ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Βελτιστοποίηση επιθεμάτων από μεταλλικά και σύνθετα υλικά. Κουτρουμάνου Αναστασία

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων και Συστημάτων ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Βελτιστοποίηση επιθεμάτων από μεταλλικά και σύνθετα υλικά Κουτρουμάνου Αναστασία Επιβλέπων: Παπανίκος Παρασκευάς Σύρος, Φεβρουάριος 2010

2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η συνεχής ανάπτυξη στον τομέα των αερομεταφορών έχει δημιουργήσει μια συνεχώς αυξανόμενη ζήτηση στην αεροναυπηγική βιομηχανία για βελτίωση της συντήρησης και διατήρηση της αξιοπιστίας των αεροσκαφών. Ο καλύτερος τρόπος για την επίτευξη αυτού του στόχου είναι να βελτιωθούν οι υπάρχουσες τεχνικές επισκευής αλλά και η ανάπτυξη νέων. Η επισκευή με κολλημένα επιθέματα από μεταλλικά ή σύνθετα υλικά έχει εδραιωθεί ως η πιο αποτελεσματική μέθοδος επισκευής βλαβών (λόγω ρωγμών ή διάβρωσης) στην άτρακτο των αεροσκαφών, προσφέροντας πολλά πλεονεκτήματα έναντι των παραδοσιακών μεθόδων των μηχανικά συνδεδεμένων ενισχύσεων. Τέτοια πλεονεκτήματα είναι η βελτίωση της συμπεριφοράς σε κόπωση, μεγαλύτερη αντοχή στη διάβρωση και ελαχιστοποίηση της συγκέντρωσης των τάσεων. Παρόλο που η επισκευή με κολλημένα επιθέματα ξεκίνησε πριν από 35 χρόνια, προς το παρόν τέτοιες επισκευές είναι πιστοποιημένες μόνο για δευτερεύοντα δομικά στοιχεία του αεροσκάφους. Προκειμένου να επεκταθεί η χρήση τους και στα πρωτεύοντα δομικά στοιχεία, χρειάζεται μια ακόμα πιο λεπτομερής γνώση της μηχανικής συμπεριφοράς τους κάτω από διαφορετικά φορτία. Επί του παρόντος, το έργο αυτό πραγματοποιείται κυρίως με δαπανηρά και χρονοβόρα πειραματικά προγράμματα. Το πιο αποτελεσματικό εργαλείο για τον βέλτιστο σχεδιασμό του επιθέματος είναι η αριθμητική ανάλυση καθώς μπορεί να μας δώσει πληροφορίες όχι μόνο για τη μείωση του συντελεστή έντασης των τάσεων στα επισκευασμένα ρηγματωμένα δομικά στοιχεία αλλά και την επίδραση του υλικού και των διαστάσεων του επιθέματος στην ανακατανομή των τάσεων στο δομικό στοιχείο καθώς και στην πιθανή αποκόλληση του επιθέματος. Μεγάλος αριθμός παραμετρικών αναλύσεων μπορεί να πραγματοποιηθεί σε μικρό χρόνο και να περιορίσει έτσι την ανάγκη δαπανηρών πειραματικών προγραμμάτων. Σκοπός της εργασίας Σκοπός της παρούσας διπλωματικής εργασίας είναι η γεωμετρική βελτιστοποίηση επιθεμάτων από μεταλλικά και σύνθετα υλικά όταν χρησιμοποιούνται για την επισκευή ενός ρηγματωμένου απλού δομικού στοιχείου. Αρχικά, παραμετρικές αναλύσεις και αλγόριθμοι γεωμετρικής βελτιστοποίησης χρησιμοποιούνται για να βρεθούν οι βέλτιστες διαστάσεις των επιθεμάτων με κριτήριο την ελαχιστοποίηση του συντελεστή έντασης των τάσεων καθώς και των τάσεων τόσο στο δομικό στοιχείο όσο και στην κόλλα. Στη συνέχεια, εξετάζεται η δυνατότητα βελτιστοποίησης του σχήματος των επιθεμάτων χρησιμοποιώντας αλγόριθμους τοπολογικής βελτιστοποίησης. Τέλος, χρησιμοποιώντας ως σχεδιαστικές παραμέτρους την 1

3 αντοχή της κόλλας, την αντοχή σε κόπωση του δομικού στοιχείου και του επιθέματος καθώς και την ασφαλή διάρκεια ζωής του δομικού στοιχείου σε σχέση με την διάδοση ρωγμών κόπωσης, εκτιμώνται, χρησιμοποιώντας τους αλγόριθμους γεωμετρικής βελτιστοποίησης, οι βέλτιστες διαστάσεις του επιθέματος και υπολογίζεται η διάρκεια ασφαλούς ζωής. Δομή της εργασίας Η εργασία χωρίζεται σε επτά κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποια βασικά στοιχεία για τις επισκευές των αεροσκαφών, ενώ στο δεύτερο κεφάλαιο γίνεται η βιβλιογραφική ανασκόπηση σχετικά με τις επισκευές με κολλημένα επιθέματα. Στο τρίτο κεφάλαιο αναφέρονται οι βασικές αρχές της μηχανικής των θραύσεων και της ανάλυσης ρηγματωμένων κατασκευών με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Οι παραμετρικές αναλύσεις και η γεωμετρική βελτιστοποίηση των επιθεμάτων περιγράφονται στο τέταρτο κεφάλαιο. Στο πέμπτο κεφάλαιο, χρησιμοποιώντας αλγόριθμους τοπολογικής βελτιστοποίησης, υπολογίζεται το βέλτιστο σχήμα των επιθεμάτων, αναλύονται οι αντίστοιχες επισκευές και τα αποτελέσματα συγκρίνονται με αυτά του τέταρτου κεφαλαίου. Στο έκτο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της βελτιστοποίησης χρησιμοποιώντας ως σχεδιαστική παράμετρο και την διάρκεια ζωής σε κόπωση. Τέλος, τα γενικά συμπεράσματα της εργασίας παρουσιάζονται στο έβδομο κεφάλαιο. 2

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σχεδιασμός αεροπορικών κατασκευών Απαιτήσεις για την επισκευή Επισκευή με κολλημένα επιθέματα Σύγκριση σύνθετων και μεταλλικών επιθεμάτων Στόχοι επισκευών...12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ...14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΕΠΙΘΕΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασικές αρχές της μηχανικής των θραύσεων Η έννοια του συντελεστή έντασης των τάσεων Μοντελοποίηση στο ANSYS...24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Παραμετρική ανάλυση μεταλλικών επιθεμάτων Παραμετρική ανάλυση σύνθετων επιθεμάτων Γεωμετρική βελτιστοποίηση στο ANSYS...52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Τοπολογική βελτιστοποίηση στο ANSYS Υπολογισμός βέλτιστου σχήματος επιθέματος Ανάλυση βελτιστοποιημένου επιθέματος...58 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΖΩΗΣ Υπολογισμός της διάρκειας ζωής...62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ...64 ΑΝΑΦΟΡΕΣ...65 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το αεροσκάφος είναι μια πολύπλοκη κατασκευή που αποτελείται από ένα μεγάλο αριθμό δομικών στοιχείων. Για τον σχεδιασμό, συντήρηση και επισκευή αυτών των δομικών στοιχείων είναι αρχικά αναγκαία η ταξινόμησή τους βάσει της σπουδαιότητάς τους για την ασφάλεια του αεροσκάφους. Τα δομικά στοιχεία του αεροσκάφους ταξινομούνται ως εξής [1]: Πρωτεύοντα δομικά στοιχεία (primary structure): τα δομικά στοιχεία που είναι ζωτικής σημασίας για την ασφάλεια του αεροσκάφους. Δευτερεύοντα δομικά στοιχεία (secondary structure): τα δομικά στοιχεία, τα οποία αν αστοχούσαν θα επηρέαζαν τη λειτουργία του αεροσκάφους αλλά δεν θα οδηγούσαν στην απώλειά του. Τριτεύοντα δομικά στοιχεία (tertiary structure): τα δομικά στοιχεία, τα οποία αν αστοχούσαν δεν θα επηρέαζαν σημαντικά τη λειτουργία του αεροσκάφους. Η επιθεώρηση, η αποτίμηση των βλαβών και οι απαιτήσεις για επισκευή διαφέρουν αρκετά ανάμεσα σε αυτά τα δομικά στοιχεία. Ακόμα και σε ένα δομικό στοιχείο, ο τύπος και το μέγεθος της επιτρεπτής βλάβης (και συνεπώς οι αποδεκτές ενέργειες για την επισκευή) μπορούν να ποικίλουν ανάλογα με την επικινδυνότητα της περιοχής που υπέστη βλάβη. 1.1 Σχεδιασμός αεροπορικών κατασκευών Η πιστοποίηση μιας αεροπορικής δομής απαιτεί από την κατασκευή να επιδεικνύει (μέσω πειραμάτων ή/και ανάλυσης) τις παρακάτω δυνατότητες [1]: Στατική αντοχή: - Στο οριακό φορτίο σχεδιασμού (Design Limit Load DLL) δεν παρουσιάζει αστοχία ή μη αποδεκτές παραμορφώσεις. - Στο μέγιστο φορτίο σχεδιασμού (Design Ultimate Load DUL) δεν παρουσιάζει αστοχία αλλά είναι αποδεκτές οι μόνιμες παραμορφώσεις (DUL=DLL X 1.5). Αντοχή σε κόπωση: - Προσέγγιση ασφαλούς διάρκειας ζωής (Safe life approach): Καμία ρωγμή που θα μπορούσε να οδηγήσει σε αστοχία δεν θα πρέπει να εμφανιστεί στο αεροσκάφος κατά τη 4

6 διάρκεια χρήσης του. Αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιήθηκε για το σχεδιασμό των περισσότερων από τα παλιά μαχητικά αεροσκάφη και χρησιμοποιείται ακόμα για τα μαχητικά αεροσκάφη του πολεμικού ναυτικού των ΗΠΑ, όπως είναι τα F-18 και τα ελικόπτερα. - Προσέγγιση ασφαλούς αστοχίας (Fail safe approach): η κατασκευή έχει ανοχή στη βλάβη από τις ρωγμές που μπορεί να εμφανιστούν, αλλά δεν θα μειωθεί η αντοχή κάτω από το αποδεκτό επίπεδο πριν ανιχνευθούν. Αυτή η απαίτηση συναντάται στον σχεδιασμό με πολλαπλές διαδρομές φορτίου (multi-load-path) όπου αν μία διαδρομή φορτίου αστοχήσει, οι υπόλοιπες μπορούν να εξασφαλίσουν την αναγκαία εναπομένουσα αντοχή μέχρι να γίνει αντιληπτή η βλάβη. Αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιείται συνήθως για κατασκευές μεγάλων πολιτικών αεροσκαφών. - Προσέγγιση αργής διάδοσης ρωγμών (Slow crack growth approach): η κατασκευή έχει ανοχή στη βλάβη αφού οι ρωγμές που μπορεί να εμφανιστούν μεγαλώνουν αργά και δεν προκαλούν αστοχία κατά τη διάρκεια ζωής της κατασκευής ή πριν την ανίχνευση από προγραμματισμένη επιθεώρηση (ασφάλεια μέσω επιθεώρησης). Αυτή η προσέγγιση μπορεί να εφαρμοστεί σε κατασκευές με μονή διαδρομή φορτίου, όπου η αστοχία θα ήταν καταστροφική. Ο σχεδιασμός με ανοχή στη βλάβη για κατασκευές με μονή διαδρομή φορτίου είναι βασισμένος στην υποτιθέμενη παρουσία ατελειών σε κρίσιμα σημεία. Γενικές απαιτήσεις για τον σχεδιασμό με ανοχή στη βλάβη: - Η αντοχή δεν θα πέσει κάτω από τα αποδεκτά επίπεδα (τυπικά 1,2ΧDLL) λόγω μιας αντιπροσωπευτικής βλάβης στην κατασκευή, π.χ. προκαλούμενη από ρωγμές λόγω κόπωσης, ή διάβρωσης ή απροσδόκητης μηχανικής επαφής, πριν αυτή ανιχνευθεί. Η κρίσιμη βλάβη θα πρέπει να είναι τέτοιου μεγέθους που να μπορεί να ανιχνευθεί με έναν υψηλό βαθμό πιθανότητας. Οικονομικές απαιτήσεις: - Για τη διάρκεια ζωής του αεροσκάφους, δεν θα εμφανιστούν βλάβες που απαιτούν δαπανηρές επισκευές (π.χ. λόγω διάβρωσης ή κόπωσης). Ουσιωδώς, η πιστοποίηση μιας επισκευής απαιτεί απόδειξη πως η επισκευασμένη κατασκευή είναι εξίσου ικανή να πετάξει όπως η αρχική κατασκευή, πιθανώς καλύπτοντας και το χρόνο που ήδη έχει πετάξει η αρχική κατασκευή. Σύμφωνα με τους τελευταίους πολιτικούς κανονισμούς, FAR , αυτή η απόδειξη θα πρέπει να περιλαμβάνει την ανοχή στη βλάβη της επισκευασμένης κατασκευής, ακόμα και αν η αρχική κατασκευή είχε σχεδιαστεί με την προσέγγιση της ασφαλούς διάρκειας ζωής. 5

7 Προβλήματα με γηρασμένα δομικά στοιχεία Για να ελαχιστοποιηθεί το βάρος, τα μεταλλικά αεροσκάφη στο μεγαλύτερο τους μέρος κατασκευάζονται από κράματα αλουμινίου υψηλής αντοχής. Χρησιμοποιούνται επίσης κράματα από ατσάλι και τιτάνιο αλλά μόνο όπου απαιτείται υψηλότερη μηχανική αντοχή ή υπάρχουν μεγάλες θερμοκρασίες και όταν το μειονέκτημα της αύξησης του βάρους μπορεί να είναι αποδεκτό. Όλες οι μεταλλικές κατασκευές έχουν την προδιάθεση να υποβαθμίζονται από τις ρωγμές και τη διάβρωση κατά τη λειτουργία τους, ιδιαιτέρως όταν η σχεδιαστική, κατασκευαστική ή περιβαλλοντική προστασία είναι ανεπαρκής. Στα αεροσκάφη, οι ρωγμές λόγω κόπωσης μπορεί να είναι μεγαλύτερο πρόβλημα απ ότι είχε αρχικά προβλεφτεί λόγω της έκθεσης σε πιο σκληρή χρήση (μεγαλύτερο φορτίο) από αυτό που αρχικά ήταν αναμενόμενο. Η διάβρωση είναι πρόβλημα σε παλαιοτέρα αεροσκάφη λόγω της χρήσης ευπαθών κραμάτων και μη επαρκών διαδικασιών για την προστασία από τη διάβρωση. Εξαιτίας του περιορισμένου προϋπολογισμού και του κλιμακούμενου κόστους αντικατάστασης, πολλά αεροσκάφη παραμένουν σε λειτουργία έχοντας ξεπεράσει την προγραμματισμένη διάρκεια ζωής τους. Συνεπώς η υποβάθμιση των δομών αποτελεί μεγάλο λειτουργικό και οικονομικό πρόβλημα. Η διάβρωση επιβάλλει πολύ μεγάλο κόστος συντήρησης που επιβαρύνει τα γηρασμένα αεροσκάφη μιας και χρειάζονται πολλές εργατοώρες για την ανίχνευση, αντιμετώπιση και απομάκρυνσή της. Συνεπώς η διάβρωση, παρόλο που δεν είναι τόσο επικίνδυνη στην κατασκευή όσο είναι οι ρωγμές λόγω κόπωσης, μπορεί να καθορίσει την «οικονομική» διάρκεια ζωής του αεροσκάφους. Δυστυχώς, η διαχείριση της διάβρωσης θέτοντας διαστήματα επιθεώρησης δεν είναι πάντα αποτελεσματική εφόσον η τοποθεσία της διάβρωσης και ο ρυθμός ανάπτυξής της είναι δύσκολο να προβλεφθούν. Τα προβλήματα διαχείρισης μπορεί να μειωθούν όταν καταγράφεται ένα ιστορικό εμφάνισης της διάβρωσης για το συγκεκριμένο αεροσκάφος. Η κρυμμένη διάβρωση στις συνδέσεις είναι εξαιρετικά δύσκολο να ανιχνευθεί και πολύ δαπανηρό να αντιμετωπιστεί. Οι ρωγμές μπορεί να δημιουργηθούν από επαναλαμβανόμενα φορτία ή από διάβρωση υπό φορτίο. Οι ρωγμές που οφείλονται στη διάβρωση υπό φορτίο δημιουργούνται σε ευπαθή κράματα (όπως τα κράματα αλουμινίου της σειράς 7000). Οι ρωγμές λόγω κόπωσης δημιουργούνται τοπικά λόγω επαναλαμβανόμενης πλαστικής παραμόρφωσης που προκαλείται από τη διακύμανση του φορτίου. Αυτές οι ρωγμές είναι η μεγαλύτερη απειλή για 6

8 την ακεραιότητα της κατασκευής μιας και αναπτύσσονται κάθετα στη διεύθυνση του εφαρμοζόμενου φορτίου. Οι ρωγμές λόγω ολιγοκυκλικής κόπωσης, που οφείλονται σε μανούβρες και απότομες αλλαγές φορτίου, ξεκινάνε από περιοχές με αυξημένες τάσεις στην επιφάνεια. Αυτές οι υψηλές τάσεις εμφανίζονται εξαιτίας του λανθασμένου σχεδιασμού, ατέλειες του υλικού ή ανεπαρκών διαδικασιών κατασκευής, συμπεριλαμβανομένων εγκοπών και γδαρσιμάτων. Οι ρωγμές αυτές εμφανίζονται κυρίως σε κρίσιμα σημεία της κατασκευής όπως οι οπές μηχανικών συνδέσεων. Η διάδοση αυτών των ρωγμών μπορεί να ελεγχθεί θέτοντας κατάλληλα διαστήματα επιθεώρησης. Η προσέγγιση της ανοχής στη βλάβη, η οποία βασίζεται στην αργή ανάπτυξη της ρωγμής, θεωρεί ότι προϋπάρχουν ρωγμές σε όλες τις κρίσιμες περιοχές του αεροσκάφους και το μέγεθος τους είναι ίσο με το ανιχνεύσιμο μέγεθος με τις διαθέσιμες τεχνικές επιθεώρησης (π.χ. υπέρηχοι). Η προσέγγιση των επιθεωρήσεων μπορεί να μην είναι εφικτή σε ορισμένα παλαιότερα αεροσκάφη. Σε αυτά τα αεροσκάφη υπήρχε η τάση να επιλέγονται κράματα υψηλής αντοχής που μεγιστοποιούσαν την ασφαλή διάρκεια ζωής. Αυτό σημαίνει ότι οι ρωγμές εμφανίζονται αργότερα αλλά διαδίδονται πολύ γρήγορα. Η εκτεταμένη βλάβη, δηλαδή η εμφάνιση πολλών μικρορωγμών σε κατασκευές με πολλαπλές διαδρομές φορτίου, είναι αυτό που απασχολεί ιδιαίτερα για τα γηρασμένα αεροσκάφη. Αυτό οφείλεται στην απώλεια της ικανότητας της κατασκευής να διατηρήσει το απαιτούμενο επίπεδο της εναπομένουσας αντοχής σε περίπτωση αστοχίας μιας από τις διαδρομές φορτίου. Η πολλαπλή βλάβη, δηλαδή εκτεταμένες μικρορωγμές τοπικά σε μια κατασκευή με μονή διαδρομή φορτίου (ή σε ένα από τα στοιχεία μιας κατασκευής με πολλαπλές διαδρομές φορτίου), μπορεί να οδηγήσει σε αφύσικα γρήγορη ανάπτυξη μιας ρωγμής, καθώς οι ρωγμές ενώνονται για να σχηματίσουν μια μεγάλη ρωγμή με αποτέλεσμα την γρήγορη υποβάθμιση της αντοχής. Οι ρωγμές πολυκυκλικής κόπωσης οφείλονται σε υψηλής συχνότητας αεροδυναμικές ή ηχητικές διεγέρσεις της κατασκευής. Διαφέρουν από τις ρωγμές της ολιγοκυκλικής κόπωσης στο γεγονός ότι ο μεγάλος αριθμός κύκλων φόρτισης από τον οποίο καταπονείται η κατασκευή μπορεί να προκαλέσει έναρξη και διάδοση ρωγμής, ακόμα και σε μια περιοχή χωρίς ατέλειες. 7

9 1.2 Απαιτήσεις για την επισκευή Όταν ανιχνεύονται σημαντικές υποβαθμίσεις στην κατασκευή, πρέπει να παρθεί μια απόφαση για την πιθανή επισκευή. Ουσιωδώς, μπορεί να παρθεί μια από τις παρακάτω αποφάσεις: 1. Δεν απαιτείται καμία ενέργεια επισκευής. 2. Απαιτείται αισθητική επισκευή ή επισκευή στεγανοποίησης για τη διόρθωση μικροβλαβών. 3. Απαιτείται επισκευή στην κατασκευή (αν είναι δυνατή), διότι η αντοχή έχει μειωθεί κάτω από τα όρια σχεδιασμού ή υπάρχει η πιθανότητα να μειωθεί μετά από συνεχιζόμενη λειτουργία. 4. Η επισκευή δεν συμφέρει οικονομικά και το δομικό στοιχείο πρέπει να αντικατασταθεί. Γενικά, το σχέδιο που ακολουθείται για την αποκατάσταση της κατασκευής θα πρέπει να είναι το πιο απλό και το λιγότερο παρεμβατικό για την κατασκευή και αυτό που θα μπορέσει να επαναφέρει τη δομική ακεραιότητά της στα απαιτούμενα επίπεδα. Η επισκευή θα πρέπει να επηρεάζει μόνο την περιοχή της βλάβης, χωρίς να δεσμεύει άλλες λειτουργίες του στοιχείου ή της κατασκευής, όπως τις ανοχές στα κινούμενα μέρη, την αεροδυναμική και την ισορροπία. Επιπλέον σημαντικές απαιτήσεις για την υλοποίηση της επισκευής είναι: Απαιτεί τον ελάχιστο χρόνο καθόδου του αεροσκάφους Χρήση εύχρηστων και εύκολα στην αποθήκευση υλικών Αφαίρεση όσο το δυνατόν λιγότερου υγιούς υλικού Ελαχιστοποίηση της υποβάθμισης στη γύρω περιοχή Απαιτούνται μόνο απλές διαδικασίες και εξοπλισμός Οι επισκευές μπορούν να χωριστούν σε μη επιθεματικές (για μικροβλάβες) και σε επιθεματικές (ή ενισχυτικές) για την αποκατάσταση των δομικών δυνατοτήτων του αεροσκάφους. Οι επισκευές με επιθέματα αποκαθιστούν τις διαδρομές φορτίου που αποδυναμώθηκαν ή αφαιρέθηκαν από βλάβη ή ρωγμή, ιδανικά χωρίς να αλλάζει η αρχική κατανομή φορτίου. Οι ενισχύσεις χρησιμοποιούνται για να αντικαταστήσουν την χαμένη αντοχή ή δυσκαμψία (για παράδειγμα μετά από αφαίρεση υλικού λόγω διάβρωσης), για τη διόρθωση σχεδιαστικών λαθών ή για τη βελτίωση της απόδοσης. Η προσέγγιση της επισκευής με επιθέματα που συνιστάται βασίζεται στη χρήση μεταλλικών πλακών, συνήθως του ίδιου κράματος με το αρχικό υλικό. 8

10 Οι επισκευές χωρίς επιθέματα για περιπτώσεις διάβρωσης περιλαμβάνει την αφαίρεση της ορατής βλάβης με τρίψιμο. Οι απλές επισκευές ρωγμών χωρίς επιθέματα περιλαμβάνουν την δημιουργία μια μικρής οπής στην κορυφή της ρωγμής (stop-drilling). Αυτό είναι μόνο προσωρινό και σχετικά αναποτελεσματικό μέτρο, εφόσον είναι δύσκολο να βρεθεί η κορυφή της ρωγμής. Ακόμα κι αν βρεθεί, όμως, συνήθως η ρωγμή συνεχίζει να διαδίδεται λόγω της υψηλής συγκέντρωσης τάσεων. 1.3 Επισκευή με κολλημένα επιθέματα Οι επισκευές που βασίζονται σε μηχανικά συνδεδεμένα μεταλλικά επιθέματα είναι η προτεινόμενη προσέγγιση των οδηγιών των κατασκευαστών, ωστόσο, σε σύγκριση με τα κολλημένα επιθέματα (κυρίως από σύνθετα υλικά) είναι λιγότερο αποτελεσματικά. Για να διευκρινιστεί η ενισχυτική επάρκεια των μηχανικά συνδεδεμένων έναντι των κολλημένων, μια απλή σύγκριση γίνεται μοντελοποιώντας τις επισκευές σαν ισοδύναμους επικαλυπτόμενους συνδέσμους όπως φαίνεται στα σχήματα 1.1 και 1.2 [1]. Αυτά τα διαγράμματα απεικονίζουν επισκευές με επιθέματα σε μια ρηγματωμένη κατασκευή όπου η ρωγμή παρουσιάζεται από το κενό στο χαμηλότερο τμήμα. Στους μηχανικούς συνδέσμους, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.1, τα φορτία μεταφέρονται μεταξύ των στοιχείων του συνδέσμου κυρίως συμπιέζοντας τις εσωτερικές επιφάνειες των οπών σύνδεσης, με αποτέλεσμα την υψηλή συγκέντρωση των τάσεων. Ένα μικρό μέρος του φορτίου μεταβιβάζεται μέσω της διάτμησης στην εξωτερική επιφάνεια των στοιχείων μέσω της τριβής. Οι μηχανικοί σύνδεσμοι είναι γενικά αρκετά ενδοτικοί για αρκετούς λόγους, συμπεριλαμβανομένων: 1) Η απαίτηση για μια ελάχιστη απόσταση των ήλων (συνήθως 3 Χ διάμετρο οπής) έχει ως αποτέλεσμα μια μεγάλη περιοχή χωρίς σύνδεσμο. 2) Οι μεγάλες ανοχές των οπών, όπως είναι αναμενόμενο σε μια επισκευή, επιτρέπουν την κίνηση και περιστροφή των ήλων. 3) Οι υψηλές τάσεις στους ήλους και τις οπές έχουν ως αποτέλεσμα σημαντικές παραμορφώσεις. Η μικρή δυσκαμψία και αποδοτικότητα του επιθέματος του μηχανικού συνδέσμου συμβολίζεται με ένα ελατήριο μεγάλου μήκους στο Σχήμα

11 Σχήμα 1.1: Σχηματική αναπαράσταση παραδοσιακής επισκευής [1] Σχήμα 1.2: Σχηματική αναπαράσταση επισκευής με κολλημένο επίθεμα [1] Ως αποτέλεσμα της χαμηλής ενίσχυσης στη μηχανική επισκευή, τα ρηγματωμένα στοιχεία δεν μπορούν να επισκευαστούν άμεσα με αυτή τη μέθοδο. Γι αυτό το λόγο η ρηγματωμένη περιοχή πρέπει να αφαιρείται πριν την επισκευή και η τρύπα που παραμένει να γεμίζει πριν καλυφθεί με το επίθεμα ενίσχυσης. Σε σχετικά λεπτά στοιχεία η αφαίρεση των ρωγμών είναι δαπανηρή και χρονοβόρα απαίτηση και πολλές φορές δεν είναι πρακτική για την επισκευή. Επιπλέον, η διάτρηση νέων οπών μπορεί να προκαλέσει βλάβη σε άλλα στοιχεία (π.χ. καλώδια) όπως επίσης και να εισάγει ρινίσματα στην κατασκευή. Σε αντίθεση με τους μηχανικούς συνδέσμους, στην επισκευή με κολλημένα επιθέματα, το φορτίο μεταφέρεται μέσω της διάτμησης πάνω από την επιφάνεια του στοιχείου. Εξαιτίας της μεγάλης περιοχής για τη μεταφορά του φορτίου, η οποία εκτείνεται μέχρι το κενό (ρωγμή), ο κολλημένος σύνδεσμος είναι ουσιαστικά πιο δύσκαμπτος από το μηχανικό σύνδεσμο. Αυτό συμβαίνει παρ όλη τη χαμηλή δυσκαμψία της κόλλας σε σύγκριση με τους μεταλλικούς ήλους. Συνεπώς, όπως φαίνεται από το ελατήριο μικρού μήκους στο Σχήμα 1.2, οι κολλημένοι σύνδεσμοι παρέχουν μια πολύ δύσκαμπτη άρα και επαρκή ενίσχυση. Αυτό ελαχιστοποιεί το άνοιγμα του κενού κατά συνέπεια και τον συντελεστή έντασης των τάσεων στην περίπτωση που χρησιμοποιείται επίθεμα σε μια ρηγματωμένη κατασκευή. 10

12 1.4 Σύγκριση σύνθετων και μεταλλικών επιθεμάτων Τα πλεονεκτήματα της χρήσης των σύνθετων υλικών από ίνες γραφίτη ή βορίου για τα επιθέματα όταν συγκρίνονται με μεταλλικά υλικά περιλαμβάνουν: Υψηλής κατευθυντικότητας δυσκαμψία, η οποία επιτρέπει τη χρήση λεπτού επιθέματος (σημαντικό για εξωτερικές επισκευές) και επιτρέπει να εφαρμοστεί η ενίσχυση μόνο στα επιθυμητά σημεία. Υψηλή αντοχή σε συνθήκες κόπωσης, το οποίο ελαχιστοποιεί τον κίνδυνο να αστοχήσει το επίθεμα ακόμα και σε αρκετά υψηλά επίπεδα τάσης στην αρχική μεταλλική κατασκευή. Χαμηλή πυκνότητα. Ευελιξία που επιτρέπει την χαμηλού κόστους κατασκευή των επιθεμάτων με πολύπλοκο σχήμα. Άλλο ένα πλεονέκτημα των σύνθετων υλικών είναι πώς η κατεργασία της επιφάνειας πριν εφαρμοστεί το επίθεμα για τη συγκόλληση είναι λιγότερο απαιτητική από αυτή που απαιτούν τα μεταλλικά επιθέματα. Στις περισσότερες επισκευές, η χρήση μονοκατευθυντικών επιθεμάτων είναι καταλληλότερη μιας και προσφέρουν την υψηλότερη ενίσχυση στην διεύθυνση του φορτίου, και ελαχιστοποιείται η ανεπιθύμητη δυσκαμψία στις άλλες κατευθύνσεις. Ωστόσο, σε μερικές εφαρμογές όπου υπάρχουν υψηλές διαξονικές τάσεις ή όπου υπάρχει περίπτωση η ρωγμή να αλλάξει προσανατολισμό, μπορεί να είναι επιθυμητό να έχουμε εγκάρσια ή/και διατμητική ενίσχυση. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας κατάλληλο αριθμό στρώσεων κλίσης ±45 και 90. Το κύριο μειονέκτημα της χρήσης σύνθετων υλικών ως επιθέματα είναι η μεγάλη διαφορά στη θερμική διαστολή του σύνθετου και του μετάλλου. Αυτό μπορεί να οδηγήσει σε μεγάλες παραμένουσες τάσεις και παραμορφώσεις μετά την κόλληση. Τα τελευταία χρόνια αυτό έχει λυθεί με την ανάπτυξη των επιθεμάτων GLARE για επισκευές σε λεπτές αεροπορικές δομές. Το GLARE είναι πολυστρωματικό υλικό αποτελούμενο από στρώσεις κράματος αλουμινίου και σύνθετο υλικό ενισχυμένο με ίνες γυαλιού. Το GLARE έχει περίπου την ίδια θερμική διαστολή με το αλουμίνιο και συγχρόνως παρουσιάζει μεγάλη αντίσταση στη διάδοση ρωγμών. Οι ίνες γυαλιού γεφυρώνουν όποιες ρωγμές λόγω κόπωσης μπορεί να αναπτυχθούν στις μεταλλικές στρώσεις. 11

13 1.5 Στόχοι επισκευών Οι επισκευές με κολλημένα σύνθετα υλικά μπορεί να θεωρηθούν ως χαμηλού κόστους μέθοδοι για επισκευή, αύξηση αντοχής ή αναβάθμιση ανεπαρκών μεταλλικών κατασκευών. Πιθανές εφαρμογές των σύνθετων επιθεμάτων είναι: Μείωση των συντελεστών έντασης των τάσεων: - σε περιοχές με ρωγμές λόγω κόπωσης - σε περιοχές με ρωγμές λόγω διάβρωσης υπό φορτίο - για να αυξηθεί η ανοχή στη βλάβη σε κατασκευές που σχεδιάστηκαν με την προσέγγιση της ασφαλούς διάρκειας ζωής ή σε κατασκευές με πολλαπλή βλάβη Επαναφορά αντοχής και δυσκαμψίας: - μετά από αφαίρεση βλάβης λόγω διάβρωσης - μετά από αφαίρεση ατελειών - μετά από επανασχηματισμό για την ελαχιστοποίηση της συγκέντρωσης των τάσεων - μετά από αστοχία μιας διαδρομής φορτίου σε μια κατασκευή με πολλαπλές διαδρομές φορτίου Ενίσχυση μη καλώς σχεδιασμένων περιοχών: - για να μειωθεί η συγκέντρωση των τάσεων - για να μειωθεί η δευτερεύουσα κάμψη - για να μειωθούν οι ταλαντώσεις Για να τονιστούν τα πλεονεκτήματα της χρήσης των επισκευών με κολλημένα επιθέματα από σύνθετα υλικά έχουν πραγματοποιηθεί πολλά πειραματικά προγράμματα στη βιβλιογραφία. Στο Σχήμα 1.3 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα από τεστ διάδοσης ρωγμών κόπωσης σε δύο επισκευές, μια μηχανική και μια με επίθεμα από σύνθετο υλικό. Από το Σχήμα 1.3 φαίνεται πως το μηχανικά προσδεμένο μεταλλικό επίθεμα παρέχει μία μάλλον φτωχή ενίσχυση μιας και υπάρχει ελάχιστη μείωση στο ρυθμό διάδοσης της ρωγμής. Φαίνεται επίσης από το σχήμα πως όταν η ρωγμή βγει στην επιφάνεια κάτω από το επίθεμα, μεγαλώνει πολύ γρήγορα. Αντιθέτως, το κολλημένο επίθεμα από σύνθετο υλικό φαίνεται να μειώνει το ρυθμό διάδοσης της ρωγμής σημαντικά, ακόμα και όταν η ρωγμή βγει στην επιφάνεια κάτω από το επίθεμα. Βασιζόμενοι σε αυτές τις παρατηρήσεις και σε προηγούμενες αναφορές, τα πλεονεκτήματα των επισκευών με κολλημένα επιθέματα από σύνθετα υλικά για ρωγμές λόγω κόπωσης συνοψίζονται στο Σχήμα

14 Σχήμα 1.3: Σύγκριση της διάδοσης ρωγμής κόπωσης μεταξύ (a) της παραδοσιακής επισκευής και (b) της επισκευής με σύνθετο επίθεμα [1] Σχήμα 1.4: Μειονεκτήματα των παραδοσιακών επισκευών και πλεονεκτήματα των επισκευών με σύνθετο επίθεμα [1] 13

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται κάποιες από τις μελέτες που έχουν γίνει σχετικά με την ανάλυση επιθεμάτων και τις προσπάθειες γεωμετρικής βελτιστοποίησής τους. Πρέπει να τονιστεί ότι οι μελέτες αυτές είναι πάρα πολλές και παρουσιάζονται μόνο αυτές που έχουν περισσότερη σχέση με την παρούσα διπλωματική. Το Σχήμα 2.1 παρουσιάζει τις μορφές αστοχίας που μπορούν να συμβούν κατά την επισκευή μιας ρωγμής της ατράκτου με κολλημένο επίθεμα. Οι μορφές αστοχίας μπορεί να είναι οι εξής: διάδοση της ρωγμής, αποκόλληση του επιθέματος και ο σχηματισμός νέων ρωγμών κόπωσης στην άτρακτο, στις άκρες του επιθέματος. Η πιο συχνή μορφή αστοχίας που συναντάμε είναι η διάδοση της ρωγμής. Σχεδόν της ίδιας σπουδαιότητας είναι και η αποκόλληση του επιθέματος, εφόσον αυτή αυξάνει την πιθανότητα διάδοσης της ρωγμής, μειώνοντας την αποτελεσματική περιοχή του επιθέματος καθώς λιγότερο φορτίο μεταφέρεται από την ρηγματωμένη περιοχή στο επίθεμα. Η αποκόλληση του επιθέματος οφείλεται κυρίως στην αυξημένη διατμητική τάση στην κόλλα. Στο Σχήμα 2.2 φαίνεται σχηματικά η κατανομή των διατμητικών τάσεων. Όπως παρατηρούμε οι τάσεις μεγιστοποιούνται και στις δύο πλευρές της ρωγμής αλλά και στις άκρες του επιθέματος. Μία συνήθης εφαρμογή για τη μείωση της τάσης στις άκρες του επιθέματος είναι το επίθεμα να έχει κωνική κλίση στις άκρες του. Σχήμα 2.1: Σχηματική απεικόνιση των μορφών αστοχίας επισκευής με κολλημένο επίθεμα [2] 14

16 Σχήμα 2.2: Σχηματική απεικόνιση της κατανομής των διατμητικών τάσεων σε επισκευή με κολλημένο επίθεμα [2] Μέχρι τώρα πολύ λίγοι έχουν μελετήσει την αποκόλληση επιθεμάτων από σύνθετα υλικά στις επισκευές με συγκόλληση. Ο Naboulsi και οι συνεργάτες του σε μια σειρά από εργασίες [3-5] χρησιμοποίησαν την τεχνική των τριών στρώσεων (μοντέλα διδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων) καθώς και πειραματικές μελέτες ώστε να διερευνήσουν την επίδραση αποκολλήσεων ποικίλων μεγεθών και σε ποικίλες θέσεις στη διάδοση ρωγμών κόπωσης καθώς και στη διάρκεια ζωής της επισκευασμένης κατασκευής. Τα αποτελέσματα των ερευνών τους έδειξαν μια καθαρή μεταβλητότητα στη διάρκεια ζωής σε κόπωση και στον συντελεστή έντασης της τάσης σε σχέση με τη θέση και το μέγεθος της αποκόλλησης. Οι Megueni et al. [6] και οι Quinas et al. [7] χρησιμοποίησαν ανάλυση πεπερασμένων στοιχείων για να υπολογίσουν το συντελεστή έντασης της τάσης των ρωγμών που επισκευάζονται με κολλημένα επιθέματα από σύνθετα υλικά λαμβάνοντας υπ όψιν προϋπάρχουσες αποκολλήσεις. Βρήκαν επίσης πως η παρουσία της αποκόλλησης παρουσιάζει αξιοσημείωτη αύξηση του συντελεστή έντασης της τάσης. Επομένως από τις παραπάνω μελέτες συμπεραίνουμε ότι η παρουσία αποκόλλησης επηρεάζει σημαντικά την αποτελεσματικότητα της επισκευής. Τα αποτελέσματα αυτά επιβεβαιώθηκαν και από τις μελέτες [8-9] στις οποίες έγινε ανάλυση της αποκόλλησης συναρτήσει του φορτίου. Βρέθηκε ότι το πάχος του επιθέματος επηρεάζει την περιοχή της έναρξης της αποκόλλησης. Σε σχέση με τα παραπάνω, σημαντική είναι και η μηχανική συμπεριφορά της κόλλας. Στα Σχήματα 2.3 και 2.4 παρουσιάζονται η διατμητική αντοχή και το μέτρο διάτμησης διαφόρων τύπων κόλλας που χρησιμοποιούνται στην αεροπορική βιομηχανία [10]. Η διατμητική αντοχή κυμαίνεται από περίπου MPa για θερμοκρασία δωματίου χωρίς υγρασία (RTD) ενώ 15

17 μειώνεται δραματικά σε συνθήκες υψηλής θερμοκρασίας (ETD) και υψηλής θερμοκρασίας με μεγάλη υγρασία (ETW). Το μέτρο διάτμησης κυμαίνεται από περίπου 0,6-1 GPa για θερμοκρασία δωματίου χωρίς υγρασία (RTD) ενώ μειώνεται δραματικά στις άλλες συνθήκες. Τυπικά διαγράμματα διατμητικής τάσης γωνιακής παραμόρφωσης για την κόλλα FM73 παρουσιάζονται στο Σχήμα 2.5. Σχήμα 2.3: Διατμητική αντοχή για διάφορους τύπους κόλλας [10] Σχήμα 2.4: Μέτρο διάτμησης για διάφορους τύπους κόλλας [10] 16

18 Σχήμα 2.5 Τυπικές καμπύλες τάσης παραμόρφωσης για την κόλλα FM73 [10] Πρόσφατα, στις εργασίες [11-12] μελετήθηκε η επίδραση διαφόρων γεωμετρικών παραμέτρων του επιθέματος καθώς και η δυσκαμψία της κόλλας στη μηχανική συμπεριφορά της επισκευής τόσο για ρηγματωμένες πλάκες όσο και για πλάκες που περιέχουν εγκοπές. Βρέθηκε ότι ο κύριος παράγοντας που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον σχεδιασμό ενός επιθέματος είναι το πάχος του και ότι το μεταλλικό επίθεμα οδηγεί σε τιμές του συντελεστή έντασης των τάσεων κατά 30% μεγαλύτερες από το σύνθετο επίθεμα. Ο Duong [13] μελέτησε το κατά πόσο προσεγγιστικές αναλυτικές λύσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αποτιμηθεί η μηχανική συμπεριφορά της επισκευής παίρνοντας υπόψη και τα θερμικά φορτία κατά την κόλληση. Η εργασία έδειξε ότι οι αναλυτικές λύσεις δίνουν πολύ καλά αποτελέσματα σε σχέση με τα τρισδιάστατα μοντέλα πεπερασμένων στοιχείων, μόνο όμως όταν το επίθεμα είναι μικρό σε σχέση με το δομικό στοιχείο που επισκευάζεται. Εντούτοις, στην εργασία [14] παρουσιάστηκε για πρώτη φορά ότι υπάρχει μεγάλη διαφορά μεταξύ των αναλυτικών λύσεων και των πειραματικών αποτελεσμάτων για σύνθετα επιθέματα. Στην εργασία αυτή προτείνεται ότι το πιο αποτελεσματικό επίθεμα είναι το GLARE. Τέλος, στην πολύ πρόσφατη εργασία [15] γίνεται μια από τις λίγες συστηματικές μελέτες για την επίδραση διαφόρων γεωμετρικών παραμέτρων και ιδιοτήτων της κόλλας στις τιμές του συντελεστή έντασης των τάσεων για ένα ορθογώνιο επίθεμα CFRP. Εντούτοις, η προσπάθεια βελτιστοποίησης δεν είναι επαρκής καθώς δεν λαμβάνονται υπόψη οι διαστάσεις του επιθέματος. 17

19 Είναι φανερό από την βιβλιογραφική ανασκόπηση ότι δεν έχει υπάρξει μια συστηματική ερευνητική προσπάθεια για την βελτιστοποίηση των επιθεμάτων παίρνοντας υπόψη όχι μόνο τη μείωση του συντελεστή έντασης των τάσεων αλλά και το αποτέλεσμα της επισκευής στην ανακατανομή των τάσεων στο ρηγματωμένο δίσκο καθώς και στην ανάπτυξη των διατμητικών τάσεων στην κόλλα. Η διπλωματική αυτή εργασία είναι ένα πρώτο βήμα στη διερεύνηση της επίδρασης της γεωμετρίας του επιθέματος καθώς και του πάχους της κόλλας στο εντατικό πεδίο της περιοχής της επισκευής ενός απλού δομικού στοιχείου και της γεωμετρικής βελτιστοποίησης του επιθέματος. Επιπροσθέτως, εξετάζεται και η επίδραση του επιθέματος στη διάδοση ρωγμών κόπωσης και υπολογίζεται η διάρκεια ζωής του επισκευασμένου δομικού στοιχείου. 18

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΕΠΙΘΕΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται ο τρόπος μοντελοποίησης του επιθέματος με τη μέθοδο των Πεπερασμένων Στοιχείων. Αρχικά αναφέρονται κάποιες βασικές αρχές της Μηχανικής των Θραύσεων καθώς και ο τρόπος υπολογισμού του συντελεστή έντασης των τάσεων. 3.1 Βασικές αρχές της μηχανικής των θραύσεων Ο σχεδιασμός των δομικών στοιχείων με βάση τις αρχές της αντοχής των υλικών, δηλαδή, η μέγιστη τάση να είναι μικρότερη από την επιτρεπόμενη, να αποφεύγονται συγκεντρώσεις τάσεων και μεγάλες παραμορφώσεις, να μη δημιουργούνται φαινόμενα λυγισμού κλπ, είχαν ως αποτέλεσμα τη δημιουργία βαριών κατασκευών με μεγάλους συντελεστές ασφάλειας. Παρόλα αυτά υπήρξαν καταστροφικά δυστυχήματα που κόστισαν ανθρώπινες ζωές. Μερικά από αυτά οφείλονταν σε μη επαρκή σχεδιασμό. Όμως με το χρόνο φάνηκε ότι η ύπαρξη ατελειών στο υλικό θα μπορούσε να προκαλέσει τη δημιουργία μικρορωγμών, οι οποίες εξελίσσονται με το χρόνο και μπορεί να οδηγήσουν σε οριστική αστοχία του δομικού στοιχείου. Η πρόληψη τέτοιων ατελειών, π.χ. με βελτιωμένες τεχνικές παραγωγής, μπορεί μεν να μειώσει, όχι όμως και να αποκλείσει τελείως τέτοια φαινόμενα αστοχίας. Οι αλλαγές που επήλθαν στο σχεδιασμό με την ανάπτυξη της μηχανικής των θραύσεων και των μη καταστροφικών μεθόδων ελέγχου των υλικών ουσιαστικά αφορούν στη διαλεύκανση του γεγονότος, ότι οι ατέλειες σε ένα δομικό στοιχείο μπορούν να αντιμετωπιστούν αποτελεσματικά. Σήμερα σε ένα δομικό στοιχείο επιτρέπονται μέχρι ενός βαθμού ατέλειες (βλάβες ή ρωγμές), αρκεί να γίνεται, μέσω συντήρησης της κατασκευής, συνεχής παρακολούθηση της εξέλιξής τους. Η Μηχανική των Θραύσεων βασικά έχει το ίδιο αντικείμενο με αυτό της Αντοχής των Υλικών. Η διαφορά βρίσκεται στο ότι στη Μηχανική των Θραύσεων το υπό διερεύνηση σώμα εμπεριέχει ρωγμές. Η Μηχανική των Θραύσεων ασχολείται κυρίως με την αναζήτηση των αιτιών δημιουργίας μικρορωγμών, της εξέλιξής τους σε μακρορωγμές και τη διατύπωση θεμελιωδών αρχών που αφορούν στη συμπεριφορά ρωγμών υπό την επίδραση εξωτερικών καταπονήσεων. Σημαντικό ρόλο στη συμπεριφορά μιας ρωγμής παίζει η κατανόηση των βασικών μηχανισμών θραύσης, ο καθορισμός των κύριων παραμέτρων θραύσης του υλικού 19

21 και η ακριβής εκτίμηση των φορτίων λειτουργίας του κατασκευαστικού συγκροτήματος. Στις περιπτώσεις που τα εξωτερικά φορτία μεταβάλλονται με το χρόνο, ο κύριος στόχος επικεντρώνεται στον καθορισμό κανόνων πρόβλεψης της διάδοσης των ρωγμών και στην εκτίμηση της διάρκειας ζωής της κατασκευής. Στο Σχήμα 3.1 [16] παριστάνεται σχηματικά η διάδοση μιας ρωγμής με το χρόνο. Κατά τη συντήρηση (χρόνος t = 0 ) έστω ότι διαπιστώθηκε ρωγμή μήκους a 0. Το ερώτημα που απασχολεί και ζητά απάντηση είναι σε ποιο χρόνο t B η ρωγμή αυτή θα εξελιχθεί σε κρίσιμη ρωγμή a cr, οπότε το δομικό στοιχείο θα αστοχήσει στις συνθήκες λειτουργίας του. Με άλλα λόγια το δομικό στοιχείο μπορεί μεν να παρουσιάζει ρωγμές ή ατέλειες, όμως αυτές δεν πρέπει να διαδοθούν, ώστε να οδηγήσουν σε καταστροφικές καταστάσεις. Η συντήρηση της κατασκευής έχει ακριβώς ως στόχο να την προφυλάξει, μέσω έγκαιρης διάγνωσης, από καταστροφές λόγω θραύσης. Σχήμα 3.1: Τυπική διάδοση ρωγμής με το χρόνο Από τα παραπάνω συνάγεται το συμπέρασμα, ότι ένας από τους στόχους της Μηχανικής των Θραύσεων είναι να διατυπώσει κριτήρια, ώστε ο μηχανικός να μπορεί να προβλέψει κρίσιμες καταστάσεις που θα οδηγήσουν σε καταστροφική αστοχία και να του προσφέρει εργαλεία για να μπορεί να σχεδιάζει δομές ικανές να παραλάβουν με ασφάλεια τα φορτία λειτουργίας τους. Η Μηχανική των Θραύσεων αποτελεί έναν επιστημονικό κλάδο, ο οποίος περιλαμβάνει πολλές επιστημονικές περιοχές, μερικές από τις οποίες περιγράφονται στο παρακάτω Σχήμα

22 Σχήμα 3.2: Συμβολή πολλών επιστημονικών κλάδων στην διατύπωση κανόνων σχεδιασμού 3.2 Η έννοια του συντελεστή έντασης των τάσεων Το εντατικό πεδίο στη γύρω περιοχή μιας ρωγμής μπορεί να περιγραφεί με τη βοήθεια τριών βασικών ειδών καταπόνησης της ρωγμής (Σχήμα 3.3) που οδηγούν σε χαρακτηριστικές παραμορφώσεις της ρωγμής. Κατά το πρώτο είδος καταπόνησης (mode I), η ρωγμή ανοίγει, δηλαδή οι επιφάνειες της ρωγμής μετατοπίζονται κάθετα στο επίπεδο της ρωγμής. Κατά το δεύτερο είδος καταπόνησης (mode II), οι επιφάνειες της ρωγμής ολισθαίνουν η μία πάνω στην άλλη κάθετα στην ακμή της ρωγμής. Κατά το τρίτο είδος καταπόνησης (mode III), οι επιφάνειες της ρωγμής ολισθαίνουν η μία πάνω στην άλλη παράλληλα στην ακμή της ρωγμής. Το εντατικό πεδίο στη γύρω περιοχή μιας ρωγμής μπορεί να εκφραστεί ως εξής: I KI σij = fi ( θ) (mode I) 2π r σ σ II ij III ij KII = fii ( θ) (mode II) (3.1) 2π r KIII = fiii ( θ) (mode III) 2π r Τον συντελεστή K i τον ονομάζουμε συντελεστή έντασης των τάσεων για το είδος καταπόνησης i. Η συνάρτηση fi ( θ ) είναι μια τριγωνομετρική συνάρτηση για το αντίστοιχο είδος καταπόνησης. Κάθε είδος καταπόνησης δημιουργεί στην κορυφή της ρωγμής τασικό πεδίο με ιδιομορφία της τάξεως 1/ έντασης φαίνεται στο Σχήμα 3.4. r. Το τασικό πεδίο για την περίπτωση της επίπεδης 21

23 Σχήμα 3.3: Βασικές μορφές καταπόνησης ρωγμών [17] Σχήμα 3.4: Τασικό πεδίο γύρω από την κορυφή της ρωγμής Ο συντελεστής έντασης των τάσεων για έναν άπειρο δίσκο με κεντρική ρωγμή μήκους 2a σε μονοαξονικό εφελκυσμό (mode I) δίνεται από τη σχέση K = σ πa (3.2) 0 όπου σ 0 η εφαρμοζόμενη τάση. Για την περίπτωση ενός πεπερασμένου πλάτους δίσκου η σχέση αυτή γίνεται K a ay W = σ0 π (3.3) όπου 2W το πλάτος του δίσκου και πεπερασμένου πλάτους. Y a W μια διορθωτική συνάρτηση λόγω του 22

24 Υπολογισμός του SIF σε mode I Το εντατικό πεδίο στην περιοχή της ρωγμής για ένα άπειρο δίσκο που περιέχει μια ρωγμή και υπόκειται σε μονοαξονικό εφελκυσμό κάθετα στο επίπεδο της ρωγμής δίνεται από τις σχέσεις: KI θ θ 3θ σxx ( r, θ) = cos 1 sin sin 2π r KI θ θ 3θ σ yy ( r, θ) = cos 1+ sin sin 2π r KI θ θ 3θ σxy ( r, θ) = cos sin cos 2π r (3.4) και οι αντίστοιχες μετατοπίσεις στην περίπτωση επίπεδης έντασης είναι: KI r θ 1 ν 2 θ u = 2(1 + ν ) cos + sin E 2π 2 1+ ν 2 KI r θ 2 2 θ v = 2(1 + ν ) sin cos E 2π 2 1+ ν 2 (3.5) Η κατακόρυφη μετατόπιση v στα χείλη της ρωγμής ( θ = 180 o ) είναι: KI r vr () = 4 E 2π (3.6) Στο πρόγραμμα ANSYS, καθώς και στα άλλα προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων, η σχέση αυτή χρησιμοποιείται για τον προσεγγιστικό υπολογισμό του συντελεστή έντασης των τάσεων SIF. Συγκεκριμένα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.5, το πρόγραμμα υπολογίζει τις σχετικές κατακόρυφες μετατοπίσεις σε δύο κόμβους (στην περίπτωση συμμετρίας) πάνω στο χείλος της ρωγμής σε διαφορετικές αποστάσεις ( r ) από την κορυφή της ρωγμής. Οι δύο αυτοί κόμβοι καθορίζονται από τον χρήστη. Χρησιμοποιώντας την σχέση (3.6) μπορούμε να υπολογίσουμε δύο διαφορετικές τιμές K I που αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικές αποστάσεις από την κορυφή της ρωγμής. Η «πραγματική» τιμή του SIF υπολογίζεται με γραμμική παρέκταση και υπολογισμό της τιμής για r = 0. 23

25 Σχήμα 3.5: Μεγέθη που χρησιμοποιούνται στο ANSYS για τον υπολογισμό του SIF: (α) με συμμετρία, (β) χωρίς συμμετρία [17] 3.3 Μοντελοποίηση στο ANSYS Η γεωμετρία της επισκευής με κολλημένο επίθεμα μοντελοποιήθηκε χρησιμοποιώντας τη γλώσσα προγραμματισμού του ANSYS. Όλες οι γεωμετρικές παράμετροι της επισκευής θεωρούνται μεταβλητές. Για την μοντελοποίηση του ρηγματωμένου δίσκου, της κόλλας καθώς και του επιθέματος χρησιμοποιήθηκε το τρισδιάστατο στοιχείο SOLID45 του ANSYS, το οποίο φαίνεται στο Σχήμα 3.6. Το στοιχείο έχει οχτώ κόμβους (συνολικά 24 βαθμούς ελευθερίας) και τα δεδομένα εισόδου είναι το μέτρο ελαστικότητας (Ε) και ο λόγος του Poisson. Σε περίπτωση μη γραμμικής συμπεριφοράς, μπορεί να δοθεί και η καμπύλη τάσεων-παραμορφώσεων ως σειρά ευθύγραμμων τμημάτων. Στην περίπτωση του σύνθετου επιθέματος, στο στοιχείο δίνουμε ορθότροπες ιδιότητες. Σχήμα 3.6: Σχηματική αναπαράσταση του SOLID45 στοιχείου του ANSYS [17] 24

26 Επειδή η γεωμετρία που εξετάζουμε (δίσκος με κεντρική ρωγμή) είναι συμμετρική και ως προς τους τρεις άξονες, αρκεί να μοντελοποιηθεί μόνο το 1/8 της κατασκευής, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.7. Η επισκευή που προσομοιώνουμε αποτελείται από τρία τμήματα, δηλαδή, το επίθεμα, την κόλλα και το ρηγματωμένο δίσκο. Φροντίζουμε ώστε στην περιοχή της κορυφής της ρωγμής και στην γενική περιοχή του επιθέματος να έχουμε πυκνότερη διακριτοποίηση. Κατά το πάχος επιλέχθηκαν να χρησιμοποιηθούν 3 στοιχεία στο πάχος του επιθέματος, 1 στοιχείο στο πάχος της κόλλας και 4 στοιχεία στο πάχος του δίσκου, έτσι ώστε να υπολογίσουμε και την κατανομή των τάσεων και των συντελεστών έντασης κατά το πάχος. Τυπικές διακριτοποιήσεις κατά το πάχος φαίνονται στα Σχήματα 3.8 και 3.9. (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 3.7: Δημιουργία του μοντέλου στο ANSYS: (α) επίθεμα, (β) κόλλα, (γ) ρηγματωμένος δίσκος, και (δ) συνολικό μοντέλο Σχήμα 3.8: Λεπτομέρεια του μοντέλου στο άκρο του επιθέματος 25

27 Σχήμα 3.9: Λεπτομέρεια του μοντέλου στην περιοχή της κορυφής της ρωγμής Τυπικές κατανομές των τάσεων στην περιοχή της ρωγμής παρουσιάζονται στο Σχήμα 3.10 (κάτοψη στο επίπεδο της ρωγμής) και στο Σχήμα 3.11 όπου φαίνεται και η παραμόρφωση των χειλέων της ρωγμής και η σημαντική διάτμηση της κόλλας στην περιοχή αυτή. Και στα δύο σχήματα διακρίνεται η μεγάλη συγκέντρωση τάσεων στην κορυφή της ρωγμής λόγω της ιδιομορφίας του εντατικού πεδίου. Επιπλέον, στο σχήμα 3.10 μπορούμε να διακρίνουμε και την μη ομοιόμορφη κατανομή των τάσεων στο πάχος (μικρότερες τάσεις στην πλευρά του επιθέματος), η οποία οδηγεί και σε μικρότερες τιμές του συντελεστή έντασης των τάσεων. Σχήμα 3.10: Τασικό πεδίο στην κορυφή της ρωγμής Εκτός από τον υπολογισμό των SIF, με τη μεθοδολογία που περιγράφηκε στην ενότητα 3.2, σε κάθε ανάλυση υπολογίστηκαν και τα εξής μεγέθη: οι κατακόρυφες μετατοπίσεις, με σκοπό τον υπολογισμό της δυσκαμψίας της επισκευής (Σχήμα 3.12) η κατανομή των ορθών τάσεων στο μη επισκευασμένο τμήμα του δίσκου, με σκοπό να ελέγξουμε την πιθανή αστοχία του δίσκου λόγω κόπωσης (Σχήμα 3.13) η κατανομή των διατμητικών τάσεων στην κόλλα, με σκοπό τον έλεγχο της αστοχίας της κόλλας (Σχήμα 3.14), και η κατανομή των ορθών τάσεων στο επίθεμα, με σκοπό να ελέγξουμε την πιθανή αστοχία του επιθέματος λόγω στατικού φορτίου και λόγω κόπωσης (Σχήμα 3.15). 26

28 Σχήμα 3.11: Παραμόρφωση των χειλέων της ρωγμής Σχήμα 3.12: Κατανομή μετατοπίσεων στην διεύθυνση εφαρμογής του φορτίου 27

29 Σχήμα 3.13: Κατανομή ορθών τάσεων στο μη επισκευασμένο τμήμα του δίσκου Σχήμα 3.14: Κατανομή διατμητικών τάσεων στην κόλλα 28

30 Σχήμα 3.15: Κατανομή ορθών τάσεων στο επίθεμα Έλεγχος της ακρίβειας του μοντέλου Η πιο σημαντική παράμετρος που υπολογίζουμε από το μοντέλο πεπερασμένων στοιχείων είναι η τιμή του συντελεστή έντασης των τάσεων. Συνήθως, στις αναλύσεις με πεπερασμένα στοιχεία ο υπολογισμός του SIF εμπεριέχει σημαντικό σφάλμα λόγω της ιδιομορφίας του τασικού πεδίου στην κορυφή της ρωγμής. Στο σημείο αυτό θα ελέγξουμε την ακρίβεια των αποτελεσμάτων χρησιμοποιώντας έναν δίσκο με κεντρική ρωγμή (χωρίς επίθεμα) για τον οποίο υπάρχει αναλυτική λύση. Η αναλυτική λύση που χρησιμοποιούμε είναι η [16] π a K = σ0 πa sec 2 W (3.7) όπου σ 0 η εφαρμοζόμενη τάση (=100 MPa), a το μισό μήκος της ρωγμής και W το μισό πλάτος του δίσκου (=100mm). Το Σχήμα 3.16 μια τυπική παραμόρφωση ενός μη επισκευασμένου δίσκου. Λόγω της τρισδιάστατης μοντελοποίησης υπολογίζουμε μια κατανομή του SIF κατά πάχος και παρουσιάζουμε την ελάχιστη και μέγιστη τιμή στο Σχήμα Παρατηρούμε ότι οι τιμές του SIF που υπολογίζουμε είναι σε καλή συμφωνία με τις ακριβείς αναλυτικές τιμές. 29

31 Σχήμα 3.16: Τυπική παραμόρφωση ενός μη επισκευασμένου δίσκου 40 SIF [MPa m^0.5] Θεωρητική λύση ΠΣ μέγιστη ΠΣ ελάχιστη Μήκος ρωγμής [mm] Σχήμα 3.17: SIF ως συνάρτηση του μήκους ρωγμής 30

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Η γεωμετρική βελτιστοποίηση των επιθεμάτων από μεταλλικά και σύνθετα υλικά μπορεί να πραγματοποιηθεί με δύο τρόπους. Ο πρώτος τρόπος είναι η παραμετρική μοντελοποίηση της γεωμετρίας στο ANSYS, η επίλυση ενός μεγάλου αριθμού προβλημάτων για διάφορες γεωμετρίες των επιθεμάτων και η επιλογή της γεωμετρίας που οδηγεί σε μικρότερες τιμές του συντελεστή έντασης των τάσεων παίρνοντας υπόψη και το βάρος (όγκο) του επιθέματος. Ο δεύτερος τρόπος είναι η χρησιμοποίηση των αλγορίθμων βελτιστοποίησης του ANSYS με σκοπό την πιο γρήγορη επίλυση του προβλήματος. Όπως αναφέρθηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο θεωρούμε ένα ρηγματωμένο δίσκο, ο οποίος έχει επισκευαστεί και από τις δύο πλευρές του με ένα επίθεμα (Σχήμα 4.1). Οι διαστάσεις του δίσκου θεωρούνται σταθερές ( W = 100 mm, H = 200 mm και το πάχος του T = 3mm). Οι παράμετροι που πιθανόν επηρεάζουν τις τιμές των συντελεστών έντασης των τάσεων είναι το πλάτος του επιθέματος ( w ), το ύψος του επιθέματος ( h ), το πάχος του επιθέματος ( t ) καθώς και το πάχος της κόλλας ( t a ). Η εφαρμοζόμενη τάση θεωρείται σταθερή ( σ 0 = 100 MPa). Σχήμα 4.1: Σχηματική απεικόνιση της επισκευής 31

33 Οι αναλύσεις έγιναν για τρία διαφορετικά μήκη ρωγμών ( a = 10, 20, 30 mm) ενώ οι τιμές των παραμέτρων παρουσιάζονται στον Πίνακα 4.1. Όταν μεταβάλλεται μία παράμετρος, οι άλλες λαμβάνουν τη μέση τιμή που φαίνεται στον Πίνακα. Πίνακας 4.1: Τιμές παραμέτρων Σχεδιαστική παράμετρος Ελάχιστη τιμή Μέση τιμή Μέγιστη τιμή w (mm) a h (mm) t (mm) 0,5 1,5 2,5 t a (mm) 0,05 0,15 0,25 Για να έχουμε πλήρη κατανόηση της επίδρασης του επιθέματος στη μηχανική συμπεριφορά της επισκευής υπολογίστηκαν εκτός από τον συντελεστή έντασης των τάσεων, η κατακόρυφη μετατόπιση (μέτρο της δυσκαμψίας της επισκευής), η μέγιστη ορθή τάση (στη διεύθυνση της φόρτισης) στο ρηγματωμένο δίσκο και στο επίθεμα καθώς και η μέγιστη διατμητική τάση στην κόλλα. Η τιμή της κατακόρυφης μετατόπισης ( v r ) χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί η ανηγμένη δυσκαμψία της επισκευής, δηλαδή E E eff σ H Ev 0 = (4.1) r Το πρόγραμμα ANSYS δεν υπολογίζει την μέγιστη διατμητική τάση αλλά το μέγεθος σint = σ1 σ3 ( σ1, σ 3 η μέγιστη και η ελάχιστη κύρια τάση) που ονομάζει stress intensity. Η μέγιστη διατμητική τάση υπολογίζεται από τη σχέση τ max σ σ σ int = = (4.2) 4.1 Παραμετρική ανάλυση μεταλλικών επιθεμάτων Τα μεταλλικά επιθέματα είναι από αλουμίνιο, ίδιο με αυτό του ρηγματωμένου δίσκου. Ως υλικό του επιθέματος καθώς και του δίσκου θεωρούμε το αεροπορικό κράμα αλουμινίου Al2024 με μέτρο ελαστικότητας E = 70 GPa και λόγο Poisson ν = 0.33 [9]. Το υλικό της 32

34 κόλλας είναι το epoxy film FM-73 με μέτρο ελαστικότητας E = 2.2 GPa και λόγο Poisson ν = 0.35 [9]. Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η τιμή του SIF μεταβάλλεται κατά το πάχος του δίσκου λόγω της παρουσίας του επιθέματος. Η κατανομή της τιμής του SIF κατά το πάχος του δίσκου παρουσιάζεται στο Σχήμα 4.2 για τρία διαφορετικά μήκη ρωγμής και για τις μέσες τιμές των άλλων παραμέτρων (Πίνακας 4.1). Όπως αναμενόταν, η τιμή του SIF είναι μικρότερη στην πλευρά του επιθέματος (ανηγμένο μήκος=1) και μεγαλύτερη στο μέσο του δίσκου. Η διαφορά μεταξύ των δύο αυτών τιμών είναι περίπου 16% για όλα τα μήκη ρωγμών. 6 SIF [MPa m^0.5] 4 2 a=10mm a=20mm a=30mm Ανηγμένο μήκος κατά το πάχος Σχήμα 4.2: Κατανομή του SIF κατά το ανηγμένο πάχος του δίσκου (μεταλλικό επίθεμα) Στα Σχήματα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των παραμετρικών αναλύσεων, δηλαδή η επίδραση των γεωμετρικών παραμέτρων του επιθέματος καθώς και του πάχους της κόλλας στις τιμές του SIF, της δυσκαμψίας, της ορθής τάσης στο δίσκο και της διατμητικής τάσης στην κόλλα. Οι πιο σημαντικές παρατηρήσεις από την ανάλυση των αποτελεσμάτων είναι: Η αύξηση του πλάτους του επιθέματος μειώνει ελαφρά τον συντελεστή έντασης των τάσεων, αυξάνει σημαντικά την δυσκαμψία, μειώνει σημαντικά την ορθή τάση στο δίσκο και επηρεάζει ελάχιστα την διατμητική τάση στην κόλλα. Η αύξηση του ύψους του επιθέματος αυξάνει ελαφρά τον συντελεστή έντασης των τάσεων, αυξάνει σημαντικά την δυσκαμψία, αυξάνει σημαντικά την ορθή τάση στο δίσκο και επηρεάζει ελάχιστα την διατμητική τάση στην κόλλα. 33

35 Η αύξηση του πάχους του επιθέματος μειώνει σημαντικά τον συντελεστή έντασης των τάσεων, αυξάνει σημαντικά την δυσκαμψία, αυξάνει σημαντικά την ορθή τάση στο δίσκο και μειώνει αρχικά την διατμητική τάση στην κόλλα. Η αύξηση του πάχους της κόλλας έχει σημαντική επίδραση μόνο στην διατμητική τάση στην κόλλα. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ξαφνικές αλλαγές στις τιμές των τάσεων γίνονται γιατί η αλλαγή της γεωμετρίας επιφέρει μερικές φορές αλλαγή της θέσης που εμφανίζεται η μέγιστη τάση. 6 SIF [MPa m^0.5]. 4 2 a=10mm a=20mm a=30mm Πλάτος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.3: SIF ως συνάρτηση του πλάτους του μεταλλικού επιθέματος 1,20 Eeff / E 1,15 1,10 a=10mm a=20mm a=30mm 1,05 1, Πλάτος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.4: Ανηγμένη δυσκαμψία ως συνάρτηση του πλάτους του μεταλλικού επιθέματος 34

36 1,25 1,20 σmax / σ0 1,15 1,10 1,05 a=10mm a=20mm a=30mm 1, Πλάτος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.5: Ανηγμένη μέγιστη ορθή τάση ως συνάρτηση του πλάτους του μεταλλικού επιθέματος τmax [MPa] a=10mm 10 a=20mm a=30mm Πλάτος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.6: Μέγιστη διατμητική τάση ως συνάρτηση του πλάτους του μεταλλικού επιθέματος 35

37 6 SIF [MPa m^0.5]. 4 2 a=10mm a=20mm a=30mm Ύψος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.7: SIF ως συνάρτηση του ύψους του μεταλλικού επιθέματος 1,20 Eeff / E 1,15 1,10 a=10mm a=20mm a=30mm 1,05 1, Ύψος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.8: Ανηγμένη δυσκαμψία ως συνάρτηση του ύψους του μεταλλικού επιθέματος 36

38 1,25 1,20 σmax / σ0 1,15 1,10 1,05 a=10mm a=20mm a=30mm 1, Ύψος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.9: Ανηγμένη μέγιστη ορθή τάση ως συνάρτηση του ύψους του μεταλλικού επιθέματος 50 τmax [MPa] a=10mm a=20mm a=30mm Ύψος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.10: Μέγιστη διατμητική τάση ως συνάρτηση του ύψους του μεταλλικού επιθέματος 37

39 8 SIF [MPa m^0.5] a=10mm a=20mm a=30mm Πάχος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.11: SIF ως συνάρτηση του πάχους του μεταλλικού επιθέματος 1,20 Eeff / E 1,15 1,10 a=10mm a=20mm a=30mm 1,05 1, Πάχος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.12: Ανηγμένη δυσκαμψία ως συνάρτηση του πάχους του μεταλλικού επιθέματος 38

40 1,25 1,20 σmax / σ0 1,15 1,10 a=10mm 1,05 a=20mm a=30mm 1, Πάχος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.13: Ανηγμένη μέγιστη ορθή τάση ως συνάρτηση του πάχους του μεταλλικού επιθέματος τmax [MPa] a=10mm 10 a=20mm a=30mm Πάχος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.14: Μέγιστη διατμητική τάση ως συνάρτηση του πάχους του μεταλλικού επιθέματος 39

41 8 SIF [MPa m^0.5] a=10mm a=20mm a=30mm 0 0,0 0,1 0,2 0,3 Πάχος κόλλας [mm] Σχήμα 4.15: SIF ως συνάρτηση του πάχους της κόλλας για το μεταλλικό επίθεμα 1,20 Eeff / E 1,15 1,10 a=10mm a=20mm a=30mm 1,05 1,00 0 0,1 0,2 0,3 Πάχος κόλλας [mm] Σχήμα 4.16: Ανηγμένη δυσκαμψία ως συνάρτηση του πάχους της κόλλας για το μεταλλικό επίθεμα 40

42 1,25 1,20 σmax / σ0 1,15 1,10 1,05 a=10mm a=20mm a=30mm 1,00 0 0,1 0,2 0,3 Πάχος κόλλας [mm] Σχήμα 4.17: Ανηγμένη μέγιστη ορθή τάση ως συνάρτηση του πάχους της κόλλας για το μεταλλικό επίθεμα 50 τmax [MPa] a=10mm a=20mm a=30mm 0 0 0,1 0,2 0,3 Πάχος κόλλας [mm] Σχήμα 4.18: Μέγιστη διατμητική τάση ως συνάρτηση του πάχους της κόλλας για το μεταλλικό επίθεμα 41

43 Τα παραπάνω αποτελέσματα δεν αρκούν για την επιλογή κατάλληλου επιθέματος. Σημαντική παράμετρος είναι και το βάρος της επισκευής που καθορίζεται άμεσα από τον όγκο του επιθέματος. Το Σχήμα 4.19 δείχνει συνοπτικά τα αποτελέσματα σε σχέση με τον όγκο του επιθέματος. Είναι φανερό ότι η κατάλληλη επιλογή είναι αυτή που ελαχιστοποιεί και τον όγκο και την τιμή του SIF. Τα αποτελέσματα δείχνουν ότι αυτό γίνεται με την ελαχιστοποίηση του ύψους του επιθέματος (=10mm) που αντιστοιχεί σε όγκο 750 mm 3 και SIF=4 MPam 1/2. 8 SIF [MPa m^0.5] 6 4 a=10mm 2 a=20mm a=30mm Όγκος επιθέματος [mm^3] Σχήμα 4.19: SIF ως συνάρτηση του όγκου του μεταλλικού επιθέματος 4.2 Παραμετρική ανάλυση σύνθετων επιθεμάτων Τα σύνθετα επιθέματα είναι από CFRP με τις εξής ιδιότητες [9]: E xx = 168 GPa, E yy = E = 10 GPa, G = G = 8 GPa, G = 4 GPa, ν = ν = 0.02 και ν = Η zz xy xz yz xy xz yz διεύθυνση x αντιστοιχεί στην διεύθυνση των ινών στο τοπικό σύστημα συντεταγμένων του υλικού και είναι κάθετη στο επίπεδο της ρωγμής. Παρόμοια με το μεταλλικό επίθεμα εξετάζουμε αρχικά την κατανομή του SIF κατά το πάχος του επιθέματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα Παρατηρούμε την ίδια κατανομή όπως και με το μεταλλικό επίθεμα, με τη διαφορά ότι οι τιμές του SIF είναι μικρότερες (περίπου κατά 40%) ενώ η διαφορά μεταξύ της μέγιστης και της ελάχιστης τιμής είναι το ίδιο με τα μεταλλικά επιθέματα (περίπου 16%). 42

44 SIF [MPa m^0.5] a=10mm a=20mm a=30mm Ανηγμένο μήκος κατά το πάχος Σχήμα 4.20: Κατανομή του SIF κατά το ανηγμένο πάχος του δίσκου (σύνθετο επίθεμα) Στα Σχήματα παρουσιάζονται τα αποτελέσματα των παραμετρικών αναλύσεων για τα σύνθετα επιθέματα. Σε γενικές γραμμές τα συμπεράσματα είναι παρόμοια με αυτά των μεταλλικών επιθεμάτων. Σε σχέση με τον όγκο δείχνουν ότι η βέλτιστη επιλογή γίνεται με την ελαχιστοποίηση του ύψους του επιθέματος (=10mm) που αντιστοιχεί σε όγκο 750 mm 3 και SIF=2,6 MPam 1/2. 43

45 6 SIF [MPa m^0.5] 4 2 a=10mm a=20mm a=30mm Πλάτος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.21: SIF ως συνάρτηση του πλάτους του σύνθετου επιθέματος 1,20 1,15 Eeff / E 1,10 1,05 a=10mm a=20mm a=30mm 1, Πλάτος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.22: Ανηγμένη δυσκαμψία ως συνάρτηση του πλάτους του σύνθετου επιθέματος 44

46 σmax / σ0 1,35 1,30 1,25 1,20 1,15 1,10 1,05 a=10mm a=20mm a=30mm 1, Πλάτος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.23: Ανηγμένη μέγιστη ορθή τάση ως συνάρτηση του πλάτους του σύνθετου επιθέματος 50 τmax [MPa] a=10mm a=20mm a=30mm Πλάτος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.24: Μέγιστη διατμητική τάση ως συνάρτηση του πλάτους του σύνθετου επιθέματος 45

47 SIF [MPa m^0.5] a=10mm a=20mm a=30mm Ύψος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.25: SIF ως συνάρτηση του ύψους του σύνθετου επιθέματος 1,25 Eeff / E 1,20 1,15 1,10 a=10mm a=20mm a=30mm 1,05 1, Ύψος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.26: Ανηγμένη δυσκαμψία ως συνάρτηση του ύψους του σύνθετου επιθέματος 46

48 1,40 1,35 1,30 σmax / σ0 1,25 1,20 1,15 a=10mm 1,10 a=20mm 1,05 a=30mm 1, Ύψος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.27: Ανηγμένη μέγιστη ορθή τάση ως συνάρτηση του ύψους του σύνθετου επιθέματος 50 τmax [MPa] a=10mm a=20mm a=30mm Ύψος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.28: Μέγιστη διατμητική τάση ως συνάρτηση του ύψους του σύνθετου επιθέματος 47

49 8 SIF [MPa m^0.5] a=10mm a=20mm a=30mm Πάχος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.29: SIF ως συνάρτηση του πάχους του σύνθετου επιθέματος 1,20 1,15 Eeff / E 1,10 a=10mm 1,05 a=20mm a=30mm 1, Πάχος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.30: Ανηγμένη δυσκαμψία ως συνάρτηση του πάχους του σύνθετου επιθέματος 48

50 1,25 1,20 σmax / σ0 1,15 1,10 1,05 a=10mm a=20mm a=30mm 1, Πάχος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.31: Ανηγμένη μέγιστη ορθή τάση ως συνάρτηση του πάχους του σύνθετου επιθέματος 50 τmax [MPa] a=10mm a=20mm a=30mm Πάχος επιθέματος [mm] Σχήμα 4.32: Μέγιστη διατμητική τάση ως συνάρτηση του πάχους του σύνθετου επιθέματος 49

51 8 SIF [MPa m^0.5] a=10mm a=20mm a=30mm 0 0,0 0,1 0,2 0,3 Πάχος κόλλας [mm] Σχήμα 4.33: SIF ως συνάρτηση του πάχους της κόλλας για το σύνθετο επίθεμα 1,20 1,15 a=10mm a=20mm a=30mm Eeff / E 1,10 1,05 1,00 0 0,1 0,2 0,3 Πάχος κόλλας [mm] Σχήμα 4.34: Ανηγμένη δυσκαμψία ως συνάρτηση του πάχους της κόλλας για το σύνθετο επίθεμα 50

52 1,25 1,20 σmax / σ0 1,15 1,10 1,05 a=10mm a=20mm a=30mm 1,00 0 0,1 0,2 0,3 Πάχος κόλλας [mm] Σχήμα 4.35: Ανηγμένη μέγιστη ορθή τάση ως συνάρτηση του πάχους της κόλλας για το σύνθετο επίθεμα τmax [MPa] a=10mm a=20mm a=30mm 0 0,1 0,2 0,3 Πάχος κόλλας [mm] Σχήμα 4.36: Μέγιστη διατμητική τάση ως συνάρτηση του πάχους της κόλλας για το σύνθετο επίθεμα 51

53 SIF [MPa m^0.5] a=10mm a=20mm a=30mm Όγκος επιθέματος [mm^3] Σχήμα 4.37: SIF ως συνάρτηση του όγκου του σύνθετου επιθέματος 4.3 Γεωμετρική βελτιστοποίηση στο ANSYS Το πρόγραμμα ANSYS υποστηρίζει έναν αλγόριθμο σχεδιαστικής βελτιστοποίησης, ο οποίος μπορεί να προσδιορίσει τον βέλτιστο σχεδιασμό μιας κατασκευής, δηλαδή ένα σχεδιασμό που ανταποκρίνεται στις σχεδιαστικές απαιτήσεις και συγχρόνως ικανοποιεί την ελαχιστοποίηση παραμέτρων όπως το βάρος, την επιφάνεια, τον όγκο, την τάση, το κόστος κτλ. Θεωρητικά, οποιαδήποτε μεταβλητή του σχεδιασμού μπορεί να βελτιστοποιηθεί: διαστάσεις (π.χ. πάχος), σχήμα (π.χ. καμπυλότητα), τοποθέτηση συνδέσμων, κόστος παραγωγής, ιδιότητες υλικού κλπ. Κάθε στοιχείο που μπορεί να δοθεί ως μεταβλητή στο πρόγραμμα ANSYS, μπορεί συγχρόνως και να οριστεί ως σχεδιαστική παράμετρος (ή σχεδιαστική μεταβλητή). Για να χρησιμοποιήσουμε τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης του ANSYS πρέπει να ορίσουμε τα εξής: Σχεδιαστικές μεταβλητές (design variables): αυτές είναι ανεξάρτητες ποσότητες, οι οποίες μπορούν να μεταβληθούν για να πετύχουμε τον βέλτιστο σχεδιασμό. Συνήθως δίνουμε μια ελάχιστη και μια μέγιστη τιμή για κάθε σχεδιαστική μεταβλητή. Μεταβλητές κατάστασης (state variables): αυτές είναι ποσότητες που περιορίζουν τον σχεδιασμό και είναι γενικά εξαρτημένες μεταβλητές που υπολογίζονται από την ανάλυση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Μια μεταβλητή κατάστασης μπορεί να έχει ένα ελάχιστο ή/και ένα μέγιστο όριο. Παράδειγμα τέτοιας μεταβλητής είναι η μέγιστη 52

54 τάση σε μια κατασκευή να μην μπορεί να υπερβεί μια συγκεκριμένη τιμή (την αντοχή του υλικού). Αντικειμενική συνάρτηση (objective function): αυτή είναι η ποσότητα που προσπαθούμε να ελαχιστοποιήσουμε για να επιτύχουμε τον βέλτιστο σχεδιασμό. Τέτοιες ποσότητες είναι το κόστος, ο όγκος, η επιφάνεια ή η τάση. Για να χρησιμοποιήσουμε αποτελεσματικά τον αλγόριθμο βελτιστοποίησης του ANSYS, θα πρέπει να προγραμματίσουμε (με τη γλώσσα προγραμματισμού του ANSYS) όλη την ανάλυση μας θέτοντας ως μεταβλητές τις σχεδιαστικές παραμέτρους και υπολογίζοντας από την ανάλυση την αντικειμενική συνάρτηση καθώς και τις μεταβλητές κατάστασης. Στην περίπτωση που εξετάζουμε στην παρούσα διπλωματική, ορίζουμε τέσσερις σχεδιαστικές παραμέτρους (μεταβλητές), δηλαδή το πλάτος, ύψος και πάχος του επιθέματος καθώς και το πάχος της κόλλας χρησιμοποιώντας τα όρια του Πίνακα 4.1. Ορίζουμε επίσης ως μεταβλητή κατάστασης την μέγιστη τιμή του SIF και ζητάμε να είναι μικρότερη ή ίση της τιμής κατωφλίου για το Al2024 που είναι 2,5 MPam 1/2 (ή 80 MPamm 1/2 ) [18]. Ως αντικειμενική συνάρτηση ορίζουμε τον όγκο του επιθέματος και ζητάμε την ελαχιστοποίησή του. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω αλγόριθμο του ANSYS εκτελούμε την ρουτίνα βελτιστοποίησης. Τυπικά αποτελέσματα παρουσιάζονται στο Παράρτημα για το μεταλλικό και σύνθετο επίθεμα και για μήκος ρωγμής 20mm. Τα συγκεντρωτικά αποτελέσματα παρουσιάζονται στον Πίνακα 4.2. Πίνακας 4.2: Βέλτιστες τιμές παραμέτρων Μεταλλικό επίθεμα Σύνθετο επίθεμα a = 10mm a = 20mm a = 30mm a = 10mm a = 20mm a = 30mm w (mm) 42,2 30, , h (mm) 35, , ,6 10,2 t (mm) 2,1 2,1 1,9 0,9 1,0 0,9 t a (mm) 0,17 0,05 0,06 0,05 0,09 0,05 SIF (MPamm^1/2) 71,5 65,5 76,9 79,9 76,6 71,9 V (mm^3)

55 Τα αποτελέσματα της γεωμετρικής βελτιστοποίησης επιβεβαιώνουν τα γενικά συμπεράσματα της παραμετρικής ανάλυσης. Από τον Πίνακα 4.2 μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ως προς την τιμή του SIF η καλύτερη γεωμετρία του επιθέματος είναι αυτή με το ελάχιστο ύψος. Το βέλτιστο πλάτος εξαρτάται από το μήκος της ρωγμής, ενώ το βέλτιστο πάχος είναι περίπου 2mm για το μεταλλικό επίθεμα και 1mm για το σύνθετο επίθεμα. Τέλος, το βέλτιστο πάχος της κόλλας είναι κοντά στην ελάχιστη τιμή αφού αυτό δίνει μικρότερη τιμή του SIF σύμφωνα με τις παραμετρικές αναλύσεις. Το σημαντικό αποτέλεσμα της γεωμετρικής βελτιστοποίησης είναι ότι μας προσφέρει τη δυνατότητα να εξετάσουμε όλο το εύρος τιμών για όλες τις παραμέτρους και στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Έτσι μας δίνει τη δυνατότητα να επιλέξουμε και το ελάχιστο δυνατό βάρος. Από τα αποτελέσματα του Πίνακα 4.2 βλέπουμε ότι για τιμή του SIF κάτω από την τιμή κατωφλίου, μπορούμε να έχουμε το όγκο περίπου 620mm 3 για το μεταλλικό επίθεμα και 310mm 3 για το σύνθετο επίθεμα (στην περίπτωση της μέσης ρωγμής των 20mm). 54

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Στο προηγούμενο κεφάλαιο θεωρήσαμε δεδομένο το σχήμα του επιθέματος και υπολογίσαμε τις βέλτιστες διαστάσεις τους με στόχο κυρίως την ελαχιστοποίηση του συντελεστή έντασης των τάσεων. Αυτή η μέθοδος βελτιστοποίησης μπορεί να δώσει χρήσιμα αποτελέσματα αλλά περιορίζεται σημαντικά από το γεγονός ότι πρέπει να ορίσουμε a priori το σχήμα του επιθέματος. Μια πιο σύγχρονη και συνήθως πιο αποτελεσματική μέθοδος βελτιστοποίησης είναι η τοπολογική βελτιστοποίηση, η οποία υποστηρίζεται από το πρόγραμμα ANSYS και περιγράφεται παρακάτω. 5.1 Τοπολογική βελτιστοποίηση στο ANSYS Η τοπολογική βελτιστοποίηση είναι μια ειδική περίπτωση της βελτιστοποίησης της μορφής. Μερικές φορές αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως βελτιστοποίηση διάταξης (layout). Ο στόχος της τοπολογικής βελτιστοποίησης είναι να βρει την καλύτερη χρήση του υλικού για ένα σώμα έτσι ώστε το αντικειμενικό κριτήριο (π.χ. δυσκαμψία) να πάρει μια μέγιστη ή μια ελάχιστη τιμή σε σχέση με δοσμένους περιορισμούς (για παράδειγμα μείωση όγκου). Αντίθετα με την παραδοσιακή βελτιστοποίηση, η τοπολογική βελτιστοποίηση δεν απαιτεί τον ακριβή ορισμό των παραμέτρων βελτιστοποίησης (για παράδειγμα ανεξάρτητες μεταβλητές που πρέπει να βελτιστοποιηθούν). Στην τοπολογική βελτιστοποίηση, η συνάρτηση κατανομής (πυκνότητας) του υλικού σε ένα σώμα εξυπηρετεί ως παράμετρος βελτιστοποίησης. Ο χρήστης πρέπει να καθορίσει το δομικό πρόβλημα (ιδιότητες υλικών, μοντέλο FE, φορτία κλπ) και την αντικειμενική συνάρτηση (για παράδειγμα η συνάρτηση που πρέπει να ελαχιστοποιηθεί ή να μεγιστοποιηθεί) καθώς και τις μεταβλητές κατάστασης. Στην περίπτωση που εξετάζουμε στην παρούσα διπλωματική, ως αντικειμενικό κριτήριο μπορεί να οριστεί η δυσκαμψία του επισκευασμένου δομικού στοιχείου. Οι σχεδιαστικές μεταβλητές είναι οι λεγόμενες ψευδοπυκνότητες των πεπερασμένων στοιχείων. Ουσιαστικά, ο αλγόριθμος ορίζει για κάθε στοιχείο του επιθέματος σχεδιαστική μεταβλητή που στην ουσία είναι η σχετική πυκνότητα του υλικού αυτού του στοιχείου, και παίρνει τιμές από 0 ως 1. Το πρόγραμμα υπολογίζει τις τιμές όλων αυτών των μεταβλητών που μεγιστοποιούν την αντικειμενική συνάρτηση, δηλαδή την δυσκαμψία του επισκευασμένου δομικού στοιχείου. 55

57 Η διαδικασία για να γίνει η τοπολογική βελτιστοποίηση συνίσταται από τα παρακάτω βήματα: καθορισμός του δομικού προβλήματος επιλογή των τύπων των στοιχείων καθορισμός περιοχών που πρόκειται να βελτιστοποιηθούν καθορισμός των φορτίσεων καθορισμός και έλεγχος της διαδικασίας βελτιστοποίησης ανασκόπηση των αποτελεσμάτων 5.2 Υπολογισμός βέλτιστου σχήματος επιθέματος Στην περίπτωση που εξετάζεται το δομικό πρόβλημα καθώς και η φόρτιση ορίζεται στο Σχήμα 4.1. Τα στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν ορίζονται στην Ενότητα 3.3. Η περιοχή που πρόκειται να βελτιστοποιηθεί είναι όλο το επίθεμα. Ως αντικειμενική συνάρτηση μπορούμε να επιλέξουμε μόνο την δυσκαμψία (μεγιστοποίηση). Αυτό αποτελεί ένα πρόβλημα της τοπολογικής βελτιστοποίησης καθώς δεν υπάρχει η δυνατότητα επιλογής κάποιου άλλου μεγέθους που εκφράζει καλύτερα τη βέλτιστη μηχανική συμπεριφορά της επισκευής, π.χ. τον συντελεστής έντασης των τάσεων ή τη μέγιστη διατμητική τάση στην κόλλα. Η άλλη παράμετρος που ορίζουμε είναι το ποσοστό καθ όγκο του υλικού που επιθυμούμε να αφαιρέσουμε. Η αρχική περιοχή του επιθέματος ορίζεται από τις εξής διαστάσεις: w = 50 mm, h = 50 mm, t = 2mm ενώ το πάχος της κόλλας ορίζεται ως t = 0.1mm. Για την ρωγμή επιλέχθηκε το μέσο μήκος των 20mm. a Τα αποτελέσματα της τοπολογικής βελτιστοποίησης παρουσιάζονται συνοπτικά στο Σχήμα 5.1. Στο Σχήμα φαίνεται μόνο το επίθεμα για τρία διαφορετικά ποσοστά αφαίρεσης υλικού του επιθέματος (30%, 50% και 70%). Το κόκκινο χρώμα στο υλικό που πρέπει διατηρηθεί και το μπλε χρώμα στο υλικό που πρέπει να αφαιρεθεί. Στην πραγματικότητα, με μπλε χρώμα εμφανίζονται τα στοιχεία που έχουν τιμή της ψευδοπυκνότητας μικρότερη του 0.5. Μια σημαντική διαφορά μεταξύ του σύνθετου και του μεταλλικού επιθέματος είναι ότι στο σύνθετο επίθεμα το προτεινόμενο σχήμα είναι ομοιόμορφο και συνεχές ενώ στο μεταλλικό επίθεμα είναι σε ξεχωριστά τμήματα, το οποίο φυσικά δεν είναι αποδεκτό. Εντούτοις, όλα τα αποτελέσματα προτείνουν ότι το βέλτιστο επίθεμα θα πρέπει να έχει ένα τμήμα με μικρό ύψος στην περιοχή της ρωγμής και ένα τμήμα με μεγαλύτερο ύψος στην μη ρηγματωμένη περιοχή. Το συμπέρασμα αυτό δεν είναι σε συμφωνία με τις παραμετρικές αναλύσεις που 56

58 έδειξαν ότι μικρό ύψος οδηγεί σε μικρή δυσκαμψία. Αυτό σημαίνει ότι το τμήμα μπροστά από τη ρωγμή συνεισφέρει σημαντικά στη δυσκαμψία της κατασκευής. Μεταλλικό επίθεμα Σύνθετο επίθεμα 30% 50% 70% Σχήμα 5.1: Τοπολογική βελτιστοποίηση 57

59 5.3 Ανάλυση βελτιστοποιημένου επιθέματος Παίρνοντας υπόψη τα αποτελέσματα της τοπολογικής βελτιστοποίησης μπορούμε να επιλέξουμε κάποιο τυπικό σχήμα για το επίθεμα και να το αναλύσουμε για να συγκρίνουμε τη συμπεριφορά του με τα ορθογώνια επιθέματα που θεωρήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο. Συγχρόνως θα πρέπει το σχήμα του επιθέματος να είναι τέτοιο ώστε να είναι σχετικά απλή η κατασκευή του αλλά και η διαδικασία της επισκευής. Το επίθεμα που επιλέχθηκε είναι αυτό που παρουσιάζεται στο σχήμα 5.2 και αποτελείται από δύο ορθογώνια τμήματα. Το μήκος του πρώτου τμήματος θεωρήθηκε ίσο με το μήκος της ρωγμής. Σχήμα 5.2: Απλοποιημένη μορφή του τοπολογικά βελτιστοποιημένου επιθέματος Η νέα γεωμετρία του επιθέματος έχει ως επιπλέον μεταβλητή το δεύτερο ύψος. Στη συνέχεια πραγματοποιήθηκε γεωμετρική βελτιστοποίηση του επιθέματος για το μέσο μήκος της ρωγμής (20mm). Παρόμοια με την ενότητα 4.3, ορίζουμε πέντε σχεδιαστικές παραμέτρους (μεταβλητές), δηλαδή το πλάτος, ύψος του επιθέματος πάνω από την ρωγμή, ύψος του επιθέματος μπροστά από τη ρωγμή και πάχος του επιθέματος καθώς και το πάχος της κόλλας. Ορίζουμε επίσης ως μεταβλητή κατάστασης την μέγιστη τιμή του SIF και ζητάμε να είναι μικρότερη ή ίση της τιμής κατωφλίου για το Al2024 που είναι 2,5 MPam 1/2 (ή 80 MPamm 1/2 ) [18]. Ως αντικειμενική συνάρτηση ορίζουμε τον όγκο του επιθέματος και ζητάμε την ελαχιστοποίησή του. Τα αποτελέσματα της γεωμετρικής βελτιστοποίησης 58