Hamilton-Jacobijeva jednadžba

Transcript

1 Klasčna mehanka 2 p. 1/26 Hamlton-Jacobjeva jednadžba - faznm portretom u blo kojem vremenskom trenutku odre den je fazn portret u svm ranjm kasnjm vremenma - svaka točka faznog portreta prpada odre denoj putanj tj. dnamčkom stanju sstema - zaberemo neko "početno" vrjeme t 0 - blo kojoj točk faznog prostora u trenutku t [ q(t), p(t)] možemo prdružt točku kroz koju sstem prolaz u trenutku t 0 [ q(t 0 ) q 0, p(t 0 ) p 0 ]

2 Klasčna mehanka 2 p. 2/26 - vremensk ovsnom kanonskom transformacjom q (0) = q (0) [ q(t), p(t), t] p (0) = p (0) [ q(t), p(t), t] svakoj putanj prdružujemo njen početn uvjet - poznavanje ovakve transformacje ekvvalentno je poznavanju rješenja sstema - nove konjugrane koordnate q 0 p 0 se po defncj ne mjenjaju u vremenu

3 Klasčna mehanka 2 p. 3/26 - kanonske jednadžbe za njh glase q (0) = K( q 0, p 0,t) p (0) = 0 ṗ (0) = K( q 0, p 0,t) q (0) = 0 - sljed da prpadn Hamltonjan može (al ne mora) ovst samo o vremenu - zabermo q 1,q 2,...,q n,p (0) 1,p(0) 2,...,p(0) n kojma ovs funkcja zvodnca kao varjable o - takvu funkcju zvodncu ("stare" koordnate "nov" mpuls) smo označaval s F 2

4 Klasčna mehanka 2 p. 4/26 - za funkcju zvodncu vrjed H[ p( q 0, p 0 ), q( q 0, p 0 ),t] + F 2( q, p 0,t) t = K(t) F 2 q = p F 2 p (0) = q (0) - uvrstmo zraz za p u Hamltonjan H [ F2 H,..., F ] 2,q 1,...,q n,t + F 2 q 1 q n t K(t) = 0 - s funkcje F 2 prelazmo na F 2 t K(t )dt + F 2

5 Klasčna mehanka 2 p. 5/26 - F 2 je jednako dobra funkcja zvodnca kao F 2 jer vrjed F 2 q = F 2 q = p F 2 p (0) = F 2 p (0) = q (0) - došl smo do parcjalne dferencjalne jednadžbe s n+1 varjabl (q 1,...,q n,t) za funkcju F 2 [ F2 H,..., F ] 2,q 1,...,q n,t + F 2 = 0 q 1 q n t gdje je F 2 F 2 (q 1,...,q n,p (0) 1,...,p(0) n,t)

6 Klasčna mehanka 2 p. 6/26 - potpuno rješenje jednadžbe za funkcju F 2 uključuje n + 1 konstant od kojh je jedna adtvna - ako je F 2 rješenje tada je F 2 + C rješenje, gdje je C prozvoljna konstanta - preostaje n nezavsnh konstant od kojh n jedna nje adtvna - mpuls u trenutku t 0 mogu grat tu ulogu p = F 2 = p (0) = F 2 q q t=t0

7 Klasčna mehanka 2 p. 7/26 - druga grupa transformaconh jednadžb, nakon što zaberemo p (0) q (0), daje p (0) F 2 (q 1,...,q n,p (0) 1,...,p(0) n,t) = q (0) - gornjom jednadžbom su mplctno zadan q (t) - svakom potpunom rješenju F 2 odgovara jedna putanja u faznom prostoru - funkcja F 2 odre dena je s n konstant (+ jedna adtvna), dok za odre dvanje trajektorje moramo specfcrat još n konstant

8 Klasčna mehanka 2 p. 8/26 - potpuno rješenje F 2 defnrano je s blo kojh n konstant α 1,...,α n - početn mpuls se tada mogu zrazt pomoću th konstant korsteć transformacone jednadžbe p (0) = F 2 q - prethodn korak nje neophodan t=t0

9 Klasčna mehanka 2 p. 9/26 - dovoljno je nametnut još n uvjeta α j F 2 (q 1,...,q n,α 1,...,α n,t) = β j z kojh zajedno s jednadžbama q j F 2 (q 1,...,q n,α 1,...,α n,t) = p j sljede prpadne putanje q j (t,α 1,...,α n,β 1,...,β n ) p j (t,α 1,...,α n,β 1,...,β n ) - konstante α β uvjek možemo zrazt "početnm" vrjednostma q (0) p (0)

10 Klasčna mehanka 2 p. 10/26 Zaključak: rješavanje parcjalne dferencjalne jednadžbe za funkcju F 2 je ekvvalentno rješavanju 2n občnh dferencjalnh jednadžb prvog reda tj. Hamltonovh jednadžb - funkcju F 2 nazvamo Hamltonovom prncpalnom funkcjom - poznavanje funkcje F 2 vod na putanje q(t) p(t) - vrjed obrnuto, poznavanje putanje q (t), p (t) odre duje funkcju F 2 - uočmo da vrjed df 2 dt = F 2 t + F 2 q q

11 Klasčna mehanka 2 p. 11/26 - znamo da vrjed H + F 2 t = 0 F 2 q = p pa se prethodna jednadžba svod na df 2 dt = H + p q = L

12 Klasčna mehanka 2 p. 12/26 - Hamltonova prncpalna funkcja se do na konstantu podudara s ntegralom djelovanja F 2 = t Ldt + C = S + C - gornja granca ntegracje je blo koje vrjeme, a donja granca odre duje slobodnu konstantu - pr tome je Lagrangan u gornjoj jednadžb Lagrangan za danu putanju tj. znamo ga ako znamo putanju (q(t))

13 Klasčna mehanka 2 p. 13/26 Separacja varjabl Konzervatvn sstem - pogledajmo prvo poseban slučaj sstema kojem Hamltonova funkcja ne ovs o vremenu - Hamlton-Jacobjeva jednadžba glas [ S t + H q 1,...,q n, S,..., S ] q 1 q n = 0 - drug član u jednadžb ne ovs o vremenu = nt prv član ne smje ovst o vremenu - rješenje mora mat oblk S = α 1 t + S 0 (q 1,...q n ;α 1,...,α n )

14 Klasčna mehanka 2 p. 14/26 - uvrštavanje rješenja u Hamlton-Jacobjevu jednadžbu daje [ H q 1,...,q n, S 0,..., S ] 0 = α 1 q 1 q n - dobl smo globalnu konstantu gbanja koju najčešće možemo dentfcrat s energjom tj. α 1 E - sva ovsnost o točkama faznog prostora preostala je u funkcj S 0 - gornja jednadžba pokazuje da se pomcanjem po putanj α 1 tj. E ne mjenja

15 Klasčna mehanka 2 p. 15/26 Zadatak 34 Na dte rješenje Hamlton-Jacobjeve jednadžbe za 1D harmončk osclator. Rješenje: - Hamltonjan harmončkog osclatora H = p2 2m kq2 - Hamlton-Jacobjeva jednadžba S t + 1 2m ( S q ) kq2 = 0

16 Klasčna mehanka 2 p. 16/26 - Hamltonjan ne ovs eksplctno o vremenu pa S ma oblk S = S(t) + S 0 (q) = α 1 t + S 0 (q) - konstantu α 1 očto možemo dentfcrat s energjom - uvrstmo pretpostavljen S u Hamlton-Jacobjevu jednadžbu ( ) 2 1 ds m dq 2 kq2 = α 1 - ntegrramo gornj zraz (adtvna konstanta nje btna ) S 0 = 2m(α 1 12 kq2 ) dq

17 Klasčna mehanka 2 p. 17/26 - ukupna funkcja zvodnca S(q,t) = α 1 t + 2m (α 1 12 kq2 ) dq - konstanta α 1 odgovara novm mpulsma kanonskoj transformacj generranoj funkcjom zvodncom S q,p α,β - konstante β odgovaraju novm koordnatama pa vrjed β 1 = S(q,α 1) α 1

18 Klasčna mehanka 2 p. 18/26 - u prmjeru harmončkog osclatora S α 1 = t + β 1 = t + = q = = t + m 2 m k m k arcsn dq α kq2 dq 2α 1 k q2 q 2α 1 k [ 2α1 k k sn m (t + β 1) ]

19 Klasčna mehanka 2 p. 19/26 - z funkcje zvodnce možemo zračunat mpuls [ p = S q = ] α 1 t + 2m α 1 1 q 2 kq2 dq = 2m (α 1 12 ) kq2 - konstanta α 1 je globaln ntegral gbanja (energja) - konstanta β 1 vezana je uz početne uvjete - ampltuda osclacja 2α1 k 2E k

20 Klasčna mehanka 2 p. 20/26 Zadatak 35 Zadan je Hamltonjan oblka H(q,p) = p2 2m qf cosωt Pomoću Hamlton-Jacobjeve jednadžbe na dte q(t) p(t) ako je q(0) = q 0 p(0) = p 0. Uputa: korstte ansatz oblka S(q,t) = f(t)q + h(t) Rješenje: Hamlton-Jacobjeva jednadžba 1 2m ( S q ) 2 qf cosωt + S t = 0

21 Klasčna mehanka 2 p. 21/26 - Hamltonjan u ovom slučaju ovs eksplctno o vremenu pa umjesto standardnog ansatza korstmo S(q,t) = f(t)q + h(t) - uvrstmo gornju formulu u Hamlton-Jacobjevu jednadžbu 1 2m f2 (t) qf cosωt + f(t)q + ḣ(t) = 0 = 1 [ ] 2m f2 (t) + ḣ(t) + q f(t) F cosωt = 0 = 1 2m f2 (t) + ḣ(t) = 0 f(t) F cosωt = 0

22 Klasčna mehanka 2 p. 22/26 - rješenje desne jednadžbe je trvjalno f(t) = F ω sn ωt + α - uvrstmo ga u ljevu jednadžbu ḣ(t) = 1 2m [ F 2 ω 2 sn2 ωt + 2α F ω sn ωt + α2 ] - ntegrramo gornj zraz h(t) = F 2 2mω 2 ( 1 2 t 1 4ω ) sn 2ωt + αf α2 cosωt mω2 2m t + C

23 Klasčna mehanka 2 p. 23/26 - konstanta C je u funkcj zvodnc adtvna konstanta pa je možemo spustt u daljnjem razmatranju - ukupna funkcja zvodnca glas [ F S(q,t) = f(t)q + h(t) = ω [ F 2 ] 4mω 2 + α2 t + F 2 2m 8mω ] sn ωt + α q - z funkcje zvodnce lako dolazmo do q(t) αf sn 2ωt + cos ωt 2 mω2 β = S α = q α m t + F mω 2 cosωt

24 Klasčna mehanka 2 p. 24/26 - konstantu β možemo povezat s početnm uvjetom q(t = 0) = β F mω 2 = β = q 0 + F mω 2 - z funkcje zvodnce možemo zračunat mpuls p = S q = F ω sn ωt + α - konstantu α možemo dentfcrat s početnm mpulsom p(t = 0) = α = p 0

25 - položaj mpuls čestce dan je s q(t) = q 0 + p 0 m t + F mω 2 (1 cosωt) p(t) = p 0 + F ω snωt - rješenje možemo provjert drektnm rješavanjem Hamltonovh jednadžb q = H p = p m ṗ = H q = F cos ωt = q = ṗ m = F m cos ωt - homogeno partkularno rješenje gornje jednadžbe q h = At + B q p = F mω 2 cos ωt Klasčna mehanka 2 p. 25/26

26 Klasčna mehanka 2 p. 26/26 - položaj mpuls čestce q(t) = At + B F mω 2 cosωt p(t) = Am + F ω - konstante A B možemo nać z početnh uvjeta sn ωt A = p 0 m B = q 0 + F mω 2