Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΣΤΑΣ ΒΕΛΕΝΤΖΑΣ Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ. Μερικές έννοιες Η συνάρτηση παραγωγής (, ), όπου είναι το συνολικό προϊόν και και οι συντελεστές παραγωγής που χρησιµοποιούνται για την παραγωγή του προϊόντος, υποτίθεται ότι είναι συνεχής µε συνεχείς µερικές παραγώγους πρώτης και δεύτερης τάξης και ορίζεται για µη αρνητικές τιµές των, και. Η συνολική παραγωγικότητα του συντελεστή είναι η ποσότητα του που παράγεται από διάφορες ποσότητες του µε σταθερή την ποσότητα του,. Το µέσο και το οριακό προϊόν συντελεστή παραγωγής, δηλαδή ( ) του συντελεστή παραγωγής ορίζονται αντίστοιχα ως εξής: AP (, ) (.) (, ) (, ) MP (.) Το µέσο προϊόν (ΑΡ ) δείχνει την ποσότητα του προϊόντος που αντιστοιχεί σε κάθε µονάδα του συντελεστή παραγωγής που χρησιµοποιείται για την παραγωγή του προϊόντος, ενώ το οριακό προϊόν (ΜΡ ) δείχνει τη µεταβολή που επέρχεται στο συνολικό προϊόν όταν ο συντελεστής παραγωγής µεταβληθεί κατά µία µονάδα. Μέσο και οριακό προϊόν αυξάνονται στην αρχή, φθάνουν σε κάποιο µέγιστο σηµείο και µετά µειώνονται (φθίνουσα οριακή παραγωγικότητα). Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα, το µέγιστο του ΜΡ (σηµείο Α ) αντιστοιχεί στο σηµείο καµπής της καµπύλης του συνολικού προϊόντος (σηµείο Α), ενώ το µέγιστο του ΑΡ (σηµείο Β ) αντιστοιχεί στο σηµείο Β, όπου η ευθεία ΟΒ, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων, εφάπτεται της καµπύλης του συνολικού προϊόντος. Το οριακό προϊόν γίνεται ίσο µε το µηδέν στο σηµείο όπου το συνολικό προϊόν µεγιστοποιείται και µετά το σηµείο αυτό το οριακό προϊόν παίρνει αρνητικές τιµές.

2 Γ Β Α A B Γ ΑΡ ΜΡ Α Β ΑΡ A B Γ Γ ΜΡ Το οριακό προϊόν φθάνει πρώτο στο µέγιστο (σηµείο Α ) και τέµνει το µέσο προϊόν στο µέγιστο σηµείο του (σηµείο Β ). Επιπλέον, καθώς αυξάνεται η ποσότητα του συντελεστή παραγωγής, το µέσο προϊόν είναι αυξανόµενο όταν ΜΡ > ΑΡ και µειούµενο για τις ποσότητες του συντελεστή παραγωγής που ισχύει ΜΡ < ΑΡ. Απόδειξη Υπολογίζοντας την κλίση της καµπύλης του µέσου προϊόντος, AP /, βρίσκουµε:

3 AP ( ) AP ( MP AP ) (.3) Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν τα εξής: Αν ισχύει ΜΡ > ΑΡ, τότε AP / >. ηλαδή η καµπύλη του µέσου προϊόντος έχει θετική κλίση. Όταν ΜΡ < ΑΡ, τότε AP / <. ηλαδή η καµπύλη του µέσου προϊόντος έχει αρνητική κλίση. Στην περίπτωση που ισχύει ΜΡ ΑΡ, έχουµε AP /. Αυτό σηµαίνει ότι όταν το µέσο προϊόν (ΑΡ ) µεγιστοποιείται, τότε αυτό είναι ίσο µε το οριακό προϊόν (ΜΡ ). Μια άλλη έννοια που συναντάµε στη θεωρία της επιχείρησης είναι η ελαστικότητα προϊόντος (ω i ). Η ελαστικότητα προϊόντος ως προς τον συντελεστή παραγωγής ορίζεται ως εξής: ( ln) MP ( ln ) AP ω (.4) Όµοια, στην περίπτωση της συνάρτησης παραγωγής (, ) θα έχουµε: ( ln) MP ( ln ) AP ω (.5) Σύµφωνα µε τις παραπάνω σχέσεις, ω i όταν ΜΡ i ΑΡ i, ω i > αν ΜΡ i > ΑΡ i και ω i < όταν ΜΡ i < ΑΡ i. Η ελαστικότητα ω i δείχνει πόσο (%) θα µεταβληθεί η ποσότητα του προϊόντος, αν η ποσότητα του συντελεστή παραγωγής i µεταβληθεί κατά %. Το άθροισµα των ελαστικοτήτων προϊόντος ως προς όλες τις εισροές που χρησιµοποιούνται στην παραγωγή, µας δίνει την ελαστικότητα κλίµακας (ή τον συντελεστή συνάρτησης). Η ελαστικότητα κλίµακας (Ε) δείχνει πόσο (%) θα µεταβληθεί η ποσότητα του προϊόντος όταν οι ποσότητες όλων των συντελεστών παραγωγής µεταβληθούν κατά % και ορίζεται ως εξής: (%) µεταβολή του προϊόντος E (%)µεταβολήόλωντων εισροών κατά την ίδια αναλογία d dλ λ 3

4 όπου dλ/λ d / d / d η / η. Εύκολα µπορούµε να δείξουµε ότι η ελαστικότητα κλίµακας είναι πάντοτε ίση µε το άθροισµα των ελαστικοτήτων προϊόντος. Αν υποθέσουµε ότι για την παραγωγή του προϊόντος χρησιµοποιούνται δύο µόνο συντελεστές παραγωγής, τότε θα ισχύει Ε ω + ω Απόδειξη Παίρνοντας το ολικό διαφορικό της συνάρτησης παραγωγής (, ) έχουµε: d d + d Πολλαπλασιάζοντας τους δύο όρους του δεύτερου µέλους της παραπάνω σχέσης µε i / i και διαιρώντας στη συνέχεια και τα δύο µέλη µε παίρνουµε: d d + d ω d +ω d Υποθέτοντας d / d / dλ/λ βρίσκουµε: d d ( ω+ω) dλ λ E ω+ ω (.6) dλ λ Εάν Ε >, οι αποδόσεις στην κλίµακα είναι αύξουσες, όταν Ε αυτές είναι σταθερές και για Ε < έχουµε φθίνουσες αποδόσεις στην κλίµακα. Μια συγκεκριµένη ποσότητα προϊόντος, π.χ. η ο, µπορεί να παραχθεί από διαφορετικούς συνδυασµούς ποσοτήτων των συντελεστών παραγωγής. Όλοι αυτοί οι συνδυασµοί παρουσιάζονται διαγραµµατικά µε την καµπύλη ίσου προϊόντος, η οποία έχει αρνητική κλίση. Παίρνοντας το ολικό διαφορικό της σχέσης ο (, ), που εκφράζει την καµπύλη ίσου προϊόντος ο, έχουµε d ο d + d και επειδή d ο προκύπτει d /d /. Οπότε, d /d <, εφόσον > και >. Η επιχείρηση λειτουργεί µόνο στο τµήµα εκείνο των καµπυλών ίσου προϊόντος που δεν έχει θετική ως προς τις δυο εισροές κλίση, δηλαδή στο τµήµα εκείνο που αντιστοιχεί στο λεγόµενο δεύτερο στάδιο παραγωγής (φθίνων ΑΡ µέχρι το σηµείο όπου ΜΡ ). Η απόλυτη τιµή της κλίσης της καµπύλης ίσου προϊόντος µας δίνει τον οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης (MRTS): 4

5 d d MRTS Ο MRTS δείχνει τον αριθµό των µονάδων της εισροής που µπορούν να υποκατασταθούν από µία επιπλέον µονάδα της εισροής χωρίς να µεταβληθεί το επίπεδο παραγωγής. Καθώς η εισροή υποκαθίσταται από την εισροή, ο MRTS φθίνει συνεχώς. Αυτό σηµαίνει ότι οι καµπύλες ίσου προϊόντος είναι κυρτές προς την αρχή των αξόνων. Για να εξασφαλιστούν κυρτές καµπύλες ίσου προϊόντος, η συνάρτηση παραγωγής υποτίθεται ότι είναι κοίλη για µία τουλάχιστον περιοχή θετικών τιµών των εισροών. Στην περίπτωση των δύο εισροών, αυτό θα συµβαίνει όταν:, και Μια άλλη σηµαντική έννοια που συναντάµε στη θεωρία της παραγωγής είναι η ελαστικότητα υποκατάστασης (σ). Η ελαστικότητα αυτή ορίζεται ως εξής: σ (%) µεταβολή του λόγου των εισροών( ) (%) µεταβολή του MRTS dln dln ( ) ( ) d ( ) d( ) d( ) d d ( d d) ( ) ( ) d + d ( d d) ( ) ( ) Επειδή ισχύει d ( / )d, προκύπτει: σ ( + ) ( ) ( ) ( ) + D όπου D. 5

6 Η ελαστικότητα υποκατάστασης (σ) δείχνει πόσο (%) θα µεταβληθεί ο λόγος των εισροών /, αν ο MRTS µεταβληθεί κατά %. Στην περίπτωση της συνάρτησης παραγωγής (K, L), όπου Κ είναι το κεφάλαιο και L η εργασία, σύµφωνα µε τα παραπάνω, θα έχουµε: σ (%) µεταβολή του λόγου ( K L) (%) µεταβολή του MRTS ( K L) ( MRTS) K L MRTS Εάν r είναι η αµοιβή του κεφαλαίου και w είναι η αµοιβή της εργασίας, στην περίπτωση ισορροπίας, που όπως είναι γνωστό ισχύει ΜRTS w/r, θα έχουµε: ( K L) w r ( w r) K L σ (.7) Αν p είναι η τιµή του προϊόντος, τότε: σχετική συµµετοχή του κεφαλαίου στο προϊόν rk/p σχετική συµµετοχή της εργασίας στο προϊόν wl/p λόγος σχετικών συµµετοχών wl/rk Παρατηρήσεις: Αν σ, τότε µια αύξηση του λόγου w/r κατά % θα έχει σαν αποτέλεσµα την αύξηση του λόγου K/L κατά %, οπότε ο λόγος wl/rk δεν µεταβάλλεται. Όταν σ <, µια αύξηση του λόγου w/r κατά % θα οδηγήσει σε αύξηση του λόγου K/L λιγότερο του %, µε συνέπεια ο λόγος wl/rk να αυξηθεί. Στην περίπτωση που ισχύει σ >, µια αύξηση του λόγου w/r κατά % θα έχει σαν συνέπεια ο λόγος K/L να αυξηθεί περισσότερο του %, µε αποτέλεσµα ο λόγος wl/rk να µειωθεί.. Αριστοποίηση Υποθέτοντας τέλειο ανταγωνισµό στην αγορά των συντελεστών παραγωγής, το κόστος C r + r + b (r και r είναι οι τιµές των εισροών και αντίστοιχα) αποτελείται από ένα µεταβλητό (r + r ) και ένα σταθερό (b) µέρος. Η σχέση C ο r + r + b παριστάνει τη γραµµή ίσου κόστους που έχει κλίση ίση µε το αρνητικό του λόγου των τιµών των συντελεστών παραγωγής 6

7 ( r /r ). Παίρνοντας το ολικό διαφορικό της σχέσης C ο r + r + b έχουµε dc ο r d + r d. Επειδή dc ο, προκύπτει d /d r /r. Το πρόβληµα της επιχείρησης µπορεί να τεθεί ως πρόβληµα µεγιστοποίησης του προϊόντος µε περιορισµό το δεδοµένο κόστος, δηλαδή: µεγιστοποίηση: (, ) µε περιορισµό: C r + r + b Στη συγκεκριµένη περίπτωση, η συνάρτηση του Lagrange έχει την εξής µορφή: V (, ) + µ(c ο r r b) όπου µ είναι ο πολλαπλασιαστής του Lagrange. Υπολογίζοντας για τη µεγιστοποίηση τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης έχουµε: V V V C µ µ r µ r b (.) (.) (.3) Από τις δύο πρώτες ισότητες του παραπάνω συστήµατος προκύπτει η συνθήκη ισορροπίας: / r /r, που σηµαίνει εξίσωση των απόλυτων τιµών των κλίσεων της καµπύλης ίσου προϊόντος και της γραµµής ίσου κόστους ή εξίσωση του λόγου των οριακών προϊόντων µε τον λόγο των αµοιβών των εισροών ή ακόµα εξίσωση του οριακού λόγου τεχνικής υποκατάστασης µε τον λόγο των τιµών των εισροών. Επιπλέον, από τις ίδιες ισότητες παίρνουµε: /r µ /r, που σηµαίνει εξίσωση της συµβολής της τελευταίας νοµισµατικής µονάδας που δαπανήθηκε πάνω σε κάθε εισροή µε το µ, όπου µ d/dc. Ικανοποίηση των συνθηκών δεύτερης τάξης προϋποθέτει: > 7

8 Αυτό σηµαίνει ότι οι καµπύλες ίσου προϊόντος πρέπει να είναι κυρτές προς την αρχή των αξόνων. Ο υπολογισµός του συστήµατος των συνθηκών πρώτης τάξης ως προς τους αγνώστους δίνει τις συναρτήσεις ζήτησης των εισροών και. Συγκεκριµένα θα έχουµε: ( r, r, ) ( r, r, ) (.4) C (.5) C Οπότε: (, ) (.6) Το πρόβληµα της επιχείρησης µπορεί να ιδωθεί και ως πρόβληµα ελαχιστοποίησης του κόστους µε σταθερή την ποσότητα του προϊόντος, δηλαδή: ελαχιστοποίηση: C r + r + b µε περιορισµό: ο (, ) Η συνάρτηση του Lagrange στην προκειµένη περίπτωση έχει την παρακάτω µορφή: Ζ r + r + b + λ[ ο (, )] Υπολογίζοντας για την ελαχιστοποίηση τις αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης έχουµε: Z Z r λ r Z λ λ (, ) (.7) (.8) (.9) Από τις δύο πρώτες ισότητες του παραπάνω συστήµατος προκύπτει / r /r ή λ r / r / ή ΜRTS r /r. 8

9 Από τον υπολογισµό του συστήµατος των συνθηκών πρώτης τάξης ως προς τους αγνώστους προκύπτουν οι συναρτήσεις ζήτησης των εισροών και, που είναι: ( r, r, ) ( r, r, ) (.) ' ' (.) ' ' Οι συνθήκες δεύτερης τάξης είναι: λ λ λ λ < Επειδή τώρα r /λ και r /λ, αν πολλαπλασιάσουµε τις δυο πρώτες στήλες µε /λ και µετά πολλαπλασιάσουµε την τρίτη γραµµή µε λ και την τρίτη στήλη µε λ η παραπάνω συνθήκη παίρνει τη µορφή: λ < Εφόσον λ >, θα ισχύει: > Εδώ θα πρέπει να σηµειώσουµε ότι οι συνθήκες πρώτης και δεύτερης τάξης του προβλήµατος της ελαχιστοποίησης του κόστους είναι ίδιες µε τις αντίστοιχες του προβλήµατος της µεγιστοποίησης του προϊόντος. Η γραµµή επέκτασης (epansin path) της επιχείρησης είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων επαφής ανάµεσα στις γραµµές ίσου κόστους και τις καµπύλες ίσου προϊόντος µε σταθερές τις τιµές των συντελεστών παραγωγής. Η γραµµή επέκτασης είναι µια πεπλεγµένη συνάρτηση των και, g(, ). Για να την προσδιορίσουµε, υπολογίζουµε πρώτα τον οριακό λόγο τεχνικής υποκατάστασης 9

10 (ΜRTS / ΜΡ /ΜP ) και στη συνέχεια θέτουµε τον λόγο αυτό ίσο µε τον λόγο των τιµών των συντελεστών παραγωγής. Το πρόβληµα της επιχείρησης µπορεί επιπλέον να ιδωθεί και ως πρόβληµα µεγιστοποίησης του κέρδους, δηλαδή: µεγιστοποίηση: Π P C P(, ) r r b Στην προκειµένη περίπτωση οι αναγκαίες συνθήκες πρώτης τάξης για τη µεγιστοποίηση είναι: Π Π P P (.) (.3) Από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει: / r /r. Επιπλέον παίρνουµε: P r και P r, δηλαδή τη γνωστή έκφραση της συνθήκης ισορροπίας που απαιτεί ισότητα ανάµεσα στην τιµή του συντελεστή παραγωγής και την αξία του οριακού του προϊόντος. Οι συνθήκες δεύτερης τάξης είναι: Π P Π P < < Π Π και P > Π Π Λύνοντας τις εξισώσεις των συνθηκών πρώτης τάξης ως προς και παίρνουµε τις συναρτήσεις ζήτησης του παραγωγού για τις εισροές που είναι συναρτήσεις (των r, r και Ρ) οµογενείς µηδενικού βαθµού. Καθώς µεταβάλλονται οι τιµές των εισροών, ο παραγωγός θα µεταβάλλει τις ποσότητές τους που χρησιµοποιεί, ώστε να ικανοποιούνται οι συνθήκες πρώτης τάξης. Παίρνοντας το ολικό διαφορικό των σχέσεων: P r και P r έχουµε: P d + P d dp + dr P d + P d dp + dr

11 Εφαρµόζοντας τον κανόνα του Cramer παίρνουµε: όπου H P ( ) > P d H [ dr dr + ( ) dp] P d dr + dr + ( ) dp H. ιαιρώντας και τα δύο µέλη της πρώτης εξίσωσης µε dr και θέτοντας dr dp παίρνουµε: r P H < Εφόσον Ρ > και <, ο ρυθµός µεταβολής των αγορών του συντελεστή από τη µεριά του παραγωγού σε σχέση µε µεταβολές στην τιµή του, r, µε όλες τις άλλες τιµές σταθερές, είναι πάντα αρνητικός και οι καµπύλες ζήτησης της εισροής κλίνουν πάντα προς τα κάτω. 3. Η αρχή του Le Chatelier Σύµφωνα µε την αρχή του Le Chatelier, όσες περισσότερες εισροές θεωρούνται σταθερές κατά τη µεγιστοποίηση της συνάρτησης του κέρδους: n ri i i (,,,n) Π P K τόσο λιγότερο ελαστική θα είναι η καµπύλη ζήτησης µιας συγκεκριµένης εισροής i που θα προκύψει από τον υπολογισµό των συνθηκών πρώτης τάξης. Αυτό γενικά σηµαίνει ότι η µακροχρόνια καµπύλη ζήτησης της εισροής i είναι περισσότερο ελαστική από τη βραχυχρόνια. Αυτό συµβαίνει λόγω της µεγαλύτερης δυνατότητας υποκατάστασης που υπάρχει µακροχρόνια της εισροής i µε κάποια άλλη. Αλγεβρικά η αρχή του Le Chatelier παρουσιάζεται ως εξής: ( r) ( r) ( r), K i,,, n. i i i i i i n Οι δείκτες έξω από τις παρενθέσεις δείχνουν τον αριθµό των εισροών που θεωρείται σταθερός.

12 Απόδειξη Από τη µεγιστοποίηση της συνάρτησης του κέρδους: Π P(, ) r r χωρίς να υποθέσουµε ότι η εισροή παραµένει σταθερή βρήκαµε: i ri P H P P ( ) ( ) P i ri P (3.) Εάν τώρα υποθέσουµε ότι η εισροή παραµένει σταθερή ( ) (, ) Π P,, τότε: οπότε: Π P και P d dr d dr P (3.) Από τη σύγκριση των σχέσεων (3.) και (3.) προκύπτει: r P H P r Όταν, ισχύει ( r) ( r ), διαφορετικά: ( r) < ( r ) [ > ( ) και <, ]. < 4. Συναρτήσεις κόστους Θεωρήστε το σύστηµα των εξισώσεων που αποτελείται από τη συνάρτηση παραγωγής, την εξίσωση κόστους και τη συνάρτηση της γραµµής επέκτασης. (, ) (συνάρτηση παραγωγής) (4.)

13 C r + r + b (εξίσωση κόστους) (4.) g(, ) (γραµµή επέκτασης) (4.3) Από τις σχέσεις (4.) και (4.3) υπολογίζουµε και, αντικαθιστώντας τα (i, ) στην (4.) και υπολογίζοντας ως προς C θα πάρουµε τη συνάρτηση i κόστους: C Φ() + b. Από τη συνάρτηση αυτή µπορούµε να φθάσουµε στις έννοιες του µέσου συνολικού (ATC), του µέσου µεταβλητού (AVC), του µέσου σταθερού (AFC) και του οριακού (MC) κόστους. ( ) Φ + b ATC, ( ) Φ AVC, b dc d AFC και MC Φ ( ) T κέρδος ως διαφορά εσόδων και εξόδων: Π P Φ() b στην περίπτωση του πλήρους ανταγωνισµού, που όπως είναι γνωστό ισχύει Ρ Ρ ο, µεγιστοποιείται όταν: dπ P d Φ ( ) P Φ( ) Συνεπώς, το κέρδος της επιχείρησης µεγιστοποιείται όταν το οριακό έσοδο είναι ίσο µε οριακό κόστος (MR MC) και επιπλέον ισχύει: dπ d C d C < ή > (συνθήκες δεύτερης τάξης) d d d ηλαδή το οριακό κόστος είναι αυξανόµενο. κόστος τιµή MC ATC A AR P MR 3

14 Σύµφωνα µε το παραπάνω διάγραµµα, που παρουσιάζει τη βραχυχρόνια θέση ισορροπίας της επιχείρησης στον πλήρη ανταγωνισµό, η επιχείρηση µεγιστοποιεί τα κέρδη της όταν παράγει µονάδες προϊόντος που αντιστοιχούν στο σηµείο Α όπου: (i) MR MC και (ii) Η καµπύλη του οριακού κόστους τέµνει την καµπύλη της οριακής προσόδου από κάτω προς τα πάνω. Μακροχρόνια το µέγεθος της εγκατάστασης είναι µεταβλητό. Αν το συµβολίσουµε µε k τότε: (,, k) C r + r + Ψ(k) g(,, k) ύο από τις παραπάνω σχέσεις µπορούν να χρησιµοποιηθούν για να εξαλειφθούν οι µεταβλητές και και το συνολικό κόστος µπορεί να εκφραστεί σαν συνάρτηση του όγκου του προϊόντος και του µεγέθους της εγκατάστασης: C Φ(, k) + Ψ(k) (4.4) Η µακροχρόνια καµπύλη κόστους είναι ο "φάκελος" των βραχυχρόνιων καµπυλών. Το µακροχρόνιο κόστος είναι συνάρτηση του όγκου του προϊόντος: C Φ() (4.5) οπότε το κέρδος της επιχείρησης κατά τη διάρκεια µιας περιόδου είναι όπως συνήθως η διαφορά ανάµεσα στα έσοδα και το κόστος: Οπότε: Π Ρ ο Φ() dπ P d Φ ( ) P Φ( ) Τα κέρδη µεγιστοποιούνται µε την εξίσωση του µακροχρόνιου οριακού κόστους και της τιµής, µε την προϋπόθεση να ικανοποιούνται και οι συνθήκες δεύτερης τάξης. 4

15 5. Οµογενείς συναρτήσεις, το θεώρηµα του Euler και η διανοµή Η συνάρτηση παραγωγής (,,..., n ) είναι οµογενής βαθµού k αν: (t, t,, t n ) t k (,,, n ) όπου k είναι σταθερά και t οποιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός. Οι αποδόσεις στην κλίµακα είναι αύξουσες, σταθερές ή φθίνουσες ανάλογα αν k >, k ή k < αντίστοιχα. Οι µερικές παράγωγοι οµογενούς συνάρτησης βαθµού k είναι οµογενείς βαθµού k. Απόδειξη Εάν η συνάρτηση (,,..., n ) είναι οµογενής βαθµού k, τότε σύµφωνα µε τον ορισµό: (t, t,, t n ) t k (,,, n ) Παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή ως προς i έχουµε: () ( t ) i k ( ti) t (,, K, n) i i t i (t, t,, t n ) t k i (,,, n ) i (t, t,, t n ) t k- i (,,, n ) Οι µερικές παράγωγοι οµογενούς συνάρτησης βαθµού k είναι οµογενείς βαθµού k, που συνεπάγεται ότι αν η συνάρτηση παραγωγής είναι οµογενής πρώτου βαθµού, οι οριακές παραγωγικότητες των συντελεστών παραγωγής είναι συναρτήσεις µηδενικού βαθµού, δηλαδή δεν επηρεάζονται από αναλογικές µεταβολές των συντελεστών. Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Euler, οµογενείς συναρτήσεις βαθµού k ικανοποιούν την παρακάτω συνθήκη: + k(, ) 5

16 ιαιρώντας τώρα µε προκύπτει: + + ω +ω k ηλαδή το άθροισµα των ελαστικοτήτων προϊόντος ως προς και ισούται µε τον βαθµό της οµογένειας. Αν η συνάρτηση παραγωγής είναι οµογενής πρώτου βαθµού τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα του Euler: + (, ) Αυτό σηµαίνει ότι αν κάθε συντελεστής παραγωγής πληρώνεται το οριακό φυσικό του προϊόν το συνολικό προϊόν εξαντλείται. Οι συνέπειες για τη διανοµή της οριακής θεωρίας της παραγωγικότητας είναι: Κάθε εισροή πληρώνεται την αξία του οριακού της προϊόντος. Το συνολικό προϊόν εξαντλείται ακριβώς. Η συνθήκη της εξάντλησης του προϊόντος ισοδυναµεί µε τη συνθήκη ότι το µέγιστο µακροχρόνιο κέρδος ισούται µε το µηδέν. Ξεκινώντας πάλι µε το θεώρηµα του Euler, για οµογενή συνάρτηση πρώτου βαθµού ισχύει +. Πολλαπλασιάζοντας µε την τιµή του προϊόντος παίρνουµε: (P ) + (P ) P Αντικαθιστώντας τώρα P r και P r, όπως έχει προκύψει από τις συνθήκες πρώτης τάξης, έχουµε: r + r P ηλαδή η µακροχρόνια συνολική δαπάνη ισούται µε το µακροχρόνιο συνολικό έσοδο. Κώστας Βελέντζας 6