RJEŠAVANJE PROBLEMA SVOJSTVENE ZADAĆE KOD VEZANIH POLJA SOLVING THE EIGENVALUE PROBLEM IN COUPLED FIELDS

Transcript

1 Broj 5 lpanj, 3 RJEŠAVANJE PROBLEMA SVOJSVENE ZADAĆE KOD VEZANIH POLJA Ante Džolan, mag.građ. Građevnsk akultet Sveučlšta u Mostaru Sažetak: U radu je ukratko opsan model za smulacju vezanog problema međudjelovanja lud konstrukcja. Za rješavanje problema svojstvenh zadaća korst se WYD metoda. Razvjen model daje mogućnost proračuna međudjelovanja lud konstrukcja za D problem. Mogućnost modela prkazane su na numerčkom prmjeru. Ključne rječ: vezan problem, numerčk model, WYD metoda, međudjelovanje lud - konstrukcja SOLVING HE EIGENVALUE PROBLEM IN COUPLED FIELDS Abstract: hs paper brely descrbes a model or smulaton o the coupled lud-structure nteracton problem. WYD method s used to solve egenvalue problems. he developed model make t possble to calculate the lud-structure nteracton or a D problem. Possbltes o the model are shown n a numercal example. Key words: coupled problem, numercal model, WYD method, lud-structure nteracton Džolan, A 65

2 Broj 5 lpanj, 3. UVOD U radu se opsuje problem rješavanja svojstvenh vrjednost vezanh zadaća. Problem vezanh zadaća možemo podjelt u dvje klase: Klasa I (slka ) međudjelovanje postoj na kontaktnoj ploh zmeđu dvaju medja, pr tome se svak od medja promatra kao zasebna cjelna te se opsuje modelra odgovarajućm zkalnm jednadžbama. Potom se vrš ops modelranje njhovog međudjelovanja. Kada mamo model svakog medja njhovog međudjelovanja prstupa se ormranju jednstvenoga modela koj obuhvaća ponašanje svakog medja njhova međudjelovanja. Slka. Problem klase I, međudjelovanje na kontaktnoj ploh Klasa II (slka ) utjecaj međudjelovanja uključen je u derencjalnu jednadžbu koja opsuje promatranu zkalnu pojavu. Slka. Problem klase II U ovom radu se obrađuje problem proračuna svojstvenh vrjednost/vektora vezane zadaće lud konstrukcja z klase I međudjelovanje na kontaktnu plohu.. NUMERIČKI MODEL EKUĆINE.. Model tekućne ekućna (lud) je tvar (kapljevna l pln) koja se neprestano deormra usljed vanjskog djelovanja. Može bt dealna (tečenje bez trenja - tzv. Newton-ova tekućna) l vskozna (postoj trenje među molekulama tekućne u gbanju). Sve realne tekućne su vskozne, no u Džolan, A 66

3 Broj 5 lpanj, 3 mnoštvu slučajeva utjecaj vskoznost je mal može se zanemart. Vrlo često su eekt vskoznost ogrančen na uska područja l rubne pojaseve blzu granca tečenja, a ostatak toka se može promatrat bez utjecaja vskoznost. ekućne se dalje mogu podjelt na stlačve nestlačve, zavsno o tome da l je promjena gustoće značajna l ne. Problem mehanke tekućne (luda) se mogu gruprat u dvje glavne kategorje: problem s tečenjem (površnsk tokov sl.) problem bez tečenja zložen dnamčkoj pobud (rezervoar, akumulacje sl.). U ovom su radu razmatran problem mrne stlačve tekućne zložene dnamčkoj pobud.... Formulacja tekućne Gbanje tekućne opsano je u Euler-ovom koordnatnom sustavu, pretpostavljajuć probleme s malm pomacma. Za analzu tekućne općento se korste ormulacje: pomaka, tlakova, potencjala pomaka brznskog potencjala. Kod ormulacje pomaka su tr nepoznance, dok su u ostalm ormulacjama po jedna nepoznanca. U ovom je radu korštena ormulacja tlakova ormulacja potencjala pomaka. ekućna se smatra stlačvom bez vskoznost. Dskretzacja polja tekućne zvršena je metodom konačnh elemenata (MKE), dok je vremenska dskretzacja zvršena metodom konačnh derencja (MKD). Problem rubnh uvjeta rješen je metodom kraćenja ruba (eng. truncaton ), tj. beskonačno pružanje stvarne sredne modelrano je konačnm modelom. Ovaj model je u velkom broju slučajeva prhvatljv kod statčkh analza, dok kod dnamčkh analza takvo modelranje granca zahtjeva poseban tretman u clju elmnranja releksje valova na umjetno ormranm grancama. Iako je u ovom poglavlju naglasak dan na smulacju ponašanja polja tekućne, ujedno je opsan model ponašanje tekućne u dodru s deormablnom konstrukcjom, koj se dalje korst u smulacj međudjelovanja tekućne konstrukcje.... Lnearn model tekućne Lnearn model tekućne može se opsat zrazom: p = E ε v (.) U gornjem zrazu p označava hdrodnamčk tlak (bez hdrostatčkog), E je zapremnsk modul elastčnost, a ε v je volumenska deormacja tekućne. Ovm modelom se pretpostavlja da se u tekućn mogu pojavt neogrančen negatvn tlakov ( vlačno naprezanje), što u pojednm slučajevma može dat pogrešne rezultate. Međutm, u svm slučajevma kad je ukupn rezultantn tlak u tekućn (atmosersk + hdrostatčk + hdrodnamčk) već od nule, odnosno već od tlaka para tekućne, ovakav model tekućne zadovoljava. Na osnovu zraza (.) dalje možemo psat: u p ε v = = u= ; c = E ρ (.) x E pa sljed: u p ε v = = u= (.3) x ρ c Džolan, A 67

4 Broj 5 lpanj, 3... Formulacja tlakova Osnovne jednadžbe Dervranjem zraza (.3) po vremenu, dobva se: p ε v = u = (.4) ρ c ε v p = u = (.5) ρ c Ako se prmjen Laplace-ov operator ( ) na jednadžbu v ρ = ρr p + μ v (Naver Stokesove jednadžbe) zanemar sla gravtacje ( R = ), t koja uzrokuje samo hdrostatčk tlak, sljed: ρ ( u ) u = p + μ (.6) te ako se uvrste zraz (.3), (.4) (.5) u (.6), dobva se jednadžba ponašanja vskozne tekućne, koja predstavlja poznatu valnu jednadžbu: gdje je: = p + ξ p p c (.7) ξ = μ ρ c (.8) U gornjm zrazma p je hdrodnamčk tlak (bez hdrostatskog), c je brzna zvuka u tekućn, ρ je gustoća tekućne μ dnamčka vskoznost tekućne. Ako se zanemar utjecaj vskoznost, tj. ako se pretpostav Newton-ovo tečenje, zraz (.6) se svod na Helmoholz-ovu jednadžbu: p= p c (.9) Izraz (.9) se može napsat, prema (.3), u sljedećem oblku: Rubn uvjet ( E ρ) p = p (.) Za tekućnu trebaju sljedeć rubn uvjet bt zadovoljen: () Na slobodnom lcu s površnskm valovma (ako se uzme u obzr samo utjecaj prmarnh valova): p = ρ gu y (.) gdje u y označava vsnu vala, a g gravtacjsku konstantu. Na slobodnom lcu bez površnskh valova: p = (.) Džolan, A 68

5 Broj 5 lpanj, 3 () Na pokretnm grancama, gdje tekućna ma ubrzanje u n okomto na grancu, gradjent tlaka se može zrazt kao: p n = ρ (.3) u n Na nepomčnm grancama je: p n = (.4) () Uvjet sprječavanja releksje valova na granc radjacje može se zrazt (Sommereld-ov uvjet): p = ( p n) (.5) c gdje n predstavlja smjer jednčne vanjske normale na granc radjacje. Formulacja metodom konačnh elemenata Dskretzacja sustava je zvršena metodom konačnh elemenata. Ako se područje tekućne područje konstrukcje u dodru s tekućnom dskretzra mrežom konačnh elemenata, korsteć standardnu Galjerkn-ovu metodu, nepoznat tlakov tekućne mogu se zrazt s: p= Npp (.6) gdje je N p bazna unkcje za tlakove na granc međudjelovanja. Derencjalna jednadžba dnamčke ravnoteže sustava u matrčnoj ormulacj može se zrazt: M p + C p + K p = ρ Q u + d (.7) t ( ) U prethodnoj jednadžb, M predstavlja matrcu masa tekućne, C matrcu radjacjskog prgušenja tekućne K matrcu krutost tekućne; p vektor nepoznath čvornh tlakova, vektor čvornh sla, Q t matrcu međudjelovanja tekućna-konstrukcja, u matrcu ubrzanja čvorova konstrukcje u odnosu na bazu d vektor ubrzanja podloge. U slučaju krute (nedeormablne) podloge, zraz (.7) se reducra na: M p + C p + K p = ρ Q d (.8) t Džolan, A 69

6 Broj 5 lpanj, 3 Formranje matrca vektora u zrazma (.7) (.8), prema metod konačnh elemenata, denrano je sljedećm zrazma: ( K ) = N x ( C ) = ( c) N x Np N dω j pj Ω r ( M ) = ( g) Np Npj dω + ( c ) j ( Q ) = N n N dω t j j V Ω u p Ωsl pj pj N + y p N y V pj N + z N p N pj p dv N z pj dv (.9) U gornjm zrazma N p su bazne unkcje za tlakove tekućne, a N u bazne unkcje za pomake konstrukcje; V je volumen tekućne, Ω sl je granca tekućne sa slobodnm lcem, Ω r je granca radjacje, Ω je granca tekućne na spoju s konstrukcjom (granca međudjelovanja) n je vektor jednčne vanjske normale na granc međudjelovanja. Sve matrce u jednadžbama (.7) (.8), osm matrce Q t, su smetrčne pojasne. Broj članova razlčth od nule u Q t ovs o broju čvorova tekućne na spoju s konstrukcjom. Za nestlačve tekućne, brzna šrenja valova u tekućn znos c =, pa se (.7) svod na: ( u + d ) K p = ρ Q (.) t z čega je vdljvo da se rješenje (.) svod na statčko rješenje u svakom vremenskom koraku. Kod toga je hdrodnamčk tlak proporconalan ubrzanju podloge. Ako se promatra samo polje tekućne, tj. kad je u =, jednadžba (.) se svod na: K p = ρ Q d (.) t... Formulacja potencjala pomaka Osnovne jednadžbe Vrlo čest prstup pr opsu polja tekućne je da se polje pomaka zamjen poljem potencjala pomaka, koje je skalarna a ne vektorska velčna. me se značajno smanjuje broj nepoznanca u čvoru. Potencjal pomaka se denra kao: ψ = ρ u (.) Ako promjena gustoće tekućne (ρ) nje značajna, tada se korsteć (.) mogu reducrat v Naver-Stokes-ove jednadžbe ( ρ = ρr p + μ v ). Uz uvjet da se zanemare t vskoznost gravtacjske sle, dobva se: Džolan, A 7

7 Broj 5 lpanj, 3 ψ = p (.3) Integracjom jednadžbe (.3) po prostoru, dobva se: ψ = p (.4) Ako se prmjen Laplace-ov ( ) operator na jednadžbu (.), te u tako dobvenu jednadžbu uvrst (.3) (.4), dobva se: Rubn uvjet = ψ ψ c (.5) () Na slobodnom lcu s površnskm valovma (ako u obzr uzmamo samo utjecaj prmarnh valova): ψ p = ρ gu y = ψ = g (.6) n Na slobodnom lcu bez površnskh valova: p = ψ = (.7) () Na pokretnm grancama, gdje tekućna ma ubrzanje u n okomto na grancu: ψ n = ρ (.8) u n Na nepomčnm grancama: ψ n = (.9) () Uvjet sprječavanja releksje valova na granc radjacje može se zrazt kao (Sommereld-ov uvjet): ψ n = ψ c (.3) U gornjm zrazma n predstavlja smjer jednčne vanjske normale na granc radjacje. Formulacja metodom konačnh elemenata Na analogan načn kao kod ormulacje tlakova, korsteć standardnu Galjerkn-ovu metodu, nepoznate potencjale pomaka tekućne može se skazat (matrčna ormulacja) kao: Ψ = N Ψ (.3) ψ gdje je N ψ bazna unkcje za potencjal pomaka na granc međudjelovanja. Derencjalna jednadžba dnamčke ravnoteže sustava u matrčnoj ormulacj može se analogno jednadžb (.7) zrazt: Džolan, A 7

8 Broj 5 lpanj, 3 ( u d) M Ψ + C Ψ + K Ψ = ρ Q + (.3) U prethodnoj jednadžb, M predstavlja matrcu masa tekućne, C matrcu radjacjskog prgušenja tekućne K matrcu krutost tekućne; Ψ vektor nepoznath čvornh potencjala pomaka, vektor čvornh sla, Q t matrcu međudjelovanja tekućna-konstrukcja, u matrcu pomaka čvorova konstrukcje u odnosu na bazu d vektor pomaka podloge. U slučaju krute (nedeormablne) podloge, (.3) se reducra na: M Ψ + C Ψ + K Ψ = ρ Q d (.33) t t Na osnovu ormulacje potencjala pomaka, pokazat će se zvod matrca za prmjenu metode konačnh elemenata. Polazšte je osnovna jednadžba (.5), te jednadžbe rubnh uvjeta (.6), (.8) (.3). Bazne unkcje su dane u poglavlju 3. Kako prblžno rješenje (.3) treba zadovoljt osnovnu jednadžbu rubne uvjete, može se napsat: ( Ψ Ψ c ) dv = ( Ψ g) dω sl + ( Ψ c) dω r + ( ρu n ) dω V c V (.34) Ωsl Ω r Ω Ako se sortraju stovjetn članov, tada sljed: ΨdV + Ψd Ωsl Ψd Ωr + ΨdV + ( ρu n ) dω = g c (.35) Ωsl Ω r V Promatrajuć jednadžbu (.35) u svjetlu metode konačnh elemenata, uočljvo je da je ona stovjetna jednadžb (.3) ako se uvede: ( K ) = N x ( C ) = ( c) N x Nψ Nψ dω j j Ω r ( M ) = ( g) Nψ Nψj dω + ( c ) j ( Q ) = N n N dω t j j V Ω u Ωsl ψ ψj ψj N + y ψ N y V ψj N N + z ψ N ψj ψ dv Ω N z ψj dv (.36) U gornjm zrazma N ψ su bazne unkcje za potencjal pomaka tekućne, a N u bazne unkcje za pomake konstrukcje; V je volumen tekućne, Ω sl je granca tekućne sa slobodnm lcem, Ω r je granca radjacje, Ω je granca tekućne na spoju s konstrukcjom (granca međudjelovanja) n je vektor jednčne vanjske normale na granc međudjelovanja. Sve matrce u (.33) (.34) kao u (.7) (.8), osm matrce Q t, su smetrčne pojasne. Broj članova razlčth od nule u Q t ovs o broju čvorova tekućne na spoju s konstrukcjom. Džolan, A 7

9 Broj 5 lpanj, 3 3. NUMERIČKI MODEL KONSRUKCIJE 3.. Jednadžba dnamčke ravnoteže Na vrlo slčan načn kao kod tekućne zvod se numerčk model za konstrukcju. Ovaj model je vrlo dobro opsan u lteratur [ 4 6], pa će se ovdje samo ukratko opsat. Jednadžba dnamčke ravnoteže konstrukcje, korsteć se načelom vrtualnog rada, može se zapsat u oblku: Ω ( δε) σdω ( δu) ( b ρ u μ u ) dω ( δu) tdγ = Ω S (3.) Γt U gornjem zrazu δu je vektor vrtualnh pomaka, u - vektor brzna, u - vektor ubrzanja, δε - vektor prdruženh vrtualnh deormacja, b je vektor volumnh a t vektor površnskh sla, σ - vektor naprezanja, ρ s - gustoća, μ - parametar prgušenja, Ω - područje konstrukcje Γ - područje konstrukcje zloženo djelovanju površnskh sla. Izraz (3.) vrjed u slučaju geometrjske materjalne nelnearnost. Kada se zanemare vremensk utjecaj zraz (3.) se svod na: Ω ( δ ) σdω ( δu) tdγ = ε (3.) Γt Prostornom dskretzacjom konstrukcje te prmjenom metode konačnh elemenata (MKE), jednadžba dnamčke ravnoteže (3.) s nepoznatm čvornm pomacma u, može se napsat u poznatom oblku, koj predstavlja lnearnu derencjalnu jednadžbu dnamčke ravnoteže sustava: s s ( ) s M u + C u + R u = (3.3) pr čemu je: ( M ) ( C ) R ( u) = = = μ N dω dω ( ) = N b dω + N t dγ s s s j j Ωs Ωs Ωs Ωs N N B s s s ρ s N sj sj σ dω Γt s (3.4) U prethodnoj jednadžb, M s predstavlja matrcu masa konstrukcje, C s matrcu prgušenja konstrukcje, R(u) vektor unutarnjh potpornh sla, a s vektor vanjskh čvornh sla. N su bazne unkcje pomaka, a B matrca veze naprezanja deormacja. Vektor unutrašnjh sla R(u) može se napsat u oblku: ( u) = K u K = R u R ; (3.5) gdje je K matrca krutost konstrukcje. Džolan, A 73

10 Broj 5 lpanj, Dskretzacja sustava Kod ravnnskh (D) problema korste se uglavnom četveročvorn, osmočvorn (Serendpty) devetočvorn (Lagrangeov) zoparametrčn D element. Na osnovu skustva može se reć da se za lnearne probleme veća točnost dobje korštenjem manjeg broja elemenata všeg reda umjesto većeg broja jednostavnh lnearnh elemenata. Stoga se u lnearnm statčkm dnamčkm analzama preerra uporaba osmočvornh devetočvornh elemenata u odnosu na četveročvorne elemente η ξ 4 3 Bazne unkcje 8-čvornog konačnog elementa N = ( + ξξ)( + ηη)( ξξ + ηη ) 4 za =, 3, 5, 7 N ξ = za =, 4, 6, 8 η ( + ξ ξ)( η ) + ( )( ) + η η ξ η ξ Bazne unkcje 9-čvornog konačnog elementa N = ξη( ξ + ξ )( η + η ) 4 za =, 3, 5, 7 N ξ ξ = za =, 4, 6, 8 η η ( ξ + ξ )( η ) + ( )( ) η + η ξ N za = 9 = ( η )( ξ ) Slka 3. Bazne unkcje za 8-čvorne 9-čvorne elemente U ovom radu su koršten 8 čvorn (Serendpty) konačn element za dskretzacju konstrukcje za dskretzacju luda. Džolan, A 74

11 Broj 5 lpanj, Elastčn model materjala U svrhu što realnjeg smulranja stvarnog ponašanja konstrukcje, od znmnog je značaja prmjena odgovarajućeg konsttutvnog modela materjala. On treba bt pouzdan za sve razne opterećenja (djelovanja) sva moguća stanja naprezanja. Model materjala utemeljen na velkom broju parametara, koje je vrlo teško l pak nemoguće ekspermentalno utvrdt, danas su u praks potpuno odbačen. Prednost se daje jednostavnjm modelma koj se temelje na manjem broju parametara koj se mogu lako ekspermentalno utvrdt, a koj daju dostatno točne rezultate. U osnov, sv se model mogu gruprat u one temeljene na mehanc kontnuuma l u one koj uzmaju u obzr pojavu dskontnuteta nakon pojave pukotna (model temeljen na mehanc loma dskretnm elementma). U nastavku će se ukratko opsat lnearn elastčn model materjala za D problem. U ovom modelu veza naprezanje (σ) deormacja (ε) dana je u oblku: σ = Dε (3.6) gdje je D matrca elastčnh konstant materjala. Za probleme ravnnskog naprezanja, ona je oblka: a za probleme ravnnske deormacje oblka: ν E D = ν ν (3.7) ν ν ν ν E D = ν ν ( ν)( ν (3.8) + ) ν U gornjm je zrazma E modul elastčnost materjala, a ν Posson-ov koecjent. 4. NUMERIČKA ANALIZA MEĐUDJELOVANJA EKUĆINE I KONSRUKCIJE 4.. Ops problema međudjelovanja tekućna konstrukcja Usvojen model dnamčkog međudjelovanja tekućna-konstrukcja sadrž sljedeće pretpostavke: Pomac tekućne su mal, ekućna je stlačva, ekućna nje vskozna, Džolan, A 75

12 Broj 5 lpanj, 3 Nema trenja na dodru tekućne konstrukcje, Zanemaruju se temperaturn utjecaj. Ponašanje problema međudjelovanja tekućna-konstrukcja može se također opsat općom derencjalnom jednadžbom drugog reda u matrčnom oblku: M x + Cx + Kx = (4.) koja denra dnamčku ravnotežu promatranog sustava. U zrazu (4.) x predstavlja vektor pomaka, x vektor brzna, a x vektor ubrzanja sustava; M predstavlja matrcu masa, C matrcu prgušenja, a K matrcu krutost, dok predstavlja vektor vanjskog čvornog opterećenja. Jednadžba (4.) općento uključuje materjalnu geometrjsku nelnearnost obaju polja. Matrca masa M je konstantna, dok je matrca C unkcja brzne ( x ), a matrca K unkcja pomaka (x). Dakle: C( x) K( x) C = (4.) K = Izraz (4.) se može napsat u oblku: F + F F = (4.3) I D + R gdje F = Mx I predstavlja sle nercje, F = Cx D sle prgušenja, a F R = Kx unutrašnje sle otpora. Općento, sve su sle promjenjve u vremenu. Jednadžba ravnoteže (4.) može se napsat u sljedećem raščlanjenom oblku: M M M M x x C + C C C x x K + K K K x x = (4.4) U zrazu (4.4), oznake x, x, x predstavljaju vektore pomaka, brzna ubrzanja, M, C, K matrce masa, prgušenja krutost, te vektor vanjskh čvornh sla prvog polja. Oznake x, x, x, M, C, K, predstavljaju odgovarajuće vrjednost drugog polja, dok su M, C, K, M, C, K odgovarajuće matrce usljed međudjelovanja polja. Kako je ranje navedeno, ukolko nema nekh pojednostavljenja, gornje globalne matrce su nesmetrčne, što otežava drektno rješavanje jednadžbe (4.4) zahtjeva velk kapactet računala. Korsteć ormulacju tlakova za tekućnu ormulacju pomaka za konstrukcju, ponašanje sustava tekućna-konstrukcja može se analogno jednadžb (4.4) opsat sustavom dvju derencjalnh jednadžb drugog reda: M u + C u + Ru = s s M p + C p + K p = s M d + s + koje denraju dnamčku ravnotežu sustava. Kod toga je: c cs (a) (b) (4.5) Džolan, A 76

13 Broj 5 lpanj, 3 cs c = Q p = ρ Q ( u + d ) (4.6) pr čemu cs predstavlja vektor sla međudjelovanja tekućne na konstrukcju, a c vektor sla međudjelovanja konstrukcje na tekućnu, dok Q predstavlja matrcu međudjelovanja. Ako se (4.5) napše u oblku (4.4), sljed: Ms ρq u Cs + M p u Ks + C p Q u M d s s = K p Q d ρ (4.7) Iz zraza (4.7) jasno je vdljvo da su globalne matrce masa krutost nesmetrčne. U slučaju da korstmo ormulacju potencjala pomaka [ ] jednadžba (4.7) prelaz u oblk (4.8): Ms Q u Cs u Ks u s Msd cs + + = + M Ψ C Ψ ρq K Ψ ρq d c Iz zraza (4.8) jasno je vdljvo da u globalne matrce masa krutost nesmetrčne. (4.8) 4.. Ploha međudjelovanja tekućna - konstrukcja Ploha međudjelovanja tekućna - konstrukcja, s elementma tekućne konstrukcje, prkazana je na Slc 4. Matrca veze Q uključuje samo ntegracju na ploh prema (.9) denrana je zrazom: ( Q) j = N n N u ψj dγ (4.9) Γ Sve velčne u (4.9) denrane su u prethodnm poglavljma. Matrca N u je velčne [ 5], a njez n element odgovaraju odgovarajućm nepoznatm pomacma konstrukcje na granc. Iako se za tekućnu konstrukcju mogu korstt element s razlčtm brojem čvorova, prkladno je na granc mat ste elemente (kod toga u čvoru tekućne je jedna, a u čvoru konstrukcje pet nepoznanca). ekućna () c cs Konstrukcja (s) cs c cs c - sle konstrukcje na lud - sle luda na konstrukcju = Qp = ρ Q ( u + d ) Slka 4. Ploha međudjelovanja tekućna - konstrukcja Džolan, A 77

14 Džolan, A 78 Broj 5 lpanj, 3 Jednčna vanjska normala n na ploh međudjelovanja denrana je vektorskm produktom (slka 5.): = = η Z η Y η X ξ Y ξ Y ξ X e e e e e n 3 (4.) tj. u raspsanom oblku: 3 z y x 3 e n e n e n n e ξ Y η X η Y ξ X e η Z ξ X ξ Z η X e ξ Z η Y η Z ξ Y n + + = + + = (4.) gdje su e e e 3, jednčn vektor u smjeru krvocrtnh osju (slka 5). Jednčn vektor normale je: n n n = (4.) Slka 5. Jednčna normala na ploh međudjelovanja 5. RJEŠENJE SVOJSVENIH ZADAĆA (WYD MEODA) Rješenje svojstvenh zadaća korst se za statčku dnamčku analzu. Kod statčkh problema rješenje svojstvenh vrjednost podrazumjeva određvanje krtčnog opterećenja kod kojeg dolaz do nestablnost konstrukcje; dok kod dnamčkh problema ono podrazumjeva određvanje dnamčkh karakterstka sustava. Standardn problem svojstvene zadaće denran je sljedećm zrazom:

15 Broj 5 lpanj, 3 Kx = λx ; ( K - λe) x = (6.) gdje je K regularna, a u realnm (zkalnm) problemma gotovo uvjek smetrčna, poztvno dentna l poztvno semdentna matrca. U problemma dnamke konstrukcja prsutan je tzv. generalzran (opć) problem: Kx = λmx ; ( K λm ) x = (6.) M je občno pojasna (ponekad djagonalna) matrca, al općento nje poztvno dentna nego poztvno semdentna. Ako se prethodn problem promatra sa stajalšta dnamke konstrukcja onda matrca K predstavlja matrcu krutost sustava, a matrca M matrcu masa sustava. Obje matrce su dmenzja nxn, gdje n predstavlja broj stupnjeva slobode sustava. Vektor x je dmenzja xn, a predstavlja svojstven vektor, dok je λ svojstvena vrjednost (predstavlja kvadrat kružne rekvencje sustava λ = ω ) Rješavanjem jednadžbe (6.) može se dobt n svojstvenh vrjednost prpadajućh n svojstvenh vektora. Postoj nz matematčkh metoda za rješavanje problema svojstvene zadaće. Većnom metoda traže se sve svojstvene vrjednost sv svojstven vektor, što je često nepotrebno, jer kod većne nženjerskh problema potrebno je odredt prvh par vrjednost/vektora, dok ostal nsu zanmljv. U ovom radu je korštena WYD metoda kojom se određuje prvh k svojstvenh vrjednost/vektora, a k je po želj odabran broj. Btno je napomenut da WYD metodom nećemo dobt svojstvene vrjednost/vektore, nego će ona sustav transormrat u oblk koj će moć prmjent neke od općepoznath metoda, npr. Jacob-jevu metodu, metodu vektorske teracje sl. Osnova numerčkog postupka je traženje rješenja u samo jednom podprostoru, što je všestruko brže od teracje po podprostorma. Postupak se realzra všestrukm, k puta, statčkm rješenjem zadatka te tako ormraju Rtz-ov bazn vektor. Problem traženja svojstvenh vrjednost se tako svod s problema dmenzja nxn na problem dmenzja kxak, čme se značajno smanjuje broj računskh operacja velčna greške nagomlane tm računskm operacjama. Karakterstka WYD metode je velka stablnost pouzdanost, tj. nema preskakanja svojstvenh vrjednost vektora. Općento za k traženh svojstvenh vrjednost/vektora potrebno je k Rtz-ovh vektora. Pr tome je prvh k vektora egzaktno određeno, a ostalh k prblžno. Ops postupka Svojstvena zadaća dnamke konstrukcja opsana je relacjom (6.). Postupak za ormranje k Rtz-ovog prostora je sljedeć: ) Proračun prvog Rtz-ovog vektora x : K x = M x (6.3) Džolan, A 79

16 Broj 5 lpanj, 3 gdje je x vektor sa jednčnm komponentama. Nakon čega sljed M normranje: x x = ( x M x ) (6.4) ) Proračun ostalh Rtz-ovh vektora x (=,,3,.,k): K x (6.5) = M x- uz određvanje konstant c j (j=,,,-) c = x M x j j (6.6) te određvanje novog vektora ortogonalnog na prethodne (Gramm Schmdt-ov postupak): - x = x - c x (6.7) j j j= njegovo M normranje: x x = (6.8) ( x M x ) 3) K ortogonalzacja Rtz-ovh vektora X ormranje projektvnog podprostora: uz uvjet: = K X K X E = X M X (6.9) (6.) gdje je K općento puna matrca. Ovm je dobven standardn svojstven problem: ( K - λ E) q= (6.) Čje se rješenje može dobt npr. Jacob-jevom metodom. Svojstvene vrjednost ovog komprmranog problema je upravo k svojstvenh vektora polaznog problema (pr čemu je prv k određen točno, a drug k prblžno). Svojstven vektor polaznog problema mogu se dobt z sljedeće relacje: X = X Q (6.) Gdje je X matrca Rtz-ovh vektora (nxk), a Q matrca svojstvenh vektora dobvenh u projektvnom podprostoru. Džolan, A 8

17 Broj 5 lpanj, 3 6. NUMERIČKI PRIMJER Potrebno je zvršt analzu pomaka brane, sa slke 6, koja je u međudjelovanju s tekućnom. Za potrebe dnamčke analze kao prv korak potrebno je odredt svojstvene vrjednost/vektore sustava lud konstrukcja. Vremensk korak analze drug dnamčk parametr u drektnoj su unkcj prve všh svojstvenh vrjednost. Karakterstke materjala konstrukcje su dane u ablc 7., a karakterstke luda su: brzna zvuka cs ( m/ s ) = gustoća luda ρ (/ t m ) =,. Slka 6. Sustav konstrukcja tlo lud koj se analzra Beton Modul elastčnost E ( / ) B GN m 3,6 Modul elastčnost Poss-onov ν Poss-onov b, koecjent koecjent Gustoća 3 ( / ) lačna čvrstoća b lo E ( / ) B GN m 8, ν b, ρ,4 Gustoća ρ 3 ( t / m ), MN m,46 lačna čvrstoća ( / ) b ablca. Karakterstke materjala betona tla Džolan, A 8 b MN m, ( / ) b Za smulranje ponašanja tla korst se st model kao za smulacju konstrukcje, s tm da su u model unose karakterstke materjala tla. Prema tome, mreža konačnh elemenata konstrukcje obuhvaća elemente brane tla. Konstrukcju je podjeljena na šest konačnh elemenata (slka 7). Svak konačn element ma osam čvorova (Serendpty) u svakome čvoru pojavljuju se dvje nepoznance pomaka. Otud sljed da svak konačn element ma matrcu krutost dmenzja 6x6 (slka 8). Povezvanjem konačnh elemenata u cjelnu dobje se matrca krutost konstrukcje dmenzja 66x66. U određenom broju čvorova (njh jedanaest) mamo zadane rubne uvjete (sprječene pomake) pa konačan oblk matrce krutost dobjemo uključvanjem rubnh uvjeta u sustav. Polje luda podjeljeno je na mrežu od dva konačna elementa (slka 7). Kao kod konstrukcje svak element ma po osam čvorova. U svakom čvoru nepoznatu predstavlja vrjednost prtska, tako da dobjemo matrcu krutost elementa luda dmenzja 8x8. r čvora

18 Broj 5 lpanj, 3 su zajednčka za oba konačna elementa, tako da mamo matrcu krutost luda dmenzja 3x3 (slka 8). Matrce krutost matrce masa konstrukcje luda su zračunate u programu DAFIK te su presložene u globalnu matrcu krutost u Excelu (slka 9a). Nakon uključvanja rubnh uvjeta u globalnu matrcu krutost dobjemo konačn oblk matrce krutost sustava lud konstrukcja (slka 9b). Slka 7. Mreža konačnh elemenata sustava Džolan, A 8

19 Broj 5 lpanj, 3 a)matrca krutost elementa konstrukcje b)matrca krutost elementa luda Slka 8. Matrce krutost konačnog elementa konstrukcje konačnog elementa luda (boldran brojev u. retku. stupcu predstavljaju čvorove konačnh element) Džolan, A 83

20 Broj 5 lpanj, 3 Slka 9a. Globalna matrca krutost bez rubnh uvjeta Džolan, A 84

21 Broj 5 lpanj, 3 Slka 9b. Globalna matrca krutost s rubnm uvjetma Džolan, A 85

22 Broj 5 lpanj, 3 Pošto je zvršena dskretzacja sustava, zračunata matrca krutost matrca masa prstupa se računanju svojstvenh vrjednost svojstvenh vektora. Računaju se dvje svojstvene vrjednost nakon njhovog zračuna odrede se vrjednost peroda osclranja koje znose: =, 45 s =,396 s. Na sljedećm strancama prkazan je postupak ovsan o zrazma ( 6. 6.). Na stranc 6. vdljv je odabr nultog vektora x = [... ], te zračun prvog Rtz ovog vektora uz korštenje jednadžb (6.3) (6.4). Na stranc 7. prkazan je zračun drugoga Rtz-ovog vektora uz korštenje zraza ( ). Ist postupak se ponavlja za zračunavanje trećeg četvrtog Rtz-ovog vektora. Dobven vektor ormraju Rtz-ovu matrcu što je, uz zračun svojstvenh vrjednost/vektora, prkazano na stranc 8. Kod za zračunavanje Jacob jeve matrce, matrce K (z koje se očtavaju svojstvene vrjednost) matrce svojstvenh vektora za projektvn podprostor dan je na strancama 9., Dobvene vrjednost svojstvenh vektora u čvorovma (vektor pomaka) gračk su dane na Slkama.. Džolan, A 86

23 Broj 5 lpanj, 3 Džolan, A 87

24 Broj 5 lpanj, 3 Džolan, A 88

25 Broj 5 lpanj, 3 Džolan, A 89

26 Broj 5 lpanj, 3 Džolan, A 9

27 Broj 5 lpanj, 3 Džolan, A 9

28 Broj 5 lpanj, 3 Slka. Pomac konstrukcje za perod osclranja =, 45s Džolan, A 9

29 Broj 5 lpanj, 3 Slka. Pomac konstrukcje za perod osclranja =,396s LIERAURA. Harapn, Numerčka smulacja dnamčkog međudjelovanja tekućne konstrukcje, Doktorska dsertacja, Splt,.. A. Mhanovć, Dnamka konstrukcja, Građevnsk akultet Sveučlšta u Spltu, Splt, D. Brzovć, Doprnos numerčkom modelranju dnamčkog međudjelovanja tekućne konstrukcje, Magstarsk rad, Splt, M. Sekulovć, Metod konačnh elemenata, Građevnska knjga, Beograd, V. Jovć, Uvod u nženjersko numerčko modelranje, Aquarus Engneerng, Splt, Ž. Nkolć, Metoda konačnh elemenata, Predavanja na posljedplomskom studju Građevnsko arhtektonskog akulteta u Spltu, 7. Džolan, A 93