Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο"

Transcript

1 Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η σειρά γραπτών και προγραμματιστικών ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Ιανουάριος 2017 CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

2 Outline 1 Άσκηση 1: Εφαρμογές BFS DFS 2 Άσκηση 2: Μια Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθυνόμενα Γραφήματα 3 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας 4 Άσκηση 4: Το Σύνολο των Συνδετικών Δένδρων 5 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 6 1η Προγραμματιστική Άσκηση 7 2η Προγραμματιστική Άσκηση CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

3 Άσκηση 1α: Εφαρμογές BFS DFS ΙΔΕΑ: Το T δέντρο άρα υπάρχει μοναδικό μονοπάτι από τον r στον v που περνάει από τον u. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

4 Άσκηση 1α: Εφαρμογές BFS DFS Στον αλγόριθμο DFS κάθε χρονική στιγμή έχουμε τριών ειδών κορυφές: Ανεξερεύνητη Υπό Εξέταση Εξερευνημένη Οταν u ανεξερεύνητη v ανεξερεύνητη Οταν u υπό εξέταση v υπό εξέταση ή εξερευνημένη Οταν u εξερευνημένη v εξερευνημένη Εστω s(u) η χρονική στιγμή που ο κόμβος u έγινε υπό εξέταση. Εστω d(u) η χρονική στιγμή που ο κόμβος u έγινε εξερευνημένος. Αν u πρόγονος του v s(u) < s(v) και d(u) > d(v). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

5 Άσκηση 1α: Εφαρμογές BFS DFS Αντίστροφα: Αν ο u δεν είναι πρόγονος του v. Οταν u υπό εξέταση v ανεξερεύνητη. Επομένως, d(u) < s(v). u πρόγονος του v s(u) < s(v) και d(u) > d(v). Προεπεξεργασία: Κάνουμε DFS και κρατάμε τα s(u), d(u) για κάθε κόμβο u. Πολυπλοκότητα: O(n). Ερώτημα: Εξετάζουμε αν s(u) < s(v) και d(u) > d(v). Πολυπλοκότητα: O(1). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

6 Άσκηση 1β: Εφαρμογές BFS DFS Εστω P 1, P 2 δύο διαφορετικά μονοπάτια (όχι ξένα μεταξύ τους) από τον s στον t τ.ω. P 1 άρτιος και P 2 περιττός. Το G Ισχυρά Συνεκτικό υπάρχει μονοπάτι P από τον s στον t. Χ.β.τ.γ. P άρτιος υπάρχει κλειστή διαδρομή (PP 2 ) που ξεκινάει από τον s και καταλήγει στον s και PP 2 περιττός. ΠΡΟΣΟΧΗ: (PP 2 ) κλειστή διαδρομή όχι απαραίτητα απλός κατευθυνόμενος κύκλος. Η (PP 2 ) αποτελείται από πολλούς απλούς κατευθυνόμενους κύκλους C 1, C 2,, C k. Αν κάθε C i άρτιος (PP 2 ) άρτιος, ΑΤΟΠΟ. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

7 Άσκηση 1β: Εφαρμογές BFS DFS Αλγοριθμική Ιδέα: Αν βρούμε ότι από κόμβο s υπάρχει περιττό και άρτιο μονοπάτι προς κόμβο t περιττός κύκλος. Αποδοτική Υλοποίηση Με BFS: Κάνουμε BFS από τυχαίο κόμβο s. Κάθε κόμβος u, όταν εξερευνείται, παίρνει ένα χρώμα, ΑΣΠΡΟ ή ΜΑΥΡΟ. Κατά την εξέταση κάθε κόμβου u εξευρευνούνται τα παιδιά του και: αν δεν έχουν χρώμα, παίρνουν το αντίθετο από τον u. αν κάποιο παιδί v έχει ήδη χρώμα ίδιο με αυτό του u, απαντάμε ΝΑΙ. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

8 Άσκηση 1β: Εφαρμογές BFS DFS Ορθότητα: ( ) Οι κόμβοι που βάφονται με ΑΣΠΡΟ έχουν μονοπάτι άρτιου μήκους από τον s. Οι κόμβοι που βάφονται με ΜΑΥΡΟ έχουν μονοπάτι περιττού μήκους από τον s. Ολοι οι κόμβοι θα βαφτούν με κάποιο χρώμα γιατί το G Ισχυρά Συνεκτικό. Αν βρεθεί κόμβος που μπορεί να βαφτεί είτε με ΑΣΠΡΟ είτε με ΜΑΥΡΟ υπάρχει κύκλος περιττού μήκους. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

9 Άσκηση 1β: Εφαρμογές BFS DFS Ορθότητα: ( ) Εστω ότι υπάρχει κύκλος C περιττού μήκους. G Ισχυρά Συνεκτικό Ολοι οι κόμβοι του C παίρνουν κάποιο χρώμα. Οπως και να χρωματιστεί ο C, υπάρχει πάντα ακμή (u, v) με ίδιο χρώμα στα άκρα της. Πολυπλοκότητα: O( V + E ). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

10 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα Εστω κατευθυνόμενο γράφημα όπου κάθε κορυφή έχει μια α- κέραια τιμή p u > 0. Ορίζουμε ως κόστος κάθε κορυφής: c(u) = τιμή της φθηνότερης κορυφής που είναι προσπελάσιμη από τη u (συμπεριλαμβανομένης της u) Είσοδος: Κατευθυν. γράφημα G(V, E) με τιμές p u, u V Ζητούμενο: Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου που υπολογίζει το c(u) για κάθε κορυφή u (α) DAG (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

11 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα Εστω μια κορυφή u. Τότε όλες οι κορυφές που είναι προσπελάσιμες από τη u είναι οι εξής: η ίδια η κορυφή u οι κορυφές με τις οποίες συνδέεται με ακμή u v i : v 1,..., v d οι κορυφές που είναι προσπελάσιμες από τις v 1,..., v d Συνοπτικά γράφουμε: c(u) = min{p u, min v:(u,v) E {c(v)}} CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

12 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (α) Αλγόριθμος για DAG Θέλουμε να βρούμε ένα τρόπο να υπολογίσουμε πρώτα όλες τις τιμές c(v), v : (u, v) e και μετά να κρατήσουμε τη μικρότερη τιμή min{p u, min v:(u,v) E {c(v)}} Θα θέλαμε να χειριστούμε τις κορυφές με μια συγκεκριμένη σειρά. Επειδή το γράφημα είναι DAG, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τοπολογική διάταξη και έπειτα να εξετάσουμε τις κορυφές στην αντίστροφη σειρά. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

13 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (α) Αλγόριθμος για DAG Αλγόριθμος 1 Τοπολογική διάταξη των κορυφών στο G 2 Εξετάζοντας τις κορυφές σε αντίστροφη σειρά από την τοπολογική διάταξη: Για κάθε κορυφή u V υπολογίζουμε c(u) = min{p u, min v:(u,v) E {c(v)}} Πολυπλοκότητα: Και τα δύο βήματα απαιτούν χρόνο O( V + E ), άρα γραμμικός αλγόριθμος CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

14 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Ισχυρά συνεκτική συνιστώσα (ΙΣΣ) ενός κατευθυνόμενου γραφήματος G(V, E) = ένα μέγιστο σύνολο κορυφών U V, τ.ώ. u, v U να υπάρχει διαδρομή u v και v u. Θα βασιστούμε στο γεγονός ότι Οι ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες ενός κατευθυνόμενου γραφήματος μπορούν να υπολογιστούν σε γραμμικό χρόνο. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

15 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Το γράφημα G που προκύπτει αν συρρικνώσουμε κάθε ΙΣΣ σε μια κορυφή είναι DAG. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

16 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Αν βρούμε τη τοπολογική διάταξη του μεταγραφήματος αυτού, ουσιαστικά βάζουμε τις ΙΣΣ σε μια φθίνουσα σειρά χρόνων αναχώρησης του DFS Οι {G, H, I, J, K, L}, {D} είναι τερματικές ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες (= ισχυρά συνεκτική συνιστώσα χωρίς εξερχόμενες ακμές στο μεταγράφημα). Στην τοπολογική διάταξη του μεταγραφήματος, μια τερματική ΙΣΣ είναι η μετακορυφή με το χαμηλότερο χρόνο αναχώρησης, δηλ. η τελευταία στη διάταξη. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

17 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Αν ξεκινήσουμε τον DFS από έναν κόμβο που ανήκει σε μια τερματική ΙΣΣ, τότε θα εξερευνήσουμε όλη την ΙΣΣ αυτή και θα σταματήσουμε. Ιδέα αλγόριθμου: 1 Ξεκινάμε από έναν κόμβο που ανήκει σε μια τερματική ΙΣΣ. 2 Βρίσκουμε μέσω DFS όλους τους κόμβους σε αυτήν την ΙΣΣ. 3 Αφαιρούμε την ΙΣΣ αυτή και επαναλαμβάνουμε. Πώς βρίσκουμε μια τερματική ΙΣΣ; CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

18 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Αν ξεκινήσουμε τον DFS από έναν κόμβο που ανήκει σε μια τερματική ΙΣΣ, τότε θα εξερευνήσουμε όλη την ΙΣΣ αυτή και θα σταματήσουμε. Ιδέα αλγόριθμου: 1 Ξεκινάμε από έναν κόμβο που ανήκει σε μια τερματική ΙΣΣ. 2 Βρίσκουμε μέσω DFS όλους τους κόμβους σε αυτήν την ΙΣΣ. 3 Αφαιρούμε την ΙΣΣ αυτή και επαναλαμβάνουμε. Πώς βρίσκουμε μια τερματική ΙΣΣ; Στο αντίστροφο γράφημα G R μια τερματική ΙΣΣ γίνεται μια αρχική ΙΣΣ, δηλαδή μια ΙΣΣ χωρίς εισερχόμενες ακμές! CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

19 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Αλγόριθμος για ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες 1 DFS(G ) για τον υπολογισμό των χρόνων αναχώρησης f [u] για κάθε u V 2 υπολογισμός αντίστροφου γραφήματος G R (δηλ. με ανεστραμμένες τις ακμές) 3 DFS(G R ) στο κύριο βρόχο for της DFS_Init εξετάζουμε τις κορυφές σε φθίνουσα σειρά των χρόνων f [u] από το βήμα 1 4 οι κορυφές κάθε δένδρου από το βήμα 3 συναποτελούν μια συνεκτική συνιστώσα Πολυπλοκότητα: O( V + E ) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

20 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Πώς ο αλγόριθμος για τις ισχυρά συνεκτικές συνιστώσες μας βοηθά στον υπολογισμό του c(u); Σε μια ισχυρά συνεκτική συνιστώσα U V, για κάθε u, v U υπάρχει διαδρομή u v και v u. Άρα c(u) = c(v), u, v U. Συνεπώς, αρκεί να υπολογίσουμε τη μικρότερη τιμή p(u) κάθε ΙΣΣ και να τρέξουμε τον αλγόριθμο του ερωτήματος (α) στο μεταγράφημα των ΙΣΣ του G. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

21 Άσκηση 2: Συνάρτηση Κόστους σε Κατευθ. Γραφήματα (β) Γενίκευση για κάθε κατευθυνόμενο γράφημα G Αλγόριθμος 1 Βρίσκουμε τις συνεκτικές συνιστώσες του γραφήματος. 2 Για κάθε ΙΣΣ U, υπολογίζουμε το p (U) = min u U p(u). 3 Στο μεταγράφημα με κορυφές τις ΙΣΣ του G, τρέχουμε τον αλγόριθμο του ερωτήματος (α). Βρίσκουμε τις τιμές c (U). 4 Για κάθε ΙΣΣ, για κάθε κορυφή u U θέτουμε c(u) = c (U). Κάθε βήμα απαιτεί χρόνο O( V + E ) γραμμικός αλγόριθμος. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

22 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Είσοδος: Εταιρικό δίκτυο με n υπολογιστές C 1,.., C n Τριάδες της μορφής (C i, C j, t) σε αύξουσα σειρά οι C i και C j θα επικοινωνήσουν τη χρονική στιγμή t C 1 μολύνεται τη χρονική στιγμή t 1 = 0 Ζητούμενο: Αλγόριθμος γραμμικού χρόνου που βρίσκει για κάθε υπολογιστή C j τη χρονική στιγμή t j που μολύνθηκε Σημείωση: Ενας υπολογιστής μολύνεται όταν επικοινωνεί τη στιγμή t με κάποιον υπολογιστή που μολύνθηκε κάποια στιγμή t t. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

23 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Η λύση βασίζεται στην κατασκευή του εξής κατευθυνόμενου γράφου: Διαβάζουμε τις τριάδες σε αύξουσα σειρά χρόνου. Για κάθε τριάδα (C i, C j, t), δημιουργούμε έναν κόμβο [C i /t] και έναν [C j /t]. Προσθέτουμε μια κατευθυνόμενη ακμή [C i /t] [C j /t] και μια κατευθυνόμενη ακμή [C i /t] [C j /t]. Ελέγχουμε αν είναι η πρώτη φορά που συναντάμε στις τριάδες τον υπολογιστή C i. Αν όχι, βρίσκουμε τη τελευταία χρονική στιγμή t t που συναντήσαμε τον C i σε κάποια τριάδα. Ετσι, προσθέτουμε μια κατευθυνόμενη ακμή [C i /t ] [C i /t]. Ομοια, για τον C j. Υλοποίηση αυτού του βήματος: Με ένα πίνακα n θέσεων. Στη θέση i για τον C i αποθηκεύουμε την πιο πρόσφατη επικοινωνία που είχε (δηλ. κάποιον κόμβο [C j /t ]). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

24 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Εχοντας κατασκευάσει αυτό το γράφο, το αρχικό πρόβλημα μεταφράζεται στο πρόβλημα εύρεσης όλων των κόμβων που ανήκουν στην ίδια συνεκτική συνιστώσα με τον κόμβο [C 1 /0]. Πχ. στο παραπάνω παράδειγμα, οι C 4, C 5 δεν μπορούν να μολυνθούν CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

25 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Διατηρούμε έναν ακόμα πίνακα results[1..n] θέσεων, όπου στην i-οστή θέση θα αποθηκεύουμε τη χρονική στιγμή που προσβλήθηκε ο C i. 1 Αρχικοποιούμε τις θέσεις του πίνακα results[1..n] στο NULL (μη μολυσμένοι υπολογιστές). 2 Ξεκινώντας από τον κόμβο [C 1 /0], εκτελούμε τον BFS/DFS στον κατευθυνόμενο γράφο που κατασκευάσαμε. 3 Κάθε φορά που συναντάμε ένα νέο κόμβο [C i, t] και ο C i είναι μη μολυσμένος (δηλαδή results[i] NULL), θέτουμε results[i] = t. Αλλιώς θέτουμε results[i] = min(t, results[i]). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

26 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Βασιζόμαστε στο εξής: Υπάρχει ένα κατευθυνόμενο μονοπάτι από το κόμβο [C 1 /0] στον [C /t], ανν όντως ο C έχει μολυνθεί μέχρι και τη στιγμή t. Από την κατασκευή του γράφου, ακμή υπάρχει μόνο ανάμεσα σε δύο υπολογιστές που επικοινωνούν την ίδια στιγμή t ή ανάμεσα σε δύο κόμβους [C i /t 1 ] [C i /t 2 ], t 1 t 2. Ετσι, κατά την εκτέλεση του BFS, ο ιός βρίσκει μόνο έγκυρα κατευθυνόμενα μονοπάτια μέχρι τον υπολογιστή [C /t]. Αντίστροφα, αν ο C μολύνεται τη στιγμή t t, θα υπάρχει μια ακολουθία επικοινωνίας ανάμεσα σε υπολογιστές που οδήγησε στη μόλυνση του C. Αντίστοιχα, στο γράφο θα υπάρχει εκ κατασκευής κάποιος κόμβος [C /t ], οι αντίστοιχοι ενδιάμεσοι κόμβοι και ακμές και άρα ένα μονοπάτι [C 1 /0] [C /t ]. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

27 Άσκηση 3: Ανάλυση Ασφάλειας Χρονική Πολυπλοκότητα O(m) Μέγεθος κατευθυνόμενου γράφου: V = O(m) και E = O(m) Για κάθε τριάδα προσθέτω το πολύ 2 κόμβους και το πολύ 4 ακμές. Κατασκευή γράφου και πίνακα ελέγχου: O(m) Εκτέλεση BFS σε γραμμικό χρόνο ως προς το γράφο: O(m). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

28 Άσκηση 4α: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων 4α) Εστω T 1,T 2 δύο διαφορετικά συνδετικά δέντρα και e T 2 \T 1 (T 2 \T 1 ). T 1 {e} περιέχει κύκλο C.Υπάρχει ακμή e C,e / T 2 (Αλλίως T 2 περιέχει τον C) (T 1 \{e}) {e } είναι άκυκλο με n 1 ακμές = Συνδετικό δέντρο. Εύρεση e Εστω T 1, T 2 και e = {u, v}. Σε O( V ) κάνουμε Διάσχιση κατά Βάθος από το u στο v στο δέντρο T 1 και βρίσκουμε μονοπάτι P που τους συνδέει. Για κάθε e P ελεγχούμε σε O(1) αν ανήκει στο T 2 και μόλις βρούμε e P,e / T 2 την αφαιρουμε. Συνολικά, O( V ) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

29 Άσκηση 4β: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων Ιδιότητα Εστω T 1, T 2 H και d H (T 1, T 2 ) το μήκος του συντομότερο μονοπατιού μεταξύ T 1, T 2 στο H. Τότε T 1 \T 2 = k ανν d H (T 1, T 2 ) = k Απόδειξη Θα χρησιμοποήσουμε Επαγωγή στο μήκος του μονοπατιού: Επαγωγική Βάση: Από ορισμό του H, T 1 \T 2 = 1 ανν d H (T 1, T 2 ) = 1. Επαγωγική Υπόθεση: T 1 \T 2 = k ανν d H (T 1, T 2 ) = k. Επαγωγική Βήμα: Θ.δ.ο. T 1 \T 2 = k + 1 ανν d H (T 1, T 2 ) = k + 1 CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

30 Άσκηση 4: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων Απόδειξη Επαγωγικού Βήματος = Εστω e T 1 /T 2. Λόγω (α), υπαρχει e T 2 /T 1 τ.ω. T 1 = (T 1\{e}) {e } H. Αλλά, T 1 \T 2 = k = Ε.Υ d H (T 1, T 2 ) k + 1. Από Ε.Υ. αν d H (T 1, T 2 ) = k τότε d H (T 1, T 2 ) = k. Άτοπο( T 1 \T 2 = k + 1) Άρα, d H (T 1, T 2 ) k + 1 = d H (T 1, T 2 ) = k + 1. = Εφόσον d H (T 1, T 2 ) = k + 1 υπάρχει T 1 H τ.ω. d H (T 1, T 1 ) = 1,d H(T 1, T 2) = k. Από Ε.Υ. T 1 \T 2 = k. Άρα, T 1 \T 2 = k 1 ή T 1 \T 2 = k + 1. Αν T 1 \T 2 = k 1 = Ε.Ψ. d H (T 1, T 2 ) = k 1 Άτοπο. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

31 Άσκηση 4: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων Υπολογισμός Συντομότερου Μονοπατιού Υπολογίζουμε το σύνολο ακμών T 2 \T 1 Για κάθε e T 2 \T 1 προσθέτουμε την e στο υπάρχον δέντρο. Ορθότητα Αν T 2 \T 1 = k τότε σε k βήματα έχουμε μετατρέψει το T 1 σε T 2. Άρα, έχουμε βρει μονοπάτι στο H μήκους k = Το συντομότερο μονοπάτι. Πολυπλοκότητα Σε O( V ) αποθηκεύουμε το T 1 ως rooted δέντρο(κάθε κόμβος δείχνει στον πατέρα του). Για κάθε ακμή e T 2 έλεγχουμε σε O(1) αν e T 1. Άρα, O( V ). Κάνουμε k ανανεώσεις ακμών σε O( V ) βήματα. Σύνολο, O(k V ). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

32 Άσκηση 4γ: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων Αλγόριθμος Αν E 1 < k, προφανώς δεν υπάρχει το ζητούμενο ΣΔ. Θέτουμε στις ακμές του συνόλου E 1 βάρος 1, και στις ακμές του συνόλου E 2 βάρος 0. Εκτελούμε τον αλγόριθμο Kruskal στο γράφημα που προκύπτει, οπότε λαμβάνουμε ένα ΕΣΔ T 1. Αν w(t 1 ) > k, τότε δεν υπάρχει το ζητούμενο ΕΣΔ. Εστω k 1 το πλήθος των ακμών του T 1 E 1.. Θεωρούμε το γράφημα G που περιέχει μόνο αυτές τις k 1 ακμές. Θέτουμε στο G, w(e 1 \ (T 1 E 1 )) = 0 και w(e 2 ) = 1. Εκτελούμε τον αλγόριθμο Kruskal στο G, προσθέτοντας ακμές ώσπου να έχουμε συνολικά k ακμές του συνόλου E 1. Η εκτέλεση του Kruskal συνεχίζεται με τις ακμές του συνόλου E 2, μέχρι το G να γίνει συνεκτικό. Ονομάζουμε το γράφημα που προκύπτει G 1 και το επιστρέφουμε ως ΣΔ του G. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

33 Άσκηση 4γ: Το Σύνολο των Συνδετικών Δέντρων Ορθότητα Εστω το G = G 1 E 2. Το G έχει ως ΣΔ το T 1 επομένως είναι συνεκτικό. Η εκτέλεση του αλγορίθμου Kruskal στο G θα επιστρέψει ως ΕΣΔ το G 1, επομένως το G κάποια στιγμή θα γίνει συνεκτικό. Προφανώς, στο G 1 υπάρχουν ακριβώς k ακμές του E 1, από τον ορισμό του αλγορίθμου. Πολυπλοκότητα O(m logm) λόγω του αλγορίθμου Kruskal. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

34 Άσκηση 5α: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5α) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

35 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5β) Εστω T 1 T 2 2 ΕΣΔ του G(V, E, w) Αφού T 1 T 2 {s, v} E : {s, v} T 1 {s, v} T 2 {s, v} τομή (S, V S) Ομως (από υπόθεση) για κάθε τομή C argmin e {δ(c)} = 1 {s, v} = argmin e δ(s,v S) {w(e)} σε κάποιο ΕΣΔ (έστω το T 1 ) {s, v} T 2 T 2 ΕΣΔ υπάρχει μονοπάτι P(s, v) T 2 e δ(s, V S) : e P(s, v) T 2 P(s, v) {s, v} κύκλος (T 2 {e}) {s, v} = T συνδετικό δέντρο με w(t ) < w(t ) ΑΤΟΠΟ CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

36 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5β) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

37 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5β) Αντιπαράδειγμα : CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

38 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5γ) Αν κύκλος (e, T ), ο κύκλος προκύπτει στο T {e}, όπου T συνδετικό δέντρο Αν σύνολο K max e = argmax e (e,t ) {w(e)}!t ΕΣΔ e T συνδετικό δέντρο e K max e K max e = 1 CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

39 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5γ)!T ΕΣΔ e T ΣΔ e Ke max Ke max = 1 Απόδειξη Αν e T : e K max e Αν e T ( e Ke max ΕΣΔ Απόδειξη T ΕΣΔ ) : e ( e) Ke max (T {e}) {e } επίσης Εστω T T ένα ΕΣΔ (s, v) T T Εστω P(v, s) T και (S, V \ S) τομή της (s, v) e : e δ(s, V \) e P(s, v) e T w(s, v) > e, e κύκλος(t, (s, v)) w((t {(s, v)}) {e}) < w(t ) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

40 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5δ) Υπολογίζουμε ένα ΕΣΔ T v T τρέχουμε DFS(v) το οποίο επιστρέφει έναν πίνακα wmaxedge[v][], όπου wmaxedge[v][u] το βάρος της πιο βαριάς ακμής στο P(v, u) στο δέντρο T κατά την επίσκεψη της ακμής (a, b) ισχύει wmaxedge[v][b] = max{wmaxedge[v][a], w(a, b)} wmaxedge[v][] αποθηκεύει τα αποτελέσματα του DFS (v, u) T if (w(v, u) < wmaxedge[y][u]) return false; return true; CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

41 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5δ) Θ( E log E ) με kruskal για την εύρεση ΕΣΔ DFS σε δέντρο Θ( V + V 1) = Θ( V ) V εκτελέσεις Θ( V 2 O( E ) το τελικό στάδιο Σύνολο : O( V 2 + E log E ) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

42 Άσκηση 5: Μοναδικότητα Ελάχιστου Συνδετικού Δέντρου 5δ) [bonus] Θα τροποποιήσουμε τον kruskal ως εξής : Αντί για ακμές μία, μία, εξετάζουμε συστάδες ακμών ίδιου βάρους (σε αύξουσα σειρά) τέτοια συστάδα, όποια ακμή σχηματίζει κύκλο με το μέχρι τώρα δάσος (από ακμές μικρότερου βάρους) δεν ανήκει σε κανένα ΕΣΔ, άρα μπορεί να αγνοηθεί είναι οι πιο βαριές ακμές σε κύκλο με ΣΔ Είσάγουμε όλες τις υπόλοιπες Αν κύκολος! ΕΣΔ τουλάχιστον 2 εναλλακτικές για ΕΣΔ (οι πιο βαριές ακμές του κύκλου που μόλις βρήκαμε) CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

43 1η προγραμματιστική Άσκηση: Τηλεμεταφορές Είσοδος: Κόστος καναλιού μεταφοράς μεταξύ πλανητών + κόστος ε- γκατάστασης σταθμού τηλεματαφοράς σε κάθε πλανήτη Εξοδος: Δίκτυο ελαχίστου συνολικού κόστους Ιδέα Το βέλτιστο Δίκτυο Μεταφορών είναι το έλαχιστο από: το βέλτιστο Δίκτυο Μεταφορών χωρίς σταθμό Τηλεμεταφοράς το βέλτιστο Δίκτυο Μεταφορών με τουλάχιστον δύο σταθμούς Τηλεμεταφοράς CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

44 1η προγραμματιστική Άσκηση: Τηλεμεταφορές Μετατρόπη σε Πρόβλημα ΕΣΔ Δημιουργούμε γράφημα G(V, E, w) ως εξής: Για κάθε πλανήτη i, δημιουργούμε κόμβο i V Για πλανήτες i, j,που είναι δυνατή η μεταφορά, δημιουργούμε ακμή e = {i, j} E τ.ω. w e = A[i, j] Δημιουργούμε υπερ-πλανήτη s V Για κάθε πλανήτη i, δημιουργούμε ακμή e = {i, s} E τ.ω. w e = B[i] Μπορούμε να υπολογίσουμε το βέλτιστο Δίκτυο Μεταφορών με χρήση του ΕΣΔ(G),ΕΣΔ(G\{s})! CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

45 1η προγραμματιστική Άσκηση: Τηλεμεταφορές Υπολογισμός Βέλτιστου Δικτύου από ΕΣΔ(G) Εστω T 1 =ΕΣΔ(G),T 2 =ΕΣΔ(G\{s}) τότε υπολογίζουμε το Βέλτιστο Δίκτυ Μεταφορών ως εξής: 1 if w(t 1 ) < w(t 2 ) then return T 1 2 else return T 2 Ο παραπάνω αλγόριθμος είναι βέλτιστος. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

46 1η προγραμματιστική Άσκηση: Τηλεμεταφορές Απόδειξη Εστω OPT το βέλτιστο δίκτυο και S το δίκτυο που επιστρέφει ο παραπάνω αλγόριθμος: Αν OPT δεν περιέχει σταθμούς Τηλεμεταφοράς: τότε προφανώς w(opt ) = w(t 2 ) γιατί χρησιμοποιούνται μόνο κανάλια μεταφοράς και άρα ακμές που δεν περιέχουν τον s. Αν degree T1 (s) = 1 τότε w(t 1 ) > w(t 2 ). Αν degree T1 (s) 2 τότε w(t 1 ) w(t 2 ) γιατί αλλίως το OPT θα περιέχει σταθμούς Τηλεμεταφοράς. Άρα, w(t 2 ) < W (T 1 ) = S = T 2 = OPT. Αν OPT δεν περιέχει σταθμούς Τηλεμεταφοράς: Τότε OPT w(t 2 ) γιατί T 2 το βέλτιστο δίκτυο χωρίς χρήση σταθμών τηλεμεταφοράς. Επίσης, OPT είναι συνδετικό δέντρο για το G και άρα w(t 1 ) = OPT = w(t 1 ) w(t 2 ) = S = T 1 = OPT. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

47 1η προγραμματιστική Άσκηση: Τηλεμεταφορές Συνολικά Υπολογισμός δύο ΕΣΔ, άρα O( E log( E )). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

48 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Μας ζητείται το bottleneck κόστος μεταξύ όλων των ζευγών (i, j) Q. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το bottleneck κόστος για το ζεύγος (i, j) στο γράφημα G ισούται με το bottleneck κόστος του (i, j) στο ΕΣΔ T του G. ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Το μονοπάτι που ελαχιστοποιεί το bottleneck κόστος του ζεύγους (i, j) είναι το μονοπάτι που θα ενώνει τις κορυφές (i, j) και στο T. Μπορούμε να υπολογίσουμε το ΕΣΔ T του G σε χρόνο O(m logm). Αρκεί να λύσουμε το πρόβλημα στο T. Θα παρουσιάσουμε τρεις διαφορετικές λύσεις. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

49 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Λύση 1 (Naive): Για κάθε ζεύγος (i, j) Q βρίσκουμε με BFS ή DFS το μοναδικό μονοπάτι από τον i στον j, και επιστρέφουμε την βαρύτερη ακμή. Πολυπλοκότητα: O(m logm + Q n). Στην διάσχιση του ΕΣΔ στην προηγούμενη λύση, κατά την διάρκεια του υπολογισμού του bottleneck κόστους για ένα ζεύγος (i, j) αγνοούμε πολλή πληροφορία. Μπορούμε να εκμεταλλευτούμε την δενδρική δομή του ΕΣΔ ώστε να γλιτώσουμε περιττούς υπολογισμούς. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

50 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Λύση 2: Διαλέγουμε αυθαίρετα μία κορυφή r ως ρίζα του T. Με διάσχιση BFS στο T υπολογίζουμε για κάθε ζεύγος (i, j) VxV τον Ελάχιστο Κοινό Πρόγονο (Least Common Ancestor) των (i, j) σε συνολικό χρόνο και χώρο O(n 2 ), και τον αποθηκεύουμε σε ένα πίνακα A μεγέθους nxn. Υπολογίζουμε για κάθε κορυφή u το bottleneck κόστος του u με όλους τους προγόνους του. Αυτό μπορεί να γίνει σε συνολικό χρόνο O(n 2 ), και το αποθηκεύουμε σε ένα πίνακα B μεγέθους nxn. Για κάθε ζεύγος κορυφών (i, j) Q βρίσκουμε τον Ελάχιστο Κοινό Πρόγονο των (i, j), έστω k, ο οποίος βρίσκεται στην θέση A[i][j]. Το bottleneck κόστος του μονοπατιού μεταξύ των (i, j) είναι το max(b[i][k], B[k][j]). Πολυπλοκότητα: O(m logm + n 2 + Q ). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

51 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Στην προηγούμενη λύση πετύχαμε σταθερό χρόνο για κάθε ε- ρώτημα (i, j) Q αλλά χρειαστήκαμε προεπεξεργασία O(n 2 ). Μπορούμε να μειώσουμε τον χρόνο προεπεξεργασίας και να αυξήσουμε λίγο τον χρόνο που χρειαζόμαστε για κάθε ερώτημα, πετυχαίνοντας όμως έτσι συνολικά καλύτερη πολυπλοκότητα. Λύση 3: Διαλέγουμε αυθαίρετα μία κορυφή r ως ρίζα του T. Θεωρούμε έναν πίνακα A μεγέθους n logn και στο στοιχείο A[u][i] αποθηκεύουμε τον πρόγονο του u που απέχει στο T από τον u απόσταση 2 i. Παράλληλα αποθηκεύουμε σε έναν αντίστοιχο πίνακα B το bottleneck κόστος μεταξύ του u και του A[u][i]. Η διαδικασία τελειώνει όταν συναντήσουμε (ή περάσουμε) τον r. (Σκεφτείτε γιατί χρειαζόμαστε μόνο logn στήλες). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

52 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Λύση 3: (Συνέχεια) Θεωρούμε ένα ερώτημα (u, v). Ξεκινάμε από την γραμμή u του πίνακα A. Για κάθε στοιχείο A[u][k] μπορούμε σε σταθερό χρόνο να υπολογίσουμε εάν είναι πρόγονος του v (Άσκηση 1-3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων). Διατρέχουμε την γραμμή u ξεκινώντας από την τελευταία στήλη, που γνωρίζουμε ότι είναι το r, άρα είναι πρόγονος του v, και κινούμαστε προς τα αριστερά. Οσο το A[u][k] είναι πρόγονος του v, κινούμαστε κατά μία θέση προς τα αριστερά. Μόλις το A[u][k] δεν είναι πρόγονος του v για πρώτη φορά, μεταφερόμαστε στην γραμμή m = A[u][k] και συνεχίζουμε την προς τα αριστερά αναζήτηση από την στήλη k. Τερματίζουμε μόλις φθάσουμε στην στήλη 0, επιστρέφοντας ως αποτέλεσμα, εάν βρισκόμαστε στην γραμμή w, το στοιχείο B[w][0]. CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

53 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Ορθότητα: Εστω ότι κατά την διάρκεια της διάσχισης της γραμμής u, πήραμε το πρώτο ΟΧΙ στο σημείο k. Αυτό σημαίνει ότι η κορυφή u + 2 k+1 είναι πρόγονος του v, και ότι η κορυφή u + 2 k δεν είναι πρόγονος του v. Επομένως, το bottleneck κόστος του ζεύγους (u, v), έστω bl(u, v), είναι ίσο με max(bl(u, u + 2 k ), bl(u + 2 k, v)). Ομως, το bl(u, u + 2 k ) = B[u][k]. Γνωρίζουμε ότι το u + 2 k+1 που είναι η κορυφή A[u + 2 k ][k], είναι πρόγονος του v, άρα μπορούμε να συνεχίσουμε την αναζήτηση στην γραμμή u + 2 k από την στήλη k 1. Οταν φθάσουμε σε κάποιο στοιχείο A[w][0] γνωρίζουμε πως ο w είναι ο Ελάχιστος Κοινός Πρόγονος των (u, v). CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

54 2η προγραμματιστική Άσκηση: Καλοκαιρινές Διακοπές Πολυπλοκότητα: O(m logm + Q logn + n logn). Υπολογισμός ΕΣΔ: O(m logm). Υπολογισμός πινάκων A, B: O(n logn). Για κάθε ερώτημα, διατρέχουμε συνολικά τις logn στήλες των πινάκων A, B, επομένως έχουμε Θ(logn). ΕΡΩΤΗΜΑ: Θα μπορούσαμε με παρόμοια ανάλυση να πετύχουμε καλύτερη συνολική πολυπλοκότητα ή όχι και γιατί; CoReLab ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ιανουάριος / 53

Αναζήτηση Κατά Πλάτος

Αναζήτηση Κατά Πλάτος Αναζήτηση Κατά Πλάτος ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων (π.χ. δίκτυα συνεκτικότητα,

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.

Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο

Ελάχιστο Συνδετικό έντρο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο

Δομές Δεδομένων. Δημήτρης Μιχαήλ. Γραφήματα. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Δομές Δεδομένων Γραφήματα Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Γραφήματα Κατευθυνόμενο Γράφημα Ένα κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζευγάρι (V, E) όπου V είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS) 2. Τοπολογική Ταξινόμηση Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Depth-First Search Πρώτα σε Βάθος διερεύνηση (Depth-First Search) είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 12 16 2 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 13 1 με τις ακόλουθες ιδιότητες 4 14 9 7 4 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Συνεκτικότητα Γραφημάτων 123 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΚΤΙΚΟΤΗΤΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 4.1 Τοπική και Ολική Συνεκτικότητα Γραφημάτων 4.2 Συνεκτικότητα Μη-κατευθυνόμενων Γραφημάτων 4.3 Συνεκτικότητα Κατευθυνόμενων Γραφημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα

Τομές Γραφήματος. Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών. Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο) Συνάρτηση βάρους ακμών Τομή : Διαμέριση του συνόλου των κόμβων σε δύο μη κενά σύνολα και 12 26 20 10 9 7 17 14 4 Τομές Γραφήματος Γράφημα (μη κατευθυνόμενο)

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα

Ασκήσεις στους Γράφους. 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκήσεις στους Γράφους 1 ο Σετ Ασκήσεων Βαθμός Μονοπάτια Κύκλος Euler Κύκλος Hamilton Συνεκτικότητα Ασκηση 1 η Να αποδείξετε ότι κάθε γράφημα περιέχει μια διαδρομή από μια κορυφή u σε μια κορυφή w αν και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων. Γραφήματα. Αναπαράσταση Γραφημάτων 3. Διερεύνηση σε Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Γράφημα Ορισμός: Ένα γράφημα G είναι το διατεταγμένο ζεύγος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Ελάχιστα Γεννητικά Δένδρα Ελάχιστο Γεννητικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10γ: Αλγόριθμοι Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Βάθος (DFS)- Τοπολογική Ταξινόμηση Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι;

ΑΣΚΗΣΗ 1 Για τις ερωτήσεις 1-4 θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; ΘΕΜΑΤΑ ΔΕΝΔΡΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΛΗ0 ΑΣΚΗΣΗ Για τις ερωτήσεις - θεωρήσατε τον ακόλουθο γράφο. Ποιές από τις παρακάτω προτάσεις αληθεύουν και ποιές όχι; Β Ε Α 6 Δ 5 9 8 0 Γ 7 Ζ Η. Σ/Λ Δυο από τα συνδετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 8η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007

Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 5 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες

Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες Θεωρία Γραφημάτων: Ορολογία και Βασικές Έννοιες ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Γέφυρες σε Δίκτυα. Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος. Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) :

Γέφυρες σε Δίκτυα. Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος. Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) : Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο γράφημα) αφετηριακός κόμβος και Γέφυρα του (με αφετηρία τον ) : Ακμή που περιέχεται σε κάθε μονοπάτι από το στο s a b c d e f g h i j k l Μας δίνεται ένα δίκτυο (κατευθυνόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Άπληστοι Αλγόριθμοι Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Άπληστοι Αλγόριθμοι Είναι δύσκολο να ορίσουμε ακριβώς την έννοια του άπληστου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ÌïëëÜ Ì. Á μýô Á.Ì. : 5 moll@moll.r ΤΕΙ ΛΑΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ : ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟ (ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ) Ε ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ: Χαϊδόγιαννος Χαράλαμπος ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Σωροί, Γράφοι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΑΣΚΗΣΗ 4 Σωροί, Γράφοι ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 231: Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Εαρινό Εξάμηνο 2013 ΑΣΚΗΣΗ 4 Σωροί, Γράφοι Διδάσκων Καθηγητής: Παναγιώτης Ανδρέου Ημερομηνία Υποβολής: 05/04/2013 Ημερομηνία

Διαβάστε περισσότερα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα

Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα ΘΕ4 Αναδρομή και Επαγωγή για Γραφήματα Επαγωγή και αναδρομή για συνεκτικά γραφήματα Επαγωγή για συνεκτικά γραφήματα (με αφαίρεση κορυφής) Η αρχή της επαγωγής, με αφαίρεση κορυφής, για δεδομένη προτασιακή

Διαβάστε περισσότερα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα

Ελάχιστα Γεννητορικά ένδρα λάχιστα Γεννητορικά ένδρα Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος του Prim και ο αλγόριθµος του Kruskal για εύρεση λάχιστων Γεννητορικών ένδρων ΠΛ 23 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)

Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόγχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων

Ενότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων

6η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 6 η Διάλεξη Διάσχιση Γράφων και Δέντρων Αλγόριθμος αναζήτησης σε Βαθος Αλγόριθμος αναζήτησης κατά Πλάτος Αλγόριθμοι για Δένδρα Εύρεση ελαχίστων Γεννητορικών (Επικαλύπτοντα) Δένδρων Διάσχιση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Γραφήματα Βασικές Έννοιες και Εφαρμογές Βασικοί

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση

Σχέσεις. Διμελής Σχέση. ΣτοΊδιοΣύνολο. Αναπαράσταση Διμελής Σχέση Σχέσεις Διδάσκοντες: Φ. Αφράτη, Δ. Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διατεταγμένο ζεύγος (α, β): Δύο αντικείμενα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Συντομότατα μονοπάτια 2. Αλγόριθμος Bellman-Ford 3. Αλγόριθμος Dijkstra 4. Floyd-Warshall Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Single-Source Shortest Path Πρόβλημα:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Γραφήματα Μοντελοποίηση πολλών σημαντικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Γραφημάτων

Αλγόριθμοι Γραφημάτων Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Minimum Spanning Trees 2. Αλγόριθμος Prim 3. Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Minimum Spanning Tree Πρόβλημα: Για δοσμένο συνεκτικό, μη προσανατολισμένο,

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ

Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Πανεπιστήμιο Στερεάς Ελλάδας Τμήμα Πληροφορικής Εξάμηνο ΣΤ ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ 3 η Διάλεξη Μονοπάτια και Κύκλοι Μήκη και αποστάσεις Κέντρο και μέσο γράφου. Ακτίνα και Διάμετρος Δυνάμεις Γραφημάτων Γράφοι Euler.

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)

Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας

Διαβάστε περισσότερα

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός

Κατευθυνόμενα γραφήματα. Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα. Βρόχοι. Μη κατευθυνόμενα γραφήματα. Ορισμός Κατευθυνόμενα γραφήματα Μαθηματικά Πληροφορικής 6ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Κατευθυνόμενο γράφημα G είναι ένα ζεύγος (V, E ) όπου V πεπερασμένο σύνολο του οποίου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 2005 Σύνολο μονάδων: 91 Ε.Μ.Πoλυτεχνείο ΣΗΜΜΥ, ΣΕΜΦΕ Τομέας Τεχνολογίας Πληροφορικής & Υπολογιστών Διδάσκων: Ε.Ζαχος Ονοματεπώνυμο:... Αριθμός Μητρώου:... Σχολή:... εξάμηνο:... ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ Φεβρουάριος 005 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

ΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Δενδρικά Γραφήματα 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΝΔΡΙΚΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ 3.1 Εισαγωγή 3.2 Βασικές Ιδιότητες Δένδρων 3.3 Απαρίθμηση Δένδρων 3.4 Γενετικά Δένδρα 3.5 Ελάχιστα Γενετικά Δένδρα Προαπαιτούμενη Γνώση Πολύ καλή γνώση

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 21: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους

Διάλεξη 21: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Διάλεξη 2: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Βραχύτερα Μονοπάτια σε γράφους - Ο αλγόριθμος Dijkstra για εύρεση της βραχύτερης απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών

Γράφημα. Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών Γράφημα Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα: Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 1 2 3 4 5 πλήθος κορυφών πλήθος ακμών Γράφημα Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων

Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Εισαγωγή σε βασικές έννοιες Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 1 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων

ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ΠΛΗ 20, 5 η ΟΣΣ: Θεωρία Γραφημάτων ημήτρης Φωτάκης ιακριτά Μαθηματικά και Μαθηματική Λογική Πληροφορική Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο 4 η Εργασία: Γενική Εικόνα Αντίστοιχη βαθμολογικά και ποιοτικά με την

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 26 Ιουνίου 201 1 / Απληστοι (Greedy) Αλγόριθµοι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 7ο εξάμηνο Σ.Η.Μ.Μ.Υ. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 4η εβδομάδα: Εύρεση k-οστού Μικρότερου Στοιχείου, Master Theorem, Τεχνική Greedy: Knapsack, Minimum Spanning Tree, Shortest Paths

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση στους γράφους. - Αναζήτηση η κατά βάθος Συνεκτικές Συνιστώσες - Αλγόριθμος εύρεσης συνεκτικών συνιστωσών

Αναζήτηση στους γράφους. - Αναζήτηση η κατά βάθος Συνεκτικές Συνιστώσες - Αλγόριθμος εύρεσης συνεκτικών συνιστωσών Αναζήτηση στους γράφους Βασικός αλγόριθμος λό - Αναζήτηση κατά πλάτος - Αναζήτηση η κατά βάθος Συνεκτικές Συνιστώσες - Αλγόριθμος εύρεσης συνεκτικών συνιστωσών Διάσχιση (αναζήτηση ) στους γράφους Φεύγοντας

Διαβάστε περισσότερα

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25)

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος των BellmanFord Ο αλγόριθµος του Dijkstra ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 61

Διαβάστε περισσότερα

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες

Μέγιστη ροή. Κατευθυνόμενο γράφημα. Συνάρτηση χωρητικότητας. αφετηρίακός κόμβος. τερματικός κόμβος. Ροή δικτύου. με τις ακόλουθες ιδιότητες Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση χωρητικότητας 2 6 20 Ροή δικτύου Συνάρτηση αφετηρίακός κόμβος 0 με τις ακόλουθες ιδιότητες 9 7 τερματικός κόμβος Περιορισμός χωρητικότητας: Αντισυμμετρία: Διατήρηση ροής:

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3 Αλγόριθμοι Επιλογής Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγόριθμοι Επιλογής Γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήματα. v1.3 ( ) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήματα v1.3 (2014-01-30) Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισμοί και Εφαρμογές γραφήματα γράφημα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Δένδρα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 3: Δένδρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Δένδρα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Ασκηση 1 [ ] Παράδοση : Τετάρτη , 13:00

Ασκηση 1 [ ] Παράδοση : Τετάρτη , 13:00 Χρήστος. Ζαρολιάγκης Τεχνολογίες Υλοποίησης Αλγορίθµων : Άσκηση 1 1 Ασκηση 1 [16.03.2016] Παράδοση : Τετάρτη 13.04.2016, 13:00 Η παρούσα άσκηση αφορά στον έλεγχο διµερότητας ενός γραφήµατος. Σκοπός της

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 6 Μαΐου 2015 1 / 42 Εύρεση Ελάχιστου Μονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Περίληψη Επίλυση προβληµάτων χρησιµοποιώντας Greedy Αλγόριθµους Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης Αλγόριθµος του Prim Αλγόριθµος του Kruskal Πρόβληµα Ελάχιστης Απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

Γράφοι (συνέχεια) Ο αλγόριθµος Dijkstra για εύρεση βραχυτέρων µονοπατιών Ta µονοπάτια Euler

Γράφοι (συνέχεια) Ο αλγόριθµος Dijkstra για εύρεση βραχυτέρων µονοπατιών Ta µονοπάτια Euler Γράφοι (συνέχεια) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος Dijkstra για εύρεση βραχυτέρων µονοπατιών Ta µονοπάτια Euler ΕΠΛ 231 οµές εδοµένων και Αλγόριθµοι Άννα Φιλίππου,

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Αλγορίθμων - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1

Σχεδίαση Αλγορίθμων - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Σχεδίαση Αλγορίθμων Μείωσε και Βασίλευε http://delab.csd.auth.gr/~gounaris/courses/ad auth gounaris/courses/ad Σχεδίαση Αλγορίθμων - Τμήμα Πληροφορικής ΑΠΘ -4ο εξάμηνο 1 Μείωσε και Βασίλευε 1. Μειώνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1

ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 ΔΙΑΣΧΙΣΗ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ 1 Θέματα μελέτης Πρόβλημα αναζήτησης σε γραφήματα Αναζήτηση κατά βάθος (Depth-first search DFS) Αναζήτηση κατά πλάτος (Breadth-first search BFS) 2 Γράφημα (graph) Αναπαράσταση συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή

Ισορροπημένα Δένδρα. για κάθε λειτουργία; Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή Ισορροπημένα Δένδρα Μπορούμε να επιτύχουμε για κάθε λειτουργία; χρόνο εκτέλεσης Ισορροπημένο δένδρο : Διατηρεί ύψος κάθε εισαγωγή ή διαγραφή μετά από Περιστροφές x αριστερή περιστροφή από το x y α β y

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Συστήματα Πληροφορικής»

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Συστήματα Πληροφορικής» Πανεπιστήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροφορικής Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών «Προηγμένα Συστήματα Πληροφορικής» Μεταπτυχιακή Διατριβή Τίτλος Διατριβής Μελέτη του Προβλήματος των Κίβδηλων Νομισμάτων Ονοματεπώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 3η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 3η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 3η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1

Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης. ), για οποιοδήποτε μονοπάτι n 1 Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών, Τμήμα Πληροφορικής Μάθημα: Τεχνητή Νοημοσύνη, 2016 17 Διδάσκων: Ι. Ανδρουτσόπουλος Ασκήσεις μελέτης της 4 ης διάλεξης 4.1. (α) Αποδείξτε ότι αν η h είναι συνεπής, τότε h(n

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e

Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e Άσκηση 1 Θεωρήστε ένα puzzle (παιχνίδι σπαζοκεφαλιάς) με την ακόλουθη αρχική διαμόρφωση : b b b w w w e Υπάρχουν τρία μαύρα τετραγωνάκια (b), τρία άσπρα (w) και ένα κενό (e). Η σπαζοκεφαλιά έχει τις ακόλουθες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων

Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ομές εδομένων Πανεπιστήμιο Πειραιώς Σχολή Τεχνολογιών Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 2. Πίνακες 45 23 28 95 71 19 30 2 ομές εδομένων 4 5 Χρήστος ουλκερίδης Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων 21/10/2016

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND)

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) Ένωση Ξένων Συνόλων (Disjoint Sets with Union) S 1,, S k : ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U δηλ., S i S j =, αν i j, και S 1 S k = U. Λειτουργίες που θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας

Μη γράφετε στο πίσω μέρος της σελίδας Εισαγωγή στο Σχεδιασμό & την Ανάλυση Αλγορίθμων Εξέταση Φεβρουαίου 2015 Σελ. 1 από 7 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Μαθηματική Επαγωγή ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τεχνικές Απόδειξης Εξαντλητική

Διαβάστε περισσότερα

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ

Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ Μαθηματικά Πληροφορικής 2ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find)

Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης (Union-Find) Ενότητα 9 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη (Union-Find) ΗΥ240 - Παναγιώτα Φατούρου 1 Ξένα Σύνολα που υποστηρίζουν τη λειτουργία της Ένωσης Έστω ότι S 1,, S k είναι ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις

Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Άσκηση 1 Σειρά Προβλημάτων 5 Λύσεις Να δείξετε ότι οι πιο κάτω γλώσσες είναι διαγνώσιμες. (α) { G,k η G είναι μια ασυμφραστική γραμματική η οποία παράγει κάποια λέξη 1 n όπου n k } (β) { Μ,k η Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων

Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Σχεδίαση & Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.1 Βασικοί Αλγόριθμοι Γραφημάτων Σταύρος Δ. Νικολόπουλος Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros Αλγοριθμική Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k

Διαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Διερεύνηση γραφήματος

Διερεύνηση γραφήματος Διερεύνηση γραφήματος Διερεύνηση γραφήματος Ένας αλγόριθμος διερεύνησης γραφήματος επισκέπτεται τους κόμβους του γραφήματος με μια καθορισμένη στρατηγική, π.χ. κατά εύρος ή κατά βάθος. Καθοδική διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος.

Τεχνητή Νοημοσύνη. 6η διάλεξη ( ) Ίων Ανδρουτσόπουλος. Τεχνητή Νοημοσύνη 6η διάλεξη (2016-17) Ίων Ανδρουτσόπουλος http://www.aueb.gr/users/ion/ 1 Οι διαφάνειες αυτής της διάλεξης βασίζονται στα βιβλία Τεχνητή Νοημοσύνη των Βλαχάβα κ.ά., 3η έκδοση, Β. Γκιούρδας

Διαβάστε περισσότερα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Επίπεδα Γραφήματα : Προβλήματα και Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι πολυωνυμικού χρόνου Ένας αλγόριθμος πολυωνυμικού χρόνου έχει χρόνο εκτέλεσης όπου είναι μία (θετική) σταθερά Κλάση πολυπλοκότητας : περιλαμβάνει τα προβλήματα που επιδέχονται λύση σε πολυωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs)

Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο. Γραφήµατα. (Graphs) Δοµές Δεδοµένων & Ανάλυση Αλγορίθµων 3ο Εξάµηνο Γραφήµατα (Grphs) http://tos.it.tith.gr/~mos/thing_gr.html Δηµοσθένης Σταµάτης Τµήµα Πληροφορικής ATEI ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Γράφημα (Grph) Oρισμός 1: Έστω το µη

Διαβάστε περισσότερα

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Άπληστοι Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άπληστοι Αλγόριθμοι... για προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1)

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες (1) Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κανονικές Γλώσσες () Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Πεπερασμένα Αυτόματα (Κεφάλαιο., Sipser) Ορισμός πεπερασμένων αυτομάτων και ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

Δένδρα επικάλ επικ υψης ελάχιστου στους

Δένδρα επικάλ επικ υψης ελάχιστου στους Δένδρα επικάλυψης ελάχιστου κόστους Αλγόριθμος Kruskal Αλγόριθμος Kruskal Ξεκινάμε από ένα δάσος από n δένδρα, κάθε ένα δένδρο εκφυλισμένο σε ένα μεμονωμένο κόμβο. Σε κάθε επανάληψη, προσθέτουμε τη πλευρά

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem

Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Το Πρόβλημα του Περιοδεύοντος Πωλητή - The Travelling Salesman Problem Έλενα Ρόκου Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια ΕΜΠ Κηρυττόπουλος Κωνσταντίνος Επ. Καθηγητής ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Λεξικό, Union Find. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Λεξικό, Union Find ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο ιαχείριση ιαμερίσεων Συνόλου Στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα