ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας"

Transcript

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η μελέτη διαφόρων στοχαστικών φαινομένων μπορεί γενικά να γίνει χρησιμοποιώντας κυρίως τρεις μεθόδους:. Αναλυτικές Μέθοδοι: πραγματοποιείται κατάλληλη μαθηματική μοντελοποίηση του στοχαστικού φαινομένου και αυτό μελετάται αναλυτικά - Η συμπεριφορά του μοντέλου γίνεται γνωστή για οποιεσδήποτε τιμές των παραμέτρων του. - Οι αναλυτικές μέθοδοι είναι εφαρμόσιμες μόνο σε σχετικά απλά ή απλουστευμένα μοντέλα. Αριθμητικές Μέθοδοι: Χρησιμοποιούνται προσεγγιστικές μέθοδοι της α- ριθμητικής ανάλυσης. - Η συμπεριφορά του μοντέλου γίνεται γνωστή μόνο για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων του. - Οι αριθμητικές μέθοδοι μπορούν να εφαρμοστούν και σε συνθετότερα μοντέλα. 3. Μέθοδοι Προσομοίωσης: το στοχαστικό φαινόμενο αναπαρίσταται εικονικά μέσω ενός Η/Υ και παρακολουθείται η εξέλιξή του καταγράφοντας τα χαρακτηριστικά που μας ενδιαφέρουν. - Η συμπεριφορά του μοντέλου γίνεται γνωστή μόνο για συγκεκριμένες τιμές των παραμέτρων του. - Οι μέθοδοι προσομοίωσης μπορούν να εφαρμοστούν και σε πολύ σύνθετα και ρεαλιστικά μοντέλα. Οι Μέθοδοι Προσομοίωσης Τις τελευταίες δεκαετίες έχει παρουσιαστεί και αναπτυχθεί μία νέα «πειραματική» μέθοδος μελέτης στοχαστικών φαινομένων η οποία βασίζεται στην ραγδαία αναπτυσσόμενη και σχετικά φθηνή υπολογιστική ισχύ που προσφέρουν οι Η/Υ. Ένας εναλλακτικός «εμπειρικός» ή «πειραματικός» τρόπος μελέτης ενός στοχαστικού φαινομένου προφανώς είναι η παρακολούθηση της εξέλιξης του φαινομένου στο χρόνο δηλαδή παρακολούθηση πολλών πραγματοποιήσεων του φαινομένου, καταγραφή των διαφόρων μεγεθών που το αφορούν και εξαγωγή «εμπειρικών» συμπερασμάτων. Για παράδειγμα, ο υπολογισμός της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α μπορεί πολύ απλά να γίνει καταγράφοντας το πλήθος των πραγματοποιήσεων στα οποία εμφανίστηκε το Α. Από το νόμο των μεγάλων αριθμών, η πιθανότητα είναι ασυμπτωτικά ίση με την οριακή σχετική συχνότητα εμφάνισης του Α. Προφανώς, η μελέτη μέσω αυτής της «πειραματικής» μεθόδου είναι καλύτερη όσο μεγαλύτερο είναι το πλήθος των πραγματοποιήσεων του φαινομένου που παρατηρούμε. Στην πραγματικότητα όμως, η παρακολούθηση πολλών πραγματοποιήσεων ενός φαινομένου είναι συνήθως ανέφικτη ή πολυέξοδη. Σε αυτό το σημείο έρχεται να μας βοηθήσει η τεράστια υπολογιστική ισχύς των Η/Υ. Πράγματι, αντί να παρατηρούμε πραγματοποιήσεις του φαινομένου στην πραγματικότητα, μπορούμε να «αναπαραστήσουμε» το φαινόμενο μέσα σε μία κατάλληλη «εικονική πραγματικότητα» ενός Η/Υ. Φυσικά θα πρέπει και πάλι να θεωρήσουμε κάποιες απλουστεύσεις του φαινομένου αλλά συνήθως είναι πολύ λιγότερες από τις απλουστεύσεις που θα κάναμε κατά τη αναλυτική μελέτη του. Από τη στιγμή τώρα που αναπαρίσταται σχετικά ικανοποιητικά το φαινόμενο από τον Η/Υ, μπορούμε να το πραγματοποιήσουμε χιλιάδες ή εκατομμύρια φορές και να καταγράψουμε τα χαρακτηριστικά του. Αυτή είναι η βασική ιδέα της εναλλακτικής εικονικής πειραματικής μεθόδου που είναι γνωστή ως «προσομοίωση» Smulato. Boutsas M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές»

2 Ορισμένα παραδείγματα όπου μπορεί να αξιοποιηθεί η μέθοδος της προσομοίωσης είναι π.χ.: Συστήματα ουρών αναμονής π.χ. τράπεζες, νοσοκομεία, δίκτυα υπολογιστών, κ.ο.κ. Έλεγχος αποθεμάτων αποθηκών Αξιοπιστία πολύπλοκων συστημάτων Κίνηση μετοχών σε μία χρηματιστηριακή αγορά Εξάπλωση ασθενειών ή γενικότερα χαρακτηριστικών σε έναν πληθυσμό Μελέτη μετεωρολογικών φαινομένων κ.ο.κ. Με τη μέθοδο της προσομοίωσης όμως είναι δυνατή και η μελέτη κάποιων πολύπλοκων στατιστικών προβλημάτων όπως π.χ.: Προσεγγιστικός υπολογισμός της μέσης τιμής μιας πολύπλοκης συνάρτησης Προσεγγιστική εύρεση της κατανομής κάποιας πολύπλοκης στατιστικής συνάρτησης Ασυμπτωτική συμπεριφορά πολύπλοκων στοχαστικών μοντέλων Προσεγγιστικός υπολογισμός του p-value ή της ισχύος ενός ελέγχου μιας υ- πόθεσης σε ένα σύνθετο μοντέλο κ.ο.κ. Boutsas M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές»

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ψευδοτυχαίοι Αριθμοί, Ολοκλήρωση Mote Carlo.. Παραγωγή ψευδοτυχαίων αριθμών. Η βάση για την μελέτη ενός στοχαστικού φαινομένου μέσω προσομοίωσης αποτελείται από μία διαδικασία η οποία παράγει «τυχαίους αριθμούς». Εφόσον το φαινόμενο που καλούμαστε να μελετήσουμε είναι στοχαστικό, θα επηρεάζεται από κάποιες μεταβλητές των οποίων η τιμή δεν είναι γνωστή εκ των προτέρων δηλ. από τυχαίες μεταβλητές. Επομένως, το εικονικό πειραματικό μοντέλο που θα κατασκευάσουμε με τη βοήθεια ενός Η/Υ θα πρέπει και αυτό να επηρεάζεται από κάποιους τυχαίους αριθμούς. Άρα το πρώτο που θα πρέπει να εξετάσουμε είναι πως μπορούμε να παράγουμε τυχαίους αριθμούς οι οποίοι θα εκφράζουν την εξέλιξη του εικονικού φαινομένου. Αρχικά, με τον όρο τυχαίοι αριθμοί εννοούμε το αποτέλεσμα μιας πραγματοποίησης μιας πεπερασμένης ακολουθίας Χ,Χ,...,Χ ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών η κάθε μια εκ των οποίων κατανέμεται ομοιόμορφα στο,. Δηλαδή, X Pr X,,. Φυσικά, η παραγωγή μιας μεγάλης ακολουθίας πραγματικά τυχαίων αριθμών είναι αρκετά δύσκολη. Στην καλύτερη περίπτωση υπάρχουν αρχεία π.χ. σε CD που περιέχουν αριθμούς που προέρχονται από στοχαστικά πειράματα ενώ στην χειρότερη θα πρέπει να έχουμε την υπομονή να ρίξουμε ένα νόμισμα πάρα πολλές φορές... Για το λόγο αυτό καταφεύγουμε στην παραγωγή ψευδοτυχαίων αριθμών από έναν Η/Υ. Οι ψευδοτυχαίοι αριθμοί δεν είναι στην πραγματικότητα τυχαίοι όπως διαφαίνεται και από το όνομά τους αλλά παράγονται μέσα από κάποιες προσδιοριστικές determstc επαναληπτικές διαδικασίες ξεκινώντας από κάποια αρχική τιμή αυτή μερικές φορές μπορεί να θεωρηθεί «τυχαία». Παρόλα αυτά, οι αριθμοί αυτοί τις περισσότερες φορές ανάλογα και με την επαναληπτική μέθοδο που χρησιμοποιείται καταφέρνουν να «ξεγελάσουν» αρκετούς γνωστούς ελέγχους τυχαιότητας. Στη συνέχεια, και για λόγους πληρότητας, θα παρουσιάσουμε περιληπτικά κάποιες τέτοιες επαναληπτικές μεθόδους για την παραγωγή ψευδοτυχαίων αριθμών, αλλά δεν θα ασχοληθούμε καθόλου με την αξιολόγησή τους δηλαδή με το κατά πόσον «τυχαίοι» μπορούν να θεωρηθούν οι αριθμοί που παράγουν. Περισσότερο μας ενδιαφέρει να χρησιμοποιήσουμε τέτοιους αριθμούς για την προσομοίωση διαφόρων μοντέλων και για αυτό, για λόγους απλότητας στη συνέχεια θα θεωρούμε ή θα προσποιούμαστε ότι οι ψευδοτυχαίοι αριθμοί που λαμβάνουμε είναι πράγματι τυχαίοι. Μία από τις συνηθέστερες μεθόδους παραγωγής ψευδοτυχαίων αριθμών μέσω Η/Υ είναι η εξής πολλαπλασιαστική μέθοδος, multplcatve cogruetal method: Ξεκινάμε με μία αρχική τιμή Ν η οποία καλείται seed π.χ. δίνεται από ε- μάς ή λαμβάνεται από τα εκατοστά του δευτερολέπτου που δείχνει το ρολόι του υπολογιστή. Στη συνέχεια, υπολογίζεται η νέα ψευδοτυχαία τιμή a mod m για κάποιους προεπιλεγμένους φυσικούς αριθμούς a,m με mod m συμβολίζουμε το υπόλοιπο της διαίρεσης του δια του m, δηλαδή, mod m m / m / m. Boutsas M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 3

4 Συνεχίζοντας, υπολογίζουμε το a mod m, a modm 3 κ.ο.κ. Επομένως, κάθε ανήκει στο {,,...,m} και ο αριθμός m m,,..., [, m m μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ψευδοτυχαίος αριθμός μεταξύ του και του. Συνοψίζοντας, ο αλγόριθμος θα είναι: ΒΗΜΑ. Θέτουμε seed. ΒΗΜΑ. Υπολογίζουμε το a mod m και θέτουμε,,,..., m Προφανώς οι αριθμοί,,... που παράγονται από την παραπάνω διαδικασία δεν είναι καθόλου τυχαίοι και μάλιστα μετά από πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων m θα εμφανιστεί ένας αριθμός που έχει ήδη εμφανιστεί π.χ. r για r < και άρα από εκεί και ύστερα θα επαναληφθεί η αρχική ακολουθία, δηλ. + r+, + r+ κ.ο.κ. Επομένως, θα πρέπει να επιλέξουμε τα a, m έτσι ώστε για κάθε αρχική τιμή, το πλήθος των βημάτων μέχρι την επανάληψη της διαδικασίας να είναι αρκετά μεγάλο. Γενικά τα a, m θα πρέπει να επιλεγούν έτσι ώστε: Για κάθε αρχική τιμή, η ακολουθία /m, /m,... να μπορεί να θεωρηθεί ως μία πραγματοποίηση ακολουθίας ανεξάρτητων ομοιόμορφων στο, τυχαίων μεταβλητών. Για κάθε αρχική τιμή, το πλήθος των βημάτων μέχρι την επανάληψη της διαδικασίας να είναι αρκετά μεγάλο. Οι αριθμοί να παράγονται σχετικά εύκολα και γρήγορα από έναν υπολογιστή. Οι τρεις παραπάνω συνθήκες συνήθως ικανοποιούνται όταν το m είναι ένας αρκετά μεγάλος πρώτος αριθμός που ταιριάζει με το μέγεθος των λέξεων που χειρίζεται ο επεξεργαστής ή το λειτουργικό σύστημα. Για παράδειγμα, για μηχανές των 3- bt μία καλή επιλογή είναι m 3, a 7 5. Άλλη μία συνήθης μέθοδος παραγωγής ψευδοτυχαίων αριθμών μέσω Η/Υ είναι και η ακόλουθη μεικτή μέθοδος, med cogruetal method: ΒΗΜΑ. Θέτουμε seed. ΒΗΜΑ. Υπολογίζουμε το a + c modm και θέτουμε Σε αυτή την περίπτωση και πάλι επιλέγουμε το m με τον ίδιο σκεπτικό.,,,..., m Η μέγιστη περίοδος που μπορούμε να επιτύχουμε με τις παραπάνω μεθόδους είναι προφανώς m και σε αυτή την περίπτωση λέγεται ότι η μέθοδος έχει πλήρη περίοδο. Από τη θεωρία αριθμών, αποδεικνύεται ότι πλήρης περίοδος μπορεί να επιτευχθεί αν για τα a, m, c ισχύουν οι τρεις ακόλουθες συνθήκες: Αν το 4 διαιρεί το m, τότε θα πρέπει να διαιρεί και το a, Οι m, c είναι μεταξύ τους πρώτοι ο μόνος φυσικός που διαιρεί και τους δύο να είναι ο, Αν ο q είναι ένας πρώτος α- ριθμός που διαιρεί τον m, τότε θα πρέπει να διαιρεί και τον a. Στη συνέχεια δεν θα μας απασχολήσει περισσότερο η βέλτιστη επιλογή των a, m, c διότι κάθε γλώσσα προγραμματισμού π.χ. Pascal, VBasc, C, ortra αλλά και κάθε υπολογιστικό πρόγραμμα Mathematca, Matlab, Maple κ.α. ή πρόγραμμα επε- Boutsas M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 4

5 ξεργασίας δεδομένων Ecel, SPSS, S-Plus, Statgraphcs κ.α. έχει ενσωματωμένη μία γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθμών και παρέχει αυτόματα τυχαίους αριθμούς συνήθως με την εντολή RANDOM ή RAND ή RND που ικανοποιεί τα παραπάνω χαρακτηριστικά. Μάλιστα ορισμένα πακέτα π.χ. SPSS, Mathematca κ.α. μπορούν να παράγουν ψευδοτυχαίους αριθμούς και από άλλες κατανομές. Για απλότητα στη συνέχεια θα υλοποιούμε αλγορίθμους μια σειρά διαδικασιών για την λύση ενός συγκεκριμένου προβλήματος με το πακέτο Mathematca αλλά οι ίδιοι αλγόριθμοι μπορούν να υλοποιηθούν από οποιαδήποτε γλώσσα προγραμματισμού. Στο Mathematca λοιπόν ένας τυχαίος αριθμός παράγεται ως εξής στο εξής οι εντολές του Mathematca θα θεωρούνται γνωστές για αυτό βλέπε ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: Εισαγωγή στο Mathematca: SeedRadom[]; Prt[Radom[]].6668 Εδώ το Seed λαμβάνεται με κάποιο τρόπο από το ρολόι του υπολογιστή. Επομένως κάθε φορά που εκτελούμε τις παραπάνω εντολές θα παράγεται ένας διαφορετικός τυχαίος αριθμός. Αν αντί της εντολής SeedRadom[] χρησιμοποιούσαμε π.χ. την SeedRadom[] τότε θέτουμε Seed και κάθε φορά θα παράγεται ο ίδιος τυχαίος αριθμός. Αυτό μπορεί να είναι χρήσιμο στη περίπτωση που θέλουμε να πάρουμε ακριβώς την ίδια ακολουθία τυχαίων αριθμών π.χ. γιατί θέλουμε να ελέγξουμε αν η υλοποίηση ενός αλγορίθμου είναι σωστή. Επίσης, μπορούμε να πάρουμε τυχαίους αριθμούς ως εξής: SeedRadom[] Do[Prt[Radom[]],{5}] Μπορούμε να δούμε γραφικά π.χ. τέτοιους αριθμούς: R Table[Radom[], {}]; LstPlot[R, AspectRato ->.]; ή να δούμε πως κατανέμονται π.χ. 5 τέτοιοι αριθμοί στο,: R Table[{Radom[], }, {5}] LstPlot[R, AspectRato ->.] {{.3,},{ ,},{.444,},{.5373,},{ ,}, {.63569,},{.87376,},{.98536,},{.4653,},{.765,}, {.46777,},{.756,},{.596,},{.544,},{.6845,}, { ,},{.896,},{.68536,},{ ,},{.4699,}, {.489,},{.35385,},{.5478,},{.9396,},{.8889,}, {.3799,},{ ,},{.36486,},{.8997,},{.73798,}, {.47498,},{.37885,},{.4765,},{.937,},{.76399,}, {.67379,},{.4349,},{.67898,},{.74449,},{.874,}, Boutsas M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 5

6 {.9387,},{.9936,},{.7578,},{.94,},{.8476,}, {.6437,},{.7798,},{.3885,},{.5587,},{.69497,}} Εάν επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία λαμβάνουμε τα παρακάτω γραφήματα: κ.ο.κ Μπορούμε επίσης να κατασκευάσουμε το ιστόγραμμα που προκύπτει από ένα σχετικά μεγάλο δείγμα χωρίζοντας το [,] σε διαστήματα εύρους. το καθένα << Graphcs`Graphcs` R Table[Radom[], {}]; Hstogram[R,HstogramCategores -> {,.,.,.3,.4,.5,.6,.7,.8,.9, }]; Παρατηρούμε ότι, τουλάχιστον από τα παραπάνω γραφήματα, οι ψευδοτυχαίοι αριθμοί που λαμβάνονται από το Mathematca μέσω της εντολής Radom[] «μοιάζουν» με τυχαίους αριθμούς που λαμβάνονται από την ομοιόμορφη κατανομή. Πιο συστηματικά, θα μπορούσαμε να δούμε πόσο «καλά» μοιάζουν με τυχαίους αριθμούς εξετάζοντας αν μπορούν να «ξεγελάσουν» διάφορους ελέγχους τυχαιότητας π.χ. διάφορα τεστ ροών ή στατιστικών συναρτήσεων σάρωσης και ελέγχους καλής προσαρμογής στην ομοιόμορφη κατανομή π.χ. χ ή Kolmogorov-Smrov τεστ. Στη συνέχεια δεν θα μας απασχολήσουν διαδικασίες ελέγχου τυχαιότητας της παραγόμενης ακολουθίας και μάλιστα στο εξής θα «προσποιούμαστε» ότι οι ψευδοτυχαίοι αριθμοί που δίνονται από κάποιο πακέτο είναι τυχαίοι αριθμοί. Boutsas M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 6

7 .. Υπολογισμός μέσης τιμής - ολοκληρώματος μέσω προσομοίωσης. Μία από τις πρώτες εφαρμογές της προσομοίωσης ήταν ο προσεγγιστικός υ- πολογισμός ολοκληρωμάτων. Έστω λοιπόν ότι επιθυμούμε να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα μ g d για κάποια μετρήσιμη συνάρτηση g. Είναι αρκετά γόνιμη η παρατήρηση ότι το συγκεκριμένο ολοκλήρωμα μπορεί εναλλακτικά να γραφεί στη μορφή E g g f d g d μ όπου είναι μία τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή στο,, δηλαδή έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f για,. Με άλλα λόγια, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ένα τυχαίο πείραμα παράγει μία τ.μ. g της ο- ποίας επιθυμούμε να υπολογίσουμε την αναμενόμενη τιμή. Από τον νόμο των μεγάλων αριθμών σύμφωνα με τον οποίο ο δειγματικός μέσος συγκλίνει στον πληθυσμιακό μέσο, αν εκτελέσουμε το ίδιο πείραμα πολλές φορές, το μ θα είναι οριακά ίσο με τον μέσο όρο των αποτελεσμάτων αυτών των πειραμάτων υποθέτουμε ότι Ε g <. Αυτό εκφράζεται μαθηματικά ως εξής: Έστω,,..., ανεξάρτητες τ.μ. από την ομοιόμορφη στο, κατανομή. Οι νέες τ.μ. g,g,...,g είναι προφανώς και αυτές ανεξάρτητες και ισόνομες και από τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών θα ισχύει με πιθανότητα ότι g E g. Αυτή η τεχνική υπολογισμού ολοκληρωμάτων ονομάζεται τεχνική Mote Carlo. Ε- πομένως, το μ E g προσεγγίζεται από το g το οποίο είναι τυχαία μεταβλητή και με αυτή την έννοια, το g αποτελεί μία «εκτίμηση» του μ. Ο σχετικός αλγόριθμος είναι ο επόμενος: ΒΗΜΑ. Παράγουμε τυχαίους αριθμούς,,..., ~, ˆ ΒΗΜΑ. Υπολογίζουμε την τιμή μ g Η τιμή αυτή αποτελεί σύμφωνα με τα παραπάνω εκτίμηση του μ. Προφανώς, όσο μεγαλύτερο είναι το, τόσο καλύτερη θα είναι η εκτίμηση η τ.μ. ˆ μ g θα έχει μικρότερη διασπορά. Παράδειγμα. Αν g l, μία απλή υλοποίηση του παραπάνω αλγορίθμου είναι η ακόλουθη επαναλήψεις: g[_]: Log[]; SeedRadom[]; ; s; Do[Radom[]; ss+g[],{}]; Prt[s/] Προφανώς, το παραπάνω ολοκλήρωμα μπορεί να υπολογιστεί και επακριβώς: Boutsas M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 7

8 μ l d [ l ] επαληθεύοντας την παραπάνω εκτίμηση. Εφόσον δεν έχουμε καθορίσει κάποιο συγκεκριμένο seed, κάθε φορά που θα εκτελέσουμε τις παραπάνω εντολές θα πάρουμε διαφορετική εκτίμηση, π.χ.: -.87, -.8, , , -.43 κ.ο.κ. Εάν τώρα αυξήσουμε το πλήθος των επαναλήψεων, τότε θα πάρουμε καλύτερες εκτιμήσεις. Π.χ. για λαμβάνουμε τις τιμές , -.53, -.436, -.95, κ.ο.κ. Είναι φανερό ότι η παραπάνω μέθοδος εκτίμησης δεν περιορίζεται μόνο κατά τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων επί του, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για ολοκληρώματα με οποιαδήποτε άκρα. Αυτό που χρειάζεται σε κάθε περίπτωση είναι ο κατάλληλος μετασχηματισμός της μεταβλητής ολοκλήρωσης ώστε να καταλήξουμε και πάλι σε ολοκλήρωμα με άκρα,. Για παράδειγμα, και b g a d b a g a + b a y dy a y b h y dy a g d y g y dy h y dy y + Η πραγματική ισχύς όμως της συγκεκριμένης μεθόδου αποκαλύπτεται κατά τον υπολογισμό πολλαπλών ολοκληρωμάτων. Για παράδειγμα, το ολοκλήρωμα μ [,] μπορεί να γραφεί εναλλακτικά στη μορφή g d... g,,..., d... d d μ Ε g E g,,..., όπου,,..., είναι ανεξάρτητες τ.μ. από ομοιόμορφη κατανομή στο,. Παρόμοια με παραπάνω, θεωρούμε,,...,,,,..., ανεξάρτητα μεταξύ τους τυχαία διανύσματα το καθένα οποία αποτελείται από ανεξάρτητες τ.μ. από την ομοιόμορφη στο, κατανομή. Οι τ.μ. g, g,...,g είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. και επομένως από τον ισχυρό νόμο των μεγάλων αριθμών θα ισχύει και πάλι ότι g E g με πιθανότητα προφανώς θεωρούμε ότι η g είναι μετρήσιμη και Ε g <. Παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι επιθυμούμε να εκτιμήσουμε το ολοκλήρωμα Χρησιμοποιώντας το Mathematca θα είναι μ + y e ddy Boutsas M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 8

9 g[_, y_]: Ep[ + y^]; SeedRadom[]; ; s; Do[ss+g[Radom[],Radom[]],{}]; Prt[s/] Για επαλήθευση, ο αριθμητικός υπολογισμός του παραπάνω ολοκληρώματος και πάλι μέσω του Mathematca δίνει: NItegrate[Ep[ + y^], {,, }, {y,, }] Μπορούμε πιο παραστατικά να δούμε πως η ακολουθία στοχαστική διαδικασία S j g j ep j + j,,,... j + y προσεγγίζει την τιμή μ E g e ddy , καθώς το αυξάνεται από το έως το 5 χρησιμοποιώντας τις παρακάτω εντολές: g[_, y_] : Ep[ + y^]; SeedRadom[]; 5; lst {}; s ; Do[s s + g[radom[], Radom[]]; lst Apped[lst, s/];,{,, }]; LstPlot[lst, PlotJoed -> True, PlotRage -> {4, 7}] Και στην πολυδιάστατη περίπτωση, η εκτιμητική μέθοδος Mote Carlo δεν περιορίζεται μόνο κατά τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων επί του, αλλά μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ολοκληρώματα με οποιαδήποτε άκρα, αρκεί και πάλι να εκτελέσουμε κατάλληλο μετασχηματισμό των μεταβλητών ολοκλήρωσης. Φυσικά, για τον προσεγγιστικό υπολογισμό ολοκληρωμάτων είναι πολύ καλύτερο να χρησιμοποιήσουμε, όταν αυτό είναι εφικτό, γνωστές διαδικασίες της αριθμητικής ανάλυσης όπως π.χ. γίνεται με την παραπάνω εντολή NItegrate. Το πλεονέκτημα της Mote Carlo ολοκλήρωσης, είναι ότι είναι πολύ απλή και μπορεί να χρησιμοποιηθεί άμεσα για οποιαδήποτε συνάρτηση. Boutsas M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» 9

10 Boutsas M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές» Παράδειγμα. Έστω,,... ανεξάρτητες τ.μ. από την ομοιόμορφη στο, κατανομή, και > N : m Εδώ, το N εκφράζει το ελάχιστο πλήθος ομοιόμορφων τ.μ. που θα χρειαστεί να α- θροίσουμε ώστε να ξεπεραστεί το. Αρχικά λοιπόν λαμβάνουμε μία τ.μ. και εξετάζουμε αν >. Εάν ισχύει, τότε θα είναι Ν, διαφορετικά λαμβάνουμε ακόμη μία τ.μ. και εξετάζουμε αν + >. Εάν ισχύει, τότε θα είναι Ν, κ.ο.κ. Επιθυμούμε να υπολογίσουμε τον αναμενόμενο πλήθος από τ.μ. που θα χρειαστούμε προκειμένου να ξεπεράσουμε το δηλ. το ΕΝ. Χρησιμοποιώντας προσομοίωση, θα εκτιμήσουμε το ΕΝ με βάση ένα δείγμα τιμών του Ν. d ; ; Do[s ; m ; Whle[s <, s s + Radom[]; m m + ]; d d + m;, {}] Prt[N[d/]];.76 Εδώ υποπτευόμαστε ότι ίσως EN e.788. Πράγματι, > : m Pr Pr N N E Pr Παρατηρώντας ότι, για,3,... dy y du u Pr Pr. Για, είναι dy y, και άρα,!...,, 3!, 3 3. Επομένως, για, e N E! και επαληθεύουμε ότι e N E.

11 Ασκήσεις. Αν 3 και mod, βρείτε τα,,...,. Επιτυγχάνεται πλήρης περίοδος;. Εκτιμήστε μέσω προσομοίωσης τα ολοκληρώματα: α. ep e d, β. + d, γ. e + y d, δ. dyd 3. Εκτιμήστε μέσω προσομοίωσης το Cov,e, όπου η τ.μ. ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή στο,. Συγκρίνετε με την ακριβή τιμή. 4. Εκτιμήστε μέσω προσομοίωσης τα α, Cov,, β Cov, όπου η τ.μ. ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή στο,. 5. Έστω,,... ανεξάρτητες τ.μ. από την ομοιόμορφη στο, κατανομή, και 3 N ma : e όπου από σύμβαση,. α Εκτιμήστε το ΕΝ με βάση ένα δείγμα τιμών του Ν. β Εκτιμήστε την πιθανότητα PrN για,,...,6. 6. Από το τελευταίο παράδειγμα, είδαμε πως μπορούμε να προσεγγίσουμε το e χρησιμοποιώντας μια ακολουθία τ.μ. και τις απλές πράξεις +,,, / φυσικά και δεν πρόκειται για την καλύτερη μέθοδο προσέγγισης του e. Μπορείτε να προτείνετε κάποια ανάλογη μέθοδο προσέγγισης του π; e Boutsas M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υπολογιστικές Τεχνικές»

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Η άσκηση μπορεί να γίνει με συνεργασία το πολύ δυο φοιτητών, οι οποίοι θα λάβουν τον ίδιο βαθμό στην εργασία.

Η άσκηση μπορεί να γίνει με συνεργασία το πολύ δυο φοιτητών, οι οποίοι θα λάβουν τον ίδιο βαθμό στην εργασία. Άσκηση #4 Η άσκηση μπορεί να γίνει με συνεργασία το πολύ δυο φοιτητών, οι οποίοι θα λάβουν τον ίδιο βαθμό στην εργασία. Βαθμολογούνται: 1. Η αποτελεσματική επίλυση του προβλήματος. Δηλ σωστή υλοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ. 8.1 Εισαγωγή. 8.2 Κατανομές Συχνοτήτων (Frequency Distributions) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΑΤΑΝΟΜΈΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 81 Εισαγωγή Οι κατανομές διακρίνονται σε κατανομές συχνοτήτων, κατανομές πιθανοτήτων και σε δειγματοληπτικές κατανομές Στη συνέχεια θα γίνει αναλυτική περιγραφή αυτών 82 Κατανομές

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή στη Μέθοδο Bootstrap

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. Εισαγωγή στη Μέθοδο Bootstrap ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 Εισαγωγή στη Μέθοδο Bootstrap Υπενθυμίζεται ότι έως τώρα ασχοληθήκαμε με το πρόβλημα της εκτίμησης μιας ποσότητας μέσω ενός (ψευδο)τυχαίου δείγματος που παρήχθη με την βοήθεια ενός H/Y. Στο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ TE Αρχές Ψηφιακών Συστημάτων Επικοινωνίας και Προσομοίωση Εαρινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού

ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.

3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα 5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχεις ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου θα έχεις κατανοήσει τις τεχνικές ανάλυσης των αλγορίθμων, θα μπορείς να μετράς την επίδοση των αλγορίθμων με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος

Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία. Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Τ Ε Ι Ιονίων Νήσων Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και την Οικονομία Υπεύθυνος: Δρ. Κολιός Σταύρος Θεωρία Συνόλων Σύνολο: Το σύνολο εκφράζει μία συλλογή διακριτών μονάδων οποιασδήποτε φύσης.

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Προσομοίωση Simulation

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Προσομοίωση Simulation Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Προσομοίωση Simulation Προσομοίωση Έστω ότι το σύστημα βρίσκεται σε κάποια αρχική κατάσταση Αν γνωρίζουμε τους κανόνες σύμφωνα με τους οποίους το σύστημα αλλάζει καταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L]

Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( x ), x [0, L] c Σειρές Fourier-Μετασχηματισμός Fourier Έστω μια συνεχής (και σχετικά ομαλή) συνάρτηση f( ) [ ] για την οποία ξέρουμε ότι f() = f( ) =. Μια τέτοια συνάρτηση μπορούμε πάντα να τη γράψουμε : π f( ) = A

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ).

Δισδιάστατη ανάλυση. Για παράδειγμα, έστω ότι 11 άτομα δήλωσαν ότι είναι άγαμοι (Α), 26 έγγαμοι (Ε), 12 χήροι (Χ) και 9 διαζευγμένοι (Δ). Δισδιάστατη ανάλυση Πίνακες διπλής εισόδου Σε πολλές περιπτώσεις μελετάμε περισσότερες από μία μεταβλητές ταυτόχρονα. Π.χ. μία έρευνα που έγινε σε ένα δείγμα 58 ατόμων περιείχε τις ερωτήσεις «ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ ΑΠΟ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 4.. Εισαγωγή Στην προσομοίωση σε πολλές περιπτώσεις είναι απαραίτητη η δημιουργία δειγμάτων τυχαίων μεταβλητών που ακολουθούν κάποια καθορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Τα Εργαστηριακά Προγράμματα. Η δομή Επιλογής στη PASCAL. H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Η εντολή επανάληψης for

Σκοπός. Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Τα Εργαστηριακά Προγράμματα. Η δομή Επιλογής στη PASCAL. H δομή Επανάληψης στη PASCAL. Η εντολή επανάληψης for Εργαστήριο 6 Εντολές Επανάληψης Τα Εργαστηριακά Προγράμματα Η δομή Επιλογής στη PASCAL H δομή Επανάληψης στη PASCAL Η εντολή επανάληψης for Σκοπός Η εντολή επανάληψης while. 1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 6 Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις

ΔΕΟ13 - Επαναληπτικές Εξετάσεις 2010 Λύσεις ΔΕΟ - Επαναληπτικές Εξετάσεις Λύσεις ΘΕΜΑ () Το Διάγραμμα Διασποράς εμφανίζεται στο επόμενο σχήμα. Από αυτό προκύπτει καταρχήν μία θετική σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών. Επίσης, από το διάγραμμα φαίνεται

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι) HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου;

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει διάφορους αλγόριθμους (αναζήτησης, ταξινόμησης, κ.α.). Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα τρόπο εκτίμησης της επίδοσης (performance) η της αποδοτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Εκτίμηση χαρακτηριστικών ελέγχων υποθέσεων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Εκτίμηση χαρακτηριστικών ελέγχων υποθέσεων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Εκτίμηση χαρακτηριστικών ελέγχων υποθέσεων Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε μία εφαρμογή της τεχνικής της προσομοίωσης στους στατιστικούς ελέγχους υποθέσεων. Συγκεκριμένα θα δούμε πως μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα

Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Βασικές έννοιες της Στατιστικής: Πληθυσμός - Δείγμα Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών που εμβαθύνει σε μεθόδους συλλογής δεδομένων, οργάνωσης, παρουσίασης των δεδομένων και εξαγωγής συμπερασμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης

Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Βασικές αρχές μεθόδων ελαχιστοποίησης Μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Οι μέθοδοι ελαχιστοποίησης είναι επαναληπτικές. Ξεκινώντας από μια αρχική προσέγγιση του ελαχίστου (την συμβολίζουμε ) παράγουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών.

5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5. Γεννήτριες Τυχαίων Αριθµών. 5.1. Εισαγωγή. Στο Κεφάλαιο αυτό θα δούµε πώς µπορούµε να δηµιουργήσουµε τυχαίους αριθµούς από την οµοιόµορφη κατανοµή στο διάστηµα [0,1]. Την κατανοµή αυτή, συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ας δούμε λίγο την θεωρία με την οποία ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα.

Ας δούμε λίγο την θεωρία με την οποία ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα. Ας δούμε λίγο την θεωρία με την οποία ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα. Είδαμε τι είναι πρόβλημα, τι είναι αλγόριθμος και τέλος τι είναι πρόγραμμα. Πρέπει να μπορείτε να ξεχωρίζετε αυτές τις έννοιες και να αντιλαμβάνεστε

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας

Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Κεφάλαιο 9 Κατανομές Δειγματοληψίας Copyright 2009 Cengage Learning 9.1 Κατανομές Δειγματοληψίας Μια κατανομή δειγματοληψίας δημιουργείται, εξ ορισμού, από δειγματοληψία. Η μέθοδος που θα χρησιμοποιήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τεχνικές ελάττωσης διακύμανσης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Τεχνικές ελάττωσης διακύμανσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Τεχνικές ελάττωσης διακύμανσης 6.. Στατιστική ανάλυση δεδομένων από προσομοίωση Όπως είδαμε και στα προηγούμενα κεφάλαια προκειμένου να εκτιμήσουμε μία ποσότητα θ η οποία συνδέεται με ένα στοχαστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός και Ιδιότητες

Ορισμός και Ιδιότητες ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη.

4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. 4.4 Μετατροπή από μία μορφή δομής επανάληψης σε μία άλλη. Η μετατροπή μιας εντολής επανάληψης σε μία άλλη ή στις άλλες δύο εντολές επανάληψης, αποτελεί ένα θέμα που αρκετές φορές έχει εξεταστεί σε πανελλαδικό

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Α2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών Α3. Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΑΓΓΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου

Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου Τεχνικές Εκτίμησης Υπολογιστικών Συστημάτων Ενότητα 7: Η επιλογή των πιθανοτικών κατανομών εισόδου Γαροφαλάκης Ιωάννης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχ/κών Η/Υ & Πληροφορικής Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή Συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Γιατί Ένας Manager Πρέπει να Ξέρει Στατιστική. Περιεχόμενα. Η Ανάπτυξη και Εξέλιξη της Σύγχρονης Στατιστικής

Περιεχόμενα. Γιατί Ένας Manager Πρέπει να Ξέρει Στατιστική. Περιεχόμενα. Η Ανάπτυξη και Εξέλιξη της Σύγχρονης Στατιστικής Chapter 1 Student Lecture Notes 1-1 Ανάλυση Δεδομένων και Στατιστική για Διοικήση Επιχειρήσεων [Basic Business Statistics (8 th Edition)] Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή και Συλλογή Δεδομένων Περιεχόμενα Γιατί ένας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στα Μαθηματικά Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Master Mind εφαρμογή στη γλώσσα προγραμματισμού C

Master Mind εφαρμογή στη γλώσσα προγραμματισμού C Master Mind εφαρμογή στη γλώσσα προγραμματισμού C Φεβρουάριος/Μάρτιος 2013 v. 0.1 Master-mind: κανόνες παιχνιδιού Στο master mind χρειάζεται να παράγονται κάθε φορά 4 τυχαία σύμβολα από ένα πλήθος 6 διαφορετικών

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2.

Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης ΚΕΦΆΛΆΙΟ 1 Ο ρόλος της επιχειρησιακής έρευνας στη λήψη αποφάσεων ΚΕΦΆΛΆΙΟ 2. Περιεχόμενα Πρόλογος 5ης αναθεωρημένης έκδοσης... 11 Λίγα λόγια για βιβλίο... 11 Σε ποιους απευθύνεται... 12 Τι αλλάζει στην 5η αναθεωρημένη έκδοση... 12 Το βιβλίο ως διδακτικό εγχειρίδιο... 14 Ευχαριστίες...

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1, Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση

Διαβάστε περισσότερα

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.)

3. Οριακά θεωρήµατα. Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (Κ.Ο.Θ.) 3 Οριακά θεωρήµατα Κεντρικό Οριακό Θεώρηµα (ΚΟΘ) Ένα από τα πιο συνηθισµένα προβλήµατα που ανακύπτουν στη στατιστική είναι ο προσδιορισµός της κατανοµής ενός µεγάλου αθροίσµατος ανεξάρτητων τµ Έστω Χ Χ

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC

Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Μπεϋζιανή Στατιστική και MCMC Μέρος 2 ο : MCMC Περιεχόμενα Μαθήματος Εισαγωγή στο Πρόβλημα. Monte Carlo Εκτιμητές. Προσομοίωση. Αλυσίδες Markov. Αλγόριθμοι MCMC (Metropolis Hastings & Gibbs Sampling).

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics)

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Τυχαίο δείγμα και στατιστική συνάρτηση Χ={x 1, x,, x n } τυχαίο δείγμα μεγέθους n προερχόμενο από μια (παραμετρική) κατανομή με σ.π.π. f(x;θ).

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Εκτιμητική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Αναγνώριση Προτύπων. Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αναγνώριση Προτύπων Baysian Θεωρία Αποφάσεων ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ Χριστόδουλος Χαμζάς Τα περιεχόμενο της παρουσίασης βασίζεται στο βιβλίο: Introduction to Pattern Recognition A Matlab Approach, S. Theodoridis,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ )

Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ ) Κεφάλαιο 2 ο Βασικές Έννοιες Αλγορίθμων (σελ. 25 48) Τι είναι αλγόριθμος; Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αλγόριθμος είναι μία πεπερασμένη σειρά ενεργειών, αυστηρά καθορισμένων και εκτελέσιμων σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα,

Διαβάστε περισσότερα

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε.

Χημική Τεχνολογία. Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων. Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Χημική Τεχνολογία Ενότητα 1: Στατιστική Επεξεργασία Μετρήσεων Ευάγγελος Φουντουκίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (16/06/2010, 18:00)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (16/06/2010, 18:00) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών Θεματική Ενότητα Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος 2009-2010 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ (16/06/2010, 18:00) Να απαντηθούν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α

ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» - 6/2/2014 Διάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες και 50 λεπτά Ομάδα Α 1. (2.5 μονάδες) Ο κ. Ζούπας παρέλαβε μία μυστηριώδη τσάντα από το ταχυδρομείο. Όταν

Διαβάστε περισσότερα