ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

2 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών μεταβλητών και παραμέτρων σε κατάλληλες διακριτές στιγμές κατά τη διάρκεια της προσομοίωσης. Μια ακολουθία από αριθμούς που παράγονται από κάποια πηγή θεωρείται τυχαία όταν ικανοποιούνται οι εξής δύο βασικές ιδιότητες: 1. Όλοι οι αριθμοί της ακολουθίας είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι στο πεδίο ορισμού τους.. Οι παραγόμενοι αριθμοί είναι στατιστικά ανεξάρτητοι. Η πρώτη ιδιότητα σημαίνει, ότι στην ακολουθία των αριθμών που παράγει η πηγή κάθε νέος αριθμός έχει την ίδια πιθανότητα να πάρει οποιαδήποτε τιμή μέσα στο πεδίο ορισμού της ακολουθίας. Η δεύτερη ιδιότητα σημαίνει, ότι κάθε παραγόμενος αριθμός είναι στατιστικά ανεξάρτητος από τους άλλους αριθμούς της ακολουθίας που έχουν ήδη εμφανιστεί και δεν επηρεάζει την σειρά εμφάνισης των επομένων αριθμών. Δηλαδή, δεν είναι δυνατόν να γίνει χρήση ιστορικών πληροφοριών έτσι ώστε να προβλεφθούν μελλοντικά στοιχεία της ακολουθίας. Γεννήτριες τυχαίων αριθμών Παραδείγματα μεθόδων δημιουργίας τυχαίων αριθμών είναι γνωστά από την αρχαιότητα ακόμα, όπως το ρίξιμο ζαριών, το μοίρασμα χαρτιών, η λοταρία κ.λ.π. Πολλές από τις μεθόδους αυτές χρησιμοποιούνται ακόμα και σήμερα είτε σε τυχερά παιχνίδια είτε σε κληρώσεις. Η πιο συνηθισμένη μέθοδος στις κληρώσεις είναι η τυχαία επιλογή μιας αριθμημένης σφαίρας μέσα από ένα καλά ανακατεμένο δοχείο. Η ρουλέτα είναι επίσης ένα κλασσικό παράδειγμα δημιουργίας τυχαίων αριθμών. Επίσης, είναι δυνατή η δημιουργία τυχαίων αριθμών και με ηλεκτρονικά μέσα όπως οι γεννήτριες λευκού θορύβου. Η γεννήτρια του λευκού θορύβου παράγει ηλεκτρονικό θόρυβο με την ίδια ισχύ σε όλες τις συχνότητες. Ο θόρυβος αυτός εισάγεται σε μια γεννήτρια παλμών, η οποία παράγει παλμούς όταν η ένταση του θορύβου είναι μεγαλύτερη από κάποια προκαθορισμένη τιμή. Τέλος, ένας μετρητής μετρά τους παλμούς που δημιουργήθηκαν σε κάποιο προκαθορισμένο χρονικό διάστημα. Ο αριθμός των παλμών είναι ο παραγόμενος τυχαίος αριθμός. Μια άλλη μέθοδος παραγωγής τυχαίων αριθμών με ηλεκτρονικά μέσα χρησιμοποιεί παλλόμενες ηλεκτρονικές λυχνίες για τη δημιουργία τυχαίων αριθμών με βάση τους παλμούς που δημιουργούνται σε ένα προκαθορισμένο χρονικό διάστημα. Τυχαίοι αριθμοί που έχουν δημιουργηθεί με παρόμοιες μεθόδους είναι διαθέσιμοι με τη μορφή πινάκων οι οποίοι μπορούν να εισαχθούν ως δεδομένα 64

3 σε ένα πρόγραμμα. Για παράδειγμα, η εταιρεία Rand Corporation (1955) δημιούργησε πίνακα με τυχαίους αριθμούς. Η χρήση όμως αυτών των πινάκων, παρά το γεγονός ότι είναι διαθέσιμοι σε ψηφιακή μορφή, δεν ενδείκνυται για δύο λόγους. Ο πρώτος είναι η αδυναμία αποθήκευσης των τεραστίων αυτών πινάκων στην περιορισμένη μνήμη ενός υπολογιστή, επειδή αυτό θα αποτελούσε σπατάλη πολύτιμων πόρων. Επίσης αν υποτεθεί ότι αποθηκεύονται σε σκληρούς δίσκους, η χαμηλή ταχύτητα πρόσβασης σε αυτούς θα καθιστούσε την προσομοίωση απαράδεκτα αργή. Ο δεύτερος λόγος είναι ότι σε πολλές προσομοιώσεις απαιτείται η δημιουργία πολύ περισσοτέρων από τυχαίων αριθμών, γιατί η επαναχρησιμοποίηση των ίδιων αριθμών θα προκαλούσε στατιστικά απαράδεκτη πόλωση στα αποτελέσματα. 3. Ψευδοτυχαίοι αριθμοί Σήμερα, για τους λόγους που αναφέρθηκαν παραπάνω, στην πράξη χρησιμοποιούνται αποκλειστικά σχεδόν, οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές για τη δημιουργία τυχαίων αριθμών. Ο συνηθέστερος τρόπος παραγωγής είναι η χρησιμοποίηση μιας επαναληπτικής διαδικασίας, επειδή έχει το πλεονέκτημα να απασχολεί ελάχιστο τμήμα της μνήμης του υπολογιστή και τη δυνατότητα να παράγει τους τυχαίους αριθμούς με μεγάλη ταχύτητα. Ένα άλλο πλεονέκτημα της χρήσης των υπολογιστών, πολύ χρήσιμο σε συγκρίσεις εναλλακτικών λύσεων, είναι η δυνατότητα επανάληψης μιας σειράς τυχαίων αριθμών. Οι τυχαίοι αριθμοί που παράγονται από ένα ηλεκτρονικό υπολογιστή ονομάζονται ψευδοτυχαίοι, επειδή έχουν το μειονέκτημα σε κάποιο σημείο να κλείνει ο κύκλος παραγωγής τους και η εμφάνισή τους να συνεχίζεται σε δεύτερο κύκλο με την ίδια ακριβώς σειρά όπως στο πρώτο. Αυτό πάντως δεν επηρεάζει την γνησιότητα μιας προσομοίωσης όταν ο κύκλος είναι αρκετά μεγάλος, ώστε να μην εξαντλείται πριν τελειώσει η προσομοίωση. Μία γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών θα πρέπει να ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες: 1. Οι αριθμοί που παράγει πρέπει να είναι όσο το δυνατόν πιο ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Στην ιδανική περίπτωση δεν πρέπει να υπάρχει αυτοσυσχέτιση μεταξύ τους. Δηλαδή για κάποιον που δεν γνωρίζει τον αλγόριθμο της επαναληπτικής διαδικασίας οι αριθμοί που γεννιόνται να είναι τυχαίοι.. Θα πρέπει να είναι γρήγορη και να μην απαιτεί μεγάλη υπολογιστική μνήμη. 3. Οι αριθμοί που παράγει θα πρέπει να έχουν μεγάλο κύκλο παραγωγής (περίοδος). 4. Θα πρέπει να έχει την δυνατότητα να αναπαράγει την ίδια ακολουθία αριθμών, ώστε να επαναλαμβάνεται η προσομοίωση του μοντέλου, για διαφορετικά εναλλακτικά σενάρια, στις ίδιες συνθήκες. 65

4 3.3 Γεννήτριες ψευδοτυχαίων αριθμών Στις επόμενες παραγράφους θα παρουσιάσουμε ορισμένες αντιπροσωπευτικές τεχνικές παραγωγής (γεννήτριες) ψευδοτυχαίων αριθμών Μέθοδος Μέσων Τετραγώνων Μια από τις πρώτες επαναληπτικές διαδικασίες που χρησιμοποιήθηκε για την παραγωγή ψευδοτυχαίων αριθμών είναι η μέθοδος του μέσων τετραγώνων. Στη μέθοδο αυτή, που προτάθηκε από τον Von Neuman το 194, κάθε νέος αριθμός της ακολουθίας των ψευδοτυχαίων παράγεται από τα ρ μεσαία ψηφία του τετραγώνου ενός ρ-ψήφιου αριθμού. Η μέθοδος ακολουθεί τα εξής βήματα: 1. Επιλέγουμε ένα ρ-ψήφιο αριθμό.. Το αριθμό αυτό τον υψώνουμε στο τετράγωνο και προσθέτουμε μηδενικά στα αριστερά του αριθμού, αν χρειάζονται για να γίνει ρ-ψήφιος αριθμός. 3. Τα ρ μεσαία ψηφία του αποτελούν τον επόμενο ψευδοτυχαίο αριθμό. 4. Επαναλαμβάνουμε τα βήματα και 3 για κάθε νέο ψευδοτυχαίο αριθμό που δημιουργούμε. Η μέθοδος των μέσων τετραγώνων, παρά την απλότητά της, δεν χρησιμοποιείται στην πράξη, γιατί παρουσιάζει αρκετά μειονεκτήματα. Μειονέκτημα της μεθόδου είναι ότι η ακολουθία των ψευδοτυχαίων που δημιουργείται επαναλαμβάνει τον εαυτό της με μικρή περίοδο, δηλαδή έχουμε σύντομα επανάληψη ψευδοτυχαίου αριθμού. Ένα άλλο μειονέκτημα της μεθόδου είναι η εμφάνιση του αριθμού 0 σε κάποια φάση της διαδικασίας, κάτι που όμως αντιμετωπίζεται με προγραμματισμένη αντικατάστασή του. Ας δούμε μερικά παραδείγματα της μεθόδου: i i i Η περίοδος της παραγόμενης ακολουθίας ψευδοτυχαίων αριθμών είναι 9. 66

5 i i i Η περίοδος της παραγόμενης ακολουθίας ψευδοτυχαίων αριθμών είναι Μέθοδος Μέσων Γινομένων Η μέθοδος αυτή μοιάζει με τη μέθοδο των μέσων τετραγώνων με τη μόνη διαφορά ότι κάθε νέος ψευδοτυχαίος αριθμός προκύπτει από τα μεσαία ρ ψηφία του γινομένου των δύο προηγούμενων ρ-ψήφιων αριθμών της ακολουθίας των ψευδοτυχαίων. Τα βήματα της μεθόδου είναι: 1. Αρχικά επιλέγουμε δύο ρ-ψήφιους αριθμούς.. Τους αριθμούς αυτούς τους πολλαπλασιάζουμε και προσθέτουμε στα αριστερά του γινομένου μηδενικά, αν χρειάζονται για να γίνει ρ-ψήφιος το γινόμενο. 3. Τα ρ μεσαία ψηφία του γινομένου αποτελούν τον επόμενο ψευδοτυχαίο αριθμό. 4. Πολλαπλασιάζουμε τον νέο ψευδοτυχαίο αριθμό με τον προηγούμενο αριθμό της ακολουθίας των ψευδοτυχαίων και επαναλαμβάνουμε το βήμα 3. Παράδειγμα: i i i i κ.λ.π. Η μέθοδος των μέσων γινομένων δεν εφαρμόζεται στη πράξη για παρόμοιους λόγους με τη μέθοδο των μέσων τετραγώνων. 67

6 3.3.3 Congruential Μέθοδοι Οι Congruential μέθοδοι που εισήγαγε πρώτος ο Lehmer (1951) είναι οι πιο ευρέως χρησιμοποιούμενες επαναληπτικές διαδικασίες γέννησης ψευδοτυχαίων αριθμών. Υπάρχουν τρεις τύποι congruential μεθόδων: Ο πολλαπλασιαστικός τύπος: n1 = (α n) mod m Ο μικτός τύπος: n1 = (α n c) mod m Ο προσθετικός (αθροιστικός) τύπος: n1 = (n n-1) mod m όπου α, c και m είναι σταθερές και 0 είναι η αρχική τιμή (seed) που χρησιμοποιείται για τη δημιουργία της ακολουθίας των ψευδοτυχαίων. Είναι προφανές ότι οι ψευδοτυχαίοι μπορούν να πάρουν τιμές μεταξύ 0 και m-1, δηλαδή 0 i m-1, αφού η πράξη (mod m) σημαίνει το υπόλοιπο της διαίρεσης με m και άρα δεν είναι δυνατόν να δώσει ποτέ αποτέλεσμα m. Επομένως οι congruential μέθοδοι μπορούν να δώσουν ψευδοτυχαίους αριθμούς μεταξύ 0 και 1, δηλαδή 0 ri 1, εάν θέσουμε ri = m i. Επίσης και σ αυτές τις επαναληπτικές διαδικασίες έχουμε ανακύκλωση, αλλά γίνονται αποδεκτές εφόσον ο κύκλος της ακολουθίας των ψευδοτυχαίων είναι μεγαλύτερος από την ακολουθία τυχαίων αριθμών που χρειαζόμαστε στην προσομοίωση. Στις επόμενες παραγράφους θα παρουσιάσουμε τους δύο πρώτους τύπους, δηλαδή των πολλαπλασιαστικό και τον μικτό Πολλαπλασιαστικός τύπος Είναι ο απλούστερος τύπος congruential μεθόδου: n1 = (α n) mod m. Για να υπάρξει μεγάλος κύκλος ψευδοτυχαίων αριθμών πρέπει να γίνει η κατάλληλη επιλογή των α, m και 0. Τα 0 και m πρέπει να πρώτοι αριθμοί μεταξύ τους. Κύκλος ψευδοτυχαίων με m τιμές δεν μπορεί να υπάρξει αφού η τιμή 0 δεν μπορεί να βρίσκεται στην ακολουθία των ψευδοτυχαίων. Άρα η μέγιστη δυνατή 6

7 περίοδος μιας ακολουθίας ψευδοτυχαίων που γεννιόνται με τον πολλαπλασιαστικό τύπο είναι m-1 αριθμοί. Επειδή οι congluential μέθοδοι χρησιμοποιούνται σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές για να έχουν καλύτερα υπολογιστικά αποτελέσματα θα πρέπει το m να είναι δύναμη του, δηλαδή m = b. Έχει αποδειχτεί ότι η μέγιστη περίοδος ψευδοτυχαίων που παράγονται με τον πολλαπλασιαστικό τύπο, όταν m = b και ισχύουν οι συνθήκες: είναι ίση με b-. Παράδειγμα: ι) α mod = 3 ή 5 και ιι) 0 και m πρώτοι αριθμοί μεταξύ τους, Έστω m = 16 = 4, α = 5 (5 mod = 5) και 0 = 3, τότε έχουμε: i i 5i 5i mod Επομένως η περίοδος της παραγόμενης ακολουθίας των ψευδοτυχαίων είναι 4 = 4- = Μικτός τύπος Είναι ο γενικός τύπος της congruential μεθόδου: n1 = (α n c) mod m. Για να υπάρξει μεγάλος κύκλος ψευδοτυχαίων αριθμών πρέπει να γίνει η κατάλληλη επιλογή των α, c, m και 0. Και στον μικτό τύπο, για καθαρά υπολογιστικούς σκοπούς αφού η μέθοδος χρησιμοποιείται σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές, πρέπει το m να είναι δύναμη του, δηλαδή m = b. Έχει αποδειχτεί ότι η μέγιστη περίοδος ακολουθίας ψευδοτυχαίων που παράγονται με τον μικτό τύπο, όταν m = b και ισχύουν οι συνθήκες: είναι ίση με m = b. ι) α mod 4 = 1 και ιι) c και m πρώτοι αριθμοί μεταξύ τους, 69

8 Παράδειγμα: Έστω m = = 3, α = 5 (5 mod 4 = 1), c = 3 και 0 = 3, τότε έχουμε: i i 5i 3 5i3 mod Επομένως η περίοδος της παραγόμενης ακολουθίας των ψευδοτυχαίων είναι = 3 = m. 3.4 Έλεγχος τυχαιότητας Στις προηγούμενες παραγράφους εξετάσαμε τρόπους με τους οποίους μπορούμε να δημιουργήσουμε ψευδοτυχαίους αριθμούς. Όπως είδαμε, οι αριθμοί αυτοί δεν μπορούν να είναι εντελώς τυχαίοι, αφού δεν δημιουργούνται τυχαία αλλά με μια επαναληπτική διαδικασία. Αυτό όμως που μας ενδιαφέρει είναι οι αριθμοί που παράγονται από τις επαναληπτικές διαδικασίες να έχουν τις στατιστικές ιδιότητες των τυχαίων αριθμών. Γι αυτό πριν χρησιμοποιήσουμε μια ακολουθία ψευδοτυχαίων αριθμών που δημιουργείται από μια επαναληπτική διαδικασία θα πρέπει να ελέγξουμε κατά πόσο αυτοί μπορούν να θεωρηθούν στατιστικώς τυχαίοι. Μια σειρά από στατιστικούς ελέγχους τυχαιότητας χρησιμοποιούνται για τον έλεγχο ψευδοτυχαίων αριθμών. Μερικούς από αυτούς θα τους παρουσιάσουμε στις επόμενες παραγράφους test Ο έλεγχος αυτός διατυπώθηκε από τον Karl Pearson το 1903, στηρίζεται στην Χ κατανομή και χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της ομοιομορφίας. Με τον έλεγχο αυτό συγκρίνουμε τη συχνότητα των παρατηρούμενων δεδομένων με τη συχνότητα των αναμενόμενων δεδομένων σύμφωνα με μια θεωρητική κατανομή ως προς τη οποία γίνεται ο έλεγχος. Συγκεκριμένα ο K. Pearson απόδειξε ότι η μεταβλητή n 1 (O E ) όπου Ο = είναι τα παρατηρούμενα δεδομένα στο διάστημα (κλάση δεδομένων), E 70

9 Ε = είναι τα αναμενόμενα δεδομένα, σύμφωνα με τη θεωρητική κατανομή, στο διάστημα (κλάση δεδομένων), ακολουθεί την κατανομή Χ με ν = n-1-λ βαθμούς ελευθερίας. όπου n είναι ο αριθμός των κλάσεων (διαστημάτων) που χωρίζονται τα δεδομένα και λ είναι ο αριθμός των παραμέτρων της θεωρητικής κατανομής που πρέπει να εκτιμηθούν από τα στατιστικά δεδομένα. Αν = 0, τότε η παρατηρούμενη συχνότητα και η αναμενόμενη συμφωνούν απόλυτα, ενώ αν > 0 δεν συμφωνούν. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του, τόσο μεγαλύτερη είναι η ασυμφωνία ανάμεσα στη παρατηρούμενη και την αναμενόμενη συχνότητα. Αν > 0, τότε πρέπει να συγκρίνουμε την τιμή της μεταβλητής που υπολογίσαμε με εκείνες που δίνονται από τους πίνακες της κατανομής Χ για να αποφασίσουμε σε ορισμένο επίπεδο σημαντικότητας. Στην πράξη ελέγχουμε την υπόθεση ομοιομορφίας Η0 που λέει ότι δεν υπάρχει σημαντική διαφορά ανάμεσα στην παρατηρούμενη και στην αναμενόμενη συχνότητα δεδομένων, δηλαδή η παρατηρούμενη συχνότητα συμφωνεί με την αναμενόμενη. Αν κάτω από την υπόθεση αυτή η τιμή της μεταβλητής που υπολογίζουμε είναι μεγαλύτερη από τη κρίσιμη τιμή που δίνεται από τον πίνακα της Χ κατανομής σε ορισμένο επίπεδο σημαντικότητας και με τους κατάλληλους βαθμούς ελευθερίας, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η παρατηρούμενη συχνότητα διαφέρει σημαντικά από την αναμενόμενη σ αυτό το επίπεδο σημαντικότητας και έτσι απορρίπτεται η υπόθεση Η0. Βήματα ελέγχου -test: 1. Διατύπωσε την υπόθεση ομοιομορφίας Η0: η παρατηρούμενη συχνότητα συμφωνεί με την αναμενόμενη συχνότητα.. Καθόρισε το επίπεδο σημαντικότητας α: 5% ή 1%. 3. Υπολόγισε την τιμή της μεταβλητής χ σύμφωνα με τον τύπο (O E ) και καθόρισε τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας. E n 1 4. Σύγκρινε την τιμή της μεταβλητής που υπολογίσαμε με εκείνη που δίνεται από τους πίνακες της κατανομής Χ για επίπεδο σημαντικότητας α και με τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας. Ιδιότητες της Χ κατανομής 1. Έστω μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών Υ1, Υ,..., Υn που ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέσο Ε(Υ) = μ και διασπορά Var(Y) = σ και Χ1, Χ,..., Χn οι αντίστοιχες τυποποιημένες τυχαίες μεταβλητές με μέσο Ε(Χ) = 0 και Y διασπορά Var(X) = 1, που δίνονται από τον τύπο: X i i. Τότε η μεταβλητή Χ1 Χ... Χn ακολουθεί την Χ κατανομή με συνάρτηση n n πυκνότητας πιθανότητας την f() e. n ( 1)! 71

10 . Έστω Χ1, Χ,..., Χk ακολουθία ανεξάρτητων μεταβλητών που ακολουθούν την Χ κατανομή με βαθμούς ελευθερίας n1, n,, nk. Τότε και η μεταβλητή Χ1 Χ... Χk ακολουθεί την Χ κατανομή με n1n nk βαθμούς ελευθερίας. Παράδειγμα 1ο Έστω ότι έχουμε την παρακάτω ακολουθία μονοψήφιων ψευδοτυχαίων αριθμών, 0,, 0, 1, 5,,, 9,, 6, 5,, 6, 7, 3,,, 6, 0, 6, 0,, 9, 1,, 9, 0, 9, 3, 7, 3,, 1, 4, 5, 7, 6, 9, 6, 9, 4, 5, 3, 5, 7, 9, 6, 4, 3, 6, 5,,, 9, 1, 0, 3,, 6, 6, 1, 5, 4, 7, 7, 1, 3, 9, 3,, 6, 1,, 6, 6, 5, 9, 0, 1, και θέλουμε να ελέγξουμε κατά πόσο μπορεί να θεωρηθούν στατιστικά τυχαίοι, δηλαδή εάν εμφανίζονται με περίπου ίδια συχνότητα. 1. Αρχικά θα ορίσουμε την υπόθεση ομοιομορφίας Η0: οι αριθμοί εμφανίζονται περίπου με την ίδια συχνότητα.. Στη συνέχεια ορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας. Έστω α = 5 % = (O 3. Μετά θα υπολογίσουμε τη μεταβλητή E ) από τον τύπο και E θα υπολογίσουμε τους βαθμούς ελευθερίας. n 1 Αφού οι αριθμοί είναι 0 και οι μονοψήφιοι αριθμοί 10 τότε αφού υποθέτουμε ότι οι ψευδοτυχαίοι εμφανίζονται με την ίδια συχνότητα η 0 αναμενόμενη συχνότητα για κάθε μονοψήφιο είναι Ε = =. 10 Στη συνέχεια μετράμε τις εμφανίσεις των μονοψήφιων αριθμών στην ακολουθία και έτσι έχουμε την παρατηρούμενη συχνότητα για κάθε μονοψήφιο, η οποία φαίνεται στο παρακάτω πίνακα. Μονοψήφιος αριθμός Παρατηρούμενη συχνότητα Ε Αναμενόμενη συχνότητα Ο 7

11 Αφού έχουν βρεθεί οι παρατηρούμενες και οι αναμενόμενες συχνότητες για κάθε μονοψήφιο αριθμό μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον υπολογισμό της μεταβλητής: (O E ) = E 10 1 (7 ) (13 ) ( ) (6 ) (6 ) (10 ) ( ) (10 ) (4 ) = 7. ( ) Εφόσον ο αριθμός των κλάσεων (οι μονοψήφιοι αριθμοί) στις οποίες χωρίσαμε την ακολουθία των ψευδοτυχαίων είναι 10, τότε οι βαθμοί ελευθερίας είναι ν = k 1 λ = = 9. Το λ είναι ίσο με 0 επειδή δεν χρειάσθηκε να εκτιμήσουμε καμία παράμετρο της θεωρητικής κατανομής. 4. Τέλος θα συγκρίνουμε την τιμή της μεταβλητής που υπολογίσαμε με εκείνη που δίνεται από τους πίνακες της κατανομής Χ για επίπεδο σημαντικότητας 0.05 και με 9 βαθμούς ελευθερίας. Από τους πίνακες της Χ κατανομής βρίσκουμε X X =16,7. (1 );ν = 0.95;9 Επειδή 7. < 16,9 η υπόθεση ομοιομορφίας Η0 δεν απορρίπτεται. Επομένως οι ψευδοτυχαίοι αριθμοί της παραπάνω ακολουθίας, στο επίπεδο σημαντικότητας 0.05, μπορούν θεωρηθούν ότι εμφανίζονται με την ίδια συχνότητα. Παράδειγμα ο Υπάρχουν 5 τμήματα φοιτητών του Τμήματος Μαθηματικών, στο μάθημα της Προσομοίωσης, με 50 φοιτητές το καθένα. Τα αποτελέσματα προηγούμενων ετών έχουν δείξει ότι συνήθως το 5 1 του κάθε τμήματος αποτυγχάνει στις τελικές εξετάσεις του μαθήματος. Τα αποτελέσματα της φετινή τελικής εξέτασης φαίνεται στο παρακάτω πίνακα: Τμήμα Αποτυχόντες Επιτυχόντες

12 Τα 5 τμήματα μπορούν να θεωρηθούν ως 5 ανεξάρτητα δείγματα που χωρίζονται σε κλάσεις (k = ), τους αποτυχόντες και τους επιτυχόντες. Έστω η υπόθεση ομοιομορφίας Η0: το 5 1 του κάθε τμήματος αποτυγχάνει στις τελικές εξετάσεις του μαθήματος. Ορίζουμε το επίπεδο σημαντικότητας α = Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τη μεταβλητή, σύμφωνα με τον τύπο, για κάθε τμήμα ξεχωριστά, καθώς και τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας. 1 = = 3 = 4 = 5 = ( 10) 10 (5 10) 10 (13 10) 10 (15 10) 10 (5 10) 10 (4 40) 40 (45 40) 40 (37 40) 40 (35 40) 40 (45 40) 40 = 0.5 και ν1 = k 1 λ = 1-0 = 1, = 3.1 και ν = k 1 λ = 1-0 = 1, = 1.1 και ν3 = k 1 λ = 1-0 = 1, = 3.1 και ν4 = k 1 λ = 1-0 = 1, = 3.1 και ν5 = k 1 λ = 1-0 = 1, Αφού οι μεταβλητές i είναι ανεξάρτητες, επειδή αντιστοιχούν σε ανεξάρτητα δείγματα, θα ελέγξουμε αν το άθροισμα τους = = 10.9 ακολουθεί την Χ κατανομή με βαθμούς ελευθερίας ν = ν1 ν ν3 ν4 ν5 = =5. Από τους πίνακες της Χ κατανομής, για επίπεδο σημαντικότητας 0.05 και για 5 βαθμούς ελευθερίας. βρίσκουμε X X =11.1. (1 );ν = 0.95;5 Επειδή 10.9 < 11.1 η υπόθεση ομοιομορφίας Η0 δεν απορρίπτεται. Επομένως μπορούμε να πούμε ότι με βάση και τα φετινά αποτελέσματα το 5 1 του κάθε τμήματος αποτυγχάνει στις τελικές εξετάσεις του μαθήματος της προσομοίωσης. 74

13 Η κυκλική ακολουθία 0, 1,..., 9, 0, 1,..., 9,..., 0, 1,..., 9 προφανώς δεν είναι ακολουθία τυχαίων αριθμών όμως περνάει τους έλεγχους συχνότητας όπως το -test. Για αυτό χρησιμοποιούνται άλλοι έλεγχοι οι οποίοι ελέγχουν την ανεξαρτησία των αριθμών (δεύτερη ιδιότητα τυχαίων αριθμών) ενώ οι έλεγχοι συχνότητας, όπως το -test ελέγχουν την ομοιόμορφη κατανομή (πρώτη ιδιότητα τυχαίων αριθμών). Σε όλους τους ελέγχους υπολογίζονται τα αναμενόμενα (θεωρητικά αποτελέσματα), υποθέτοντας τυχαιότητα, και συγκρίνονται με τα αντίστοιχα παρατηρούμενα. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε περιληπτικά μερικούς τέτοιους ελέγχους Poker test Σ αυτό τον έλεγχο δημιουργούμε από τους ψευδοτυχαίους της ακολουθίας που θέλουμε να ελέγξουμε 5-άδες και υπολογίζουμε όλες τις παρατηρούμενες πεντάδες, ως εξής: Ο1: οι 5-άδες με όλα τα νούμερα διαφορετικά, Ο: οι 5-άδες με ένα ζευγάρι αριθμών και τρεις άλλους διαφορετικούς αριθμούς, Ο3: οι 5-άδες με δύο ζευγάρια αριθμών,] Ο4: οι 5-άδες με μια τριάδα και ένα ζευγάρι αριθμών, Ο5: οι 5-άδες με τετράδες αριθμών και ένα άλλο διαφορετικό αριθμό, Ο6: οι 5-άδες με όλους τους αριθμούς ίδιους. Στη συνέχεια με τη βοήθεια των πιθανοτήτων και της συνδυαστικής υπολογίζουμε τη πιθανότητα εμφάνισης αυτών των πεντάδων. Για παράδειγμα αν έχουμε μια ακολουθία μονοψήφιων ψευδοτυχαίων οι πιθανότητες αυτές είναι: f1: (αφού ο πρώτος αριθμός της πεντάδας γίνεται δεκτός με πιθανότητα 1, ο δεύτερος με πιθανότητα 0.9, ο τρίτος με πιθανότητα 0., ο τέταρτος με πιθανότητα 0.7 και ο πέμπτος με πιθανότητα 0.6, άρα f1 = = 0.304), f: , f3: 0.100, f4: 0.010, f5: , f6:

14 Αυτές τις πιθανότητες τις χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τις αναμενόμενες πεντάδες σύμφωνα με τον τύπο Ε = f n, = 1,,, 6 όπου n το πλήθος των δυνατών πεντάδων που σχηματίζονται από τους ψευδοτυχαίους. Τέλος χρησιμοποιείται το -test για να συγκρίνουμε τα αναμενόμενα με τα παρατηρούμενα αποτελέσματα Gap test Σε αυτό τον έλεγχο υπολογίζεται η κατανομή των αριθμών, δηλαδή το πλήθος των αριθμών, μέχρι την επανάληψη του ίδιου αριθμού στη ακολουθία των ψευδοτυχαίων. Στη συνέχεια χρησιμοποιείται το -test για να συγκριθούν τα αναμενόμενα με τα παρατηρούμενα αποτελέσματα Runs test Αυτός ο έλεγχος βασίζεται στις κατανομές του μήκους (πλήθος αριθμών) των προς τα άνω ή των προς τα κάτω διαδρομών (runs) στη ακολουθία των ψευδοτυχαίων. Π.χ. 1, 4,, 9: προς τα πάνω διαδρομή με μήκος 4 9, 6, 3: προς τα κάτω διαδρομή με μήκος 3. Στη συνέχεια χρησιμοποιείται το -test για να συγκριθούν τα αναμενόμενα με τα παρατηρούμενα αποτελέσματα. 76

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς ΙΙ Πειραιάς 2007 1 2 Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής Μία διδιάστατη συνεχής τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ I Παντελής Δημήτριος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΝΝΟΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Μαθηματική περιγραφή συστημάτων με αβεβαιότητα Παραδείγματα από την οργάνωση παραγωγής Διάρκεια παραγωγής προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I

Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I Εξέταση στις ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ I ΟΔΗΓΙΕΣ Να μην αντιγράψετε τα θέματα στην κόλα σας. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας και τον αριθμό μητρώου σας (ΑΜ) στα θέματα και σε κάθε κόλα που θα χρησιμοποιήσετε. Τα θέματα

Διαβάστε περισσότερα

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό

27-Ιαν-2009 ΗΜΥ 429. 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό ΗΜΥ 429 2. (ι) Βασική στατιστική (ιι) Μετατροπές: αναλογικό-σεψηφιακό και ψηφιακό-σε-αναλογικό 1 (i) Βασική στατιστική 2 Στατιστική Vs Πιθανότητες Στατιστική: επιτρέπει μέτρηση και αναγνώριση θορύβου και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS)

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ (SPSS) Έλεγχος Υποθέσεων για την Μέση Τιμή ενός Δείγματος (One Sample t-test) Το κριτήριο One sample t-test χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε τον αριθμητικό

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ (5-9-2005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ΛΥΣΗ: ( 2 ) μόνο για αυτή την τιμή ισχύει

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ (5-9-2005) ΟΜΑΔΑ Α ( 40% ) ΛΥΣΗ: ( 2 ) μόνο για αυτή την τιμή ισχύει ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 5-9-5 ΟΜΑΔΑ Α 4% Αν τα ενδεχόμενα Α, Β, Γ ενός δειγματικού χώρου Ω είναι ανεξάρτητα μπορούμε να πούμε το ίδιο για τα α A B, Γ β Α,Β Γ

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες

Πινάκες συνάφειας. Βαρύτητα συμπτωμάτων. Φύλο Χαμηλή Υψηλή. Άνδρες. Γυναίκες Πινάκες συνάφειας εξερεύνηση σχέσεων μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Είναι λογικό λοιπόν, στην ανάλυση των κατηγορικών δεδομένων να μας ενδιαφέρει η σχέση μεταξύ δύο ή περισσότερων κατηγορικών μεταβλητών. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 12ο ΑΙΤΙΟΤΗΤΑ Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ Ι. ΠΑΝΑΡΕΤΟΥ & Ε. ΞΕΚΑΛΑΚΗ Καθηγητών του Τμήματος Στατιστικής του Οικονομικού Πανεπιστημίου Αθηνών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΚΕΨΗ ΤΟΜΟΣ ΙΙ (Εισαγωγή στις Πιθανότητες και την Στατιστική Συμπερασματολογία)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Κεφάλαιο 3 ο 3.07 Να γραφεί αλγόριθμος που θα δημιουργεί πίνακα 100 θέσεων στον οποίο τα περιττά στοιχεία του θα έχουν την τιμή 1 και τα άρτια την τιμή 0. ΛΥΣΗ Θα δημιουργήσω άσκηση βάση κάποιων κριτηρίων. Δηλ. δεν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

ρ. Ευστρατία Μούρτου

ρ. Ευστρατία Μούρτου ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ

Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές ΙΙ Περιγραφή 1 Θεωρητικές

Διαβάστε περισσότερα

H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r)

H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r) 5 H ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ (PEARSON s r) Περίληψη Σκοπός του κεφαλαίου είναι η εφαρμογή της ανάλυσης συσχέτισης (Pearson r) μέσω του PASW. H ανάλυση συσχέτισης Pearson r χρησιμοποιείται για να εξεταστεί η

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη

Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή. Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Εισαγωγή στην Κανονική Κατανομή Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη Ένα πρόβλημα Πρόβλημα: Ένας μαθητής είχε επίδοση στο τεστ Μαθηματικών 18 και στο τεστ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής. Pr T T0 ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΤΗΡΗΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής Δεσμευμένη αξιοπιστία Η δεσμευμένη αξιοπιστία R t είναι η πιθανότητα το σύστημα να λειτουργήσει για χρονικό

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 8: Επαγωγική Στατιστική. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling)

3. ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratified Random Sampling) 3 ΣΤΡΩΜΑΤΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΤΥΧΑΙΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Stratfed Radom Samplg) Είναι προφανές από τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητριών των προηγούμενων παραγράφων, ότι ένας τρόπος να αυξηθεί η ακρίβεια τους είναι να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ ΕΠΕΝΔΥΣΕΩΝ Υπό ΘΕΟΔΩΡΟΥ ΑΡΤΙΚΗ, ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΥ ΣΟΥΓΙΑΝΝΗ ΚΑΙ ΓΕΩΡΓΙΟΥ ΑΡΤ1ΚΗ Ανωτάτη Βιομηχανική Σχολή Πειραιά 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα συνήθη κριτήρια αξιολόγησης επενδύσεων βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε "Ναι" Τέλος Α2

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε Ναι Τέλος Α2 Διδακτική πρόταση ΕΝΟΤΗΤΑ 2η, Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών Κεφάλαιο 2.2. Παράγραφος 2.2.7.4 Εντολές Όσο επανάλαβε και Μέχρις_ότου Η διαπραγμάτευση των εντολών επανάληψης είναι σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x

ΘΕΜΑ Α. α) Αν x>0, τότε ( x ) = x ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα