Αριθµητικές Μέθοδοι Collocation. Απεικόνιση σε Σύγχρονες Υπολογιστικές Αρχιτεκτονικές

Transcript

1 Αριθµητικές Μέθοδοι Collocation Απεικόνιση σε Σύγχρονες Υπολογιστικές Αρχιτεκτονικές

2 Hermite Collocation Method BVP L B uxy (, ) = f(, xy), (, xy) Ω uxy (, ) = gxy (, ), (, xy) Ω

3 Red Black Collocation Linear system

4 Red Black Collocation Linear system

5 Red Black Collocation Linear system

6 Red Black Collocation Linear system

7 Red Black Collocation Linear system

8 Model Problem 2 uxy (, ) λuxy (, ) = f(, xy), (, xy) Ω uxy (, ) = gxy (, ), ( xy, ) Ω λ with 0

9 Helmholtz Collocation Matrix

10 Red Black Collocation Linear system

11 Iterative + Parallel Ο collocation πίνακας είναι µεγάλης διάστασης, αραιός και δεν έχει κάποια ιδιαίτερα χρήσιµη ιδιότητα (π.χ. συµµετρικός, θετικά διευθετιµένος )

12 Iterative Solution όπου

13 Iterative Solution

14 Eigenvalues of Collocation matrix

15 Schur Complement Iterative Solution

16 Parallel Iterative Solution of Collocation Linear system on Shared Memory Architectures Οµοιόµορφη κατανοµή φόρτου εργασίας µεταξύ core threads Ελαχιστοποίηση κύκλων αδρανών core threads Ελαχιστοποίηση κόστους επικοινωνίας

17 case of ns = 2p x ( ) 1 R x ( ) 2 R x ( ) 3 R x( R ) 4

18 case of ns = 2p x ( B) p x ( B ) + 1 p x ( B ) x + 2 p ( B) + 3 p + 4

19 case of ns = 2p V1 V2 V3 V4 V5 V6 V7 V8 x ( ) 1 R x ( B) x ( ) 2 R x ( ) 3 R x( R ) p x ( B ) + 1 p x ( B ) x + 2 p ( ) + 3 p B + 4 4

20 V1 V2 V3 V4 V5

21 Mapping into a fixed size Architecture of N Cores V2... case of k = 2p/N even x x ( R) l ( B) l 2k virtual threads l=(j-1)k+1,,jk l=2p+(j-1)k+1,,2p+jk Pj j=1,,n

22 Parallel Schur Complement Iterative Solution

23 Parallel BiCGSTAB

24 Parallel BiCGSTAB

25 The Dirichlet Helmholtz Problem uxy (, ) = 10()() ϕ xϕ y, (, xy) [0,1][0,1] with 100( 0.1) 2 () ( 2 x ϕ x = x x) e

26 HP SL390s Tesla M2070 GPUs HP SL390s + 2 x 6 core Xeon@2.8GHz 24GB memory Oracle Linux 6.3 x64 PGI 13.5 Fortran PCI-e gen2 x16

27 Realization on HP SL390s Tesla GPU machine Iterations / Error measurements ns BiCGSTAB Iterations b Axn e e e e-12

28 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης

29 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης

30 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης

31 Realization on HP SL390s Tesla GPU machine Time measurements

32 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης

33 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης

34 Συµπεράσµατα Σχεδίαση νέου παράλληλου αλγορίθµου της Schur complement µεθόδου µε την BiCGSTAB για την Hermite Collocation αριθµητική µέθοδο. Υλοποίηση σε αρχιτεκτονικές υπολογισµών Κοινής Μνήµης για multi-core µηχανήµατα µε επιταχυντές (GPUs). Επιτάχυνση µέχρι 30%.

35 Επόµενα βήµατα Κατασκευή αποδοτικού αλγορίθµου της µεθόδου Discontinuous Hermite Collocation για αρχιτεκτονικές µε Multiprocessor /Grid µηχανήµατα µε επιταχυντές υπολογισµών.

36 Semi-Implicit Discontinuous Hermite Collocation Method DHC system of ODEs

37 Semi-Implicit Discontinuous Hermite Collocation Method DHC method coupled with an optimal 2-step and 3 rd order DIRK

38 Semi-Implicit Discontinuous Hermite Collocation Method

39 Preconditioned BiCGSTAB Method A ~ M = ilu(a)

40 Eigenvalue Distribution Matrix A

41 Eigenvalue Distribution Matrix A0

42 Parallel BiCGSTAB ü All basic linear algebra operations are performed on the GPU ü The preconditioning procedure M z = t with M=LU is performed on the CPU Step 1 : Step 2 : Step 3 : Step 4 : GPU sends to CPU vector t CPU solution of L y = t CPU solution of U z = y CPU sends to GPU vector z

43 The test problem

44 HP SL390s Tesla M2070 GPUs HP SL390s + 6 core Xeon@2.8GHz 24GB memory Oracle Linux 6.3 x64 PGI 14.5 Cuda Fortran Cuda toolkit 6.0 PCI-e gen2 x16

45 Development tools MatLab R2012b PGI 14.5 Cuda Fortran Cuda toolkit 6.0 cublas - cusrarse for GPU operations SparseKit for CPU operations

46 Development tools

47 Development tools

48 Development tools

49 Development tools

50 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης Finite Elements : 400 Unknowns : Dofs : 6.400

51 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης Finite Elements : Unknowns : Dofs :

52 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης Finite Elements : Unknowns : Dofs :

53 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης Finite Elements : Unknowns : Dofs :

54 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης Finite Elements : Unknowns : Dofs :

55 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης Finite Elements : Unknowns : Dofs : matrix*vector times nrm times 63.5 axpy times dot times copy times scal times other procs

56 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης Finite Elements : Unknowns : Dofs : CPU-GPU time = 82.3 seconds

57 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις χρόνου εκτέλεσης Finite Elements : Unknowns : Dofs : CPU-GPU time = 82.3 seconds

58 Συµπεράσµατα Σχεδίαση νέου παράλληλου αλγορίθµου της αριθµητικής µεθόδου Discontinuous Hermite Collocation. Υλοποίηση σε αρχιτεκτονικές υπολογισµών Κοινής Μνήµης για µηχανήµατα µε επιταχυντές (GPUs). Παρατηρήσαµε επιτάχυνση 2x για πυκνές διακριτοποιήσεις σε σχέση µε την MatLab multithread υλοποίηση.

59 Semi-Implicit Discontinuous Hermite Collocation Method στην περίπτωση θεραπείας

60 Eigenvalue Distribution Matrix A0

61 Eigenvalue Distribution Matrix Arc

62 Υλοποίηση σε HP SL390s Tesla GPU µηχάνηµα Μετρήσεις Speedup n s MatLab - CPU MatLab - GPU CPU - GPU 40 x x x

63 Δηµοσιεύσεις