Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη"

Transcript

1 Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Φεβρουάριος 2017 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

2 Συνεκτικότητα Ένα γράφημα G ονομάζεται αν κάθε ζεύγος κορυφών του u, v V (G) ενώνεται με ένα μονοπάτι. Μια ενός γραφήματος G είναι ένα μεγιστοτικό επαγόμενο υπογράφημα του G το οποίο είναι συνεκτικό. Έστω ένα συνεκτικό γράφημα G και έστω σύνολο S V (G). Το σύνολο S είναι ένας του G αν το γράφημα G\S δεν είναι συνεκτικό. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

3 5 G G S 1 = {3} S 2 = {4, 7} S 3 = {4, 5} G S 1 = {3} S 2 = {4} S 1 = {4, 5} S 2 = {1, 3} S 3 = {5, 8} S 3 = {4, 5, 6, 8} S 4 = {5, 6} S 5 = {4, 8} G 4 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

4 Ένας διαχωριστής S του G ονομάζεται αν κανένα υποσύνολό του δεν είναι επίσης διαχωριστής του G. Ένας διαχωριστής S του G ονομάζεται αν δεν υπάρχει άλλος διαχωριστής του G με μικρότερο μέγεθος. (u, v) Ένας διαχωριστής S του G τέτοιος ώστε οι κορυφές u, v V (G)\S να ανήκουν σε διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες του G\S. Eλαχιστοτικός (u, v)-διαχωριστής. Eλάχιστος (u, v)-διαχωριστής. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

5 Eλαχιστοτικοί διαχωριστές: S 1 = {1, 4, 5} S }{{} 2 = {6, 7, 8} }{{} S 3 = {1, 4, 6, 9} Ελάχιστοι διαχωριστές (1, 9)-διαχωριστές: {3, 4, 5}, {3, 4, 6, 7}, {4, 5, 8}, {3, 4, 6, 10} Kορυφή u V (G) : G\u έχει περισσότερες συνεκτικές συνιστώσες από το G. Ακμή e E(G) : G\e έχει περισσότερες συνεκτικές συνιστώσες από το G. 1 3 u e Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

6 Η k(g) ενός γραφήματος G ορίζεται ως το μέγεθος ενός ελάχιστου διαχωριστή του. Απαιτείται η αφαίρεση k(g) κορυφών από το G ώστε να καταστεί μη-συνεκτικό. k Ένα γράφημα G ονομάζεται k (k N) εάν V (G) k + 1 και για κάθε X V (G) με X < k ισχύει ότι το G \ X είναι συνεκτικό. H αφαίρεση k 1 κορυφών δεν αρκούν για να το διαχωρήσουν. Ένα k-συνεκτικό γραφημα G έχει συνεκτικότητα k(g) k, δηλαδή, ο ελάχιστος διαχωριστής του έχει μέγεθος τουλάχιστον k. Το γράφημα G είναι k-συνεκτικό = Το G είναι (k 1)-συνεκτικό. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

7 2 Γράφημα με ελάχιστο διαχωριστή μεγέθους τουλάχιστον 2. G S 1 = {2, 3} S 2 = {3, 4} Ιδιότητα: Δεν έχει κορυφές-τομής. 3 Γράφημα με ελάχιστο διαχωριστή μεγέθους τουλάχιστον 3. G S 1 = {4, 5, 6} S 2 = {2, 3, 4} S 3 =... Μια ακμή e E(G) ονομάζεται αν k(g\e) = k(g) 1. Kρίσιμες ακμές του G 2 : όλες εκτός της (5, 9). Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

8 Ιδιότητες συνεκτικών γραφημάτων Ένα γράφημα G είναι συνεκτικό ανν περιέχει περίπατο που περνάει από όλες τις κορυφές του. : Προφανές από τον ορισμό του συνεκτικού γραφήματος και το γεγονός ότι αν υπάρχει ένας (u, v)-περίπατος τότε υπάρχει και ένα (u, v)- μονοπάτι. Έστω μια αυθαίρετη διάταξη [u 1, u 2,..., u n] των κορυφών του G. Το G είναι συνεκτικό ορισμός ==== u i, u i+1 μονοπάτι P i από την u i στην u i+1, 1 i < n. Η παράθεση των μονοπατιών P 1 P 2... P n 1 ορίζει περίπατο που περνά από όλες τις κορυφές του G. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

9 Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι είτε το G είναι συνεκτικό ή το G είναι συνεκτικό. [Με επαγωγή στον αριθμό κορυφών του G.]: Βάση: V (G) = 2 Το K 2 [ ] είναι συνεκτικό ενώ Ε.Υ. το K 2 [ ] δεν είναι. Αυτά είναι τα μόνα γραφήματα 2 κορυφών. Έστω ότι για όλα τα γραφήματα H με V (H) < n ισχύει ότι είτε το H είναι συνεκτικό ή το H είναι συνεκτικό. Ε.Β. Έστω γράφημα G με V (G) = n και κορυφή v V (G). H = G\v: H συνεκτικό ή H συνεκτικό. Η v είναι καθολική κορυφή. G συνεκτικό. G H n 1 v Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

10 Η v είναι απομονωμένη κορυφή. στο G η v είναι καθολική κορυφή. G συνεκτικό. G H n 1 v Η v δεν είναι ούτε καθολική ούτε απομονωμένη κορυφή. x, y V (G) : (v, x) E(G), (v, y) / E(G) H συνεκτικό (v, x) E(G) H συνεκτικό (v, y) E(G) } } G συνεκτικό. G συνεκτικό. H x y v H x y v Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

11 Έστω H μια συνεκτική συνιστώσα του γραφήματος G. Τότε ισχύει ότι: i. δ(h) δ(g) ii. (H) (G) : i. δ(h) δ(g) Έστω δ(h) < δ(g). v V (G) : d G (v) = δ(g) και για κάθε άλλη κορυφή w V (G) : d G (v) d G (w) (1) x V (H) : d H (x) = δ(h) και για κάθε άλλη κορυφή y V (H) : d H (x) d H (y) [Ο βαθμός κάθε κορυφής στο H είναι ίσος με τον βαθμό της στο G.] (1),(2) d G (v) d G (x) y V (H) : d G (x) d G (y) (2) δ(g) δ(h) ii. Όμοια. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

12 Κάθε απλό γράφημα G με δ(g) V (G) 2 είναι συνεκτικό. : Έστω ότι δεν είναι συνεκτικό. Έστω H η μικρότερη συνιστώσα του G. V (G) V (H) 2 (3) [Αλλιώς, το G θα είχε > V (G) κορυφές.] V (G) V (G) δ(g) Κάθε συνιστώσα έχει μέγεθος V (G) V (H) + 1 (4) 2 v V (G) 2 (3),(4) Ποια η διάμετρος του γραφήματος G με δ(g) V (G) 2 ; Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

13 Έστω απλό συνεκτικό γράφημα G. Τότε E(G) V (G) 1. [Με επαγωγή ως προς το μέγεθος του V (G).]: Βάση: V (G) = 2 E(G) = V (G) 1 Ε.Υ. Για κάθε απλό συνεκτικό γράφημα G με V (G) < n ισχύει: E(G) V (G) 1 Ε.Β. Έστω G με V (G) = n. δ(g) 2 2 E(G) = d(u) δ(g) 2 V (G) u V (G) u V (G) 2 E(G) 2 V (G) E(G) V (G) δ(g) = 1 [δ(g) 0 γιατί το G είναι συνεκτικό.] Έστω v V (G) κορυφή με βαθμό d(v) = 1. G\v συνεκτικό γιατί η v δεν είναι κορυφή τομής. E(G\v) V (G\v) 1 [από Ε.Υ.] E(G) 1 V (G) 1 1 E(G) V (G) 1 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

14 Ένα γράφημα G είναι συνεκτικό ανν για κάθε σύνολο H V (G) υπάρχει τουλάχιστον μια ακμή e E(G) με το ένα άκρο της στο H και το άλλο στο V (G)\H. : Έστω u H και v V (G)\H. G συνεκτικό μονοπάτι από u v. u η τελευταία κορυφή του μονοπατιού στο H. v η πρώτη κορυφή του μονοπατιού στο V (G)\H. Η ακμή (u v ) ικανοποιεί το θεώρημα. H u u V (G)\H v v [Με άτοπο.] Έστω το G δεν είναι συνεκτικό. Έστω H μια συνεκτική συνιστώσα. Δεν υπάρχουν ακμές του G με το ένα μόνο άκρο τους στην H. [Η συνεκτική συνιστώσα είναι μεγιστοτικό συνεκτικό υπογράφημα του G.] Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

15 Μια ακμή e είναι γέφυρα ενός γραφήματος G ανν δεν ανήκει σε κάποιο κύκλο του G. : Έστω H η συνεκτική συνιστώσα του G στην οποία ανήκει η e. Αρκεί να δείξουμε ότι το θεώρημα ισχύει για την H. Έστω η e = (u, v) δεν είναι γέφυρα. Το H\e είναι συνεκτικό. Στο H\e υπάρχει (u, v)-μονοπάτι P. Η παράθεση του P με την e = (u, v) δημιουργεί κύκλο. Η e ανήκει σε κύκλο του H. Έστω η e = (u, v) ανήκει σε κάποιο κύκλο του H. Στο H υπάρχει (u, v)-μονοπάτι P H uv. Θα δείξουμε ότι το H\e είναι συνεκτικό. [Δηλ., η e δεν είναι γέφυρα.]. Αυτό οδηγεί σε άτοπο. Έστω x, y V (H). Στο H υπάρχει (x, y)-μονοπάτι P H xy γιατί το H είναι συνεκτικό. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

16 e / P H xy Τότε, το Pxy H είναι επίσης μονοπάτι του H\e. H\e συνεκτικό Η e δεν είναι γέφυρα. e P H xy x y Τότε, ορίζονται τα: (x, u)-μονοπάτι P H xu (v, y)-μονοπάτι P H vy P xu u e v P H xy P vy C Το ότι η e = (u, v) ανήκει σε κάποιο κύκλο του H σημαίνει ότι υπάρχει (u, v)-μονοπάτι Puv H στο H. Η παράθεση των μονοπατιών PxuP H uvp H vy H σημαίνει ότι υπάρχει (x, y)-περίπατος και, συνεπώς, (x, y)-μονοπάτι Pxy H στο H το οποίο δεν περιέχει την e. Το Pxy H είναι μονοπάτι και του H\e. Η e δεν είναι γέφυρα. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

17 Ένα συνεκτικό γράφημα G περιέχει τουλάχιστον 2 κορυφές οι οποίες δεν είναι κορυφές-τομής. : Έστω ένα αυθαίρετο μεγιστοτικό (u, v)-μονοπάτι P uv. Το P uv δεν μπορεί να επεκταθεί. Οι γείτονες των u, v ανήκουν στο P uv. Όλοι οι γείτονες των u, v ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα. G\ {u, v} συνεκτικό. Οι u, v δεν είναι κορυφές-τομής. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

18 Να δειχθεί ότι εάν το γράφημα G έχει k συνεκτικές συνιστώσες τότε K k G. Να δειχθεί ότι κάθε 2 μέγιστα μονοπάτια ενός συνεκτικού γραφήματος έχουν κάποια κοινή κορυφή. Να δειχθεί ότι για κάθε συνεκτικό γράφημα G με n κορυφές, υπάρχει μια απαρίθμηση V (G) = {v 1, v 2,..., v n} των κορυφών του τέτοια ώστε το επαγόμενο υπογράφημα G i από τις κορυφές {v 1,..., v i } 1 i n να είναι συνεκτικό. Να δειχθεί ότι για κάθε γράφημα G με k συνεκτικές συνιστώσες ισχύει E(G) V (G) k. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

19 Δισυνεκτικότητα Ένα γράφημα G με V (G) 3 ονομάζεται αν όλοι οι διαχωριστές του έχουν μέγεθος 2. Ένα μεγιστοτικό δισυνεκτικό υπογράφημα ενός γραφήματος G ονομάζεται του G. u Έστω k 2 μονοπάτια ενός γραφήματος G. Τα μονοτάτια αυτά ονομάζονται εάν τα σύνολα των εσωτερικών κορυφών τους είναι διακεκριμένα, δηλαδή, ανά δύο ξένα μεταξύ τους. v 3 εσωτερικώς διακεκριμένα (u, v)-μονοπάτια. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

20 Έστω ένα απλό συνδεδεμένο γράφημα G με V (G) 3. Το G είναι δισυνεκτικό ανν κάθε ζεύγος κορυφών του συνδέεται με 2 εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια. : [Με άτοπο.] Έστω το G δεν είναι δισυνεκτικό, δηλαδή έχει κορυφή τομής u και έστω x, y δύο κορυφές σε δύο διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες του G\u. x u y Όλα τα μονοπάτια από την x προς την y περνούν από την u. Το G δεν περιέχει 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, y)-μονοπάτια. Άρα, το G είναι δισυνεκτικό. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

21 Έστω G δισυνεκτικό γράφημα και x, y V (G). Θα δείξουμε, με επαγωγή ως προς την ποσότητα dist(x, y), ότι 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, y)-μονοπάτια. Βάση: dist(x, y) = 1 e = (x, y) E(G) G\e είναι συνεκτικό Απόδειξη: d G (x) > 1, d G (y) > 1 [Αν d G (x) = 1 τότε το y είναι διαχωριστής τους G. G δεν είναι δισυνεκτικό. Άτοπο.] G\ {x} είναι συνεκτικό. [Διαφορετικά το {x} θα ήταν διαχωριστής του G. G δεν είναι δισυνεκτικό. Άτοπο.] G\e είναι συνεκτικό. [Γιατί G\ {x} G\e.] (x, y)-μονοπάτι P στο G\e. 2 εσωτερικώς διακειριμένα μονοπάτια στο G [το P και η e]. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

22 Ε.Υ. Έστω ότι για κάθε x, y V (G) : dist(x, y) < k ισχύει ότι 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, y)-μονοπάτια. Ε.Β. Έστω x, y V (G) : dist(x, y) = k 2. G συνεκτικό (x, y)-μονοπάτι στο G. Έστω w προτελευταία κορυφή του. Aπό Ε.Υ. 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, w)-μονοπάτια P 1 (x, w) και P 2 (x, w). y P 1 (x, w) [ή y P 2 (x, w)] Τα μονοπάτια P 1 (x, y) και P 2 (x, w) (w, y) είναι τα ζητούμενα. y / P 1 (x, w) και y / P 2 (x, w) Έστω R(x, y) ένα (x, y)-μονοπάτι που δεν περιέχει την w. [Υπάρχει γιατί G\w είναι συνεκτικό.] Το R(x, y) δεν έχει κοινές κορυφές με τα P 1 (x, w), P 2 (x, w). Τα R(x, y) και P 1 (x, w) (w, y) είναι τα ζητούμενα 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, y)-μονοπάτια. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

23 Το R(x, y) έχει κοινές κορυφές με τα P 1 (x, w), P 2 (x, w) Έστω u R(x, y) η τελευταία (πηγαίνοντας από το x y) κοινή κορυφή και έστω u P 1 (x, w). u P1 R x w y P2 Τα μονοπάτια P 1 (x, u) R(u, y) και P 2 (x, w) (w, y) είναι τα ζητούμενα 2 εσωτερικώς διακεκριμένα (x, y)-μονοπάτια. Έστω G ένα δισυνεκτικό γράφημα. Οι παρακάτω πράξεις δεν επηρεάζουν την δισυνεκτικότητα του G: i. Προσθήκη ακμής. ii. Διάλυση κορυφής βαθμού 2. [Πρέπει να ισχύει: V (G) 3.] iii. Υποδιαίρεση ακμής. [Η ακμή δεν πρέπει να είναι βρόγχος.] Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

24 Έστω ένα δισυνεκτικό γράφημα G με V (G) 3. Τότε, για κάθε x, y, z V (G) υπάρχει ένα μονοπάτι από την x προς την z το οποίο διέρχεται από την y. [1ος τρόπος]: G δισυνεκτικό 2 εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια ανάμεσα στην y και την z καθώς και ανάμεσα στην x και την y. Έστω P 1 (y, z) και P 2 (y, z) τα (y, z)-μονοπάτια. Έστω P (x, y) ένα (x, y)-μονοπάτι. Το P (x, y) και ένα από τα P 1 (y, z), P 2 (y, z) είναι εσωτερικώς διακεκριμένα. x z P (x, y) P 1(y, z) Το μονοπάτι P (x, y) P 1 (y, z) είναι το ζητούμενο. y P 2 (y, z) t x z P 1 (y, z) P (x, y) y Το P (x, y) έχει κοινές κορυφές και με τα 2 μονοπάτια. Έστω t η τελευταία κοινή κορυφή των P 1 (y, z), P 2 (y, z) με το P (x, y) και έστω ότι ανήκει στο P 2 (y, z). Το μονοπάτι P (x, t) P 2 (t, y) P 1 (y, z) είναι το ζητούμενο. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

25 [2ος τρόπος]: Έστω το γράφημα G που προκύπτει από τις πράξεις: i. Πρόσθεση της ακμής e = (x, z). ii. Υποδιαίρεση της e. Έστω w η νέα κορυφή. [Εάν e = (x, z) E(G) τότε το G είναι πολυγράφημα.] Από το Πόρισμα 4.11 G είναι δισυνεκτικό. Από το Θεώρημα εσωτερικώς διακεκριμένα (y, w)-μονοπάτια P 1 (y, w) και P 2 (y, w). Έστω το P 1 (y, w) περνάει από το x και το P 2 (y, w) από το z. Το μονοπάτι P 1 (x, y) P 2 (y, z) είναι το ζητούμενο. x w z P 1 P 2 y Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

26 Έστω δισυνεκτικά γραφήματα G 1, G 2 τέτοια ώστε V (G 1 ) V (G 2 ) 2. Τότε το γράφημα G 1 G 2 είναι δισυνεκτικό. : Έστω u, v V (G 1 ) V (G 2 ). Έστω x, y V (G 1 G 2 ). Αρκεί να δείξω ότι 2 εσωτερικώς διακεκριμένα μονοπάτια ανάμεσα στις κορυφές x, y. Εξετάζουμε μόνο την περίπτωση όπου μια κορυφή (έστω η x) ανήκει στο ένα γράφημα (έστω το G 1 ) και η άλλη (y) στο άλλο (G 2 ). Θ G 1 δισυνεκτικό === P 1 (u, x, v) στο G 1. G1 Έστω u [v ] η πρώτη κορυφή του P 1 (x, u) u u G2 [P 1 (x, v)] που ανήκει στο V (G 1 ) V (G 2 ). x P1 Θ y G 2 δισυνεκτικό === P 2 (u, y, v ) στο G 2. P2 v v Τα μονοπάτια P 1 (x, u ) P 2 (u, y) και P 1 (x, v ) P 2 (v, y) είναι εσωτερικώς διακεκριμένα. Το G 1 G 2 είναι δισυνεκτικό. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

27 Έστω 2 δισυνεκτικές συνιστώσες H 1 και H 2 ενός γραφήματος G. Τότε οι H 1 και H 2 έχουν το πολύ μια κοινή κορυφή η οποία πρέπει να είναι κορυφή-τομής. : Έστω V (H 1 ) V (H 2 ). [Διαφορετικά, ισχύει το θεώρημα.] i. Θα δείξω ότι V (H 1 ) V (H 2 ) = 1. Έστω x, y V (H 1 ) V (H 2 ). Έστω w V (H 1 )\V (H 2 ). H 1 δισυνεκτικό P 1 (x, w, y) στο H 1. H 2 P 1 (x, w, y) δισυνεκτικό. [Μπορεί να δημιουργηθεί από το H 2 με την προσθήκη της ακμής (x, y) και διαδοχικές διαιρέσεις της [Πόρισμα 4.11].] H 2 H 2 P 1 (x, w, y). Άτοπο, γιατί H 2 είναι μεγιστοτικό ως συνεκτική συνιστώσα. ii. Έστω u η κοινή κορυφή των H 1, H 2. Η u είναι κορυφή τομής. Έστω το G\u είναι συνεκτικό. Έστω x H 1, y H 2 κορυφές διαφορετικές από την u. μονοπάτι P από την x προς την y στο G\u. H = H 1 H 2, H\u ένωση 2 ξένων μεταξύ τους γραφημάτων εκ των οποίων το ένα περιέχει το x και το άλλο το y. H1 w x y H2 H 1 H 2 u x x P y y Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

28 Το P δεν ανήκει αποκλειστικά στο H\u. Το P περιέχει ακμές του E(G)\E(H). Έστω το γράφημα H = H P. Έστω P ένα μεγιστοτικό υπομονοπάτι του P το οποίο H 1 P H 2 αποτελείται από ακμές που δεν ανήκουν στα H 1, H 2. x u y Έστω x V (H 1 ) και y V (H 2 ) τα άκρα του P x y H 1 δισυνεκτικό P 1 (x, u) στο H 1. H 2 δισυνεκτικό P 2 (y, u) στο H 2. C = P (x, y ) P 2 (y, u) P 1 (u, x ) κύκλος. Το C είναι δισυνεκτικό. Το H 1 H 2 C είναι δισυνεκτικό. Θ Θ [Γιατί, H 1, C δισυνεκτικό και V (H 1) V (C) 2 === H 1 C δισυνεκτικό === (H 1 C) H 2 όμοια δισυνεκτικό.] Το H = H P = H 1 H 2 C είναι δισυνεκτικό. Αλλά, H 1 H = H P. γιατί H 1 είναι μεγιστοτικό συνεκτικό υπογράφημα του G. Το G\u δεν είναι συνεκτικό. Η u είναι κορυφή-τομής. P Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

29 Ένα γράφημα είναι δισυνεκτικό ανν μπορεί να κατασκευαστει ξεκινώντας από το K 3 και εφαρμόζοντας μια ακολουθία από: i. υποδιαιρέσεις ακμής, ii. προσθέσεις ακμής. : Το K 3 είναι δισυνεκτικό. Από Πόρισμα 4.11, η υποδιαίρεση ακμής και η πρόσθεση ακμής διατηρούν την δισυνεκτικότητα. Θα ακολουθήσει Παράδειγμα: i. i. ii. i. ii. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

30 Έστω συνεκτικό γράφημα G και G 1, G 2,..., G k οι δισυνεκτικές του συνιστώσες. Έστω CC = {g i : G i συνεκτική συνιστώσα του G}, και CV = {u : u κορυφή τομής του G}. Το γράφημα T = (CC CV, E) όπου E = {(g i, u) : g i CC, {u} CV, {u} V (G i )} ονομάζεται του G. G 1 G G 7 2 g 1 g g 7 2 u 1 u 2 G 4 u 3 G 9 u u g 4 g 9 1 u 2 u 3 G 3 G 5 6 u 6 G 10 g u 5 3 g 6 u 6 G 5 u 4 g 5 u 4 G 8 g 8 g 10 Να δειχθεί ότι: i. Το T είναι διμερές. ii. Το T είναι όντως δένδρο. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

31 k-συνεκτικότητα k Η k(g) ενός γραφήματος G ορίζεται ως το μέγεθος ενός ελαχίστου διαχωριστή του. Ένα γράφημα G με V (G) k + 1 το οποίο έχει ελάχιστο διαχωριστή μεγέθους τουλάχιστον k ονομάζεται k. Για κάθε απλό γραφημα G ισχύει ότι k(g) δ(g) : Έστω απλό γράφημα G και έστω u V (G) : d(u) = δ(g). Έστω N G (u) η γειτονιά της u. Στο γράφημα G\N G (u) η κορυφή u είναι απομονωμένη. N G (u) είναι διαχωριστής του G. k(g) N G (u) = δ(g) Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

32 [Menger-1927] Για κάθε γράφημα G και για κάθε ζεύγος s, t μη γειτονικών κορυφών του G ισχύει ότι το μέγεθος ενός ελαχίστου (s, t)-διαχωριστή του G είναι ίσο με τον μέγιστο αριθμό εσωτερικώς διακεκριμένων (s, t)-μονοπατιών στο G. [Whitney-1932] Ένα γράφημα G είναι k-συνεκτικό ανν για κάθε ζεύγος u, v διαφορετικών κορυφών του G υπάρχουν τουλάχιστον k εσωτερικώς διακεκριμένα (u, v)-μονοπάτια. [Halin-1968] Για κάθε γράφημα G με δ(g) > k(g) υπάρχει ακμή e E(G) τέτοια ώστε k(g\e) = k(g) [δηλαδή η e δεν είναι κρίσιμη ακμή]. Να αποδειχθεί το τμήμα του Θεωρήματος 4.15 κάνοντας χρήση του Θεωρήματος του Halin. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

33 Έστω ένα k-συνεκτικό γράφημα G, k 2. Τότε κάθε k κορυφές του G ανήκουν σε ένα κύκλο του G. Το έχουμε δείξει για k = 2. Έστω ένα γράφημα G. Ο ελάχιστος αριθμός ακμών που πρέπει να αφαιρεθεί από το G ώστε να δημιουργηθεί ένα μη-συνεκτικό γράφημα ονομάζεται του G και συμβολίζεται με λ(g). λ(g) = min { F : F E(G) και G\F μη συνεκτικό} λ(g) = 3 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

34 Για κάθε γράφημα G ισχύει ότι k(g) λ(g) δ(g). : Έστω v κορυφή του G με d(v) = δ(g). Έστω E G (v) οι προσκείμενες στην v ακμές. G\E G (v) είναι μη συνεκτικό γιατί η v είναι απομονωμένη. λ(g) δ(g) (5) Η ανισότητα k(g) λ(g) ισχύει όταν: λ(g) = 0 : Το G είναι μη συνεκτικό. k(g) = 0 λ(g) = 1 Το G περιέχει γέφυρα e = (u, v). Οι {u} και {v} είναι διαχωριστές. k(g) = 1 Έστω λ(g) 2. Έστω e i = (u i, v i ), i = 1,..., λ(g), οι ακμές ενός διαχωριστή ακμών. Αφαιρώντας όλες εκτός από την e 1, παίρνω συνεκτικό γράφημα με γέφυρα. Έστω το σύνολο S = {w : w {u i, v i }, i = 2,..., λ(g), και w u 1, v 1 }. Αν το S είναι διαχωριστής του G k(g) < λ(g). Αν όχι, S {u 1 } είναι διαχωριστής του G k(g) λ(g). Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

35 δ(g) = 3 k(g) = 2 λ(g) = 3 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

36 [Πλευρικό Θεώρημα Menger] Έστω γράφημα G και u, v δυο κορυφές του. Τότε, το μέγιστο πλήθος των πλευρικά ανεξάρτητων (u, v)-μονοπατιών του ισούται με το ελάχιστο πλήθος ακμών που χωρίζουν τις u και v. Αποδείχθηκε από τους Ford-Fulkerson το Μονοπάτια που δεν περιέχουν κοινές ακμές [μπορεί να έχουν κοινές κορυφές]. v 2 e 4 v 5 e 5 e 11 v 1 e 1 e 2 e 3 e 6 v 4 e 8 e 9 v 1 e 1 v 2 e 5 v 4 e 8 v 5 e 11 v 7 e 10 e 12 v 7 v 1 e 2 v 4 e 9 v 7 v 1 e 3 v 3 e 6 v 4 e 10 v 6 e 12 v 7 v 3 e 7 v 6 [Whitney] Έστω γράφημα G για το οποίο ισχύει ότι για όλες τις διακεκριμένες κορυφές του u, v υπάρχουν k πλευρικά ανεξάρτητα (u, v)-μονοπάτια. Τότε λ(g) = k. Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 4η Διάλεξη Φεβρουάριος / 107

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός

ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ. 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 7 η Διάλεξη Συνεκτικότητα (Συνδεσμικότητα) Βασικές έννοιες και ιδιότητες Το θεώρημα του Merger Ισομορφισμός Βασικές Έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετηθεί ο βαθμός συνεκτικότητας (συνδεσμικότητας)

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων

Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων Μετασχηματισμοί, Αναπαράσταση και Ισομορφισμός Γραφημάτων ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3)

Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (3) Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Θεωρία Γραφηµάτων (3) 1 / 23 Απαρίθµηση Μονοπατιών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 015, Α ΜΕΡΟΣ 1. Στους παρακάτω τύπους τα,, είναι προτασιακοί τύποι. Ισχύει ότι: 1. ( Σ / Λ ) O τύπος ( ) ( ) είναι αντίφαση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ0, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 014, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων Δημήτρης Φωτάκης Διακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Ενθαρρυντική εικόνα, σαφώς καλύτερη από

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα

Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κεφάλαιο 6 Διμερή γραφήματα και ταιριάσματα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι C. L. Liu and C. Liu 1985, Cameron 1994, Diestel 2005 και Stanley 1986. 6.1 Διμερή γραφήματα Η κλάση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΛΗ20, ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 203, Α ΜΕΡΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΤΕ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΑΣ ΚΑΙ ΜΗΝ ΑΝΟΙΞΕΤΕ ΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ΑΝ ΔΕΝ ΣΑΣ ΠΕΙ Ο ΕΠΙΤΗΡΗΤΗΣ ΕΠΩΝΥΜΟ ΟΝΟΜΑ... ΠΑΤΡΩΝΥΜΟ...ΤΜΗΜΑ..

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Θεωρία Υπολογισμού. Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις. Αλέξανδρος Τζάλλας 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 3 : Γραφήματα & Αποδείξεις Αλέξανδρος Τζάλλας 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά.

Γράφοι. Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο. Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Γράφοι Ένας γράφος ή αλλιώς γράφηµα αποτελείται απο πλευρές (ακµές) και κορυφές (κόµβους). Εφαρµογές: Τηλεπικοινωνιακά και Οδικά ίκτυα, Ηλεκτρονικά Κυκλώµατα, Β.. κ.ά. Graph Drawing 4 πιθανές αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 1η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 205 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των η Δια λεξη Φεβρουα ριος 205 / 22 Εισαγωγη Διδα σκων: Αντω νιος Συμβω νης ΣΕΜΦΕ, κτι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ο χάρτης το γράφημα Σχήμα 5.3

ο χάρτης το γράφημα Σχήμα 5.3 KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 5.1. Ανακάλυψη Ο W. Leibniz, σε επιστολή του το 1679 προς τον C. Huygens, παρατήρησε ότι "μας χρειάζεται ένα άλλο είδος ανάλυσης, γεωμετρικής ή γραμμικής, που να ασχολείται απ' ευθείας

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:

Διαβάστε περισσότερα

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis

Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Τυχαίοι γράφοι Η διάμετρος του G(n, 2 ln n/n) Ioannis Giotis Θεώρημα για σφαίρες Θα δείξουμε ότι το γράφημα G(n, 2 ln n n 1 ) έχει μικρή διάμετρο Θα ξεκινήσουμε με ένα θεώρημα για το μέγεθος μιας σφαίρας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 7η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 143 / 167 Hamiltonian γραφη ματα κύκλος Hamilton:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 8η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 168 / 182 Χρωματισμοι Γραφημα των Χρωματισμο ς Κορυφω

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι για αυτόματα

Αλγόριθμοι για αυτόματα Κεφάλαιο 8 Αλγόριθμοι για αυτόματα Κύρια βιβλιογραφική αναφορά για αυτό το Κεφάλαιο είναι η Hopcroft, Motwani, and Ullman 2007. 8.1 Πότε ένα DFA αναγνωρίζει κενή ή άπειρη γλώσσα Δοθέντος ενός DFA M καλούμαστε

Διαβάστε περισσότερα

βασικές έννοιες (τόμος Β)

βασικές έννοιες (τόμος Β) θεωρία γραφημάτων Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα βασικές έννοιες (τόμος Α) βασικές έννοιες (τόμος Β) 2 Θεωρία Γραφημάτων Βασική Ορολογία Τόμος Α, Ενότητα 4.1 Βασική Ορολογία Γραφημάτων Γράφημα Γ = (E,V)

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 10η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 05 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 0η Δια λεξη Φεβρουα ριος 05 99 / 0 Χρωματισμο ς Ακμω ν k-χρωματισμός ακμών: Η ανα

Διαβάστε περισσότερα

Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο

Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η σειρά γραπτών και προγραμματιστικών ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Ιανουάριος 2017 CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος 2017 1 / 53 Outline 1 Άσκηση 1:

Διαβάστε περισσότερα

Maximal Independent Set

Maximal Independent Set Maximal Indpndnt St Quick Rviw Μας δίνεται γράφος. Στους κόμβους του βρίσκονται ακίνητοι επεξεργαστές οι οποίοι επικοινωνούν σύγχρονα μέσω των ακμών. Οι επεξεργαστές προσπαθούν να λύσουν ένα πρόβλημα ανταλλάζοντας

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 3η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 48 / 71 Μονοπα τια-κυ κλοι και Αποστα σεις Έστω ε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2 Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων ηµήτρης Ψούνης 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα 2.

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη προτασιακή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Γραφήματα Βασικές Έννοιες και Εφαρμογές Βασικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Δενδρικά Γραφήματα 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 3.1 Εισαγωγή 3.2 Βασικές Ιδιότητες Δένδρων 3.3 Απαρίθμηση Δένδρων 3.4 Γενετικά Δένδρα 3.5 Ελάχιστα Γενετικά Δένδρα Προαπαιτούμενη Γνώση Πολύ καλή γνώση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 9η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 183 / 198 Ταιρια σματα (Matchings) Ταίριασμα: Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1

P(n, r) = n r. (n r)! n r. n+r 1 Διακριτά Μαθηματικά Φροντιστήριο Στοιχειώδης Συνδυαστική ΙΙ 1 / 15 Επανάληψη Κανόνας Αθροίσματος Κανόνας Γινομένου Χωρίς επαναλήψεις στοιχείων P(n, r) = n! (n r)! C(n, r) = ( ) n r Με επαναλήψεις στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή

Μαθηματική Επαγωγή. Τεχνικές Απόδειξης. Αποδείξεις Ύπαρξης. Μαθηματική Επαγωγή Μαθηματική Επαγωγή Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q)

X v (q) = ( x v (q), y v (q), z v (q) ) x u (q) y u (q) z u (q) x v (q) y v (q) z v (q) X 1 u (q) X 1. det. X 2 u (q) X 2. v (q) Κεφάλαιο 2 Κανονικές επιφάνειες Σύνοψη Προκειμένου να ορίσουμε την έννοια της επιφάνειας στον R 3, έχουμε δύο δυνατές προσεγγίσεις. Με την πρώτη μπορούμε να ορίσουμε μια επιφάνεια ως ένα υποσύνολο του

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27)

Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Αλγόριθµοι Ροής σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 27) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: ίκτυα ροής και το πρόβληµα της µέγιστης ροής Η µεθοδολογία Ford-Fulkerson Ο αλγόριθµος Edmonds-Karps ΕΠΛ 232

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη

Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Α. Συμβω νης Ε Μ Π Σ Ε Μ Φ Ε Τ Μ Φεβρουα ριος 2015 Α. Συμβω νης (ΕΜΠ) Θεωρι α Γραφημα των 11η Δια λεξη Φεβρουα ριος 2015 211 / 228 απεικόνιση γραφήματος στο επίπεδο (Embedding):

Διαβάστε περισσότερα

(elementary graph algorithms)

(elementary graph algorithms) (elementary graph algorithms) Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα γραφήματα αναπαραστάσεις οριζόντια διερεύνηση καθοδική διερεύνηση 2 ΓΡΑΦΉΜΑΤΑ 3 αναπαράσταση δύο καθιερωμένοι τρόποι: πίνακας γειτνίασης συλλογή

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs)

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs) Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο Γραφήµατα (Grphs) http://tos.it.tith.gr/~mos/thing_gr.html Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γράφημα (Grph) Oρισμός 1: Έστω το µη

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Ασυμφραστικές Γλώσσες (3) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Μη Ασυμφραστικές Γλώσσες (2.3) Λήμμα Άντλησης για Ασυμφραστικές Γλώσσες Παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15 MAΪOY 14 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήµατα 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΙΓΩΝΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

ΤΡΙΓΩΝΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Τριγωνικά Γραφήματα 273 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΤΡΙΓΩΝΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 9.1 Εισαγωγή 9.2 Χαρακτηρισμοί και Ιδιότητες Τριγωνικών Γραφημάτων 9.3 Αλγοριθμική Παραγωγή Τέλειων Σχημάτων Απαλοιφής 9.4 Αναγνώριση Τριγωνικών Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Άπληστοι Αλγόριθμοι Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Άπληστοι Αλγόριθμοι Είναι δύσκολο να ορίσουμε ακριβώς την έννοια του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα