Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1

4 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Εισαγωγικές Έννοιες - Γραφική Ακολουθία Πράξεις, σχέσεις γραφημάτων Αποστάσεις, διάμετρος και περιφέρεια 2 Συνεκτικότητα 3 Δέντρα 4 Eulerian και Hamiltonian γραφήματα 5 Προβλήματα βελτιστοποίησης σε γραφήματα 6 Επίπεδα γραφήματα

5 Δύο γραφήματα v 2 v 3 v 2 v 3 v 1 v 4 v 1 v 4 v 6 v 5 v 6 v 5 V(G) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } και n = V(G) E(G) = {{v 1, v 2 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 }, {v 4, v 5 }, {v 5, v 6 }, {v 6, v 1 }, {v 2, v 6 }, {v 3, v 5 }} m = E(G) V(H) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } και E(H) = E(G) {{v 2, v 5 }, {v 3, v 6 }} N G (v3) = {v2, v5, v4}, N G ({v1, v2, v6}) = {v3, v5}

6 Ισομορφισμοί Ισομορφισμοί δυο γραφημάτων G και H Υπάρχει μια 1-1 και επί απεικόνιση f : V(G) V(H) τέτοια ώστε {u, v} E(G) {f(u), f(v)} E(H) Συμβολίζουμε τον ισομορφισμό μεταξύ των G και Η ως G H b 2 a c e 3 d f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 3, f(d) = 4, f(e) = 5

7 Ισομορφισμοί Παρατήρηση Η σχέση G H: αυτοπαθής, G G συμμετρική, G H H G μεταβατική, G 1 G 2, G 2 G 3 G 1 G 3 b 2 a c e 3 d 4 1 5

8 Αναπαράσταση Γραφημάτων Πίνακας Γειτνίασης Ένα γράφημα G με V(G) = {v 1, v 2,, v n } μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν n n πίνακα A = [a i,j ] όπου v 2 a i,j = v 3 v 5 { 1 αν {v i v j } E(G) 0 αν {v i v j } / E(G) v 1 v 4 A = v

9 Αναπαράσταση Γραφημάτων Πίνακας Προσπτώσεων Για ένα γράφημα G με V(G) = {v 1,, v n } και E(G) = {e 1,, e m } ορίζουμε έναν n m πίνακα B = [b i,j ] όπου κάθε γραμμή αντιστοιχεί σε με κορυφή και κάθε στήλη αντιστοιχεί σε μια ακμή Τα στοιχεία του πίνακα B ορίζονται ως εξής: { 1 αν η ακμή e j προσπίπτει στην κορυφή v i b i,j = 0 αν η ακμή e j δεν προσπίπτει στην κορυφή v i v 2 v 3 v 1 v 4 B = v 6 v

10 Αναπαράσταση Γραφημάτων Πίνακας Γειτνίασης: έχει n 2 στοιχεία και είναι συμμετρικός για μη-κατευθυνόμενα γραφήματα όλες οι διαγώνιες τιμές του είναι μηδενικές (χωρίς βρόγχους) αν θέλουμε να απαντήσουμε στο αν δύο κορυφές v i και v j γειτνιάζουν ή όχι μεταξύ τους, μπορούμε να αποφανθούμε σε χρόνο O(1) εξετάζοντας την τιμή a i,j Παρατήρηση Σε κάθε γράφημα αντιστοιχούν n! διαφορετικοί πίνακες γειτνίασης

11 Βαθμοί κορυφών Ο βαθμός κορυφής: deg G (v) = N G (v) Ο ελάχιστος και μέγιστος βαθμός του γραφήματος είναι δ(g), Δ(G) Ο μέσος βαθμός d(g) = 1 n v V(G) deg(v) Η πυκνότητα ε(g) = m n απομονωμένη κορυφή βαθμό 0 εκκρεμής κορυφή βαθμό 1 καθολική κορυφή βαθμό n 1 v 2 v 3 v 1 v 4 δ(g) = 2 και Δ(G) = 3 d(g) = 266 και ε(g) = 133 v 6 v 5

12 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2

13 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2 Λήμμα Κάθε γράφημα περιέχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού

14 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2 Λήμμα Κάθε γράφημα περιέχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη V(G) = V 1 V 2 με V 1 περιττό βαθμό και V 2 άρτιο βαθμό

15 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2 Λήμμα Κάθε γράφημα περιέχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη V(G) = V 1 V 2 με V 1 περιττό βαθμό και V 2 άρτιο βαθμό v V(G) deg(v) = v V 1 deg(v) + v V 2 deg(v) = 2m

16 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2 Λήμμα Κάθε γράφημα περιέχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη V(G) = V 1 V 2 με V 1 περιττό βαθμό και V 2 άρτιο βαθμό v V(G) deg(v) = v V 1 deg(v) + v V 2 deg(v) = 2m v V 2 deg(v) άρτιος αριθμός, v V(G) deg(v) άρτιος αριθμός v V 1 deg(v) άρτιος αριθμός

17 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2 Λήμμα Κάθε γράφημα περιέχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη V(G) = V 1 V 2 με V 1 περιττό βαθμό και V 2 άρτιο βαθμό v V(G) deg(v) = v V 1 deg(v) + v V 2 deg(v) = 2m v V 2 deg(v) άρτιος αριθμός, v V(G) deg(v) άρτιος αριθμός v V 1 deg(v) άρτιος αριθμός τα deg(v) στο v V deg(v) είναι περιττά V 1 άρτιο

18 Γραφική ακολουθία Ορισμός Μια φθίνουσα ακολουθία γ = d 1,, d n όπου d 1 d n καλείται γραφική αν υπάρχει γράφημα G με n κορυφές v 1,, v n και βαθμούς d 1,, d n, αντίστοιχα Το γράφημα G θα λέμε ότι πραγματοποιεί την ακολουθία γ v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5 γ = 3, 3, 3, 3, 2, 2 Για κάθε i = 1,, n, ισχύει 0 d i n 1 Το πλήθος των περιττών d i είναι άρτιος αριθμός

19 Γραφική ακολουθία -- Υπολογισμός Δοθέντος ενός G είναι εύκολο κανείς να βρει την γ κατατάσσοντας τα deg(v) κατά φθίνουσα τάξη Για το αντίστροφο θα πρέπει να εξετάσει κανείς διεξοδικά όλους τους δυνατούς συνδυασμούς για την κατασκευή πιθανών βαθμών Είναι η γ = 1, 1, 1, 1 γραφική; Είναι η γ = 1, 1, 1 γραφική;

20 Γραφική ακολουθία -- Υπολογισμός Δοθέντος ενός G είναι εύκολο κανείς να βρει την γ κατατάσσοντας τα deg(v) κατά φθίνουσα τάξη Για το αντίστροφο θα πρέπει να εξετάσει κανείς διεξοδικά όλους τους δυνατούς συνδυασμούς για την κατασκευή πιθανών βαθμών Είναι η γ = 1, 1, 1, 1 γραφική; Είναι η γ = 1, 1, 1 γραφική; G v: διαγράφουμε την v μαζί με όλες τις προσκείμενες στην v ακμές Παρατήρηση Στο G v η γραφική ακολουθία προκύπτει διαγράφοντας το d v και μειώνοντας κατά μια μονάδα τους βαθμούς των d v γειτονικών κορυφών της

21 Γραφική ακολουθία -- Υπολογισμός Παράδειγμα γ = 3, 3, 2, 2, 2, 2 διαγράφουμε την πρώτη κορυφή γ = 2, 1, 1, 2, 2 Αναδιατάσσουμε την γ : 2, 2, 2, 1, 1 διαγράφουμε την γ πρώτη κορυφή = 2, 2, 2, 1, 1 γ = 1, 1, 1, 1

22 Γραφική ακολουθία -- Υπολογισμός Παράδειγμα γ = 3, 3, 2, 2, 2, 2 διαγράφουμε την πρώτη κορυφή γ = 2, 1, 1, 2, 2 Αναδιατάσσουμε την γ : 2, 2, 2, 1, 1 διαγράφουμε την γ πρώτη κορυφή = 2, 2, 2, 1, 1 γ = 1, 1, 1, 1 Παράδειγμα γ = 3, 2, 2, 2, 2, 2 διαγράφουμε την πρώτη κορυφή γ = 1, 1, 1, 2, 2 Αναδιατάσσουμε την γ : 2, 2, 1, 1, 1 διαγράφουμε την γ πρώτη κορυφή = 2, 2, 1, 1, 1 γ = 1, 0, 1, 1

23 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική

24 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική

25 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο

26 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο Ισχυρισμός: N G (v 1 ) φτιάχνει την υποακολουθία d 2,, d d1 +1

27 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο Ισχυρισμός: N G (v 1 ) φτιάχνει την υποακολουθία d 2,, d d1 +1 Έστω ότι δεν ισχύει: v i, v j με d i > d j : {v 1 v i } / E(G), {v 1 v j } E(G)

28 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο Ισχυρισμός: N G (v 1 ) φτιάχνει την υποακολουθία d 2,, d d1 +1 Έστω ότι δεν ισχύει: v i, v j με d i > d j : {v 1 v i } / E(G), {v 1 v j } E(G) Επειδή d i > d j, υπάρχει v k : {v k v i } E(G) και {v k v j } / E(G)

29 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο Ισχυρισμός: N G (v 1 ) φτιάχνει την υποακολουθία d 2,, d d1 +1 Έστω ότι δεν ισχύει: v i, v j με d i > d j : {v 1 v i } / E(G), {v 1 v j } E(G) Επειδή d i > d j, υπάρχει v k : {v k v i } E(G) και {v k v j } / E(G) G : (--) {v 1 v j }, {v k v i } και (++) {v 1 v i }, {v k v j } G έχει την ίδια ακολουθία βαθμών γ (γιατί?)

30 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο Ισχυρισμός: N G (v 1 ) φτιάχνει την υποακολουθία d 2,, d d1 +1 Έστω ότι δεν ισχύει: v i, v j με d i > d j : {v 1 v i } / E(G), {v 1 v j } E(G) Επειδή d i > d j, υπάρχει v k : {v k v i } E(G) και {v k v j } / E(G) G : (--) {v 1 v j }, {v k v i } και (++) {v 1 v i }, {v k v j } G έχει την ίδια ακολουθία βαθμών γ (γιατί?) Το άθροισμα των βαθμών N G (v 1 ) > από το G λόγω d i d j > 0 Άτοπο

31 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω G γράφημα που πραγματοποιείται από γ Εισάγουμε στο G μια νέα v 1 με ακμές στις d 1 πρώτες κορυφές της γ

32 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω G γράφημα που πραγματοποιείται από γ Εισάγουμε στο G μια νέα v 1 με ακμές στις d 1 πρώτες κορυφές της γ η κορυφή v 1 έχει βαθμό d 1 οι d 1 πρώτες κορυφές αυξάνουν κατά μια μονάδα τους βαθμούς οι βαθμοί των υπόλοιπων κορυφών παραμένουν ως έχει

33 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω G γράφημα που πραγματοποιείται από γ Εισάγουμε στο G μια νέα v 1 με ακμές στις d 1 πρώτες κορυφές της γ η κορυφή v 1 έχει βαθμό d 1 οι d 1 πρώτες κορυφές αυξάνουν κατά μια μονάδα τους βαθμούς οι βαθμοί των υπόλοιπων κορυφών παραμένουν ως έχει Επομένως το νέο γράφημα G = G + v πραγματοποιεί την γ

34 Γραφική ακολουθία -- Αλγόριθμος Υπολογισμού Αλγόριθμος Ακολουθία Είσοδος: μια φθίνουσα ακολουθία n ακεραίων γ Έξοδος: ναι αν η γ είναι γραφική, οχι διαφορετικά 1 Αν υπάρχει d γ : d n τότε οχι 2 Αν υπάρχει d γ : d < 0 τότε οχι 3 Αν d i = 0 για κάθε i = 1,, n τότε ναι 4 Αν χρειάζεται αναδιατάσσουμε την γ έτσι ώστε να είναι φθίνουσα 5 Διαγράφουμε τον πρώτο όρο d 1 της ακολουθίας γ 6 Αφαιρούμε μια μονάδα από τους d 1 υπόλοιπους όρους 7 Θέτουμε n := n 1 8 Επαναλαμβάνουμε από το βημα 1

35 Γραφική ακολουθία -- Αλγόριθμος Υπολογισμού Αλγόριθμος Ακολουθία Είσοδος: μια φθίνουσα ακολουθία n ακεραίων γ Έξοδος: ναι αν η γ είναι γραφική, οχι διαφορετικά 1 Αν υπάρχει d γ : d n τότε οχι 2 Αν υπάρχει d γ : d < 0 τότε οχι 3 Αν d i = 0 για κάθε i = 1,, n τότε ναι 4 Αν χρειάζεται αναδιατάσσουμε την γ έτσι ώστε να είναι φθίνουσα 5 Διαγράφουμε τον πρώτο όρο d 1 της ακολουθίας γ 6 Αφαιρούμε μια μονάδα από τους d 1 υπόλοιπους όρους 7 Θέτουμε n := n 1 8 Επαναλαμβάνουμε από το βημα 1 Κατασκευή του G το οποίο πραγματοποιεί την γ Παίρνουμε διαδοχικές ακολουθίες γ 1, γ 2,, γ k G k : μηδενικοί όροι της γ k απομονωμένες κορυφές G k 1 : προσθέτουμε την v με d v ακμές της γ k 1 G 1 G

36 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1

37 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0

38 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0

39 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0 γ 4 = 0, 0, 0, 0

40 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0 γ 4 = 0, 0, 0, 0 G 4

41 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0 γ 4 = 0, 0, 0, 0 G 3 G 4

42 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0 γ 4 = 0, 0, 0, 0 G 2 G 3 G 4

43 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0 γ 4 = 0, 0, 0, 0 G 1 G 2 G 3 G 4

44 Κλίκες, μονοπάτια, κύκλοι K 4 K 5 P 4 P 5 C 4 C 5

45 Κλίκες, μονοπάτια, κύκλοι K 4 K 5 P 4 P 5 C 4 C 5 v 2 v 3 Ορισμένα άχορδα μονοπάτια: P 4 = {v 1, v 2, v 3, v 4 }, v 1 v 4 v 6 v 5 P 4 = {v 1, v 6, v 5, v 4 } Ορισμένα μονοπάτια: P = {v 3, v 4, v 5, v 6 }, P = {v 3, v 5, v 6, v 2 } C 4

46 Διμερή γραφήματα, πλήρη διμερή Διμερές γράφημα G = (V, E): V(G) = A B με A B = και {x, y} E(G): x A, y B Τα σύνολα A, B ονομάζονται διαμέριση του G Συμβολίζουμε ένα διμερές γράφημα ως G = (A, B, E) Πλήρες διμερές γράφημα G = (A, B, E): για κάθε x A, y B: {x, y} Ε(G) Συμβολίζουμε με K p,q όπου p = A και q = B

47 Διμερή γραφήματα, πλήρη διμερή Διμερές γράφημα G = (V, E): V(G) = A B με A B = και {x, y} E(G): x A, y B Τα σύνολα A, B ονομάζονται διαμέριση του G Συμβολίζουμε ένα διμερές γράφημα ως G = (A, B, E) Πλήρες διμερές γράφημα G = (A, B, E): για κάθε x A, y B: {x, y} Ε(G) Συμβολίζουμε με K p,q όπου p = A και q = B K 3,4 G = ({ }, { }, E) C 6

48 Πλέγμα Έστω X = {x 1,, x p } και Y = {y 1,, y q } R p,q = ( { }) X Y, {(x i, y j ), (x k, y l )} i k + j l = 1 Το πλέγμα R 4,5

49 Πλέγμα Έστω X = {x 1,, x p } και Y = {y 1,, y q } R p,q = ( { }) X Y, {(x i, y j ), (x k, y l )} i k + j l = 1 Το πλέγμα R 4,5 Το γράφημα που αντιστοιχεί σε ένα επίπεδο δισδιάστατο πλέγμα V(R p,q ): τομές των ευθύγραμμων τμημάτων του πλέγματος E(R p,q ): τα ευθύγραμμα τμήματα μεταξύ των κορυφών

50 Ασκησούλα Ερώτημα Βρείτε προσεκτικά τις τιμές δ(g) και Δ(G) για κάθε τιμή των p, q 1 στις εξής περιπτώσεις: 1 G K p,q 2 G R p,q

51 Ασκησούλα Ερώτημα Βρείτε προσεκτικά τις τιμές δ(g) και Δ(G) για κάθε τιμή των p, q 1 στις εξής περιπτώσεις: 1 G K p,q 2 G R p,q K 3,4 R 4,5

52 Το γραμμικό γράφημα Το γραμμικό γράφημα ενός G = (V, E) ορίζεται ως εξής: L(G) = ( E(G), { {e, e } e, e E(G) και e e }) Δηλαδή οι κορυφές του L(G) είναι οι ακμές του G και δύο κορυφές του L(G) ενώνονται με ακμή αν και μόνο αν οι αντίστοιχες ακμές έχουν κοινό άκρο

53 Το γραμμικό γράφημα Το γραμμικό γράφημα ενός G = (V, E) ορίζεται ως εξής: L(G) = ( E(G), { {e, e } e, e E(G) και e e }) Δηλαδή οι κορυφές του L(G) είναι οι ακμές του G και δύο κορυφές του L(G) ενώνονται με ακμή αν και μόνο αν οι αντίστοιχες ακμές έχουν κοινό άκρο e 2,3 e 3,4 v 2 v 3 v 1 v 4 e 1,2 e 2,6 e 3,5 e 4,5 v 6 v 5 e 1,6 e 5,6 G L(G)

54 Συμπλήρωμα γραφήματος Συμπλήρωμα G ενός γραφήματος G = (V, E): ίδιο σύνολο κορυφών ακριβώς εκείνες τις ακμές που δεν υπάρχουν στο G a b a b a b a b d c c d d c d c C 4 C 4 2K 2 K 1,3 K 1,3

55 Συμπλήρωμα γραφήματος Συμπλήρωμα G ενός γραφήματος G = (V, E): ίδιο σύνολο κορυφών ακριβώς εκείνες τις ακμές που δεν υπάρχουν στο G a b a b a b a b d c c d d c d c C 4 C 4 2K 2 K 1,3 K 1,3 Παρατήρηση Για κάθε γράφημα G, ισχύει G G

56 Συμπλήρωμα γραφήματος Συμπλήρωμα G ενός γραφήματος G = (V, E): ίδιο σύνολο κορυφών ακριβώς εκείνες τις ακμές που δεν υπάρχουν στο G a b a b a b a b d c c d d c d c C 4 C 4 2K 2 K 1,3 K 1,3 Παρατήρηση Για κάθε γράφημα G, ισχύει G G Ασκησούλα Έστω G G Δείξτε ότι n = 1, 0 mod 4

57 Πράξεις κορυφών και ακμών Πράξεις κορυφών Διαγραφή κορυφής G v Σύμπτυξη κορυφής G/v (μόνο όταν N(v) = {a, b}) Πράξεις ακμών Διαγραφή ακμής G e Σύμπτυξη ακμής G/e Υποδιαίρεση ακμής G e a b a a b d c d c d c C 4 C 4 b C 4 {b, c} P 4 a b a a w b w d c d c C 4 /{d, c} K 3 C 4 /b K 3 C 4 {a, b} C 5

58 Πράξεις μεταξύ γραφημάτων Πράξεις μεταξύ ξένων (V(G) V(H) = ) γραφημάτων G, H: ένωση G H: καμία ακμή μεταξύ τους σύνδεση G H: προσθήκη όλων των ακμών μεταξύ τους γινόμενο G H C 4 P 3 C 4 P 3 C 4 P 3

59 Γινόμενο G H -- Συμβολισμοί {V(G) V(H), {{(u, x), (v, x)} {u, v} E(G) E(H)}} αντικαθιστούμε κάθε κορυφή του G την με H H v για κάθε {u, v} του G εισάγουμε ακμές μεταξύ H u, H v που ενώνουν κορυφές των H u και H v σε 1-1 = C 4 P 3

60 Γινόμενο G H -- Συμβολισμοί {V(G) V(H), {{(u, x), (v, x)} {u, v} E(G) E(H)}} αντικαθιστούμε κάθε κορυφή του G την με H H v για κάθε {u, v} του G εισάγουμε ακμές μεταξύ H u, H v που ενώνουν κορυφές των H u και H v σε 1-1 = C 4 P 3 Έστω ένα γράφημα G και ένας θετικός ακέραιος k 0 Τότε, k G = G G }{{} k φορές G (k) = G G }{{} k φορές G [k] = G } {{ G } k φορές

61 Σχέσεις γραφημάτων Έστω G και H δύο γραφήματα υπογράφημα: V(H) V(G) και E(H) E(G) επαγόμενο υπογράφημα: V(H) V(G) και v V(H) ισχύει Ν H (v) = N G (v) παραγόμενο υπογράφημα: V(H) = V(G) και E(H) E(G)

62 Σχέσεις γραφημάτων Έστω G και H δύο γραφήματα υπογράφημα: V(H) V(G) και E(H) E(G) επαγόμενο υπογράφημα: V(H) V(G) και v V(H) ισχύει Ν H (v) = N G (v) παραγόμενο υπογράφημα: V(H) = V(G) και E(H) E(G) Έστω S V(G) Θα γράφουμε ως G[S] το επαγόμενο υπογράφημα: (S, {{u, v} u, v S και {u, v} E(G)}) Με άλλα λόγια για το γράφημα G[S] ισχύει G[S] = G {V(G) S}

63 Σχέσεις γραφημάτων Παραδείγματα Για τα επαγόμενα υπογραφήματα ισχύουν τα ακόλουθα: Το γράφημα C 4 P 3 περιέχει ως παραγόμενο υπογράφημα το C 4 C 4 C 4 Κάθε κύκλος C n με n 3 έχει ως επαγόμενο γράφημα ένα P n 1 Για p, q 2 το γράφημα K p,q έχει ένα επαγόμενο υπογράφημα ισόμορφο του C 4

64 Σχέσεις γραφημάτων Παραδείγματα Για τα επαγόμενα υπογραφήματα ισχύουν τα ακόλουθα: Το γράφημα C 4 P 3 περιέχει ως παραγόμενο υπογράφημα το C 4 C 4 C 4 Κάθε κύκλος C n με n 3 έχει ως επαγόμενο γράφημα ένα P n 1 Για p, q 2 το γράφημα K p,q έχει ένα επαγόμενο υπογράφημα ισόμορφο του C 4 Κανονικό ή τακτικό γράφημα Αν όλες οι κορυφές έχουν τον ίδιο βαθμό δ(g) = Δ(G)

65 Σχέσεις γραφημάτων Παραδείγματα Για τα επαγόμενα υπογραφήματα ισχύουν τα ακόλουθα: Το γράφημα C 4 P 3 περιέχει ως παραγόμενο υπογράφημα το C 4 C 4 C 4 Κάθε κύκλος C n με n 3 έχει ως επαγόμενο γράφημα ένα P n 1 Για p, q 2 το γράφημα K p,q έχει ένα επαγόμενο υπογράφημα ισόμορφο του C 4 Κανονικό ή τακτικό γράφημα Αν όλες οι κορυφές έχουν τον ίδιο βαθμό δ(g) = Δ(G) Ασκησούλα 1 Ποια είναι τακτικά γραφήματα: K n, P n, C n, K p,q 2 Δείξτε ότι για ένα r-τακτικό γράφημα: rn = 2m

66 Περίπατος - Περιήγηση Περίπατος W στο G: ακολουθία (ενδεχομένως επαναλαμβανόμενων) κορυφών W = [v 1,, v r ]: 1 i < r, {v i v i+1 } E(G) μήκος ενός περιπάτου είναι το πλήθος των κορυφών μείον ένα Περιήγηση W στο G: ένας περίπατος που αρχίζει και τελειώνει (έχει ως άκρα) με την ίδια κορυφή: κυκλική διάταξη W = [v 1,, v r, v 1 ] v 2 v 3 v 1 v 4 W = [v 3, v 5, v 4, v 3, v 2, v 6 ] με μήκος 5 P = {v 3, v 4, v 5, v 6 } με μήκος 3 v 6 v 5

67 Περίπατος - Περιήγηση Περίπατος W στο G: ακολουθία (ενδεχομένως επαναλαμβανόμενων) κορυφών W = [v 1,, v r ]: 1 i < r, {v i v i+1 } E(G) μήκος ενός περιπάτου είναι το πλήθος των κορυφών μείον ένα Περιήγηση W στο G: ένας περίπατος που αρχίζει και τελειώνει (έχει ως άκρα) με την ίδια κορυφή: κυκλική διάταξη W = [v 1,, v r, v 1 ] v 2 v 3 v 1 v 4 W = [v 3, v 5, v 4, v 3, v 2, v 6 ] με μήκος 5 P = {v 3, v 4, v 5, v 6 } με μήκος 3 v 6 v 5 Παρατήρηση Κάθε μονοπάτι ορίζει έναν περίπατο χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές Αντίστροφα, κάθε περίπατος χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές ορίζει ένα μονοπάτι

68 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι

69 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι Απόδειξη ( ) Προηγούμενη Παρατήρηση

70 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι Απόδειξη ( ) Προηγούμενη Παρατήρηση ( ) αν (x, y)-περίπατο W τότε (x, y)-μονοπάτι P με κορυφές μόνο από W Έστω W = [v 1,, v r ] ένας περίπατος ελαχίστου μήκους με v 1 = x και v r = y για το οποίο δεν ισχύει

71 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι Απόδειξη ( ) Προηγούμενη Παρατήρηση ( ) αν (x, y)-περίπατο W τότε (x, y)-μονοπάτι P με κορυφές μόνο από W Έστω W = [v 1,, v r ] ένας περίπατος ελαχίστου μήκους με v 1 = x και v r = y για το οποίο δεν ισχύει v r εμφανίζεται μόνο μια φορά στο W (αλλιώς W δεν είναι ελάχιστο)

72 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι Απόδειξη ( ) Προηγούμενη Παρατήρηση ( ) αν (x, y)-περίπατο W τότε (x, y)-μονοπάτι P με κορυφές μόνο από W Έστω W = [v 1,, v r ] ένας περίπατος ελαχίστου μήκους με v 1 = x και v r = y για το οποίο δεν ισχύει v r εμφανίζεται μόνο μια φορά στο W (αλλιώς W δεν είναι ελάχιστο) Θεωρούμε W = [v 1,, v r 1 ] και επαγωγικά υποθέτουμε ότι ισχύει: (v 1, v r 1 )-μονοπάτι P

73 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι Απόδειξη ( ) Προηγούμενη Παρατήρηση ( ) αν (x, y)-περίπατο W τότε (x, y)-μονοπάτι P με κορυφές μόνο από W Έστω W = [v 1,, v r ] ένας περίπατος ελαχίστου μήκους με v 1 = x και v r = y για το οποίο δεν ισχύει v r εμφανίζεται μόνο μια φορά στο W (αλλιώς W δεν είναι ελάχιστο) Θεωρούμε W = [v 1,, v r 1 ] και επαγωγικά υποθέτουμε ότι ισχύει: (v 1, v r 1 )-μονοπάτι P Προσθέτουμε την ακμή {v r 1, v r } στο P και δημιουργούμε το ζητούμενο (x, y)-μονοπάτι P

74 Απόσταση Απόσταση dist(x, y): το μήκος του μικρότερου (συντομότερου) (x, y)-μονοπατιού Αν δεν υπάρχει τέτοιο μονοπάτι τότε dist(x, y) = v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5 dist(v 3, v 6 ) = 2 με συντομότερα μονοπάτια τα P = {v 3, v 5, v 6 } και P = {v 3, v 2, v 6 } dist(v 1, v 4 ) = 3 με ένα συντομότερο μονοπάτι το P = {v 1, v 2, v 3, v 4 }

75 Απόσταση Απόσταση dist(x, y): το μήκος του μικρότερου (συντομότερου) (x, y)-μονοπατιού Αν δεν υπάρχει τέτοιο μονοπάτι τότε dist(x, y) = v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5 dist(v 3, v 6 ) = 2 με συντομότερα μονοπάτια τα P = {v 3, v 5, v 6 } και P = {v 3, v 2, v 6 } dist(v 1, v 4 ) = 3 με ένα συντομότερο μονοπάτι το P = {v 1, v 2, v 3, v 4 } Τριγωνική ανισότητα Για κάθε τριάδα κορυφών u, v, w ενός γραφήματος G ισχύει: dist(u, v) + dist(v, w) dist(u, w)

76 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη

77 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G = (A, B, E) διμερές Θεωρούμε ότι στο G υπάρχει ένας περιττός κύκλος C k = {v 1,, v k }

78 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G = (A, B, E) διμερές Θεωρούμε ότι στο G υπάρχει ένας περιττός κύκλος C k = {v 1,, v k } Θεωρούμε ότι v 1 A Έπεται ότι v 2 B, v 3 A v i A όταν i περιττό και v i B όταν i άρτιο

79 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G = (A, B, E) διμερές Θεωρούμε ότι στο G υπάρχει ένας περιττός κύκλος C k = {v 1,, v k } Θεωρούμε ότι v 1 A Έπεται ότι v 2 B, v 3 A v i A όταν i περιττό και v i B όταν i άρτιο Άρα v k A επειδή το k είναι περιττό v 1, v k A, {v 1, v k } E άτοπο (διμερή)

80 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G δεν περιέχει περιττούς κύκλους και έστω v V(G) A: dist(v, a) είναι περιττό για κάθε a A B: dist(v, b) είναι άρτιο για κάθε b A (v A)

81 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G δεν περιέχει περιττούς κύκλους και έστω v V(G) A: dist(v, a) είναι περιττό για κάθε a A B: dist(v, b) είναι άρτιο για κάθε b A (v A) Θέλουμε να δείξουμε ότι G = (A, B, E) είναι διμερές Έστω ότι υπάρχει ακμή {a i, a j } με a i, a j A

82 οπότε, C A = περιττό περιττό = περιττό και καταλήγουμε σε άτοπο Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G δεν περιέχει περιττούς κύκλους και έστω v V(G) A: dist(v, a) είναι περιττό για κάθε a A B: dist(v, b) είναι άρτιο για κάθε b A (v A) Θέλουμε να δείξουμε ότι G = (A, B, E) είναι διμερές Έστω ότι υπάρχει ακμή {a i, a j } με a i, a j A Τότε όμως θα υπάρχει κύκλος C A στο G: C A = {v,, a }{{} i, a j,, v} }{{} περιττό περιττό

83 Δυνάμεις γραφημάτων Δύναμη ενός γραφήματος G: G k = (V(G), {{u, v} dist(u, v) k}) Προφανώς G 1 G P 3 5 : P 2 5 : P 5 :

84 Δυνάμεις γραφημάτων Δύναμη ενός γραφήματος G: G k = (V(G), {{u, v} dist(u, v) k}) Προφανώς G 1 G P 3 5 : P 2 5 : P 5 : Έστω ένα γράφημα G και μια κορυφή v που δεν είναι καθολική στο G Τι πρέπει να ισχύει στο G για να γίνει η v καθολική στο G 2 ;

85 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα Εκκεντρότητα κορυφής: ecc(v) = max u V(G) dist(v, u) Διάμετρος γραφήματος: dia(g) = max v V(G) ecc(v) Ακτίνα γραφήματος: rad(g) = min v V(G) ecc(v) cent(g): σύνολο των κεντρικών κορυφών rad(g) = ecc(v) far(g): σύνολο των απόκεντρων κορυφών dia(g) = ecc(v)

86 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα Εκκεντρότητα κορυφής: ecc(v) = max u V(G) dist(v, u) Διάμετρος γραφήματος: dia(g) = max v V(G) ecc(v) Ακτίνα γραφήματος: rad(g) = min v V(G) ecc(v) cent(g): σύνολο των κεντρικών κορυφών rad(g) = ecc(v) far(g): σύνολο των απόκεντρων κορυφών dia(g) = ecc(v) far(g) = { }, cent(g) = { }

87 5 4 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα Εκκεντρότητα κορυφής: ecc(v) = max u V(G) dist(v, u) Διάμετρος γραφήματος: dia(g) = max v V(G) ecc(v) Ακτίνα γραφήματος: rad(g) = min v V(G) ecc(v) cent(g): σύνολο των κεντρικών κορυφών rad(g) = ecc(v) far(g): σύνολο των απόκεντρων κορυφών dia(g) = ecc(v) far(g) = { }, cent(g) = { }

88 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα - Παρατηρήσεις Παρατήρηση Κάθε κορυφή της κλίκας K n είναι κεντρική και απόκεντρη Το ίδιο ισχύει και για το K p,q με p, q 2 Θεώρημα ṛad(g) dia(g) 2 rad(g) Απόδειξη?? Έστω v cent(g), και έστω x, y V(G) Θνδο dist(x, y) 2 rad(g)??

89 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα - Παρατηρήσεις Παρατήρηση Κάθε κορυφή της κλίκας K n είναι κεντρική και απόκεντρη Το ίδιο ισχύει και για το K p,q με p, q 2 Θεώρημα ṛad(g) dia(g) 2 rad(g) Απόδειξη?? Έστω v cent(g), και έστω x, y V(G) Θνδο dist(x, y) 2 rad(g)?? Πόρισμα (`όλοι κέντρο και απόκεντρο ή κανένας') Είτε cent(g) = far(g) = V(G) είτε cent(g) far(g) = Απόδειξη Έστω x cent(g) far(g): dia(g) = ecc(x) και rad(g) = ecc(x)

90 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα - Παρατηρήσεις Παρατήρηση Κάθε κορυφή της κλίκας K n είναι κεντρική και απόκεντρη Το ίδιο ισχύει και για το K p,q με p, q 2 Θεώρημα ṛad(g) dia(g) 2 rad(g) Απόδειξη?? Έστω v cent(g), και έστω x, y V(G) Θνδο dist(x, y) 2 rad(g)?? Πόρισμα (`όλοι κέντρο και απόκεντρο ή κανένας') Είτε cent(g) = far(g) = V(G) είτε cent(g) far(g) = Απόδειξη Έστω x cent(g) far(g): dia(g) = ecc(x) και rad(g) = ecc(x) Αν cent(g) far(g) τότε rad(g) = dia(g)

91 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα - Παρατηρήσεις Παρατήρηση Κάθε κορυφή της κλίκας K n είναι κεντρική και απόκεντρη Το ίδιο ισχύει και για το K p,q με p, q 2 Θεώρημα ṛad(g) dia(g) 2 rad(g) Απόδειξη?? Έστω v cent(g), και έστω x, y V(G) Θνδο dist(x, y) 2 rad(g)?? Πόρισμα (`όλοι κέντρο και απόκεντρο ή κανένας') Είτε cent(g) = far(g) = V(G) είτε cent(g) far(g) = Απόδειξη Έστω x cent(g) far(g): dia(g) = ecc(x) και rad(g) = ecc(x) Αν cent(g) far(g) τότε rad(g) = dia(g) v V(G): rad(g) ecc(v) dia(g)

92 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα - Παρατηρήσεις Παρατήρηση Κάθε κορυφή της κλίκας K n είναι κεντρική και απόκεντρη Το ίδιο ισχύει και για το K p,q με p, q 2 Θεώρημα ṛad(g) dia(g) 2 rad(g) Απόδειξη?? Έστω v cent(g), και έστω x, y V(G) Θνδο dist(x, y) 2 rad(g)?? Πόρισμα (`όλοι κέντρο και απόκεντρο ή κανένας') Είτε cent(g) = far(g) = V(G) είτε cent(g) far(g) = Απόδειξη Έστω x cent(g) far(g): dia(g) = ecc(x) και rad(g) = ecc(x) Αν cent(g) far(g) τότε rad(g) = dia(g) v V(G): rad(g) ecc(v) dia(g) v V(G): ecc(v) = rad(g) = dia(g) cent(g) = far(g)

93 Περίμετρος - Περιφέρεια Ως προς τα μήκη των κύκλων ενός γραφήματος G: Το μέγιστο μήκος ενός κύκλου καλείται περίμετρος, crm(g) Το ελάχιστο μήκος ενός κύκλου καλείται περιφέρεια, gir(g)

94 Περίμετρος - Περιφέρεια Ως προς τα μήκη των κύκλων ενός γραφήματος G: Το μέγιστο μήκος ενός κύκλου καλείται περίμετρος, crm(g) Το ελάχιστο μήκος ενός κύκλου καλείται περιφέρεια, gir(g) v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5 crm(g) = 6 και gir(g) = 3 Ένας άχορδος κύκλος είναι ο C = (v 2, v 3, v 5, v 6, v 2 ) C 4

95 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη

96 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη Θα βρούμε έναν κύκλο με μέγεθος δ(g) + 1

97 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη Θα βρούμε έναν κύκλο με μέγεθος δ(g) + 1 Έστω P = (v 1,, v k ) ένα μονοπάτι του G με μέγιστο μήκος

98 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη Θα βρούμε έναν κύκλο με μέγεθος δ(g) + 1 Έστω P = (v 1,, v k ) ένα μονοπάτι του G με μέγιστο μήκος Ισχύει N(v 1 ) P (ΓΙΑΤΙ?)

99 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη Θα βρούμε έναν κύκλο με μέγεθος δ(g) + 1 Έστω P = (v 1,, v k ) ένα μονοπάτι του G με μέγιστο μήκος Ισχύει N(v 1 ) P (ΓΙΑΤΙ?) deg(v 1 ) = N(v 1 ) δ(g) G[N[v 1 ]] κύκλο μεγέθους δ(g) + 1

100 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη Θα βρούμε έναν κύκλο με μέγεθος δ(g) + 1 Έστω P = (v 1,, v k ) ένα μονοπάτι του G με μέγιστο μήκος Ισχύει N(v 1 ) P (ΓΙΑΤΙ?) deg(v 1 ) = N(v 1 ) δ(g) G[N[v 1 ]] κύκλο μεγέθους δ(g) + 1 δ(g) + 1 crm(g)

101 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη

102 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n )

103 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο

104 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο Υπόθεση: ισχύει για κάθε γράφημα G με V(G) n 1

105 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο Υπόθεση: ισχύει για κάθε γράφημα G με V(G) n 1 Επαγωγικό βήμα: για V(G) = n:

106 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο Υπόθεση: ισχύει για κάθε γράφημα G με V(G) n 1 Επαγωγικό βήμα: για V(G) = n: Αν δ(g) 2 τότε από το Θεώρημα (δ(g) crm(g) 1) ισχύει

107 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο Υπόθεση: ισχύει για κάθε γράφημα G με V(G) n 1 Επαγωγικό βήμα: για V(G) = n: Αν δ(g) 2 τότε από το Θεώρημα (δ(g) crm(g) 1) ισχύει Αν δ(g) 1 τότε υπάρχει κορυφή v με deg(v) 1 Το G v έχει n 1 κορυφές και ε(g v) 1

108 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο Υπόθεση: ισχύει για κάθε γράφημα G με V(G) n 1 Επαγωγικό βήμα: για V(G) = n: Αν δ(g) 2 τότε από το Θεώρημα (δ(g) crm(g) 1) ισχύει Αν δ(g) 1 τότε υπάρχει κορυφή v με deg(v) 1 Το G v έχει n 1 κορυφές και ε(g v) 1 Εφαρμόζουμε επαγωγικά την Υπόθεση στο G v κύκλος στο G v που παραμένει και στο G

109 Σύνοψη Κεφαλαίου 1 G = (V, E) n = V(G) m = E(G) N(v) deg G (v) deg(v) = 0 deg(v) = 1 deg(v) = n 1 δ(g), Δ(G) ε(g) = m n K n, P n, C n K p,q G[S] G Συμβολισμοί ecc(v) dia(g), rad(g) cent(g) far(g) dist(u, v) crm(g) gir(g)

110 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

111 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Λέκτορας Χάρης Παπαδόπουλος «Θεωρία Γραφημάτων» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1]

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 48 / 71 Μονοπα τια-κυ κλοι και Αποστα σεις Έστω ε

Διαβάστε περισσότερα

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων Μικροοργανισμοί που ελέγχονται ανά είδος τροφίμου Διδάσκοντες: Καθ. Χρυσάνθη Παπαδοπούλου, Λέκτορας Ηρακλής Σακκάς Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 205 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22 Εισαγωγη Διδα σκων: Αντω νιος Συμβω νης ΣΕΜΦΕ, κτι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Πρόσθεση Στροφορμών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι

Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κλασική Ηλεκτροδυναμική Ι ΗΛΕΚΤΡΟΣΤΑΤΙΚΗ Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενότητα 5: Διερευνητικές δραστηριότητες

Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενότητα 5: Διερευνητικές δραστηριότητες Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενότητα 5: Διερευνητικές δραστηριότητες Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Δραστηριότητα 1 Το εξωτερικό τετράγωνο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 4: Μονοπάτια και Κύκλοι Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs)

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs) Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο Γραφήµατα (Grphs) http://tos.it.tith.gr/~mos/thing_gr.html Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γράφημα (Grph) Oρισμός 1: Έστω το µη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας)

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήµατα 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Ενότητα 10: Διαχείριση Έργων (2ο Μέρος) Γρηγόριος Μπεληγιάννης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων και Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 2: Συναρτήσεις Χώροι - Μεταβλητές Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Ενότητα: Εισαγωγή στους Επεξεργαστές Κειμένου-Μέρος 2

Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές. Ενότητα: Εισαγωγή στους Επεξεργαστές Κειμένου-Μέρος 2 Τίτλος Μαθήματος: Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα: Εισαγωγή στους Επεξεργαστές Κειμένου-Μέρος 2 Διδάσκων: Αναπληρωτής Καθηγητής Αλέξιος Δούβαλης Τμήμα: Φυσικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Κατηγορίες προβλημάτων - Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης

Άδειες Χρήσης. Διδακτική Μαθηματικών I. Κατηγορίες προβλημάτων - Ρεαλιστικά Μαθηματικά. Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Άδειες Χρήσης Διδακτική Μαθηματικών I Κατηγορίες προβλημάτων - Ρεαλιστικά Μαθηματικά Διδάσκων: Επίκουρος Καθ. Κ. Τάτσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων

Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Θεωρία Λήψης Αποφάσεων Ενότητα 3: Ασκήσεις Bayes Περιοχές Απόφασης Διακρίνουσες Συναρτήσεις Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές

Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά και Φυσική με Υπολογιστές Εφαρμογές στα Μαθηματικά Διδάσκων: Καθηγητής Ι. Ρίζος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 8η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 8η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 8η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 5: Αναδρομικές σχέσεις - Υπολογισμός Αθροισμάτων Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 5: Οι διαδοχικές επεκτάσεις της έννοιας του αριθμού: ακέραιος, κλάσμα, ρητός και πραγματικός αριθμός Δημήτρης Χασάπης

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 5: Διαχείριση Έργων υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 5: Διαχείριση Έργων υπό συνθήκες αβεβαιότητας Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 5: Διαχείριση Έργων υπό συνθήκες αβεβαιότητας Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης

Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Μαθηματικά Ενότητα 11: Θεώρημα Μέσης Τιμής Μονοτονία Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους

Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Φροντιστήριο #9 Λυμένες Ασκήσεις σε Γράφους Άσκηση 10.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 4: Διδακτικός μετασχηματισμός βασικών εννοιών πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.4: Βασικά Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ ΙΙ Στοιχειώδεις αντιδράσεις, μηχανισμός και εύρεση του νόμου ταχύτητας Διδάσκοντες: Αναπλ. Καθ. Β. Μελισσάς, Λέκτορας Θ. Λαζαρίδης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα