Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη"

Transcript

1 Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

2 Συνεκτικότητα Ένα γράφημα G ονομάζεται αν κάθε ζεύγος κορυφών του u, v V (G) ενώνεται με ένα μονοπάτι. Μια ενός γραφήματος G είναι ένα μεγιστοτικό επαγόμενο υπογράφημα του G το οποίο είναι συνεκτικό. Έστω ένα συνεκτικό γράφημα G και έστω σύνολο S V (G). Το σύνολο S είναι ένας του G αν το γράφημα G\S δεν είναι συνεκτικό. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

3 5 G G S 1 = {3} S 2 = {4, 7} S 3 = {4, 5} G S 1 = {3} S 2 = {4} S 1 = {4, 5} S 2 = {1, 3} S 3 = {5, 8} S 3 = {4, 5, 6, 8} S 4 = {5, 6} S 5 = {4, 8} G 4 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

4 Ένας διαχωριστής S του G ονομάζεται αν κανένα υποσύνολό του δεν είναι επίσης διαχωριστής του G. Ένας διαχωριστής S του G ονομάζεται αν δεν υπάρχει άλλος διαχωριστής του G με μικρότερο μέγεθος. (u, v) Ένας διαχωριστής S του G τέτοιος ώστε οι κορυφές u, v V (G)\S να ανήκουν σε διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες του G\S. Eλαχιστοτικός (u, v)-διαχωριστής. Eλάχιστος (u, v)-διαχωριστής. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

5 Eλαχιστοτικοί διαχωριστές: S 1 = {1, 4, 5} S }{{} 2 = {6, 7, 8} }{{} S 3 = {1, 4, 6, 9} Ελάχιστοι διαχωριστές (1, 9)-διαχωριστές: {3, 4, 5}, {3, 4, 6, 7}, {4, 5, 8}, {3, 4, 6, 10} Kορυφή u V (G) : G\u έχει περισσότερες συνεκτικές συνιστώσες από το G. Ακμή e E(G) : G\e έχει περισσότερες συνεκτικές συνιστώσες από το G. 1 3 u e Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

6 Η k(g) ενός γραφήματος G ορίζεται ως το μέγεθος ενός ελάχιστου διαχωριστή του. Απαιτείται η αφαίρεση k(g) κορυφών από το G ώστε να καταστεί μη-συνεκτικό. k Ένα γράφημα G ονομάζεται k (k N) εάν V (G) k + 1 και για κάθε X V (G) με X < k ισχύει ότι το G \ X είναι συνεκτικό. H αφαίρεση k 1 κορυφών δεν αρκούν για να το διαχωρήσουν. Ένα k-συνεκτικό γραφημα G έχει συνεκτικότητα k(g) k, δηλαδή, ο ελάχιστος διαχωριστής του έχει μέγεθος τουλάχιστον k. Το γράφημα G είναι k-συνεκτικό = Το G είναι (k 1)-συνεκτικό. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

7 2 Γράφημα με ελάχιστο διαχωριστή μεγέθους τουλάχιστον 2. G S 1 = {2, 3} S 2 = {3, 4} Ιδιότητα: Δεν έχει κορυφές-τομής. 3 Γράφημα με ελάχιστο διαχωριστή μεγέθους τουλάχιστον 3. G S 1 = {4, 5, 6} S 2 = {2, 3, 4} S 3 =... Μια ακμή e E(G) ονομάζεται αν k(g\e) = k(g) 1. Kρίσιμες ακμές του G 2 : όλες εκτός της (5, 9). Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

8 Ιδιότητες συνεκτικών γραφημάτων Ένα γράφημα G είναι συνεκτικό ανν περιέχει περίπατο που περνάει από όλες τις κορυφές του. : Προφανές από τον ορισμό του συνεκτικού γραφήματος και το γεγονός ότι αν υπάρχει ένας (u, v)-περίπατος τότε υπάρχει και ένα (u, v)- μονοπάτι. Έστω μια αυθαίρετη διάταξη [u 1, u 2,..., u n] των κορυφών του G. Το G είναι συνεκτικό ορισμός ==== u i, u i+1 μονοπάτι P i από την u i στην u i+1, 1 i < n. Η παράθεση των μονοπατιών P 1 P 2... P n 1 ορίζει περίπατο που περνά από όλες τις κορυφές του G. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

9 Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι είτε το G είναι συνεκτικό ή το G είναι συνεκτικό. [Με επαγωγή στον αριθμό κορυφών του G.]: Βάση: V (G) = 2 Το K 2 [ ] είναι συνεκτικό ενώ Ε.Υ. το K 2 [ ] δεν είναι. Αυτά είναι τα μόνα γραφήματα 2 κορυφών. Έστω ότι για όλα τα γραφήματα H με V (H) < n ισχύει ότι είτε το H είναι συνεκτικό ή το H είναι συνεκτικό. Ε.Β. Έστω γράφημα G με V (G) = n και κορυφή v V (G). H = G\v: H συνεκτικό ή H συνεκτικό. Η v είναι καθολική κορυφή. G συνεκτικό. G H n 1 v Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

10 Η v είναι απομονωμένη κορυφή. στο G η v είναι καθολική κορυφή. G συνεκτικό. G H n 1 v Η v δεν είναι ούτε καθολική ούτε απομονωμένη κορυφή. x, y V (G) : (v, x) E(G), (v, y) / E(G) H συνεκτικό (v, x) E(G) H συνεκτικό (v, y) E(G) } } G συνεκτικό. G συνεκτικό. H x y v H x y v Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

11 Έστω H μια συνεκτική συνιστώσα του γραφήματος G. Τότε ισχύει ότι: i. δ(h) δ(g) ii. (H) (G) : i. δ(h) δ(g) Έστω δ(h) < δ(g). v V (G) : d G (v) = δ(g) και για κάθε άλλη κορυφή w V (G) : d G (v) d G (w) (1) x V (H) : d H (x) = δ(h) και για κάθε άλλη κορυφή y V (H) : d H (x) d H (y) [Ο βαθμός κάθε κορυφής στο H είναι ίσος με τον βαθμό της στο G.] (1),(2) d G (v) d G (x) y V (H) : d G (x) d G (y) (2) δ(g) δ(h) ii. Όμοια. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

12 Κάθε απλό γράφημα G με δ(g) V (G) 2 είναι συνεκτικό. : Έστω ότι δεν είναι συνεκτικό. Έστω H η μικρότερη συνιστώσα του G. V (G) V (H) 2 (3) [Αλλιώς, το G θα είχε > V (G) κορυφές.] V (G) V (G) δ(g) Κάθε συνιστώσα έχει μέγεθος V (G) V (H) + 1 (4) 2 v V (G) 2 (3),(4) Ποια η διάμετρος του γραφήματος G με δ(g) V (G) 2 ; Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

13 Έστω απλό συνεκτικό γράφημα G. Τότε E(G) V (G) 1. [Με επαγωγή ως προς το μέγεθος του V (G).]: Βάση: V (G) = 2 E(G) = V (G) 1 Ε.Υ. Για κάθε απλό συνεκτικό γράφημα G με V (G) < n ισχύει: E(G) V (G) 1 Ε.Β. Έστω G με V (G) = n. δ(g) 2 2 E(G) = d(u) δ(g) 2 V (G) u V (G) u V (G) 2 E(G) 2 V (G) E(G) V (G) δ(g) = 1 [δ(g) 0 γιατί το G είναι συνεκτικό.] Έστω v V (G) κορυφή με βαθμό d(v) = 1. G\v συνεκτικό γιατί η v δεν είναι κορυφή τομής. E(G\v) V (G\v) 1 [από Ε.Υ.] E(G) 1 V (G) 1 1 E(G) V (G) 1 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

14 Ένα γράφημα G είναι συνεκτικό ανν για κάθε σύνολο H V (G) υπάρχει τουλάχιστον μια ακμή e E(G) με το ένα άκρο της στο H και το άλλο στο V (G)\H. : Έστω u H και v V (G)\H. G συνεκτικό μονοπάτι από u v. u η τελευταία κορυφή του μονοπατιού στο H. v η πρώτη κορυφή του μονοπατιού στο V (G)\H. Η ακμή (u v ) ικανοποιεί το θεώρημα. H u u V (G)\H v v [Με άτοπο.] Έστω το G δεν είναι συνεκτικό. Έστω H μια συνεκτική συνιστώσα. Δεν υπάρχουν ακμές του G με το ένα μόνο άκρο τους στην H. [Η συνεκτική συνιστώσα είναι μεγιστοτικό συνεκτικό υπογράφημα του G.] Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

15 Μια ακμή e είναι γέφυρα ενός γραφήματος G ανν δεν ανήκει σε κάποιο κύκλο του G. : Έστω H η συνεκτική συνιστώσα του G στην οποία ανήκει η e. Αρκεί να δείξουμε ότι το θεώρημα ισχύει για την H. Έστω η e = (u, v) δεν είναι γέφυρα. Το H\e είναι συνεκτικό. Στο H\e υπάρχει (u, v)-μονοπάτι P. Η παράθεση του P με την e = (u, v) δημιουργεί κύκλο. Η e ανήκει σε κύκλο του H. Έστω η e = (u, v) ανήκει σε κάποιο κύκλο του H. Στο H υπάρχει (u, v)-μονοπάτι P H uv. Θα δείξουμε ότι το H\e είναι συνεκτικό. [Δηλ., η e δεν είναι γέφυρα.]. Αυτό οδηγεί σε άτοπο. Έστω x, y V (H). Στο H υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P H xy γιατί το H είναι συνεκτικό. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

16 e / P H xy Τότε, το Pxy H είναι επίσης μονοπάτι του H\e. H\e συνεκτικό Η e δεν είναι γέφυρα. e P H xy x y Τότε, ορίζονται τα: (x, u)-μονοπάτι P H xu (v, y)-μονοπάτι P H vy P xu u e v P H xy P vy C Το ότι η e = (u, v) ανήκει σε κάποιο κύκλο του H σημαίνει ότι υπάρχει (u, v)-μονοπάτι Puv H στο H. Η παράθεση των μονοπατιών PxuP H uvp H vy H σημαίνει ότι υπάρχει (x, y)-περίπατος και, συνεπώς, (x, y)-μονοπάτι Pxy H στο H το οποίο δεν περιέχει την e. Το Pxy H είναι μονοπάτι και του H\e. Η e δεν είναι γέφυρα. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

17 Ένα συνεκτικό γράφημα G περιέχει τουλάχιστον 2 κορυφές οι οποίες δεν είναι κορυφές-τομής. : Έστω ένα αυθαίρετο μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι P uv. Το P uv δεν μπορεί να επεκταθεί. Οι γείτονες των u, v ανήκουν στο P uv. Όλοι οι γείτονες των u, v ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα. G\ {u, v} συνεκτικό. Οι u, v δεν είναι κορυφές-τομής. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

18 Να δειχθεί ότι εάν το γράφημα G έχει k συνεκτικές συνιστώσες τότε K k G. Να δειχθεί ότι κάθε 2 μέγιστα μονοπάτια ενός συνεκτικού γραφήματος έχουν κάποια κοινή κορυφή. Να δειχθεί ότι για κάθε συνεκτικό γράφημα G με n κορυφές, υπάρχει μια απαρίθμηση V (G) = {v 1, v 2,..., v n} των κορυφών του τέτοια ώστε το επαγόμενο υπογράφημα G i από τις κορυφές {v 1,..., v i } 1 i n να είναι συνεκτικό. Να δειχθεί ότι για κάθε γράφημα G με k συνεκτικές συνιστώσες ισχύει E(G) V (G) k. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

19 Δισυνεκτικότητα Ένα γράφημα G με V (G) 3 ονομάζεται αν όλοι οι διαχωριστές του έχουν μέγεθος 2. Ένα μεγιστοτικό δισυνεκτικό υπογράφημα ενός γραφήματος G ονομάζεται του G. u Έστω k 2 μονοπάτια ενός γραφήματος G. Τα μονοτάτια αυτά ονομάζονται εάν τα σύνολα των εσωτερικών κορυφών τους είναι διακεκριμένα, δηλαδή, ανά δύο ξένα μεταξύ τους. v 3 εσωτερικώς διακεκριμένα (u, v)-μονοπάτια. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

20 Έστω ένα απλό συνδεδεμένο γράφημα G με V (G) 3. Το G είναι δισυνεκτικό ανν κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με 2 εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια. : [Με άτοπο.] Έστω το G δεν είναι δισυνεκτικό, δηλαδή έχει κορυφή τομής u και έστω x, y δύο κορυφές σε δύο διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες του G\u. x u y Όλα τα μονοπάτια από την x προς την y περνούν από την u. Το G δεν περιέχει 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, y)-μονοπάτια. Άρα, το G είναι δισυνεκτικό. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

21 Έστω G δισυνεκτικό γράφημα και x, y V (G). Θα δείξουμε, με επαγωγή ως προς την ποσότητα dist(x, y), ότι 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, y)-μονοπάτια. Βάση: dist(x, y) = 1 e = (x, y) E(G) G\e είναι συνεκτικό Απόδειξη: d G (x) > 1, d G (y) > 1 [Αν d G (x) = 1 τότε το y είναι διαχωριστής τους G. G δεν είναι δισυνεκτικό. Άτοπο.] G\ {x} είναι συνεκτικό. [Διαφορετικά το {x} θα ήταν διαχωριστής του G. G δεν είναι δισυνεκτικό. Άτοπο.] G\e είναι συνεκτικό. [Γιατί G\ {x} G\e.] (x, y)-μονοπάτι P στο G\e. 2 εσωτερικώς διακειριμένα μονοπάτια στο G [το P και η e]. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

22 Ε.Υ. Έστω ότι για κάθε x, y V (G) : dist(x, y) < k ισχύει ότι 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, y)-μονοπάτια. Ε.Β. Έστω x, y V (G) : dist(x, y) = k 2. G συνεκτικό (x, y)-μονοπάτι στο G. Έστω w προτελευταία κορυφή του. Aπό Ε.Υ. 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, w)-μονοπάτια P 1 (x, w) και P 2 (x, w). y P 1 (x, w) [ή y P 2 (x, w)] Τα μονοπάτια P 1 (x, y) και P 2 (x, w) (w, y) είναι τα ζητούμενα. y / P 1 (x, w) και y / P 2 (x, w) Έστω R(x, y) ένα (x, y)-μονοπάτι που δεν περιέχει την w. [Υπάρχει γιατί G\w είναι συνεκτικό.] Το R(x, y) δεν έχει κοινές κορυφές με τα P 1 (x, w), P 2 (x, w). Τα R(x, y) και P 1 (x, w) (w, y) είναι τα ζητούμενα 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, y)-μονοπάτια. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

23 Το R(x, y) έχει κοινές κορυφές με τα P 1 (x, w), P 2 (x, w) Έστω u R(x, y) η τελευταία (πηγαίνοντας από το x y) κοινή κορυφή και έστω u P 1 (x, w). u P1 R x w y P2 Τα μονοπάτια P 1 (x, u) R(u, y) και P 2 (x, w) (w, y) είναι τα ζητούμενα 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, y)-μονοπάτια. Έστω G ένα δισυνεκτικό γράφημα. Οι παρακάτω πράξεις δεν επηρεάζουν την δισυνεκτικότητα του G: i. Προσθήκη ακμής. ii. Διάλυση κορυφής βαθμού 2. [Πρέπει να ισχύει: V (G) 3.] iii. Υποδιαίρεση ακμής. [Η ακμή δεν πρέπει να είναι βρόγχος.] Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

24 Έστω ένα δισυνεκτικό γράφημα G με V (G) 3. Τότε, για κάθε x, y, z V (G) υπάρχει ένα μονοπάτι από την x προς την z το οποίο διέρχεται από την y. [1ος τρόπος]: G δισυνεκτικό 2 εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια ανάμεσα στην y και την z καθώς και ανάμεσα στην x και την y. Έστω P 1 (y, z) και P 2 (y, z) τα (y, z)-μονοπάτια. Έστω P (x, y) ένα (x, y)-μονοπάτι. Το P (x, y) και ένα από τα P 1 (y, z), P 2 (y, z) είναι εσωτερικώς διακεκριμένα. x z P (x, y) P 1(y, z) Το μονοπάτι P (x, y) P 1 (y, z) είναι το ζητούμενο. y P 2 (y, z) t x z P 1 (y, z) P (x, y) y Το P (x, y) έχει κοινές κορυφές και με τα 2 μονοπάτια. Έστω t η τελευταία κοινή κορυφή των P 1 (y, z), P 2 (y, z) με το P (x, y) και έστω ότι ανήκει στο P 2 (y, z). Το μονοπάτι P (x, t) P 2 (t, y) P 1 (y, z) είναι το ζητούμενο. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

25 [2ος τρόπος]: Έστω το γράφημα G που προκύπτει από τις πράξεις: i. Πρόσθεση της ακμής e = (x, z). ii. Υποδιαίρεση της e. Έστω w η νέα κορυφή. [Εάν e = (x, z) E(G) τότε το G είναι πολυγράφημα.] Από το Πόρισμα 4.11 G είναι δισυνεκτικό. Από το Θεώρημα εσωτερικώς διακεκριμένα (y, w)-μονοπάτια P 1 (y, w) και P 2 (y, w). Έστω το P 1 (y, w) περνάει από το x και το P 2 (y, w) από το z. Το μονοπάτι P 1 (x, y) P 2 (y, z) είναι το ζητούμενο. x w z P 1 P 2 y Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

26 Έστω δισυνεκτικά γραφήματα G 1, G 2 τέτοια ώστε V (G 1 ) V (G 2 ) 2. Τότε το γράφημα G 1 G 2 είναι δισυνεκτικό. : Έστω u, v V (G 1 ) V (G 2 ). Έστω x, y V (G 1 G 2 ). Αρκεί να δείξω ότι 2 εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια ανάμεσα στις κορυφές x, y. Εξετάζουμε μόνο την περίπτωση όπου μια κορυφή (έστω η x) ανήκει στο ένα γράφημα (έστω το G 1 ) και η άλλη (y) στο άλλο (G 2 ). Θ G 1 δισυνεκτικό === P 1 (u, x, v) στο G 1. G1 Έστω u [v ] η πρώτη κορυφή του P 1 (x, u) u u G2 [P 1 (x, v)] που ανήκει στο V (G 1 ) V (G 2 ). x P1 Θ y G 2 δισυνεκτικό === P 2 (u, y, v ) στο G 2. P2 v v Τα μονοπάτια P 1 (x, u ) P 2 (u, y) και P 1 (x, v ) P 2 (v, y) είναι εσωτερικώς διακεκριμένα. Το G 1 G 2 είναι δισυνεκτικό. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

27 Έστω 2 δισυνεκτικές συνιστώσες H 1 και H 2 ενός γραφήματος G. Τότε οι H 1 και H 2 έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία πρέπει να είναι κορυφή-τομής. : Έστω V (H 1 ) V (H 2 ). [Διαφορετικά, ισχύει το θεώρημα.] i. Θα δείξω ότι V (H 1 ) V (H 2 ) = 1. Έστω x, y V (H 1 ) V (H 2 ). Έστω w V (H 1 )\V (H 2 ). H 1 δισυνεκτικό P 1 (x, w, y) στο H 1. H 2 P 1 (x, w, y) δισυνεκτικό. [Μπορεί να δημιουργηθεί από το H 2 με την προσθήκη της ακμής (x, y) και διαδοχικές διαιρέσεις της [Πόρισμα 4.11].] H 2 H 2 P 1 (x, w, y). Άτοπο, γιατί H 2 είναι μεγιστοτικό ως συνεκτική συνιστώσα. ii. Έστω u η κοινή κορυφή των H 1, H 2. Η u είναι κορυφή τομής. Έστω το G\u είναι συνεκτικό. Έστω x H 1, y H 2 κορυφές διαφορετικές από την u. μονοπάτι P από την x προς την y στο G\u. H = H 1 H 2, H\u ένωση 2 ξένων μεταξύ τους γραφημάτων εκ των οποίων το ένα περιέχει το x και το άλλο το y. H1 w x y H2 H 1 H 2 u x x P y y Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

28 Το P δεν ανήκει αποκλειστικά στο H\u. Το P περιέχει ακμές του E(G)\E(H). Έστω το γράφημα H = H P. Έστω P ένα μεγιστοτικό υπομονοπάτι του P το οποίο H 1 P H 2 αποτελείται από ακμές που δεν ανήκουν στα H 1, H 2. x u y Έστω x V (H 1 ) και y V (H 2 ) τα άκρα του P x y H 1 δισυνεκτικό P 1 (x, u) στο H 1. H 2 δισυνεκτικό P 2 (y, u) στο H 2. C = P (x, y ) P 2 (y, u) P 1 (u, x ) κύκλος. Το C είναι δισυνεκτικό. Το H 1 H 2 C είναι δισυνεκτικό. Θ Θ [Γιατί, H 1, C δισυνεκτικό και V (H 1) V (C) 2 === H 1 C δισυνεκτικό === (H 1 C) H 2 όμοια δισυνεκτικό.] Το H = H P = H 1 H 2 C είναι δισυνεκτικό. Αλλά, H 1 H = H P. γιατί H 1 είναι μεγιστοτικό συνεκτικό υπογράφημα του G. Το G\u δεν είναι συνεκτικό. Η u είναι κορυφή-τομής. P Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

29 Ένα γράφημα είναι δισυνεκτικό ανν μπορεί να κατασκευαστει ξεκινώντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία από: i. υποδιαιρέσεις ακμής, ii. προσθέσεις ακμής. : Το K 3 είναι δισυνεκτικό. Από Πόρισμα 4.11, η υποδιαίρεση ακμής και η πρόσθεση ακμής διατηρούν την δισυνεκτικότητα. Θα ακολουθήσει Παράδειγμα: i. i. ii. i. ii. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

30 Έστω συνεκτικό γράφημα G και G 1, G 2,..., G k οι δισυνεκτικές του συνιστώσες. Έστω CC = {g i : G i συνεκτική συνιστώσα του G}, και CV = {u : u κορυφή τομής του G}. Το γράφημα T = (CC CV, E) όπου E = {(g i, u) : g i CC, {u} CV, {u} V (G i )} ονομάζεται του G. G 1 G G 7 2 g 1 g g 7 2 u 1 u 2 G 4 u 3 G 9 u u g 4 g 9 1 u 2 u 3 G 3 G 5 6 u 6 G 10 g u 5 3 g 6 u 6 G 5 u 4 g 5 u 4 G 8 g 8 g 10 Να δειχθεί ότι: i. Το T είναι διμερές. ii. Το T είναι όντως δένδρο. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

31 k-συνεκτικότητα k Η k(g) ενός γραφήματος G ορίζεται ως το μέγεθος ενός ελαχίστου διαχωριστή του. Ένα γράφημα G με V (G) k + 1 το οποίο έχει ελάχιστο διαχωριστή μεγέθους τουλάχιστον k ονομάζεται k. Για κάθε απλό γραφημα G ισχύει ότι k(g) δ(g) : Έστω απλό γράφημα G και έστω u V (G) : d(u) = δ(g). Έστω N G (u) η γειτονιά της u. Στο γράφημα G\N G (u) η κορυφή u είναι απομονωμένη. N G (u) είναι διαχωριστής του G. k(g) N G (u) = δ(g) Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

32 [Menger-1927] Για κάθε γράφημα G και για κάθε ζεύγος s, t μη γειτονικών κορυφών του G ισχύει ότι το μέγεθος ενός ελαχίστου (s, t)-διαχωριστή του G είναι ίσο με τον μέγιστο αριθμό εσωτερικώς διακεκριμένων (s, t)-μονοπατιών στο G. [Whitney-1932] Ένα γράφημα G είναι k-συνεκτικό ανν για κάθε ζεύγος u, v διαφορετικών κορυφών του G υπάρχουν τουλάχιστον k εσωτερικώς διακεκριμένα (u, v)-μονοπάτια. [Halin-1968] Για κάθε γράφημα G με δ(g) > k(g) υπάρχει ακμή e E(G) τέτοια ώστε k(g\e) = k(g) [δηλαδή η e δεν είναι κρίσιμη ακμή]. Να αποδειχθεί το τμήμα του Θεωρήματος 4.15 κάνοντας χρήση του Θεωρήματος του Halin. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

33 Έστω ένα k-συνεκτικό γράφημα G, k 2. Τότε κάθε k κορυφές του G ανήκουν σε ένα κύκλο του G. Το έχουμε δείξει για k = 2. Έστω ένα γράφημα G. Ο ελάχιστος αριθμός ακμών που πρέπει να αφαιρεθεί από το G ώστε να δημιουργηθεί ένα μη-συνεκτικό γράφημα ονομάζεται του G και συμβολίζεται με λ(g). λ(g) = min { F : F E(G) και G\F μη συνεκτικό} λ(g) = 3 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

34 Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι k(g) λ(g) δ(g). : Έστω v κορυφή του G με d(v) = δ(g). Έστω E G (v) οι προσκείμενες στην v ακμές. G\E G (v) είναι μη συνεκτικό γιατί η v είναι απομονωμένη. λ(g) δ(g) (5) Η ανισότητα k(g) λ(g) ισχύει όταν: λ(g) = 0 : Το G είναι μη συνεκτικό. k(g) = 0 λ(g) = 1 Το G περιέχει γέφυρα e = (u, v). Οι {u} και {v} είναι διαχωριστές. k(g) = 1 Έστω λ(g) 2. Έστω e i = (u i, v i ), i = 1,..., λ(g), οι ακμές ενός διαχωριστή ακμών. Αφαιρώντας όλες εκτός από την e 1, παίρνω συνεκτικό γράφημα με γέφυρα. Έστω το σύνολο S = {w : w {u i, v i }, i = 2,..., λ(g), και w u 1, v 1 }. Αν το S είναι διαχωριστής του G k(g) < λ(g). Αν όχι, S {u 1 } είναι διαχωριστής του G k(g) λ(g). Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

35 δ(g) = 3 k(g) = 2 λ(g) = 3 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

36 [Πλευρικό Θεώρημα Menger] Έστω γράφημα G και u, v δυο κορυφές του. Τότε, το μέγιστο πλήθος των πλευρικά ανεξάρτητων (u, v)-μονοπατιών του ισούται με το ελάχιστο πλήθος ακμών που χωρίζουν τις u και v. Αποδείχθηκε από τους Ford-Fulkerson το Μονοπάτια που δεν περιέχουν κοινές ακμές [μπορεί να έχουν κοινές κορυφές]. v 2 e 4 v 5 e 5 e 11 v 1 e 1 e 2 e 3 e 6 v 4 e 8 e 9 v 1 e 1 v 2 e 5 v 4 e 8 v 5 e 11 v 7 e 10 e 12 v 7 v 1 e 2 v 4 e 9 v 7 v 1 e 3 v 3 e 6 v 4 e 10 v 6 e 12 v 7 v 3 e 7 v 6 [Whitney] Έστω γράφημα G για το οποίο ισχύει ότι για όλες τις διακεκριμένες κορυφές του u, v υπάρχουν k πλευρικά ανεξάρτητα (u, v)-μονοπάτια. Τότε λ(g) = k. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 5η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 2η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 11η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 7η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 10η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 07 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 0η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 9η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 206 Α Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε

Διάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 1η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 207 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από

Διάλεξη 3: Σχήμα 3.3: Το σύνολο των κόκκινων ακμών είναι ακμοδιαχωριστής αλλά όχι τομή. Το σύνολο ακμών {1, 2, 3} είναι τομή. Από Διάλεξη 3: 19.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Βασίλης Λίβανος Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 3.1 Ακμοδιαχωριστές, Τομές, Δεσμοί Ορισμός 3.1 Ακμοδιαχωριστής (Edge-eparator) ενός γραφήματος G = (V, E)

Διαβάστε περισσότερα

d(v) = 3 S. q(g \ S) S

d(v) = 3 S. q(g \ S) S Διάλεξη 9: 9.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιωτίδης Αλέξανδρος Θεώρημα 9.1 Εστω γράφημα G = (V, E), υπάρχει τέλειο ταίριασμα στο G αν και μόνο αν για κάθε S υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αξιόλογη προσπάθεια,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Διδάσκοντες: Δ. Φωτάκης, Δ. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα

Διαβάστε περισσότερα

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4

u v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4 Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αρκετά απαιτητικά ερωτήματα,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 4 η ΟΣΣ: Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 3 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ικανοποιητική εικόνα, αντίστοιχη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

E(G) 2(k 1) = 2k 3.

E(G) 2(k 1) = 2k 3. Διάλεξη :..06 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Τζαλάκας Ανδρέας & Σ.Κ.. Εξωεπίπεδα γραφήματα (συνέχεια) Ορισμός. Εστω γράφημα G = (V, E) και S V. S-λοβός (S-lobe) ενάγεται από

Διαβάστε περισσότερα

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S

S A : N G (S) N G (S) + d S d + d = S Διάλεξη 7: 2.11.2016 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Βασίλης Μαργώνης 7.1 Εφαρμογές του Θεωρήματος του Hall Πόρισμα 7.1 (Ελλειματική εκδοχή Θεωρήματος Hall) Εάν σε διμερές γράφημα

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ

Διάλεξη 3: D Σχήμα 3.2: Ενδεικτική αναπαράσταση δίσκου D που ορίζει ο στην εμβάπτιση Γ. Σχήμα 3.3: Σχηματική επεξήγηση περιπτώσεων που απορ Διάλεξη 3: 25..26 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Καλλιόπη Πατερομιχελάκη 3. Εναγόμενοι κύκλοι Ορισμός 3. Ενας κύκλος του γραφήματος G = (V, E), καλείται εναγόμενος αν = G[V ()].

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017

Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 Θεωρία Γραφημάτων και Εφαρμογές - Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Φεβρουάριος 2017 ΕΓΘΑ : Σ. Κοσμαδάκης, «Εισαγωγή στα Γραφήματα, Θεωρία-Ασκήσεις». Α 1 Έστω η παρακάτω σχέση Q(k) πάνω στο σύνολο {1, 2} όπου k τυχαίος

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικότητα Γραφήματος

Συνεκτικότητα Γραφήματος Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης έννοια στη Θεωρία Γραφημάτων. Πληθώρα πρακτικών εφαρμογών, όπως: Αξιόπιστη και ασφαλής επικοινωνία. Δρομολόγηση σε δίκτυα. Πλοήγηση. Συνεκτικότητα Γραφήματος Θεμελιώδης

Διαβάστε περισσότερα

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.

Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα. Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας)

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

m = 18 και m = G 2

m = 18 και m = G 2 Διάλεξη 11: 2.11.201 Θεωρία Γραφημάτων Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Παναγιώτης Ρεπούσκος 11.1 Βασικές Ιδιότητες Θεώρημα 11.1 (Τύπος του Eulr, 172) Αν ένα συνεκτικό ενεπίπεδο γράφημα έχει n κορυφές,

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή

Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Μέγιστη Ροή Ελάχιστη Τομή Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Δίκτυα και Ροές Δίκτυο : κατευθυνόμενο γράφημα G(V, E). Πηγή, προορισμός, χωρητικότητα ακμής b e. ροή μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενα γραφήματα Ορισμός Κατευθυνόμενογράφημα Gείναιέναζεύγος (V,E)όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Πολύ ενθαρρυντική εικόνα. Σαφώς καλύτερη

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 1 / 23 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης

Απαρίθµηση Μονοπατιών. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Ορέστης Τελέλης Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω γράφηµα G(V, E) µε πίνακα γειτνίασης A Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς ως προς µια διάταξη των

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 015, Α ΜΕΡΟΣ 1. Στους παρακάτω τύπους τα,, είναι προτασιακοί τύποι. Ισχύει ότι: 1. ( Σ / Λ ) O τύπος ( ) ( ) είναι αντίφαση.

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (1) 1 / 23 Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα

Διαβάστε περισσότερα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης.

Μονοπάτια και Κυκλώµατα Euler. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Παραδείγµατα. Κριτήρια Υπαρξης. Μονοπάτια και Κυκλώµατα Eulr Σε γράφηµα G(V, E): Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3,4) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Κύκλωµα Eulr: Απλό κύκλωµα που διασχίζει κάθε ακµή του G. Μονοπάτι Eulr: Απλό µονοπάτι που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο

ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs)

Κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Πολυγραφήµατα (Multigraphs) Μη κατευθυνόµενα γραφήµατα Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Απλό µη κατευθυνόµενο γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E) µε σύνολο κορυφών/κόµβων V Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς

(β) Θεωρούµε µια ακολουθία Nθετικών ακεραίων η οποία περιέχει ακριβώς Θέµα (Αρχή του Περιστερώνα, 8 µονάδες) (α) Επιλέγουµε αυθαίρετα φυσικούς αριθµούς από το σύνολο {,,3,, 3, } Να δείξετε ότι µεταξύ των αριθµών που έχουµε επιλέξει υπάρχει πάντα ένα ζευγάρι όπου ο µεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Πληροφορικής

Μαθηματικά Πληροφορικής Μαθηματικά Πληροφορικής 7ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Ταιριάσματα(matchings) Ορισμός(Ταίριασμα) Εστωγράφημα G = (V,E).Ταίριασμακαλείταιένασύνολο M E,τέτοιοώστεκάθεκόμβοςτου

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

X i, i I Y j, j J. X i. Z j P = (J, B) G T = (I, J) 1 2 i i + 1 n. 1 i V

X i, i I Y j, j J. X i. Z j P = (J, B) G T = (I, J) 1 2 i i + 1 n. 1 i V Θεωρία Γραφημάτων Διάλεξη 19: 14.12.2016 και 15.12.2016 Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος Γραφέας: Αγγελική Χαντζηθάνου 19.1 Σχέση πλάτους μονοπατιού και δενδροπλάτους Πρόταση 19.1 Το πλέγμα Γ n n έχει πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι;

Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο. Παράδειγμα - Αλγόριθμος Prim. Γιατί δουλεύουν αυτοί οι αλγόριθμοι; Άπληστοι Αλγόριθμοι ΙΙI Αλγόριθμοι γραφημάτων Ελάχιστο Γεννητικό Δένδρο Παράδειγμα Κατασκευή δικτύων Οδικά, επικοινωνίας Έχουμε ένα συνεκτικό γράφημα (V,E) και ένας βάρος we σε κάθε ακμή e. Να βρεθεί υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες ιαδρομές

Συντομότερες ιαδρομές Συντομότερες ιαδρομές ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Συντομότερη ιαδρομή Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος διαδρομής Απόσταση d(u,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 205 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22 Εισαγωγη Διδα σκων: Αντω νιος Συμβω νης ΣΕΜΦΕ, κτι

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.

να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle. Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 2 Η ΔΙΑΛΕΞΗ Βασικές Έννοιες Γράφων - Ορισμοί (συνέχεια) - Ισομορφισμοί-Ομοιομορφισμοί Γράφων - Πράξεις - Αναπαράσταση Γράφων (Πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 1 Λύσεις ΕΠΛ2: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Σειρά Προβλημάτων Λύσεις Άσκηση Να βρείτε το σφάλμα στην πιο κάτω απόδειξη. Ισχυρισμός: Όλα τα βιβλία που έχουν γραφτεί στη Θεωρία Υπολογισμού έχουν τον ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 2η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 23 / 47 Βαθμοι Κορυφω ν Βαθμός κορυφής: d G (v) =

Διαβάστε περισσότερα

Συντομότερες Διαδρομές

Συντομότερες Διαδρομές Συντομότερη Διαδρομή Συντομότερες Διαδρομές Διδάσκοντες: Σ Ζάχος, Δ Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Κατευθυνόμενο G(V, E, w) με μήκη Μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ο χάρτης το γράφημα Σχήμα 5.3

ο χάρτης το γράφημα Σχήμα 5.3 KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 5.1. Ανακάλυψη Ο W. Leibniz, σε επιστολή του το 1679 προς τον C. Huygens, παρατήρησε ότι "μας χρειάζεται ένα άλλο είδος ανάλυσης, γεωμετρικής ή γραμμικής, που να ασχολείται απ' ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Διακριτά Μαθηματικά Τελική Εξέταση Απρίλιος 204 Σελ. από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα