ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΣΤΑΥΡΟΥΜΕΝΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΦΑΣΗΣ ΣΕ SOI ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΟΥΣ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΔΙΑΣΤΑΥΡΟΥΜΕΝΗΣ ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗΣ ΦΑΣΗΣ ΣΕ SOI ΚΥΜΑΤΟΔΗΓΟΥΣ ΕΙΔΙΚΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΑΝΔΡΕΑΣ Δ. ΚΟΣΜΑΤΟΣ Φυσικός ΠΑΤΡΑ 008

2 στην μνήμη του πατέρα μου Διαμαντή

3 Πρόλογος Η παρούσα ειδική ερευνητική εργασία εκπονήθηκε στον Τομέα Φυσικής Συμπυκνωμένης Ύλης του Τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Πατρών υπό την επίβλεψη της Αναπληρώτριας Καθηγήτριας κ. Κ. -.Α. Θωμά στα πλαίσια της απόκτησης Μεταπτυχιακού Διπλώματος Ειδίκευσης στην Φυσική των Υλικών. Θα ήθελα να ευχαριστήσω την κ. Κ. -.Α. Θωμά για την πολύτιμη βοήθεια που με επιμονή και υπομονή μου πρόσφερε για την ολοκλήρωση αυτής της εργασίας και των σπουδών μου. Ευχαριστώ επίσης τα άλλα δύο μέλη της τριμελούς επιτροπής, τον Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Χ. Ζεγκίνογλου και τον Καθηγητή κ. Χ. Τοπρακτσίογλου για την συμβολή τους. Θερμές ευχαριστίες ακόμα ανήκουν στον Δρα Φυσικό Δ. Π. Κορφιάτη του οποίου η συμβολή ήταν καθοριστική στην επίτευξη του στόχου αυτής της εργασίας. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τα αδέλφια μου Λάμπρο και Παύλο για την υποστηριξή τους. Ανδρέας Δ. Κοσμάτος

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή 1 Κεφάλαιο 1 Διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε πυρίτιο και μη γραμμικά φαινόμενα 1.1 Διάδοση ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε ένα μέσο. Πόλωση Απορρόφηση δύο φωτονίων Διασπορά λόγω ελευθέρων φορέων Το οπτικό φαινόμενο Kerr Θερμοοπτικό φαινόμενο Εφαρμογές Διαμόρφωση διασταυρούμενης απορρόφησης Διαμόρφωση φάσης Ανάμιξη τεσσάρων κυμάτων Εξαναγκασμένη σκέδαση Raman. 0 Κεφάλαιο Βασικά στοιχεία για τους κυματοδηγούς. SOI κυματοδηγοί τύπου νεύρωσης..1 Οπτικός κυματοδηγός. Ολική ανάκλαση. Τρόποι πόλωσης και αλλαγή φάσης. 4.Φάση και κυματάνυσμα του διαδιδόμενου κύματος. 6.3 Τρόποι λειτουργίας ενός κυματοδηγού. 6.4 Τύποι κυματοδηγών. 8.5 Κυματοδηγοί πυριτίου πάνω σε μονωτή- SOI (silicon-on insulator). 9

5 .6 Τρόποι λειτουργίας σε κυματοδηγούς δύο διαστάσεων Μήκος αλληλοεπικάλυψης Διασπορά ταχύτητας ομάδας. 3.8 Δείκτης διάθλασης και συντελεστής απωλειών οπτικών κυματοδηγών Αιτίες που προκαλούν απώλειες σε ένα οπτικό κυματοδηγό Σκέδαση Απορρόφηση Ακτινοβολία Περιορισμός των απωλειών διάδοσης. Υπολογισμός του ενεργού χρόνου ζωής των φορέων Πειράματα άντλησης-διερεύνησης Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα των SOI κυματοδηγών. 50 Κεφάλαιο 3 Παρουσίαση μοντέλου προσομοίωσης Μοντέλα Δυναμικής του Πλάσματος Ηλεκτρονίων-Οπών Βασικές Παραδοχές Το Σύστημα των Εξισώσεων Υπολογισμός της μετατόπισης του μήκους κύματος Αρχικές και Συνοριακές Συνθήκες Τιμές και σχέσεις των παραμέτρων του μοντέλου Επίλυση των Εξισώσεων. 6 Κεφάλαιο 4 Αποτελέσματα και συμπεράσματα 4.1 Αποτελέσματα προσομοίωσης Συμπεράσματα-Προοπτική. 83 Περίληψη 86 Βιβλιογραφία 87

6 Εισαγωγή Η περαιτέρω ανάπτυξη των τηλεπικοινωνιών και της πληροφορικής απαιτεί μεγαλύτερο εύρος ζώνης, μεγαλύτερους ρυθμούς μετάδοσης και υπολογιστικής ισχύος. Η διασύνδεση μετάλλου ημιαγωγού θέτει ένα όριο για την επίτευξη των απαιτούμενων επιδόσεων. Για αυτό το λόγο δίνεται τα τελευταία χρόνια ιδιαίτερη προσοχή στην έρευνα για την ανάπτυξη της απαιτούμενη τεχνολογίας για την παράκαμψη των επαφών τύπου καλωδίου μέσω της οπτικοηλεκτρονικής. Η κύρια πρόκληση της οπτικοηλεκτρονικής σήμερα είναι η σύγκλιση της ηλεκτρονικής και της φωτονικής έτσι ώστε να γίνει δυνατή η παραγωγή οπτικοηλεκτρονικών ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (OEIC-optoelectronic integrated circuits) όπου θα συνυπάρχουν τα ηλεκτρικά και τα οπτικά φαινόμενα. Η προσπάθεια περιλαμβάνει την ολοκλήρωση των οπτικών συναρτήσεων (της εκπομπής φωτός, της κυματοδήγησης του, της διαμόρφωσης και τέλος της ανίχνευσης) βάσης των SOI (silicon-on-insulation) κυματοδηγών οι οποίοι είναι συμβατοί με την υπάρχουσα και ευρέως χρησιμοποιούμενη τεχνολογίας CMOS (Complementary metal oxide semiconductor). Η ανάλυση των φαινομένων που λαμβάνουν χώρα στους SOI κυματοδηγούς επειδή αυτοί αποτελούν το βασικό μέρος περίπλοκων δομών, όπως μικροδακτυλίους συντονισμούς και δομές φωτονικών κρυστάλλων, είναι ένα αντικείμενο με πολύ μεγάλο ενδιαφέρον. Οι υπερταχύς μη γραμμικές οπτικές διαδικασίες στους SOI κυματοδηγούς είναι το αντικείμενο - 1 -

7 αυτής της εργασίας. Τα φαινόμενα που θα μελετηθούν ώστε να εξαχθεί ένα πρότυπο για την προσομοιωσή τους είναι η απορρόφηση δύο φωτονίων (TPA two photo absorption), η απορρόφηση από τους ελευθέρους φορείς (FCA free currier absorption), η διασπορά από το πλάσμα και το οπτικό φαινόμενο Kerr. Αυτά τα φαινόμενα επιδρούν στην διάδοση του οπτικού παλμού στον κυματοδηγό και δίνουν την διασταυρούμενης απορρόφησης διαμόρφωση φάσης (XAM cross-absorption modulation) την ιδιοδιαμόρφωση φάσης (SPM - self-phase modulation), την διασταυρούμενη διαμόρφωση φάσης (XPM cross-phase modulation), την ανάμιξη τεσσάρων κυμάτων (FWM- fourwave mixing) και την εξαναγκασμένη σκέδαση Raman (SRS- stimulated Raman scattering). Στόχος της εργασίας είναι η προσομοίωση της διασταυρούμενης διαμόρφωσης φάσης (XPM). Το μοντέλο που αναπτύσσεται είναι για την περίπτωση της μηδενικής διασποράς ώστε να μπορεί να γίνει περιγραφή της διάδοσης του παλμού μέσω της μεταβολής της έντασης και όχι μέσω της μηγραμμικής κυματικής εξίσωσης Schrödinger. Στο κεφάλαιο 1 γίνεται περιγραφή των μη γραμμικών οπτικών φαινομένων κατά την διάδοση παλμών ισχυρής έντασης και της προκαλούμενης διαμόρφωσης φάσης. Στο κεφάλαιο γίνεται εισαγωγή στους κυματοδηγούς και ειδικά στους SOI κυματοδηγούς τύπου νεύρωσης. Στο κεφάλαιο 3 περιγράφεται το μοντέλο για την προσομοίωση καθώς επίσης και ο τρόπος επίλυσης του συστήματος των εξισώσεων που προκύπτουν. Τέλος στο κεφάλαιο 4 δίνονται τα αποτελέσματα που προκύπτουν και οι προοπτικές. Μέρος των αποτελεσμάτων της εργασία παρουσιάστηκαν στο 34 0 International Conference on Micro & Nano Engineering που πραγματοποιήθηκε στην Αθήνα 15 με 19 Σεπτεμβρίου 008 (Korfiatis et al 008). - -

8 Κεφάλαιο 1 Διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων σε πυρίτιο και μη γραμμικά φαινόμενα Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφονται τα φαινόμενα που παρατηρούνται κατά την διάδοση ισχυρής δέσμης υπέρυθρης ακτινοβολίας σε ημιαγωγό και ειδικότερα σε πυρίτιο. Γίνεται αναφορά στα μη γραμμικά οπτικά φαινόμενα στα οποία υπόκειται η δέσμη και στις εφαρμογές τους για την διαμόρφωση της φάσης του κύματος

9 1.1 Διάδοση ηλεκτρομαγνητικού κύματος σε ένα μέσο. Πόλωση. Η αλληλεπίδραση του ηλεκτρομαγνητικού κύματος με ένα υλικό μπορεί να εκφραστεί από την πόλωση Ρ του μέσου, η οποία είναι ίση με την προκαλούμενη από το πεδίο διπολική ροπή ανά μονάδα όγκου στα άτομα του υλικού. Αυτή μπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση της συχνότητας ω του ηλεκτρο-μαγνητικού κύματος με ένα ανάπτυγμα σε μια σειρά δυνάμεων της έντασης του πεδίου Ε ω : () 1 ( ) ( 3) ω ω ω ω ω ω P= ε 0 χ E + χ E E + χ E E E... + (1.1) όπου ε 0 είναι η διαπερατότητα του κενού και χ (ι) είναι ο i τάξης τανυστής της ηλεκτρικής επιδεκτικότητας του μέσου. Οι γραμμικές οπτικές ιδιότητες του μέσου περιγράφονται από τον πρώτης τάξης τανυστή επιδεκτικότητας, ενώ οι υψηλότερης τάξης τανυστές επιδεκτικότητας περιγράφουν τα αντίστοιχης τάξης μη-γραμμικά οπτικά φαινόμενα. Σύμφωνα με την εξίσωση (1.1), το γραμμικό μέρος της πόλωσης είναι P ( ) ( ) ( ) ( ) ω = ε χ ω (1.). E ω Ομοίως η δεύτερης τάξης μη-γραμμική συνιστώσα της πόλωσης μπορεί να γραφεί ως P ( ) ( ) ( ) ( ;, ) Eω E 1 ω ω = ε χ ω ω ω. (1.3) 0 1 Η μη-γραμμική επιδεκτικότητα δεύτερης τάξης χ () είναι ένας τανυστής τρίτης τάξης ο οποίος έχει 3x9=7 στοιχεία και είναι υπεύθυνη για το γραμμικό ηλεκτροοπτικό φαινόμενο και την δημιουργία δεύτερης αρμονικής

10 Το γραμμικό ηλεκτροοπτικό φαινόμενο (Pockels) αναφέρεται στην διαδικασία μεταβολής του δείκτη διάθλασης ενός υλικού όταν εφαρμόζεται σ αυτό μια συνεχής τάσης. Τα υλικά με υψηλό μη-γραμμικό συντελεστή δεύτερης τάξης μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την παραγωγή αθροίσματος ή διαφοράς συχνοτήτων όταν εισέρχονται σε αυτά δύο μονοχρωματικά κύματα με την ίδια ή διαφορετικές συχνότητες. Η ειδική περίπτωση της δημιουργίας δεύτερης αρμονικής είναι αυτή όπου η συχνότητα της εξερχόμενης δέσμης από το υλικό αντιστοιχεί στο διπλάσιο της συχνότητας της εισερχόμενης δέσμης. Ειδικά για το πυρίτιο, λόγω του ότι η κρυσταλλική δομή του είναι κεντρο-συμμετρική ο τανυστής δεύτερης τάξης έχει μηδενικές συνιστώσες και δεν εμφανίζει το γραμμικό ηλεκτροοπτικό φαινόμενο (Pockels). Εικόνα 1. Α.Κυματοδηγός χωρίς εναπόθεση Si 3 N 4. Β. Κυματοδηγός με εναπόθεση Si 3 N 4 Ωστόσο αξίζει να σημειωθεί ότι πρόσφατα έχει δειχθεί από τους Jacobsen et al (006) ότι η εναπόθεση ενός πρόσθετου επιπέδου γυαλιού αζωτούχου πυριτίου (silicon nitride glass Si 3 N 4 ) σε ένα κυματοδηγό πυριτίου, εικόνα 1, προκαλεί σπάσιμο της συμμετρίας αντιστροφής με αποτέλεσμα την εμφάνιση του γραμμικού ηλεκτροοπτικού φαινομένου. Με αυτό τον τρόπο ο κυματοδηγός εμφανίζει ένα μη-γραμμικό συντελεστή δεύτερης τάξης χ () 15pmV -1. Η τρίτης τάξης μη-γραμμική πόλωση είναι της μορφής ( 3 ) ( σ ;,, ) ω1 ω ω3 P= ε Kχ ω ω ω ω E E E (1.4)

11 όπου ωσ = ω1+ ω + ω3, ε 0 η διηλεκτρική σταθερά του κενού, Ε ωi η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου με συχνότητα ω i και Κ μια σταθερά που εξαρτάται από τα ω 1, ω και ω 3. Ο λόγος της ύπαρξης της μη γραμμικής απόκρισης σχετίζεται με την κρυσταλλική δομή του υλικού και περιγράφεται από την τρίτης τάξης επιδεκτικότητα ( 3 ) ( χ ω ω ω ω. Αυτή είναι ένα τετάρτης τάξης τανυστής και άρα έχει 3χ7=81 σ ; 1,, 3) στοιχεία. Όταν έχουμε την ειδική περίπτωση όπου η εισερχόμενη δέσμη είναι μονοχρωματική η πόλωση τρίτης τάξης μπορεί να αναλυθεί σε δύο συνιστώσες την και την P ω 3 ( 3 ) = ε0 χ ( ωω ;, ωω, ) Eω Eω 4 (1.5) 1 = 3 3 ;,, E 3 ω. (1.6) 4 ( P ) 3ω ε0 χ ( ωωωω) Η πρώτη από τις δύο συνιστώσες της πόλωσης τρίτης τάξης η οποία δίνεται από την σχέση (1.5) περιγράφει τα φαινόμενα της εκφυλισμένης απορρόφησης δύο φωτονίων και του οπτικού φαινομένου Kerr. Στην σχέση (1.7) δίνεται ο συσχετισμός του πραγματικού μέρους της επιδεκτικότητας χ (3) με τον συντελεστή απορρόφησης δύο φωτονίων β και στην σχέση (1.8) ο συσχετισμός του φανταστικού μέρους της επιδεκτικότητας χ (3) με τον συντελεστή Kerr n ( I = ε ce /n ) : 0 0 3ω ( 3 β Im χ ) ( ω; ω, ω, ω) (1.7) c ε n 0 0 n 3 Re χ ωω ;, ωω), (1.8) 4cε 0n0 ( 3 ) ( Ο συντελεστής απορρόφησης δύο φωτονίων β και ο συντελεστής Kerr n εκφράζουν την εξάρτηση της απορρόφησης και του δείκτη διάθλασης του υλικού από το τετράγωνο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου της - 6 -

12 εισερχόμενης δέσμης. Οι σχέσεις για την απορρόφηση και τον δείκτη διάθλασης ενός υλικού είναι: α = α + βi (1.9) tot (ολική απορρόφηση = γραμμική απορρόφηση + απορρόφηση δύο φωτονίων) n= n + n I (1.10) 0 (δείκτης διάθλασης = γραμμικός δείκτης διάθλασης + μη γραμμικός δείκτης διάθλασης). Η δεύτερη από τις συνιστώσες της πόλωσης τρίτης τάξης, σχέση (1.6), περιγράφει την δημιουργία τρίτης αρμονικής. Αυτή παραλείπεται, στην περίπτωση του πυριτίου, όταν έχουμε χρήση συχνοτήτων στην τηλεπικοινωνιακή ζώνη γιατί το μονοχρωματικό φως με μήκος κύματος περίπου 1500nm δίνει μια παραγόμενη τρίτη αρμονική στην περιοχή του πράσινου χρώματος του οπτικού φάσματος η οποία απορροφάται ισχυρά από το πυρίτιο. 1. Απορρόφηση δύο φωτονίων. Για να έχουμε απορρόφηση δύο φωτονίων πρέπει να έχουμε ισχυρή έντασης υπέρυθρο φως το οποίο έχει πολύ χαμηλή γραμμική απορρόφηση από το πυρίτιο. Στην εικόνα 1. δίνεται μια σχηματική αναπαράσταση Εικόνα 1.. Σχηματικό διάγραμμα απορρόφησης δύο φωτονίων σε πυρίτιο. Α. Εκφυλισμένη περίπτωση, Β. Μη- εκφυλισμένη περίπτωση

13 της διαδικασίας απορρόφησης δύο φωτονίων στο πυρίτιο καθώς και οι δύο υποπεριπτώσεις της εκφυλισμένης και της μη εκφυλισμένης διαδικασίας. Γενικά θα πρέπει για να έχουμε απορρόφηση δύο φωτονίων η συνολική ενέργεια δύο φωτονίων να είναι μεγαλύτερη ή ίση του ενεργειακού χάσματος ( Eg = Ec Ev). Το αποτέλεσμα της απορρόφησης δύο φωτονίων είναι η διέγερση ενός ηλεκτρονίου από την ζώνη σθένους με την μεταπήδηση του στην ζώνη αγωγιμότητας αφήνοντας πίσω του μια οπή, κατά συνέπεια έχουμε την παραγωγή ενός ζεύγους ηλεκτρονίου-οπής. Επειδή το πυρίτιο είναι ένας ημιαγωγός έμμεσου ενεργειακού χάσματος η όλη διαδικασία της απορρόφησης προϋποθέτει την συνεισφορά ενός φωνονίου. Στην εκφυλισμένη περίπτωση έχουμε απορρόφηση δύο φωτονίων ίδιου μήκους κύματος λ ρ, σε αντίθεση με την μη εκφυλισμένη όπου έχουμε τα δύο φωτόνια με διαφορετικό μήκος κύματος. Ένα φωτόνιο με μήκος κύματος λ ρ από μια πηγή άντλησης και ένα φωτόνιο με λ s από μια πηγή σήματος αθροίζονται ώστε να έχουμε απορρόφηση δύο φωτονίων. Συνήθως στα πειράματα άντλησης-ανίχνευσης λ s > λ ρ έτσι ώστε ένα φωτόνιο από την πηγή σήματος να απορροφάται μόνο όταν υπάρχει και ένα φωτόνιο από την πηγή άντλησης. Αυτό το φαινόμενο χρησιμοποιείται στην διαμόρφωση διασταυρούμενης απορρόφησης, όπου μπορούμε να διαμορφώσουμε το σήμα με την βοήθεια μια πηγής άντλησης όπως αναλυτικότερα αναφέρεται στην ενότητα Ο ρυθμός αύξησης της συγκέντρωσης των ελευθέρων φορέων λόγω της απορρόφησης δύο φωτονίων και της μειωσής τους μέσω της διαδικασίας επανασύνδεσης ηλεκτρονίων οπών δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση ( ) dn t dt β I hω () t = ( ) N t τ. (1.11) Ο πρώτος όρος στο δεξιό μέρος της εξίσωσης περιγράφει την δημιουργία φορέων και ο δεύτερος τον ρυθμό επανασύνδεσης. Ο χρόνος επανασύνδεσης τ είναι περίπου 100ns στο πυρίτιο ως εκτεταμένο υλικό δηλαδή όταν αυτό έχει διαστάσεις τέτοιες που να μπορούμε - 8 -

