Η έννοια του συναρτησιακού (functional).

Transcript

1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (CALCULUS OF VARIATIONS) Η έννοια του συναρτησιακού (fnctionl). Ορισµός : Εάν σε κάθε συνάρτηση που ανήκει σε κάποιο χώρο συναρτήσεων A, αντιστοιχεί µέσω κάποιου νόµου ένας ορισµένος αριθµός I ( ), τότε λέµε ότι η αντιστοιχία αυτή I παριστάνει ένα συναρτησιακό, µε πεδίο ορισµού το σύνολο των συναρτήσεων x και πεδίο τιµών το R. ( ) A I ( x) I( ) Τυπικά παραδείγµατα συναρτησιακών αποτελούν το µήκος τόξου µιας καµπύλης, η παραµορφωσιακή ενέργεια ενός ελαστικού σώµατος. Το πρόβληµα που αντιµετωπίζουµε είναι να βρούµε µια συνάρτηση που να ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό I που δίνεται από τον παρακάτω νόµο : I ( ) F(,, x), ()

2 και η οποία επιπλέον ικανοποιεί τις εξαναγκασµένες-κινηµατικές Σ.Σ (Force Bonry Conitions) στα άκρα x και x. ( ) ( ) (Σ) H συνάρτηση θα πρέπει να έχει συνεχείς παραγώγους µέχρι και δευτέρας τάξης, επίσης η συνάρτηση F θα πρέπει και αυτή να έχει συνεχείς µερικές παραγώγους µέχρι δευτέρας τάξης ως προς τις µεταβλητές της. Έστω µε ( A, ) η συνάρτηση που ελαχιστοποιεί το συναρτησιακό I όπως φαίνεται στο σχήµα. Αντικαθιστούµε την µε µια ελαφρώς διαφορετική συνάρτηση η οποία όµως υπόκειται και αυτή στους ίδιους περιορισµούς µε τη. ( ) ( )

3 Έστω: ε n, n ( A, ) +., όπου ε µικρή θετική παράµετρος ε > και Προφανώς όταν η (άρα και η παραπάνω κινηµατικές Σ.Σ (Σ) τότε η δεδοµένο σηµείο. ) ικανοποιεί κάποια από τις n είναι µηδενική για το Η διαφορά µεταξύ και καλείται µεταβολή (vrition) της και συµβολίζεται ως : ε n δ, () Αντίστοιχα ορίζεται και η δ ε n. (3) δ Έστω ( ) από τη και ( ) από την τιµή I η ελάχιστη τιµή του συναρτησιακού που προκύπτει I η τιµή του συναρτησιακού που προκύπτει. Για να έχει το I τοπικό ελάχιστο θα πρέπει ( ) I( ) I I. (4) x A, : ή η <. Η διαφορά γράφεται για κάθε ( ) ( ) < ε [ F(, x) F(, x) ] I,,, (5) 3

4 Αναπτύσσοντας σε σειρά Tylor την F (, x), έχουµε (,, x) F( + εn, + εn, x) F(, x) + ε n + n F, 3 ( ) ε F F F + n + nn + n& + O ε,! και αντικαθιστώντας στην (5) έχουµε 3 I ε n n F ε n n F+ O ε! 3 (, n) + δ I(, n) O( ε ) δi +! ( ). (6) Το πρώτο ολοκλήρωµα παριστάνει την πρώτη µεταβολή του συναρτησιακού I ( n) ε n + n F δ+ δ F δ I, δf όπου δ F η πρώτη µεταβολή της συναρτήσεως F. Αντίστοιχα ορίζεται και η δεύτερη µεταβολή (7) δ I ε n + n F δ+ δ F όπου δ F η δεύτερη µεταβολή της συναρτήσεως F. Συνοψίζοντας µπορούµε να γράψουµε δ F (8) 4

5 I δ I+ δ I+! R 3 Αν η πρώτη µεταβολή δ I είναι διάφορη του µηδενός τότε για αρκετά µικρά ε το πρόσηµο της διαφοράς I εξαρτάται από τη συνάρτηση n. Άρα για να είναι η διαφορά I θετική για κάθε ( A ) n, θα πρέπει δ I (9) Από την άλλη η σχέση αυτή αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για να έχει το συναρτησιακό I ελάχιστο. Ικανή συνθήκη για ελάχιστο είναι η δεύτερη µεταβολή του συναρτησιακού δ να είναι θετικά ορισµένη για όλες τις δυνατές µεταβολές δ. I Ιδιότητες της µεταβολής δ Υπάρχει πλήρης αναλογία µεταξύ µεταβολής δ F και διαφορικού F. Πράγµατι F δf + + x δx+ δ+ δ x όµως επειδή το x δεν µεταβάλλεται έχουµε δ x. 5

6 Όπως είδαµε υπάρχει πλήρης αντιστοιχία µεταξύ του διαφορικού και της µεταβολής δ, χωρίς αυτό φυσικά να σηµαίνει ότι θα πρέπει να συγχέονται οι δυο τελεστές. Κατ αναλογία µε την παράγωγο µπορούµε να γράψουµε : δ ( F FδF + FδF F ), F δ F FδF FδF F, όπου F F(,, x) και F F (,, x). Επίσης µια πολύ χρήσιµη ιδιότητα είναι ότι όταν το x είναι ανεξάρτητη µεταβλητή δηλαδή δ x ισχύει ότι οι δυο τελεστές δ και ( ) είναι αντιµεταθετοί δηλαδή δ. ( ) δ δ 6

7 Εξισώσεις Eler-Lgrnge Αποδείξαµε ότι για να έχει ακρότατο το συναρτησιακό θα πρέπει η πρώτη µεταβολή του συναρτησιακού I να είναι µηδενική για κάθε δυνατή µεταβολή δ. I δ+ δ δ, () Με ολοκλήρωση κατά µέρη η πρώτη µεταβολή του συναρτησιακού γίνεται δ I + δ δ από την οποία προκύπτει δ. (), () n ή ισοδύναµα η δ είναι αυθαίρετη στο διάστηµα ολοκληρώσεως < x<. Η εξίσωση αυτή ονοµάζεται Eler-Lgrnge και αποτελεί την αναγκαία συνθήκη για να έχει το συναρτησιακό ακρότατο όχι όµως και την ικανή για να µπορέσουµε να καθορίσουµε αν το ακρότατο αυτό είναι µέγιστο ή ελάχιστο. και αυτό γιατί η 7

8 Η εξίσωση Eler-Lgrnge µπορεί να γενικευθεί και στην περίπτωση κατά την οποία η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση F περιέχει παραγώγους µεγαλύτερης τάξης του. Έστω ότι έχουµε το συναρτησιακό I και θέλουµε να υπολογίσουµε το ακρότατο του (, x) I F,, (3) Η πρώτη µεταβολή γράφεται δi ε n + n + n F δ+ δ + δ F οπότε για να έχουµε ακρότατο θα πρέπει δ I και µετά από ολοκληρώσεις κατά µέρη έχουµε F F I + + δ δ δ + F δ. (4) Εάν τώρα οι τιµές των συναρτήσεων και είναι καθορισµένες στα άκρα τότε: δ ( ), δ( ), δ ( ), δ ( ), στην περίπτωση αυτή οι δύο τελευταίοι όροι στην σχέση (4) µηδενίζονται. Άρα επειδή η δ είναι αυθαίρετη στο διάστηµα < x< το ολοκλήρωµα στην (4) θα µηδενισθεί µόνο όταν +, (5) 8

9 η οποία είναι και η E-L για το συγκεκριµένο πρόβληµα. Ειδικές Περιπτώσεις Στην γενική περίπτωση είδαµε ότι όταν η F είναι της µορφής F,, x τότε η Ε-L είναι της µορφής : ( ) εκτελώντας την παραγώγιση έχουµε F F F x F F F F. (6) x Θα εξετάσουµε τις εξής περιπτώσεις :. F (, x). F (, x) 3. F (, ). Στην περίπτωση αυτή η (6) (Eler-Lgrnge) είναι µια αλγεβρική εξίσωση της µορφής F. (7). Στην περίπτωση αυτή η (6) γίνεται 9

10 F + F x const. (8) 3. Στην περίπτωση αυτή η (6) καταλήγει µε την παρατήρηση ότι ( F F ) F F + F F F ( F ) ( F ) ( F ) F ( F ) F όµως είναι ( ) F F (εξίσωση E-L). Άρα ( F F ) F F const. (9) Εφαρµογές Α. Ο συντοµότερος δρόµος µεταξύ δύο σηµείων είναι η ευθεία. Ορίζουµε το συναρτησιακό µήκος τόξου καµπύλης I + ( ) () Όπου C [, ] και ( ) yo, ( ) y. Προφανώς

11 (,, x) + ( ) F Η εξίσωση E-L για την περίπτωση αυτή είναι + ( ) c c. () Λύνοντας ως προς έχουµε : k kx+ m όπου k c c και m σταθερά. Εφαρµόζοντας τις συνοριακές συνθήκες έχουµε : ( ) y y k m, ( ) y y k+ m o o + Λύνοντας έχουµε : k y y o και m yo y Άρα y y yo y x+ o ()

12 Όποτε αποδείξαµε ότι η συνάρτηση που δίνει στο συναρτησιακό µήκος τόξου ακρότατο είναι η ευθεία. Β. Το πρόβληµα του βραχύχρονου (rchistochrone) Ένα σώµα µάζας m µε µηδενική αρχική ταχύτητα κυλά χωρίς τριβές λόγω βαρύτητας από ένα σηµείο ( x ) σε ένα ( x ), y, y πάνω σε ένα σύρµα που το σχήµα του περιγράφεται από την καµπύλη y y. Να βρεθεί το σχήµα του σύρµατος ώστε το σώµα να χρειάζεται τον ελάχιστο χρόνο για να φτάσει από το ένα σηµείο στο άλλο. Ο χρόνος καθόδου Τ για το σώµα είναι : T T S t t s s S s v (3) όπου S είναι το συνολικό µήκος τόξου της καµπύλης και v η ταχύτητα καθόδου.

13 x x, y y y x και y C [ x, x ] Επειδή s + ( y ) η σχέση (3) γράφεται T x x + ( y ) v, (4) Από Αρχή ιατήρησης της Ενέργειας έχουµε mv + mgy + mgy (5) άρα v ( y y( )) g x (6) οπότε η (4) γράφεται 3

14 T x x + g ( y ) ( y y ) (7) Σκοπός µας είναι να βρούµε ακρότατο για το παραπάνω συναρτησιακό. Προφανώς F ( y y, x) F( y, y ) + ( y ) ( y y ), (8) Άρα είµαστε στην ειδική περίπτωση 3. Όποτε κατευθείαν µπορούµε να γράψουµε σύµφωνα µε τη σχέση (9) F y Fy c. Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση την (8) και εκτελώντας τις πράξεις έχω + y ( y ) y ( y ) + ( y ) y y c (9) η οποία απλοποιείται τελικά στην διαφορική ( y y) ( y y) y c (3) c επειδή το σώµα κατέρχεται η µορφή της καµπύλης είναι τέτοια y ώστε <, οπότε η (3) µπορεί να γραφτεί y c c ( y y) c c y y ( y y) c ( y y) y 4

15 y y x y+ c. (3) c ( y y) Θέτοντας sin φ y y c, (3) προκύπτει ( ) x c sinφ + c φ (33) Οι εξισώσεις (3) και (33) είναι οι παραµετρικές εξισώσεις του κυκλοειδούς. Γ. Το πρόβληµα του αλυσσοειδούς (Ctenry) Έστω δυο σηµεία στο επίπεδο xy ζητείται η εξίσωση της συνεχούς καµπύλης που θα ενώνει τα δυο αυτά σηµεία έτσι ώστε όταν στραφεί η καµπύλη περί τον x άξονα να προκύψει το ελάχιστο εµβαδό επιφάνειας περιστροφής. ( x, y ) y ( x, y ) 5

16 Το εµβαδό επιφάνειας που έχει προκύψει από περιστροφή καµπύλης δίνεται από το τύπο I x y + x x ( y ) π y + ( y ) π (34) x x x, y y y x και y C [ x, x ] Προφανώς είµαστε στην περίπτωση 3 ( y, y, x) F( y, y ) y + ( y ) (35) F Όποτε κατευθείαν µπορούµε να γράψουµε σύµφωνα µε τη σχέση (9) F y Fy c Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση την (35) και εκτελώντας τις πράξεις έχω yy y + ( y ) y c, (36) + η οποία καταλήγει στην ( y ) + y ( y ) c (37) Αν c y 6

