesse Douglas το 1936 και Enrico Bomieri αντίστοιχα), στη Φυσική (πέραν της αρχής ελάχιστης δράσης του Hamilton, ο λογισμός μεταβολών χρησιμοποιήθηκε στην κβαντική μηχανική από τον Richard Feynman ( )), αλλά και στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. 1.2 Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ένα από τα θεμελιώδη προβλήματα του λογισμού μεταβολών είναι το εξής : Δεδομένου ενός καλώς ορισμένου συνόλου συναρτήσεων A και ενός συναρτησιακού J : A R, να προσδιοριστούν οι συναρτήσεις y A που ελαχιστοποιούν (ή μεγιστοποιούν) το J ( y ). Έστω για παράδειγμα το διάστημα [, ] 1 με [ a, ] a R και ας ορίσουμε C το σύνολο των συναρτήσεων που έχουν συνεχή πρώτη παράγωγο στο διάστημα [ a, ]. Έστω επίσης 1 [ ] a, ( ) = ( ( ) ( )) J : C R, J y f, y, y d (1.2.1) Στόχος του λογισμού των μεταβολών είναι λοιπόν να υπολογίσει τη συνάρτηση 1 y C[ a, ] που ελαχιστοποιεί (ή μεγιστοποιεί) το συναρτησιακό J( y ). Φυσικά μπορούμε αντί για απλές συναρτήσεις από το R στο R, να έχουμε διανυσματικές συναρτήσεις μέσα στο ολοκλήρωμα ή συναρτήσεις με περισσότερες από μια μεταβλητές και κατά συνέπεια αντί για απλό ολοκλήρωμα να έχουμε πολλαπλά ολοκληρώματα. Ο στόχος της Θεωρίας Βέλτιστου Ελέγχου, είναι να προσδιορίσει τα σήματα εισόδου τα οποία θα εξαναγκάσουν μια διαδικασία να ικανοποιήσει φυσικούς περιορισμούς και ταυτόχρονα να ελαχιστοποιήσει (ή να μεγιστοποιήσει) κάποια κριτήρια απόδοσης. Έχουμε λοιπόν για παράδειγμα μια διαδικασία (σύστημα) η οποία περιγράφεται, αν το σύστημα είναι συνεχές, από ένα σύνολο διαφορικών εξισώσεων της μορφής : όπου ( ) = a( (), t u(), t t) () = c( (), t u(), t t) t y t a (1.2.2)

13 1.2 Εισαγωγή στη Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου 9 1() t u1() t y1() t 2() t u2() t y2() t () t =, u() t =, y() t = () () y () n t um t p t (1.2.3) είναι τα διανύσματα κατάστασης, εισόδου και εξόδου αντίστοιχα. Επίσης έχουμε ένα δείκτη απόδοσης ο οποίος συνήθως περιγράφεται από ένα συναρτησιακό της μορφής : ( ) ( ( ), ) t f f f ( (), (), ) J u = h t t + g t ut tdt (1.2.4) t0 Έστω ότι η είσοδος u ικανοποιεί ένα σύνολο φυσικών περιορισμών και συνεπώς ανήκει σε έναν χώρο επιτρεπτών συναρτήσεων Ω. Ας υποθέσουμε επίσης ότι και το * διάνυσμα κατάστασης ικανοποιεί ένα σύνολο φυσικών περιορισμών και συνεπώς θα πρέπει να ανήκει σε έναν χώρο επιτρεπτών συναρτήσεων Ω. Η Θεωρία Βέλτι- * στου Ελέγχου έχει ως στόχο να υπολογίσει μια επιτρεπτή είσοδο u Ω u, η οποία θα οδηγήσει το σύστημα που περιγράφεται από τις διαφορικές εξισώσεις (1.2.2), σε μια * επιτρεπτή τροχιά Ω, η οποία θα ελαχιστοποιεί τον δείκτη απόδοσης της σχέσε- ως (1.2.4). Η είσοδος u * ονομάζεται βέλτιστος έλεγχος (optimal control), ενώ το * διάνυσμα κατάστασης ονομάζεται βέλτιστη τροχιά (optimal trajectory). tf tf ( ) = ( ( f), f ) + ( (), (), ) ( ( f ), f ) + ( (), (), ) = ( ) J * u * h * t t g * t u * t t dt h t t g t u t t dt J u t0 t0 u u Ω, Ω (1.2.5) u Φυσικά αντί για συνεχή συστήματα μπορούμε να έχουμε διακριτά συστήματα, αντί για συναρτήσεις μιας μεταβλητής να έχουμε συναρτήσεις πολλών μεταβλητών και αντί απλού ολοκληρώματος να έχουμε πολλαπλά ολοκληρώματα. Τέλος το συναρτησιακό είναι δυνατό να μην περιέχει ολοκλήρωμα. Αυτές είναι περιπτώσεις που δεν θα μελετήσουμε στον παρόν βιβλίο. Η κύρια διαφορά λοιπόν που παρατηρούμε σε σχέση με τα προβλήματα του λογισμού μεταβολών είναι ότι οι συναρτήσεις από τις οποίες εξαρτάται το συναρτησιακό (1.2.4), ικανοποιούν κάποιες επιπλέον συνθήκες είτε με τη μορφή αλγεβρικών εξισώσεων, είτε με τη μορφή διαφορικών εξισώσεων, είτε τέλος με τη μορφή ανισοτικών σχέσεων. Ένα από τα προβλήματα που παρουσιάσαμε στην προηγούμενη ενότητα και το οποίο μοιάζει με αυτά του βέλτιστου ελέγχου, είναι το βραχυστόχρονο πρόβλημα μιας και είναι το πρώτο πρόβλημα που μελετά τη δυναμική συμπεριφορά ενός σώματος (σύστημα), ενώ ταυτόχρονα ζητάει την εύρεση της βέλτιστης τροχιάς του σώματος αυτού (συναρτησιακό). Θα δούμε στη συνέχεια ένα παράδειγμα όπου φαίνεται καθαρά ο στόχος του βέλτιστου ελέγχου. Παράδειγμα 1.1 (Kirk 1970) Θεωρείστε ένα αυτοκίνητο το οποίο κινείται. O e d

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ακρότατα συναρτησιακών μιας συνάρτησης Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ

ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΙΔΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Διδάσκων: Θεόδωρος Ν. Τομαράς 1. Μετασχηματισμοί συντεταγμένων και συμμετρίες. 1α. Στροφές στο επίπεδο. Θεωρείστε δύο καρτεσιανά συστήματα συντεταγμένων στο επίπεδο, στραμμένα

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Λογισµός των µεταβολών. Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 2/2000 Μηχανική ΙI Λογισµός των µεταβολών Προκειµένου να αντιµετωπίσουµε προβλήµατα µεγιστοποίησης (ελαχιστοποίησης) όπως τα παραπάνω, όπου η ποσότητα που θέλουµε να µεγιστοποιήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης

Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο

Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Ακρότατα συναρτησιακών διανυσματικών συναρτήσεων Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1: Από τον Λογισμό των Μεταβολών στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών

Ενότητα 1: Από τον Λογισμό των Μεταβολών στην Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου. Νίκος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Από τον Λογισμό των Μεταβολών στην Νίκος Καραμπετάκης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, 6-7 ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΠΙΚ. ΚΑΘ. ΣΤΑΥΡΟΣ ΤΟΥΜΠΗΣ Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους 6-7. Περιοδικές Συναρτήσεις) Έστω συνεχής συνάρτηση f : R R περιοδική

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμες Κινήσεις

Ευθύγραμμες Κινήσεις Οι παρακάτω σημειώσεις διανέμονται υπό την άδεια: Creaive Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Παρόμοια Διανομή 4.0 Διεθνές. 1 Θέση και Σύστημα αναφοράς Στην καθημερινή μας ζωή για να περιγράψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χάρης Βάρβογλης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης

Χάρης Βάρβογλης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Χάρης Βάρβογλης Τμήμα Φυσικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Διατύπωσε την αρχή της διατήρησης της ορμής σε ένα (κλειστό) σύστημα N-σωμάτων. Στη συνέχεια διατύπωσε τους νόμους των κρούσεων μεταξύ σωμάτων. Υπολόγισε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003, Λευκωσία Τηλ. 357 22378101 Φαξ: 357 22379122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις

Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Ασκήσεις Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Θεωρία Βέλτιστου Ελέγχου Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 3 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο

Διαβάστε περισσότερα

20 επαναληπτικά θέματα

20 επαναληπτικά θέματα επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ λυκείου (τεύχος 3 σχολικό έτος 4-5) Γράφουν οι μαθηματικοί: Βέρρας Οδυσσέας Καρύμπαλης Νώντας Κοτσώνης Γιώργος Κώνστας Χάρης Λιτζερίνος Χρήστος Μπούζας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ 35 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. 5 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 15 1. Γενικά.. 15 Επιφάνεια 15 Ευθειογενεί επιφάνειε. 15 Επιφάνειε δευτέρου βαθμού.. 16 2. Μερικέ επιφάνειε δευτέρου

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Μηχανική Εικόνα: Isaac Newton: Θεωρείται πατέρας της Κλασικής Φυσικής, καθώς ξεκινώντας από τις παρατηρήσεις του Γαλιλαίου αλλά και τους νόμους του Κέπλερ για την κίνηση των πλανητών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων.

πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. πυθαγόρειες τριάδες, τριγωνομετρία και υπολογισμός ολοκληρωμάτων. Αριστείδης Κοντογεώργης -Τμήμα Μαθηματικών ΕΚΠΑ Πρότυπο Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης 21 Οκτωβρίου 2015 1 το τελευταίο θεώρημα του

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η 1 Σκοπός Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη θέση ή το χρόνο κίνησης ενός κινητού.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική ΙI. Αρχή Ελάχιστης Δράσης. Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000

Μηχανική ΙI. Αρχή Ελάχιστης Δράσης. Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 2/2000 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου /000 Μηχανική ΙI Αρχή Ελάχιστης Δράσης Η νευτώνεια μηχανική είναι η πρώτη σύγχρονη φυσική θεωρία για τη κίνηση της ύλης. Ο Νεύτων για να εξηγήσει τους νόμους του Κέπλερ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n +

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ. lim. (β) n + ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ» ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ ) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών με : (α) + 5 + 7 + + (β) + 5 + + (γ) + + + (δ) ( 5 ) + + 4 + ( ) + 5 ) Να βρεθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διατήρηση Ορμής Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ A.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός htt://hyiccore.wordre.co/ Βασικές Έννοιες Μέχρι τώρα έχουμε ασχοληθεί με την μελέτη ενός σώματος και μόνο. Πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους τους άξονες και.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 03.05.12 Χ. Χαραλάμπους 1 2 υωνυμικό Θεώρημα (o Newton κατέληξε στο δυωνυμικό θεώρημα από ένα πρόβλημα τετραγωνισμού!) Άπειρη σειρά: Σύγκλιση? Γιατί το Δυωνυμικό Θεώρημα θεωρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 13

Λογισμός 4 Ενότητα 13 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ. ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 2004 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙI Σεπτέμβριος 004 Τμήμα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου Απαντήστε και στα 4 θέματα με σαφήνεια και συντομία Η πλήρης απάντηση θέματος εκτιμάται ιδιαίτερα

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων. Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Βαρβιτσιώτης Ιωάννης Πρότυπο Πειραματικό Γενικό Λύκειο Αγίων Αναργύρων Μάιος 2015 Α. Εισαγωγή Ερώτηση 1. Η τιμή της μάζας ενός σώματος πιστεύετε ότι συνοδεύει το σώμα εκ κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ 166 Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΤΥΠΟΥ: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΡΕΥΣΤΑ ΣΕ ΚΙΝΗΣΗ 1. Να αναφέρεται παραδείγματα φαινομένων που μπορούν να ερμηνευτούν με την μελέτη των ρευστών σε ισορροπία. 2. Ποια σώματα ονομάζονται ρευστά;

Διαβάστε περισσότερα

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων

Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Κατακόρυφη πτώση σωμάτων Τα ερωτήματα Δύο σώματα έχουν το ίδιο σχήμα και τις ίδιες διαστάσεις με το ένα να είναι βαρύτερο του άλλου. Την ίδια στιγμή τα δύο σώματα αφήνονται ελεύθερα να πέσουν μέσα στον

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 17.05.12 Χ. Χαραλάμπους (1791-1858) 1858) Peacock: «Treatise on Algebra»(1830) και αργότερα μετά το 1839 την «αριθμητική άλγεβρα» και στην «συμβολική άλγεβρα». «αριθμητική άλγεβρα»:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ευθύγραμμη Ομαλή Κίνηση Επιμέλεια: ΑΓΚΑΝΑΚΗΣ.ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ, Φυσικός https://physicscorses.wordpress.com/ Βασικές Έννοιες Ένα σώμα καθώς κινείται περνάει από διάφορα σημεία.

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός των Μεταβολών και Αναλυτική Μηχανική Περιεχόμενα των Διαλέξεων Σταύρος Αναστασίου Πανεπιστήμιο Πατρών Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Πάτρα 2016 Πολύ πρόχειρες σημειώσεις για τους φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 4 Ενότητα 18

Λογισμός 4 Ενότητα 18 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Το Θεώρημα του Stokes. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Άσκηση 3 Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης Σύνοψη Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ o ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ.) Τ ι γνωρίζετε για την αρχή της ανεξαρτησίας των κινήσεων; Σε πολλές περιπτώσεις ένα σώμα εκτελεί σύνθετη κίνηση, δηλαδή συμμετέχει σε περισσότερες από μία κινήσεις. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ

Διαβάστε περισσότερα

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης

Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους

Διαβάστε περισσότερα

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.

1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1. 1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2 ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: 1. ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα.

Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα. Καλώς ήλθατε. Καλό ξεκίνημα. Αν. Καθηγητής Γεώργιος Παύλος ( Φυσικός) - ρ.καρκάνης Αναστάσιος (Μηχανολόγος Μηχανικός) Με τι θα ασχοληθούμε στα πλαίσια του μαθήματος: Α. Μαθηματική θεωρία ιανυσματικά μεγέθη,

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στην Κινητική

1. Εισαγωγή στην Κινητική 1. Εισαγωγή στην Κινητική Σύνοψη Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στις βασικές αρχές της Κινητικής θεωρίας. Αρχικά εισάγονται οι έννοιες των διανυσματικών και βαθμωτών μεγεθών στη Φυσική. Έπειτα εισάγονται

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ

Διδακτέα-εξεταστέα ύλη μαθηματικών Ημερησίου και Εσπερινού ΓΕ.Λ. Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Ο Δ Η Γ Ο Σ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ-ΕΞΕΤΑΣΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ Γενική Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Διδακτέα-εξεταστέα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β

Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β Από το βιβλίο «Μαθηματικά» της Γ τάξης Γενικού Λυκείου Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης των Ανδρεαδάκη Στ., κ.ά., έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 2011. σελ. 15 σελ. 16 σελ. 17 έως 21 σελ. 23 σελ. 24 Όλα ορισμός έντονα

Διαβάστε περισσότερα

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος

πάχος 0 πλάτος 2a μήκος B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1. ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης 1 Σκοπός ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1 ΚΕ Φ ΑΛ ΑΙ Ο 2 : Περ ιγ ραφ ή της κ ίν ησ ης Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την

Διαβάστε περισσότερα

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital:

2 η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : 21 Ιανουαρίου Άσκηση 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopital: η Εργασία Ημερομηνία Αποστολής : Ιανουαρίου 7 Άσκηση. Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια χρησιμοποιώντας τον Κανόνα του L Hopil: α. β. γ. lim 6 lim lim sin. (Υπόδειξη: χωρίς να την αποδείξετε, χρησιμοποιήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Ανάκλαση Κάτοπτρα Διάθλαση Ολική ανάκλαση Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου Μετατόπιση ακτίνας Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ - Ανάκλαση Επιστροφή σε «γεωμετρική οπτική» Ανάκλαση φωτός ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 Να υπολογίσετε το κάθε όριο αν υπάρχει ή να

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ενότητα 1 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ Ασκήσεις για λύση 3 3, < 1). Δίνεται η συνάρτηση f ( ). 6, Να βρείτε : i ) την παράγωγο της f, ii) τα κρίσιμα σημεία της f. ). Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί

Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών : Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Βελτιστοποίηση σε Πεπερασμένες Διαστάσεις & Ισοτικοί Περιορισμοί Τι θα γίνει όμως αν μας ζητηθεί να ελαχιστοποιήσουμε ως προς το R την f ( ) = Q + S Q = Q = S = με ταυτόχρονη ικανοποίηση της g( ) = c b

Διαβάστε περισσότερα

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης.

1 f. d F D x m a D x m D x dt. 2 t. Όλες οι αποδείξεις στην Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Αποδείξεις. d t dt dt dt. 1. Απόδειξη της σχέσης. Αποδείξεις. Απόδειξη της σχέσης N t T N t T. Απόδειξη της σχέσης t t T T 3. Απόδειξη της σχέσης t Ικανή και αναγκαία συνθήκη για την Α.Α.Τ. είναι : d F D ma D m D Η εξίσωση αυτή είναι μια Ομογενής Διαφορική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια του συναρτησιακού (functional).

Η έννοια του συναρτησιακού (functional). ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (CALCULUS OF VARIATIONS) Η έννοια του συναρτησιακού (fnctionl). Ορισµός : Εάν σε κάθε συνάρτηση που ανήκει σε κάποιο χώρο συναρτήσεων A, αντιστοιχεί µέσω κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σπύρου Ν. Πνευµατικού Καθηγητή Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών ΕΚ ΟΣΕΙΣ Γ. Α. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΥ 2005 Σ. Ν. Πνευµατικός Η αναπαραγωγή ολικά ή µερικά ή περιληπτικά, ή η αντιγραφή του

Διαβάστε περισσότερα

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση

Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση Διάγραμμα s - Ευθύγραμμη Κίνηση (m) Μέση αριθμητική ταχύτητα (μονόμετρο) Μέση διανυσματική ταχύτητα Μέση επιτάχυνση 1 4 Διάγραμμα u - (sec) Απόσταση (x) ονομάζουμε την ευθεία που ενώνει την αρχική και

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα :

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Με διάγραμμα : Νόμος Νόμοι Πρότυπο ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΟΜΑΛΑ ΜΕΤΑΒΑΛΛΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ (Ε.Ο.Μ.Κ.) Πρότυπο ευθύγραμμης ομαλά μεταβαλλόμενης κίνησης (Ε.Ο.Μ.Κ) Όταν η επιτάχυνση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' Τάξης Γενικού Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Μέτης Στέφανος Μπρουχούτας Κων/νος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 Αντικειμενικοί στόχοι Η μελέτη των βασικών στοιχείων που συνθέτουν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»

Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Θέση-Μετατόπιση -ταχύτητα

Θέση-Μετατόπιση -ταχύτητα Φυσική έννοια Φυσική έννοια Φαινόμενα ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΤΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Θέση-Μετατόπιση -ταχύτητα Ένα τρένο που ταξιδεύει αλλάζει διαρκώς θέση, το ίδιο ένα αυτοκίνητο και ένα πλοίο ή αεροπλάνο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις, περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στη ΦΥΣΙΚΗ

Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις, περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στη ΦΥΣΙΚΗ Γραπτές προαγωγικές εξετάσεις, περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στη ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 ο Ποιες λέξεις συμπληρώνουν σωστά τις παρακάτω προτάσεις: Α. Όταν ένα σώμα ασκεί δύναμη σ ένα άλλο σώμα (δράση), τότε και το δεύτερο

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου

ΦΥΣ Διάλ Άλγεβρα. 1 a. Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα Β του βιβλίου ΦΥΣ 131 - Διάλ. 4 1 Άλγεβρα a 1 a a ( ± y) a a ± y log a a 10 log a ± logb log( ab ± 1 ) log( a n ) n log( a) ln a a e ln a ± ln b ln( ab ± 1 ) ln( a n ) nln( a) Άσκηση για το σπίτι: Διαβάστε το παράρτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc

Γ. Β Α Λ Α Τ Σ Ο Σ. 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1. Γιώργος Βαλατσός Φυσικός Msc 4ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΛΑΜΙΑΣ 1 1. Πότε τα σώματα θεωρούνται υλικά σημεία; Αναφέρεται παραδείγματα. Στη φυσική πολλές φορές είναι απαραίτητο να μελετήσουμε τα σώματα χωρίς να λάβουμε υπόψη τις διαστάσεις τους. Αυτό

Διαβάστε περισσότερα

των δύο σφαιρών είναι. γ.

των δύο σφαιρών είναι. γ. ΘΕΜΑ B Σφαίρα µάζας κινούµενη µε ταχύτητα µέτρου υ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε ακίνητη σφαίρα ίσης µάζας Να βρείτε τις σχέσεις που δίνουν τις ταχύτητες των δύο σφαιρών, µετά την κρούση, µε εφαρµογή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα