ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι (Ο Ε 2113)

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι (Ο Ε 2113) ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΜΠΟΥΡΛΑΚΗΣ 1 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΤΜΗΜΑΤΑ: (Α - Λ) ΚΑΙ (Μ - Ω) ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ι (Ο Ε 2113) ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 ΕΜΠΕΙΡΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Μια σειρά µεταπολεµικών µελετών που διεξήχθησαν πάνω στην οικονοµία των Ηνωµένων Πολιτειών της Αµερικής παρουσίασαν τις ακόλουθες εκτιµήσεις για την συµπεριφορά των τοπικών καταναλωτών: (α) Ελαστικότητα της Ζήτησης Βραχυχρόνια Μακροχρόνια ως προς την Τιµή του Προϊόντος Εκτίµηση Εκτίµηση Επισκευές Ραδιόφωνων και Τηλεοράσεων 0,47 3,84 Κινηµατογραφικές Ταινίες 0,87 3,67 Προϊόντα Καπνού 0,46 1,89 Ταξίδια στο Εξωτερικό 0,14 1,77 Ηλεκτρικό Ρεύµα (Νοικοκυριά) 0,13 1,89 Συγκοινωνίες (Τοπικά Λεωφορεία) 0,20 1,20 Ασφάλιση Υγείας 0,31 0,92 Γραφική Ύλη 0,47 0,46 (β) Εισοδηµατική Ελαστικότητα της Ζήτησης Εκτίµηση Επισκευές Ραδιόφωνων και Τηλεοράσεων 5,20 Κινηµατογραφικές Ταινίες 3,41 Ασφάλιση Υγείας 2,02 Ηλεκτρικό Ρεύµα (Νοικοκυριά) 1,94 Συγκοινωνίες (Τοπικά Λεωφορεία) 1,89 Γραφική Ύλη 1,83 Προϊόντα Καπνού 0,86 Μαργαρίνη -0,20 Αλεύρι -0,36 1

2 (γ) Αγαθό Σταυροειδής Ελαστικότητα Εκτίµηση της Ζήτησης του Αγαθού σε σχέση µε Μαργαρίνη Βούτυρο +0,81 Βούτυρο Μαργαρίνη +0,67 Ηλεκτρικό Ρεύµα Φυσικό Αέριο +0,20 (Νοικοκυριά) (Νοικοκυριά) Μοσχαρίσιο Κρέας Χοιρινό Κρέας +0,28 Χοιρινό Κρέας Μοσχαρίσιο Κρέας +0,14 Ζάχαρη Φρούτα -0,28* Τυρί Βούτυρο -0,61* Πηγή Στοιχείων: Houthakker και Taylor (1970), Wold και Jureen (1953), Stone (1954), Taylor και Halvorsen (1977). *: Αναφέρονται σε εκτιµήσεις για το Ηνωµένο Βασίλειο. Με γνώµονα τα παραπάνω δεδοµένα, καλείστε να αναλύσετε την καταναλωτική συµπεριφορά των Αµερικανών. ΑΠΑΝΤΗΣΗ (α) Σύµφωνα µε τις βραχυχρόνιες και µακροχρόνιες εκτιµήσεις για την ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος προτείνουµε τα ακόλουθα: Η βραχυχρόνια εκτίµηση για «Επισκευές Ραδιόφωνων και Τηλεοράσεων» είναι 0,47 το οποίο σηµαίνει ότι µια αύξηση (µείωση) της τιµής κατά 1% θα επιφέρει µια αντίστοιχη µείωση (αύξηση) στη ζήτηση για «Επισκευές Ραδιόφωνων και Τηλεοράσεων» κατά 0,47%. Στο µακροχρόνιο διάστηµα ο καταναλωτής έχει την δυνατότητα να διαθέσει περισσότερο χρόνο σε έρευνα αγοράς ώστε να είναι σε θέση να επιτύχει µια πιο πληροφορηµένη, καλλίτερη και ίσως φθηνότερη επισκευή. Στο µακροχρόνιο διάστηµα µια αύξηση (µείωση) της τιµής κατά 1% θα επιφέρει µια αντίστοιχη µείωση (αύξηση) στην ζήτηση στις «Επισκευές Ραδιόφωνων και Τηλεοράσεων» κατά 3,84%. Με τις εξαιρέσεις της «Γραφικής Ύλης» και της «Ασφάλισης Υγείας» όλες οι εκτιµήσεις για την ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος είναι υψηλότερες στο µακροχρόνιο διάστηµα. Η «Γραφική Ύλη» είναι ένα προϊόν πρώτης ανάγκης και δαπανάται ένα µικρό µέρος του προσωπικού εισοδήµατος για την αγορά του. Αναπόφευκτα, η βραχυχρόνια και η µακροχρόνια εκτίµηση για τη «Γραφική Ύλη» δεν διαφέρουν σηµαντικά. Η «Ασφάλιση Υγείας», από την άλλη πλευρά, έχει χαµηλή ελαστικότητα ζήτησης τόσο στο µακροχρόνιο, όσο και στο βραχυχρόνιο ορίζοντα, γιατί είναι µια υπηρεσία απόλυτα απαραίτητη για την παροχή υγείας στον Αµερικανό πολίτη, και πιθανότατα χωρίς εναλλακτική 2

3 επιλογή στο µακροχρόνιο διάστηµα, κάτι που καθιστά τον Αµερικανό πολίτη «µη ευαίσθητο» σε αλλαγές της τιµής της παρεχόµενης υπηρεσίας. Από τα υπόλοιπα αγαθά αξίζει να προσέξουµε την περίπτωση του «Ηλεκτρικού Ρεύµατος» για νοικοκυριά, όπου η µακροχρόνια εκτίµηση είναι 1,89 (Ελαστική Ζήτηση) έναντι 0,13 της βραχυχρόνιας εκτίµησης. Το παραπάνω προτείνει ότι τα νοικοκυριά έχουν την δυνατότητα εναλλακτικής επιλογής στην παροχή ηλεκτρικής ενέργειας στο µακροχρόνιο διάστηµα. Επιπρόσθετα, οι «Συγκοινωνίες» (Τοπικά Λεωφορεία), έχουν χαµηλή ελαστικότητα ζήτησης 0,20 στο βραχυχρόνιο διάστηµα όπου συνήθως ένας πολίτης είναι «βιαστικός» να µεταβεί κάπου, ενώ αντίθετα είναι µια υπηρεσία µε πολλαπλές εναλλακτικές επιλογές στο µακροχρόνιο διάστηµα και η ελαστικότητα ζήτησης αυξάνεται κατά µια ποσοστιαία µοναδα στο 1,20 (β) Οι εκτιµήσεις αναφορικά µε την εισοδηµατική ελαστικότητα της ζήτησης οδηγούν στα ακόλουθα συµπεράσµατα: Η εµπειρική εκτίµηση για «Επισκευές Ραδιόφωνων και Τηλεοράσεων» είναι 5,20 το οποίο σηµαίνει ότι µια αύξηση (µείωση) του εισοδήµατος των Αµερικανών καταναλωτών κατά 1% θα επιφέρει µια αντίστοιχη αύξηση (µείωση) στην ζήτηση για «Επισκευές Ραδιόφωνων και Τηλεοράσεων» κατά 5,20%. Τα κανονικά αγαθά «Επισκευές Ραδιόφωνων και Τηλεοράσεων», «Κινηµατογραφικές Ταινίες», «Ασφάλιση Υγείας», «Ηλεκτρικό Ρεύµα» (Νοικοκυριά), «Συγκοινωνίες» (Τοπικά Λεωφορεία) και «Γραφική Ύλη» θεωρούνται βάσει των εκτιµήσεων αγαθά πολυτελείας για τους Αµερικανούς καταναλωτές, εφόσον η εισοδηµατική τους ελαστικότητα είναι µεγαλύτερη της µονάδος. Το κανονικό αγαθό «Προϊόντα Καπνού» από την άλλη πλευρά, θεωρείται σαν ένα αγαθό πρώτης ανάγκης, εφόσον η εισοδηµατική του ελαστικότητα είναι µεγαλύτερη του µηδενός αλλά µικρότερη της µονάδος. Τα αγαθά «Μαργαρίνη» και «Αλεύρι» θεωρούνται βάσει των εκτιµήσεων κατώτερα αγαθά για τους Αµερικανούς καταναλωτές µε εκτιµήσεις ως προς την εισοδηµατική ελαστικότητά τους µικρότερες του µηδενός. Μια αύξηση (µείωση) του εισοδήµατος των Αµερικανών καταναλωτών κατά 1% θα επιφέρει µια αντίστοιχη µείωση (αύξηση) στην ζήτηση για «Μαργαρίνη» και «Αλεύρι» κατά 0,20% και 0,36% αντίστοιχα. (γ) Οι εκτιµήσεις αναφορικά µε την σταυροειδή ελαστικότητα της ζήτησης οδηγούν στις εξής προτάσεις: Τα ζεύγη αγαθών «Μαργαρίνη» και «Βούτυρο», «Βούτυρο» και «Μαργαρίνη», «Ηλεκτρικό Ρεύµα» και «Φυσικό Αέριο» για νοικοκυριά, «Μοσχαρίσιο Κρέας» και «Χοιρινό Κρέας», καθώς και «Χοιρινό Κρέας» και «Μοσχαρίσιο Κρέας» είναι αγαθά υποκατάστατα, καθώς οι εκτιµήσεις της σταυροειδούς τους ελαστικότητας είναι θετικοί αριθµοί. Τα ζεύγη αγαθών «Ζάχαρη» και «Φρούτα», καθώς και 3

4 «Τυρί» και «Βούτυρο» καταναλώνονται σαν συµπληρωµατικά προϊόντα στο Ηνωµένο Βασίλειο, καθώς οι εκτιµήσεις της σταυροειδούς τους ελαστικότητας φέρουν αρνητικά πρόσηµα. Η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης της «Μαργαρίνης» σε σχέση µε το «Βούτυρο» είναι 0,81. Μια αύξηση (µείωση) στην τιµή για το «Βούτυρο» κατά 1% συνοδεύεται από µια αύξηση (µείωση) στην ζητούµενη ποσότητα για «Μαργαρίνη» κατά 0,81%. Η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης για «Βούτυρο» σε σχέση µε τη «Μαργαρίνη» είναι 0,67. Μια αύξηση (µείωση) στην τιµή της «Μαργαρίνης» κατά 1% επιφέρει µια αύξηση (µείωση) στην ζητούµενη ποσότητα για «Βούτυρο» κατά 0,67%. Οι Αµερικανοί καταναλωτές αντιδρούν πιο έντονα σε µεταβολές στην τιµή για το «Βούτυρο», παρά σε µεταβολές στην τιµή της «Μαργαρίνης», το οποίο προτείνει ότι η ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή είναι µεγαλύτερη για το αγαθό «Βούτυρο» έναντι του αγαθού «Μαργαρίνη». Η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης για «Μοσχαρίσιο Κρέας» σε σχέση µε το «Χοιρινό Κρέας» είναι 0,28. Μια αύξηση (µείωση) στην τιµή του «Χοιρινού Κρέατος» κατά 1% συνοδεύεται από µια αύξηση (µείωση) στην ζητούµενη ποσότητα για «Μοσχαρίσιο Κρέας» κατά 0,28%. Η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης για «Χοιρινό Κρέας» σε σχέση µε το «Μοσχαρίσιο Κρέας» είναι 0,14. Μια αύξηση (µείωση) στην τιµή του «Μοσχαρίσιου Κρέατος» κατά 1% επιφέρει µια αύξηση (µείωση) στη ζητούµενη ποσότητα για «Χοιρινό Κρέας» κατά 0,14%. Οι Αµερικανοί καταναλωτές αντιδρούν και εδώ πιο έντονα σε µεταβολές της τιµής του «Χοιρινού Κρέατος», παρά σε µεταβολές στην τιµή του «Μοσχαρίσιου Κρέατος», το οποίο προτείνει ότι η ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή είναι µεγαλύτερη για το αγαθό «Χοιρινό Κρέας» έναντι του αγαθού «Μοσχαρίσιο Κρέας». Όσον αφορά τα αγαθά «Ηλεκτρικό Ρεύµα» και «Φυσικό Αέριο» για τα αµερικάνικα νοικοκυριά, µια αύξηση (µείωση) στην τιµή του «Φυσικού Αερίου» κατά 1% συνοδεύεται από µια αύξηση (µείωση) στην ζητούµενη ποσότητα για «Ηλεκτρικό Ρεύµα» κατά 0,20%. Τα ζεύγη αγαθών «Ζάχαρη» και «Φρούτα», καθώς και «Τυρί» και «Βούτυρο» καταναλώνονται όπως αναφέραµε παραπάνω σαν συµπληρωµατικά προϊόντα στο Ηνωµένο Βασίλειο. Η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης για «Ζάχαρη» σε σχέση µε τα «Φρούτα» είναι -0,28. Μια αύξηση (µείωση) στην τιµή των «Φρούτων» κατά 1% συνοδεύεται από µια µείωση (αύξηση) στη ζητούµενη ποσότητα για «Ζάχαρη» κατά 0,28%. Η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης για «Τυρί» σε σχέση µε το «Βούτυρο» είναι -0,61. Μια αύξηση (µείωση) στην τιµή για το «Βούτυρο» κατά 1% συνοδεύεται από µια µείωση (αύξηση) στη ζητούµενη ποσότητα για «Τυρί» κατά 0,61%. 4

5 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 ίνονται οι ακόλουθες συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς για τα εξαρτηµένα αγαθά (1) και (2): Ζ 1 = 10 4Τ 1 + 2Τ 2 Ζ 2 = 5 + 4Τ 1 4Τ 2 Π 1 = Τ 1 Π 2 = Τ 2 όπου Ζ 1 και Ζ 2 είναι οι ζητούµενες ποσότητες (σε µονάδες αγαθών) για τα αγαθά (1) και (2) αντίστοιχα, Π 1 και Π 2 είναι οι προσφερόµενες ποσότητες (σε µονάδες αγαθών) για τα αγαθά (1) και (2) αντίστοιχα, και Τ 1 και Τ 2 είναι οι τιµές των αγαθών (1) και (2) αντίστοιχα (σε ). Να ευρεθεί αν τα δύο αγαθά είναι συµπληρωµατικά ή υποκατάστατα, καθώς και οι τιµές και οι ποσότητες ισορροπίας στις αγορές των δύο αγαθών σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 1 Τα δεδοµένα της Άσκησης 1 ανήκουν στην ακόλουθη γενική µορφή των γραµµικών «καµπυλών ζήτησης»: Z1 = α1 + β1τ1 + γ1τ2 (1) Z2 = α2 + β2τ1 + γ2τ2 (2) όπου Τ1 και Τ2 είναι οι τιµές δύο εξαρτηµένων αγαθών (συµπληρωµατικά ή υποκατάστατα). Για την εξίσωση (1) του αγαθού (1) ισχύει: α1 > 0 και β1 < 0 σύµφωνα µε το νόµο της ζήτησης. Για γ1 > 0 τα αγαθά (1) και (2) είναι υποκατάστατα αγαθά. Για γ1 < 0 τα αγαθά (1) και (2) είναι συµπληρωµατικά αγαθά. Για την εξίσωση (2) του αγαθού (2) ισχύουν οι ανάλογες παραδοχές: α2 > 0 και γ2 < 0 σύµφωνα µε το νόµο της ζήτησης. Για β2 > 0 τα αγαθά (1) και (2) είναι υποκατάστατα αγαθά. Για β2 < 0 τα αγαθά (1) και (2) είναι συµπληρωµατικά αγαθά. Σύµφωνα µε τα δεδοµένα της Άσκησης 1 τα αγαθά (1) και (2) είναι υποκατάστατα επειδή: γ1 = 2 > 0 και β2 = 4 > 0. Σε ισορροπία και στις δύο αγορές η προσφερόµενη ποσότητα είναι ίση µε τη ζητούµενη ποσότητα: 5

6 Ζ1 = Π1 και Ζ2 = Π2 (3) Εάν εκφράσουµε την (3) υπό τη µορφή των δεδοµένων εξισώσεων: 10 4Τ1 + 2Τ2 = Τ1 (4) 5 + 4Τ1 4Τ2 = Τ2 (5) Λύνουµε την (4) ως προς Τ2: Τ2 = [(8Τ1 13) / 2] (6) Αντικαθιστούµε την (6) στην εξίσωση (5) και λύνουµε ως προς Τ1: Τ1 = 2 (7) Με αντικατάσταση της τιµής Τ1 = 2 στην (6) λαµβάνουµε: Τ2 = 1,5 (8) Οι τιµές ισορροπίας στις αγορές (1) και (2) είναι Τ1 = 2 και Τ2 = 1,5 αντίστοιχα. Με αντικατάσταση των τιµών ισορροπίας στις αρχικές συναρτήσεις ζήτησης ή προσφοράς βρίσκουµε: Π1 = Ζ1 = 5 (9) Π2 = Ζ2 = 7 (10) Οι ποσότητες ισορροπίας στις δύο αγορές είναι αντίστοιχα 5 µονάδες για το αγαθό (1) και 7 µονάδες για το αγαθό (2). 6

7 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 είξτε και εξηγήστε ότι αν η εξίσωση της «καµπύλη ζήτησης» είναι γραµµική, η ελαστικότητα της ζήτησης είναι ανεξάρτητη από την κλίση της «καµπύλης ζήτησης». ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 1 Έστω η «αντίστροφη συνάρτηση» της γραµµικής «καµπύλης ζήτησης»: T = α Π + β (1) όπου Τ = Η τιµή του προϊόντος, Π = Η ποσότητα του προϊόντος, και α < 0, β > 0 σύµφωνα µε το νόµο της ζήτησης. Εάν λύσουµε τη γραµµική εξίσωση (1) ως προς την ποσότητα του προϊόντος (Π), η (1) µετασχηµατίζεται ως: Π = (1/α) (Τ β) (2) Η ελαστικότητα ζήτησης σηµείου (Ε) για την (2) είναι: Ε = - [(dπ / dτ)(τ / Π)] = -(1/α)(Τ / Π) = -(1/α) [Τ / (1/α)(Τ β)] = - [Τ / (Τ β)] = = [Τ / (β Τ)] (3) όπου στην (3) η ελαστικότητα της ζήτησης (Ε) είναι ανεξάρτητη από την κλίση (α) της «καµπύλης ζήτησης». Τ β Τ β 1 β 2 Τ* Α Β Τ* Γ 0 Π 0 Π ΙΑΓΡΑΜΜΑ 1 ΙΑΓΡΑΜΜΑ 2 Στο ιάγραµµα 1 η ελαστικότητα ζήτησης σηµείου είναι ίδια στα σηµεία Α και Β: ΕΑ = ΕΒ = [Τ* / (β - Τ*)] (4) Στο ιάγραµµα 2 η ελαστικότητα ζήτησης στο σηµείο Γ είναι µικρότερη από την ελαστικότητα ζήτησης στο σηµείο : Ε Γ = [Τ* / (β 1 - Τ*)] (5) Ε = [Τ* / (β 2 - Τ*)] (6) 7

8 Όπου: β1 > β2 ΕΓ < Ε Για παράδειγµα, στις ακόλουθες «αντίστροφες συναρτήσεις» ζήτησης: Τ1 = 30 2Π1 (7) Τ2 = 30 12Π2 (8) Για την τιµή Τ1 = Τ2 = 6, η ελαστικότητα ζήτησης σηµείου (Ε) στις παραστάσεις (7) και (8) υπολογίζεται αντίστοιχα ως Ε1 = [6 / (30 6)] = (1/4) και Ε2 = [6 / (30 6)] = (1/4). ΑΣΚΗΣΗ 2 Να δείξετε ότι η ελαστικότητα της ζήτησης στην ακόλουθη «αντίστροφη συνάρτηση» ζήτησης ισούται µε την µονάδα: Τ = (Κ / Π) όπου Τ είναι η τιµή του προϊόντος, Π είναι η ζητούµενη ποσότητα του προϊόντος και Κ ένας σταθερός αριθµός. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 2 Εκφράζουµε την δοθείσα «αντίστροφη συνάρτηση» ζήτησης ως προς την ποσότητα: Τ = (Κ / Π) Π = (Κ / Τ) (1) Η ελαστικότητα της ζήτησης δίνεται ως: Ε Ζ = -( Π / Τ) (Τ / Π) (2) Σύµφωνα µε το νόµο του πηλίκου η παράγωγος του ( Π / Τ) υπολογίζεται ως: (dπ / dτ) = (Κ / Τ) = [(Κ) Τ Κ (Τ) ] / Τ 2 = Κ / Τ 2 (3) Με αντικατάσταση της παράστασης (3) στην (2) λαµβάνουµε: ΕΖ = -( Π / Τ) (Τ / Π) = - (- Κ / Τ 2 )[Τ / (Κ / Τ)] = (Κ / Τ 2 ) (Τ 2 / Κ) = 1 (4) Η παραπάνω συνάρτηση ζήτησης µε µοναδιαία ελαστικότητα σε όλο το µήκος της, αναφέρεται σε καµπύλη ζήτησης που έχει την µορφή ορθογώνιας υπερβολής. Όταν η καµπύλη ζήτησης έχει την µορφή ορθογώνιας υπερβολής, το συνολικό έσοδο της επιχείρησης παραµένει σταθερό για οποιονδήποτε συνδυασµό τιµής και ποσότητας. ΑΣΚΗΣΗ 3 Να ευρεθεί η τιµή για την οποία η ελαστικότητα της ζήτησης στην ακόλουθη «αντίστροφη συνάρτηση» ζήτησης ισούται µε την µονάδα: 4Τ = 60 Π, όπου Τ είναι η τιµή του προϊόντος και Π είναι η ζητούµενη ποσότητα του προϊόντος. 8

9 ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 3 Εκφράζουµε την δοθείσα «αντίστροφη συνάρτηση» ζήτησης ως προς την τιµή Τ: 4Τ = (60 - Π) Τ = 15 (Π / 4) (1) Με αντικατάσταση στον τύπο της ελαστικότητας της ζήτησης για την περίπτωση της γραµµικής συνάρτησης ζήτησης λύνουµε ως: ΕΖ = [(Τ) / (β - Τ)] 1 = [Τ / (15 Τ)] Τ = 7,5 (2) όπου η παράµετρος (β) στη γραµµική συνάρτηση ζήτησης (1) λαµβάνει την τιµή 15. ΑΣΚΗΣΗ 4 ίνεται η ακόλουθη «αντίστροφη» γραµµική «καµπύλη ζήτησης»: Τ = 12 (Π / 2) όπου Τ είναι η τιµή του προϊόντος και Π είναι η παραγόµενη ποσότητα του προϊόντος. Να ευρεθεί η τιµή που µεγιστοποιεί το συνολικό έσοδο (ΣΕ) για το παραγόµενο προϊόν. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 4 Με γραµµική «καµπύλη ζήτησης» γνωρίζουµε ότι το συνολικό έσοδο (ΣΕ) µεγιστοποιείται στο σηµείο όπου το οριακό έσοδο (ΟΕ) είναι ίσο µε µηδέν, καθώς επίσης ότι στο σχετικό σηµείο η ελαστικότητα της ζήτησης (Ε Ζ ) είναι ίση µε τη µονάδα. Από τον τύπο που συνδέει το οριακό έσοδο (ΟΕ) µε την τιµή του προϊόντος (Τ) και την απόλυτη τιµή της ελαστικότητας της ζήτησης (ΕΖ) λαµβάνουµε: (ΟΕ) = (Τ) [1 (1 / Ε Ζ )] (1) Η παράσταση (1) είναι ίση µε το µηδέν εφόσον Ε Ζ = 1. Έχουµε τη δυνατότητα να εκτιµήσουµε την τιµή (Τ) που µεγιστοποιεί το συνολικό έσοδο, αν αντικαταστήσουµε στην παράσταση (1) την τιµή της ελαστικότητας της ζήτησης που αναφέρεται στην περίπτωση της γραµµικής συνάρτησης ζήτησης: (ΟΕ) = (Τ) [1 (1 / Ε Ζ )] = Τ [1 {1 / ((Τ) / (12 - Τ))}] = = 2Τ 12 = 0 Τ = 6 (2) Εποµένως η τιµή που µεγιστοποιεί το συνολικό έσοδο (ΣΕ) για το παραγόµενο προϊόν είναι η τιµή Τ = 6. ΑΣΚΗΣΗ 5 ίνεται η ακόλουθη συνάρτηση ζήτησης: Ζ Τ = 8000Τ-1,5 Όπου: ΖΤ = Η ζητούµενη ποσότητα του προϊόντος, και Τ = Η τιµή του προϊόντος. Να ευρεθεί η ελαστικότητα της ζήτησης. 9

10 ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 5 Η συνάρτηση ζήτησης Ζ Τ είναι της γενικής µορφής: f(x) = αx β (α,β σταθεροί αριθµοί και α, β 0) (1) Η ελαστικότητα της ζήτησης ΕΖ για τις συναρτήσεις της µορφής (1) δίνεται ως: ΕΖ f(x) = [x / f(x)] f (x) (2) όπου f (x) είναι η πρώτη παράγωγος της συνάρτησης f(x). Σύµφωνα µε την παράσταση (2) η παράσταση (1) µπορεί να γραφεί ως: ΕΖ f(x) = ΕΖ (αx β ) = [(x) / (αx β )] (α β x β-1 ) = β (3) Λαµβάνοντας υπόψη τις παραστάσεις (1), (2) και (3) µπορούµε να γράψουµε τη δοθείσα συνάρτηση ζήτησης ΖΤ = 8000Τ -1,5 ως: ΕΖ (ΖΤ) = [(Τ / 8000Τ -1,5 )] [8000 (-1,5) Τ -2,5 ] = = [(Τ / 8000Τ-1,5)] [ Τ-2,5] = -1,5 (4) Η παράσταση (4) προτείνει ότι στην περίπτωση µιας εκθετικής συνάρτησης ζήτησης, η ελαστικότητα της ζήτησης είναι ο εκθέτης της συνάρτησης. ΑΣΚΗΣΗ 6 Η συνάρτηση ζήτησης για εισιτήρια κινηµατογράφου (Π ) έχει την ακόλουθη µορφή: Κ Π Κ = Τ Κ Τ Θ + 0,2 Ε + 0,1 Όπου: Π = Ο αριθµός εισιτηρίων κινηµατογράφου που ζητούνται, Κ Τ Κ = Η τιµή εισιτηρίων κινηµατογράφου, Τ Θ = Η τιµή εισιτηρίων θεάτρου, Ε = Το µέσο οικογενειακό εισόδηµα, και = Η συνολική διαφηµιστική δαπάνη των κινηµατογραφικών ταινιών. Αν Τ Κ = 10, Τ Θ = 20, Ε = και = (α) Να ευρεθεί η µεταβολή στην ζήτηση για εισιτήρια κινηµατογράφου αν η τιµή εισιτηρίων κινηµατογράφου αυξηθεί κατά 5, η τιµή εισιτηρίων του θεάτρου κατά 5, το µέσο οικογενειακό εισόδηµα κατά 2000 και η συνολική διαφηµιστική δαπάνη των κινηµατογραφικών ταινιών κατά (β) Να εκτιµηθούν οι ελαστικότητες των ανεξάρτητων µεταβλητών της δοθείσας εξίσωσης και να αξιολογήσετε τα αποτελέσµατα. 10

11 ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 6 (α) Για να ευρεθεί η µεταβολή στην ζήτηση για εισιτήρια κινηµατογράφου αν η τιµή του εισιτηρίου κινηµατογράφου αυξηθεί κατά 5, η τιµή εισιτηρίων του θεάτρου κατά 5, το µέσο οικογενειακό εισόδηµα κατά 2000 και η συνολική διαφηµιστική δαπάνη των κινηµατογραφικών ταινιών κατά 10000, είναι απαραίτητο να ευρεθεί το ολικό διαφορικό της δοθείσας συνάρτησης ζήτησης για εισιτήρια κινηµατογράφου (Π Κ ): d(π Κ ) = [( Π Κ / Τ Κ )] dτ Κ + [( Π Κ / Τ Θ )] dτ Θ + [( Π Κ / Ε)] dε + + [( Π Κ / )] d (1) Η παράσταση (1) απαιτεί την εκτίµηση των µερικών παραγώγων της δοθείσας εξίσωσης για εισιτήρια κινηµατογράφου για τις ανεξάρτητες µεταβλητές Τ Κ (η τιµή εισιτηρίων κινηµατογράφου), Τ Θ (η τιµή εισιτηρίων θεάτρου), Ε (το µέσο οικογενειακό εισόδηµα), και (η συνολική διαφηµιστική δαπάνη των κινηµατογραφικών ταινιών: ( Π Κ / Τ Κ ) = (2) ( Π / Τ ) = 200 (3) Κ Θ ( Π Κ / Ε ) = 0,2 (4) ( Π Κ / ) = 0,1 (5) Με αντικατάσταση στην παράσταση (1) των τιµών των παραστάσεων (2), (3), (4) και (5), καθώς επίσης και όλων των µεταβολών των τιµών των ανεξάρτητων µεταβλητών λαµβάνουµε: d(π Κ ) = (-1000) (5) + (200) (5) + (0,2) (2000) + (0,1) (10000) = (6) Όπως υπολογίζεται στην παράσταση (6), η µεταβολή στην ζήτηση για εισιτήρια κινηµατογράφου αν η τιµή του εισιτηρίου κινηµατογράφου αυξηθεί κατά 5, η τιµή εισιτηρίων του θεάτρου κατά 5, το µέσο οικογενειακό εισόδηµα κατά 2000 και η συνολική διαφηµιστική δαπάνη των κινηµατογραφικών ταινιών κατά 10000, είναι µια πτώση στην ζήτηση της τάξης των εισιτηρίων κινηµατογράφου (dπ Κ = ). (β) Σαν πρώτο βήµα αντικαθιστούµε στην δοθείσα συνάρτηση ζήτησης για εισιτήρια κινηµατογράφου (Π ) τις αρχικά δοθείσες τιµές Τ = 10, Τ = 20, Ε = και = : Κ Κ Θ Π Κ = (1000) (10) + (200) (20) + (0,2) (10000) + (0,1) (20000) = (7) 11

12 Σύµφωνα µε το ευρεθέν στην παράσταση (7), η ζήτηση για εισιτήρια κινηµατογράφου για τις αρχικά δοθείσες τιµές Τ Κ = 10, Τ Θ = 20, Ε = και = ανέρχεται σε εισιτήρια. Η ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή για εισιτήρια κινηµατογράφου (ΕΖΚ) υπολογίζεται ως: ΕΖΚ = - ( Π Κ / Τ Κ ) (Τ Κ / Π Κ ) = -1000(10/12000) = -0,833 (8) Η ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή για εισιτήρια κινηµατογράφου (ΕΖΚ) είναι ανελαστική (λαµβάνει τιµή µικρότερη του µηδενός σαν απόλυτος αριθµός), κάτι το οποίο σηµαίνει ότι αύξηση κατά 1% στα εισιτήρια του κινηµατογράφου θα έχει σαν αποτέλεσµα µια µικρή πτώση στην ζήτηση για εισιτήρια κινηµατογράφου της τάξης του 0,833%. Αν όµως η τιµή αυξηθεί στα 15 (Τ Κ = 15 ) η ζήτηση για εισιτήρια κινηµατογράφου (Π Κ ) θα πέσει σε 7000 εισιτήρια όπως υπολογίζεται ακολούθως στην παράσταση (9): Π = (1000) (15) + (200) (20) + (0,2) (10000) + (0,1) (20000) = 7000 (9) Κ Η ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή για εισιτήρια κινηµατογράφου (Ε ΖΚ ) αν τιµή αυξηθεί στα 15 (Τ Κ = 15 ) εκτιµάται ως: Ε ΖΚ = - ( Π Κ / Τ Κ ) (Τ Κ / Π Κ ) = -1000(15/7000) = -2,142 (10) Παρατηρούµε στην παράσταση (10) ότι η ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή για εισιτήρια κινηµατογράφου (Ε ΖΚ ) είναι τώρα ελαστική (λαµβάνει τιµή µεγαλύτερη του µηδενός σαν απόλυτος αριθµός και ίση προς 2,142), το οποίο τώρα µεταφράζεται ότι µια αύξηση κατά 1% στα εισιτήρια του κινηµατογράφου θα έχει σαν αποτέλεσµα µια σηµαντική πτώση (ανερχόµενη σε 2,142%) στην ζήτηση για εισιτήρια κινηµατογράφου ή όπως µαρτυρά η παράσταση (9) σε µια πτώση σε 7000 εισιτήρια από το αρχικό επίπεδο των εισιτηρίων όταν η τιµή ήταν 10. Εν προκειµένω, η αύξηση της τιµής για εισιτήρια κινηµατογράφου από 10 σε 15 σηµαίνει ότι η τιµή των 10 αντιστοιχεί σε πιο ανελαστική περιοχή της καµπύλης ζήτησης, ενώ η τιµή των 15 αντιστοιχεί σε περισσότερο ελαστικό τµήµα της καµπύλης ζήτησης για εισιτήρια κινηµατογράφου. Οι δυσµενής επίπτωση της αύξησης της τιµής από 10 σε 15 στο συνολικό έσοδο (ΣΕ) που αποφέρουν τα εισιτήρια κινηµατογράφου επιβεβαιώνεται µε τον ακόλουθο υπολογισµό των δύο συνολικών εσόδων: (ΣΕ) (για Τ Κ = 10 ) = (Τ Κ ) (Π Κ ) = (10) (12000) = (11) (ΣΕ) (για Τ Κ = 15 ) = (Τ Κ ) (Π Κ ) = (15) (7000) = (12) Η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή για εισιτήρια θεάτρου (ΕΖΘ ) υπολογίζεται ως: 12

13 ΕΖΘ = ( Π Κ / Τ Θ ) (Τ Θ / Π Κ ) = 200(20/12000) = 0,333 (13) Στην παράσταση (13) διαπιστώνουµε ότι η σταυροειδής ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή για εισιτήρια κινηµατογράφου (ΕΖΘ) είναι θετική εφόσον πρόκειται για δύο υποκατάστατα αγαθά (κινηµατογράφος και θέατρο). Μια αύξηση της τάξης του 1% στα εισιτήρια του θεάτρου θα επιφέρει αύξηση κατά 0,333% στην ζήτηση για εισιτήρια κινηµατογράφου. Η εισοδηµατική ελαστικότητα της ζήτησης για εισιτήρια κινηµατογράφου (ΕΖΕ) υπολογίζεται ως: ΕΖΕ = ( Π Κ / Ε) (Ε / Π Κ ) = 0,2(10000/12000) = 0,166 (14) Η παράσταση (14) προτείνει ότι η εισοδηµατική ελαστικότητα για εισιτήρια κινηµατογράφου (ΕΖΕ ) είναι θετική αλλά µικρότερη της µονάδος και αναφέρεται σε ένα αγαθό κανονικό και πρώτης ανάγκης (κινηµατογράφος). Μια αύξηση κατά 1% στο εισόδηµα των φίλων του κινηµατογράφου θα έχει ως επακόλουθο µια αύξηση κατά 0,166% στην ζήτηση για εισιτήρια κινηµατογράφου. 13

14 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ, ΕΙ ΙΚΟΣ ΦΟΡΟΣ (ΕΜΜΕΣΟΣ ΦΟΡΟΣ) ΕΠΙ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ, ΚΑΙ ΕΠΙ ΟΤΗΣΗ ΕΠΙ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΤΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 ίνονται οι ακόλουθες «αντίστροφες» συναρτήσεις ζήτησης D(q) και προσφοράς S(q) για ένα αγαθό: P = - 2QD + 50 P = 0,5 QS + 25 όπου QD είναι η ζητούµενη ποσότητα του προϊόντος, Q S είναι η προσφερόµενη ποσότητα του προϊόντος και P είναι η τιµή του προϊόντος (σε ανά µονάδα προϊόντος). (α) Να καθορισθεί η τιµή και η ποσότητα ισορροπίας του προϊόντος όταν η αγορά ευρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού. (β) Αν η κυβέρνηση επιβάλλει στο αγαθό ένα έµµεσο φόρο 5 (ανά µονάδα προϊόντος) επί των πωλήσεων, να ευρεθεί η νέα τιµή και η νέα ποσότητα ισορροπίας του προϊόντος. (γ) Να εκτιµηθεί πως κατανέµεται η επιβάρυνση του φόρου των 5 µεταξύ των καταναλωτών και των παραγωγών του προϊόντος. (δ) Να ευρεθούν οι ελαστικότητες της ζήτησης και της προσφοράς του προϊόντος πριν την επιβολή του έµµεσου φόρου των 5 Є ανά µονάδα πωλούµενου προϊόντος. (ε) Η κυβέρνηση της χώρας χορηγεί προς τους παραγωγούς του προϊόντος, µια επιδότηση (S - subsidy) ύψους 2 ανά µονάδα προϊόντος ετησίως πάνω στην πλήρως ανταγωνιστική τιµή της αγοράς του προϊόντος. Με εφαλτήριο τις εκτιµήσεις των ελαστικοτήτων της ζήτησης και της προσφοράς ως προς την τιµή του προϊόντος, να εκτιµηθεί το ποσοστιαίο όφελος των καταναλωτών από την επιδότηση (S) ύψους 2 ανά µονάδα προϊόντος ετησίως προς τους παραγωγούς του προϊόντος στην εν λόγω αγορά προϊόντος. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 1 (α) Σε κατάσταση ισορροπίας η προσφερόµενη (QS) και η ζητούµενη (QD) ποσότητα για το προϊόν είναι ίσες (QE ): Q D = Q S = Q E (1) 14

15 Όπου QE είναι η ποσότητα ισορροπίας. Άρα - 2 QD + 50 = 0,5 QS QE + 50 = 0,5 QE + 25 (2) Από την (2) βρίσκουµε ότι η ποσότητα ισορροπίας (QE) είναι ίση µε 10. QD = Q S = Q E = 10 Μονάδες Προϊόντος (3) Με αντικατάσταση της ευρεθείσας ποσότητας ισορροπίας (QE = 10) είτε στην «αντίστροφη» συνάρτηση ζήτησης είτε στην «αντίστροφη» συνάρτηση προσφοράς ευρίσκεται η τιµή ισορροπίας (P E ) του προϊόντος. Έστω µε αντικατάσταση του Q E = 10 Μονάδες στην «αντίστροφη» συνάρτηση ζήτησης: (P E ) = - 2Q D + 50 = -2(10) + 50 = 30 (4) Σε κατάσταση ισορροπίας στην αγορά του προϊόντος η τιµή και η ποσότητα ισορροπίας καθορίζονται ως 30 και 10 (Μονάδες Προϊόντος) αντίστοιχα. (β) Στην περίπτωση που η κυβέρνηση επιβάλλει στο αγαθό ένα έµµεσο φόρο 5 (ανά µονάδα προϊόντος) επί των πωλήσεων, ο πωλητής (παραγωγός) του προϊόντος λαµβάνει για κάθε µονάδα πώλησης του προϊόντος ένα ποσό που ισούται µε την νέα τιµή που θα διαµορφωθεί στην αγορά (PΝ) µείον το ύψος του φόρου (5 ). ηλαδή ο παραγωγός θα είναι διατεθειµένος να διαθέσει στην αγορά την ποσότητα που αντιστοιχεί στην τιµή (PΝ 5). Η νέα «αντίστροφη» συνάρτηση προσφοράς λαµβάνει τη µορφή: (P Ν 5) = 0,5Q S + 25 P Ν = 0,5Q S + 30 (5) Με εξίσωση της νέας «αντίστροφης» συνάρτησης προσφοράς της παράστασης (5) και της αρχικής «αντίστροφης» συνάρτησης ζήτησης (Q D ), ευρίσκουµε τη νέα τιµή (P Ν ) και τη νέα ποσότητα ισορροπίας (Q ΝE ) ως ακολούθως: - 2Q D + 50 = 0,5Q S + 30 (6) Από την (6) βρίσκουµε ότι η νέα ποσότητα ισορροπίας (QNE) είναι ίση µε 8 Μονάδες. QD = QS = QNE = 8 Μονάδες Προϊόντος (7) Με αντικατάσταση της νέας ποσότητας ισορροπίας QΝE = 8 (Μονάδες Προϊόντος) είτε στην «αντίστροφη» συνάρτηση ζήτησης είτε στη νέα «αντίστροφη» συνάρτηση προσφοράς 15

16 στην παράσταση (6), ευρίσκεται ότι η νέα τιµή ισορροπίας (PΝ ) είναι ίση µε 34 (P Ν = 34 ). (γ) Η επιβολή του έµµεσου φόρου των 5 ανά µονάδα προϊόντος που πωλείται, είχε ως αποτέλεσµα τη µετακίνηση της καµπύλης προσφοράς προς τα αριστερά, ενώ η καµπύλη ζήτησης παρέµεινε αµετάβλητη. Η επίπτωση του φόρου µείωσε την προσφερόµενη ποσότητα από 10 σε 8 µονάδες προϊόντος, και αύξησε την τιµή του προϊόντος από 30 σε 34. Από τα παραπάνω συνάγεται ότι ο πωλητής (παραγωγός) του συγκεκριµένου προϊόντος κατόρθωσε να µετακυλήσει ένα σηµαντικό τµήµα του επιβαλλόµενου φόρου στον καταναλωτή. Το ύψος της επιβάρυνσης του καταναλωτή είναι 4 ενώ το υπόλοιπο ποσό του έµµεσου φόρου (1 ) το επιβαρύνεται ο παραγωγός. Να σηµειωθεί, ότι σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού και µε γραµµικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς, το ποσοστό επιβάρυνσης του καταναλωτή από τον ειδικό φόρο επι των πωλήσεων του παραγωγού από την κυβέρνηση δίνεται ως: [E S / (Ε S + E D )] (8) (δ) Η ελαστικότητα της ζήτησης (ΕD) υπολογίζεται ως ακολούθως: E D = - ( Q D / P) (P / Q D ) = - (1/2) (30/10) = -1,5 (9) Η ελαστικότητα της προσφοράς (Ε S) υπολογίζεται ως εξής: E S = ( Q S / P) (P / Q S ) = 2 (30/10) = 6 (10) Η ελαστικότητα της ζήτησης ED είναι ίση µε 1,5 και είναι λιγότερο ελαστική από την ελαστικότητα της προσφοράς (ES = 6). Εν προκειµένω, σύµφωνα µε τον τύπο της παράστασης (8), το ποσοστό επιβάρυνσης του καταναλωτή από τον ειδικό φόρο επί των πωλήσεων του παραγωγού από την κυβέρνηση δίνεται ως: [E S / (Ε S + E D )] = [(6) /(6 + -1,5 )] = 0,80 ή 80% ή 4/5 του φόρου επί των πωλήσεων του παραγωγού (11) Για το λόγο αυτό οι καταναλωτές µετά την επιβολή του φόρου επιβαρύνονται µε το µεγαλύτερο τµήµα της πληρωµής του έµµεσου φόρου σε σχέση µε την αντίστοιχη επιβάρυνση της παραγωγού εταιρείας. 16

17 (ε) Αν η κυβέρνηση της χώρας χορηγήσει προς τους παραγωγούς του προϊόντος, µια επιδότηση (S) ύψους 2 ανά µονάδα προϊόντος ετησίως πάνω στην πλήρως ανταγωνιστική τιµή της αγοράς του προϊόντος, ο πωλητής (παραγωγός) του προϊόντος λαµβάνει για την κάθε µονάδα πώλησης του προϊόντος ένα ποσό που ισούται µε την νέα τιµή που θα διαµορφωθεί στην αγορά (PΝ) συν το ύψος της επιδότησης (S) ύψους 2 ανά µονάδα προϊόντος. ηλαδή ο παραγωγός θα είναι διατεθειµένος να διαθέσει στην αγορά την ποσότητα που αντιστοιχεί στην τιµή (PΝ + 2). Η νέα «αντίστροφη» συνάρτηση προσφοράς λαµβάνει τη µορφή: (PΝ + 2) = 0,5QS + 25 PΝ = 0,5QS + 23 (12) Με εξίσωση της νέας «αντίστροφης» συνάρτησης προσφοράς της παράστασης (12) και της αρχικής «αντίστροφης» συνάρτησης ζήτησης (Q D ), ευρίσκουµε τη νέα τιµή (P Ν ) και τη νέα ποσότητα ισορροπίας (QΝE) ως ακολούθως: - 2Q D + 50 = 0,5Q S + 23 (13) Από την (13) βρίσκουµε ότι η νέα ποσότητα ισορροπίας (Q NE ) είναι ίση µε 10,8 Μονάδες. QD = QS = QNE = 10,8 Μονάδες Προϊόντος (14) Με αντικατάσταση της νέας ποσότητας ισορροπίας Q ΝE = 10,8 (Μονάδες Προϊόντος) είτε στην «αντίστροφη» συνάρτηση ζήτησης είτε στη νέα «αντίστροφη» συνάρτηση προσφοράς στην παράσταση (13), ευρίσκεται ότι η νέα τιµή ισορροπίας (P Ν ) είναι ίση µε 28,4 (P Ν = 28,4 ). Για να εκτιµήσουµε το ποσοστιαίο όφελος των καταναλωτών από την επιδότηση (S) ύψους 2 ανά µονάδα προϊόντος ετησίως προς τους παραγωγούς του προϊόντος στην εν λόγω αγορά προϊόντος, χρησιµοποιούµε τον ακόλουθο τύπο που ισχύει σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού και µε γραµµικές συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς: [ E D )] / ( E D + Ε S )] (15) Η τύπος της παράστασης (15) δείχνει το ποσοστιαίο όφελος των παραγωγών από την επιδότηση (S) ύψους 2 ανά µονάδα προϊόντος ετησίως, µε βάση τις ελαστικότητες της ζήτησης και της προσφοράς. Η ελαστικότητα της ζήτησης ED είναι ίση µε 1,5 και η ελαστικότητα της προσφοράς (E S ) είναι ίση προς 6. Εν προκειµένω, και σύµφωνα µε τον 17

18 τύπο της παράστασης (15), το ποσοστιαίο όφελος των παραγωγών από την επιδότηση (S) ύψους 2 ανά µονάδα προϊόντος ετησίως προς τους παραγωγούς του προϊόντος δίνεται ως: [ E D )] / ( E D + Ε S )] = [ -1,5 ) /( -1,5 + 6] = 0,20 ή 20% ή 1/5 της επιδότησης προς τους παραγωγούς του προϊόντος (16) Η επιδότηση των 2 ανά µονάδα προϊόντος που πωλείται, είχε ως αποτέλεσµα τη µετακίνηση της καµπύλης προσφοράς προς τα δεξιά, ενώ η καµπύλη ζήτησης παρέµεινε αµετάβλητη. Η αντικατάσταση της νέας ποσότητας ισορροπίας Q ΝE = 10,8 (Μονάδες Προϊόντος) στην αρχική «αντίστροφη» συνάρτηση προσφοράς υποδεικνύει ότι ο παραγωγός ουσιαστικά λαµβάνει µε την επιδότηση µια τιµή ίση προς 30,4, ενώ ο καταναλωτής πληρώνει µια τιµή ίση προς 28,4. Με το δεδοµένο ότι στην αρχική πριν την επιδότηση κατάσταση ισορροπίας στην αγορά του προϊόντος η τιµή και η ποσότητα ισορροπίας καθορίζονται ως 30 και 10 (Μονάδες Προϊόντος) αντίστοιχα, το ποσοστιαίο όφελος των παραγωγών από την επιδότηση είναι 20%, δηλαδή από την τιµή ίση προς 30, τώρα λαµβάνουν µια τιµή ίση προς 30,4. Εποµένως, το ποσοστιαίο όφελος των καταναλωτών από την επιδότηση (S) ύψους 2 ανά µονάδα προϊόντος ετησίως προς τους παραγωγούς του προϊόντος είναι το υπόλοιπο 80% του ύψους της επιδότησης προς τους παραγωγούς. ηλαδή οι καταναλωτές από µια τιµή ίση προς 30 που πλήρωναν πριν την επιδότηση, τώρα πληρώνουν µια τιµή ίση προς 28,4. 18

19 ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας καταναλωτής έχει 400 και έχει πρόθεση να τα δαπανήσει για την αγορά των αγαθών Χ και Ψ. Οι συναρτήσεις οριακής χρησιµότητας (MU) του καταναλωτή από τα αγαθά αυτά είναι : (MU)Χ = 200-8ΠΧ (MU)Ψ = 100-4ΠΨ όπου (MU)Χ και (MU)Ψ είναι η οριακή χρησιµότητα των Χ και Ψ αντίστοιχα, και ΠΧ και ΠΨ είναι οι αντίστοιχες ποσότητες των αγαθών Χ και Ψ. Η τιµή του αγαθού Χ είναι 10 η µονάδα και η τιµή του αγαθού Ψ είναι 16 η µονάδα. Να υπολογιστούν οι ποσότητες των αγαθών Χ και Ψ που πρέπει να αγοράσει ο καταναλωτής για να µεγιστοποιήσει την χρησιµότητά του. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 1 Ο καταναλωτής πρέπει να αγοράσει τις ποσότητες και Π Χ και Π Ψ, ώστε να δαπανήσει όλο του το εισοδηµατικό κονδύλι που διαθέτει για αυτά τα αγαθά, δηλαδή 400 συνολικά. Η εξίσωση της εισοδηµατικής γραµµής του καταναλωτή δίνεται ως ακολούθως : 400 = 10Π Χ + 16Π Ψ (1) Για να µεγιστοποιήσει την χρησιµότητά του ο καταναλωτής πρέπει να εξισώσει τον λόγο της οριακής χρησιµότητας (MU) Χ ως προς την τιµή του αγαθού Χ µε τον αντίστοιχο λόγο της οριακής χρησιµότητας (MU) Ψ ως προς την τιµή του αγαθού Ψ: [(MU) Χ / 10] = [(MU) Ψ / 16] [200-8Π Χ ] / 10] = [100-4Π Ψ / 16] (2) Οι παραστάσεις (1) και (2) αποτελούν ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους. Λύνοντας το σύστηµα για τις ποσότητες ΠΧ και ΠΨ, βρίσκουµε ότι οι ποσότητες των αγαθών Χ και Ψ που πρέπει να αγοράσει ο καταναλωτής για να µεγιστοποιήσει την χρησιµότητά του είναι: Π Χ = 20,915 µονάδες του αγαθού Χ, και ΠΨ = 11,928 µονάδες του αγαθού Ψ 19

20 ΑΣΚΗΣΗ 2 Υποθέστε δύο κανονικά αγαθά x και y. Ένας καταναλωτής αντλεί χρησιµότητα σύµφωνα µε την ακόλουθη συνάρτηση ευηµερίας: U = ( x, y) x α y β, όπου > 0 α και β > 0. Αν οι τιµές των δύο αγαθών είναι δεδοµένες, p x και p y αντίστοιχα, ενώ ο καταναλωτής εξαντλεί το δεδοµένο εισόδηµά του, M, βρείτε τις συναρτήσεις ζήτησης του καταναλωτή για τα δύο αγαθά. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 2 Ο καταναλωτής επιδιώκει να µεγιστοποιήσει την ευηµερία του που δίνεται από τη συνάρτηση β ( x y) x α y U, = ούτως ώστε να ικανοποιείται ο εισοδηµατικός του περιορισµός: p x + p y M. x y = Γνωρίζουµε, ότι στο άριστο σηµείο ισχύει MU x y =. Στη συγκεκριµένη περίπτωση για να p x MU p y µεγιστοποιεί ο καταναλωτής την ευηµερία του θα πρέπει να ισχύει: α αx p x y α βx y = p 1 β β 1 y αy p x = βx p y y = βp x x αp y. Εν συνεχεία αντικαθιστούµε την συνάρτηση για το y που µόλις βρήκαµε στον εισοδηµατικό περιορισµό και έχουµε: p x x βp x β α M 1 +. Αυτή είναι η ζήτηση για το αγαθό x. px + x p y = M px x = M x = αp y α α + β Μετά πάτε στον εισοδηµατικό περιορισµό, αντικαθιστάτε για x και λύνετε για y. Μετά για λόγους επαλήθευσης απλά ελέγχετε ότι µε αυτές τις ζητήσεις για x και y εξαντλείται το εισόδηµα του καταναλωτή. ΑΣΚΗΣΗ 3 ίνεται η ακόλουθη συνάρτηση χρησιµότητας ενός όκιµου Έφεδρου Αξιωµατικού: U = Χ 1 1/2Χ 2 1/2 Όπου: Χ 1 = Η κατανάλωση γευµάτων του όκιµου Έφεδρου Αξιωµατικού εκτός της στρατιωτικής µονάδας µετρηµένα σε αριθµό γευµάτων ανά έτος. Χ2 = Η κατανάλωση γευµάτων του όκιµου Έφεδρου Αξιωµατικού εντός της στρατιωτικής µονάδας µετρηµένα σε αριθµό γευµάτων ανά έτος. 20

21 (α) Να υπολογισθεί η τιµή του Οριακού Λόγου Υποκατάστασης (ΟΛΥ) των εναλλακτικών καταναλώσεων γευµάτων για την καµπύλη αδιαφορίας που περνάει από το σηµείο (Χ 1, Χ 2 ) = (300, 500). (β) Να ευρεθεί η απαιτούµενη αύξηση στην κατανάλωση γευµάτων του όκιµου Έφεδρου Αξιωµατικού εντός της στρατιωτικής µονάδας, ώστε να παραµείνει ο όκιµος Έφεδρος Αξιωµατικός στο ίδιο επίπεδο χρησιµότητας, όταν ο αριθµός κατανάλωσης γευµάτων του όκιµου Έφεδρου Αξιωµατικού εκτός της στρατιωτικής µονάδας µειώνεται κατά τρία γεύµατα τον χρόνο. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 3 (α) Ο Οριακός Λόγος Υποκατάστασης (ΟΛΥ) της κατανάλωσης γευµάτων του όκιµου Έφεδρου Αξιωµατικού εκτός της στρατιωτικής µονάδας µετρηµένα σε αριθµό επισκέψεων ανά έτος (το αγαθό Χ 1 ), και της κατανάλωσης γευµάτων του όκιµου Έφεδρου Αξιωµατικού εντός της στρατιωτικής µονάδας µετρηµένα σε αριθµό επισκέψεων ανά έτος (το αγαθό Χ 2 ), υπολογίζεται µέσω της µεθόδου της Πεπλεγµένης Παραγώγισης που είδαµε στην Άσκηση 18 ως εξής: ΟΛΥ = - (dχ2 / dχ1) = [( U / Χ1) / ( U / Χ2)] (1) Οι οριακές χρησιµότητες για τα αγαθά Χ 1 και Χ 2 εκτιµούνται ως: ( U / Χ 1 ) = (1/2) (Χ 1-1/2) (Χ 2 1/2) (2) ( U / Χ 2 ) = (1/2) (Χ 1/2 1 ) (Χ2-1/2 ) (3) Από τις παραστάσεις (2) και (3) µε αντικατάσταση στην παράσταση (1) λαµβάνουµε: ΟΛΥ = {[(1/2) (Χ -1/2 1 ) (Χ2 1/2 )] / [(1/2) (Χ1 1/2 ) (Χ2-1/2 )]} (4) ΟΛΥ = [(Χ -1 1 ) (Χ2 )] = [(Χ 2 ) / (Χ 1 )] (5) Ο οριακός λόγος υποκατάστασης στο σηµείο (Χ1, Χ2) = (300, 500) είναι: ΟΛΥ = (500) / (300) = 5/3 (6) (β) Ο οριακός λόγος υποκατάστασης εκφράζει την αλλαγή στην ποσότητα του αγαθού Χ 2 (dχ 2 ) όταν το αγαθό Χ1 µεταβάλλεται κατά µία µονάδα (dχ1= 1). Εν προκειµένω, το αγαθό Χ1 µεταβάλλεται κατά τρεις µονάδες (dχ 1 = 3), εποµένως εάν πολλαπλασιάσουµε τον αριθµό τρία (3) µε τον ΟΛΥ υπολογίζουµε την απαιτούµενη αύξηση στο αγαθό Χ 2 ως: (ΟΛΥ) (3) = (5/3) 3 = 5 (7) Η παράσταση (7) προτείνει ότι ο όκιµος Έφεδρος Αξιωµατικός πρέπει να αυξήσει την κατανάλωση γευµάτων εντός της στρατιωτικής µονάδας κατά 5 (πέντε) γεύµατα τον χρόνο. Με αυτό τον τρόπο ο 21

22 όκιµος Έφεδρος Αξιωµατικός θα αντισταθµίσει την επερχόµενη ελάττωση στην χρησιµότητα που πηγάζει από την µείωση στον αριθµό των γευµάτων εκτός της στρατιωτικής µονάδας κατά τρία (3) γεύµατα τον χρόνο. Μπορούµε να επιβεβαιώσουµε το παραπάνω µε την ακόλουθη µεθοδολογία. Η χρησιµότητα του όκιµου Έφεδρου Αξιωµατικού πριν την πτώση του αγαθού Χ1 κατά τρεις (3) µονάδες, στο σηµείο (300,500), είναι: U(300, 500) = (300)1/2(500)1/2 = 387,30 (8) Η χρησιµότητα του όκιµου Έφεδρου Αξιωµατικού µετά την πτώση του αγαθού Χ1 κατά τρεις (3) µονάδες, και την περαιτέρω αύξηση του αγαθού Χ 2 κατά 5 (πέντε) µονάδες είναι: U(297, 505) = (297) 1/2 (505) 1/2 = 387,30 (9) Άρα τα σηµεία (300, 500) και (297, 505) αποφέρουν την ίδια χρησιµότητα στον όκιµο Έφεδρο Αξιωµατικό, και εποµένως ευρίσκονται πάνω στην ίδια καµπύλη αδιαφορίας. ΑΣΚΗΣΗ 4 Ένας διάσηµος καλλιτέχνης έχει την ακόλουθη συνάρτηση χρησιµότητας: U = 1000Χ Χ2 + 5Χ1Χ2 2Χ1 2 - Χ2 2 Όπου: Χ 1 = Ο ελεύθερος χρόνος του καλλιτέχνη µετρηµένος σε (ελεύθερες) µέρες ανά έτος. Χ 2 = Το εισόδηµα του καλλιτέχνη µετρηµένο σε (χιλιάδες ) ανά έτος. (α) Να ευρεθούν οι οριακές χρησιµότητες του ελεύθερου χρόνου και του εισοδήµατος του καλλιτέχνη, όταν ο καλλιτέχνης διαθέτει για τον ελεύθερο χρόνο του 138 µέρες ανά έτος, και εισπράττει ετήσιο εισόδηµα της τάξης των 500 χιλιάδων. (β) Να υπολογιστεί το ύψος της χρηµατικής αποζηµίωσης που πρέπει να δοθεί στον καλλιτέχνη για να εργαστεί µια επιπλέον µέρα το χρόνο χωρίς να επέλθει αλλαγή στην συνολική του χρησιµότητα. (γ) Να υπολογιστεί η αλλαγή στην συνολική χρησιµότητα του καλλιτέχνη όταν επιλέξει να εργαστεί µια επιπλέον µέρα το χρόνο, κάτι που θα του αποφέρει µια αύξηση εισοδήµατος της τάξης των τον χρόνο. (δ) Ισχύει ο Νόµος της Φθίνουσας Οριακής Χρησιµότητας για την συνάρτηση χρησιµότητας του καλλιτέχνη ; 22

23 ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 4 (α) Οι οριακές χρησιµότητες του ελεύθερου χρόνου του καλλιτέχνη µετρηµένου σε (ελεύθερες) µέρες ανά έτος (το αγαθό Χ1), και του εισοδήµατος του καλλιτέχνη µετρηµένου σε χιλιάδες ανά έτος (το αγαθό Χ 2 ) ευρίσκονται µέσω των µερικών παραγώγων της αρχικής συνάρτησης ως εξής: ( U / Χ1) = Χ2 4Χ1 (1) ( U / Χ2 ) = Χ 1-2Χ 2 (2) Θέτοντας τις τιµές Χ1 = 138 και Χ2 = 500 στις (1) και (2), υπολογίζουµε τις αντίστοιχες οριακές χρησιµότητες στο σηµείο (Χ1, Χ2) = (138, 500): ( U / Χ1) = (500) 4 (138) = (3) ( U / Χ2) = (138) 2 (500) = 140 (4) (β) Ο υπολογισµός του ύψους της χρηµατικής αποζηµίωσης που πρέπει να δοθεί στον καλλιτέχνη για να εργαστεί µια επιπλέον µέρα το χρόνο χωρίς να επέλθει αλλαγή στην συνολική του χρησιµότητα επιτυγχάνεται µέσω του Τύπου των Μικρών Αυξήσεων. Στην παρούσα περίσταση θέτουµε dχ 1 = -1 και du = 0, και λύνουµε ως προς dχ2: 0 = (2.948) (-1) + (140) (dχ2 ) (dχ2 ) = 21,0571 χιλιάδες (5) (γ) Εάν ο καλλιτέχνης επιλέξει να αυξήσει την εργασία του κατά µια µέρα τον χρόνο, ο ελεύθερος χρόνος του θα µειωθεί αναπόφευκτα κατά µια µέρα ετησίως, αλλά το εισόδηµά του θα αυξηθεί κατά σε ετήσια βάση. Με την χρήση του Τύπου των Μικρών Αυξήσεων θέτουµε dχ 1 = -1 και dχ 2 = 15, και υπολογίζουµε την επερχόµενη µεταβολή στην συνολική χρησιµότητα (du) ως: du = (2.948) (-1) + (140) (15) = -848 (6) (δ) Εν προκειµένω, ο Νόµος της Φθίνουσας Οριακής Χρησιµότητας ισχύει καθώς µέσω των µερικών παραγώγων της αρχικής συνάρτησης στις παραστάσεις (1) και (2) υπολογίζουµε: ( 2U / Χ2 1 ) = -4 < 0 (7) ( 2U / Χ2 2 ) = -2 < 0 (8) Οι (δεύτερες) µερικές παράγωγοι των οριακών χρησιµοτήτων όπως εκτιµήθηκαν, στις παραστάσεις (7) και (8), για τα δύο αγαθά είναι αρνητικές ποσότητες, κάτι που ευρίσκεται σε πλήρη αρµονία µε τον Νόµο της Φθίνουσας Οριακής Χρησιµότητας. 23

24 ΠΛΗΡΗΣ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΣ / ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 ίνονται οι ακόλουθες «αντίστροφες συναρτήσεις» ζήτησης και προσφοράς για ένα αγαθό: Τ = - ΠΖ 2-10Π Ζ Τ = Π 2 Π + 14ΠΠ + 22 όπου ΠΖ είναι η ζητούµενη ποσότητα του προϊόντος, Π Π είναι η προσφερόµενη ποσότητα του προϊόντος και Τ είναι η τιµή του προϊόντος. Να υπολογισθούν η τιµή (σε ) και η ποσότητα ισορροπίας του προϊόντος σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 1 Σε κατάσταση ισορροπίας σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού στην αγορά η ποσότητα ισορροπίας (Π) ισούται µε την ζητούµενη ποσότητα του προϊόντος (Π Ζ ), καθώς και την προσφερόµενη ποσότητα του προϊόντος (Π Π ): Π Π = Π Ζ = Π (1) Με εξίσωση των «αντίστροφων συναρτήσεων» ζήτησης και προσφοράς έχουµε: Π Π + 22 = -Π 2 10Π Π Π 128 = 0 Π Π 64 = 0 (2) Η (2) είναι µια εξίσωση δευτέρου βαθµού µε ρίζες Π 1 = -16 (µη αποδεκτή λύση) και Π 2 = 4 (αποδεκτή λύση). Για την ποσότητα ισορροπίας Π = 4 µε αντικατάσταση στη «αντίστροφη συνάρτηση» ζήτησης ή προσφοράς βρίσκουµε την τιµή ισορροπίας. Έστω ότι αντικαθιστούµε στην «αντίστροφη συνάρτηση» προσφοράς: Τ = Π Π + 22 = (4) + 22 = 94 (3) Η λύση (Π, Τ) = (4, 94) των δευτεροβάθµιων «αντίστροφων συναρτήσεων» της ζήτησης και προσφοράς προσδιορίζει την τιµή και ποσότητα ισορροπίας στην αγορά του αγαθού. Η λύση (Π, Τ) = (-16, 54) είναι µη αποδεκτή, καθώς η ευρεθείσα ποσότητα έχει αρνητικό πρόσηµο. Η τοµή των καµπυλών ζήτησης και προσφοράς, για να είναι αποδεκτή η ποσότητα και η τιµή ισορροπίας, πρέπει να λαµβάνει χώρα στο πρώτο τεταρτηµόριο των αξόνων της τιµής και της ποσότητας του προϊόντος. 24

25 ΑΣΚΗΣΗ 2 ίνονται τα ακόλουθα δεδοµένα για µια επιχείρηση: Συνολικό Σταθερό Κόστος = 3,75 Μέσο Μεταβλητό Κόστος = 2 (ανά µονάδα προϊόντος) Η «αντίστροφη γραµµική συνάρτηση» ζήτησης για την επιχείρηση έχει την µορφή: Τ = 10 Π, όπου Τ και Π είναι η τιµή και η ποσότητα του προϊόντος αντίστοιχα. Να ευρεθούν: (α) Για ποιες τιµές της ποσότητας (Π) καθορίζονται τα Αδρανή Σηµεία (ή Νεκρά Σηµεία) της επιχείρησης. (β) Το Μέγιστο (Οικονοµικό) Κέρδος της επιχείρησης (σε ). ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 2 (α) ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ = ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΚΟΣΤΟΣ + ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΣΤΑΘΕΡΟ ΚΟΣΤΟΣ = 3,75 ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΚΟΣΤΟΣ = (ΜΕΣΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΚΟΣΤΟΣ) x (ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ) = 2Π ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ = 3,75 + 2Π (1) ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΕΣΟ Ο = (ΤΙΜΗ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ) x (ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ) = Τ Π = (10 Π) Π = 10Π Π 2 (2) (ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ) ΚΕΡ ΟΣ = (ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΕΣΟ Ο) (ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ) = = (10Π Π 2 ) (3,75 + 2Π) = 10Π Π 2 3,75 2Π = Π 2 + 8Π 3,75 (3) Έχοντας εκφράσει το οικονοµικό κέρδος σε µορφή εξίσωσης δευτέρου βαθµού σύµφωνα µε την παράσταση (3), το επόµενο βήµα µας είναι να βρεθούν οι ρίζες της εξίσωσης ως: Π1 = 0,5 και Π2 = 7,5 (4) Τα σηµεία (Π 1, Π 2 ) = (0,5 και 7,5) είναι τα Αδρανή ή Νεκρά Σηµεία της επιχείρησης. (β) Το Μέγιστο (Οικονοµικό) Κέρδος της επιχείρησης βρίσκεται µε την ακόλουθη µέθοδο: Σε περίπτωση όπου το µέσο µεταβλητό κόστος είναι σταθερό, το συνολικό κόστος είναι µία ευθεία γραµµή που τέµνει την καµπύλη συνολικού εσόδου στα δύο αδρανή ή νεκρά σηµεία. Η καµπύλη οικονοµικού κέρδους έχει µέγιστο στο µέσο της απόστασης µεταξύ των δύο νεκρών σηµείων της επιχείρησης. Το σηµείο αυτό (Π Μ ) είναι: 25

26 (ΠΜ) = (1/2) [0,5 + 7,5] = 4 (5) Το µέγιστο (οικονοµικό) κέρδος της επιχείρησης ευρίσκεται ως: (ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ) ΚΕΡ ΟΣ = Π 2 + 8Π 3,75 = - (4) 2 + 8(4) 3,75 = 12,25 (6) ΑΣΚΗΣΗ 3 ίνεται η ακόλουθη συνάρτηση συνολικού κόστους για ένα αγαθό: ΣΚ = Π 3 όπου Π είναι η ποσότητα του προϊόντος. Η «αντίστροφη γραµµική συνάρτηση» ζήτησης για το αγαθό έχει την µορφή: Τ = 90 - Π, όπου Τ και Π είναι η τιµή και η ποσότητα του προϊόντος αντίστοιχα Να ευρεθούν: (α) Για ποιες τιµές της ποσότητας (Π) καθορίζονται τα Αδρανή Σηµεία (ή Νεκρά Σηµεία) της επιχείρησης, και (β) Το Μέγιστο (Οικονοµικό) Κέρδος της επιχείρησης (σε ). ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 3 (α) ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ = ΣΚ = Π 3 (1) ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΕΣΟ Ο = (ΤΙΜΗ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ) x (ΠΟΣΟΤΗΤΑ ΠΡΟΪΟΝΤΟΣ) = Τ Π = (90 Π) Π = 90Π Π 2 (2) ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ = [(ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΕΣΟ Ο) = (ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ)] (90Π Π 2 ) = (Π 3 ) Π(Π 2 + Π 90) = 0 (3) Έχοντας εκφράσει το νεκρό σηµείο σε µορφή εξίσωσης δευτέρου βαθµού σύµφωνα µε την παράσταση (3), το επόµενο βήµα είναι η εύρεση των δύο ριζών της εξίσωσης ως: Π1 = 9 και Π2 = -10 (η ρίζα απορρίπτεται ως λύση) (4) Το σηµείο (Π1) = (9) είναι το µοναδικό Αδρανές ή Νεκρό Σηµείο της επιχείρησης. (β) Το Μέγιστο (Οικονοµικό) Κέρδος της επιχείρησης βρίσκεται µε την ακόλουθη µέθοδο: (ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ) ΚΕΡ ΟΣ = (ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΕΣΟ Ο) (ΣΥΝΟΛΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ) = = (90Π Π 2 ) (Π 3 ) = Π 3 Π Π = (ΟIΚ) (5) Η Αναγκαία Συνθήκη (Συνθήκη Πρώτης Τάξης) για Μέγιστο (maximum) δίνεται ως εξής : [d(οiκ) / dπ] = 0 ή 26

27 [d(οiκ) / dπ)] = [d( Π 3 Π Π) / dπ] = 3Π 2 2Π + 90 = 0 Π 1 = 5,15 και Π 2 = -5,82 (η ρίζα απορρίπτεται ως λύση) (6) Έχοντας εκφράσει το κέρδος σε µορφή εξίσωσης δευτέρου βαθµού στην παράσταση (5), η µοναδική αποδεκτή λύση είναι η ρίζα της εξίσωσης Π1 = 5,15. Η Ικανή Συνθήκη (Συνθήκη εύτερης Τάξης) για Μέγιστο πρέπει να ικανοποιεί : [d 2 (ΟΙΚ) / dπ 2 ] < 0 ή [d 2 (ΟΙΚ) / dπ 2 ] = [d 2 ( Π 3 Π Π) / d Π 2 ] = - 6Π - 2 < 0 (7) το οποίο επιβεβαιώνει την ύπαρξη µέγιστου για Π1 = 5,15. Για Π1 = 5,15 το µέγιστο (οικονοµικό) κέρδος της επιχείρησης ευρίσκεται ως: (ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ) ΚΕΡ ΟΣ = Π3 Π2 + 90Π = 5,153 5,152 + (90)(5,15) = 300,4 (8) ΑΣΚΗΣΗ 4 ίνονται οι ακόλουθες συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς για ένα αγαθό: Π + 1 = (200 / Τ) Τ = 5 + 0,5 Π όπου Τ και Π είναι η τιµή και η ποσότητα του προϊόντος αντίστοιχα Να ευρεθούν η τιµή (σε ) και η ποσότητα ισορροπίας του προϊόντος σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 4 Μετασχηµατίζουµε τις συναρτήσεις ζήτησης και προσφοράς λύνοντας ως προς την τιµή Τ: Τ = [200 / (Π + 1)] (1) Τ = 5 + 0,5 Π (2) Η συνάρτηση ζήτησης στην παράσταση (1) είναι µια υπερβολή που τείνει ασυµπτωτικά προς τον άξονα της ποσότητας του προϊόντος, κάτι το οποίο επιβεβαιώνεται αν θέσουµε τυχαίες τιµές στο Π. Επί παραδείγµατι, έστω οι τιµές: Π = 0, Τ = 200 Π = 1, Τ = 100 Π = 3, Τ = (200/3) Η συνάρτηση προσφοράς στην παράσταση (2) είναι µια ευθεία γραµµή µε κλίση 0,5. Σε ισορροπία: [200 / (Π + 1)] = 5 + 0,5 Π 0,5Π 2 + 5,5 Π = 0 (3) 27

28 Οι δύο ρίζες της εξίσωσης στην παράσταση (3) είναι: Π 1 = 15 και Π 2 = -26 (η ρίζα απορρίπτεται ως λύση) (4) Η ποσότητα ισορροπίας του προϊόντος είναι (Π 1 ) = (15) µονάδες. Η τιµή ισορροπίας του προϊόντος σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού βρίσκεται µε απλή αντικατάσταση της ποσότητας ισορροπίας (Π1) = (15) είτε στην συνάρτηση ζήτησης, είτε στην συνάρτηση προσφοράς. Έστω µε αντικατάσταση στην συνάρτηση προσφοράς : Τ = 5 + 0,5 Π = 5 + (0,5)(15) = 12,5 (5) 28

29 ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 ίνονται οι ακόλουθες «αντίστροφες συναρτήσεις» ζήτησης και προσφοράς για ένα αγαθό σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού: Τ = - 3ΠΖ + 80 Τ = ΠΠ + 8 όπου ΠΖ είναι η ζητούµενη ποσότητα του προϊόντος, Π Π είναι η προσφερόµενη ποσότητα του προϊόντος και Τ είναι η τιµή του προϊόντος. Αν η κυβέρνηση επιβάλλει στο αγαθό ένα έµµεσο φόρο t (ανά µονάδα προϊόντος) επί των πωλήσεων, να ευρεθεί η τιµή t του έµµεσου φόρου που µεγιστοποιεί τα φορολογικά έσοδα της κυβέρνησης (ΦΕΚ). ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 1 Λαµβάνουµε τις δοθείσες «αντίστροφες συναρτήσεις» ζήτησης και προσφοράς: Τ = - 3Π Ζ + 80 (1) Τ - t = Π Π + 8 (2) ή Τ = - 3Π Ζ + 80 (3) Τ = ΠΠ t (4) Σε συνθήκες ισορροπίας στην αγορά η προσφερόµενη ποσότητα (Π Π ) ισούται µε την ζητούµενη ποσότητα (Π Ζ ): Π Π = Π Ζ = Π Ι (5) Εξισώνουµε τις παραστάσεις (3) και (4): - 3Π Ζ + 80 = Π Π t (6) Αντικαθιστούµε στην παράσταση (6) τα ΠΠ = ΠΖ = ΠΙ, όπου το ΠΙ αντιπροσωπεύει την ποσότητα ισορροπίας: - 3 ΠΙ + 80 = ΠΙ t ΠΙ = [18 - (t/4)] (7) Τα φορολογικά έσοδα της κυβέρνησης (ΦΕΚ) από τον έµµεσο φόρο t ανά µονάδα προϊόντος είναι: (ΦΕΚ) = (t)(π) = (t) [18 - (t/4)] = 18t - (t 2 /4) (8) 29

30 Η Αναγκαία Συνθήκη (Συνθήκη Πρώτης Τάξης) για Μέγιστο (maximum) δίνεται ως εξής : [d(φεκ) / dt] = 0 ή [d(φεκ) / dt] = [d(18t - (t2/4)) / dt] = 18 - (t/2) = 0 t = 36 ανά µονάδα προϊόντος (9) Η Ικανή Συνθήκη (Συνθήκη εύτερης Τάξης) για Μέγιστο πρέπει να ικανοποιεί : [(d2(φεκ) / dt2)] < 0 ή [(d2(φεκ) / dt2)] = [d2(18t - (t2 /4)) / dt2] = - (1/2) < 0 (10) το οποίο επιβεβαιώνει την ύπαρξη µέγιστου. Εποµένως, το ύψος του έµµεσου φόρου t (ανά µονάδα προϊόντος) που µεγιστοποιεί τα φορολογικά έσοδα της κυβέρνησης είναι 36 ανά µονάδα προϊόντος. 30

31 ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟ ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (TWO VARIABLE UNCONSTRAINED OPTIMIZATION) Για µια συνάρτηση δύο µεταβλητών z = f (x,y) ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΧΗΜΑ 1 Η Αναγκαία Συνθήκη (Συνθήκη Πρώτης Τάξης) για Ελάχιστο (minimum) δίνεται ως εξής: ( z / x) = 0 και ( z / y) = 0 Μέσω της Συνθήκης Πρώτης Τάξης εντοπίζονται τα ακρότατα σηµεία α και β. Η Ικανή Συνθήκη (Συνθήκη εύτερης Τάξης) για Ελάχιστο πρέπει να ικανοποιεί: ( 2 z / x 2 ) > 0, ( 2 z / y 2 ) > 0, και [( 2 z / x 2 )( 2 z / y 2 )] - [( 2 z / x y)] 2 > 0 ΜΕΓΙΣΤΟ ΣΧΗΜΑ 2 Η Αναγκαία Συνθήκη (Συνθήκη Πρώτης Τάξης) για Μέγιστο (maximum) δίνεται ως εξής: ( z / x) = 0 και ( z / y) = 0 Μέσω της Συνθήκης Πρώτης Τάξης εντοπίζονται τα ακρότατα σηµεία α και β. Η Ικανή Συνθήκη (Συνθήκη εύτερης Τάξης) για Μέγιστο πρέπει να ικανοποιεί: 31

32 ( 2 z / x 2 ) < 0, ( 2 z / y 2 ) < 0, και [( 2z / x2)( 2z / y2)] - [( 2z / x y)]2 > 0 ΣΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΟ ΣΕΛΑΣ (SADDLE POINT) ΣΧΗΜΑ 3 Η Αναγκαία Συνθήκη (Συνθήκη Πρώτης Τάξης) για Σαγµατικό Σηµείο ή Σηµείο Σέλας (saddle point) δίνεται ως εξής: ( z / x) = 0 και ( z / y) = 0 Μέσω της Συνθήκης Πρώτης Τάξης εντοπίζονται τα ακρότατα σηµεία α και β. Η Ικανή Συνθήκη (Συνθήκη εύτερης Τάξης) για Σαγµατικό Σηµείο ή Σηµείο Σέλας πρέπει να ικανοποιεί: [( 2 z / x 2 )( 2 z / y 2 )] - [( 2 z / x y)] 2 < 0 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Επίσης ισχύουν τα ακόλουθα ως προς τις εύτερες Μερικές Παραγώγους : ( 2 z / x y) = ( 2 z / y x), και [( 2 z / x y)] 2 = [( 2 z / y x)] 2 ΑΣΚΗΣΗ 1 Ένας παραγωγός πωλεί δύο αγαθά προς 54 και 52 αντίστοιχα σε µια πλήρως ανταγωνιστική αγορά. Το συνολικό κόστος (ΣΚ) της παραγωγής των δύο αγαθών (1) και (2) δίνεται από την ακόλουθη συνάρτηση: ΣΚ = Π Π 1 Π 2 + 2Π 2 2 Όπου Π1 και Π 2 είναι οι ποσότητες των παραγόµενων αγαθών (1) και (2) αντίστοιχα. Να ευρεθούν οι ποσότητες των αγαθών (1) και (2) οι οποίες µεγιστοποιούν το οικονοµικό κέρδος του παραγωγού, καθώς και το ύψος του οικονοµικού κέρδους του παραγωγού. 32

33 ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 1 Η παρούσα άσκηση προσφέρει την δυνατότητα στον παραγωγό να µεγιστοποιήσει το κέρδος της επιχείρησής του Χωρίς Περιορισµό. ηλαδή έχουµε να κάνουµε µε περίπτωση Μεγιστοποίησης χωρίς Περιορισµό (Unconstrained Optimization). Για µια συνάρτηση δύο µεταβλητών: z =f (x, y) (1) Τα ακρότατα σηµεία της συνάρτησης (stationary points) και ο χαρακτηρισµός τους σε Ελάχιστο, Μέγιστο και Σαγµατικό Σηµείο ή Σηµείο Σέλας (Saddle Point) εξηγούνται και παραθέτονται στα Σχήµατα 1, 2 και 3 παραπάνω. Το Συνολικό Έσοδο (ΣΕ) του παραγωγού από τα δύο αγαθά είναι: ΣΕ = (ΣΕ1) + (ΣΕ1) = (Τ1 Π1) + (Τ2 Π2) = 54Π1 + 52Π2 (2) Το Οικονοµικό Κέρδος (Κ) του παραγωγού είναι: Κ = ΣΕ ΣΚ = (54Π Π 2 ) - ( Π Π 1 Π 2 + 2Π 2 2 ) = = 54Π Π Π 2 1-3Π 1 Π 2-2Π 2 2 (3) Η Αναγκαία Συνθήκη (Συνθήκη Πρώτης Τάξης) για την µεγιστοποίηση του οικονοµικού κέρδους είναι: ( Κ / Π 1 ) = 54 6Π 1-3Π 2 = 0 (4) ( Κ / Π 2 ) = 52 3Π 1-4Π 2 = 0 (5) Οι παραστάσεις (4) και (5) είναι ένα σύστηµα δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους (Π 1 και Π 2 ). Πολλαπλασιάζουµε την παράσταση (5) µε -2: (-2) [52 3Π 1-4Π 2 ] = Π 1 + 8Π 2 (6) Προσθέτουµε την εξίσωση που προκύπτει από την (6) στην παράσταση (4) και λαµβάνουµε: Π 2 = 0 Π 2 = 10 Μονάδες Προϊόντος (7) Με αντικατάσταση της ευρεθείσας τιµής Π2 = 10 (Μονάδες Προϊόντος) στην παράσταση (4) ή στην παράσταση (6), υπολογίζουµε την ποσότητα Π 1 ως: Π 1 = 4 Μονάδες Προϊόντος (8) Η συνάρτηση οικονοµικού κέρδους έχει ακρότατα σηµεία τα (Π1, Π2) = (4, 10). Η Ικανή Συνθήκη (Συνθήκη εύτερης Τάξης) για την µεγιστοποίηση του οικονοµικού κέρδους είναι: ( 2 Κ / Π 1 2 ) = 6 < 0 (9) 33