Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2

4 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Εισαγωγικές Έννοιες - Γραφική Ακολουθία Πράξεις, σχέσεις γραφημάτων Αποστάσεις, διάμετρος και περιφέρεια 2 Συνεκτικότητα Συνεκτικές Συνιστώσες Γέφυρες, κόμβοι τομής και διαχωριστές Δισυνεκτικά γραφήματα 3 Δέντρα 4 Eulerian και Hamiltonian γραφήματα 5 Προβλήματα βελτιστοποίησης σε γραφήματα 6 Επίπεδα γραφήματα

5 Συνεκτικότητα Συνεκτικό Γράφημα G: ζεύγος κορυφών u, v V(G) υπάρχει (u, v)-μονοπάτι στο G v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5

6 Συνεκτικότητα Συνεκτικό Γράφημα G: ζεύγος κορυφών u, v V(G) υπάρχει (u, v)-μονοπάτι στο G v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5 Παρατηρήσεις 1 Αν G v συνεκτικό με deg G (v) 1 G συνεκτικό 2 Αν υπάρχει καθολική κορυφή v G συνεκτικό

7 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα G συνεκτικό υπάρχει περίπατος που να περνάει από όλες τις V(G)

8 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα G συνεκτικό υπάρχει περίπατος που να περνάει από όλες τις V(G) Απόδειξη ( ) από το προηγούμενο κεφάλαιο (από τον ισχυρισμό (u, v)-μονοπάτι (u, v)-περίπατος) ( )

9 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα G συνεκτικό υπάρχει περίπατος που να περνάει από όλες τις V(G) Απόδειξη ( ) από το προηγούμενο κεφάλαιο (από τον ισχυρισμό (u, v)-μονοπάτι (u, v)-περίπατος) ( ) Παίρνουμε μια τυχαία διάταξη [v 1,, v n ] των κορυφών Υπάρχει το P i μονοπάτι μεταξύ των (v i, v i+1 )

10 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα G συνεκτικό υπάρχει περίπατος που να περνάει από όλες τις V(G) Απόδειξη ( ) από το προηγούμενο κεφάλαιο (από τον ισχυρισμό (u, v)-μονοπάτι (u, v)-περίπατος) ( ) Παίρνουμε μια τυχαία διάταξη [v 1,, v n ] των κορυφών Υπάρχει το P i μονοπάτι μεταξύ των (v i, v i+1 ) Αντιστοιχούμε το μονοπάτι P i στον περίπατο W i

11 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα G συνεκτικό υπάρχει περίπατος που να περνάει από όλες τις V(G) Απόδειξη ( ) από το προηγούμενο κεφάλαιο (από τον ισχυρισμό (u, v)-μονοπάτι (u, v)-περίπατος) ( ) Παίρνουμε μια τυχαία διάταξη [v 1,, v n ] των κορυφών Υπάρχει το P i μονοπάτι μεταξύ των (v i, v i+1 ) Αντιστοιχούμε το μονοπάτι P i στον περίπατο W i H επικόλληση W 1,, W n 1 μας δίνει το ζητούμενο

12 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό

13 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό Απόδειξη Επαγωγικά ως προς το n Βάση: K 2 συνεκτικό ενώ το 2K 1 δεν είναι συνεκτικό

14 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό Απόδειξη Επαγωγικά ως προς το n Βάση: K 2 συνεκτικό ενώ το 2K 1 δεν είναι συνεκτικό Υπόθεση: n 1 κορυφές

15 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό Απόδειξη Επαγωγικά ως προς το n Βάση: K 2 συνεκτικό ενώ το 2K 1 δεν είναι συνεκτικό Υπόθεση: n 1 κορυφές Επαγωγικό βημα: Αποδεικνύουμε για ακριβώς n κορυφές: H = G v και από Υπόθεση είτε H συνεκτικό είτε H συνεκτικό Αν N G (v) = V(G) {v}, G συνεκτικό Αν N G (v) = G συνεκτικό

16 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό Απόδειξη Επαγωγικά ως προς το n Βάση: K 2 συνεκτικό ενώ το 2K 1 δεν είναι συνεκτικό Υπόθεση: n 1 κορυφές Επαγωγικό βημα: Αποδεικνύουμε για ακριβώς n κορυφές: H = G v και από Υπόθεση είτε H συνεκτικό είτε H συνεκτικό Αν N G (v) = V(G) {v}, G συνεκτικό Αν N G (v) = G συνεκτικό Διαφορετικά, x, y στο H: {v, x} E(G) και {v, y} / E(G)

17 Συνεκτικότητα - Ιδιότητες - Θεώρημα Θεώρημα Για κάθε γράφημα G: είτε G συνεκτικό είτε G συνεκτικό Απόδειξη Επαγωγικά ως προς το n Βάση: K 2 συνεκτικό ενώ το 2K 1 δεν είναι συνεκτικό Υπόθεση: n 1 κορυφές Επαγωγικό βημα: Αποδεικνύουμε για ακριβώς n κορυφές: H = G v και από Υπόθεση είτε H συνεκτικό είτε H συνεκτικό Αν N G (v) = V(G) {v}, G συνεκτικό Αν N G (v) = G συνεκτικό Διαφορετικά, x, y στο H: {v, x} E(G) και {v, y} / E(G) H συνεκτικό {v, x} στο G G συνεκτικό H συνεκτικό {v, y} στο G G συνεκτικό

18 Συνεκτικές Συνιστώσες Συνεκτική συνιστώσα: ένα μεγιστοτικό (maximal) υπογράφημα του G που είναι συνεκτικό

19 Συνεκτικές Συνιστώσες Συνεκτική συνιστώσα: ένα μεγιστοτικό (maximal) υπογράφημα του G που είναι συνεκτικό Σχέση ισοδυναμίας : u v εάν υπάρχει (u, v)-μονοπάτι στο G

20 Συνεκτικές Συνιστώσες Συνεκτική συνιστώσα: ένα μεγιστοτικό (maximal) υπογράφημα του G που είναι συνεκτικό Σχέση ισοδυναμίας : u v εάν υπάρχει (u, v)-μονοπάτι στο G αν x y και y z x z

21 Συνεκτικές Συνιστώσες Συνεκτική συνιστώσα: ένα μεγιστοτικό (maximal) υπογράφημα του G που είναι συνεκτικό Σχέση ισοδυναμίας : u v εάν υπάρχει (u, v)-μονοπάτι στο G αν x y και y z x z Συνεκτική συνιστώσα του G είναι το γράφημα G[S] όπου S είναι μια κλάση ισοδυναμίας της σχέσης `` ''

22 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ασκησούλα Ασκησούλα Έστω H σσ του G Δείξτε ότι δ(h) δ(g) και Δ(H) Δ(G) Απόδειξη Έστω ότι δ(h) < δ(g)

23 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ασκησούλα Ασκησούλα Έστω H σσ του G Δείξτε ότι δ(h) δ(g) και Δ(H) Δ(G) Απόδειξη Έστω ότι δ(h) < δ(g) v στο G: deg G (v) = δ(g) και w V(G) deg G (v) deg G (w) x στο H: deg H (x) = δ(h) και y V(H) deg H (x) deg H (y)

24 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ασκησούλα Ασκησούλα Έστω H σσ του G Δείξτε ότι δ(h) δ(g) και Δ(H) Δ(G) Απόδειξη Έστω ότι δ(h) < δ(g) v στο G: deg G (v) = δ(g) και w V(G) deg G (v) deg G (w) x στο H: deg H (x) = δ(h) και y V(H) deg H (x) deg H (y) ο βαθμός κάθε κορυφής της H παραμένει ίδιος στο G

25 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ασκησούλα Ασκησούλα Έστω H σσ του G Δείξτε ότι δ(h) δ(g) και Δ(H) Δ(G) Απόδειξη Έστω ότι δ(h) < δ(g) v στο G: deg G (v) = δ(g) και w V(G) deg G (v) deg G (w) x στο H: deg H (x) = δ(h) και y V(H) deg H (x) deg H (y) ο βαθμός κάθε κορυφής της H παραμένει ίδιος στο G deg G (x) deg G (y) Από υπόθεση deg G (v) > deg G (x) άτοπο

26 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν δ(g) n 2 τότε G συνεκτικό

27 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν δ(g) n 2 τότε G συνεκτικό Απόδειξη Έστω ότι G δεν είναι συνεκτικό και έστω H μια σσ με το min V(H)

28 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν δ(g) n 2 τότε G συνεκτικό Απόδειξη Έστω ότι G δεν είναι συνεκτικό και έστω H μια σσ με το min V(H) V(H) n 2

29 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν δ(g) n 2 τότε G συνεκτικό Απόδειξη Έστω ότι G δεν είναι συνεκτικό και έστω H μια σσ με το min V(H) V(H) n 2 δ(h) V(H) 1 < n 2

30 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν δ(g) n 2 τότε G συνεκτικό Απόδειξη Έστω ότι G δεν είναι συνεκτικό και έστω H μια σσ με το min V(H) V(H) n 2 δ(h) V(H) 1 < n 2 δ(g) Από την προηγούμενη ασκησούλα Άτοπο

31 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών

32 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών για κάθε συνεκτικό γράφημα H με n(h) < n: m(h) n(h) 1

33 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών για κάθε συνεκτικό γράφημα H με n(h) < n: m(h) n(h) 1 Γνωρίζουμε: ε(g) = m n δ(g) 2 Αν δ(g) 2 τότε ε(g) 1 m n

34 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών για κάθε συνεκτικό γράφημα H με n(h) < n: m(h) n(h) 1 Γνωρίζουμε: ε(g) = m n δ(g) 2 Αν δ(g) 2 τότε ε(g) 1 m n Άρα δ(g) 1 G συνεκτικό: v με deg G (v) = 0 δεν υπάρχει v με deg G (v) = 1

35 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών για κάθε συνεκτικό γράφημα H με n(h) < n: m(h) n(h) 1 Γνωρίζουμε: ε(g) = m n δ(g) 2 Αν δ(g) 2 τότε ε(g) 1 m n Άρα δ(g) 1 G συνεκτικό: v με deg G (v) = 0 δεν υπάρχει v με deg G (v) = 1 Κατασκευάζουμε H = G v H συνεκτικό και n(h) < n

36 Συνεκτικές Συνιστώσες - Ιδιότητες Θεώρημα Αν G είναι συνεκτικό τότε m n 1 Απόδειξη Έστω G ένα αντιπαράδειγμα (m < n 1) με min αριθμό κορυφών για κάθε συνεκτικό γράφημα H με n(h) < n: m(h) n(h) 1 Γνωρίζουμε: ε(g) = m n δ(g) 2 Αν δ(g) 2 τότε ε(g) 1 m n Άρα δ(g) 1 G συνεκτικό: v με deg G (v) = 0 δεν υπάρχει v με deg G (v) = 1 Κατασκευάζουμε H = G v H συνεκτικό και n(h) < n Επομένως m(h) n(h) 1 (υπόθεση) και m(h) = m 1, n(h) = n 1 (κατασκευή) Τότε όμως m n 1

37 Γέφυρες και κόμβοι τομής Μια ακμή e ονομάζεται γέφυρα αν cc(g e) > cc(g) Μια κορυφή v ονομάζεται κόμβος τομής αν cc(g v) > cc(g) v 2 v 3 v 1 v 4 a b d e g v 6 v 5 c f h

38 Γέφυρες και κόμβοι τομής Μια ακμή e ονομάζεται γέφυρα αν cc(g e) > cc(g) Μια κορυφή v ονομάζεται κόμβος τομής αν cc(g v) > cc(g) v 2 v 3 v 1 v 4 a b d e g v 6 v 5 c f h Παρατήρηση Για μια γέφυρα e, cc(g e) = cc(g) + 1 γιατί? Ισχύει το ίδιο για έναν κόμβο τομής?

39 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη

40 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη ( ): G συνεκτικό

41 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη ( ): G συνεκτικό Επιλέγουμε αυθαίρετα κορυφές a A και b B Υπάρχει ένα (a, b)-μονοπάτι

42 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη ( ): G συνεκτικό Επιλέγουμε αυθαίρετα κορυφές a A και b B Υπάρχει ένα (a, b)-μονοπάτι (a, b)-μονοπάτι: e = την τελευταία κορυφή του A και η ακμή στο Β

43 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη ( ): G συνεκτικό Επιλέγουμε αυθαίρετα κορυφές a A και b B Υπάρχει ένα (a, b)-μονοπάτι (a, b)-μονοπάτι: e = την τελευταία κορυφή του A και η ακμή στο Β ( ) G δεν είναι συνεκτικό: H σσ του G

44 Ιδιότητα Συνεκτικότητας Πρόταση G συνεκτικό διαμέριση V(G) = (A, B) e = {a, b} με a A και b B Απόδειξη ( ): G συνεκτικό Επιλέγουμε αυθαίρετα κορυφές a A και b B Υπάρχει ένα (a, b)-μονοπάτι (a, b)-μονοπάτι: e = την τελευταία κορυφή του A και η ακμή στο Β ( ) G δεν είναι συνεκτικό: H σσ του G A = V(H) και B = V(G) A: Δεν υπάρχει ακμή ανάμεσα στα (A, B)

45 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη

46 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό

47 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι

48 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο

49 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H

50 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H Πρέπει νδο για u, v V(H) (u, v)-μονοπάτι P στο H e

51 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H Πρέπει νδο για u, v V(H) (u, v)-μονοπάτι P στο H e Στο H υπάρχει ένα (u, v)-μονοπάτι P αν e / P P υπάρχει στο H e

52 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H Πρέπει νδο για u, v V(H) (u, v)-μονοπάτι P στο H e Στο H υπάρχει ένα (u, v)-μονοπάτι P αν e / P P υπάρχει στο H e αν e P H e (u, x)-μονοπάτι P x και (y, v)-μονοπάτι P y

53 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H Πρέπει νδο για u, v V(H) (u, v)-μονοπάτι P στο H e Στο H υπάρχει ένα (u, v)-μονοπάτι P αν e / P P υπάρχει στο H e αν e P H e (u, x)-μονοπάτι P x και (y, v)-μονοπάτι P y e κύκλο του H υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P xy στο H e

54 Γέφυρες Θεώρημα ẹ γέφυρα e / κύκλο του G Απόδειξη Έστω e = {x, y} που ανήκει στην συνεκτική συνιστώσα H του G H e είναι συνεκτικό e κύκλο του H ( ): H e συνεκτικό Υπάρχει ένα (x, y)-μονοπάτι +e στο (x, y)-μονοπάτι δημιουργεί κύκλο ( ) e κύκλο του H Πρέπει νδο για u, v V(H) (u, v)-μονοπάτι P στο H e Στο H υπάρχει ένα (u, v)-μονοπάτι P αν e / P P υπάρχει στο H e αν e P H e (u, x)-μονοπάτι P x και (y, v)-μονοπάτι P y e κύκλο του H υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P xy στο H e P x P xy P y αποτελεί ένα (u, v)-μονοπάτι στο H e

55 Μεγιστοτικά Μονοπάτια Μεγιστοτικό μονοπάτι δεν αποτελεί μέρος κάποιου άλλου (μακρύτερου) μονοπατιού δεν μπορεί να επεκταθεί για να δώσει ένα μακρύτερο μονοπάτι v 2 v 3 v 1 v 4 a b d e g v 6 v 5 c f h

56 Μεγιστοτικά Μονοπάτια Μεγιστοτικό μονοπάτι δεν αποτελεί μέρος κάποιου άλλου (μακρύτερου) μονοπατιού δεν μπορεί να επεκταθεί για να δώσει ένα μακρύτερο μονοπάτι v 2 v 3 v 1 v 4 a b d e g v 6 v 5 c f h δεν μπορεί να επεκταθεί στα τερματικά του σημεία: Παρατήρηση Κάθε γείτονας των x, y ενός μεγιστοτικού (x, y)-μονοπατιού είναι απαραίτητα κορυφή του μεγιστοτικού μονοπατιού

57 Μεγιστοτικά Μονοπάτια Μεγιστοτικό μονοπάτι δεν αποτελεί μέρος κάποιου άλλου (μακρύτερου) μονοπατιού δεν μπορεί να επεκταθεί για να δώσει ένα μακρύτερο μονοπάτι v 2 v 3 v 1 v 4 a b d e g v 6 v 5 c f h δεν μπορεί να επεκταθεί στα τερματικά του σημεία: Παρατήρηση Κάθε γείτονας των x, y ενός μεγιστοτικού (x, y)-μονοπατιού είναι απαραίτητα κορυφή του μεγιστοτικού μονοπατιού Σε κάθε G υπάρχουν 2 κορυφές κόμβοι τομής

58 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη

59 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι

60 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι deg(u) k k γείτονες στο P

61 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι deg(u) k k γείτονες στο P V(P) k + 1 P k

62 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι deg(u) k k γείτονες στο P V(P) k + 1 P k u έχει τουλάχιστον δυο γείτονες (η διπλανή περιέχεται):

63 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι deg(u) k k γείτονες στο P V(P) k + 1 P k u έχει τουλάχιστον δυο γείτονες (η διπλανή περιέχεται): w η μακρύτερη κορυφή του N(u) στο P

64 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Πρόταση Έστω ένα γράφημα G όπου κάθε κορυφή έχει βαθμό τουλάχιστον k G περιέχει ένα μονοπάτι μήκους τουλάχιστον k αν k 2 τότε G περιέχει κύκλο μήκους τουλάχιστον k + 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι deg(u) k k γείτονες στο P V(P) k + 1 P k u έχει τουλάχιστον δυο γείτονες (η διπλανή περιέχεται): w η μακρύτερη κορυφή του N(u) στο P u-w-u C k + 1

65 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη

66 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι Θδο deg(v) = 1

67 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι Θδο deg(v) = 1 Έστω deg(v) 1: deg(v) = 0: άτοπο διότι στο P η v έχει 1 γείτονα

68 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι Θδο deg(v) = 1 Έστω deg(v) 1: deg(v) = 0: άτοπο διότι στο P η v έχει 1 γείτονα deg(v) 2: N(v) V(P) w w V(P) N(v)

69 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι Θδο deg(v) = 1 Έστω deg(v) 1: deg(v) = 0: άτοπο διότι στο P η v έχει 1 γείτονα deg(v) 2: N(v) V(P) w w V(P) N(v) u w w u κύκλο στο G

70 Μεγιστοτικά Μονοπάτια - Ιδιότητες Θεώρημα Έστω G δεν περιέχει κύκλο: G περιέχει μια κορυφή βαθμού 1 Απόδειξη P μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι Θδο deg(v) = 1 Έστω deg(v) 1: deg(v) = 0: άτοπο διότι στο P η v έχει 1 γείτονα deg(v) 2: N(v) V(P) w w V(P) N(v) u w w u κύκλο στο G Πόρισμα Έστω ένα G με δ(g) 2 Τότε το G περιέχει κύκλο

71 Διαχωριστές Ορισμός Ένα S V(G) διαχωριστής: G S έχει περισσότερες σ σ από G ελαχιστοτικός: κανένα από τα υποσύνολα είναι διαχωριστής ελάχιστος: το μικρότερο μέγεθος (ή πληθάριθμο) Για a, b V(G), (a, b)-διαχωριστής: a και b βρίσκονται σε διαφορετικές σ σ στο G S

72 Διαχωριστές Ορισμός Ένα S V(G) διαχωριστής: G S έχει περισσότερες σ σ από G ελαχιστοτικός: κανένα από τα υποσύνολα είναι διαχωριστής ελάχιστος: το μικρότερο μέγεθος (ή πληθάριθμο) Για a, b V(G), (a, b)-διαχωριστής: a και b βρίσκονται σε διαφορετικές σ σ στο G S v κόμβος τομής το μονοσύνολο {v} είναι διαχωριστής b e g a d c f h

73 Εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Ορισμός Λέμε ότι k 2 μονοπάτια είναι εσωτερικώς διακεκριμένα όταν τα σύνολα των εσωτερικών κορυφών τους είναι διακεκριμένα (δηλαδή, είναι ανά δυο ξένα μεταξύ τους) b e g a d c f h

74 Θεώρημα Menger Θεώρημα Menger (μεγιστοελάχιστο θεώρημα) Για κάθε ζεύγος s, t μη-γειτονικών κορυφών το μέγεθος του ελάχιστου (s, t)-διαχωριστή του G είναι ίσο με το μέγιστο πλήθος των εσωτερικώς διακεκριμένων (s, t)-μονοπατιών στο G b e g a d c f h

75 Δισυνεκτικότητα Δισυνεκτικό Γράφημα G Αν n 2 και για κάθε διαχωριστή S του G ισχύει S 2 Δισυνεκτική συνιστώσα ή τεμάχιο Ένα μεγιστοτικό δισυνεκτικό υπογράφημα ή ένα υπογράφημα του G ισόμορφο του K 2

76 Δισυνεκτικότητα Δισυνεκτικό Γράφημα G Αν n 2 και για κάθε διαχωριστή S του G ισχύει S 2 Δισυνεκτική συνιστώσα ή τεμάχιο Ένα μεγιστοτικό δισυνεκτικό υπογράφημα ή ένα υπογράφημα του G ισόμορφο του K 2 b e g a d c f h G[{d, e, f, g, h}] - G[{a, b, c, d}]

77 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Απόδειξη

78 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Απόδειξη ( ) Έστω v κόμβος τομής και έστω x, y στις δύο σσ του G v

79 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Απόδειξη ( ) Έστω v κόμβος τομής και έστω x, y στις δύο σσ του G v κάθε (x, y)-μονοπάτι περνάει από την v: άρα x και y δεν μπορούν να συνδεθούν με δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια

80 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Απόδειξη ( ) Έστω v κόμβος τομής και έστω x, y στις δύο σσ του G v κάθε (x, y)-μονοπάτι περνάει από την v: άρα x και y δεν μπορούν να συνδεθούν με δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια ( ) Έστω G δισυνεκτικό και x, y V(G) Επαγωγή ως προς dist(x, y)

81 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια Απόδειξη ( ) Έστω v κόμβος τομής και έστω x, y στις δύο σσ του G v κάθε (x, y)-μονοπάτι περνάει από την v: άρα x και y δεν μπορούν να συνδεθούν με δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια ( ) Έστω G δισυνεκτικό και x, y V(G) Επαγωγή ως προς dist(x, y) P 1 x w y P 2 P 1 t P 1 w x y w x y R P 2 R P 2

82 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Θεώρημα G είναι δισυνεκτικό κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με τουλάχιστον δύο εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια b e g a d c f h Πόρισμα Η υποδιαίρεση, η πρόσθεση μιας ακμής ή η σύμπτυξη μιας κορυφής σε ένα δισυνεκτικό γράφημα δεν πλήττουν την δισυνεκτικότητα του γραφήματος

83 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (x y z) G δισυνεκτικό με n 3 για κάθε x, y, z V(G) υπάρχει μονοπάτι που να περνάει από την κορυφή y και να έχει άκρα τις κορυφές x και z Απόδειξη

84 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (x y z) G δισυνεκτικό με n 3 για κάθε x, y, z V(G) υπάρχει μονοπάτι που να περνάει από την κορυφή y και να έχει άκρα τις κορυφές x και z Απόδειξη Κατασκευάζουμε G : πρόσθεση w, γειτονική μόνο με τις x και z

85 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (x y z) G δισυνεκτικό με n 3 για κάθε x, y, z V(G) υπάρχει μονοπάτι που να περνάει από την κορυφή y και να έχει άκρα τις κορυφές x και z Απόδειξη Κατασκευάζουμε G : πρόσθεση w, γειτονική μόνο με τις x και z Από το προηγούμενο Πόρισμα: G είναι επίσης δισυνεκτικό

86 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (x y z) G δισυνεκτικό με n 3 για κάθε x, y, z V(G) υπάρχει μονοπάτι που να περνάει από την κορυφή y και να έχει άκρα τις κορυφές x και z Απόδειξη Κατασκευάζουμε G : πρόσθεση w, γειτονική μόνο με τις x και z Από το προηγούμενο Πόρισμα: G είναι επίσης δισυνεκτικό Από το προηγούμενο Θεώρημα στο G : δύο εσωτερικώς διακεκριμένα (w, y)-μονοπάτια P 1, P 2 Επομένως το μονοπάτι είναι το (P 1 P 2 ) {w}

87 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (ένωση δισυνεκτικότητας) Έστω δύο δισυνεκτικά γραφήματα H 1 και H 2 με V(H 1 ) V(H 2 ) 2 Τότε το γράφημα H 1 H 2 είναι δισυνεκτικό Απόδειξη

88 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (ένωση δισυνεκτικότητας) Έστω δύο δισυνεκτικά γραφήματα H 1 και H 2 με V(H 1 ) V(H 2 ) 2 Τότε το γράφημα H 1 H 2 είναι δισυνεκτικό Απόδειξη H 1 v v x 1 u u x 2 H 2

89 Έστω {u, v} S = V(H 1 ) V(H 2 ) Θνδο x 1, x 2 στο H = H 1 H 2 υπάρχουν 2 ε-δ-μ x 1 V(H 1 ) S και x 2 V(H 2 ) S Λήμμα (x y z) Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (ένωση δισυνεκτικότητας) Έστω δύο δισυνεκτικά γραφήματα H 1 και H 2 με V(H 1 ) V(H 2 ) 2 Τότε το γράφημα H 1 H 2 είναι δισυνεκτικό Απόδειξη H 1 v v x 1 u u H 2 x 2

90 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη

91 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω {x, y} S = V(H 1 ) V(H 2 ) και έστω w V(H 1 ) V(H 2 )

92 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω {x, y} S = V(H 1 ) V(H 2 ) και έστω w V(H 1 ) V(H 2 ) Λήμμα (x y z): υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P στο H 1 που περνάει από w

93 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω {x, y} S = V(H 1 ) V(H 2 ) και έστω w V(H 1 ) V(H 2 ) Λήμμα (x y z): υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P στο H 1 που περνάει από w H 2 P είναι δισυνεκτικό (Πόρισμα - υποδιαιρέσεων)

94 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω {x, y} S = V(H 1 ) V(H 2 ) και έστω w V(H 1 ) V(H 2 ) Λήμμα (x y z): υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P στο H 1 που περνάει από w H 2 P είναι δισυνεκτικό (Πόρισμα - υποδιαιρέσεων) H 2 H 2 P: H 2 δεν είναι τεμάχιο του G (συνεχίζεται)

95 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω τώρα ότι V(H 1 ) V(H 2 ) = {v} και έστω G v συνεκτικό

96 Δισυνεκτικότητα - Ιδιότητες Λήμμα (τεμάχια-κόμβος τομής) Δύο τεμάχια H 1 και H 2 ενός G έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία είναι κόμβος τομής Απόδειξη Έστω τώρα ότι V(H 1 ) V(H 2 ) = {v} και έστω G v συνεκτικό y x x v P x P y y P

97 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής

98 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

99 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

100 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

101 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

102 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

103 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

104 Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

105 Είναι δισυνεκτικό; Δισυνεκτικότητα - Θεώρημα Κατασκευής Θεώρημα κατασκευής G δισυνεκτικό μπορεί να κατασκευαστεί αρχίζοντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία των ακόλουθων μετασχηματισμών: υποδιαίρεση ακμής, πρόσθεσης ακμής Είναι δισυνεκτικό;

106 Σύνοψη Κεφαλαίου 2 Έννοια συνεκτικό γράφημα, συνεκτικές συνιστώσες γέφυρα (ακμή), κόμβος τομής (κορυφή) μεγιστοτικό και μέγιστο μονοπάτι διαχωριστές εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια δισυνεκτικό γράφημα, τεμάχια

107 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

108 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Λέκτορας Χάρης Παπαδόπουλος «Θεωρία Γραφημάτων» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1] https://creativecommonsorg/licenses/by-sa/40/

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

E(G) 2(k 1) = 2k 3. Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων Μικροοργανισμοί που ελέγχονται ανά είδος τροφίμου Διδάσκοντες: Καθ. Χρυσάνθη Παπαδοπούλου, Λέκτορας Ηρακλής Σακκάς Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης

Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ Ενότητα: Παράγωγοι και ολοκληρώματα Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Τμήμα: Οικονομικών Επιστημών Ολοκληρώματα με το πρόγραμμα Maima Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ

Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ Διάλεξη 3: 25..26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη 3. Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 3. Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος αν = G[V ()].

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

m = 18 και m = G 2

m = 18 και m = G 2 Διάλεξη 11: 2.11.201 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιώτης Ρεπούσκος 11.1 Βασικές Ιδιότητες Θεώρημα 11.1 (Τύπος του Eulr, 172) Αν ένα συνεκτικό ενεπίπεδο γράφημα έχει n κορυφές,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικότητα Γραφήματος

Συνεκτικότητα Γραφήματος Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης έννοια στη Θεωρία Γραφημάτων. Πληθώρα πρακτικών εφαρμογών, όπως: Αξιόπιστη και ασφαλής επικοινωνία. Δρομολόγηση σε δίκτυα. Πλοήγηση. Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

Λογισμός 3. Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5:Θεώρημα ακραίων τιμών και θεώρημα ενδιάμεσων τιμών- Ομοιόμορφη συνέχεια. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 5: Γραφήματα. Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 6: Όριο και συνέχεια συναρτήσεων (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών

Διαβάστε περισσότερα

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός

Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρισμός & Μαγνητισμός Αυτεπαγωγή Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Ν. Νικολής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στα Μαθηματικά Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Επιλύσιμες Ομάδες 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 411 Ορισμός και Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 8: Εφαρμογές παραγώγων Μελέτη και βελτιστοποίηση συναρτήσεων μιας μεταβλητής (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές I Ελαστικότητα και εφαρμογές Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ Στοιχειώδεις αντιδράσεις, μηχανισμός και εύρεση του νόμου ταχύτητας Διδάσκοντες: Αναπλ. Καθ. Β. Μελισσάς, Λέκτορας Θ. Λαζαρίδης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 2: Γραμμικές συναρτήσεις (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 1: Συναρτήσεις (Θεωρία) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα