ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων"

Transcript

1 ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

2 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια, ικανοποιητικό αποτέλεσμα. Αρκετές πολύ καλές ή άριστες εργασίες. Οι περισσότερες εργασίες έδειχναν σημαντική προσπάθεια. Δυσκολίες στα ερ. 1.α (και 1.β.ii), ερ. 3 και ερ. 4.ii (και κάποια μικρότερα προβλήματα στο ερ. 5). Υπήρχαν απαντήσεις που φανέρωναν περιορισμένη ενασχόληση. Εν όψει εξετάσεων, σημαντικό να εστιάσετε σε: Διατύπωση ιδιοτήτων σε πρωτοβάθμια γλώσσα (π.χ., ερ. 1 και 2). Σημασιολογική προσέγγιση (ικανοποιησιμότητα σε δεδομένη ερμηνεία, λογική εγκυρότητα, διατύπωση δομών που ικανοποιούν έναν τύπο, π.χ., ερ. 3 και 5). Με την παράδοση της 4 ης εργασίας, (πρέπει να) αρχίσουν επαναλήψεις προετοιμασία για τις εξετάσεις. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 2

3 Ερώτημα 1.α Διατύπωση σε πρωτοβάθμια γλώσσα: Από όλες τις ταινίες του C προτιμώ την Ν. Γενικά προτιμώ τις Κωμωδίες από τις Δράσης. Εξαίρεση οι Δράσης με πρωταγωνιστή τον D, τιςοποίεςπροτιμώαπόόλεςτιςκωμωδίες. Υπάρχουν δύο ταινίες που προτιμώ από όλες τις υπόλοιπες, αλλά που μεταξύ τους δεν μπορώ να τις συγκρίνω. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 3

4 Ερώτημα 1.β.ii Διατύπωση σε φυσική γλώσσα: Από όλες τις ταινίες θρίλερ, μόνο αυτές με σκηνοθέτη τον Kubrick προτιμώ από αυτές με σκηνοθέτη τον Hitchcock. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 4

5 Ερώτημα 3 Κατηγόρημα R(x, y) δηλώνει «x μικρότερος ή ίσος y». Τύπος αληθής σε ρητούς και ψευδής σε φυσικούς. Τύπος αληθής σε φυσικούς και ψευδής σε ρητούς. Ερμηνεία στους φυσικούς που να ικανοποιεί τον τύπο Απλή απάντηση: ερμηνεία όπου P(x) είναι πάντα ψευδές. Η συνεπαγωγή αληθεύει πάντα γιατί η υπόθεση είναι πάντα ψευδής. Ο τύπος είναι ισοδύναμος με τον παρακάτω: Αυτός ο τύπος είναι λογικά έγκυρος! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 5

6 Ερώτημα 4 Ερμηνεία στους φυσικούς χωρίς το 0 και το 1. Κατηγόρημα R(x, y) δηλώνει «ο x διαιρεί τον y». Για ποιους φυσικούς x στο σύμπαν μας αληθεύουν οι τύποι: Μοναδικός διαιρέτης του x οεαυτόςτου. Τύπος αληθεύει ανν x είναι πρώτος αριθμός. Όλοι οι διαιρέτες του x διαιρούνται μεταξύ τους. Ο x πρέπει να έχει έναν μόνο πρώτο διαιρέτη. Τύπος αληθεύει ανν x είναι δύναμη πρώτου αριθμού. Μοναδικός διαιρέτης του x ο εαυτός του(x πρώτος αριθμός). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 6

7 Γραφήματα και Κατηγορηματική Λογική Σύμπαν οι κορυφές (κατευθυνόμενου) γραφήματος, P(x, y) δηλώνει ακμή από x προς y. Το γράφημα έχει ανακύκλωση. Ηκορυφήx είναι απομονωμένη. Το γράφημα έχει απομονωμένη κορυφή. Ηκορυφήx ανήκει σε (απλό) κύκλο μήκους 3. Κάθε κορυφή που δεν είναι απομονωμένη ανήκει σε κύκλο μήκους 3. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 7

8 Γραφήματα και Κατηγορηματική Λογική Σύμπαν οι κορυφές (κατευθυνόμενου) γραφήματος, P(x, y) δηλώνει ακμή από x προς y. Υπάρχει μοναδική κορυφή με έξω-βαθμό (ίσο με) 2. Οελάχιστοςέξω-βαθμός του γραφήματος είναι 2. Ηκορυφήx έχει έξω-βαθμό τουλ. 2. Ηκορυφήx έχει έξω-βαθμό (ίσο με) 2. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 8

9 Γραφήματα και Κατηγορηματική Λογική Σύμπαν οι κορυφές (κατευθυνόμενου) γραφήματος, Q(x, y) δηλώνει ακμή από x προς y. Να σχεδιάσετε κατευθυνόμενο γράφημα με τουλ. 5 κορυφές που αποτελεί μοντέλο για την πρόταση: Υπάρχει κορυφή που δεν έχει ανακύκλωση και συνδέεται με όλες τις άλλες κορυφές, και όλες οι άλλες κορυφές δεν έχουν εξερχόμενες ακμές. x ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 9

10 Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. τηλεπικοινωνιακά, οδικά, ηλεκτρικά, κοινωνικά δίκτυα συνεκτικότητα, διαδρομές, δρομολόγηση, ανάθεση πόρων, layouts, ). Γράφημα G(V, E): V κορυφές Ε ακμές(ζεύγη σχετιζόμενων κορυφών) Τάξη V = n και μέγεθος E = m. Κατευθυνόμενα και μη-κατευθυνόμενα, απλά μη-κατευθ. Βάρη (μήκη) στις ακμές ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 10

11 Πλήρες και Συμπληρωματικό Γράφημα Πλήρες γράφημα n κορυφών: Κ n Όλα τα ζεύγη κορυφών συνδέονται με ακμή: n(n-1)/2 ακμές. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 11

12 Πλήρες και Συμπληρωματικό Γράφημα Πλήρες γράφημα n κορυφών: Κ n Όλα τα ζεύγη κορυφών συνδέονται με ακμή: n(n-1)/2 ακμές. Συμπληρωματικό γράφημα γραφήματος G. Ίδιο σύνολο κορυφών. Ακμές: όσες δεν υπάρχουν στο G. Συμπληρωματικό του : αρχικό γράφημα G. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 12

13 Διμερές Γράφημα Ανεξάρτητο σύνολο: σύνολο κορυφών που δεν συνδέονται με ακμή. Διμερές γράφημα: υπάρχει διαμέριση κορυφών σε δύο ανεξάρτητα σύνολα. G(X, Y, E): X και Y ανεξάρτητα σύνολα, ακμές μόνο μεταξύ κορυφών Χ και Υ. G διμερές ανν δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Κύκλος n κορυφών C n : διμερές ανν n άρτιος. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 13

14 Διμερές Γράφημα Ανεξάρτητο σύνολο: σύνολο κορυφών που δεν συνδέονται με ακμή. Διμερές γράφημα: υπάρχει διαμέριση κορυφών σε δύο ανεξάρτητα σύνολα. G(X, Y, E): X και Y ανεξάρτητα σύνολα, ακμές μόνο μεταξύ κορυφών Χ και Υ. G διμερές ανν δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Κύκλος n κορυφών C n : διμερές ανν n άρτιος. Πλήρες διμερές γράφημα Κ n,m : Δύο ανεξάρτητα σύνολα με n και m κορυφές. Όλες οι n m ακμές μεταξύ τους. Π.χ. Κ 3,3 έχει 9 ακμές. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 14

15 Χρωματικός Αριθμός k-μερές γράφημα: κορυφές του διαμερίζονται σε k ανεξάρτητα σύνολα. Ενδιαφέρει ελάχιστο k για το οποίο γράφημα G είναι k-μερές. Αυτό ταυτίζεται με χρωματικό αριθμό χ(g) γραφήματος G. Χρωματικός αριθμός: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για χρωματισμό κορυφών ώστε όλες οι ακμές να έχουν άκρα διαφορετικού χρώματος. Κορυφές ίδιου χρώματος: ανεξάρτητο σύνολο. Αν G περιέχει Κ m, χ(g) m ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 15

16 Χρωματικός Αριθμός Χρωματικός αριθμός: ελάχιστος αριθμός χρωμάτων για χρωματισμό κορυφών ώστε όλες οι ακμές να έχουν άκρα διαφορετικού χρώματος. Κορυφές ίδιου χρώματος: ανεξάρτητο σύνολο. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 16

17 Βαθμός Κορυφής Βαθμός κορυφής deg(v): #ακμών που προσπίπτουν στη v. Κατευθυνόμενα: προς-τα-έσω και προς-τα-έξω βαθμός. Μη-κατευθυνόμενο G(V, E): Άρτιο πλήθος κορυφών περιττού βαθμού. δ(g): ελάχιστος βαθμός κορυφής στο G. Δ(G): μέγιστος βαθμός κορυφής στο G. Νδοσεκάθεαπλόγράφημα, δύοκορυφέςέχουνίδιοβαθμό. Έχουμε n κορυφές και n-1 πιθανές τιμές βαθμού για κάθε κορυφή. Πιθανές τιμές είτε {0, 1,, n-2} είτε {1, 2,, n-1} ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) 17

18 (Απλές) Ασκήσεις Νδο δεν υπάρχει απλό μη κατευθυνόμενο γράφημα με: 8 κορυφές: 1 βαθμού 2, 2 βαθμού 3, 4 βαθμού 4, και 1 βαθμού 5. Άθροισμα βαθμών περιττός (ή ισοδύναμα, περιττό πλήθος κορυφών με περιττό βαθμό). 6 κορυφές: 2 βαθμού 2, 2 βαθμού 3, 1 βαθμού 4, και 1 βαθμού 6. Σε κάθε απλό γράφημα G με n κορυφές, Δ(G) n 1. 5 κορυφές: 1 βαθμού 2 και 4 βαθμού 4. Αφού οι 4 κορυφές με βαθμό 4 συνδέονται με όλες τις άλλες, ο ελάχιστος βαθμός κορυφής πρέπει να είναι 4. 9 κορυφές: 1 βαθμού 1, 2 βαθμού 3, 2 βαθμού 4, 1 βαθμού 5, 1 βαθμού 6, και 2 βαθμού 8. Αφού οι 2 κορυφές με βαθμό 8 συνδέονται με όλες τις άλλες, ο ελάχιστος βαθμός κορυφής πρέπει να είναι 2. Με μαθηματική επαγωγή στον #κορυφών, νδο χ(g) Δ(G)+1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 18

19 (Απλές) Ασκήσεις Έστω διμερές γράφημα G(X, Y, E) με n κορυφές. Νδο: ΚάθεακμήέχειτοέναάκροτηςστοΧκαιτοάλλοστοY. Κάποιο από τα X, Y έχει τουλ. n/2 κορυφές. Αν X < n/2 και Y < n/2, X + Y < n, άτοπο. Δ(G) + δ(g) n. Υποθέτουμε ότι X Y. Τότε Δ(G) Y. Έστω κορυφή u Υ. Τότε δ(g) deg(u) Χ. Κάθε γράφημα G με n κορυφές και χ(g) = k έχει ανεξάρτητο σύνολο με τουλ. n/k κορυφές και ΜέγιστοανεξάρτητοσύνολοΙέχειτουλ. n/k κορυφές. Στο συμπληρωματικό γράφημα, το υπογράφημα που ορίζεται από κορυφές του Ι είναι πλήρες και χρειάζεται τουλ. n/k χρώματα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 19

20 Υπο-Γραφήματα Υπογράφημα G (V, E ) του G(V, E) όταν V V και E E. Επικαλύπτον (spanning) όταν V = V, δηλ. έχει όλες τις κορυφές του αρχικού γραφήματος, επιλέγουμε τις ακμές που τις συνδέουν. Επαγόμενο (induced) όταν δηλ. έχει όλες τις ακμές του αρχικού μεταξύ των επιλεγμένων κορυφών ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 20

21 Διαδρομές, Μονοπάτια, και Κύκλοι Διαδρομή Μονοκονδυλιά Μονοπάτι - Κύκλος Διαδρομή: ακολουθία «διαδοχικών» ακμών. «Διαδοχικές» ακμές: κατάληξη πρώτης = αρχή της δεύτερης. Π.χ. {2, 1}, {1, 3}, {3, 4}, {4, 1}, {1, 5}, {5, 3}, {3, 6}. Μονοκονδυλιά: διαδρομή χωρίς επανάληψη ακμών. (Απλό) μονοπάτι: διαδρομή χωρίς επανάληψη κορυφών (και ακμών). Υπάρχει διαδρομή u v ανν υπάρχει μονοπάτι u v. Απόσταση d(u, v) (χωρίς και με βάρη): μήκος συντομότερου u v μονοπατιού. Κλειστή διαδρομή όταν άκρα της ταυτίζονται. Κλειστή μονοκονδυλιά ή κύκλωμα. (Απλός) κύκλος: μονοπάτι που άκρα του ταυτίζονται («κλειστό» μονοπάτι). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 21

22 Συνεκτικότητα (Μη-κατευθυνόμενο) γράφημα G(V, E) συνεκτικό αν για κάθε ζευγάρι κορυφών u, v V, υπάρχει u v μονοπάτι. Μη-συνεκτικό γράφημα αποτελείται από συνεκτικές συνιστώσες: μεγιστοτικά συνεκτικά υπογραφήματα. Γέφυρα (ακμή τομής): ακμή που αν αφαιρεθεί, αυξάνεται το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών. Ακμή γέφυρα ανν δεν ανήκει σε κύκλο. Σημείο άρθρωσης (σημείο κοπής): κορυφή που αν αφαιρεθεί, αυξάνεται το πλήθος των συνεκτικών συνιστωσών ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 22

23 Συνεκτικότητα (Κατευθυνόμενο) γράφημα G(V, E) ισχυρά συνεκτικό αν u, v V, υπάρχουν u v και v u μονοπάτια. Για κάθε ζευγάρι κορυφών ισχυρά συνεκτικού γραφήματος, υπάρχει κύκλος που τις περιλαμβάνει. Αν ένα κατευθυνόμενο γράφημα δεν είναι ισχυρά συνεκτικό, διαμερίζεται σε ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες: Μεγιστοτικά ισχυρά συνεκτικά υπογραφήματα. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 23

24 Ασκήσεις G μη συνεκτικό γράφημα. Στο συμπληρωματικό του G, κάθε ζεύγος κορυφών u, v συνδέεται μονοπάτι μήκους 2. Αν u και v σε διαφορετική συνεκτική συνιστώσα του G, συνδέονται με ακμή στο συμπληρωματικό. Αν u και v σε ίδια συνεκτική συνιστώσα, έστω κορυφή w σε άλλη συνιστώσα. Στο συμπληρωματικό, υπάρχουν ακμές {u, w}, {w, v}. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 24

25 Ασκήσεις Κάθε απλό γράφημα G με n κορυφές και δ(g) (n 1)/2 είναι συνεκτικό (και έχει διάμετρο 2). Έστω u, v κορυφές που δεν συνδέονται με ακμή. Θδο u, v έχουν κοινό γείτονα (άρα συνδέονται με μονοπάτι μήκους 2). Έστω ότι u, v δεν έχουν καμία γειτονική κορυφή κοινή: u έχει τουλ. (n 1)/2 γείτονες, και v έχει τουλ. (n 1)/2 γείτονες, όλοι διαφορετικοί. Άρα έχουμε συνολικά: 2 κορυφές (οι u και v) + (n 1)/2 κορυφές (οι γείτονες του u) + (n 1)/2 κορυφές (οι γείτονες του v) = = n+1 κορυφές, άτοπο! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 25

26 Ερώτημα 4, 4 η Εργ Κάθε απλό γράφημα G με n 3 κορυφές και δ(g) (n+1)/2 περιέχει τρίγωνο. Έστω u, v κορυφές που συνδέονται με ακμή (υπάρχει τουλάχιστον μια ακμή στο γράφημα). Θδο u, v έχουν κοινό γείτονα w (άρα τρίγωνο u w v). Έστω ότι u, v δεν έχουν καμία κοινή γειτονική κορυφή: u έχει τουλ. (n+1)/2 γείτονες, και v έχει τουλ. (n+1)/2 γείτονες, όλοι διαφορετικοί. Άρα έχουμε συνολικά: 2 κορυφές (οι u και v) + (n+1)/2 1 κορυφές (οι γείτονες του u εκτός της v) + (n+1)/2 1 κορυφές (οι γείτονες του v εκτός της u) = = n+1 κορυφές, άτοπο! ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 26

27 Ερώτημα 4.γ, 4 η Εργ Τουρνουά: κατευθυνόμενο γράφημα όπου για κάθε ζευγάρι κορυφών u, v, υπάρχει είτε η ακμή (u, v) είτε η ακμή (v, u). Κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές έχει κορυφή προσπελάσιμη από όλες τις άλλες με μονοπάτι μήκους 2. Βάση: Ισχύει τετριμμένα για τουρνουά με 1 κορυφή. Επαγ. υπόθεση: Ισχύει για κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές. Επαγ. βήμα: Θδο ισχύει για τουρνουά G(V, E) με n+1 κορυφές. Έστω G τουρνουά που προκύπτει από G με αφαίρεση κορυφής u. Λόγω επαγ. υπόθεσης, κορυφή w στο G προσπελάσιμη από όλες τις άλλες με μονοπάτι μήκους 2. Αν u συνδέεται είτε απευθείας με w είτε με κάποια κορυφή x ηοποία συνδέεται απευθείας με w, τότε w ηζητούμενηκορυφή στο G. Διαφορετικά, w συνδέεται απευθείας με u, και για κάθε κορυφή x που συνδέεται απευθείας με την w, η x συνδέεται απευθείας με την u. Άρα u ηζητούμενηκορυφή στο G. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 27

28 Κύκλος Euler Κλειστή μονοκονδυλιά που διέρχεται: από κάθε ακμή 1 φορά, και από κάθε κορυφή τουλάχιστον 1 φορά. Συνεκτικό (μη-κατευθ.) γράφημα έχει κύκλο Euler ανν όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό. C g c d A e D a B b f ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 28

29 Κύκλος Euler Υπάρχει γράφημα G που όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό και έχει γέφυρα; Όχι, τέτοιο γράφημα G έχει κύκλο Euler, άρα όλες οι ακμές του ανήκουν σε κύκλο. Αν σε γράφημα που έχει κύκλο Euler προσθέσουμε ακμές, το γράφημα που προκύπτει έχει κύκλο Euler; Όχι κατ ανάγκη. Μπορεί προσθήκη κορυφών να κάνει τον βαθμό κάποιων κορυφών περιττό. (Γιατί) σε κάθε συνεκτικό μη κατευθυνόμενο γράφημα, υπάρχει κλειστή διαδρομή που διέρχεται από κάθε ακμή (ακριβώς) 2 φορές; «Διπλασιασμός» ακμών οδηγεί σε γράφημα με κύκλο Euler (συνεκτικό και όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 29

30 Κύκλος Euler Ποιος είναι ο μέγιστος #ακμών που μπορεί να έχει απλό γράφημα με n κορυφές και κύκλο Euler; Αν n περιττός, n-1 άρτιος: K n έχει κύκλο Euler και n(n-1)/2 ακμές. Αν n άρτιος, αφαιρούμε n/2 ακμές (χωρίς κοινά άκρα) από K n. Προκύπτει γράφημα με κύκλο Euler και n(n-2)/2 ακμές. (Απλό) γράφημα με > n(n-2)/2 ακμές, έχει κορυφή (περιττού) βαθμού n-1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 30

31 Κύκλος Hamilton (Απλός) κύκλος που διέρχεται από όλες τις κορυφές. Διέρχεται από κάθε κορυφή 1 φορά. Μπορεί να μην διέρχεται από κάποιες ακμές. Δεν είναι γνωστή ικανή και αναγκαία συνθήκη! Ικανές συνθήκες ώστε G(V, E) έχει κύκλο Hamilton: v V, deg(v) V /2 (Θ. Dirac). u, v V, deg(u) + deg(v) V (Θ. Ore). ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 31

32 Κύκλος Hamilton (Απλός) κύκλος που διέρχεται από όλες τις κορυφές. Διέρχεται από κάθε κορυφή 1 φορά. Μπορεί να μην διέρχεται από κάποιες ακμές. Δεν είναι γνωστή ικανή και αναγκαία συνθήκη! Ικανές συνθήκες ώστε G(V, E) έχει κύκλο Hamilton: v V, deg(v) V /2 (Θ. Dirac). u, v V, deg(u) + deg(v) V (Θ. Ore). Αναγκαίες συνθήκες για ύπαρξη κύκλου Hamilton σε γράφημα G: G δεν έχει γέφυρα ή σημείο άρθρωσης. Όλες οι κορυφές του G ανήκουν σε κύκλο. Αν G διμερές, τότε G έχει άρτιο #κορυφών. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 32

33 Κύκλος Hamilton Για να δείξουμε ότι γράφημα G έχει κύκλο Hamilton, είτε βρίσκουμε κύκλο Hamilton (αν G έχει συγκεκριμένη δομή) είτε δείχνουμε ότι G ικανοποιεί κάποια ικανή συνθήκη. Για να δείξουμε ότι γράφημα G δεν έχει κύκλο Hamilton, δείχνουμε ότι G παραβιάζει κάποια αναγκαία συνθήκη. Αν σε γράφημα που έχει κύκλο Hamilton προσθέσουμε ακμές, το γράφημα που προκύπτει έχει κύκλο Hamilton; Βεβαίως. Υπάρχει κύκλος Hamilton που δεν χρησιμοποιεί νέες ακμές. Αν G έχει γέφυρα, δεν έχει κύκλο Euler ούτε κύκλο Hamilton. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 33

34 Κύκλος Hamilton Διμερές γράφημα G με περιττό #κορυφών δεν έχει κύκλο Hamilton. Αν G είχε κύκλο Hamilton, αυτός θα ήταν ένας κύκλος περιττού μήκους. Ως διμερές γράφημα, το G δεν έχει κύκλους περιττού μήκους. Νδο κάθε απλό γράφημα με 21 κορυφές και 208 ακμές έχει κύκλο Hamilton και δεν έχει κύκλο Euler. Πρόκειται για Κ 21 από το οποίο έχουν αφαιρεθεί 2 ακμές. Ικανοποιεί Θ. Dirac. Άρα έχει κύκλο Hamilton. Όπως και αν αφαιρεθούν ακμές, προκύπτουν τουλ. 2 κορυφές με βαθμό 19. Άρα δεν έχει κύκλο Euler. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 34

35 Ερώτημα 2.1, 4 η Εργ Έστω γράφημα για φυσικούς p, q 1. K1 * K 4 4 * K1 K K * K K * K ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 35

36 Ερώτημα 2.1, 4 η Εργ Έστω γράφημα για φυσικούς p, q 1. Για ποιες τιμές των p και q το G: Είναι διμερές; G διμερές ανν p = 1 και q 1. Αν p > 1, τότε τρίγωνο! Έχει κύκλο Euler; G είναι συνδεδεμένο. Κορυφές στο K p έχουν βαθμό ίσο με q + p 1. Κορυφές στο συμπλήρωμα K q έχουν βαθμό ίσο με p. Άρα, G έχει κύκλο Euler ανν p άρτιος και q περιττός. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 36

37 Ερώτημα 2.1, 4 η Εργ Έστω γράφημα για φυσικούς p, q 1. Για ποιες τιμές των p και q το G: Έχει κύκλο Hamilton; Πρέπει p q, γιατί κορυφές του συμπληρώματος K q δεν συνδέονται. Άρα ο κύκλος Hamilton θα εναλλάσσεται μεταξύ δύο τμημάτων. Πρέπει p 2, διαφορετικά G δεν έχει κύκλο. (p, q), όπου p q και p 2, περιγράφω κύκλο Hamilton. Άρα, υπάρχει κύκλος Hamilton ανν p q και p 2. Ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός χ(g); Είναι χ(g) p+1: p χρώματα για K p, ένα για συμπλήρωμα K q. Είναι χ(g) p+1: υπάρχει πλήρες υπογράφημα με p+1 κορυφές. Άρα χ(g) = p+1. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 37

38 Ερώτημα 4.α, 4 η Εργασία Να δείξετε (με επαγωγή) ότι για κάθε n 1, ο υπερκύβος Q(n) διάστασης n είναι διμερές γράφημα. Βάση: Q(1) έχει δύο κορυφές, διμερές γράφημα. Επαγ. Υπόθεση: Για αυθαίρετο n 1, υποθέτουμε ότι Q(n) διμερές γράφημα. Επαγ. Βήμα: Θδο Q(n+1) είναι διμερές γράφημα. Θεωρούμε δύο αντίγραφα Q 0 (n) και Q 1 (n) του υπερκύβου διάστασης n. Επαγ. υπόθεση: Q 0 (n) και Q 1 (n) διμερή γραφήματα. Α 0 και B 0 διαμέριση κορυφών του Q 0 (n). A 1 και Β 1 αντίστοιχη διαμέριση κορυφών του Q 1 (n). Από αναδρ. ορισμό, Q(n+1) προκύπτει συνδέοντας αντίστοιχες κορυφές (και μόνο) των Q 0 (n) και Q 1 (n). Άρα Α 0 Β 1 και Β 0 Α 1 ανεξάρτητα σύνολα, και Q(n+1) είναι διμερές γράφημα ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 38

39 Ερώτημα 4.α, 4 η Εργ Σε ένα τουρνουά με n+1 κορυφές, έστω u κορυφή και v 1,, v n μια αρίθμηση των υπόλοιπων n κορυφών. Ισχύει τουλ. ένα από τα: 1. Η u συνδέεται με την v H v n συνδέεται με την u. 3. Υπάρχει δείκτης k, 1 k n 1, ώστε η v k συνδέεται με την u και η u συνδέεται με την v k+1. Έστω ότι δεν ισχύουν τα (1) και (2). Θδο ισχύει το (3). Έστω v k+1 ηπρώτηκορυφή τ.ω. η u συνδέεται με την v k+1. Ισχύει ότι k+1 n, γιατί η u συνδέεται με την v n (δεν ισχύει το (2)). Ισχύει ότι 2 k+1, γιατί η v 1 συνδέεται με την u (δεν ισχύει το (1)). Ισχύει ότι v k συνδέεται με την u, γιατί v k+1 η πρώτη που δεν συνδέεται με u. ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 39

40 Ερώτημα 4.β, 4 η Εργ Κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές έχει μονοπάτι Hamilton. Επαγωγή με χρήση του (4.α) στο επαγωγικό βήμα. Βάση: Ισχύει τετριμμένα για τουρνουά με 1 κορυφή. Επαγ. υπόθεση: Κάθε τουρνουά με n 1 κορυφές έχει μον. Hamilton. Επαγ. βήμα: Θδο αυθαίρετο τουρνουά G(V, E) με n+1 κορυφές έχει μονοπάτι Hamilton. Έστω G τουρνουά που προκύπτει από G με αφαίρεση κορυφής u. Θεωρούμε αρίθμηση v 1,, v n των n κορυφών του G σύμφωνα με μονοπάτι Hamilton στο G (υπάρχει λόγω επαγ. υπόθεσης). u ενσωματώνεται στο μονοπάτι Hamilton v 1,, v n από (4.α). ΠΛΗ 20, ΑΘΗ 1 ( ) ΟΣΣ 4 (Θεωρία Γραφημάτων) 40

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική βαθμολογική εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 015, Α ΜΕΡΟΣ 1. Στους παρακάτω τύπους τα,, είναι προτασιακοί τύποι. Ισχύει ότι: 1. ( Σ / Λ ) O τύπος ( ) ( ) είναι αντίφαση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική)

ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) ΠΛΗ 20, 3 η ΟΣΣ (Κατηγορηματική Λογική) Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 2 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά καλή βαθμολογική εικόνα (

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

E(G) 2(k 1) = 2k 3. Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις

ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις ΠΛΗ 20, 6 η ΟΣΣ: Δέντρα Εξετάσεις Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Δέντρα Δέντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση (ιεραρχικών)

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής

Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής Στοιχεία Κατηγορηματικής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Κατηγορηματική Λογική

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 16/5/2017 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα. Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικότητα Γραφήματος

Συνεκτικότητα Γραφήματος Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης έννοια στη Θεωρία Γραφημάτων. Πληθώρα πρακτικών εφαρμογών, όπως: Αξιόπιστη και ασφαλής επικοινωνία. Δρομολόγηση σε δίκτυα. Πλοήγηση. Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Σχέσεις. ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Σχέσεις ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιμελής Σχέση ιατεταγμένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94.

ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94. ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΕΙΣ ΟΡΩΝ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙOΥΝΤΑΙ ΣΤΟΥΣ ΤΟΜΟΥΣ Α ΚΑΙ Β ΤΗΣ ΘΕ «ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» ΤΟΜΟΣ Α ΤΟΜΟΣ Β ΑΓΓΛΙΚΗ Γράφημα, Γράφος, Ένα γράφημα αποτελείται από ένα σύνολο 94 11 κορυφών και ένα σύνολο ακμών.

Διαβάστε περισσότερα

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι

ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β): ύο αντικείµενα (όχι κατ ανάγκη διαφορετικά) σε καθορισµένη σειρά. Γενίκευση: διατεταγµένη τριάδα (α, β, γ), δι Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Σ. Ζάχος,. Σούλιου Επιµέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιµελής Σχέση ιατεταγµένο ζεύγος (α, β):

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2 Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων ηµήτρης Ψούνης 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα 2.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Γράφους 24/5/2016 Άσκηση 8.1: Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται δέκα λατινικοί χαρακτήρες (A, F, K, M, R, S, T, V, X και Z) με τη μορφή γράφων. Ποιοι από αυτούς είναι ισομορφικοί;

Διαβάστε περισσότερα

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017

HY118-Διακριτά Μαθηματικά. Τι είδαμε την προηγούμενη φορά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. 25 -Γράφοι. ΗΥ118, Διακριτά Μαθηματικά Άνοιξη 2017 HY118-Διακριτά Μαθηματικά Τι είδαμε την προηγούμενη φορά Παρασκευή, 12/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Υπογράφημα Συμπληρωματικά γραφήματα Ισομορφισμός γράφων Υπολογιστική πολυπλοκότητα

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs) Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ

ΗΥ118: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 2017 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 14/06/2017 ΛΥΣΕΙΣ ΗΥ8: Διακριτά Μαθηματικά - Εαρινό Εξάμηνο 07 Τελική Εξέταση Ιουνίου - Τετάρτη, 4/06/07 ΛΥΣΕΙΣ Σημείωση: Οι παρακάτω λύσεις είναι ενδεικτικές. Ενδεχομένως, υπάρχουν και άλλοι σωστοί τρόποι επίλυσης. Θέμα

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω γράφηµα G(V, E) µε πίνακα γειτνίασης A Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ως προς µια διάταξη των

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 1 / 23 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή

Επαναληπτικές Ασκήσεις. Ρίζου Ζωή Επαναληπτικές Ασκήσεις Ρίζου Ζωή email: zrizou@ee.duth.gr Άσκηση 1 Τι πραγματεύεται το θεώρημα Euler; Απάντηση Ψευδογραφήματα που περιέχουν ένα κύκλωμα στο ψευδογραφήματα, των οποίων ο βαθμός κάθε κορυφής

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η <Αλγόριθµοι, Θεωρία Γραφηµάτων>

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η <Αλγόριθµοι, Θεωρία Γραφηµάτων> ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η εξοικείωση µε τις σηµαντικότερες µεθόδους και ιδέες της Θεωρίας Γραφηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες Διαδρομές

Συντομότερες Διαδρομές Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία γραφημάτων. Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg

Θεωρία γραφημάτων. Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Γραφήματα Θεωρία γραφημάτων Παλιό αντικείμενο 18 ος αιώνας Leonhard Euler (Ελβετός μαθηματικός): πρόβλημα γεφυρών της πόλης Königsberg Με πολλές σύγχρονες εφαρμογές Μελέτη ιδιοτήτων ηλεκτρονικών κυκλωμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας)

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

m = 18 και m = G 2

m = 18 και m = G 2 Διάλεξη 11: 2.11.201 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιώτης Ρεπούσκος 11.1 Βασικές Ιδιότητες Θεώρημα 11.1 (Τύπος του Eulr, 172) Αν ένα συνεκτικό ενεπίπεδο γράφημα έχει n κορυφές,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για άκυκλα συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη

Διαβάστε περισσότερα

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αρχή του Περιστερώνα. ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αρχή του Περιστερώνα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συναρτήσεις Συνάρτηση: διμελής σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα