Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/)

Transcript

1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου & Ρυθμίσεως Μηχανών (h>p://courseware.mech.ntua.gr/ml23147/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h>p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2 Δομή της Ύλης του Μαθήματος Εισαγωγη στο Χώρο Κατάστασης Μοντελοποίηση στο Χώρο Κατάστασης Ανάλυση Συστημάτων στο Χώρο Κατάστασης Δομικές Ιδιότητες Συστημάτων Ελεγξιμότητα Παρατηρησιμότητα Ευστάθεια Σχεδίαση Συστημάτων Ελέγχου Ποιοτικά Κριτήρια Σχεδίασης Ανατροφοδότηση Κατάστασης Εισαγωγή στον Βέλτιστο Έλεγχο Εισαγωγή στην Βελτιστοποίηση σε χώρουν πεπερασμένων και απείρων διαστάσεων. Εισαγωγή στο Λογισμό των Μεταβολών Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών Αναγκαίες Συνθήκες Βελτίστου Ελέγχου Προβληματα τύπου «Γραμμικού Ρυθμιστή» Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 2

3 Βέλτιστος Έλεγχος Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 3

4 Ακρότατα Συναρτησιακών πολλών Συναρτήσεων Θέλουμε να βρούμε την αναγκαία συνθήκη που πρέπει να ικανοποιείται από ένα ακρότατο του συναρτησιακού όπου ο αρχικός χρόνος t 0 και αρχική τιμή x(t 0 )=x 0 είναι καθορισμένα και ο τελικός χρόνος t f και τελική τιμή x(t f )=x f είναι «ελέυθερα» (ακαθόριστα). Όπως και για τη περίπτωση μίας συνάρτησης, από την ολικη μεταβολή ΔJ(x) οδηγούμαστε στην πρώτη μεταβολή δj(x) και εφαρμόζοντας το Ακρογωνιαίο Θεώρημα Λογισμού των Μεταβολών... T T T

5 Ακρότατα Συναρτησιακών πολλών Συναρτήσεων Να σημειωθεί ότι, στις προηγούμενες (και επόμενες) σχέσεις, εφόσον το x είναι n- διάστατο διάνυσμα τα θα είναι n- διάστατα διανύσματα («στήλες»). g x, g!x Αποδεικνύεται ότι η παραπάνω σχέση, και στην n- διάστατη περίπτωση, οδηγεί στις αντίστοιχες n+1 σχέσεις Εξίσωση Euler T Οριακές Συνθήκες T Όπως και στη μονοδιάστατη, ανάλογα με τις τελικές οριακές συνθήκες οι παραπάνω σχέσεις εξειδικεύονται όπως φαίνονται στον επόμενο πίνακα: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 58

6 Ακρότατα Συναρτησιακών πολλών Συναρτήσεων T T + Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 59

7 Παράδειγμα: καθορισμένα οριακά σημεία Example KIRK Example KIRK g x 1 d dt g x 2 d dt g!x 1 = 0 g!x = 0 2 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 60

8 Παράδειγμα: καθορισμένα οριακά σημεία (συνεχ.) Example KIRK Example KIRK Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 61

9 Παράδειγμα: Ελεύθερα (μερικώς) οριακά σημεία Example KIRK Example KIRK g x 1 d dt g x 2 d dt g!x 1 = 0 g!x 2 = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 62

10 Παράδειγμα: Ελεύθερα (μερικώς) οριακά σημεία (συνεχ.) E Example KIRK Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 63

11 Παράδειγμα: Ελεύθερα (μερικώς) οριακά σημεία (συνεχ.) Since c 3 =0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 64

12 Ασκήσεις εξάσκησης για το σπίτι c Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 65

13 Παράδειγμα late Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 66

14 Παράδειγμα late Τ g!x t=t f =2 = 0 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 67

15 Παράδειγμα late g x( t),!x ( t),t ( ) g!x Τ!x t=t f = 0 x( t ) f = z f = 5 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 68

16 Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των ( ) Μεταβολών Εστω σύστημα!x ( t) = a x( t),u( t),t με t 0, x(t 0 ) καθορισμένα. Ζητείται η εύρεση κατάλληλης συνάρτησης ελέγχου u*(t) που, παράγοντας τη τροχιά x*(t) μέσω της παραπάνω ΔΕ του συστήματος, αντιστοιχεί σε ακρότατη τιμή του συναρτησιακού Στο συναρτησιακό, το ολοκλήρωμα αντιστοιχεί στην διαδικασία της πορείας του συστήματος μεταξύ [t 0, t f ] ενώ η συνάρτηση h(x(t f ), t f ) εξαρτάται μόνο από την τελική κατάσταση και χρόνο. Ποιές είναι οι αντιστοιχες συνθηκες που μας οδηγούν στην εύρεση του ακροτάτου? Παρατηρούμε ότι οπότε το συναρτησιακό γίνεται Επειδή το h(x(t 0 ), t 0 ) είναι ανεξάρτητο της βελτιστοποίησης (εξαρτάται μόνο από τα x(t 0 ), t 0 που είναι προκαθορισμένα) μπορούμε να ασχοληθούμε με την εύρεση ακροτάτων για το Αν δε, εφαρμόσουμε τον «κανόνα της αλυσίδας» Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 69

17 Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών ( ) Οι ΔΕ!x ( t) = a x( t),u( t),t του συστήματος εισάγονται ως ισοτικοί περιορισμοί μέσω των πολ/στών Lagrange οπότε, άν «δομηθούν» με τη μορφή του διανύσματος T p( t) = p 1 ( t) p 2 ( t)! p n ( t), λαμβάνουμε Ορίζοντας Καταλήγουμε στο (γνώριμο) πρόβλημα ευρεσης ακροτάτων για το συναρτησιακό ] Aν ακολουθήσουμε τη γνωστή τακτική εύρεσης ολικής και πρωτης μεταβολής με βαση τις μεταβολές δ x,δ!x,δu,δ p και ότι δεν εμφανίζονται τα!u,!p στο g a έχουμε + Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 70 ( ) + +

18 Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών Αν ληφθεί υπόψη η μορφή της g a και το Ακρογωνιαίο Θεώρημα Λογισμού των Μεταβολών λαμβάνουμε εξισώσεις τύπου Euler (διαφορικές) και Οριακών συνθηκών (αλγεβρικές) που πρέπει να ικανοποιούν οι επιζητούμενες συναρτήσεις ακροτάτων x ( t), p ( t),u ( t). Δηλαδη Εξισώσεις κατάστασης Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 71 ( ) Εξισώσεις «Συγκατάστασης» (Co- state Equajons) Εξισώσεις Ελέγχου Οριακές Εξισώσεις Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 71

19 Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών Αν στa παραπάνω εισάγουμε την έννοια την Χαμιλτονιανής ή Συνάρτησης Pontryagin Οι προηγούμενες εξισώσεις των ακροτάτων γίνονται Εξισώσεις κατάστασης Εξισώσεις «Συγκατάστασης» (Co- state Equajons) Εξισώσεις Βελτίστου Ελέγχου Οριακές Εξισώσεις Όπως και στη προηγούμενη θεώρηση (βελτιστοποίηση συναρτησιακού χωρίς ισοτικούς περιορισμούς), ανάλογα με τις τελικές οριακές συνθήκες, οι παραπάνω σχέσεις εξειδικεύονται όπως φαίνονται στον επόμενο πίνακα: Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 72

20 Βέλτιστος Έλεγχος μέσω Λογισμού των Μεταβολών Αντικατάσταση στις Οριακές Εξισώσεις Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 73

21 Παράδειγμα- 1 Ξ Solujon u ( t) = p 2 ( t) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 74

22 Παράδειγμα- 1 Solujon Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 75

23 Παράδειγμα- 1 Εξισώσεις Καταστασης, x(0)=0 Εξισώσεις Συγκατάστασης: x( 0) = 0 h x x( 2) p 2 ( ) = 0 p( 2) = x( 2) 5 2 T Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 76

24 Παράδειγμα- 2 Αναζητουμε τον βέλτιστο σχεδιασμό προφυλακτήρα για «βέλτιστη απόδοση» κατά τη σύγκρουση Θεωρούμε ως είσοδο τη δύναμη από το προφυλακτήρα και το μοντελλο: x1 = y x2 = y! Με y την μετατόπιση από τη στιγμή της προσκρουσης και μετά. Οι λειτουργικές προδιαγραφές είναι: ti = 0 tf = 1 y(ti) = 0, y (ti) = 4 y(tf) = free, y (tf) = 0 Η έννοια του «βελτιστου» υλοποιείται t μ έσω ελαχιστοποίησης ενός κριτηρίου =1 1 λειτουργικής απόδoσης J =!! y 2 ( t ) dt 2 t =0 ΛΥΣΗ: Οι εξισώσεις κατάστασης f i x!1 = x2 x!2 = F =u m οπότε ως είσοδος u ελήφθη η ανα μονάδα μάζας δύναμη και το κριτήριο 1 λειτουργικής απόδoσης γίνεται J ( u ) = 1 u 2 ( t ) dt 20 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 77

25 Παράδειγμα- 2 Θεωρούμε την Χαμιλτονιανή Η εξίσωση Βελτίστου Ελέγχου είναι οπότε x,u, p Οι εξισώσεις συγκατάστασης Οι εξισώσεις κατάστασης είναι Οι οριακές συνθήκες είναι t=0: t=1: H ( x,u, p) = 1 2 u2 + p 1 x 2 + p 2 u H u = H u ( ) = 0 = u + p 2 u = p 2!p 1 = H = 0 p 1 ( t) = c 1 x 1!p 2 = H = p 1 = c 1 p 2 x 2 ( ) = 0 c 4 = 0 x 2 ( 0) = 4 c 3 = 4 x 1 0 ( ) = 0 c 2 + c 3 = 0 c 2 = 4 x 1 ( 1) : free h x 2 1 x 1 p 1!x 2 = H = p 2 = c 1 t c 2 x 2 p 2 H = H ( x,u, p ) = 1 2 p 2 ( t) = c 1 t + c 2 ( ) 2 + p 1 x 2 ( t) = c 1 2 t 2 c 2 t + c 3!x 1 = H = x 2 = c 1 p 1 2 t 2 c 2 t + c 3 x 1 ( t) = c 1 6 t 3 c 2 2 t 2 + c 3 t + c 4 ( ( )) p 1 ( 1) = 0 p 1 ( 1) = 0 c 1 = 0 x 1 x 1 ( t) = 2t 2 + 4t x 2 t t ( ) = 4t + 4 ( ) = 0 p 2 ( t) = 4 u ( t) = p 2 ( t) = 4 Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 78

26 Παράδειγμα- 2 Στο σχήμα φαίνονται: Οι βέλτιστες αποκρίσεις και Ο έλεγχος Από κατασκευαστικής σκοπιάς είναι σημαντικό να διερευνηθεί αν ο απαιτούμενος «σταθερός έλεγχος» (δύναμη αντίστασης) μπορεί να υλοποιηθεί με παθητική ή είναι απαραίτητη η ενεργητική διάταξη. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 79

27 Παράδειγμα- 3 Σε ορισμένες περιπτωσεις, που έχουμε μειώσεις της γωνιακής ταχυτητας γεννητριών, θέλουμε να την επαναφέρουμε στον ελάχιστο δυνατό χρόνο στην επιθυμητή γωνιακή ταχύτητα, προσέχοντας ταυτόχρονα να μη ασκήθει απότομα μεγάλη ροπή στην άτρακτο του ρότορα. Το σύστημα περιγράφεται από την: dω T = B ω + J dt Αν Β = J = 1, η κατάσταση x = ω και η είσοδος u = T, τότε: x! = x + u Οριακές συνθήκες (απλουστευμένη περίπτωση) x(0) = 0 και x(tf) = 10, tf : free Επιθυμούμε: Η μετάβαση x(0) = 0 x(tf) = 10 να γίνει στον ελάχιστο δυνατό χρόνο tf, και ταυτόχρονα να μη ασκήθει απότομα μεγάλη ροπή στην άτρακτο του ρότορα δηλαδή να διατηρηθεί η απόλυτη τιμή της επιτάχυνσης ω! = x! = x + u σε χαμηλά επίπεδα. Επομένως μπορούμε να υιοθετήσουμε ένα Δείκτη Λειτουργικής Απόδωσης tf 1 2 J ( u ) = γ t f + ( u x ) dt 20 όπου γ «επιβάλλει» τη σχετική βαρύτητα μεταξύ των 2 «επιθυμιών» μας. Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 80

28 Παράδειγμα- 3 ΛΥΣΗ: 1 2 Θεωρούμε την Χαμιλτονιανή H ( x,u, p ) = ( u x ) + p ( u x ) H H 2 Eξίσ. Βελτίστου Ελέγχου: = ( x,u, p ) = 0 = u x + p u = x p οπότε u u 1 2 H = H ( x,u, p ) = ( p ) 2 Εξισ. Συγκατάστασης: H p! = = 0 p ( t ) = c1 x Εξισ. (βέλτιστης τροχιάς) κατάστασης: H x! = = p = c1 x ( t ) = c1 t + c0 p Οι οριακές συνθήκες είναι h ( x (t ),t ) t t=0: x ( 0 ) = 0 c0 = 0 x ( t ) = c1 t t f : free H + γ t=1: x t f = 10 c1 t f = 10 ( ) ( f ) tf f 2 1 = 0 ( p ) + γ = 0 c1 = ± 2γ 2 t Για να λάβουμε χρόνο tf θετικό πρέπει c1 < 0, επομένως c1 = 2γ f x ( t ) = 2γ t p ( t ) = 2γ u ( t ) = x ( t ) p ( t ) = 2γ ( t + 1) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 81