Trigonometrija 1. Trigonometrijska kružnica. Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Transcript

1 Trigonometrija Trigonometrijska kružnica Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije Projektna nastava

2 Osnovne trigonometrijske relacije:. +. tgx. ctgx tgx. tgx ctgx Vrijednost trigonometrijskih funkcija karakterističnih kutova: I. kvadrant II. kvadrant o o 5 o o 9 o o 5 o 5 o 8 o sin cos tg ctg III. kvadrant IV. kvadrant 8 o o 5 o o 7 o o 5 o o o sin cos tg ctg

3 Trigonometrijske funkcije po kvadrantima Kvadrant.... stupnjevi radijani sinus kosinus tangens

4 Primjeri:. Izračunaj vrijednost izraza: cos sin cos a) 5 7 sin + cos sin b) sin cos cos sin cos Rješenje. a): 5 7 sin + cos sin cos Izračunaj: sin cos sin 5 cos 7 sin Dobivene rezultate uvrsti u početi razlomak i izračunaj: Rješenje. b): sin cos 58 Odredi predznak vrijednosti funkcije cos poštujući svojstvo parnosti cosinusa : Cosinus je parna funkcija, što znači da vrijedi : cos(-x) cosx, pa možemo napisati: cos cos.nađi glavnu mjeru kutova : 77 58,

5 , dakle glavne mjere su : , Pročitaj u tablici vrijednosti trigonometrijskih funkcija glavnih mjera danih kutova. 5 5 sin,cos Uvrsti te vrijednosti u početni izraz i izračunaj ga sin cos. Pojednostavni izraze: a) ( )( + ) + b) Rješenje. a): ( )( + ) a b a + b pomnoži zagrade, ili iz formule za razliku kvadrata primijeni: ( )( ) ( )( + ) a b iz osnovne trigonometrijske relacije sin x+cos x sin n x + Rješenje. b): svedi na zajednički nazivnik + ( )( + ) ( ) sin x * a b a + b a b dobivamo: Koristeći formulu za razliku kvadrata ( )( ) ( )( + ), pa uvrštavanjem u * dobivamo: cos x sin x sin x sin ( ) ( ) x. Izračunaj vrijednost ostalih trigonometrijskih funkcija ako je zadano:

6 a) b), < x < 5 5 tgx, 7 < x < Rješenje. a):, < x < 5 Odredi : Kvadrant u kojem se nalazi kut x iz uvjeta: < x < Predznake trigonometrijskih funkcija u tom kvadrantu Napiši formule koje iz sinusa daju vrijednosti kosinusa, tangensa i kotangensa ±, tgx, ctgx Od tih formula izaberi najjednostavniju i primjeni je: a to je: ±, a predznak koji biramo je, a biramo na osnovu trigonometrijske kružnice. 5 5 Izaberi najjednostavnije formule koje iz poznate dvije funkcije izražavaju preostale dvije nepoznate i primijeni ih.

7 5 tgx, ctgx tgx 5 5 Rješenje. b): tgx, 7 < x < Odredi: nađi glavnu mjeru kutova 7, 5 pretvori u razlomak postupak analogan zadatku.a) napiši ga i provedi. napomena: za određivanje kvadranta i predznaka sinusa i kosinusa koristi slike:

8 . Pokaži da vrijedi jednakost: a) ctgx b) + tgx + tgx Rješenje. a) Pokaži da vrijedi jednakost: ctgx Da bi potvrdili da vrijedi jednakost, potrebno je složeniju stranu jednakosti transformirati koristeći poznate veze među trigonometrijskim funkcijama te je pojednostavniti da dobije vrijednost druge strane jednakosti. Dakle, transformiramo lijevu stranu jednakosti: Rješenje. b) + tgx + tgx transformiramo lijevu stranu + + tgx tgx + ( + ) +

9 Zadatci za vježbu:. Izračunaj vrijednost izraza: a) sin cos sin 5 7 cos + sin cos b) tg ctg tg 5 7 ctg + tg ctg c) 7 57 sin cos d) 8 sin cos + tg ctg e) sin cos cos ctg + tg f) sin 7 + tg ctg + sin ( 57 ) cos( 5 ) ( 59 ) tg sin cos + ctg g) sin 75 tg 8 7 sin cos + tg ctg h) 8 7 sin cos tg ctg. Pojednostavni izraze: + a) b) + + c) ( + tg x) d) ( + ctg x) sin x + tg x + ctg x e) ( ) f) ( ). Izračunaj vrijednost ostalih trigonometrijskih funkcija ako je zadano:

10 a) 5, < x < b) tgx 5, < x < c) ctgx, < x < d), < x < 7 9 e) 9, < x < 5 f) 9 ctgx,9 < x <. Pokaži da vrijedi jednakost: a) tgx b) + tgx + tgx c) + ctgx + ctgx d) ctg x cos x ctg x e) tg x sin x tg x f) tg x tg x ctg x g) ctg x ctg x tg x Uputa za rješavanje : sin cos sin. a) 5 7 cos + sin cos riješi na osnovu primjera.a) tg ctg tg. b) riješi na osnovu primjera a). 5 7 ctg + tg ctg 7 57.c) Za izračunavanje vrijednosti izraza: sin cos. Sam raščlani postupak i provedi ga kao u primjeru. b). 8.d) Za izračunavanje vrijednosti izraza: sin cos + tg ctg. Sam raščlani postupak i provedi ga kao u primjeru. b).

11 8 7 sin cos + tg ctg.h) Za izračunavanje vrijednosti izraza: 8 7 sin cos tg ctg. Sam raščlani postupak i provedi ga kao u primjeru. b).. a), b), c), d), e), f) riješi koristeći analogan postupak kao i u primjeru. a) i b).. a), b) riješi koristeći analogan postupak kao i u primjeru. a).. c), d), e), f) riješi koristeći analogan postupak kao i u primjeru. b).. a), b), c), d), e), f), g) riješi koristeći analogan postupak kao i u primjeru. a). Za učenike koji imaju problema sa jednostavnijim računima i nemaju dobro predznanje da bi mogli glatko savladavati složenije probleme za ovaj nivo školovanja, nužno je da bi se nekako nadoknadilo to predznanje naučiti raščlanjivati složenije problemske zadatke i svesti ih na razinu na kojoj se učenici snalaze i mogu ih uspješno rješavati. Na taj način se najmanje gubi na brzini savladavanja zadanog programa. Napomena: Minimum koji je dovoljan za savladavanje ovakvog načina učenja i usvajanje gradiva je: na osnovu danih postupaka riješiti dane primjere i napisati plan rada za rješavanje sličnih. Dakle to su zadaci dani pod.a),.b) i.c).d) i.e), te.a),.b) i.c) i.a) i.b) i.a) i.b) Za one koji hoće više i ambiciozniji su potrebno je pokazati smisao za primjenu danih postupaka za nove tipove zadataka. Seminarski rad će biti provjeren usmenim ispitivanjem.