( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Transcript

1 Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom, ako je ( ) = () Funkcija () = sin je neparna: sin ( ) = sin Funkcija () = cos je parna: cos( ) = cos Umjesto uvrstimo u jednadžbu: Funkcija je parna cos( sin ) sin ( cos) cos ( sin ) sin ( cos ) = = = cos sin sin cos = Vježba 08 Je li unkcija () = cos (sin ) cos (cos ) parna ili neparna? Rezultat: Parna je Zadatak 08 (Maturanti, TUPŠ) Ako je =, koliko je +? Rješenje 08 n m n + m a a = a, a = a ( + ) + + = = = = = = 6 = = Vježba 08 Ako je, koliko je? = ( + ) + Rezultat: Zadatak 08 (Rogi, VTŠ) Odredi inverznu unkciju unkcije = log 4 log Rješenje 08 m n m n a = a n, log n log a, log a n log a, log a log a log a a = n = = c n n m n m l og a c b a, a, a a a b a n + = = = = Najprije transormiramo zadanu unkciju uporabom svojstava logaritma: = log 4 log log 4 log log 4 log = = 4 4 = log 4 log = log = log

2 Sada tražimo inverznu unkciju: 4 pišemo 4 zamijenimo i 4 = log log log = = = c 4 4 log a = c b = [ računamo ] = / = 4 b 4 pišemo = = 4 = = = = Vježba 08 Odredi inverznu unkciju unkcije Rezultat: 4 = log = Zadatak 084 (Rogi, VTŠ) Odredi inverznu unkciju unkcije Rješenje 084 = + c log a c b a b = = Tražimo inverznu unkciju: pišemo zamijenimo i = = = + = + + [ ] računamo = / ( + ) ( + ) = + = = + Vježba 084 c izlučimo ( ) log a c b a = = = = b pišemo log = log = = Odredi inverznu unkciju unkcije = log Rezultat: = + Zadatak 085 (Ivan, maturant) Odredi sve realne brojeve a i b za koje je unkcija () = a sin + b cos parna Rješenje 085 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom, ako je ( ) = () Funkcija () = sin je neparna: sin ( ) = sin Funkcija () = cos je parna:

3 Umjesto uvrstimo u jednadžbu pa dobijemo: cos( ) = cos = a sin + b cos = a sin + b cos a sin + b cos = a sin + b cos a sin + b cos = a sin + b cos a sin = a sin a sin a sin = 0 ( ) a sin = 0 /: a sin = 0 Budući da sin može imati vrijednosti izmeñu i, nužno mora biti a = 0 Dakle, zadana unkcija je parna ako je: a = 0 b bilo koji realan broj Vježba 085 Odredi sve realne brojeve a i b za koje je unkcija () = a sin + b cos neparna Rezultat: Funkcija je neparna ako je a bilo koji realan broj, b = 0 Zadatak 086 (Ksenija, srednja škola) Odredi temeljnu periodu unkcije () = sin 4 + sin 6 Rješenje 086 Funkcija je periodična s periodom P (P 0), ako za svaki vrijedi: Ako je unkcija deinirana u jednoj od točaka, + P, onda je deinirana u obje te točke i vrijedi ( + P) = () Broj P zove se perioda unkcije Najmanja pozitivna perioda unkcije (ako postoji) zove se temeljna perioda unkcije Ako za unkciju : D R postoji P > 0 takav da je ( + P) = (), za svaki D, tada unkciju nazivamo periodična unkcija Pozitivni brojevi P za koje vrijedi ( + P) = () nazivaju se periode unkcije Ako postoji najmanji takav pozitivan broj P, tada se taj P naziva temeljna perioda Trigonometrijske unkcije su periodične Temeljna perioda za sinus je π Ako je P temeljna perioda unkcije = (), tada je temeljna perioda unkcije = (a ) Ako su P i P periode dviju unkcija, te onda je P, a > 0 a P m = Q, P n P = n P = m P perioda zbroja tih unkcija Funkcija () = sin ima temeljnu periodu π pa perioda unkcije () = sin 4 iznosi = sin P = π π π = sin 4 P = P 4 = Funkcija () = sin ima temeljnu periodu π pa perioda unkcije () = sin 6 iznosi = sin P = π π π = sin 6 P = P 6 =

4 Perioda zadane unkcije iznosi: π π π P = = π P P P = = = P = P = P ili P π P π P π P = = π Vježba 086 Odredi temeljnu periodu unkcije () = sin 4 + sin 8 π Rezultat: Zadatak 087 (Ivana, maturantica) Odredi područje deinicije (domenu) unkcije zadane ormulom: = Rješenje 087 ln = 0, ln ln g g, sin 4 ln sin = ln sin ln sin 0 ln sin ln sin sin π sin = = + k π, k Z Domena unkcije iznosi: π D( ) = + k π, k Z Vježba 087 Odredi područje deinicije (domenu) unkcije zadane ormulom: = Rezultat: D( ) = { k π, k Z } ln cos Zadatak 088 (Ante, gimnazija) π Koji osnovni period ima unkcija = cos( ) + 5 sin? 4 Rješenje 088 Funkcija je periodična s periodom P (P 0), ako za svaki vrijedi: Ako je unkcija deinirana u jednoj od točaka, + P, onda je deinirana u obje te točke i vrijedi ( + P) = () Broj P zove se period unkcije Najmanji pozitivni period unkcije (ako postoji) zove se temeljni period unkcije Ako za unkciju : D R postoji P > 0 takav da je ( + P) = (), za svaki D, tada unkciju nazivamo periodična unkcija Pozitivni brojevi P za koje vrijedi ( + P) = () nazivaju se periodi unkcije Ako postoji najmanji takav pozitivan broj P, tada se taj P naziva temeljni period Trigonometrijske unkcije su periodične Temeljni period za sinus je π Ako je P temeljni period unkcije = (), tada je temeljni period unkcije = (a ) Ako su P i P periodi dviju unkcija, te P, a > 0 a

5 onda je period zbroja tih unkcija P m = Q, P n P = n P = m P Funkcija () = cos ima temeljni period π pa period unkcije iznosi = cos( ) = cos = cos P = π π = cos P = Funkcija () = sin ima temeljni period π pa period unkcije π π = sin sin = 4 iznosi = sin P = π π π sin 4 = P = = π Period zadane unkcije iznosi: π π π P = 6 = 4 π P P P P = = = = P = 6 P = P ili P π P π P P 4 π P = = 4 π Vježba 088 π Koji osnovni period ima unkcija = cos( 5) + 7 sin? 4 Rezultat: 4 π Zadatak 089 (Matea, gimnazija) Neka je () =, h() =, te neka vrijedi jednadžba ( h g) + ( g ) =, neku unkciju g Ako je g() = 5, koliko je g( )? Rješenje 089 Za kompoziciju unkcija i g vrijedi: ( g) = ( g ) ( g ) = g ( ), za Postavimo jednadžbu: h = ( h g ) + ( g ) = h( g ) + g ( ) = = g + g = g + g = g + g = 5

6 Budući da je g() = 5, slijedi: g g g = g = g ( ) g = g ( ) 5 = g ( ) 5 = g ( ) = 6 g = 5 = Vježba 089 za Neka je () =, h() =, te neka vrijedi jednadžba ( h g) + ( g ) =, neku unkciju g Ako je g() = 5, koliko je g(7)? Rezultat: 6 Zadatak 090 (Sanja, gimnazija) Zadana je unkcija = Odredi a, b, c i d tako da vrijedi + ( g ), a + b = c + d g Rješenje 090 Domena unkcije = iznosi: + a b a n =, = n c c b { } + 0 D = R \ Pretpostavimo da postoji unkcija g() traženih osobina Tada bi vrijedilo: = ako je a + b a + b c + d g ( g c d c d ) = = + = + = g + a + b a + b + ( c + d ) + c + d c + d a + b c d a + b c d c d a b c d c d + + = + = = a + b + c + d a + b + c + d a + b + c + d c + d c + d ( a c) + ( b d ) a c + b d = = a + c + b + d a + c + b + d Da bi lijeva strana jednakosti bila jednaka desnoj mora biti: a c = a c = a + c = 0 a + c = 0 metoda suprotnih a = a = /: b d = 0 koeicijenata b = b = /: b d = 0 b + d = b + d = 6

7 a =, 0 0 a = a + c = + c = c = c = b = b =, b d = 0 d = 0 d = / ( ) d = Rješenje sustava daje unkciju g: Vježba 090 a =, b =, c =, d = + ( + ) g g = = a + b g = + ( + ) c + d ( + ) + + g = g = g =, + ( + ) Zadana je unkcija = Odredi a, b, c i d tako da vrijedi + a + b = c + d g Rezultat: g + = Zadatak 09 (Mala, maturantica gimnazije) Odredi unkciju koja zadovoljava danu jednakost: Rješenje 09 Ako u danu jednakost umjesto stavimo, dobije se: + 5 = g =, ako je + 5 = 6 + ( ) + 5 = = = 6 + Rješavamo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice () i ( ): = 6 + metoda suprotnih + 5 = koeicijenata + = = 6 / = = 6 48 /: ( 4) = = = + tražena unkcija Vježba 09 + = + Odredi unkciju koja zadovoljava danu jednakost: Rezultat: = + Zadatak 09 (Mala, maturantica gimnazije) Odredi unkciju koja zadovoljava danu jednakost: + =

8 Rješenje 09 Ako u danu jednakost umjesto stavimo, dobije se: + = + = + = + = Rješavamo sustav od dvije jednadžbe sa dvije nepoznanice i : + = + = metoda suprotnih koeicijenata + = + = / ( ) + = 6 = /: ( ) = + = 6 4 = Vježba 09 Odredi unkciju koja zadovoljava danu jednakost: Rezultat: = Zadatak 09 (Vlado, maturant) Izračunati (7) ako je ( + 8) = Rješenje 09 ( a b) = a a b + b + = Budući da računamo (7), stavimo da je + 8 = 7 i riješimo kvadratnu jednadžbu + 8 = = 0 + = 0 = 0 / = 0 = Sada je: = ( + 8) = = = = = 7 Vježba 09 Izračunati (9) ako je ( + 0) = Rezultat: 7 8

9 Zadatak 094 (Meg, studentica) Neka je R skup realnih brojeva Funkcije i g deinirane su na sljedeći način: a) : R R, = sin + cos, b) g : R R, g = Jesu li unkcije i g jednake? Rješenje 094 Osnovni trigonometrijski identitet: sin + cos = Neka su A i B dva neprazna skupa Ako je svakom elementu A pridružen točno jedan element B kažemo da je deinirana, zadana unkcija sa skupa A u skup B i označavamo ovako : A B Skup A zove se domena, područje deinicije ili ulazni skup Skup B zove se kodomena, područje vrijednosti unkcije ili izlazni skup Ako je unkcija elementu pridružila element pišemo = () Jednakost unkcija Za unkcije : A B, g : C D kažemo da su jednake i pišemo = g, ako su ispunjena tri uvjeta: ) imaju jednake domene: A = C, ) imaju jednake kodomene: B = D, ) () = g() za svaki R Uočimo da je jednakost unkcija primjer relacije ekvivalencije jer je releksivna, simetrična i tranzitivna: releksivnost: = simetričnost: = g g = tranzitivnost: = g i g = h = h Funkcije i g jednake su jer: ) imaju jednake domene, R = R ) imaju jednake kodomene, R = R ) = g za svaki R, sin + cos = je trigonometrijski ident itet Vježba 094 Neka je R skup realnih brojeva Funkcije i g deinirane su na sljedeći način: 4 a) : R R, =, b) g : R R, g = + Jesu li unkcije i g jednake? Rezultat: Funkcije su jednake Zadatak 095 (Marin, tehnička škola) Zadana je unkcija ( ) = Rješenje 095 = + Dokažite da je za sve 0 zadovoljena relacija n n a a = n b b 9

10 = + = + = + = + = + = + Vježba 095 Zadana je unkcija ( ) = Rezultat: Dokaz analogan = + = = + = + Dokažite da je za sve 0 zadovoljena relacija Zadatak 096 (Nena, gimnazija) Odredite koje su sljedeće unkcije parne, koje neparne, a koje nisu ni parne ni neparne: a) =, b) =, c) = Rješenje 096 Funkcija : a, a R je parna, ako vrijedi ( ) = za svako a, a Gra parne unkcije je simetričan u odnosu na os O Funkcija : a, a R je neparna, ako vrijedi ( ) = za svako a, a Gra neparne unkcije je simetričan u odnosu na ishodište koordinatnog sustava O 0

11 4 + + a) Da bismo ispitali je li unkcija = + računamo njezinu vrijednost za pa slijedi: parna, neparna ili ni jedno, ni drugo, ( ) + ( ) ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) Funkcija je parna b) Da bismo ispitali je li unkcija = + parna, neparna ili ni jedno, ni drugo, računamo njezinu vrijednost za pa slijedi: ( ) + ( ) + ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = Funkcija je neparna c) Da bismo ispitali je li unkcija računamo njezinu vrijednost za pa slijedi: ( ) = + ( ) = = parna, neparna ili ni jedno, ni drugo, = = Funkcija nije niti parna, niti neparna jer ( ) nije jednako niti (), niti () Vježba 096 Odredite koje su sljedeće unkcije parne, koje neparne, a koje nisu ni parne ni neparne: a) =, b) =, c) = Rezultat: a) parna b) neparna c) ni parna, ni neparna Zadatak 097 (Nena, gimnazija) Dokažite da je zbroj parnih unkcija parna unkcija Rješenje 097 Neka su i g parne unkcije Zbroj unkcija i g neka je unkcija h, tj ( ) = ( ) =, g g h = + g Dokažimo da je unkcija h takoñer parna Računamo njezinu vrijednost za pa slijedi: unkcije i h( ) = ( ) + g ( ) h( ) = + g g su parne h = + g h = h h

12 Time je dokazano da je unkcija h kao zbroj parnih unkcija i g takoñer parna unkcija Vježba 097 Dokažite da je zbroj neparnih unkcija neparna unkcija Rezultat: Dokaz analogan Zadatak 097 (Nena, gimnazija) Dokažite da je unkcija () = + 6 strogo rastuća unkcija Rješenje 097 Funkcija : D R je strogo rastuća na D ako vrijedi, D, < < Takoñer slijedi: < < ( ) < ( ) ( ) ( ) O < Dokazujemo da je unkcija () = + 6 strogo rastuća: nejednadžbi 6 < + < / 6 pribrojimo 6 + < < < < Funkcija je strogo rastuća < /: < Vježba 097 Dokažite da je unkcija () = + 8 strogo rastuća unkcija Rezultat: Dokaz analogan Zadatak 098 (Ante, student) Dokažite da je unkcija () = za < < 0 strogo padajuća Rješenje 098 a > 0 a < 0 a b = ( a b) ( a + b), a b > 0 ili b > 0 b < 0 Funkcija : D R je strogo padajuća na D ako vrijedi, D, > <

13 ( ) > ( ) ( ) O < ( ) Dokazujemo da je unkcija () = strogo padajuća na intervalu, 0 > > > 0 + > 0 Budući da je unkcija () = deinirana na intervalu, 0 njihov zbroj + takoñer negativan broj, Da bi umnožak bio pozitivan, tj da vrijedi mora biti + < 0 ( ) ( + ) ( ) ( + ) > 0 < 0 <, brojevi i su negativni pa je Znači O > < pa je unkcija () = strogo padajuća na intervalu, 0 Vježba 098 Dokažite da je unkcija () = za 0 < < strogo rastuća Rezultat: Dokaz analogan

14 Zadatak 099 (Nina, gimnazija) Za realni broja a deiniramo preslikavanja a : R R i ga : R R sa a () = + a, g a () = a Koliko ima brojeva a za koje vrijedi da je a ga = ga a Rješenje 099 = 0 = 0 ili = 0 il i = = 0 Neka su S, S i S neprazni skupovi i : S S, g : S S unkcije zadane na S, odnosno na S sa vrijednostima u S, odnosno u S Tada je sa ( ) ( ), h = g h = g S zadana unkcija h : S S koja se zove kompozicija ili složena unkcija, unkcija i g a = + a, ga = a a = + a, ga = a a ga = ga a ( a ga ) = ( ga a ) ( ) ( ) 4 a = + a, ga = a a = + a, ga = a a ga = ga a ga + a = a a a + a = a + a a + a = a + a a + a = a + a a= a a = 0 a = 0 a = a a a = 0 a ( a ) = 0 a = 0 a = Postoje dva broja a za koje vrijedi da je a ga = ga a Vježba 099 Deiniramo preslikavanja : R R i g : R R sa () =, g() = Uvjeri se da vrijedi g = g Rezultat: Jednakost vrijedi Zadatak 00 (Kate, studentica) + Je li unkcija = ln parna ili neparna? Rješenje 00 a b n =, ln a = n ln a b a Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom, ako je ( ) = () Umjesto uvrstimo u jednadžbu: ( ) = ln ( ) = ln ( ) = ln ( ) = ln ( ) = ln ( ) = ln ( ) =

15 Funkcija je neparna Vježba 00 Je li unkcija = ln + Rezultat: Neparna je parna ili neparna? 5