17 y Αν c y (38) c Λύνοντας την διαφορική εξίσωση (38) έχουµε x m y cosh c c όπου m σταθερά. Η παραπάνω εξίσωση παριστάνει την καµπύλη που σχηµατίζεται από το φυσικό κρέµασµα µιας αλυσίδας. Φυσικές Συνοριακές Συνθήκες Σε όλη την προηγούµενη ανάλυση είχαµε θέσει ως δεδοµένο ότι η συνάρτηση είχε προκαθορισµένες τιµές στα σηµεία x και x. Αν η συνάρτηση είναι εντελώς αυθαίρετη, δηλαδή δεν έχουµε καµιά πληροφορία για αυτήν ούτε στο σύνορο, τότε η µέθοδος του Λογισµού των Μεταβολών οδηγεί σε ένα σύνολο συνθηκών οι οποίες πρέπει να ικανοποιούνται ώστε το συναρτησιακό να παρουσιάζει ακρότατο. Οι συνθήκες αυτές ονοµάζονται Φυσικές Συνοριακές Συνθήκες. Για να έχουµε ακρότατο θα πρέπει : δ I δ + δ, 7

18 Οπότε για να είναι η πρώτη µεταβολή του συναρτησιακού µηδενική θα πρέπει ταυτόχρονα δαυθαίρετη δ Για x Για ή δ x ή δ Αν δεν έχουµε καµία πληροφορία για την στο σύνορο τότε θα πρέπει για x και x η οποία ονοµάζεται φυσική συνοριακή συνθήκη. Για παράδειγµα έστω ότι είχαµε γνωστή την τιµή της στο αριστερό άκρο για x. + δ + εn (x) n( x) 8

19 Τότε θα εµφανιζόταν µια Φυσική Σ.Σ και µια Εξαναγκασµένη Σ.Σ. Συγκεκριµένα εκτός από την εξίσωση Εler-Lgrnge θα είχαµε και τις συνθήκες: x θα έχω δ αφού έχω δεδοµένη τιµή της στο Για άκρο αυτό (Εξαναγκασµένη Σ.Σ). Για x θα έχω αφού δεν έχω δεδοµένη τιµή της στο άκρο αυτό (Φυσική Σ.Σ). για να έχει το συναρτησιακό I ακρότατο θα πρέπει η πρώτη µεταβολή του συναρτησιακού να είναι µηδενική άρα σύµφωνα µε την (4) έχω Στην περίπτωση που η F είναι της µορφής F (,,, x) F I δ + δ + F δ Η εξίσωση E-L όπως είδαµε είναι δ + + 9

20 Επίσης για να µηδενίζεται η πρώτη µεταβολή θα πρέπει να ισχύουν επίσης οι παρακάτω σχέσεις : Για x x ή δ Για x x ή δ Επίσης Για x x ή δ Για x x ή δ Η πρώτη συνθήκη από κάθε ζεύγος αποτελεί τη Φυσική συνοριακή συνθήκη. Παράδειγµα

21 Κάµψη Μονόπακτης οκού. L P EI 4 είναι η συνάρτηση βύθισης C [, L] Οι Συνοριακές Συνθήκες του προβλήµατος είναι ( ) και ( ) (Force Bonry Conitions) Η Ελαστική ενέργεια λόγω κάµψης της δοκού είναι U L EI( ) () H ολική δυναµική ενέργεια είναι V L P( L) + EI( ) () Γνωρίζουµε από την Αρχή υνατών Έργων ότι στη θέση ισορροπίας η ολική δυναµική ενέργεια (potentil energy) έχει ακρότατο δ V

22 οπότε µπορώ να γράψω σύµφωνα µε τη () δ V Pδ L L ( L) + EIδ( ) Pδ ( L) + EI δ( ) L P x ( L) + EI ( δ ) δ (3) Μετά από δυο ολοκληρώσεις κατά µέρη έχω L L ( L) + [ EI δ ] [ EI ] + δ V Pδ δ L + EI δ. (4) Στο άκρο x προφανώς έχουµε δ ( ) και δ ( ), αφού για εκείνο το σηµείο έχουµε δεδοµένη µετατόπιση και κλίση. Για το άλλο άκρο όµως x L δεν έχω καµία πληροφορία, oπότε σε εκείνο το άκρο θα προκύψουν φυσικές συνοριακές συνθήκες. Συγκεκριµένα θα έχω P + EI ( L) αφού ( EI ( L) αφού ( L) δ (5) δ (6) Τέλος η εξίσωση Eler-Lgrnge είναι

23 L EI δ EI. (7) Η εξίσωση (7) αποτελεί την διαφορική εξίσωση το προβλήµατος. Η γενική λύση της (7) είναι : 3 A + A x+ A x A o + (8) 3x Οι 4 σταθερές υπολογίζονται από τις κινηµατικές Σ.Σ. και από τις φυσικές Σ.Σ. Τελικά η εξίσωση ελαστικής γραµµής είναι Px ( 3L x). (9) 6EI 3