14 να θεωρήσουμε ότι για το συγκεκριμένο πείραμα εκτείνεται στο άπειρο. Στην περίπτωση στην οποία το πυρίτιο αποτελεί τον πυρήνα ενός επίπεδου κυματοδηγού, όπως θα αναφερθεί εκτενώς στα επόμενα κεφάλαια, ο χρόνος επανασύνδεσης εξαρτάται πολύ από τις διαστάσεις και τον τύπο του κυματοδηγού. O χρόνος ζωής των ελευθέρων φορέων περιορίζει την ταχύτητα απόκρισης του πυριτίου σε συσκευές κυκλωμάτων διακοπτών και διαμόρφωσης οι οποίες βασίζονται στην έγχυση ελευθέρων φορέων. Η απορρόφηση δύο φωτονίων προκαλεί εξασθένιση της δέσμης κατά μήκος του κυματοδηγού η οποία περιγράφεται από την εξίσωση di dz = β I. (1.1) 1.3 Διασπορά λόγω ελευθέρων φορέων. Το φαινόμενο της διασποράς του δείκτη διάθλασης λόγω πλάσματος σχετίζεται με την πυκνότητα των ελευθέρων φορέων οι οποίοι υπάρχουν μια δεδομένη στιγμή σε ένα ημιαγωγό. Η μεταβολή της συγκέντρωσης των φορέων προκαλεί αλλαγή στο μιγαδικό δείκτη διάθλασης. Μεταβάλλει και το πραγματικό και το φανταστικό μέρος αυτού( n = n+ ik). Το πραγματικό μέρος του μιγαδικού δείκτη διάθλασης ενός μέσου είναι ο δείκτης διάθλασης του και το φανταστικό σχετίζεται με τον συντελεστή απορρόφησης του με την σχέση: 4π k α =. (1.13) λ H μεταβολή του μιγαδικού δείκτη διάθλασης μπορεί να εξαχθεί θεωρητικά με την χρήση του μοντέλου Drude - Lorentz. Από αυτό το μοντέλο παίρνουμε τις δύο εξισώσεις οι οποίες μας δείχνουν πως επιδρά η μεταβολή των ελευθέρων φορέων στην μεταβολή του συντελεστή απορρόφησης και του δείκτη διάθλασης. Αυτές είναι: - 9 -

15 3 e λ ΔNe ΔN h Δ α = 3 + 4π c ε0n mceμe mchμh και (1.14) e λ ΔNe ΔN h Δ n = + 8π c ε0n mce mch, (1.15) όπου e το φορτίο του ηλεκτρονίου, λ το μήκος κύματος, c η ταχύτητα του φωτός, ε 0 η διηλεκτρική σταθερά του κενού, n ο δείκτης διάθλασης του αδιατάρακτου πυριτίου, ΔΝ e και ΔΝ h είναι η μεταβολή της συγκέντρωσης των ηλεκτρονίων και των οπών αντίστοιχα (σε cm -3 ), m ce και m ch είναι η ενεργός μάζα των ηλεκτρονίων και των οπών αντίστοιχα και τέλος μ e και μ h είναι η ευκινησία των ηλεκτρονίων και των οπών. Για το πυρίτιο οι ενεργές μάζες αγωγιμότητας είναι m ce =0,6 m 0 και m ch =0,39 m 0 με m 0 συμβολίζουμε την μάζα ηρεμίας του ελευθέρου ηλεκτρονίου. Οι Soref και Bennett έχουν δείξει ότι υπάρχει απόκλιση μεταξύ των τιμών που προκύπτουν για τα Δα και Δn (εξ. 1.14, 1.15) από τους θεωρητικούς υπολογισμούς και τα πειραματικά δεδομένα. Έτσι έχουν προτείνει και έκτοτε χρησιμοποιούνται ευρέως εμπειρικές σχέσεις για τα μήκη κύματος των 1300nm και 1550nm για όταν έχουμε μεταβολή της συγκέντρωση των ελευθέρων φορέων στο πυρίτιο. Οι σχέσεις αυτές είναι για τα 1300nm Δ α = 6,0x10 Δ N + 4,0x10 ΔN e h (1.16) Δ n= 6, x10 Δ N + 6,0x10 ΔN 18 0,8 e h (1.17) και για τα 1550nm είναι Δ α = 8,5x10 Δ Ne + 6x10 ΔN h (1.18)

16 18 0,8 Δ n= 8,8x10 Δ Ne + 8,5x10 ΔN h. (1.19) Στην απορρόφηση δύο φωτονίων έχουμε πάντα δημιουργία ζευγών ηλεκτρονίου οπής και άρα για τις συγκεντρώσεις έχουμε ΔΝ e =ΔΝ h. Στις εξισώσεις 1.17 και 1.19 η εξάρτηση της μεταβολής του δείκτη διάθλασης από την μεταβολή στην συγκέντρωση είναι της μορφής ΔΝ 0,8. Αυτή είναι μια απόκλιση από την θεωρητικά προβλεπόμενη εξάρτηση όπως εξάγεται από το μοντέλο Drude Lorentz (εξ.1.15). Η απορρόφηση ελευθέρων φορέων α FC είναι ανάλογη της συγκέντρωσης των ελευθέρων φορέων N. Ο συντελεστής αναλογίας σ FC ονομάζεται ενεργός διατομή της απορρόφησης των ελευθέρων φορέων. Θεωρώντας ίσες τις συγκεντρώσεις οπών και ηλεκτρονίων από τις εξισώσεις (1.14) και (1.18) για τον συντελεστή απορρόφησης και ότι η εξάρτηση από το μήκος κύματος είναι της μορφής που προβλέπει η θεωρητική σχέση (1.14) μπορεί να εξαχθεί μια σχέση μεταξύ της ενεργού διατομής απορρόφησης των ελευθέρων φορέων σ FC και του μήκους κύματος λ. Αυτή είναι σ FC 17 λ = 1,45x10, (1.0) 1, 55 όπου το μήκος κύματος είναι σε μm και η ενεργός διατομή σε cm. Δηλαδή η ενεργός διατομή των ελευθέρων φορέων είναι ανάλογη του τετραγώνου του μήκους κύματος. Η εξασθένηση της έντασης της δέσμης καθώς διαδίδεται σε ένα υλικό ως αποτέλεσμα της απορρόφησης από τους ελευθέρους φορείς μπορεί να γραφεί ως di dz = σ N I, (1.1) FC FC όπου Ν CF είναι η πυκνότητα των ελευθέρων φορέων

17 1.4 Το οπτικό φαινόμενο Kerr. Το οπτικό φαινόμενο Kerr είναι υπεύθυνο για την εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση της εισερχόμενης δέσμης και σχετίζεται όπως έχει προαναφερθεί με το πραγματικό μέρος της ηλεκτρικής επιδεκτικότητας τρίτης τάξης μέσω της σχέσης n ( 3) 3Reχ =. (1.) 4cε 0n0 Το φαινόμενο Kerr είναι αυτό που ευθύνεται για την γραμμική εξάρτηση του δείκτη διάθλασης από την ένταση της εισερχόμενης δέσμης σύμφωνα με την σχέση n( I) = n0 + ni, (1.3) η οποία είναι της ίδια μορφής με την εξάρτηση της απορρόφησης από την ένταση της δέσμης ( ( ) a I = a+ β I ). 1.5 Θερμοοπτικό φαινόμενο. Κατά την απορρόφηση φωτός από ένα υλικό η θερμοκρασία του υλικού αυξάνεται. Αυτό συμβαίνει συνήθως λόγω της μεταφοράς ενέργειας από τους φορείς στο πλέγμα. Η ενέργεια των φορέων αυξάνεται λόγω της απορρόφησης δύο φωτονίων και της απορρόφησης ελευθέρων φορέων. Έχει αποδειχθεί από τους Johnson et al (006) ότι η κύρια αιτία αύξησης της θερμοκρασίας είναι η επανασύνδεση των ελευθέρων φορέων. Η αύξηση της θερμοκρασίας προκαλεί αλλαγή του δείκτη διάθλασης του οποίου η μεταβολή ως προς την θερμοκρασία για το μήκος κύματος 1550nm δίνεται από την σχέση - 1 -

18 dn dt 4 = 1,86x10 / K. (1.4) Ο Ghosha (1995) περιγράφει αναλυτικά την εξάρτηση του ρυθμού της μεταβολής του δείκτη διάθλασης ως προς την θερμοκρασία από το μήκος κύματος και την θερμοκρασία. Η αύξηση του δείκτη διάθλασης λόγω του θερμοοπτικού φαινομένου είναι σε αντίθεση με την μείωση του δείκτη διάθλασης που προκαλείται από τους ελευθέρους φορείς. Η μεταβολή στο δείκτη διάθλασης, η οποία προκαλείται από το θερμοοπτικό φαινόμενο στο πυρίτιο, γίνεται πιο αργά σε σύγκριση με την μεταβολή του δείκτη διάθλασης η οποία προκαλείται με την έγχυση φορέων όταν εφαρμοστεί τάση στο υλικό είτε από την μεταβολή της συγκέντρωσης των ελευθέρων φορέων λόγω απορρόφησης. 1.6 Εφαρμογές. Τα μη γραμμικά οπτικά φαινόμενα τρίτης τάξης μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε διάφορες εφαρμογές όπως την διαμόρφωση διασταυρούμενης απορρόφησης, την διαμόρφωση φάσης (με υποπεριπτώσεις την αυτοδιαμόρφωση φάσης και την διασταυρούμενη διαμόρφωση φάσης), την ανάμιξη τεσσάρων κυμάτων και την εξαναγκασμένη σκέδαση Raman Διαμόρφωση διασταυρούμενης απορρόφησης. Η προκαλούμενη απορρόφηση δύο φωτονίων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την διαμόρφωση ενός παλμού διερεύνησης (σήματος) μέσω του παλμού άντλησης. Όταν δύο δέσμες εισέρχονται στο υλικό από τις ποίες η μία ονομάζεται άντλησης και η άλλη διερεύνησης με διαφορετικές συχνότητες ω 1 και ω αντίστοιχα η πόλωση τρίτης τάξης είναι P 3 ( ) ω = ε χ ( ω ; ω, ω, ω ) Eω E 1 ω (1.5) ( ) ( )

19 αυτή η μη εκφυλισμένη διαδικασία απορρόφησης δύο φωτονίων( ω1 ω) είναι δύο φορές πιο ισχυρή από την περίπτωση της εκφυλισμένης( ω1 = ω) (εξ.1.5). Το ίδιο ισχύει και για το μη-εκφυλισμένο φαινόμενο Kerr. Η εικόνα 1.3 δείχνει αποτελέσματα τα οποία λαμβάνονται από πειράματα διαμόρφωσης διασταυρούμενης απορρόφησης δηλαδή την περίπτωση όπου η διαμόρφωση επιτυγχάνεται με την παρουσία ή την απουσία της δέσμης άντλησης ώστε να έχουμε ή να μην έχουμε απορρόφηση δύο φωτονίων. Σε αυτή δείχνεται η κανονικοποιημένη τιμή της εξερχόμενης έντασης ενός ασθενούς σήματος διερεύνησης ως μια συνάρτηση της χρονικής καθυστέρησης μεταξύ του ισχυρού παλμού άντλησης και του παλμού σήματος. Όταν ο παλμός διερεύνησης προπορεύεται του παλμού άντλησης, δηλαδή έχουμε αρνητική χρονική καθυστέρηση, η διάδοση του παλμού διερεύνησης γίνεται δίχως να δέχεται την επίδραση του παλμού άντλησης. Ωστόσο, στην μηδενική χρονική καθυστέρηση ο παλμός διερεύνησης υπόκειται και στην απορρόφηση δύο φωτονίων και στην απορρόφηση ελευθέρων φορέων και έτσι η συνολική απορρόφηση μεγιστοποιείται. Εικόνα 1.3. Πειραματικές καμπύλες της μεταδιδόμενης έντασης για διάφορες τιμές εισερχόμενης έντασης της δέσμης σήματος ως συνάρτηση της χρονικής καθυστέρησης μεταξύ των παλμών. Γραφική από Dekker et al(007)

20 Στους θετικούς χρόνους καθυστέρησης ο παλμός διερεύνησης υπόκειται σε απορρόφηση ελευθέρων φορέων από αυτούς που δημιουργήθηκαν από το προπορευόμενο παλμό άντλησης μέσω της απορρόφησης δύο φωτονίων. Από την καμπύλη της εξασθένισης της δέσμης συναρτήσει του χρόνου καθυστέρησης μπορεί να υπολογιστεί ο χρόνος ζωής των ελευθέρων φορέων με την ταύτιση μιας συνάρτησης εκθετικής μείωσης με τα πειραματικά δεδομένα στο μέρος της θετικής χρονικής καθυστέρησης. Ο χρόνος ζωής των ελευθέρων φορέων και η ταχύτητα με την οποία ο παλμός άντλησης δημιουργεί ελευθέρους φορείς είναι ένα μέτρο για την ταχύτητα απόκρισης των οπτικών διαμορφωτών Διαμόρφωση φάσης. Μεταβολή του δείκτη διάθλασης μπορεί να προκληθεί από το οπτικό φαινόμενο Kerr και τους ελευθέρους φορείς με αποτέλεσμα να έχουμε αλλαγή της φάσης του οπτικού σήματος. Υπάρχουν δύο τρόποι για την οπτική διαμόρφωση φάσης, η μία είναι αυτή που προκαλείται από το ίδιο το σήμα και αποκαλείται αυτοδιαμόρφωση φάσης ενώ η επίδραση ενός δεύτερου οπτικού σήματος μπορεί να οδηγήσει σε διασταυρούμενη διαμόρφωση φάσης. Αυτοδιαμόρφωση φάσης (Self-phase modulation SPM). Ο δείκτης διάθλασης μεταβάλλεται με την ισχύ του οπτικού σήματος λόγω του μη-γραμμικού φαινόμενου Kerr και των ελευθέρων φορέων οι οποίοι δημιουργούνται από την απορρόφηση δύο φωτονίων. Δηλαδή όταν ένας ισχυρός οπτικός παλμός διαδίδεται σε ένα μέσο προκαλεί μια ολίσθηση φάσης Δφ η οποία οφείλεται στα προαναφερόμενα μη γραμμικά φαινόμενα. Στην περίπτωση της συνεχούς λειτουργίας η ένταση είναι σταθερή και κατά συνέπεια είναι σταθερή και η προκαλούμενη αλλαγή φάσης ως προς τον χρόνο. Αλλά όταν έχουμε διάδοση πολύ μικρού χρονικού πλάτους παλμών η προκαλούμενη αλλαγή φάσης μεταβάλλεται ραγδαία. Η χρονική παράγωγος της αλλαγής της φάσης παράγει ένα τίναγμα(τιτίβισμα-chirp) στην συχνότητα διαμέσου του παλμού (εικ.1.4) σύμφωνα με την σχέση (1.6) Δω,

21 d ( Δϕ ) Δ ω =. (1.6) dt Εικόνα 1.4. Γραφική παράσταση της προκαλούμενη μεταβολής της φάσης και της ολίσθησης συχνότητας λόγω φαινομένου Kerr. (Dekker et al007). Ένας τιναγμένος παλμός είναι φασματικά διευρυμένος σε σύγκριση με ένα μη-τιναγμένο παλμό λόγω του ότι η πλευρά ανόδου δίνει μια θετική παράγωγο (d(δφ)/dt) (στην περίπτωση όπου έχουμε μια καθαρή (μόνο) μηγραμμικότητα Kerr) και η πλευρά καθόδου δίνει την αντίθετη αλλαγή φάσης οι οποίες έχουν ως αποτέλεσμα την ολίσθηση προς μεγαλύτερα και μικρότερα μήκη κύματος αντίστοιχα. Μια εκτίμηση για την προκαλούμενη ολίσθηση φάσης Δφ μπορεί να γίνει αν η Δφ εκφραστεί συναρτήσει του π και να υπολογιστεί με μέτρηση των κορυφών του φάσματος εξόδου του οπτικού παλμού. Στην εικόνα 1.5 φαίνεται η πειραματικώς παρατηρούμενη διεύρυνση του φάσματος που προκύπτει από την αυξανόμενη ολίσθηση φάσης λόγω της SPM κατά την διάδοση του παλμού σε ένα υλικό πάχους L (Dekker et al 007)

22 Εικόνα 1.5. Διεύρυνση του φάσματος λόγω SPM. Πειραματικά αποτελέσματα(dekker et al 007). Στην εικόνα 1.6 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της προσομοίωσης για την διεύρυνση του φάσματος λόγω SPM για διάφορα σημεία μέσα στο υλικό. Εικόνα 6. Διεύρυνση του φάσματος λόγω SPM. Αποτελέσματα προσομοίωσης.( Dekker et al 007). Διασταυρούμενη διαμόρφωση φάσης. Σε αντίθεση με την αυτοδιαμόρφωση φάσης, όπου ο ίδιος ισχυρός παλμός διαμορφώνει τον δείκτη διάθλασης του μέσου στο οποίο διαδίδεται για να παράγει τις νέες συνιστώσες στο φάσμα του, μπορούμε να έχουμε συνδυασμένη διαμόρφωση φάσης όπου μια δέσμη άντλησης τροποποιεί τον δείκτη διάθλασης του μέσου όταν είναι παρούσα έτσι ώστε να γίνει διαμόρφωση της φάσης μιας άλλης ασθενέστερης δέσμης. Αυτή η μη εκφυλισμένη διασταυρούμενη διαδικασία διαμόρφωσης ονομάζεται διασταυρούμενη διαμόρφωση φάσης της δέσμης διερεύνησης. Υπάρχουν τέσσερις διαφορετικές περιπτώσεις για την δυνατότητα μεταβολής του μήκους κύματος που μπορεί να προκληθεί βάσει των αρχών της διασταυρούμενης διαμόρφωσης φάσης. Σχηματικά δίνονται στην εικόνα

23 α β γ δ Εικόνα 1.7. Σχηματική αναπαράσταση της αλληλοεπικάλυψης των παλμών άντλησης και σήματος. Σε αυτή την απεικόνιση η αρχή του χρόνου είναι στην αριστερή μεριά κάθε αναπαράστασης. Έτσι στην περίπτωση (α) ο παλμός διερεύνησης (συνεχής γραμμή) προηγείται του παλμού άντλησης (διακεκομμένη) με αποτέλεσμα να μη επηρεάζεται ο παλμός διερεύνησης από τον παλμό άντλησης. Σε αυτή την περίπτωση το φάσμα του παλμού διερεύνησης δεν αλλάζει. Η περίπτωση (β) είναι εκείνη όπου έχουμε αλληλοεπικάλυψη των πλευρών ανόδου των παλμών. Η προκαλούμενη θετική μεταβολή (αύξηση) του δείκτη διάθλασης με τον χρόνο d(δn)/dt έχει ως συνέπεια την θετική μεταβολή (αύξηση) της φάσης με το χρόνο d(δφ)/dt. Αυτή η θετική μεταβολή (αύξηση) στην φάση προκαλεί βάσει της εξίσωσης (1.6) αρνητική ολίσθηση της φέρουσας συχνότητας του παλμού διερεύνησης δηλαδή προκαλεί ολίσθηση προς χαμηλότερες συχνότητες (ή μεγαλύτερα μήκη κύματος). Στην τρίτη περίπτωση (γ) τα δύο κέντρα των παλμών άντλησης και διερεύνησης ταυτίζονται και άρα γίνεται αντιστάθμιση της επίδρασης του παλμού άντλησης στο παλμό διερεύνησης δηλαδή η αρνητική ολίσθηση που προκαλείται από την πλευρά ανόδου των παλμών αντισταθμίζεται από την θετική ολίσθηση συχνότητας της πλευράς καθόδου των παλμών. Στην τέταρτη περίπτωση (δ) έχουμε ταύτιση των πλευρών καθόδου των παλμών και ο παλμός άντλησης προκαλεί στο παλμό αρνητική μεταβολή (μείωση) του δείκτη διάθλασης ως προς τον χρόνο και κατά συνέπεια αρνητική μεταβολή (μείωση) στην μεταβολή της φάσης με τον χρόνο που έχει ως τελικό αποτέλεσμα την θετική μεταβολή (αύξηση) της συχνότητας (μικρότερα μήκη κύματος) δηλαδή ολίσθηση του φέροντος μήκους κύματος του παλμού διερεύνησης προς μικρότερες τιμές. Από τα παραπάνω είναι φανερό, ότι η ολίσθηση του μήκους κύματος της δέσμης διερεύνησης δεν εξαρτάται μόνο από την ένταση της δέσμης

24 άντλησης αλλά και από το μήκος στο οποίο υπάρχει επικάλυψη μεταξύ των δεσμών δηλαδή το μήκος αλληλοεπικάλυψης(walk-off length) L w. Η αλλαγή της σχετικής θέσης του παλμού διερεύνησης ως προς τον παλμό άντλησης με την πάροδο του χρόνου προκαλείται λόγω των διαφορετικών ταχυτήτων ομάδας που έχουν οι δύο παλμοί αφού έχουν διαφορετικές συχνότητες. Όπως προκύπτει από τα προαναφερόμενα το μήκος στο οποίο έχουμε αλληλοεπικάλυψη των παλμών είναι ένα παράγοντας από τον οποίο εξαρτάται γραμμικά το μέγεθος της προκαλούμενης ολίσθησης του μήκους κύματος κατά την διασταυρούμενη διαμόρφωση φάσης Ανάμιξη τεσσάρων κυμάτων. Και η ανάμιξη τεσσάρων κυμάτων είναι ένα μη γραμμικό φαινόμενο το οποίο επίσης προκύπτει από την οπτική μη γραμμικότητα τρίτης τάξης Αυτό το φαινόμενο λαμβάνει χώρα μόνο όταν έχουμε δύο δέσμες με διαφορετικές συχνότητες ω 1 και ω να διαδίδονται σε ένα μη-γραμμικό μέσο. Η διαμόρφωση του δείκτη διάθλασης με συχνότητα την διαφορά των δύο συχνοτήτων δημιουργεί δύο πλευρικές ζώνες συχνοτήτων με συχνότητες τις διαφορές συχνοτήτων δηλαδή με συχνότητες ω 3 =ω 1 -(ω -ω 1 ) =ω 1 -ω και ω 4 =ω +(ω -ω 1 )=ω -ω 1. Εικόνα 1.8.Δημιουργία των νέων συνιστωσών συχνότητας μέσω της ανάμιξης τεσσάρων κυμάτων. Η δημιουργία της συχνότητας ω 3 περιγράφεται από την πόλωση τρίτης τάξης και έχει την μορφή P 3 ( ω ω = ε χ ) ( ω + ω ; ω, ω, ω ) Eω E 1 ω. (1.7) 4 ( ) ( ) 3 3 *

25 Η ανάμιξη των τεσσάρων κυμάτων είναι μια διαδικασία η οποία εξαρτάται από τις σχετικές φάσεις των δεσμών οι οποίες συμμετέχουν. Έτσι η προϋπόθεση για να έχουμε ανάμιξη είναι να ικανοποιείται η σχέση k = k k, (1.8) ω1 ω ω1 ω για μη αμελητέα απόσταση. Αυτό γίνεται όταν οι συχνότητες είναι σχεδόν οι ίδιες ή είναι η διασπορά του μέσου τέτοια ώστε να τηρείται η προϋπόθεση. Διαφορετικά ακόμη και αν ισχύει η σχέση (1.8) η ανάμιξη τεσσάρων κυμάτων δεν δίνει αισθητά αποτελέσματα. Η προϋπόθεση της ισχύος της σχέσης (1.8) για την ανάμιξη τεσσάρων κυμάτων, υπεισάγει μια πρόσθετη προϋπόθεση για την φάση σε σχέση με την απορρόφηση δύο φωτονίων και το φαινόμενο Kerr στα οποία δεν υπάρχει διαφορά φάσης και την σκέδαση Raman όπου δεν απαιτείται ταύτιση συχνότητας. Παρά την πρόσθετη πολυπλοκότητα που επιβάλλεται από το ταίριασμα φάσης η ανάμιξη τεσσάρων κυμάτων βρίσκει εφαρμογή στην ενίσχυση ευρυζωνικού σήματος όπου ενισχύεται ένα μέρος φάσματος και στην μετατροπή συχνότητας κατά την οποία παράγονται συχνότητες οι οποίες αρχικά δεν είναι διαθέσιμες Εξαναγκασμένη σκέδαση Raman. Η μη γραμμική απόκριση ενός διαφανούς οπτικού μέσου όταν σε αυτό διαδίδεται μια ισχυρή οπτική δέσμη είναι πολύ γρήγορη αλλά δεν είναι στιγμιαία. Αυτή η μη στιγμιαία απόκριση προκαλείται από τις ταλαντώσεις του κρυσταλλικού πλέγματος. Όταν οι ταλαντώσεις συνδέονται με ένα οπτικό φωνόνιο έχουμε την λεγόμενη σκέδαση Raman ενώ όταν συνδέεται με ένα ακουστικό φωνόνιο έχουμε την επονομαζόμενη σκέδαση Brillouin. Όταν για παράδειγμα δύο δέσμες με διαφορά συχνοτήτων τέτοια που να ταιριάζει σε μια μετάβαση Raman διαδίδονται σε ένα μέσο στο οποίο μπορεί να πραγματοποιηθεί σκέδαση Raman η δέσμη με το μεγαλύτερο μήκος κύματος υπόκειται σε οπτική ενίσχυση (οπτικό κέρδος) σε βάρος της δέσμης του μικρότερου μήκους - 0 -

26 κύματος. Όταν έχουμε διέγερση των ταλαντώσεων του πλέγματος έχουμε κατά συνέπεια και αύξηση της θερμοκρασίας. Το κέρδος (ενίσχυση) της δέσμης με το μεγαλύτερο μήκος κύματος χρησιμοποιείται συνήθως στους ενισχυτές Raman και στα λέιζερ Raman. Εκτός από την προαναφερθείσα εξαναγκασμένη σκέδαση Raman, υπάρχει επίσης και η αυθόρμητη σκέδαση Raman η οποία προκαλείται από τον κβαντικό θόρυβο, δηλαδή τις τυχαίες διακυμάνσεις των κβαντικών ποσοτήτων. Αυτή μπορεί να ερμηνευτεί ως ενίσχυση Raman του θορύβου του κενού. Στα στερεά υλικά, όπως το πυρίτιο, το φαινόμενο Raman εμφανίζεται μαζί με το φαινόμενο Kerr, το οποίο προκύπτει από την σχεδόν στιγμιαία απόκριση των ηλεκτρονίων στην ισχυρή εισερχόμενη δέσμη

27 - -

28 Κεφάλαιο Βασικά στοιχεία για τους κυματοδηγούς. SOI κυματοδηγοί τύπου νεύρωσης. Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφονται βασικά στοιχεία της θεωρίας για την διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στους κυματοδηγούς. Στην συνέχεια γίνεται ειδική αναφορά στους SOI (silicon-on-insulator) κυματοδηγούς και ειδικά στους τύπου νεύρωσης οι οποίοι είναι οι συνηθέστεροι που κατασκευάζονται με την τεχνολογία CMOS στις οπτικοηλεκτρονικές ολοκληρωμένες διατάξεις

29 .1 Οπτικός κυματοδηγός. Ολική ανάκλαση. Τρόποι πόλωσης και αλλαγή φάσης. Ένα επίπεδος οπτικός κυματοδηγός αποτελείται από ένα στρώμα διηλεκτρικού απείρων διαστάσεων (πυρήνας) που χρησιμεύει ως μέσο διάδοσης του οπτικού κύματος το οποίο περιβάλλεται από άλλα διηλεκτρικά υλικά (περίβλημα). Στην εικόνα.1 δίνεται το σχήμα της διατομής ενός επίπεδου κυματοδηγού απείρων διαστάσεων και πάχους h με τον πυρήνα να έχει δείκτη διάθλασης n 1 και το περίβλημα δείκτη διάθλασης n <n 1. εικόνα.1 Απεικόνιση ενός κυματοδηγού. Σύμφωνα με τον νόμο του Snell ( n 1 sinθ 1 = n sinθ ) για γωνίες μεγαλύτερες από μια κρίσιμη γωνία θ c, που δίνεται από την σχέση: sin n θ = c n (.1) 1 θα έχουμε ολική ανάκλαση της δέσμης στο εσωτερικό του κυματοδηγού και κατά συνέπεια μηδενική απώλεια ενέργειας στο περίβλημα του (εικόνα.). Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι εγκάρσια κύματα και καθορίζονται δύο ειδικές προϋποθέσεις για την διεύθυνση ταλάντωσης των πεδίων. Όταν το ηλεκτρικό πεδίο έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο πρόσπτωσης της δέσμης τότε το κύμα αναφέρεται ως εγκάρσιο ηλεκτρικό ΤΕ (transverse electric) ενώ όταν το μαγνητικό πεδίο έχει διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο πρόσπτωσης της δέσμης αναφέρεται αντίστοιχα ως εγκάρσιο μαγνητικό κύμα ΤΜ (transverse magnetic). Ο συντελεστής ανάκλασης r μας δίνει το λόγο της έντασης του ανακλωμένου κύματος προς την ένταση του προσπίπτοντος κύματος. Στην πράξη μετράμε της - 4 -

30 ανακλώμενη προς την προσπίπτουσα ισχύ και έτσι ορίζουμε την ανακλαστικότητα R για την οποία ισχύει R S E = r r r S = i E = (.) i όπου S r και S i το διάνυσμα Pointing ( S ε m μ = E ) για την ανακλώμενη και την m εισερχόμενη δέσμη. Ο τύπος του Fresnel για τον συντελεστή ανάκλασης της προσπίπτουσας δέσμης για την ΤΕ πόλωση είναι: r TE n1cosθ1 n n1 sin θ1 = n cosθ + n n sin θ , (.3) και την ΤΜ πόλωση: r TM n cosθ1 n1 n n1 sin θ1 = n cosθ + n n n sin θ (.4) Για μια γωνία πρόσπτωσης θ1 θc μπορεί να προσδιοριστεί η μεταβολή της φάσης που προκαλείται στο κύμα κατά την ολική ανακλασή του στην διεπιφάνεια των δύο υλικών βάσει της σχέσης για τον συντελεστή ανάκλασης r = exp( jϕ ) και του γεγονότος ότι στην ολική ανάκλαση ισχύει r = 1. Έτσι προκύπτουν οι παρακάτω σχέσεις ϕ TE sin n θ 1 n 1 1 = tan (.5) cosθ 1-5 -

31 ϕ TM n sin θ1 1 n 1 1 = tan (.6) n cosθ1 n1.φάση και κυματάνυσμα του διαδιδόμενου κύματος.. Ένα οδεύον ηλεκτρικό κύμα περιγράφεται από την εξίσωση (, ) = exp ( ±ω ) E zt E0 i kz t (αντίστοιχα και για το μαγνητικό πεδίο) όπου η ποσότητα στην παρένθεση είναι η φάση του κύματος φ. Έτσι η ϕ = kz ± ωt είναι μια συνάρτηση της θέσης και του χρόνου. Το απόλυτο της παραγώγου της φάσης ως προς το χρόνο μας δίνει την κυκλική συχνότητα ω ϕ = ω = π f (.7) t (f είναι η συχνότητα του κύματος) Επίσης η παράγωγος της φάσης ως προς την θέση μας δίνει την σταθερά διάδοσης ή κυματάριθμο του κύματος, ϕ = z η οποία σχετίζεται με το μήκος κύματος με την σχέση k (.8) π k =. Αν k 0 είναι το λ κυματάριθμο στο ελεύθερο χώρο τότε k = nk0 όπου n είναι ο δείκτης διάθλασης..3 Τρόποι λειτουργίας ενός κυματοδηγού. Από την επίλυση των εξισώσεων Maxwell με τους περιορισμούς οι οποίοι τίθενται από τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του κυματοδηγού και τα υλικά από τα οποία αποτελείται ο πυρήνας και το περίβλημα καθώς επίσης και από τις συνθήκες συνέχειας για το πεδίο στην διεπιφάνεια μεταξύ των υλικών προκύπτει ότι σε συγκεκριμένο κυματοδηγό το φως δεν μπορεί να διαδοθεί με οποιαδήποτε γωνία θ αλλά με ορισμένες διακριτές τιμές γωνίας. Κάθε επιτρεπτή λύση αναφέρεται ως - 6 -

32 τρόπος ταλάντωσης και η ακέραια τιμή που την χαρακτηρίζει ονομάζεται αριθμός τρόπου λειτουργίας. Μια απλή παρουσίαση της διαδικασίας για την εύρεση των επιτρεπτών τρόπων λειτουργίας σε ένα επίπεδο κυματοδηγό μπορεί να γίνει με την ανάλυση που δίνεται στην εικόνα.. Σε αυτή την περίπτωση έχουμε μια εισερχόμενη δέσμη η οποία ανακλάται διαδοχικά στην άνω και την κάτω διεπιφάνεια μεταξύ πυρήνα και υλικού. Το στρώμα του πυρήνα έχει πάχος h. Το κύμα περιορίζεται να κινείται στο y- z επίπεδο με διεύθυνση διάδοσης αυτή του άξονα z. Μπορούμε να αναλύσουμε το αρχικό κυματάνυσμα k ( k = nk 1 0) στους y και z άξονες και έχουμε k = nk sinθ (.9) z k = nk cosθ (.10) y εικόνα.ολική ανάκλαση στο εσωτερικό ενός κυματοδηγού. Από την ανάλυση του κυματανύσματος στις δύο διευθύνσεις μπορούμε να πούμε ότι κατά τον άξονα y έχουμε ένα στάσιμο κύμα και άρα για να συνεχίζει να υπάρχει θα πρέπει μετά από μια πλήρη διαδρομή μεταξύ των δύο διεπιφανειών η συνολική μεταβολή στην φάση να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του π. εικόνα.3 Τριγωνική σχέση

33 Αν φ u και φ l είναι η μεταβολή στην φάση του κύματος που προκύπτει από την ανακλασή του στην πάνω και κάτω διεπιφάνεια αντίστοιχα τότε έχουμε Δ φ = nk hcosθ ϕ ϕ = mπ (.11) u l Η εξίσωση.11 μπορεί να ικανοποιείται μόνο από διακριτές τιμές για την γωνία θ 1. Κάθε επιτρεπτή λύση της εξίσωσης.11 αναφέρεται ως τρόπος διάδοσης και η ακέραια τιμή του m ονομάζεται αριθμός του τρόπου διάδοσης. Για να δηλωθεί η διάδοση ενός εγκάρσιου ηλεκτρικού κύματος σε ένα κυματοδηγό με κάποιο τρόπο διάδοσης χρησιμοποιείται ο συμβολισμός TE m. O TE 0 είναι ο πρώτος επιτρεπτός όταν έχουμε διάδοση σε μια διάσταση και χαρακτηρίζεται από την μικρότερη τιμή του m που είναι το μηδέν..4 Τύποι κυματοδηγών. Αν ο πυρήνας του κυματοδηγού καλύπτεται στο πάνω μέρος του από υλικό με τον ίδιο δείκτη διάθλασης ή πολύ παραπλήσιο με αυτόν του υλικού που καλύπτει το κάτω μέρος τότε λέμε ότι έχουμε ένα συμμετρικό κυματοδηγό. Διαφορετικά έχουμε τον λεγόμενο αντισυμμετρικό κυματοδηγό. Δηλαδή όπως φαίνεται στην εικόνα.4 συμμετρικό κυματοδηγό έχουμε όταν n1 = n3 < n, και αντισυμμετρικό όταν n1 n3 < n. εικόνα.4 Οι κυματοδηγοί επίσης διαχωρίζονται με βάση τον περιορισμό της διάδοσης του οπτικού κύματος ως προς μία ή περισσότερες διευθύνσεις. Αν το διαδιδόμενο κύμα περιορίζεται μόνο κατά μία διάσταση τότε λέμε ότι έχουμε ένα επίπεδο - 8 -

34 κυματοδηγό μιας διάστασης όπου το μέσο στο οποίο διαδίδεται το κύμα έχει πεπερασμένο πλάτος μόνο στην διάσταση x και άπειρο στην y διάσταση(εικόνα.4). Αν η διάδοση περιορίζεται και κατά την διάσταση y τότε μιλάμε για επίπεδο κυματοδηγό δύο διαστάσεων. Στην εικόνα.5 δίνονται διαμορφώσεις κυματοδηγών δύο διαστάσεων που συναντώνται κυρίως στην οπτικοηλεκτρονική. Στην.5.α έχουμε την εμφυτευμένη διαμόρφωση, στην εικ..5.β την επικαθούμενη στην εικ..5γ την διαμόρφωση νεύρωσης και τέλος στην εικ..5δ την διαμόρφωση λουρίδας. εικόνα.5 Τύποι κυματοδηγών ολοκληρωμένων οπτικών διατάξεων..5 Κυματοδηγοί πυριτίου πάνω σε μονωτή- SOI (silicon - on insulator) Το σημαντικό τεχνολογικό ενδιαφέρον για τους SOI κυματοδηγούς προέρχεται από την δυνατότητα που υπάρχει για την διαμόρφωση ως προς την φάση και το πλάτος ενός οπτικού σήματος στο πυρίτιο. Ένας SOI κυματοδηγός έχει την γενική διαμόρφωση της εικόνας

35 εικόνα.6. Το στρώμα στο οποίο διαδίδεται το κύμα είναι το ανώτερο επίπεδο στην εικόνα.6 και έχει πάχος λίγων μικρομέτρων. Το στρώμα του SiO έχει πάχος της τάξης του μισού μικρομέτρου και παίζει το ρόλο του περιβλήματος που αποτρέπει την διείσδυση του πεδίου στο υπόστρωμα το οποίο είναι από πυρίτιο. Το πάχος του στρώματος του SiO επιλέγεται έτσι ώστε το πεδίο που διεισδύει σε αυτό για τον συγκεκριμένο τρόπο λειτουργίας του να μη το διαπερνάει. Για να έχουμε ένα συμμετρικό κυματοδηγό πρέπει να προστεθεί στην επιφάνεια ένα στρώμα διοξειδίου του πυριτίου. Ο κυματοδηγός αέρα-πυριτίου-διοξειδίου του πυριτίου μπορεί να θεωρηθεί ως ένας συμμετρικός κυματοδηγός, λόγω του ότι η τιμή του δείκτη διάθλασης του διοξειδίου του πυριτίου (n SiO =1,5) προσεγγίζει την τιμή του αέρα (n α =1) σε σχέση με την τιμή του δείκτη διάθλασης του πυριτίου (n Si =3,5). Κατασκευαστικά προτιμείται η διαμόρφωση τύπου νεύρωσης (rib) για την δημιουργία ενός SOI κυματοδηγού λόγω του ότι η χάραξη του πυριτίου με την οποία κατασκευάζεται είναι μια διαδικασία η οποία είναι ευρέως χρησιμοποιούμενη. Η διαμόρφωση τύπου νεύρωσης είναι ένας κυματοδηγός δύο διαστάσεων η διατομή του οποίου φαίνεται στην εικόνα.7. εικόνα

36 .6 Τρόποι λειτουργίας σε κυματοδηγούς δύο διαστάσεων. Στις δύο διαστάσεις υπάρχουν δύο ακέραιοι οι οποίοι χαρακτηρίζουν τον κάθε τρόπο λειτουργίας ενός κυματοδηγού. Χρησιμοποιούνται δύο κύριες συμβάσεις για να περιγραφούν οι διάφοροι τρόποι λειτουργίας, ο ένας ξεκινάει την αρίθμηση από το 00 και ο άλλος από το 11. Στην περίπτωση των κυματοδηγών δύο διαστάσεων, παρόμοια με τους κυματοδηγούς μιας διάστασης, ορίζονται οι σχεδόν εγκάρσιοι ηλεκτρικοί τρόποι (quasi-te modes) και οι σχεδόν εγκάρσιοι μαγνητικοί τρόποι(quasi-tμ modes), όπου για τους μεν ηλεκτρικούς δεν υπάρχει προβολή του ηλεκτρικού πεδίου στον άξονα z και αντίστοιχα για τους μαγνητικούς δεν υπάρχει προβολή του μαγνητικού πεδίου στο z (ο άξονας z είναι ο άξονας διάδοσης του κύματος). Τέλος ορίζονται οι ΕΗ τρόποι λειτουργίας ανάλογα αν το κύμα είναι περισσότερο πολωμένο στο άξονα x ή y αντίστοιχα. Πολλές φορές χρησιμοποιείται και ο συμβολισμός E x p,q για τους ΗΕ τρόπους και E y p,q για τους ΕΗ. Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι οι βασικοί τρόποι για τους ηλεκτρικούς είναι οι E x 0,0 ή E y 0,0. Λόγω του ότι η δύο διαστάσεων κυματική εξίσωση, η οποία προκύπτει για τους σχεδόν εγκάρσιους ηλεκτρικούς τρόπους λειτουργίας ή για τους σχεδόν εγκάρσιους μαγνητικούς τρόπους λειτουργίας, δεν μπορεί να λυθεί αναλυτικά με τις περίπλοκες συνοριακές συνθήκες που θέτουν οι πραγματικές δομές, έχουν αναπτυχθεί αριθμητικές λύσεις ή ημι-αναλυτικές μέθοδοι. Μια ημι-αναλυτική μέθοδος επίλυσης του προβλήματος είναι η μέθοδος του ενεργού δείκτη διάθλασης και μια αριθμητική μέθοδος είναι των πεπερασμένων διαφορών. Η μέθοδος του ενεργού δείκτη διάθλασης δεν δίνει ακριβή αποτελέσματα για περίπλοκες δομές ή ελλιπώς περιορισμένους τρόπους λειτουργίας και όταν υπάρχουν μεγάλα άλματα στο δείκτη διάθλασης. Έχει αποδειχτεί ότι ο περιορισμός των διαστάσεων του κυματοδηγού οδηγεί στον περιορισμό των δυνατών τρόπων λειτουργίας οι οποίοι μπορούν να διαδοθούν σε αυτόν. Για διαστάσεις της τάξης των 0, μm η διάδοση γίνεται μόνο με τον βασικός τρόπος

37 εικόνα.8. Ορισμός των παραμέτρων κυματοδηγού τύπου νεύρωσης. Η προϋπόθεση για να πραγματοποιείται διάδοση μόνο με τον βασικό τρόπο σε ένα κυματοδηγό τύπου νεύρωσης είναι να ικανοποιείται η ακόλουθη σχέση (Pogossian et al 1998): a b r 1 r, (.1) όπου τα a, b και r ορίζονται όπως φαίνονται στην εικόνα Μήκος αλληλοεπικάλυψης Διασπορά ταχύτητας ομάδας Η προκαλούμενη ολίσθηση φάσης στα πειράματα άντλησης διερεύνησης δεν εξαρτάται μόνο από την ένταση της δέσμης άντλησης αλλά επίσης από το μήκος στο οποίο εξακολουθεί να υπάρχει αλληλοεπικάλυψη των δύο παλμών. Λόγω του ότι οι κυματοδηγοί πυριτίου με διαστάσεις μικρότερες του μικρομέτρου παρουσιάζουν ισχυρή διασπορά, ο παλμός άντλησης γενικά διαδίδεται με διαφορετική ταχύτητα από αυτή του παλμού σήματος. Το μήκος στο οποίο υπάρχει επικάλυψη των παλμών άντλησης και διερεύνησης ονομάζεται μήκος αλληλοεπικάλυψης L w (walk-off length). Για τον υπολογισμό του μήκους αλληλοεπικάλυψης πρέπει να είναι γνωστή η διασπορά του κυματοδηγού. Οι όροι διασποράς υψηλότερης τάξης εξαρτώνται και από τις διαστάσεις του κυματοδηγού και από την διασπορά του υλικού. Μπορεί να εξαχθεί μια σχέση η οποία να περιγράφει τη διασπορά του υλικού από την σχέση που συνδέει το δείκτη διάθλασης με το μήκος κύματος. Η σχέση του - 3 -

38 δείκτη διάθλασης με το μήκος κύματος μπορεί να προσεγγιστεί από τους τύπου των Sellmeier, Hartmann ή Cauchy. Ο τύπος του Cauchy έχει την μορφή n ( λ ) B = A+ (.13) 6 ( 10 λ ) όπου Α και Β είναι οι παράμετροι προσαρμογής του Cauchy και λ είναι το μήκος κύματος σε nm. Είναι προτιμότερη η έκφραση για τον δείκτη διάθλασης να είναι ως συνάρτηση της συχνότητας, αυτό μπορεί να γίνει απλά βάσει της σχέσης n B = + 6 π c 10 ω ( ω) A. (.14) Είναι γνωστό ότι η σταθερά διάδοσης (ή κυματάνυσμα) μπορεί να γραφεί ως ω β( ω) = n( ω) (.15) c και αν αναπτυχθεί σε μια σειρά Taylor γύρω από μια ορισμένη συχνότητα ω 0 δίνει την ακόλουθη έκφραση β( ω) = β0 + β1( ω ω0) + β( ω ω0) + β3( ω ω0) + β4( ω ω0) (.16) Η έκφραση αυτή διευκολύνει την αναλυτική και αριθμητική διερεύνηση της διασποράς. Οι σταθερές β j της παραπάνω έκφρασης περιγράφουν διάφορα φυσικά φαινόμενα που καθορίζουν την διάδοση ενός παλμού σε ένα μέσο. Ο πρώτος όρος β 0 σχετίζεται με την ταχύτητα φάσης σύμφωνα με την σχέση: ω π n 0 eff u ϕ β0 = = (.17). λ

39 Ο δεύτερος όρος β 1, αναφέρεται ως το αντίστροφο της ταχύτητας ομάδας. Ο β 1 περιγράφει την καθυστέρηση ομάδας και είναι αντιστρόφως ανάλογος της ταχύτητα u g της περιβάλλουσας του παλμού, δηλαδή ( ω) ( λ) dβ 1 dn 1 dn 1 β1 = = n( ω) + ω = n( ω) λ = dω c dω c dλ ug (.18). Η διασπορά της ταχύτητας ομάδας (GVD-group velocity dispersion) η οποία προκαλεί συμμετρική διεύρυνση του παλμού αναπαρίσταται από το β και μπορεί να γραφεί ως ( ω) ( ω) dβ1 1 dn d n β = = + ω. (.19) dω c dω dω Για το μήκος κύματος όπου το β είναι μηδέν η περιβάλλουσα του κύματος δεν αλλάζει με τον χρόνο και κατά συνέπεια αυτό αποκαλείται μήκος κύματος μηδενικής διασποράς. Για πρακτικούς λόγους συνήθως χρησιμοποιείται η παράμετρος διασποράς D (ps(km x nm) -1 ) η οποία σχετίζεται με την β βάση της σχέσης = d c λ = λ. (.0) β1 π D β d Γενικά πρέπει να λαμβάνονται υπόψη και οι ανώτερης τάξης όροι της διασποράς όταν έχουμε να κάνουμε με παλμούς υψηλής ισχύος και πολύ μικρής διάρκειας. Η εικόνα.9 δείχνει την διασπορά του πυριτίου (πειραματικές τιμές) και της προσομοίωσης της διασποράς για διάφορες γεωμετρίες SOI κυματοδηγών. Όπως φαίνεται στο σχήμα, η διασπορά του κυματοδηγού είναι μιας τάξης μεγέθους υψηλότερη από την διασπορά του υλικού

40 εικόνα.9 Διασπορά πυριτίου και διασπορά για μερικούς κυματοδηγούς πυριτίου με διαφορετικές διαστάσεις. (Dekker et al 007) Οι ενεργοί δείκτες διάθλασης για τους κυματοδηγούς στην παραπάνω γραφική παράσταση για τις διάφορες γεωμετρίες κυματοδηγών έχουν γίνει με το πρόγραμμα προσομοίωσης και σχεδιασμού ολοκληρωμένων οπτικών στοιχείων Olympios της εταιρείας CV (Dekker et al 007). Τα πολύ ισχυρά φαινόμενα διασποράς έχουν ως αποτέλεσμα το μήκος αλληλοεπικάλυψης να είναι ένα σημαντικό πρόβλημα στον σχεδιασμό των κυματοδηγών και ειδικά όταν χρησιμοποιούνται στην διασταυρούμενη διαμόρφωση φάσης. Όπως έχει προαναφερθεί το μήκος αλληλοεπικάλυψης L w αναπαριστά την απόσταση στην οποία οι περιβάλλουσες του παλμού άντλησης και του παλμού διερεύνησης επικαλύπτονται (άρα μόνο για αυτή την απόσταση έχουμε αλληλεπίδραση μεταξύ των παλμών) και δίνεται από την έκφραση: L w ( λ ) = T 0 ( ) ( ) β λ β λ 1p 1s (.1) όπου Τ 0 είναι το εύρος του παλμού στο 1/e της έντασης και β 1p (λ) και β 1s (λ) είναι ο πρώτης τάξης συντελεστής διασποράς για τα αντίστοιχα μήκη του παλμού άντλησης και σήματος αντίστοιχα. Στην εικόνα.10 φαίνεται ο συντελεστής πρώτης τάξης διασποράς για διάφορα πλάτη ενός SOI κυματοδηγού με σταθερό ύψος 300nm και επίσης το μήκος αλληλοεπικάλυψης για μήκη κύματος παλμών άντλησης και διερεύνησης 1554nm και 1683nm αντίστοιχα. Για την εξαγωγή των αποτελεσμάτων

41 του σχήματος.10 χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα της PhoeniX λαμβάνοντας υπόψη την διασπορά του υλικού (Dekker et al 007). Παρατηρείται ότι το πλάτος του κυματοδηγού είναι μια κρίσιμη παράμετρος η οποία έχει σημαντική επίπτωση στην αλληλεπίδραση μεταξύ των παλμών άντλησης και σήματος και επομένως στην μέγιστη εφικτή μετατροπή μήκους κύματος. Επίσης επιδρά στην αποδοτικότητα της μετατροπής καθώς αυτή αυξάνει με το L w. Από την έκφραση για το μήκος αλληλοεπικάλυψης L w φαίνεται ότι αυτό αυξάνει γραμμικά συναρτήσει του πλάτους του παλμού και προκύπτει το συμπέρασμα ότι μπορεί να αυξηθεί το μήκος αλληλοεπικάλυψης αυξάνοντας το πλάτος του παλμού αλλά αυτό έχει αρνητική επίπτωση στην απόδοση της μετατροπής μήκους κύματος στην διασταυρούμενη διαμόρφωση φάσης λόγω ότι αυτή θα έχει λιγότερο απότομη περιβάλλουσα. εικόνα.10 Αριστερά είναι η πρώτης τάξης διασπορά ως συνάρτηση του μήκους κύματος. Δεξιά είναι η γραφική παράσταση του μήκους αλληλοεπικάλυψης ως συνάρτηση του πλάτους του κυματοδηγού Οι τελείες στην αριστερή γραφική παράσταση της εικόνας.10 σημειώνουν τα μήκη κύματος των δεσμών άντλησης και διερεύνησης που χρησιμοποιούνται στην εργασία. Η τελεία στην δεξιά γραφική παράσταση δείχνει την τιμή του μήκους αλληλοεπικάλυψης μεταξύ του παλμού άντλησης και διερεύνησης για SOI κυματοδηγούς διαστάσεων 450nm x 300nm. Βασικά ένας SOI κυματοδηγός μπορεί να σχεδιαστεί έτσι ώστε να μην υπάρχει ο περιορισμός του μήκους αλληλοεπικάλυψης(δηλαδή να τείνει στο άπειρο) για ένα ορισμένο σύνολο μηκών κύματος. Αυτό είναι δύσκολο στην κατασκευή γιατί απαιτεί η ακρίβεια στην διαδικασία παραγωγής να είναι της τάξης του nm. Είναι ευκολότερο να επιλεχθούν

42 τα μήκη κύματος άντλησης και σήματος έτσι ώστε να έχουν περίπου ίσες αντίστροφες ταχύτητες ομάδας, δηλαδή β p =β s. Για να αναδειχθεί η επίδραση της γεωμετρίας του κυματοδηγού στους συντελεστές διασποράς πρώτης τάξης με μεγαλύτερη λεπτομέρεια παρουσιάζονται στην εικόνα.11 τα αποτελέσματα της προσομοίωσης τα οποία έχουμε ήδη χρησιμοποιηθεί στην εικόνα.10 αλλά σε μια επιφανειακή χάραξη γραφικής. εικόνα.11. Αριστερά η γραφική παράσταση του συντελεστή διασποράς πρώτης τάξης β1 για TM πόλωση και δεξιά για ΤΕ πόλωση. Το ύψος του SOI κυματοδηγού είναι 300 nm. Η εικόνα.11 δείχνει τους συντελεστές διασποράς πρώτης τάξης και για τις δύο πολώσεις ΤΜ, ΤΕ για ένα SOI κυματοδηγό με πάχος 300nm. Οι καμπύλες γραμμές αναπαριστούν παραδείγματα από ίσες τιμές διασποράς. Είναι δυνατό να επιτευχθεί αποδοτική αλληλεπίδραση μεταξύ των παλμών άντλησης και διερεύνησης για πλάτη κυματοδηγών όπου η οριζόντια γραμμή να τέμνει σε δύο σημεία την καμπύλη της ίσης διασποράς. Δηλαδή η διαφορά μεταξύ των ταχυτήτων ομάδας να είναι μικρή. Τα δύο αυτά σημεία τομής που αντιστοιχούν στα μήκη κύματος του παλμού άντλησης λ p και σήματος λ s επιλέγονται έτσι ώστε να ταιριάζουν με την τομή μεταξύ του πλάτους του κυματοδηγού και της καμπύλης ίσης διασποράς. Συμπεραίνεται από την εικόνα.11 ότι υπάρχει μόνο μια μικρή περιοχή κατάλληλων πλατών για την ΤΕ πόλωση για ένα κυματοδηγό ύψους 300nm

43 .8 Δείκτης διάθλασης και συντελεστής απωλειών οπτικών κυματοδηγών. μορφή Ο δείκτης διάθλασης γενικά είναι μια μιγαδική ποσότητα η οποία έχει την n = nr + in I (.) και ορίζεται σαν n = k k 0 (.3) όπου k και k 0 το κυματάνυσμα μέσα στο υλικό και στο κενό (ή στον αέρα) αντίστοιχα. γραφεί ως Οπότε η γενική έκφραση για το ηλεκτρικό πεδίο του κύματος μπορεί να E = E e = E e = E e e e. (.4) i( kz ωt) inkz ( 0 ω t ) inkz R 0 nkz I 0 iωt Η σχέση αυτή δείχνει ότι όταν το φανταστικό μέρος του δείκτη διάθλασης είναι μη μηδενικό τότε το οπτικό κύμα σβήνει εκθετικά καθώς αυτό διαδίδεται. Ο όρος αυτός, δηλαδή ο 1 nkz I 0 e, συνήθως γράφεται στη μορφή e az έτσι ώστε η εξασθένηση της δέσμης να έχει την μορφή I = Ie az 0. Ο συντελεστής α ονομάζεται συντελεστής απωλειών του υλικού. Να σημειωθεί ότι στους SOI κυματοδηγούς οι απώλειες είναι της τάξης 0,1-0,5dB/cm..9 Αιτίες που προκαλούν απώλειες σε ένα οπτικό κυματοδηγό. Σε ένα κυματοδηγό οι απώλειες που προκαλούνται στο οπτικό κύμα καθώς διαδίδεται προέρχονται κυρίως από τρεις αιτίες, την σκέδαση, την απορρόφηση και την ακτινοβολία. Κάθε μία από αυτές έχει διαφορετική συνεισφορά στις απώλειες και