Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη
|
|
- Λύσανδρος Βλαχόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
2 Χρωματισμοί γραφημάτων Χρωματισμός κορυφών k-χρωματισμός: Έστω γράφημα G. Η συνάρτηση χ : V (G) [1,..., k] ονομάζεται k-χρωματισμός του G αν για κάθε ακμή e = (u, v) E(G) ισχύει ότι χ(u) χ(v). Χρωματικές κλάσεις: Έστω ένα γράφημα G και έστω χ ένας k-χρωματισμός του. Τα σύνολα κορυφών χ 1 (1), χ 1 (2),, χ 1 (k) ονομάζονται χρωματικές κλάσεις του G. Χρωματικός αριθμός: Έστω ένα γράφημα G. Ο χρωματικός αριθμός χ(g) του γραφήματος G είναι ο μικρότερος ακέραιος k για τον οποίο ισχύει ότι το G είναι k-χρωματίσιμο. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
3 Παραδείγματα: (2) G 1 G 2 (2) (2) (1) (2) χ(g 1 ) = 2 (4) (1) (3) χ(g 2 ) = 4 G 3 (2) (1) (2) G 4 (3) (2) (5) (2) χ(g 3 ) = 5 χ(k n ) = n χ(g 4 ) = 3 Το G 4 είναι ένα τριμερές γράφημα. (4) (3) Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
4 Λήμμα 8.1: Έστω γράφημα G το οποίο έχει ως επαγόμενο υπογράφημά του το πλήρες γράφημα k κορυφών K k. Τότε χ(g) k. Απόδειξη : Έστω ότι υπάρχει σύνολο S V (G) με S = k και το υπογράφημα H του G το οποίο επάγεται από τις κορυφές του S είναι πλήρες. Έστω ότι υπάρχει ένας l-χρωματισμός του G, l < k. Τότε, τουλάχιστον δύο κορυφές του H έχουν το ίδιο χρώμα. Λόγω του ότι το H είναι πλήρες γράφημα, οι κορυφές αυτές ενώνονται με ακμή. Άρα, ο l-χρωματισμός του G δεν είναι νόμιμος. Άτοπο. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
5 Πλήρες k-μερές: Το γράφημα K p1,p 2,...,p k = K p1 K p2 K pk, k 2, όπου p 1, p 2,, p k ακέραιοι, ονομάζεται πλήρες k-μερές γράφημα. Τα σύνολα κορυφών V (K p1 ),, V (K pk ) είναι τα μέρη του K p1,p 2,...,p k. k-μερές γράφημα: Ένα παραγόμενο υπογράφημα ενός πλήρους k-μερούς γραφήματος. Λήμμα 8.2: Έστω το γράφημα K p1,p 2,...,p k. Τότε ισχύει: i. V (K p1,p 2,...,p k ) = p 1 + p p k [= n] k ii. E(K p1,p 2,...,p k ) = 1 2 (n2 p 2 i ) i=1 Απόδειξη : k k k k k k ii. E = 1 p 2 i (n p i ) = 1 2 ( p i n p 2 i ) = 1 2 (n p i p 2 i ) = 1 2 (n2 p 2 i ) i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
6 Λήμμα 8.3: Έστω γράφημα G. To G είναι k-χρωματίσιμο ανν το G είναι k-μερές. Απόδειξη : Έστω χ : V (G) {1, 2,..., k} ένας k-χρωματισμός του G. Έστω χ 1 (1), χ 1 (2),, χ 1 (k) οι χρωματικές κλάσεις του G. Κορυφές που ανήκουν στην ίδια χρωματική κλάση δεν ενώνονται με ακμή. Το G είναι παραγόμενο υπογράφημα του K p1,p 2,...,p k όπου p i = χ 1, 1 i k. Άρα το G είναι k-μερές. Έστω ότι το G είναι k-μερές και έστω V 1, V 2,, V k τα k μέρη του. Ο χρωματισμός χ : χ(v) = i v V i είναι ένας k-χρωματισμός του G. Άρα το G είναι k-χρωματίσιμο. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
7 Λήμμα 8.4: Έστω γράφημα G. Ισχύει ότι χ(g) n2 n 2, όπου n = V (G) και m = E(G). 2m Απόδειξη : Έστω χ(g) = k. Το G είναι k-μερές. [Λήμμα 8.3.] Το G είναι παραγόμενο υπογράφημα του K p1,p 2,...,p k. m E(K p1,p 2,...,p k ) Λήμμα 8.2 = k 1 2 (n2 p 2 i ) i=1 k k 1 2 (n2 n2 k ) [γιατί p 2 i 1 k ( p i ) 2 = n2 k ] i=1 i=1 Αρα, m 1 2 (n2 n2 k ) k n2 χ(g) n 2 2m n2 n 2 2m Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
8 Κρίσιμο γράφημα: Έστω γράφημα G. Το G ονομάζεται κρίσιμο αν για κάθε υπογράφημα H G ισχύει ότι χ(g) > χ(h). Παράδειγμα: (Κρίσιμα γραφήματα.) G C 5 K 5 Ένα κρίσιμο γράφημα είναι ελαχιστοτικό γράφημα ως προς τον χρωματικό αριθμό. Λήμμα 8.5: Έστω κρίσιμο γράφημα G. Ισχύει ότι χ(g) δ(g) + 1. Απόδειξη [Με άτοπο.]: Έστω χ(g) > δ(g) + 1. Έστω κορυφή u V (G) με d(u) = δ(g). d(u) < χ(g) 1 Το G είναι κρίσιμο. χ(g u) = χ(g) 1 Έστω χρωματισμός του G u με χ(g) 1 χρώματα. Υπάρχει χρώμα, έστω c, που δεν χρησιμοποιείται στους γείτονες της u. Μπορώ να χρωματίσω το u με το χρώμα c και άρα το G με χ(g) 1 χρώματα. Άτοπο. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
9 Θεώρημα 8.6 : Έστω γράφημα G. Τότε χ(g) (G) + 1. Απόδειξη [Με επαγωγή]: Θα δείξουμε ότι το G είναι ( (G) + 1)-χρωματίσιμο. Βάση: Κάθε γράφημα με (G) + 1 κορυφές είναι ( (G) + 1)-χρωματίσιμο. Ε.Υ. Κάθε γράφημα G με < n κορυφές είναι ( (G) + 1)-χρωματίσιμο. Ε.Β. Έστω γράφημα G με n κορυφές. Έστω αυθαίρετη κορυφή u και έστω το γράφημα G u. Το G u είναι ( (G) + 1)-χρωματίσιμο. Υπάρχει χρώμα, έστω c που δεν χρησιμοποιούν οι γείτονες της u. Χρωματίζοντας την u με το χρώμα c, λαμβάνω ένα νόμιμο χρωματισμό για το γράφημα G με (G) + 1 χρώματα. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
10 Θεώρημα 8.7 [Brooks, 1941]: Έστω συνεκτικό γράφημα G που δεν είναι πλήρες ούτε είναι περιττού μήκους κύκλος. Τότε χ(g) (G). Απόδειξη [Με επαγωγή στο V (G) ]: Θα δείξουμε ότι το G είναι (G)-χρωματίσιμο. Βάση: Ισχύει για γραφήματα με n = 1, n = 2, n = 3 κορυφές. Ε.Υ. Έστω ότι όλα τα γραφήματα G με n 1 κορυφές είναι (G)-χρωματίσιμα. Ε.Β. Θα δείξω ότι όλα τα γραφήματα με n κορυφές είναι (G)-χρωματίσιμα. Έστω γράφημα G με (G) = k. Περίπτωση 1: Υπάρχει κορυφή v V (G) με βαθμό d(v) < k. Θεωρώ το G v και το χρωματίζω αναδρομικά. Υπάρχει χρώμα λ που δεν χρησιμοποιούν οι < k γείτονες της v. Χρωματίζω την v με το χρώμα λ. Περίπτωση 2: Όλες οι κορυφές του G έχουν βαθμό k. [Το G είναι k-κανονικό γράφημα.] Έστω το G {v} V (G {v} = n 1, (G {v}) = (G) = k Το G {v} είναι k-χρωματίσιμο Θα δείξουμε πώς να χρωματίσουμε το G με k χρώματα. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
11 Περίπτωση 2a: Υπάρχουν δύο γειτονικές κορυφές της v που έχουν το ίδιο χρώμα. v 1 Κάποιο χρώμα, έστω λ, δεν χρησιμοποιείται στον χρωματισμό των γειτόνων της v (στο χρωματισμό του G {v}). Χρωμάτισε την v με λ. v k v v 2 Περίπτωση 2b: Όλοι οι γείτονες της v έχουν διαφορετικό χρώμα. Έστω χ(v i ) = i. G ij : Το γράφημα που επάγεται από τις κορυφές με χρώμα i και χρώμα j. Περίπτωση 2b1: Οι κορυφές v i και v j ανήκουν σε διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες, έστω C i, C j του G ij. v 1 v 1 v k v 2 v k v v v j v i v j v i (j) (j) (j) (j) (j) (j) C j C i C j (j) C i Άλλαξε τα χρώματα (i j) στην C i. Το γράφημα παραμένει νόμιμα χρωματισμένο. Χρωμάτισε την v με χρώμα i. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183 v 2
12 Περίπτωση 2b2: Οι κορυφές v i και v j ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα, έστω C ij, για κάθε ζεύγος i, j του G ij. v i, v j υπάρχει (v i, v j ) μονοπάτι στην C ij. Περίπτωση 2b2a: d(v i ) 2 στην C ij. v v v i y (j) x(j) v j v i (λ) y (j) x(j) v j C ij Έστω x, y N Cij (v i ) με τουλάχιστον μια από τις x, y διαφορετική από την v j. χ(x) = χ(y) = j d Cij (v j ) (G) 1. [Λείπει η ακμή (v, v i ).] Υπάρχει κάποιο χρώμα, έστω λ, διαφορετικό από το i, το οποίο δεν χρησιμοποιείται από κανένα γείτονα του v i στο G. Φτιάξε νέο χρωματισμό του G όπου: χ(v i ) = λ χ(v) = i C ij Περίπτωση 2b2b: d(v i ) = 1 στην C ij. [Όμοια, d(v j ) = 1 στην C ij.] Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
13 Περίπτωση 2b2b1: Υπάρχει w C ij (διαφορετικό από τα v i, v j, στο μονοπάτι από το v i στο v j ): d Cij (w) 3. v i w v j v i w (λ) v j C ij Έστω το πιο κοντινό στο v i τέτοιο w. Έστω χ(w) = j. Τότε όλοι οι γείτονες του w έχουν χρώμα i. Επειδή έχω 3 γείτονες του w με χρώμα i περισσεύουν 2 χρώματα τα οποία δεν χρησιμοποιούνται για τους γείτονες του w, ένα εκ των οποίων είναι διαφορετικό του j. Έστω λ το χρώμα αυτό. Χρωματίζω το w με το χρώμα λ Τότε τα v i και v j βρίσκονται σε διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες του G ij. Το γράφημα G μπορεί να χρωματιστεί με (G) χρώματα [περίπτωση 2b1]. Περίπτωση 2b2b2: d Cij (w) = 2, w C ij. [w / {v i, v j }] Στην περίπτωση αυτή η συνιστώσα C ij στην οποία ανήκουν οι v i, v j, για κάθε ζεύγος i, j, i j είναι ένα μονοπάτι με τα v i και v j στα άκρα του. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
14 Έστω οι συνιστώσες C ij, C jl των G ij, G jl Περίπτωση 2b2b2a: Τα μονοπάτια C ij και C jl έχουν κοινή κορυφή διαφορετική από την v j Έστω x μια κοινή κορυφή των δυο μονοπατιών (διαφορετική από την v j ) v i (j) x v l v j v i (λ) x χ(x) = j Η x έχει 2 γείτονες με χρώμα i και 2 γείτονες με χρώμα l Οι γείτονες της x δεν χρησιμοποιούν 2 χρώματα εκ των οποίων ένα είναι διαφορετικό του j. Έστω λ το αχρησιμοποίητο χρώμα Χρωματίζουμε την x με το χρώμα λ Τότε, οι v i και v j βρίσκονται σε διαφορετικές συνιστώσες του G ij Υπάρχει χρωματισμός του G με (G) χρώματα [περίπτωση 2b1] v l v j Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
15 Περίπτωση 2b2b2b: Τα μονοπάτια C ij, C jl έχουν μόνη κοινή κορυφή την v j v j w (j) v i (j) v j w (j) v i (j) (j) v l Έστω w η γειτονική της v j κορυφή στο μονοπάτι C ij (v j v i ) Στο μονοπάτι C jl (v j v l ) ανταλλάσσω τα χρώματα j με l Στον νέο χρωματισμό, έστω h θεωρώ την συνιστώσα C h v i v j που ενώνει τις κορυφές v i με v j Η C h v i v j περιλαμβάνει κόμβους με χρώματα l και i. Λόγω του ότι ο βαθμός του v j στην C h v i v j είναι ίσος με 1, και η w είναι γειτονική στην v j και το χρώμα της w είναι i, η ανήκει στο μονοπάτι C h v i v j (v j v i ) Η C h v i v l περιλαμβάνει κόμβους με χρώματα i και j. Λόγω του ότι ο βαθμός της v i στο C h v i v l είναι ίσος με 1, και οι βαθμοί όλων των κορυφών του μονοπατιού είναι ίσοι με 2, και ότι το παλιό μονοπάτι από την v i προς την w εξακολουθεί να είναι στο G ij, η w ανήκει (j) v l στην C h v i v l Στην περίπτωση αυτή, μπορούμε να βρούμε χρωματισμό του G [περίπτωση 2b2b2a] Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
16 Περίπτωση 2b2b3: Δεν υπάρχει w C ij στο μονοπάτι από το v i στο v j, δηλαδή, η C ij αποτελείται από την ακμή (v i, v j ). Επειδή αυτό συμβαίνει για όλα τα ζεύγη v i, v j, οι k γείτονες του v σχηματίζουν ένα πλήρες γράφημα. Η v με τους γείτονες της σχηματίζει ένα πλήρες γράφημα. Αυτό συμβαίνει για κάθε v V. Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να βρούμε μία κορυφή v η αφαίρεση της οποίας από το G δεν θα οδηγούσε στην παρούσα περίπτωση. Το G είναι πλήρες γράφημα.[γιατί;] Αυτό αντιβαίνει την υπόθεση του θεωρήματος, συνεπώς, η παρούσα περίπτωση δεν μπορεί να συμβεί. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Φεβρουάριος / 183
Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 3η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραχ(k n ) = n χ(c 5 ) = 3
Διάλεξη 20: 16.12.26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιώτης Ρεπούσκος 20.1 Βασικές Ιδιότητες Θεώρημα 20.1 Για ένα πλέγμα Γ r r, ισχύει ότι bn(γ r r ) r + 1. Απόδειξη: Κατασκευάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Ενότητα 7 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros Εισαγωγή Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών. Χρωματική τάξη (color class):
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,
Διαβάστε περισσότεραE(G) 2(k 1) = 2k 3.
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,
Διαβάστε περισσότεραz 1 E(G) 2(k 1) = 2k 3. x z 2 H 1 H 2
Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραe 2 S F = [V (H), V (H)]. 3-1 e 1 e 3
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Λίβανος & Σ. Κ. 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (edge-separator) ενός γραφήματος =
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη
Διαβάστε περισσότεραq(g \ S ) = q(g \ S) S + d = S.
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος & Σ. Κ. Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραd(v) = 3 S. q(g \ S) S
Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 9 η Διάλεξη Χρωματισμός γράφων Θεωρήματα Τεχνικές Εφαρμογές Βασικές Εννοιές (1) Πρόβλημα του χρωματισμού των κορυφών ετσι ώστε κανένα ζεύγος
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΣειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις
ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες
Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από
Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)
Διαβάστε περισσότεραΕπαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα
ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη
Διαβάστε περισσότερα2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι
Διαβάστε περισσότεραΔιμερή γραφήματα και ταιριάσματα
Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση
Διαβάστε περισσότεραjτο πλήθος των ταξιδιών που κάνει η αεροσυνοδός µέχρι την j ηµέρα. Σχηµατίζω µία ακολουθία που αποτελείται από τα a.
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου, Θ Λιανέας η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα
Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και
Διαβάστε περισσότεραΒασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων
Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων
Διαβάστε περισσότερα... a b c d. b d a c
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΑΚΡΙΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ιδάσκοντες: Φωτάκης, Σούλιου η Γραπτή Εργασία Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) α) Σε ένα διάστηµα
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 7: X Y Σχήμα 7.2: Παράδειγμα για το Πόρισμα 7.2, όπου: 1 = {1, 2, 5}, 2 = {1, 2, 3}, 3 = {4}, 4 = {1, 3, 4}. Θ
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης & Σ. Κ. 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Δίνεται διμερές
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα
Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω
Διαβάστε περισσότεραΚατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)
Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την
Διαβάστε περισσότεραΘεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 05 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 99 / 0 Χρωματισμο ς Ακμω ν k-χρωματισμός ακμών: Η ανα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα
Αλγόριθμοι για ανάθεση συχνοτήτων και έλεγχο αποδοχής κλήσεων σε κυψελικά ασύρματα δίκτυα (μέρος ΙIΙ) Έλεγχος αποδοχής κλήσεων Οάπληστος(Greedy) αλγόριθμος ελέγχου αποδοχής κλήσεων Ο αλγόριθμος ταξινόμησης
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)
Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών
Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΧρωματισμός γραφημάτων
Χρωματισμός γραφημάτων Χρωματισμός γραφημάτων Έστω γράφημα G Αποδίδουμε 1 ακριβώς χρώμα σε κάθε κορυφή του G έτσι ώστε κορυφές που συνδέονται με ακμή να λαμβάνουν διαφορετικά χρώματα Χρωματισμός γραφημάτων
Διαβάστε περισσότεραΦροντιστήριο 11 Λύσεις
Άσκηση 1 Φροντιστήριο 11 Λύσεις Να αποδείξετε ότι η κλάση Ρ είναι κλειστή ως προς τις πράξεις της ένωσης, της συναρμογής και του συμπληρώματος. Θα πρέπει να δείξουμε ότι: (α) Ένωση: Αν οι Λ 1 και Λ 2 είναι
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραS A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S
Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα
Διαβάστε περισσότεραΜονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.
Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα (planar graphs)
Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων
ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 13: D Σχήμα 13.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 13.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων πο
Διάλεξη 13: 25.11.26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη & Σ. Κ. 13.1 Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 13.1 Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.
Διαβάστε περισσότεραΤομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα
Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΕΘΝΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΟΜΑΔΑ Α
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΤΗ 7 Ιουνίου 008 ΔΙΕΘΝΗ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Να απαντήσετε σε 3 θέματα από την ομάδα
Διαβάστε περισσότεραm = 18 και m = G 2
Διάλεξη 11: 2.11.201 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιώτης Ρεπούσκος 11.1 Βασικές Ιδιότητες Θεώρημα 11.1 (Τύπος του Eulr, 172) Αν ένα συνεκτικό ενεπίπεδο γράφημα έχει n κορυφές,
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ
Διάλεξη 3: 25..26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη 3. Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 3. Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος αν = G[V ()].
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραy(p) = 0 y(p) = 0 y(p) = 0
Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Θεωρία μέτρησης Polya Ι 1 / 21 Οι έξι όψεις ενός κύβου θα χρωματιστούν με 6 διαφορετικά χρώματα, κάθε όψη με ένα διαφορετικό χρώμα. Με πόσους τρόπους μπορεί να γίνει αυτό
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..
Διαβάστε περισσότεραΕπαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα
ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη προτασιακή
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com
Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό
Διαβάστε περισσότεραέντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017
Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Σεπτέμβριος 2017 Όλα τα γραφήματα είναι μη-κατευθυνόμενα, αν δεν αναφέρεται κάτι άλλο. ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις».
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)
Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.
Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 8.1 Εισαγωγή 8.2 Χρωματισμός Κόμβων 8.3 Χρωματισμός Ακμών 8.4 Χρωματισμός Επιπέδων Γραφημάτων και Χαρτών 8.5 Χρωματικά Πολυώνυμα 8.6 Σειριακός και άλλοι Αλγόριθμοι Χρωματισμού
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΝΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 3 ΘΕΜΑ: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Επίκουρος Καθηγητής ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΔυναμικός προγραμματισμός για δέντρα
ΘΕ5 Ιδιότητες Δέντρων και Αναδρομή για Δέντρα Δυναμικός προγραμματισμός για δέντρα Έστω ότι, για k=1,..., m, το γράφημα Γ k = (V k, E k ) είναι δέντρο. Έστω w V 1... V m, z k V k, για k=1,..., m. Συμβολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ
Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)
Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Διατύπωση Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη από κλέφτες. Σε
Διαβάστε περισσότεραX i, i I Y j, j J. X i. Z j P = (J, B) G T = (I, J) 1 2 i i + 1 n. 1 i V
Θεωρία Γραφημάτων Διάλεξη 19: 14.12.2016 και 15.12.2016 Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Αγγελική Χαντζηθάνου 19.1 Σχέση πλάτους μονοπατιού και δενδροπλάτους Πρόταση 19.1 Το πλέγμα Γ n n έχει πλάτος
Διαβάστε περισσότεραΑναζήτηση Κατά Πλάτος
Αναζήτηση Κατά Πλάτος Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήµατα Μοντελοποίηση πολλών σηµαντικών προβληµάτων (π.χ. δίκτυα
Διαβάστε περισσότεραΤυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis
Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1
Διαβάστε περισσότεραβασικές έννοιες (τόμος Β)
θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραP = (J, B) T = (I, A) P = (J, B) G = (V, E) i 1 i i + 1
Θεωρία Γραφημάτων Διάλεξη 19: 14.12.2016 και 15.12.2016 Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Αγγελική Χαντζηθάνου & Σ. Κ. 19.1 Σχέση πλάτους μονοπατιού και δενδροπλάτους Πρόταση 19.1 Το πλέγμα Γ n n
Διαβάστε περισσότεραΣημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.
ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που
Διαβάστε περισσότεραΘεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη
Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 5η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 107 / 122 Δε νδρα Δένδρο: Ένα γρα φημα το οποι ο
Διαβάστε περισσότερα(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς
Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) (α) Επιλέγουµε αυθαίρετα φυσικούς αριθµούς από το σύνολο {,,3,, 3, } Να δείξετε ότι µεταξύ των αριθµών που έχουµε επιλέξει υπάρχει πάντα ένα ζευγάρι όπου ο µεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;
ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων
Διαβάστε περισσότερα