Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ

Transcript

1 Διάλεξη 3: Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη 3. Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 3. Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος αν = G[V ()]. Δηλαδή, εναγόμενος κύκλος είναι κύκλος ο οποίος δεν έχει χορδές. Βλ. Σχήμα 3. για ένα παράδειγμα εναγόμενου κύκλου. G G 2 Σχήμα 3.: Ο G περιέχει εναγόμενο κύκλο 6, ο G 2 περιέχει ένα υπογράφημα ισόμορφο με το 6 που δεν είναι εναγόμενο υπογράφημα. Λήμμα 3. Εστω κύκλος σε επίπεδο γράφημα G = (V, E) τ.ώ. G, G \ είναι συνεκτικό και το γράφημα G δεν είναι ο κύκλος συν μια χορδή. Τότε ο ορίζει το σύνορο όψης σε κάθε εμβάπτιση του G στο επίπεδο, αν και μόνο αν ο είναι εναγόμενος κύκλος και δεν είναι διαχωριστής. Απόδειξη: : Εστω εμβάπτιση Γ του G στο επίπεδο. Αφού το G \ συνεκτικό, από το Θεώρημα του Jordan (Θεώρημα.) θα περιέχεται εξολοκλήρου είτε στο εσωτερικό του δίσκου D που ορίζει ο στη Γ (βλ. Σχήμα 3.2) είτε στο R 2 \ D. Σε κάθε περίπτωση, η «άλλη» περιοχή του R 2 \, δηλαδή αυτή που δεν περιέχει το G \, είναι μία όψη που έχει ως σύνορο το, διότι δεν υπάρχουν χορδές (βλ. Σχήμα 3.3). : (χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αντιθετοαντιστροφής) Εστω ο κύκλος δεν είναι εναγόμενος ή το G \ δεν είναι συνεκτικό. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: Περίπτωση : Ο δεν είναι εναγόμενος, δηλαδή υπάρχει χορδή c του στο G. Αφού G c, είτε ο G έχει κορυφή εκτός του ή το G περιέχει χορδή d του όπου d c. 3-

2 Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορρέουν απο Θεώρημα του Jordan. Αριστερά: το G\ περιέχεται στο εσωτερικό του δίσκου D. Δεξιά: το G \ περιέχεται στο R 2 \ D. Η μη ύπαρξη χορδών και στις δύο περιπτώσεις περιγράφεται σχηματικά. Στην αριστερή εικόνα η απουσία χορδών είναι προφανής, ενώ στη δεξιά, επισημαίνεται με την ύπαρξη των δύο πράσινων κόμβων.

3 Διάλεξη 3: Θεωρούμε εμβάπτιση Γ του γραφήματος G, στην οποία ο ορίζει όψη f (βλ. Σχήμα 3.4). (Αν δεν υπάρχει τέτοια εμβάπτιση τότε αποδείχθηκε.) d f c Σχήμα 3.4: Εμβάπτιση Γ στην οποία ο ορίζει όψη. Τροποποιούμε τη Γ σχεδιάζοντας τη c μέσα στην όψη f. Παίρνουμε εμβάπτιση Γ στην οποία ο δεν ορίζει όψη και έξω από τον δίσκο που ορίζει ο θα βρίσκεται η κορυφή ή η χορδή d (βλ. Σχήμα 3.5). d c Σχήμα 3.5: Εμβάπτιση Γ στην οποία δεν ορίζει όψη ο. Περίπτωση 2: Το G \ έχει τουλάχιστον δύο συνιστώσες. Υποθέτουμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι έχει ακριβώς δύο συνιστώσες,. Εστω η εμβάπτιση Γ στην οποία ορίζει όψη ο. Από την Α παίρνουμε τις «εναγόμενες» εμβαπτίσεις Γ του G \ = και Γ του G \ = (βλ. Σχήμα 3.6). Σχήμα 3.6: Εμβάπτιση Γ στην οποία ορίζει όψη ο Χ.β.τ.γ., υποθέτουμε επίσης ότι ο ορίζει την εξωτερική όψη στη Γ και μη εξωτερική όψη στη Γ (βλ. Σχήμα 3.7). Συνδυάζουμε τις Γ και Γ «συγκολλώντας» τες στον. Με άλλα λόγια επεκτείνουμε την Γ σε εμβάπτιση όλου του G «προσθέτοντας» τη Γ στο εσωτερικό της όψης που ορίζει ο (βλ. Σχήμα 3.8).

4 Διάλεξη 3: Σχήμα 3.7: Εμβαπτίσεις Γ (αριστερά στο σχήμα), Γ (δεξιά στο σχήμα) Σχήμα 3.8: Συνδυασμός εμβαπτίσεων Γ και Γ σε μία εμβάπτιση. Παρατήρηση 3. Αποκλείεται G \ = γιατί μια από τις υποθέσεις μας είναι G. Υπενθυμίζουμε ότι το κενό γράφημα δεν είναι συνεκτικό. Παρατήρηση 3.2 Αν G = ή G = d, όπου d είναι χορδή του κύκλου, τότε το G δεν είναι 3-συνεκτικό. Πόρισμα 3. Ενας κύκλος ενός 3-συνεκτικού γραφήματος ορίζει όψη σε κάθε εμβάπτιση αν και μόνο αν ο είναι εναγόμενος κύκλος και δεν είναι διαχωριστής. 3.2 Θεώρημα του Whitney Θεώρημα 3. (Whitney, 932) Ολες οι εμβαπτίσεις ενός 3-συνεκτικού γραφήματος είναι ισοδύναμες. Απόδειξη: Εστω G ένα 3-συνεκτικό γράφημα. Υποθέτουμε ότι υπάρχουν δύο εμβαπτίσεις Γ και Γ 2 του G, οι οποίες δεν είναι ισοδύναμες. Τότε υπάρχει, όπου κύκλος =(v,...,v k ), k 3, που ορίζει όψη στη Γ αλλά όχι στη Γ 2. Από το Πόρισμα 3., ο ή έχει χορδή ή είναι διαχωριστής. Περίπτωση : Ο έχει χορδή {v i, v j } με j i + 2. Ορίζουμε επίσης: := {v x i < x < j} και := {v x x > i ή x > j}. Ισχύει ότι, δεδομένου ότι v i, v j δεν είναι γειτονικά στο. Αφού Γ είναι 3-συνεκτικό, υπάρχει τουλάχιστον ένα - μονοπάτι P που δεν χρησιμοποιεί τα v i, v j (βλ. Σχήμα 3.9). Εστω a η τελευταία κορυφή του P που ανήκει στο και στο. Αφού το ορίζει όψη f στη Γ μπορούμε να προσθέσουμε κορυφη μέσα στην όψη f και να την συνδέσουμε με τέσσερις διακεκριμένες (disjoint) καμπύλες με τις v i,v j,a, (βλ. Σχήμα 3.). Βρήκαμε λοιπόν, επίπεδο γράφημα G G που περιέχει το K 5 ως έλασσον ή υποδιαίρεση (βλ. Σχήμα 3.). Ομως το G είναι επίπεδο. Οδηγηθήκαμε λοιπόν σε άτοπο. Περίπτωση 2: Ο είναι διαχωριστής, άρα το G \ περιέχει δύο συνιστώσες και. Θεωρούμε εμβάπτιση Γ στην οποία ο ορίζει όψη f. Χ.β.τ.γ. η f δεν είναι εξωτερική άρα και το Α και το Β

5 Διάλεξη 3: v j a P v i Σχήμα 3.9: Σχηματική αναπαράσταση Περίπτωσης της απόδειξης του Θεωρήματος, εστιάζοντας στην ύπαρξη μονοπατιού P, το οποίο δεν χρησιμοποιεί τις κορυφές v i, v j. v j v i a P Σχήμα 3.: Εστιάζουμε στην αναπαράσταση της κορυφής μέσα στην όψη f και τη σύνδεσή της με τις προαναφερθείσες κορυφές. a v j v i Σχήμα 3.: Παρουσιάζεται το υπογράφημα του G που έχει σαν έλασσον το K 5

6 Διάλεξη 3: είναι εμβαπτισμένα εξωτερικά της f. Διαλέγουμε a V () και V (). Από το Θεώρημα του Menger «εκδοχή με κορυφές» (Θεώρημα 6.) υπάρχουν τουλάχιστον 3 εσωτερικά διακεκριμένα μονοπάτια P, P 2, P 3, απο το a στο. Επίσης ορίζουμε τη c i ως την πρώτη κορυφή του P i στον κύκλο, όπου i =,2,3. Βρήκαμε μια υποδιαίρεση του K 2,3 στο G. Επειτα προσθέτουμε τη στο εσωτερικό της όψης f και ενώνουμε με τρείς διακεκριμένες καμπύλες με τα c, c 2, c 3 (βλ. Σχήμα 3.2). Παρατηρούμε ότι πήραμε ενεπίπεδο γράφημα G G που περιέχει υποδιαίρεση του K 3,3. Οδηγηθήκαμε σε άτοπο. c P a c 2 P 2 c 3 P 3 Σχήμα 3.2: Σχηματική αναπαράσταση μονοπατιών P i και κορυφών c i, i =, 2, 3, και «σχέση» με την κορυφή.