«Μια ανασκόπηση των διαδικασιών ελέγχου για σημεία αλλαγής στην μεταβλητότητα των χρηματοοικονομικών χρονοσειρών.»

Transcript

1 «Μια ανασκόπηση των διαδικασιών ελέγχου για σημεία αλλαγής στην μεταβλητότητα των χρηματοοικονομικών χρονοσειρών.» Κριμπάς Νικόλαος Α.Μ: 0910 Πανεπιστήμιο Πατρών, Τμήμα Οικονομικών Επιστημών, Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Ημερομηνία παρουσίασης : 18/0/011 Επιβλέπων καθηγητής : Επίκουρος Καθηγητής Ιωάννης Α. Βενέτης Μέλη τριμελούς επιτροπής : Ιωάννης Α. Βενέτης, Δημήτριος Τζελέπης, Νικόλαος Γιαννακόπουλος

2 Copyrigh Νικόλαος Κριμπάς 011 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All righs reserved. Η έγκριση της πτυχιακής εργασίας από το Τμήμα Οικονομικών Επιστημών του Πανεπιστημίου Πατρών δεν υποδηλώνει απαραιτήτως και αποδοχή των απόψεων του συγγραφέα εκ μέρους του Τμήματος. - -

3 Ευχαριστίες Αρχικά θα ήθελα να ευχαριστήσω τον καθηγητή μου κ. Ιωάννη Βενέτη αφού από την πρώτη στιγμή με εμπιστεύτηκε για την εκπόνηση αυτής της εργασίας, καθώς και για την πολύτιμη βοήθειά και καθοδήγησή του αφού στάθηκε αρωγός στην ολοκλήρωσή της. Επιπλέον θα ήθελα να αναφέρω ότι από το προπτυχιακό επίπεδο υπήρξε σημείο αναφοράς για μένα η δουλειά και η αφοσίωση του στο αντικείμενο αφού ήταν ο καθοριστικός παράγοντας για την επιλογή του συγκεκριμένου μεταπτυχιακού και της ενασχόλησης μου με το αντικείμενο της οικονομετρίας. Θα ήθελα ακόμη να ευχαριστήσω όλους τους καθηγητές του Τμήματος Οικονομικών Επιστημών για την καθοδήγηση και τις γνώσεις που μου προσέφεραν και σε επίπεδο προπτυχιακού αλλά και μεταπτυχιακού επιπέδου. Ιδιαίτερη μνεία θα ήθελα να κάνω στα μέλη της τριμελής επιτροπής κ. Δημήτρη Τζελέπη και κ. Νικόλαο Γιαννακόπουλο οι οποίοι ευγενικά δέχθηκαν να αξιολογήσουν την διπλωματική μου εργασία όπως και στον κ. Βασίλειο Σόγιακα για τις εποικοδομητικές συζητήσεις που είχαμε κατά την διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών μου. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά την οικογένειά μου, τους γονείς μου Ανδρέα και Σοφία και τον αδερφό μου Γιώργο, καθώς επίσης και την Νικολίτσα για την ηθική στήριξη την οποία μου προσέφεραν δίνοντας μου δύναμη να συνεχίσω προς την επίτευξη του σκοπού μου

4 Περίληψη Στην παρούσα εργασία παρουσιάζονται οι έλεγχοι για διαρθρωτικές μεταβολές στις αποδόσεις χρηματοοικονομικών χρονοσειρών που διερευνώνται στην διεθνή βιβλιογραφία. Έλεγχοι τύπου σωρευτικών αθροισμάτων (CUSUM) όπως των Kokoszka και Leipus, ο LM και ο LR έλεγχος του Andrews και των Bai και Perron αντίστοιχα και ο έλεγχος τύπου ελαχίστων τετραγώνων των Lavielle και Moullines. Τέλος εφαρμόζουμε τον έλεγχο των Kokoszka και Leipus για την εύρεση διαρθρωτικών μεταβολών στους δείκτες NASDAQ και S&P500. Λέξεις κλειδιά: διαρθρωτικές μεταβολές, CUSUM, μεταβλητότητα, GARCH, δεσμευμένη διακύμανση

5 Πίνακας Περιεχομένων 1. Εισαγωγή Παραλείποντας τις διαρθρωτικές μεταβολές Στατιστικοί έλεγχοι Kokoszka and Leipus saisic LR-es LM-es saisic Lavielle and Moullines saisic Εκτίμηση για πολλά breaks Βιβλιογραφική Ανασκόπηση Andreou-Ghysels (00) Mone Carlo Αποτελέσματα πειραμάτων για ένα σημείο αλλαγής Αποτελέσματα στην περίπτωση των πολλαπλών σημείων αλλαγής Eizaguirre Biscarri Hidalgo (004) Pooer και Van Dijk(004) Εκτίμηση για πολλά σημεία αλλαγής των Pooer και Van Dijk Eizaguirre Biscarri-Hidalgo (006) Μη σωστή εξειδίκευση υποδείγματος Φιλτράροντας τον δεσμευμένο μέσο Rapach-Srauss (008) Galeano και say (010) Μεθοδολογία εύρεσης πολλαπλές αλλαγές στις παραμέτρους Chazikonsani και Veneis (011) Εμπειρική εφαρμογή στους δείκτες NASDAQ και S&P Δεδομένα και Περιγραφικά Στατιστικά NASDAQ S&P Εμπειρική εφαρμογή για την εύρεση ενός σημείου αλλαγής Εμπειρική εφαρμογή για την εύρεση πολλαπλών σημείων αλλαγής NASDAQ πολλαπλά σημεία αλλαγής S&P500 πολλαπλά σημεία αλλαγής Συμπεράσματα

6 1. Εισαγωγή Οι διαρθρωτικές μεταβολές που μπορεί να παρουσιάσει μια χρηματοοικονομική χρονοσειρά έχουν απασχολήσει πολλούς ερευνητές. Οι περισσότεροι τις αποδίδουν στην απελευθέρωση των αγορών καθώς και σε ακραία συμβάντα (πόλεμος, εμπάργκο πετρελαίου) τα οποία μπορεί να επηρεάσουν αρνητικά ή ακόμα και θετικά τις αγορές. Η εμφάνιση τέτοιων ακραίων φαινομένων μαζί με την αβεβαιότητα που διακρίνει την ανθρώπινη φύση επηρεάζει τους επενδυτές για την λήψη επενδυτικών αποφάσεων και αυτό με την σειρά του αντικατοπτρίζεται στην μεταβλητότητα των αποδόσεων χρηματοοικονομικών χρονοσειρών Οι Srauss e al (008) στην εργασία τους μελετούν εμπειρικά τις συνέπειες των διαρθρωτικών μεταβολών για GARCH υποδείγματα στην μεταβλητότητα των συναλλαγματικών ισοτιμιών. Από μελέτες που έχουν πραγματοποιηθεί οι διαρθρωτικές μεταβολές δημιουργούν σημαντικά προβλήματα στην εκτίμηση και την πρόβλεψη των χρονοσειρών. Έτσι η ακριβής υποδειγματοποίηση και η πρόβλεψη της χρονικά μεταβαλλόμενης μεταβλητότητας στις αποδόσεις των συναλλαγματικών ισοτιμιών έχουν σημαντικές αρνητικές επιπτώσεις στην ανάληψη χρηματοικονομικών αποφάσεων συμπεριλαμβανομένου την αποτίμηση των χρηματοοικονομικών παραγώγων και των χαρτοφυλακίων διοίκησης ρίσκου στις διεθνείς αγορές (risk managemen in an inernaional seing). Οι Liu και Maheu (008) αναφέρουν χαρακτηριστικά στην μελέτη τους ότι η οικονομετρική υποδειγματοποίηση της μεταβλητότητας των χρηματοοικονομικών χρονοσειρών είναι ένα σημαντικό θέμα στα εμπειρικά χρηματοοικονομικά. Η αστάθεια της διαδικασίας της μεταβλητότητας έχει αρνητικές επιπτώσεις στις αποφάσεις για ανάληψη χρηματοοικονομικού ρίσκου και την επιλογή του βέλτιστου χαρτοφυλακίου. Οι Andreou και Ghysels (005) αναφέρουν ότι οι διαρθρωτικές μεταβολές και οι ακραίες τιμές που παρατηρούνται στην μεταβλητότητα είναι κάποια σπάνια γεγονότα. Για τις χρηματοοικονομικές αγορές αυτό είναι το κέντρο του ενδιαφέροντος της διοίκησης ρίσκου όπου οι διαρθρωτικές μεταβολές παρουσιάζουν μια θεμελιώδη αλλαγή στην κατανομή των αποτελεσμάτων ρίσκου (in he disribuion of risky oucomes)

7 Παραλείποντας τις διαρθρωτικές μεταβολές Ο Engle με το άρθρο του «Auoregressive condiional heeroskedasiciy wih esimaes of he variance of he Unied Kingdom inflaion» το 198 είναι ο θεμελιωτής των υποδειγμάτων δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας. Μέχρι τότε η παραδοσιακή οικονομετρία αντιμετώπιζε τη διακύμανση χρηματοοικονομικών χρονοσειρών ως σταθερή. Οι ερευνητές έπειτα από μελέτες βρήκαν ότι οι εκτιμήσεις των GARCH υποδειγμάτων συνήθως υποδείκνυαν υψηλή εμμονή, δηλαδή έντονη συσχέτιση των τετραγώνων των αποδόσεων στο χρόνο. Παραμετρικά, αυτό σημαίνει ότι το άθροισμα των παραμέτρων ενός GARCH υποδείγματος εκτιμάται πάντα κοντά στη μονάδα. Ο Diebold (1986) τόνισε την αποτυχία των Engle και Bollerslev (1986) να συμπεριλάβουν στο υπόδειγμα τις αλλαγές στα καθεστώτα της νομισματικής πολιτικής, οι οποίες αντανακλούσαν σε αλλαγές του σταθερού όρου της εξίσωσης της δεσμευμένης διακύμανσης και αυτό οδηγούσε σε πλασματική εκτίμηση της μεταβλητότητας των επιτοκίων. Οι Engle και Bollerslev (1986) παρατηρούν ότι σε ένα GARCH υπόδειγμα οι προβλέψεις τις διακύμανσης των αποδόσεων ν-βήματα μπροστά δεν προσεγγίζουν την μη δεσμευμένη διακύμανση. Ένα GARCH μοντέλο με αυτήν την ιδιότητα είναι ολοκληρωμένο ως προς την διακύμανση. Η αναγκαστική υπόθεση για ένα ολοκληρωμένο GARCH υπόδειγμα (IGARCH) είναι ότι οι εκτιμώμενοι παράμετροι του υποδείγματος έχουν άθροισμα ίσο με την μονάδα. Οι Lamoureux και Lasrapes (1990) έδειξαν ότι μεταβολές στη μη-δεσμευμένη διακύμανση οδηγούν σε αυξημένη εκτιμώμενη εμμονή των τετραγώνων των αποδόσεων που συχνά υπονοεί μη-στασιμότητα δηλαδή ολοληρωμένα GARCH υποδείγματα (inegraed GARCH ή IGARCH). Πιο πρόσφατες σχετικές έρευνες Granger και Hyung (1999), Mikosch και Sarica (1999) των Diebold και Inoue (001),ανάμεσα σε άλλους, δείχνουν ότι η παρουσία διαρθρωτικών μεταβολών είναι δυνατόν να εξηγεί τα ευρήματα της υψηλής εμμονής κυρίως στην μεταβλητότητα των αποδόσεων των μετοχών ή άλλων χρηματοοικονομικών σειρών. Ο Hillebrand (004) έδειξε ότι στην περίπτωση που υπάρχουν σημεία αλλαγής αλλά δεν περιλαμβάνονται στην εκτίμηση ενός μοντέλου GARCH τότε έχουμε ενδείξεις για εμμονή η οποία είναι πλασματική, και μπορεί να προκαλέσει σύγχυση στην ανάλυση της μεταβλητότητας. Επιπλέον αναφέρει ότι το πρόβλημα της πλασματικής - 7 -

8 εμμονής είναι αποτέλεσμα της γεωμετρίας της εκτίμησης και είναι ανεξάρτητο από την μέθοδο της εκτίμησης και τις στατιστικές ιδιότητες των σημείων αλλαγής. Τέλος προτείνει ότι το GARCH μοντέλο είναι ακατάλληλο για να μετρήσουμε την εμμονή της μεταβλητότητας και είναι αναγκαίο να διεξάγεται λεπτομερής ανάλυση των σημείων αλλαγής. Επιπρόσθετα η παράληψη των σημείων αλλαγής δημιουργεί προβλήματα στην πρόβλεψη της μεταβλητότητας. Οι Rapach, Srauss και Wohar (007) μελετώντας τον ρόλο των σημείων αλλαγής για την πρόβλεψη της μεταβλητότητας των αποδόσεων των μετοχών, επισήμαναν ότι η αποτυχία να συμπεριληφθούν σημεία αλλαγής στην αδέσμευτη διακύμανση των αποδόσεων μετοχών, μπορεί να οδηγήσει σε GARCH μοντέλα με μεγάλη εμμονή, και έτσι μπορεί συστηματικά οι προβλέψεις να υποεκτιμούν ή να υπερεκτιμούν την μεταβλητότητα. Ο Smih (008), από την άλλη μεριά υποδεικνύει ότι η αστάθεια των παραμέτρων είναι ένδειξη λανθασμένης εξειδίκευσης του μοντέλου και η κλασσική οικονομετρία είναι αδύνατον να εφαρμοστεί. Οι Galeano και say(010) αναφέρουν ότι οι χρηματοοικονομικές χρονοσειρές εκτός από την υψηλή εμμονή, παρουσιάζουν και υπερβολική κύρτωση στην μεταβλητότητα των αποδόσεων η οποία είναι συνυπεύθυνη για την παρουσία ολοκληρωμένων GARCH υποδειγμάτων (IGARCH) τα οποία συνεπάγονται ότι η διακύμανση τείνει στο άπειρο, ένα στοιχείο το οποίο παρ όλα αυτά δεν συναντάται στην πλειονότητα των περιπτώσεων. Η εργασία διαμορφώνεται ως εξής. Στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται οι στατιστικοί έλεγχοι. Στο κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται εργασίες από την διεθνή βιβλιογραφία. Στο κεφάλαιο 5 παρουσιάζεται η εμπειρική εφαρμογή και καταλήγουμε στο κεφάλαιο 6 με μια σύνοψη της εργασίας και κάποια επιλεγμένα συμπεράσματα. 3. Στατιστικοί έλεγχοι 3.1. Kokoszka and Leipus saisic Έστω ότι r είναι οι αποδόσεις μιας χρηματοοικονομικής χρονοσειράς και ισχύει ότι X = όπου d 1, όπου όταν d 1 τότε χρησιμοποιούμε τις απόλυτες τιμές των r d αποδόσεων ενώ όταν d χρησιμοποιούμε τις τετραγωνικές αποδόσεις. Έστω ότι r ακολουθεί μια ARCH( ) διαδικασία δηλαδή - 8 -

9 r u h h a b r j j1 j με a 0 και b 0. Το KL στατιστικό είναι ένα αναδρομικό CUSUM τεστ για τον έλεγχο διαρθρωτικής μεταβολής στην αδέσμευτη διακύμανση μιας χρονοσειράς το οποίο αρχικά είχε σχεδιαστεί για να ανιχνεύει μια διαρθρωτική μεταβολή. Έστω ότι {} r 1 είναι οι αποδόσεις μιας χρηματοοικονομικής χρονοσειράς. Η μηδενική υπόθεση για σταθερή αδέσμευτη διακύμανση είναι: H 0 : for 1,, Η οποία θα ελεγχθεί έναντι της εναλλακτικής μίας διαρθρωτικής μεταβολής H 0 1 : 1 for 1,, k for k1,, Όπου το σημείο μεταβολής k θεωρείται άγνωστο. Ο εκτιμητής ˆk του αγνώστου σημείου k δίνεται από τον τύπο: 1j kˆ min k: D k max D j Οι Kokoszka και Leipus (000) απέδειξαν ότι ο CUSUM-ype εκτιμητής, ˆk, είναι συνεπής εκτιμητής του αγνώστου σημείου k, στην παρουσία μιας διαρθρωτικής μεταβολής. Για να ελέγξουμε για διαρθρωτική μεταβολή το KL στατιστικό, KL, βασίζεται στην επικεντρωμένη και ομαλοποιημένη διαδικασία : 1 k k 1 k D k X X C C k 1 1 Κάτω από την μηδενική υπόθεση της μη διαρθρωτικής μεταβολής και ορισμένες ήπιες συνθήκες κανονικότητας ισχύει ότι: - 9 -

10 1 KL max D k sup B s ˆ 1k LR 0s1 όπου B s Bs είναι μια πρότυπη Brownian γέφυρα, και ορίζεται ως 1 W s sw με W να είναι μια sandard Wiener process. Οι 95% και 99% ασυμπτωτικές κριτικές τιμές είναι, διαδοχικά, 1.36 and Η παραπάνω παράσταση χρειάζεται ένα συνεπή εκτιμητή ˆ LR της μακροχρόνιας διακύμανσης του X, LR Cov X 0, X j. Υπάρχει μια σειρά διαδικασιών έτσι ώστε να j εκτιμηθεί η μακροχρόνια διακύμανση, όπως εκτιμητές που βασίζονται στις kernel εξισώσεις. Για παράδειγμα, οι Andreou και Ghysels (00) χρησιμοποιούν τον Vecor Auoregression Heeoroskedasiciy and Auocorrelaion Consisen (VARHAC) εκτιμητή των den Haan και Levin (1997). Οι De Pooer και van Dijk (004) και Sanso e al. (004) χρησιμοποιούν τον Barle kernel εκτιμητή. Οι Zhang e al. (007) ασχολούνται με τέσσερεις διαφορετικούς εκτιμητές της μακροχρόνιας διακύμανσης, he Deerminisic, he Daa driven, he Modified daa driven και τους VARHAC ή Prewhiening εκτιμητές. Οι Rapach και Srauss (008) εφαρμόζουν την διαδικασία των Newey και Wes (1994) έτσι ώστε να εκτιμήσουν την μακροχρόνια διακύμανση. Σημείωση: Η στατιστική των KL αποτελεί συνέχεια της πρώτης στατιστικής διαδικασίας που αναπτύχθηκε από τους ΙΤ αλλά αφορούσε i.i.d ακολουθίες. Η Συγκεκριμένη στατιστική των I δίνεται από τον τύπο I max Dk όπου k k X j j 1 k Dk X j j 1 και διαφέρει κυρίως ως προς την τυποποίηση της ακολουθίας Dk. Δεν διαιρούμε με την εκτίμηση της μακροχρόνιας διακύμανσης, αφού τα δεδομένα θεωρούνται ανεξάρτητα

11 3.. LR-es Η ανάλυσή βασίζεται στο ότι σε κάποια σημεία στο χρόνο,,... } η διαδικασία με την οποία δημιουργείται η διακύμανση μπορεί να αλλάξει, δηλαδή οι παράμετροι 0, 1, { 1 m μπορεί να αλλάζουν σε κάποιο σημείο του χρόνου. Δεδομένου του σετ των l σημείων στο χρόνο στα οποία q από τις παραμέτρους της διαδικασίας αλλάζουν, θέλουμε να εξετάσουμε εάν υπάρχει ένα επιπρόσθετο σημείο αλλαγής, και αν υπάρχει, τότε σε ποιο σημείο του χρόνου πραγματοποιείται και ποιες είναι οι τιμές των παραμέτρων q πριν και μετά το νέο σημείο αλλαγής. Η πιθανοφάνεια του μοντέλου που περιέχει τα l σημεία αλλαγής στο σετ ορίζεται ως,l ( όπου είναι το σετ που περιλαμβάνει όλες των παραμέτρους οι οποίες δεν )αλλάζουν στο χρόνο, αλλά και τις τιμές l από κάθε μία από τις παραμέτρους q που αλλάζουν. Άρα : L(,) 1 1 log 1, u 1, 1 1, log, u, 1 1,... log 1, u 1, 1 1, όπου u r r i, 0, i 1, i 1 και u. i, 0, i 1, i i, 1, i i, 1 Το εναλλακτικό μοντέλο ορίζεται ως αυτό που περιέχει ένα επιπλέον σημείο αλλαγής στο χρόνο έτσι το σετ των l 1 σημείων αλλαγής γίνεται τώρα, } και η { * συνάρτηση log likelihood που σχετίζεται με το εναλλακτικό μοντέλο γίνεται *L,. Η διαδικασία για τον εντοπισμό και την χρονολόγηση των σημείων *αλλαγής συνίσταται στο να βρούμε την ακολουθία των likelihood raio στατιστικών του εναλλακτικού μη περιορισμένου μοντέλου των l 1 σημείων αλλαγής έναντι της μηδενικής υπόθεσης (περιορισμένο μοντέλο) των l σημείων αλλαγής: ˆ * ˆ * LR l 1 l L, L,

12 Το νέο σημείο αλλαγής εντοπίζεται μέσω του sup LR sup LR : sup LR * l 1 l ελέγχου ο οποίος είναι: όπου sup LR * είναι τα πιθανά σύνολα για διερεύνηση νέων σημείων αλλαγής. Αν ο έλεγχος ξεπερνά την κριτική τιμή τότε η μηδενική υπόθεση (ότι δεν υπάρχει επιπλέον σημείο αλλαγής) απορρίπτεται και ο χρόνος * ˆ * l arg max L, arg max sup LR l 1. * * εκτιμάται από τον τύπο 3.3. LM-es saisic Ο Andrews (1993) ανάμεσα από τους τρεις ελέγχους από τους οποίους έχει προτείνει ο LM έλεγχος έχει ένα πλεονέκτημα από τους LR και Wald ελέγχους, ότι χρειάζεται εκτίμηση μόνο κάτω από την μηδενική υπόθεση ότι οι παράμετροι δεν αλλάζουν. Άρα κάτω από την μηδενική υπόθεση της μη αλλαγής, η εκτίμηση των παραμέτρων του GARCH(1,1) υποδείγματος δίνεται από την μεγιστοποίηση της οιονεί λογαριθμικής εξίσωση πιθανοφάνειας η οποία δίνεται από τον τύπο: 1 log log y h 1 1 h Όπου από ˆ,,, ˆ, ˆ, ˆ, ˆ και το διάνυσμα των πραγματικών παραμέτρων δίνεται. Αφήνοντας τις S και 0 H να είναι αντίστοιχα ο βαθμός και η εσσιανή μήτρα του και A και B να είναι οι ακόλουθες μήτρες: 1 A lim H 1 0 lim 1 και B S 0S 0 0 Άρα o LM έλεγχος δίνεται από τον τύπο : - 1 -

13 LM i i 1 ˆ ˆ i B ˆ A 1 i 1, max min max 1 i A ˆ ˆ ˆ B A όπου και min 0,1 είναι τα άνω και κάτω όρια για να αποφευχθεί η απόκλιση της οριακής max κατανομής, και i είναι η ένδειξη για την οποία ο έλεγχος LM i, επιτυγχάνει το μέγιστο και για μία αλλαγή στα, i A ˆ είναι η δεύτερη, η τρίτη ή η τέταρτη στήλη της μήτρας A ˆ και αντίστοιχα και ˆ 1 k ˆ i, S όπου k 1. Η ένδειξη i για την οποία μεγιστοποιείται ο έλεγχος είναι η εκτίμηση του σημείου αλλαγής Lavielle and Moullines saisic Η στατιστική L&M βασίζεται στην ελαχιστοποίηση ενός αθροίσματος τετραγώνων με μία κατάλληλη συνάρτηση διόρθωσης (ή ποινής, penaly) ως προς τον αριθμό των παραμέτρων ή τον αριθμό των μεταβολών. Έτσι, παρομοιάζει σε μια κατάλληλα τροποποιημένη εκδοχή του κριτηρίου Schwarz. Η στατιστική L&M είναι και ένας συνεπής εκτιμητής του αριθμού των σημείων αλλαγής (διαθρωτικής μεταβολής). Έστω ότι *, k 1,... r k X όπου * k * και 1 k r όπου και = και * * k1 k * 0 0 είναι άγνωστα. Ο έλεγχος των Lavielle και Moullines βασίζεται στην ελαχιστοποίηση του παρακάτω κριτηρίου ελαχίστων τετραγώνων r + 1 Q r1 k min X *, k 1,..., r k k1 k1 1 k k Η εκτίμηση του αριθμού των σημείων αλλαγής περιλαμβάνει την χρήση του Schwarz ή του Bayesian κριτηρίου. Κατ αυτό τον τρόπο χρησιμοποιούμε ένα κριτήριο με «ποινή» Q r όπου το r είναι η συνάρτηση «ποινής» για να αποφευχθεί ο υπερβολικός χωρισμός του δείγματος σε τμήματα με το r να είναι ο αριθμός των αλλαγών και {β Τ } μια φθίνουσα ακολουθία θετικών πραγματικών αριθμών

14 3.5. Εκτίμηση για πολλά breaks Εφαρμόζουμε το K&L saisic για όλο το δείγμα. Έστω ότι βρίσκουμε ένα break poin μέσα στο δείγμα, τότε ένα αλγόριθμος παρόμοιος με αυτόν των Inclan και iao εφαρμόζεται και διαχωρίζει το δείγμα σε δύο υπο-δείγματα. Για παράδειγμα εάν το break εκτιμήθηκε στο χρόνο r τότε χωρίζουμε τα δείγματα. Το εξής πρώτο από 1,,...,r και το δεύτερο από r1, r,..., έπειτα εφαρμόζουμε τον έλεγχο σε αυτά τα υποδείγματα. Εφόσον βρούμε και άλλα break ακολουθούμε την ίδια τακτική. Το τεστ των Lavielle and Moulines αυτόματα όταν εφαρμόζεται μας αποδίδει τον αριθμό των break poins και τις χρονολογίες στις οποίες εκτιμήθηκαν

15 4. Βιβλιογραφική Ανασκόπηση 4.1. Andreou-Ghysels (00) Ο σκοπός της εργασίας τους είναι να ερευνήσουν την θεωρία για την εκτίμηση των σημείων αλλαγής κυρίως για ισχυρώς εξαρτώμενες διαδικασίες όπως ARCH και Swiching Volailiy υποδείγματα. Χρησιμοποιούν CUSUM τύπου εκτιμητές και επισημαίνουν ότι δεν περιορίζονται από τα υποδείγματα που χρησιμοποιούνται και μπορούν να εφαρμοστούν σε ένα ευρύ φάσμα υποδειγμάτων. Στην εργασία τους αυτή επικεντρώνονται στους ελέγχους των Kokoszka και Leipus και των Lavielle και Moulines. Ακόμα προτείνουν την εφαρμογή των ελέγχων αυτών σε υψηλής συχνότητας δεδομένα (high frequency daa) όπου εξετάζονται και από άλλους μελετητές όπως τους Barndorff-Nielsen και Shephard(00) και Andersen e al(001). Στην εμπειρική τους έρευνα εξετάζουν διάφορες χρηματοοικονομικές χρονοσειρές όπως τις αποδόσεις των δεικτών των αγορών του Hong Kong, της Ιαπωνίας του Ηνωμένου Βασιλείου καθώς και της FX αγοράς. Μέσω Mone Carlo πειραμάτων δείχνουν ότι ο έλεγχος των Inclan και iao είναι ισχυρός και υποφέρει λίγο από διαστρεβλώσεις που δημιουργούνται από το μέγεθος των δειγμάτων. Ωστόσο δεν είναι τόσο ισχυρός όσο των Kokoszka και Leipus και των Lavielle και Moulines. Το σημαντικό στοιχείο στην εργασία τους είναι ότι στον έλεγχο 1 KL max D k sup B s ˆ 1k LR 0s1 η μακροχρόνια διακύμανση ˆ LR εκτιμάται από τον συνεπή εκτιμητή Vecor Auoregression Heeroskedasiciy and Auocorrelaion Consisen (VARHAC) των den Haan και Levin (1997). Αυτός ο εκτιμητής έχει το πλεονέκτημα, πέρα από οποιονδήποτε άλλο kernel εκτιμητή, ότι αποφεύγει το κυκλικό πρόβλημα που δημιουργείται για την εκτίμηση της βέλτιστης τάξης ενός AR υποδείγματος. Περιλαμβάνει ένα παραμετρικό αυτοπαλίνδρομο υπόδειγμα το οποίο επιλέγει την βέλτιστη τάξη του AR

16 υποδείγματος μέσω ενός κριτηρίου, όπως για παράδειγμα το Akaike informaion crierion και βρίσκουν μέσω των πειραμάτων ότι είναι αρκετά αξιόπιστος. Σε αντίθεση με τους Pooer και Van Dijk (004) εφαρμόζουν τους ελέγχους στις αποδόσεις και όχι στα κατάλοιπα των αποδόσεων Mone Carlo Ο σκοπός των πειραμάτων είναι να αξιολογήσουν την συμπεριφορά και την δύναμη των K&L και I& στατιστικών ελέγχων στην εύρεση σημείων αλλαγής. Οι προσομοιωμένες αποδόσεις προέρχονται από μια κανονική GARCH(1,1) διαδικασία και δίνεται από τον τύπο : r u h i, i, i, Όπου ισχύει ότι : h au h, 1, 1,..., και 0,1 i, i i i, 1 i i Όταν το i 0 i και u iid i, 0,1 τότε η διαδικασία δεν περιέχει σημεία αλλαγής ενώ στην άλλη περίπτωση υπάρχει σημείο αλλαγής έστω και σε μία από τις παραμέτρους του υποδείγματος. Τα δεδομένα που χρησιμοποιούν δημιουργούνται από διαδικασίες μία με χαμηλή εμμονή και μία με υψηλή. Δηλαδή τα,, παίρνουν τις τιμές DGP1:(0.4,0.1,0.5) που είναι για την χαμηλή εμμονή και DGP:(0.1,0.1,0.8) για την υψηλή και εξετάζονται για τρία δείγματα των 500, 1000 και 3000 χιλιάδων παρατηρήσεων για να εξετάσουν την συμπεριφορά των ελέγχων σε μικρά και μεγάλα δείγματα. Έτσι εξετάζουν αρχικά να υπάρχει ένα σημείο αλλαγής στην διαδικασία και έπειτα την περίπτωση των πολλαπλών σημείων αλλαγής. Τα σημεία αλλαγής «τοποθετούνται» όπου προέρχονται από: με 0.3,0.5,0.7 και τα σημεία αλλαγής μπορεί να H 1 αλλαγές στην δυναμική της μεταβλητότητας(εμμονή), H 1 αλλαγή στον σταθερό όρο, H αλλαγή στον διαταρρακτικό όρο από σε C 1 1,..., και τέλος u u N 0, με 1.1,1.5 για 1, 0, u u

17 H ακραίες τιμές στον διαταρρακτικό όρο από σε D 1 u u N u 4,5 και σταθερή συχνότητα εμφάνισης των ακραίων τιμών. 0, 1, u,1 με μέγεθος Στην περίπτωση των πολλαπλών σημείων αλλαγής εξετάζουν την υπόθεση να υπάρχουν δύο σημεία αλλαγής r u h 1, 1, 1, r u h,,, r u h 3, 3, 3,, h για 1 1, 1 au 1 1, 1 1h1, 1, h a u h για,, 1, 1, h για 3, 3 a3u3, 1 3h3, 1 Για να εντοπιστούν τα πολλαπλά σημεία αλλαγής με το K&L έλεγχο πρώτα τον εφαρμόζουμε σε όλο το δείγμα και αφού εντοπιστεί το πρώτο σημείο αλλαγής έπειτα τον εφαρμόζουμε στα υπό-δείγματα που δημιουργούνται εκατέρωθεν του πρώτου σημείου αλλαγής. Ο L&M έλεγχος, ο οποίος εφαρμόζεται επίσης στην περίπτωση των δύο σημείων αλλαγής, εντοπίζει ταυτόχρονα όλα τα σημεία αλλαγής και αποδίδει τις ημερομηνίες τους Αποτελέσματα πειραμάτων για ένα σημείο αλλαγής Στα αποτελέσματα των πειραμάτων οι Andreou και Ghysels αναφέρουν ότι στην περίπτωση του ενός σημείου αλλαγής ο K&L έλεγχος πάσχει από μικρές στρεβλώσεις μεγέθους (size disorions) για τα μοντέλα GARCH με μικρή εμμονή (DGP1), οι οποίες παραμένουν καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος. Όσων αφορά την περίπτωση της υψηλής εμμονής (DGP) ο έλεγχος υποφέρει από μεγαλύτερες στρεβλώσεις μεγέθους (Oversized) με μέγεθος (πιθανότητα σφάλματος τύπου Ι, δηλαδή πιθανότητα να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση ενώ είναι σωστή) μέχρι και 0%. Ειδικότερα αναφέρουν ότι ο έλεγχος είναι ιδιαίτερα ισχυρός (power of he es ή πιθανότητα σφάλματος τύπου ΙΙ, δηλαδή πιθανότητα να απορρίψουμε την μηδενική έναντι «σωστής» εναλλακτικής) στον εντοπισμό σημείων αλλαγής στην παράμετρο του GARCH υποδείγματος (παράμετρος δυναμικής της αστάθειας) και τον σταθερό όρο, και η δύναμη του ελέγχου αυξάνεται καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος. Στην περίπτωση ύπαρξης ακραίων τιμών στην κατανομή, ο έλεγχος δεν φαίνεται να επηρεάζεται σημαντικά ενώ η προσομοίωση δίνει παρόμοια αποτελέσματα και στην περίπτωση των στη διακύμανση της i.i.d διατάραξης. Ακόμα

18 τα αποτελέσματα δείχνουν ότι ο έλεγχος είναι αρκετά ισχυρός στο να εντοπίζει σημεία αλλαγής τα οποία συμβαίνουν αρκετά νωρίς στο δείγμα όπως στην περίπτωση 0.3 (δηλαδή 1/3 του δείγματος). Στην περίπτωση του I& ελέγχου συγκρίνουν την επίδοση του ελέγχου μεταξύ r και r. Στην περίπτωση των τετραγωνισμένων αποδόσεων ο έλεγχος υποφέρει από διαστρεβλώσεις μεγέθους πάνω από 10% για όλα τα DGP και τα μεγέθη δείγματος τα οποία ερευνώνται αλλά φαίνεται να είναι αρκετά ισχυρός στο να εντοπίζει ακόμα και μικρές αλλαγές στις παραμέτρους του GARCH και στον διαταρακτικό όρο. Ωστόσο, η επίδοση του ελέγχου επηρεάζεται αρνητικά από την ύπαρξη ακραίων τιμών τα οποία συνεπώς τα εντοπίζει ως σημεία αλλαγής. Στην περίπτωση των απόλυτων αποδόσεων η δύναμη του ελέγχου φαίνεται να είναι ασθενέστερη απ ότι στην προηγούμενη περίπτωση για κάθε εναλλακτική υπόθεση. Από την άλλη μεριά για τα μεγάλου μεγέθους δείγματα και με υψηλή εμμονή ο έλεγχος είναι αρκετά ισχυρός και δεν είναι ευαίσθητος σε ακραίες τιμές. Ο L&M έλεγχος στην περίπτωση του ενός σημείου αλλαγής φαίνεται να είναι αρκετά ισχυρός για κάθε κριτήριο που χρησιμοποιείται (BIC ή LWZ) και για όλα τα DGPs και για τις δύο περιπτώσεις αποδόσεων (τετραγωνισμένων και απόλυτων). Στην περίπτωση της υψηλής εμμονής, το LWZ κριτήριο αποδίδει καλύτερα σε όρους μεγέθους. Ο έλεγχος αυτός φαίνεται να μην είναι αρκετά ισχυρός στο να εντοπίζει μικρές αλλαγές στον σταθερό όρο είτε στην μεταβλητότητα. Στην σύγκριση μεταξύ του K&L και του L&M ελέγχου, ο πρώτος αποδίδει καλύτερα όταν οι αλλαγές είναι μικρές αλλά υποφέρει από στρεβλώσεις μεγέθους όταν η GARCH διαδικασία έχει υψηλή εμμονή Αποτελέσματα στην περίπτωση των πολλαπλών σημείων αλλαγής Τα αποτελέσματα σε αυτήν την περίπτωση δείχνουν ότι ο K&L έλεγχος είναι ισχυρός μόνο στην περίπτωση που οι αλλαγές στις παραμέτρους του GARCH υποδείγματος είναι μεγάλες και μη-μονότονες για όλα τα DGP αλλά για τις απόλυτες τιμές και όχι για τις τετραγωνισμένες. Επίσης είναι ισχυρός στο να εντοπίζει αλλαγές στην διακύμανση του διαταρακτικού όρου ενός GARCH υποδείγματος. Όσων αφορά τον L&M έλεγχο είναι ιδιαίτερα ισχυρός στο να εντοπίζει τις δύο αλλαγές ειδικότερα

19 όταν εφαρμόζεται το BIC κριτήριο στις τετραγωνισμένες αποδόσεις για μικρές και σταδιακές αλλαγές ενώ είναι ισχυρός και στις δυο μορφές αποδόσεων για μεγάλες αλλαγές. Σε αντίθεση με τον LWZ κριτήριο το οποίο υποεκτιμά τον αριθμό των αλλαγών στις παραμέτρους ενός GARCH υποδείγματος. Γενικά ο L&M έλεγχος είναι λιγότερο ισχυρός στο να εντοπίζει μικρές και μονότονες αλλαγές στις παραμέτρους ενός GARCH υποδείγματος ωστόσο έχει καλύτερες ιδιότητες μεγέθους απ ότι ο K&L έλεγχος και δεν υπερεκτιμά τον αριθμό των σημείων αλλαγών. Για μεγάλες αλλαγές και οι δύο έλεγχοι παρουσιάζουν παρόμοια δύναμη. 4.. Eizaguirre Biscarri Hidalgo (004) Οι Eizaguire, Biscarri και Hidalgo(004) στην εργασία τους μελετούν την εμπειρική εφαρμογή της μεθόδου ελέγχου των Bai και Perron (1998, 003 a,b) για να εντοπίσουν σημεία αλλαγής στην μεταβλητότητα ενός δείκτη της Ισπανικής χρηματαγοράς. Τα δεδομένα που χρησιμοποιούν είναι μηνιαία και καλύπτουν την περίοδο από 1941:01 έως 001:1. Αρχικά καταφεύγουν σε μία γραφική ανάλυση της συμπεριφοράς της μεταβλητότητας κατά την διάρκεια του εξεταζόμενου δείγματος. Έπειτα εξετάζουν την δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα για να βρουν συμπληρωματικά στοιχεία συγκεκριμένων γεγονότων τα οποία έχουν επηρεάσει την αγορά και ιδιαίτερα, την μεταβλητότητα της χρηματαγοράς. Έπειτα αναλύουν την αδέσμευτη διακύμανση εντοπίζοντας σημεία αλλαγής στη χρονοσειρά της μεταβλητότητας. Έπειτα για λόγους επαλήθευσης εφαρμόζουν τρείς εναλλακτικούς ελέγχους για ενδογενή σημεία αλλαγής στην μεταβλητότητα. Με αυτόν τον τρόπο τους δίνεται η δυνατότητα να «σχολιάσουν» την δυναμική συμπεριφορά της μεταβλητότητας, την εμμονή που υπάρχει στο δείγμα και το μέγεθος επιρροής των σοκ. Καθώς προχωρούν στην ανάλυσή τους παρατηρούν από την διαγραμματική ανάλυση, ότι μετά από το 1970 η μεταβλητότητα των αποδόσεων αυξάνεται σημαντικά. Οι Eizaguirre, Biscarri και Hidalgo εκτιμούν ένα υπόδειγμα GARCH(1,1). Οι Pagan και Schwer (1990) και Pagan (1996) έδειξαν ότι τα GARCH μοντέλα έχουν αρκετά καλή απόδοση σε σχέση με άλλα μοντέλα για την μοντελοποίηση της δεσμευμένης μεταβλητότητας των αποδόσεων των μετοχών. Προς αυτή την κατεύθυνση κινείται και η γραφική ανάλυση με την οποία ασχολούνται και με ένα μέτρο ετήσιας κυλιόμενης διακύμανσης, με την οποία μέσω του τύπου:

20 1 k 1 /11 r k 1 συγκρίνουν την δεσμευμένη διακύμανση την οποία εκτιμούν μέσω ενός υποδείγματος GARCH(1,1) και παρατηρούν ότι η εκτιμημένη διακύμανση προσεγγίζει ικανοποιητικά την μη-παραμετρική κυλιόμενη διακύμανση και ειδικότερα σε περιόδους υψηλής μεταβλητότητας. Έπειτα εφαρμόζουν και ένα έλεγχο για να ελέγξουν την ομοιότητα των κατανομών της μεταβλητότητας που υπονοείται από το μοντέλο τους, παίρνοντας ως πραγματική την κυλιόμενη διακύμανση. Ο έλεγχος δεν απορρίπτει την ομοιότητα των κατανομών. Για να εντοπίσουν τα σημεία αλλαγής στην μεταβλητότητα εφαρμόζουν την διαδικασία ελέγχου LR-έλεγχο των Bai και Perron (1998) σε ένα GARCH(1,1) μοντέλο για να ελέγξουν την ύπαρξη αλλαγών στις παραμέτρους της διαδικασίας 0, 1,. Οι περισσότερες από τις τεχνικές ελέγχου που υπάρχουν για την εκτίμηση και εντοπισμό των ενδογενών σημείων αλλαγής είναι για τον μέσο των παραμέτρων σε γραμμικά μοντέλα. Ωστόσο οι Bai και Perron (1998, 003) αναφέρουν ότι μπορούν να εφαρμοστούν και για αλλαγές στην διακύμανση. Οι κριτικές τιμές που χρησιμοποιούν και οι οριακές κατανομές των ελέγχων είναι για αλλαγές στο μέσο των παραμέτρων, αυτό είναι ένα πρόβλημα διότι περαιτέρω έρευνα στις ασυμπτωτικές κατανομές είναι δυνατόν να διαφοροποιήσει τα αποτελέσματα. Για τον εντοπισμό των πολλαπλών σημείων αλλαγής εφαρμόζουν μια διαδοχική διαδικασία (sequenial procedure), η οποία συνίσταται στο να εντοπίζουν τα σημεία αλλαγής δεσμευμένα από τα σημεία αλλαγής τα οποία ήδη έχουν βρεθεί. Κατά αυτό τον τρόπο αφού εντοπίσουν το πρώτο σημείο αλλαγής διενεργούν ένα έλεγχο σημαντικότητας υπό την μηδενική υπόθεση ότι δεν υπάρχουν σημεία αλλαγής. Αν απορριφθεί η μηδενική υπόθεση τότε εντοπίζουν το δεύτερο σημείο αλλαγής το οποίο είναι δεσμευμένο από το πρώτο και διενεργούν πάλι τον ίδιο έλεγχο. Η ανάλυσή τους βασίζεται στον LR έλεγχο που έχουμε αναφέρει παραπάνω. n 4.3. Pooer και Van Dijk(004) Οι Pooer και Van Dijk (004) στην εργασία ασχολούνται με τον CUSUM έλεγχο των Kokozska και Leipus (000) ο οποίος είχε εξεταστεί από τους Andreou και Ghysels (00,004) οι οποίοι είχαν βρεί ότι ο έλεγχος έχει καλές δυναμικές - 0 -

21 ιδιότητες αλλά υποφέρει από προβλήματα μεγάλου μεγέθους (Oversize). Έτσι μελέτησαν την πρόταση των Lee e al. (003) να εφαρμόσουν τον έλεγχο στα κανονικοποιημένα κατάλοιπα από ένα εκτιμημένο GARCH μοντέλο. Έπειτα από εντατικοποιημένη ανάλυση επιβεβαίωσαν ότι ο έλεγχος υπέφερε από μεγάλου μεγέθους διαστρεβλώσεις όταν τον εφάρμοζαν στις αρχικές σειρές, η μηδενική υπόθεση (μη διαρθρωτική μεταβολή) δεν γινόταν αποδεκτή αρκετές φορές, καθιστώντας τον έλεγχο αναξιόπιστο, δίνοντας ως αποτέλεσμα μεγάλο αριθμό διαρθρωτικών μεταβολών. Ωστόσο όταν εφάρμοζαν τον έλεγχο στα κανονικοποιημένα κατάλοιπα είχε μικρές διαστρεβλώσεις και λογικά καλή δύναμη στο να εντοπίζει αλλαγές στην μεταβλητότητα. Επιπλέον ο έλεγχος ήταν αρκετά ισχυρός σε διάφορες μορφές μη σωστής εξειδίκευσης του υποδείγματος. Οι έλεγχοι που εξετάζουν βασίζονται στους δυο ελέγχους, των Kokozska και Leipus(000) που εξελίχθηκε αργότερα από τους Lee και Park(001), και των Inclan και iao(1994) που αργότερα εξελίχθηκε από τους Kim e Al(000). Οι Pooer και Van Dijk ξεκινούν από το CUSUM στατιστικό τωνkokoszka και Leipus όπου βασίζεται στην κεντροποιημένη και ομαλοποιημένη διαδικασία k 1 k 1 k Dyk y y Ck C 1 1 Όπου D D y 0 y 0. Όταν το y ικανοποιεί την μηδενική υπόθεση σταθερής μη δεσμευμένης διακύμανσης, όπου ένα διάγραμμα του Dy k σε σχέση με το είναι μια οριζόντια γραμμή που ταλαντεύεται γύρω από το 0. Ωστόσο κάτω από την εναλλακτική υπόθεση, ότι υπάρχει μια διαρθρωτική μεταβολή στο σημείο του Dy k k, η τιμή θα απομακρυνθεί από το 0 είτε προς την θετική είτε την αρνητική κατεύθυνση για τιμές όπου k. Θεωρητικά η απόλυτη τιμή του D k θα επιτύχει τη μέγιστη τιμή στο σημείο όπου κατευθυνθεί προς το 0. Υποθέτοντας ότι το μέγιστο του y k, έπειτα από το οποίο η τιμή του k θα y D y D k επιτυγχάνεται όπου k * * k k δηλαδή όπου D k max D k. y 1k Τότε αναγνωρίζουμε ένα σημείο αλλαγής στο y * * k εάν το Dy k είναι μεγαλύτερο από κάποια προκαθορισμένη κριτική τιμή, η οποία περιλαμβάνεται από την ασυμπτωτική κατανομή του Dy k. Μπορεί να αποδειχτεί ότι κάτω από κάποιες - 1 -

22 επιεικώς χαλαρές υποθέσεις κανονικότητας, ότι το Dy 1 d y 0s1 * Brownian γέφυρα, έτσι ώστε D k sup Bs μακροχρόνια διακύμανση της σειράς η j-ιοστού βαθμού αυτοσυνδιακύμανση της y, η οποία είναι y όπου Brownian γέφυρα, και ορίζεται ως Bs sw 1 k ασθενώς συγκλίνει σε μία, όπου το είναι η j j όπου το j είναι B s είναι μια πρότυπη W s με W να είναι μια sandard Wiener διαδικασία και 0 s k 1. Έτσι συνεπάγεται ότι ένας κατάλληλος στατιστικός έλεγχος δίνεται από τον τύπο: * 1 Uyk max Dyk όπου το ˆ 1 k ˆ είναι ένας συνεπής εκτιμητής για το. Προφανέστατα οι υποθέσεις για τις ιδιότητες της κατανομής της σειράς y καθορίζουν την μακροχρόνια διακύμανση και υπονοούν πως θα εκτιμηθεί. Στην πρώτη περίπτωση οι Inclan και iao (1994) υποθέτουν ότι η y κατανέμεται iid (independen and idenical disribued) και κανονικά, και οι αυτοσυσχετίσεις της y είναι όλες ίσες με το μηδέν, από αυτό συνεπάγεται ότι. Λόγω των υποθέσεων 0 κανονικότητας το ˆ όπου είναι η διακύμανση του y, το οποίο μπορεί να y C y εκτιμηθεί από το ˆ * Έτσι είναι εύκολο να δείξουμε ότι το στατιστικό y U y k * k Cy k max. 1k C y. U k μπορεί να γραφτεί ξανά ως: Στην δεύτερη περίπτωση υποθέτοντας ότι η y κατανέμεται iid άλλα όχι και κανονικά τότε η μακροχρόνια διακύμανση ισούται με το 0 ˆ, μόνο που τώρα 1 εκτιμάται από τον τύπο ˆ 0 y y. 1 1 Στην Τρίτη περίπρωση που μελετάται από τους Kokoszka και Leipus χαλαρώνεται η iid υπόθεση και υποθέτουν ότι η και ότι ακολουθεί μια ARCH( ) διαδικασία y παρουσιάζει δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα - -

23 y z h h a y j j j1 όπου z iid N(0,1) ενώ οι Kim e al. υποθέτουν ότι ακολουθεί μια GARCH(1,1) διαδικασία: y z h h ajy 1h1 όπου, είναι θετικοί αριθμοί, 1 και z iid N(0,1). Στην περίπτωση αυτή οι Pooer και Van Dijk χρησιμοποιούν τον Barle kernel εκτιμητή για την εκτίμηση της μακροχρόνιας διακύμανσης ο οποίος είναι: l ˆ ˆ0 w ˆ j1 jl, j και w j l με αυτόματη επιλογή υστέρησης jl, 1 χρησιμοποιώντας ένα AR(1) μοντέλο όπως προτάθηκε από τον Andrews (1991). Από την μελέτη τους οι Pooer και Van Dijk παρατηρούν ότι και οι τρείς έλεγχοι που πραγματοποιούν υποφέρουν από μεγάλου μεγέθους διαστρεβλώσεις όταν η l 0 y εμφανίζει δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα. Έτσι ακολουθούν την πρόταση των Lee e al. (003) και να εφαρμόζουν τον CUSUM έλεγχο στα κανονικοπιημένα κατάλοιπα τα οποία υπολογίζονται από τον τύπο z y hˆ, όπου η h είναι η εκτιμημένη δεσμευμένη μεταβλητότητα της ˆ ˆ y την οποία την αποκτούμε από ένα εκτιμημένο GARCH(1,1) μοντέλο, το οποίο εκτιμάται από την quasi-maximum likelihood, υποθέτοντας ότι το z κατανέμεται κανονικά Εκτίμηση για πολλά σημεία αλλαγής των Pooer και Van Dijk Οι Pooer και Van Dijk χρησιμοποιούν μια διαδοχική διαδικασία και υποθέτουν ότι σε κάποιο σημείο του αλγόριθμου έχουν εντοπιστεί N σημέια αλλαγής, για N<M με Μ να είναι το μέγιστο των επιτρεπόμενων σημείων αλλαγής. Έτσι το δείγμα της * * * μπορεί να χωριστεί σε Ν+1 τμήματα όπου ισχύει ότι 1 k0 k1... kn 1. Για να εξετάσουν εάν υπάρχει ένα επιπρόσθετο σημείο αλλαγής εφαρμόζουν ένα από τους προτεινόμενους CUSUM ελέγχους για κάθε τμήμα ξεχωριστά, και επιλέγουν το τμήμα στο οποίο ο έλεγχος είναι ο μεγαλύτερος. Υποθέτοντας ότι εντοπίζουν ένα y - 3 -

24 σημείο αλλαγής στο i-οστό τμήμα, εάν το CUSUM στατιστικό υπερβαίνει την κατάλληλη κριτική τιμή τότε αναγνωρίσουν το Ν+1 σημείο αλλαγής. Επαναλαμβάνουν αυτή την διαδικασία έως ότου το Ν να ισούται με το Μ ή έως ότου ο στατιστικός έλεγχος να μην είναι επιπλέον στατιστικά σημαντικός. Το επίπεδο σημαντικότητας το υπολογίζουν μέσω του τύπου N 1 όταν εξετάζουν το Ν+1 σημείο αλλαγής. Τέλος επανεκτιμούν όλα τα σημεία αλλαγής όπου ο εντοπισμός του i-οστού σημείου αλλαγής επανεκτιμάται από τα δείγματα που βρίσκεται ανάμεσα στα σημεία * * ki 1 και i 1 k. Ένας δεύτερος περιορισμός τον οποίο θέτουν είναι ότι κάθε σημείο αλλαγής θα πρέπει να βρίσκεται τουλάχιστον παρατηρήσεις μακριά το ένα από το άλλο. Αυτό συμβαίνει έτσι ώστε να αποφευχθεί τα σημεία αλλαγής να είναι αρκετά κοντά και να καθίστανται πλασματικά, επιπλέον η τιμή του που μπορούμε να δώσουμε για ημερήσια δεδομένα μπορεί να είναι 63,13 δηλαδή τρεις και έξι μήνες αντίστοιχα. Όσον αφορά τις κριτικές τιμές τις εκτιμούν μέσω της προσέγγισης της επιφάνειας απόκρισης του MacKinnon (000) Eizaguirre Biscarri-Hidalgo (006) Στην εργασία τους αυτή οι Eizaguirre, Biscarri και Hidalgo εξετάζουν αν η μεταβλητότητα των χρηματαγορών σε έξι αναπτυσσόμενες οικονομίες έχει αλλάξει σημαντικά κατά την περίοδο 1976:01-00:03 χρησιμοποιώντας μηνιαία δεδομένα χρηματιστηριακών δεικτών. Εφαρμόζουν μεθοδολογίες για τον εντοπισμό ακραίων τιμών στο δείγμα τους (στις αποδόσεις) σαν σημείο εκκίνησης και στη συνέχεια φιλτράρουν (αφαιρούν) τις ακραίες τιμές. Η ανάλυση τους προτείνει ότι ο a priori εντοπισμός των ακραίων τιμών είναι «χρήσιμος» όταν ερευνούμε για αλλαγές στη μεταβλητότητα των αποδόσεων. Ξεκινούν την ανάλυση τους με περιγραφικά στατιστικά των αποδόσεων και παρουσιάζουν ένα μη-παραμετρικό μέτρο μεταβλητότητας αποδόσεων το οποίο εντοπίζει την εξέλιξη της μεταβλητότητας κατά την διάρκεια του δείγματος. Δίνουν ιδιαίτερη έμφαση στον εμπειρικό εντοπισμό ακραίων τιμών μέσω διαγραμμάτων ή μέσω του εντοπισμού ειδήσεων οι οποίες επηρέασαν καταλυτικά την οικονομία. Ως εκ τούτου, είχαν αρνητικές συνέπειες στις αποδόσεις και την μεταβλητότητα των χρηματοοικονομικών χρονοσειρών (με παράδειγμα την εμφάνιση ακραίων ίσως - 4 -

25 τιμών) σε εκείνη τη περίοδο. Ένα παράδειγμα είναι η απελευθέρωση της αγοράς (marke liberizaion) Μη σωστή εξειδίκευση υποδείγματος. Οι Eizaguirre, Biscarri και Ηidalgo (006) δίνουν ιδιαίτερη έμφαση στην σωστή εξιδείκευση του υποδείγματος το οποίο μελετάται. Αναφέρουν ότι παραδοσιακά οι αποδόσεις των μετοχών υποδειγματοποιούνται σύμφωνα με το μοντέλο: r όπου είναι ο δεσμευμένος μέσος των αποδόσεων και διακύμανση με να είναι μια Gaussian καινοτομία και κατανέμεται iid. Αν έχει υποτεθεί λανθασμένα ότι r 0 γίνεται 1 1 η δεσμευμένη τότε η δεσμευμένη διακύμανση 1 r 1 και έτσι αυτό που εκτιμούν προέρχεται από την δεσμευμένη διακύμανση και το δεσμευμένο μέσο. Έστω ότι το υπόδειγμα δηλαδή είναι της μορφής: r r 1 τότε είναι προφανές ότι η δεσμευμένη διακύμανση είναι της μορφής : 1r r 1. Κατ αυτό τον τρόπο οι έλεγχοι που εφαρμόζουν μπορεί να εντοπίζουν σημεία αλλαγής στο και στο. Θα μπορούσαμε να υποθέσουμε μια ακραία τιμή στον χρόνο η οποία να προέρχεται από μια παρεκκλίνουσα πραγματοποίηση της διαδικασίας, όμως κάποιος θα μπορούσε να ισχυριστεί ότι η ακραία τιμή ανήκει στον μέσο, αν αυτή η ακραία τιμή προέρχεται από ένα συμβάν το οποίο είναι απίθανο να ξανασυμβεί και υποθέτοντας ότι η απόδοση αυτή προέρχεται από την διαδικασία της καινοτομίας τότε θα διαστρέβλωνε την αληθινή πραγματοποίηση της καινοτομίας. Άρα κάνοντας αυτές τις υποθέσεις οι συγγραφείς δίνουν το υπόδειγμα μιας AR(1) διαδικασίας : r r 1 d έτσι εάν κάποιος δεν αφαιρέσει το μέγεθος της ακραίας τιμής τότε θα ισχύει ότι : u d d *

26 όπου u r r. * 1 Εάν η δεσμευμένη διακύμανση παρουσιάζει μια GARCH τύπου δομή δηλαδή u τότε η παρουσία του όρου d θα μολύνει την διακύμανση μέσω του αυτοπαλίνδρομου όρου και έτσι θα οδηγήσει σε λανθασμένα 1 συμπεράσματα για τις παραμέτρους του GARCH μοντέλου. Έτσι ένα ακατάλληλο «φιλτράρισμα» των ακραίων τιμών θα διαστρεβλώσει τις εκτιμημένες παραμέτρους της διαδικασίας της διακύμανσης και θα δώσει πλασματικά στοιχεία για διαρθρωτικές μεταβολές στην μεταβλητότητα. Για τον λόγο αυτό πολλές έρευνες καταλήγουν στον εντοπισμό πολλών σημείων αλλαγής και αυτό γιατί δεν γίνεται σωστή ανάλυση των ακραίων τιμών. Ακόμα εντόπισαν ότι όταν εισάγουν μια ψευδομεταβλητή στο υπόδειγμά τους για όλη την περίοδο μέχρι την επόμενη διαρθρωτική μεταβολή οι επιρροές τύπου GARCH εξαφανίζονται Φιλτράροντας τον δεσμευμένο μέσο Ακολουθούν την διαδικασία των McCullococh και say (1994) και say (00) έτσι ώστε να παράγουν την διαδικασία των καινοτομιών χωρίς τις ακραίες τιμές. Αυτή η διαδικασία είναι βασισμένη στο ότι οι αποδόσεις χωρίς καινοτομίες ακολουθούν μια AR(1) διαδικασία, το οποίο είναι αρκετό για να μας δώσει μια επίπεδη ACF (auocorellaion funcion). Η διαδικασία η οποία ακολουθείται για τις παρατηρούμενες αποδόσεις είναι: r D u D όπου D :είναι το μέγεθος της ακραίας τιμής στο χρόνο :είναι 1 όταν παρατηρείται ακραία τιμή και 0 σε οποιαδήποτε άλλη περίπτωση :είναι η διαδικασία των αποδόσεων χωρίς ακραίες τιμές η οποία ακολουθεί μια AR(1) διαδικασία με καινοτομίες N0,1 u. Ακόμα υποθέτουν ότι οι ακραίες τιμές προέρχονται από 0, N όπου

27 Εάν οι ακραίες τιμές είναι πολύ συχνές σε κάποιες υποπεριόδους του δείγματος, αυτό μπορεί να υποδεικνύει διαρθρωτική μεταβολή. Οι έλεγχοι που χρησιμοποιούν είναι των Kokoszka και Leipus και Inclan και iao τους οποίους τους έχουμε προαναφέρει πιο πάνω. Ο νέος έλεγχος τον οποίο παρουσιάζουν είναι των Chen e al.(005) ο οποίος κατά τους συγγραφείς φαίνεται να είναι πιο ισχυρός και βασίζεται στα κατάλοιπα από το πρώτο στάδιο της εκτίμησης του μέσου. Ο έλεγχος βασίζεται στο W ˆ r ˆ όπου είναι ένας μη παραμετρικός εκτιμητής. Κατ αυτόν τον τρόπο δεχόμαστε ταυτόχρονα ότι W ˆ και ˆ r W u. Τα συσωρευμένα αθροίσματα S k ˆ W και S k W ˆ k 1 χρησιμοποιούνται για να κατασκευαστεί ο ακόλουθος εκτιμητής 1 k k 1 1 V k Sk S k k για k 1 και log 3 k. Ο στατιστικός έλεγχος που διενεργούν είναι: Όπου ˆ W 1 ˆ CCZ sup V ˆ k k w ˆ και είναι ένας εκτιμητής της μακροχρόνιας διακύμανσης ˆw k 1 του W ˆ. Η κατανομή αυτού του ελέγχου εξαρτάται από την τιμή του. Οι Eizaguirre και Biscarri θέτουν την τιμή αυτή ίση με το μηδέν έτσι ώστε οι I και ΚL έλεγχοι να έχουν τις ίδιες κριτικές τιμές Rapach-Srauss (008) Οι Rapach και Srauss (008) εξετάζουν την μεταβλητότητα των συναλλαγματικών ισοτιμιών και διενεργούν ελέγχους μέσα στο δείγμα και εκτός δείγματος για σημεία αλλαγής. Στην ανάλυσή τους για μέσα στο δείγμα βρίσκουν σημαντικά στοιχεία για ύπαρξη σημείων αλλαγής στην μη-δεσμευμένη διακύμανση των αποδόσεων για εφτά από τις οχτώ σειρές συναλλαγματικών ισοτιμιών. Μια πιο ενδελεχής έρευνα στα υπό

28 δείγματα που δημιουργούνται από τα σημεία αλλαγής συχνά αποκαλύπτουν μεγάλες διαφορές στις εκτιμήσεις των παραμέτρων. Στην ανάλυση που κάνουν για σημεία αλλαγής εκτός του δείγματος χρησιμοποιούν διάφορες μεθόδους για να «φιλοξενήσουν» πιθανά σημεία αλλαγής όταν κάνουν πρόβλεψη για τις αποδόσεις των συναλλαγματικών ισοτιμιών. Εφαρμόζουν τρία μοντέλα για την πρόβλεψη, χρησιμοποιούν ένα επεκτεινόμενο παράθυρο για να «αφήσουν» τις παραμέτρους του GARCH(1,1) υποδείγματος να εξελιχθούν στο χρόνο, Riskmerics και το FIGARCH(1,d,1). Για να ελέγξουν για πιθανά σημεία αλλαγής χρησιμοποιούν ένα τροποποιημένο έλεγχο των Inclan και iao βασισμένο στον Barle kernel εκτιμητή. Ο έλεγχος είναι: I sup k 0. 5 / D k όπου Dk Ck C k και k 1 C k e για κάθε k 1,.., όπου η τιμή k μεγιστοποιεί την παράσταση 0.5 / και e είναι οι λογαριθμικές αποδόσεις των D k συναλλαγματικών ισοτιμιών. Ο τροποποιημένος έλεγχος δίνεται από τον τύπο AI sup 0. 5 G k k όπου ˆ 0.5 Gk Ck k 1 e e 1 1 l 1 C και ˆ ˆ m 1lm1 1 ˆ ˆ ˆ και ˆ 1 C. 0 l 1 Η παράμετρος της υστέρησης m επιλέγεται μέσα από την μέθοδο των Newey και Wes (1994). Για να ελέγξουν την υπόθεση των πολλαπλών σημείων αλλαγής στην μη δεσμευμένη μεταβλητότητα εφαρμόζουν τον αλγόριθμο ICSS που ανέπτυξαν οι Inclan και iao(1994) το οποίο βασίζεται στο ΑΙΤ στατιστικό. Επιπλέον για να συγκρίνουν τις προβλέψεις των αποδόσεων των συναλλαγματικών ισοτιμιών χρησιμοποιούν δυο συναρτήσεις απώλειας (loss funcions) το MSFE με - 8 -

29 στατιστικό (Mean Squared Forecas Error) και το MVAR. Οι Awarani και Corradi (004) και οι Hansen και Lunde (006) έδειξαν ότι το MSFE στατιστικό παράγει μια συνεπή κατηγοριοποίηση των μοντέλων πρόβλεψης όταν τα τετράγωνα των αποδόσεων υπηρετούν σαν proxy της λανθάνουσας μεταβλητότητας. Ακόμα εφαρμόζουν και τον έλεγχο πραγματικότητας (realiy check) του Whie (000) ο οποίος μας επιτρέπει να ελέγξουμε αν κάποιο από τα μοντέλα τα οποία φιλοξενούν σημεία αλλαγής στην μη δεσμευμένη μεταβλητότητα των αποδόσεων των συναλλαγματικών ισοτιμιών, βελτιώνει την επίδοση των προβλέψεων σε σχέση με ένα μοντέλο αναφοράς Galeano και say (010) Οι Galeano και say στην εργασία τους μελετούν την περίπτωση στην οποία οι παράμετροι ενός GARCH(1,1) υποδείγματος αλλάζουν μεμονωμένα, ενώ οι ερευνητές μέχρι τώρα εξετάζουν την περίπτωση στην οποία υπάρχει ταυτόχρονη αλλαγή σε όλες τις παραμέτρους. Μελετούν τις επιπτώσεις τέτοιων αλλαγών στις σειρές των αποδόσεων και της μεταβλητότητας τους. Με την εργασία τους αυτή δείχνουν ότι σε κάποιες περιπτώσεις είναι προτιμότερο να ανιχνεύουμε αλλαγές ξεχωριστά σε κάθε παράμετρο ενός GARCH μοντέλου, διότι έχουν διαφορετικές επιπτώσεις κάθε φορά στις σειρές των αποδόσεων των χρηματοοικονομικών χρονοσειρών. Αναφέρουν χαρακτηριστικά ότι μια αλλαγή του σταθερού όρου της εξίσωσης της μεταβλητότητας μεταβάλλει μόνιμα το μέσο επίπεδο της μεταβλητότητας, ενώ μια αλλαγή στις παραμέτρους επηρεάζει την δυναμική δομή της σειράς της μεταβλητότητας. Οι Bai, Russell και iao (003) έδειξαν ότι η ARCH παράμετρος ενός GARCH(1,1) υποδείγματος σχετίζεται με την υπερβολική κύρτωση που παρουσιάζουν οι αποδόσεις των χρηματοοικονομικών χρονοσειρών. Τονίζουν ότι με την μελέτη των αλλαγών στις παραμέτρους ενός υποδείγματος ξεχωριστά, μπορεί να προσφέρει μεγαλύτερη κατανόηση στον αντίκτυπο που έχουν τα οικονομικά συμβάντα στις αποδόσεις των χρονοσειρών των μετοχών. Ένας ακόμη λόγος για τον οποίο προτείνουν αυτή την μεθοδολογία είναι γιατί το τελικό μοντέλο είναι πιο συνεπές (parsimonious) απ ότι ένα μοντέλο που περιλαμβάνει ταυτόχρονη αλλαγή όλων των παραμέτρων. Ο έλεγχος τον οποίο εφαρμόζουν είναι ο LM έλεγχος που έχει προτείνει ο Andrews (1993) για έλεγχο διαρθρωτικών μεταβολών σε γενικευμένα μη γραμμικά μοντέλα. Το μοντέλο που εκτιμούν είναι : - 9 -

30 y h Όπου η εξίσωση της μεταβλητότητας είναι : h a y h 1 1, iid 0,1 και 4 K Μεθοδολογία εύρεσης πολλαπλές αλλαγές στις παραμέτρους Στην πραγματικότητα η διαδικασία εύρεσης πολλών σημείων είναι παρόμοιος με τους αλγόριθμους που έχουν αναφέρει οι Inclan και iao(1994), Bai(1997) και Andreou και Ghysels(00). Δηλαδή η κεντρική ιδέα βασίζεται στον χωρισμό του δείγματος σε δύο επιμέρους μέρη μετά τον εντοπισμό μιας αλλαγής σε μια παράμετρο. Η δυαδική διαδικασία έχει ως εξής: 1. Αφήνοντας την y να είναι η παρατηρούμενη χρονοσειρά, υπολογίζουμε το μέγιστο του LM ελέγχου μέσα στο διάστημα min max για κάποιες προκαθορισμένες τιμές του min και max.. υπάρχουν τρείς πιθανότητες: εάν κανένας από τους στατιστικούς ελέγχους είναι σημαντικός δηλαδή LM i cy για i,, όπου c y είναι η ασυμπτωτική κριτική τιμή για κάποια δεδομένη άνω πιθανότητα ουράς, τότε δεν υπάρχουν αλλαγές στις παραμέτρους και η διαδικασία τελειώνει εδώ. Εάν μόνο ένας έλεγχος είναι στατιστικά σημαντικός δηλαδή LM i c για i,, τότε έχομε αλλαγή σε μία από τις παραμέτρους i. Τότε αφήνουμε το 1 να είναι το σημείο στο οποίο το στατιστικό LM λαμβάνει την μέγιστη τιμή του και προχωράμε στο βήμα 3. Εάν το στατιστικό LM μία τιμή του i επιλέγουμε το LM επιστρέφουμε στην προηγούμενη περίπτωση. i είναι στατιστικά σημαντικό για παραπάνω από i με την μεγαλύτερη τιμή και 3. Έστω ότι 0, 1,..., g 1 με 0 0 και g 1 1 και g να είναι ο αριθμός των πιθανών σημείων αλλαγής τα οποία έχουν εντοπιστεί επαναλαμβάνουμε τα i y

31 βήματα και 3 μέχρι : maxmax i i είναι στατιστικό LM l LMi i, l1,..., g1, i,, c i l όπου LM στο διάστημα l 1 1 l, l 1,..., g 1 4. Τώρα έστω ότι g 1 όπου 0 0 και g 1 1, να είναι τα πιθανά σημεία αλλαγής έπειτα από το βήμα 3. ελέγχουμε κάθε σημείο αλλαγής με το να υπολογίζουμε το στατιστικό LM l 1 l i για i,, στο διάστημα 1. Εάν το LM στατιστικό που θα λάβουμε από τον i υπολογισμό αυτό είναι στατιστικά σημαντικό για κάποιο i τότε τελειοποιούμε την εκτίμηση αλλιώς εξαλείφουμε το σημείο αυτό από την λίστα μας. Επαναλαμβάνουμε το βήμα αυτό μέχρι ο αριθμός η τοποθεσία και ο τύπος των πιθανών σημείων αλλαγής να παραμένουν αμετάβλητα. Συνακόλουθα τα στοιχεία του διανύσματος,..., 1 g είναι τα εντοπισμένα σημεία αλλαγής. 5. Τελικά το μοντέλο και όλα τα εκτιμημένα σημεία αλλαγής εκτιμούνται από κοινού. Εάν κάποια από τα σημεία αλλαγής δεν είναι στατιστικώς σημαντικά τότε τα εξαλείφουμε από το μοντέλο μας. Τότε επανεκτιμούμαι το μοντέλο μας και σταματάμε την διαδικασία μέχρι όλα τα εντοπισμένα σημεία αλλαγής να είναι στατιστικώς σημαντικά. i 4.7. Chazikonsani και Veneis (011) Οι Chazikonsani και Veneis (011) εφαρμόζουν τον CUSUM έλεγχο των Kokoszka και Leipus για την εύρεση σημείων αλλαγής στην μη-δεσμευμένη διακύμανση των λογαριθμισμένων αποδόσεων σε 3 υπό-δείκτες του Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών (Ahens Sock Exchange) αλλά και στα κανονικοποιημένα κατάλοιπα (sandardized residuals) ενός GARCH(1,1) υποδείγματος. Το ενδιαφέρον σε αυτήν την εργασία είναι ότι εφαρμόζουν στον έλεγχο διαφορετικούς εκτιμητές της μακροχρόνιας διακύμανσης. Ο έλεγχος των Kokoszka και Leipus είναι της μορφής:

32 ˆ LR όπου 1 KL max D k sup B s ˆ 1k LR 0s1 είναι ο εκτιμητής της μακροχρόνιας διακύμανσης. Οι μακροχρόνιοι εκτιμητές που εφαρμόζουν είναι δύο των Newey και Wes (1987, 1994), δύο barle kernel εκτιμητές του Adrews(1991) χρησιμοποιώντας ένα AR(1) υπόδειγμα και ένα ARMA(1,1) υπόδειγμα αντίστοιχα, τον VARHAC εκτιμητή των de Haan και Levin (1997) χρησιμοποιώντας δύο διαφορετικά κριτήρια το AIC (Akaike informaion crierion) και το BIC (Bayesian Informaion crierion) και τέλος του Andrews (1991) τον Quadraic specral kernel εκτιμητή χρησιμοποιώντας ένα AR(1) υπόδειγμα. Αυτή η εφαρμογή γίνεται σε μία προσπάθεια να εντοπίσουν τον καταλληλότερο εκτιμητή της μακροχρόνιας διακύμανσης και για να ενδυναμώσουν την διαδικασία του ελέγχου. Στα αποτελέσματά τους αναφέρουν ότι ο πιο συντηρητικός εκτιμητής είναι των Newey και Wes(1994) αφού με αυτόν τον εκτιμητή φαίνεται να εντοπίζονται τα λιγότερα σημεία αλλαγής. Ακόμα βρίσκουν ότι ο έλεγχος με τον barle kernel εκτιμητή που χρησιμοποιεί ένα AR(1) υπόδειγμα, εντοπίζει όλα τα σημεία αλλαγής που εντοπίστηκαν από τους υπόλοιπους εκτιμητές. Επιπλέον σε έξι από τους είκοσι τρείς υπό-δείκτες στους οποίους εφαρμόζουν τον έλεγχο βρίσκουν τον ίδιο αριθμό σημείων αλλαγής (1 σημείο). Επιβεβαιώνουν τα αποτελέσματα των Andreou και Ghysels (00) ότι ο έλεγχος πάσχει από μεγάλες στρεβλώσεις μεγέθους δηλαδή πιθανότητα να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση ενώ είναι σωστή για μικρά δείγματα και όσο αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος παρατηρούν πολύ μικρότερες στρεβλώσεις μεγέθους. Τέλος αναφέρουν ότι στην περίπτωση που εφαρμόζεται ο έλεγχος στα κανονικοποιημένα κατάλοιπα τα σημεία αλλαγής τα οποία εντοπίζουν είναι πολύ λιγότερα αφού βρίσκουν σημεία αλλαγής μόλις σε τρείς από τους είκοσι-τρείς υπό-δείκτες

33 5. Εμπειρική εφαρμογή στους δείκτες NASDAQ και S&P Δεδομένα και Περιγραφικά Στατιστικά Στο συγκεκριμένο τμήμα της εργασίας θα διερευνήσουμε τις λογαριθμικές αποδόσεις των δεικτών NASDAQ και S&P 500 για διαρθρωτικές μεταβολές στην μηδεσμευμένη διακύμανση. Τα δεδομένα αντλήθηκαν από την ιστοσελίδα yahoo finance. Αφορούν ημερήσια δεδομένα για τις περιόδους 5//1971 έως 13/1/011 για τον δείκτη NASDAQ και από 1/3/1950 έως 13/1/011 για τον δείκτη S&P500. Ο δείκτης NASDAQ χρονολογείται από το 1971 όπου ήταν και η χρονιά που δημιουργήθηκε και αφορά κυρίως μετοχές τεχνολογίας. Ο S&P 500 χρονολογείται από το 1950 και αφορά 500 εταιρίες μεγάλης κεφαλαιοποίησης οι οποίες διαπραγματεύονται είτε στο Χρηματιστήριο της Νέας Υόρκης, New York Sock Exchange (NYSE), είτε στην αγορά NASDAQ (Naional Associaion of Securiies Dealers Auomaed Quoaions Sysems). Παρακάτω θα δείξουμε τα διαγράμματα των αποδόσεων και τα ιστογράμματα μαζί με κάποια περιγραφικά στατιστικά. Ακόμα, ο τύπος των αποδόσεων που χρησιμοποιούμε είναι: 100*log r P 1 P - % λογαριθμικές αποδόσεις - όπου εκφράζει απόδοση του εκάστοτε δείκτη την χρονική στιγμή ενώ P είναι η τιμή r (επίπεδο) του δείκτη την χρονική στιγμή αμέσως προηγούμενη χρονική στιγμή. και 1 P είναι η τιμή του δείκτη την NASDAQ Στο γράφημα 1 παρουσιάζουμε το διάγραμμα των αποδόσεων του δείκτη και παρατηρούμε 4 «ακραίες» τιμές. Η πρώτη βρίσκεται στις 19/10/1987 και αντιστοιχεί στην επονομαζόμενη Μαύρη Δευτέρα, «Black Monday», όπου πολλές χρηματαγορές ανά τον κόσμο έχασαν μεγάλο μέρος της αξία τους. Ο δείκτης NASDAQ εκείνη την μέρα είχε αρνητική απόδοση περίπου 1%. Έπειτα εντοπίζουμε μια σημαντική πτώση στην απόδοση του δείκτη περίπου 10% στις 14/4/000 που συμπίπτει με το «πέρας» της λεγόμενης do-com περιόδου. Στις 3/1/001 εντοπίζουμε πάλι μια άνοδο στις

34 αποδόσεις στο 13% και στις 13/10/008 μια άνοδο στις αποδόσεις στο 11%. Είναι σημαντικό να εντοπίσουμε τυχόν ακραίες τιμές και να τις αφαιρέσουμε επειδή η στατιστική K&L προϋποθέτει πεπερασμένη και καλά ορισμένη τέταρτη ροπή δηλαδή κύρτωση. Στον συγκεκριμένο δείκτη μόνο 4 στις παρατηρήσεις αφαιρέθηκαν. Όπως θα διαπιστώσουμε από τα ιστογράμματα που παραθέτουμε και τα περιγραφικά στατιστικά, η κύρτωση μειώνεται περίπου 18% όταν αφαιρούμε τις ακραίες τιμές. Γράφημα 1. % λογαριθμικές αποδόσεις δείκτη NASDAQ την περιόδο 5//1971 έως 13/1/011, παρατηρήσεις Στο γράφημα που παραθέτουμε παρατηρούμε την τιμή της κύρτωσης η οποία είναι (λεπτόκυρτη) ενώ η τιμή της κανονικής κατανομής είναι 3. Στο γράφημα3 έχουμε αφαιρέσει τις ακραίες τιμές που προαναφέραμε και παρατηρούμε την τιμή της κύρτωσης που ισούται με Ο έλεγχος Jarque-Bera μας πληροφορεί ότι η μηδενική υπόθεση της κανονικής κατανομής απορρίπτεται για όλα τα επίπεδα σημαντικότητας και στις περιπτώσεις. Παρόλα αυτά παρατηρούμε μια βελτίωση του στατιστικού της τάξεως του 41%

35 Γράφημα. Ιστόγραμμα και στατιστικά στοιχεία λογαριθμικών αποδόσεων NASDAQ με τις ακραίες τιμές. Γράφημα 3. Ιστόγραμμα και στατιστικά στοιχεία λογαριθμικών αποδόσεων NASDAQ χωρίς τις ακραίες τιμές Σύμφωνα με τα στατιστικά στοιχεία που παραθέτουμε στο γράφημα 3, η μέση απόδοση του δείκτη NASDAQ είναι ίση με 0.036, το οποίο επαληθεύει ότι η μέση απόδοση μιας χρηματοοικονομικής χρονοσειράς είναι πάντα κοντά στο μηδέν. Έπειτα παρατηρούμε την μέγιστη και ελάχιστη απόδοση (μετά την αφαίρεση των ακραίων τιμών) και την τυπική απόκλιση. Παρατηρούμε επίσης, ότι η ασυμμετρία της κατανομής είναι αρνητική (ουρά προς τα αριστερά) και στις περιπτώσεις αλλά μετά την αφαίρεση των τιμών υπάρχει μια επιδείνωσή της τάξεως του 1.3%. Η ασυμμετρία της κανονικής κατανομής είναι ίση με το μηδέν. Τα γραφήματα αυτά επιβεβαιώνουν ότι οι αποδόσεις χρηματοοικονομικών χρονοσειρών δεν ακολουθούν την κανονική κατανομή ενώ στο γράφημα1 μπορούμε να διακρίνουμε

36 χαρακτηριστικά τα οποία επιβεβαιώνουν την ύπαρξη δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας (ακραίες τιμές, ομαδοποίηση της μεταβλητότητας ) volailiy clusering S&P500 Στο γράφημα4 παρατηρούμε τις λογαριθμικές αποδόσεις του δείκτη S&P500. Είναι σημαντικό και εδώ να κάνουμε την ίδια μελέτη για τις ακραίες τιμές που θα αφαιρέσουμε για ακριβώς τους ίδιους λόγους που προαναφέραμε. Η πρώτη ακραία τιμή που εντοπίζουμε βρίσκεται στις 19/10/1987 όπου παρατηρούμε μια μεγάλη πτώση της τάξεως του.8% (Black Monday). Ακόμα μια ακραία τιμή που παρατηρούμε βρίσκεται στις 8/10/008 όπου υπάρχει μια μεγάλη άνοδος της απόδοσης στο 10.%. Γράφημα 4. % λογαριθμικές αποδόσεις δείκτη S&P500 την περιόδο 3/01/1950 έως 13/1/011, παρατηρήσεις Στα γραφήματα 5 και 6 θα παραθέσουμε τα ιστογράμματα του δείκτη με και χωρίς τις ακραίες τιμές αντίστοιχα

37 Γράφημα 5. Ιστόγραμμα και στατιστικά στοιχεία λογαριθμικών αποδόσεων S&P500 με τις ακραίες τιμές Γράφημα 6. Ιστόγραμμα και στατιστικά στοιχεία λογαριθμικών αποδόσεων S&P500 χωρίς τις ακραίες τιμές Παρατηρούμε ότι η κύρτωση έχει βελτιωθεί σημαντικά αφαιρώντας τις ακραίες τιμές αφού η κύρτωση από το 3.14 έπεσε στο 11.7, μια βελτίωση της τάξεως του 64.9%. Ακόμα ο έλεγχος Jarque-Bera μας πληροφορεί ότι η κατανομή δεν είναι κανονική αφού απορρίπτεται για όλα τα επίπεδα σημαντικότητας. Τέλος παρατηρούμε ότι πριν την αφαίρεση των ακραίων τιμών η κατανομή μας ήταν ασύμμετρη προς τα αριστερά και η τιμή της ασυμμετρίας (skewness) ήταν , ενώ στο γράφημα6 παρατηρούμε ότι η τιμή της είναι -0.40, ποσοστιαία βελτίωση της ασυμμετρίας κατά 6% και βρίσκεται πιο κοντά στην τιμή της κανονικής κατανομής που είναι

38 5.. Εμπειρική εφαρμογή για την εύρεση ενός σημείου αλλαγής Στην εμπειρική μας εφαρμογή θα χρησιμοποιήσουμε τον έλεγχο των Kokoszka και Leipus. Εφαρμόζουμε τον έλεγχο στις αποδόσεις των δεικτών ακολουθώντας την μεθοδολογία των Andreou και Ghysels (00). Κατά αυτόν τον τρόπο θα υποθέσουμε ότι η δεσμευμένη διακύμανση ακολουθεί ένα GARCH(1,1). Άρα: r h h r 1 h 1 Έστω ότι V r h και h r V Με μια απλή αντικατάσταση στην εξίσωση του GARCH(1,1) και αναδιάταξη των όρων μπορούμε να δείξουμε ότι οι τετραγωνισμένες αποδόσεις ακολουθούν μια ARMA(1,1) διαδικασία. r r V 1 V 1 Έτσι μπορούμε εύκολα να εξάγουμε την μη-δεσμευμένη διακύμανση των αποδόσεων r Varr 1 Στον πίνακα 1 δείχνουμε τις εκτιμήσεις μέγιστης πιθανοφάνειας των παραμέτρων της δεσμευμένης διακύμανσης από το GARCH(1,1) υπόδειγμα

39 Εκτιμήσεις συντελεστών NASDAQ S&P500 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Πίνακας 1 Παρατηρούμε από τον πίνακα ότι το άθροισμα ˆ ˆ των εκτιμημένων συντελεστών, και για τους δύο δείκτες τείνει στο 1. Το φαινόμενο αυτό πιθανόν εξηγείται από το γεγονός της πλασματικής εμμονής η οποία όπως έχουμε προαναφέρει μπορεί να δημιουργείται από τις διαρθρωτικές μεταβολές που δεν έχουν ληφθεί υπόψη κατά την εκτίμηση. Το ερώτημα που μπορεί να γεννάται είναι γιατί επιλέξαμε αυθαίρετα ένα GARCH(1,1). Επιλέξαμε αυτό το υπόδειγμα γιατί θεωρείται από τους περισσότερους οικονομολόγους ως το πιο αντιπροσωπευτικό για την υποδειγματοποίηση της μεταβλητότητας χρηματοοικονομικών χρονοσειρών το οποίο αναφέρουν και οι Andreou και Ghysels (00). Επίσης, o Schwer (00) χρησιμοποίησε ένα GARCH(1,1) για την υποδειγματοποίηση της μεταβλητότητας του δείκτη NASDAQ και του S&P500. Τέλος ο Hillebrand (005) αναφέρει ότι ένα GARCH (p,q) μοντέλο (μεγαλύτερου βαθμού) δεν επιλύει το πρόβλημα της πλασματικής εμμονής και όπως αναφέρουν οι Galeano και say (010) το GARCH(1,1) έχει σχετικά απλή άλγεβρα. Εφαρμόζοντας την K&L στατιστική για τον εντοπισμό μίας διαρθρωτικής μεταβολής για τον δείκτη NASDAQ λαμβάνουμε αρχικά ότι υπάρχει διαρθρωτική μεταβολή στις 15/10/1997 αφού η στατιστική λαμβάνει τιμή KL = 5.8 στην παρατήρηση Η τιμή 5.8 είναι μεγαλύτερη από την 95% και 99% ασυμπτωτική κριτική τιμή (1.36 και 1.63 αντίστοιχα). Στο γράφημα 7 που παραθέτεται το διάγραμμα των τιμών D όπου ισχύει ότι 1 KL max D k 1k ˆ για να δούμε το σημείο που η στατιστική LR K&L λαμβάνει την μέγιστη τιμή της

40 Γράφημα 7. διάγραμμα των τιμών D Στο γράφημα 8 βλέπουμε τις λογαριθμικές αποδόσεις του δείκτη NASDAQ με σκιασμένη την παρατήρηση 6744 που αντιστοιχεί στην 15/10/1997 όπου έχουμε διαρθρωτική μεταβολή. Γράφημα 8.. % λογαριθμικές αποδόσεις δείκτη NASDAQ με σκιασμένη την παρατήρηση όπου παρατηρούμε την διαρθρωτική μεταβολή. Εφαρμόζοντας τον έλεγχο για τον δείκτη S&P500 λαμβάνουμε ότι υπάρχει διαρθρωτική μεταβολή στις 6/3/1997. το στατιστικό λαμβάνει την τιμή KL όπου είναι μεγαλύτερη από τις ασυμπτωτικές κριτικές τιμές 1.36 και 1.63 για 95% και 99% επίπεδο σημαντικότητας αντίστοιχα

41 Γράφημα 9. διάγραμμα των τιμών D. Γράφημα 10. % λογαριθμικές αποδόσεις δείκτη S&P500 με σκιασμένη την παρατήρηση όπου παρατηρούμε την διαρθρωτική μεταβολή Στο γράφημα 9 παραθέτουμε το διάγραμμα των τιμών D όπου σ αυτό το σημείο έχουμε την ένδειξη για διαρθρωτική μεταβολή. Στο γράφημα 10 βλέπουμε τις λογαριθμικές αποδόσεις του δείκτη S&P50 με σκιασμένη την παρατήρηση που αντιστοιχεί στην 6/3/1997 όπου έχουμε διαρθρωτική μεταβολή

42 5.3. Εμπειρική εφαρμογή για την εύρεση πολλαπλών σημείων αλλαγής Για τον εντοπισμό πολλαπλών σημείων αλλαγής εφαρμόζουμε μια μεθοδολογία παρόμοια με τον αλγόριθμο ICSS των Inclan και iao (1994). Η μέθοδος αυτή υπονοεί ότι αφού εντοπίσουμε το πρώτο σημείο αλλαγής, χωρίζουμε το δείγμα μας σε επιμέρους δείγματα και διενεργούμε τον έλεγχο στα δείγματα αυτά για την εύρεση επιπρόσθετων σημείων αλλαγής. Αν βρεθούν και επιμέρους σημεία αλλαγής ακολουθούμε την ίδια διαδικασία. Τέλος πρέπει να τονίσουμε ότι θα πρέπει να υπάρχει κάποιος περιορισμός όσον αφορά το πλήθος των σημείων αλλαγής τα οποία θα εντοπιστούν. Για παράδειγμα είναι λογικό ότι κάθε σημείο αλλαγής θα πρέπει να έχει διαφορά από ένα άλλο σημείο αλλαγής το λιγότερο 400 παρατηρήσεις ή καλύτερα διαφορά περίπου χρόνια. Βέβαια αυτό δεν μπορεί να είναι και κανόνας αφού όλες οι εμπειρικές έρευνες οι οποίες έχουμε προαναφέρει θέτουν αυτόν τον περιορισμό κάτω από την διακριτική ευχέρεια του εκάστοτε ερευνητή. Εμείς στην ανάλυση μας θα «κόβουμε» 50 παρατηρήσεις από την αρχή και από το τέλος του δείγματος. Όταν θα βρίσκουμε ένα σημείο αλλαγής και θα εξετάζουμε για τα επιμέρους δείγματα για διαρθρωτική μεταβολή τότε θα «κόβουμε» 50.παρατηρήσεις από το σημείο το οποίο εντοπίσαμε NASDAQ πολλαπλά σημεία αλλαγής. Ξεκινάμε την ανάλυσή μας ότι έχουμε βρει το πρώτο σημείο και εφαρμόζουμε την διαδικασία. Βρίσκουμε 4 σημεία αλλαγής μαζί με τις αντίστοιχες ημερομηνίες, τα οποία τα παραθέτουμε στον πίνακα μαζί με το αντίστοιχο αποτέλεσμα που έδωσε η στατιστική των Kokoszka και Leipus. Είναι αναγκαίο να αναφέρουμε ότι πριν από το πρώτο σημείο αλλαγής όταν διενεργήσαμε τον έλεγχο βρήκε ένα σημείο αλλαγής στο σημείο 407 το οποίο απορρίφθηκε για κάθε επίπεδο σημαντικότητας αφού το KL είναι μικρότερο από τις ασυμπτωτικές κριτικές τιμές

43 K&L στατιστική Σημείο Ημερ/νία 15/10/ /1/00 10/3/000 6/11/007 Πίνακας Επιπλέον παρατηρούμε ότι η διαδικασία που ακολουθήσαμε μας έδωσε 4 σημεία αλλαγής. Τα οποία διαφέρουν περισσότερο από χρόνια μεταξύ τους. Ωστόσο για να επαληθεύσουμε τα σημεία αλλαγής θα διενεργήσουμε τον έλεγχο από την αρχή μόνο που τώρα θα χωρίζουμε τα δείγματα ανά ο σημείο αλλαγής Kl sa Σημείο Ημερ/νία 5/7/1995 3/1/000 16/1/00 6/11/007 Πίνακας 3 Από τον πίνακα 3 που παραθέτουμε παρατηρούμε ότι μόνο σημεία επαληθεύονται στις 16/1/00 και στις 6/11/007. Σε αυτές τις δύο περιόδους δεν μπορούμε να αναφέρουμε κάποιο σημαντικό γεγονός το οποίο να έχει επηρεάσει τις χρηματαγορές εκτός από το γεγονός ότι το 008 έχουμε την αρχή της χρηματοπιστωτικής κρίσης στον τραπεζικό τομέα. Επιπλέον πρέπει να αναφέρουμε ότι το 1997 έχουμε την κρίση στις Ασιατικές αγορές το οποίο το αναλύουμε και παρακάτω εκτενέστερα. Ένα εντυπωσιακό στοιχείο είναι ότι το σημείο στις 15/10/1997 εντοπίζεται και στις αποδόσεις του S&P 500. Ακόμα πρέπει να σχολιάσουμε το σημείο το οποίο δεν επιβεβαιώνεται από τον έλεγχο αλλά μας δίνει σημείο αλλαγής στους πρώτους μήνες του 000. Στην αρχική εφαρμογή του ελέγχου εντοπίζουμε σημείο αλλαγής στις 10/3/000 ενώ στην επιβεβαίωση των σημείων στις 3/1/000. Το γεγονός το οποίο θα μπορούσε να επηρεάσει τις αποδόσεις των αγορών είναι η περίφημη φημολογία η οποία δημιούργησε κάποιο «πανικό»,ότι όλα τα ηλεκτρονικά συστήματα θα κατέρρεαν λόγω μη-προετοιμασίας των συστημάτων για την εισαγωγή του έτους 000, το οποίο δεν επαληθεύτηκε. Ακόμα πρέπει να αναφέρουμε ότι το Μάρτη του

44 00 έγινε η εισαγωγή στο κοινό νόμισμα για τις 17 χώρες της Νομισματικής Ένωσης. Στο γράφημα 11 παραθέτουμε το διάγραμμα των λογαριθμισμένων αποδόσεων του δείκτη NASDAQ με σκιασμένα τα σημεία όπου επιβεβαιώνονται ως σημεία αλλαγής. Γράφημα 11.% λογαριθμικές αποδόσεις δείκτη NASDAQ με σκιασμένη την παρατήρηση όπου παρατηρούμε την διαρθρωτική μεταβολή Στον πίνακα 4 βλέπουμε τις εκτιμήσεις του GARCH(1,1) για τα αντίστοιχα δείγματα πριν και μετά τα σημεία αλλαγής. Η χρησιμότητα είναι για να δούμε το πώς μεταβάλλεται η εμμονή και η διακύμανση των αποδόσεων ανάμεσα στα σημεία αλλαγής

45 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ μεταβολή εμμονής μεταβολή διακύμανσης % -0.0% 0.4% % % % Πίνακας 4.. GARCH(1,1) για τον δείκτη NASDAQ Για παράδειγμα παρατηρούμε ότι η εμμονή ανάμεσα στο συνολικό δείγμα και στο πρώτο σημείο αλλαγής έχει βελτιωθεί κατά 0.8% και το ίδιο συμβαίνει και για το δεύτερο σημείο αλλαγής αντίστοιχα και σε σχέση πάντα με το σύνολο του δείγματος. Όμως παρατηρούμε μια αύξηση της εμμονής στο τελευταίο δείγμα. Αυτό μπορεί να συμβαίνει διότι εκεί μπορεί να υπάρχει ένα σημείο αλλαγής το οποίο όμως δεν μπορούμε να το εντοπίσουμε λόγω των περιορισμών που έχουμε επιβάλλει νωρίτερα (των 50 παρατηρήσεων). Δηλαδή θα έρεπε να εφαρμόσουμε τον έλεγχο για το δείγμα από την παρατήρηση 953 έως 986 οι οποίες είναι στο σύνολο 303 παρατηρήσεις και θεωρούμε ότι είναι μικρό το χρονικό διάστημα για να παρατηρήσουμε κάποια μεταβολή. Επιπρόσθετα εξαρχής έχουμε θέσει το περιορισμό των 400 παρατηρήσεων από το ένα σημείο αλλαγής στο επόμενο. Ακόμα στην μηδεσμευμένη διακύμανση των αποδόσεων παρατηρούμε μια ποσοστιαία μείωση ανάμεσα στα σημεία αλλαγής ενώ στο τελευταίο δείγμα παρατηρούμε αύξηση της διακύμανσης το οποίο συμβαίνει διότι στο τελευταίο μέρος του δείγματος έχουμε αύξηση του σταθερού όρου αλλά και του ˆ. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί επίσης από τους λόγους που προαναφέραμε

46 5.3.. S&P500 πολλαπλά σημεία αλλαγής. Εφαρμόζοντας τον έλεγχο στον δείκτη S&P500 και εφαρμόζοντας την μέθοδο για την εύρεση πολλών σημείων βρίσκουμε 6 σημεία αλλαγής. Στο πίνακα 5 παραθέτουμε αυτά τα σημεία Kl sa Σημείο Ημερ/νία 6/3/ /3/1973 5/6/008 16/4/1991 8/4/003 5/8/1986 Πίνακας 5 Σε όλα τα σημεία τα οποία εντοπίζονται το στατιστικό των Kokoszka και Leipus είναι μεγαλύτερο από τις κριτικές τιμές για 95% και 99% διάστημα εμπιστοσύνης. Το ενδιαφέρον στοιχείο είναι ότι για τον δείκτη αυτό έχει γίνει εμπειρική εφαρμογή από τους Andreou και Ghysels(00) και το σημείο αλλαγής στις 6/3/1997 εντοπίζεται και στην δική τους ανάλυση και αναφέρουν ότι το 1997 είναι η περίοδος κρίσης των Ασιατικών αγορών. Ακόμα οι Andreou και Ghysels(00) το τελικό σημείο που εντοπίζουν για την Ασιατική κρίση είναι στις 15/10/1997 το οποίο το εντοπίζουμε και εμείς στην τελική επιβεβαίωση των σημείων. Επιπλέον εφαρμόσαμε τον έλεγχο και ανάμεσα στα υπόλοιπα σημεία αλλαγής για να δούμε ποια από αυτά επιβεβαιώνονται και βρήκαμε ότι μόνο 1 εντοπίζεται να είναι κοινό στις 16/4/1991. Παρατηρούμε ακόμα ότι εντοπίζονται κάποια σημεία αλλαγής όπως αυτό στις 8//1973 ενώ αρχικά εντοπίσαμε σημείο αλλαγής στις 16/3/1973. Τη συγκεκριμένη χρονιά οι χώρες του OAPEC (Organizaion of Arab Peroleum Exporing counries) ανακηρύξαν εμπάργκο πετρελαίου επειδή οι Η.Π.Α συνέχιζαν να τροφοδοτούν τον στρατό του Ισραήλ στο πόλεμο εναντίον της Αιγύπτου και της Συρίας. Το ίδιο φαινόμενο παρατηρείται στο σημείο που αρχικά είχε εντοπιστεί στις 5/6/008 ενώ στον έλεγχο για την επιβεβαίωση των σημείων εντοπίζουμε σημείο αλλαγής στις 31/10/007. το μόνο που μπορούμε να αναφέρουμε για αυτήν την περίοδο είναι ότι το 008 είναι η αρχή της χρηματοπιστωτικής κρίσης στον τραπεζικό τομέα και ιδιαίτερα το φαινόμενο αυτό εκδηλώθηκε στις Η.Π.Α

47 Kl sa Σημείο Ημερ/νία 8//1973 6/3/ /4/ /10/1997 /4/003 31/10/007 Πίνακας 6 Παρομοίως με την ανάλυση του NASDAQ παραθέτουμε τα σημεία αλλαγής από την εφαρμογή του ελέγχου ανάμεσα στα αρχικά σημεία αλλαγής τα οποία εντοπίσαμε. Αυτό το κάνουμε για να δούμε ποία συγκεκριμένα σημεία επιβεβαιώνονται ως διαρθρωτικές μεταβολές. Το 008 έχουμε την πτώχευση μεγάλων χρηματοπιστωτικών ιδρυμάτων στις Η.Π.Α, και το οποίο επηρέασε σημαντικά τις παγκόσμιες αγορές και τα διεθνή χρηματιστήρια. Στο επόμενο γράφημα παραθέτουμε το διάγραμμα των λογαριθμισμένων αποδόσεων του δείκτη με σκιασμένο το σημείο το οποίο επιβεβαιώθηκε ως σημείο αλλαγής στις 16/4/1991. επιπλέον θα σκιάσουμε και το σημείο στις 15/10/1997 αφού επιβεβαιώνεται και από την εφαρμογή του ελέγχου των Andreou και Ghysels(00). Στον πίνακα 7 παρουσιάζουμε τις εκτιμήσεις για τους εκτιμητές του GARCH(1,1) υποδείγματος για όλο το δείγμα και ανάμεσα στα σημεία αλλαγής και παραθέτουμε την μη-δεσμευμένη διακύμανση των αποδόσεων, την ποσοστιαία μεταβολή της εμμονής( ˆ ˆ ) και της διακύμανσης. Γράφημα 1% λογαριθμικές αποδόσεις δείκτη S&P500 με σκιασμένη τις παρατηρήσεις όπου παρατηρούμε την διαρθρωτική μεταβολή