Napisat demo program koji generira funkciju prijenosa G(s)=(2s+4)/(s2+4s+3) s=tf('s'); Br=2*s+4;Naz=s^2+4*s+3; G=Br/Naz

Transcript

1 LV3 Napisat demo program koji generira funkciju prijenosa G(s)=(2s+4)/(s2+4s+3) s=tf('s'); Br=2*s+4;Naz=s^2+4*s+3; G=Br/Naz s=tf('s'); Br=2*(s+2);Naz=(s+1)*(s+3); G=Br/Naz s=tf('s'); Br=[2 4];Naz=[1 4 3]; G=tf(Br,Naz);G Transfer function: 2s s^2 + 4 s + 3 MATLAB i algebra strukturnih blok-shema Neka su data dva elementa automatike čije su funkcije prijenosa: G(s) i H(s). Serijska veza se definira naredbom series(g,h); paralelna veza se definira naredbom parallel(g,h); povratni prijenos se definira naredbom feedback(g,h,sign), gde je sign= -1 za sistem s negativnom, i sign=1, za pozitivnu povratnu vezu. Primjer. Neka je G, G(s)=(2s+4)/(s 2 +4s+3), a H je H(s)=(s+4)/(s+5). Napisati programe za serijsku, paralelnu i sustav s negativnom povratnom vezom Serijska veza s=tf('s'); Br1=2*s+4; Naz1=s^2+4*s+3; G=tf(Br1/Naz1); Br2=s+4;Naz2=s+5; H=tf(Br2/Naz2); W=series(G,H) p=pole(w) z=zero(w) Transfer function: 2 s^ s s^3 + 9 s^ s + 15 p = z = -4-2

2 Paralelna veza s=tf('s'); Br1=2*s+4; Naz1=s^2+4*s+3; G=tf(Br1/Naz1); Br2=s+4;Naz2=s+5; H=tf(Br2/Naz2); W=parallel(G,H) p=pole(w) z=zero(w) Povratna veza s=tf('s'); Br1=2*s+4; Naz1=s^2+4*s+3; G=tf(Br1/Naz1); Br2=s+4;Naz2=s+5; H=tf(Br2/Naz2); W=feedback(G,H,-1) p=pole(w) z=zero(w) Transfer function: s^ s^ s s^3 + 9 s^ s + 15 p = z = i i Transfer function: 2 s^ s s^ s^ s + 31 p = z = -5-2 Određivanje prijenosne funkcije sustava

3

4 Crtanje amplitudno-frekventne i fazno-frekventne karakteristike sustava

5 ako želimo naći step ili impulsni odziv našeg sistema koristimo respektivno naredbe step i impulse. Ovi dijagrami su prikazani na slikama» step(g)» impulse(g) U slučaju da nam je prenosna funkcija data u binomnom obliku: istu možemo prebaciti u faktorizirani oblik korištenjem naredbe zpk. Crtanje amplitudno-frekventne i fazno-frekventne karakteristike se izvodi jednostavno sa naredbom bode.» bode(g)

6 Ovom naredbom automatski dobijemo obje karakteristike nacrtane u logaritamskom mjerilu i pojačanje amplitudno-frekventne karakteristike u decibelima (db). Rad sa control toolbox-om Kada smo definirali tf prijenosnu funkciju, korištenjem naredbe step dobiva se odziv sustava na skokovitu (step) funkciju (odziv na step naziva se prijelazna funkcija): >> s = tf('s'); % s definiramo kao varijablu tipa tf, >> G = (s+2)/(s^2+4*s+6); % zato je varijabla G istog tipa >> step(g);

7

8

9

10

11

12 Frekvencijske karakteristike sistema Primjer 1: Nacrtati Bodeove dijagrame za sistem opisan funkcijom prenosa:,,, close all; clear all; clc; br=[1]; naz=[1 0]; sys=tf(br,naz); bode(sys,{0.01, 100}); grid on; Primjer: Data je funkcija prijenosa sistema G(s) = 4/ s+3 Odrediti odziv sustava u stacionarnom stanju ako je ulazni signal x(t) = 2sin (2t π/8) Prikazati na istoj slici ulazni signal i odziv sustava br=[4]; naz=[1 3]; G=tf(br,naz); t=[0:0.01:10]; x=2*sin(2*t-pi/8); [y,t]=lsim(g,x,t); plot(t,x,'linewidth', 2), hold on plot(t,y,'-.', 'LineWidth', 3); legend('ulazni signal','odziv sistema'); title('ulazni signal i odziv sistema G(s)'), xlabel('vrijeme [s]'), ylabel('amplituda'),grid on;

13

14

15

16 FREKVENCIJSKA ANALIZA: BODE-ovi DIJAGRAMI Bode-ovi dijagrami prikazuju ovisnost amplitude prijenosne funkcije M (u decibelima) i faze φ (u stupnjevima) o frekvenciji ω, crtano u semilogaritamskom mjerilu. Graf ovisnosti amplitude M o frekvenciji naziva se amplitudna frekvencijska karakteristika. Graf ovisnosti faze φ o frekvenciji naziva se fazna frekvencijska karakteristika. Bode-ove dijagrame obično crtamo za prijenosne funkcije otvorene petlje W o (s). MATLAB NAREDBE Neka je prijenosna funkcija otvorene petlje zadana u obliku razlomka: (Wo= (br, naz)(s ) Za računanje tj. crtanje frekvencijskih odziva koriste se slijedeće naredbe: Primjer Nacrtati amplitudni i fazni Bodeov dijagram za sustav sa zadanom prijenosnom funkcijom otvorene petlje: a) ručno nacrtati asimptotske dijagrame b) nacrtati dijagrame pomoću Matlab-a

17

18

19

20

21 UTVRĐIVANJE STABILNOSTI SUSTAVA PO BODE-ovom KRITERIJU Stabilnost sustava sa zatvorenom povratnom vezom, opisanog prijenosnom funkcijom W(s), određuje se na temelju amplitudne i fazne Bodeove karakteristike nacrtane za prijenosnu funkciju otvorene petlje, W o (s). Određivanje ω I, ω П, AP i FP na temelju Bodeovih dijagrama: Frekvencija kritične amplitude, ω I : frekvencija pri kojoj amplitudni Bodeov dijagram prijenosne funkcije otvorene petlje siječe frekvencijsku os. Za ω I će vrijediti: W o (jω I ) =1 (tj. 0dB) Frekvencija kritične faze, ω П : frekvencija pri kojoj fazni Bodeov dijagram prijenosne funkcije otvorene petlje siječe pravac od -180 o. Za ω П će vrijediti: Im(W o (jω П ))=0 Amplitudna pričuva, AP(dB): Može se odrediti na temelju Bodeovog amplitudnog dijagrama prijenosne funkcije otvorene petlje. AP se određuje kao udaljenost od amplitudnog dijagrama do frekvencijske osi, pri frekvenciji kritične faze. Fazna pričuva, FP( o ): Može se odrediti na temelju Bodeovog faznog dijagrama prijenosne funkcije otvorene petlje. FP se određuje kao udaljenost od pravca 180 o do faznog dijagrama, pri frekvenciji kritične amplitude. Pravilo za utvrđivanje stabilnosti sustava po Bode-ovom kriteriju: Sustav sa zatvorenom povratnom vezom opisan prijenosnom funkcijom W(s) biti će stabilan ako amplitudni Bodeov dijagram prijenosne funkcije otvorene petlje W o (s) siječe frekvencijsku os prije nego fazni Bodeov dijagram siječe pravac 180 o (tj. ako je ω I < ω П ). U tom slučaju AP i FP imat će pozitivne vrijednosti. MATLAB NAREDBE Za računanje vrijednosti ω I, ω П te AP i FP koristi se slijedeća Matlabova naredba:

22 Primjer: Odrediti stabilnost sistema ako je funkcija povratnog prijenosa: Na osnovu Nyquistove krivulje možemo odrediti vrijednosti parametra K za koje je sistem stabilan. br=[1]; naz=[1 3 2]; sys=tf(br,naz); nyquist(sys); Pošto funkcija prijenosa W(s) nema nijedan nestabilan pol, to znaĉi da prirast argumenta vektora ĉiji je poĉetak u toĉki (-1/K, j0), a vrh se kreće po krivulji W(jw) za w [0, ) treba biti 0π, odnosno nula. Drugim rijeĉima, -1/K treba biti izvan Nyquistove krivulje: -1/K < 0-1/K > 0.5 Iz posljednje relacije dobijamo uvjet da je sistem stabilan za K > 0 i K > -2 => K > 0. primjer: Odrediti stabilnost sistema ako je funkcija povratnog prijenosa: Sistem je stabilan za vrijednosti: -1/K < -2-1/K > 0.5

23 Sistem je stabilan za vrijednosti: -1/K < -3/11-1/K > -4/3