ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Transcript

1 ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Mα θ η μ α τ ι κ ά Γ Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς

2

3 στον Αλέξη, το Σπύρο, τον Ηλία και το Λούη, στην παντοτινή φιλία Πρό λ ο γ ο ς Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός να βοηθήσει τους μαθητές της Γ Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την ύλη των Μαθηματικών Κατεύθυνσης, αφετέρου να αποτελέσει χρήσιμο βοήθημα για τους συναδέλφους εκπαιδευτικούς. Κάθε κεφάλαιο αποτελείται από ενότητες οι οποίες περιέχουν: Ι. ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ Πλήρης θεωρία η οποία συνοδεύεται από σχόλια και παρατηρήσεις προκειμένου να αναδειχθούν τα «σκοτεινά» σημεία της. ΙΙ. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Έγινε προσπάθεια ώστε όλες οι ασκήσεις να ενταχθούν σε ένα πλαίσιο μεθοδολογιών. Πιστεύοντας ότι δεν υπάρχουν εύκολες ή δύσκολες ασκήσεις αλλά μόνο ασκήσεις που μπορούν να επιλυθούν με κατάλληλη μεθοδολογία, δημιουργήσαμε κατηγορίες οι οποίες βοηθούν τους μαθητές να αυτενεργήσουν προκειμένου να λύσουν εφαρμογές κάθε επιπέδου δυσκολίας. ΙΙΙ. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΕΜΠΕΔΩΣΗΣ & ΕΜΒΑΘΥΝΣΗΣ Κάθε λυμένη εφαρμογή συνοδεύεται από παρόμοιες εφαρμογές για λύση. Όπου κρίνεται απαραίτητο υπάρχουν και επιπλέον εφαρμογές για λύση, ώστε ο μαθητής να αποκτήσει μεγαλύτερη εμπειρία. ΙV. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Ερωτήσεις σωστού-λάθους οι οποίες στοχεύουν να ελέγξουν τις γνώσεις που έχει αποκτήσει ο μαθητής. V. ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Στο τέλος κάθε παραγράφου υπάρχει ένα φύλλο αξιολόγησης με στόχο τον έλεγχο των γνώσεων που αποκτήθηκαν. VI. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν επαναληπτικά θέματα και διαγωνίσματα δομημένα με τέτοιο τρόπο, ώστε ο μαθητής να κάνει μια ολοκληρωμένη επανάληψη λίγο πριν από τις πανελλήνιες εξετάσεις και ο συνάδελφος εκπαιδευτικός να έχει μια σημαντική τράπεζα θεμάτων. Στο τελευταίο τμήμα του βιβλίου υπάρχουν απαντήσεις υποδείξεις όλων των εφαρμογών, των ερωτήσεων κατανόησης και των διαγωνισμάτων. Ελπίζοντας ότι η προσπάθεια αυτή θα βρει το στόχο της, παραδίδουμε το πόνημα αυτό στην αυστηρή κρίση των μαθητών και συναδέλφων εκπαιδευτικών. Νίκος Τάσος Μαθηματικός M.Sc.

4

5 Περ ι ε χ ό μ ε ν α ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Θεώρημα Rolle Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 11 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 14 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 45 Ερωτήσεις κατανόησης 57 Φύλλο αξιολόγησης Θεώρημα Μέσης Τιμής Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 61 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 62 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 93 Ερωτήσεις κατανόησης 12 Φύλλο αξιολόγησης Συνέπειες Θεωρήματος Μέσης Τιμής Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 15 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 17 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 129 Ερωτήσεις κατανόησης 143 Φύλλο αξιολόγησης Μονοτονία Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 147 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 15 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 21 Ερωτήσεις κατανόησης 218 Φύλλο αξιολόγησης Ακρότατα Θεώρημα Fermat Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 221 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 227 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 256 Ερωτήσεις κατανόησης 27 Φύλλο αξιολόγησης Κυρτότητα Σημεία καμπής Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 275 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 281 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 297 Ερωτήσεις κατανόησης 34 Φύλλο αξιολόγησης Κανόνας De L Hospital Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 39 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 311 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 326 Ερωτήσεις κατανόησης Ασύμπτωτες Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 333 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 336 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 355 Ερωτήσεις κατανόησης Μελέτη Συνάρτησης Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 363 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 363 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 369 Φύλλο αξιολόγησης 371 Επαναληπτικό φύλλο αξιολόγησης Διαφορικού Λογισμού Επαναληπτικό φύλλο αξιολόγησης Διαφορικού Λογισμού 2 375

6 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Αόριστο Ολοκλήρωμα Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 379 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 386 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 425 Ερωτήσεις κατανόησης 438 Φύλλο αξιολόγησης Ορισμένο Ολοκλήρωμα Ι Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 443 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 447 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 456 Ερωτήσεις κατανόησης Ορισμένο Ολοκλήρωμα ΙΙ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 463 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 465 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 534 Ερωτήσεις κατανόησης Ορισμένο Ολοκλήρωμα ΙΙΙ Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 553 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 554 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 571 Ερωτήσεις κατανόησης 579 Φύλλο αξιολόγησης Εμβαδά Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 583 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 586 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 623 Ερωτήσεις κατανόησης 643 Φύλλο αξιολόγησης Η συνάρτηση F() = α f(t)dt I Θεωρία σε μορφή ερωτήσεων-απαντήσεων 647 Μεθοδολογίες Εφαρμογές 65 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 677 Ερωτήσεις κατανόησης Η συνάρτηση F() = α f(t)dt ΙΙ Μεθοδολογίες Εφαρμογές 685 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης Η συνάρτηση F() = α f(t)dt ΙΙΙ Μεθοδολογίες Εφαρμογές 737 Εφαρμογές εμπέδωσης & εμβάθυνσης 756 Φύλλο αξιολόγησης 766 Επαναληπτικό φύλλο αξιολόγησης Ολοκληρωτικού Λογισμού Επαναληπτικό φύλλο αξιολόγησης Ολοκληρωτικού Λογισμού Επαναληπτικές ασκήσεις 771 Επαναληπτικό φύλλο αξιολόγησης Επαναληπτικό φύλλο αξιολόγησης Επαναληπτικό φύλλο αξιολόγησης Απαντήσεις Υποδείξεις Λύσεις 83 Βιβλιογραφία 879

7 Κεφάλαιο 1 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

8

9 1 Θεώρηµα Rolle ΘΕΩΡΙΑ ΣΕ ΜΟΡΦΗ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ -ΑΠΑΝΤΗΣΕΩΝ 1 i. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle. ii. Ποια είναι η γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle; Να συνοδεύσετε την απάντησή σας με κατάλληλο σχήμα. Απάντηση i. Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ) = ii. Γεωμετρικά αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο Μ(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα των. M(ξ, f(ξ)) αξ ξ β i. Το θεώρημα Rolle, όπως και το θεώρημα Bolzano, είναι υπαρξιακό. Δηλαδή μας εξασφαλίζει την ύπαρξη μίας τουλάχιστον ρίζας της f χωρίς ωστόσο να την προσδιορίζει. ii. Η φυσική ερμηνεία του θεωρήματος Rolle είναι ότι, αν ένα σώμα κινείται πάνω σε έναν άξονα και διέρχεται από ένα σημείο Α τη χρονική στιγμή t 1 και επανέρχεται στο σημείο Α τη χρονική στιγμή t 2, τότε υπάρχει χρονική στιγμή t μεταξύ των t 1, t 2 στην οποία η ταχύτητα του σώματος είναι μηδέν. iii. Παρατηρήστε ότι στο θεώρημα Rolle η συνέχεια της f εξετάζεται στο κλειστό διάστημα [α, β] και η παραγωγισιμότητα στο ανοικτό διάστημα (α, β). Αν λοιπόν μπορούσαμε να μελετήσουμε την παραγωγισιμότητα της f στο κλειστό διάστημα [α, β] τότε δεν θα χρειαζόταν να μελετήσουμε τη συνέχεια της f διότι κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι και συνεχής. Ο λόγος για τον οποίο όμως συμβαίνει το παραπάνω είναι διότι για να ισχύει κάθε θεώρημα απαιτούνται οι ελάχιστες δυνατές προϋποθέσεις. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 11

10 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μπορούμε ωστόσο να μελετάμε την παραγωγισιμότητα (και επομένως και τη συνέχεια) της συνάρτησης f στο (α, β) και να εξετάζουμε τη συνέχεια της f στα άκρα α, β του διαστήματος [α, β]. Δηλαδή να ελέγχουμε αν ισχύει: im f() = f(α) και im f() = f(β) α β Μπορούμε ακόμη να μελετάμε την παραγωγισιμότητα της f στο κλειστό διάστημα [α, β] οπότε με τον τρόπο αυτό να καλύπτουμε και τις δύο πρώτες προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. iv. Γενίκευση του θεωρήματος Rolle για ανοικτό διάστημα. Αν για μια συνάρτηση f ισχύει ότι: είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα (α, β) είναι από δεξιά συνεχής στο α και από αριστερά συνεχής στο β τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ) = v. Το συμπέρασμα του θεωρήματος Rolle «τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ) =» μπορεί να εμφανιστεί και με τις εξής μορφές: «Η εξίσωση f () = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β)» «Η C f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο του οποίου η τετμημένη ανήκει στο διάστημα (α, β)» «Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ(ξ, f(ξ)) να είναι παράλληλη στον άξονα» vi. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα [α, β], τότε δεν ισχύει το θεώρημα Rolle διότι σε κάθε περίπτωση είναι f(α) f(β). vii. Δεν μπορεί να ισχύει ταυτόχρονα το θεώρημα Bolzano και το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [α, β]. viii. Οι τρεις συνθήκες του θεωρήματος Rolle είναι ικανές όχι όμως και αναγκαίες. Δηλαδή μπορεί να υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο, ώστε: f (ξ) = χωρίς να ικανοποιούνται οι συνθήκες του θεωρήματος Rolle. Με άλλα λόγια, δεν ισχύει το αντίστροφο του θεωρήματος Rolle. Αν πάλι μία από τις συνθήκες του θεωρήματος Rolle δεν ισχύει τότε δεν εφαρμόζεται το θεώρημα. Τα παρακάτω γραφήματα είναι κατατοπιστικά. α β f ασυνεχής στο [α, β] και δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη α ξ β f ασυνεχής στο [α, β] και δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο = ξ 12 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

11 1. ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE α f ασυνεχής στο α και δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη β α ξ β f ασυνεχής στο α και δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο = ξ α β f μη παραγωγίσιμη στο [α, β] και δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη α ξ β f μη παραγωγίσιμη στο [α, β] και δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο = ξ f(β) f(α) α f(α) f(β) και δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη β f(β) f(α) α ξ β f(α) f(β) και δέχεται οριζόντια εφαπτομένη στο = ξ i. Για να εφαρμοστεί το θεώρημα Rolle πρέπει η f να ορίζεται σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων. Έστω συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το διάστημα Δ. Ονομάζουμε παράγουσα συνάρτηση ή παράγουσα ή αρχική της f κάθε συνάρτηση F ορισμένη και παραγωγίσιμη στο Δ για την οποία είναι: F () = f(), Δ Στον παρακάτω πίνακα παραθέτουμε τις παράγουσες κάποιων βασικών συναρτήσεων. Περισσότερες παράγουσες και τεχνικές εύρεσής τους θα συναντήσετε στις μεθοδολογίες που ακολουθούν. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 13

12 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ f α α ν α + β α 2 συν(α + β) ημ(α + β) e α + β α +β F α α ν+ 1 ν + 1 α n + β α ημ(α+β) α συν(α + β) α e α+β α α +β nα ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΑτηΓορίΑ 1 Ασκήσεις στις οποίες ζητείται να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Rolle. ΜΕθοΔος Εξετάζουμε αν ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος. Μην ξεχνάτε ότι μπορεί να υπάρχει ξ (α, β) τέτοιο, ώστε f (ξ) = χωρίς να ισχύουν όλες οι προϋποθέσεις του θεωρήματος. 1.1 Εφαρμογή Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: f() = i. Nα εξετάσετε αν ισχύει το θεώρημα Rolle στο [ 1, 2]. ii. Αν ισχύει να βρείτε το ξ ( 1, 2) ώστε f (ξ) =. Λύση i. Η f είναι συνεχής στο [ 1, 2] ως πολυωνυμική. Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( 1, 2) με παράγωγο f () = f( 1) = ( 1) 3 + ( 1) 2 4( 1) + 1 = 5 και f(2) = = 5. Άρα f( 1) = f(2). Οπότε ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. ii. Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( 1, 2) τέτοιο, ώστε: f (ξ) = 3ξ 2 + 2ξ 4 = ( ξ = ( 1, 2) ή ξ = ( 1, 2) ) 1.2 Εφαρμογή Δίνεται συνάρτηση f με τύπο: f() = 3 ( + 2 ) 2 Nα εξετάσετε ποιες από τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle ισχύουν στο [ 4, ]. 14 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