Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών"

Transcript

1 Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών

2

3 Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1

4 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Εισαγωγικές Έννοιες - Γραφική Ακολουθία Πράξεις, σχέσεις γραφημάτων Αποστάσεις, διάμετρος και περιφέρεια 2 Συνεκτικότητα 3 Δέντρα 4 Eulerian και Hamiltonian γραφήματα 5 Προβλήματα βελτιστοποίησης σε γραφήματα 6 Επίπεδα γραφήματα

5 Δύο γραφήματα v 2 v 3 v 2 v 3 v 1 v 4 v 1 v 4 v 6 v 5 v 6 v 5 V(G) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } και n = V(G) E(G) = {{v 1, v 2 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 }, {v 4, v 5 }, {v 5, v 6 }, {v 6, v 1 }, {v 2, v 6 }, {v 3, v 5 }} m = E(G) V(H) = {v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 } και E(H) = E(G) {{v 2, v 5 }, {v 3, v 6 }} N G (v3) = {v2, v5, v4}, N G ({v1, v2, v6}) = {v3, v5}

6 Ισομορφισμοί Ισομορφισμοί δυο γραφημάτων G και H Υπάρχει μια 1-1 και επί απεικόνιση f : V(G) V(H) τέτοια ώστε {u, v} E(G) {f(u), f(v)} E(H) Συμβολίζουμε τον ισομορφισμό μεταξύ των G και Η ως G H b 2 a c e 3 d f(a) = 1, f(b) = 2, f(c) = 3, f(d) = 4, f(e) = 5

7 Ισομορφισμοί Παρατήρηση Η σχέση G H: αυτοπαθής, G G συμμετρική, G H H G μεταβατική, G 1 G 2, G 2 G 3 G 1 G 3 b 2 a c e 3 d 4 1 5

8 Αναπαράσταση Γραφημάτων Πίνακας Γειτνίασης Ένα γράφημα G με V(G) = {v 1, v 2,, v n } μπορεί να αναπαρασταθεί με έναν n n πίνακα A = [a i,j ] όπου v 2 a i,j = v 3 v 5 { 1 αν {v i v j } E(G) 0 αν {v i v j } / E(G) v 1 v 4 A = v

9 Αναπαράσταση Γραφημάτων Πίνακας Προσπτώσεων Για ένα γράφημα G με V(G) = {v 1,, v n } και E(G) = {e 1,, e m } ορίζουμε έναν n m πίνακα B = [b i,j ] όπου κάθε γραμμή αντιστοιχεί σε με κορυφή και κάθε στήλη αντιστοιχεί σε μια ακμή Τα στοιχεία του πίνακα B ορίζονται ως εξής: { 1 αν η ακμή e j προσπίπτει στην κορυφή v i b i,j = 0 αν η ακμή e j δεν προσπίπτει στην κορυφή v i v 2 v 3 v 1 v 4 B = v 6 v

10 Αναπαράσταση Γραφημάτων Πίνακας Γειτνίασης: έχει n 2 στοιχεία και είναι συμμετρικός για μη-κατευθυνόμενα γραφήματα όλες οι διαγώνιες τιμές του είναι μηδενικές (χωρίς βρόγχους) αν θέλουμε να απαντήσουμε στο αν δύο κορυφές v i και v j γειτνιάζουν ή όχι μεταξύ τους, μπορούμε να αποφανθούμε σε χρόνο O(1) εξετάζοντας την τιμή a i,j Παρατήρηση Σε κάθε γράφημα αντιστοιχούν n! διαφορετικοί πίνακες γειτνίασης

11 Βαθμοί κορυφών Ο βαθμός κορυφής: deg G (v) = N G (v) Ο ελάχιστος και μέγιστος βαθμός του γραφήματος είναι δ(g), Δ(G) Ο μέσος βαθμός d(g) = 1 n v V(G) deg(v) Η πυκνότητα ε(g) = m n απομονωμένη κορυφή βαθμό 0 εκκρεμής κορυφή βαθμό 1 καθολική κορυφή βαθμό n 1 v 2 v 3 v 1 v 4 δ(g) = 2 και Δ(G) = 3 d(g) = 266 και ε(g) = 133 v 6 v 5

12 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2

13 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2 Λήμμα Κάθε γράφημα περιέχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού

14 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2 Λήμμα Κάθε γράφημα περιέχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη V(G) = V 1 V 2 με V 1 περιττό βαθμό και V 2 άρτιο βαθμό

15 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2 Λήμμα Κάθε γράφημα περιέχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη V(G) = V 1 V 2 με V 1 περιττό βαθμό και V 2 άρτιο βαθμό v V(G) deg(v) = v V 1 deg(v) + v V 2 deg(v) = 2m

16 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2 Λήμμα Κάθε γράφημα περιέχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη V(G) = V 1 V 2 με V 1 περιττό βαθμό και V 2 άρτιο βαθμό v V(G) deg(v) = v V 1 deg(v) + v V 2 deg(v) = 2m v V 2 deg(v) άρτιος αριθμός, v V(G) deg(v) άρτιος αριθμός v V 1 deg(v) άρτιος αριθμός

17 Βαθμοί κορυφών, Παρατηρήσεις Θεώρημα 1 v V(G) deg(v) = 2m 2 δ(g) d(g) Δ(G) 3 ε(g) = d(g) 2 Λήμμα Κάθε γράφημα περιέχει άρτιο αριθμό κορυφών περιττού βαθμού Απόδειξη V(G) = V 1 V 2 με V 1 περιττό βαθμό και V 2 άρτιο βαθμό v V(G) deg(v) = v V 1 deg(v) + v V 2 deg(v) = 2m v V 2 deg(v) άρτιος αριθμός, v V(G) deg(v) άρτιος αριθμός v V 1 deg(v) άρτιος αριθμός τα deg(v) στο v V deg(v) είναι περιττά V 1 άρτιο

18 Γραφική ακολουθία Ορισμός Μια φθίνουσα ακολουθία γ = d 1,, d n όπου d 1 d n καλείται γραφική αν υπάρχει γράφημα G με n κορυφές v 1,, v n και βαθμούς d 1,, d n, αντίστοιχα Το γράφημα G θα λέμε ότι πραγματοποιεί την ακολουθία γ v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5 γ = 3, 3, 3, 3, 2, 2 Για κάθε i = 1,, n, ισχύει 0 d i n 1 Το πλήθος των περιττών d i είναι άρτιος αριθμός

19 Γραφική ακολουθία -- Υπολογισμός Δοθέντος ενός G είναι εύκολο κανείς να βρει την γ κατατάσσοντας τα deg(v) κατά φθίνουσα τάξη Για το αντίστροφο θα πρέπει να εξετάσει κανείς διεξοδικά όλους τους δυνατούς συνδυασμούς για την κατασκευή πιθανών βαθμών Είναι η γ = 1, 1, 1, 1 γραφική; Είναι η γ = 1, 1, 1 γραφική;

20 Γραφική ακολουθία -- Υπολογισμός Δοθέντος ενός G είναι εύκολο κανείς να βρει την γ κατατάσσοντας τα deg(v) κατά φθίνουσα τάξη Για το αντίστροφο θα πρέπει να εξετάσει κανείς διεξοδικά όλους τους δυνατούς συνδυασμούς για την κατασκευή πιθανών βαθμών Είναι η γ = 1, 1, 1, 1 γραφική; Είναι η γ = 1, 1, 1 γραφική; G v: διαγράφουμε την v μαζί με όλες τις προσκείμενες στην v ακμές Παρατήρηση Στο G v η γραφική ακολουθία προκύπτει διαγράφοντας το d v και μειώνοντας κατά μια μονάδα τους βαθμούς των d v γειτονικών κορυφών της

21 Γραφική ακολουθία -- Υπολογισμός Παράδειγμα γ = 3, 3, 2, 2, 2, 2 διαγράφουμε την πρώτη κορυφή γ = 2, 1, 1, 2, 2 Αναδιατάσσουμε την γ : 2, 2, 2, 1, 1 διαγράφουμε την γ πρώτη κορυφή = 2, 2, 2, 1, 1 γ = 1, 1, 1, 1

22 Γραφική ακολουθία -- Υπολογισμός Παράδειγμα γ = 3, 3, 2, 2, 2, 2 διαγράφουμε την πρώτη κορυφή γ = 2, 1, 1, 2, 2 Αναδιατάσσουμε την γ : 2, 2, 2, 1, 1 διαγράφουμε την γ πρώτη κορυφή = 2, 2, 2, 1, 1 γ = 1, 1, 1, 1 Παράδειγμα γ = 3, 2, 2, 2, 2, 2 διαγράφουμε την πρώτη κορυφή γ = 1, 1, 1, 2, 2 Αναδιατάσσουμε την γ : 2, 2, 1, 1, 1 διαγράφουμε την γ πρώτη κορυφή = 2, 2, 1, 1, 1 γ = 1, 0, 1, 1

23 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική

24 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική

25 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο

26 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο Ισχυρισμός: N G (v 1 ) φτιάχνει την υποακολουθία d 2,, d d1 +1

27 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο Ισχυρισμός: N G (v 1 ) φτιάχνει την υποακολουθία d 2,, d d1 +1 Έστω ότι δεν ισχύει: v i, v j με d i > d j : {v 1 v i } / E(G), {v 1 v j } E(G)

28 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο Ισχυρισμός: N G (v 1 ) φτιάχνει την υποακολουθία d 2,, d d1 +1 Έστω ότι δεν ισχύει: v i, v j με d i > d j : {v 1 v i } / E(G), {v 1 v j } E(G) Επειδή d i > d j, υπάρχει v k : {v k v i } E(G) και {v k v j } / E(G)

29 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο Ισχυρισμός: N G (v 1 ) φτιάχνει την υποακολουθία d 2,, d d1 +1 Έστω ότι δεν ισχύει: v i, v j με d i > d j : {v 1 v i } / E(G), {v 1 v j } E(G) Επειδή d i > d j, υπάρχει v k : {v k v i } E(G) και {v k v j } / E(G) G : (--) {v 1 v j }, {v k v i } και (++) {v 1 v i }, {v k v j } G έχει την ίδια ακολουθία βαθμών γ (γιατί?)

30 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω ότι η ακολουθία γ = d 1,, d n είναι γραφική Από όλα τα γραφήματα που πραγματοποιούν την γ, διαλέγουμε το G: V(G) = {v 1,, v n }, όπου deg(v i ) = d i το άθροισμα των βαθμών που είναι γειτονικά με v 1 είναι μέγιστο Ισχυρισμός: N G (v 1 ) φτιάχνει την υποακολουθία d 2,, d d1 +1 Έστω ότι δεν ισχύει: v i, v j με d i > d j : {v 1 v i } / E(G), {v 1 v j } E(G) Επειδή d i > d j, υπάρχει v k : {v k v i } E(G) και {v k v j } / E(G) G : (--) {v 1 v j }, {v k v i } και (++) {v 1 v i }, {v k v j } G έχει την ίδια ακολουθία βαθμών γ (γιατί?) Το άθροισμα των βαθμών N G (v 1 ) > από το G λόγω d i d j > 0 Άτοπο

31 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω G γράφημα που πραγματοποιείται από γ Εισάγουμε στο G μια νέα v 1 με ακμές στις d 1 πρώτες κορυφές της γ

32 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω G γράφημα που πραγματοποιείται από γ Εισάγουμε στο G μια νέα v 1 με ακμές στις d 1 πρώτες κορυφές της γ η κορυφή v 1 έχει βαθμό d 1 οι d 1 πρώτες κορυφές αυξάνουν κατά μια μονάδα τους βαθμούς οι βαθμοί των υπόλοιπων κορυφών παραμένουν ως έχει

33 Γραφική ακολουθία -- Θεώρημα Θεώρημα Μια γ = d 1,, d n, είναι γραφική αν και μόνο αν η γ = d 2 1,, d d1 +1 1, d d1 +2,, d n, είναι γραφική Απόδειξη ( ) Έστω G γράφημα που πραγματοποιείται από γ Εισάγουμε στο G μια νέα v 1 με ακμές στις d 1 πρώτες κορυφές της γ η κορυφή v 1 έχει βαθμό d 1 οι d 1 πρώτες κορυφές αυξάνουν κατά μια μονάδα τους βαθμούς οι βαθμοί των υπόλοιπων κορυφών παραμένουν ως έχει Επομένως το νέο γράφημα G = G + v πραγματοποιεί την γ

34 Γραφική ακολουθία -- Αλγόριθμος Υπολογισμού Αλγόριθμος Ακολουθία Είσοδος: μια φθίνουσα ακολουθία n ακεραίων γ Έξοδος: ναι αν η γ είναι γραφική, οχι διαφορετικά 1 Αν υπάρχει d γ : d n τότε οχι 2 Αν υπάρχει d γ : d < 0 τότε οχι 3 Αν d i = 0 για κάθε i = 1,, n τότε ναι 4 Αν χρειάζεται αναδιατάσσουμε την γ έτσι ώστε να είναι φθίνουσα 5 Διαγράφουμε τον πρώτο όρο d 1 της ακολουθίας γ 6 Αφαιρούμε μια μονάδα από τους d 1 υπόλοιπους όρους 7 Θέτουμε n := n 1 8 Επαναλαμβάνουμε από το βημα 1

35 Γραφική ακολουθία -- Αλγόριθμος Υπολογισμού Αλγόριθμος Ακολουθία Είσοδος: μια φθίνουσα ακολουθία n ακεραίων γ Έξοδος: ναι αν η γ είναι γραφική, οχι διαφορετικά 1 Αν υπάρχει d γ : d n τότε οχι 2 Αν υπάρχει d γ : d < 0 τότε οχι 3 Αν d i = 0 για κάθε i = 1,, n τότε ναι 4 Αν χρειάζεται αναδιατάσσουμε την γ έτσι ώστε να είναι φθίνουσα 5 Διαγράφουμε τον πρώτο όρο d 1 της ακολουθίας γ 6 Αφαιρούμε μια μονάδα από τους d 1 υπόλοιπους όρους 7 Θέτουμε n := n 1 8 Επαναλαμβάνουμε από το βημα 1 Κατασκευή του G το οποίο πραγματοποιεί την γ Παίρνουμε διαδοχικές ακολουθίες γ 1, γ 2,, γ k G k : μηδενικοί όροι της γ k απομονωμένες κορυφές G k 1 : προσθέτουμε την v με d v ακμές της γ k 1 G 1 G

36 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1

37 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0

38 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0

39 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0 γ 4 = 0, 0, 0, 0

40 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0 γ 4 = 0, 0, 0, 0 G 4

41 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0 γ 4 = 0, 0, 0, 0 G 3 G 4

42 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0 γ 4 = 0, 0, 0, 0 G 2 G 3 G 4

43 Γραφική ακολουθία -- Παραδείγματα γ = 5, 4, 4, 3, 2, 1, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 0, 1 γ 2 = 3, 3, 2, 1, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 0, 1, 0 γ 3 = 2, 1, 1, 0, 0 γ 4 = 0, 0, 0, 0 G 1 G 2 G 3 G 4

44 Κλίκες, μονοπάτια, κύκλοι K 4 K 5 P 4 P 5 C 4 C 5

45 Κλίκες, μονοπάτια, κύκλοι K 4 K 5 P 4 P 5 C 4 C 5 v 2 v 3 Ορισμένα άχορδα μονοπάτια: P 4 = {v 1, v 2, v 3, v 4 }, v 1 v 4 v 6 v 5 P 4 = {v 1, v 6, v 5, v 4 } Ορισμένα μονοπάτια: P = {v 3, v 4, v 5, v 6 }, P = {v 3, v 5, v 6, v 2 } C 4

46 Διμερή γραφήματα, πλήρη διμερή Διμερές γράφημα G = (V, E): V(G) = A B με A B = και {x, y} E(G): x A, y B Τα σύνολα A, B ονομάζονται διαμέριση του G Συμβολίζουμε ένα διμερές γράφημα ως G = (A, B, E) Πλήρες διμερές γράφημα G = (A, B, E): για κάθε x A, y B: {x, y} Ε(G) Συμβολίζουμε με K p,q όπου p = A και q = B

47 Διμερή γραφήματα, πλήρη διμερή Διμερές γράφημα G = (V, E): V(G) = A B με A B = και {x, y} E(G): x A, y B Τα σύνολα A, B ονομάζονται διαμέριση του G Συμβολίζουμε ένα διμερές γράφημα ως G = (A, B, E) Πλήρες διμερές γράφημα G = (A, B, E): για κάθε x A, y B: {x, y} Ε(G) Συμβολίζουμε με K p,q όπου p = A και q = B K 3,4 G = ({ }, { }, E) C 6

48 Πλέγμα Έστω X = {x 1,, x p } και Y = {y 1,, y q } R p,q = ( { }) X Y, {(x i, y j ), (x k, y l )} i k + j l = 1 Το πλέγμα R 4,5

49 Πλέγμα Έστω X = {x 1,, x p } και Y = {y 1,, y q } R p,q = ( { }) X Y, {(x i, y j ), (x k, y l )} i k + j l = 1 Το πλέγμα R 4,5 Το γράφημα που αντιστοιχεί σε ένα επίπεδο δισδιάστατο πλέγμα V(R p,q ): τομές των ευθύγραμμων τμημάτων του πλέγματος E(R p,q ): τα ευθύγραμμα τμήματα μεταξύ των κορυφών

50 Ασκησούλα Ερώτημα Βρείτε προσεκτικά τις τιμές δ(g) και Δ(G) για κάθε τιμή των p, q 1 στις εξής περιπτώσεις: 1 G K p,q 2 G R p,q

51 Ασκησούλα Ερώτημα Βρείτε προσεκτικά τις τιμές δ(g) και Δ(G) για κάθε τιμή των p, q 1 στις εξής περιπτώσεις: 1 G K p,q 2 G R p,q K 3,4 R 4,5

52 Το γραμμικό γράφημα Το γραμμικό γράφημα ενός G = (V, E) ορίζεται ως εξής: L(G) = ( E(G), { {e, e } e, e E(G) και e e }) Δηλαδή οι κορυφές του L(G) είναι οι ακμές του G και δύο κορυφές του L(G) ενώνονται με ακμή αν και μόνο αν οι αντίστοιχες ακμές έχουν κοινό άκρο

53 Το γραμμικό γράφημα Το γραμμικό γράφημα ενός G = (V, E) ορίζεται ως εξής: L(G) = ( E(G), { {e, e } e, e E(G) και e e }) Δηλαδή οι κορυφές του L(G) είναι οι ακμές του G και δύο κορυφές του L(G) ενώνονται με ακμή αν και μόνο αν οι αντίστοιχες ακμές έχουν κοινό άκρο e 2,3 e 3,4 v 2 v 3 v 1 v 4 e 1,2 e 2,6 e 3,5 e 4,5 v 6 v 5 e 1,6 e 5,6 G L(G)

54 Συμπλήρωμα γραφήματος Συμπλήρωμα G ενός γραφήματος G = (V, E): ίδιο σύνολο κορυφών ακριβώς εκείνες τις ακμές που δεν υπάρχουν στο G a b a b a b a b d c c d d c d c C 4 C 4 2K 2 K 1,3 K 1,3

55 Συμπλήρωμα γραφήματος Συμπλήρωμα G ενός γραφήματος G = (V, E): ίδιο σύνολο κορυφών ακριβώς εκείνες τις ακμές που δεν υπάρχουν στο G a b a b a b a b d c c d d c d c C 4 C 4 2K 2 K 1,3 K 1,3 Παρατήρηση Για κάθε γράφημα G, ισχύει G G

56 Συμπλήρωμα γραφήματος Συμπλήρωμα G ενός γραφήματος G = (V, E): ίδιο σύνολο κορυφών ακριβώς εκείνες τις ακμές που δεν υπάρχουν στο G a b a b a b a b d c c d d c d c C 4 C 4 2K 2 K 1,3 K 1,3 Παρατήρηση Για κάθε γράφημα G, ισχύει G G Ασκησούλα Έστω G G Δείξτε ότι n = 1, 0 mod 4

57 Πράξεις κορυφών και ακμών Πράξεις κορυφών Διαγραφή κορυφής G v Σύμπτυξη κορυφής G/v (μόνο όταν N(v) = {a, b}) Πράξεις ακμών Διαγραφή ακμής G e Σύμπτυξη ακμής G/e Υποδιαίρεση ακμής G e a b a a b d c d c d c C 4 C 4 b C 4 {b, c} P 4 a b a a w b w d c d c C 4 /{d, c} K 3 C 4 /b K 3 C 4 {a, b} C 5

58 Πράξεις μεταξύ γραφημάτων Πράξεις μεταξύ ξένων (V(G) V(H) = ) γραφημάτων G, H: ένωση G H: καμία ακμή μεταξύ τους σύνδεση G H: προσθήκη όλων των ακμών μεταξύ τους γινόμενο G H C 4 P 3 C 4 P 3 C 4 P 3

59 Γινόμενο G H -- Συμβολισμοί {V(G) V(H), {{(u, x), (v, x)} {u, v} E(G) E(H)}} αντικαθιστούμε κάθε κορυφή του G την με H H v για κάθε {u, v} του G εισάγουμε ακμές μεταξύ H u, H v που ενώνουν κορυφές των H u και H v σε 1-1 = C 4 P 3

60 Γινόμενο G H -- Συμβολισμοί {V(G) V(H), {{(u, x), (v, x)} {u, v} E(G) E(H)}} αντικαθιστούμε κάθε κορυφή του G την με H H v για κάθε {u, v} του G εισάγουμε ακμές μεταξύ H u, H v που ενώνουν κορυφές των H u και H v σε 1-1 = C 4 P 3 Έστω ένα γράφημα G και ένας θετικός ακέραιος k 0 Τότε, k G = G G }{{} k φορές G (k) = G G }{{} k φορές G [k] = G } {{ G } k φορές

61 Σχέσεις γραφημάτων Έστω G και H δύο γραφήματα υπογράφημα: V(H) V(G) και E(H) E(G) επαγόμενο υπογράφημα: V(H) V(G) και v V(H) ισχύει Ν H (v) = N G (v) παραγόμενο υπογράφημα: V(H) = V(G) και E(H) E(G)

62 Σχέσεις γραφημάτων Έστω G και H δύο γραφήματα υπογράφημα: V(H) V(G) και E(H) E(G) επαγόμενο υπογράφημα: V(H) V(G) και v V(H) ισχύει Ν H (v) = N G (v) παραγόμενο υπογράφημα: V(H) = V(G) και E(H) E(G) Έστω S V(G) Θα γράφουμε ως G[S] το επαγόμενο υπογράφημα: (S, {{u, v} u, v S και {u, v} E(G)}) Με άλλα λόγια για το γράφημα G[S] ισχύει G[S] = G {V(G) S}

63 Σχέσεις γραφημάτων Παραδείγματα Για τα επαγόμενα υπογραφήματα ισχύουν τα ακόλουθα: Το γράφημα C 4 P 3 περιέχει ως παραγόμενο υπογράφημα το C 4 C 4 C 4 Κάθε κύκλος C n με n 3 έχει ως επαγόμενο γράφημα ένα P n 1 Για p, q 2 το γράφημα K p,q έχει ένα επαγόμενο υπογράφημα ισόμορφο του C 4

64 Σχέσεις γραφημάτων Παραδείγματα Για τα επαγόμενα υπογραφήματα ισχύουν τα ακόλουθα: Το γράφημα C 4 P 3 περιέχει ως παραγόμενο υπογράφημα το C 4 C 4 C 4 Κάθε κύκλος C n με n 3 έχει ως επαγόμενο γράφημα ένα P n 1 Για p, q 2 το γράφημα K p,q έχει ένα επαγόμενο υπογράφημα ισόμορφο του C 4 Κανονικό ή τακτικό γράφημα Αν όλες οι κορυφές έχουν τον ίδιο βαθμό δ(g) = Δ(G)

65 Σχέσεις γραφημάτων Παραδείγματα Για τα επαγόμενα υπογραφήματα ισχύουν τα ακόλουθα: Το γράφημα C 4 P 3 περιέχει ως παραγόμενο υπογράφημα το C 4 C 4 C 4 Κάθε κύκλος C n με n 3 έχει ως επαγόμενο γράφημα ένα P n 1 Για p, q 2 το γράφημα K p,q έχει ένα επαγόμενο υπογράφημα ισόμορφο του C 4 Κανονικό ή τακτικό γράφημα Αν όλες οι κορυφές έχουν τον ίδιο βαθμό δ(g) = Δ(G) Ασκησούλα 1 Ποια είναι τακτικά γραφήματα: K n, P n, C n, K p,q 2 Δείξτε ότι για ένα r-τακτικό γράφημα: rn = 2m

66 Περίπατος - Περιήγηση Περίπατος W στο G: ακολουθία (ενδεχομένως επαναλαμβανόμενων) κορυφών W = [v 1,, v r ]: 1 i < r, {v i v i+1 } E(G) μήκος ενός περιπάτου είναι το πλήθος των κορυφών μείον ένα Περιήγηση W στο G: ένας περίπατος που αρχίζει και τελειώνει (έχει ως άκρα) με την ίδια κορυφή: κυκλική διάταξη W = [v 1,, v r, v 1 ] v 2 v 3 v 1 v 4 W = [v 3, v 5, v 4, v 3, v 2, v 6 ] με μήκος 5 P = {v 3, v 4, v 5, v 6 } με μήκος 3 v 6 v 5

67 Περίπατος - Περιήγηση Περίπατος W στο G: ακολουθία (ενδεχομένως επαναλαμβανόμενων) κορυφών W = [v 1,, v r ]: 1 i < r, {v i v i+1 } E(G) μήκος ενός περιπάτου είναι το πλήθος των κορυφών μείον ένα Περιήγηση W στο G: ένας περίπατος που αρχίζει και τελειώνει (έχει ως άκρα) με την ίδια κορυφή: κυκλική διάταξη W = [v 1,, v r, v 1 ] v 2 v 3 v 1 v 4 W = [v 3, v 5, v 4, v 3, v 2, v 6 ] με μήκος 5 P = {v 3, v 4, v 5, v 6 } με μήκος 3 v 6 v 5 Παρατήρηση Κάθε μονοπάτι ορίζει έναν περίπατο χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές Αντίστροφα, κάθε περίπατος χωρίς επαναλαμβανόμενες κορυφές ορίζει ένα μονοπάτι

68 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι

69 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι Απόδειξη ( ) Προηγούμενη Παρατήρηση

70 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι Απόδειξη ( ) Προηγούμενη Παρατήρηση ( ) αν (x, y)-περίπατο W τότε (x, y)-μονοπάτι P με κορυφές μόνο από W Έστω W = [v 1,, v r ] ένας περίπατος ελαχίστου μήκους με v 1 = x και v r = y για το οποίο δεν ισχύει

71 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι Απόδειξη ( ) Προηγούμενη Παρατήρηση ( ) αν (x, y)-περίπατο W τότε (x, y)-μονοπάτι P με κορυφές μόνο από W Έστω W = [v 1,, v r ] ένας περίπατος ελαχίστου μήκους με v 1 = x και v r = y για το οποίο δεν ισχύει v r εμφανίζεται μόνο μια φορά στο W (αλλιώς W δεν είναι ελάχιστο)

72 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι Απόδειξη ( ) Προηγούμενη Παρατήρηση ( ) αν (x, y)-περίπατο W τότε (x, y)-μονοπάτι P με κορυφές μόνο από W Έστω W = [v 1,, v r ] ένας περίπατος ελαχίστου μήκους με v 1 = x και v r = y για το οποίο δεν ισχύει v r εμφανίζεται μόνο μια φορά στο W (αλλιώς W δεν είναι ελάχιστο) Θεωρούμε W = [v 1,, v r 1 ] και επαγωγικά υποθέτουμε ότι ισχύει: (v 1, v r 1 )-μονοπάτι P

73 Περίπατος - Μονοπάτι Λήμμα Το G περιέχει έναν (x, y)-περίπατο αν και μόνο αν περιέχει ένα (x, y)- μονοπάτι Απόδειξη ( ) Προηγούμενη Παρατήρηση ( ) αν (x, y)-περίπατο W τότε (x, y)-μονοπάτι P με κορυφές μόνο από W Έστω W = [v 1,, v r ] ένας περίπατος ελαχίστου μήκους με v 1 = x και v r = y για το οποίο δεν ισχύει v r εμφανίζεται μόνο μια φορά στο W (αλλιώς W δεν είναι ελάχιστο) Θεωρούμε W = [v 1,, v r 1 ] και επαγωγικά υποθέτουμε ότι ισχύει: (v 1, v r 1 )-μονοπάτι P Προσθέτουμε την ακμή {v r 1, v r } στο P και δημιουργούμε το ζητούμενο (x, y)-μονοπάτι P

74 Απόσταση Απόσταση dist(x, y): το μήκος του μικρότερου (συντομότερου) (x, y)-μονοπατιού Αν δεν υπάρχει τέτοιο μονοπάτι τότε dist(x, y) = v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5 dist(v 3, v 6 ) = 2 με συντομότερα μονοπάτια τα P = {v 3, v 5, v 6 } και P = {v 3, v 2, v 6 } dist(v 1, v 4 ) = 3 με ένα συντομότερο μονοπάτι το P = {v 1, v 2, v 3, v 4 }

75 Απόσταση Απόσταση dist(x, y): το μήκος του μικρότερου (συντομότερου) (x, y)-μονοπατιού Αν δεν υπάρχει τέτοιο μονοπάτι τότε dist(x, y) = v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5 dist(v 3, v 6 ) = 2 με συντομότερα μονοπάτια τα P = {v 3, v 5, v 6 } και P = {v 3, v 2, v 6 } dist(v 1, v 4 ) = 3 με ένα συντομότερο μονοπάτι το P = {v 1, v 2, v 3, v 4 } Τριγωνική ανισότητα Για κάθε τριάδα κορυφών u, v, w ενός γραφήματος G ισχύει: dist(u, v) + dist(v, w) dist(u, w)

76 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη

77 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G = (A, B, E) διμερές Θεωρούμε ότι στο G υπάρχει ένας περιττός κύκλος C k = {v 1,, v k }

78 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G = (A, B, E) διμερές Θεωρούμε ότι στο G υπάρχει ένας περιττός κύκλος C k = {v 1,, v k } Θεωρούμε ότι v 1 A Έπεται ότι v 2 B, v 3 A v i A όταν i περιττό και v i B όταν i άρτιο

79 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G = (A, B, E) διμερές Θεωρούμε ότι στο G υπάρχει ένας περιττός κύκλος C k = {v 1,, v k } Θεωρούμε ότι v 1 A Έπεται ότι v 2 B, v 3 A v i A όταν i περιττό και v i B όταν i άρτιο Άρα v k A επειδή το k είναι περιττό v 1, v k A, {v 1, v k } E άτοπο (διμερή)

80 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G δεν περιέχει περιττούς κύκλους και έστω v V(G) A: dist(v, a) είναι περιττό για κάθε a A B: dist(v, b) είναι άρτιο για κάθε b A (v A)

81 Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G δεν περιέχει περιττούς κύκλους και έστω v V(G) A: dist(v, a) είναι περιττό για κάθε a A B: dist(v, b) είναι άρτιο για κάθε b A (v A) Θέλουμε να δείξουμε ότι G = (A, B, E) είναι διμερές Έστω ότι υπάρχει ακμή {a i, a j } με a i, a j A

82 οπότε, C A = περιττό περιττό = περιττό και καταλήγουμε σε άτοπο Χαρακτηρισμός Διμερή Γραφημάτων Λήμμα Ένα γράφημα είναι διμερές αν και μόνο αν δεν περιέχει κύκλους περιττού μήκους Απόδειξη ( ) Έστω G δεν περιέχει περιττούς κύκλους και έστω v V(G) A: dist(v, a) είναι περιττό για κάθε a A B: dist(v, b) είναι άρτιο για κάθε b A (v A) Θέλουμε να δείξουμε ότι G = (A, B, E) είναι διμερές Έστω ότι υπάρχει ακμή {a i, a j } με a i, a j A Τότε όμως θα υπάρχει κύκλος C A στο G: C A = {v,, a }{{} i, a j,, v} }{{} περιττό περιττό

83 Δυνάμεις γραφημάτων Δύναμη ενός γραφήματος G: G k = (V(G), {{u, v} dist(u, v) k}) Προφανώς G 1 G P 3 5 : P 2 5 : P 5 :

84 Δυνάμεις γραφημάτων Δύναμη ενός γραφήματος G: G k = (V(G), {{u, v} dist(u, v) k}) Προφανώς G 1 G P 3 5 : P 2 5 : P 5 : Έστω ένα γράφημα G και μια κορυφή v που δεν είναι καθολική στο G Τι πρέπει να ισχύει στο G για να γίνει η v καθολική στο G 2 ;

85 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα Εκκεντρότητα κορυφής: ecc(v) = max u V(G) dist(v, u) Διάμετρος γραφήματος: dia(g) = max v V(G) ecc(v) Ακτίνα γραφήματος: rad(g) = min v V(G) ecc(v) cent(g): σύνολο των κεντρικών κορυφών rad(g) = ecc(v) far(g): σύνολο των απόκεντρων κορυφών dia(g) = ecc(v)

86 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα Εκκεντρότητα κορυφής: ecc(v) = max u V(G) dist(v, u) Διάμετρος γραφήματος: dia(g) = max v V(G) ecc(v) Ακτίνα γραφήματος: rad(g) = min v V(G) ecc(v) cent(g): σύνολο των κεντρικών κορυφών rad(g) = ecc(v) far(g): σύνολο των απόκεντρων κορυφών dia(g) = ecc(v) far(g) = { }, cent(g) = { }

87 5 4 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα Εκκεντρότητα κορυφής: ecc(v) = max u V(G) dist(v, u) Διάμετρος γραφήματος: dia(g) = max v V(G) ecc(v) Ακτίνα γραφήματος: rad(g) = min v V(G) ecc(v) cent(g): σύνολο των κεντρικών κορυφών rad(g) = ecc(v) far(g): σύνολο των απόκεντρων κορυφών dia(g) = ecc(v) far(g) = { }, cent(g) = { }

88 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα - Παρατηρήσεις Παρατήρηση Κάθε κορυφή της κλίκας K n είναι κεντρική και απόκεντρη Το ίδιο ισχύει και για το K p,q με p, q 2 Θεώρημα ṛad(g) dia(g) 2 rad(g) Απόδειξη?? Έστω v cent(g), και έστω x, y V(G) Θνδο dist(x, y) 2 rad(g)??

89 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα - Παρατηρήσεις Παρατήρηση Κάθε κορυφή της κλίκας K n είναι κεντρική και απόκεντρη Το ίδιο ισχύει και για το K p,q με p, q 2 Θεώρημα ṛad(g) dia(g) 2 rad(g) Απόδειξη?? Έστω v cent(g), και έστω x, y V(G) Θνδο dist(x, y) 2 rad(g)?? Πόρισμα (`όλοι κέντρο και απόκεντρο ή κανένας') Είτε cent(g) = far(g) = V(G) είτε cent(g) far(g) = Απόδειξη Έστω x cent(g) far(g): dia(g) = ecc(x) και rad(g) = ecc(x)

90 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα - Παρατηρήσεις Παρατήρηση Κάθε κορυφή της κλίκας K n είναι κεντρική και απόκεντρη Το ίδιο ισχύει και για το K p,q με p, q 2 Θεώρημα ṛad(g) dia(g) 2 rad(g) Απόδειξη?? Έστω v cent(g), και έστω x, y V(G) Θνδο dist(x, y) 2 rad(g)?? Πόρισμα (`όλοι κέντρο και απόκεντρο ή κανένας') Είτε cent(g) = far(g) = V(G) είτε cent(g) far(g) = Απόδειξη Έστω x cent(g) far(g): dia(g) = ecc(x) και rad(g) = ecc(x) Αν cent(g) far(g) τότε rad(g) = dia(g)

91 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα - Παρατηρήσεις Παρατήρηση Κάθε κορυφή της κλίκας K n είναι κεντρική και απόκεντρη Το ίδιο ισχύει και για το K p,q με p, q 2 Θεώρημα ṛad(g) dia(g) 2 rad(g) Απόδειξη?? Έστω v cent(g), και έστω x, y V(G) Θνδο dist(x, y) 2 rad(g)?? Πόρισμα (`όλοι κέντρο και απόκεντρο ή κανένας') Είτε cent(g) = far(g) = V(G) είτε cent(g) far(g) = Απόδειξη Έστω x cent(g) far(g): dia(g) = ecc(x) και rad(g) = ecc(x) Αν cent(g) far(g) τότε rad(g) = dia(g) v V(G): rad(g) ecc(v) dia(g)

92 Εκκεντρότητα - Διάμετρος - Ακτίνα - Παρατηρήσεις Παρατήρηση Κάθε κορυφή της κλίκας K n είναι κεντρική και απόκεντρη Το ίδιο ισχύει και για το K p,q με p, q 2 Θεώρημα ṛad(g) dia(g) 2 rad(g) Απόδειξη?? Έστω v cent(g), και έστω x, y V(G) Θνδο dist(x, y) 2 rad(g)?? Πόρισμα (`όλοι κέντρο και απόκεντρο ή κανένας') Είτε cent(g) = far(g) = V(G) είτε cent(g) far(g) = Απόδειξη Έστω x cent(g) far(g): dia(g) = ecc(x) και rad(g) = ecc(x) Αν cent(g) far(g) τότε rad(g) = dia(g) v V(G): rad(g) ecc(v) dia(g) v V(G): ecc(v) = rad(g) = dia(g) cent(g) = far(g)

93 Περίμετρος - Περιφέρεια Ως προς τα μήκη των κύκλων ενός γραφήματος G: Το μέγιστο μήκος ενός κύκλου καλείται περίμετρος, crm(g) Το ελάχιστο μήκος ενός κύκλου καλείται περιφέρεια, gir(g)

94 Περίμετρος - Περιφέρεια Ως προς τα μήκη των κύκλων ενός γραφήματος G: Το μέγιστο μήκος ενός κύκλου καλείται περίμετρος, crm(g) Το ελάχιστο μήκος ενός κύκλου καλείται περιφέρεια, gir(g) v 2 v 3 v 1 v 4 v 6 v 5 crm(g) = 6 και gir(g) = 3 Ένας άχορδος κύκλος είναι ο C = (v 2, v 3, v 5, v 6, v 2 ) C 4

95 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη

96 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη Θα βρούμε έναν κύκλο με μέγεθος δ(g) + 1

97 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη Θα βρούμε έναν κύκλο με μέγεθος δ(g) + 1 Έστω P = (v 1,, v k ) ένα μονοπάτι του G με μέγιστο μήκος

98 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη Θα βρούμε έναν κύκλο με μέγεθος δ(g) + 1 Έστω P = (v 1,, v k ) ένα μονοπάτι του G με μέγιστο μήκος Ισχύει N(v 1 ) P (ΓΙΑΤΙ?)

99 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη Θα βρούμε έναν κύκλο με μέγεθος δ(g) + 1 Έστω P = (v 1,, v k ) ένα μονοπάτι του G με μέγιστο μήκος Ισχύει N(v 1 ) P (ΓΙΑΤΙ?) deg(v 1 ) = N(v 1 ) δ(g) G[N[v 1 ]] κύκλο μεγέθους δ(g) + 1

100 Περίμετρος - Περιφέρεια: δ(g) crm(g) 1 Θεώρημα Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι δ(g) crm(g) 1 Απόδειξη Θα βρούμε έναν κύκλο με μέγεθος δ(g) + 1 Έστω P = (v 1,, v k ) ένα μονοπάτι του G με μέγιστο μήκος Ισχύει N(v 1 ) P (ΓΙΑΤΙ?) deg(v 1 ) = N(v 1 ) δ(g) G[N[v 1 ]] κύκλο μεγέθους δ(g) + 1 δ(g) + 1 crm(g)

101 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη

102 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n )

103 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο

104 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο Υπόθεση: ισχύει για κάθε γράφημα G με V(G) n 1

105 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο Υπόθεση: ισχύει για κάθε γράφημα G με V(G) n 1 Επαγωγικό βήμα: για V(G) = n:

106 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο Υπόθεση: ισχύει για κάθε γράφημα G με V(G) n 1 Επαγωγικό βήμα: για V(G) = n: Αν δ(g) 2 τότε από το Θεώρημα (δ(g) crm(g) 1) ισχύει

107 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο Υπόθεση: ισχύει για κάθε γράφημα G με V(G) n 1 Επαγωγικό βήμα: για V(G) = n: Αν δ(g) 2 τότε από το Θεώρημα (δ(g) crm(g) 1) ισχύει Αν δ(g) 1 τότε υπάρχει κορυφή v με deg(v) 1 Το G v έχει n 1 κορυφές και ε(g v) 1

108 Περίμετρος - Περιφέρεια: ε(g) 1 κύκλος Λήμμα Κάθε γράφημα G με πυκνότητα ε(g) 1 περιέχει κύκλο Απόδειξη Πρέπει νδο αν m n τότε το γράφημα έχει κύκλο (ε(g) = m n ) Επαγωγικά ως προς το n: Βάση: κάθε γράφημα με n 3 και m 3 έχει κύκλο Υπόθεση: ισχύει για κάθε γράφημα G με V(G) n 1 Επαγωγικό βήμα: για V(G) = n: Αν δ(g) 2 τότε από το Θεώρημα (δ(g) crm(g) 1) ισχύει Αν δ(g) 1 τότε υπάρχει κορυφή v με deg(v) 1 Το G v έχει n 1 κορυφές και ε(g v) 1 Εφαρμόζουμε επαγωγικά την Υπόθεση στο G v κύκλος στο G v που παραμένει και στο G

109 Σύνοψη Κεφαλαίου 1 G = (V, E) n = V(G) m = E(G) N(v) deg G (v) deg(v) = 0 deg(v) = 1 deg(v) = n 1 δ(g), Δ(G) ε(g) = m n K n, P n, C n K p,q G[S] G Συμβολισμοί ecc(v) dia(g), rad(g) cent(g) far(g) dist(u, v) crm(g) gir(g)

110 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Τέλος Ενότητας

111 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων, Διδάσκων: Λέκτορας Χάρης Παπαδόπουλος «Θεωρία Γραφημάτων» Έκδοση: 10 Ιωάννινα 2014 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Παρόμοια Διανομή, Διεθνής Έκδοση 40 [1] ή μεταγενέστερη [1] https://creativecommonsorg/licenses/by-sa/40/

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Δακτύλιοι, Ακέραιες Περιοχές, Σώματα Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Προκαταρκτικές Έννοιες 1.1 Δακτύλιοι,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα

Διαβάστε περισσότερα

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

E(G) 2(k 1) = 2k 3. Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Χαρακτηρισµοί Πεπερασµένων Κυκλικών Οµάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 233 4. Χαρακτηρισµοί

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs) Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα. Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 3: Εισαγωγή (Πράξεις) Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Εφαρµογές της Κανονικής Μορφής Jordan Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 46 8 Εφαρµογές της Κανονικής

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων

Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μικροβιολογία & Υγιεινή Τροφίμων Μικροοργανισμοί που ελέγχονται ανά είδος τροφίμου Διδάσκοντες: Καθ. Χρυσάνθη Παπαδοπούλου, Λέκτορας Ηρακλής Σακκάς Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 2 Η ΔΙΑΛΕΞΗ Βασικές Έννοιες Γράφων - Ορισμοί (συνέχεια) - Ισομορφισμοί-Ομοιομορφισμοί Γράφων - Πράξεις - Αναπαράσταση Γράφων (Πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 48 / 71 Μονοπα τια-κυ κλοι και Αποστα σεις Έστω ε

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ομομορφισμοί και Πηλικοδάκτυλιοι Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 14 Ο Π Ιδιαιτέρως, αν τα f(x), g(x) είναι σχετικώς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0},

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Επιλύσιμες Ομάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Επιλύσιμες Ομάδες 41 Προκαταρκτικές Έννοιες 411 Ορισμός και Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Το Θεώρημα του Fubini. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης

Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ. Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Τίτλος Μαθήματος: Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές IΙΙ Ενότητα: Παράγωγοι και ολοκληρώματα Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Αθανάσιος Σταυρακούδης Τμήμα: Οικονομικών Επιστημών Ολοκληρώματα με το πρόγραμμα Maima Αθανάσιος

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 12: Αντιστοιχίσεις και καλύμματα Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Πιθανότητες. Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Πιθανότητες Συνδυαστική Ανάλυση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες

Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Γραμμική Άλγεβρα Ενότητα 2: Εισαγωγικές έννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τμήμα Πληροφορικής Μέρος I Εναρξη μαθήματος Γραμμική άλγεβρα Ι Ευάγγελος Ράπτης 1 Τα παρακάτω κείμενα, γράφονται και ενημερώνονται καθημερινά

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος

Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής. Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές ΙΙ Ενότητα: Ο Δακτύλιος Πολυωνύμων μιας Μεταβλητής Διδάσκων: Καθηγητής Μαρμαρίδης Νικόλαος - Θεοδόσιος Τμήμα: Μαθηματικών 12 Ο Δ Π Μ δακτύλιο με τις πράξεις τού R και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ Ενότητα #7: Μονοτονία- Ακρότατα-Αντιγραφή Εβελίνα Κοσσιέρη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο Γινοµένου Πινάκων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 4 Μέρος 1. Η οµή Ενός

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 3: Εφαρμογές Δικτυωτής Ανάλυσης (2 ο Μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων

Θεωρία και Αλγόριθμοι Γράφων ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 2: Εισαγωγή (Ορισμοί) Ιωάννης Μανωλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 205 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22 Εισαγωγη Διδα σκων: Αντω νιος Συμβω νης ΣΕΜΦΕ, κτι

Διαβάστε περισσότερα

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5: Τεχνικές απόδειξης & Κλειστότητα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 5: Γραφήματα. Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα