Προχωρημένη Υδρολογία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Προχωρημένη Υδρολογία"

Transcript

1 Προχωρημένη Υδρολογία Κατακρημνίσματα και χωρική μεταβλητότητά τους Νίκος Μαμάσης και Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα 1999

2 ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Κατακρημνίσματα και χωρική μεταβλητότητά τους ΕΙΔΗ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΗΜΕΙΑΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ ΑΜΕΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΨΗΦΙΔΩΤΗ ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

3 ΕΙΔΗ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΗΣΜΑΤΩΝ Ο όρος κατακρημνίσματα χρησιμοποιείται για να περιγράψει μαζικά τις μετρήσιμες ποσότητες νερού που φτάνουν στην επιφάνεια της γης ως συνέπεια της υγροποίησης ατμοσφαιρικών υδρατμών. Στην Ελλάδα κυριαρχούν τρεις κύριες μορφές κατακρημνισμάτων: Βροχή: είναι το συνηθέστερο φαινόμενο, υπερέχει ποσοτικά πολύ των άλλων μορφών κατακρημνισμάτων και δημιουργεί τα σημαντικότερα φαινόμενα επιφανειακής απορροής Xιόνι: είναι η κυριότερη πηγή της εαρινής και θερινής απορροής Χαλάζι: έχει καταστροφικά αποτελέσματα, ιδίως στη γεωργία Υπάρχουν και άλλες μορφές κατακρημνισμάτων, όπως π.χ. το χιονόβροχο Διαφορετικό μηχανισμό γέννησης και μικρότερη σημασία για την υδρολογία έχουν οι υδρολογικές αποθέσεις που περιλαμβάνουν τη δρόσο, τη πάχνη, τη βρέχουσα ομίχλη και την αχλύ.

4 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΜΑΤΩΝ Η κύρια μετρική ιδιότητα των βροχοπτώσεων και γενικότερα των κατακρημνισμάτων είναι το ύψος τους σε δεδομένο χρόνο t. Παράγωγο μέγεθος είναι η ένταση δηλαδή η μεταβολή του ύψους σε χρόνο Δt Το φαινόμενο της κατακρήμνισης είναι επιφανειακά ανομοιόμορφο, δηλαδή εξελίσσεται σε κάποια επιφάνεια της γης με ρυθμό που μεταβάλλεται στο χώρο. Η πλήρης γνώση της χωροχρονικής εξέλιξης ενός φαινομένου θα απαιτούσε να είναι γνωστό το πεδίο (x, y, t) σε κάθε σημείο (x, y) της επιφάνειας που ενδιαφέρει και σε κάθε χρονική στιγμή t. Τα συμβατικά όργανα μετρήσεων παρέχουν σημειακή πληροφορία για ένα επιφανειακό φαινόμενο, η οποία αναφέρεται σε συγκεκριμένα σημεία της βρεχόμενης επιφάνειας (θέσεις μέτρησης). Η ολοκλήρωση της σημειακής πληροφορίας στην επιφάνεια αποτελεί τον τελικό στόχο της μελέτης των βροχοπτώσεων και είναι ακριβέστερη όσο πυκνότερα είναι τα σημεία μέτρησης στην επιφάνεια του φαινομένου. Η τεχνολογία του μετεωρολογικού radar χρησιμοποιείται εδώ και δύο δεκαετίες στην επιφανειακή μέτρηση των βροχών Η τεχνολογία και η εμβάθυνση στις διεργασιών της κατακρήμνισης, επέβαλαν τη χρήση και άλλων μετρικών ιδιοτήτων των κατακρημνισμάτων, όπως είναι οι διάμετροι των σταγόνων βροχής και η στατιστική κατανομή τους, οι ταχύτητες των σταγόνων, η κινητική ενέργεια της βροχής, η ανακλαστικότητα των σύννεφων στην ακτινοβολία του ραντάρ, κ.ά.

5 ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΣΗΜΕΙΑΚΩΝ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ Κατηγορίες μεθόδων ΑΜΕΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Αριθμητικός μέσος Πολύγωνα Tiessen Δύο άξονες (Betlamy s) Υψομετρική μέθοδος ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ (ισοπληθείς καμπύλες) ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ (ψηφιδωτή διαμέριση) Βέλτιστης παρεμβολής (kriging) Ελάχιστων τετραγώνων με πολυώνυμα Πολυωνύμων Langrange Παρεμβολής spline Πολυτετραγωνικής παρεμβολής Σταθμισμένων αντίστροφων αποστάσεων (Σ.Α.Α.)

6 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΜΕΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Πολύγωνα Tiessen (1911) Πιτσιω τά Τρίλοφο Καρπ ενήσι Νεοχώρι Ζηλευτό Σπ ερχειός Υπ άτη Κρίκελλο ΓΕΦΥΡΑ ΚΟΜΠΟΤΑΔΩΝ Γραμμένη Οξυά Πυρά km Συκέα Πηγή: Κουτσογιάννης και Ξανθόπουλος, 1997

7 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΜΕΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Δύο αξόνων Betlamys (1976) Υδροκρίτης Μέγιστος άξονας λεκάνης Σημειακή μέτρηση 1 α1 2 α2 α3 3 Μεσοκάθετος μέγιστου άξονα Ποταμός Τιταρήσιος (Παραπόταμος Πηνειού) Γέφυρα Μεσοχωρίου Το βάρος της i μέτρησης δίδεται από τη σχέση: n a i= 1 i a i

8 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΜΕΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Υψομετρική μέθοδος Η υψομετρική μέθοδος, εκτιμά το επιφανειακό ύψος συνδυάζοντας άμεσα την ορογραφική σχέση και την υψομετρική καμπύλη, δηλαδή την καμπύλη που σε κάθε δεδομένη τιμή του τοπογραφικού υψομέτρου z αντιστοιχίζει το ποσοστό της επιφάνειας της λεκάνης F(z) που έχει υψόμετρο μεγαλύτερο ή ίσο της δεδομένης τιμής. Η εκτίμηση γίνεται με βάση τη σχέση: 1 ( zr ) + ( zr+ 1) s = ( z) df( z) F 2 0 r όπου: (z) η ορογραφική σχέση, ενώ υποτίθεται ότι το πεδίο μεταβολής του F έχει υποδιαιρεθεί σε υποδιαστήματα μήκους ΔF r (όχι κατ ανάγκην ίσα, αλλά με άθροισμα ίσο με 1) και οι τιμές του z που αντιστοιχούν στα άκρα του υποδιαστήματος ΔF r είναι z r, και z r+1. Υψομετρική καμπύλη λεκάνης Αρτοτίνας Ευήνου (Πηγή: Κουτσογιάννης και Ξανθόπουλος, r

9 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Ισοπληθείς καμπύλες Νεοχώ ρι (1715.2) 1600 Πιτσιω τά (1253.0) Τρίλοφο (711.3) 600 Ζηλευτό (545.1) Μέσες ετήσιες ισοϋέτιες καμπύλες της λεκάνης Σπερχειού ανάντη Γ. Κομποτάδων (Πηγή: Κουτσογιάννης και Ξανθόπουλος, 1997) Καρπ ενήσι (1263.3) Κρίκελλο (1564.0) Υπ άτη (791.7) 1400 Σπ ερχειός ΓΕΦΥΡ Α ΚΟΜΠΟΤΑΔΩΝ Γραμμένη Οξυά (1211.0) Πυρά (1669.3) km Συκέα (1587.6)

10 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Ψηφιδωτή διαμέριση Η περιοχή ολοκλήρωσης διαμερίζεται σε ισομεγέθη στοιχειώδη κύτταρα ή ψηφίδες με την εφαρμογή ενός ορθογωνικού καννάβου, με δεδομένη ισαποχή των οριζόντιων και κατακόρυφων γραμμών του. Για κάθε κύτταρο, υπολογίζεται η τιμή της μεταβλητής, η οποία αντιστοιχεί στο κέντρο του κυττάρου αλλά θεωρείται σταθερή για όλη την επιφάνεια του. Η επιφανειακή τιμή προκύπτει, τότε, ως ο μέρος όρος των τιμών όλων των κυττάρων. Η τιμή που ολοκληρώνεται μπορεί να είναι στιγμιαία, μέση ή αθροιστική για συγκεκριμένη χρονική διάρκεια Οι μέθοδοι διακρίνονται σε ακριβούς παρεμβολής (exact-interpolation metods) και εξομάλυνσης (smooting metods), ανάλογα με το αν η κατασκευασμένη επιφάνεια διατηρεί ή όχι τις μετρημένες σημειακές τιμές Μία δεύτερη κατηγοριοποίηση των μεθόδων τις διαχωρίζει σε στατιστικές - στοχαστικές (statistical - stocastic metods) και προσδιοριστικές (deterministic metods). Οι πρώτες βασίζονται στην αρχή να μειώνουν τα σφάλματα παρεμβολής στα σημεία της επιφάνειας όπου δεν υπάρχουν σημειακές μετρήσεις, ενώ οι δεύτερες παράγουν επιφάνειες με την χρήση άλλων μαθηματικών κριτηρίων. Πλεονέκτημα των στατιστικών μεθόδων είναι ότι υπολογίζουν το σφάλμα παρεμβολής σε κάθε σημείο

11 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Επιφάνεια ετήσιας βροχόπτωσης (mm) Λεκάνη Τιταρήσιου (ανάντη Γέφυρας Μεσοχωρίου) ( ( ( ΒΡΟΧΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΣΤΑΘΜΟΙ ( ( ( ( ΕΤΗΣΙΟ ΥΨΟΣ ΒΡΟΧΗΣ (mm) > 750 ( ( ( Διάσταση καννάβου: 1 km (

12 ΨΗΦΙΔΩΤΗ ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ Παράμετροι μεθόδων Διάσταση καννάβου επιφάνειας. Η διάσταση συνήθως λαμβάνεται από 1/2 έως 1/10 της μέσης απόστασης μεταξύ των σημείων μέτρησης Προσδιορισμός σημείων επιρροής κάθε ψηφίδας. Η επιλογή των σημείων που θα συμμετάσχουν στον υπολογισμό κάθε ψηφίδας γίνεται με δύο μεθόδους: (α) στον υπολογισμό της τιμής συμμετέχουν τα σημεία που βρίσκονται μέσα σε μια προκαθορισμένη και σταθερή ακτίνα και (β) ορίζεται ένας σταθερός αριθμός των πλησιέστερων σημείων που θα συμμετάσχουν στον υπολογισμό της τιμής Οπτική απεικόνιση επιφανειών. Πραγματοποιείται με την αντιστοίχιση μιας χρωματικής κλίμακας, σε προσδιορισμένες κατηγορίες του πεδίου τιμών της μεταβλητής. Στη συνέχεια γίνεται η παραγωγή ενός χάρτη γεωγραφικής κατανομής της μεταβλητής, όπου η κάθε ψηφίδα έχει το χρώμα που αντιστοιχεί στη τιμή του. Οι χρωματικές κλίμακες που χρησιμοποιούνται διακρίνονται σε δύο κύριες κατηγορίες: (α) σε αυτές που περιλαμβάνουν διαφορετικές αποχρώσεις του ιδίου χρώματος ενώ συνήθως η απόχρωση σκουραίνει όσο οι τιμές της μεταβλητής μεγαλώνουν και (β) σε αυτές που περιλαμβάνουν διαφορετικά χρώματα ενώ σε περιπτώσεις που χρειάζεται μεγάλη ποικιλία χρωμάτων, απεικονίζονται δύο έως έξι συνεχόμενες κατηγορίες του πεδίου τιμών της με αποχρώσεις του ιδίου χρώματος

13 ΨΗΦΙΔΩΤΗ ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ Στάδια εφαρμογής μεθόδων 1. Εγκαθίσταται κάνναβος που καλύπτει την περιοχή μελέτης 2. Οι τιμές της μεταβλητής σε κάθε σημείο του καννάβου υπολογίζονται από τις μετρημένες τιμές με βάση τη σχέση: όπου: P n η υπολογισμένη βροχόπτωση στο n σημείο του καννάβου, P κ η μετρημένη βροχόπτωση στο σημείο κ, α nκ το βάρος του σταθμού κ για τον υπολογισμό του σημείου n και Κ ο συνολικός αριθμός των σημείων μέτρησης. Οι περισσότερες μεθοδολογίες υπολογισμού θέτουν το άθροισμα των βαρών α nκ να είναι ίσο με τη μονάδα 3. Η μέση επιφανειακή βροχόπτωση P δίδεται από τις υπολογισμένες τιμές του καννάβου με τη χρήση της σχέσης: N k = 1 όπου: Ν ο συνολικός αριθμός των σημείων του καννάβου P n P = = K 1 N a nk P n= 1 k P n

14 ΨΗΦΙΔΩΤΗ ΔΙΑΜΕΡΙΣΗ Πλεονεκτήματα Άμεση δημιουργία της επιφάνειας της μεταβλητής για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο, ανεξάρτητα από την έλλειψη ορισμένων σημειακών μετρήσεων (βέβαια οι ελλείψεις αυτές προκαλούν μείωση της αξιοπιστίας των αποτελεσμάτων) Καλύτερη αντίληψη της γεωγραφικής κατανομής της μεταβλητής, με τη βοήθεια της χρωματικής απεικόνισης και δυνατότητα άμεσου εντοπισμού περιοχών με ιδιαίτερο κλιματικό καθεστώς (υγρό, θερμό, κ.λ.π.) Δυνατότητα στατιστικής επεξεργασίας πολλών τέτοιων καννάβων που αφορούν στην ίδια μεταβλητή και χρονικό βήμα Δυνατότητα χειρισμού τέτοιων επιφανειών σε συνδυασμό με άλλες επιφάνειες της ίδιας διακριτότητας που αφορούν μορφολογικά, εδαφολογικά ή γεωλογικά χαρακτηριστικά της περιοχής με σκοπό τη δημιουργία μοναδιαίων υδρογραφημάτων ή μοντέλων βροχής-απορροής σε υδρολογικές λεκάνες

15 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Γενικά Οι προσδιοριστικές μέθοδοι προσαρμόζουν έναν τύπο επιφάνειας σε ένα σύνολο μετρημένων τιμών της μεταβλητής σε συγκεκριμένες γεωγραφικές συντεταγμένες. Διάφορες μαθηματικές συναρτήσεις χρησιμοποιούνται για να προσαρμόσουν την επιφάνεια στα μετρημένα σημεία και όταν γίνει αυτό είναι δυνατός ο υπολογισμός της μεταβλητής σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Εάν τα σημειακά δεδομένα θεωρούνται ως ακριβείς τιμές της μεταβλητής τότε επιλέγεται ένα σχήμα ακριβούς παρεμβολής, (η επιφάνεια διατηρεί τις μετρημένες σημειακές τιμές), ενώ αν τα δεδομένα περιέχουν ένα σημαντικό σφάλμα μέτρησης επιλέγεται ένα σχήμα εξομάλυνσης. Μέθοδοι εξομάλυνσης: πολυωνυμική, υψομετρική και των ελαχίστων τετραγώνων. Μέθοδοι παρεμβολής: spline, πολυτετραγωνική και σταθμισμένων αντίστροφων αποστάσεων (ΣΑΑ).

16 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Σταθμισμένων αντίστροφων αποστάσεων (ΣΑΑ) H παρεμβολή γίνεται με βάση τη σχέση: όπου : η τιμή της μεταβλητής στη ζητούμενη θέση Ν o αριθμός των σημείων που συμμετέχουν 1, 2, 3,..., N οι σημειακές μετρήσεις στα σημεία 1, 2, 3,, N d 1, d 2, d 3,...,d N οι αποστάσεις του κυττάρου από τα σημεία 1, 2, 3,, N k ο συντελεστής επιρροής της απόστασης Η τιμή του εκθέτη k συνήθως λαμβάνεται 1 ή 2 [Dingman, 1994]. N N n k n k N N n k n k N n k n k d d d d d d = = = =

17 ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ Άλλες μεθοδολογίες Πολυτετραγωνικής παρεμβολής. Η τιμή της μεταβλητής στο τυχόν σημείο της επιφάνειας υπολογίζεται με βάση τις αποστάσεις του σημείου από τους γειτονικούς σταθμούς. Ειδικότερα, η εξίσωση της επιφάνειας της μεταβλητής προκύπτει ως άθροισμα των επιρροών των γειτονικών σταθμών, όπου κάθε επιρροή περιγράφεται μαθηματικά από μια ορθή κωνική επιφάνεια με κατακόρυφο άξονα τοποθετημένο στη θέση καθενός σταθμού Ελάχιστων τετραγώνων με πολυώνυμα. Η μέθοδος στηρίζεται στην επιλογή ενός πολυωνύμου δεδομένου βαθμού, το οποίο εκφράζει τη μεταβλητή συναρτήσει των τοπογραφικών συντεταγμένων x και y των σημείων της περιοχής. Η εκτίμηση των συντελεστών του πολυωνύμου γίνεται σε τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το σφάλμα προσαρμογής στα μετρημένα σημεία γνωστού ύψους βροχής (πρόκειται για μέθοδο εξομάλυνσης) Πολυωνύμων Lagrange. Είναι παραπλήσια με την προηγούμενη, αλλά ο αριθμός των πολυωνυμικών όρων είναι ίσος με τον αριθμό των σημειακών μετρήσεων, οπότε η πολυωνυμική έκφραση διέρχεται ακριβώς από τα σημεία μέτρησης (πρόκειται για μέθοδο ακριβούς παρεμβολής). Κύριο μειονέκτημα ο μεγάλος βαθμός του πολυωνύμου, που μπορεί να προκαλεί αδικαιολόγητα υψηλές διακυμάνσεις της επιφάνειας από θέση σε θέση Προσαρμογής splines. Προσαρμόζονται τοπικές πολυωνυμικές εκφράσεις παρεμβολής μικρού βαθμού, αποφεύγοντας έτσι το πρόβλημα των πολύ υψηλών διακυμάνσεων της επιφάνειας

18 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Γεωστατιστική Οι στατιστικές προσεγγίσεις θεωρούν ότι η μετρημένη τιμή σε ένα συγκεκριμένο σημείο του χώρου για μια συγκεκριμένη χρονική στιγμή είναι η πραγματοποίηση μιας τυχαίας μεταβλητής η οποία περιγράφεται από κάποια συνάρτηση κατανομής. Έτσι το σύνολο των μετρημένων τιμών της μεταβλητής σε Ν σημεία του χώρου είναι μια πραγματοποίηση μιας πολυδιάστατης τυχαίας μεταβλητής με δεδομένη από κοινού συνάρτηση κατανομής Ν διαστάσεων. Με τον όρο γεωστατιστική ορίζεται ένα σύνολο στατιστικών τεχνικών που σχετίζονται με μεταβλητές που μεταβάλλονται στο χώρο. Οι τεχνικές αυτές βασίζονται στην υπόθεση ότι η χωρική διακύμανση της μεταβλητής είναι τυχαία, οπότε χρησιμοποιούν στατιστικές μεθοδολογίες για οποιαδήποτε εκτίμηση απορρέει από τις σημειακές μετρήσεις της μεταβλητής. Σημαντικό πλεονέκτημα των γεωστατιστικών μεθόδων είναι το γεγονός ότι ποσοτικοποιούν και τελικά ελαχιστοποιούν το σφάλμα εκτίμησης. Ωστόσο, οι μέθοδοι είναι αρκετά πολύπλοκες στην εφαρμογή τους, η οποία προϋποθέτει τη χρήση κατάλληλων υπολογιστικών προγραμμάτων. Η γεωστατιστική ανάλυση περιλαμβάνει δύο κύριες φάσεις: (α) την χωρική ανάλυση που περιλαμβάνει την επιλογή και προσαρμογή ενός μοντέλου που περιγράφει την χωρική μεταβλητότητα των σημειακών μετρήσεων, και (β) την βέλτιστη γραμμική αμερόληπτη εκτίμηση (best linear unbiased estimation- BLUE) που σχετίζεται με τον υπολογισμό των εκτιμητριών των αγνώστων ως γραμμικών συναρτήσεων των μετρήσεων. Οι εκτιμήτριες είναι αμερόληπτες, έχουν την ελάχιστη μεταβλητότητα, ενώ για τον υπολογισμό τους χρησιμοποιείται η μοντελοποίηση της χωρικής μεταβλητότητας

19 ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βασικοί ορισμοί Εξετάζεται μια χωρικά μεταβαλλόμενη συνάρτηση z(x) όπου x είναι η θέση στο χώρο (διάνυσμα 1, 2 ή 3 διαστάσεων). Η συνάρτηση z(x) δεν είναι γνωστή και πρέπει να προσδιοριστεί από μετρήσεις και ίσως από συμπληρωματικές πληροφορίες. Η συνάρτηση μέσης τιμής που δίνει την αναμενόμενη τιμή σε οποιοδήποτε σημείο x δίδεται από τη σχέση: m(x)=e[z(x)] Η συνάρτηση της συνδιασποράς που είναι η συνδιασποράγια κάθε ζεύγος x και x δίδεται από τη σχέση: R(x,x )=E{[z(x)-m(x)] [z(x )-m(x )]} Όταν τα x και x αφορούν στην ίδια θέση τότε ησυνδιασποράείναι ίση με τη διασπορά R(x,x) =σ 2 (x) Ο συντελεστής συσχέτισης μεταξύ z(x) και z(x ) είναι ρ(x,x )= R(x,x ) / σ(x)σ(x ) Η χωρική συνδιασπορά είναι σημαντική στη γραμμική εκτίμηση δεδομένου ότι μειώνει το μέσο τετραγωνικό σφάλμα. Έτσι χωρίς μετρήσεις η καλύτερη εκτίμηση του z(x ) είναι η m(x ) και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα είναι σ 2 (x ). Αντίθετα όταν το z(x) έχει παρατηρηθεί τότε η εκτίμηση του z(x ) μπορεί να διορθωθεί δεδομένου ότι υπάρχει παραπάνω πληροφορία. Χρησιμοποιώντας μια γραμμική διόρθωση στην παρατήρηση έχουμε z(x )=m(x )+ρ(x,x )[z(x)-m(x)]σ(x )/σ(x) ενώ το μέσο τετραγωνικό σφάλμα μειώνεται σε [1- ρ 2 (x,x )] σ 2 (x )

20 ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Υποθέσεις Η ανάπτυξη εμπειρικών μοντέλων για την περιγραφή της χωρικής μεταβλητότητας απλοποιείται σημαντικά με την εφαρμογή ορισμένων υποθέσεων Υπόθεση μονιμότητας(stationarity) Η μέση τιμή και η διασπορά δεν μεταβάλλονται χωρικά και η συσχέτιση μεταξύ δύο παρατηρήσεων z(x) και z(x ) εξαρτάται μόνο από τη σχετική τους απόσταση x-x E[z(x)] = m και E{[z(x)-m][z(x )-m]} = R() όπου = x-x Η τιμή R(0) είναι γνωστή ως κατώφλι (sill), ενώ η απόσταση από την οποία και μετά εξαφανίζεται η συσχέτιση ονομάζεται εύρος (range) Υπόθεση ισοτροπίας (isotropy) Η συνάρτηση συνδιασποράς εξαρτάται από την απόσταση και όχι από την διεύθυνση του διανύσματος μεταξύ των δύο σημείων E{[z(x)-m] [z(x )-m]} = R( x-x ) όπου x-x είναι το μήκος του διανύσματος x-x Υπόθεση ενδογένειας (intrinsic) Είναι γενίκευση της μονιμότητας και η τυχαία συνάρτηση είναι ενδογενής αν ισχύουν οι παρακάτω δύο συνθήκες E[z(x)-z(x )] = 0 και 2γ() = E {[z(x)-z(x )] 2 } Η συνάρτηση γ() είναι γνωστή ως ημιμεταβλητόγραμμα του τυχαίου πεδίου. Οι μόνιμες συναρτήσεις είναι και ενδογενείς και το ημιμεταβλητόγραμμα συνδέεται με την συνάρτηση συνδιασποράς με τη σχέση γ() = R(0)-R() ενώ σε μεγάλες αποστάσεις φθάνει στο κατώφλι (sill) και γ( )=R(0)= σ 2 Οι ενδογενείς συναρτήσεις δεν είναι πάντα μόνιμες όπως στην περίπτωση που το ημιμεταβλητόγραμμα τείνει στο άπειρο όσο αυξάνει η απόσταση

21 ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Χωρική μεταβλητότητα Η βασική αρχή των διαφόρων μεθόδων παρεμβολής είναι η παραδοχή ότι στις κοντινές αποστάσεις οι τιμές της μεταβλητής μοιάζουν περισσότερο από ότι στις μακρινές. Για να προσδιοριστεί η ισχύς αυτής της υπόθεσης και το πώς αυτή η ομοιότητα μεταβάλλεται συναρτήσει της απόστασης, πραγματοποιείται διερευνητική ανάλυση των χωρικών δεδομένων. Η χωρική συσχέτιση συνήθως εξετάζεται με τη μέθοδο τηςημιδιασποράςπου είναι ένα μέτρο του βαθμού της χωρικής συσχέτισης των σημειακών μετρήσεων και δίνεται από τη σχέση: m 1 2 γ ( ) = [ zx ( i ) zx ( i + )] n 2 i= 1 όπου m ο αριθμός των ζευγών με απόσταση z(x i ) η τιμή της μεταβλητής στη θέση i z(x i +) η τιμή της μεταβλητής σε απόσταση από τη θέση i

22 ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βέλτιστη γραμμική αμερόληπτη εκτίμηση (BLUE) Η εκτίμηση της τιμής της συνάρτησης z(x) σε μία θέση που δεν υπάρχει μέτρηση x 0, με βάση τις παρατηρήσεις z(x 1 ), z(x 2 ),, z(x n ) γίνεται χρησιμοποιώντας μια γραμμική εκτιμήτρια: n zx ^( o ) λ izx ( i ) = i= 1 όπου λ i είναι τα βάρη Ο τύπος αυτός εκτιμήτριας χρησιμοποιείται συχνά στις προσδιοριστικές μεθόδους (Tiessen, IDW), ενώ πολλές μεθοδολογίες εφαρμόζονται για τον προσδιορισμό των βαρών, το άθροισμα των οποίων τίθεται συνήθως ίσο με 1. Με την χρήση των γεωστατιστικών μεθόδων ο προσδιορισμός των βαρών βασίζεται στην δομή της χωρικής διακύμανσης της μεταβλητής, η οποία προσδιορίζεται και μοντελοποιείται με βάση το ημιμεταβλητόγραμμα. Τα βάρη επιλέγονται έτσι ώστε: 1. Το σφάλμα εκτίμησης (εκτιμημένη τιμή μείον την αληθινή άγνωστη τιμή) πρέπει κατά μέσο όρο να είναι μηδέν (αμεροληψία) 2. Πρέπει να ελαχιστοποιείται το μέσο τετραγωνικό σφάλμα Από το δεύτερο κριτήριο με τον περιορισμό του πρώτου προκύπτει ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων (kriging system) από τη λύση του οποίου προκύπτουν τα βάρη

23 ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ Κατάρτιση ημιμεταβλητογράμματος Η ανάλυση με την κατάρτιση ημιμεταβλητογράμματος εφαρμόζεται στην περίπτωση που διατίθενται σημειακές μετρημένες τιμές της μεταβλητής z(x), όπου το x συμβολίζει ένα διανυσματικό σύστημα δύο διαστάσεων. Σε ένα πλήθος n σημειακών μετρήσεων στο χώρο μπορούν να υπολογιστούν n*(n-1)/2 ζεύγη από τη διαφορά [z(x i )-z(x j )] 2 και την απόσταση x ι -x j. Η σχεδίαση της διαφοράς αυτής συναρτήσει της απόστασης, είναι το πρωτογενές (raw) ημιμεταβλητόγραμμα. Για κατάρτιση του πειραματικού (experimental) ημιμεταβλητογράμματος απαιτείται η κατάτμηση του άξονα των αποστάσεων σε διαδοχικά διαστήματα. Το κ διάστημα είναι [1 κ,2 κ ] και περιέχει Ν κ ζεύγη τιμών z(x i ) και z(x j ) για τα οποία ισχύει 1 κ < x ι -x j < 2 κ. Για κάθε διάστημα υπολογίζουμε την παράσταση: N 1 ( ) k γ k = [ z( x 2N k i= 1 i ) z( x j )] 2 όπου το i δείχνει τον αριθμό των ζευγών που ανήκουν στο διάστημα. Το ημιμεταβλητόγραμμα σχεδιάζεται με βάση τις τιμές της ενώ το κάθε διάστημα [1 κ,2 κ ] αντιπροσωπεύεται από την τιμή (2 κ -1 κ )/2.

24 ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ Παράδειγμα ημιμεταβλητογράμματος Πρωτογενές (raw) Πειραματικό (experimental) ΗΜΙΔΙΑΣΠΟΡΑ (mm 2 ) ΗΜΙΔΙΑΣΠΟΡΑ (mm 2 ) ΑΠΟΣΤΑΣΗ (km) ΑΠΟΣΤΑΣΗ (km)

25 ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ Χαρακτηριστικά ημιμεταβλητογράμματος Κατώφλι (sill) και εύρος (range). Το κατώφλι (sill), είναι μια σταθερή τιμή στην οποία φτάνει το ημιμεταβλητόγραμμα σε μια απόσταση η οποία ονομάζεται εύρος (range). Το κατώφλι σχετίζεται με τη διασπορά του δείγματος, ενώ το εύρος δείχνει την απόσταση από την οποία και πέρα δεν συσχετίζονται οι τιμές. Το τελευταίο ενδιαφέρει στον σχεδιασμό δικτύων μέτρησης. Όταν το διάστημα είναι μηδενικό τότε δεν υπάρχει χωρική εξάρτηση στην μεταβλητή. Nugget effect. H ημιδιασπορά μπορεί να μην είναι μηδέν στην μηδενική απόσταση γεγονός που εξηγείται όταν οι μετρήσεις έχουν θόρυβο, παρουσιάζουν λάθη ή δεν είναι ταυτόχρονες Επίδραση της διεύθυνσης. Η παρουσία ανισοτροπίας στα δεδομένα μπορεί να ανιχνευθεί με την κατάρτιση ημιμεταβλητογραμμάτων σε συγκεκριμένες διευθύνσεις όπου τα διαστήματα σχεδιάζονται σε διάγραμμα ρόδου Στρωμάτωση (stratification). Ο διαχωρισμός ενός συνόλου δεδομένων σε ομάδες πολλές φορές ελαττώνει την χωρική μεταβλητότητα και κατά συνέπεια την ακρίβεια προσαρμογής Επίδραση του χρόνου. Δεδομένου ότι πολλές υδρολογικές μεταβλητές είναι μεταβλητές στο χρόνο η χωρική μεταβλητότητα μιας περιοχής και άρα και το ημιμεταβλητόγραμμα εξαρτώνται από τη χρονική στιγμή της δειγματοληψίας

26 ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ Προσαρμογή συνάρτησης στο εμπειρικό ημιμεταβλητόγραμμα 0 0, 2 ] [1 ) ( > > = L L e σ σ γ 0 0, 2 ] [1 ) ( 2 > > = L L e σ σ γ a ) ( a 0 ] 0.5 [1.5 ) ( > = = για σ γ για σ γ a a ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ GAUSSIAN ΕΚΘΕΤΙΚΗ ] ) (1 [1 ) ( L e L = γ HOLE-EFFECT 0 0 ) ( 0 ) ( 0 = = > = για γ για γ C NUGGET EFFECT ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ 2 0 0, ) ( < < > = s s θ ϑ γ ϑ γ = ) ( 0 ) log( ) ( > = A A γ

27 ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ Παράδειγμα προσαρμογής συνάρτησης ΗΜΙΔΙΑΣΠΟΡΑ (mm 2 ) ΕΜΠΕΙΡΙΚΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗ POWER ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ ΔΕΙΓΜΑΤΟΣ GAUSSIAN ΣΦΑΙΡΙΚΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ HOLE-EFFECT ΑΠΟΣΤΑΣΗ (km)

28 ΜΕΘΟΔΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ (KRIGING) Γενικά Η μέθοδος βέλτιστης παρεμβολής θεωρεί τη μεταβολή της μεταβλητής ως τυχαία, εκφράζει την άγνωστη τιμή στο τυχόν σημείο ως γραμμική έκφραση των γνωστών τιμών στις θέσεις των σταθμών και χρησιμοποιεί τη στατιστική μεθοδολογία προκειμένου να εκτιμήσει τους συντελεστές της γραμμικής έκφρασης. Στη συνέχεια παρουσιάζονται συνοπτικά οι διάφορες παραλλαγές της μεθόδου: Ordinary-simple kriging. Η πλέον διαδεδομένη μορφή, έχει τις παρακάτω παραδοχές: (α) η μεταβλητή ακολουθεί κανονική κατανομή, (β) η εκτίμηση είναι αμερόληπτη, (γ) μονιμότητα δευτέρου βαθμού, (δ1) ο τοπικός μέσος είναι γνωστός (simple), ή (δ2) ο τοπικός μέσος είναι άγνωστος (ordinary) Neigbourood kriging. Αν και η τοπική μέση τιμή και διασπορά είναι σταθερές σε όλη την περιοχή (υποθέσεις μονιμότητας και ισότροπου πεδίου), στις περισσότερες εφαρμογές τα δεδομένα περιέχουν τοπικές διακυμάνσεις. Για το λόγο αυτό στην εκτίμηση της άγνωστης τιμής συμμετέχουν τα κοντινότερα σημεία ή αυτά που περιλαμβάνονται στη γύρω περιοχή Block kriging. Αντιμετωπίζει την ολοκλήρωση των εκτιμημένων τιμών σε μεγαλύτερες περιοχές Universal kriging. Εφαρμόζεται στην περίπτωση που τα δεδομένα περιέχουν τάση (trend) Disjunctive kriging. Υπολογίζει για κάθε εκτίμηση και την πιθανότητα η αληθινή τιμή να υπερβαίνει ένα συγκεκριμένο κατώφλι Cokriging. Η εκτίμηση με το κανονικό kriging βελτιώνεται σημαντικά όταν η μεταβλητή που εξετάζεται συνδέεται με κάποια άλλη μεταβλητή για την οποία υπάρχουν μετρήσεις Space time kriging. Σχετίζεται με την εισαγωγή της χρονικής διάστασης των δεδομένων

29 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Βιβλιογραφική επισκόπηση (1) Saw and Lynn [1972] ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Υπολογίστηκαν οι επιφανειακές βροχοπτώσεις σε ετήσια και μηνιαία βάση καθώς και σε χρονική κλίμακα επεισοδίου βροχής, σε τρεις λεκάνες απορροής ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ: Πολυγώνων Tiessen, ΣΑΑ, πολυτετραγωνική και πολυωνυμική ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: Οι διαφορές μεταξύ των τριών πρώτων μεθόδων ήταν ασήμαντες, ιδιαίτερα σε ετήσια και μηνιαία βάση. Η μέθοδος πολυτετραγωνική είναι περισσότερο κατάλληλη για την εκτίμηση της επιφανειακής βροχόπτωσης Creutin and Obled [1982] ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Χρησιμοποιήθηκαν τα δεδομένα 99 βροχογράφων για 81 επεισόδια βροχής σε λεκάνη της Γαλλίας. Με βάση τα δεδομένα μόνο των 73 σταθμών υπολογίστηκε η σημειακή βροχόπτωση στους υπόλοιπους 26, και συγκρίθηκε με τη μετρημένη ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ: Πολυγώνων Tiessen, αριθμητικού μέσου, δύο παραλλαγές της μεθόδου Kriging, και των εμπειρικών ορθογωνικών συναρτήσεων ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: Οι στατιστικές μέθοδοι, ήταν αρκετά αποτελεσματικότερες στην εκτίμηση της βροχής στα σημεία ελέγχου, σε σχέση με τις άλλες μεθόδους που εξετάστηκαν

30 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Βιβλιογραφική επισκόπηση (2) Tabios and Salas [1985] ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Υπολογίστηκαν μηνιαίες επιφανειακές βροχοπτώσεις. Χρησιμοποιήθηκαν τα δεδομένα 29 βροχομέτρων και με βάση τις μετρήσεις των 24 από αυτά υπολογίστηκε η βροχόπτωση στα υπόλοιπα 5 ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ: Πολυγώνων Tiessen, ελάχιστων τετραγώνων, ΣΑΑ, πολυτετραγωνική, kriging) ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: Η μέθοδος Kriging έδινε τις καλύτερες εκτιμήσεις στα σημεία ελέγχου, ενώ ικανοποιητικά αποτελέσματα έδινε και η πολυτετραγωνική. Ως αποδεκτά κρίθηκαν τα αποτελέσματα των μεθόδων των πολυγώνων Tiessen και της ΣΑΑ, ενώ η μέθοδος των ελάχιστων τετραγώνων δεν έδωσε ικανοποιητικά αποτελέσματα Court and Bare [1984] ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Υπολογίστηκαν οι ετήσιες επιφανειακές βροχοπτώσεις σε οκτώ λεκάνες απορροής ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ: Ισοϋετίων, υψομετρική, αριθμητικού μέσου, πολυγώνων Tiessen και δύο αξόνων ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: Η πρώτη μέθοδος εκτιμούσε υψηλές βροχοπτώσεις, η δεύτερη χαμηλές ενώ οι υπόλοιπες τρεις κυμαινόταν μεταξύ υψηλών και χαμηλών εκτιμήσεων, ανάλογα με τη λεκάνη απορροής. Η μέθοδος των δύο αξόνων είναι κατάλληλη για την εκτίμηση της επιφανειακής βροχόπτωσης σε λεκάνη απορροής

31 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Βιβλιογραφική επισκόπηση (3) Lebel et al. [1987] ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Υπολογίστηκε η επιφανειακή βροχόπτωση λεκάνης απορροής της Γαλλίας σε χρονικές κλίμακες μίας έως 24 ωρών, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα 34 βροχογράφων. Εξετάστηκε και η επίδραση της πυκνότητας του δικτύου στην εκτίμηση της επιφανειακή βροχόπτωσης, με τη χρήση υποσυνόλων του δικτύου ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ: Kriging, πολυγώνων Tiessen, και spline ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: Η μέθοδος Kriging θεωρήθηκε ως η περισσότερο ακριβής, για όλες τις χρονικές κλίμακες και πυκνότητες δικτύων βροχογράφων που εξετάστηκαν Τζούλης [1996] ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ: Υπολογίστηκαν οι μέσες μηνιαίες και ετήσιες επιφάνειες βροχής της Στερεάς Ελλάδας με τη χρήση 71 βροχομέτρων και διερευνήθηκε η επίδραση της πυκνότητας του δικτύου ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ: Πολυγώνων Tiessen, kriging, ΣΑΑ και co-kriging ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ: Οι επιφάνειες βροχής που υπολογίστηκαν με την εφαρμογή των τριών πρώτων μεθόδων, είχαν πολύ μικρές διαφορές (1-3%). Η επιφάνεια που υπολογίστηκε με τη μέθοδο co-kriging, διέφερε σημαντικά από τις υπόλοιπες (10%). Οι αντίστοιχες επιφάνειες που υπολογίστηκαν με τη χρήση του μισού δικτύου (36 σταθμοί) είχαν πολύ μικρές αποκλίσεις από τις αρχικές

32 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Γενικά συμπεράσματα βιβλιογραφικής επισκόπησης Οι κλασικές μέθοδοι (Tiessen, δύο αξόνων, αριθμητικού μέσου) εκτιμούν ικανοποιητικά την τιμή της επιφανειακής βροχόπτωσης, παρά το γεγονός ότι δεν αναπαριστούν τη γεωγραφική κατανομή του φαινομένου Οι προσδιοριστικές μέθοδοι προσαρμογής επιφανειών αλλά και παρεμβολής (πολυτετραγωνική, ΣΑΑ), φαίνεται ότι αναπαριστούν αρκετά ικανοποιητικά τη γεωγραφική κατανομή της βροχόπτωσης, σε όλες σχεδόν τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν από τους ερευνητές Η μέθοδος kriging (και οι διάφορες παραλλαγές της) αναφέρεται από τους περισσότερους ερευνητές ως η πλέον ενδεδειγμένη μέθοδος για τον υπολογισμό της επιφανειακής βροχόπτωσης αλλά και την εκτίμηση της χωρικής κατανομής της, ιδίως σε λεπτές χρονικές κλίμακες Οι πολύπλοκες μαθηματικές μέθοδοι δίνουν καλύτερες εκτιμήσεις σε περιοχές με ισχυρά επεισόδια βροχής ενώ σε περιοχές με μικρή πυκνότητα δικτύου είναι προτιμότερο να αποφεύγονται

33 Tα βάρη προσδιορίζονται από τη σχέση S Q -1 ενώ η εκτιμημένη τιμή από τη σχέση S*Q -1 *F (BLUE) όπου: Το διάνυσμα S περιέχει τις μετασχηματισμένες (με βάση το επιλεγμένο ημιμεταβλητόγραμμα) αποστάσεις των σημείων μέτρησης από το σημείο παρεμβολής. Ο πίνακας Q περιέχει τις μετασχηματισμένες (με βάση το επιλεγμένο ημιμεταβλητόγραμμα) αποστάσεις μεταξύ όλων των σημείων μέτρησης. Η διαγώνιος του είναι μηδενική (γ(0) = 0), ενώ είναι συμμετρικό (υπόθεση ισότροπου πεδίου) Ο πίνακας F περιέχει τις σημειακές μετρήσεις της μεταβλητής στα σημεία x, x και x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Οrdinary kriging (intrinsic case) Το σύστημα γραμμικών εξισώσεων που πρέπει να επιλυθεί στην ενδογενή περίπτωση n n δίδεται από τις σχέσεις: λγ j ( xi xj) + ν= γ( xi x0) i = 1,2,...n λ j = 1 j= 1 ενώ το ΜΤΣ δίνεται από τη σχέση: ^ n 2 E{[ z( x0) z( x0)] } = ν + λijγ ( xi x0) i= 1 Το ν ονομάζεται πολλαπλασιαστής Langrange και σχετίζεται με τον περιορισμό αμεροληψίας j= 1 Εφαρμογή: Eκτίμηση του x 0 από τρία σημεία x 1, x 2, x 3 λ 1 γ(d 11 )+λ 2 γ(d 12 )+λ 3 γd 13 +ν =γ(d 10 ) 0 γ 12 γ 13 λ 1 γ(d 21 )+λ 2 γ(d 22 )+λ 3 γd 23 +ν =γ(d 20 ) γ 0 γ γ 13) γ 23) 0 λ 1 γ(d 31 )+λ 2 γ(d 32 )+λ 3 γd 33 +ν =γ(d 30 ) 1 λ 1 +λ 2 +λ 3 =1 (d ) (d ) 1 λ 1 γ (d (d ) (d ) 1 λ 2 γ (d = (d (d 1 λ 31 γ (d ν ) ) ) Q*L=S

34 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Στατιστικές επιφάνειες Αρχικές επιφάνειες Τιμή της μεταβλητής (M t ) στη θέση x 0 y 0 κατά τις χρονικές στιγμές t=1, 2,,n y Στατιστική επιφάνεια y Στατιστική παράμετρος Μ Σ του δείγματος Μ 1, Μ 2,.., Μ n στη θέση x 0 y 0 t y 0 x 0 x 0 t=n t=2 t=1 x y 0 x Η αρχική επιφάνεια της μεταβλητής κατά τη χρονική στιγμή t παριστάνεται από το δισδιάστατο μητρώο Μ t που περιέχει τις τιμές των ψηφίδων της επιφάνειας. Η τιμή της ψηφίδας στη θέση x 0,y 0 στη στατιστική επιφάνεια Σ υπολογίζεται ως η συγκεκριμένη στατιστική παράμετρος που προκύπτει από το δείγμα των τιμών των ψηφίδων των αρχικών επιφανειών στη συγκεκριμένη θέση. Οι στατιστικές παράμετροι που συνήθως υπολογίζονται είναι η μέση τιμή, η τυπική απόκλιση, ο συντελεστής διασποράς καθώς και οι τιμές που αντιστοιχούν σε μια συγκεκριμένη πιθανότητα υπέρβασης

35 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Στατιστικές επιφάνειες μέσης τιμής (ημερήσια βροχή) Τύπος καιρού: ΜΤ2 Αρχικές επιφάνειες: 41 Τύπος καιρού: SW1 Αρχικές επιφάνειες: 88 Αποχρώσεις κίτρινου 0-20 mm Αποχρώσεις πράσινου mm Αποχρώσεις κόκκινου mm Μαύρο χρώμα >60 mm

36 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Στατιστικές επιφάνειες τυπικής απόκλισης (ημερήσια βροχή) Τύπος καιρού: ΜΤ2 Αρχικές επιφάνειες: 41 Τύπος καιρού: SW1 Αρχικές επιφάνειες: 88 Αποχρώσεις κίτρινου 0-20 mm Αποχρώσεις πράσινου mm Αποχρώσεις κόκκινου mm Μαύρο χρώμα >60 mm

37 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Στατιστικές επιφάνειες συντελεστή διασποράς (ημερήσια βροχή) Τύπος καιρού: ΜΤ2 Αρχικές επιφάνειες: 41 Τύπος καιρού: SW1 Αρχικές επιφάνειες: 88 Αποχρώσεις κίτρινου 0-1 Αποχρώσεις πράσινου 1-2 Αποχρώσεις κόκκινου 2-3 Μαύρο χρώμα >3

38 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Κουτσογιάννης, Δ. και Θ. Ξανθόπουλος, Τεχνική Υδρολογία, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Αθήνα, 1997 Τζούλης Β., Διερεύνηση της χωρικής κατανομής των βροχοπτώσεων με τη χρήση ΣΓΠ, Διπλωματική εργασία, ΕΜΠ, 1996 Μαμάσης, Ν., Ανάλυση βροχοπτώσεων κατά τύπο καιρού, Διδακτορική διατριβή, ΕΜΠ, 1997 ESRI, ARC-VIEW, Advanced Spatial Analysis using raster and vector data, 1996 Creutin, J.D., and C. Obled, Objective analysis and mapping tecniques for rainfall fields: An objective comparison, Water Resources Researc, 25, , 1982 Dingman, L., Pysical Hydrology, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1994 Mamassis, N. and D. Koutsoyiannis, Influence of atmosperic circulation types on space - time distribution of intense rainfall, Journal of Geopysical Researc, 101,D21, , 1996 Μeijerink A., Brouwer H., Mannaerts C., and C., Valenzuela, Introduction to te use of Geograpic Information Systems for practical ydrology, UNESCO, Publication Number 23, 1995

Προχωρημένη Υδρολογία

Προχωρημένη Υδρολογία Προχωρημένη Υδρολογία Κατακρημνίσματα και χωρική μεταβλητότητά τους Νίκος Μαμάσης και Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα 999 ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Κατακρημνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Κατακρηµνίσµατα και χωρική µεταβλητότητά τους

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Κατακρηµνίσµατα και χωρική µεταβλητότητά τους ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Κατακρηµνίσµατα και χωρική µεταβλητότητά τους Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 2006 ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Κατακρηµνίσµατα και χωρική µεταβλητότητά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Κατακρηµνίσεις (2 η Άσκηση)

ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ. Κατακρηµνίσεις (2 η Άσκηση) ΤΕΧΝΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ Κατακρηµνίσεις ( η Άσκηση) Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ιάρθρωση ου Μαθήµατος Ασκήσεων Έλεγχος οµοιογένειας

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και αποκατάσταση συνέπειας χρονοσειρών βροχόπτωσης Παράδειγµα Η ετήσια βροχόπτωση του σταθµού Κάτω Ζαχλωρού Χ και η αντίστοιχη βροχόπτωση του γειτονικού του σταθµού Τσιβλός Υ δίνονται στον Πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 2 ο : Κατακρημνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών

Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών ΕΞΑΡΧΟΥ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΜΠΕΝΣΑΣΣΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Ε.Π.Ε. ΛΑΖΑΡΙ ΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΛΕΤΩΝ Α.Ε. ΓΕΩΘΕΣΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.Π.Ε. Εφαρµογές γεωγραφικών επεξεργασιών Α. Κουκουβίνος

Διαβάστε περισσότερα

2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη

2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη ΜΕΘΟ ΟΙ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ, ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Η παρεµβολή στο χώρο αποτελεί ένα σηµαντικό αντικείµενο µελέτης στη χαρτογραφία και σε όσους τοµείς της επιστήµης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ. Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ. Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΧΩΡΙΚΗΣ ΔΟΜΗΣ ΤΗΣ ΒΡΟΧΗΣ Παρουσίαση διπλωματικής εργασίας Αθανάσιος Πασχάλης Επιβλέπων καθηγητής: Δημήτρης Κουτσογιάννης Διάρθρωση ρ της παρουσίασης Εισαγωγή Στατιστική επεξεργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 2: Στοιχεία Μετεωρολογίας Υετόπτωση: Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 2: Στοιχεία Μετεωρολογίας Υετόπτωση: Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 2: Στοιχεία Μετεωρολογίας Υετόπτωση: Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη Προέγκρισης Χωροθέτησης του Μικρού Υδροηλεκτρικού Σταθμού Βαλορέματος. Υδρολογική μελέτη

Μελέτη Προέγκρισης Χωροθέτησης του Μικρού Υδροηλεκτρικού Σταθμού Βαλορέματος. Υδρολογική μελέτη Περιεχόμενα Μελέτη Προέγκρισης Χωροθέτησης του Μικρού Υδροηλεκτρικού Σταθμού Βαλορέματος Υδρολογική μελέτη Εισαγωγή 1 Γενικά χαρακτηριστικά 1 Παραγωγή ημερήσιων παροχών στη θέση Σμίξη 2 Καμπύλες διάρκειας

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Πλημμύρες Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS

Πλημμύρες Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS Πλημμύρες Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS Νίκος Μαμάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 2014 Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS Γενικά Η τεχνολογία των Συστημάτων Γεωγραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης 2011-2012 1 ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Οι καταιγίδες διακρίνονται σε δύο κατηγορίες αναλόγως του αιτίου το οποίο προκαλεί την αστάθεια τις ατμόσφαιρας:

Οι καταιγίδες διακρίνονται σε δύο κατηγορίες αναλόγως του αιτίου το οποίο προκαλεί την αστάθεια τις ατμόσφαιρας: ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΡΑΓΔΑΙΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Καταιγίδα (storm): Πρόκειται για μια ισχυρή ατμοσφαιρική διαταραχή, η οποία χαρακτηρίζεται από την παρουσία μιας περιοχής χαμηλών ατμοσφαιρικών πιέσεων και από ισχυρούς

Διαβάστε περισσότερα

Πλημμύρες & αντιπλημμυρικά έργα

Πλημμύρες & αντιπλημμυρικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Πλημμύρες & αντιπλημμυρικά έργα Υδρολογικές εφαρμογές με τη χρήση GIS Νίκος Μαμάσης, Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις ΕΞΑΡΧΟΥ ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΜΠΕΝΣΑΣΣΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Ε.Π.Ε. ΛΑΖΑΡΙ ΗΣ & ΣΥΝΕΡΓΑΤΕΣ ΑΝΩΝΥΜΗ ΤΕΧΝΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΜΕΛΕΤΩΝ Α.Ε. ΓΕΩΘΕΣΙΑ ΣΥΜΒΟΥΛΟΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ε.Π.Ε. Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Προχωρημένη Υδρολογία Γεωμορφολογία και απορροή

Προχωρημένη Υδρολογία Γεωμορφολογία και απορροή Προχωρημένη Υδρολογία Γεωμορφολογία και απορροή Νίκος Μαμάσης και Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα 999 ΔΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Γεωμορφολογία και απορροή ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής

Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (Least squares collocation) Χριστόφορος

Διαβάστε περισσότερα

Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής

Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής (Least squares collocation) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

Μη μετρούμενες λεκάνες απορροής: Διερεύνηση στη λεκάνη του Πηνειού Θεσσαλίας, στη θέση Σαρακίνα

Μη μετρούμενες λεκάνες απορροής: Διερεύνηση στη λεκάνη του Πηνειού Θεσσαλίας, στη θέση Σαρακίνα Μη μετρούμενες λεκάνες απορροής: Διερεύνηση στη λεκάνη του Πηνειού Θεσσαλίας, στη θέση Σαρακίνα Βασίλειος Γουργουλιός και Ιωάννης Ναλμπάντης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Περιοχή έργου Η µελέτη αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια της υδραυλικής µελέτης αποστράγγισης της οδού Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος που ανατέθηκε

Διαβάστε περισσότερα

βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας

βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας Σύγχρονες τάσεις στην εκτίµηση ακραίων βροχοπτώσεων 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο Μεγάλων Φραγµάτων 13-15 Νοεµβρίου 2008, Λάρισα Ενότητα: Φράγµατα, θέµατα Υδραυλικής-Υδρολογίας ηµήτρης Κουτσογιάννης και Νίκος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΕΙΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΕΙΣ Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τομέας Υδατικών Πόρων ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΕΙΣ Νίκος Μαμάσης, Επίκουρος Καθηγητής ΕΜΠ ΑΔΕΙΑ ΧΡΗΣΗΣ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής

Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Διάστημα εμπιστοσύνης της μέσης τιμής Συντελεστής εμπιστοσύνης Όταν : x z c s < μ < x +z s c Ν>30 Στον πίνακα δίνονται κρίσιμες τιμές z c και η αντιστοίχισή τους σε διάφορους συντελεστές εμπιστοσύνης:

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα επαναληπτικής εξέτασης 2012-2013 1 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Απόδοση θεματικών δεδομένων

Απόδοση θεματικών δεδομένων Απόδοση θεματικών δεδομένων Ποιοτικές διαφοροποιήσεις Σημειακά Γραμμικά Επιφανειακά Ποσοτικές διαφοροποιήσεις Ειδικές θεματικές απεικονίσεις Δασυμετρική Ισαριθμική Πλάγιες όψεις Χαρτόγραμμα Χάρτης κουκίδων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

Η συμβολή των Συστημάτων Γεωγραφικής Πληροφορίας στον υδρολογικό σχεδιασμό

Η συμβολή των Συστημάτων Γεωγραφικής Πληροφορίας στον υδρολογικό σχεδιασμό 5o ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΑΤΜ 14-15 ΟΚΤΩΒΡIOY 2017 ΑΘΗΝΑ Συνεδρία: Εφαρμογές Γεωπληροφορικής Η συμβολή των Συστημάτων Γεωγραφικής Πληροφορίας στον υδρολογικό σχεδιασμό Το υλικό της παρουσίασης προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣΙ

Άσκηση 1 ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣΙ Άσκηση 1 ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΑΣΙ Στον παρακάτω πίνακα, δίνονται τα ετήσια ύψη βροχών όπως μετρήθηκαν σε δυο γειτονικούς βροχομετρικούς σταθμούς χ και ψ για την περίοδο 1990-2001. Ζητείται: 1)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδροογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα 7 ΙΑΡΘΡΩΣΗ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Εισαγωγή στη γεωστατιστική ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΧΩΡΙΚΗ ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Εκτίμηση της διακύμανσης της παροχής αιχμής σε λεκάνες της Πελοποννήσου με συγκριτική αξιολόγηση δύο διαδεδομένων

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Υδραυλικών Έργων Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ 3 η Διάλεξη : Μορφοποίηση Δεδομένων Φώτιος Π. Μάρης, Αναπλ. Καθηγητής Δ.Π.Θ. Πηγή: Τίτλος

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 08-09 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΝΕΡΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΝΕΡΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΣΤΗ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΝΕΡΩΝ Δ. ΚΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΘΑΛΑΣΣΑΣ ΣΧΟΛΗ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΑΣ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΒΥΡΩΝΑΣ ΝΑΚΟΣ ΑΘΗΝΑ 2006 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 1 2. Μέθοδοι σταθερών

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Αστικά υδραυλικά έργα

Αστικά υδραυλικά έργα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Αστικά υδραυλικά έργα Υδραυλική ανάλυση δικτύων διανομής Δημήτρης Κουτσογιάννης, Καθηγητής ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Άδεια Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

5 ο Πανελλήνιο Συνέδριο ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ και ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. Ινώ ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΑΚΗ * & Ιωάννης ΝΑΛΜΠΑΝΤΗΣ

5 ο Πανελλήνιο Συνέδριο ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ και ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. Ινώ ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΑΚΗ * & Ιωάννης ΝΑΛΜΠΑΝΤΗΣ 5 ο Πανελλήνιο Συνέδριο ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ και ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Αθήνα, 14 & 15 Οκτωβρίου 2017 Ινώ ΠΑΠΑΓΕΩΡΓΑΚΗ * & Ιωάννης ΝΑΛΜΠΑΝΤΗΣ Εργαστήριο Εγγειοβελτιωτικών Έργων και Διαχείρισης Υδατικών Πόρων Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Εκτιμητική

Στατιστική. Εκτιμητική Στατιστική Εκτιμητική Χατζόπουλος Σταύρος 28/2/2018 και 01 /03/2018 Εισαγωγή Το αντικείμενο της Στατιστικής είναι η εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν τον πληθυσμό ή το φαινόμενο που μελετάμε, με τη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 2. ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΜΑΤΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 2. ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΜΑΤΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 2. ΚΑΤΑΚΡΗΜΝΙΣΜΑΤΑ 2.1 ΓΕΝΙΚΑ Μορφές των κατακρημνισμάτων, όργανα μέτρησης, βασική επεξεργασία της σημειακής βροχομετρικής πληροφορίας,

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ

ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΕΣ ΑΠΩΛΕΙΕΣ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ Το νερό των κατακρημνισμάτων ακολουθεί διάφορες διαδρομές στη πορεία του προς την επιφάνεια της γης. Αρχικά συναντά επιφάνειες που αναχαιτίζουν την πορεία του όπως είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης 2012-2013 1 ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αριάδνη Αργυράκη

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αριάδνη Αργυράκη ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αριάδνη Αργυράκη ΣΤΑΔΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΓΕΩΧΗΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ 1.ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ: - Καθορισμός στόχων έρευνας - Ιστορικό περιοχής 2 4.

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ για τη λήψη αποφάσεων ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΚΟΣΤΟΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Υπολογισμός πιθανοτήτων και πρόβλεψη τιμών από τις τιμές των παραμέτρων και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

X = = 81 9 = 9

X = = 81 9 = 9 Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (11η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 35 Σύνοψη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΛΙΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΛΑΓΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΝΗΣΙ ΤΗΣ ΝΑΞΟΥ ΜΑΜΜΑΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ ΑΜ:331/2003032 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2010 Ευχαριστίες Σε αυτό το σημείο θα ήθελα να ευχαριστήσω όλους όσους με βοήθησαν να δημιουργήσω την παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη

Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα. 11 η Διάλεξη Σημειακή εκτίμηση και εκτίμηση με διάστημα 11 η Διάλεξη Εκτιμήτρια Κάθε στατιστική συνάρτηση που χρησιμοποιείται για την εκτίμηση μιας παραμέτρου ενός πληθυσμού (π.χ. ο δειγματικός μέσος) Σημειακή εκτίμηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ ΧΑΡΑΞΗ ΓΡΑΦΙΚΗΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ Δημήτρης Στεφανάκης Η Μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων (ΜΕΤ) χρησιμοποιείται για την κατασκευή της γραφικής παράστασης που περιγράφει ένα φαινόμενο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟ ΓΕΩΧΗΜΙΚΗΣ ΑΝΩΜΑΛΙΑΣ Στατιστική ανάλυση του γεωχημικού δείγματος μας δίνει πληροφορίες για τον

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις Προς µια ορθολογική αντιµετώπιση των σύγχρονων υδατικών προβληµάτων: Αξιοποιώντας την Πληροφορία και την Πληροφορική για την Πληροφόρηση Υδροσκόπιο: Εθνική Τράπεζα Υδρολογικής & Μετεωρολογικής Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 1: Μέθοδοι Αναγνώρισης Προτύπων Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Υδροηλεκτρικά Έργα. 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών. Ταμιευτήρες. Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης

Υδροηλεκτρικά Έργα. 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών. Ταμιευτήρες. Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Ταμιευτήρες Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου

4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου 4 o Μάθημα Διάστημα Εμπιστοσύνης του Μέσου Για την εκτίμηση των παραμέτρων ενός πληθυσμού (όπως η μέση τιμή ή η διασπορά), χρησιμοποιούνται συνήθως δύο μέθοδοι εκτίμησης. Η πρώτη ονομάζεται σημειακή εκτίμηση.

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Αδρανή 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% Ποσοστό % 4,00% 2,00% 0,00% εβδοµάδες

ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Αδρανή 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% Ποσοστό % 4,00% 2,00% 0,00% εβδοµάδες ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Ένα σύνολο διαδοχικών δεδοµένων αποτελεί µια σειρά. εδοµένα που σχηµατίζουν σειρές προέρχονται γενικά από την καταγραφή της τιµής µιας µεταβλητής κατά την εξέλιξή της. Χρονοσειρά είναι η καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί μας ενδιαφέρει; Αντιπλημμυρική προστασία. Παροχή νερού ύδρευση άρδευση

Γιατί μας ενδιαφέρει; Αντιπλημμυρική προστασία. Παροχή νερού ύδρευση άρδευση Ζαΐμης Γεώργιος Γιατί μας ενδιαφέρει; Αντιπλημμυρική προστασία Παροχή νερού ύδρευση άρδευση Πλημμύρες Ζημίες σε αγαθά Απώλειες ανθρώπινης ζωής Αρχικά εμπειρικοί μέθοδοι Μοναδιαίο υδρογράφημα Συνθετικά

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΠΜΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: Υ ΡΟΜΕΤΕΩΡΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 1999 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ -----------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 5 ο : Απορροή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Επιλέξτε μία σωστή απάντηση σε κάθε ένα από τα παρακάτω ερωτήματα. 1) Η χρήση απόλυτων δεσμεύσεων για τη συνόρθωση ενός τοπογραφικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Παρεμβολή Συναρτήσεις μιας μεταβλητής

Κεφάλαιο Παρεμβολή Συναρτήσεις μιας μεταβλητής Κεφάλαιο 6 Σύνοψη Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι η παρουσίαση της διαδικασίας της παρεμβολής για τις ανάγκες αναπαράστασης καμπύλων γραμμών. Με δεδομένο ότι, η συνηθέστερη τεχνική αντιμετώπισης του προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί μετράμε την διασπορά;

Γιατί μετράμε την διασπορά; Γιατί μετράμε την διασπορά; Παράδειγμα Δίνεται το ετήσιο ποσοστό κέρδους δύο επιχειρήσεων για 6 χρόνια. Αν έπρεπε να επιλέξετε την μετοχή μιας εκ των 2 με κριτήριο το ποσοστό κέρδους αυτά τα 6 χρόνια.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Γένεση Μετακινήσεων

Ανάλυση και Σχεδιασμός Μεταφορών Ι Γένεση Μετακινήσεων Γένεση Μετακινήσεων Παναγιώτης Παπαντωνίου Δρ. Πολιτικός Μηχανικός, Συγκοινωνιολόγος ppapant@upatras.gr Πάτρα, 2017 Εισαγωγή Αθροιστικά μοντέλα (Aggregate models) Ανάλυση κατά ζώνη πόσες μετακινήσεις ξεκινούν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π

(2.8) Η αθροιστική πιθανότητα, που προκύπτει με ολοκλήρωση της παραπάνω σχέσης (2.8), δίνεται από τη σχέση: σ π Κεφάλαιο Στατιστικές έννοιες στην Υδρολογία Τα φυσικά γεγονότα όπως είναι οι βροχοπτώσεις, η εξατμισοδιαπνοή και η απορροή είναι από τη φύση τους τυχαία. Οι παρατηρήσεις μας γι αυτά συχνά περιλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Υδραυλικών Έργων Μάθημα: ΥΔΡΟΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ 4 η Διάλεξη : Δημιουργία Επιφανειών Φώτιος Π. Μάρης, Αναπλ. Καθηγητής Δ.Π.Θ. Πηγή: Τίτλος

Διαβάστε περισσότερα

Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων»

Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων» Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων» Αργυροπούλου Αιμιλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Επιλέξτε μία σωστή απάντηση σε κάθε ένα από τα παρακάτω ερωτήματα. 1) Η χρήση απόλυτων δεσμεύσεων για την συνόρθωση ενός τοπογραφικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα