Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2

4 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Εισαγωγικές Έννοιες - Γραφική Ακολουθία Πράξεις, σχέσεις γραφημάτων Αποστάσεις, διάμετρος και περιφέρεια 2 Συνεκτικότητα Συνεκτικές Συνιστώσες Γέφυρες, κόμβοι τομής και διαχωριστές Δισυνεκτικά γραφήματα 3 Δέντρα 4 Eulerian και Hamiltonian γραφήματα 5 Προβλήματα βελτιστοποίησης σε γραφήματα 6 Επίπεδα γραφήματα

5 Συνεκτικότητα Συνεκτικό Γράφημα G: ζεύγος κορυφών u, v V(G) υπάρχει (u, v)-μονοπάτι στο G v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5

6 Συνεκτικότητα Συνεκτικό Γράφημα G: ζεύγος κορυφών u, v V(G) υπάρχει (u, v)-μονοπάτι στο G v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5 Παρατηρήσεις 1 Αν G v συνεκτικό με deg G (v) 1 G συνεκτικό 2 Αν υπάρχει καθολική κορυφή v G συνεκτικό

7 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα G συνεκτικό υπάρχει περίπατος που να περνάει από όλες τις V(G)

8 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα G συνεκτικό υπάρχει περίπατος που να περνάει από όλες τις V(G) Απόδειξη ( ) από το προηγούμενο κεφάλαιο (από τον ισχυρισμό (u, v)-μονοπάτι (u, v)-περίπατος) ( )

9 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα G συνεκτικό υπάρχει περίπατος που να περνάει από όλες τις V(G) Απόδειξη ( ) από το προηγούμενο κεφάλαιο (από τον ισχυρισμό (u, v)-μονοπάτι (u, v)-περίπατος) ( ) Παίρνουμε μια τυχαία διάταξη [v 1,, v n ] των κορυφών Υπάρχει το P i μονοπάτι μεταξύ των (v i, v i+1 )

10 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα G συνεκτικό υπάρχει περίπατος που να περνάει από όλες τις V(G) Απόδειξη ( ) από το προηγούμενο κεφάλαιο (από τον ισχυρισμό (u, v)-μονοπάτι (u, v)-περίπατος) ( ) Παίρνουμε μια τυχαία διάταξη [v 1,, v n ] των κορυφών Υπάρχει το P i μονοπάτι μεταξύ των (v i, v i+1 ) Αντιστοιχούμε το μονοπάτι P i στον περίπατο W i

11 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα G συνεκτικό υπάρχει περίπατος που να περνάει από όλες τις V(G) Απόδειξη ( ) από το προηγούμενο κεφάλαιο (από τον ισχυρισμό (u, v)-μονοπάτι (u, v)-περίπατος) ( ) Παίρνουμε μια τυχαία διάταξη [v 1,, v n ] των κορυφών Υπάρχει το P i μονοπάτι μεταξύ των (v i, v i+1 ) Αντιστοιχούμε το μονοπάτι P i στον περίπατο W i H επικόλληση W 1,, W n 1 μας δίνει το ζητούμενο

12 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό

13 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό Απόδειξη Επαγωγικά ως προς το n Βάση: K 2 συνεκτικό ενώ το 2K 1 δεν είναι συνεκτικό

14 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό Απόδειξη Επαγωγικά ως προς το n Βάση: K 2 συνεκτικό ενώ το 2K 1 δεν είναι συνεκτικό Υπόθεση: n 1 κορυφές

15 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό Απόδειξη Επαγωγικά ως προς το n Βάση: K 2 συνεκτικό ενώ το 2K 1 δεν είναι συνεκτικό Υπόθεση: n 1 κορυφές Επαγωγικό βημα: Αποδεικνύουμε για ακριβώς n κορυφές: H = G v και από Υπόθεση είτε H συνεκτικό είτε H συνεκτικό Αν N G (v) = V(G) {v}, G συνεκτικό Αν N G (v) = G συνεκτικό

16 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό Απόδειξη Επαγωγικά ως προς το n Βάση: K 2 συνεκτικό ενώ το 2K 1 δεν είναι συνεκτικό Υπόθεση: n 1 κορυφές Επαγωγικό βημα: Αποδεικνύουμε για ακριβώς n κορυφές: H = G v και από Υπόθεση είτε H συνεκτικό είτε H συνεκτικό Αν N G (v) = V(G) {v}, G συνεκτικό Αν N G (v) = G συνεκτικό Διαφορετικά, x, y στο H: {v, x} E(G) και {v, y} / E(G)

17 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό Απόδειξη Επαγωγικά ως προς το n Βάση: K 2 συνεκτικό ενώ το 2K 1 δεν είναι συνεκτικό Υπόθεση: n 1 κορυφές Επαγωγικό βημα: Αποδεικνύουμε για ακριβώς n κορυφές: H = G v και από Υπόθεση είτε H συνεκτικό είτε H συνεκτικό Αν N G (v) = V(G) {v}, G συνεκτικό Αν N G (v) = G συνεκτικό Διαφορετικά, x, y στο H: {v, x} E(G) και {v, y} / E(G) H συνεκτικό {v, x} στο G G συνεκτικό H συνεκτικό {v, y} στο G G συνεκτικό

18 Συνεκτικές Συνιστώσες Συνεκτική συνιστώσα: ένα μεγιστοτικό (maximal) υπογράφημα του G που είναι συνεκτικό

19 Συνεκτικές Συνιστώσες Συνεκτική συνιστώσα: ένα μεγιστοτικό (maximal) υπογράφημα του G που είναι συνεκτικό Σχέση ισοδυναμίας : u v εάν υπάρχει (u, v)-μονοπάτι στο G

20 Συνεκτικές Συνιστώσες Συνεκτική συνιστώσα: ένα μεγιστοτικό (maximal) υπογράφημα του G που είναι συνεκτικό Σχέση ισοδυναμίας : u v εάν υπάρχει (u, v)-μονοπάτι στο G αν x y και y z x z

21 Συνεκτικές Συνιστώσες Συνεκτική συνιστώσα: ένα μεγιστοτικό (maximal) υπογράφημα του G που είναι συνεκτικό Σχέση ισοδυναμίας : u v εάν υπάρχει (u, v)-μονοπάτι στο G αν x y και y z x z Συνεκτική συνιστώσα του G είναι το γράφημα G[S] όπου S είναι μια κλάση ισοδυναμίας της σχέσης `` ''

22 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ασκησούλα Ασκησούλα Έστω H σσ του G Δείξτε ότι δ(h) δ(g) και Δ(H) Δ(G) Απόδειξη Έστω ότι δ(h) < δ(g)

23 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ασκησούλα Ασκησούλα Έστω H σσ του G Δείξτε ότι δ(h) δ(g) και Δ(H) Δ(G) Απόδειξη Έστω ότι δ(h) < δ(g) v στο G: deg G (v) = δ(g) και w V(G) deg G (v) deg G (w) x στο H: deg H (x) = δ(h) και y V(H) deg H (x) deg H (y)

24 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ασκησούλα Ασκησούλα Έστω H σσ του G Δείξτε ότι δ(h) δ(g) και Δ(H) Δ(G) Απόδειξη Έστω ότι δ(h) < δ(g) v στο G: deg G (v) = δ(g) και w V(G) deg G (v) deg G (w) x στο H: deg H (x) = δ(h) και y V(H) deg H (x) deg H (y) ο βαθμός κάθε κορυφής της H παραμένει ίδιος στο G

25 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ασκησούλα Ασκησούλα Έστω H σσ του G Δείξτε ότι δ(h) δ(g) και Δ(H) Δ(G) Απόδειξη Έστω ότι δ(h) < δ(g) v στο G: deg G (v) = δ(g) και w V(G) deg G (v) deg G (w) x στο H: deg H (x) = δ(h) και y V(H) deg H (x) deg H (y) ο βαθμός κάθε κορυφής της H παραμένει ίδιος στο G deg G (x) deg G (y) Από υπόθεση deg G (v) > deg G (x) άτοπο

26 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν δ(g) n 2 τότε G συνεκτικό

27 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν δ(g) n 2 τότε G συνεκτικό Απόδειξη Έστω ότι G δεν είναι συνεκτικό και έστω H μια σσ με το min V(H)

28 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν δ(g) n 2 τότε G συνεκτικό Απόδειξη Έστω ότι G δεν είναι συνεκτικό και έστω H μια σσ με το min V(H) V(H) n 2

29 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν δ(g) n 2 τότε G συνεκτικό Απόδειξη Έστω ότι G δεν είναι συνεκτικό και έστω H μια σσ με το min V(H) V(H) n 2 δ(h) V(H) 1 < n 2

30 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν δ(g) n 2 τότε G συνεκτικό Απόδειξη Έστω ότι G δεν είναι συνεκτικό και έστω H μια σσ με το min V(H) V(H) n 2 δ(h) V(H) 1 < n 2 δ(g) Από την προηγούμενη ασκησούλα Άτοπο

31 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών

32 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών για κάθε συνεκτικό γράφημα H με n(h) < n: m(h) n(h) 1

33 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών για κάθε συνεκτικό γράφημα H με n(h) < n: m(h) n(h) 1 Γνωρίζουμε: ε(g) = m n δ(g) 2 Αν δ(g) 2 τότε ε(g) 1 m n

34 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών για κάθε συνεκτικό γράφημα H με n(h) < n: m(h) n(h) 1 Γνωρίζουμε: ε(g) = m n δ(g) 2 Αν δ(g) 2 τότε ε(g) 1 m n Άρα δ(g) 1 G συνεκτικό: v με deg G (v) = 0 δεν υπάρχει v με deg G (v) = 1

35 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών για κάθε συνεκτικό γράφημα H με n(h) < n: m(h) n(h) 1 Γνωρίζουμε: ε(g) = m n δ(g) 2 Αν δ(g) 2 τότε ε(g) 1 m n Άρα δ(g) 1 G συνεκτικό: v με deg G (v) = 0 δεν υπάρχει v με deg G (v) = 1 Κατασκευάζουμε H = G v H συνεκτικό και n(h) < n

36 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών για κάθε συνεκτικό γράφημα H με n(h) < n: m(h) n(h) 1 Γνωρίζουμε: ε(g) = m n δ(g) 2 Αν δ(g) 2 τότε ε(g) 1 m n Άρα δ(g) 1 G συνεκτικό: v με deg G (v) = 0 δεν υπάρχει v με deg G (v) = 1 Κατασκευάζουμε H = G v H συνεκτικό και n(h) < n Επομένως m(h) n(h) 1 (υπόθεση) και m(h) = m 1, n(h) = n 1 (κατασκευή) Τότε όμως m n 1

37 Γέφυρες και κόμβοι τομής Μια ακμή e ονομάζεται γέφυρα αν cc(g e) > cc(g) Μια κορυφή v ονομάζεται κόμβος τομής αν cc(g v) > cc(g) v 2 v 3 v 1 v 4 a b d e g v 6 v 5 c f h

38 Γέφυρες και κόμβοι τομής Μια ακμή e ονομάζεται γέφυρα αν cc(g e) > cc(g) Μια κορυφή v ονομάζεται κόμβος τομής αν cc(g v) > cc(g) v 2 v 3 v 1 v 4 a b d e g v 6 v 5 c f h Παρατήρηση Για μια γέφυρα e, cc(g e) = cc(g) + 1 γιατί? Ισχύει το ίδιο για έναν κόμβο τομής?

39 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη

40 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη ( ): G συνεκτικό

41 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη ( ): G συνεκτικό Επιλέγουμε αυθαίρετα κορυφές a A και b B Υπάρχει ένα (a, b)-μονοπάτι

42 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη ( ): G συνεκτικό Επιλέγουμε αυθαίρετα κορυφές a A και b B Υπάρχει ένα (a, b)-μονοπάτι (a, b)-μονοπάτι: e = την τελευταία κορυφή του A και η ακμή στο Β

43 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη ( ): G συνεκτικό Επιλέγουμε αυθαίρετα κορυφές a A και b B Υπάρχει ένα (a, b)-μονοπάτι (a, b)-μονοπάτι: e = την τελευταία κορυφή του A και η ακμή στο Β ( ) G δεν είναι συνεκτικό: H σσ του G

44 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη ( ): G συνεκτικό Επιλέγουμε αυθαίρετα κορυφές a A και b B Υπάρχει ένα (a, b)-μονοπάτι (a, b)-μονοπάτι: e = την τελευταία κορυφή του A και η ακμή στο Β ( ) G δεν είναι συνεκτικό: H σσ του G A = V(H) και B = V(G) A: Δεν υπάρχει ακμή ανάμεσα στα (A, B)

45 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη

46 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό

47 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι

48 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο

49 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H

50 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H Πρέπει νδο για u, v V(H) (u, v)-μονοπάτι P στο H e

51 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H Πρέπει νδο για u, v V(H) (u, v)-μονοπάτι P στο H e Στο H υπάρχει ένα (u, v)-μονοπάτι P αν e / P P υπάρχει στο H e

52 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H Πρέπει νδο για u, v V(H) (u, v)-μονοπάτι P στο H e Στο H υπάρχει ένα (u, v)-μονοπάτι P αν e / P P υπάρχει στο H e αν e P H e (u, x)-μονοπάτι P x και (y, v)-μονοπάτι P y

53 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H Πρέπει νδο για u, v V(H) (u, v)-μονοπάτι P στο H e Στο H υπάρχει ένα (u, v)-μονοπάτι P αν e / P P υπάρχει στο H e αν e P H e (u, x)-μονοπάτι P x και (y, v)-μονοπάτι P y e κύκλο του H υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P xy στο H e

54 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H Πρέπει νδο για u, v V(H) (u, v)-μονοπάτι P στο H e Στο H υπάρχει ένα (u, v)-μονοπάτι P αν e / P P υπάρχει στο H e αν e P H e (u, x)-μονοπάτι P x και (y, v)-μονοπάτι P y e κύκλο του H υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P xy στο H e P x P xy P y αποτελεί ένα (u, v)-μονοπάτι στο H e

55 Μεγιστοτικά Μονοπάτια Μεγιστοτικό μονοπάτι δεν αποτελεί μέρος κάποιου άλλου (μακρύτερου) μονοπατιού δεν μπορεί να επεκταθεί για να δώσει ένα μακρύτερο μονοπάτι v 2 v 3 v 1 v 4 a b d e g v 6 v 5 c f h

56 Μεγιστοτικά Μονοπάτια Μεγιστοτικό μονοπάτι δεν αποτελεί μέρος κάποιου άλλου (μακρύτερου) μονοπατιού δεν μπορεί να επεκταθεί για να δώσει ένα μακρύτερο μονοπάτι v 2 v 3 v 1 v 4 a b d e g v 6 v 5 c f h δεν μπορεί να επεκταθεί στα τερματικά του σημεία: Παρατήρηση Κάθε γείτονας των x, y ενός μεγιστοτικού (x, y)-μονοπατιού είναι απαραίτητα κορυφή του μεγιστοτικού μονοπατιού

57 Μεγιστοτικά Μονοπάτια Μεγιστοτικό μονοπάτι δεν αποτελεί μέρος κάποιου άλλου (μακρύτερου) μονοπατιού δεν μπορεί να επεκταθεί για να δώσει ένα μακρύτερο μονοπάτι v 2 v 3 v 1 v 4 a b d e g v 6 v 5 c f h δεν μπορεί να επεκταθεί στα τερματικά του σημεία: Παρατήρηση Κάθε γείτονας των x, y ενός μεγιστοτικού (x, y)-μονοπατιού είναι απαραίτητα κορυφή του μεγιστοτικού μονοπατιού Σε κάθε G υπάρχουν 2 κορυφές κόμβοι τομής

58 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη

59 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι

60 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι deg(u) k k γείτονες στο P

61 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι deg(u) k k γείτονες στο P V(P) k + 1 P k

62 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι deg(u) k k γείτονες στο P V(P) k + 1 P k u έχει τουλάχιστον δυο γείτονες (η διπλανή περιέχεται):

63 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι deg(u) k k γείτονες στο P V(P) k + 1 P k u έχει τουλάχιστον δυο γείτονες (η διπλανή περιέχεται): w η μακρύτερη κορυφή του N(u) στο P

64 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι deg(u) k k γείτονες στο P V(P) k + 1 P k u έχει τουλάχιστον δυο γείτονες (η διπλανή περιέχεται): w η μακρύτερη κορυφή του N(u) στο P u-w-u C k + 1

65 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη

66 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι Θδο deg(v) = 1

67 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι Θδο deg(v) = 1 Έστω deg(v) 1: deg(v) = 0: άτοπο διότι στο P η v έχει 1 γείτονα

68 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι Θδο deg(v) = 1 Έστω deg(v) 1: deg(v) = 0: άτοπο διότι στο P η v έχει 1 γείτονα deg(v) 2: N(v) V(P) w w V(P) N(v)

69 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι Θδο deg(v) = 1 Έστω deg(v) 1: deg(v) = 0: άτοπο διότι στο P η v έχει 1 γείτονα deg(v) 2: N(v) V(P) w w V(P) N(v) u w w u κύκλο στο G

70 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι Θδο deg(v) = 1 Έστω deg(v) 1: deg(v) = 0: άτοπο διότι στο P η v έχει 1 γείτονα deg(v) 2: N(v) V(P) w w V(P) N(v) u w w u κύκλο στο G Πόρισμα Έστω ένα G με δ(g) 2 Τότε το G περιέχει κύκλο

71 Διαχωριστές Ορισμός Ένα S V(G) διαχωριστής: G S έχει περισσότερες σ σ από G ελαχιστοτικός: κανένα από τα υποσύνολα είναι διαχωριστής ελάχιστος: το μικρότερο μέγεθος (ή πληθάριθμο) Για a, b V(G), (a, b)-διαχωριστής: a και b βρίσκονται σε διαφορετικές σ σ στο G S

72 Διαχωριστές Ορισμός Ένα S V(G) διαχωριστής: G S έχει περισσότερες σ σ από G ελαχιστοτικός: κανένα από τα υποσύνολα είναι διαχωριστής ελάχιστος: το μικρότερο μέγεθος (ή πληθάριθμο) Για a, b V(G), (a, b)-διαχωριστής: a και b βρίσκονται σε διαφορετικές σ σ στο G S v κόμβος τομής το μονοσύνολο {v} είναι διαχωριστής b e g a d c f h

73 Εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Ορισμός Λέμε ότι k 2 μονοπάτια είναι εσωτερικώς διακεκριμένα όταν τα σύνολα των εσωτερικών κορυφών τους είναι διακεκριμένα (δηλαδή, είναι ανά δυο ξένα μεταξύ τους) b e g a d c f h

74 Θεώρημα Menger Θεώρημα Menger (μεγιστοελάχιστο θεώρημα) Για κάθε ζεύγος s, t μη-γειτονικών κορυφών το μέγεθος του ελάχιστου (s, t)-διαχωριστή του G είναι ίσο με το μέγιστο πλήθος των εσωτερικώς διακεκριμένων (s, t)-μονοπατιών στο G b e g a d c f h

75 Δισυνεκτικότητα Δισυνεκτικό Γράφημα G Αν n 2 και για κάθε διαχωριστή S του G ισχύει S 2 Δισυνεκτική συνιστώσα ή τεμάχιο Ένα μεγιστοτικό δισυνεκτικό υπογράφημα ή ένα υπογράφημα του G ισόμορφο του K 2

76 Δισυνεκτικότητα Δισυνεκτικό Γράφημα G Αν n 2 και για κάθε διαχωριστή S του G ισχύει S 2 Δισυνεκτική συνιστώσα ή τεμάχιο Ένα μεγιστοτικό δισυνεκτικό υπογράφημα ή ένα υπογράφημα του G ισόμορφο του K 2 b e g a d c f h G[{d, e, f, g, h}] - G[{a, b, c, d}]

77 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Απόδειξη

78 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Απόδειξη ( ) Έστω v κόμβος τομής και έστω x, y στις δύο σσ του G v

79 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Απόδειξη ( ) Έστω v κόμβος τομής και έστω x, y στις δύο σσ του G v κάθε (x, y)-μονοπάτι περνάει από την v: άρα x και y δεν μπορούν να συνδεθούν με δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια

80 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Απόδειξη ( ) Έστω v κόμβος τομής και έστω x, y στις δύο σσ του G v κάθε (x, y)-μονοπάτι περνάει από την v: άρα x και y δεν μπορούν να συνδεθούν με δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια ( ) Έστω G δισυνεκτικό και x, y V(G) Επαγωγή ως προς dist(x, y)

81 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Απόδειξη ( ) Έστω v κόμβος τομής και έστω x, y στις δύο σσ του G v κάθε (x, y)-μονοπάτι περνάει από την v: άρα x και y δεν μπορούν να συνδεθούν με δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια ( ) Έστω G δισυνεκτικό και x, y V(G) Επαγωγή ως προς dist(x, y) P 1 x w y P 2 P 1 t P 1 w x y w x y R P 2 R P 2

82 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια b e g a d c f h Πόρισμα Η υποδιαίρεση, η πρόσθεση μιας ακμής ή η σύμπτυξη μιας κορυφής σε ένα δισυνεκτικό γράφημα δεν πλήττουν την δισυνεκτικότητα του γραφήματος

83 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (x y z) G δισυνεκτικό με n 3 για κάθε x, y, z V(G) υπάρχει μονοπάτι που να περνάει από την κορυφή y και να έχει άκρα τις κορυφές x και z Απόδειξη

84 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (x y z) G δισυνεκτικό με n 3 για κάθε x, y, z V(G) υπάρχει μονοπάτι που να περνάει από την κορυφή y και να έχει άκρα τις κορυφές x και z Απόδειξη Κατασκευάζουμε G : πρόσθεση w, γειτονική μόνο με τις x και z

85 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (x y z) G δισυνεκτικό με n 3 για κάθε x, y, z V(G) υπάρχει μονοπάτι που να περνάει από την κορυφή y και να έχει άκρα τις κορυφές x και z Απόδειξη Κατασκευάζουμε G : πρόσθεση w, γειτονική μόνο με τις x και z Από το προηγούμενο Πόρισμα: G είναι επίσης δισυνεκτικό

86 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (x y z) G δισυνεκτικό με n 3 για κάθε x, y, z V(G) υπάρχει μονοπάτι που να περνάει από την κορυφή y και να έχει άκρα τις κορυφές x και z Απόδειξη Κατασκευάζουμε G : πρόσθεση w, γειτονική μόνο με τις x και z Από το προηγούμενο Πόρισμα: G είναι επίσης δισυνεκτικό Από το προηγούμενο Θεώρημα στο G : δύο εσωτερικώς διακεκριμένα (w, y)-μονοπάτια P 1, P 2 Επομένως το μονοπάτι είναι το (P 1 P 2 ) {w}

87 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (ένωση δισυνεκτικότητας) Έστω δύο δισυνεκτικά γραφήματα H 1 και H 2 με V(H 1 ) V(H 2 ) 2 Τότε το γράφημα H 1 H 2 είναι δισυνεκτικό Απόδειξη

88 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (ένωση δισυνεκτικότητας) Έστω δύο δισυνεκτικά γραφήματα H 1 και H 2 με V(H 1 ) V(H 2 ) 2 Τότε το γράφημα H 1 H 2 είναι δισυνεκτικό Απόδειξη H 1 v v x 1 u u x 2 H 2

89 Έστω {u, v} S = V(H 1 ) V(H 2 ) Θνδο x 1, x 2 στο H = H 1 H 2 υπάρχουν 2 ε-δ-μ x 1 V(H 1 ) S και x 2 V(H 2 ) S Λήμμα (x y z) Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (ένωση δισυνεκτικότητας) Έστω δύο δισυνεκτικά γραφήματα H 1 και H 2 με V(H 1 ) V(H 2 ) 2 Τότε το γράφημα H 1 H 2 είναι δισυνεκτικό Απόδειξη H 1 v v x 1 u u H 2 x 2

90 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη

91 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω {x, y} S = V(H 1 ) V(H 2 ) και έστω w V(H 1 ) V(H 2 )

92 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω {x, y} S = V(H 1 ) V(H 2 ) και έστω w V(H 1 ) V(H 2 ) Λήμμα (x y z): υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P στο H 1 που περνάει από w

93 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω {x, y} S = V(H 1 ) V(H 2 ) και έστω w V(H 1 ) V(H 2 ) Λήμμα (x y z): υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P στο H 1 που περνάει από w H 2 P είναι δισυνεκτικό (Πόρισμα - υποδιαιρέσεων)

94 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω {x, y} S = V(H 1 ) V(H 2 ) και έστω w V(H 1 ) V(H 2 ) Λήμμα (x y z): υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P στο H 1 που περνάει από w H 2 P είναι δισυνεκτικό (Πόρισμα - υποδιαιρέσεων) H 2 H 2 P: H 2 δεν είναι τεμάχιο του G (συνεχίζεται)

95 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω τώρα ότι V(H 1 ) V(H 2 ) = {v} και έστω G v συνεκτικό

96 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω τώρα ότι V(H 1 ) V(H 2 ) = {v} και έστω G v συνεκτικό y x x v P x P y y P

97 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής

98 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

99 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

100 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

101 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

102 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

103 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

104 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

105 Είναι δισυνεκτικό; Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

106 Σύνοψη Κεφαλαίου 2 Έννοια συνεκτικό γράφημα, συνεκτικές συνιστώσες γέφυρα (ακμή), κόμβος τομής (κορυφή) μεγιστοτικό και μέγιστο μονοπάτι διαχωριστές εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια δισυνεκτικό γράφημα, τεμάχια

107 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

108 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Λέκτορας Χάρης Παπαδόπουλος «Θεωρία Γραφημάτων» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1]