Svojstva signala i Fourierove transformacije
|
|
|
- Κῆρες Αλαβάνος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Sveučilište u Zagrebu Fakultet elektrotehnike i računarstva Zavod za elektroničke sustave i obradbu informacija Svojstva signala i Fourierove transformacije Signali i sustavi (FER-2) - Laboratorijska vježba 1. Grupa A 1. Uvod Laboratorijske vježbe iz Signala i sustava zamišljene su da približe studenta problematici analize i simulacije sustava. Sve vježbe se izvode na računalu, a koristi se programski sustav MATLAB. Osim što posjeduje mogućnost izvođenja raznih jednostavnih i izuzetno složenih matematičkih operacija, MATLAB ima i modul Simulink koji je zamišljen kao alat za brzo i jednostavno simuliranje raznih sustava. S MATLABom i Simulinkom ste se upoznali na LiV-u MATLAB. Svrha ove laboratorijske vježbe je pojasniti određene segmente gradiva s predavanja te upoznati studente s primjenom MATLAB-a na rješavanje zadataka iz područja reprezentacije, svojstava, te frekvencijske analize signala. Od studenta se očekuje da će nakon ove vježbe moći uz pomoć MATLAB-a konstruirati različite oblike kontinuiranih i diskretnih signala, te da će moći odrediti Fourierovu transformaciju i nacrtati spektar nekog signala. 2. Priprema Prisjetite se kako se pišu MATLAB m-funkcije te kako se koristi Simulink (vježbe 2. i 4. sa LiV-a MATLAB). Kao podsjetnik vam osim materijala korištenih na LiV-u MATLAB može poslužiti i priručnik Kratke upute za korištenje MATLAB-a koji je dostupan na stranicama predmeta. Osim toga, prisjetite se svega što ste naučili o Fourierovom redu i Fourierovoj transformaciji. Prije dolaska na laboratorijske vježbe korisno je pročitati sve zadatke koje ćemo raditi. Primijetite da uz neke zadatke piše (PRIPREMA). To su zadaci koje morate riješiti prije dolaska na vježbu. Rješenja uredno napišite rukom na papiru. U zaglavlje svakog papira s pripremom napišite vaše ime i prezime te JMBAG. Pripremni zadaci su: 3.1-6a, 3.1-8c, 3.2-1a, 3.2-2a. 3. Rad u laboratoriju Prije početka rada uključite dnevnik (naredba diary). Bez obzira na dnevnik također vam preporučamo da rješenje svakog zadatka spremite kao MATLAB m-skriptu čije ime je redni broj zadatka. Bodove iz laboratorija stječete tijekom vježbi. Prva laboratorijska vježba nosi tri boda. Točno napisana priprema vam donosi jedan bod. U zadnjem satu laboratorijskih vježbi (ili prije ako ste prije gotovi s vježbom) dežurni asistent će obići studente te svakog od vas zamoliti da demonstrira rješenje nekoliko zadanih zadataka unutar ove 1
2 vježbe. Ako uspješno demonstrirate zadatak 1 (jedan bod) i ako točno odgovorite na postavljeno pitanje vezano uz zadatak (još jedan bod) dobivate preostala dva boda. Svaki student može samo jednom demonstrirati rješenje zadatka i odgovarati. Ako krivo odgovorite ili ako je demonstrirano rješenje zadatka krivo ne dobivate bodove. NEMA popravnih zadataka! Dio zadataka označen je kao (PRIPREMA), dok je dio označen kao (ZA ONE KOJI ŽELE ZNATI VIŠE). Zadatke za pripremu ste riješili prije vježbi, dok zadatke za one koji žele znati više ne trebate rješavati. Predlažemo da ih preskočite te se vratite na njih ako obavezne zadatke završite prije predviđenog vremena Svojstva signala Prvi dio prve laboratorijske vježbe se bavi svojstvima signala. 5 minuta Zadatak Jednodimenzionalni kontinuirani i diskretni signali Koristeći MATLAB nacrtajte sljedeće signale: 1. x(t) = sin(4t) + 2sin(7t) 2. x(n) = cos(3n) Za crtanje kontinuiranog signala koristite naredbu ezplot, a za crtanje diskretnog signala naredbu stem:» syms t % definiramo simboličku varijablu t» ezplot(sin(t)) % crtamo kontinuirani signal sin(t)» stem(sin([0:30])) % crtamo 31 uzorak diskretnog signala 15 minuta Zadatak Pisanje m funkcije koja opisuje jednodimenzionalni signal Za tri signala prikazana na slici 1. napišite MATLAB funkcije koje računaju vrijednosti signala za zadano vrijeme. Korištenjem tih funkcija nacrtajte sva tri zadana signala. Na slikama podesite vremensku os tako da se dobivene slike poklapaju sa slikama iz ovih uputa. Označite vremensku os slovom t, a ordinate s x 1 (t), y 1 (t) i x 2 (t) respektivno. Neka se tri datoteke koje sadrže napisane funkcije zovu x1.m, x2.m i y1.m (te napisane funkcije ćete koristit kasnije u drugoj vježbi). Kao pomoć navodimo jednu mogućnost kako napisati kod funkcije x1: 1. function y=x1(t) 2. % SIS - Laboratorijske vježbe - zadatak % Funkcija računa vrijednost signala x1 za zadani t % Ulazni argument moze biti vektor pa za svaki t racunamo izlaz. 6. for i = 1 : numel(t) 7. % Vrijednost funkcije je nula za sve zadane t. 8. y(i) = 0; 9. % Osim na dva intervala, prvom [0,1] i drugom [3,4]. 10. if (0 <= t(i)) & (t(i) <= 1) 11. y(i) = 1; 12. end 13. if (3 <= t(i)) & (t(i) <= 4) 14. y(i) = 1; 15. end 16. end 1 Demonstracija će vam biti jednostavnija ako ste napisali m-skriptu jednostavno pozovete tu skriptu. Ako niste pisali m-skripte, iskoristite dnevnik. Dnevnik otvorite u ugrađenom editoru i odaberete dio koji odgovara rješenju zadatka kojeg tražimo. Pritiskom na desnu tipku miša dobivate izbornik iz kojega je potrebno odabrati Evaluate Selection. MATLAB tada izvršava označeni dio te crta sve slike i prikazuje sve rezultate. 2
3 Kada smo tri signala napisali kao MATLAB funkcije za crtanje se koristi naredba plot:» t=[-2:0.01:5]; % definiramo trenutke u kojima računamo x1» plot(t, x1(t)) % crtamo x1 za definirane trenutke t Slika 1. Kontinuirani signal 5 minuta Zadatak Dvodimenzionalni signal (slika) a) Konstruirajte sliku u MATLAB-u korištenjem naredbe imagesc (ili image):» v=[1:64]; % definiramo indekse boja» imagesc(v) % prikazujemo sliku b) Prema primjeru iz zadatka a) kreirajte sliku koja ima kosinusoidalne oscilacije uzduž y- osi (intenzitet se mijenja kao kosinus funkcija) koje nacrtane daju horizontalne pruge. Prije prikaza slike odaberite paletu koju dobivate naredbom colormap(copper). 10 minuta Zadatak Trodimenzionalni signal (video) U MATLAB-u je moguće više slika spojiti u jedan video signal. Koristimo li bilo koju naredbu za crtanje (plot, stem, image, imagesc itd.) njen rezultat možemo dodati u video signal naredbom getframe:» colormap(gray) % odabiremo sivu paletu» imagesc(sin(v/10)) % prikazujemo sliku (skoro pa 3.1-3b )» F(1)=getframe % prikazanu sliku spremamo kao prvu sliku u % video signal F Sada kada znamo kako dodati pojedinu sliku u video korištenjem for petlje možemo generirati više slika odjednom. Stvoreni film se pregledava naredbom movie:» for i=1:30 % kreiramo 30 slika našeg filma u petlji stem(sin(v/10+i)); % stem morate zamijeniti s naredbom koja F(i)=getframe; % će nacrtati slike koju tražimo od vas end» movie(f) % pregledavamo film 3
4 Koristeći navedeni predložak kreirajte film u kojem se vide horizontale pruge bakrene boje koje se kreću prema dolje. 10 minuta Zadatak Preklapanje spektra u vremenskoj domeni (eng. aliasing) (ZA ONE KOJI ŽELE ZNATI VIŠE) Zadan je signal xk( n) = sin( ω kn), pri čemu je ω k = 2π k 5. Koristeći naredbu stem nacrtajte na četiri slike signal xk ( n ) za k = 1, 2, 4,6. Neka je korak n iz intervala [0, 9]. Koliko različitih signala ste nacrtali? Koji signali su jednaki? Zašto? Za crtanje više signala na jednoj slici koristite naredbu subplot. 15 minuta Zadatak Periodičnost diskretnog signala a) (PRIPREMA) Ispitajte koji od zadanih signala su periodični te koji im je temeljni period: πn πn 1. f1 ( n) = sin cos ( ) sin πn f2 n = n ( ) sin πn f3 n = 6 b) Nacrtajte sve zadane signale na intervalu n [ 0,31] te pomoću slike utvrdite koji su signali periodički i koliki im je temeljni period! c) Ukoliko pomnožite signale pod 1. i 3., odnosno pod 1. i 2. hoće li dobiveni signali biti periodički? Koliki je njihov temeljni period? Kada množite signale član po član morate dodati točku prije operatora. Dakle:» n=[0:10]; % definiramo korak n» f1=sin(pi*n); f2=cos(pi*n); % signali f1 i f2» y=f1.* f2 % ovo je umnožak signala f1 i f2 10 minuta Zadatak Periodičnost kontinuiranog signala 2π 2π (ZA ONE KOJI ŽELE ZNATI VIŠE) Kreirajte simbolički izraz za signal x() t = sin t sin t T T. Koristeći naredbu ezplot nacrtajte zadani signal za T = 4,8,16. Koliki je temeljni period signala izražen preko T? 20 minuta Zadatak Energija i snaga signala a) Kreirajte simboličke izraze za signale: 1. () cos πt x1 t = 3 2. () sin πt x2 t = 3 b) Koristeći naredbu ezplot nacrtajte dva perioda oba signala. c) (PRIPREMA) Izračunajte analitički energiju i snagu signala. d) Definirajte simboličke izraze E1 i E2 kao energiju zadanih signala jedan i dva respektivno. Energiju definirajte i promatrajte isključivo na intervalu [ a, a]. Energija je definirana kao integral kvadrata signala, pri čemu prema uvjetu zadatka integriramo samo na intervalu [ a, a]: 4
5 » syms t a % t i a su simboličke varijable» E1=int(cos(pi*t/5)*cos(pi*t/5),t,-a,a) % E1 je energija E1 = (5*cos(1/5*a*pi)*sin(1/5*a*pi)+a*pi)/pi e) Izračunajte energiju E T /2 oba signala na jednom periodu korištenjem simboličkih izraza T iz podzadatka d), odnosno uvrstite polovinu perioda 2 za vrijednost parametra a. Koristite naredbu subs za uvrštavanje vrijednosti u simbolički izraz:» subs(e1, a, 4) % u izrazu E1 mijenjamo a sa Za svaki signal korištenjem naredbe ezplot nacrtajte kako energija ovisi o parametru a, pri čemu uzmite da je a iz intervala [0, 30]. Kako se energija E a mijenja s promjenom parametra a? Koju vrijednost E a očekujete za a +? f) Definirajte P1 i P2 kao simboličke izraze koji predstavljaju snagu signala na intervalu [ a, a]. Nacrtajte, opet koristeći naredbu ezplot, snage oba signala signala za a iz 1 intervala, Kako se ponaša snaga kada se a povećava? Iz grafova procijenite za oba signala kojoj vrijednosti teži snaga ako a +. Usporedite snagu P s energijom 1 E! T T /2 g) Zašto očekujete da će snaga P a za oba signala konvergirati k istoj vrijednosti? 3.2. Frekvencijska analiza vremenski kontinuiranih signala Drugi dio prve laboratorijske vježbe bavi se Fourierovim transformacijama, i to frekvencijskom analizom vremenski kontinuiranih signala. 15 minuta Zadatak Fourierov red Fourierov red se koristi za analizu periodičkih kontinuiranih signala i određen je izrazima Pri tome je T 0 period signala, dok je ω 0 kružna frekvencija povezana s periodom preko izraza 2π/T 0 = ω 0. Primjer rastava periodičkog signala u Fourierov red dan je na slici 2. 5
6 Slika 2. Fourierov red Za određivanje Fourierovog reda u MATLAB-u koristimo Symbolic Toolbox s time da računamo po definiciji jer ne postoji naredba koja izravno računa Fourierov red. Npr. spektar periodički ponavljanih pravokutnih impulsa trajanja T 0 /2 (slika 2.) bi odredili kao:» syms t T0 k <ENT> % potrebne varijable» int(1*exp(-2*pi*j/t0*t*k),-t0/4,t0/4)/t0 <ENT> % integracija 1/2*i*(exp(-1/2*i*pi*k)-exp(1/2*i*pi*k))/pi/k» pretty(simplify(ans)) <ENT> % uljepšavanje rezultata a) (PRIPREMA) Izračunajte Fourierov red signala: x ( t ) = 110sin 120 π t 4. 1 ( ) 5. ( ) π x ( t) = 110sin 120π t + 50cos(360 π t+ ) 2 3 sin(1/2 pi k) pi k b) Korištenjem MATLAB-a odredite rastav signala iz a) dijela zadatka u Fourierov red. Neka period za računanje Fourierovog reda bude T 0 = 1/30. c) Pomoću naredbe stem nacrtajte amplitudni i fazni spektar signala iz a) dijela zadatka. Crtanje simboličkih funkcija po diskretnoj varijabli zahtijeva pisanje skripte:» X1<ENT> % neka X1 sadrži spektar signala x1 po k X1 = -220*(-1+exp(i*pi*k)^2)/pi/exp(i*pi*k)^2/(k^2-4)» A=zeros(51,1); % 51 koeficijent reda ćemo spremiti u A» for n=-25:25 A(n+26)=subs(limit(X1,k,n)); % moramo računati limes za svaki k koji nas end % zanima zbog mogućeg dijeljenja s 0» stem([-25:25],abs(a)) % crtamo amplitudu» stem([-25:25],angle(a)) % crtamo fazu 6
7 20 minuta Zadatak Spektralna gustoća snage Periodički kontinuirani signali imaju beskonačnu energiju i konačnu srednju snagu. Štoviše, kako su signali periodički unutar jednog perioda srednja snaga je uvijek jednaka. Želimo li izračunati snagu iz spektra koristimo Parsevalovu relaciju 1. Pri tome X k 2 predstavlja srednju snagu k-te harmoničke komponente signala. Prikažemo li X k 2 kao funkciju frekvencije kω 0 dobivamo spektralnu gustoću snage 2. a) (PRIPREMA) Izračunajte rastav u Fourierov red niza pravokutnih impulsa jedinične amplitude trajanja T koji se ponavljaju svakih T 0 pri čemu je T 0 > T. Korištenjem Parsevalove relacije odredite snagu signala. b) Korištenjem MATLAB-a odredite Fourierov red signala iz a) dijela zadatka. Neka T i T 0 budu simboličke varijable. c) Nacrtajte amplitudni i fazni spektar te spektralnu gustoću snage za T = 2 i T 0 = 20 te k 100,100. T = 2 i T 0 = 3. Neka je [ ] d) Korištenjem Parsevalove relacije odredite snagu signala, no samo na temelju prvih m spektralnih komponenti. Nacrtajte kako m 1, minuta Zadatak Fourierov integral ovisi o m za [ ] Fourierov integral 3 se koristi za prikaz kontinuiranih signala i određen je izrazima 1 2 Primjer rastava jednog kontinuiranog signala dan je na slici 3. Za računanje Fourierove transformacije u MATLAB-u možete koristiti funkciju fourier (ili alternativno računati izravno definicijske izraze):» syms t» fourier(heaviside(t)) <ENT> % računamo Fourierov transformaciju % step funkcije pi*dirac(w)-i/w» fourier(heaviside(t+1)-heaviside(t-1)) <ENT> exp(-i*w)*(pi*dirac(w)-i/w)-exp(i*w)*(pi*dirac(w)-i/w)» simplify(ans) <ENT> -2*sin(w)/w 2 Umjesto spektralna gustoća snage može se koristiti i izraz gustoća spektra snage, a ponekad čak i samo spektar snage (iako zadnji izraz nije potpuno precizan). 3 Umjesto Fourierov integral često se jednostavno kaže Fourierova transformacija. 7
8 Slika 3. Fourierov integral a) Korištenjem MATLAB-a odredite Fourierovu transformaciju signala iz 3.2-1a zadatka. Usporedite dobivene spektre. b) Korištenjem MATLAB-a odredite Fourierovu transformaciju jednog pravokutnog impulsa jedinične amplitude i trajanja T = 2. Nacrtajte amplitudni i fazni spektar. Usporedite 4 dobivenu transformaciju s rastavom periodičkog niza impulsa iz zadatka U čemu je razlika?» syms t» X=fourier(heaviside(t+1/2)-heaviside(t-1/2)); <ENT>» X=simplify(X) <ENT> 2*sin(w/2)/w» ezplot(abs(x)),[-30,30]) <ENT> % amplituda» ezplot(atan(imag(x)/real(x)),[-30,30]) <ENT> % faza c) (ZA ONE KOJI ŽELE ZNATI VIŠE) Pomaknite u vremenu impuls iz b) dijela zadatka te opet izračunajte i nacrtajte amplitudni i fazni spektar. Što se događa sa spektrom ako pomaknemo signal u vremenu? Što se događa sa signalom ako pomaknemo spektar u frekvenciji? 10 minuta Zadatak Spektralna gustoća energije Za periodičke signale smo računali srednju snagu unutar jednog perioda. Za općeniti kontinuirani signal snagu unutar nekog intervala možemo odrediti kao Želimo li pomoću danog izraza odrediti srednju snagu cijelog signala za većinu aperiodskih signala dobili bi nulu. Stoga se kontinuirani aperiodski signali i signali konačnog trajanja (npr. razni impulsi) obično karakteriziraju preko energije. Za određivanje energije signala opet koristimo Parsevalovu relaciju 4 Primijetite da bi očekivali spektar u kojem se javljaju linije amplitude koja odgovara upravo polovini amplitude zadane harmonijske funkcije jer rastavljamo signal u kombinaciju eksponencijala (kosinus i sinus se mogu zapisati kao zbroj dvije eksponencijale). Umjesto toga dobili smo spektralne linije amplitude koja odgovara amplitudi pomnoženoj s π. Razlog je u tome što se konstanta 1/(2π) nalazi uz integral inverzne transformacije, a ne uz integral za računanje transformacije. 8
9 1 2. Veličina F(ω)F * (ω) = F(ω) 2 nam predstavlja spektralnu gustoću energije. a) Koristeći MATLAB odredite i nacrtajte spektralnu gustoću energije pravokutnog impulsa jedinične amplitude i trajanja T = 2 (impuls iz zadatka 3.2-3b). b) Korištenjem Parsevalove relacije odredite ukupnu energiju signala iz a) dijela zadatka. c) (ZA ONE KOJI ŽELE ZNATI VIŠE) Korištenjem Parsevalove relacije odredite energiju signala, no samo na temelju prvih m spektralnih komponenti. Nacrtajte kako ovisi o m za m [ 1, 45]. 4. Literatura 1. John R. Buck, Michael M. Daniel, Andrew C. Singer, Computer Explorations in Signals and Systems using Matlab, 2 nd edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey, H. Babić, Signali i sustavi (zavodska skripta), FER, Zagreb 1996., 3. Edward A. Lee, Pravin Varaiya, Structure and Interpretation of Signals and Systems, Addison Wesley, T. Petković, Z. Kostanjčar, M. Budišić, B. Jeren, Upute za laboratorijske vježbe iz Signala i sustava, FER, Zagreb, svibanj Ž. Ban, Osnove MATLAB-a, FER, Zagreb, Laboratorij i vještine MATLAB: Uvod u Simulink, FER, Zagreb, T. Petković, Kratke upute za korištenje MATLAB-a, FER, Zagreb, travanj
2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II. tjedan
Signali i sustavi - Zadaci za vježbu II tjedan Periodičnost signala Koji su od sljedećih kontinuiranih signala periodički? Za one koji jesu, izračunajte temeljni period a cos ( t ), b cos( π μ(, c j t
III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
ELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Linearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Matematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
, Zagreb. Prvi kolokvij iz Analognih sklopova i Elektroničkih sklopova
Grupa A 29..206. agreb Prvi kolokvij Analognih sklopova i lektroničkih sklopova Kolokvij se vrednuje s ukupno 42 boda. rijednost pojedinog zadatka navedena je na kraju svakog zadatka.. a pojačalo na slici
Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Signali i sustavi Zadaci za vježbu. III. tjedan
Signali i sustavi Zadaci za vježbu III. tjedan 1. Neka je kontinuirani kompleksni eksponencijalni signal. Neka je diskretni eksponencijalni signal dobiven iz kontinuiranog signala uniformnim otipkavanjem
( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Napisat demo program koji generira funkciju prijenosa G(s)=(2s+4)/(s2+4s+3) s=tf('s'); Br=2*s+4;Naz=s^2+4*s+3; G=Br/Naz
LV3 Napisat demo program koji generira funkciju prijenosa G(s)=(2s+4)/(s2+4s+3) s=tf('s'); Br=2*s+4;Naz=s^2+4*s+3; G=Br/Naz s=tf('s'); Br=2*(s+2);Naz=(s+1)*(s+3); G=Br/Naz s=tf('s'); Br=[2 4];Naz=[1 4
9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
TRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Program za tablično računanje Microsoft Excel
Program za tablično računanje Microsoft Excel Teme Formule i funkcije Zbrajanje Oduzimanje Množenje Dijeljenje Izračun najveće vrijednosti Izračun najmanje vrijednosti 2 Formule i funkcije Naravno da je
Periodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Osnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio
MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi
Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
STATISTIKA S M E I M N I AR R 7 : METODE UZORKA
Fakultet za menadžment u turizmu i ugotiteljtvu, Opatija Sveučilišni preddiplomki tudij Polovna ekonomija u turizmu i ugotiteljtvu Noitelj kolegija: Prof. dr. c. Suzana Marković Aitentica: Jelena Komšić
DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA
**** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla
XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla
2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE
**** MLADEN SRAGA **** 0. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE EKSPONENCIJALNE i LOGARITAMSKE FUNKCIJE α LOGARITMI Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: Mladen Sraga
Teorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Kaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.
Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu
MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.
Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,
5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
radni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:
ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu
Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka
POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Signali i sustavi. Signal. Predstavljanje signala: mr. sc. Karmela Aleksić-Maslać dr. sc. Damir Seršić
Signali i susavi mr. sc. Karmela Aleksić-Maslać dr. sc. Damir Seršić FER-ZESOI Signal Funkcija koja sadrži informaciju o susavu. Funkcija - vremena (npr. zvučni signal), prosora (npr. slika - 2D signal),...
Prikaz sustava u prostoru stanja
Prikaz sustava u prostoru stanja Prikaz sustava u prostoru stanja je jedan od načina prikaza matematičkog modela sustava (uz diferencijalnu jednadžbu, prijenosnu funkciju itd). Promatramo linearne sustave
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
OSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
numeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx.