ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΙ (Ο Ε 2418) ΕΛΑΧΙΣΤΟ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΙ (Ο Ε 2418) ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΜΠΟΥΡΛΑΚΗΣ 4 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΤΜΗΜΑΤΑ: (Α - Λ) ΚΑΙ (Μ - Ω) ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΙΙ (Ο Ε 2418) ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΓΙΑ ΜΕΓΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΧΩΡΙΣ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟ ΓΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (TWO VARIABLE UNCONSTRAINED OPTIMIZATION) Για µια συνάρτηση δύο µεταβλητών z = f (x,y) ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΣΧΗΜΑ 1 Η Αναγκαία Συνθήκη (Συνθήκη Πρώτης Τάξης) για Ελάχιστο (minimum) δίνεται ως εξής: ( z / x) = 0 και ( z / y) = 0 Μέσω της Συνθήκης Πρώτης Τάξης εντοπίζονται τα ακρότατα σηµεία α και β. Η Ικανή Συνθήκη (Συνθήκη εύτερης Τάξης) για Ελάχιστο πρέπει να ικανοποιεί: ( 2 z / x 2 ) > 0, ( 2 z / y 2 ) > 0, και [( 2z / x2)( 2z / y2)] - [( 2z / x y)]2 > 0 1

2 ΜΕΓΙΣΤΟ ΣΧΗΜΑ 2 Η Αναγκαία Συνθήκη (Συνθήκη Πρώτης Τάξης) για Μέγιστο (maximum) δίνεται ως εξής: ( z / x) = 0 και ( z / y) = 0 Μέσω της Συνθήκης Πρώτης Τάξης εντοπίζονται τα ακρότατα σηµεία α και β. Η Ικανή Συνθήκη (Συνθήκη εύτερης Τάξης) για Μέγιστο πρέπει να ικανοποιεί: ( 2 z / x 2 ) < 0, ( 2 z / y 2 ) < 0, και [( 2 z / x 2 )( 2 z / y 2 )] - [( 2 z / x y)] 2 > 0 ΣΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΟ ΣΕΛΑΣ (SADDLE POINT) ΣΧΗΜΑ 3 Η Αναγκαία Συνθήκη (Συνθήκη Πρώτης Τάξης) για Σαγµατικό Σηµείο ή Σηµείο Σέλας (saddle point) δίνεται ως εξής: ( z / x) = 0 και ( z / y) = 0 Μέσω της Συνθήκης Πρώτης Τάξης εντοπίζονται τα ακρότατα σηµεία α και β. Η Ικανή Συνθήκη (Συνθήκη εύτερης Τάξης) για Σαγµατικό Σηµείο ή Σηµείο Σέλας πρέπει να ικανοποιεί: [( 2z / x2)( 2z / y2)] - [( 2z / x y)]2 < 0 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Επίσης ισχύουν τα ακόλουθα ως προς τις εύτερες Μερικές Παραγώγους : 2

3 ( 2 z / x y) = ( 2 z / y x), και [( 2z / x y)]2 = [( 2z / y x)]2 ΙΑΚΡΙΣΗ ΤΙΜΩΝ ΑΣΚΗΣΗ 1 Μια χηµική εταιρεία κατέχει το µονοπώλιο στην κατασκευή ενός νέου τύπου ίνας υφασµάτων, την οποία πωλεί σε µεταποιητές ρούχων σε δύο διαφορετικές χώρες (την χώρα Α και την χώρα Β) σε διαφορετικές τιµές στην κάθε χώρα. Η συνάρτηση ζήτησης για τους πελάτες της επιχείρησης στην χώρα Α είναι : ΤΑ + 4ΠΑ = 50 Η συνάρτηση ζήτησης για τους πελάτες της επιχείρησης στην χώρα Β είναι : Τ Β + 3Π Β = 80 Όπου Τ Α και Τ Β είναι οι τιµές του νέου τύπου ίνας υφασµάτων (σε χιλιάδες ) και Π Α και Π Β είναι οι παραγόµενες ποσότητες του νέου τύπου ίνας υφασµάτων (σε συσκευασµένα κιβώτια ινών υφασµάτων) στην χώρα Α και στην χώρα Β αντίστοιχα. Η συνάρτηση συνολικού κόστους (ΣΚ) του µονοπωλητή παραγωγού είναι η εξής : ΣΚ = Π Όπου: Π = ΠΑ + ΠΒ είναι η συνολική ποσότητα των πωλουµένων ινών υφασµάτων (σε συσκευασµένα κιβώτια) της επιχείρησης στις δύο χώρες. (α) Να ευρεθούν οι τιµές πώλησης του προϊόντος που µεγιστοποιούν το συνολικό (οικονοµικό) κέρδος της επιχείρησης στις δύο χώρες. (β) Να υπολογιστούν οι ελαστικότητες της ζήτησης ως προς την τιµή για το προϊόν της επιχείρησης στις δύο αγορές. (γ) Να ευρεθεί το συνολικό (οικονοµικό) κέρδος της επιχείρησης. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 1 (α) Από τις δοθείσες συναρτήσεις ζήτησης στις χώρες Α και Β υπολογίζουµε τις ακόλουθες «αντίστροφες συναρτήσεις» ζήτησης : Τ Α = 50-4Π Α για τη χώρα Α (1) 3

4 ΤΒ = 80-3Π Β για τη χώρα Β (2) Για τον υπολογισµό του συνολικού οικονοµικού κέρδους (Κ) αφαιρούµε από το συνολικό έσοδο (ΣΕ) του µονοπωλητή από την παραγωγή το συνολικό του κόστος (ΣΚ). Το συνολικό έσοδο του παραγωγού είναι εν προκειµένω το άθροισµα των επιµέρους συνολικών εσόδων (ΣΕΑ + ΣΕ Β ) στις δύο χώρες: ΣΕ = ΣΕΑ + ΣΕΒ = (50 4ΠΑ) ΠΑ + (80 3ΠΒ)ΠΒ = 50ΠΑ - 4ΠΑ ΠΒ 3Π Β 2 (3) Η συνάρτηση του (οικονοµικού) κέρδους (Κ) της µονοπωλιακής χηµικής εταιρείας ευρίσκεται ως: Κ = ΣΕ - ΣΚ = ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΚΕΡ ΟΣ = [50ΠΑ - 4ΠΑ ΠΒ 3ΠΒ 2 ] [ (ΠΑ + Π Β )] = 42Π Α - 4Π Α Π Β 3Π Β (4) (β) Η Συνθήκη Πρώτης Τάξης για την µεγιστοποίηση του κέρδους είναι: ( Κ / ΠΑ) = 42 8ΠΑ = 0 (5) ( Κ / Π Β ) = 72 6Π Β = 0 (6) Από τις παραστάσεις (5) και (6) ευρίσκεται ο συνδυασµός (Π Α, Π Β ) = (5,25 και 12) σαν τα υποψήφια ακρότατα σηµεία για την συνάρτηση (οικονοµικού) κέρδους. Η Συνθήκη εύτερης Τάξης για την µεγιστοποίηση του κέρδους είναι: ( 2 Κ / Π 2 Α ) = 8 < 0 (7) ( 2 Κ / Π 2 Β ) = 6 < 0 (8) ( 2 Κ / Π Α Π Β ) = ( 2 Κ / Π Β Π Α ) = 0 (9) [( 2 Κ / ΠΑ 2 ) ( 2 Κ / ΠΒ 2 )] - [( 2 Κ / ΠΑ ΠΒ)] 2 = (-8)(-6) (0) 2 = 48 > 0 (10) Η συνθήκη εύτερης Τάξης επιβεβαιώνει την ύπαρξη µέγιστου για τα ακρότατα σηµεία (ΠΑ, ΠΒ) = (5,25 και 12). Άρα, το κέρδος του µονοπωλητή κατασκευαστή της νέας ίνας υφασµάτων µεγιστοποιείται για τις ποσότητες (σε συσκευασµένα κιβώτια ίνας υφασµάτων), ΠΑ = 5,25 (Συσκευασµένα Κιβώτια) και Π Β = 12 (Συσκευασµένα Κιβώτια). Με αντικατάσταση των ποσοτήτων που µεγιστοποιούν το κέρδος στις «αντίστροφες συναρτήσεις» ζήτησης στις παραστάσεις (1) και (2) ευρίσκονται οι τιµές που µεγιστοποιούν το συνολικό οικονοµικό κέρδος της επιχείρησης: Τ Α = 50 4Π Α = 50 4(5,25) = 29 χιλιάδες για τη χώρα Α (11) 4

5 ΤΒ = 80 3Π Β = 80 3(12) = 44 χιλιάδες για τη χώρα Β (12) (β) Γνωρίζουµε ότι η ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος ( ΕΖ ) µπορεί να εκτιµηθεί από τον τύπο που συνδέει το οριακό έσοδο µε την τιµή και την ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος: (ΟΕ) = Τ [1 - (1 / Ε Ζ )] (13) Επίσης γνωρίζουµε ότι σε περίπτωση επιβολής διαφορετικής τιµής για το ίδιο προϊόν σε δύο διαφορετικές αγορές (διαφορισµός τιµής) από µια επιχείρηση ισχύει: (ΟΚ) = (ΟΕ)Α = (ΟΕ)Β (14) Ορµώµενοι από τις παραστάσεις (13) και (14) υπολογίζουµε: (ΟΚ) = (ΟΕ)Α = ΤΑ [1 - (1 / ΕΖΑ )] (15) (ΟΚ) = (ΟΕ) Β = Τ Β [1 - (1 / Ε ΖΒ )] (16) Με αντικατάσταση των τιµών στις παραστάσεις (15) και (16) ευρίσκουµε: 8 = 29 [1 - (1 / Ε ΖΑ )] Ε ΖΑ = 1,38 (17) 8 = 44 [1 - (1 / Ε ΖΒ )] Ε ΖΒ = 1,22 (18) Ο µονοπωλητής παραγωγός έχει µικρότερη ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος στην χώρα Β ( Ε ΖΒ = 1,22) όπου και θέτει µεγαλύτερη τιµή πώλησης για το προϊόν της επιχείρηση (Τ Β = 44 χιλιάδες ). (γ) Για τον υπολογισµό του συνολικού οικονοµικού κέρδους (Κ) αρκεί να αντικαταστήσουµε τις ευρεθείσες τιµές για τις ποσότητες που µεγιστοποιούν το οικονοµικό κέρδος της επιχείρησης (Π Α, Π Β ) = (5,25 και 12) στην παράσταση (4): Κ = ΣΕ - ΣΚ = ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΚΕΡ ΟΣ = 42ΠΑ - 4ΠΑ ΠΒ 3ΠΒ = = 42(5,25) 4(5,25)2 + 72(12) 3(12)2 120 = 422,25 χιλιάδες (19) ΑΣΚΗΣΗ 2 Μία βιοτεχνία ετοίµων γυναικείων ενδυµάτων θέτει δύο διαφορετικές τιµές για τα ενδύµατα που διαθέτει προς πώληση. Η συνάρτηση ζήτησης για τους πελάτες της επιχείρησης που προµηθεύονται ενδύµατα µέσω λιανικής πώλησης είναι: Τ Λ + Π Λ = 500 5

6 Όπου: Τ Λ = Η τιµή που επιβάλλει η βιοτεχνία σε πελάτες που αγοράζουν λιανικά (σε ). Π Λ = Η ζητούµενη ποσότητα ενδυµάτων στον τοµέα της λιανικής πώλησης. Η συνάρτηση ζήτησης της επιχείρησης για τους πελάτες που προµηθεύονται ενδύµατα µέσω χονδρικής πώλησης είναι: 2Τ Χ + 3Π Χ = 720 Όπου: ΤΧ = Η τιµή που επιβάλλει η βιοτεχνία σε πελάτες που αγοράζουν χονδρικά (σε ). ΠΧ = Η ζητούµενη ποσότητα ενδυµάτων στον τοµέα της χονδρικής πώλησης. Η συνάρτηση συνολικού κόστους (ΣΚ) της βιοτεχνίας έχει την µορφή: ΣΚ = Π Όπου: (Π) είναι η συνολική ποσότητα των πωλουµένων ενδυµάτων από την βιοτεχνία. (α) Να ευρεθούν οι τιµές λιανικής και χονδρικής πώλησης που µεγιστοποιούν το (οικονοµικό) κέρδος της βιοτεχνίας µε διαφορισµό τιµής. (β) Να υπολογισθεί το µέγιστο (οικονοµικό) κέρδος της βιοτεχνίας µε διαφορισµό τιµής. (γ) Να υπολογιστούν οι ελαστικότητες της ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος στον τοµέα της λιανικής, καθώς και στον τοµέα της χονδρικής πώλησης. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 2 (α) Για τον τοµέα της λιανικής πώλησης έχουµε: Τ Λ + Π Λ = 500 Τ Λ = Π Λ (1) Το Συνολικό Έσοδο (ΣΕ) Λ της βιοτεχνίας από την δραστηριότητά της στον τοµέα του λιανεµπορίου υπολογίζεται ως εξής: (ΣΕ)Λ = ΤΛ ΠΛ = (500 ΠΛ) ΠΛ = 500ΠΛ Π 2 Λ (2) Για τον τοµέα του χονδρεµπορίου υπολογίζουµε οµοίως: 2Τ Χ + 3Π Χ = 720 Τ Χ =360 1,5Π Χ (3) Το αντίστοιχο Συνολικό Έσοδο (ΣΕ) Χ της βιοτεχνίας από την δραστηριότητά της στον τοµέα του χονδρεµπορίου υπολογίζεται ως ακολούθως: (ΣΕ) Χ = Τ Χ Π Χ = (360 1,5Π Χ ) Π Χ = 360Π Χ - 1,5Π 2 Χ (4) 6

7 Το Συνολικό Έσοδο (ΣΕ) της βιοτεχνίας από την δραστηριότητά της στους τοµείς του λιανεµπορίου και του χονδρεµπορίου ευρίσκεται ως εξής: (ΣΕ) = (ΣΕ) Λ + (ΣΕ) Χ = (500Π Λ Π 2 Λ ) + (360Π Χ - 1,5Π2 Χ ) (5) Το Συνολικό Κόστος (ΣΚ) της παραγωγής της βιοτεχνίας είναι: ΣΚ = Π = (ΠΛ + Π Χ ) = Π Λ + 20Π Χ (6) Η Συνάρτηση (οικονοµικού) Κέρδους (Κ) της βιοτεχνίας υπολογίζεται ως: (Κ) = (ΣΕ) (ΣΚ) = ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΚΕΡ ΟΣ = = 480ΠΛ Π 2 Λ + 340ΠΧ - 1,5Π 2 Χ (7) Εν προκειµένω, αντιµετωπίζουµε ένα πρόβληµα µεγιστοποίησης χωρίς περιορισµό. Η συνθήκη πρώτης τάξης µας δίνει: ( Κ / ΠΛ ) = 480-2Π Λ = 0 Π Λ = 240 Ενδύµατα (8) ( Κ / Π Χ ) = 340-3Π Χ = 0 Π Χ = (340 / 3) Ενδύµατα (9) Η συνθήκη δεύτερης τάξης απαιτεί: Άρα: ( 2Κ / Π2 Λ ) = -2 < 0 (10) ( 2 Κ / Π 2 Χ ) = -3 < 0 (11) ( 2 Κ / Π Λ Π Χ ) = 0 (12) [( 2 Κ / Π 2 Λ ) ( 2 Κ / Π 2 Χ ] [( 2 Κ / Π Λ Π Χ )] = (-2) (-3) (0) 2 = 6 > 0 (13) Τα ακρότατα σηµεία Π Λ και Π Χ, 240 (Ενδύµατα) και (340 / 3) (Ενδύµατα) αντιστοιχούν σε µέγιστο. Οι άριστες τιµές των Τ Λ και Τ Χ εντοπίζονται µε αντικατάσταση των ακρότατων τιµών Π Λ = 240 (Ενδύµατα ) και Π Χ = (340 / 3) (Ενδύµατα) στις εκφράσεις (1) και (3) αντίστοιχα. Αντικαθιστώντας στην έκφραση (1) η τιµή που θέτει η βιοτεχνία για τους πελάτες της στις λιανικές της πωλήσεις υπολογίζεται ως: ΤΛ = ΠΛ = = 260 (14) Αντικαθιστώντας στην έκφραση (3) η τιµή που θέτει η βιοτεχνία για τους πελάτες της που αγοράζουν χονδρικά ευρίσκεται ως: ΤΧ = 360 1,5ΠΧ = 360 1,5 (340 /3) = 190 (15) (β) Το µέγιστο κέρδος της βιοτεχνίας µε διαφορισµό τιµής ευρίσκεται µε αντικατάσταση των ποσοτήτων Π Λ = 240 (Ενδύµατα ) και Π Χ = (340 / 3) (Ενδύµατα) στην έκφραση (7): 7

8 (Κ) = (ΣΕ) (ΣΚ) = ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΚΕΡ ΟΣ = = 480ΠΛ Π 2 Λ + 340ΠΧ - 1,5Π 2 Χ = ,67 (16) (γ) Η ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος της βιοτεχνίας στον χώρο του λιανεµπορίου ΕΖΛ µπορεί να εκτιµηθεί από τον τύπο που συνδέει το οριακό έσοδο µε την τιµή και την ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος: (ΟΕ) Λ = Τ Λ [1 - (1 / Ε ΖΛ )] (17) όπου (ΟΕ)Λ είναι το οριακό έσοδο της βιοτεχνίας στον χώρο του λιανεµπορίου. Η ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος της βιοτεχνίας στον χώρο του χονδρεµπορίου ΕΖΧ µπορεί επίσης να εκτιµηθεί από τον τύπο που συνδέει το οριακό έσοδο µε την τιµή και την ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος: (ΟΕ)Χ = Τ Χ [1 - (1 / Ε ΖΧ )] (18) όπου (ΟΕ) Χ είναι το οριακό έσοδο της βιοτεχνίας στον χώρο του χονδρεµπορίου. Εξισώνουµε το οριακό έσοδο στο τοµέα του λιανεµπορίου (ΟΕ) Λ και το οριακό έσοδο στον τοµέα του χονδρεµπορίου (ΟΕ)Χ, µε το κοινό οριακό κόστος (ΟΚ) της βιοτεχνίας και στους δύο τοµείς: (ΟΕ)Λ = (ΟΕ)Χ = (ΟΚ) = 20 (19) Αντικαθιστώντας (ΟΕ) Λ = 20 και Τ Λ = 260 ( ) στην έκφραση (17), η ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος στον τοµέα του λιανεµπορίου ΕΖΛ για την βιοτεχνία υπολογίζεται ως: Ε ΖΛ = 1,083 (20) Ακολουθώντας την ίδια µέθοδο, µε αντικατάσταση του (ΟΕ) Χ = 20 και Τ Χ = 190 ( ) στην έκφραση (18), η ελαστικότητα της ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος στον τοµέα του χονδρεµπορίου Ε ΖΧ για την βιοτεχνία υπολογίζεται ως: ΕΖΧ = 1,117 (21) Η βιοτεχνία έχει µικρότερη ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιµή του προϊόντος για τα ενδύµατά της στον τοµέα του λιανεµπορίου, και το εκµεταλλεύεται µε επιτυχία µε το να θέτει µεγαλύτερη τιµή για τους πελάτες που αγοράζουν ενδύµατα της λιανικής. 8

9 ΤΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΤΟΥ COURNOT ΑΣΚΗΣΗ 1 ίνεται η ακόλουθη «αντίστροφη συνάρτηση» ζήτησης για το προϊόν ενός βιοµηχανικού κλάδου που αποτελείται από δύο µόνο εταιρείες: Τ = - ΠΖ όπου ΠΖ είναι η ζήτηση και Τ είναι η τιµή για το προϊόν του συγκεκριµένου βιοµηχανικού κλάδου αντίστοιχα. Το µέσο κόστος (ΜΚ) και το οριακό κόστος (ΟΚ) για το προϊόν του βιοµηχανικού κλάδου συνδέονται σύµφωνα µε την ακόλουθη σχέση: ΜΚ = ΟΚ = 10 Αν οι δύο εταιρείες (Α) και (Β) του βιοµηχανικού κλάδου συµπεριφέρονται σύµφωνα µε τις παραδοχές του υποδείγµατος Cournot: (α) Να ευρεθούν οι καµπύλες αντίδρασης της κάθε επιχείρησης. (β) Να ευρεθούν οι τιµές και οι ποσότητες ισορροπίας για κάθε εταιρεία. (γ) Να ευρεθούν οι τιµές και οι ποσότητες που επιβάλλονται και παράγονται αντίστοιχα για το προϊόν του βιοµηχανικού κλάδου σε συνθήκες επιχειρησιακής συµπεριφοράς σύµφωνες µε το υπόδειγµα του πλήρους ανταγωνισµού καθώς και σε συνθήκες επικράτησης µόνο µιας επιχείρησης στον κλάδο. Να συγκριθούν οι παραπάνω τιµές και ποσότητες µε τις αντίστοιχες ευρεθείσες τιµές και ποσότητες της ολιγοπωλιακής συµπεριφοράς του υποδείγµατος Cournot. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 1 (α) Το Κέρδος (Κ Α ) της εταιρείας (Α) και δεδοµένου ότι Π Ζ = Π Α + Π Β είναι: (Κ Α ) = (ΣΕ Α ) (ΣΚ Α ) = (100 - Π Ζ )Π Α - 10Π Α = (100 - Π Α - Π Β )Π Α - 10Π Α = = 100Π Α - Π 2 Α - ΠΑ Π Β - 10 Π Α (1) Το Κέρδος (ΚΒ) της εταιρείας (Β) είναι αντίστοιχα: (ΚΒ ) = (ΣΕ Β ) (ΣΚ Β ) = (100 - Π Ζ )Π Β - 10Π Β = (100 - Π Α - Π Β )Π Β - 10Π Β = = 100Π Β - Π Α Π Β - Π Β 2-10 Π Β (2) Η Συνθήκη Πρώτης Τάξης για την µεγιστοποίηση του κέρδους είναι: ( Κ Α / Π Α ) = 100-2Π Α - Π Β - 10 = 0 (3) ( Κ Β / Π Β ) = 100 Π Α - 2Π Β - 10 = 0 (4) Οι καµπύλες αντίδρασης (ΚΑ) της κάθε εταιρείας υπολογίζονται από τις παραστάσεις (3) και (4) αν λύσουµε ως προς τις ποσότητες: (ΚΑ) Α : Π Α = 45-0,5Π Β (5) 9

10 και (ΚΑ)Β : ΠΒ = 45-0,5ΠΑ (6) (β) Οι ποσότητες ισορροπίας για κάθε εταιρεία υπολογίζονται µε λύση του συστήµατος των δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους των παραστάσεων (5) και (6) ως: Π Α = 30 Μονάδες (7) και ΠΒ = 30 Μονάδες (8) Το συνολικό παραγόµενο προϊον στον κλάδο σε ισορροπία µε συνθήκες υποδείγµατος Cournot είναι: ΠΖ = ΠΑ + ΠΒ = = 60 Μονάδες (9) Με αντικατάσταση του συνολικού παραγόµενου προϊόντος στον κλάδο σε ισορροπία µε συνθήκες υποδείγµατος Cournot ΠΖ = 60 στην συνάρτηση ζήτησης του κλάδου, υπολογίζουµε τις τιµές ισορροπίας (Τ) για κάθε εταιρεία ως: Τ Α = Τ Β = 40 (10) (γ) Σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού η τιµή (Τ) είναι ίση µε το οριακό κόστος (ΟΚ): Τ = ΟΚ = 10 (11) Με αντικατάσταση της τιµής Τ = 10 στην συνάρτηση ζήτησης του κλάδου, η παραγόµενη ποσότητα σε συνθήκες πλήρους ανταγωνισµού είναι: Π = Τ = = 90 Μονάδες (12) Σε συνθήκες µονοπωλίου το συνολικό έσοδο (ΣΕ) της εταιρείας είναι: (ΣΕ) = (100 - Π)Π = 100Π - Π 2 (13) Ο µονοπωλητής µεγιστοποιεί τα κέρδη του εξισώνοντας το οριακό του έσοδο (ΟΕ) που υπολογίζουµε από την παράσταση (13) µε το οριακό του κόστος (ΟΚ) που ισούται µε 10: (ΟΕ) = (ΟΚ) 100-2Π = 10 Π = 45 Μονάδες (14) Με αντικατάσταση της τιµής της ποσότητας Π = 45 Μονάδες στην συνάρτηση ζήτησης του κλάδου, η µονοπωλιακή τιµή ευρίσκεται ότι είναι: Τ = = 55 (15) Η σύγκριση των παραπάνω µας φανερώνει ότι η χαµηλότερη τιµή και η µεγαλύτερη παραγόµενη ποσότητα στον κλάδο λαµβάνει χώρα κάτω από πλήρως ανταγωνιστικές συνθήκες, ενω µε την παρουσία µόνο µιάς επιχείρησης στον κλάδο συµβαίνει το ακριβώς αντίθετο. Σε συνθήκες ολιγοπωλιακής συµπεριφοράς που συνάδουν µε το υπόδειγµα Cournot, η συνολική παραγωγή των δύο επιχειρήσεων του κλάδου ανέρχεται στα δύο τρίτα (2/3) της πλήρως ανταγωνιστικής παραγωγής, δηλαδη 60 µονάδες, ενώ η τιµή του προϊόντος του κλάδου ευρίσκεται µεταξύ της µονοπωλιακής τιµής και της πλήρως ανταγωνιστικής τιµής. 10

11 ΤΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΤΟΥ BERTRAND ΑΣΚΗΣΗ 1 ίνονται οι ακόλουθες συναρτήσεις ζήτησης για το προϊόν ενός µεταποιητικού δυοπώλιου: ΠΑ = ΤΑ + ΤΒ και Π Β = Τ Β + Τ Α όπου Π Α και Π Β είναι οι παραγόµενες ποσότητες από τις εταιρείες (Α) και (Β) αντίστοιχα, και Τ Α και ΤΒ οι τιµές που επιβάλλουν οι εταιρείες (Α) και (Β) αντίστοιχα. Αν οι δύο εταιρείες δεν έχουν µεταβλητό κόστος αλλά µόνο σταθερό κόστος το οποίο είναι ίσο µε 50, και συµπεριφέρονται σύµφωνα µε τις παραδοχές του υποδείγµατος Bertrand: (α) Να ευρεθούν αλγεβρικά οι καµπύλες αντίδρασης της κάθε εταιρείας. (β) Να ευρεθούν οι τιµές και οι ποσότητες ισορροπίας για κάθε εταιρεία. ΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΗΣ 1 (α) Το Κέρδος (Κ Α ) της εταιρείας (Α) είναι: (Κ Α ) = (ΣΕ Α ) (ΣΚ Α ) = Τ Α ( Τ Α + Τ Β ) - 50 = = 100Τ Α - 10Τ 2 Α + ΤΑ Τ Β - 50 (1) Το Κέρδος (ΚΒ) της εταιρείας (Β) είναι αντίστοιχα: (Κ Β ) = (ΣΕ Β ) (ΣΚ Β ) = Τ Β ( Τ Β + Τ Α ) - 50 = = 100Τ Β - 10Τ 2 Β + ΤΑ Τ Β - 50 (2) Η Συνθήκη Πρώτης Τάξης για την µεγιστοποίηση του κέρδους είναι: ( Κ Α / Τ Α ) = Τ Α + Τ Β = 0 (3) ( Κ Β / Τ Β ) = Τ Β + Τ Α = 0 (4) Οι καµπύλες αντίδρασης (ΚΑ) της κάθε εταιρείας υπολογίζονται από τις παραστάσεις (3) και (4) αν λύσουµε ως προς τις τιµές: (ΚΑ) Α : Τ Α = 5 + (1/20) Τ Β (5) και (ΚΑ)Β : ΤΒ = 5 + (1/20) ΤΑ (6) (β) Οι τιµές ισορροπίας για κάθε εταιρεία υπολογίζονται µε λύση του συστήµατος των δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους των παραστάσεων (5) και (6) ως: ΤΑ = 5,2525 (7) και Τ Β = 5,2525 (8) 11

12 Με αντικατάσταση των τιµών ΤΑ = Τ Β = 5,2525 στις συναρτήσεις ζήτησης υπολογίζουµε τις ποσότητες ισορροπίας (Π) για κάθε εταιρεία σε συνθήκες υποδείγµατος Bertrand ως: Π Α = Π Β = 52,7275 Μονάδες (9) Κωνσταντίνος Μπουρλάκης Αθήνα, Ιούνιος