Σημειώσεις Μηχανικής των Κοκκωδών Υλικών με παραδείγματα & τέσσερεις Ασκήσεις

Transcript

1 Σημειώσεις Μηχανικής των Κοκκωδών Υλικών με παραδείγματα & τέσσερεις Ασκήσεις Γ. Εξαδάκτυλος Οκτώβριος 2012 (για το μάθημα του ΜΠΣ) 1. Εισαγωγή Ορυκτολογική και κοκκομετρική ανάλυση αμμωδών υλικών Διατμητική αντοχή της άμμου Η Αντοχή και ο Βασικός Μηχανισμός Αστοχίας μη-συνεκτικών Εδαφών Τριβή και Διασταλτικότητα Θεωρία Διασταλτικής Τριβής κατά Taylor Δοκιμές άμεσης διάτμησης της άμμου Επεξεργασία Αποτελέσματα δοκιμών άμεσης διάτμησης Δοκιμές οιδημέτρου (συμπιεσομέτρου) Περιγραφή πειραματικής διάταξης Αποτελέσματα Μέτρησης Οιδημέτρου Δoκιμές τριαξονικής θλίψης Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Αποτελέσματα Μετρήσεων Τριαξονικής Δοκιμής Κριτήριο Αστοχίας Mohr Coulomb

2 1. Εισαγωγή Σε μία προσπάθεια να καλυφθεί εν μέρει το θέμα της Μηχανικής Συμπεριφοράς των Κοκκωδών Γεωϋλικών εκτίθενται κατωτέρω αποσπάσματα από τις Σημειώσεις του Καθηγ. Ι. Βαρδουλάκη, πειραματικά αποτελέσματα εργαστηριακών δοκιμών σε αμμώδες γεωϋλικό που προέκυψαν από δύο διπλωματικές εργασίες της Μ. Σαμαρτζή και της Κ. Τσουβάλα και προσωπικές σημειώσεις μου στα ανωτέρω. Γ. Εξαδάκτυλος, Οκτώβριος 2012 Oι ασκήσεις συνοδεύονται από τα αρχεία exercise#1 kokkometria.xls oedometer test exercise#2.xls Ammos9 - (150kPa) exercise#.xls Ammos9 - (50kPa) exercise#.xls Ammos9 - (550kPa) exercise#.xls Ammos9 - (750kPa) exercise#.xls Exercise#4 direct shear test.xls 2. Ορυκτολογική και κοκκομετρική ανάλυση αμμωδών υλικών [άσκηση #1 για τους μεταπτυχιακούς φοιτητές: δίνονται τρείς κοκκομετρικές αναλύσεις] η άσκηση είναι η exercise#1 kokkometria.xls Στη συγκεκριμένη εργασία σκοπός είναι η παλινδρόμηση (προσαρμογή θεωρητικής καμπύλης πάνω σε πειραματικά δεδομένα) με βάση γνωστή εξίσωση της κοκκομετρίας δεδομένης άμμου στο Excel. Η ορυκτολογική σύσταση μιας άμμου μπορεί να προσδιορισθεί με ακτινοδιαγραμμα XRD (X-ray diffraction). Τυπικά αποτελέσματα της σύστασης μιας χαλαζιακής άμμου παρουσιάζονται στον παρακάτω Πίν Πίνακας 2.1: Ορυκτολογική σύσταση της άμμου. Ορυκτό Χημικός Τύπος Περιεκτικότητα (%) Χαλαζίας SiO Ασβεστίτης CaCO 8.8 Μαγνησιούχος ασβεστίτης (Mg 129 Ca 871 ) (CO ) 8.9 ολομίτης CaMg (CO )

3 Μετά την πλύση και την ξήρανση της άμμου ακολουθεί η κοκκομετρική ανάλυση με δονούμενα κόσκινα.

4 4

5 Μεθοδος δειγματοληψίας για κοσκίνηση και φωτογράφιση των κοκκομετρικών κλασμάτων. Για την εξακρίβωση της επαναληψιμότητας των αποτελεσμάτων γίνεται κοκκομετρική ανάλυση σε τρία δείγματα από την υπόψη άμμο. Τα αριθμητικά αποτελέσματα των κοκκομετρικών αναλύσεων παρουσιάζονται στους Πίν

6 Πίνακας 2.2: Η Κοκκομετρική ανάλυση της άμμου για το 1 ο δείγμα. Πίνακας 2.: Η Κοκκομετρική ανάλυση της άμμου για το 2 ο δείγμα. Πίνακας 2.4: Η Κοκκομετρική ανάλυση της άμμου για το ο δείγμα. Με βάση αυτές τις κοκκομετρικές αναλύσεις γίνανε οι καμπύλες που φαίνονται στο Σχ Από αυτές σε πρώτη φάση προκύπτει ότι η άμμος έχει εύρος διαμέτρου κόκκων D = 0,7 έως 0,1 mm και συνεπώς χαρακτηρίζεται ως λεπτόκοκκη. Grain Size Disttibution 120 Sample 1 Sample 2 Sample N 100 Percent passing by weight (%) Grain size(μm) Σχήμα 2.1: Η κοκκομετρική καμπύλη για τα τρία δείγματα. 6

7 Το αθροιστικό επί τοις εκατό διερχόμενο βάρος μπορεί να προσεγγισθεί από την εξίσωση N 100 D exp 44.6 όπου D συμβολίζει το μέγεθος του κόκκου σε m. Από το παραπάνω διάγραμμα παρατηρείται ότι η κατανομή των κόκκων της άμμου χαρακτηρίζεται ως καλά διαβαθμισμένη. [επαληθεύστε την παραπάνω εξίσωση με ανάλυση παλινδρόμησης στην παρούσα Ασκηση #1] Μπορεί να προσαρμοσθεί εναλλακτικά η κατανομή Weibull στα πειραματικά δεδομένα που δίδονται? Για τον προσδιορισμό του σχήματος των κόκκων της άμμου, δημιουργήθηκε στιλπνή τομή και τραβήχτηκαν 10 συνολικά φωτογραφίες (Σχ. 1.2) με οπτικό μικροσκόπιο ανακλώμενου φωτός (Τσουβάλα, 2007). Στη συνέχεια, σε κάθε φωτογραφία σχεδιάστηκε κάνναβος για σύγκριση του εμβαδού μεταξύ των κόκκων. (α) (β) Σχ. 1.2(α,β). Φωτογραφίες ηλεκτρονικού μικροσκοπίου, από στιλπνή τομή δείγματος άμμου (Τσουβάλα, 2007). 7

8 Παρατηρώντας τις φωτογραφίες του μικροσκοπίου (Σχ. 1.2) συμπεραίνουμε ότι η προς εξέταση άμμος αποτελείται από στρογγυλεμένα υπογωνιώδη σωματίδια, επαληθεύοντας την θεωρία των Terzaghi & Peck (1969) 1 σύμφωνα με την οποία οι άμμοι αποτελούνται από στρογγυλευμένα γωνιώδη ή υπογωνιώδη σωματίδια τα οποία προέρχονται από περισσότερο ή λιγότερο μη εξαλλοιωμένα πετρώματα ή ορυκτά.. οκιμές οιδημέτρου (συμπιεσομέτρου) [άσκηση #2 για τους μεταπτυχιακούς φοιτητές] oedometer test exercise#2.xls Στη συγκεκριμένη εργασία σκοπός είναι ο έμμεσος υπολογισμός της ελαστικότητας της ίδιας άμμου από δοκιμές συμπιεσομέτρου σε αστράγγιστες συνθήκες. Τυπική καμπύλη λόγου κενών συναρτήσει του λογάριθμου της αξονικής τάσης Cauchy In order to illustrate the usefulness of the Kirchhoff stress, we briefly comment here on the behaior of highly compressible geomaterials, like clays, and to the representation of corresponding experimental results. As it is common in the soil mechanics literature, the experimental data are plotted in terms of Cauchy stress and the infinitesimal strain resulting to non-linear stress-strain cures. Due to the highly non-linear character of the compression cures Terzaghi suggested representing the experimental results in a semi-logarithmic plot of engineering strain ε ersus the logarithm of the Cauchy stress σ. The engineering strain in uniaxial compression is defined as 1 Karl Terzaghi and Ralph B. Peck, Soil Mechanics in Engineering Practice, John Wiley & Sons, New York, Chichester, Brisbane, Toronto, second edition,

9 where l(0) and Δl are the initial thickness of the specimen and its change, respectiely. For a great ariety of clays, the primary compression cure, the unloading (or swelling) cures and the recompression cures are then fairly approximated by straight lines. In a semi-logarithmic plot, these straight-line fits are characterized by their slopes, the so called Terzaghi compression and swelling indices Cc and Cs, respectiely. In most cases, straight-line fits are also generated if, instead of the ambiguous logarithmic stress and the inappropriate for large deformations engineering strain, one resorts to conjugate Eulerian measures like the Kirchhoff stress T ij and the logarithmic strain λ. For example, for the case of sand analyzed in the sequel the stress-strain diagram is transformed into the mechanically more meaningful Eulerian stress and strain measures as shown in Figure *. We see then that the primary compression data are best fit by a straight line in terms of the logarithmic strain and the Kirchhoff stress, i.e. In the same figure, the non-linear (σ, λ) cure is also plotted for comparison. 9

10 Volumetric strain, V [-] y = -4E-05x R 2 = Effectie Cauchy axial stress [kpa] 10

11 8.000 Logarithmic olumetric strain, ln(v) [ y = x R 2 = Kirchoff stress [kpa] Fig. *.1. Περιγραφή πειραματικής διάταξης Για δοκιμές θλίψης σε πλευρικώς περιορισμένο δείγμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί το συμβατικό (Σχ..5α) ή το υδραυλικό οιδήμετρο (Σχ..5β). Το συμβατικό οιδήμετρο είναι παλαιότερη συσκευή στην οποία η επιβολή τάσης γίνεται χειροκίνητα με προσθήκη βαρών στο άγκιστρο του συμπιεσομέτρου και τα δεδομένα πρέπει να καταγράφονται σε πρότυπο φύλλο εργασίας. Στο υδραυλικό οιδήμετρο η επιβολή τάσης γίνεται αυτοματοποιημένα με σύστημα εισπίεσης ύδατος, ενώ τα δεδομένα καταγράφονται σε Η/Υ. Για τη διεξαγωγή του πειράματος χρησιμοποιήθηκε υδραυλικό οιδήμετρο και συγκεκριμένα το σύστημα δοκιμής στερεοποίησης GDS (Global Digital System) το οποίο παρέχει, μέσω Η/Υ, αυτοματισμό του ελέγχου της δοκιμής, της καταγραφής δεδομένων, της αναγωγής δεδομένων σε μονάδες διεθνούς συστήματος (S.I), γραφικές παραστάσεις σε οθόνη απευθείας μετάδοσης και παρουσίαση των καταχωρημένων δεδομένων σε πίνακα ή μέσω έγχρωμου εκτυπωτή γραφικών. Το υδραυλικό οιδήμετρο GDS έχει ακρίβεια 1 KPa και μέγιστη δυνατή φόρτιση 50 MPa. (α) (β) 11

12 Σχ..5.Συμπιεσόμετρα (οιδήμετρα): (α) συμβατικό οιδήμετρο (β) υδραυλικό οιδήμετρο GDS που χρησιμοποιήθηκε στην παρούσα διπλωματική εργασία. Το σύστημα με την βοήθεια H/Y, παρέχει τη δυνατότητα εκτέλεσης πειραμάτων με αυτόματο έλεγχο φόρτισης με σταθερό βήμα, σταθερού ρυθμού τροπής, σταθερού ρυθμού φόρτισης, ελεγχόμενης υδραυλικής κλίσης, πίεσης διόγκωσης και κυκλικής φόρτισης (σταθερός ρυθμός παραμόρφωσης, σταθερός ρυθμός φόρτισης, ελεγχόμενης υδραυλικής κλίσης). Το σύστημα GDS αποτελείται από τα εξής τμήματα: Σύστημα διαμόρφωσης: η κυψέλη δοκιμής συνδέεται με τον Η/Υ μέσω δύο GDS ψηφιακών ελεγκτών 200cc / 2MPa (Σχ..6). Ο ένας από τους ψηφιακούς ελεγκτές χρησιμεύει για την αξονική τάση και ο άλλος για την αντίστροφη πίεση. Επίσης υπάρχει και ένα GDS ψηφιακό interface πίεσης για τον υπολογισμό της πίεσης των πόρων. Σχ..6. GDS ψηφιακοί ελεγκτές 200cc/ 2MPa Υδραυλική κυψέλη στερεοποίησης: είναι τύπου Rowe & Barden και έχει ενσωματωμένο τον καινούριο δακτύλιο των Bishop και Skinner, ο οποίος επιτρέπει στη μεμβράνη αξονικής τάσης να ακολουθήσει την καθίζηση. Η κυψέλη έχει διάφορα μεγέθη για δοκιμές δειγμάτων διαμέτρου 6,5, 76,2 και 100 mm, ενώ στο πείραμα που ακολουθεί η κυψέλη έχει διάμετρο D = 69,65 mm. Η αντίστροφη πίεση εφαρμόζεται στον άνω σωλήνα της κυψέλης έτσι ώστε 12

13 οι υδραυλικές κλίσεις πεδίου να μπορούν να εφαρμόζονται. Ο κάτω σωλήνας έχει μια οπή για ένα μετατροπέα πίεσης. Ηλεκτρονικό μηκυνσιόμετρο: Μετράει την κατακόρυφη μετατόπιση και έχει ακρίβεια τρίτου δεκαδικού ψηφίου του χιλιοστού (mm). Το σύστημα GDS έχει την δυνατότητα να υπολογίζει αυτόματα την πίεση ύδατος των πόρων. Ο υπολογισμός γίνεται από ένα σταθερό μετατροπέα τοποθετημένο απευθείας στη βάση της κυψέλης ώστε να προσφέρει έναν άκαμπτα συνδεδεμένο ανιχνευτή πίεσης. Ο μετατροπέας συνδέεται επίσης και με τον ψηφιακό interface πίεσης. Καθώς δίνονται οι πραγματικοί υπολογισμοί της πίεσης νερού πόρων, η συσκευή ενεργοποιεί αυτόματα το ρυθμό δοκιμής μέσω της ελεγχόμενης υδραυλικής κλίσης. Ο υπολογισμός της μέσης τιμής αξονικής τάσης γίνεται κι αυτός αυτόματα από την πίεση που εφαρμόζεται στην άνω μεμβράνη μέσω του ελεγκτή αξονικής τάσης. Αυτή η τάση διορθώνεται αυτόματα για την περιοχή του άνω σωλήνα αποστράγγισης μέσω της κορυφής της κυψέλης. Επίσης, εφικτός είναι ο υπολογισμός της αξονικής τροπής από τη μεταβολή του όγκου του ελεγκτή της αντίστροφης του πίεσης ή εναλλακτικά από τη διορθωμένη μεταβολή του όγκου του ελεγκτή αξονικής τάσης. Αλλιώς, η αξονική τροπή μπορεί να υπολογιστεί απευθείας από έναν GDS ψηφιακό δείκτη. Το σύστημα είναι εύκολο στη χρήση του με συμβουλές, ερωτήσεις και πληροφορίες που εμφανίζονται αυτόματα στην οθόνη του Η/Υ για να καθοδηγήσουν στη διαδικασία τοποθέτησης. Η δοκιμή, τότε, εκτελείται αυτόματα. Οι δοκιμές επιλέγονται από το menu της δοκιμής που εμφανίζεται στην άκρη της οθόνης. Το σύστημα έχει την δυνατότητα να πραγματοποιήσει οποιοδήποτε αριθμό και συνδυασμό δοκιμών (συμπεριλαμβανομένων και των επαναληπτικών δοκιμών) σε ακολουθία στο ίδιο εδαφικό δείγμα. Οι τρέχουσες διαστάσεις του δοκιμίου μεταφέρονται από το τέλος της μίας δοκιμής στην αρχή της επόμενης. Δοκιμές μπορούν να γίνουν χωρίς να παρακολουθούνται και χωρίς καμία διακοπή για οποιοδήποτε χρονικό διάστημα. Στο πείραμα που παρουσιάζεται πιο κάτω γίνεται ένας κύκλος. Δηλαδή, στο δοκίμιο ασκείται αρχικά φόρτιση έως τα 100 KPa, ακολουθεί αποφόρτιση έως τα 10 KPa και τέλος επιβάλλεται ξανά τάση έως τα 100 KPa. Αναλυτική Διαδικασία Προτού αρχίσει η διαμόρφωση του δοκιμίου λήφθηκαν μετρήσεις τις εσωτερικής διαμέτρου του δακτυλίου, με ακρίβεια 0,01mm σε δυο κάθετες μεταξύ τους διευθύνσεις και καταγράφηκε η μέση διάμετρος D 69, 65mm. Επιπλέον, μετρήθηκε το ύψος του δακτυλίου σε διάφορες θέσεις με ακρίβεια 0,05 mm. Η μέση τιμή καταγράφηκε ως το αρχικό ύψος του δοκιμίου H o 17, mm. Το δείγμα ζυγίστηκε πρίν ( m1 740, 26gr ) και μετά ( m 68, 5 2 gr ) τη διαμόρφωση του δοκιμίου, στο πλησιέστερο 0,01g, ώστε με εύρεση της διαφοράς των μαζών να υπολογιστεί η μάζα του δοκιμίου ( m o 101, 91gr ). Από τις μετρήσεις αυτές υπολογίζεται η επιφάνεια A από τον τύπο 2 D 2 2 (.11) A 0,008m 810,06mm 2 και ο όγκος V του δοκιμίου από τον τύπο V A H o 0,00007m 66,0284cm (.12) 1

14 Στη συνέχεια ακολουθούν οι υπολογισμοί του ξηρού φαινόμενου βάρους b m g 2 m g sec kn b 15,141 V cm m Και του αρχικού λόγου κενών e o Gs w (1 w) eo 1 0,7 b όπου: G 2,67 το ειδικό βάρος των κόκκων (Στειακάκης, 2005), b s = το υγρό φαινόμενο βάρος, (.1) (.14) w 9,81kN / m το μοναδιαίο βάρος του νερού, w = η υγρασία του εδάφους, που στην περίπτωσή μας w 0. Αφού ληφθούν οι απαραίτητες μετρήσεις, πληρώνεται η βάση του οιδημέτρου με ύδωρ ώστε αυτό να είναι απαλλαγμένο από αέρα. Στη συνέχεια τοποθετείται ο κάτω πορόλιθος (Σχ..7α). Ένα μέρος του ύδατος θα εκτοπιστεί και το περισσευούμενο αποκρίνεται με κάποιο απορροφητικό μέσο όπως σφουγγάρι. Ακολούθως τοποθετείται ο δακτύλιος του δείγματος (Σχ..7α, β), με το κοπτικό άκρο προς τα πάνω και διαμορφώνεται το δείγμα, με απλή ροή της άμμου. (α) (β) (γ) (δ) 14

15 Σχ..7: (α) πωρόλιθος και δακτύλιος συσκευής, (β) ο κάτω πωρόλιθος και ο δακτύλιος τοποθετημένα στη βάση της συσκευής, (γ) ανώτερο μέρος του κελιού (δ) οι τέσσερις σύνδεσμοι τοποθετημένοι. Ο δεύτερος πωρόλιθος μπαίνει πάνω στο δείγμα δίχως να το συμπιέσει και τοποθετείται το ανώτερο μέρος του κελιού στη βάση (Σχ..7γ) και βιδώνονται ομοιόμορφα οι τέσσερις σύνδεσμοι (Σχ..7δ). Ελέγχεται η βαλβίδα αέρα ώστε να είναι ανοιχτή και με αργό ρυθμό γεμίζεται το κελί με ύδωρ (απαλλαγμένο από αέρα). Όταν το κελί γεμίσει, κλείνει η βαλβίδα του αέρα. Τέλος, ρυθμίζεται η οθόνη του μετρητή ώστε να είναι σε επαφή με την κεντρική άτρακτο, το δακτυλίδι κλειδώματος (lock ring) πρέπει να χρησιμοποιηθεί ώστε να κλειδωθεί ο μετρητής στη θέση αυτή. Μετά την ολοκλήρωση της συμπαγοποίησης κάτω από την μέγιστη απαιτούμενη τάση των 100 KPa το δείγμα αποφορτίζεται έως τα 10 περίπου KPa και επαναφορτίζεται μέχρι 100 ΚPa. Η διαδικασία της αποφόρτισης ακολουθεί την ίδια μεθοδολογία με αυτή που περιγράφεται παραπάνω απλά με αντίθετη φορά. Επιπλέον, η πίεση στο διάφραγμα μειώνεται και μπορεί να ακολουθείται από ένα στάδιο διόγκωσης όπου παρατηρείται μια ανοδική μετατόπιση και αύξηση του όγκου. Οι τιμές αυτές λαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο με τη συμπύκνωση..2. Αποτελέσματα Μέτρησης Οιδημέτρου Με βάση τα αποτελέσματα που καταγράφισαν από τον Η/Υ (χρόνος t (sec), αξονική τάση σ ax (KPa) και μετατόπιση ΔH (mm)) έγιναν οι ακόλουθοι υπολογισμοί: Ο λόγος κενών e αποδίδεται απ τον τύπο ei eo ei (.15) Ο λόγος κενών μεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της δοκιμής και ο υπολογισμός αυτού προκύπτει από τις εξισώσεις.16 και.17. Μεταβολή του λόγου κενών e 1 eo H e i H 0,0086 (.16) H o H s όπου H 0, 086mm η τελική μετατόπιση που καταγράφτηκε από τη συσκευή και αρχικός λόγος κενών eo Ισοδύναμο ύψος εδαφικών κόκκων H s H o H s 10, 02mm (.17) 1 eo To ισοδύναμο ύψος εδαφικών κόκκων εξαρτάται μόνο από τις αρχικές συνθήκες του δοκιμίου και παραμένει σταθερό κατά τη δοκιμή. Η αξονική τροπή a υπολογίζεται από τον τύπο H a (.18) H o Συμειώνεται ότι η αξονική τροπή αλλάζει κατά τη διάρκεια της φόρτισης και της αποφόρτισης. 15

16 16 Η συμπιεστότητα K δίνεται από τον τύπο V K ) (1 1 (.19) όπου: 0, ο λόγος Poisson για άμμους (Terzaghi & Peck,1969), = μέση πίεση, V = τροπή. Ο τύπος (.19) προέκυψε ως εξής: p n p p (.20) όπου: V K p και H o H V Επομένως, αντικαθιστώντας προκύπτει: H o H K (.21) Λύνοντας ως προς K λαμβάνουμε V K V K ) ( (.22) όπου E K 2 1, επομένως V E ) (1 1 ) 2 (1 (.2) V E (.24) Οι γραφική απεικόνιση των αποτελεσμάτων και των τριών σταδίων φόρτισης (φόρτιση - αποφόρτιση - φόρτιση) παρουσιάζεται στα Σχήματα.7 έως.12.

17 Volumetric strain, V [-] Effectie axial stress [kpa] Σχ Effectie axial stress [kpa] Volumetric strain, V [-] Σχ..8. Διάγραμμα τάσης συναρτήσει της τροπής ΔV Void ratio, e Effectie axial stress (kpa) Αναφερόμενοι στο διάγραμμα τάσης (kg/cm 2 ) συναρτήσει του λόγου κενών e (Σχ..12) επισημαίνεται ότι για άμμους το ενδιάμεσο τμήμα είναι ευθεία για πίεση από 1 17

18 με 10 MPa περίπου. Μετά την πίεση αυτή οι κόκκοι αρχίζουν να θραύονται (Terzaghi & Peck, 1969). Tangent D (MPa) Effectie axial stress (KPa) Σχ. 1.4 ιάγραμμα Αξονική τάση-κt 120 Tangent Elastic Modulus, Et (MPa) Effectie axial stress (KPa) Σχ. 1.5 Σχ..1. Διάγραμμα εφαπτομενικού μέτρου ελαστικότητας (MPa) συναρτήσει της αξονικής τάσης (KPa). Με βάση το διάγραμμα του Σχ..1 του εφαπτομενικού μέτρου ελαστικότητας Ε t (MPa) συναρτήση της αξονικής τάσης (kpa) προκύπτει ότι η μέγιστη τιμή του πρώτου κυμαίνεται γύρω στα 100 MPa. 18

19 4. oκιμές τριαξονικής θλίψης [άσκηση # για τους μεταπτυχιακούς φοιτητές] Ammos9 - (150kPa) exercise#.xls Ammos9 - (50kPa) exercise#.xls Ammos9 - (550kPa) exercise#.xls Ammos9 - (750kPa) exercise#.xls Σκοπός Η τριαξονική δοκιμή έχει ως σκοπό τον προσδιορισμό των μηχανικών χαρακτηριστικών αντοχής, παραμορφωσιμότητας και ελαστικότητας εδαφών σε δεδομένες συνθήκες αποστράγγισης. Οι σχέσεις των τάσεων και των τροπών του εδάφους προσδιορίζουν το μέγεθος της καθίζησης των εδραζόμενων σε αυτό θεμελιώσεων, καθώς και τις μεταβολές της ώθησης του εδάφους λόγω μικρής μετακίνησης τοίχων αντιστήριξης ή άλλων παρόμοιων γεωκατασκευών. Στη συγκεκριμένη εργασία σκοπός είναι ο υπολογισμός της ελαστικότητας, και της γωνίας εσωτερικής τριβής ξηρού, αμμώδους εδάφους σε αστράγγιστες συνθήκες. Μειονεκτήματα Προτερήματα τριαξονικής δοκιμής Η δοκιμή τριαξονικής θλίψης χρησιμοποιείται ευρύτατα και θεωρείται ως το βασικό πείραμα για την διερεύνηση της εντατικής κατάστασης του εδάφους κατά τη διάτμηση. Υστερεί έναντι των άλλων δοκιμών διάτμησης και μονοαξονικής θλίψης γιατί είναι πιο πολύπλοκη. Σε αντιδιαστολή με τις τεχνικές δυσκολίες που παρουσιάζει, έχει τα εξής πλεονεκτήματα: α) Έχουμε σαφή εικόνα της εντατικής κατάστασης του δοκιμίου γιατί έχουμε τη δυνατότητα να μετρήσουμε όχι μόνο τις επιβαλλόμενες τάσεις, αλλά και την πίεση του νερού των πόρων. β) Η μέτρηση της μεταβολής του όγκου του δοκιμίου κατά τη διάρκεια του πειράματος είναι πολύ ακριβής και μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε ακριβώς το μέτρο ελαστικότητας του δοκιμίου και του λόγου Poisson. γ) Το δοκίμιο δέχεται ομοιόμορφα κατανεμημένες τάσεις και αποφεύγεται η επίδραση άλλων παραγόντων. δ) Η συσκευή προσαρμόζεται εύκολα σε ειδικές απαιτήσεις κάθε πειράματος και διευκολύνεται πολύ η έρευνα. Σε αντίθεση με την συσκευή άμεσης διάτμησης, που χρησιμοποιείται πλέον κύρια για τον υπολογισμό της γωνίας τριβής και της γωνίας διαστολής των αμμωδών υλικών, η τριαξονική δοκιμή θλιψης χρησιμοποιείται για εδάφη όλων των τύπων και όλων των ειδών των δοκιμών. Θεωρία Θεωρητικά το εδαφικό δοκίμιο υποβάλλεται σε κατάσταση τάσεων ( 1 2, με τις θλιπτικές τάσεις και συστολικές τροπές να είναι θετικοί αριθμοί) ενώ την ίδια χρονική στιγμή μετρούνται οι τροπές, και οι πιέσεις νερού πόρων ή οι μεταβολές του 19

20 όγκου του δοκιμίου. Στην πράξη, τα δοκίμια είναι συνήθως κυλινδρικά και υποβάλλονται σε κατάσταση τάσεων 1 2 όπου 1 είναι η αξονική τάση και 2 είναι η πλευρική τάση. Το κυλινδρικό δοκίμιο περιβάλλεται από μια υδατοστεγή ελαστική μεμβράνη και τοποθετείται στην κυψέλη όπου περιβάλλεται με νερό και υποβάλλεται σε υδροστατική πίεση. Κατόπιν φορτίζεται αξονικά μέχρι την θραύση του με κατάσταση τάσεων 1 2. Κατά τη διάρκεια της δοκιμής ( 1, 2 ), όπως αναφέρθηκε, μετρούνται οι αξονικές και ακτινικές παραμορφώσεις καθώς και οι μεταβολές όγκου και οι πιέσεις νερού των πόρων μετρούνται. Η δοκιμή τριαξονικής θλίψης διεξάγεται κρατώντας σταθερή πάντα την πίεση της κυψέλης και αυξάνοντας σταδιακά την αξονική τάση. Για να καθοριστεί εντελώς η δοκιμή πρέπει είναι γνωστές οι αρχικές εφαρμοζόμενες τάσεις καθώς επίσης και οι συνθήκες αποστράγγισης κατά τη διάρκεια της. Ανάλογα με τις συνθήκες αποστράγγισης διακρίνονται οι ακόλουθοι, τρείς βασικοί τύπους τριαξονικών δοκιμών. Η δοκιμή χωρίς στερεοποίηση χωρίς στράγγιση (Unconsolidated-Undrained) κατά την οποία το δείγμα οδηγείται στη θραύση χωρίς να επιτραπεί η αποστράγγιση του. Αποκαλείται και γρήγορη δοκιμή. Η Δοκιμή με στερεοποίηση χωρίς αποστράγγιση (Consolidated-Undrained) όπου αρχικά η βαλβίδα αποστράγγισης είναι ανοιχτή για να επιτρέπεται στην πίεση νερού των πόρων p να διαχυθεί μέχρι να μηδενιστεί και ύστερα κλείνει ώστε το δείγμα να οδηγηθεί στη θραύση χωρίς αποστράγγιση. Η Δοκιμή με στερεοποίηση με στράγγιση (Consolidated-Drained)στην οποία το δοκίμιο φορτίζεται τριαξονικά και διατέμνεται με μικρή ταχύτητα (συνάρτηση της διαπερατότητας του υλικού) με ανοικτούς τους αγωγούς αποστράγγισης. Κατάσταση τάσεων σε δοκίμιο κλασικής τριαξονικής δοκιμής Ένα κυλινδρικό δοκίμιο ισότροπου εδάφους καθορίζεται γεωμετρικά από τον κατακόρυφο άξονα (διεύθυνση 1) και την εγκάρσια διατομή του (διεύθυνση 2 και, κάθετες μεταξύ τους) (Σχ. 4.1). Στην περίπτωση της συμμετρίας περί άξονα, ο τανυστής των κυρίων τάσεων εξαρτάται μόνο από τις ανεξάρτητες παραμέτρους, με τιμή θετική στη θλίψη. 1 O O 2 (α) (β) Σχ. 4.1: (α) πάγια όψη δοκιμίου (β) κάτοψη δοκιμίου. 20

21 Με ασκούμενη πίεση των πόρων p w, ισχύει σύμφωνα με τον τύπο του Terzaghi: (4.1) p w όπου ενεργή πλευρική τάση Αν δεν υπάρχει υδροστατική πίεση p 0, τότε (4.2) Επίσης, για τον τανυστή των τροπών, αναφερόμενο σε κύριους άξονες, έχουμε: 1 και 2 (4.) Ο διαχωρισμός των σφαιρικών και αποκλινουσών συνιστωσών των τανυστών των τάσεων και τροπών, των οποίων οι φυσικές συνέπειες είναι διαφορετικές, μας οδηγεί στις παρακάτω παραμέτρους: Κατά τη θλίψη προστίθεται στην πίεση της κυψέλης ως εξωτερική δύναμη η μέση υδροστατική p από την κίνηση του εμβόλου της συσκευής. 1 2 p (4.4) Η εξασκούμενη πλευρική πίεση του νερού της κυψέλης επί του δοκιμίου είναι ένα μέρος της μεγαλύτερης κύριας τάσης 1. Έτσι έχουμε: F F i i 1 1 Ai Ai (4.5) Η 1 ορίζεται ως αποκλίνουσα τάση. Με το φορτίο αυτό εμφανίζονται διατμητικές τάσεις. q 1 (4.6) Στη μέση υδροστατική τάση p και την αποκλίνουσα τάση q αντιστοιχούν οι τροπές: ογκομετρική τροπή 1 2 (4.7) 2 διατμητική τροπή 1 (4.8) Τα δοκίμια της τριαξονικής δοκιμής έχουν κυλινδρική μορφή μόνο πριν από την έναρξη της διάτμησης. Κατά την διάρκεια επιβολής του φορτίου τα εδαφικά δοκίμια συνήθως παίρνουν βαρελοειδή μορφή και η κατανομή των τάσεων στο ύψος του δοκιμίου δεν είναι ομοιόμορφη. Συνεπώς η διατομή του δοκιμίου δεν είναι σταθερή. Πρακτικά μόνο η διατμητική δύναμη, σαν άθροισμα των επιμέρους διατμητικών δυνάμεων στην επιφάνεια της ολίσθησης του δοκιμίου, μπορεί να μετρηθεί. Για τον λόγο αυτό πρέπει να προσδιορισθεί η μέση επιφάνεια του δοκιμίου για τον υπολογισμό της εκάστοτε διατμητικής τάσης. Με ακριβή εκτέλεση της δοκιμής και στην περίπτωση όπου η μέτρηση της μεταβολής του όγκου κατά τη διάρκεια της δοκιμής θα ήταν εφικτή, το ύψος H και ο όγκος V 21

22 του δοκιμίου θα ήταν πάντα γνωστά, οπότε θα μπορούσε να υπολογισθεί η μέση διατομή του δοκιμίου A. V Vo Vi A (4.9) H H H o i 4.1. Περιγραφή της πειραματικής διάταξης Σε αυτή την παράγραφο θα γίνει περιγραφή της συσκευής τριαξονικής θλίψης αναφέροντας τα μέρη από τα οποία αποτελείτε και δίνοντας τα βασικά χαρακτηριστικά για καθένα από αυτά. Για την καλύτερη όμως κατανόηση της διάταξης της συσκευής δίνεται φωτογραφία αυτής στο Σχ Σχ Συσκευή τριαξονικής θλίψης του εργαστηρίου εδαφομηχανικής του πολυτεχνείου Κρήτης Οι μονάδες του συστήματος τριαξονικής φόρτισης (GDS, 2000) και τα τεχνικά χαρακτηριστικά αυτών (Στειακάκης, 200) είναι τα ακόλουθα: Αισθητήρας πίεσης πόρων: Είναι τύπου ημιαγωγών, σ ένα σχεδιασμό γέφυρας Wheaston. Μετατρέπει την πίεση που επιβάλλεται από παραμόρφωση ενός εσωτερικού διαφράγματος, σ ένα ηλεκτρικό σήμα ανάλογο της επιβαλλόμενης πίεσης. Το εύρος μέτρησης είναι 2000 kpa και έχει σφάλμα λόγω μη γραμμικής απόκρισης και υστέρισης 0,1% του εύρους μέτρησης. Κυψέλη: Είναι υδραυλική κυψέλη τασικών διαδρομών και αποτελείται από δύο μεταλλικές βάσεις που συναρμολογείται πάνω σε ένα διαφανή κύλινδρο από plexiglas. Στη βάση της κυψέλης υπάρχουν τέσσεροις αγωγοί που καταλήγουν σε βαλβίδες. Οι δύο από αυτούς συνδέονται με κάθετες οπές με την βάση στήριξης των δοκιμίων. Οι τέσσερεις αγωγοί είναι ο αγωγός εισόδου - εξόδου του υγρού πλήρωσης της κυψέλης (Α), ο αγωγός αποστράγγισης από τον πυθμένα (Β1), ο αγωγός για αντίστροφη πίεση κορεσμού (Β2) και ο αγωγός εξόδου για αποστράγγιση από την κορυφή του δοκιμίου (Γ). Η μέγιστη πίεση κυψέλης φτάνει τα 1700 KPa με μέγιστο αξονικό φορτίο 7 kn και μέγιστη αξονική μετατόπιση 25 mm. Κελί φόρτισης: Είναι εσωτερικό καταδυόμενο κελί λαδιού με αισθητήρες τύπου ημιαγωγών και μπορεί να μετρήσει μέγιστη δύναμη 2 kn. Παρουσιάζει σφάλμα λόγω μη γραμμικής απόκρισης και υστέρησης 0,1% του εύρους 22

23 μέτρησης και επιπλέον έχει απόκριση σε μεταβολές της πίεσης του κελιού μικρότερη από 2 % / MPa. Μετρητές παραμόρφωσης (εξωτερικά της κυψέλης): (α) τύπου LVDT με εύρος μέτρησης 25 mm ο οποίος παρουσιάζει σφάλμα λόγω μη γραμμικής απόκρισης και υστέρησης 0,25% του εύρους μέτρησης και (β) ηλεκτρονικό μηκυνσιόμετρο με εύρος μέτρησης 25 mm. Μετρητές τοπικής παραμόρφωσης: Είναι τύπου Hall effect με εύρος μέτρησης 2,5 mm για αξονική και 1,5 mm για αντιδιαμετρηκή μέτρηση. Τον μορφοποιητή δείγματος: είναι ένας μεταλλικός κύλινδρος ο οποίος συνθέτεται από ίσα μέρη (Σχ. 4.) που συγκρατούνται με τη βοήθεια μεταλλικού δακτυλίου. Ο μορφοποιητής χρησιμεύει στη μορφοποίηση και παρεμπόδιση του δοκιμίου να καταρρεύσει. Σχ. 4.. Ο μορφοποιητής δοκιμίου και ο μεταλλικός δακτύλιος που τον συγκρατεί. Οι πορόλιθοι: στη βάση κάθε κεφαλής του δοκιμίου τοποθετούνται πορώδεις λίθοι (Σχ 4.4α), που έχουν ακριβώς τη διάμετρο του δοκιμίου. Οι πωρόλιθοι έχουν πυκνές αλλά λεπτές οπές έτσι ώστε να επιτρέπεται η ροή του νερού μέσω των λίθων αλλά να μην είναι δυνατή η διέλευση μέσω αυτών των λεπτών εδαφικών κόκκων. Ελαστική μεμβράνη: Γύρω από το δοκίμιο τοποθετείται μια λεπτή, αδιαπέρατη ελαστική μεμβράνη με πάχος περίπου 0,5 mm, από υλικό που έχει μεγάλη αντοχή και συγκρατιέται από ελαστικούς δακτυλίους (Σχ. 4.4α). Τα βοηθητικά εξαρτήματα: σε αυτά ανήκουν ο εξολκέας (Σχ. 4.4β) για την τοποθέτηση των ελαστικών δακτυλίων (O-rings) στο δοκίμιο, η χοάνη για ομοιόμορφη ροή της άμμου, το ειδικό ταψί με οπή στο κέντρο για να εξυπηρετεί στο μάζεμα της άμμου κατά τη δημιουργία του δοκιμίου, το παχύμετρο για τη μέτρηση των διαστάσεων του δοκιμίου, το πουάρ για άσκηση αρνητικής πίεσης στο δοκίμιο ώστε να μην καταρρεύσει όταν απομακρυνθεί ο μορφοποιητής και μικρή σπάτουλα για επίπεδη διαμόρφωση της άνω επιφάνεια του δοκιμίου. 2

24 Σχ. 4.4: (α) Ελαστική μεμβράνη, ελαστικοί δακτύλιοι και πωρόλιθοι, (β) εξολκέας. Αναλυτική Διαδικασία: Παρασκευή Δοκιμίου Αρχικά ζυγίζεται η απαιτούμενη ποσότητα άμμου για τη δημιουργία του δοκιμίου. Η απαραίτητη ποσότητα, έπειτα από πολλές δοκιμές, είναι γνωστή για το υλικό που εξετάζουμε και έχει βάρος B 126, 94 gr. Ως πρώτο βήμα για τη δημιουργία του δοκιμίου τοποθετείται ο ένας πορόλιθος στη βάση της συσκευής (Σχ. 4.5α) και κατόπιν εφαρμόζουμε την ελαστική μεμβράνη, γύρω από τη βάση έτσι ώστε να προεξέχει προς τα επάνω. Η μεμβράνη σφίγγεται με δύο ελαστικούς δακτυλίους (O-rings). Ένας θα ήταν αρκετός αλλά τοποθετείται και δεύτερος ως εφεδρικός. Γίνεται έλεγχος εάν η μεμβράνη συγκρατείται σφιχτά από τους ελαστικούς δακτυλίους, τραβώντας την από την ελεύθερη πλευρά με το χέρι (Σχ. 4.5β). Σχ. 4.5: (α) ο πωρόλιθος τοποθετημένος στη βάση της συσκευής, (β) η ελαστική μεμβράνη συγκρατείται από δύο ελαστικούς δακτυλίους και γίνεται έλεγχος με το χέρι. Στη συνέχεια ο μορφοποιητής συναρμολογείται ώστε να περικλείει την ελαστική μεμβράνη και δύο ακόμη ελαστικοί δακτύλιοι τοποθετούνται στην κορυφή αυτού (Σχ. 4.6α). Η ελαστική μεμβράνη διπλώνεται γύρω από το άνω μέρος του μορφοποιητή ώστε να εφάπτεται στο εσωτερικό του. Πρέπει να τεντωθεί καλά ώστε να έχει τέλειο κυλινδρικό σχήμα, δίχως πτυχές στο εσωτερικό της επιφανείας του καλουπιού. Περνιέται ένα ταψί με άνοιγμα στο κέντρο (Σχ. 4.6β) στην άκρη του καλουπιού, ώστε η άμμος που μεταβιβάζεται στο καλούπι να μη πέφτει στις εγκοπές της συσκευής. 24

25 Σχ. 4.6: (α) δύο ελαστικοί δακτύλιοι τοποθετούνται με τη χρήση του εξολκέα στην κορυφή του μορφοποιητή, (β) το ειδικό ταψί έχει περαστεί στο μορφοποιητή και με χοάνη αφήνεται να ρεύσει η άμμος στο καλούπι. Στο επόμενο βήμα γίνεται η απόθεση της άμμου στο καλούπι που δημιουργήθηκε. Στην περίπτωσή μας χρησιμοποιήθηκε χοάνη την οποία γεμίσαμε μία μόνο φορά με άμμο που αφέθηκε να ρεύσει εντός του καλουπιού διατηρώντας το ύψος ροής σταθερό. Με αυτό τον τρόπο γεμίσματος επιτυγχάνεται δημιουργία χαλαρού δείγματος άμμου. Εάν το ύψος γεμίσματος είναι μικρό, το δοκίμιο που θα έχουμε θα είναι σχετικά χαλαρό. Με την αύξηση του ύψους εναπόθεσης, αυξάνεται η πυκνότητα του δοκιμίου. Όταν εν τέλει γεμίσει το καλούπι, αναπόφευκτα στο ανώτερο σημείο αυτού θα έχει δημιουργηθεί σωρός άμμου. Προσεκτικά με ένα κοφτερό αντικείμενο απομακρύνεται με ξύσιμο η περίσσεια άμμου, αφήνοντας την να πέσει στο ταψί, ώστε να δημιουργηθεί μια καλά στρωμένη και οριζόντια άνω επιφάνεια του δείγματος. Σχ. 4.7: (α) ο δεύτερος πωρόλιθος στην κορυφή του δοκιμίου, (β) το καπάκι πάνω από τον άνω πωρόλιθο και η μεμβράνη σφιγμένη με τους ελαστικούς δακτυλίους γύρο από αυτό. Στη συνέχεια τοποθετείται ο δεύτερος πορόλιθος (Σχ 4.7α) και πάνω σε αυτόν το καπάκι. Η ελαστική μεμβράνη, που έως τώρα ήταν διπλωμένη γύρω από τον μορφοποιητή, ξεδιπλώνεται ώστε να εφάπτεται στο πάνω καπάκι και εφαρμόζονται δύο ελαστικοί δακτύλιοι γύρω από αυτήν (Σχ 4.7β). Το δοκίμιο έχει πάρει το σχήμα του και ο μορφοποιητής πρέπει να απομακρυνθεί. Προτού όμως τον απομακρύνουμε συνδέουμε στον αγωγό 25

26 αποστράγγισης του πυθμένα (Β1) ένα πουάρ (Σχ. 4.8α) και ασκείται αρνητική πίεσης(κενό) στο δοκίμιο ώστε να μην καταρρεύσει όταν απομακρυνθεί ο μορφοποιητής. Η ασκούμενη αρνητική πίεση δεν πρέπει να είναι μεγάλη γιατί θα συμπιέσει το δείγμα με συνέπεια την αύξηση της πυκνότητάς του. Από εμπειρία προκύπτει ότι με εφαρμογή της μισής αρνητικής πίεσης που μπορεί να ασκήσει το πουάρ (ενδεικτική τιμή είναι τα 10 kpa για ένα μεγάλο εύρος δοκιμών για χαλαρή και συμπαγής άμμο) το δείγμα καταρρέει και παράλληλα δεν συμπιέζεται. Σχ. 4.8: (α) άσκηση αρνητικής πίεσης με πουάρ, (β) το τελικό δοκίμιο μετά την απομάκρυνση του μορφοποιητή. Το δοκίμιο τώρα παραμείνει στη βάση (Σχ. 4.8β), έχοντας την δυνατότητα να στηρίξει το βάρος του. Αφού μετρηθούν το ύψος και η διάμετρος του δοκιμίου, με χρήση παχυμέτρου, τοποθετείται η κυψέλη, βιδώνονται οι σφικτήρες και γεμίζεται η κυψέλη με νερό (Σχ. 4.9). Σχ Η κυψέλη τριαξονικής δοκιμής εμπεριέχει το δοκίμιο και γεμίζεται με νερό. 26

27 Εισαγωγή Δεδομένων Στην τριαξονική δοκιμή έχουμε τη δυνατότητα να κάνουμε δοκιμές ελεγχόμενης παραμόρφωσης ή ελεγχόμενης τάσης (Σχ. 4.10), αυτόματα μέσω Η/Υ. Τα πειράματα που ακολουθούν έχουν γίνει με δοκιμή ελεγχόμενης παραμόρφωσης και εφόσον κάθε δοκίμιο άμμου βρίσκεται σε ξηρή μορφή, επιλέχτηκε η δοκιμή χωρίς στερεοποίηση χωρίς στράγγιση ( ή UU). (α) Σχ. 4.10: (α) δοκιμή ελεγχόμενης τάσης, (β) δοκιμή ελεγχόμενης τροπής. Επειδή, της έχει ήδη αναφερθεί, σκοπός είναι η εύρεση της ελαστικότητας συγκεκριμένου της άμμου, απαραίτητη είναι η δημιουργία κύκλων (loops) φόρτισης αποφόρτισης σε κάθε δοκιμή. Η δημιουργία των κύκλων φόρτισης αποφόρτισης έγινε χειροκίνητα και όχι αυτόματα από την επιλογή του προγράμματος του Η/Υ, λόγω ασυμβατότητας αυτού. Πριν από κάθε φόρτιση και αποφόρτιση εμφανίζεται το παράθυρο που φαίνεται στο Σχ για την εισαγωγή των δεδομένων. Σε όλα τα πειράματα ο ρυθμός φόρτισης και αποφόρτισης είναι ο της αφού εξαρτάται από το της μελέτη υλικό και συγκεκριμένα για άμμους απαιτείται χαμηλός ρυθμός φόρτισης m 0.1mm / min (Γεωργόπουλος, 2005). Θέτοντας λοιπόν προσεγγιστικά το ύψος του δοκιμίου H o 80mm, υπολογίζεται ρυθμός φόρτισης m 7,2% / Hr. (β) 27

28 Σχ Παράθυρο λογισμικού τριαξονικής δοκιμής για την εισαγωγή δεδομένων. Στο παράθυρο του Σχ ως Start Val και Final Val ζητάτε η επί της εκατό αξονική παραμόρφωση στην αρχή και στο τέλος της δοκιμής αντίστοιχα. Κατά τη διάρκεια της δοκιμής έχουμε τη δυνατότητα να παρακολουθούμε της μεταβολές των τιμών από παράθυρο που εμφανίζεται κατά τη διάρκεια της δοκιμής (Σχ. 4.10). Της τιμές αυτές συμπεριλαμβάνεται και η επί της εκατό αξονική παραμόρφωση η οποία στο τέλος κάθε φόρτισης ή αποφόρτισης πρέπει να καταγράφεται ώστε να χρησιμεύσει ως δεδομένο στο επόμενο στάδιο. Σχ Παράθυρο που παρουσιάζεται κατά τη διάρκεια της δοκιμής για την παράλληλη παρακολούθηση των μεταβαλλόμενων τιμών. Σε κάθε δοκιμή παίρνονται, ανά 10 sec, αποτελέσματα της αξονικής μετατόπισης u a και της επιφανειακής αξονικής δύναμης F a. Τα αποτελέσματα αυτά χρησιμεύουν της ακόλουθους υπολογισμούς. Για τον υπολογισμό της μέσης διατομής του δοκιμίου A πρέπει να παίρνουμε μετρήσεις της μεταβολής του όγκου κατά τη διάρκεια της δοκιμής. Στην περίπτωση 28

29 της η απόκτηση των μετρήσεων αυτών δεν ήταν εφικτή λόγω τεχνικής δυσκολίας εφαρμογής μηκυνσιομέτρων (strain gates) και δεδομένου ότι τα δοκίμια της δεν εμπεριείχαν υγρασία, ώστε να υπολογίζεται η μεταβολή του όγκου του δοκιμίου σύμφωνα με την αποβαλλόμενη ποσότητα της. Για τον υπολογισμό της μέσης διατομής του δοκιμίου A, έχοντας πάντα γνωστό το ύψος του δοκιμίου H,χρησιμοποιήθηκε ο τύπος 4.10 με την εξής μορφή: i A o Do / 2 H H H όπου θεωρείται η μεταβολή του όγκου V 0 i 2 i o V Για τον υπολογισμό της αξονικής τάσης εφαρμόσθηκε ο τύπος i (4.10) F a (4.11) A Η αποκλίνουσα τάση q υπολογίστηκε από τον τύπο Fa q (4.12) A Ενώ για την εύρεση της αξονικής παραμόρφωσης a χρησιμοποιήθηκε ο τύπος ua a 100 (4.1) H o 4.2. Αποτελέσματα Μετρήσεων Τριαξονικής οκιμής Η εντατική κατάσταση εντός των δοκιμίων κατά την αστοχία τους για διάφορους συνδυασμούς κυρίων τάσεων ( 1, ),αποδίδονται με τους κύκλους του Mohr. Για τη σχεδίαση της περιβάλλουσας αστοχίας είναι απαραίτητα τα αποτελέσματα τουλάχιστον τριών δοκιμών με διαφορετικές πλευρικές πιέσεις για επίλυση με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. [Να επαναληφθεί η επεξεργασία των πειραμάτων που παρουσιάζεται παρακάτω] Πρώτη Τριαξονική Δοκιμή Στην πρώτη δοκιμή το ύψος του δοκιμίου μετρήθηκε H o 76, 5mm και η διάμετρος D 6, 89mm. Η ασκούμενη πλευρική πίεση τέθηκε ίση με 150KPa και έγιναν τρείς κύκλοι φόρτισης αποφόρτισης (Πίνακας 4.1). Πίνακας 4.1: Κύκλοι φόρτισης αποφόρτισης, δοκιμής ελεγχόμενης τροπής ( a ) με 150 KPa Αξονική τροπή (%) Αποκλίνουσα τάση (KPa) 1 η Φόρτιση 0-1, ,25 29

30 1 η Αποφόρτιση 2-1,94 150,25-49,74 2 η Φόρτιση 1,94-2,28 49,74-245,2 2 η Αποφόρτιση 2,28-2,19 245,2-49,2 η Φόρτιση 2,19-2,68 49,2-20,27 η Αποφόρτιση 2,68-2,5 20,27-49,21 4 η Φόρτιση 2, ,21-46 Από τα αποτελέσματα των μετρήσεων προέκυψαν τα διαγράμματα που παρουσιάζονται στα Σχ. 4.1, 4.14 και Αποκλίνουσα Τάση σ1-σ (KPa) ,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 Αξονική Τροπή Σχ Διάγραμμα αποκλίνουσας τάσης q (KPa) συναρτήσει της αξονικής τροπής ) για 150KPa. Με βάση το Σχ. 4.1 το δοκίμιο αστόχησε για αξονική τάση a 46, 45KPa και σε αξονική τροπή 5,7%. a ( a Αξονική Τάση σ1 (KPa) y = x - 21,2 R 2 = 0,971 y = x - 500,6 R 2 = 0,999 y = x - 865,8 R 2 = 0,9046 1ος κύκλος 2ος κύκλος ος κύκλος 0,017 0,019 0,021 0,02 0,025 0,027 0,029 Αξονική Τροπή Σχ Διάγραμμα κύκλων φόρτισης αποφόρτισης για 150KPa. 0

31 Στο διάγραμμα του Σχ χρησιμοποιήθηκαν τα δεδομένα των αποφορτίσεων κάθε κύκλου και με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων εκτιμήθηκε η παραμορφωσιμότητα. 176 Μέτρο Ελαστικότητας Ε (MPa) ,014 0,016 0,018 0,02 0,022 0,024 0,026 Αξονική Πλαστική Τροπή εp Σχ Διάγραμμα μέτρου ελαστικότητας E MPa συναρτήσει της αξονικής πλαστικής τροπή p για 150KPa. Δεύτερη Τριαξονική Δοκιμή Στην δοκιμή αυτή το ύψος του δοκιμίου μετρήθηκε H o 77, 82mm και η διάμετρος D 7, 4mm. Η ασκούμενη πλευρική πίεση τέθηκε ίση με 50KPa και έγιναν δύο κύκλοι φόρτισης αποφόρτισης (Πίνακας 4.2). Πίνακας 4.2: Κύκλοι φόρτισης αποφόρτισης, δοκιμής ελεγχόμενης τροπής ( a ) με 50KPa. Αξονική τροπή (%) Αποκλίνουσα τάση (KPa) Μέτρο ελαστικότητας (MPa) 1 η Φόρτιση 0-0, ,19 1 η Αποφόρτιση 0,82-0,78 172,19-20,12 2 η Φόρτιση 0,78-0,99 20,12-16,19 22,41 2 η Αποφόρτιση 0,99-0,85 16,19-18 η Φόρτιση 0, ,21 209,648 Από τα αποτελέσματα των μετρήσεων προέκυψαν τα διαγράμματα που παρουσιάζονται στα Σχ. 4.16, 4.17 και

32 Αποκλίνουσα Τάση σ1-σ (KPa) ,01 0,02 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 Αξονική Τροπή Σχ Διάγραμμα αποκλίνουσας τάσης q (KPa) συναρτήσει της αξονικής τροπής ) για 50KPa. Με βάση το Σχ το δοκίμιο αστόχησε για αξονική τάση a 1041KPa και αξονική τροπή 4,8%. a ( a Αξονική Τάση σ1 (KPa) y = 2241x ,8 R 2 = 0,9774 y = x - 142,2 R 2 = 0,969 1ος κύκλος 2ος κύκλος 0,007 0,0075 0,008 0,0085 0,009 0,0095 0,01 0,0105 Αξονική Τροπή Σχ Διάγραμμα κύκλων φόρτισης αποφόρτισης για 50 KPa. 2

33 Μετρο Ελαστικότητας E (MPa) ,006 0,0064 0,0065 0,0066 0,0067 0,0068 0,0069 Αξονική Πλαστική Τροπή εp Σχ Διάγραμμα μέτρου ελαστικότητας E MPa συναρτήσει της αξονικής πλαστικής τροπή p για 50KPa. Τρίτη Τριαξονική Δοκιμή Στην Τρίτη δοκιμή το ύψος του δοκιμίου μετρήθηκε H o 80mm και η διάμετρος D 8mm. Η ασκούμενη πλευρική πίεση τέθηκε ίση με 550 kpa και έγιναν τρείς κύκλοι φόρτισης αποφόρτισης (Πίνακας 4.). Πίνακας 4.: Κύκλοι φόρτισης αποφόρτισης, δοκιμής ελεγχόμενης τροπής ( a ) με 550KPa Αξονική τροπή (%) Αποκλίνουσα τάση (KPa) Μέτρο ελαστικότητας (MPa) 1 η Φόρτιση 0 2, ,68 1 η Αποφόρτιση 2, ,68 47,55 2 η Φόρτιση 2 2,28 47,55 400,56 290,866 2 η Αποφόρτιση 2,28 2,19 400,56-46,98 η Φόρτιση 2,19 2,68 46,98 600,06 276,794 η Αποφόρτιση 2,68 2,5 600,06 50, 4 η Φόρτιση 2, , ,22 Από τα αποτελέσματα των μετρήσεων προέκυψαν τα διαγράμματα που παρουσιάζονται στα Σχ. 4.19, 4.20 και 4.21.

34 Αποκλίνουσα Τάση σ1-σ (KPa) ,01 0,02 0,0 0,04 0,05 0,06 0,07 Αξονική Τροπή Σχ Διάγραμμα αποκλίνουσας τάσης q (KPa) συναρτήσει της αξονικής τροπής ) για 550KPa. Με βάση Σχ το δοκίμιο αστόχησε για αξονική τάση a 1650KPa και αξονική τροπή 6,1%. a ( a Αξονική Τάση σ1 (KPa) y = x ,2 R 2 = 0,9677 y = x ,8 R 2 = 0,9705 y = 28802x ,6 R 2 = 0,9616 1ος κύκλος 2ος κύκλος ος κύκλος 0,02 0,021 0,022 0,02 0,024 0,025 Αξονική Τροπή Σχ Διάγραμμα κύκλων φόρτισης αποφόρτισης για 550 KPa. 4

35 Μέτρο ΕΛαστικότητας Ε (MPa) ,018 0,0185 0,019 0,0195 0,02 0,0205 Αξονική Πλαστική Τροπή εp Μέση τιμή π ειραμάτων Σχ Διάγραμμα μέτρου ελαστικότητας E MPa συναρτήσει της αξονικής πλαστικής τροπή p για 550KPa. Τέταρτη Τριαξονική Δοκιμή Στην τέταρτη δοκιμή το ύψος του δοκιμίου μετρήθηκε H o 82mm και η διάμετρος D 6, 5mm. Η ασκούμενη πλευρική πίεση τέθηκε ίση με 750KPa και έγιναν τρείς κύκλοι φόρτισης αποφόρτισης (Πίνακας 4.4). Πρέπει να διευκρινιστεί ότι η δοκιμή αυτή εξελίχτηκε ομαλά όμως διακόπηκε εσκεμμένα προτού αναπτυχθεί η απαιτούμενη αξονική τάση για την αστοχία του δοκιμίου. Επιλέχθηκε η διακοπή της δοκιμής επειδή το έμβολο που ασκεί την αξονική τάση έχει από τις προδιαγραφές ως όριο μέγιστης ασκούμενης πίεσης τα 1900 KPa και κατά τη δοκιμή το όριο αυτό πλησιάστηκε αρκετά ( 1742KPa) με κίνδυνο την καταστροφή του εμβόλου. Τα δεδομένα όμως που αποκτήθηκαν από τη δοκιμή αυτή χρησίμευσαν για τη δημιουργία του διαγράμματος του Σχ και συνεπώς τον υπολογισμό της παραμορφωσιμότητας για πλευρική πίεση 750KPa. Πίνακας 4.4: Κύκλοι φόρτισης αποφόρτισης, δοκιμής ελεγχόμενης τροπής ( a ) με 750KPa Αξονική τροπή (%) Αποκλίνουσα τάση (KPa) 1 η Φόρτιση 0, η Αποφόρτιση,65, η Φόρτιση,61, η Αποφόρτιση,79, η Φόρτιση,68, η Αποφόρτιση,96, ,81 4 η Φόρτιση, , Μέτρο ελαστικότητας ) (MPa 29,69 01,615 01,2 Από τα αποτελέσματα των μετρήσεων προέκυψαν τα διαγράμματα που παρουσιάζονται στα Σχ και

36 Αποκλίνουσα Τάση σ1-σ (KPa) ,01 0,02 0,0 0,04 0,05 Αξονική Τροπή Σχ Διάγραμμα αποκλίνουσας τάσης q (KPa) συναρτήσει της αξονικής τροπής ( a ) για 750KPa. Αξονική Τάση σ1 (KPa) y = 01615x R 2 = 0,9682 y = 29599x ,2 R 2 = 0,9851 y = 012x R 2 = 0,9688 1ος κύκλος 2ος κύκλος ος κύκλος 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,04 Αξονική Τροπή Σχ Διάγραμμα κύκλων φόρτισης αποφόρτισης για 750 KPa. 6

37 Μέτρο Ελαστικότητας Ε (MPa) ,0 0,05 0,04 0,045 0,05 0,055 Αξονική Πλαστική Τροπή εp Μέση τιμή π ειραμάτων Σχ Διάγραμμα μέτρου ελαστικότητας E MPa συναρτήσει της αξονικής πλαστικής τροπής p για 750 KPa. Συμπερασματικά και από τις τέσσερεις δοκιμές τριαξονικής θλίψης στης οποίες υποβλήθηκε δεδομένο αμμώδες εδαφικό δείγμα, όσο η πλευρική τάση αυξάνει τόσο αυξάνει και η αντοχή του δοκιμίου και η παραμορφωσιμότητα. 4.. Κριτήριο Αστοχίας Mohr Coulomb Το κριτήριο αστοχίας Mohr Coulomb διατυπώνεται με την εξής σχέση: Για άμμους c 0 MPa c cos ( ) sin Επομένως, 1 Έστω 1 Άρα ( ) sin 1 sin sin Με βάση τις παραπάνω εξισώσεις για την 1 η δοκιμή προέκυψε η παρακάτω τιμή της γωνίας εσωτερικής τριβής της άμμου. 7

38 150Kpa 0, , ,45Kpa για τη 2 η δοκιμή 50Kpa 0, , Kpa και για την η δοκιμή 550Kpa 0,6 5, Kpa Επομένως υπολογίζεται η γωνία εσωτερικής τριβής της υπόψιν άμμου ως ο μέσος όρος: 6, 6 Παριστάνοντας γραφικά το κριτήριο αστοχίας Mohr - Coulomb και τους κύκλους του Mohr προκύπτει το Σχ Κύκλοι Mohr και κριτήριο αστοχίας Mohr-Coulomb σ = 50 Kpa σ = 550 Kpa σ = 150 Kpa 1000 ιατμητική Τάση τ [Kpa] Ορθή Τάση σ [Kpa] Σχ Κριτήριο αστοχίας Mohr - Coulomb και κύκλοι Mohr. Η παραπάνω τιμή της γωνίας εσωτερικής τριβής της άμμου μπορεί να συγκριθεί με την αντίστοιχη τιμή 5, 8 που βρέθηκε από πειράματα άμεσης διάτμησης (Σαμαρτζή, 2007). 8

39 ιατμητική τάση, τ (KPa) y = x R 2 = Ορθή τάση, σ ν (KPa) Σχ Πειραματικά αποτελέσματα διατμητικής τάσης ορθής τάσης που προέκυψαν από πειράματα άμεσης διάτμησης και καλύτερη γραμμική παρεμβολή (Σαμαρτζή, 2007). Στο Σχήμα 4.27 παριστάνεται γραφικά η εξάρτηση του μέτρου ελαστικότητας Ε από την υδροστατική πίεση p (που αντισοιχεί στην αξονική τάση στην οποία γίνεται αποφόρτιση), όπως αυτή προέκυψε από τα τέσσερα πειράματα των τριαξονικών δοκιμών. Από αυτό το σχήμα μπορεί να παρατηρηθεί ότι το μέτρο ελαστικότητας της υπόψιν άμμου αυξάνει με την αύξηση της μέσης υδροστατικής πίεσης. Επίσης μπορεί να σημειωθεί εδώ ότι το μέτρο ελαστικότητας που προέκυψε από την δοκιμή του συμπιεσομέτρου E t 100MPa με την παραδοχή σταθερής τιμής του λόγου Poisson της άμμου είναι της τάξης μεγέθους του Ε που υπολογίσθηκε κατευθείαν από τις τριαξονικές δοκιμές. Μέτρο Ελαστικότητας Ε (MPa) y = 200,21x + 11,15 R 2 = 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 Μέση Υδροστατική Πίεση p (MPa) Σχ Εξάρτηση του μέτρου ελαστικότητας E της άμμου (MPa) από την μέση υδροστατική πίεση p (MPa). 9

40 To μέτρο ελαστικότητος της άμμου που εκτιμήθηκε στην παρούσα εργασία έρχεται σε πλήρη επίσης συμφωνία με το μέτρο ελαστικότητας Ε = 120 MPa που βρέθηκε από ανάδρομη ανάλυση πειραματικών αποτελεσμάτων αναλογικού μοντέλου μελέτης των καθιζήσεων που προκαλούνται κατά την σταδιακή αστοχία μετώπου αβαθών σηράγγων με τη βοήθεια του προγράμματος πεπερασμένων διαφορών FLACD (βλ. Σχ.4.28) (Βαρδουλάκης, 2007). Σχ. 4.28: Προσομοίωμα στο FlacD για λόγο Η/D=2 (Η=βάθος σήραγγας και D = διάμετρος της κυλινδρικής σήραγγας) (Βαρδουλάκης, 2007). Η συγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων του μοντέλου αβαθούς σήραγγας με τα πειραματικά αποτελέσματα για H/D=2 φαίνονται στο Σχ Όπως φαίνεται στο σχήμα αυτό το σημείο που ληφθηκε από το FlacD, είχε το ίδιο απόλυτο ύψος με την U y7 (στέψη της σήραγγας) και παρουσιάζει τιμή κοντά στη γραμμή τάσης αυτής.από τα παραπάνω φαίνεται σε πρώτη φάση ότι η αριθμητική και η πειραματική λύση βρίσκονται σε συμφωνία. 40

41 0,25 0,2 0,15 uy/d 0,1 0, ,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0, ux/d Πειραματική κατανομή H/D2,y=2H Flac point H/D=2, y=2h Poly. (Πειραματική κατανομή H/D2,y=2H) Σχ. 4.29: Σύγκριση πειραματικών μετρήσεων, για δεδομένο ύψος y και λόγο H/D, με την τιμή που έδωσε το FlacD για δεδομένη αδιάστατη μέση οριζόντια μετατόπιση u x /D του μετώπου (Βαρδουλάκης, 2007). 5. ιατμητική αντοχή της άμμου [άσκηση #4 για τους μεταπτυχιακούς φοιτητές στο Excel : Να υπολογισθούν οι γωνίες τριβής και διασταλτικότητας της ίδιας άμμου συναρτήσει της διατμητικής μετατόπισης σε δοκιμές άμεσης διάτμησης] Exercise#4 direct shear test.xls 5.1. Η Αντοχή και ο Βασικός Μηχανισμός Αστοχίας μη- Συνεκτικών Εδαφών Για την κατασκευή μιας θεωρίας αντοχής των μη-συνεκτικών υλικών μπορούμε να θεωρήσουμε κάποιο μικρομηχανικό προσομοίωμα του εδάφους. Έτσι υποθέτουμε ότι η αντοχή ενός μη-συνεκτικού, κοκκώδους υλικού οφείλεται στην δυνατότητα i j i αναπτύξεως δυνάμεων επαφής μεταξύ δύο κόκκων (i) και (j), F j, Fi F j (βλ. Σχ. 5.1). 41

42 Έστω Σχ Μικρομηχανικό μοντέλο δομής κοκκώδους υλικού και μακροσκοπικές τάσεις i N j και i T j η ορθή και η διατμητική συνιστώσα αντιστοίχως της δυνάμεως επαφής στο κοινό επίπεδο επαφής μεταξύ δύο κόκκων. Υποθέτουμε ότι στην επαφή αυτή δεν αναπτύσσονται συνεκτικές δυνάμεις, οπότε δεχόμαστε ότι: α) η ορθή συνιστώσα είναι αυστηρά θλιπτική 2 και β) η διατμητική συνιστώσα της δυνάμεως επαφής υπακούει στον νόμο τριβής κατά Coulomb, T i j N i j tan Οι επαφές των κόκκων χαρακτηρίζονται από μία γωνία εσωτερικής τριβής, που εξαρτάται από την υφή και τη γεωμετρία της επιφάνειας των κόκκων. Ως συνέπεια αυτής της υποθέσεως θεωρούμε ότι και οι μακροσκοπικές τάσεις, που εμφανίζονται σε κάποιο "επίπεδο" αστοχίας υπακούουν σε ένα μακροσκοπικό νόμο τριβής, tan (5.1) Η γωνία φ καλείται γωνία τριβής του εδάφους. Για τον προσδιορισμό της γωνίας τριβής του εδάφους θα προσφύγουμε είτε σε εργαστηριακές δοκιμές, είτε σε δοκιμές πεδίου, είτε σε αντίστροφες στατικές αναλύσεις πραγματικών περιπτώσεων αστοχίας γεωκατασκευών. Σχετικά με το τρόπο αστοχίας των εδαφών θα παρατηρήσουμε ότι η "θραύση 4 " εντοπίζεται σε μία λεπτή ζώνη έντονης διατμήσεως του εδάφους, ενώ οι παρακείμενες εδαφικές μάζες εκατέρωθεν της "επιφάνειας" αστοχίας 2 Ένας τέτοιος σύνδεσμος καλείται μονόπλευρος (Αγγλ. unilateral constraint) Δηλ. της γωνίας τριβής που χαρακτηρίζει τις επαφές μεταξύ των κόκκων. 4 Ο όρος θραύση είναι μάλλον ατυχής εν προκειμένω αφού τα εδάφη είναι υλικά κατ' εξοχήν κατακερματισμένα και δεν δύνανται να θραυσθούν περαιτέρω, αν εξαιρέσουμε βεβαίως την περίπτωση φθοράς και κατακερματισμού των κόκκων που ενίοτε συμβαίνει κάτω από σημαντικές θλιπτικές και διατμητικές καταπονήσεις (άλεση). 42

43 συμπεριφέρονται μάλλον ως απολύτως στερεά σώματα. Θα παρατηρήσουμε δε ότι, όπως δείχνουν οι παρατιθέμενες φωτογραφίες και ραδιογραφίες του Σχ. 5.2, τα πειραματικά δεδομένα ενισχύουν την υπόθεση του Roscoe 5, ότι το πάχος της ζώνης εντοπισμού της διατμήσεως (της "επιφάνειας" αστοχίας) δεν εξαρτάται από τις εξωτερικές γεωμετρικές διαστάσεις του εκάστοτε προβλήματος αλλά από τη μικροδομή του υλικού και κυρίως από την μέση διάσταση των κόκκων του υλικού 6,7. Σχ. 5.2 Zώνη έντονης διατμήσεως, κατά την αστοχία ενός αμμώδους εδάφους καταπονούμενου σε διαξονική θλίψη. Στην αρνητική ραδιογραφία φαίνεται η ζώνη διατμήσεως σκιασμένη ως ζώνη έντονης αυξήσεως του πορώδους 8 Για παράδειγμα θεωρούμε το πρόβλημα της παθητικής ωθήσεως γαιών 9 (Σχ. 5.), όπου ένας κατακόρυφος, λείος και άκαμπτος τοίχος ωθείται παραλλήλως εντός του εδάφους και το ζητούμενο είναι η εκτίμηση μίας "ασφαλούς" τιμής για την "παθητική" ώθηση E p, που μπορεί να παραλάβει ο τοίχος χωρίς να καταρρεύσει το έδαφος επί του οποίου ο τοίχος αυτός αντιστηρίζεται. 5 K.H. Roscoe (1970). The influence of strains in soil mechanics, Géotechnique, 20, Vardoulakis, I. Schefugenbildung in Sandkörpern als Verzweigungsproblem, Disertation, Unersität Karlruhe, 1977, Veröffentlichungen, I.B.F. Heft Nr Mühlhaus, H.-B. and I. Vardoulakis (1987). The thickness of shear bands in granular materials, Géotechnique, 7, Vardoulakis, I., Graf, B. and A. Hettler (1985). Shear-band formation in a fine-grained sand. 5th Int. Conf. on Numerical Methods in Geomechanics, 1, , Balkema, Rotterdam. 9 C. A. Coulomb, Essai sur une application des règles des maximis et des minimis à quelques problèmes de statique. Mémoires Académie Royale des Sciences,Vol. 7, Paris

44 (α) (β) Σχ. 5.. Μηχανικό προσομοίωμα υπο κλίμακα παθητκής ωθήσεως κατακορύφου αναβαθμού από ξηρή άμμο μέσω λείου και άκαμπτου τοίχου. Μηχανισμός καταρρεύσεως κατά Coulomb συνιστάμενος από μία επίπεδη επιφάνεια αστοχίας: α) φωτογραφία, β) ραδιογραφία. Από τα παραπάνω παραδείγματα καθίσταται φανερό ότι για τη στατική ανάλυση ενός γεωστατικού προβλήματος αστοχίας, όπως αυτό της παθητικής ωθήσεως γαιών, χρειαζόμαστε την πληροφορία σχετικά με την αντοχή του εδάφους όταν αυτό διατέμνεται και σχηματίζει μία λεπτή διατμητική ζώνη ή "επιφάνεια" αστοχίας. Πράγματι, όπως φαίνεται στο παρακάτω Σχ. 5.4, στο παράδειγμα της εκτιμήσεως της παθητικής ωθήσεως το οποίο πρακτικά είναι ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης, δηλ. E p min( E) θα δεχθούμε ότι οι ορθές και διατμητικές τάσεις κατά μήκος του επιπέδου αστοχίας υπακούουν στο εσωτερικής νόμο του Coulomb, Εξ. (5.1), οπότε η συνισταμένη τους Q σχηματίζει γωνία με την κάθετο στο επίπεδο αστοχίας. 44

45 Σχ Στατική ανάλυση του προβλήματος της παθητικής ωθήσεως γαιών (δεξιά φαίνεται το δυναμοπολύγωνο για λεία επαφή τοίχου-γεωϋλικού). [Aσκηση #5: Προσπαθήστε να βρείτε το φορτίο Εp για την ολίσθηση του τοίχου στο παραπάνω παράδειγμα?????] 5.2. Τριβή και ιασταλτικότητα 10 Για τον εργαστηριακό προσδιορισμό της διατμητικής αντοχής ενός γεωυλικού συχνά θα προσφύγουμε στη σχετικά απλή δοκιμή της «απ' ευθείας ή άμεσης διατμήσεως 11» (Σχ. 5.5) που πραγματοποιείται στην αντίστοιχη συσκευή, η οποία υποτίθεται ότι επιβάλλει θραύση του δοκιμίου κατά μήκος μιάς οριζόντιας επιφάνειας στην θέση της σχισμής που χωρίζει το κινητό από το σταθερό τμήμα της συσκευής. Κατά τη δοκιμή αυτή το κατακόρυφο φορτίο N διατηρείται συνήθως σταθερό, ενώ επιβάλλεται η οριζόντια μετατόπιση του κινητού μέρους κάτω από σταθερή ταχύτητα. Μετρώνται συνεπώς η οριζόντια μετατόπιση u h του κινητού μέρους, η κατακόρυφη μετατόπιση u της οριζόντιας πλάκας επιβολής του φορτίου N καθώς και η εκάστοτε τιμή της οριζόντιας δυνάμεως T. Για την περαιτέρω ανάλυση των δεδομένων της δοκιμής υπολογίζουμε τη (μέση) ορθή και τη (μέση) διατμητική τάση στο επίπεδο της διατμήσεως, N, A T A 10 Αγγλ. dilatancy 11 Αγγλ. direct shear test 45

46 Σχ Σχηματική παράσταση της συσκευής άμεσης διατμήσεως Το κιβώτιο της συσκευής έχει ύψος Η και συνήθως τετραγωνική διατομή σε κάτοψη, αρχικού εμβαδού A0 L L ( L 6. cm ). Η επιφάνεια διατμήσεως μειώνεται προοδευτικά με τη διατμητική μετατόπιση u h ( u h L ) u h A A0 1 L Επειδή η δοκιμή ξεκινά από μία δεδομένη αρχική ορθή τάση, θα θεωρήσουμε, χωρίς σημαντικό λάθος, ότι η ορθή τάση παραμένει σταθερή, P. A 0 Ως παράδειγμα δοκιμής απ ευθείας διατμήσεως δίδονται στο παρακάτω διάγραμμα του Σχ. 5.6 και στον Πίν. 5.1 τα αποτελέσματα δύο πειραμάτων σε άμμο Ottawastandard 12. Τα εν λόγω πειράματα διατμήσεως αφορούν μία πυκνά διαστρωμένη (αρχικός δείκτης πόρων, e ) και μία σχετικά χαλαρά διαστρωμένη άμμο ( e ). Παρατήρηση: Σημειώνουμε ότι ο χαρακτηρισμός βάσει πυκνότητας ενός κοκκώδους εδάφους θα αποδοθεί με τη λεγόμενη σχετική πυκνότητα D r, που συσχετίζει το δείκτη πόρων της συγκεκριμένης άμμου με τις αντίστοιχες μέγιστες και ελάχιστες τιμές που μπορούν να επιτευχθούν στο εργαστήριο σε τυποποιημένες δοκιμές, D r e e max max e e min Συμφώνως με τον παραπάνω ορισμό έπεται ότι η σχετική πυκνότητα κυμαίνεται μεταξύ των τιμών 0 και 1, και οι μικρές τιμές της D αντιστοιχούν σε χαλαρή συσκευασία κόκκων. Σημείωση για τον ορισμό του πορώδους και του δείκτου πόρων: r 12 D.W. Taylor, Foundamentals of Soil Mechanics, Wiley,

47 ιάγραμμα φάσεων εδαφικού υλικού Με τη βοήθεια αυτών των ορισμών εισάγουμε το πορώδες 1 του κοκκώδους μέσου dv n (1.1) dv Τα όρια του πορώδους είναι: n 0 για ένα συμπαγές υλικό ( dv 0 ) n 1 για ένα αραιό αιώρημα ( dv dv ). Τυπικές τιμές του πορώδους για άμμους είναι, n και για αργίλους, n Εναλλακτικά στην Εδαφομηχανική θα γίνει συχνά χρήση του λεγόμενου δείκτη πόρων 14 : dv e (1.2) dv s Οι τιμές του δείκτη πόρων e ποικίλλουν από: e 0 για ένα συμπαγές υλικό ( dv 0 ) ως e για ένα αραιό αιώρημα ( dv s 0 ). Τυπικές τιμές του δείκτη πόρων για άμμους είναι e και για αργίλους e Η σχέση μεταξύ n και e προκύπτει από τους αντίστοιχους ορισμούς, 1 Αγγλ. porosity. Στην Πετρελαϊκή Μηχανική το πορώδες συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα. 14 Αγγλ. oids ratio 47

48 dv n V dv dv dvs dv dv V s dv 1 dvs 1 1 e n e, 1 n e n (1.) 1 e Σχ Τυπικά διαγράμματα λόγου τάσεων και διασταλτικότητας σε άμμο Ottawa-standard (D.W. Taylor, 1948) Πίν Δεδομένα του πειράματος κατ' ευθείαν διατμήσεως το σε άμμο Ottawa-standard 48

49 Από τα σχετικά διαγράμματα του πειράματος κατ' ευθείαν διατμήσεως παρατηρούμε ότι ο λόγος των τάσεων 15, tan είναι γενικώς μία συνάρτηση της διατμητικής μετατόπισης. Για τον λόγο αυτό η τασική γωνία 16 καλείται και ενεργοποιημένη γωνία τριβής 17 του υλικού και ο συντελεστής tan ( u h ) καλείται ενεργοποιημένος συντελεστής τριβής 18. Από τα διαγράμματα αυτά παρατηρούμε ότι σε μία σχετικά πυκνά διαστρωμένη άμμο ο λόγος των τάσεων αρχικά αυξάνει (κρατυνόμενος κλάδος) και εμφανίζει ένα μέγιστο (κορυφή 19 ), που ακολουθείται από ένα φθιτό κλάδο 20 (Σχ. 5.7). Μια χαλαρή άμμος αντιθέτως εμφανίζει μονοτόνως αύξοντα λόγο τάσεων Αγγλ. stress ratio 16 Αγγλ. stress obliquity 17 Αγγλ. mobilized friction angle, 18 Αγγλ. mobilized friction coefficient 19 Αγγλ. peak 20 Αγγλ. softening branch 21 Πρβλ: 49

50 Σχ Χαρακτηριστική καμπύλη λόγου τάσεων διατμητικής μετaτoπίσεως για πυκνή άμμο Επίσης παρατηρούμε ότι, όταν ένα κοκκώδες υλικό υφίσταται διάτμηση, τότε αυτό εμφανίζει παράλληλα και αλλαγές στον όγκο του. Το φαινόμενο αυτό καλείται διασταλτικότητα 22 και αποδίδεται στον Reynolds 2 (Σχ. 5.8). Σχ Σχηματική εικόνα διασταλτικής λειτουργίας που οδηγεί από την κανονική πυκνή συσκευασία ομοειδών σφαιρών στην αντίστοιχη χαλαρή Ως διασταλτικότητα θα ορίσουμε γενικώς τον λόγο του ρυθμού αλλαγής όγκου προς τον ρυθμό διατμητικής παραμορφώσεως tan (5.2) Στο πείραμα της απ ευθείας διατμήσεως η γωνία εμφανίζεται ως η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα της ταχύτητας διατμήσεως με το επίπεδο διατμήσεως (τον άξονα x στο σχήμα 5.9) και καλείται ως εκ τούτου (ενεργοποιημένη) γωνία διασταλτικότητας 24 του υλικού. Πράγματι, αν δεχθούμε ότι η διάτμηση εντοπίζεται μέσα σε μία λεπτή λωρίδα πάχους d και το πεδίο ταχυτήτων είναι γραμμικό 22 διασταλτικός = ικανός να διαστέλλει ή να διαστέλλεται. Aγγλ. dilatant (dilatancy) 2 Reynolds, O. (1885). On the dilatancy of media composed of rigid particles in contact. With experimental illustrations. Phil. Mag. (2) 20, Also: Truesdell, C. and Noll, W.: The Non-Linear Field Theories of Mechanics, Handbuch der Physik Band III/, section 119, Springer Αγγλ. mobilized dilatancy angle 50

51 x z u h, d z z u d Ο ρυθμός αλλαγής όγκου στην λωρίδα διατμήσεως περιγράφεται από την ποσότητα, dz dz u d ενώ ο ρυθμός της διατμητικής τροπής από την ποσότητα dx dz u h d Σχ Λεπτή λωρίδα από διατεμνόμενο κοκκώδες υλικό που εμφανίζει θετική διασταλτικότητα (αύξηση όγκου, αύξηση πορώδους) Άρα με την προϋπόθεση ότι η παραμόρφωση μέσα στη ζώνη διατμήσεως είναι ομογενής παίρνουμε ότι η διασταλτικότητα του υλικού υπολογίζεται ανεξάρτητα από το πάχος d της ζώνης διατμήσεως ως ο λόγος της ταχύτητας διατμήσεως προς τον ρυθμό μεταβολής του ύψους του δοκιμίου, du tan (5.) duh Αυτό σημαίνει ότι ο ενεργοποιημένος συντελεστής διασταλτικότητας tan ( u h ) προκύπτει ως η κλίση της αντίστοιχης πειραματικής καμπύλης διασταλτικότητας, u u ( u h ). Εισάγοντας ως αδιάστατη παράμετρο την διατμητική τροπή, u h (5.4) d παρατηρούμε ότι τα πειραματικά δεδομένα μπορούν να γραφούν υπό μορφή αντίστοιχων συναρτήσεων των συντελεστών ενεργοποιημένης τριβής και διασταλτικότητας 51

52 tan ( ), tan ( ) (5.5) Σημειώνουμε τέλος ότι η μεταβολή της ογκομετρικής τροπής συνδέεται με την αλλαγή του πορώδους n (5.6) 1 n Αυτό σημαίνει ότι διαστολική συμπεριφορά ( 0 ) συνεπάγεται αύξηση του πορώδους ενώ συστολική συμπεριφορά ( 0 ) μείωση του πορώδους. Επίσης παρατηρούμε ότι η διασταλτικότητα του κοκκώδους υλικού είναι γενικώς φθίνουσα συνάρτηση της μετατοπίσεως u h. Ειδικότερα από τα πειραματικά δεδομένα προκύπτει, ότι όταν η άμμος είναι πυκνά διαστρωμένη αυτή έχει γενικώς την τάση να διογκώνεται κατά την απ' ευθείας διάτμηση, 0. Αντιθέτως μία χαλαρά διαστρωμένη άμμος θα έχει την τάση να συρρικνώνεται ( 0 ). Τέλος παρατηρούμε ότι για μεγάλες τιμές της διατμητικής μετατοπίσεως από το πείραμα προκύπτει ότι ο λόγος των τάσεων τείνει είτε εκ των άνω ή είτε εκ των κάτω προς μία σταθερή τιμή tan cs (5.7) ενώ παράλληλα η διασταλτικότητα του υλικού τείνει ασυμπτωτικά στο μηδέν (ισόχωρη παραμόρφωση) du du h tan 0 cs που αντιστοιχεί στην κατάσταση σταθερού όγκου. Η κατάσταση αυτή καλείται κρίσιμη κατάσταση 25. Άρα στην κρίσιμη κατάσταση η γωνία διασταλτικότητας μηδενίζεται ( 0), το πορώδες του κοκκώδους υλικού δεν μεταβάλλεται και η cs γωνία τριβής τείνει σε μία τιμή (κρίσιμη γωνία τριβής 26 ). Η σταθερή τιμή cs c του πορώδους n cs στην κρίσιμη κατάσταση δεν εξαρτάται από την αρχική του τιμή αλλά μόνο από την τιμή της (σταθερής) ορθής (ενεργού) τάσεως σ. 5.. Θεωρία ιασταλτικής Τριβής κατά Taylor Στην βάση των παραπάνω πειραματικών παρατηρήσεων μπορούμε τώρα να εισάγουμε ορισμένους χρήσιμους ορισμούς και να προχωρήσουμε στη διατύπωση μιας απλής καταστατικής θεωρίας για την περιγραφή της μηχανικής συμπεριφοράς 25 Αγγλ. critical state (cs). 26 Αγγλ. friction angle at critical state. Ο δείκτης (c) υποδηλώνει ότι στην κρίσιμη κατάστταση ο ογκος διατηρείται. (Αγγλ. constant olume) 52

53 των κοκκωδών υλικών σε απ' ευθείας διάτμηση. Γενικώς θα παρατηρήσουμε ότι κατά την παραμόρφωση ενός γεωυλικού θα αναλύσουμε την τροπή σε δύο συνιστώσες, την ελάστική και την πλαστική συνιστώσα όπως παριστάνεται στο Σχ. 5.10α. Π.χ. η διατμητική τροπή θα αναλυθεί ως εξής, e p Η ελαστική τροπή και αντιστοιχεί στο αναστρέψιμο τμήμα της ολικής τροπής, e G p όπου G είναι το μέτρο διατμήσεως του εδάφους. Η συνιστώσα καλείται πλαστική τροπή και αντιστοιχεί στην παραμένουσα (μη-αναστρέψιμη) τροπή. Σχ Ελαστο-πλαστικό και απολύτως στερεό-πλαστικό υλικό Χάριν απλότητας θα δεχθούμε ότι το κοκκώδες υλικό συμπεριφέρεται ως ένα απολύτως στερεό-πλαστικό υλικό (Σχ. 5.10β), δηλαδή θα δεχθούμε ότι οι παραμορφώσεις του είναι πλήρως μη-αντιστρέψιμες, θεωρώντας τις οποιεσδήποτε ελαστικές παραμορφώσεις αμελητέες G e 0 p Για τον ορισμό του μαθηματικού προσομοιώματος ενός κοκκώδους υλικού θα ορίσουμε τώρα την λεγόμενη συνάρτηση διαρροής 27 F ( ) Θα δεχθούμε ότι, όταν το κοκκώδες υλικό φορτίζεται και παραμορφώνεται πλαστικά (όταν "διαρρέει"), τότε ισχύει η αντίστοιχη συνθήκη διαρροής Αγγλ. yield function 28 Αγγλ. yield condition 5

54 F 0 ( ) (5.8) Παρατηρούμε τώρα ότι η εξίσωση (5.) μπορεί να γραφεί ως ένας κινηματικός περιορισμός μεταξύ απειροστικών μεταβολών της (πλαστικής) διατμητικής και της ογκομετρικής τροπής, ( ) (5.9) 'Eνας τέτοιος κινηματικός περιορισμός καλείται ως ο νόμος πλαστικής ροής 29 του υλικού. Ενας απλός τρόπος, που μας επιτρέπει να συσχετίσουμε την ενεργοποιημένη τριβή με την ενεργοποιημένη διασταλτικότητα ενός κοκκώδους υλικού είναι να δούμε προσεκτικά την έκφραση για το στοιχειώδες έργο παραμορφώσεως. Γενικώς, το έργο των εσωτερικών δυνάμεων ανά μονάδα μήκους της ζώνης διατμήσεως υπολογίζεται από το ολοκλήρωμα καθ' ύψος της ζώνης του στοιχειώδους έργου των τάσεων πάνω στις απειροστικές τροπές, d W ( 0 xx xx xz xz zx zx zz zz ) Στο Καρτεσιανό σύστημα που επιλέξαμε, οι τάσεις και οι μεταβολές των τροπών δίδονται απο τους παρακάτω πίνακες 0 dz xx 0 [ ] 0 yy 0 0, 0 [ ] 0 / / 2 0 Δεχόμεθα ότι οι τάσεις και οι τροπές είναι σταθερές μέσα στη ζώνη διατμήσεως. Το στοιχειώδες εργο των εσωτερικών δυνάμεων δίδεται εν προκειμένω από την έξής σχέση W ( ) d (5.10) Από την έκφραση αυτή γίνεται φανερό ότι η διατμητική τάση είναι ενεργειακώς συζυγής με τον ρυθμό διατμητικής παραμορφώσεως, u h / d, όπως επίσης και ότι η ορθή τάση είναι συζυγής με τον ρυθμό ογκικής παραμορφώσεως, u h / d. Λαμβάνοντας δε υπ όψιν τη συνθήκη διαρροής και τον νόμο πλαστικής ροής από την παραπάνω σχέση (5.10) παίρνουμε την εξής έκφραση για το στοιχειώδες έργο παραμορφώσεως W (tan tan ) u h 29 Αγγλ. plastic flow-rule 0 Προς αποφυγή λαθών δεχόμεθα την σύμβαση πρόσημου της Μηχανικής, όπου οι θλιπτικές τάσεις είναι αρνητικές. 54

55 Υποθέτουμε τώρα ότι όλο το έργο των εσωτερικών δυνάμεων αναλίσκεται, W D γεγονός το οποίο στη βάση του 2 ου θερμοδυναμικού αξιώματος σημαίνει ότι η ειδική κατανάλωση πρέπει να είναι θετική, οπότε D u W h u h (tan tan ) 0 (5.11) Από την ανισότητα αυτή έπεται, ως πρώτος βασικός περιορισμός, ότι σε κάθε κατάσταση του κοκκώδους υλικού η γωνία διασταλτικότητας δεν μπορεί να υπερβεί την τιμή της αντίστοιχης γωνίας τριβής (5.12) Η λεγόμενη 1 η υπόθεση της θεωρίας διασταλτικής διατμήσεως του Taylor 1 επιτάσσει όπως η ειδική κατανάλωση ενέργειας είναι ανεξάρτητη της κατάστασης του υλικού, D u h tan (5.1) eq Η 2 η υπόθεση της θεωρίας διασταλτικής διατμήσεως του Taylor απαιτεί επιπλέον ότι όλη η μηχανική ενέργεια αναλίσκεται σε θερμότητα, D Q Οι υποθέσεις της θεωρίας του Taylor σημαίνουν ότι ένα κοκκώδες, που χαρακτηρίζεται από εσωτερική τριβή και διασταλτικότητα συμπεριφέρεται ως ένα υλικό με εσωτερική τριβή, που παραμορφώνεται ισόχωρα και που έχει γωνία τριβής ίση με την γωνία eq που δίδεται από την διαφορά taneq tan tan (5.14) Άρα, συμφώνως προς την υπόθεση Taylor, ένα κοκκώδες υλικό θα ταυτισθεί από ενεργειακή σκοπιά με ένα υποθετικό υλικό, που παραμορφώνεται ισόχωρα και που υπακούει στον νόμο τριβής κατά Coulomb. Η γωνία τριβής του από σκοπιά καταναλώσεως ενεργειακώς ισοδύναμου μέσου θα ταυτισθεί κατ' αρχήν με την γωνία τριβής στην κρίσιμη κατάσταση όπου η παραμόρφωση είναι εξ ορισμού ισόχωρη 2,. eq cs 1 D.W. Taylor. Fundamentals of Soil Mechanics, John Wiley, Γι' αυτό θα χρησιμοποιηθεί καμία φορά και ο συμβολισμός c (Αγγλ. cconstant olume) 55

56 Ενεργειακή ισοδυναμία μεταξύ πραγματικού κοκκώδους υλικού με εσωτερική τριβή και διασταλτικότητα και ιδεατού υλικού τύπου Coulomb, που παραμορφώνεται χωρίς μεταβολές όγκου και με σταθερή γωνία τριβής. Στη σχετική βιβλιογραφία θα βρούμε τη τιμή της eq να ταυτίζεται με την τιμή της ενεργοποιημένης γωνίας τριβής στην κατάσταση μέγιστης συμπυκνώσεως (mc: n min! ), eq mc. Αξίζει δε να σημειωθεί ότι τόσο ο Rowe 4,5 όσο και ο de Joselin de Jong 6 επεξέτειναν την θεωρία αυτή και για άλλες τασικές οδεύσεις (όπως τριαξονική θλίψη, διαξονική θλίψη κ.λπ.) και ονόμασαν την γωνία eq ως την πραγματική γωνία τριβής 7 και την ταύτισαν με την γωνία τριβής μεταξύ των κόκκων ενός κοκκώδους υλικού, eq. Από την σχέση Taylor στη κατάσταση αιχμής, max tan p tan eq tan p, tan p du du h max συμπεραίνουμε ότι η αντοχή του κοκκώδους υλικού αποτελείται από μία συνιστώσα που αφορά στην τριβή μεταξύ κόκκων 8 ( eq ) και μία συνιστώσα που αφορά στην εμπλοκή τους 9. Σημειώνουμε ότι από την σχετική βιβλιογραφία βρίσκουμε την εξής εμπειρική σχέση, o p p 20 Αν λύσουμε την σχέση του Taylor ως προς το συντελεστή διασταλτικότητας tan tan tan (.14) eq Αγγλ. maximum compaction. 4 P.W. Rowe (1962). The stress-dilatancy relation for static equilibrium of an assembly of particles in contact. Proc. Roy. Soc., 269, P.W. Rowe (1971). Theoretical meaning and obsered alues of deformation parameters for soil. Proc. Roscoe Mem. Symp., Cambridge, De Josselin de Jong (1976). Rowe's stress-dilatancy relation based on friction. Géotechnique, 26, Αγγλ. true angle of friction 8 Αγγλ. intergranular friction 9 Αγγλ. grain interlockng 56

57 συμπεραίνουμε ότι μία χαλαρά διαστρωμένη άμμος ( p eq ), θα έχει την τάση κατά την διάτμηση να συμπυκνώνεται με συνεχώς φθίνοντα ρυθμό, γεγονός που αντανακλάται σε συνεχή κράτυνση, δηλαδή σε μονότονη αύξηση της ενεργοποιημένης γωνίας τριβής. Αντιθέτως μία πυκνά διαστρωμένη άμμος μετά από μια σύντομη σχετικά αρχική φάση περαιτέρω συμπυκνώσεως θα έχει γενικώς την τάση να διασταλεί, γεγονός που οδηγεί στην ύπαρξη αντοχής αιχμής και φθιτού (ασταθούς) κλάδου. Από το συγκεκριμένο παράδειγμα κατ' ευθείαν διατμήσεως παίρνουμε τις εξής τιμές για τις παραμέτρους αντοχής της πυκνής άμμου Ottawa-standard: (α) γωνία τριβής o o αιχμής: πυκνή άμμος 2., χαλαρή άμμος 27.. (β) γωνία p 6 διασταλτικότητας αιχμής: πυκνή άμμος 0 p 9. 8 p 2, χαλαρή άμμος 0 p (γ) γωνία τριβής στην κρίσιμη κατάσταση: eq (25.05 ). Συνολικά οι δύο δοκιμές απ' ευθείας διατμήσεως δίδουν βάσει της σχέσεως τριβής-διασταλτικότητας o του Taylor τη βέλτιστη τιμή 25.. eq 07 o 0 Υπόθεση Taylor:Συντελεστές ενεργοποιημένης τριβής και διασταλτικότητας για μία πυκνή και μία χαλαρή άμμο σε κατ' ευθείαν διάτμηση 57

58 Βέλτιστη προσέγγιση των πειραματικών δεδομένων για πυκνή άμμο, ώστε να ικανοποιείται η συνθήκη (.10) του Taylor λόγου τάσεων-διασταλτικότητας Πειραματική επαλήθευση της υποθέσεως Taylor Η θεωρία Taylor μπορείνα βελτιωθεί, άν χαλαρώσουμε την την 2 η υπόθεση και υποθέσουμε ότι μόνο ένα τμήμα της ειδικής καταναλώσεως μετατρέπεται σε θερμότητα, δεχόμενοι πως ένα (μικρό) μέρος αυτής αναλίσκεται σε "δομική φθορά" 58

59 των κόκκων (π.χ. κατακερματισμός και λειοτρίβηση κόκκων). Η υπόθεση αυτή οδηγεί τελικά στην εξής σχέση 40, 1 tan tan tan 1 eq 0 (0 1) (.15) Η εφαρμογή της παραπάνω εξισώσεως στα δεδομένα από τα πειράματα κατ' ευθείαν διατμήσεως του Taylor οδηγεί στα εξής αποτελέσματα (πρβλ. Τα σχετικά γραφήματα που ακολουθούν): Μετεπεξεργασία των πειραματικών δεδομένων κατ' ευθείαν διατμήσεως στη βάση της Εξ. (.15) 41 Πυκνή άμμος Χαλαρή άμμος p. 28. eq I. Vardoulakis (200). Taylor's stress-dilatancy hypothesis reisited. Submitted for publication. 41 'Οπως φαίνεται και από τα επόμενα διαγράμματα η προσεγγιση των πειραματικών δεδομένων έγινε στο φθιτό κλάδο των αντίστοιχων καμπύλων τάσεων-τροπών. Παρατηρούμε δε ότι εμπροκειμένω η διόρθωση που προκύπτει απότην Εξ. (.15) είναι της τάξεως του 10%. 59

60 Προσέγγιση δεδομένων στη βάση της γενικευμένης θεωρίας Taylor στη βάση της Εξ. (.15) 60

61 Παρατηρήσεις Μέσα στα πλαίσια της Μαθηματικής Θεωρίας της Πλαστικότητας θα παραστήσουμε γεωμετρικά την συνθήκη διαρροής (.7) και τον νόμο πλαστικής ροής (.8) στο ίδιο διάγραμμα, στο επίπεδο των τάσεων, ). ( zz xz Γραφική παράσταση της συνθήκης διαρροής και του νόμου πλαστικής ροής στο επίπεδο των τάσεων Από το σχετκό διάγραμμα κάνουμε τις εξής διαπιστώσεις: Κατά την υλοποίηση του πειράματος απ' ευθείας διατμήσεως οι τάσεις ακολουθούν την αμειγώς διατμητική "τασική όδευση" 42 (ΑΒ), αφού η όρθή τάση παραμένει (σε καλή προσέγγιση) σταθερή. Η εκάστοτε εντατική κατάσταση στο επίπεδο αστοχίας παρίσταται στο διάγραμμα αυτό από το διάνυσμα OB, που έχει κλίση ίση προς την ενεργοποιημένη τριβή, tan (άρα βρίσκεται πάνω στην αντίστοιχη επιφάνεια διαρροής, F 0 ). Ο νόμος πλαστικής ροής παρίσταται γεωμετρικά με το διάνυσμα, το οποίο προσαρτάται στο εκάστοτε σημείο της τασικής οδεύσεως, στο σημείο Β, εν προκειμένω. Η αντίστροφη κλίση του διανύσματος του ρυθμού της πλαστικής παραμορφώσεως ισούται με την ενεργοποιημένη διασταλτικότητα στο εν λόγω σημείο, tan. Αρα οι συνιστώσες του διανύσματος αυτού στο εν λόγω σύστημα είναι ανάλογές προς τον ρυθμό πλαστικής παρομορφώσεως όγκου και σχήματος, αντιστοίχως. Αυτή η απεικόνιση είναι εν προκειμένω ιδαίτερα χρήσιμη, αφού τα εμπλεκόμενα στατικά και κινηματικά μεγέθη είναι ενεργειακώς συζυγή συμφώνως πρός την σχέση (.9). Αυτό σημαίνει ότι το εσωτερικό γινόμενο του διανύσματος των τάσεων με 42 Αγγλ. stress path 61

62 το διάνυσμα του ρυθμού πλαστικής παραμορφώσεως ρυθμού πλαστικής παραμορφώσεως αποδίδει το έργο του 1 D d Ειδικότερα τονίζουμε στο σημείο αυτό ότι η παραπάνω καταστατική ανισότητα (.11), μεταξύ γωνίας διασταλτικότητας και τριβής, σημαίνει γεωμετρικά ότι το διάνυσμα του ρυθμού της πλαστικής παραμορφώσεως B δεν είναι κάθετο πάνω στην αντίστοιχη "επιφάνεια" διαρροής,. Αυτή είναι μία σημαντική διαφορά της θεωρίας πλαστικότητας των μη-συνεκτικών γεωυλικών από την αντίστοιχη θεωρία των όλκιμων μετάλλων ή άλλων συνεκτικών υλικών, όπως οι άργιλοι κάτω από κατάλληλες συνθήκες. Στις περιπτώσεις αυτές το υλικό εμφανίζει διατμητική αντοχή c (συνεκτικότητα 4 ), που είναι ανεξάρτητη από την ορθή τάση στο επίπεδο αστοχίας και η παραμόρφωσή του υλικού είναι ισόχωρη. Συνθήκη διαρροής και νόμος πλαστικής ροής για συνεκτικό υλικό Στην περίπτωση συνεκτικών υλικών ισχύει η λεγόμενη συνθήκη καθετότητας 44, δηλαδή το διάνυσμα πλαστικής ροής ( 0 ) είναι κάθετο στην αντίστοιχη επιφάνεια διαρροής, F c 0. Η συνθήκη καθετότητας με τη σειρά της αποτελεί τη βάση για την απόδειξη μιας σειράς γενικών προτάσεων, χρήσιμων για την ασφαλή εκτίμιση άνω και κάτω φραγμάτων του φορτίου καταρρεύσεως μιάς κατασκευής 45. Στην περίπτωση όμως που δεν ισχύει η συνθήκη καθετότητος τα σχετικά θεωρήματα άνω και κάτω φράγματος επίσης δεν ισχύουν, και ως εκ τούτου υπάρχει αβεβαιότητα όσον αφορά την πρακτική αξία ένος υπολογισμού σε σχέση με το φορτίο καταρρεέυσεως της γεωκατασκευής. Η αδυναμία αυτή της θεωρίας πλαστικότητας των γεωυλικών αντανακλάται σε πολλές πρακτικές εφαρμογές, όπου δεν μπορούμε να εξασφαλίσουμε εκ προϊμίου την ποιότητα και αξία των θεωρητικών μας προβλέψεων και καθιστούν την πειραμτική εξακρίβωση καθώς και την παρατήρηση στο πεδίο απολύτως αναγκαίες. 4 Αγγλ. cohesion 44 Αγγλ. normality condition 45 πρβλ. Ι.Βαρδουλάκης, Μαθηματική Οριακή Ανάλυση, Ε.Π.Μ.,

63 5.4. οκιμές άμεσης διάτμησης της άμμου Στα Σχ. 4.1, 4.2 φαίνεται η πειραματική συσκευή που χρησιμοποιήθηκε για τον χαρακτηρισμό των ιδιοτήτων διατμητικής αντοχής της άμμου. Σχήμα4.1: Αποψη της συσκευής άμεσης διάτμησης. Σχήμα4.2: Yποδοχέας της άμμου. Η διαδικασία που ακολουθήθηκε για την πραγματοποίηση των δοκιμών άμεσης διάτμησης της άμμου ήταν η εξής : 1. Ζυγίζουμε ένα δίσκο με ξηρό (ή γνωστής περιεκτικότητας σε υγρασία ), μη συνεκτικό έδαφος του οποίου οι εδαφοτεχνικές παράμετροι πρόκειται να προσδιοριστούν. Η ποσότητα του διαθέσιμου δείγματος πρέπει να είναι αρκετή για τρεις δοκιμές με δείγμα ίδιας πυκνότητας. 6

64 2. Συναρμολογούμε τα τμήματα του υποδοχέα και μετράμε τις διαστάσεις του (βάθος, πλάτος /μήκος ή διάμετρος κ.λ.π.) ώστε να είναι δυνατός ο υπολογισμός της εγκάρσιας διατομής Α και της πυκνότητας του εδαφικού δοκιμίου. Τοποθετούμε τον υποδοχέα στη συσκευή διάτμησης.. Τοποθετούμε τον πορόλιθο βάσης και το έδαφος υπό μορφή στρώσεων μέχρι 5 mm από την κορυφή του υποδοχέα. Έπειτα επιπεδώνουμε την επιφάνεια του εδάφους και τοποθετούμε τον πορόλιθο της κορυφής και το εξάρτημα φόρτισης (μεταλλική πλάκα). Τέλος σημειώνουμε το εξάρτημα φόρτισης περιμετρικά, σε σχέση με τον υποδοχέα του δοκιμίου προκειμένου να καταγραφούν ενδείξεις αναφοράς του αρχικού πάχους. 4. Ζυγίζουμε εκ νέου τον δίσκο με το εδαφικό δείγμα. Η διαφορά του βάρους αυτού και του προηγούμενου ζυγισθέντος παρέχει το βάρος του χρησιμοποιημένου δείγματος. 5. Μετράμε το βάρος του ζυγού φόρτισης (4,4 kg για τη συσκευή του εργαστηρίου) και τον προσαρμόζουμε επί της μεταλλικής πλάκας φόρτισης (ή εξισορροπούμε το σύστημα επιβολής του κατακόρυφου φορτίου, εάν υπάρχει διάταξη που το επιτρέπει, στη θέση που μόλις εφάπτεται της μεταλλικής πλάκας). 6. Εφαρμόζουμε βάρος W στο άγκιστρο του ζυγού φόρτισης ώστε να επιβληθεί στο δοκίμιο κατακόρυφο φορτίο Ν και να ασκηθεί η επιδιωκόμενη κατακόρυφη τάση σ. Ας σημειωθεί ότι για την εκτίμηση του επιβαλλόμενου φορτίου Ν θα πρέπει εκτός του βάρους W να ληφθεί υπόψη το βάρος του εξαρτήματος φόρτισης (μεταλλική πλάκα) και το βάρος του ζυγού φόρτισης όπως φαίνεται στην παρακάτω σχέση : N W ά ή ό ά ύ ό Ο υπολογισμός της αντίστοιχης ορθής τάσης προκύπτει από τη σχέση : για τετραγωνική διατομή LxL N 0 7. Προσαρμόζουμε τα μηκυνσιόμετρα για τη μέτρηση των διατμητικών και κατακόρυφων μετατοπίσεων. Για τη μέτρηση της κατακόρυφης παραμόρφωσης (δηλαδή της μεταβολής του πάχους του δοκιμίου) θα πρέπει να χρησιμοποιούνται μηκυνσιόμετρα με ακρίβεια mm ενώ για τη μέτρηση των διατμητικών παραμορφώσεων, μηκυνσιόμετρα με ακρίβεια 0.01 mm. 8. Αφαιρούμε τους κατακόρυφους κοχλίες που συγκρατούν τα δύο τμήματα του υποδοχέα και ανυψώνουμε το ανώτερο πλαίσιο στρέφοντας ανάλογα τους κοχλίες απομάκρυνσης. Επίσης συσφίγγουμε τους κατάλληλους κοχλίες για να επιτευχθεί καλή συναρμογή μεταξύ του ανώτερου πλαισίου του υποδοχέα με το οριζόντιο στέλεχος που επιβάλλει τη διατμητική δύναμη. Μεταξύ των δύο τμημάτων του υποδοχέα πρέπει να υπάρχει μία απόσταση μεγαλύτερη από τη διάμετρο του μεγαλύτερου κόκκου για να αποφεύγεται η εμπλοκή τους μεταξύ των τμημάτων. Αν η απόσταση είναι μικρή τότε έχουμε θραύση των κόκκων που είναι μεταξύ των τμημάτων με αποτέλεσμα να έχουμε αιφνίδιες 64

65 μεταβολές στις ενδείξεις των μηκυνσιομέτρων. Για τα περισσότερα εδάφη η απόσταση αυτή είναι της τάξης του 1 mm. 9. Επιλέγουμε την ταχύτητα της οριζόντιας μετατόπισης η οποία πρέπει να είναι της τάξης των 0.5 έως 2% της διαμέτρου του δοκιμίου ανά λεπτό (0.5 mm/min 2 mm/min) και η ολική διάρκεια της δοκιμής να μην ξεπερνά τα -5 λεπτά. Καταγράφουμε τις αρχικές ενδείξεις των μηκυνσιομέτρων (διατμητικής δύναμης, διατμητικών και κατακόρυφων παραμορφώσεων) και αρχίζουμε τη διάτμηση η οποία συνεχίζεται μέχρι να αποκτήσει η διατμητική δύναμη σταθερή τιμή για αυξανόμενη διατμητική παραμόρφωση ή μέχρι η διατμητική παραμόρφωση να φτάσει το 10% της αρχικής διαμέτρου του δοκιμίου. Σε μια δοκιμή ελεγχόμενης παραμόρφωσης καταγράφουμε τις ενδείξεις όλων των μηκυνσιομέτρων ανά διαστήματα που καθορίζονται από την οριζόντια μετατόπιση. Αρχικά ανά 5 και στη συνέχεια (ανάλογα με τις μεταβολές των ενδείξεων ) ανά 10 ή 20 υποδιαιρέσεις του μηκυνσιομέτρου οριζόντιας μετατόπισης. 10. Μετά την ολοκλήρωση της δοκιμής, απομακρύνουμε το εδαφικό δοκίμιο από τον υποδοχέα και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία σε άλλα δύο δοκίμια χρησιμοποιώντας διαφορετικά κατακόρυφα φορτία N. (προτείνεται ο διπλασιασμός κάθε φορά του επιβαλλόμενου βάρους W). Τέλος πρέπει να ελέγχεται η πυκνότητα του δοκιμίου που χρησιμοποιείται κάθε φορά με βάση τα σημάδια που σημειώσαμε στο εξάρτημα φόρτισης (βήμα ) Επεξεργασία Αποτελέσματα δοκιμών άμεσης διάτμησης Kατά την εκτέλεση του πειράματος κατεγράφησαν τιμές για την κάθετη μετατόπιση u της οριζόντιας πλάκας επιβολής του φορτίου Ν, την οριζόντια διατμητική μετατόπιση u h του κινητού μέρους και την οριζόντια διατμητική δύναμη T. Το πείραμα εκτελέσθηκε σε τρία δοκίμια χρησιμοποιώντας διαφορετικά κατακόρυφα φορτία Ν. Οι τιμές του Ν υπολογίζονται παρακάτω για εφαρμοζόμενο βάρος W στο άγκιστρο του ζυγού 5 kg, 10 kg και 15 kg αντιστοίχως: N W B 1 B 2 Όπου Β 1 =βάρος εξαρτήματος φόρτισης και Β 2 =βάρος του ζυγού φόρτισης για W = 5 kg για W = 10 kg για W = 15 kg Ν = 5 + 0, = 10,09 kg = Ν Ν = , = 15,09 kg = Ν Ν = , = 20,09 kg = Ν Ακολουθεί ο πίνακας της διατμητικής δύναμης Τ συναρτήσει της οριζόντιας μετατόπισης u h για Ν= Ν, Ν και Ν καθώς και τα αντίστοιχα διαγράμματα. 65

66 Πίνακας 4.1: Η οριζόντια διατμητική δύναμη Τ συναρτήσει της οριζόντιας μετατόπισης u. h για W = 5 kg για W = 10kg για W = 15 kg u h (mm) Τ (N) u h (mm) Τ (N) u h (mm) Τ (N) 0,00 0, ,12 2,472 0,20,825 0,04 5,412 0,8 58,179 0,48 7,062 0,04 5,412 0,72 67,650 0,76 94,710 0,20 6,765 1,07 7,062 1,12 104,181 0,40 60,885 1,40 7,062 1,49 105,54 0,69 108,240 1,77 7,062 1,88 106, ,888 2,15 71,709 2,20 105,54 1,5 140,712 2,50 69,00 2,56 105,54 1,71 146,124 2,84 67,650 2,92 104,181 2,10 147,477,17 67,650,26 100,122 2,46 147,477,52 66,297,59 98,769 2,8 147,477,85 66,297,90 98,769,18 146,124 4,18 64,944 4,24 98,769,51 146,124 4,5 64,944 4,57 98,769,85 146,124 4,89 66,297 4,90 98,769 4,19 146,124 5,25 64,944 5,28 101,475 4,5 146,124 5,1 64,944 5,68 102,828 4,71 146,124 5,76 102, Shear force, T (N) N=98.95 N N N Horizontal displacement, u h (mm) Διάγραμμα 4.1: Μεταβολή της οριζόντιας διατμητικής δύναμης Τ συναρτήσει της οριζόντιας μετατόπισης u h για W = 5 kg. Για τον υπολογισμό της υπολογίζουμε πρώτα τη διορθωμένη επιφάνεια Α (Α = μήκος x πλάτος). Επειδή η συσκευή είναι τετραγωνικής διατομής με πλευρά L =59,7 mm η επιφάνεια Α θα ισούται με L 2. Όμως λόγω της οριζόντιας μετατόπισης u h η επιφάνεια ισούται με A LL u h. Επίσης η διατμητική τάση υπολογίζεται από τον τύπο: 66

67 T Ακολουθούν οι πίνακες της διορθωμένης επιφάνειας A, της κατακόρυφης τάσης και της διατμητικής τάσης για τα πειράματα με ορθά φορτία Ν= Ν, Ν και Ν, αντίστοιχα. Πίνακας 4.2: H διορθωμένη επιφάνεια A, η κατακόρυφη τάση σ και η διατμητική τάση για N=98.95 N. Πίνακας 4.: H διορθωμένη επιφάνεια A διορ, η κατακόρυφης τάσης σ η και η διατμητική δύναμη τ για W = 10kg και Ρ ν = 15,0891 kg. 67

68 Πίνακας 4.4: H διορθωμένη επιφάνεια A διορ, η κατακόρυφης τάσης σ η και η διατμητική δύναμη τ για W = 15kg και Ρ ν = 20,0891 kg Stress ratio, τ/σ N=98.95 N N N Horizontal displacement, uh (mm) Σχ Καμπύλες λόγου τάσεων διατμητικής μετaτoπίσεως της εξεταζόμενης άμμου. Πίνακας 4.5: Οι μέγιστες τιμές τις διατμητικής τάσης τ, της οριζόντιας διατμητικής δύναμης P hmax και της κατακόρυφης τάσης σ η. W(kg) T max (Nt) τ max (Pa) τ max (kpa) σ max (kpa) 5 7,062 0, , , ,887 0,0192 1,92 45, ,477 0, , ,

69 τ(kpa) Διάγραμμα τ-σ η y = x R 2 = σ η KPa) Διάγραμμα 4.4: Η διατμητική τάση τ συναρτήσει της κατακόρυφης τάσης σ η. Από την κλίση της ευθείας που προκύπτει από το διάγραμμα υπολογίζεται η γωνία εσωτερικής τριβής φ και από την τομή της με τον άξονα των τεταγμένων. tanφ = => φ = ο [βρείτε την μέγιστη γωνία τριβής p της άμμου] 4.. Διασταλτικότητα ψ Η διασταλτικότητα δίνεται από τον τύπο : u arctan u Ακολουθεί ο πίνακας με τις τιμές της διασταλτικότητας ψ, της οριζόντιας και της κάθετης μετατόπισης, της διατμητικής τάσης τ καθώς και της μέγιστης τιμής της διασταλτικότητας ψ max για W=5, 10 και 15kg. Τέλος δίνονται τα διαγράμματα της διασταλτικότητας συναρτήσει της διατμητικής τάσης, της κάθετης μετατόπισης συναρτήσει της οριζόντιας μετατόπισης και της μέγιστης διασταλτικότητας συναρτήσει της μέγιστης διατμητικής τάσης. h 69

70 Πίνακας 4.5: για 5 κιλά. Πίνακας 4.6: για 10 κιλά. Πίνακας 4.7: για 15 κιλά. 70