Σολιτόνια σε μείγματα συμπυκνωμάτων Bose-Einstein

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Σολιτόνια σε μείγματα συμπυκνωμάτων Bose-Einstein Βάσος Αχιλλέως Διδακτορική Διατριβή Αθήνα, 214

2

3 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Συμπυκνώματα Bose-Einstein Υλικά κύματα σολιτονίων σε BEC Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων Θεωρία μέσου πεδίου για μείγματα αποτελούμενα από δυο BEC Σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο Ακριβής λύση Αδιαβατική θεωρία διαταραχών για σκοτεινά-φωτεινά σολιτόνια Ταλαντώσεις στο παραβολικό δυναμικό Απώλειες λόγω πεπερασμένης θερμοκρασίας Σολιτονικά «μόρια» Αλληλεπιδράσεις σκοτεινών-φωτεινών σολιτονίων «Μόριο» σολιτονίων στην παραβολική παγίδα Μόρια σολιτονίων σε πεπερασμένη θερμοκρασία Άλλες εντοπισμένες λύσεις σε μείγματα BEC Ταλαντούμενα σκοτεινά-σκοτεινά σολιτόνια Σκοτεινά-σκοτεινά σολιτόνια στην παγίδα Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς Η Χαμιλτονιανή του συστήματος «Φαινoμενική» αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς σε ουδέτερα άτομα Θεωρία μέσου πεδίου για τα BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Το μονοσωματιδιακό πρόβλημα Θεμελιώδης κατάσταση παρουσία αλληλεπιδράσεων Θεωρία διαταραχών μέθοδος πολλαπλών κλιμάκων Σκοτεινά σολιτόνια σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Σκοτεινά σολιτόνια i

4 3.3.2 Αριθμητικές λύσεις Σκοτεινά σολιτόνια στην παγίδα Φωτεινά σολιτόνια σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Φωτεινά σολιτόνια Αριθμητικές λύσεις Φωτεινά σολιτόνια στην παγίδα Zitterbewengung και «ταλαντούμενα» σολιτόνια Zitterbewengung Συζευγμένες εξισώσεις κίνησης για τις δύο ενεργειακές ζώνες Ταλαντούμενα σολιτόνια στα BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Ταλαντώσεις ZB Σολιτόνια αρνητικής μάζας διαχείριση διασποράς Συμπεράσματα - Προοπτικές 99 Βιβλιογραφία 18 ii

5 Κατάλογος σχημάτων 1.1 Παράδειγμα σκοτεινού και φωτεινού σολιτονίου Η μορφή ενός σκοτεινού-φωτεινού σολιτονίου Προσέγγιση Thomas-Fermi Θεμελιώδεις καταστάσεις του μείγματος Πειραματικές εικόνες ενός απλού σκοτεινού-φωτεινού (DB) σολιτονίου Πειραματικές εικόνες ενός απλού σκοτεινού-φωτεινού (DB) σολιτονίου Τρισδιάστατη αναπαράσταση ενός μείγματος με ένα σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο Ταλαντώσεις ενός DB σολιτονίου Συχνότητα ταλάντωσης και το φάσμα BdG για ένα DB σολιτόνιο Θεμελιώδης κατάσταση παρουσία απωλειών Διάγραμμα διακλάδωσης του ανώμαλου τρόπου παρουσία απωλειών Σύγκριση απλού σκοτεινού με το σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνια παρουσία απωλειών Δυναμική του DB σολιτονίου παρουσία απωλειών Πειραματικές εικόνες που παρουσιάζουν «μόρια» σολιτονίων Οι δυνάμεις μεταξύ δυο DB σολιτονίων Κέντρο μάζας σολιτονικού μορίου συναρτήσει του χημικού δυναμικού Φάσμα BdG μορίου σολιτονίων παρουσία του δυναμικού Φάσμα BdG μορίου σολιτονίων παρουσία απωλειών Χωροχρονική εξέλιξη σολιτονικού μορίου στην παγίδα Πειραματικές εικόνες που δείχνουν το σχηματισμό ταλαντούμενων σκοτεινώνσκοτεινών σολιτονίων Πειραματικές εικόνες που δείχνουν την συνύπαρξη DD σολιτονίων μαζί με DB σολιτόνια Χωρικές κατανομές των σολιτονίων σε μείγμα BEC Ταλαντώσεις ενός DD σολιτονίου Ασταθές ταλαντούμενο σολιτόνιο iii

6 2.23 Δυναμική μορίων από σκοτεινά-σκοτεινά σολιτόνια Διάταξη για την δημιουργία σύζευξης σπιν-τροχιάς σε μποζονικά ουδέτερα άτομα Γραμμικό ενεργειακό φάσμα του SOC-BEC Θεμελιώδεις καταστάσεις του SOC-BEC Ενεργειακή αναπαράσταση για τα σκοτεινά σολιτόνια Οικογένειες σολιτονικών λύσεων σε SOC-BEC Φάσμα BdG για τα σκοτεινά σολιτόνια σε SOC-BEC Φάσμα BdG για τα σκοτεινά σολιτόνια σε SOC-BEC Φάσμα BdG για τα σκοτεινά σολιτόνια διαμορφωμένης πυκνότητας Ενεργειακή αναπαράσταση του φωτεινού σολιτονίου σε SOC-BEC Οικογένειες φωτεινών σολιτονίων σε SOC-BEC Φάσμα BdG για τα φωεινά σολιτόνια σε SOC-BEC Δυναμική φωτεινών σολιτονίων σε SOC-BECs Ταλαντούμενα σολιτονια σε SOC-BEC Στατικές λύσεις του συζευγμένου προβλήματος για τις δύο ενεργειακές ζώνες Αναπαράσταση μιας περιόδου των ταλαντούμενων σολιτονίων σε SOC-BEC Χωροχρονική εξέλιξη ταλαντούμενων σολιτίων σε SOC-BEC Ταλαντώσεις ZB της ταχύτητας Περιοχές αρνητικής μάζας Στατικά σολιτόνια αρνητικής μάζας Παράδειγμα του γραμμικού φάσματος ευστάθειας iv

7 Πρόλογος Η εργασία αυτή εκπονήθηκε στο Eργαστήριο Ηλεκτρονικής του Τομέα Φυσικής Εφαρμογών του Τμήματος Φυσικής του Πανεπιστημίου Αθηνών υπό την επίβλεψη του Καθηγητή κ. Δ. Φραντζεσκάκη και τη συνεπίβλεψη του Αναπληρωτή Καθηγητή κ. Φ. Διάκονου και του Καθηγητή κ. Α. Λαχανά. Η ερευνητική μου προσπάθεια ξεκίνησε ουσιαστικά το Σεπτέμβριο του 27 μετά την πρώτη μου επαφή με τη φυσική των συμπυκνωμάτων Bose-Einstein, κατά την διαμονή μου στην Δανία μέσω του προγράμματος Erasmus. Επιστρέφοντας στην Ελλάδα και ενώ είχα επιλέξει την κατεύθυνση Πυρηνική Φυσική και Φυσική Στοιχειωδών σωματιδίων, ο κ. Φ. Διάκονος με σύστησε στον Καθηγητή κ. Δ. Φραντζεσκάκη που ασχολούνταν με το θέμα αυτό. Οφείλω λοιπόν ένα μεγάλο ευχαριστώ στον κ. Φ. Διάκονο, τόσο για την πρωτοβουλία του αυτή, όσο και για τις πολλές συζητήσεις, συμβουλές και υποστήριξη που μου προσέφερε όλα αυτά τα χρόνια. Η επιλογή του θέματος της διατριβής και η ολοκλήρωση της έγινε κάτω από την καθοδήγηση, συνεχή συμπαράσταση και ενθάρρυνση του καθηγητή μου, κ. Δ. Φραντζεσκάκη. Από τη θέση αυτή θα ήθελα να του εκφράσω τις πιο θερμές ευχαριστίες μου για την ουσιαστική βοήθεια και καθοριστική συμβολή του τα τελευταία χρόνια, τόσο στην περάτωση της μελέτης αυτής όσο και στη συνεχή στήριξη που μου προσέφερε. Κατά τη διάρκεια εκπόνησης της παρούσας διατριβής είχα τη χαρά και την τιμή να γνωρίσω και να συνεργαστώ με τον Καθ. Π. Κεβρεκίδη του Πανεπιστημίου της Μασαχουσσέτης. Η συνεργασία μας υπήρξε πολύ στενή, όντας πολύ σημαντική και ουσιαστική καθ όλη τη διάρκεια της εκπόνησης αυτής της εργασίας, και τον ευχαριστώ θερμά για την υποστήριξή του. Για τις αξιόλογες υποδείξεις αλλά και τις γόνιμες κριτικές συζητήσεις θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τους Αν. Καθ. κ. Α. Καρανίκα, Καθ. κ. Ν. Καραχάλιο και τον Επ. Καθ. κ. Θ. Χωρίκη. Επίσης πολλές ευχαριστίες οφείλω στο Επ. Καθ. κ. Δ. Ρεϊση καθώς και στα μέλη της Ερευνητικής ομάδας Ψηφιακών Συστημάτων, που με βοήθησαν και μου συμπαραστάθηκαν κατά τη διάρκεια της διεκπεραίωσης της εργασίας αυτής. Ευχαριστώ επίσης θερμά τον Επ. Καθ. κ. Ε. Νισταζάκη που ήταν σημαντικός καθοδηγητής μου και υπήρξε 1

8 πάντα πρόθημος να παρέχει οποιαδήποτε βοήθεια, ιδιαίτερα στην αρχική μου ενασχόληση με αριθμητικούς υπολογισμούς. Βεβαίως, θα ήταν παράλειψη να μην ευχαριστήσω θερμά όλα τα μέλη της Ερευνητικής ομάδας Μη Γραμμικών Συστημάτων, και συγκεκριμένα τον Γ. Βελντέ και την Φ. Τσίτουρα με τους οποίους είχαμε καθημερινή αλληλεπίδραση και συνεργασία, ενώ οι πολύωρες συζητήσεις μαζί τους έδωσαν ιδέες και λύσεις σε πολλά προβλήματα. Σημαντικές ήταν οι πολύτιμες επιστημονικές συζητήσεις μου με τον Γ. Θεοχάρη, οι οποίες συνέβαλαν ουσιαστικά στη διαμόρφωση πολλών ιδεών που παρουσιάζονται, στο παρόν κείμενο. Ιδιαίτερη βοήθεια είχα και από τους Καθ. P. Schmelcher και τον J. Stockhofe, οποίους είχα τη χαρά να συνεργαστώ στα πλαίσια των επισκέψεων μου στο Κέντρο Οπτικής και Κβαντικής Τεχνολογίας στο Αμβούργο, καθώς και όλα τα μέλη της εκεί επιστημονικής ομάδας. Επίσης, θα ήθελα να ευχαριστήσω τους Καθ. R. Carretero-González (San Diego) και τον Καθ. J. Cuevas-Maraver (Sevilla) που με βοήθησαν πολύ και με τίμησαν με τη συνεργασία τους. Πολύ σημαντική συνεισφορά για τη διαμόρφωση πολλών ιδεών που παρουσιάζονται στο παρόν κείμενο είχε η επικοινωνία που είχα με τον Καθ. P. Engels αλλά και τους C. Hamner και J. J. Chang του Πανεπιστημίου της Washington, και για αυτό του ευχαριστώ θερμά. Στο σημείο αυτό θα ήθελα να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες για την οικονομική ενίσχυση που μου χορήγησε το Ίδρυμα Α. Γ. Λεβέντη αλλά και την μερική υποτροφία που μου προσέφερε το Ίδρυμα Κρατικών Υποτροφιών Κύπρου για την εκπόνηση της διδακτορικής διατριβής στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Η οικονομική αυτή ενίσχυση ήταν για μένα ιδιαίτερα σημαντική, διότι μου επέτρεψε να αφοσιωθώ στις σπουδές μου και στην έρευνα απερίσπαστος άλλων φροντίδων και απασχολήσεων προς αντιμετώπιση των οικονομικών μου ζητημάτων. Αχώριστοι φίλοι και συνοδοιπόροι σε αυτή την πορεία ήταν και συνεχίζουν να είναι η Λ. Κατσιμίγα και ο Σ. Σύψας με τους οποίους οι ατελείωτες ώρες συζητήσεων, οι διαφωνίες και η αγάπη για τη φυσική αποτελούν για εμένα μεγάλη πηγή έμπνευσης και κίνητρο για τη συνέχεια και για αυτό τους ευχαριστώ πολύ. Τέλος, θα ήθελα από βάθους καρδιάς να ευχαριστήσω τους γονείς μου Αχιλλέα και Ιάνθη, την αδελφή μου Μελίνα και τον αδερφό μου Κώστα και όλους τους στενούς και αγαπημένους μου φίλους. Σε αυτούς τους ανθρώπους οφείλω κάθε λέξη που γράφτηκε στο παρών κείμενο καθώς και όλη μου την προσπάθεια σε όλη την διάρκεια εκπόνησης της διατριβής μου. Με έχουν στηρίξει και ήταν δίπλα μου σε κάθε περίπτωση και τους αφιερώνω τη διατριβή αυτή με όλη μου την αγάπη. 2

9 Περίληψη Στην διατριβή αυτή μελετώνται μη γραμμικά υλικά κύματα σε μείγματα συμπυκνωμάτων Bose-Einstein αποτελούμενα από δυο διαφορετικές καταστάσεις του ίδιου είδους ατόμων. Ιδιαίτερα, μελετώνται οι μη γραμμικές μακροσκοπικές διεγερμένες καταστάσεις του μείγματος στη μορφή υλικών κυμάτων σολιτονίων. Οι διεγέρσεις αυτές έχουν τη μορφή σολιτονίων που εμφανίζονται ως (α) βυθίσματα πυκνότητας στο ένα συστατικό, και ως εντοπισμένοι παλμοί στο άλλο συστατικό του μείγματος, (β) ταλαντούμενες δομές που αποτελούνται από διαδοχικά βυθίσματα και εξάρσεις πυκνότητας και στα δύο συστατικά, (γ) εντοπισμένους παλμούς και στα δύο συστατικά και (δ) βυθίσματα πυκνότητας και στα δύο συστατικά. Τα σολιτόνια των τύπων (α) και (β) παρατηρήθηκαν πρόσφατα σε πειράματα «συμβολής» των δύο συστατικών του μείγματος, στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής, ενώ τα σολιτόνια της μορφής (γ) και (δ) προβλέπονται και αναλύονται για πρώτη φορά σε μείγματα συμπυκνωμάτων με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς, που μόλις πρόσφατα υλοποιήθηκαν πειραματικά. Όλες οι παραπάνω μορφές μη γραμμικών διεγέρσεων μελετώνται χρησιμοποιώντας τη θεωρία μέσου πεδίου, και ειδικότερα ένα σύστημα από συζευγμένες μη γραμμικές εξισώσεις Gross-Pitaevskii σε (1+1)-διαστάσεις, δεδομένου ότι και τα πειράματα έγιναν σε τέτοια γεωμετρία. Στο πλαίσιο αυτό επιτυγχάνεται η αναλυτική περιγραφή της μορφής, της δυναμικής και της ευστάθειας των διαφόρων σολιτονικών δομών με χρήση αναλυτικών τεχνικών που αναπτύχθηκαν για το μείγμα συμπυκνωμάτων. Επιπλέον, χρησιμοποιούνται αριθμητικές προσομοιώσεις, τα αποτελέσματα των οποίων βρίσκονται σε πολύ καλή συμφωνία με τις αναλυτικές προβλέψεις και τις πειραματικές παρατηρήσεις.

10 Abstract The present thesis studies nonlinear matter waves in atomic Bose-Einstein condensate mixtures, composed of two different states of the same atomic species, and in particular, macroscopic nonlinear excited states of the condensate, in the form of matter wave solitons. These excitations have the form of: (a) a density dip in one component and a localized pulse in the other component, (b) beating structures composed of a subsequent density dip and a density lump in each component, (c) localized pulses in both components and (d) localized density dips in each component. Solitons of type (a) and (b) were recently observed experimentally, in the framework of the present thesis, as a result of the counterflow between the condensate components. Solitons of type (c) and (d) are predicted and anaylized for the first time in a system of binary condensates with spin-orbit interactions. The differnet types of solitons are studied in the framework of the mean-field theory and in particular using a system of two coupled Gross-Pitaevskii (GP) equations in (1+1) dimensions since the relevant epxeriments are perfomed in such a geometry. An analytical description of the form, the dynamics and the stability of the respective solitons is achieved, by developing novel perurbative analytical methods, based on the integrable limit of the corresponding GP equations. Numerical simulations are also employed, and are found to be in a very good agreement with respect to the analytical results and the experimental findings.

11 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Συμπυκνώματα Bose-Einstein Το φαινόμενο της συμπύκνωσης Bose-Einstein [Bose-Einstein condensation (BEC)] σε αραιά αέρια ατόμων, αποτελεί μια ξεκάθαρα μακροσκοπική κβαντική κατάσταση, σε ένα πολυσωματιδιακό σύστημα. Η θεωρητική πρόβλεψη αυτής της κατάστασης της ύλης, έγινε το 192 από τους Satyendra Nath Bose και Albert Einstein. Είχαν προβλέψει ότι, για αρκούντως χαμηλές θερμοκρασίες ένας πεπερασμένος αριθμός ατόμων σε ένα αέριο μποζονίων, μπορεί να καταλάβει την ίδια, χαμηλότερη διαθέσιμη ενεργειακή στάθμη. Τότε το πραγματικό μέγεθος των επιμέρους ατόμων γίνεται συγκρίσιμο με το αντίστοιχο μήκος κύματος de Broglie, και όλα τα άτομα συμπεριφέρονται συλλογικά σαν ένα γιγάντιο υλικό κύμα (matter wave). Στην πραγματικότητα η συμπύκνωση παρατηρείται στα πειράματα σε θερμοκρασίες μεταξύ 1 nκ και 1μK σε αραιά αέρια αλκαλίων μετάλλων με πυκνότητες της τάξης των 1 15 cm 3. Ο αριθμός των ατόμων σε ένα τέτοιο συμπύκνωμα μπορεί να της τάξης του 1 6, είτε μερικές εκατοντάδες άτομα, ανάλογα με την εκάστοτε πειραματική διάταξη. Οι διαστάσεις ενός τυπικού BEC είναι περίπου 1μm, ενώ ο χρόνος ζωής του μπορεί να φτάσει, πλέον, μέχρι και μερικά λεπτά. Η πειραματική υλοποίηση ενός ατομικού BEC, πραγματοποιήθηκε για πρώτη φορά το 1995 σε δύο πρωτοποριακά πειράματα. Το πρώτο από την ομάδα του JILA, στο Πανεπιστήμιο του Κολοράντο [1] χρησιμοποιώντας άτομα ρουβιδίου 87 Rb, και το άλλο στο MIT [2] χρησιμοποιώντας άτομα νατρίου 23 Na. Οι επικεφαλής των αντιστοίχων πειραμάτων E. Cornell, C. Weiman (Colorado) και W. Ketterle (MIT) τιμήθηκαν το 21 με το βραβείο Νόμπελ Φυσικής. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι ενώ τα παραπάνω πειράματα διεξήχθησαν χρησιμοποιώντας άτομα με απωστικές αμοιβαίες αλληλεπιδράσεις, ενδείξεις συμπύκνωσης μποζονικού αερίου με ελκτικές αλληλεπιδράσεις είχαν αναφερθεί παράλληλα και στα πειράματα στο Πανεπιστήμιο Rice [3], χρησιμοποιώντας άτομα λιθίου 7 Li. Αυτά τα πρωτοποριακά πειράματα από τρία διαφορετικά εργαστήρια, αποτέλεσαν το έναυσμα 5

12 1.1. Συμπυκνώματα Bose-Einstein για την έντονη δραστηριότητα στην περιοχή αυτή, που αφορά τόσο στα πειράματα (σήμερα υπάρχουν πάνω από εκατό εργαστήρια με ΒEC) όσο και στη θεωρία [4,5]. Η μεγάλη πρόοδος που επιτεύχθηκε στον τομέα της φυσικής των ατομικών συμπυκνωμάτων Bose- Einstein, είχε ως αποτέλεσμα τη δημιουργία νέων ερευνητικών κατευθύνσεων, όπως της οπτικής των ατόμων (atom optics), και της προσπάθειας χρήσης των BEC σε εφαρμογές, όπως στη συμβολομετρία υψηλής ακρίβειας, στους κβαντικούς υπολογιστές, κλπ (πολλά παραδείγματα υπάρχουν στις ιστοσελίδες μεγάλων πειραματικών ομάδων [6 11]). Μια πολύ ενδιαφέρουσα πτυχή των ατομικών BEC πηγάζει από το γεγονός ότι αυτό το πεδίο είναι στενά συνδεδεμένο με φαινόμενα που συναντώνται σε ποικίλους κλάδους της φυσικής, όπως στη φυσική συμπυκνωμένης ύλης, στην υπερευστότητα, στους υπεραγωγούς, στα λέιζερ, στη μη γραμμική οπτική, και στη θεωρία των μη γραμμικών κυμάτων. Η εγγενής μη γραμμικότητα, καθώς και η συνοχή της φάσης (phase coherence), είναι δύο ιδιότητες κοινές στα προαναφερθέντα συστήματα. Τα υπέρψυχρα ατομικά αέρια, ωστόσο, προσφέρουν τη μοναδική δυνατότητα της πειραματικά ελεγχόμενης μη γραμμικότητας, μέσω συντονισμών Feshbach [12] και της διαμόρφωσης της φάσης τους με τη χρήση εξωτερικών οπτικών και μαγνητικών πεδίων. Από θεωρητική σκοπιά, η παραπάνω σύνδεση των BEC με άλλους κλάδους της φυσικής, γίνεται προφανής από το γεγονός ότι πολλά φαινόμενα που παρατηρούνται στα BEC περιγράφονται στο πλαίσιο της θεωρίας μέσου πεδίου (mean field) μέσω της εξίσωσης Gross-Pitaevskii (GP) [13] που έχει την ακόλουθη αδιάστατη μορφή (σε μονάδες τέτοιες ώστε ħ = m = 1): i ψ t = (1 2 p2 + V (r, t) + g ψ 2 ) ψ. (1.1) Η κυματοσυνάρτηση ψ(r, t) είναι η παράμετρος τάξης του συμπυκνώματος, p = i είναι ο τελεστής της ορμής, η παράμετρος g περιγράφει το μέγεθος των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των ατόμων και V (r, t) είναι το εξωτερικό δυναμικό (που παγιδεύει ή/και ελέγχει τα άτομα). Η παραπάνω εξίσωση είναι μια μερική διαφορική εξίσωση που έχει τη μορφή μιας μη γραμμικής εξίσωσης Schrödinger (nonlinear Schrödinger equation, NLS), η οποία απαντάται σε πολλούς κλάδους της φυσικής, όπως στη μη γραμμική οπτική [14], στα βαθιά υδάτινα κύματα (deep water waves) [15], στα υπερρευστά [16], στη φυσική πλάσματος [17], κ.α. Παρά το γεγονός ότι η εξίσωση GP παρουσιάστηκε στην αρχή της δεκαετίας του 6 [13], μόλις σχετικά πρόσφατα (δηλ. περίπου 4 χρόνια μετά) δείχθηκε ότι αυτό το μοντέλο μπορεί να εξαχθεί αυστηρά με αυτο-συνεπή τρόπο, από το αντίστοιχο πολυσωματιδιακό κβαντικό πρόβλημα (many-body quantum problem) [18, 19]. Έτσι, δεν πρέπει να αποτελεί έκπληξη ότι το μοντέλο αυτό έχει αποδειχθεί εξαιρετικά χρήσιμο, έχοντας τη δυνατότητα να 6

13 1. Εισαγωγή περιγράψει με ακρίβεια πολλές από τις στατικές και δυναμικές ιδιότητες του συμπυκνώματος. Τέτοιες ιδιότητες συμπεριλαμβάνουν τη θεμελιώδη κατάσταση του συστήματος για διαφορετικές γεωμετρίες παγίδευσης, την ταχύτητα του ήχου, αλλά και τους συλλογικούς τρόπους ταλάντωσης (collective modes), όπως το διπολικό (dipole) και τον τετραπολικό (quadrupole) τρόπο [5]. Ακόμη, επίσης σημαντικό ειναι ότι η εξίσωση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη μελέτη μη γραμμικών διεγέρσεων των BEC στη μορφή σολιτονίων και στροβίλων (vortices) [4, 5], αλλά και άλλων μη γραμμικών φαινομένων όπως η μείξητεσσάρων κυμάτων (four-wave mixing) [2] και η γένεση ωστικών κυμάτων [21]. Σε κάθε περίπτωση, η περιγραφή των παραπάνω φαινομένων μέσω της εξίσωσης GP βρίσκεται σε πολύ καλή συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα. Μείγματα συμπυκνωμάτων Μείγματα συμπυκνωμάτων από υπέρψυχρα ατομικά αέρια κατασκευάστηκαν πειραματικά αμέσως μετά τα πρώτα πειράματα με βαθμωτά BEC (που αποτελούνται από ένα μόνο συστατικό ). Συγκεκριμένα, στα πειράματα της ομάδας του MIT [22,23], συμπυκνώθηκαν και οι τρείς F = 1 καταστάσεις υπέρλεπτης υφής του 23 Na σε οπτική παγίδα, γεγονός που αποτελεί την πρώτη παρατήρηση ενός σπινοριακού (spinor) BEC. Τα σπινοριακά συμπυκνώματα, κυρίως λόγω των ενδογενών αλληλεπιδράσεων του σπιν, εμφανίζουν ένα πλούσιο διάγραμμα φάσεων με διαφορετικές υφές του σπιν (spin-textures) [22], που εξαρτάται από το συνολικό αριθμό των καταστάσεων σπιν (πειραματικά έχουν πλέον κατασκευαστεί συμπυκνώματα καταστάσεων με F = 2 αλλά και F = 3). Ο πρόσθετος βαθμός ελευθερίας λόγω σπιν επιτρέπει την μελέτη πολλών νέων φαινομένων στα σπινοριακά BEC, όπως αλλαγές φάσης από φερρομαγνητικές σε αντι-φερρομαγνητικές καταστάσεις [24] αλλά και η αυθόρμητη μαγνήτιση [25]. Παράλληλα, οι επιπλέον εσωτερικοί βαθμοί ελευθερίας λόγω σπιν και οι αντίστοιχες συμμετρίες τους, μπορούν να οδηγήσουν στη δημιουργία τοπολογικών εντοπισμένων λύσεων όπως στροβίλους, μονόπολα, και Skyrmions (βλ. τις αναφορές [25, 26] για μια επισκόπηση). Παράλληλα με τις πρώτες μελέτες σε σπινοριακά BEC, σε μια σειρά πειραμάτων στο εργαστήριο του JILA [27 29] χρησιμοποιώντας μια διαφορετική μέθοδο, κατάφεραν να συμπυκνώσουν δυο διαφορετικές καταστάσεις υπέρλεπτης υφής του 87 Rb, συγκεκριμένα τις καταστάσεις 2, 2 και 1, 1, κατασκευάζοντας έτσι το πρώτο ψευδο-σπινοριακό (pseudo-spinor) συμπύκνωμα, ένα μείγμα δυο συμπυκνωμάτων που δεν ανήκουν στην ίδια κατάσταση F. O όρος ψευδο-σπινοριακό χρσιμοποιείται ακριβώς για να τονίσει ότι τα δυο συστατικά δεν αλληλεπιδρούν μέσω του σπιν τους, ενώ πολλές φορές αναφέρονται στη βιβλιογραφία και ως διανυσματικά BEC (επειδή περιγράφονται από μια διανυσματική εξίσωση GP). Ένας μεγάλος αριθμός πειραματικών και θεωρητικών εργασιών έχει 7

14 1.1. Συμπυκνώματα Bose-Einstein ασχοληθεί με φαινόμενα που εμφανίζονται σε τέτοια μείγματα συμπυκνωμάτων, όπως η εμφάνιση περιοχών σπιν (spin domains) [3], η δυναμική πλέγματος στροβίλων [31] και η εμφάνιση εγκάρσιων κυμάτων ψευδο-σπιν (longitudinal spin-waves ) [32, 33]. Επιπλέον, οι σύγχρονες πειραματικές τεχνικές που χρησιμοποιούνται στα υπερ-ψυχρά άτομα, επιτρέπουν τη μελέτη των υδροδυναμικών ιδιοτήτων του μείγματος BEC και την παρατήρηση φαινομένων όπως η αστάθεια Rayleigh-Taylor [34] και η κβαντική τύρβη [35]. Σε μια σειρά από πρόσφατα πειράματα [36 4], κάποια αποτελέσματα των οποίων αποτελούν και θέμα της παρούσας διατριβής, μελετήθηκε η συμβολή μεταξύ των δυο συστατικών ενός μείγματος, αλλά και ο διαχωρισμός τους, με ελεγχόμενο τρόπο. Μείγματα συμπυκνωμάτων με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς Από το 211, τα μείγματα συμπυκνωμάτων έχουν προσελκύσει ακόμα μεγαλύτερο ενδιαφέρον, λογω της χρήσης τους στη μελέτη των λεγομένων τεχνητών πεδίων βαθμίδας (artifical gauge fields) με (ηλεκτρικά) ουδέτερα ατομικά αέριαcite [41, 42]. Η μελέτη αυτή επικεντρώνεται στη δημιουργία BEC που περιγράφονται από φαινομενικές Χαμιλτονιανές της μορφής: H = 1 2 ( p qa) 2 + V (r, t), (1.2) όπου η παράμετρος q είναι κάποιο τεχνητό φορτίο και A το αντίστοιχο τεχνητό πεδίο βαθμίδας (βλ. την αναφορά [43] για μια σύντομη επισκόπηση). Τέτοιες Χαμιλτονιανές μπορούν να κατασκευαστούν σε υπέρ-ψυχρά ατομικά αέρια με τρεις διαφορετικούς τρόπους [44]. Ο απλούστερος από αυτούς, είναι η εμφάνιση ενός φαινομενικού πεδίου στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς: μπορεί να δειχθεί ότι η Χαμιλτονιανή ουδετέρων ατόμων σε περιστρεφόμενη παγίδα, όταν εκφραστεί στο περιστρεφόμενο σύστημα αναφοράς, παίρνει τη μορφή της Εξ. (1.2) [45]. Ο δεύτερος τρόπος, είναι η ανάδευση (shaking) συμπυκνωμάτων που είναι παγιδευμένα σε οπτικά πλέγματα, όπου η κίνηση του πλέγματος δημιουργεί μη τετριμμένες φάσεις για τα άτομα, που προσομοιώνουν την επίδραση ενός μαγνητικού πεδίου. Σε ένα τέτοιο σύστημα παρήχθησαν πειραματικά τεχνητά πεδία βαθμίδας και καταστάσεις τοπολογικών μονωτών (topological insulators) [46] αλλά και η δημιουργία τεχνητών αλληλεπιδράσεων τύπου σπιν-τροχιάς [47], κ.α. O τρίτος τρόπος, που σχετίζεται άμεσα με την παρούσα διατριβή, είναι αυτή των γεωμετρικών τεχνητών πεδίων. Η ιδέα της σχετικής μεθόδου βασίζεται στη σύζευξη των εσωτερικών ατομικών καταστάσεων υπέρλεπτης υφής ενός ατόμου, χρησιμοποιώντας τις αλληλεπιδράσεις ατόμου-λέιζερ με τρόπο που να εξαρτάται από την ορμή. Χρησιμοποιώντας 8

15 1. Εισαγωγή διαφορετικές γεωμετρίες (δηλαδή γωνίες πρόσπτωσης των ακτίνων λέιζερ και συγκεκριμένες πολώσεις), και επεκτείνοντας μια παλαιότερη πρόταση των Wilzeck και Zee [48], είναι τότε δυνατόν να προκύψουν Χαμιλτονιανές της μορφής της Εξ. (1.2) [49 51]. Έχουν προταθεί πολλά σχήματα για τη δημιουργία Αβελιανών [49, 5] και μη-αβελιανών [51] μορφών για το αντίστοιχο πεδίο Α. Στο πλαίσιο της διατριβής, θα μελετηθεί μια φαινομενική Χαμιλτονιανή, που αντιστοιχεί στο πείραμα της αναφοράς [41], και έχει την ακόλουθη μορφή: H = (p z + Aσ z ) 2 + Ωσ x + δσ z, (1.3) όπου σ i είναι οι 2 2 πίνακες Pauli. Η παραπάνω Χαμιλτονιανή περιέχει έναν όρο αλληλεπίδρασης σπιν-τροχιάς Ap z σ z, και έχει την ίδια μορφή με τη σύζευξη σπιν-τροχιάς που απαντάται σε δισδιάστατα συστήματα στη φυσική συμπυκνωμένης ύλης [52, 53] (η σύζευξη αυτή είναι γνωστή ως Rashba [54] και Dresselhaus [55]). Παρά τη σχετικά απλή της μορφή, η Εξ. (1.3) βρίσκει σημαντική εφαρμογή στη σπιντρονική (spintronics) [56], αλλά και στο πεδίο των τοπολογικών μονοτών και του γραφενίου [57 59]. H μελέτη των ΒΕC με σύζευξη σπιν-τροχιας (spin-orbit coupld BEC, SOC-BEC) έχει ήδη οδηγήσει σε αρκετά πειραματικά ενδιαφέροντα φαινόμενα. Αυτά περιλαμβάνουν την αλλαγή φάσης από αναμείξιμο σε μή αναμείξιμο μείγμα [42], την παρατήρηση του φαινομένου Zitterbewegung (ΖΒ) [6, 61] 1, την απόκλιση της πόλωσης του μείγματος κατά τη διάρκεια της αλλαγής φάσης από μη μαγνητική σε μαγνητική [65], την αλλαγή φάσης τύπου Dicke [66], κ.α. 1.2 Υλικά κύματα σολιτονίων σε BEC Μια από τις πιο σημαντικές επιτυχίες της θεωρίας μέσου πεδίου στα BEC, είναι η πρόβλεψη της ύπαρξης και η περιγραφή της δυναμικής εντοπισμένων μη γραμμικών υλικών κυμάτων, όπως παρατηρούνται στα πειράματα. Αυτό γίνεται στο πλαίσιο της μελέτης της εξίσωσης GP (1.1). Τα εντοπισμένα υλικά κύματα μπορεί να έχουν τη μορφή των λεγόμενων σολιτονίων στη μια διάσταση, και δομών με στροβιλισμό (στρόβιλοι, δακτύλιοι στροβίλων, πλέγματα στροβίλων, κλπ) σε ανώτερες διαστάσεις. Τα σολιτόνια είναι μη γραμμικά εντοπισμένα κύματα (που η μελέτη τους ξεκινά από τις παρατηρήσεις του J. S. Russel το 184 [67]), τα οποία απαντώνται και παρατηρούνται στα περισσότερα φυσικά συστήματα 1 Το φαινόμενο Zitterbewegung (η λέξη αυτή μπορεί να αποδοθεί ως τρεμούλιασμα στα Ελληνικά), αναφέρεται στην κίνηση των ηλεκτρονίων/ποζιτρονίων που περιγράφονται από την εξίσωση Dirac. Ο όρος εισήχθηκε από τον Schrödinger [62] για να περιγράψει ταλαντώσεις της ταχύτητας που οφείλονται στις ταλαντώσεις του σπιν. Φαινόμενο ανάλογο του ZB παρατηρήθηκε για πρώτη φορά στο γραφένιο [63] και έπειτα σε απομονωμένα ιόντα [64]. 9

16 1.2. Υλικά κύματα σολιτονίων σε BEC ψ(x) 2 Dark soliton ψ(x) 2 Bright soliton x x Σχήμα 1.1: Η πυκνότητα ψ(x) 2 ενός σκοτεινού (αριστερά) και ενός φωτεινού (δεξιά) σολιτονίου. που εμφανίζουν μη γραμμικότητα και διασπορά. Έτσι, εφαρμογές των σολιτονίων συναντώνται σε ένα ευρύτατο φάσμα περιοχών της φυσικής, που περιλαμβάνει τη φυσική υψηλών ενεργειών και την κοσμολογία [68, 69] τη μη γραμμική οπτική και τους φωτονικούς κρυστάλλους [14], τα υδάτινα κύματα [15], τη φυσική συμπυκνωμένης ύλης [7], ακόμα τη μελέτη των πρωτεϊνών και του DNA [71]. Σολιτόνια σε BEC ενός συστατικού Τα σολιτονικά κύματα ύλης (matter-wave solitons), όντας στην πραγματικότητα οι πλέον στοιχειώδεις μακροσκοπικές μη γραμμικές διεγέρσεις ενός συμπυκνώματος, έχουν προσελκύσει μεγάλο ερευνητικό ενδιαφέρον. Σε βαθμωτά συμπυκνώματα αποτελούμενα από μια κατάσταση υπέρλεπτης υφής του αερίου, υπάρχουν δύο τύπο σολιτονίων, τα λεγόμενα σκοτεινά (dark) και φωτεινά (bright), για απωστικές (g > ) και ελκτικές (g < ) διατομικές αλληλεπιδράσεις αντίστοιχα. Και οι δυο προαναφερθέντες τύποι σολιτονίων αποτελούν ακριβείς λύσεις της Εξ. (1.1) όταν V (r, t) =. Συγκεκριμένα, τα σκοτεινά σολιτόνια (που προβλέφθηκαν να υπάρχουν σε BEC από το 1973 [72]) έχουν την μορφή ενός βυθίσματος στην πυκνότητα του συμπυκνώματος, όπως φαίνεται στην αριστερή εικόνα του Σχ Η ονομασία σκοτεινό, που προέρχεται από την οπτική, είναι απόρροια της μορφής του: εκεί, παρατηρείται ως μια σκοτεινή λωρίδα (εντοπισμένη απώλεια φωτός) σε ένα φωτεινό υπόβαθρο. Αντιθέτως, τα φωτεινά σολιτόνια έχουν τη μορφή εντοπισμένων παλμών, όπως φαίνεται στη δεξιά εικόνα του Σχ Η ονομασία φωτεινό, που επίσης προέρχεται από την οπτική, αναφέρεται στο γεγονός ότι το φωτεινό σολιτόνιο παρατηρείται σαν μια εντοπισμένη δέσμη φωτός σε ένα σκοτεινό υπόβαθρο. Σολιτόνια έχουν παρατηρηθεί σε πειράματα με βαθμωτά BEC χρησιμοποιώντας διάφορες σύγχρονες τεχνικές. Για τη δημιουργία σκοτεινών σολιτονιων, αυτές περιλαμβάνουν τη μέθοδο τυπώματος φάσης (phase imprinting) [73 77], τη μέθοδο διαχείρισης της πυκνότητας (density engineering) [78 8], ή συνδυασμό και των δυο [81]. Από την άλλη 1

17 1. Εισαγωγή πλευρά, για την δημιουργία φωτεινών σολιτονίων χρησιμοποιείται κυρίως η αλλαγή προσήμου της παραμέτρου g (δηλ. η αλλαγή της φύσης των αλληλεπιδράσεων των ατόμων από απωστικές σε ελκτικές) μέσω συντονισμού Fesbach [82 84]. Δεν αποτελεί έκπληξη, ότι τα σολιτονικά υλικά κύματα ατομικών BEC έχουν προσελκύσει μεγάλο ερευνητικό ενδιαφέρον [85, 86]. Αυτό οφείλεται σε διάφορους λόγους, όπως εξηγείται παρακάτω. Κατ αρχήν, τα τα σκοτεινά σολιτόνια όπως και οι στρόβιλοι [87] σε ανώτερες διαστάσεις εμφανίζονται αυθόρμητα ως τοπολογικές ατέλειες (topοlogical defects) κατά την αλλαγή φάσης που οδηγεί στη συμπύκνωση, ακολουθώντας τον μηχανισμό Kibble-Zurek [88 92]. Από την άλλη πλευρά, τα φωτεινά σολιτόνια εμφανίζονται αυθόρμητα μετά την εκδήλωση της αστάθειας διαμόρφωσης (modulational instabiity), που αφορά την αστάθεια επιπέδων κυμάτων λόγω της μη γραμμικότητας, και αποτελεί έναν βασικό μηχανισμό μορφογένεσης (pattern formation) [36, 39, 93]. Έτσι, η αυθόρμητη γένεση των κυμάτων αυτών αποτελούν υπογραφές θεμελιωδών φαινομένων που απαντώνται γενικά στη φυσική. Επίσης, το σκοτεινό σολιτόνιο αποτελεί το μη γραμμικό ανάλογο της πρώτης διεγερμένης κατάστασης του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή [94 96], οπότε συνιστούν ένα σύνδεσμο μεταξύ της καθιερωμένης κβαντικής μηχανικής και του αλληλεπιδρώντος αερίου μποζονίων. Αξίζει επίσης να σημειωθεί ότι τόσο τα σκοτεινά όσο και τα φωτεινά σολιτόνια, αν και αφορούν ένα πολυσωματιδιακό κβαντικό σύστημα, παρουσιάζουν μια κλασσική συμπεριφορά, υπακούοντας Νευτώνειες εξισώσεις κίνησης. Αυτός ο σωματιδιακός τους χαρακτήρας, είναι εκείνος που καθιστά τα κύματα αυτά εξαιρετικούς υποψηφίους για πολλές εφαρμογές (όπως συμβαίνει στη μη γραμμική οπτική [14]). Ως παραδείγματα, αναφέρονται τα εξής: Κατ αρχήν, η συχνότητα ταλάντωσης των σκοτεινών σολιτονίων μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως διαγνωστικό εργαλείο για τη διαστατικότητα ή την ισχύ των διατομικών αλληλεπιδράσεων [97]. Επίσης, έχουν προταθεί εφαρμογές όπου η ακριβής θέση του σκοτεινού σολιτονίου μπορεί χρησιμοποιηθεί για να ανιχνεύσει την μεταβολή της φάσης σε ατομικά συμβολόμετρα, στη μη γραμμική περιοχή [98 11]). Σημαντικό μέρος της βιβλιογραφίας έχει ασχοληθεί επίσης με την χρήση φωτεινών σολιτονίων σε ατομικά συμβολόμετρα, αξιοποιώντας τις μεταξύ τους αλληλεπιδράσεις [12 16]. Επιπλέον, οι ιδιότητες των φωτεινών σολιτονίων μπορούν να βρούν εφαρμογές στα ατομικά λέιζερ [17 19], ενώ με κατάλληλη διαχείρισή τους μέσω περιοδικών δυναμικών [11] μπορούν να χρησιμοποιηθούν για εφαρμογές στην κβαντική πληροφορική [111]. Σολιτόνια σε μείγματα από δύο BEC Μολονότι μείγματα συμπυκνωμάτων είχαν υλοποιηθεί πειραματικά από το 1998, η πρώτη δημιουργία ενός εντοπισμένου κύματος ύλης στη μορφή σκοτεινού-φωτεινού (dark- 11

18 1.2. Υλικά κύματα σολιτονίων σε BEC ψ 2 ψ 2 Σχήμα 1.2: Η πυκνότητα ενός σκοτεινού-φωτεινού σολιτονίου, όπου στα ψ 2 και ψ 2 εμφανίζεται ένα σκοτεινό και ένα φωτεινό σολιτόνιο αντίστοιχα. x bright, DB) σολιτονίου παρουσιάστηκε το 28 από την πειραματική ομάδα του Αμβούργου [76]. Τα σολιτόνια αυτού του τύπου αποτελούνται από ένα σκοτεινό σολιτόνιο στο ένα συστατικό του μείγματος (ψ ) και ένα φωτεινό σολιτόνιο στο άλλο (ψ ), όπως φαίνεται στο Σχ Είναι σημαντικό ότι αυτά τα κύματα παρατηρήθηκαν σε BEC ρουβιδίου που έχει απωστικές αλληλεπιδράσεις, οπότε σύμφωνα με τα παραπάνω έπρεπε να υποστηρίζει μόνο σκοτεινά σολιτόνια. Όμως, στην περίπτωση των κυμάτων αυτών, η ύπαρξη του φωτεινού σολιτονίου (που υποστηρίζεται μόνο σε BEC με ελκτικές αλληλεπιδράσεις) οφείλεται αποκλειστικά στην ύπαρξη του σκοτεινού: στην πραγματικότητα, το σκοτειό σολιτόνιο δημιουργεί ένα φαινομενικό δυναμικό στο σύστημα, που μπορεί να υποστηρίξει μια δέσμια κατάσταση, στη μορφή φωτεινού σολιτονίου. Έτσι, τα σολιτόνια DB αναφέρονται και ως συμβιωτικά σολιτόνια. Οι λύσεις DB σολιτονίων σε μείγματα ατομικών συμπυκνωμάτων παρουσιάστηκαν πρώτη φορά θεωρητικά στην αναφορά [112], ενώ είχαν είδη παρατηρηθεί σε πειράματα στην οπτική, σε φωτοδιαθλαστικούς κρυστάλλους) [ ]. Ακόμη, στο πλαίσιο της φυσικής των BEC, παρουσιάστηκαν κάποια αριθμητικά αποτελέσματα, που έδειξαν ότι είναι δυνατή η εμφάνιση δέσμιων καταστάσεων από πολλαπλά σολιτόνια DB [116]. Σε μια σειρά πειραμάτων που ξεκίνησαν το 211 από την ομάδα του Πανεπιστημίου της Washington [36 4]), μελετήθηκαν οι υδροδυναμικές ιδιότητες ενός μείγματος BEC αποτελούμενο από δυο καταστάσεις υπέρλεπτης υφής του ρουβιδίου. Κατά τη διάρκεια αυτών των πειραμάτων παρατηρήθηκε η γένεση DB σολιτονίων, η ύπαρξη ζευγών σολιτονίων ακόμα και δέσμιων καταστάσεων από πολλά σολιτόνια όπως και διάφορες άλλες πιο σύνθετες εντοπισμένες δομές. Δεδομένης της ως εκείνη τη χρονική περίοδο περιορισμένης σχετικής βιβλιογραφίας, τα πειραματικά αυτά ευρήματα έθεσαν κάποια ενδιαφέροντα ερωτήματα σχετικά με τις μη γραμμικές διεγέρσεις σε μείγματα BEC. Τα ερωτήματα αυτά, απετέλεσαν το κίνητρο για μια συστηματική διερεύνηση, τα αποτελέσματα της οποίας απο- 12

19 1. Εισαγωγή τελούν μέρος της παρούσας διατριβής. Είναι σημαντικό ότι τα ερευνητικά ερωτήματα που απαντήθηκαν (όπως εξηγείται λεπτομερέστερα παρακάτω) αποτελούν προϊόν στενής συνεργασίας με την πειραματική ομάδα της Washington. Τα ερωτήματα που προαναφέρθηκαν αφορούν, κατ αρχήν, την ευστάθεια των σολιτονικών δομών: παρατηρήθηκε ότι ο χρόνος ζωής των σολιτονίων ήταν πολύ μεγάλος (σε σχέση με το χρόνο ζωής των σκοτεινών σολιτονίων σε BEC ενός συστατικού), γεγονός που σχετίζεται, φυσικά, με την αναλωτική δυναμική λόγω της επίδρασης του θερμικού νέφους στο συμπύκνωμα. Επιπλέον, μεγάλο ενδιαφέρον έχουν οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των σολιτονίων: στο πείραμα, παρατηρήθηκαν πολλαπλά και οιωνεί στάσιμα σολιτόνια, γεγονός που θέτει το ερώτημα πως αλληλεπιδρούν τα σολιτόνια, και πως δημιουργούνται τα σολιτονικά μόρια (δέσμιες καταστάσεις αποτελούμενες από πολλά σολιτόνια) που βρέθηκαν στο πείραμα. Ένα άλλο θέμα αφορά την αναγνώριση νέων δομών που παρατηρήθηκαν στο πείραμα: βρέθηκε ότι είναι δυνατόν να σχηματιστούν καταστάσεις από βυθίσματα ακολουθούμενα από εξάρσεις πυκνότητας, που χαρακτηρίζονται από ταλαντώσεις στην πυκνότητά τους. Οι δομές αυτές δεν είχαν προηγούμενα διερευνηθεί στο πλαίσιο της θεωρίας μέσου πεδίου Gross-Pitaevskii. Η απάντηση των παραπάνω ερωτημάτων αποτελεί το πρώτο μέρος της παρούσας διατριβής. Το δεύτερο μέρος της, αφορά τη μελέτη σολιτονίων σε μείγματα BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς, που υλοποιήθηκαν για πρώτη φορά το 211 [42]. Δεδομένου ότι υπάρχει για αυτό το σύστημα έντονη ερευνητική και θεωρητική δραστηριότητα, ένα εξαιρετικά επίκαιρο ερώτημα (και απόλυτα σχετικό με το πρώτο μέρος της διατριβής) αφορά τις μακροσκοπικές μη γραμμικές διεγέρσεις που μπορούν να εμφανιστούν σε τέτοια μείγματα. Έτσι, το δεύτερο μέρος της διατριβής ασχολείται με τη θεωρητική μελέτη (αφού ως σήμερα δεν υπάρχουν σχετικά πειραματικά δεδομένα) σολιτονίων σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς, που έχουν είτε ελκτικές είτε απωστικές αλληλεπιδράσεις. Αντικείμενο και Οργάνωση της διατριβής Στην παρούσα διατριβή, μελετώνται οι πλέον βασικές μη γραμμικές διεγέρσεις που μπορούν να υπάρξουν σε μείγματα BEC, αποτελούμενα από δύο διαφορετικές καταστάσεις υπερλεπτής υφής του αερίου μποζονίων. Οι διεγέρσεις αυτές έχουν τη μορφή σολιτονίων που εμφανίζονται ως: (1) σκοτεινά-φωτεινά σολιτόνια, (2) ταλαντούμενες σολιτονικές δομές που αποτελούνται από διαδοχικά βυθίσματα και εξάρσεις πυκνότητας και στα δύο συστατικά, 13

20 1.2. Υλικά κύματα σολιτονίων σε BEC (3) εντοπισμένους παλμούς και στα δύο συστατικά (φωτεινά-φωτεινά σολιτόνια), (4) βυθίσματα πυκνότητας και στα δύο συστατικά (σκοτεινά-σκοτεινά σολιτόνια). Τα σολιτόνια των τύπων (1) και (2) παρατηρήθηκαν πρόσφατα σε μείγματα BEC μονοδιάστατης γεωμετρίας από την πειραματική ομάδα του Πανεπιστημίου της Washington. Δεδομένης της συνεργασίας με την ομάδα αυτή, σε πολλές περιπτώσεις θα παρουσιαστούν σχετικά πειραματικά αποτελέσματα. Από την άλλη πλευρά, τα σολιτόνια των τύπων (3) και (4), προβλέπονται και αναλύονται για πρώτη φορά, στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής, για μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς. Όλες οι παραπάνω μορφές μη γραμμικών διεγέρσεων μελετώνται χρησιμοποιώντας τη θεωρία μέσου πεδίου, και ειδικότερα ένα σύστημα από συζευγμένες εξισώσεις Gross- Pitaevskii (GP) σε (1+1)-διαστάσεις - δεδομένου ότι και τα πειράματα έγιναν σε τέτοια γεωμετρία. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στην αναλυτική περιγραφή της μορφής, της δυναμικής και της ευστάθειας των διαφόρων σολιτονικών δομών. Αυτό γίνεται με την ανάπτυξη νέων διαταρακτικών προσεγγίσεων που ξεκινούν από το ολοκληρώσιμο όριο των εξισώσεων GP, όπως εξηγείται παρακάτω. Επιπλέον, χρησιμοποιούνται αριθμητικές προσομοιώσεις, τα αποτελέσματα των οποίων βρίσκονται σε πολύ καλή συμφωνία με τις αναλυτικές προβλέψεις και τις πειραματικές παρατηρήσεις. Η παρουσίαση της διατριβής οργανώνεται ως εξής. Στο 2ο κεφάλαιο, μελετώνται τα διάφορα είδη διανυσματικών σολιτονίων που εμφανίζονται στα συνήθη μείγματα BEC. Στην ενότητα 2.1 περιγράφεται η θεωρία μέσου πεδίου για τα μείγματα BEC, όπως και οι διάφορες θεμελιώδεις καταστάσεις που μπορεί να έχει το μείγμα ανάλογα με τις παραμέτρους του πειράματος (διαστάσεις, είδος των αλληλεπιδράσεων των ατόμων, αριθμός ατόμων). Κατόπιν, στην ενότητα 2.2 παρουσιάζονται πειραματικά αποτελέσματα για σκοτεινάφωτεινά σολιτόνια που εκτελούν ταλαντώσεις μέσα στο δυναμικό παγίδευσης και παρουσιάζουν εξαιρετικά μεγάλο χρόνο ζωής. Τα αποτελέσματα αυτά χρησιμοποιούνται στα επόμενα ως «οδηγός» και κίνητρο για τη θεωρητική περιγραφή των δομών αυτών. Στη συνέχεια, παρουσιάζεται μια αδιαβατική θεωρία διαταραχών, η οποία αναπτύχθηκε στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής για τη μελέτη των σκοτεινών-φωτεινών σολιτονίων. Η θεωρία αυτή χειρίζεται το σολιτόνιο ως κλασσικό Νευτώνειο σωματίδιο, αφού αποδεικνύεται ότι η δυναμική του κέντρου του σολιτονίου διέπεται από μια εξίσωση κίνησης, ανάλογη με αυτή ενός σωματιδίου παρουσία δυναμικού. Η πρώτη εφαρμογή της θεωρίας διαταραχών είναι η ακριβής περιγραφή των ταλαντώσεων των σολιτονίων στο δυναμικό παγίδευσης του μείγματος BEC. Η δεύτερη εφαρμογή, που εξηγεί θεωρητικά το μεγάλο χρόνο ζωής των 14

21 1. Εισαγωγή σολιτονίων που παρατηρούνται στα πειράματα, είναι η μελέτη αναλωτικών φαινομένων, και συγκεκριμένα η επίδραση της θερμοκρασίας. Αποδεικνύεται ότι η σύζευξη του σκοτεινού με το φωτεινό σολιτόνιο οδηγεί στη μερική σταθεροποίηση (δηλ. σε μεγαλύτερο χρόνο ζωής) του σκοτεινού σολιτονίου, γεγονός που επαληθεύεται και από τα πειράματα. Ακολούθως, στην ενότητα 2.3, παρουσιάζονται πειραματικά αποτελέσματα με μη γραμμικές διεγέρσεις του μείγματος στη μορφή συζευγμένων DB σολιτονίων, τα οποία αποτελούνται από ένα, δύο ή και τρία σολιτόνια. Για την θεωρητική μελέτη αυτών των σολιτονικών μορίων, γίνεται αρχικά λεπτομερής ανάλυση των αλληλεπιδράσεων μεταξύ δύο σολιτονίων, μέσω της προαναφερθείσας θεωρίας διαταραχών. Βρίσκεται ότι οι αλληλεπιδράσεις μπορεί να είναι είτε ελκτικές είτε απωστικές, ανάλογα με τη σχετική φάση μεταξύ των φωτεινών σολιτονίων, που εξηγεί τις συνθήκες υπό τις οποίες σχηματίζονται τέτοια μόρια. Επίσης, γίνεται μελέτη της επίδρασης της θερμοκρασίας στα μόρια σολιτονίων, και βρίσκονται παραμετρικές περιοχές με διαφορετική αναλωτική δυναμική: τα σολιτόνια είτε ακολουθούν εκθετικές τροχιές είτε εκτελούν ταλαντώσεις αυξανομένου πλάτους, και τελικά αποσβένονται στο άκρο του συμπυκνώματος και στις δυο περιπτώσεις. Στο τέλος του 2ου Κεφαλαίου, στην ενότητα 2.4, παρουσιάζονται πειραματικά αποτελέσματα με την εμφάνιση «ταλαντούμενων» σκοτεινών-σκοτεινών σολιτονίων. Οι δομές αυτές αναγνωρίζονται αναλυτικά ως μέλη μιας οικογένειας λύσεων που συνδέονται με στροφές στον χώρο των κυματοσυναρτήσεων. Αφού παρουσιαστούν οι διαφορετικές λύσεις της οικογένειας αυτής, γίνεται μελέτη της δυναμικής και των αλληλεπιδράσεων των ταλαντούμενων σολιτονίων που παρατηρήθηκαν στο πείραμα, για διάφορες τιμές των παραμέτρων του προβλήματος. Το συμπέρασμα που εξάγεται είναι ότι τα ταλαντούμενα σολιτόνια είναι ευσταθή κοντά στο ολοκληρώσιμο όριο (που αντιστοιχεί στις τιμές των παραμέτρων που αντιστοιχούν στα πειράματα), αλλά μπορούν να γίνουν ασταθή μακριά από το όριο αυτό. Η θεωρητική ανάλυση επιβεβαιώνεται από τις παρατηρήσεις του πειράματος. Το 3ο Κεφάλαιο ασχολείται με λύσεις σολιτονίων σε συμπυκνώματα με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς για άτομα είτε με απωστικές είτε με ελκτικές αλληλεπιδράσεις. Στην ενότητα 3.1 γίνεται αρχικά μια περιγραφή των μειγμάτων BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς. Παρουσιάζονται στη συνέχεια οι ιδιότητες του συστήματος στο γραμμικό όριο (όπου τα άτομα δεν αλληλεπιδρούν), βρίσκεται το ενεργειακό φάσμα και αναγνωρίζονται δυο παραμετρικές περιοχές, ανάλογα με τη μορφή των δυο ενεργειακών ζωνών που χαρακτηρίζουν το γραμμικό πρόβλημα. Επίσης, παρουσιάζονται οι μορφές διαφορετικών θεμελιωδών καταστάσεων τόσο στο γραμμικό όριο όσο και στη μη γραμμική περιοχή. Στη συνέχεια, στην ενότητα 3.2, αναπτύσσεται μια θεωρία διαταραχών πολλαπλών κλιμάκων, για την μελέτη της ύπαρξης και της δυναμικής των σολιτονίων.μέσω της θεωρίας 15

22 1.2. Υλικά κύματα σολιτονίων σε BEC αυτής περιγράφονται λύσεις μικρού πλάτους του αρχικού συστήματος των δυο GP εξισώσεων, αποτελούμενες από ένα επίπεδο κύμα και μια περιβάλλουσα συνάρτηση. Η δυναμική της τελευταίας, περιγράφεται από μια βαθμωτή εξίσωση NLS σε αργές χρονικές και χωρικές κλίμακες. Στη συνέχεια χρησιμοποιείται η βαθμωτή NLS για την αναλυτική περιγραφή προσεγγιστικών λύσεων στη μορφή σολιτονίων. Συγκεκριμένα στην ενότητα 3.3, δείχνεται ότι στα BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς με απωστικές ατομικές αλληλεπιδράσεις, υπάρχουν λύσεις σκοτεινού-σκοτεινού σολιτονίου, και στις δυο περιοχές του γραμμικού φάσματος που παρουσιάζουν διαφορετική δυναμική και διαφορετική πόλωση (διαφορετικό αριθμό ατόμων σε κάθε συστατικό). Ακόμα λαμβάνοντας υπόψιν τις συμμετρίες του συστήματος δείχνεται η ύπαρξη νέων λύσεων σκοτεινών σολιτονίων με διαμορφωμένη πυκνότητα ( stripe solitons ). Γίνεται αριθμητική μελέτη της ευστάθειας των διαφορετικών λύσεων, και επιβεβαιώνεται ότι τα σολιτόνια στις δυο περιοχές είναι ευσταθή, ενώ αυτά που παρουσιάζουν διαμορφωμένη πυκνότητα είναι εν γένει ασταθή. Ακόμα, από το γραμμικό φάσμα ευστάθειας αναγνωρίζονται νέοι τρόποι ταλάντωσης των σολιτονίων που δεν υπάρχουν στα απλά μείγματα BEC. Αντίστοιχα στην ενότητα 3.4, μέσω της θεωρίας διαταραχών πολλαπλών κλιμάκων, βρίσκονται λύσεις φωτεινού-φωτεινού σολιτονίου για BEC με ελκτικές ατομικές αλληλεπιδράσεις. Τέτοιες λύσεις υπάρχουν και για τις δυο περιοχές του γραμμικού φάσματος με αντίστοιχη δυναμική και πόλωση όπως τα σκοτεινά σολιτόνια. Σε αυτή τη περίπτωση, η αριθμητική μελέτη της ευστάθειας των φωτεινών σολιτονίων, δείχνει την ευστάθεια των σολιτονίων με διαμορφωμένη πυκνότητα αλλά βρίσκεται ότι υπάρχουν ασταθή σολιτόνια, σε αρκούντως μεγάλες μη γραμμικότητες στην μια παραμετρική περιοχή. Κατόπιν, η προαναφερθείσα θεωρία διαταραχών γενικεύεται στην ενότητα 3.5, για να περιγράψει λύσεις του προβλήματος που βρίσκονται ταυτόχρονα και στις δυο ενεργειακές ζώνες του συστήματος. Στο γραμμικό όριο, η διαταρακτική προσέγγιση αναπαράγει τις λεγόμενες ταλαντώσεις Zitterbewegung, που είναι γνωστές στο πλαίσιο της εξίσωσης Dirac και περιγράφουν ταλαντώσεις της μέσης ταχύτητας λόγω ταλαντώσεων του σπιν. Στη μη γραμμική περιοχή, βρίσκεται ότι το αρχικό σύστημα των εξισώσεων GP επιδέχεται σολιτονικές λύσεις που ταλαντώνονται μεταξύ των δυο ενεργειακών ζωνών. Οι λύσεις αυτές έχουν τη μορφή ταλαντούμενων σκοτεινών-σκοτεινών σολιτονίων, παρομοίων με εκείνων που μελετήθηκαν στα προηγούμενα, που χαρακτηρίζονται από ταλαντώσεις πυκνότητας που αντιστοιχεί σε μια διορθωμένη (λόγω της μη γραμμικότητας) συχνότητα Zitterbewegung. Τέλος, στην ενότητα 3.6, χρησιμοποιώντας την θεωρία διαταραχών πολλαπλών κλιμάκων, αποδεικνύεται ότι στα μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς είναι εφικτή η διαχείριση της διασποράς (dispesrion management): αυτή, λόγω της δομής του γραμμικού 16

23 1. Εισαγωγή φάσματος, αναφέρεται στην ύπαρξη περιοχών τιμών των ορμών, για τις οποίες η φαινομενική διασπορά (δηλ. η φαινομενική μάζα) είναι είτε θετική είτε αρνητική. Το φαινόμενο αυτό παρουσιάζει ομοιότητα με την αλλαγή του προσήμου της φαινομενικής μάζας σωματιδίου παρουσία περιοδικού δυναμικού. Η ανάλυση αυτή δείχνει ότι υπάρχουν σολιτόνια τόσο θετικής όσο και «αρνητικής μάζας», με τα τελευταία να αναδεικνύουν τη δυνατότητα εντοπισμού της κυματοσυνάρτησης λόγω της μη γραμμικότητας - σε μέσα με διασπορά. Παράδειγμα τέτοιων σολιτονίων με αρνητική μάζα είναι φωτεινά-φωτεινά σολιτόνια που υποστηρίζονται σε BEC με απωστικές διατομικές αλληλεπιδράσεις. Τέτοιου τύπου σολιτόνια βρίσκονται σε αναλυτική μορφή, η δε δυναμική τους μελετάται αριθμητικά. Βρίσκεται ότι αυτά είναι ευσταθή, με μεγάλους χρόνους ζωής που αντιστοιχούν σε εκείνους των ίδιων των συμπυκνωμάτων. 17

24 Υλικά κύματα σολιτονίων σε BEC

25 Κεφάλαιο 2 Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων 2.1 Θεωρία μέσου πεδίου για μείγματα αποτελούμενα από δυο BEC Ένα μείγμα δυο συμπυκνωμάτων, αποτελείται από άτομα που βρίσκονται σε δύο διαφορετικές καταστάσεις της υπέρλεπτης υφής του ίδιου είδους ατόμων. Η δυναμική του μείγματος περιγράφεται, στο πλαίσιο της θεωρίας μέσου πεδίου, από ένα σύστημα δύο συζευγμένων εξισώσεων GP της μορφής: iħ t ψ (r, t) = ( ħ2 2m 2 + V (r) + g ψ (r, t) 2 + g ψ (r, t) 2 ) ψ (r, t), (2.1) iħ t ψ (r, t) = ( ħ2 2m 2 + V (r) + g ψ (r, t) 2 + g ψ (r, t) 2 ) ψ (r, t). (2.2) Στο παραπάνω σύστημα εξισώσεων ψ,, είναι οι μακροσκοπικές κυματοσυναρτήσεις των δυο συστατικών του μείγματος και m είναι η ατομική μάζα. Μπορούμε επίσης να ορίσουμε το διάνυσμα Ψ = (ψ, ψ ) που περιγράφει το συνολική κυματοσυνάρτηση του συμπυκνώματος, και του οποίου οι συνιστώσες αντιστοιχούν στα δυο συστατικά του μείγματος. Το δυναμικό παγίδευσης V (r) του συμπυκνώματος θεωρείται αρμονικό και έχει την ακόλουθη μορφή V = 1 2 m(ω2 xx 2 + ω 2 yy 2 + ω 2 zz 2 ). Οι σταθερές σύζευξης g και g, χαρακτηρίζουν τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ ατόμων της ίδιας κατάστασης, ενώ οι g τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ατόμων σε διαφορετική κατάσταση. Οι σταθερές αυτές υπολογίζονται μέσω του αντίστοιχου μήκους σκέδασης (swave scattering length) α i,j όπου i, j =, σύμφωνα με τη σχέση g i,j = 4πħ 2 α i,j /m. Τα μήκη σκέδασης μπορεί να είναι θετικά ή αρνητικά, περιγράφοντας απωστικές ή ελκτικές 19

26 2.1. Θεωρία μέσου πεδίου για μείγματα αποτελούμενα από δυο BEC αλληλεπιδράσεις αντίστοιχα, ενώ χρησιμοποιώντας την τεχνική του συντονισμού Fesbach (Fesbach resonance) [12] είναι δυνατόν να τα μεταβάλει κανείς πειραματικά (ακόμα και το πρόσημό τους). Τα σκοτεινά-φωτεινά (dark-bright, DB) σολιτόνια αλλά και οι υπόλοιπες δομές που θα μας απασχολήσουν σε αυτή την διατριβή, είναι μονοδιάστατα αντικείμενα, και έτσι η διάσταση του πραγματικού συστήματος, δηλαδή του συμπυκνώματος, παίζει σημαντικό ρόλο στις ιδιότητές τους. Η χαρακτηριστική κλίμακα μήκους των Εξ. (2.1)-(2.2) καθορίζεται από τη γεωμετρία του δυναμικού παγίδευσης και για κάθε διεύθυνση δίνεται από το αντίστοιχο μήκος του αρμονικού ταλαντωτή a i = ħ/mω i (i {x, y, z}). Στην περίπτωση που το δυναμικό παγίδευσης είναι ισοτροπικό, έχει δηλαδή ίσες συχνότητες σε κάθε διεύθυνση (ω x = ω y = ω z ), το συμπύκνωμα είναι ένα πλήρως τρισδιάστατο (3D) αντικείμενο με σφαιρικό σχήμα. Τότε, οι διεγέρσεις του συμπυκνώματος σε οποιαδήποτε από τις τρεις διευθύνσεις, κοστίζουν την ίδια ενέργεια. Από την άλλη πλευρά, σε ανισοτροπικά δυναμικά όπου ω x < ω y = ω z ω το συμπύκνωμα έχει τη μορφή «πούρου» (επίμηκες στη x διεύθυνση). Είναι προφανές ότι για ισχυρά ανισoτροπικές παγίδες ω x ω, το συμπύκνωμα αποκτά ένα σχεδόν μονοδιάστατο (1D) σχήμα. Έχει αποδειχθεί [117] ότι η παράμετρος d = NΩ a a μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να χαρακτηρίσει τη διαστατικότητα του συμπυκνώματος, και πιο συγκεκριμένα: d 1, όταν το συμπύκνωμα έχει καθαρά τρισδιάστατo σχήμα, d 1 η περίπτωση ενδιάμεσης διαστατικότητας, σχήμα «πούρου», και d 1 όπου το συμπύκνωμα είναι οιονεί-μονοδιάστατο (quasi-1d). Διάφορες προσεγγίσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να γίνει αναγωγή των τρισδιάστατων Εξ. (2.1)-(2.2), σε ένα σύστημα μονοδιάστατων εξισώσεων που περιγράφει το μείγμα συμπυκνωμάτων ανάλογα με την διαστατικότητα, όπως ορίζεται από την παράμετρο d [86, 118, 119]. Στην περίπτωση του οιονεί-μονοδιάστατου BEC, όλες οι διεγέρσεις στην εγκάρσια διεύθυνση είναι ενεργητικά μη προτιμητέες και έτσι το συμπύκνωμα, στη διεύθυνση αυτή, βρίσκεται πάντα στην θεμελιώδη κατάσταση. Εδώ θα ασχοληθούμε με το όριο του οιονεί-μονοδιάστατου συμπυκνώματος d 1, που αντιστοιχεί στις παραμέτρους των σχετικών πειραμάτων [36, 37]. Σε αυτό το όριο θεωρούμε ότι οι κυματοσυναρτήσεις μπορούν να παραγοντοποιηθούν με τον ακόλουθο τρόπο: ψ, (x, y, z) = φ, (r ) ψ, (x, t). Στη συνέχεια, αφού θεωρήσουμε ότι στην εγκάρσια διεύθυνση δεν υπάρχουν διεγέρσεις, 2

27 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων οι συνιστώσες φ, (r ) περιγράφονται από τη θεμελιώδη κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή (που έχει τη μορφή Γκαουσιανής συνάρτησης) και ως εκ τούτου το πλάτος του συμπυκνώματος σε αυτή τη διεύθυνση ρυθμίζεται από το αντίστοιχο μήκος a. Οι διαμήκης κυματοσυναρτήσεις ψ, (x, t) από την άλλη πλευρά, αφήνονται να έχουν δυναμική εξάρτηση, και ικανοποιούν το ακόλουθο σύστημα μονοδιάστατων εξισώσεων: iħ t ψ = ( ħ2 2m 2 x + V (x) + g ψ 2 + g ψ 2 ) ψ, (2.3) iħ t ψ = ( ħ2 2m 2 x + V (x) + g ψ 2 + g ψ 2 ) ψ, (2.4) όπου V (x) = (1/2)mω 2 xx 2, οι «φαινομενικές» σταθερές ζεύξης δίνονται τώρα από τη σχέση g i,j = 2α i,j ħω, και για λόγους απλότητας παραλείπουμε τις περισπωμένες. Αδιάστατες εξισώσεις κίνησης Στo ομογενές όριο V (x) =, και στην ειδική περίπτωση όπου όλοι οι συντελεστές της μη γραμμικότητας είναι ίσοι, δηλαδή α = α = α, οι Εξ. (2.3)-(2.4) ταυτίζονται με το λεγόμενο σύστημα Manakov [12], το οποίο εισήχθη για πρώτη φορά στο πλαίσιο της μη γραμμικής οπτικής. Το σύστημα αυτό είναι γνωστό ότι είναι πλήρως ολοκληρώσιμο [ ], όπως αποδεικνύεται με την γενίκευση της μεθόδου «αντίστροφης σκέδασης» (inverse scattering method) της αντίστοιχης βαθμωτής εξίσωση NLS [124,125], και δέχεται ακριβείς λύσεις πολλαπλών διανυσματικών σολιτονίων [ ]. Αυτό το όριο δεν είναι πολύ μακριά από τη ρεαλιστική κατάσταση. Στα σχετικά πειράματα με άτομα ρουβιδίου τη ομάδας της Washington, τα δυο συστατικά του μείγματος αποτελούνται από τις καταστάσεις 1, 1 και 2, 2 [36 4]. Τα μήκη σκέδασης λαμβάνουν σε αυτή τη περίπτωση τις τιμές α = 1.4a, α = α = 98.98a (όπου a η ακτίνα του Bohr). Είναι επομένως σαφές ότι τα διάφορα μήκη σκέδασης έχουν περίπου την ίδια τιμή, δηλαδή α ij α, και το σύστημα είναι πολύ κοντά στο ολοκληρώσιμο όριο. Στην πιο γενική περίπτωση ωστόσο μπορούμε να κανονικοποιήσουμε τις Εξ. (2.3)-(2.4) και να γράψουμε τις ακόλουθες αδιάστατες εξισώσεις κίνησης: i t ψ = xψ + V (x)ψ + ( ψ 2 + g ψ 2 )ψ, (2.5) i t ψ = xψ + V (x)ψ + (g ψ 2 + g ψ 2 )ψ, (2.6) όπου οι πυκνότητες ψ, 2, το μήκος, ο χρόνος και η ενέργεια μετρώνται σε μονάδες 2α, a, ω και ħω αντίστοιχα, ενώ το δυναμικό παγίδευσης στις Eξ. (2.5)-(2.6) δίνεται τώρα από τη σχέση V (x) = (1/2)Ω 2 x 2. 21

28 2.1. Θεωρία μέσου πεδίου για μείγματα αποτελούμενα από δυο BEC Η κανονικοποιημένη συχνότητα του δυναμικού παγίδευσης Ω = ω x /ω 1, αποτελεί από εδώ και πέρα μια μικρή παράμετρο για το σύστημα. Οι συντελεστές της μη γραμμικότητας κανονικοποιούνται ως προς το μήκος σκέδασης α, δηλ. g g /g και g g /g, ενώ το ολοκληρώσιμο όριο αντιστοιχεί σε g ij = 1. Το παραπάνω σύστημα των κανονικοποιημένων εξισώσεων, στην περίπτωση χρονικά ανεξάρτητων δυναμικών, έχει τα εξής ολοκληρώματα κίνησης: τον αριθμό ατόμων κάθε συνιστώσας, N και N συνεπώς και το συνολικό αριθμό ατόμων N και τη συνολική ενέργεια E, που δίνονται από τις σχέσεις: + N = N + N = + ψ 2 dx + ψ 2 dx, + E = Edx, (2.7) E = ( 1 2 xψ j 2 + V (x) ψ j 2 ) ( ψ 4 + g ψ 4 + 2g ψ 2 ψ 2 ). (2.8) j=, Ο πρώτος όρος στην Χαμιλτονιανή πυκνότητα E αντιστοιχεί στην μονοσωματιδιακή ενέργεια και συμπεριλαμβάνει την κινητική καθώς και την δυναμική ενέργεια των ατόμων. Ο δεύτερος, μη γραμμικός όρος περιγράφει τις διατομικές αλληλεπιδράσεις. Η χρονικά ανεξάρτητη μορφή των Eqs. (2.5)-(2.6) προκύπτει με την αντικατάσταση ψ, (x, t) = e iμ 1,2t φ, (x) και δίνεται από τη σχέση: xφ + V (x)φ + ( φ 2 + g φ 2 μ 1 )φ =, (2.9) xφ + V (x)φ + (g φ 2 + g φ 2 μ 2 )φ =, (2.1) όπου μ 1,2 είναι τα χημικά δυναμικά της κάθε συνιστώσας. Η φυσική σημασία των χημικών δυναμικών γίνεται εμφανής αν παρατηρήσουμε ότι οι Εξ. (2.9)-(2.1) αντιστοιχούν στα ακρότατα του συναρτησοειδούς της συνολικής ενέργειας E[ψ, ψ ] μ 1 N 1 μ 2 N 2, όπου τα μ 1 και μ 2 παίζουν το ρόλο των πολλαπλασιαστών Lagrange που εξασφαλίζουν τον σταθερό αριθμό ατόμων. Προσέγγιση Thomas-Fermi Προτού προχωρήσουμε στις σολιτονικές λύσεις, που στην πραγματικότητα αντιστοιχούν σε διεγερμένες καταστάσεις του συμπυκνώματος, θα μελετήσουμε εν τάχει τις ιδιότητες των θεμελιωδών καταστάσεων του μείγματος. Η πιο απλή, μη τετριμμένη, λύση του συστήματος των Εξ. (2.9)-(2.1) είναι αυτή που αντιστοιχεί στην εξής διάταξη: η μια συνιστώσα έχει τη μορφή νέφους Thomas-Fermi (TF) ενώ η άλλη είναι μηδενική. Καθώς το νέφος TF χρησιμοποιείται σε αρκετά σημεία της παρούσας διατριβής, κρίνεται σκόπιμη μια αναλυτικότερη περιγραφή του σε αυτό το σημείο. Αυτή η προσέγγιση ισχύει για αρκετά μεγάλους αριθμούς ατόμων και χρησιμοποιείται για την περιγραφή της μορφής της 22

29 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων ψ(x) µ = 1.5 µ = 1 µ =.6 µ = x Σχήμα 2.1: Η θεμελιώδης κατάσταση της βαθμωτής εξίσωσης GP, Εξ. (2.11) για διάφορες τιμές του χημικού δυναμικού μ. Οι διακεκομμένες γραμμές, αντιστοιχούν στην προσέγγιση TF. θεμελιώδους κατάστασης. Συγκεκριμένα, με δεδομένο ότι ένα από τα δύο συστατικά είναι μηδέν, μπορούμε να μελετήσουμε ξεχωριστά οποιαδήποτε από τις εξισώσεις (2.9) και (2.1) που αφορούν στο εκάστοτε συστατικό και έχουν την ακόλουθη μορφή: 1 2 ψ(x) 2 x 2 + V (x)ψ(x) + g ψ(x) 2 ψ(x) μψ(x) =, (2.11) όπου V (x) = 1 2 Ω2 x 2. Στη προσέγγιση TF θεωρούμε ότι οι χωρικές μεταβολές της κυματοσυνάρτησης είναι αρκούντως μικρές συγκρινόμενες με τους υπόλοιπους όρους και έτσι, αγνοώντας τους κινητικούς όρους 2 / x 2, προκύπτει η λύση: ψ T F 2 = g 1 (μ V (x)), (2.12) στη περιοχή μ > V (x) ενώ ψ T F 2 = οπουδήποτε αλλού. Μέσω αυτής της προσέγγισης μπορούμε να υπολογίσουμε ποσότητες όπως την ακτίνα του συμπυκνώματος στην x διεύθυνση η οποία είναι R 2 = 2μ/Ω 2. Η προσέγγιση TF γίνεται καλύτερη όσο αυξάνει το χημικό δυναμικό μ, συνεπώς και ο αριθμός των ατόμων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.1. Θεμελιώδης κατάσταση του μείγματος Η μορφή της θεμελιώδους κατάστασης του μείγματος, όταν και τα δυο συστατικά είναι πεπερασμένα, εξαρτάται από το αν το μείγμα είναι αναμείξιμο ή όχι. Αυτό ρυθμίζεται κατά κύριο λόγο από τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ των ατόμων και έχει αποδειχθεί ότι ένα μείγμα είναι μη αναμείξιμο όταν ισχύει η συνθήκη [129, 13] Δ (g 2 g g )/g 2 >, (2.13) όπου Δ είναι η παράμετρος ανάμειξης. Για παράδειγμα, στο μείγμα 23 Na που χρησιμοποιήθηκε στα πειράματα των αναφορών [23] βρίσκεται ότι Δ.36. Για τις καταστάσεις 1, 1 και 2, 2 (ή 2, 2 και 1, 1 ) του 87 Rb, των πειραμάτων της ομάδας της Washington που μας ενδιαφέρουν, η παράμετρος Δ.1. 23

30 2.1. Θεωρία μέσου πεδίου για μείγματα αποτελούμενα από δυο BEC ψ 2 ψ 2 DW DW ψ 2 ψ 2 x ψ 2 ψ 2 DW x ψ 2 x Σχήμα 2.2: Η κατάσταση στη μορφή «σφαίρας-φλοιού» (αριστερή εικόνα)με δυο διαχωριστικές επιφάνειες (domain walls, DW), η κατάσταση με μια διαχωριστική επιφάνεια να ξεχωρίζει τα συστατικά (μεσαία εικόνα), και μια αναμείξιμη θεμελιώδης κατάσταση (δεξιά εικόνα). Η συνθήκη (2.13), από φυσικής σκοπιάς, υποδεικνύει ότι αν η απωστική αλληλεπίδραση μεταξύ των ατόμων του ίδιου συστατικού είναι ασθενέστερη των αλληλεπιδράσεων των ατόμων μεταξύ των συστατικών, τότε αυτά δεν αναμειγνύονται. Σε μια τέτοια περίπτωση, τα δυο ρευστά διαχωρίζονται και καταλαμβάνουν διαφορετικές χωρικές περιοχές, σχηματίζοντας μια ή περισσότερες διαχωριστικές επιφάνειες (domain-walls) [ ]. Σύμφωνα και με τις πειραματικές παρατηρήσεις, οι λύσεις στην περίπτωση του μή αναμείξιμου μείγματος στο όριο TF (όταν η κινητική ενέργεια είναι αρκούντως μικρή), έχουν την ακόλουθη μορφή: το ένα συστατικό καταλαμβάνει την περιοχή γύρω από το κέντρο της παγίδας και δύο διαχωριστικές επιφάνειες το ξεχωρίζουν από το άλλο συστατικό που καταλαμβάνει τις δυο άκρες του πηγαδιού δυναμικού, όπως φαίνεται στην αριστερά εικόνα του Σχ Αυτή η δομή ονομάζεται κατάσταση «σφαίρας και φλοιού» (ball and shell) [137] αφού στην τρισδιάστατη μορφή της αποτελείται από μια σφαίρα από άτομα του ενός συστατικού, επικαλυπτόμενη από ένα φλοιό με άτομα του άλλου συστατικού. Ωστόσο όταν η κινητική ενέργεια είναι μεγαλύτερη, ευνοείται ο σχηματισμός μιας μόνο διαχωριστικής επιφάνειας που ξεχωρίζει τα δυο είδη εκατέρωθεν της παγίδας [135] (μεσαία είκόνα στο Σχ. 2.2). Στην περίπτωση που το μείγμα είναι αναμείξιμο, δηλαδή Δ <, η θεμελιώδης κατάσταση αποτελείται από δύο επικαλυπτόμενα νέφη TF, όπως φαίνεται στη δεξιά εικόνα του Σχ Σύντομη περιγραφή της πειραματικής διάταξης Κρίνεται σκόπιμο σε αυτό το σημείο να περιγράψουμε συνοπτικά τα πειράματα συμβολής που έχουν ως αποτέλεσμα την εμφάνιση μη γραμμικών διεγέρσεων του συμπυκνώματος στη μορφή σολιτονίων. Τα μείγματα που χρησιμοποιήθηκαν για τα πειράματα του Πανεπιστημίου της Washington, όπως αναφέραμε παραπάνω, είναι αναμείξιμα με Δ.1 και ένα παράδειγμα της θεμελιώδους κατάστασής τους φαίνεται στην αριστερή εικόνα του 24

31 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων Σχήμα 2.3: Πειραματικές εικόνες που δείχνουν ένα μείγμα ατόμων 87 Rb στην 2, 2 (πάνω) και 1, 1 (κάτω) κατάσταση. Εδώ ο αριμός ατόμων στις δυο καταστάσεις είναι περίπου ίσος και ο συνολικός αριθμός είναι περίπου άτομα. Στην αριστερή εικόνα το μείγμα είναι αρχικά αναμειγμένο και αφού του ασκείται δυναμη από ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο, αυτό τελικά διαχωρίζεται στα δυο συστατικά του (δεξιά εικόνα). Σχ Μια τέτοια εικόνα, λαμβάνεται πειραματικά με τον εξής τρόπο. Αρχικά τα δυο συστατικά του μείγματος είναι αναμεμειγμένα, αφήνονται ελεύθερα στο χώρο σβήνοντας το δυναμικό παγίδευσης, οπότε τα δυο αέρια αρχίζουν να εκτονώνονται (κυρίως στην εγκάρσια διεύθυνση). Μετά από χρόνο περίπου 7 ms to αέριο φωτίζεται με λέιζερ, συχνότητας ίσης με τη συχνότητα μετάβασης από F = 2 F = 3. Με αυτό το τρόπο η ακτινοβολία απορροφάται από τα άτομα της 2, 2 κατάστασης και αυτά αφήνουν μια χαρακτηριστική σκιά στους αισθητήρες. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας πηγές μικροκυμάτων για περίπου 1 ms, τα άτομα στην 1, 1 κατάσταση μεταφέρονται στην 2, 2 και ξανά φωτογραφίζονται με το ίδιο λέιζερ. Ο χρόνος του 1 ms είναι αρκετός, έτσι ώστε λόγω βαρύτητας, τα άτομα του δεύτερου συστατικού να έχουν κατέβει προς τα κάτω και να φαίνονται τα διαχωρισμένα νέφη του Σχ Στην πραγματικότητα, δηλαδή, η κατάσταση του μείγματος πριν την εκτόνωση περιγράφεται «ενώνοντας» στην κατακόρυφη διεύθυνση τις εικόνες των δύο αερίων που φαίνονται (πάνω και κάτω) στις εικόνες του Σχ Τα πειράματα για την μελέτη της συμβολής μεταξύ των δυο αερίων έγιναν με τον ακόλουθο τρόπο. Στο αρχικά αναμειγμένο μείγμα προστίθεται ένα εξωτερικό μαγνητικό πεδίο. Επειδή τα δύο συστατικά έχουν αντίθετη μαγνητική ροπή, στο κάθε ένα ασκείται δύναμη με αντίθετη διεύθυνση σε σχέση με το άλλο, και αυτά αρχίζουν να κινούνται αντίθετα. Κατά τη διάρκεια του διαχωρισμού των δυο συμπυκνωμάτων, όσο το ένα αέριο ρέει μέσα στο άλλο, παρατηρείται η γένεση εντοπισμένων μορφών που είναι στην πραγματικότητα τα σολιτόνια (μεσαία εικόνα του Σχ. 2.3). Σημειώνεται επίσης ότι στα πειράματα ελέγχεται η ταχύτητα με την οποία κινούνται τα συμπυκνώματα, μέσω του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου, αφού η δύναμη που ασκείται στα συστατικά είναι ανάλογη της έντασης του μαγνητικού πεδίου. 2.2 Σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο Αφού είδαμε τη μορφή της θεμελιώδους κατάστασης του μείγματος συμπυκνωμάτων, συνεχίζουμε με τη μελέτη των διεγερμένων καταστάσεων, στη μορφή εντοπισμένων μη 25

32 2.2. Σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο Σχήμα 2.4: Πειραματικές εικόνες ενός απλού σκοτεινού-φωτεινού (dark-bright, DB) σολιτονίου που εκτελεί ταλαντώσεις.η συχνότητα της παγίδας στην εγκάρσια διεύθυνση είναι ω x = 2π 1.2Hz, ενώ το πάνω και κάτω νέφος ατόμων αντιστοιχεί στην 2, 2 και 1, 1 κατάσταση υπέρλεπτης υφής του 87 Rb. γραμμικών υλικών κυμάτων. Στη περίπτωση των αναμείξιμων μειγμάτων, η πιο απλή μη γραμμική διεγερμένη κατάσταση έχει τη μορφή ενός σκοτεινού-φωτεινού (DB) σολιτονίου. Στο Σχ. 2.4 φαίνονται οι πειραματικές εικόνες ενός DB σολιτονίου σε ένα μείγμα συμπυκνωμάτων 87 Rb, απαρτιζόμενο από την 2, 2 κατάσταση (άνω νέφος) που έχει τη μορφή ενός φωτεινού σολιτονίου και την 1, 1 κατάσταση (κάτω νέφος) που φέρει ένα σκοτεινό σολιτόνιο. Για την δημιουργία ενός τέτοιου σολιτονίου χρησιμοποιείται ένα αρχικό μείγμα με πολύ μικρότερο αριθμό ατόμων (Ν 9, ) στην κατάσταση 2, 2, σε αντιδιαστολή με την περίπτωση του Σχ. 2.3 (Ν 3, ). Tο σολιτόνιο εκτελεί μια σχεδόν πλήρη ταλάντωση στο δυναμικό παγίδευσης και είναι εξαιρετικά ευσταθές, με χρόνο ζωής μεγαλύτερο από 4 s. Αντίστοιχη δυναμική παρατηρήθηκε για μείγματα με διαφορετικούς αριθμούς ατόμων, μέχρι και μια τάξη μεγαλύτερους. Τα σολιτόνια αυτά διατηρούν τη μορφή τους ακόμη και στις μεταξύ τους συγκρούσεις, όπως αυτή που φαίνεται στο Σχ Εκεί ένα μικρότερο σολιτόνιο που βρίσκεται αρχικά στο αριστερό άκρο της παγίδας, συγκρούεται στη συνέχεια με το μεγαλύτερο και έπειτα ανακλάται από τα τοιχώματα. Σε αυτή την ενότητα θα μελετήσουμε λεπτομερώς τις ιδιότητες του απλού σκοτεινού- 26

33 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων Σχήμα 2.5: Ισομετρικά contour στα 2/5 της μέγιστης πυκνότητας ενός DB σολιτονίου που προέκυψαν από προσομοιώσεις του συστήματος των τρισδιάστατων εξισώσεων GP, όπου παρουσιάζεται και μια τομή στην πυκνότητα με το χρωματισμό που φαίνεται στη σχετική κλίμακα δεξιά. φωτεινού σολιτονίου και θα εξάγουμε αναλυτικά αποτελέσματα σχετικά με τις ταλαντώσεις των υλικών αυτών κυμάτων στην παραβολική παγίδα. Στη συνέχεια θα μελετήσουμε την δυναμική τους υπό την επίδραση απωλειών [138], για να εξηγήσουμε τον σχετικά μεγάλο χρόνο ζωής τους που παρατηρείται στο πείραμα, αφού στην πραγματικότητα πάντα υπάρχουν απώλειες λόγω παρουσίας του θερμικού νέφους. Για τη παραπάνω μελέτη θα αναπτύξουμε μια αδιαβατική θεωρία διαταραχών για τα διανυσματικά σολιτόνια, βασισμένη στην αντίστοιχη θεωρία για τα σκοτεινά σολιτόνια [86] Ακριβής λύση Η πιο γενική μορφή ενός διανυσματικού φωτεινού-σκοτεινού σολιτονίου, που είναι μια ακριβής λύση της Εξ. (2.5)-(2.6) στο ολοκληρώσιμο όριο Manakov (που αντιστοιχεί σε V = και g = g = 1), με συνοριακές συνθήκες ψ 2 μ και ψ 2 όταν x, είναι η ακόλουθη: ψ (x, t) = μ(cos φtanhξ + i sin φ), (2.14) ψ (x, t) = η sechξ exp[ikx + iθ(t)], (2.15) όπου ξ = D(x x (t)). Στις παραπάνω εκφράσεις, φ είναι η φασική γωνία του σολιτονίου, cos φ και η, αντιπροσωπεύουν το πλάτος του σκοτεινού και του φωτεινού σολιτονίου αντίστοιχα, ενώ D και x (t) είναι το αντίστροφο εύρος και το κέντρο του σολιτονίου, αντίστοιχα. Η φασική γωνία φ συνδέεται άμεσα με τη «σκοτεινότητα» του σολιτονίου, μέσω της σχέσης ψ 2 = μ[1 cos 2 φsech(ξ)]. Ακόμη, k = D tan φ και θ(t) είναι ο σταθερός κυματάριθμος και η φάση του φωτεινού σολιτονίου αντίστοιχα. Οι παραπάνω σταθερές 27

34 2.2. Σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο συνδέονται μεταξύ τους μέσω των σχέσεων: όπου D 2 = μ cos 2 φ η 2, (2.16) x = k = D tan φ, (2.17) θ = 1 2 (D2 k 2 ), (2.18) x η ταχύτητα και θ η γωνιακή συχνότητα (οι τελείες συμβολίζουν παραγώγους συναρτήσει του χρόνου). Όπως φαίνεται, το σολιτόνιο (2.14), (2.15) χαρακτηρίζεται από τρεις ελεύθερες παραμέτρους (εφτά συνολικές παράμετροι μ, φ, η, k, D, x, θ και τέσσερις σχέσεις που τις συνδέουν, ). Ακόμα το πλάτος του φωτεινού σολιτονίου η, το χημικό δυναμικό μ και το το αντίστροφο εύρος D του σολιτονίου, συνδέονται με τον αριθμό ατόμων του φωτεινού σολιτονίου N B σύμφωνα με την εξίσωση: + N B ψ 2 2 dx = 2 μη 2 D. (2.19) Υπενθυμίζεται ότι το σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιo συχνά αναφέρεται στη βιβλιογραφία ως συμβιωτικό, υποδηλώνοντας ότι το φωτεινό σολιτόνιο (που δεν υπάρχει μόνο του σε απωστικά αλληλεπιδρώντα συμπυκνώματα) μπορεί να σχηματιστεί μόνο μέσω των μη γραμμικών αλληλεπιδράσεων του με το σκοτεινό σολιτόνιο. Διαισθητικά μπορεί να πει κανείς ότι το σκοτεινό σολιτόνιο στο ένα συστατικό δημιουργεί ένα φαινόμενο δυναμικό για το άλλο συστατικό και το δυναμικό αυτό υποστηρίζει μια εντοπισμένη (δέσμια) κατάσταση, το φωτεινό σολιτόνιο. Σολιτόνια στην παγίδα Το DB σολιτόνιο που περιγράψαμε πιο πάνω, είναι μια ακριβής λύση του συστήματος Manakov, αλλά στη πραγματικότητα η πειραματική διάταξη περιλαμβάνει πάντα το αρμονικό δυναμικό παγίδευσης που συγκρατεί τα άτομα, το οποίο σπάει την ολοκληρωσιμότητα. Έτσι το σολιτόνιο των Εξ. (2.14)-(2.15) δεν είναι πλέον ακριβής λύση του πλήρους προβλήματος. Συγκεκριμένα, εξαιτίας του γεγονότος ότι τα δυο ρευστά είναι πεπερασμένα λόγω της παρουσίας της παγίδας, γίνεται προφανές ότι οι συνοριακές συνθήκες για το σκοτεινό σολιτόνιο δεν μπορεί παρά να είναι μηδενικές. Ένα άμεσο αποτέλεσμα αυτής της αλλαγής είναι ότι το σολιτόνιο ζει σε ένα ανομοιογενές υπόβαθρο και άρα δεν έχει συμμετρία μετάθεσης (translation invariance). Δηλαδή όταν μετακινείται από το κέντρο της παγίδας σε οποιαδήποτε διεύθυνση θα βλέπει διαφορετικό υπόβαθρο. Σύμφωνα με αυτή την εικόνα, έχει δειχθεί ότι το σολιτόνιο μέσα στην παραβολική παγίδα εκτελεί ταλαντώσεις που η συχνότητά τους εξαρτάται από των αριθμό των ατόμων 28

35 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων του φωτεινού συστατικού. [86, 112]. Ενδείξεις για αυτές τις ταλαντώσεις παρουσιάστηκαν στο πρώτο σχετικό πείραμα της ομάδας του Αμβούργου [76], ενώ επιβεβαιώθηκαν στα μεταγενέστερα πειράματα στην Washington [37], όπως φαίνεται και στις εικόνες του Σχ Σε αυτά τα πειράματα βρέθηκε ότι όταν η διαστατικότητα του συμπυκνώματος δεν είναι οιονεί μονοδιάστατη αλλά πιο κοντά στην ενδιάμεση d 1, τότε η συχνότητα του σολιτονίου μεταβάλλεται. Ακόμα δείχθηκε ότι αν ο αριθμός των ατόμων στο φωτεινό σολιτόνιο γίνει αρκούντως μεγάλος, τότε το σολιτόνιο γίνεται ασταθές. Αντίστοιχα, άλλες παράμετροι σχετικές με το πείραμα, όπως οι απώλειες [138] ή οι ατέλειες μέσα στο ρευστό με τη μορφή φράγματος δυναμικού [139], μπορούν επίσης να οδηγήσουν σε μη τετριμμένη δυναμική των σολιτονίων. Στη συνέχεια θα διατυπώσουμε μια αδιαβατική θεωρία διαταραχών προκειμένου να μελετήσουμε τα σκοτεινά-φωτεινά σολιτόνια υπό την επίδραση διαφόρων εξωτερικών παραγόντων, όπως αυτού του δυναμικού παγίδευσης Αδιαβατική θεωρία διαταραχών για σκοτεινά-φωτεινά σολιτόνια Δεδομένου ότι σε κάθε πειραματικά ρεαλιστική περίπτωση το δυναμικό παγίδευσης είναι παρόν, η μελέτη των Εξ. (2.5)-(2.6) θα γίνει παρουσία του δυναμικού V (x) = (1/2)Ω 2 x 2. Για λόγους απλότητας θα αλλάξουμε τo συμβολισμό για τις κυματοσυναρτήσεις σε ψ = u d και ψ = u b, για να φαίνεται σαφώς ποια συνιστώσα αντιστοιχεί στο σκοτεινό (dark) και ποια στο φωτεινό (bright) σολιτόνιο, αντίστοιχα. Πρώτα γράφουμε την μορφή του υποβάθρου για την u d συνιστώσα στην προσέγγιση TF και με χημικό δυναμικό μ, όπου η αντίστοιχη πυκνότητα γράφεται ως u d,t F 2 = μ V (x). Αυτή η παραδοχή είναι σε συμφωνία με την πειραματική εικόνα (βλ. Σχ. 2.4), όπου το νέφος με το σκοτεινό σολιτόνιο, έχει διάσταση τουλάχιστον μια τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από το χαρακτηριστικό εύρος του σολιτονίου. Αντικαθιστώντας την πυκνότητα u d 2 στις Εξ. (2.5)-(2.6) με u d 2 u d,t F 2 u d 2 και χρησιμοποιώντας τους μετασχηματισμούς t μt, x μx, u b 2 μ 1 u b 2, φέρνουμε τελικά τις Εξ. (2.5)-(2.6) στην ακόλουθη μορφή: όπου i t u d xu d ( u d 2 + u b 2 1) u d = R d, (2.2) i t u b xu b ( u b 2 + u d 2 μ) u b = R b, (2.21) μ = 1 + Δ/μ και οι διαταραχές R d και R b δίνονται από τις παρακάτω σχέσεις: R d (2μ 2 ) 1 [2(1 u d 2 )V (x)u d + V (x) x u d ], (2.22) R b μ 2 [(1 u d 2 )V (x)u b. (2.23) 29

36 2.2. Σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο με V (x) dv /dx. Για να εξάγουμε την παραπάνω έκφραση, έχουμε χρησιμοποιήσει το γεγονός ότι στο οιονεί μονοδιάστατο όριο η κανονικοποιημένη συχνότητα Ω = ω x /ω 1 είναι μικρή ποσότητα. Οι εξισώσεις (2.2)-(2.21) αποτελούν ένα σύστημα από δυο συζευγμένες εξισώσεις NLS, που βρίσκονται υπό την επίδραση των διαταραχών του δεξιού μέρους, δηλαδή τις Εξ. (2.22)-(2.23). Παρατηρεί κανείς ότι η διαταραχή (2.22) περιλαμβάνει όρους αλληλεπίδρασης του u d με το δυναμικό V που προήλθαν από το υπόβαθρό του. Από την άλλη πλευρά, η Εξ. (2.23) περιγράφει αλληλεπιδράσεις του u b όχι μόνο με το δυναμικό V αλλά και με την συνάρτηση u d. Στην αδιατάρακτη περίπτωση (δηλαδή στο ομογενές πρόβλημα με V (x) = ), το σύστημα (2.2)-(2.21) επιδέχεται μια ακριβή σολιτονική λύση με συνοριακές συνθήκες u d 2 1 και u b 2 όταν x, στην μορφή (2.14)-(2.15), με παραμέτρους που δίνονται από τις σχέσεις (2.16)-(2.17) και όπου θ(t) = (1/2)(D 2 k 2 )t + (Δ/μ)t. Για να μελετήσουμε τώρα την επίδραση των διαταραχών R b,d σε αυτές τις λύσεις, θα υιοθετήσουμε μια προσέγγιση όπου το σολιτόνιο έχει τη μορφή ενός σημειακού σωματιδίου. Σε μια τέτοια εικόνα εξάγουμε μια εξίσωση κίνησης που περιγράφει την κίνηση του κέντρου του σολιτονίου. Για να προχωρήσουμε είναι σκόπιμο πρώτα να θεωρήσουμε την Χαμιλτονιανή (συνολική ενέργεια) του αδιατάρακτου συστήματος των Εξ. (2.2)-(2.21), δηλαδή όταν R b = R d = : E = Edx, E = x u d 2 + x u b 2 + ( u d 2 + u b 2 1) 2 2( μ 1) u b 2. (2.24) Η ενέργεια αυτή, για την λύση του σολιτονίου των Εξ. (2.14)-(2.15), δίνεται από τη σχέση: E = 4 3 D3 + χ ( 1 2 D2 sec 2 φ Δ μ ), χ = N b μ. (2.25) Στην αδιαβατική προσέγγιση που θα ακολουθήσουμε, υποθέτουμε ότι παρουσία των διαταραχών (2.22)-(2.23) οι παράμετροι του σολιτονίου γίνονται αργά μεταβαλλόμενες συναρτήσεις του χρόνου t, και ότι το σολιτόνιο διατηρεί τη συναρτησιακή του μορφή κατά την χρονική του εξέλιξη. Έτσι, υποθέτουμε ότι παράμετροι γίνονται φ φ(t), D D(t) και οι αντίστοιχες συνθήκες συμβιβαστότητας (2.16)-(2.17) γίνονται τώρα: D 2 (t) = cos 2 φ(t) χ D(t), 2 (2.26) x (t) = D(t)tanφ(t), (2.27) όπου χρησιμοποιήσαμε τη σχέση (2.19). Η χρονική εξέλιξη των τριών ελεύθερων παραμέτρων φ(t), D(t) και x (t) μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη εξέλιξη της 3

37 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων ενέργειας του σολιτονίου. Πιο συγκεκριμένα, παραγωγίζοντας την Εξ. (2.25) ως προς το χρόνο, βρίσκουμε ότι de dt = 4 DD 2 + χd sec 2 φ( D + D φtanφ). (2.28) Αντίστοιχα, χρησιμοποιώντας τις Εξ. (2.2)-(2.21) και τις μιγαδικές συζυγείς τους, μπορούμε να εξάγουμε την παρακάτω σχέση που περιγράφει την μεταβολή της ενέργειας λόγω της παρουσίας των διαταραχών: de dt + = 2Re { (Rd tu d + Rb tu b )dx}, (2.29) όπου ο αστερίσκος δηλώνει μιγαδικό συζυγή. Έτσι έχουμε υποδείξει δυο διαφορετικούς μηχανισμούς που οδηγούν στη μεταβολή της ενέργειας: (i) μεταβάλλεται όταν οι παράμετροι του σολιτονίου γίνουν χρονικά εξαρτημένες και (ii) μεταβάλλεται λόγω της παρουσίας των διαταραχών R d και R b. Εξισώνοντας τις Εξ. (2.28)-(2.29) μπορούμε να πάρουμε τις κατάλληλες εξισώσεις που περιγράφουν την χρονική εξέλιξη των παραμέτρων του σολιτονίου Ταλαντώσεις στο παραβολικό δυναμικό Αντικαθιστώντας τις διαταραχές στο ολοκλήρωμα της Εξ. (2.29) και κάνοντας τους υπολογισμούς καταλήγουμε στο εξής πρόβλημα: 4 DD 2 + χd sec 2 φ( D + D φtanφ) = 1 μ 2 (2 cos3 φ sin φ χd sin φ cos φ) V (x ),(2.3) Η Εξ. (2.3), μαζί με τις συνθήκες (2.26)-(2.27), αποτελούν ένα σύστημα εξισώσεων για τις τρεις σχετικές παραμέτρους φ(t), D(t) και x (t). Θα εστιάσουμε την προσοχή μας σε σολιτόνια που κινούνται κοντά στο κέντρο της παγίδας και είναι σχεδόν «μαύρα», δηλαδή x και cos φ 1, που αποτελούν ένα σημείο ισορροπίας (fixed-point) του παραπάνω συστήματος: x,eq =, φ eq =, D eq = 1 + ( χ 4 )2 χ 4. (2.31) Θεωρώντας μικρές διαταραχές γύρο από το σημείο ισορροπίας, x + x, φ + φ και D D eq + D 1, γραμμικοποιούμε τις Εξ. (2.26)-(2.27) και (2.3) σε σχέση με τις μικρές παραμέτρους x, φ και D 1 παίρνοντας τελικά το παρακάτω αποτέλεσμα: D 1 = Dφ 2, D (2D eq + χ/2) 1 (2.32) φ = 2 + χd eq D eq [ 8D eq D χ(2d D eq )] V (x ), (2.33) x = D eq φ. (2.34) 31

38 2.2. Σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο Χρησιμοποιώντας το παραπάνω σύστημα εξισώσεων (2.32)-(2.34) μπορούμε να εξάγουμε την εξίσωση κίνησης για το κέντρο του σολιτονίου: παραγωγίζοντας την Εξ. (2.34) ως προς το χρόνο μια φορά, και χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (2.33)-(2.34), παίρνουμε τελικά την ακόλουθη εξίσωση για το x : x = ( χ ) V (x ), (2.35) χ x όπου υπενθυμίζεται ότι χ = N b / μ (2.25), ενώ χ = (χ/4) 2. Η παραπάνω εξίσωση είναι μια Νευτώνεια εξίσωση κίνησης για ένα κλασικό σωματίδιο υπό την επίδραση ενός δυναμικού. Στην περίπτωση αρμονικού δυναμικού V (x) = (1/2)Ω 2 x 2, η Εξ. (2.35) γίνεται η εξίσωση κίνησης του κλασικού γραμμικού αρμονικού ταλαντωτή, με συχνότητα ταλάντωσης ω osc που δίνεται από τη σχέση: x + ωoscx 2 =, (2.36) ω 2 osc = Ω 2 ( 1 2 χ χ ). (2.37) Στο όριο χ, δηλαδή όταν ο αριθμός ατόμων του φωτεινού σολιτονίου N b, η Εξ. (2.35) αναπαράγει τη συχνότητα ταλάντωσης ενός σκοτεινού σολιτονίου σε BEC ενός συστατικού, δηλ. ω osc = Ω/ 2 ( [86]), ενώ προφανώς η συχνότητα αυτή μεταβάλλεται καθώς αυξάνει το N b. Συγκεκριμένα, η συχνότητα ταλάντωσης μειώνεται συγκρινόμενη με τη χαρακτηριστική τιμή Ω/ 2, οπότε το ζεύγος σκοτεινού-φωτεινού σολιτονίου εκτελεί πιο αργές ταλαντώσεις όσο ο αριθμός των ατόμων στο φωτεινό σολιτόνιο αυξάνεται. Αριθμητικά αποτελέσματα και η ανάλυση BdG Εκτός από τις αναλυτικές προσεγγίσεις που χρησιμοποιήθηκαν παραπάνω για να περιγράψουν τις ταλαντώσεις των σολιτονίων στην παγίδα, έγινε και αριθμητική μελέτη της ευστάθειας και της εξέλιξης των DB σολιτονίων. Σημειώνουμε πρώτα ότι στάσιμες λύσεις σολιτονίων, που αντιστοιχούν σε λύσεις όπου το σκοτεινό σολιτόνιο έχει μηδενική ταχύτητα φ = και το κέντρο τους βρίσκεται στο κέντρο του δυναμικού, μπορούν να βρεθούν αριθμητικά λύνοντας τις αντίστοιχες στάσιμες Εξ. (2.9)-(2.1). Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση ενός αλγορίθμου Newton-Krylov, (τροποποιημένη μορφή της μεθόδου Newton για εύρεση ριζών [14]). Στον αλγόριθμο αυτό, εισάγοντας μια αρκούντως καλή αρχική μορφή για τη λύση, συγκεκριμένα αυτήν των Εξ.(2.14)-(2.15) του αντίστοιχου ομογενούς προβλήματος πολλαπλασιασμένη με το υπόβαθρο TF, η σύγκλιση του αλγορίθμου οδηγεί στην εύρεση της ακριβούς λύσης (με προεπιλεγμένη αριθμητική ακρίβεια). 32

39 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων t x x Σχήμα 2.6: Το πάνω σχήμα παρουσιάζει ένα στιγμιότυπο από την εξέλιξη ενός DB σολιτονίου που αντιστοιχεί στο πλαίσιο που φαίνεται στην κάτω εικόνα. Οι κάτω εικόνες δείχνουν την χωροχρονική εξέλιξη των πυκνοτήτων ψ 2 (αριστερά) και ψ 2 (δεξιά). Οι τιμές των παραμέτρων είναι μ 1 = 1.4, μ 2 = 1, και Ω =.1. Στη συνέχεια γίνεται αριθμητική ολοκλήρωση των Εξ. (2.5)-(2.6), χρησιμοποιώντας τη μέθοδος Runge-Kutta ή και τη φασματική μέθοδος split-step-fourier, ενώ τα αποτελέσματα και των δυο μεθόδων είναι ποσοτικά και ποιοτικά ίδια. Επίσης οι χωρικές παράγωγοι στα αριθμητικά αποτελέσματα προσεγγίζονται από τη μέθοδο των πεπερασμένων διαφορών (finite difference). Αφού βρούμε μια τέτοια στατική λύση, τη χρησιμοποιούμε ως αρχική συνθήκη για την αριθμητική ολοκλήρωση του χρονοεξαρτημένου συστήματος (2.5)- (2.6), αφού πρώτα την διαταράξουμε (π.χ., μέσω της μετακίνησης από το κέντρο της παγίδας). Η διαταραχή οδηγεί το σολιτόνιο στο να εκτελεί ταλαντώσεις μέσα στο αρμονικό δυναμικό. Ένα τέτοιο παράδειγμα απεικονίζεται στο Σχ Στην αριστερή (δεξιά) εικόνα φαίνεται η χωροχρονική εξάρτηση της πυκνότητας του φωτεινού (σκοτεινού) σολιτονίου στην αντίστοιχη συνιστώσα ψ (ψ ) που εκτελεί ταλαντώσεις. Στην κορυφή του σχήματος, φαίνεται ένα στιγμιότυπο (την χρονική στιγμή t = 1) και για τις δυο συνιστώσες, για να τονισθεί η συσχέτιση με τις αντίστοιχες πειραματικές εικόνες του Σχ Η διακεκομμένη γραμμή στη δεξιά εικόνα αντιστοιχεί στο αναλυτικό αποτέλεσμα της Εξ. (2.36), αναδεικνύοντας την εξαιρετική συμφωνία των αναλυτικών αποτελεσμάτων σε σχέση με την αριθμητική επίλυση του αρχικού συστήματος συζευγμένων εξισώσεων. Επιπλέον, είναι σημαντικό να μελετηθεί η ευστάθεια των στατικών λύσεων για διαφορετικές τιμές των σχετικών παραμέτρων. Συγκεκριμένα θεωρούμε αρχικά μια σολιτονική αριθμητική λύση, όπως αυτή που φαίνεται στη δεξιά εικόνα του Σχ. 2.7, όπου χρησιμοποιούμε το συμβολισμό ψ (x, t) = u(x) και ψ (x, t) = v(x) για τις αριθμητικές λύσεις. Αφού βρεθεί μια τέτοια λύση, η ευστάθειά της προσδιορίζεται με τη βοήθεια της λεγόμενης ανάλυσης Bogoliubovde Gennes, η οποία εξηγείται λεπτομερώς στο Παράρτημα Α και εδώ θα περιγράψουμε τα κύρια αποτελέσματα της. Αναφέρουμε εν συντομία ότι μια τέτοια ανάλυση, μελετά μικρού 33

40 2.2. Σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο λ i /Ω u x ( ) v ( x) λ r µ 1 x Σχήμα 2.7: Η αριστερά εικόνα δείχνει τις χαμηλότερες ιδιοτιμές ενός τυπικού φάσματος BdG για το απλό σολιτόνιο και ο κόκκινος κύκλος αντιστοιχεί στον «ανώμαλο» τρόπο. Η μεσαία εικόνα δείχνει την εξάρτηση των διαφόρων τρόπων σαν συνάρτηση του χημικού δυναμικού μ 1 για σταθερό μ 2 = 1. Η συνεχής κόκκινη γραμμή αντιστοιχεί στον «ανώμαλο» τρόπο, ενώ οι κύκλοι στο αποτέλεσμα της Εξ. (2.37). Η δεξιά εικόνα παρουσιάζει το προφίλ των πυκνοτήτων του αριθμητικά ευρισκόμενου σολιτονίου για μ 1 = Οι υπόλοιπες παράμετροι είναι όπως και στο Σχ πλάτους διαταραχές προστιθέμενες σε μια στατική λύση ψ [u(x), v(x)] T. Οι ιδιοτιμές των αντίστοιχων διαταραχών λ = λ r + iλ i λαμβάνονται αριθμητικά και χαρακτηρίζουν την φασματική ευστάθεια της αντίστοιχης λύσης ψ. Οι τρόποι ταλάντωσης με καθαρά φανταστικό λ, αντιστοιχούν σε δυναμική ταλαντώσεως της αντίστοιχης διαταραχής και αυτοί ονομάζονται ευσταθείς τρόποι. Από την άλλη πλευρά, αν το λ έχει πεπερασμένο πραγματικό μέρος, τότε ο συγκεκριμένος τρόπος είναι ασταθής, αφού θα οδηγήσει σε εκθετικά αυξανόμενη διαταραχή. Παρουσία της παραβολικής παγίδας είναι γνωστό ότι το φάσμα αποτελείται από διακριτές ιδιοτιμές [86]. Ένα παράδειγμα από τις χαμηλότερες διακριτές ιδιοτιμές για την λύση σκοτεινού-φωτεινού σολιτονίου φαίνεται στην αριστερή εικόνα του Σχ Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν οι τρόποι με αρνητική ενέργεια, η οποίοι ονομάζονται ανώμαλοι τρόποι (βλέπε Παράρτημα Α για λεπτομέρειες ). Στο Σχ. 2.7 ο ανώμαλος τρόπος απεικονίζεται με κόκκινο κύκλο και αποδεικνύεται ότι συνδέεται άμεσα με τη συχνότητα ταλάντωσης του σολιτονίου στην αρμονική παγίδα. Τα αποτελέσματα της ανάλυσης BdG, απεικονίζονται στη μεσαία εικόνα του Σχ. 2.7, όπου οι ιδιοτιμές λ i παρουσιάζονται ως συναρτήσεις του χημικού δυναμικού μ 1 (για μ 2 = 1). Το πρώτο σημαντικό αποτέλεσμα αυτής της ανάλυσης είναι ότι υπάρχουν μόνον φανταστικές ιδιοτιμές υποδεικνύοντας έτσι ότι τα σκοτεινά-φωτεινά σολιτόνια είναι ευσταθή παρουσία του παραβολικού δυναμικού παγίδευσης. Να σημειώσουμε όμως ότι στην αναφορά [37], βρέθηκε ότι μπορεί να εμφανιστούν αστάθειες στην περίπτωση διαφορετικής διαστατικότητας του συμπυκνώματος. 34

41 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων Ένα άλλο σημαντικό αποτέλεσμα αφορά στον «ανώμαλο» τρόπο (μεσαία εικόνα, δεύτερη γραμμή από κάτω) που περιγράφει τις ταλαντώσεις του σολιτονίου, και βρίσκεται σε εξαιρετική συμφωνία με την αναλυτική έκφραση της Εξ. (2.36) που εξήχθη από την αδιαβατική θεωρία διαταραχών (κόκκινοι κύκλοι) Απώλειες λόγω πεπερασμένης θερμοκρασίας Στην προηγούμενη ενότητα, θεμελιώσαμε μια αδιαβατική θεωρία διαταραχών και χρησιμοποιήσαμε αριθμητικούς υπολογισμούς προκειμένου να περιγράψουμε τη δυναμική των σκοτεινών-φωτεινών σολιτόνιων παρουσία του παραβολικού δυναμικού σε μηδενική θερμοκρασία T =. Η λογική επέκταση της προηγούμενης ανάλυσης είναι η μελέτη της ευστάθειας και της δυναμικής των υλικών κυμάτων, υπό την επίδραση απωλειών αφού προφανώς τα πειράματα εκτελούνται σε πεπερασμένες θερμοκρασίες [141]. Πιο συγκεκριμένα θα μελετήσουμε την αστάθεια των σολιτονίων που προκαλείται από τις θερμικές διεγέρσεις που συμβαίνουν φυσικά στο σύστημα. Το πρόβλημα αυτό αντιμετωπίστηκε για πρώτη φορά στην αναφορά [142], όπου χρησιμοποιήθηκε μια μιας κινητική εξίσωση, σε συνδυασμό με τις εξισώσεις BdG, για τη μελέτη σκοτεινών σολιτονίων σε BEC. Διαπιστώθηκε ότι το σολιτόνιο υπακούει μια εξίσωση κίνησης που περιλαμβάνει όρους αντι-απόσβεσης (anti-idamping) που προέρχονται λόγω πεπερασμένης θερμοκρασίας. Η συμπεριφορά των λύσεων συμπεριλαμβανομένης της αντιαπόσβεσης χρησιμοποιήθηκε για να εξηγήσει τουλάχιστον ποιοτικά τη δυναμική σολιτονίων σε πειράματα: τα σολιτόνια είτε αποσβένονται εκθετικά (για σχετικά υψηλές θερμοκρασίες) [73 75], ή εκτελούν ταλαντώσεις αυξανόμενου πλάτους (για σχετικά χαμηλές θερμοκρασίες), και το σύστημα καταλήγει τελικά πάντα στην θεμελιώδη κατάσταση. Αντίστοιχα, στην αναφορά [143], το πρόβλημα αντιμετωπίζεται στο πλαίσιο της θεωρίας μέσου πεδίου, δηλαδή της εξίσωσης GP με απώλειες (dissipative GP equation, DGPE). H εξίσωση αυτή ενσωματώνει όρους απόσβεσης, που προτάθηκαν για πρώτη φορά φαινομενολογικά [144] και αργότερα δικαιολογήθηκαν και από μικροσκοπικής σκοπιάς [145]. Αντίθετα, στις αναφορές [146, 147] το ίδιο πρόβλημα μελετήθηκε αριθμητικά, χρησιμοποιώντας ένα συνδυασμό της εξίσωσης GP και των κβαντικών εξισώσεων Boltzmann, βασισμένο στην λεγόμενη προσέγγιση Zaremba-Nikuni-Griffin (ZNG) [148 15]. Επιπλέον, η δυναμική σκοτεινών σολιτονίων σε πεπερασμένη θερμοκρασία, μελετήθηκε με τη βοήθεια της στοχαστικής εξίσωσης GP[stohastic GP equation (SGPE)] [141, 145]. Επιπρόσθετα, στην αναφορά [151] η θερμοκρασία μελετήθηκε ως κβαντική διαταραχή στο συμπύκνωμα, και η επίδραση της στα σκοτεινά σολιτόνια αναλύθηκε σύμφωνα με την προσέγγιση Wigner [152, 153]. 35

42 2.2. Σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο Το σημαντικό είναι ότι στις αναφορές [154, 155], δείχθηκε ότι σε αρκετά χαμηλές θερμοκρασίες και για ορισμένες παραμετρικές περιοχές, κατά μέσο όρο οι τροχιές των σκοτεινών σολιτονίων που λαμβάνονται από τη SGPE, είναι σε πολύ καλή συμφωνία με τα αποτελέσματα που προέκυψαν από την DGPE. Τα αποτελέσματα αυτά υποδεικνύουν ότι η χρήση της θεωρίας μέσου πεδίου, που περιγράφεται από την DGPE, στη μελέτη σολιτονίων σε BECs πεπερασμένης θερμοκρασίας: (α) μπορεί εύλογα να δικαιολογηθεί από μια μικροσκοπική σκοπιά, και (β) επιτρέπει την αναλυτική περιγραφή του προβλήματος, με τη χρήση της αδιαβατικής θεωρίας διαταραχών, υπό την προϋπόθεση ότι η δυναμική του θερμικού νέφους μπορεί να αγνοηθεί. Για τους παραπάνω λόγους, πιο κάτω θα επικεντρωθούμε στο μοντέλο DGPE για την ανάλυση της στατικής και δυναμικής του σκοτεινού-φωτεινού σολιτονίου υπό την επίδραση της θερμοκρασίας. Σκοτεινά-φωτεινά σολιτόνια σε πεπερασμένη θερμοκρασία Η παρακάτω ανάλυση βασίζεται στην μελέτη του συστήματος δυο συζευγμένων εξισώσεων DGPE, υπό το πρίσμα της αδιαβατική θεωρίας διαταραχών που παρουσιάστηκε στην ενότητα Δηλαδή, θα εξάγουμε μια εξίσωση κίνησης για το κέντρο του σολιτονίου, και θα αναγνωρίσουμε διάφορες παραμετρικές περιοχές, ανάλογα με τη θερμοκρασία, όπου τα σολιτόνια παρουσιάζουν διαφορετική αναλωτική δυναμική. Πιο συγκεκριμένα, θα χρησιμοποιήσουμε το παρακάτω σύστημα που περιγράφει τη δυναμική του μείγματος δυο BEC σε πεπερασμένη θερμοκρασία: (i γ j )ħ t ψ j = ( ħ2 2m 2 xψ j + V (x) μ j + g ψ k 2 ) ψ j. (2.38) Οι συντελεστές απόσβεσης γ d,b μπορούν να υπολογιστούν από πρώτες αρχές [ ]), οπότε προκύπτει ότι σε αρκετά χαμηλές θερμοκρασίες και στο όριο TF, η εξάρτηση τους από τη θερμοκρασία δίνεται από το νόμο δύναμης T α, με 1/2 < α < 4. Το σύστημα την Εξ. (2.38) γράφεται σε αδιάστατη μορφή χρησιμοποιώντας του ίδιους μετασχηματισμούς όπως στις Εξ. (2.5)-(2.6) (i γ d ) t u d = xu d + V (x)u d + ( u d 2 + u b 2 μ)u d, (2.39) (i γ b ) t u b = xu b + V (x)u b + ( u b 2 + u d 2 μ Δ)u b, (2.4) όπου έχουμε χρησιμοποιήσει το συμβολισμό ψ = u d και ψ = u b, αναφερόμενοι πάλι στο ότι η συνιστώσα ( ) υποστηρίζει ένα σκοτεινό (φωτεινό) σολιτόνιο. Αντίστοιχα χρησιμοποιούμε το συμβολισμό μ d = μ και μ b = μ+δ για τα χημικά δυναμικά και υποθέτουμε ότι μ d > μ b (δηλαδή ότι Δ = Δ < ). Ακόμα σημειώνουμε ότι οι συντελεστές θερμικών 36 2 k=1

43 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων απωλειών γ d,b, όπως υπολογίστηκαν από την αντιστοιχία με την SGPE, στην κανονικοποιημένη μορφή είναι μικρές παράμετροι. Δυναμική εφησυχασμού στη θεμελιώδη κατάσταση Πριν προχωρήσουμε στην δυναμική των σολιτονίων, πρέπει να μελετήσουμε τη δυναμική της θεμελιώδους κατάστασης του μείγματος. Όπως είδαμε στο προηγούμενο εδάφιο, η θεμελιώδης κατάσταση της οποίας το σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο είναι η βασική διέγερση, είναι ένα νέφος TF στη συνιστώσα u d και καθόλου άτομα στην u b. Είναι σημαντικό λοιπόν να δούμε αν αυτή η κατάσταση παραμένει ευσταθής παρουσία των απωλειών και αν αυτή μπορεί να είναι στατική έτσι ώστε να υπάρχει και το αντίστοιχο στατικό σολιτόνιο. Για αυτό το λόγο θα δείξουμε ότι πραγματικά, οι εξισώσεις (2.39)-(2.4) περιγράφουν μια διαδικασία όπου, ξεκινώντας με κατάλληλες (σχετικές με το πραγματικό πείραμα) αρχικές συνθήκες το σύστημα ασυμπτωτικά καταλήγει στην θεμελιώδη κατάσταση με ένα TF στο u d και μηδενικό u b [η δυναμική αυτή είναι ουσιαστικά δυναμική εφησυχασμού (relaxation dynamics)]. Φυσικά αυτό αντιστοιχεί σε μια κατάσταση όπου ένας μεγάλος αριθμός ατόμων έχει συμπυκνωθεί στην κατάσταση u d χωρίς άτομα στην κατάσταση u b. Για να περιγράψουμε την παραπάνω δυναμική, θα μελετήσουμε πρώτα τα μέγιστα U d,b (t) της εκάστοτε κυματοσυνάρτησης u d,b (x =, t), που αντιστοιχούν στην τιμή τους στο κέντρο της παγίδας x = (όπου η παγίδα V (x) = ), και θα θεωρήσουμε αντίστοιχα τις φάσεις θ d,b (t). Οι εξισώσεις κίνησης για τις παραπάνω μεταβλητές γράφονται απευθείας αν αντικαταστήσουμε στις Εξ. (2.5)-(2.6) την σχέση u d,b = U d,b (t) exp[ iθ d,b (t)] καταλήγοντας στις ακόλουθες σχέσεις: U d,b + γ d,b U d,b θ d,b =, (2.41) U d θ d U d + (Ud 2 + U b 2 μ)u d = (2.42) γ d γ b U b θ b U b + (U 2 b + U 2 d μ Δ)U b =, (2.43) με τις τελείες να δηλώνουν παραγώγιση ως προς το χρόνο. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας την Εξ. (2.41) στο σύστημα (2.42)-(2.43) βρίσκουμε: U d = γ d (Ud 2 + U b 2 μ) U d, (2.44) U b = γ b (Ud 2 + U b 2 μ Δ) U b, (2.45) όπου γ d,b γ d,b /(1 + γd,b 2 ). Βλέπουμε εύκολα ότι το σύστημα (2.44)-(2.45) έχει σημείο ισορροπίας το (U d, U b ) = ( μ, ) [η ίδια ανάλυση μπορεί να γίνει και για το σημείο (U d, U b ) = (, μ + Δ)]. Η δυναμική μικρών διαταραχών U d1,b1 γύρω από το σημείο αυτό, μπορεί να βρεθεί με την αντικατάσταση U d (t) = μ + U d1 (t) και U b = U b1 (t) 37

44 2.2. Σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο u d 2, u b t = u d 2, u b t = 8 u d 2, u b x 5 t = 14 u d 2, u b x 5 t = x 5 5 x Σχήμα 2.8: Στο σχήμα φαίνεται η αριθμητικά ευρισκόμενη χρονική εξέλιξη μιας αρχική κατάστασης με πυκνότητες u d (x, ) 2 και u b (x, ) 2. Οι συνεχείς καμπύλες αντιστοιχούν στο σκοτεινό (κόκκινη) και φωτεινό (πράσινη) συστατικό του μείγματος, ενώ οι διακεκομμένες στο αποτέλεσμα της Εξ. (2.46). Οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν είναι μ = 1.3, Δ =.1, γ d = γ b =.5, Ω =.5, U d () =.86, U b () =.6 και w = 1. στις Eξ (2.44)-(2.45) και με γραμμικοποίηση στα U d1,b1. Με αυτό το τρόπο, λύνοντας τις αντίστοιχες εξισώσεις για τα U d1,b1 βρίσκουμε τις ακόλουθες εκφράσεις για τα μέγιστα πλάτη: U d (t) μ + (U d () μ)e 2γ dμt, (2.46) U b (t) U b ()e γ b t, (2.47) με U d,b () να συμβολίζουν τις αρχικές συνθήκες. Άρα, για αρκούντως μεγάλους χρόνους το μέγιστο του u d θα πάρει την τιμή μ, ενώ αυτό του u b τείνει στο. Με αυτή την απλή ανάλυση μπορούμε να υποθέσουμε ότι η διαδικασία αυτή για τις συνολικές κυματοσυναρτήσεις γίνεται ως εξής. Αν αρχικά η συνιστώσα u d έχει τη μορφή κάποιο νέφους Thomas-Fermi με πλάτος U d (), η πυκνότητά του θα εξελιχθεί σύμφωνα με τη σχέση u d (x, t) 2 Ud 2 (t) V (x). (2.48) Αντίστοιχα, αν αρχικά η u b συνιστώσα έχει τη μορφή μιας Γκαουσιανής με πλάτος U b () θα προσεγγίσει ασυμπτωτικά την μηδενική λύση. Η παραπάνω ανάλυση μπορεί να ελεγχθεί άμεσα με τη βοήθεια αριθμητικών υπολογισμών. Συγκεκριμένα, στο Σχ. 2.8 φαίνεται η χρονική εξέλιξη μιας αρχικής συνθήκης με πυκνότητες u d (x, ) 2 = U 2 d () (1/2)Ω2 x 2, u b (x, ) 2 = U 2 b () exp [ 2(x/d)2 ], και παραμέτρους U d () =.86, U b () =.6, Ω =.5 και d = 1, όπως βρέθηκε από την ολοκλήρωση των Εξ. (2.39)-(2.4), για μ = 1.3, Δ =.1 και γ d = γ b =.5. Στο σχήμα 38

45 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων γίνεται εμφανής η ορθότητα των αναλυτικών μας υπολογισμών: η συνιστώσα u d καταλήγει σε ένα νέφος TF με πλάτος μ = 1.3, όπου η αριθμητική καμπύλη [συνεχής κόκκινη γραμμή] βρίσκεται σε καλή συμφωνία με την αναλυτική έκφραση της Eξ. (2.48)[διακεκομμένη καμπύλη]. Αντίστοιχα η u b συνιστώσα [συνεχής (πράσινη) γραμμή] μηδενίζεται περίπου στον χρόνο t 2, σύμφωνα με την αναλυτική πρόβλεψη t ( γ b Δ ) 1 2 που προκύπτει από την Εξ. (2.47). Με αυτό το τρόπο γίνεται σαφές ότι η θεμελιώδης κατάσταση με ένα TF στο u d και μηδενικό u b, όχι μόνο παραμένει μια στατική λύση στο αναλωτικό σύστημα, αλλά και μικρές αποκλίσεις από αυτήν φθίνουν τελικά, έτσι ώστε το σύστημα να επανέλθει στην θεμελιώδη κατάσταση. Αναλωτική δυναμική του σολιτονίου παρουσία απωλειών Αφού αναλύσαμε την θεμελιώδη κατάσταση, συνεχίζουμε με τη μελέτη της βασικής της μη γραμμικής διέγερσης, δηλαδή το σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο. Υποθέτουμε ότι για συγκεκριμένο χημικό δυναμικό το σκοτεινό σολιτόνιο θα βρίσκεται πάνω σε ένα νέφος TF, της μορφής u d,t F 2 = μ V (x), και αντικαθιστούμε αναλόγως την πυκνότητα u d 2 στις Eqs. (2.39)-(2.4) με u d 2 u d,t F 2 u d 2. Ακολούθως, χρησιμοποιούμε τους μετασχηματισμούς t μt, x μx, u b 2 μ 1 u b 2, και φέρνουμε το σύστημα των εξισώσεων στη μορφή (2.2)-(2.21), με τις διαταραχές να δίνονται τώρα από τις σχέσεις: R d (2μ 2 ) 1 [2(1 u d 2 )V (x)u d + V (x) x u d ] + γ d μ 1 t u d, (2.49) R b μ 2 [(1 u d 2 )V (x)u b + μγ b t u b ]. (2.5) Σε αυτό το σημείο μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε άμεσα την θεωρία διαταραχών που αναπτύξαμε στην ενότητα 2.2.3, και να υποθέσουμε αδιαβατική εξέλιξη των παραμέτρων του σολιτονίου D(t), x (t) και φ(t). Η δυναμική των παραμέτρων D(t), x (t) περιγράφεται από τις Εξ. (2.26) και (2.27), ενώ η φάση φ(t) περιγράφεται όπως και προηγουμένως από την εξίσωση: 4 DD 2 + χd sec 2 φ( D + D φtanφ) = 1 μ 2 (2 cos3 φ sin φ χd sin φ cos φ) V (x ) 8 γ d 3 μ D3 sin 2 φ 2 γ b 3 μ χd4 tan 2 φ. (2.51) Για σολιτόνια κοντά στο κέντρο της παγίδας βρίσκουμε το σχετικό σημείο ισορροπίας των Eξ. (2.26), (2.27) και (2.51) [που είναι το ίδιο με αυτό της ενότητας 2.2.2], και θεωρούμε μικρές διαταραχές γύρω από αυτό, δηλ. x + x, φ + φ και D D eq + D 1. Η γραμμικοποίηση γύρω από το σημείο αυτό, ως προς τις μικρές παραμέτρους x, φ και D 1, 39

46 2.2. Σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο καταλήγει στις Εξ. (2.32), (2.34) και στην ακόλουθη εξίσωση για τη γωνία φ: φ = χd eq D eq [ 8D eq D χ(2d D eq )] V (x ) 2 3μ D3 eq (4γ d + χγ b D eq ) φ D eq [ 8D eq D χ(2d D eq )]. (2.52) Παραγωγίζοντας μια φορά στο χρόνο την Εξ. (2.34) και με χρήση της (2.52), παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση κίνησης για το κέντρο x του σολιτονίου: x ax + ωoscx 2 =, (2.53) με συχνότητα ταλάντωσης ω osc που δίνεται από τη σχέση (2.37) και συντελεστή «αντιαπόσβεσης» a: a = 2 3 μ (γ d 1 8 χ2 γ b ) + 4 χ μ (γ 3 χ b γ d χ2 γ b ). (2.54) Η εξίσωση (2.53) αποτελεί το βασικό αποτέλεσμα της ενότητας αυτής, και περιγράφει την χρονική εξέλιξη κλασσικού σωματιδίου παρουσία «αντι-αποσβενόμενου» όρου: αυτός αποκαλείται έτσι γιατί έχει αντίθετο πρόσημο από αυτόν της τριβής, και προξενεί επιτάχυνση του σολιτονίου. Μολονότι αυτό το αποτέλεσμα δείχνει παράδοξο, περιγράφει σωστά τη δυναμική απόσβεσης του σολιτονίου: το σολιτόνιο, παρουσία των απωλειών, θα έχει μειούμενο πλάτος δηλ. αυξανόμενη ταχύτητα, οπότε αυτό δεν μπορεί παρά να περιγράφεται από ένα όρο αντι-απόσβεσης στη σχετική εξίσωση κίνησης. Σημειώνεται ότι στο όριο που το a =, δηλαδή στην περίπτωση χωρίς απώλειες (μηδενική θερμοκρασία), η Εξ. ((2.53) συμπίπτει με την εξίσωση που περιγράφει την απλή αρμονική ταλάντωση του σολιτονίου, όπως στην ενότητα Βλέπουμε ότι η μορφή της τροχιάς του σολιτονίου x (t) όπως περιγράφεται από την Εξ. (2.53) εξαρτάται από τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου που ικανοποιούν την εξίσωση s 2 as + ω 2 osc =. Οι ρίζες της τελευταίας δίνονται από τη σχέση: s 1,2 = 1 2 (a ± a 2 a 2 cr), a cr 2ω osc, (2.55) με την διακρίνουσα D a 2 a 2 cr να καθορίζει το είδος της κίνησης, ανάλογα του αν οι λύσεις είναι πραγματικές ή μιγαδικές. Συγκεκριμένα βρίσκουμε διαφορετικές περιοχές εξαρτώμενες από τη θερμοκρασία: την υποκρίσιμη (subcritical) ασθενώς φθίνουσα (D <, a < a cr ), την κρίσιμη (D =, a = a cr ), και 4

47 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων λ r.2.1 Complex quartet.5 γ Im(λ) Imag doublet λ i.1.5 γ Re(λ) Σχήμα 2.9: Αριστερά: Πραγματικό (πάνω) και φανταστικό (κάτω) μέρος των ιδιοτιμών λ AM σαν συνάρτηση της παραμέτρου θερμοκρασίας γ, για μ = 1.5, Δ =.6 και Ω =.1. Η συνεχής (μπλε) καμπύλη αντιστοιχεί στο αριθμητικό αποτέλεσμα ενώ η διακεκομμένη (κόκκινη) καμπύλη στο αποτέλεσμα της Εξ. (2.55). Δεξιά: Αναπαράσταση της τροχιάς που ακολουθεί ο «ανώμαλος» τρόπος ο οποίος έχει αρχικά τη μορφή μιγαδικής τετραπλέτας όταν γ < γ cr και γίνεται πραγματική διπλέτα μετά την διακλάδωση για γ > γ cr. την υπερκρίσιμη (supercritical) ισχυρά αποσβενόμενη (D >, a > a cr ). Στην πρώτη περιοχή το σολιτόνιο εκτελεί ταλαντώσεις αυξανόμενου πλάτους ακολουθώντας μια τροχιά της μορφής x (t) exp(at) cos(ω osc t). Στις άλλες δυο περιοχές η τροχιά του αυξάνεται εκθετικά και έχει τη μορφή x (t) exp(s 1,2 t) (όπου s 1,2 R). Σε κάθε περίπτωση το σολιτόνιο τελικά αποσβένεται στα τοιχώματα του νέφους (όπως θα δούμε πιο κάτω). Η παραπάνω ανάλυση επιβεβαιώνεται και από την αριθμητική μελέτη της ευστάθειας των αντίστοιχων στατικών σολιτονίων (με φ = και x = ), που συμβολίζουμε ως (φ 1, φ 2 ) T. Μια στατική λύση σκοτεινού-φωτεινού σολιτονίου μηδενίζει το δεξιό ψ μέλος των Εξ. (2.39)-(2.4) και άρα είναι ακριβής λύση του προβλήματος για γ d,b. Μια τέτοια λύση μπορεί να βρεθεί αριθμητικά όπως και προηγουμένως, με ένα αλγόριθμο σταθερού σημείου, και η ευστάθειά της να μελετηθεί με το αντίστοιχο γραμμικό φάσμα BdG, που τώρα θα συμπεριλαμβάνει και τους όρους απωλειών γ d,b. Σε αυτή τη περίπτωση, το φάσμα αποτελείται από μιγαδικές ιδιοτιμές πράγμα που υποδεικνύει ότι οι απώλειες εισάγουν αστάθεια στο σύστημα. Όπως και προηγουμένως, ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει ο «ανώμαλος» τρόπος που συνδέεται με την κίνηση του σολιτονίου. Θυμίζουμε ότι στην διατηρητική περίπτωση ο αντίστοιχος τρόπος ω AM Im(λ AM ) = ω osc ήταν ίσος με τη συχνότητα ταλάντωσης του σολιτονίου. Για χαμηλές θερμοκρασίες (στην υποκρίσιμη περιοχή) ο ανώμαλος τρόπος είναι μιγαδικός σχηματίζοντας μια τετραπλέτα στο φάσμα, 41

48 2.2. Σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο.12.1 λ r γ Σχήμα 2.1: Σύγκριση των διαγραμμάτων διακλάδωσης της ιδιοτιμής λ r (γ) ενός στατικού DB σολιτονίου [συνεχής (μπλε) καμπύλη] με ένα απλό σκοτεινό σολιτόνιο [διακεκομμένη (μαύρη) καμπύλη] όπως λαμβάνεται από την ανάλυση BdG. Οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν είναι Ω =.1, μ = 1.5 και Δ =.1. όπως φαίνεται στην δεξιά εικόνα του Σχ Σε αυτή τη περιοχή το σολιτόνιο εκτελεί ταλαντώσεις συχνότητας Im(λ AM ), με εκθετικά αυξανόμενο πλάτος e Re(λ AM)t. Όσο αυξάνουν οι τιμές των γ d,b (δηλαδή για μεγαλύτερες θερμοκρασίες) ο ανώμαλος τρόπος ακολουθεί τη πορεία που υποδεικνύεται από τα βέλη στο Σχ.2.9, όπου στη κρίσιμη τιμή γ c οι ιδιοτιμές «συγκρούονται» με τον φανταστικό άξονα και συνεχίζουν σαν μια πραγματική διπλέτα. Τότε το σύστημα περνάει στην υπερκρίσιμη περιοχή και το σολιτόνιο εκτελεί εκθετική τροχιά της μορφής e Re(λ AM)t. Στην αριστερή εικόνα του Σχ.2.9 φαίνεται η εξάρτηση του ανώμαλου τρόπου από την παράμετρο γ, όπως βρέθηκε αριθμητικά (συνεχής μπλε καμπύλη), και αντίστοιχα η διακλάδωση (bifurcation) που συμβαίνει στην κρίσιμη τιμή γ c. Στην ίδια εικόνα φαίνεται και η αναλυτική λύση της εξίσωσης 2.55 (διακεκομμένη κόκκινη καμπύλη), που βρίσκεται σε καλή συμφωνία με τα αριθμητικά αποτελέσματα, ενώ η διαφορά των καμπυλών αυξάνεται για μεγαλύτερες τιμές του γ όπως ακριβώς αναμένεται, αφού η θεωρία διαταραχών έγινε για μικρές τιμές της παραμέτρου αυτής. Είναι σημαντικό σε αυτό το σημείο να αναφέρουμε το ρόλο του φωτεινού σολιτονίου στο ζεύγος σκοτεινού-φωτεινού σολιτονίου, σε σχέση με τα αντίστοιχα αποτελέσματα για το απλό σκοτεινό σολιτόνιο στο βαθμωτό BEC. Εύκολα παρατηρεί κανείς από την Εξ. (2.54), ότι όρος αντι-απόσβεσης γίνεται ασθενέστερος όσο πιο μεγάλο είναι το φωτεινό σολιτόνιο. Ως εκ τούτου, ένα σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο για συγκεκριμένες παραμέτρους είναι πάντα πιο ευσταθές [έχει μεγαλύτερο γ c )] από το αντίστοιχο σκοτεινό (τουλάχιστον στην περίπτωση γ d = γ b = γ). Η εικόνα αυτή γίνεται ξεκάθαρη στο Σχ. 2.1, όπου το διάγραμμα διακλάδωσης για το σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο (συνεχής καμπύλη) 42

49 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων συγκρίνεται άμεσα με αυτό του απλού σκοτεινού (διακεκομμένη καμπύλη). Είναι σαφές, ότι το διάγραμμα διακλάδωσης του πρώτου «παρασύρει» το γ c προς μεγαλύτερες τιμές, π.χ., γ cr =.212 αντί για γ cr =.155 του σκοτεινού. Ακόμη, οι τιμές του ρυθμού αύξησης των ταλαντώσεων στην υπόκρίσιμη περιοχή είναι μικρότερες για το σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο, δίνοντας του έτσι μεγαλύτερο χρόνο ζωής μέσα στο συμπύκνωμα. Η παραπάνω ανάλυση αναδεικνύει το γεγονός ότι σε αντίθεση με το απλό σκοτεινό σολιτόνιο, τα σολιτόνια στο μείγμα είναι πιο ανθεκτικά υπό τη επίδραση της θερμοκρασίας, κάτι που επιβεβαιώνεται και από τις πειραματικές παρατηρήσεις όπου τα DB σολιτόνια εμφανίζουν πολύ μεγάλους χρόνους ζωής. Τα αποτελέσματα αυτά γίνονται ακόμα πιο ξεκάθαρα παρακολουθώντας τη δυναμική του σολιτονίου που προκύπτει από την αριθμητική ολοκλήρωση των Εξ. (2.39)-(2.4). Ένα παράδειγμα της δυναμικής αυτής και για τις δυο περιπτώσεις, υποκρίσιμη και υπερκρίσιμη, φαίνεται στο Σχ στην αριστερή και δεξιά εικόνα αντίστοιχα. Στην υποκρίσιμη περιοχή το σολιτόνιο εκτελεί ταλαντώσεις αυξανόμενου πλάτους παραμένοντας αρκετά μεγάλο χρόνο μέσα στο συμπύκνωμα (t 4) προτού φτάσει στο άκρο της παγίδας όπου και αποσβένεται πλήρως. Αντιθέτως στην υπερκρίσιμη περιοχή (δεξιά εικόνες) η εκθετική τροχιά του σολιτονίου δεν του επιτρέπει να παραμείνει στην παγίδα για μεγάλους χρόνους και αποσβένεται σε χρόνους ως και μια τάξη μεγέθους μικρότερους σε σχέση με την υποκρίσιμη περίπτωση. Και στις δύο περιπτώσεις το αναλυτικό αποτέλεσμα της «σωματιδιακής» εξίσωσης (2.53), που φαίνεται στην εικόνα με την διακεκομμένη (κόκκινη) γραμμή, ακολουθεί την τροχιά του σολιτονίου σε πολύ καλή προσέγγιση ακόμα και όταν αυτό έχει απομακρυνθεί από το κέντρο της παγίδας. 2.3 Σολιτονικά «μόρια» Στα πειράματα που έγιναν από την πειραματική ομάδα της Washington, όταν στο αρχικό μείγμα ο αριθμός των ατόμων στο ένα συστατικό είναι αρκούντως μικρός τότε εμφανίζεται ένα σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο. Ωστόσο, στην πιο γενική περίπτωση η δυναμική είναι πιο πλούσια και παρατηρείται η εμφάνιση πολλαπλών σολιτόνιων. Χαρακτηριστικά παραδείγματα από το αποτέλεσμα ενός τέτοιου πειράματος παρουσιάζονται στο Σχ όπου απεικονίζονται συσσωματώματα (clusters) σολιτονίων. Μπορεί εύκολα να παρατηρηθεί ότι συχνά σχηματίζονται κενά (density dips) στη μία συνιστώσα (η οποία υποστηρίζει τα σκοτεινά σολιτόνια) «συμπληρωμένα» με φωτεινά σολιτόνια (density lumps) στην άλλη συνιστώσα. Πιο συγκεκριμένα παρατηρούνται περιοδικές δομές αποτελούμενες από δυο ή περισσότερα κενά συνοδευόμενα από φωτεινά σολιτόνια όπως χαρακτηριστικά φαίνεται στα ένθετα δεξιά των πειραματικών εικόνων. Συσσωματώματα δυο σολιτονίων φαίνονται 43

50 2.3. Σολιτονικά «μόρια» x 1.5 x t t x.2.1 x t t 3 4 Σχήμα 2.11: Xωροχρονική εξέλιξη ενός DB σολιτονίου που τοποθετείται αρχικά στο x () =.4, σε παγίδα με συχνότητα Ω =.1. Οι αριστερά εικόνες αντιστοιχούν στην υποκρίσιμη περιοχή με γ =.2, ενώ οι δεξιά στην υπερκρίσιμη με γ =.15. Στις επάνω εικόνες απεικονίζονται τα σκοτεινά σολιτόνια ( ψ 2 ) ενώ στις κάτω τα αντίστοιχα φωτεινά ( ψ 2 ). Οι διακεκομμένες γραμμές αντιστοιχούν στο αποτέλεσμα της Εξ. (2.53) ενώ οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν είναι μ = 1.5 και Δ =.6. (a) (b) n [a.u.] (c) (d) x [ m] x [ m] n [a.u.] n [a.u.] n [a.u.] 2 4 x [ m] (e) 2 4 x [ m] n [a.u.] 1 2 x [ m] n [a.u.] 3 6 x [ m] Σχήμα 2.12: Πειραματικές εικόνες που παρουσιάζουν «μόρια» σολιτονίων στο μείγμα συμπυκνωμάτων του ρουβιδίου. Σε κάθε εικόνα το άνω νέφος (κόκκινη καμπύλη στα ένθετα) αντιστοιχεί στην κατάσταση 2, 2 ενώ το κάτω νέφος (μαύρη καμπύλη στα ένθετα) 1, 1. Τα ένθετα δείχνουν το προφίλ των συστατικών στις αντίστοιχες περιοχές που σημειώνονται με άσπρο πλαίσιο. 44

51 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων καθαρά στα ένθετα (a) και (c), ενώ ενδείξεις από συστάδες αποτελούμενες από τέσσερα έως και πέντε σολιτόνια φαίνονται στα (d) και (e). Σκοπός της παρούσας ενότητας είναι η μελέτη των δυνάμεων που ασκούνται μεταξύ δυο DB σολιτονίων, και η εύρεση των συνθηκών για τις οποίες είναι εφικτός ο σχηματισμός δέσμιων καταστάσεων από δύο ή περισσότερα σολιτόνια. Αφού πρώτα βρεθεί προσεγγιστικά η αναλυτική μορφή των σχετικών δυνάμεων, δείχνεται έπειτα ότι στην περίπτωση που τα φωτεινά σολιτόνια έχουν αντίθετη φάση τότε υπάρχουν τόσο ελκτικές όσο και απωστικές δυνάμεις που επιτρέπουν την εμφάνιση «μορίων» σολιτονίων (soliton molecules). Επιπλέον γίνεται εκτενής μελέτη της ευστάθειας και της δυναμικής των «μορίων», παρουσία δυναμικού παγίδευσης αλλά και υπό την επίδραση απωλειών Αλληλεπιδράσεις σκοτεινών-φωτεινών σολιτονίων Ξεκινάμε την ανάλυσή μας εξετάζοντας την απλούστερη περίπτωση που αντιστοιχεί στην απουσία της παγίδας, δηλαδή, Ω = στις Εξ. (2.2)-(2.21). Στην περίπτωση αυτή, και στο όριο Manakov, υπάρχουν ακριβείς πολυ-σολιτονικές λύσεις [157, 158]. Γνωρίζουμε επίσης ότι τα σολιτόνια αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, και ως εκ τούτου η ύπαρξη «μορίων» σολιτονίων προϋποθέτει την εξουδετέρωση των μεταξύ τους δυνάμεων. Έτσι, προκειμένου να μελετήσει κανείς τέτοιες λύσεις θα πρέπει πρώτα να βρει τη μορφή των αλληλεπιδράσεών τους. Δεδομένου ότι η ακριβής αναλυτική μορφή αυτών των δομών είναι αρκετά περίπλοκη, η μελέτη των αλληλεπιδράσεων τους μέσω της ακριβούς λύσης είναι ένα ιδιαίτερα πολύπλοκο πρόβλημα που δεν προσφέρει σαφή φυσική εικόνα [159]. Αντ αυτού, μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια διαφορετική προσέγγιση με τη χρήση της αδιαβατικής θεωρίας διαταραχών [16, 161] η οποία, όπως θα δούμε, αναδεικνύει μια καθαρή φυσική εικόνα, παρέχοντας μια καλύτερη κατανόηση για τη διαδικασία αλληλεπίδρασης και τον σχηματισμό σολιτονικών «μορίων». Για την ανάλυση των δυνάμεων των σολιτονίων θεωρούμε αρχικά στο πλαίσιο των Εξ. (2.2)-(2.21) και για Ω =, ένα ζεύγος από σκοτεινά-φωτεινά σολιτόνια ίσου πλάτους τα οποία βρίσκονται σε αρκούντως μεγάλη απόσταση και κινούνται σε αντίθετη κατεύθυνση. Μια τέτοια κατάσταση προσεγγίζεται μέσω της ακόλουθης έκφρασης: u d (x, t) = (cos φtanhx + i sin φ) (cos φtanhx + i sin φ), (2.56) u b (x, t) = η sechx e i[+kx+θ(t)+( μ 1)t] + η sechx + e i[ kx+θ(t)+( μ 1)t] e i θ, (2.57) όπου οι συντεταγμένες των σολιτονίων είναι X ± = D (x ± x (t)) υποθέτοντας ότι τα κέντρα τον δυο σολιτονίων είναι συμμετρικά, δηλαδή x 1 = x 2 = x, ενώ 2x είναι η μεταξύ τους απόσταση. Η σχετική τους φάση Δθ θεωρείται σταθερή, ενώ Δθ = και 45

52 2.3. Σολιτονικά «μόρια» Δθ = π αντιστοιχούν σε συμφασικά (in-phase) και αντιφασικά (out-of-phase) φωτεινά σολιτόνια αντίστοιχα. Σημειώνουμε επίσης ότι η συνάρτηση (2.56), περιγράφει μια συμμετρική μορφή για τα δύο σκοτεινά σολιτόνια, με κοινό υπόβαθρο, που υπό την προϋπόθεση ότι η μεταξύ τους απόσταση 2x είναι αρκετά μεγάλη, αλληλεπιδρούν ασθενώς το ένα με το άλλο. Ομοίως, η συνάρτηση (2.57) περιγράφει την υπέρθεση δύο φωτεινών σολιτονίων ίσου πλάτους, τοποθετημένων στις θέσεις των αντίστοιχων σκοτεινών [14]). Σε αυτή την περίπτωση όπου τα σολιτόνια είναι καλά διαχωρισμένα, οι παράμετροι N b, η, μ 1 και D συνδέονται με την εξίσωση: N b 4η 2 μ1 /D [δηλαδή, ο αριθμός ατόμων N b είναι περίπου δύο φορές ο αριθμός του ενός, που δίνεται από τη σχέση (2.19)]. Η λύση που περιγράφεται από την Εξ. (2.56)-(2.57) δεν αντιστοιχεί σε ακριβή λύση των Εξ. (2.2)-(2.21), και έτσι θα μελετηθεί χρησιμοποιώντας την αδιαβατική θεωρία διαταραχών που αναπτύχθηκε στην ενότητα Στην πράξη, κάθε επιμέρους σολιτόνιο, ικανοποιεί την αριστερή πλευρά των Εξ. (2.2)-(2.21), αλλά λόγω της μη γραμμικότητας εμφανίζονται επιπλέον όροι (όροι αλληλεπιδράσεις των σολιτονίων) οι οποίοι θα αποτελέσουν τις διαταραχές της αδιαβατικής θεωρίας δηλαδή τα αντίστοιχα R d,b. Υποθέτοντας και πάλι ότι οι παράμετροι των σολιτονίων είναι αργά μεταβαλλόμενες συναρτήσεις του χρόνου μπορούμε να προσδιορίσουμε την εξέλιξή τους μέσω της εξέλιξης της αντίστοιχης ενέργειας. Για να γίνει αυτό, πρώτα πρέπει να αντικαταστήσουμε τις συναρτήσεις (2.56)-(2.57) στην εξίσωση (2.24) και να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα. Για να μπορέσουμε να έχουμε μια αναλυτική έκφραση του ολοκληρώματος κάνουμε τις εξής παραδοχές: θεωρούμε ότι η ταχύτητά τους είναι αρκετά μικρή (cos(kx) 1 και sin(kx) ) και ακόμα υποθέτουμε ότι τα σολιτόνια είναι καλά διαχωρισμένα, οπότε παίρνουμε το όριο x 1. Με αυτό τον τρόπο βρίσκουμε ότι η ενέργεια του συστήματος δυο σκοτεινώνφωτεινών σολιτονίων έχει την ακόλουθη μορφή: E = 2E 1 + E DD + E BB + 2E DB, (2.58) όπου E 1 είναι η ενέργεια του απλού σολιτονίου που δίνεται από την Eξ. (2.25) ενώ οι εναπομείναντες όροι περιγράφουν τις σολιτονικές αλληλεπιδράσεις. Πιο συγκεκριμένα οι όροι E DD, E BB, και E DB χαρακτηρίζουν τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ δυο σκοτεινών, δυο φωτεινών και μεταξύ του σκοτεινού στο ένα ζεύγος με το φωτεινό στο άλλο ζεύγος, αντίστοιχα. Βρίσκουμε ότι οι προσεγγιστικές εκφράσεις για τις αλληλεπιδράσεις δίνονται από 46

53 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων τις ακόλουθες σχέσεις: E DD 16 cos 2 φ [ 1 3 D cos2 φ + D + 2(cos 2 φ D 2 )x cos2 φ 3D cos 2 φ] e 4Dx, (2.59) E BB χ[2d (D (1 Dx ) k 2 x ) + Dχ] cos Δθe 2Dx (2.6) + χ[χd (2Dx 1) (1 + 2 cos 2 Δθ) ]e 4Dx, E DB 4χ cos 2 φ cos Δθe 2Dx (2.61) + χ cos 2 φ[ 16 3 cos2 φ 16Dx + 8]e 4Dx, όπου έχουμε αγνοήσει όρους τάξης O(e 6Dx ) (και ανώτερης τάξης), ενώ έχει ελεγχθεί ότι η συμβολή τους δεν μεταβάλλει τα βασικά αποτελέσματα. Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε τις παραπάνω εκφράσεις και να βρούμε την εξέλιξη των παραμέτρων των σολιτονίων από την διατήρηση της ενέργειας de/dt =. Στην πραγματικότητα, εστιάζοντας στην περίπτωση της χαμηλής ταχύτητας, που αντιστοιχεί σε σχεδόν μαύρα σολιτόνια ( D(t) και cos φ(t) 1), η διατήρηση της ενέργειας οδηγεί στην ακόλουθη μη γραμμική εξίσωση εξέλιξης για το κέντρο του σολιτονίου: x = F int, (2.62) F int F DD + F BB + 2F DB. (2.63) Η παραπάνω εξίσωση περιγράφει ταυτόχρονα την κίνηση και των δυο σολιτονίων σύμφωνα με τη σχέση x 1 = x 2 = x. Στο δεξί μέλος της εξίσωσης, F int είναι η δύναμη αλληλεπίδρασης μεταξύ των σολιτονίων (που εξαρτάται από την μεταξύ τους απόσταση) και περιέχει τις εξής συνεισφορές: αλληλεπιδράσεις μεταξύ δυο σκοτεινών, F DD, μεταξύ δυο φωτεινών, F BB, και μεταξύ του σκοτεινού στο ένα ζεύγος με το φωτεινό στο άλλο, F DB. Η συναρτησιακή μορφή των δυνάμεων αυτών δίνεται από τις σχέσεις: F DD = 1 χ o [ 1 3 ( D2 ) + 128D (D 2 1) x ] e 4D x, (2.64) F BB = χ χ o [ 6D + 4D 2 x 2χ]D 2 cos Δθe 2D x + χ2 χ o [ (1 + 2 cos 2 Δθ) ( 8D x + 6) ]D 2 e 4D x, (2.65) 47

54 2.3. Σολιτονικά «μόρια» u d u d F BB F BB F BB F DB u b u b F DB F DB F DB F BB F DD F DD F DD F DD x x Σχήμα 2.13: Διαφορετικές δυνάμεις μεταξύ δυο DB σολιτονίων για την περίπτωση που τα φωτεινά σολιτόνια είναι συμφασικά (αριστερή εικόνα) και για την περίπτωση που έχουν αντίθετη φάση (δεξιά εικόνα). F DB = χ χ o [ (8D cos Δθ) e 2D x + ( D x ) D e 4D x ], (2.66) όπου D(t) D αφού υποθέσαμε ότι D(t). Το σημαντικότερο αποτέλεσμα αυτής της ενότητας είναι η αναλυτική έκφραση για τις δυνάμεις που ασκούνται μεταξύ δυο DB σολιτονίων που δίνονται από τις σχέσεις (2.64) (2.66). Για τη καλύτερη κατανόηση του αποτελέσματος αυτού, είναι χρήσιμο να διερευνήσουμε το ρόλο κάθε δύναμης εξετάζοντας κάποιες οριακές περιπτώσεις. Αρχικά παρατηρούμε ότι η δύναμη αλληλεπίδρασης μεταξύ των φωτεινών σολιτονίων έχει μεγαλύτερη εμβέλεια από τις αντίστοιχες δυνάμεις αλληλεπίδρασης μεταξύ των σκοτεινών, αφού F BB exp( 2D x ) ενώ F DD exp( 4D x ) [Eξ. (2.64)-(2.65)]. Επιπλέον, η αλληλεπίδραση μεταξύ ενός σκοτεινού σολιτoνίου στο ένα DB με ένα φωτεινό στο άλλο έχει εμβέλεια ίδιας τάξης F DB exp( 2D x ) με αυτή μεταξύ των φωτεινών. Τα αποτελέσματα αυτά, είναι σε συμφωνία με παλαιότερους υπολογισμούς για ζεύγη φωτεινών και σκοτεινών σολιτονίων στην περίπτωση του βαθμωτού BEC [16, ]. Ας εξετάσουμε τώρα λεπτομερέστερα το ρόλο του φωτεινού σολιτονίου. Εν τη απουσία του, δηλαδή, για χ = [Eξ. (2.16)], είναι σαφές ότι F BB = F DB = και η Εξ. (2.62) περιγράφει την αλληλεπίδραση μεταξύ δύο σχεδόν μαύρων σολιτονίων. Σε αυτήν την περίπτωση, και λαμβάνοντας υπόψη ότι D = 1, μπορεί να βρεθεί εύκολα ότι η αλληλεπίδραση είναι απωστική (η δύναμη της Εξ είναι πάντα θετική) και το δυναμικό αλληλεπίδρασης είναι 2 exp( 4x ). Όταν όμως τα φωτεινά σολιτόνια είναι παρόντα, δηλαδή για χ, η αλληλεπίδρασή τους και ένα μέρος της F DB εξαρτάται από τη σχετική φάση Δθ μεταξύ των δύο φωτεινών σολιτονίων μέσω του παράγοντα cos Δθ [Εξ. (2.65)-(2.66)]. Ειδικότερα αν Δθ = (συμφασικά) η αλληλεπίδραση είναι απωστική, ενώ αν Δθ = π (αντίθετη φάση) η αλληλεπίδραση είναι ελκτική. Το αποτέλεσμα αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι οι συντελεστές των όρων που είναι ανάλογοι cos Δθ στις Eξ. (2.65)-(2.66, είναι θετικά ορισμένες ποσότητες όταν D 1 για κάθε χ >. 48

55 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων Στο Σχ απεικονίζονται οι διαφορετικές δυνάμεις μεταξύ των σολιτονίων για τη συμφασική (αριστερά) και την περίπτωση αντίθετης φάσης (δεξιά) αντίστοιχα. Στην αριστερή εικόνα γίνεται άμεσα σαφές ότι τα σολιτόνια που βρίσκονται σε φάση έχουν μόνο απωστικές δυνάμεις και έτσι μια στατική κατάσταση αποτελούμενη από δυο σολιτόνια δεν μπορεί να υπάρξει. Στην περίπτωση που τα φωτεινά σολιτόνια έχουν αντίθετη φάση, όπως φαίνεται στη δεξιά εικόνα του ίδιου σχήματος, εμφανίζονται δυνάμεις με ελκτική συμπεριφορά. Είναι ξεκάθαρο ότι ο ανταγωνισμός ελκτικών και απωστικών δυνάμεων μπορεί να οδηγήσει στη δημιουργία λύσης από δυο συζευγμένα σολιτόνια στα αντίστοιχα σημεία ισορροπίας της εξίσωσης κίνησης (2.62). Άρα, ακόμα και στην περίπτωση που δεν υπάρχει δυναμικό παγίδευσης (το οποίο επίσης ασκεί δύναμη στα σολιτόνια όπως δείξαμε προηγουμένως) η ανάλυσή μας προβλέπει την ύπαρξη μορίων από σκοτεινά-φωτεινά σολιτόνια. Τα σημεία ισορροπίας x eq της Eq. (2.62), που αντιστοιχούν στην θέση ισορροπίας για τα κέντρα των δυο σολιτονίων, μπορούν να υπολογιστούν στο x = για την περίπτωση Δθ = π. Επιπρόσθετα, εκτός από την εύρεση του σημείου ισορροπίας, μπορούμε να μελετήσουμε πλέον και την δυναμική του μορίου σολιτονίων εξετάζοντας μικρές ταλαντώσεις γύρω από το σημείο αυτό x eq, δηλαδή θέτοντας x (t) = x eq + δ(t) στην Εξ. (2.62) και γραμμικοποιώντας για μικρά δ(t). Έτσι καταλήγουμε στην παρακάτω εξίσωση: όπου η συχνότητα ταλάντωσης ω δίνεται από τη σχέση: δ + ω 2 δ =, (2.67) ω 2 = F int x x =x eq. (2.68) Η συχνότητα ω, περιγράφει την μεταβολή της σχετικής απόστασης των σολιτονίων, δηλαδή την αμοιβαία απομάκρυνση και προσέγγιση τους περιοδικά. Θεωρητικά υπάρχει μία επιπλέον πιθανή κίνηση των σολιτονίων όπου, χωρίς να μεταβάλλεται η σχετική τους απόσταση, αυτά κινούνται σε φάση. Μια τέτοια κίνηση ωστόσο, στο ομογενές πρόβλημα, έχει μηδενική συχνότητα και αντιστοιχεί στην συμμετρία μετατόπισης ενώ ο αντίστοιχος τρόπος ταλάντωσης του φάσματος BdG αποτελεί ένα Goldstone τρόπο με μηδενική ιδιοτιμή, που όπως θα δούμε στη συνέχεια παρουσία του δυναμικού παγίδευσης αποκτά πεπερασμένη συχνότητα. Η παραπάνω ανάλυση προβλέπει την ύπαρξη στατικής κατάστασης από δυο συζευγμένα σολιτόνια (όταν είναι σε αντίθετη φάση) στο ομογενές σύστημα και μάλιστα προβλέπει την απόσταση μεταξύ των σολιτονίων καθώς και την συχνότητα της μεταξύ τους ταλάντωσης. Μπορούμε να ελέγξουμε την ακρίβεια των αποτελεσμάτων αυτών, συγκρίνοντάς 49

56 2.3. Σολιτονικά «μόρια» x λi µ µ 2 Σχήμα 2.14: Αριστερά εικόνα: Σημείο ισορροπίας για το κέντρο μάζας x σαν συνάρτηση του χημικού δυναμικού μ 2 (για μ 1 = 3/2). Τα κόκκινα τετράγωνα αντιστοιχούν στο αποτέλεσμα της Εξ. (2.62), ενώ οι μαύροι κύκλοι στο αριθμητικό αποτέλεσμα. Δεξιά εικόνα: Συχνότητα ταλάντωσης για την σχετική κίνηση των δυο σολιτονίων του μορίου σαν συνάρτηση του μ 2 (για μ 1 = 3/2). Τα κόκκινα τετράγωνα αντιστοιχούν στη Εξ. (2.68) ενώ οι μαύροι κύκλοι στο αποτέλεσμα που προκύπτει από το φάσμα BdG. τα με τα αντίστοιχα αριθμητικά. Συγκεκριμένα χρησιμοποιώντας ένα αλγόριθμο σταθερού σημείου, βρίσκουμε στατικές λύσεις συζευγμένων σολιτονίων, και στη συνέχεια εφαρμόζοντας την μέθοδο BdG προσδιορίζουμε το αντίστοιχο γραμμικό φάσμα. Στο Σχ. 2.14, η αριστερή εικόνα δείχνει την εξάρτηση της θέσης ισορροπίας των σολιτονίων σαν συνάρτηση του χημικού δυναμικού μ 2 όπως αυτή βρέθηκε από τις αριθμητικές λύσεις (κύκλοι), και ταυτόχρονα το x eq όπως υπολογίζεται από το σημείο ισορροπίας της Εξ. (2.62) (τετράγωνα). Αντίστοιχα στη δεξιά εικόνα φαίνεται ο ανώμαλος τρόπος όπως υπολογίστηκε από το φάσμα BdG (κύκλοι), μαζί με την αναλυτικά υπολογισμένη συχνότητα της Εξ (τετράγωνα). Προφανώς και στις δυο περιπτώσεις τα αναλυτικά αποτελέσματα της θεωρίας διαταραχών, είναι σε καλή ποσοτική συμφωνία με τα αριθμητικά. Επιπλέον να σημειώσουμε ότι η ανάλυση του φάσματος BdG έδειξε ότι υπάρχουν μόνο φανταστικές ιδιοτιμές και άρα τα μόρια σολιτονίων είναι ευσταθή «Μόριο» σολιτονίων στην παραβολική παγίδα. Το αμέσως επόμενο βήμα, είναι να μελετήσουμε την επίδραση του παραβολικού δυναμικού στις λύσεις πολλαπλών σολιτονίων. Σε αυτή τη περίπτωση στο κάθε σκοτεινόφωτεινό σολιτόνιο ασκούνται δυο διαφορετικές δυνάμεις: (α) η δύναμη επαναφοράς από την παραβολική παγίδα [αυτή που βρήκαμε στην προηγούμενη ενότητα, Εξ. (2.36)] και (β) η δύναμη που του ασκείται από την ύπαρξη του άλλου σολιτονίου όπως δίνεται από την Εξ. (2.63). Έτσι μπορούμε άμεσα να γράψουμε την ακόλουθη εξίσωση για το κέντρο x του σολιτονίου : x = F tr + F int. (2.69) 5

57 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων Σημειώνουμε εδώ ότι, η παραπάνω σχέση μπορεί να γενικευθεί και για την περίπτωση N-το πλήθος αλληλεπιδρώντων σκοτεινών-φωτεινών σολιτονίων, όπως γίνεται και στην περίπτωση των απλών σκοτεινών σολιτονίων στα συμπυκνώματα BEC με μόνο ένα συστατικό (μόνο μιας κατάστασης του αερίου) [166]. Είναι σημαντικό να παρατηρήσουμε σε αυτό το σημείο, ότι η δύναμη επαναφοράς της παγίδας F tr, επιτρέπει την ύπαρξη σολιτονικών μορίων ακόμα και στην περίπτωση που αυτά αλληλεπιδρούν μόνο απωστικά (συμφασικά), αφού η δύναμη F tr είναι ικανή να εξουδετερώσει τις απωστικές δυνάμεις μεταξύ των σολιτονίων. Στην περίπτωση δυο σολιτονίων, η θέση ισορροπίας x = x eq είτε στην συμφασική είτε στην περίπτωση με αντίθετη φάση, μπορεί να βρεθεί θέτοντας στην Εξ. (2.69) το x =. Και πάλι μπορούμε να μελετήσουμε τη δυναμική γύρω από το σημείο ισορροπίας χρησιμοποιώντας τη σχέση x (t) = x eq +δ(t), και γράφοντας το γραμμικοποιημένο πρόβλημα για της μικρές μετατοπίσεις δ(t), όπως έγινε και στην Εξ. (2.67), δηλαδή: δ + ω 2 1 δ =, όπου τώρα η συχνότητα ω 1 δίνεται από τη σχέση ω 2 1 = ω 2 osc + ω 2, (2.7) και η ω δίνεται από την Εξ. (2.68). Αυτή η συχνότητα αντιστοιχεί όπως και πριν στην ταλάντωση μεταξύ των δυο σολιτονίων. Όπως αναφέραμε στην προηγούμενη ενότητα, υπάρχει άλλη μια κίνηση που μπορεί να εκτελεί το μόριο, αυτή που η σχετική τους απόσταση είναι σταθερή και το ζεύγος εκτελεί ταλαντώσεις στην παγίδα. Παίρνοντας υπόψιν τη συμμετρία της λύσης του σολιτονίου x 1 = x 2 = x, και γράφοντας την εξίσωση κίνησης για τα δυο κέντρα των σολιτονίων ως εξής: x 1 = F tr + F int, x 2 = F tr F int. (2.71) βρίσκουμε ότι το κέντρο μάζας του μορίου ικανοποιεί την εξίσωση του αρμονικού ταλαντωτή με συχνότητα: ω 2 = ω osc. (2.72) Οι Εξ. (2.69) και (2.71) περιγράφουν αναλυτικά δυο διαφορετικές κινήσεις που εκτελεί ένα μόριο αποτελούμενο από δυο DB σολιτόνια. Συγκεκριμένα η Εξ. (2.69) περιγράφει, όπως προείπαμε, την κίνηση μεταξύ των δύο σολιτονίων του μορίου ενώ η Εξ. (2.71) περιγράφει την ταλάντωση ολόκληρου του μορίου μέσα στο παραβολικό δυναμικό. Η ακρίβεια των αποτελεσμάτων αυτών μπορεί να ελεγχθεί αρχικά μέσω του σχετικού φάσματος BdG. Συγκεκριμένα στην αριστερή (δεξιά) εικόνα του Σχ φαίνεται το φάσμα BdG για την περίπτωση του σολιτονίου σε φάση (με αντίθεση φάση) και με τις κόκκινες καμπύλες φαίνονται οι αντίστοιχοι ανώμαλοι τρόποι. Τα αναλυτικά αποτελέσματα δείχνονται με τους μπλε κύκλους, και φαίνεται άμεσα ότι βρίσκονται σε πολύ καλή συμφωνία με τα αριθμητικά. Να 51

58 2.3. Σολιτονικά «μόρια» λ i /Ω µ µ 2 Σχήμα 2.15: Το φανταστικό μέρος του φάσματος BdG για ένα σολιτονικό «μόριο» αποτελούμενο από δυο DB σολιτόνια, σαν συνάρτηση του χημικού δυναμικού μ 2. Με την κόκκινη καμπύλη απεικονίζονται οι δυο «ανώμαλοι» τρόποι. Αριστερά (δεξιά) το φάσμα υπολογίζεται για την περίπτωση που τα φωτεινά σολιτόνια είναι συμφασικά (με αντίθετη φάση). Οι τιμές των παραμέτρων είναι Ω =.2, μ 1 = 3/2. σημειώσουμε επίσης ότι ενώ οι ανώμαλοι τρόποι συγκρούονται με άλλους τρόπους, κατά τις συγκρούσεις αυτές εμφανίζονται παράθυρα ασταθειών που όμως είναι αρκούντως μικρά έτσι ώστε να μην αλλάζουν σημαντικά την δυναμική των «μορίων». Για λόγους πληρότητας η παραπάνω ανάλυση επιβεβαιώθηκε και μέσω της σύγκρισης με την αριθμητική ολοκλήρωση στο χρόνο των Εξ. (2.5)-(2.6). Συγκεκριμένα παρατηρήσαμε την δυναμική των «μορίων» σολιτονίων και βρέθηκε ότι η τροχιά τους όπως υπολογίζεται αριθμητικά, ακολουθεί σε πολύ καλή συμφωνία τα αναλυτικά αποτελέσματα των Εξ. (2.69)-(2.71) Μόρια σολιτονίων σε πεπερασμένη θερμοκρασία Στη συνέχεια μελετάμε την αναλωτική δυναμική των σολιτονικών μορίων, λόγω πεπερασμένης θερμοκρασίας, μέσω της θεωρίας διαταραχών. Η ανάλυση μας μπορεί να γίνει άμεσα, συνδυάζοντας τα αποτελέσματα της ενότητας μαζί με αυτά της ενότητας Με αυτό το τρόπο γράφουμε την εξίσωση που συμπεριλαμβάνει το εξωτερικο δυναμικο, τις σολιτονικές αλληλεπιδράσεις και τους όρους απόσβεσης: x ax (F tr + F int ) =. (2.73) Επαναλαμβάνοντας την προηγούμενη διαδικασία βρίσκουμε τα σημεία ισορροπίας x eq της Εξ. (2.73). Στην συνέχεια η ανάλυση μικρών διαταραχών γύρω από αυτά περιγράφει την αντίστοιχη ασταθή δυναμική για τα κέντρα των σολιτονίων όπως και στο απλό (single) σολιτόνιο. Συγκεκριμένα βρίσκουμε ότι οι μικρές διαταραχές δ(t), ικανοποιούν την εξίσωση: δ aδ + ω1 2δ =, με συχνότητα ω 1 που δίνεται από την έκφραση, ω 2 1 = ω 2 osc F int x 52 x =x eq, (2.74)

59 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων λ r λ i γ γ γ γ Σχήμα 2.16: Αριστερά εικόνα: το πραγματικό (πάνω) και το φανταστικό (κάτω) μέρος των ιδιοτιμών των δυο ανώμαλων τρόπων για το μόριο με δυο συμφασικά φωτεινά σολιτόνια. Οι συνεχείς μπλε καμπύλες δείχνουν τα αριθμητικά αποτελέσματα ενώ οι διακεκομμένες κόκκινες καμπύλες αντιστοιχούν στις αναλυτικές εκφράσεις των Εξ. (2.73)-(2.74). Στις δεξιά εικόνες φαίνονται τα ίδια αποτελέσματα για ένα μόριο σολιτονίων όπου τα φωτεινά σολιτόνια βρίσκονται σε αντίθετη φάση. Οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν είναι μ = 1.5, Δ =.6 και Ω =.1. γ γ 2 όπου ωosc 2 και a δίνονται από τις σχέσεις (2.37) και (2.54). Η εξίσωση που περιγράφει την κίνηση του κέντρου μάζας του μορίου, λόγω της συμμετρίας x 1 = x 2 = x είναι ίδια με την Εξ Για να επαληθεύσουμε την παραπάνω έκφραση χρησιμοποιούμε το γραμμικό φάσμα BdG και συγκεκριμένα τους «ανώμαλους» τρόπους ταλάντωσης. Παρουσία θερμοκρασίας, όπως και στην περίπτωση του απλού σολιτονίου, οι ιδιοτιμές αυτές είναι εν γένει μιγαδικές και αντίστοιχα τα σολιτόνια είναι ασταθή. Στο σχήμα 2.16, παρουσιάζονται οι δυο «ανώμαλοι» τρόποι για τα συμφασικά (αριστερά) και για αυτά με αντίθετη φάση (δεξιά), όπως βρέθηκαν από τον αριθμητικό υπολογισμό του φάσματος (συνεχής μπλε καμπύλη). Παρατηρούμε ότι για τιμές του γ μικρότερες από το γ c1.153 οι δυο ιδιοτιμές είναι μιγαδικές και η τροχιά του μορίου αντιστοιχεί σε ταλαντώσεις με αυξανόμενο πλάτος. Μετά την δεύτερη κρίσιμη τιμή γ c2.38 οι τροχιά των σολιτονίων είναι καθαρά εκθετική. Στο ίδιο σχήμα, η διακεκομμένη (κόκκινη) καμπύλη δείχνει τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου των Εξ. (2.53) και (2.74), για την μικρότερη και την μεγαλύτερη ιδιοτιμή αντίστοιχα. Τα αριθμητικά και τα αναλυτικά αποτελέσματα είναι σε σχετικά καλή συμφωνία τουλάχιστον μέχρι και τις κρίσιμες τιμές του παράγοντα γ, ενώ τα σημεία διακλάδωσης συμφωνούν με ακρίβεια στο τρίτο δεκαδικό ψηφίο. Τέλος, παρουσιάζουμε κάποια αποτελέσματα από την αριθμητική ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης (2.39)-(2.4), που επαληθεύουν τα αναλυτικά μας αποτελέσματα αλλά και την ανάλυση της ευστάθειας. Για την ακρίβεια στο Σχ. 2.17, παρουσιάζουμε την χωροχρονική εξέλιξη ενός μορίου σολιτονίων στην συμφασική (αριστερά) και στην περίπτωση αντίθετης φάσης (δεξιά). Το αρχικό ζεύγος για τιμή του γ < γ c1, φαίνεται να εκτελεί τα- 53

60 2.4. Άλλες εντοπισμένες λύσεις σε μείγματα BEC x t x t x t x t Σχήμα 2.17: Χωροχρονική εξέλιξη της πυκνότητας και για ένα μόριο σε φάση (αριστερές εικόνα) αλλά και με αντίθετη φάση (δεξιά εικόνες) στην υποκρίσιμη περιοχή με γ =.1. Οι πάνω εικόνες αντιστοιχούν στο σκοτεινό σολιτόνιο και οι κάτω στο φωτεινό. Οι διακεκομμένες καμπύλες αντιστοιχούν στο αποτέλεσμα της εξίσωσης (2.73). λάντωση μεταξύ των δυο σολιτονίων με αυξανόμενο πλάτος και τελικά αποσβένεται αφού φτάσει στα άκρα της παγίδας. Η λύση της απλής μονοσωματιδιακής εξίσωσης (2.74) που απεικονίζεται με την διακεκομμένη καμπύλη, ακολουθεί με καλή συμφωνία την τροχιά των σολιτονίων. 2.4 Άλλες εντοπισμένες λύσεις σε μείγματα BEC Ταλαντούμενα σκοτεινά-σκοτεινά σολιτόνια Στις προηγούμενες ενότητες, αφού παρουσιάσαμε πειραματικά αποτελέσματα DB σολιτονίων (Σχ. 2.4) και μορίων σολιτονίων (Σχ. 2.12), στη συνέχεια μελετήσαμε αναλυτικά και αριθμητικά τόσο την δυναμική όσο και την ευστάθειά τους. Στα ίδια πειράματα ωστόσο, βρέθηκαν εντοπισμένα υλικά κύματα που παρουσιάζουν διαφορετική δομή, όπως αυτήν του Σχ. 2.18, όπου εμφανίζονται διαδοχικά ένα βύθισμα και μια έξαρση στην πυκνότητα εκάστου συστατικού. Σε αυτή την ενότητα θα δείξουμε ότι αυτές οι δομές, αντιστοιχούν σε «σκοτεινά-σκοτεινά» σολιτόνια που στην πραγματικότητα, μαζί με τα σκοτεινά-φωτεινά, ανήκουν στην ίδια ομάδα λύσεων που συνδέονται με στροφές στο χώρο των κυματοσυναρτήσεων. Σημαντικό είναι το γεγονός ότι σε στιγμιότυπα που παρατηρούνται πειραματικά (βλ. Σχ. 2.19) φαίνεται να συνυπάρχουν διαφορετικού τύπου σολιτονικές λύσεις. Αρχικά παρατηρεί κανείς ότι, στην περίπτωση του ολοκληρώσιμου ορίου Manakov (g ij = 1), το σύστημα Εξ. (2.5)-(2.6) είναι συμμετρικό σε στροφές SU(2) [128]. Ένα στοιχείο της ομάδας αυτής έχει τη μορφή: U = ( α β β α ), 54

61 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων Σχήμα 2.18: Πειραματικές εικόνες που δείχνουν τον σχηματισμό σκοτεινών-σκοτεινών σολιτονίων στο μείγμα BEC. Σε κάθε εικόνα το πάνω νέφος αντιστοιχεί στην κατάσταση 2, 2 ενώ η κάτω στην 1, 1. Στην εικόνα (a) φαίνεται η αρχική κατανομή των πυκνοτήτων πριν την «συμβολή» των δυο συστατικών. Στην εικόνα (b) αφού τα δυο ρευστά έχουν αναμειχθεί παρατηρείται ο σχηματισμός της μη γραμμικής δομής που φαίνεται στην εικόνα (d). Στην εικόνα (c) φαίνεται η δυναμική της ανάμιξης μετά από μεγάλο Στην εικόνα (d) φαίνεται το προφίλ της πυκνότητας για την εικόνα (b) και η κόκκινη (μαύρη) καμπύλη αντιστοιχεί στην κατάσταση 2, 2 ( 1, 1 ), ενω η μπλε καμπύλη αντιστοιχεί στο άθροισμα των δυο. 55

62 2.4. Άλλες εντοπισμένες λύσεις σε μείγματα BEC Σχήμα 2.19: Πειραματικές εικόνες που δείχνουν τον σχηματισμό DB σολιτονίων που συνυπάρχουν με τα ταλαντούμενα σκοτεινά-σκοτεινά (dark-dark, DD). Στη κάτω εικόνα φαίνεται το προφίλ της πυκνότητας για την πλαισιωμένη περιοχή στη μεσαία εικόνα και η κόκκινη (μαύρη) καμπύλη αντιστοιχεί στην κατάσταση 2, 2 ( 1, 1 ). όπου α και β είναι μιγαδικοί αριθμοί α 2 + β 2 = 1. Έτσι, μπορεί να δείξει κανείς ότι αν (ψ 1, ψ 2 ) T είναι λύσεις των Εξ. (2.5)-(2.6) τότε και οι: ( ψ 1 ψ 2 ) U ( ψ 1 ψ 2 ) = ( αψ 1 β ψ 2 βψ 1 + α ψ 2 ), είναι επίσης λύσης των εξισώσεων Εξ. (2.5)-(2.6). Σύμφωνα με την παραπάνω παρατήρηση, μπορούμε να κατασκευάσουμε διαφορετικές λύσεις ξεκινώντας από το σκοτεινόφωτεινό σολιτόνιο και εκτελώντας την αντίστοιχη στροφή παίρνοντας: ψ 1 (x, t) = α μ{cos φtanhξ + i sin φ} β η sech ξ exp{ikx + iθ(t)}, (2.75) ψ 2 (x, t) = β μ{cos φtanhξ + i sin φ} + α η sech ξ exp{ikx + iθ(t)}. (2.76) Αυτή η λύση, συγκρινόμενη με το απλό σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο, έχει τρεις επιπρόσθετες πραγματικές παραμέτρους, που προέρχονται από τις δυο μιγαδικές σταθερές α, β C και την συνθήκη α 2 + β 2 = 1 που τις συνδέει. Έτσι στη γενικότερη της μορφή, η αντίστοιχη λύση χαρακτηρίζεται από εφτά πραγματικές παραμέτρους. Για να απλοποιήσουμε τον παραμετρικό χώρο, θα επικεντρωθούμε στην περίπτωση που τα α και β είναι πραγματικές σταθερές, οπότε ο αντίστοιχος πίνακας έχει τη μορφή του πίνακα στροφής SO(2): U = ( cos(χ) sin(χ) 56 sin(χ) cos(χ) ), (2.77)

63 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων με μόνη ελεύθερη παράμετρο την γωνία χ. Η αντίστοιχη σολιτονική λύση έχει τη μορφή: ψ 1 (x, t) = cos(χ) μ{cos φtanh(d(x x (t))) + i sin φ} sin(χ)ηsech(d(x x (t))) exp{ikx + iθ(t)}, (2.78) ψ 2 (x, t) = sin(χ) μ{cos φtanh(d(x x (t))) + i sin φ} + cos(χ)ηsech(d(x x (t))) exp{ikx + iθ(t)}, (2.79) Για να μελετήσουμε τη μορφή και τις ιδιότητες αυτών των λύσεων εξετάζουμε πρώτα την ασυμπτωτική τους συμπεριφορά. Παρατηρεί κανείς ότι οι πυκνότητες των δυο συνιστωσών δίνονται από τις σχέσεις ψ 1 2 μ cos 2 (χ) και ψ 2 2 μ sin 2 (χ) όταν x. Για την οριακή περίπτωση όπου το χ =, από την μορφή των εξισώσεων (2.78)-(2.79), βλέπουμε ότι η μια συνιστώσα αποκτά σταθερή τιμή στα άπειρα μ ενώ η άλλη έχει μηδενικά άκρα: η λύση σε αυτή τη περίπτωση ανάγεται στο απλό σκοτεινό-φωτεινό σολιτόνιο. Στο άλλο όριο όπου το η =, οι δύο συνιστώσες λαμβάνουν σταθερή τιμή στα άπειρα και φέρουν, η καθεμιά από αυτές, ένα σκοτεινό σολιτόνιο με κοινό κέντρο: οι λύσεις αυτές ονομάζονται σκοτεινά-σκοτεινά (dark-dark, DD) σολιτόνια. Στην πιο γενική περίπτωση όπου και το χ και το η είναι πεπερασμένα, το κάθε σολιτόνιο συνίσταται από ένα βύθισμα ακολουθούμενο από μια έξαρση, όπως στο Σχ. 2.18(d). Eπειδή και οι δύο συνιστώσες έχουν πεπερασμένες τιμές καθώς x ονομάζονται επίσης λύσεις DD σολιτονίων. Η ακριβής μορφή των πυκνοτήτων για τις δυο συνιστώσες δίνεται από τη σχέση: n 1 ψ 1 2 = μ cos 2 (χ) (μ cos 2 (χ) cos 2 φ η 2 sin 2 (χ))sech 2 ξ μη sin(2χ) {sin φ sin[kx + θ(t)] + cos φ cos[kx + θ(t)]tanhξ} sechξ, (2.8) n 2 ψ 2 2 = μ sin 2 (χ) (μ sin 2 (χ) cos 2 φ η 2 cos 2 (χ))sech 2 ξ + μη sin(2χ) {sin φ sin[kx + θ(t)] + cos φ cos[kx + θ(t)]tanhξ} sechξ, (2.81) ενώ η συνολική πυκνότητα n tot δίνεται από την απλούστερη σχέση: n tot = n 1 + n 2 = μ D 2 sech 2 ξ. (2.82) Η συνολική πυκνότητα του DD σολιτονίου είναι χρονικά ανεξάρτητη και έχει τη μορφή ενός βυθίσματος βάθους D 2 σε ένα υπόβαθρο πυκνότητας μ. Στην πραγματικότητα, η συνολική πυκνότητα είναι ίδια με την αντίστοιχη του απλού σκοτεινού-φωτεινού σολιτονίου (για ίδια τιμή του μ), όπως αναμένεται από το γεγονός ότι οι στροφές SO(2) στο χώρο των κυματοσυναρτήσεων διατηρούν την συνολική πυκνότητα. Σημειώνεται ότι στη συνέχεια, για να περιγράψουμε την δυναμική των DD σολιτονίων, θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι οι στροφές διατηρούν όχι μόνο την πυκνότητα αλλά και την συνολική ενέργεια του συστήματος. 57

64 2.4. Άλλες εντοπισμένες λύσεις σε μείγματα BEC ψ 2 1 φ = η =.5 µ = 1 χ = π / 8 φ = η =.5 µ = 1 χ = π / 4.5 ψ 2 1 φ = η = µ = 1 χ = π / 8 φ = η = µ = 1 χ = π / x 1 1 Σχήμα 2.2: Παραδείγματα με τις πυκνότητες (για t =, φ = και μ = 1 ) των διαφορετικών λύσεων, για τις ενδεδειγμένες τιμές των παραμέτρων. Οι πάνω εικόνες με πεπερασμένο η αντιστοιχούν στα DD σολιτόνια που παρουσιάζουν ταλαντώσεις στην πυκνότητα (και είναι αυτά που παρατηρήθηκαν στο πείραμα) ενώ οι κάτω εικόνες αντιστοιχούν στα συνήθη DD σολιτόνια. Οι μπλε και κόκκινες καμπύλες αντιστοιχούν στις πυκνότητες ψ 2 και ψ 2, ενώ η διακεκομμένη μαύρη καμπύλη στην συνολική πυκνότητα ψ 2 + ψ 2. x Χαρακτηριστικά παραδείγματα διαφόρων μορφών σολιτονίων που προκύπτουν από τις στροφές φαίνονται στο Σχ Η πιο γενική περίπτωση όπου και το η αλλά και το χ, απεικονίζεται στις πάνω εικόνες του Σχήματος, για δυο τιμές της γωνίας στροφής. Βλέπουμε άμεσα ότι οι λύσεις σε αυτή τη περίπτωση παρουσιάζουν το χαρακτηριστικό βύθισμα και την έξαρση στη πυκνότητα. Στις κάτω εικόνες, παρουσιάζονται δυο λύσεις με μηδενικό η όπου χαρακτηριστικά βλέπουμε ότι στη κάθε συνιστώσα υπάρχει από ένα σκοτεινό σολιτόνιο. Γίνεται πλέον ξεκάθαρο, ότι οι δομές που εμφανίζονται στις πειραματικές εικόνες των Σχ , έχουν τη ίδια μορφή με το σκοτεινό-σκοτεινό σολιτόνιο της πάνω δεξιά εικόνας του Σχ Πριν προχωρήσουμε, είναι σημαντικό να περιγράψουμε τη μορφή των πυκνοτήτων n 1 και n 2, στο σύστημα αναφοράς που κινείται με το κέντρο ξ = του σολιτονίου, δηλαδή εκεί που το x = x (t) = kt: n 1 (ξ = ) = μ cos 2 (χ) sin 2 φ + η 2 sin 2 (χ) μη sin(2χ) sin φ sin [ 1 2 (k2 + D 2 )t], (2.83) n 2 (ξ = ) = μ sin 2 (χ) sin 2 φ + η 2 cos 2 (χ) + μη sin(2χ) sin φ sin [ 1 2 (k2 + D 2 )t]. (2.84) 58

65 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων Παρατηρούμε ότι για η =, στα συνήθη DD σολιτόνια η πυκνότητα του κάθε συστατικού n 1,2 (ξ = ) είναι χρονικά ανεξάρτητη. Αντιθέτως στην γενική περίπτωση όπου το η, οι πυκνότητες n 1,2 (ξ = ) είναι περιοδικές συναρτήσεις του χρόνου, και οι αντίστοιχες λύσεις (2.78)-(2.79) έχουν τη μορφή «ταλαντούμενων» DD σολιτονίων beating DD-solitons [39, 4]. Η συχνότητα ταλάντωσης των σολιτονίων, δίνεται από την παρακάτω σχέση: ω = 1 2 (k2 + D 2 ) = 1 2 (μ η2 sec 2 φ), (2.85) για την εξαγωγή της οποίας χρησιμοποιήσαμε την Εξίσωση (2.16). Η συχνότητα αυτή είναι φραγμένη από δυο όρια. Το πρώτο όριο αντιστοιχεί στην περίπτωση όπου η, και το σολιτόνιο ανάγεται στο απλό σκοτεινό-φωτεινό με ω (1/2)μ και το άλλο όριο αντιστοιχεί στην οριακή περίπτωση που το αντίστροφο πλάτος του σολιτονίου D, και το σολιτόνιο ανάγεται σε ένα επίπεδο κύμα συχνότητας ω (1/2)k 2. Έτσι, η συχνότητα ταλάντωσης της πυκνότητας των σολιτονίων λαμβάνει τις τιμές: 1 2 k2 < ω < 1 μ. (2.86) Σκοτεινά-σκοτεινά σολιτόνια στην παγίδα Στη συνέχεια θα μελετήσουμε την δυναμική των DD σολιτονίων παρουσία του δυναμικού παγίδευσης, ξεκινώντας από το ολοκληρώσιμο όριο, δηλαδή για g = g = g = g = 1. Σημειώνουμε πρώτα ότι τα σκοτεινά-σκοτεινά σολιτόνια που βρέθηκαν μέσω στροφών SO(2), διατηρούν τα σταθερά μεγέθη του συστήματος, δηλαδή την συνολική ενέργεια και το συνολικό αριθμό ατόμων στο συμπύκνωμα. Αντίστοιχα η μελέτη της ενότητας βασίζεται στη συνολική ενέργεια του φωτεινού-σκοτεινού σολιτονίου, για συγκεκριμένα χημικά δυναμικά και αριθμό ατόμων. Έτσι αναμένεται ότι η εξίσωση κίνησης για το κέντρο του σολιτονίου, Εξ. 2.35, που εξήχθη μέσω της αδιαβατικής θεωρίας διαταραχών, να παραμένει ίδια και για το αντίστοιχο σκοτεινό-σκοτεινό με ίδιες τιμές των παραμέτρων. Το αποτέλεσμα της παραπάνω ανάλυσης, που προβλέπει ότι ένα DD σολιτόνιο εκτελεί ταλαντώσεις παρουσία του δυναμικού παγίδευσης σύμφωνα με την Εξ. 2.35, επαληθεύεται αριθμητικά. Συγκεκριμένα, μελετάται η δυναμική των σολιτονίων εκτελώντας το εξής αριθμητικό πείραμα. Χρησιμοποιώντας τις λύσεις της μορφής , και πολλαπλασιάζοντας το «σκοτεινό» κομμάτι (όρους ανάλογους του tanh) με το αντίστοιχο νέφος TF, κατασκευάζουμε μια αρχική συνθήκη η οποία εξελίσσεται στο χρόνο σύμφωνα με τις εξισώσεις (2.5)-(2.6). Επίσης το κέντρο του σολιτονίου τοποθετείται αρχικά σε πεπερασμένο x έτσι ώστε να αρχίσει να εκτελεί ταλαντώσεις στην παγίδα. Χαρακτηριστικό παράδειγμα 59

66 2.4. Άλλες εντοπισμένες λύσεις σε μείγματα BEC x t 4 x ω osc Ν μ Σχήμα 2.21: Αριστερά: Χωροχρονική εξέλιξη του DD σολιτονίου που εκτελεί ταλαντώσεις στο παραβολικό δυναμικό συχνότητας Ω =.5 ( μ = 1, η =.6, χ = π/4, θ = k = και x (t = ) = 2.5). Η εικόνα αντιστοιχεί στην ψ συνιστώσα. Δεξιά: Στο πάνω σχήμα φαίνεται η τροχιά του κέντρου μάζας του συνολικού μείγματος όπως υπολογίστηκε αριθμητικά. Στο κάτω σχήμα με τη συνεχή κόκκινη καμπύλη σχεδιάζεται η συχνότητα ταλάντωσης σαν συνάρτηση του αριθμού των ατόμων του φωτεινού κομματιού της λύσης από την Eξ. (2.37), ενώ τα τρίγωνα αντιστοιχούν στην αριθμητικά υπολογισμένη τιμή. b / 1/2 t της δυναμικής του σολιτονίου φαίνεται στην αριστερή εικόνα του Σχ. 2.21, όπου απεικονίζεται η χωροχρονική εξέλιξη της ψ συνιστώσας του συμπυκνώματος. Παρατηρούμε ότι το κέντρο μάζας του σολιτονίου εκτελεί ταλαντώσεις, ενώ στο κέντρο της συχνότητας το αντίστοιχο «βύθισμα» και η «έξαρση» στην πυκνότητα εναλλάσσονται περιοδικά. Για να συγκρίνουμε τη συχνότητα ταλάντωσης του σολιτονίου με το αναλυτικό αποτέλεσμα, πρώτα βρίσκουμε αριθμητικά την κίνηση του κέντρου μάζας και παίρνουμε μια καμπύλη σαν αυτή της πάνω δεξιά εικόνας του Σχ Στη συνέχεια, υπολογίζουμε την συχνότητα αριθμητικά, μέσω μετασχηματισμού Fourier, και παίρνουμε τα σημεία (τρίγωνα) στη κάτω δεξιά εικόνα του σχήματος, όπου η συχνότητα ταλάντωσης σχεδιάζεται σαν συνάρτηση του N b. Το αντίστοιχο αποτέλεσμα της Εξ σχεδιάζεται με συνεχή (κόκκινη) καμπύλη και είναι σε εξαιρετική συμφωνία με τα αριθμητικά. Στη συνέχεια, αφού δείξαμε ότι τα σολιτόνια παρουσία δυναμικού είναι ευσταθή και εκτελούν ταλαντώσεις στο παραβολικό δυναμικό, θα μελετήσουμε την δυναμική τους μακριά από το ολοκληρώσιμο όριο. Συγκεκριμένα αναφέρουμε πρώτα ότι, κοντά στο ολοκληρώσιμο όριο, δηλαδή για τιμές σχετικές με τα πειράματα, τα σολιτόνια παραμένουν ευσταθή και η ανάλυση που παρουσιάστηκε πιο πάνω δεν εμφανίζει ποιοτικές διαφορές όσον αφορά την δυναμική τους. Ωστόσο έχει ενδιαφέρον να μελετήσουμε μεγαλύτερες αποκλίσεις από το ολοκληρώσιμο όριο, για τις οποίες βρέθηκε ότι τα ταλαντούμενα DD σολιτόνια είναι ασταθή, και η αστάθεια τους εμφανίζει μη τετριμμένη δυναμική συμπεριφορά. Στο Σχ παρουσιάζονται δυο διαφορετικές περιπτώσεις όπου οι λόγοι των συντελεστών της μη γραμμικότητας g g g g παίρνουν τιμές g 1 1 και η παράμετρος g παίρνει τις τιμές g = 1.1 και g = 1.6 για τις πάνω και κάτω εικόνες του σχήματος αντίστοιχα. Στην 6

67 2. Σολιτόνια σε μείγματα δύο συμπυκνωμάτων g=1.1 g=1.6 x x t Σχήμα 2.22: Χωροχρονική εξέλιξη του DD σολιτονίου για λόγους συντελεστών μη γραμμικότητας ίσους με Στην αριστερή και δεξιά εικόνα φαίνονται οι πυκνότητες του συστατικού ψ και ψ αντίστοιχα. Οι άλλεα παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν είναι ίδιες με αυτές του Σχ t πρώτη περίπτωση, που το σύστημα δεν είναι πολύ μακριά από το όριο Manakov (g = 1.1,) το DD σολιτόνιο φαίνεται ότι διατηρεί την αρχική του μορφή αλλά αρχίζει να κινείται μετά από χρόνο περίπου t 4, γεγονός που δηλώνει ότι έχει γίνει ασθενώς ασταθές. Αντιθέτως, στις κάτω εικόνες του Σχ. 2.22, όπου το g = 1.6, το προφίλ του αρχικού DD σολιτονίου αρχίζει να μεταβάλλεται ήδη από μικρούς χρόνους, και έπειτα για t 6 το αρχικό βύθισμα και η έξαρση πυκνότητας διαχωρίζονται. Ασυμπτωτικά, στο σύστημα παραμένουν εντοπισμένες δομές στη μορφή ζεύγους από ένα σκοτεινό σολιτόνιο στο ένα συστατικό και αντί-σκοτεινό (anti-dark) σολιτόνιο στο άλλο (αντι-σκοτεινό σολιτόνιο αποκαλούμε την έξαρση πυκνότητας που απεικονίζεται με λευκό χρώμα στο σχήμα). «Μόρια» DD σολιτονίων Για λόγους πληρότητας, στη συνέχεια μελετάμε μόρια ταλαντούμενων DD σολιτονίων, αφού υπάρχουν ενδείξεις για τέτοιες δομές στα πειραματικά αποτελέσματα (όπως για παράδειγμα το σολιτόνιο στην κάτω εικόνα του Σχ. 2.2 περίπου στα 18 μ). Όπως και στην ενότητα 2.3, είναι ευκολότερο να αρχίσουμε με το ομογενές πρόβλημα. Έτσι, ξεκινώντας με τη λύση δυο σκοτεινών-φωτεινών σολιτονίων και εκτελώντας μια στροφή με τον πίνακα SO(2) της Εξ. (2.77) καταλήγουμε τελικά στη λύση: u 1 = cos(χ) (cos φtanhξ + i sin φ) (cos φtanhξ + i sin φ) sin(χ) (ηsechξ e i(kx+θ(t)) + e i θ ηsechξ + e i( kx+θ(t)) ), (2.87) u 2 = sin(χ) (cos φtanhξ + i sin φ) (cos φtanhξ + i sin φ) + cos(χ) (ηsechξ e i(kx+θ(t)) + e i θ ηsechξ + e i( kx+θ(t)) ), (2.88) 61

68 2.4. Άλλες εντοπισμένες λύσεις σε μείγματα BEC x 2 2 IP OOP x t t Σχήμα 2.23: Χωροχρονική εξάρτηση των πυκνοτήτων που απεικονίζουν ένα μόριο συμφασικών DD σολιτονίων (αριστερά) και ένα μόριο σολιτονίων με αντίθετη φάση (δεξιά). Στην περίπτωση αυτή οι συντελεστές της μη γραμμικότητας είναι ίσες g ij = 1 και οι υπόλοιπες παράμετροι είναι Ω =.5, χ = π/4, η =.5, x = 1.5, D = 1.2, μ = 1. όπου έχουμε λάβει υπόψιν τις ίδιες παραδοχές όπως και στην περίπτωση των «μορίων» DB σολιτονίων και θυμίζουμε ότι Δθ είναι η σχετική φάση μεταξύ των φωτεινών σολιτονίων. Επίσης, αφού οι στροφές στο χώρο των κυματοσυναρτήσεων, διατηρούν τα μεγέθη που είναι σχετικά με την κίνηση των σολιτονίων, περιμένουμε ότι η ανάλυση για τα μόρια των DB σολιτονίων εξακολουθεί να ισχύει. Για αυτές τις λύσεις έγινε συστηματική αριθμητική ανάλυση της δυναμικής τους για διάφορες τιμές των παραμέτρων του προβλήματος. Συνοπτικά βρίσκουμε ότι κοντά στο όριο Manakov τα μόρια είναι ευσταθή και επίσης, όπως περιμένουμε, παρουσιάζουν παρόμοια δυναμική με εκείνη των μορίων από DB σολιτόνια, εμφανίζοντας δυο χαρακτηριστικές κινήσεις. Ένα παράδειγμα της δυναμικής μορίων από ταλαντούμενα DD σολιτόνια φαίνεται στο Σχ. 2.23, για την περίπτωση Δθ = (αριστερά εικόνες) αλλά και για την περίπτωση Δθ = π (δεξιά εικόνες). Όπως βρέθηκε από την μελέτη των μορίων DD σολιτονίων σε φάση, αυτά δεν μένουν ακίνητα στο κέντρο της παγίδας αλλά διεγείρονται σχεδόν άμεσα, και τα δύο σολιτόνια που απαρτίζουν το μόριο εκτελούν ταλαντώσεις μεταξύ τους. Αντιθέτως, όπως φαίνεται και στις δεξιά εικόνες του Σχ. 2.23, τα σολιτόνια με φάση Δθ = π είναι λύσεις που παραμένουν στο κέντρο της παγίδας και είναι πιο ευσταθή, γεγονός που δεν αποτελεί έκπληξη σύμφωνα με την ανάλυση που έγινε για τις δυνάμεις μεταξύ των σολιτονίων. 62

69 Κεφάλαιο 3 Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς 3.1 Η Χαμιλτονιανή του συστήματος «Φαινoμενική» αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς σε ουδέτερα άτομα Σε πρόσφατα πειράματα, γίνεται χρήση μειγμάτων συμπυκνωμάτων προκειμένου να μελετηθούν συστήματα παρουσία πεδίων βαθμίδας (gauge fields). Συγκεκριμένα, χρησιμοποιώντας διάφορες τεχνικές, πειραματικές ομάδες κατάφεραν να δημιουργήσουν «τεχνητά» πεδία βαθμίδας για ουδέτερα άτομα. Στην αρχή του κεφαλαίου αυτού θα περιγράψουμε την πειραματική διάταξη καθώς και την Χαμιλτονιανή που περιγράφει την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς σε ουδέτερα μποζονικά άτομα. Η ιδέα πίσω από αυτή τη μέθοδο βασίζεται στην σύζευξη των εσωτερικών ατομικών καταστάσεων υπέρλεπτης υφής ενός ατόμου, χρησιμοποιώντας τις αλληλεπιδράσεις ατόμου-λέιζερ με τρόπο που να εξαρτάται από την ορμή. Στην ενότητα αυτή θα περιγράψουμε το σύστημα που χρησιμοποιήθηκε στα πειράματα των αναφορών [41,6], ακολουθώντας την ανάλυση της αναφοράς [41] και την διδακτορική διατριβή [167]. Στα πειράματα αυτά, χρησιμοποιήθηκε η κατάσταση υπέρλεπτης υφής F = 1 του 87 Rb, υπό την επίδραση δύο Raman λέιζερ και ενός εξωτερικού μαγνητικού πεδίου. Για αρκούντως μεγάλη τιμή του διαχωρισμού Zeeman (quadratic Zeeman shift), τέτοια ώστε να μπορούμε να αγνοήσουμε την m F = +1 κατάσταση, η Χαμιλτονιανή των μη-αλληλεπιδρώντων ατόμων στο χώρο των ορμών, για τις υπόλοιπες δύο καταστάσεις είναι η ακόλουθη: H = ( ħ 2 k x 2m + ħδ ħωei2k Lx ħωe i2k Lx ħ 2 k x 2m ħδ ). (3.1) Η σύζευξη Raman στην παραπάνω Χαμιλτονιανή περιγράφεται από τους αντιδιαγώνιους όρους τύπου Rabi, ħω, όπου Ω είναι η συχνότητα Rabi, ενώ η ορμή 2ħk L των δύο φωτονίων 63

70 3.1. Η Χαμιλτονιανή του συστήματος Σχήμα 3.1: Αριστερά: Γεωμετρία της πειραματικής διάταξης η οποία αποτελείται από Raman λέιζερ συχνοτήτων ω L και ω L +Δω L, και εξωτερικό μαγνητικό πεδίο B. Δεξιά: Ενεργειακό διάγραμμα των συστατικών της F = 1 κατάστασης του 87 Rb και οι αντίστοιχες μεταβάσεις Raman (συνεχείς γραμμές). Το ω Z συμβολίζει τις μετατοπίσεις λόγω φαινομένου Zeeman, ενώ το ε την μετατόπιση λόγω quadtratic Zeeman. Η παράμετρος δ περιγράφει την διαφορά από τον συντονισμό Raman. δημιουργεί μια χωρικά μεταβαλλόμενη φάση. Συγκεκριμένα, η ορμή k L = 2π sin(θ/2)/λ εξαρτάται από το μήκος κύματος λ του λέιζερ και τη σχετική γωνία μεταξύ των δύο αντίθετων πεδίων λέιζερ. H παράμετρος δ μετράει την διαφορά ενέργειας από τον συντονισμό Raman και τέλος ħk x είναι η ορμή των ατόμων. Σχηματικά η διάταξη απεικονίζεται στο Σχ Παρατηρούμε ότι η σύζευξη Raman, μπορεί να γραφεί με τη βοήθεια του πίνακα σπιν σ x όπως φαίνεται στην πιο κάτω σχέση: ( ħωe i2k Lx ħωe i2k Lx ) = e ik Lx ( ħω ħω ) e ik Lx e ik Lx ħωσ x e ik Lx, (3.2) όπου υπενθυμίζεται ότι οι πίνακες σπιν του Pauli έχουν τη μορφή: σ x = ( 1 1 ), σ y = ( i i ), σ z = ( 1 1 ). (3.3) Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω πίνακες και τη σχέση 3.2 παρατηρούμε ότι η Χαμιλτονιανή (3.1) ξαναγράφεται ως H = ħ2 k x 2m I + ħδσ z + e ik Lx ħωσ x e ik Lx (3.4) όπου I ο μοναδιαίος 2 2 πίνακας. Σε αυτή τη μορφή, η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιας (spinorbit-coupling, SOC) γίνεται εμφανής μετά από έναν μοναδιακό (unitary) μετασχηματισμό της Xαμιλτονιανης H = U HU με U = e k Lxσ z και καταλήγει: H = ħ2 (k x I + k L σ z ) 2 2m 64 + ħδσ z + ħωσ x, (3.5)

71 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς όπου για λόγους απλότητας αγνοούμε την περισπωμένη. Η παραπάνω Χαμιλτονιανή περιλαμβάνει τη σύζευξη σπιν-ορμής, που χρησιμοποιείται συχνά στη μελέτη δισδιάστατων συστημάτων συμπυκνωμένης ύλης, και περιγράφει τον διαχωρισμό του ενεργειακού φάσματος καταστάσεων σπιν με τρόπο που εξαρτάται από την ορμή. Στην πραγματικότητα, η συγκεκριμένη μορφή της Εξ. (3.5) αντιστοιχεί σε ίση συνεισφορά της σύζευξης Rashba (p z σ x p x σ z ) και Dresselhaus ( p z σ x p x σ z ) [54, 55] Θεωρία μέσου πεδίου για τα BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Η μελέτη του συμπυκνώματος παρουσία αλληλεπιδράσεων σπιν-τροχιάς αλλά και των διατομικών αλληλεπιδράσεων, σε οιονεί μονοδιάστατα BEC, μπορεί να πραγματοποιηθεί στο πλαίσιο της θεωρίας μέσου πεδίου σύμφωνα με το παρακάτω σύστημα εξισώσεων: i t Ψ(x, t) = HΨ(x, t), H = H 1 + H int, (3.6) όπου Ψ(x, t) [ψ (x), ψ (x)] T και ψ, οι κυματοσυναρτήσεις των δύο συστατικών κανονικοποιημένες στον αντίστοιχο αριθμό ατόμων, N, = ψ, 2 dx. Η συνολική Χαμιλτονιανή H χωρίζεται σε δύο μέρη, το μονοσωματιδιακό (single-particle) H 1 και το αλληλεπιδρών (nonlinear) H int. Η μονοσωματιδιακή Χαμιλτονιανή H 1 της Εξ. (3.6) έχει την μορφή: H 1 = 1 2m ( p x + k L σ z ) 2 + V tr (x) + Ωσ x + δσ z, (3.7) όπου p x = iħ x ο τελεστής της ορμής στην εγκάρσια διεύθυνση, m η ατομική μάζα και σ x,z οι αντίστοιχοι πίνακες Pauli. Αντίστοιχα, η μη γραμμική Χαμιλτονιανή H int που περιγράφει τις αλληλεπιδράσεις δίνεται από την σχέση: H int = [ ψ 2 + β ψ 2 β ψ 2 + ψ 2 ], (3.8) όπου β = g 11 /g 12, και οι σταθερές ζεύξης g ij = α ij /α 11 (i, j = 1, 2) ορίζονται όπως και στο Κεφάλαιο 2, από το αντίστοιχο μήκος σκέδασης α ij. Παρατηρούμε ότι αναπτύσσοντας το τετράγωνο του πρώτου όρου της μονοσωματιδιακής Χαμιλτονιανής (3.7), εμφανίζεται ένας όρος ανάλογος του k L p x σ z, ο οποίος περιγράφει στην πραγματικότητα την διαφορά ταχύτητας μεταξύ των ατόμων στα δύο συστατικά, η οποία είναι ίση με 2k L. Η φυσική ερμηνεία της ύπαρξης αυτών των όρων προέρχεται από το γεγονός ότι τα λέιζερ τύπου Raman προκαλούν μεταβάσεις μεταξύ ατόμων σε διαφορετική κατάσταση υπέρλεπτης υφής m F με διαφορετική ταχύτητα. Επιπρόσθετα, η σύζευξη μεταξύ των δύο διαφορετικών καταστάσεων χαρακτηρίζεται από την συχνότητα Rabi που είναι ίση με Ω. 65

72 3.1. Η Χαμιλτονιανή του συστήματος Σε αυτό το σημείο είναι σημαντικό να αναφέρουμε την ευελιξία του σχήματος αυτού όσον αφορά στις διάφορες παραμέτρους της «φαινόμενικής» Χαμιλτονιανής (3.7). Η σύζευξη σπιν-τροχιάς χαρακτηρίζεται από ένα συντελεστή ανάλογο του k L και εξαρτάται από το μήκος κύματος λ L των Raman λέιζερ, αλλά και από την σχετική τους γωνία θ. Έτσι, ενώ το μήκος κύματος δεν μπορεί να παίρνει αυθαίρετες τιμές αφού πρέπει να αντιστοιχεί στις συγκεκριμένες ατομικές μεταβάσεις, η γωνία μεταξύ τους είναι ελεύθερη παράμετρος και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέτρο ελέγχου του όρου σπιν-τροχιάς. Αντίστοιχα, η συχνότητα Ω ελέγχεται από την ένταση των πηγών λέιζερ, ενώ η διαφορά ενεργειών δ μεταξύ των καταστάσεων, μεταβάλλεται εύκολα αλλάζοντας την συχνότητα μεταξύ των δύο ακτίνων Raman. Έτσι, σε αντίθεση με αντίστοιχα συστήματα που συναντούνται σε υλικά συμπυκνωμένης ύλης όπου οι παράμετροι αυτές αποτελούν εσωτερικές ιδιότητες του υλικού εδώ οι παράμετροι ελέγχονται σχετικά εύκολα και με καλή ακρίβεια από εξωτερικά πεδία Το μονοσωματιδιακό πρόβλημα Είναι σημαντικό πριν προχωρήσουμε στην μελέτη του μη γραμμικού προβλήματος, να ξεκινήσουμε την ανάλυσή μας από το απλούστερο ομογενές (V trap = ) γραμμικό πρόβλημα, για το οποίο η Εξ. 3.7 επιδέχεται λύσεις επίπεδων κυμάτων της μορφής: Ψ p (x, t) = ( u 1 u 2 ) e i(kx ωt) ue i(kx ωt). (3.9) Η αντίστοιχη χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrödinger i t Ψ p = H Ψ p, ανάγεται στο ακόλουθο πρόβλημα ιδιοτιμών: (W 1ω)u = (3.1) W = [ k2 /2 + kk L + δ Ω Ω +k 2 /2 kk L δ ]. (3.11) Οι ιδιοτιμές ω και οι αντίστοιχες ιδιοσυναρτήσεις u του παραπάνω πίνακα δίνονται από τις σχέσεις: ω ± (k) = 1 2 k2 ± (kk L + δ) 2 + Ω 2, (3.12) u + + = ( cos θ sin θ ), u = ( sin θ cos θ ), (3.13) όπου θ = cos 1 (1 + Q 2 ) 1/2 ενώ η παράμετρος Q ± δίνεται από τη σχέση: Q = Ω 1 [ (k L k + δ) 2 Ω 2 (k L k + δ)]. (3.14) 66

73 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς 1..5 R 1 δ = Polarization..5 R 2 δ = 1. ω(k) k k R 2 δ R 2 δ ω(k) k k k k Σχήμα 3.2: Το γραμμικό ενεργειακό φάσμα ω ± (k) για τις Περιοχές 1 και 2, που συμβολίζονται με R 1 και R 2, στις εικόνες αριστερά και δεξιά, αντίστοιχα. Οι άνω (κάτω) εικόνες αντιστοιχούν στη περίπτωση δ = (δ ), ενώ οι διακεκομμένες γραμμές υποδεικνύουν τη θέση τον ελαχίστων της κατώτερης ζώνης Παρατηρούμε ότι τα ιδιοανύσματα ± αποτελούν πλήρη βάση του γραμμικού συστήματος, ικανοποιώντας τις σχέσεις: W ± = ω ± ±, ± ± = 1, ± =. (3.15) Έτσι το γραμμικό ενεργειακό φάσμα ενός συμπυκνώματος με αλληλεπιδράσεις σπιντροχιάς αποτελείται από δύο διαφορετικές ενεργειακές ζώνες (energy bands), την άνω ω + και κάτω ω, όπως φαίνεται στο Σχ Η πάνω ζώνη εμφανίζει ένα ελάχιστο για κάθε τιμή των παραμέτρων k L, Ω και δ. Αντιθέτως, η κάτω ζώνη παρουσιάζει ένα ελάχιστο όταν Ω/kL 2 > 1, και δύο τοπικά ελάχιστα (double well shape) όταν Ω/k2 L < 1. Οι αντίστοιχες παραμετρικές περιοχές θα καλούνται από εδώ και πέρα Περιοχή 1 ( Region 1 ) και Περιοχή 2 ( Region 2 ) αντίστοιχα, όπως υποδεικνύεται και στο Σχ Όταν η παράμετρος της ενεργειακής διαφοράς δ = το φάσμα είναι συμμετρικό σε σχέση με το μηδενικό κυματάριθμο k =, ενώ για πεπερασμένες τιμές της, δ, παρατηρείται η ρήξη της συμμετρίας που απεικονίζεται στο Σχ Το ολικό μέγιστο της σχέσης διασποράς, για ορμή k, φαίνεται για κάθε περίπτωση στο Σχ. 3.2, υποδεικνύοντας την περιοχή στο χώρο των ορμών όπου δημιουργείται το συμπύκνωμα. Σε αυτό το σημείο αναφέρουμε ότι η συνολική πυκνότητα του συμπυκνώματος, που αντιστοιχεί σε κυματοσυνάρτηση που χαρακτηρίζεται από έναν κυματάριθμο k, θα είναι ομογενής (απουσία της παγίδας), αφού Ψ 2 = u 2. Στην ιδιαίτερη περίπτωση όμως της Περιοχής 2, και για δ =, το σύστημα έχει δύο εκφυλισμένα ελάχιστα με k = ±k πεπερασμένο. Τότε, υπάρχουν τρεις διαφορετικές θεμελιώδεις καταστάσεις: δύο σε κάθε ένα από 67

74 3.1. Η Χαμιλτονιανή του συστήματος τα δύο ελάχιστα (με ομογενή ολική πυκνότητα) και ένας γραμμικός συνδυασμός των δύο ελαχίστων. Στην τελευταία περίπτωση η συνολική πυκνότητα περιέχει όρους ανάλογους με u 2 cos(k x) και έτσι εμφανίζει βυθίσματα και κορυφές πυκνότητας. Αυτή, ονομάζεται κατάσταση διαμορφωμένης πυκνότητας ( stripe phase) και είναι χαρακτηριστική του συστήματος με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς [168 17]. Η επίδραση του όρου σπιν-τροχιάς γίνεται ακόμα πιο εμφανής αν παρατηρήσουμε τα ιδιοανύσματα u τη ενέργειας στην Εξ. 3.13, όπου είναι προφανής η εξάρτηση του σχετικού πλάτους των δύο συστατικών Q(k) από την ορμή. Έτσι, η πόλωση της συνολικής κυματοσυνάρτησης [αν θεωρήσουμε ότι κάθε συνιστώσα περιγράφει κάποιον βαθμό ελευθερίας ψευδο-σπιν (pseudo-spin component)] εξαρτάται επίσης από την ορμή. Συγκεκριμένα, ορίζοντας την μέση τιμή του τελεστή σ z και υπολογίζοντας την, βρίσκουμε ότι είναι ίση με σ z = 1 Q2 1 + Q 2. Σύμφωνα λοιπόν με τα παραπάνω, μπορούμε να χαρακτηρίσουμε τις θεμελιώδεις καταστάσεις του συστήματος χωρίζοντας τες στις ακόλουθες τρεις κατηγορίες: Κατάσταση I: κατάσταση διαμορφωμένης πυκνότητας ( stripe phase) που αποτελεί γραμμικό συνδυασμό δύο ίσων σε μέτρο αλλά αντίθετων ορμών, και είναι μη πολωμένη σ z =, αντιστοιχώντας στη πάνω δεξιά εικόνα του Σχ. 3.2, Κατάσταση II: κατάσταση πεπερασμένης ορμής που παρουσιάζει πάντα πόλωση σ z, και αντιστοιχεί στις κάτω εικόνες του Σχ. 3.2, Κατάσταση III: κατάσταση απλού ελαχίστου (μηδενικής ορμής) όπου τα άτομα του συμπυκνώνονται με κυματάριθμο k = και το σύστημα έχει πάλι μηδενική πόλωση σ z =, όπως φαίνεται στο Σχ Θεμελιώδης κατάσταση παρουσία αλληλεπιδράσεων Είναι ήδη προφανές ότι οι ιδιότητες της θεμελιώδους κατάστασης στο μη-αλληλεπιδρών BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς, όπως η ορμή, η πόλωση και το προφίλ της πυκνότητας, εξαρτώνται άμεσα από τις τιμές των διαφόρων παραμέτρων. Σε αυτή τη περίπτωση είναι σημαντικό να χαρακτηρίσουμε, όπως και στο προηγούμενο Κεφάλαιο, τις θεμελιώδεις καταστάσεις του συστήματος παρουσία των αλληλεπιδράσεων των ατόμων. Ωστόσο, λόγω της πολυπλοκότητας του συστήματος (αφού υπάρχουν τρεις επιπρόσθετες παράμετροι στο γραμμικό όριο, Ω, δ και k L ), είναι ευκολότερο να εξετάσουμε πρώτα την ομογενή περίπτωση, θέτοντας αρχικά δ =. Σε μια τέτοια περίπτωση, η αντίστοιχη συνολική ενέργεια 68

75 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς για την Εξ. (3.6) δίνεται από τη σχέση E Edx και η πυκνότητα ενέργειας E δίνεται ως: E = (ψ ψ )H 1 ( ψ ψ ) ( ψ 4 + ψ 4 + β ψ 2 ψ 2. (3.16) Σύμφωνα με την ανάλυση της αναφοράς [17], μπορεί να αναζητήσει κανείς λύσεις στη μορφή μη γραμμικών επίπεδων κυμάτων: Ψ p (x, t) = N V [C 1 ( cos θ sin θ ) eikx + C 2 ( sin θ cos θ ) e ikx ue i(kx ωt) ] (3.17) με το δεσμό C C 2 2 = 1, και να ελαχιστοποιήσει στη συνέχεια την ενέργεια συναρτήσει ή της παραμέτρου k ή της C 1 2 C 2 2 για να βρει τις θεμελιώδεις καταστάσεις του συστήματος. Τα αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης που πραγματοποιήθηκε στην αναφορά [17] συνοψίζονται στο Σχ Στη πάνω εικόνα σχεδιάζεται η πόλωση σ z, ενώ εντός του διαγράμματος σημειώνεται η αντίστοιχη κατάσταση που αποτελεί την θεμελιώδη κατάσταση στην εκάστοτε παραμετρική περιοχή. Ο κατακόρυφος άξονας αντιστοιχεί στην παράμετρο Ω/kL 2 και ο οριζόντιος στην κανονικοποιημένη (ως προς την τρικρίσιμη τιμή n c ) ολική πυκνότητα n ψ 2 + ψ 2. Για μικρές τιμές της πυκνότητας, κοντά στο γραμμικό όριο, η θεμελιώδης κατάσταση για μικρά Ω/kL 2 είναι η Ι, ενώ για μεγαλύτερες τιμές της παραμέτρου αυτής η πολωμένη κατάσταση ΙΙ, όπου το σύστημα επιλέγει να συμπυκνωθεί σε ένα από τα δύο εκφυλισμένα κενά. Για πολύ μεγάλες τιμές του Ω/kL 2, καταλήγει στην Περιοχή 1, και συμπυκνώνεται στην κατάσταση ΙΙΙ στο ελάχιστο με k =. Αντιθέτως για μεγάλους αριθμούς ατόμων και για τιμές της πυκνότητας μεγαλύτερες του τρικρίσιμου σημείου, το σύστημα επιλέγει είτε την κατάσταση I για χαμηλά Ω/kL 2 είτε την ΙΙΙ για μεγαλύτερα. Να σημειώσουμε εδώ ότι σε πρόσφατη εργασία [171] πραγματοποιήθηκε η πειραματική μελέτη του αντίστοιχου διαγράμματος των διαφορετικών θεμελιωδών καταστάσεων συναρτήσει της θερμοκρασίας. Παρατηρούμε λοιπόν ότι το σύστημα του BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον, καθώς ήδη στο πλαίσιο της γραμμικής θεωρίας και της μελέτης των θεμελιωδών καταστάσεων του συστήματος, η φυσική είναι πολύ πλούσια. Να σημειώσουμε εδώ ότι η ιδιαιτερότητα του γραμμικού φάσματος και οι διαφορετικές θεμελιώδεις καταστάσεις έχουν προσελκύσει τόσο το θεωρητικό όσο και το πειραματικό ενδιαφέρον για τη μελέτη των συλλογικών διαταραχών (collective excitations) και του φάσματος BdG (χαρακτηριστικά παραδείγματα αποτελούν οι αναφορές [172, 173]. Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με τη φυσική των σολιτονίων, τα οποία προτάθηκαν για πρώτη φορά στο πλαίσιο της παρούσας διατριβής σε συμπυκνώματα με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς. Συγκεκριμένα, θα δείξουμε ότι σκοτεινά και φωτεινά σολιτόνια 69

76 3.2. Θεωρία διαταραχών μέθοδος πολλαπλών κλιμάκων Σχήμα 3.3: Διάγραμμα που περιγράφει την πόλωση σ z (επάνω) και την ορμή k/k L (κάτω) της θεμελιώδους κατάστασης, σαν συνάρτηση της παραμέτρου Ω/kL 2 και της κανονικοποιημένης πυκνότητας n/n (c). μπορούν να υπάρξουν στις περιπτώσεις απωστικά (g ij > ) και ελκτικά (g ij < ) αλληλεπιδρώντων συμπυκνωμάτων. Θα αναπτύξουμε μια θεωρία διαταραχών, μέσω της οποίας το αρχικά συζευγμένο πρόβλημα ανάγεται, για αρκούντως μικρά πλάτη, σε μια φαινομενική εξίσωση GP της οποίας γνωρίζουμε τις λύσεις. Έτσι, θα προσδιορίσουμε προσεγγιστικές αναλυτικές λύσεις για τα σολιτόνια σε όλες τις προαναφερθείσες παραμετρικές περιοχές. Επιπλέον θα δείξουμε σε ποιες περιοχές αυτά είναι ευσταθή ή ασταθή και θα μελετήσουμε την δυναμική τους. Ενώ η ανάλυσή μας είναι ανεξάρτητη από την επιλογή ενεργειακής ζώνης, αρχικά θα επικεντρωθούμε στην κάτω ζώνη, στην οποία και συμπυκνώνεται (υπό συνήθεις συνθήκες) πειραματικά το μείγμα. Στη συνέχεια θα δείξουμε και περιπτώσεις όπου η κατάληψη της άνω ζώνης από πεπερασμένο αριθμό ατόμων, μπορεί αν οδηγήσει σε ενδιαφέροντα αποτελέσματα, αλλά και στη δημιουργία νέων τύπων σολιτονίων. 3.2 Θεωρία διαταραχών μέθοδος πολλαπλών κλιμάκων Ξεκινάμε την ανάλυσή μας γράφοντας πρώτα τις αδιάστατες εξισώσεις κίνησης για το σύστημα που περιγράφεται από την Χαμιλτονιανή της Εξ. 3.6: i t ψ = ( x ik L x + V tr + σ ( ψ 2 + β ψ 2 ) + δ) ψ + Ωψ, (3.18) i t ψ = ( x + ik L x + V tr + σ (β ψ 2 + ψ 2 ) δ) ψ + Ωψ, (3.19) όπου πάλι μετράμε την ενέργεια, το μήκος κύματος, το χρόνο και τις πυκνότητες σε μονάδες ħω, a = ħ mω, ω 1, και α 11, αντίστοιχα. Στην παραπάνω έκφραση χρησιμοποιήσαμε και τους μετασχηματισμούς k L a k L, Ω Ω/(ħω ) και δ δ/(ħω ). 7

77 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς Έχοντας υπόψιν ότι θέλουμε να μελετήσουμε με μια ενιαία θεωρία και τις απωστικές και τις ελκτικές αλληλεπιδράσεις στις Εξ. (3.18)-(3.19) αρχικά υποθέτουμε απλά ότι τα πλάτη σκέδασης α 11 = α 22, δηλ. είναι ίσα (που όπως είδαμε και στο Κεφάλαιο 2 είναι μια καλή προσέγγιση). Έτσι η παράμετρος σ, που ορίζεται ως σ sign(α 11 ) = sign(α 22 ) = ±1, καθορίζει και το είδος των αλληλεπιδράσεων. Οι απωστικές αλληλεπιδράσεις αντιστοιχούν σε σ = +1 και οι ελκτικές σε σ = 1, ενώ η παράμετρος β = α 12 / α 11 χαρακτηρίζει την ισχύ των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των ατόμων στα διαφορετικά συστατικά. Τέλος, το δυναμικό παγίδευσης στις Εξ. (3.18)-(3.19) δίνεται από τη σχέση V tr (x) = (1/2)ωtrx 2 2, όπου ω tr = ω x /ω 1. Σε πρώτη προσέγγιση, όπως είδαμε και στο προηγούμενο Κεφάλαιο, στα οιονεί μονοδιάστατα συμπυκνώματα το παραβολικό δυναμικό μπορεί να θεωρηθεί σαν διαταραχή και αρχικά το αγνοούμε (θέτουμε δηλαδή V tr = ). Την επίδραση του θα τη μελετήσουμε στην επόμενη ενότητα. Είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι διάφορα όρια του συστήματος εξισώσεων (3.18)- (3.19) με V tr = έχουν μελετηθεί σε διάφορα φυσικά συστήματα. Στην περίπτωση που οι κινητικοί όροι ( x) 2 και οι όροι αυτο-αλληλεπίδρασης ( ψ 2 ψ, ψ 2 ψ ) είναι αμελητέοι, το παραπάνω σύστημα ανάγεται στο λεγόμενο έμμαζο μοντέλο Thirring (massive Thirring model) [174], ένα σχετικιστικό πλήρως ολοκληρώσιμο μονοδιάστατο μοντέλο της κλασσικής θεωρίας πεδίου, που επιδέχεται ακριβείς σολιτονικές λύσεις [ ]. Αντίστοιχα, απουσία μεν των κινητικών όρων αλλά με πεπερασμένες όλες τις αλληλεπιδράσεις, το μοντέλο αυτό περιγράφει στη μη γραμμική οπτική την διάδοση σολιτονίων σε συστοιχίες οπτικών ινών [179]. Τέλος, αξίζει να αναφέρουμε ότι με αντίστοιχο μοντέλο αλλά με συντελεστή D στους όρους διασποράς, περιγράφεται το σύστημα από δύο συζευγμένους μη γραμμικούς κυματοδηγούς. Σε αυτό το σύστημα έχουν βρεθεί τα λεγόμενα εμβαπτισμένα σολιτόνια ( embedded solitons ) τα οποία, όμως, είναι εν γένει ασταθή [18]. Στην συνέχεια παρουσιάζουμε τη θεωρία διαταραχών, που βασίζεται στη χρήση πολλαπλών κλιμάκων, με την οποία θα ανάγουμε το αρχικά συζευγμένο σύστημα των εξισώσεων GP (3.18)-(3.19) σε μια βαθμωτή εξίσωση NLS. Αυτή η τεχνική είναι ιδιαίτερα γνωστή στην μελέτη μη γραμμικών κυμάτων και περισσότερες πληροφορίες μπορεί κανείς να αντλήσει από την αναφορά [15]. Χρησιμοποιώντας την αναγωγή αυτή, θα μπορέσουμε να βρούμε στη συνέχεια προσεγγιστικές λύσεις σκοτεινών-σκοτεινών και φωτεινών-φωτεινών σολιτονίων, ανάλογα με το είδος των ατομικών αλληλεπιδράσεων. Σε ότι ακολουθεί, για ευκολία με τον όρο σκοτεινά και φωτεινά σολιτόνια θα εννοούμε ότι σε κάθε ένα από τα δύο συστατικά του συμπυκνώματος υπάρχει από ένα σκοτεινό ή ένα φωτεινό σολιτόνιο. Η μέθοδος των πολλαπλών κλιμάκων στη δική μας περίπτωση μπορεί εν συντομία να συνοψιστεί στα ακόλουθα βήματα: Κατ αρχήν παραγοντοποιούμε τις κυματοσυναρτήσεις του μείγματος σε: 71

78 3.2. Θεωρία διαταραχών μέθοδος πολλαπλών κλιμάκων ένα επίπεδο κύμα που ικανοποιεί τη γραμμική σχέση διασποράς ω(k), σε ένα ασυμπτωτικό ανάπτυγμα από διανύσματα u n, και τις αντίστοιχες άγνωστες περιβάλλουσες φ n. Στο τέλος εξάγεται μια βαθμωτή εξίσωση NLS που ικανοποιεί η χαμηλότερης τάξης περιβάλλουσα. Στη συνέχεια της ενότητας ακολουθεί αναλυτική περιγραφή της θεωρίας διαταραχών. Ξεκινάμε υποθέτοντας την ακόλουθη μορφή για τις δύο κυματοσυναρτήσεις: Ψ(x, t) = e iμt ε n u n φ n e ikx e iμt ε n ( U n ) φ V n e ikx, (3.2) n n=1 όπου τα διανύσματα u n = [U n, V n ] T αποτελούνται από τους συντελεστές U n και V n ενώ τα φ n (T, X) είναι οι άγνωστες περιβάλλουσες (envelopes). Οι τελευταίες υποθέτουμε ότι είναι συναρτήσεις των αργών μεταβλητών T = ε 2 t και X = ε(x vt), όπου v η ταχύτητα που θα προσδιοριστεί στη συνέχεια. Ακόμα με k συμβολίζουμε τον κυματάριθμο της κυματοσυνάρτησης και μ = ω +ε 2 ω είναι το χημικό δυναμικό. Σημειώνουμε ότι η επιλογή του χημικού δυναμικού έγινε έτσι ώστε η ενέργεια των λύσεών μας να απέχει κατά ε 2 ω (όπου ε 1) από την αντίστοιχη γραμμική ενέργεια ω. Αυτή είναι και η μικρή παράμετρος που θα χρησιμοποιηθεί στη θεωρία διαταραχών. Με άλλα λόγια, θα αναζητήσουμε μη γραμμικές λύσεις αρκούντως κοντά στο γραμμικό ενεργειακό φάσμα. Ακόμα σημειώνουμε ότι μέσω της συγκεκριμένη επιλογής της μορφής των κυματοσυναρτήσεων στην Εξ. 3.2, υποθέτουμε ότι οι δύο συνιστώσες έχουν ίδιο χημικό δυναμικό και ορμή, διαφορετικό πλάτος που ορίζεται από το διάνυσμα u n = [U n, V n ] T και κοινή περιβάλλουσα φ n. Αντικαθιστώντας την Εξ. (3.2) στο σύστημα Εξ. (3.18)-(3.19), καταλήγουμε στις παρακάτω εξισώσεις για τις διαφορετικές τάξεις στη μικρή παράμετρο, O(ε), O(ε 2 ) και O(ε 3 ), αντίστοιχα: όπου Wu 1 φ 1 =, (3.21) Wu 2 φ 2 = iw X u 1 φ 1, (3.22) Wu 3 φ 3 = iw X u 2 φ 2 (i T X A + ω ) u 1 φ 1 (3.23) W = W ω1 και επίσης W = W, ενώ οι τόνοι συμβολίζουν παραγώγους ως προς k. Ο πίνακας W είναι ταυτόσημος με τον πίνακα της Εξ. (3.11) του γραμμικού προβλήματος, ενώ η μη γραμμική συνεισφορά μέσω του πίνακα A έχει τη μορφή: n=1 A = [ σ ( U β V 1 2 ) σ (β U V 1 2 ) ]. (3.24) 72

79 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς Στην χαμηλότερη τάξη O(ε) βλέπουμε ότι η Εξ. (3.21) συμπίπτει με το γραμμικό πρόβλημα που αναλύσαμε στην προηγούμενη ενότητα, και δίνει το ενεργειακό φάσμα της Εξ. (3.12), ενώ το αντίστοιχο ιδιοάνυσμα u 1 συμπίπτει με τα ±. Σε αυτή την τάξη, η μορφή της περιβάλλουσας φ 1 είναι ακόμα άγνωστη. Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι αν πολλαπλασιάσουμε το αριστερό μέλος των εξισώσεων (3.21)-(3.23), από αριστερά με ± αυτό κάνει αυτόματα μηδέν. Η πράξη αυτή αποτελεί μια σειρά από συνθήκες συνέπειας (συνθήκες συμβατότητας) του διαταρακτικού αναπτύγματος, από τον αντίστοιχο αναγκαστικό μηδενισμό του δεξιού μέλους, για κάθε τάξη της θεωρίας. Για την ακρίβεια, στην επόμενη τάξη O(ε 2 ), η συνθήκη συμβατότητας της Εξ. (3.22), δηλαδή η σχέση ± W ± =, μας υποδεικνύει ότι η παράμετρος v συμπίπτει με την ταχύτητα ομάδος v ± = ω ±(k) και πιο συγκεκριμένα v ± = k k L [1 2 cos 2 θ(k)]. (3.25) Συμπεραίνουμε, δηλαδή, ότι η περιβάλλουσα οδεύει γενικά με την ταχύτητα ομάδας σύμφωνα με τη σχέση φ n (ε (x v ± t)), και μπορεί να είναι είτε στατική όταν v ± = και κυματάριθμο στο ελάχιστο της σχέσης διασποράς k, είτε κινούμενη με ταχύτητα v ± σε τυχαίο k. Στην ίδια τάξη του αναπτύγματος λαμβάνουμε επίσης και τους συντελεστές u 2 αλλά και τη μορφή της περιβάλλουσας στην δεύτερη τάξη φ 2 : u 2 = ± k, φ 2 = i X φ 1 (X, T ). (3.26) Τέλος, στην τρίτη τάξη του αναπτύγματος η συνθήκη συμβατότητας για την Εξ. (3.23) δίνεται από τη σχέση: ± (i T X A + ω )φ 1 ± =. (3.27) Μετά από πράξεις, και χρησιμοποιώντας τις Εξ. (3.13)-(3.26), η παραπάνω έκφραση καταλήγει στη ακόλουθη βαθμωτή εξίσωση NLS για την περιβάλλουσα φ 1 : i T φ = 1 2 ω 2 X φ + σν φ 2 φ ω φ, (3.28) όπου για απλότητα παραλείπουμε το δείκτη 1 ενώ η παράμετρος ν δίνεται από τη σχέση: ν(k) = Q4 + 2βQ Q 2. (3.29) Η μη γραμμική εξίσωση Schrödinger (3.28) έχει συντελεστή διασποράς ίσο με ω (k) που εξαρτάται από την ορμή, γεγονός που είναι συνέπεια του χαρακτηριστικού ενεργειακού 73

80 3.3. Σκοτεινά σολιτόνια σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς φάσματος του συστήματος με σύζευξη σπιν-τροχιάς. Στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε την εξάρτηση αυτή για να βρούμε καινούριες δομές με τη μορφή ταλαντούμενων σολιτονίων αλλά και πιο εξωτικά σολιτόνια. Ο συντελεστής της μη γραμμικότητας ν(k) εξαρτάται επίσης από το k, αλλά δεν αλλάζει πρόσημο αφού το Q είναι πραγματικός αριθμός και β >. 3.3 Σκοτεινά σολιτόνια σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Σκοτεινά σολιτόνια Η πρώτη εφαρμογή της θεωρίας διαταραχών που αναπτύχθηκε στην προηγούμενη ενότητα και της αντίστοιχης εξίσωσης NLS, αφορά συμπυκνώματα με απωστικές διατομικές αλληλεπιδράσεις (α ij > ) με σ >. Σε αυτή τη περίπτωση για τιμές ω >, η Εξ (3.28) επιδέχεται λύσεις σκοτεινών σολιτονίων που έχουν την ακόλουθη μορφή [181]: φ d = ω /ν (cos θtanhz d + i sin θ), (3.3) όπου z d = ω /ω cos θ[x X (T )]. Το κέντρο του σολιτονίου συμβολίζεται με την μεταβλητή X (T ), ενώ ω /ν cos θ είναι σκοτεινότητα του σολιτονίου και η ταχύτητά του στον αργό χρόνο T δίνεται από τη σχέση dx /dt = ω /ω sin θ. Παρατηρούμε ότι οι λύσεις αυτές χαρακτηρίζονται από τις δύο ελεύθερες παραμέτρους ω και θ. Αφού βρήκαμε τη λύση της Εξ. (3.28), μπορούμε τώρα να γράψουμε την αντίστοιχη προσεγγιστική λύση σκοτεινού σολιτονίου για τα δύο συστατικά του μείγματος στις αρχικές συντεταγμένες: ( ψ ψ ) ε ω /ν (cos θtanhz d + i sin θ) exp[ikx i(ω + ε 2 ω )t] ±. (3.31) Έχει ιδιαίτερη σημασία να δούμε την ενέργεια των μη γραμμικών λύσεων στη μορφή σκοτεινών σολιτονίων, σε σχέση με την γραμμική ενέργεια, όπως φαίνεται στο Σχ. (3.4). Τα σολιτόνια λόγω του θετικού πρόσημου της μη γραμμικότητας, έχουν μεγαλύτερη ενέργεια από το αντίστοιχο επίπεδο κύμα και έτσι, αφού ω >, αυτά βρίσκονται μέσα από την χαμηλότερη ενεργειακή ζώνη. Γίνεται ξεκάθαρο ότι στην αρχική μας συνάρτηση Εξ. (3.2), θέτοντας το χημικό δυναμικό μ = ω +ε 2 ω, η παράμετρος ε 2 ω μετράει την απόσταση της ενέργειας του σολιτονίου από την γραμμική ενέργεια. Όπως είδαμε και στην αρχή του Κεφαλαίου, στην Περιοχή 2 όταν η παράμετρος δ = το ελάχιστο του ενεργειακού φάσματος είναι εκφυλισμένο, επιτρέποντας την εμφάνιση της λεγόμενης κατάστασης διαμορφωμένης πυκνότητας. Αφού τα σκοτεινά σολιτόνια της Εξ διακλαδώνονται από τα αντίστοιχα γραμμικά επίπεδα κύματα (όπως υποδηλώνουν 74

81 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς ω(k) ω + (k) μ Ω ω (k) ω + (k) ε { 2 ω -Ω ε 2 ω { ε 2 ω ω + (k) Ω > k L 2 { μ Ω -Ω ω (k) δ= δ= ε 2 ω Ω < k L 2 Ω -k k Σχήμα 3.4: Το γραμμικό ενεργειακό φάσμα ω = ω ± (k) του BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς για τις Περιοχές 1 (αριστερά) και 2 (δεξιά). Σε όλες τις εικόνες, δείχνεται η ενέργεια μ της λύσης του σκοτεινού σολιτονίου, που απέχει κατά ε 2 ω από την αντίστοιχη γραμμική ενέργεια. ω (k) { μ μ k k -Ω Ω -Ω ω (k) (2) ω min ω + (k) τα βέλη στο Σχ. (3.4), περιμένουμε ότι θα υπάρχουν και λύσεις σκοτεινών σολιτονίων με διαμορφωμένο υπόβαθρο. Στην πραγματικότητα, θα συνθέσουμε τέτοιες λύσεις σαν γραμμικό συνδυασμό των σολιτονίων με κυματάριθμους k = k και k = k αντίστοιχα. Στην συνέχεια χρησιμοποιώντας την συμμετρία ψ = ψ της Εξ. (3.6) για την περίπτωση δ = με την άνω παύλα να υποδηλώνει τη συζυγία, μπορούμε να γράψουμε την σολιτονική λύση στη μορφή: ( ψ ) εcψ ψ d ( q + cos(k x) + iq sin(k x) ), (3.32) q + cos(k x) + iq sin(k x) όπου q ± = Ω 1 + Q(k ) και C είναι μια ελεύθερη παράμετρος Αριθμητικές λύσεις Για να επαληθεύσουμε την προηγούμενη ανάλυση και συγκεκριμένα την ύπαρξη σκοτεινών σολιτονίων στα BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς, μπορούμε να ψάξουμε τις λύσεις αυτές αριθμητικά, σαν στατικές λύσεις των Εξ. (3.18)-(3.19). Αυτό γίνεται όπως και στο Κεφάλαιο 2, αντικαθιστώντας στις Εξ. (3.18)-(3.19) τις ακόλουθες συναρτήσεις [ψ (x, t), ψ (x, t)] = [ψ (x), ψ (x)] exp( μt), και λύνοντας το στατικό σύστημα εξισώσεων χρησιμοποιώντας ένα αλγόριθμο σταθερού σημείου. Με μια τέτοια ανάλυση όχι μόνο θα επαληθεύσουμε τα αναλυτικά μας αποτελέσματα, αλλά ταυτόχρονα μπορούμε να μελετήσουμε την γραμμική ευστάθεια των λύσεων μέσω του φάσματος BdG. Στο Σχήμα 3.5 φαίνονται τρία χαρακτηριστικά παραδείγματα από 75

82 3.3. Σκοτεινά σολιτόνια σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Re(ψ ), Re(ψ ) ψ 2, ψ Region Region Region 2, δ = x x x Σχήμα 3.5: Λύσεις σκοτεινών σολιτονίων για BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς με απωστικές διατομικές αλληλεπιδράσεις. Στις πάνω εικόνες φαίνονται τα πραγματικά μέρη των συνιστωσών ψ και ψ, ενώ στις κάτω εικόνες η συνολική πυκνότητα των δύο συστατικών. Η αριστερή εικόνα αντιστοιχεί στην Περιοχή 1 με Ω/kL 2 = 1.56, η μεσαία εικόνα στην Περιοχή 2 με Ω/kL 2 =.78, ενώ και στις δύο περιπτώσεις δ = 2. Οι εικόνες στα δεξιά αντιστοιχούν σε ένα σκοτεινό σολιτόνιο με διαμορφωμένο πλάτος ( stripe soliton) με τιμές των παραμέτρων Ω/kL 2 =.78 και δ =. τις διαφορετικές λύσεις σκοτεινών σολιτονίων που βρέθηκαν αριθμητικά. Στην πραγματικότητα, αυτές αντιστοιχούν στα διαφορετικά είδη θεμελιωδών καταστάσεων που είδαμε στην πιο πάνω ενότητα. Η αριστερή εικόνα αντιστοιχεί στην Περιοχή 1 ενώ η μεσαία και δεξιά εικόνα στην Περιοχή 2, με την τελευταία να απεικονίζει ένα σολιτόνιο με διαμορφωμένο πλάτος. Στην αριστερή και μεσαία εικόνα η παράμετρος δ = 2 ενώ Ω/kL 2 = 1.56 και Ω/kL 2 =.78 αντίστοιχα. Οι πάνω εικόνες δείχνουν το πραγματικό μέρος κάθε κυματοσυνάρτησης, απεικονίζοντας έτσι τον πεπερασμένο κυματάριθμο k, ενώ στις κάτω εικόνες φαίνονται οι πυκνότητες του κάθε συστατικού ψ 2 και ψ 2. Παρατηρούμε ότι για δ οι λύσεις είναι πολωμένες όπως περιμένουμε (ασυμμετρία μεταξύ των δύο συστατικών) και η ψ συνιστώσα είναι μεγαλύτερη. Στην περίπτωση που το δ =, το σολιτόνιο δεν είναι πολωμένο και οι πυκνότητες των δύο συνιστωσών είναι ίσες. Σε όλες τις κάτω εικόνες, οι αντίστοιχες αναλυτικές εκφράσεις για την πυκνότητα σχεδιάζονται με την έντονη συνεχή γραμμή και είναι σε τέλεια συμφωνία με τις αριθμητικές (τουλάχιστον για μικρές τιμές του ω ). Στα αριθμητικά αποτελέσματα, εκμεταλλευόμενοι τις λύσεις κοντά στο γραμμικό όριο, με συνέχιση (continuation) στο μη γραμμικό όριο (αυξάνοντας δηλαδή με μικρό βήμα την παράμετρο ω ) βρίσκουμε σολιτονικές λύσεις, ακόμα και μεγάλου πλάτους. Σημειώνουμε επίσης εδώ ότι έχουμε βρει σολιτονικές λύσεις αριθμητικά, σε ένα μεγάλο μέρος του παραμετρικού χώρου των Ω/kL 2 και δ επαληθεύοντας την ανάλυσή μας. 76

83 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς Im( λ ) μ x t Σχήμα 3.6: Πάνω: οι χαμηλότερες ιδιοτιμές του φάσματος BdG σαν συναρτήσεις του χημικού δυναμικού μ, για μια οικογένεια σολιτονίων στην Περιοχή 1 με Ω/kL 2 = 1.4. Οι κόκκινοι κύκλοι υποδεικνύουν τον ανώμαλο τρόπο ενώ με τη συνεχή μαύρη καμπύλη σχεδιάζεται το αποτέλεσμα της εξίσωσης (3.35). Κάτω: χωροχρονική εξάρτηση της συνολικής πυκνότητας Ψ(x, t) 2 για ένα σκοτεινό σολιτόνιο που εκτελεί ταλαντώσεις. Η λευκή διακεκομμένη γραμμή αντιστοιχεί στο αποτέλεσμα της Εξ. (3.35). Οι άλλες παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν είναι δ = και ω tr = Σκοτεινά σολιτόνια στην παγίδα Στην περίπτωση ενός ρεαλιστικού πειράματος η παρουσία του δυναμικού παγίδευσης V = (ω 2 tr/2)x 2 είναι σημαντική και δεν πρέπει να παραληφθεί από τις Eξ. (3.18)-(3.19). Στην μη ομογενή περίπτωση όμως, όπως και στα σκοτεινά-φωτεινά σολιτόνια δεν μπορούμε να βρούμε ακριβή λύση, μπορούμε όμως να βρούμε τις μη ομογενείς λύσεις αριθμητικά. Στην πραγματικότητα βρήκαμε όλες τις αντίστοιχες λύσεις του Σχ. 3.5, και για τις δύο Περιοχές 1 και 2 παρουσία του δυναμικού, για διάφορες τιμές των παραμέτρων Ω/k 2 L και δ, επαληθεύοντας έτσι το γεγονός ότι τέτοιες δομές θα μπορούσαν να παρατηρηθούν πειραματικά. Συνεχίζουμε την ανάλυση μας με τη μελέτη της ευστάθειας των διαφόρων λύσεων σκοτεινών σολιτονίων, μέσω του φάσματος BdG. Θυμίζουμε εδώ ότι η ανάλυση BdG μελετάει μικρές διαταραχές πάνω σε μια στατική λύση Ψ sol (ψ, sol, ψ, sol ) T με χημικό δυναμικό μ, στη μορφή: u = [u sol + ε (e λt a(x) + e λt b(x))] e iμt. (3.33) Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στις Εξ. (3.18)-(3.19), σε πρώτη τάξη ως προς τη μικρή παράμετρο ε, παίρνουμε ένα γραμμικό πρόβλημα ιδιοτιμών. Το τελευταίο έχει ιδιοανύσματα τα (a, b) και ιδιοτιμές λ (και λ). Υπενθυμίζεται ότι οι τελευταίες είναι εν γένει μιγαδικοί αριθμοί, λ = λ r + iλ i, και το φάσμα είναι ευσταθές αν όλες οι ιδιοτιμές είναι φανταστικές, δηλ. λ r =, ενώ αν εμφανιστούν πεπερασμένα πραγματικά μέρη λ r > σηματοδοτούν την ύπαρξη αστάθειας. 77

84 3.3. Σκοτεινά σολιτόνια σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Ξεκινάμε την ανάλυσή μας με τα σολιτόνια στην Περιοχή 1 και δ =, και μελετάμε την ευστάθειά τους ξεκινώντας από το γραμμικό όριο όπου μ = Ω πηγαίνοντας στη μη γραμμική περιοχή αυξάνοντας την τιμή της παραμέτρου ω, δηλαδή εισχωρώντας μέσα στην ενεργειακή ζώνη. Βρίσκουμε ότι τα σκοτεινά σολιτόνια στην Περιοχή 1 είναι ευσταθή και εμφανίζουν μόνο φανταστικές ιδιοτιμές στο φάσμα τους, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3.7 στην αριστερή πάνω εικόνα, για ένα παράδειγμα με Ω/k 2 L = 1.4 και ω tr =.1. Παρατηρούμε επίσης ότι το φάσμα εμφανίζει ένα «ανώμαλο» τρόπο, ο οποίος όπως και στα σκοτεινά-φωτεινά σολιτόνια, περιγράφει μικρές ταλαντώσεις του σολιτονίου γύρω από το κέντρο της παγίδας. Να αναφέρουμε ότι και στη περίπτωση των BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς, θεωρώντας το δυναμικό ως διαταραχή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την αδιαβατική θεωρία διαταραχών για να περιγράψουμε την κίνηση των σκοτεινών σολιτονίων στη παγίδα. Εδώ ιδιαίτερο ενδιαφέρον έχει η σύγκριση της συχνότητας ταλάντωσης του σολιτονίου με την ιδιοτιμή του ανώμαλου τρόπου. Συγκεκριμένα, όπως είδαμε στα πειράματα με οιονείμονοδιάστατα συμπυκνώματα, η κανονικοποιημένη συχνότητα της παγίδας είναι μικρή Ω 1. Έτσι μπορούμε να υποθέσουμε ότι ω tr = ε 2 ω tr, και ο αντίστοιχος όρος στις εξισώσεις κίνησης γίνεται V = 1 2 ω2 trx 2 = ε2 2 ω2 trx 2. Σε αυτή τη περίπτωση ο όρος του δυναμικού θα εισέλθει στο ασυμπτωτικό ανάπτυγμα σε τάξη O(ε 3 ), αφού τα πεδία ψ, είναι τάξης ε και η βαθμωτή εξίσωση NLS (3.28) γράφεται ως: i T φ = 1 2 ω X 2 φ + σν φ 2 φ ω2 trx 2 φ ω φ. (3.34) Κάνοντας τις ίδιες παραδοχές όπως και στο Κεφάλαιο 2, δηλαδή για αρκούντως βαθιά (αργά) σολιτόνια της Εξ. (3.3),χρησιμοποιούμε άμεσα την θεωρία διαταραχών βρίσκοντας την συχνότητα ταλάντωσης του σολιτονίου στη παγίδα. Ακολουθώντας ακριβώς την διαδικασία της ενότητας (για N b = ) καταλήγουμε τελικά στην ακόλουθη εξίσωση κίνησης για το κέντρο X (t) του σκοτεινού σολιτονίου: d 2 X dt 2 = 1 2 ω2 sol X, ω sol = Λ 2 ω tr. (3.35) Η συχνότητα της Εξ. (3.35), σχεδιάζεται στο Σχ. 3.7 με τη κόκκινη συνεχή γραμμή και είναι σε εξαιρετικά καλή συμφωνία με το αριθμητικό αποτέλεσμα. Για λόγους πληρότητας μελετήσαμε και την δυναμική των σολιτονίων μέσω της αριθμητικής ολοκλήρωσης των Εξ. (3.18)-(3.19) στο χρόνο. Στην αριστερά κάτω εικόνα του Σχ. 3.7, παρουσιάζουμε τη χωροχρονική εξέλιξη της ολικής πυκνότητας του συμπυκνώματος ψ 2 + ψ 2, για την 78

85 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς Im( λ ) μ 5.1 x t Σχήμα 3.7: Αντίστοιχες εικόνες με αυτές του Σχ. 3.7 για ένα σκοτεινό σολιτόνιο στην Περιοχή 2 με Ω/kL 2 =.625. Στην κάτω εικόνα παρουσιάζεται η χωροχρονική εξάρτηση της πυκνότητας ψ 2, όταν το σολιτόνιο αυτό έχει διεγερθεί με το ιδιοάνυσμα του δεύτερου ανώμαλου τρόπου για μ = Οι άλλες παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν είναι δ = και ω tr =.1. λύση ενός σκοτεινού σολιτονίου που εκτελεί μικρές ταλαντώσεις γύρω από το κέντρο της παγίδας. Η λευκή διακεκομμένη γραμμή δείχνει το αναλυτικό αποτέλεσμα της Εξ. (3.35). Η χωροχρονική εξέλιξη συνοψίζει τα αποτελέσματα για την Περιοχή 1: στην περιοχή αυτή υπάρχουν σκοτεινά σολιτόνια, είναι ευσταθή και εκτελούν ταλαντώσεις σύμφωνα με την Εξ. (3.35). Να προσθέσουμε επίσης ότι στην ίδια Περιοχή, και για τιμές του δ όπου το επίπεδο κύμα του υποβάθρου έχει πεπερασμένο κυματάριθμο k = k τα αποτελέσματα είναι ποιοτικά ίδια με τα προηγούμενα. Συνεχίζουμε με την ανάλυση της ευστάθειας για τα σολιτόνια στην παραμετρική Περιοχή 2 αρχικά για δ =. Όπως φαίνεται στη πάνω δεξιά εικόνα του Σχ. 3.6, για τιμές των παραμέτρων Ω/kL 2 =.625 και ω tr =.1 τα σολιτόνια είναι ευσταθή εμφανίζοντας μόνο φανταστικές ιδιοτιμές στο φάσμα. Σε αυτή τη περιοχή όμως υπάρχει μια ειδοποιός διαφορά: παρατηρούμε στο φάσμα όχι μόνο έναν, αλλά δύο ανώμαλους τρόπους, που απεικονίζονται με κόκκινους κύκλους. Ο μικρότερος τρόπος αντιστοιχεί στις ταλαντώσεις του σολιτονίου μέσα στο δυναμικό και βρίσκεται σε πολύ καλή συμφωνία με το αναλυτικό αποτέλεσμα της Εξ. (3.35). Αντιθέτως, ο δεύτερος ανώμαλος τρόπος, αποτελεί ένα νέο αποτέλεσμα αφού δεν υπάρχει στα συμβατικά συμπυκνώματα (είτε σε βαθμωτά είτε σε μείγματα συμπυκνωμάτων) και είναι χαρακτηριστικός της γραμμικής σχέσης διασποράς των BEC με σύζευξη σπιντροχιάς στην Περιοχή 2. Η εμφάνιση του δεύτερου ανώμαλου τρόπου εξηγείται ως εξής. Γνωρίζουμε ότι το γραμμικό φάσμα στη Περιοχή 2, για δ =, έχει δύο ιδιοκαταστάσεις με χαμηλότερη ενέργεια από το σκοτεινό σολιτόνιο, που αντιστοιχούν στις δύο θεμελιώδεις καταστάσεις του αρμονικού ταλαντωτή, στα δύο ελάχιστα. Η υπέρθεση του σολιτονίου που βρίσκεται στο k >, με την αντίστοιχη θεμελιώδη κατάσταση στο k >, οδηγεί στην 79

86 3.3. Σκοτεινά σολιτόνια σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Re( λ ) Im( λ ) μ x x 2 2 X CM t t Σχήμα 3.8: Αριστερά: Το φανταστικό (πάνω) και πραγματικό (κάτω) μέρος των χαμηλότερων ιδιοτιμών του φάσματος BdG για ένα σολιτόνιο με διαμορφωμένη πυκνότητα στην Περιοχή 2 για Ω/kL 2 =.625. Δεξιά: Χωροχρονική εξέλιξη των πυκνοτήτων των δύο συστατικών του μείγματος όταν ένα σολιτόνιο με διαμορφωμένη πυκνότητα έχει διεγερθεί με τον δεύτερο (μεγαλύτερο) ανώμαλο τρόπο. Στο ένθετο φαίνεται χρονική εξέλιξη του κέντρου μάζας κάθε συστατικού ψ (μπλέ) και ψ (κόκκινο) αλλά και το συνολικό κέντρο μάζας (μάυρο) εμφάνιση του πρώτου τρόπου και στις ταλαντώσεις του σολιτονίου στην παγίδα. Αντιθέτως η υπέρθεση του k > σολιτονίου με την θεμελιώδη κατάσταση στο k < οδηγεί στον καινούριο ανώμαλο τρόπο που έχει διαφορετική δυναμική. Ακριβώς λόγω της υπέρθεσης δύο διαφορετικών κυματάριθμων περιμένουμε ότι ο τρόπος αυτός θα οδηγήσει στην εμφάνιση κροσσών στην πυκνότητα. Για να μελετήσουμε την δυναμική του τρόπου αυτού, πραγματοποιούμε την αριθμητική ολοκλήρωση των Εξ. (3.18)-(3.19), με αρχική συνθήκη το στατικό σολιτόνιο που βρήκαμε αριθμητικά, διαταραγμένο όμως με την ιδιοκατάσταση του δεύτερου ανώμαλου τρόπου. Η χωροχρονική εξέλιξη της πυκνότητας της ψ συνιστώσας φαίνεται στη κάτω εικόνα του Σχ Εκεί παρατηρείται ότι το ενώ το σολιτόνιο μένει ακίνητο, μέσα από στο βύθισμα της πυκνότητάς του, εμφανίζονται μικρές διαμορφώσεις πυκνότητας περιοδικές στο χώρο. Σύμφωνα με την πιο πάνω ανάλυση, αφού η διαταραχή αντιστοιχεί σε υπέρθεση δύο καταστάσεων με k = k και k = k περιμένουμε να παρουσιάζει περιοδικότητα ίση με 2k. Αναφέρουμε εδώ ότι αυτή η δυναμική έχει πολλά κοινά με τους λεγόμενου τρόπους Kelvin (Kelvin modes) που εμφανίζονται σε στρόβιλους και γραμμές στροβίλων [182, 183]. Να σημειώσουμε ότι στη Περιοχή 2, αλλά για πεπερασμένες τιμές της παραμέτρου δ, ακριβώς επειδή αίρεται ο εκφυλισμός του γραμμικού φάσματος, το φάσμα ευστάθειας των σολιτονίων είναι ίδιο με αυτό της Περιοχής 1. Τέλος μελετάμε την ευστάθεια των σολιτονίων με διαμορφωμένο πλάτος (stripe solitons), που εμφανίζονται στην Περιοχή 2 και περιγράφονται από την Εξ. (3.32). Το γραμμικό φάσμα μιας οικογένειας τέτοιων λύσεων φαίνεται στο Σχ. 3.8 για τιμές των παραμέτρων Ω/kL 2 =.625, δ = και ω tr =.1. Αρχικά να σημειώσουμε ότι, σε αντίθεση με τα προηγούμενα, στο φάσμα των σολιτονίων αυτών εμφανίζονται μιγαδικές ιδιοτιμές και σύμφωνα 8

87 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς ω(k) ω 2 Region I:k L <Ω (k) ω + (k) Region II: k L 2 >Ω ω + (k) ω (k) -k -Ω ε 2 ω { μ ε 2 ω { k Ω Σχήμα 3.9: Αντίστοιχη εικόνα με αυτήν του Σχ.3.4, τώρα για την περίπτωση φωτεινών σολιτονίων που η ενέργειά τους βρίσκεται μέσα στο ενεργειακό χάσμα. k Ω -Ω k μ ω min με τα παραπάνω ευρήματα υπάρχουν αντίστοιχα δύο ανώμαλοι τρόποι που απεικονίζονται με κόκκινους κύκλους στην αριστερή εικόνα του Σχ Ενώ υπάρχει ένα μικρό παράθυρο ευστάθειας κοντά στο γραμμικό όριο, το φάσμα γίνεται όλο και πιο ασταθές όσο εισχωρούμε στη μη γραμμική περιοχή. Παρατηρούμε όμως, ότι οι αστάθειες αυτές οφείλονται καθαρά στο υπόβαθρο και όχι στο ίδιο το σκοτεινό σολιτόνιο, αφού οι δύο ανώμαλοι τρόποι παραμένουν πάντα φανταστικοί. Οι δύο ανώμαλοι τρόποι τώρα περιγράφουν την υπέρθεση των δύο θεμελιωδών καταστάσεων (στα δύο κενά) με το σολιτόνιο, σε φάση και με αντίθετη φάση αντίστοιχα. Αυτό γίνεται εμφανές στη δεξιά εικόνα του Σχ. 3.8 όπου φαίνεται η χωροχρονική εξέλιξη της πυκνότητας κάθε συνιστώσας, αφού έχει διαταραχθεί με τα ιδιοανύσματα του δεύτερου ανώμαλου τρόπου, και αντιστοιχεί σε μια ταλάντωση εκάστου σολιτονίου με αντίθετη φάση. Στο ένθετο στο κέντρο της δεξιά εικόνας, σχεδιάζεται η χρονική εξέλιξη του κέντρου μάζας κάθε σολιτονίου όπου γίνονται ακόμη πιο εμφανείς οι ταλαντώσεις. 3.4 Φωτεινά σολιτόνια σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Φωτεινά σολιτόνια Ο τρόπος με τον οποίο κατασκευάστηκε η θεωρία διαταραχών στην ενότητα 3.2, επιτρέπει την άμεση γενίκευση των αποτελεσμάτων και για την περίπτωση συμπυκνωμάτων με ελκτικές αλληλεπιδράσεις. Συγκεκριμένα η εξίσωση 3.28 με σ <, επιδέχεται λύσεις φωτεινών σολιτονίων με την ακόλουθη μορφή [184]: φ b = ηsechz b exp(iκx), (3.36) όπου z b = η ν/ω [X X (T )]. Εδώ αναγνωρίζουμε το πλάτος του σολιτονίου η που συνδέεται με την παράμετρο ω μέσω της σχέσης ω = (κ 2 + η 2 ν/ω )/2, το κέντρο του σολιτονίου συμβολίζεται με X (T ) και ο κυματάριθμος κ περιγράφει την ταχύτητα του 81

88 3.4. Φωτεινά σολιτόνια σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Re(ψ1), Re(ψ2) ψ1 2, ψ2 2 Region x Region x Region 2, δ = x Σχήμα 3.1: Λύσεις φωτεινών σολιτονίων σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς. Στις πάνω εικόνες φαίνονται τα πραγματικά μέρη των κυματοσυναρτήσεων ψ, ενώ στις κάτω εικόνες οι αντίστοιχες πυκνότητες. Η αριστερά εικόνες αντιστοιχούν στην Περιοχή 1 με Ω/kL 2 = 1.56 και οι μεσαίες εικόνες στην Περιοχή 2 με Ω/kL 2 =.78 και στις δύο περιπτώσεις δ = 2. Οι εικόνες στα δεξιά απεικονίζουν ένα φωτεινό σολιτόνιο με διαμορφωμένο πλάτος στην Περιοχή 2 με Ω/kL 2 =.78 και δ =. σολιτονίου μέσω της σχέσης dx /dt = ω κ. Και το φωτεινό σολιτόνιο έχει δύο ελεύθερες μεταβλητές ω και κ. Σημαντική διαφορά με τα σκοτεινά σολιτόνια έχει το γεγονός ότι η αρνητική τιμή του μη γραμμικού όρου σ στη συνολική ενέργεια, χαρακτηρίζει το γεγονός ότι όσο εισχωρεί κανείς στη μη γραμμική περιοχή η ενέργεια μειώνεται σε σχέση με το γραμμικό όριο. Έτσι αντίστοιχα για τα φωτεινά σολιτόνια η παράμετρος ω, που μετράει την απομάκρυνση από το γραμμικό φάσμα, είναι αρνητική όπως φαίνεται στο Σχ. (3.9). Σε αυτή τη περίπτωση, η προσεγγιστικές λύσεις φωτεινών σολιτονίων για το αρχικό σύστημα εξισώσεων που περιγράφει τα BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς με ελκτικές αλληλεπιδράσεις, γράφονται στην ακόλουθη μορφή: ( ψ ψ ) εηsechz b exp[i(k + εκ)x i(ω ε 2 ω )t], ± (3.37) Σε πλήρη αντιστοιχία με την ανάλυση της προηγούμενης ενότητας, μπορούμε να αναζητήσουμε και λύσεις φωτεινών σολιτονίων με διαμορφωμένη πυκνότητα, στην ειδική περίπτωση της Περιοχής 2 με δ = Αριθμητικές λύσεις Παραδείγματα των διαφόρων τύπων φωτεινών σολιτονίων όπως αυτά βρέθηκαν αριθμητικά, φαίνονται στο Σχ. (3.1. Στην αριστερή εικόνα απεικονίζεται ένα φωτεινό σολιτόνιο στην Περιοχή 1 με πεπερασμένα δ = 2 και k, αντίστοιχα στη μεσαία εικόνα ένα φωτεινό σολιτόνιο στην Περιοχή 2 με πεπερασμένο κυματάριθμο k, ενώ 82

89 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς Im(λ) Re(λ) μ ω min Re(λ) Im(λ) Σχήμα 3.11: Το φάσμα BdG για την οικογένεια σολιτονίων με διαμορφωμένο πλάτος (αριστερά) και για ένα σολιτόνιο στην Περιοχή 2 με ελάχιστο στο k (δεξιά). Το τελευταίο γίνεται ασταθές λόγω της σύγκρουσης δύο ιδιοτιμών με Re(λ) στο χημικό δυναμικό μ Οι παράμετροι είναι ίδιοι με όπως στο Σχ μ ω min τέλος στην δεξιά εικόνα βλέπουμε ένα παράδειγμα φωτεινού σολιτονίου με διαμορφωμένη πυκνότητα. Οι προσεγγιστικές αναλυτικές λύσεις σχεδιάζονται με έντονες συνεχείς καμπύλες στις κάτω εικόνες του Σχ Και σε αυτή τη περίπτωση τα αναλυτικά αποτελέσματα συμφωνούν με τα αριθμητικά για αρκούντως μικρά πλάτη. Σημειώνουμε όμως ότι, και για μεγαλύτερα πλάτη, βρήκαμε αριθμητικά ότι οι αντίστοιχες σολιτονικές λύσεις εξακολουθούν να υφίστανται και βαθιά στη μη γραμμική περιοχή. Για κάθε οικογένεια λύσεων φωτεινού σολιτονίου μελετήσαμε την ευστάθειά, μέσω ανάλυσης BdG, αλλά και την δυναμική τους, με απευθείας ολοκλήρωση των εξισώσεων κίνησης Φωτεινά σολιτόνια στην παγίδα Όπως είπαμε, σε αντίθεση με τα σκοτεινά σολιτόνια, οι οικογένειες φωτεινών σολιτονίων έχουν ενέργειες όχι μέσα στην ενεργειακή ζώνη, αλλά στο ημιάπειρο ενεργειακό χάσμα (semi-infinite gap), και έτσι η ανάλυση της ευστάθειας του σολιτονίου δεν μελετάται με τη χρήση των ανώμαλων τρόπων (αφού αυτοί δεν υπάρχουν στην περίπτωση αυτή). Έτσι, η ανάλυση της ευστάθειας γίνεται με χρήση των φασμάτων BdG. Τέτοια χαρακτηριστικά φάσματα, που αντιστοιχούν σε σολιτόνια της Περιοχής 2, παρουσιάζονται στο Σχ. 3.11, για ένα σολιτόνιο με διαμορφωμένο πλάτος (αριστερή εικόνα) και για ένα σολιτόνιο με k (δεξιά εικόνα). Τα σολιτόνια διαμορφωμένου πλάτους της Περιοχής 2 είναι ευσταθή και το φάσμα τους, όπως φαίνεται στην αριστερή εικόνα, αποτελείται μόνο από φανταστικές ιδιοτιμές. Να αναφέρουμε ότι και τα σολιτόνια της Περιοχής 1 με κυματάριθμο k (ακόμα και για k = ) παρουσιάζουν αντίστοιχο, ποιοτικά, φάσμα. Αντιθέτως, στην Περιοχή 2 βρίσκουμε ότι τα σολιτόνια με κυματάριθμο k, ενώ είναι ευσταθή κοντά στο γραμμικό όριο, γίνονται ασταθή για μεγαλύτερες μη γραμμικότητες (μικρότερες τιμές του χημικού 83

90 3.4. Φωτεινά σολιτόνια σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς x x x x (d) Σχήμα 3.12: Χωροχρονική εξάρτηση της συνολικής πυκνότητας Ψ 2, για λύσεις φωτεινών σολιτονίων στην Περιοχή 1 (a) και την Περιοχή 2 (b)-(d). Στην εικόνα (b) φαίνεται ένα σολιτόνιο διαμορφωμένης πυκνότητας ενώ στα (c) και (d) σολιτόνια με ελάχιστο στο +k με χημικά δυναμικά μ = > μ c και μ = 43 < μ c αντίστοιχα. Οι υπόλοιπες παράμετροι είναι ίδιες με αυτές του Σχ. 3.1 (με Ω = 7) με γ =.8 και ω tr =.2. t (a) (b) (c) δυναμικού μ). Συγκεκριμένα, παρουσιάζουν μια ευσταθή περιοχή κοντά στο μ = ω min και έπειτα γίνονται ασταθή, όταν συγκρουστούν δύο ουδέτερες ιδιοτιμές του φάσματος με τον μηδενικό άξονα στη τιμή μ = μ c 42.9, όπως φαίνεται στην δεξιά εικόνα του Σχ Για να συμπληρωθεί η ανάλυση των φωτεινών σολιτονίων, και σε αυτή τη περίπτωση μελετούμε τη δυναμική τους με αριθμητική ολοκλήρωση στο χρόνο των εξισώσεων κίνησης Εξ. (3.18)-(3.19), ακόμα και για περιπτώσεις με γ 1. Σε αντίθεση με τα προηγούμενα, για να αναδείξουμε περαιτέρω την ευστάθεια (ή την αστάθεια) των λύσεων επιλέγουμε την εξής αρχική συνθήκη: βρίσκουμε πρώτα με τη μέθοδο σταθερού σημείου την στατική λύση, της προσθέτουμε ένα λευκό θόρυβο πλάτους 1% του πλάτους της και το αποτέλεσμα αυτό χρησιμοποιείται ως αρχική συνθήκη. Τα αποτελέσματα της δυναμικής των σολιτονίων φαίνονται στο Σχ με παραμέτρους γ =.8 και ω tr =.2. Οι εικόνες (a) και (b) δείχνουν την χωροχρονική εξέλιξη ενός φωτεινού σολιτονίου και ενός σολιτονίου με διαμορφωμένο πλάτος αντίστοιχα, που ακόμα και παρουσία θορύβου παραμένουν ακίνητα. Αντιθέτως στις εικόνες (c) και (d) βλέπουμε την δυναμική του σολιτονίου στην Περιοχή 2 για δύο διαφορετικές τιμές του χημικού δυναμικού μ = > μ c [εικόνα (c)] και μ = 43 < μ c [εικόνα (d)]. Παρατηρούμε ότι για τιμές του χημικού δυναμικού μικρότερες της κρίσιμης, ο αρχικός θόρυβος που προστέθηκε στο σολιτόνιο έχει ως αποτέλεσμα αυτό να γίνει ασταθές και να τεθεί σε κίνηση εκτελώντας ταλαντώσεις μέσα στο παραβολικό δυναμικό. 84

91 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς 3.5 Zitterbewengung και «ταλαντούμενα» σολιτόνια Zitterbewengung Στις προηγούμενες ενότητες του Κεφαλαίου αυτού, δείξαμε ότι υπάρχουν λύσεις στη μορφή σκοτεινών ή φωτεινών σολιτονίων, είτε στάσιμες είτε κινούμενες κοντά στην χαμηλότερη ενεργειακή ζώνη του γραμμικού φάσματος. Η θεωρία διαταραχών όμως που κατασκευάστηκε στην ενότητα 3.2, ισχύει για οποιαδήποτε από τις δύο ζώνες. H μελέτη της χαμηλότερης ζώνης βασίστηκε στο γεγονός ότι τα συμπυκνώματα δημιουργούνται εργαστηριακά στην κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας. Από την άλλη πολλά από τα ενδιαφέροντα φαινόμενα που εμφανίζονται στα συστήματα με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς, όπως οι ταλαντώσεις Zitterbewegung (ZB) [62], το φαινόμενο σήραγγας Klein, ή ακόμη και φαινόμενα ανάλογα της δημιουργίας ζευγών σωματιδίων (pair-production) [185], οφείλονται στην ταυτόχρονη κατάληψη και των δύο ενεργειακών ζωνών. Σε πρόσφατα πειράματα που έγιναν το 213 [6,61], το 213 δύο διαφορετικές ομάδες, κατάφεραν με κατάλληλες μεθόδους να διεγείρουν ποσοστό από το αρχικό συμπύκνωμα και στην ανώτερη ενεργειακή ζώνη. Συγκεκριμένα και στα δύο πειράματα, η ιδέα για τη διέγερση της ζώνης αυτής είναι η επιλογή μιας λάθος αρχικής συνθήκης, έτσι ώστε το σύστημα να εξελιχθεί στο χρόνο σαν γραμμικός συνδυασμός των δύο ιδιοκαταστάσεων (της + και της ) για συγκεκριμένο κυματάριθμο. Αυτό είχε ως επακόλουθο την εμφάνιση ταλαντώσεων μεταξύ των δύο συστατικών του μείγματος (λόγω της διαφορετικής πόλωσης των ιδιοκαταστάσεων) αλλά και αντίστοιχες ταλαντώσεις στην ταχύτητα. Το φαινόμενο αυτό παρουσιάζει μεγάλη ομοιότητα με τις ταλαντώσεις που μελετήθηκαν πρώτη φορά από τον Schrödinger και ονομάστηκαν ταλαντώσεις Zitterbewegung(ZB) ( τρεμούλιασμα ). Στη αυθεντική του μορφή το φαινόμενο αυτό περιγράφει τις ταλαντώσεις σχετικιστικών ηλεκτρονίων που ικανοποιούν την εξίσωση Dirac, και εμφανίζονται όταν ένα κυματοπακέτο έχει πεπερασμένη και την σωματιδιακή και την αντι-σωματιδιακή συνιστώσα του σπίνορα Dirac. Η ταυτόχρονη κατάληψη των δύο ενεργειακών ζωνών σε συνδυασμό με την αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς έχει ως αποτέλεσμα την ταλάντωση της μέσης ταχύτητας του συνολικού κυματοπακέτου. Για πραγματικά ηλεκτρόνια, οι ταλαντώσεις δεν είναι εύκολο να παρατηρηθούν αφού αντιστοιχούν σε περίοδο της τάξης των 1 21 s. Αντιθέτως, φαινόμενα που μοιάζουν με το ΖΒ, έχουν προταθεί σε διάφορα συστήματα στερεάς κατάστασης [63], αλλά και σε υπέρ-ψυχρα άτομα [186]. Το 21 ένα φαινόμενο ανάλογο του ZB, παρατηρήθηκε πειραματικά σε σύστημα απομονωμένου ιόντος [64]. Οι επόμενες πειραματικές παρατηρήσεις έγιναν σε BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς από την πειραματική ομάδα της Washington [6] και του Maryland [61]. 85

92 3.5. Zitterbewengung και «ταλαντούμενα» σολιτόνια Σε αυτή την ενότητα της διατριβής, θα δείξουμε ότι υπάρχουν εντοπισμένες σολιτονικές λύσεις για τα BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς, στις οποίες τα άτομα καταλαμβάνουν ταυτόχρονα και τις δύο ενεργειακές ζώνες. Η μορφή των σολιτονίων αυτών μοιάζει με αυτή των ταλαντούμενων σκοτεινών-σκοτεινών σολιτονίων του Κεφαλαίου 2. Οι ταλαντώσεις των σολιτονίων εκτελούνται με μια τροποποιημένη (λόγω της μη γραμμικότητας) συχνότητα ΖΒ και ανάλογα με τη μορφή τους τα σολιτόνια μπορεί να εμφανίζουν ταλαντώσεις στην ταχύτητα ή όχι. Η ύπαρξη αυτών των λύσεων οφείλεται στην αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς και γι αυτό τέτοιες καταστάσεις δεν μπορούν να υπάρξουν στα απλά μείγματα συμπυκνωμάτων Συζευγμένες εξισώσεις κίνησης για τις δύο ενεργειακές ζώνες Η ανάλυσή αυτής της ενότητας, είναι βασισμένη στην θεωρία διαταραχών πολλαπλών κλιμάκων ξεκινώντας όμως από διαφορετική μορφή για τη λύση [187]. Συγκεκριμένα υποθέτουμε τώρα ότι: Ψ = e ikx n=1 ε n (u (n) + φ (n) + + u (n) φ (n) ), (3.38) όπου οι u (n) ± (t) είναι χρονικά εξαρτημένοι συντελεστές, φ (n) + (X +, T ) και φ (n) (X, T ) άγνωστες συναρτήσεις που εξαρτώνται από τις αργές μεταβλητές X ± = ε(x v g ± t), T = ε 2 t, ενώ ε είναι μικρή παράμετρος. Εδώ, για λόγους απλότητας, θα αλλάξουμε το συμβολισμό μας σε σχέση με εκείνον της ενότητας 3.2. Για την ακρίβεια, λόγω πολυπλοκότητας του αναπτύγματος, θα γράψουμε και την Χαμιλτονιανή σαν ένα ασυμπτωτικό άθροισμα. Σύμφωνα με τις καινούριες μεταβλητές και το ανάπτυγμα για τις δύο συνιστώσες του μείγματος, η Χαμιλτονιανή H στην Eξ. (3.6) γράφεται: H = n=1 όπου οι πρώτοι τρεις όροι είναι οι ακόλουθοι: ε n H n, H 1 = x (ik L x δ)σ z + Ωσ x, (3.39) H 2 = x ( X1 + X2 ) ik L ( X1 + X2 )σ z, (3.4) H 3 = X X 2 + H int. (3.41) Στην τελευταία έκφραση εμφανίζεται ο πίνακας με την συνεισφορά των αλληλεπιδράσεων H int, που έχει την ακόλουθη μορφή: H int = [ h 1 + βh 2 ], (3.42) βh 1 + h 2 86

93 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς όπου χρησιμοποιήσαμε το συμβολισμό: ο δείκτης i = 1, 2 και h i = u (1,i) + φ (1) u (1,i) φ (1) 2 + 2Re{u (1,i) + u (1,i) ± = ( u(1,1) ± ). u (1) u (1,2) ± φ (1) + φ (1) Εισάγοντας τις Eξ. (3.38)-(3.41) στην χρονοεξαρτώμενη εξίσωση (3.6), καταλήγουμε στο παρακάτω σύστημα εξισώσεων για τις τρεις χαμηλότερες τάξεις του διαταρακτικού σχήματος: }, O(ε) L(e ikx u (1) ± φ (1) ± ) =, (3.43) O(ε 2 ) L(e ikx u (2) ± φ (2) ± ) = H 2 (e ikx u (1) ± φ (1) ± ), (3.44) O(ε 3 ) L(e ikx u (3) ± φ (3) ± ) = H 2 (e ikx u (2) ± φ (2) ± ) + ( i T + H 3 )(e ikx u (1) ± φ (1) ± (3.45) ), όπου ορίζουμε το γραμμικό τελεστή L = i t H 1. Ο γραμμικός τελεστής, δεν δρα στις αργές μεταβλητές άρα ούτε στις φ (n) ± και επομένως βρίσκουμε άμεσα ότι η Εξ. (3.43) επιδέχεται λύσεις επιπέδων κυμάτων της μορφής u (1) ± = R ± exp( iω ± t), και τότε εύκολα βλέπουμε ότι τα διανύσματα R ± συμπίπτουν με τα γραμμικά διανύσματα της H 1 [θυμίζουμε την Εξ. (3.21)]. Συνεπώς γράφουμε R ± = c ± ± όπου c ± σταθερές. Επομένως στην πρώτη τάξη O(ε) αναπαράγουμε τις λύσεις επιπέδων κυμάτων u (1) ± = c ± ± exp( iω ± t) του γραμμικού προβλήματος. Στη συνέχεια αναζητούμε λύσεις της εξίσωσης (3.44) στη μορφή u (2) ± = P ± exp( iω ± t), και παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση: W ± P ± φ (2) ± = i X1,2 φ (1) ± W ± ±, (3.46) όπου οι τόνοι συμβολίζουν παραγώγους ως προς τον κυματάριθμο k. Η συνθήκη συμβατότητας σε αυτή τη τάξη συμπίπτει με την αντίστοιχη συνθήκη της Eξ. (3.22) της προηγούμενης ενότητας. Έτσι αναγνωρίζουμε την ταχύτητα ομάδος v ± g ω ± για την κάθε ενεργειακή ζώνη: v ± g = k ± k L [1 2 cos 2 θ(k)]. (3.47) Μια βασική διαφορά είναι ότι σε αυτή τη περίπτωση έχουμε συμπεριλάβει δύο διαφορετικές περιβάλλουσες φ ±, όπου η καθεμία ταξιδεύει με τη δική της ταχύτητα ομάδος v ± g. 87

94 3.5. Zitterbewengung και «ταλαντούμενα» σολιτόνια Για να συνυπάρχουν οι δύο περιβάλλουσες πρέπει οι ταχύτητές τους να είναι ίσες. Παρατηρούμε ότι στην εξίσωση (3.47), για κάθε τιμή της παραμέτρου k L, υπάρχει ένα κυματάριθμος k c = δ/k L (όταν θ(k c ) = π/4) έτσι ώστε οι δύο ταχύτητες να συμπίπτουν v + g = v g v g = k c. Αυτή είναι μια σημαντική παρατήρηση που θα τη χρησιμοποιήσουμε για την εύρεση σολιτονικών λύσεων πιο κάτω. Επιπρόσθετα στην δεύτερη τάξη, βρίσκουμε και την μορφή που έχουν οι περιβάλλουσες: u (2) ± = ± k exp( iω ±t), φ (2) ± = i X± φ (1) ±. (3.48) Παρατηρούμε ότι μέχρι και την τάξη O(ε 2 ), οι λύσεις στην κάθε ζώνη ω ± είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους. Όταν όμως προχωρήσουμε στην τρίτη τάξη O(ε 3 ) και συμπεριλάβουμε τους μη γραμμικούς όρους, οι λύσεις στις δύο ζώνες αλληλεπιδρούν. Στην πραγματικότητα η σχέση συμβατότητας της Eξ. (3.45) είναι η ακόλουθη: ± [ i T 1 2 (1 + W ± k ) 2 X ± + H int ] φ (1) ± ±, (3.49) και συμπεριλαμβάνει ένα σύστημα εξισώσεων για τις περιβάλλουσες φ (1) ±, που αλληλεπιδρούν μη γραμμικά μέσω του πίνακα H int. Στην περίπτωση που k = k c δηλαδή για ίσες ταχύτητες v + g = v g σε κάθε ζώνη, η Εξ. (3.49 ) γράφεται ως: i T φ + = ω X φ + + γ( c + φ c φ 2 )φ +, (3.5) i T φ = ω 2 2 X φ + γ( c + φ c φ 2 )φ, (3.51) όπου παραλείπουμε τους εκθετικούς δείκτες για απλότητα. Στην παραπάνω σχέση γ = (1 + β)/2 > είναι η κοινή σταθερά ζεύξης, ενώ X + = X X = ε(x v g t) Ταλαντούμενα σολιτόνια στα BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς Το σύστημα εξισώσεων (3.5)-(3.51) είναι το κύριο αποτέλεσμα αυτής της ενότητας, και συνεχίζουμε περιγράφοντας τα βασικά χαρακτηριστικά του. Οι εξισώσεις αυτές περιγράφουν την χρονική εξέλιξη δύο κυματοσυναρτήσεων, όπου η κάθε μια βρίσκεται ενεργειακά σε διαφορετική ζώνη ω ±, όπως φαίνεται σχηματικά στο Σχ και αλληλεπιδρούν μεταξύ τους μέσω της μη γραμμικότητας. Υπενθυμίζουμε ότι σύμφωνα με το ανάπτυγμα (3.38) οι δύο συνιστώσες του μείγματος ψ,, περιγράφονται από ένα γραμμικό συνδυασμό των φ + και φ ταυτόχρονα. Να αναφέρουμε ότι στο όριο που c + c = όπου επιζεί μόνο μια από τις δύο περιβάλλουσες, έχουμε κατάληψη μόνο της μιας ενεργειακής ζώνης. Τότε οι Εξ. (3.5)-(3.51) ανάγονται σε δύο ασύζευκτες βαθμωτές εξισώσεις NLS για 88

95 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς Polarization φ + E(k) ψ,ψ φ k c k Σχήμα 3.13: Ενεργειακό διάγραμμα που αναπαριστά των κυματάριθμο k c όταν η ταχύτητα ομάδος είναι ίδια και στις δύο ενεργειακές ζώνες. Αναπαριστώνται αντίστοιχα οι σχετικές λύσεις σκοτεινού (πάνω ζώνη) και φωτεινού (κάτω ζώνη) σολιτονίου των Εξ. (3.5)-(3.51). Οι συνιστώσες του μείγματος ψ,, αποτελούνται έκαστη από ένα γραμμικό συνδυασμό των φ + και φ +. τα φ + ή φ αντίστοιχα. Στη πιο γενική όμως περίπτωση όπου c + c, μπορεί να βρει κανείς εντοπισμένες λύσεις των Eξ. (3.5)-(3.51) που αντιστοιχούν σε διανυσματικά σολιτόνια του αρχικού προβλήματος, που όμως κάθε συνιστώσα του σολιτονίου φ ±, βρίσκεται στην αντίστοιχη ενεργειακή ζώνη ω ± και άρα υπάρχει κατάληψη από πεπερασμένο αριθμό ατόμων σε κάθε ζώνη. Στη συνέχεια, χωρίς βλάβη της γενικότητας, θέτουμε c ± = 1. Στην περίπτωση που οι συντελεστές διασποράς είναι ίσοι, δηλ. ω + = ω, το σύστημα ανάγεται στο ολοκληρώσιμο όριο Manakov [12] που επιδέχεται ακριβής λύσεις σολιτονίων όπως αυτές συζητήθηκαν με λεπτομέρεια στο Κεφάλαιο 2. Οι τιμές όμως των συντελεστών διασποράς για τις Εξ. (3.5)-(3.51) για παραμέτρους σχετικές με τα πειράματα, εξαρτώνται από τις παραμέτρους του αρχικού προβλήματος k L και Ω. Συγκεκριμένα για την επιλογή κυματάριθμου k = k c, η φαινομενικές μάζες (effective masses) στις συζευγμένες εξισώσεις NLS είναι πάντα διαφορετικές ω +(k c ) ω (k c ). Επίσης σημειώνουμε ότι για την πάνω ζώνη ισχύει ω +(k c ) >, αφού η ζώνη αυτή έχει πάντα τη μορφή απλού πηγαδιού. Αντιθέτως για την κάτω ζώνη η φαινομενική μάζα 1/ω (k c ) είναι θετική στη Περιοχή 1 ενώ γίνεται αρνητική στη Περιοχή 2 λόγω της αλλαγής της μορφής της ζώνης σε διπλό πηγάδι. Σε αυτή την ενότητα θα επικεντρωθούμε στην περίπτωση όπου και οι δύο μάζες είναι θετικές δηλαδή ω +(k c )ω (k c ) >, και θα βρούμε αριθμητικές στατικές λύσεις για το 89

96 3.5. Zitterbewengung και «ταλαντούμενα» σολιτόνια σύστημα Εξ. (3.5)-(3.51), στη μορφή φ ± (X, T ) = Φ ± (X) exp(iμ ± T ), όπου μ ± τα φαινόμενα χημικά δυναμικά. Λαμβάνοντας υπόψιν την μορφή των σολιτονίων στο όριο Manakov και τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 2, αναζητούμε αρχικά λύσεις όπου το Φ + έχει τη μορφή σκοτεινού σολιτονίου, δημιουργώντας ένα δυναμικό για το Φ που μπορεί να πάρει τη μορφή φωτεινού σολιτονίου. Συγκεκριμένα χρησιμοποιούμε την μορφή: Φ + (X) tanh(b + X), Φ (X) sech(b + X), με εύρος b +, και με τη βοήθεια του αλγορίθμου σταθερού σημείου βρίσκουμε αριθμητικά την οικογένεια σολιτονίων με προφίλ που φαίνεται στο Σχ. 3.14(a), όπως φαίνεται στις κανονικές χωρικές κλίμακες. Στη συνέχεια στηριζόμενοι στο γεγονός ότι οι μάζες μπορεί να διαφέρουν μέχρι και τάξη μεγέθους μεταξύ τους, ψάχνουμε λύσεις όπου το Φ + (X) μένει ίδιο ενώ για την άλλη συνιστώσα: Φ (X) sech(b + X)tanh(b X), όπου b > b + και περιγράφει ένα σκοτεινό σολιτόνιο εμβαπτισμένο στο φωτεινό. Τέτοια σολιτόνια με περιττή συμμετρία ( odd solitons ) έχουν μελετηθεί στο πλαίσιο βαθμωτών συμπυκνωμάτων [188 19] αλλά και σε συστήματα μη γραμμικών οπτικών ινών [191]. Η οικογένεια αυτού του τύπου σολιτονίων φαίνεται στην εικόνα (b), όπως αυτή βρέθηκε αριθμητικά. Στις εικόνες (c) και (d) του Σχ. 3.14, ακολουθώντας αντίστοιχη διαδικασία βρέθηκαν οικογένειες σολιτονίων με δύο και τρία εμβαπτισμένα σκοτεινά σολιτόνια στη δεύτερη συνιστώσα. Για τα παραδείγματα του Σχ χρησιμοποιήσαμε τις παραμέτρους Ω/k 2 L = 1.25 και δ = (που αντιστοιχούν σε ω + = 1.8 και ω =.2), και επιπλέον ε 2 μ + =.2 και ε 2 μ =.19. Στην κάτω εικόνα του σχήματος φαίνονται όλες οι οικογένειες σολιτονίων συναρτήσει των διαφορετικών μ ±. Σημειώνουμε ότι αντίστοιχες οικογένειες λύσεων βρέθηκαν και για πεπερασμένες τιμές του δ, όπου η ταχύτητα ομάδος είναι πεπερασμένη (όπως θα δούμε παρακάτω). Ακόμα να σημειώσουμε ότι βρέθηκαν λύσεις για πολλαπλά σολιτόνια σε κάθε συστατικό, αλλά και για αντίθετα πρόσημα της παραμέτρου ω +/ω. Αφού έχουμε βρει σολιτονικές λύσεις για τις Εξ. (3.5)-(3.51), χρησιμοποιώντας την μορφή των εξισώσεων (3.38), μπορούμε να γράψουμε τις αντίστοιχες προσεγγιστικές λύσεις των Εξ. (3.6). Υπενθυμίζεται ότι οι λύσεις αυτές στη μορφή σολιτονίων καταλαμβάνουν ταυτόχρονα και τις δύο ενεργειακές ζώνες του γραμμικού φάσματος: ψ, 2 ε 2 [ 1 2 ρ Re{φ + φ } cos[(δω ε 2 δμ)t]], (3.52) 9

97 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς Σχήμα 3.14: Πάνω εικόνες: Το προφίλ των σολιτονικών λύσεων των Εξ. (3.5)-(3.51), για ε 2 μ + =.26. Οι συνεχής μπλε και η διακεκομμένη κόκκινη καμπύλη αντιστοιχούν στα Φ + και Φ. Κάτω εικόνες: Η κανονικοποιημένη διαφορά ατόμων ΔN = [(μ + Φ + 2 ) Φ 2 ]dx/ (μ + Φ + 2 )dx μεταξύ των δύο συστατικών σαν συνάρτηση του μ + για του κλάδους λύσεων (a)-(d). Οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν είναι οι εξής: Ω/k 2 L = 1.25, δ =, k =, και ε =.1. όπου ρ φ φ 2 και δμ = μ + μ. Γίνεται άμεσα εμφανές ότι αυτές οι λύσεις χαρακτηρίζονται από περιοδικές στο χρόνο πυκνότητες με συχνότητα ω ZB δω ε 2 δμ, δω ω + ω (3.53) όπου δω είναι η συχνότητα ZB [61] που περιγράφει ταλαντώσεις μεταξύ των δύο ζωνών (και είναι ίση με τη διαφορά τους). Για τα σολιτόνια όμως αυτή η συχνότητα είναι ελαφρώς τροποποιημένη λόγω της μη γραμμικότητας και την ονομάζουμε μη γραμμική συχνότητα ZB. Παράδειγμα της πυκνότητας αυτών των σολιτονίων, που εκτελούν μια πλήρη περίοδο, φαίνεται στο Σχ Η αριστερή εικόνα αντιστοιχεί σε σολιτόνια της οικογένειας (a) [στη μορφή απλού σκοτεινού-φωτεινού σολιτονίου της Eξ. (3.5)-(3.51)], και οι πυκνότητες εμφανίζουν ένα απλό κόμβο. Στην δεξιά εικόνα φαίνεται το παράδειγμα ενός σολιτονίου της οικογένεια (b) με δύο χαρακτηριστικούς κόμβους. Για τη μελέτη της δυναμικής και της ευστάθειας των σολιτονίων, χρησιμοποιήθηκαν αριθμητικές προσομοιώσεις σε ένα μεγάλο εύρος του παραμετρικού χώρου (k L, Ω, δ) και επιβεβαιώθηκε η ευστάθειά τους τουλάχιστον για χρόνους ανάλογους των πειραματικών ( 3 sec). Χαρακτηριστικά παραδείγματα της χωροχρονικής εξέλιξης των πυκνοτήτων για τις δύο συνιστώσες του μείγματος, φαίνονται στο Σχ Οι αριστερά εικόνες δείχνουν την αρχική συνθήκη (πάνω) και τις πυκνότητες των ψ, (κάτω). Αξίζει να σημειωθεί ότι ενώ η μορφή των σολιτονίων αυτών μοιάζει με τα ταλαντούμενα σολιτόνια που μελετήθηκαν στο Κεφάλαιο 2 (και με αυτά που παρατηρήθηκαν πειραματικά στις αναφορές [39, 4]) υπάρχει μια βασική διαφορά: η ταλαντωτική συμπεριφορά των σολιτονίων αυτής της ενότητας γίνεται με συχνότητα ίση με τη συχνότητα ZB (που συνδέει τις δύο ενεργειακές ζώνες). Η 91

98 3.5. Zitterbewengung και «ταλαντούμενα» σολιτόνια ψ 2 ψ 2 T/4 T/4 t T/2 3T/2 T x t T/2 3T/2 T x Σχήμα 3.15: Αριστερά: Η χρονική εξέλιξη της πυκνότητας των δύο συστατικών του μείγματος ψ, 2, σε μια περίοδο ταλάντωσης για ένα σολιτόνιο του κλάδου (a). Δεξιά: όπως και η αριστερή εικόνα αλλά για ένα σολιτόνιο του κλάδου (b) x x 5 5 x ψ ψ ψ ψ x x 1 2 x t t t t Σχήμα 3.16: Αριστερά: (πάνω) Η αρχική συνθήκη που αντιστοιχεί σε ένα σολιτόνιο του κλάδου (a) Στη δεύτερη και τρίτη γραμμή φαίνεται η χωροχρονική εξέλιξη των πυκνοτήτων Ψ 2 και Ψ 2 αντίστοιχα, ενώ δίπλα τους σχεδιάζεται και μια εικόνα για μόνο λίγες ταλαντώσεις. Οι παράμετροι είναι ίδιες με αυτές του Σχ με ε 2 μ + =.1, ε 2 μ =.95. Δεξιά: όπως οι αριστερά εικόνες αλλά για ένα σολιτόνιο του κλάδου (b) με Ω/k 2 L = 1.8, ε2 μ + =.2, και ε 2 μ =

99 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς αντίστοιχη εικόνα για ένα σολιτόνιο της οικογένειας (b), και για την περίπτωση δ όπου η ταχύτητα ομάδος είναι πεπερασμένη φαίνεται στις δεξιά εικόνες του Σχ Ταλαντώσεις ZB Μπορεί κανείς να υπολογίσει την πόλωση κάθε σολιτονικής λύσης, μέσω της μέσης τιμής της z-συνιστώσας του σπιν σ z = (N N )/(N + N ). Χρησιμοποιώντας την Εξ. (3.52), βρίσκουμε ότι η πόλωση δίνεται από τη σχέση: σ z (t) = A cos(ω ZB t), A = Re{φ +(x) φ (x)}dx. (3.54) ρ(x)dx Από την παραπάνω σχέση γίνεται εμφανές ότι οι λύσεις π.χ. της οικογένειας (a), με περιττή συμμετρία του γινομένου φ + φ, έχει συντελεστή A = και η μέση τιμή του σ z είναι μηδενική για κάθε χρονική στιγμή. Αντιθέτως όμως, μια λύση της οικογένειας (b), με το χαρακτηριστικό βύθισμα στην πυκνότητα, θα έχει διαφορετική συμπεριφορά: ο αριθμός των ατόμων σε κάθε συνιστώσα του μείγματος ταλαντώνεται, αφού το γινόμενο φ + φ είναι άρτιο, και το ολοκλήρωμα στην Εξ. (3.54) πεπερασμένο. Έτσι η πόλωση σ z είναι μη μηδενική, και συγκεκριμένα η λύση ταλαντώνεται με την μη γραμμική συχνότητα ZB ω ZB. Αυτό το αποτέλεσμα γενικεύεται ως εξής: οι σολιτονικές λύσεις των κλάδων με περιττό γινόμενο φ + φ παρουσιάζουν μηδενική πόλωση ενώ οι κλάδοι με άρτιο γινόμενο παρουσιάζουν ταλαντώσεις του σπιν με συχνότητα ω ZB. Σύμφωνα με την πιο πάνω συζήτηση μπορούμε να συσχετίσουμε τις λύσεις αυτές με το φαινόμενο των ταλαντώσεων ZB. Για να κάνουμε τη σύνδεση, πρώτα γράφουμε την ταχύτητα του κέντρου μάζας, όπως αυτή δίνεται από την εξίσωση κίνησης του τελεστή της θέσης x στην εικόνα του Heisenberg [61]: v(t) = dx(t) = i [ x, H dt 1 ] = k + k L σ z, (3.55) όπου [ x, H 1 ] xh 1 H 1 x και χρησιμοποιούμε το γεγονός ότι η μέση τιμή της ορμής για τα επίπεδα κύματα της θεωρίας διαταραχών είναι p k. Σημειώνουμε εδώ ότι η ανάλυση αυτή γίνεται στο γραμμικό όριο και στις γρήγορες κλίμακες, όπου οι λύσεις είναι τα επίπεδα κύματα. Από την Εξ. (3.55) γίνεται άμεσα εμφανές ότι ταλαντώσεις της μέσης τιμής του σπιν σ z (t), δηλαδή ανταλλαγή ατόμων μεταξύ των συστατικών, συνεπάγεται ταλαντώσεις της ταχύτητας, που είναι χαρακτηριστικό του φαινομένου ΖB. Σύμφωνα και με την ανάλυση σχετικά με την πόλωση σ z (t) των σολιτονίων (όπου δείξαμε ότι ταλαντώσεις στο σπιν εμφανίζονται ανάλογα με την μορφή του γινομένου φ + φ ), καταλήγουμε στο εξής συμπέρασμα: τα σολιτόνια των κλάδων (b) και (d) εμφανίζουν ταλαντώσεις ZB, ενώ τα σολιτόνια των κλάδων (a) και (c) όχι. Ακόμη είναι σημαντικό να διακρίνουμε τις 93

100 3.5. Zitterbewengung και «ταλαντούμενα» σολιτόνια <v(t)>/k L t Σχήμα 3.17: Η χρονική εξέλιξη τις μέσης ταχύτητας v(t) κανονικοποιημένης στο κυματάριθμο k L, για διαφορετικές λύσεις σολιτονίων. Οι συνεχής κόκκινη καμπύλη στο v(t) = αντιστοιχεί στη στατική λύση του κλάδου (a). Οι μεγαλύτερου και μικρότερου πλάτους συνεχείς καμπύλες, αντιστοιχούν σε σολιτονικές λύσεις λύσεις του κλάδου (b) για k = και k = 2 αντίστοιχα. Η εστιγμένη καμπύλη αντιστοιχεί στο ημι-αναλυτικό αποτέλεσμα της Εξ. (3.55), ενώ η διακεκομμένη καμπύλη υποδεικνύει την μετατόπιση της ταχύτητας για το σολιτόνιο με k = 2. Οι παράμετροι που χρησιμοποιήθηκαν είναι Ω/kL 2 = 1.8 και ε 2 μ + =.26. ταλαντώσεις ΖΒ από τις ταλαντώσεις Rabi: ακόμα και για k L = μπορεί να εμφανίζονται ανταλλαγές ατόμων μεταξύ των συστατικών λόγω της γραμμικής τους σύζευξης ( Ω) αλλά τότε, σύμφωνα με την Εξ. 3.55, η ταχύτητα παραμένει σταθερή. Η αναλυτική περιγραφή των ταλαντώσεων του σπιν και της μέσης ταχύτητας μέσω των εξισώσεων (3.54) και (3.55) ελέγχθηκε σε σύγκριση με την αριθμητική ολοκλήρωση των Εξ. (3.18)-(3.19) για τις διάφορες οικογένειες σολιτονίων. Συγκεκριμένα στο Σχ. 3.17, φαίνεται η χρονική εξάρτηση της μέσης τιμής της ταχύτητας v(t) για τους κλάδους (a) και (b) όπως αυτή βρέθηκε από τα αριθμητικά αποτελέσματα (συνεχής καμπύλες) και από τα αναλυτικά (διακεκομμένες καμπύλες). Η αριθμητική τιμή υπολογίστηκε ως η αριθμητική χρονική παράγωγος του κέντρου μάζας, ενώ αναλυτική μέσω των εξισώσεων (3.54)-(3.55). Η ευθεία (κόκκινη) γραμμή δείχνει τα αποτελέσματα για ένα σολιτόνιο του κλάδου (a), ενώ η καμπύλη με το μεγαλύτερο (μικρότερο) πλάτος αντιστοιχεί σε ένα στατικό (κινούμενο) σολιτόνιο του (b) κλάδου με παραμέτρους k = δ = (k = 2 και δ = 16) και Ω/kL 2 = 1.8. Παρατηρούμε ότι για το σολιτόνιο με πεπερασμένη ταχύτητα v g, οι ταλαντώσεις γίνονται γύρω από την τιμή k/k L =.25 [Εξ. (3.55)], που απεικονίζεται με την διακεκομμένη μαύρη γραμμή. Τα αριθμητικά αποτελέσματα επιβεβαιώνουν την ανάλυση για τις ταλαντώσεις ZB, και υπάρχει καλή συμφωνία μεταξύ των δύο όσον αφορά στις ταλαντώσεις της ταχύτητας. Παρατηρούμε ότι αν και η ανάλυση για τις ταλαντώσεις ZB έγινε εξολοκλήρου με βάση τη γραμμική θεωρία, τα αποτελέσματα ισχύουν και στη μη γραμμική περιοχή: αυτό συμβαίνει γιατί αφενός μεν οι σολιτονικές λύσεις είναι ασθενώς μη γραμμικές (μικρού πλάτους, 94

101 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς R 1 δ = R 2 δ = ω(k) R 1 δ R 2 ω < δ ω(k) k ω < k Σχήμα 3.18: Αναπαράσταση του γραμμικού φάσματος ω(k) για τις δύο περιοχές. Οι άνω και κάτω εικόνες αντιστοιχούν στο δ = και δ αντίστοιχα, ενώ η τιμή της φαινομενικής αντίστροφης μάζας φαίνονται με τις διακεκομμένες καμπύλες m eff ω (k). ενεργειακά κοντά στο γραμμικό φάσμα), αφετέρου δε το φαινόμενο ZB συμβαίνει στις γρήγορες κλίμακες, όπου λύσεις είναι τα γραμμικά επίπεδα κύματα. 3.6 Σολιτόνια αρνητικής μάζας διαχείριση διασποράς Μια ακόμη εφαρμογή της θεωρίας διαταραχών που κατασκευάστηκε στην ενότητα 3.2 και βασίζεται στη δομή του γραμμικού φάσματος, αφορά στην διαχείριση διασποράς και την συνεπαγόμενη ύπαρξη σκοτεινών σολιτονίων σε ελκτικά BEC και φωτεινών σολιτονίων σε απωστικά BEC. Στο πλαίσιο αυτό, αξίζει αρχικά να παρατηρήσουμε το εξής. Το σχετικό πρόσημο μεταξύ μη γραμμικότητας και διασποράς στην Εξ. (3.28), είναι η παράμετρος που καθορίζει τον τύπο των λύσεων σολιτονίων που υποστηρίζονται από το σύστημα. Έτσι, ταυτοποιώντας την παράμετρο ω 2 ω/ k 2 ως αντίστροφη μάζα, δηλ. ω m 1 eff σε αναλογία με τη συνήθη εξίσωση Schrödinger, βλέπουμε ότι: αν m eff σ > τότε η Εξ (3.28) επιδέχεται λύσεις σκοτεινών, αν m eff σ < τότε η Εξ (3.28) επιδέχεται λύσεις φωτεινών σολιτονίων. [192, 193] Προφανώς το πρόσημο της μη γραμμικότητας εξαρτάται μόνο από το είδος των αλληλεπιδράσεων μεταξύ των ατόμων, και σ = ±1 για απωστικές και ελκτικές αλληλεπιδράσεις αντίστοιχα. Αντιθέτως η μάζα m eff εξαρτάται από τον κυματάριθμο k, όπως φαίνεται και στο Σχήμα

102 3.6. Σολιτόνια αρνητικής μάζας διαχείριση διασποράς Παρατηρεί κανείς ότι στην χαμηλότερη ενεργειακή ζώνη, και για τις δύο Περιοχές 1 και 2 στα ολικά ελάχιστα της θεωρίας k = k (εκεί που δημιουργείται το συμπύκνωμα) η μάζα είναι m eff >. Σε αυτά τα σημεία βρίσκει κανείς ότι υπάρχουν λύσεις θετικής μάζας στη μορφή σκοτεινών (φωτεινών) σολιτονίων για απωστικά (ελκτικά) συμπυκνώματα: αυτά είναι τα σολιτόνια που συζητήθηκαν στο προηγούμενο Κεφάλαιο. Στην Περιοχή 2 όμως, υπάρχει μια περιοχή κυματαριθμών (που δείχνεται με τις ελλείψεις στις εικόνες στα δεξιά, στο Σχ. 3.18), όπου m eff <. Σε αυτές τις περιοχές υπάρχουν φωτεινά σολιτόνια αρνητικής μάζας σε απωστικά συμπυκνώματα και σκοτεινά σολιτόνια αρνητικής μάζας σε ελκτικά. Αυτά τα σολιτόνια μπορεί να είναι είτε στατικά, αν ο κυματάριθμος k επιλεχθεί ακριβώς στο τοπικό ελάχιστο της ενεργειακής ζώνης, είτε οδεύοντα για κυματάριθμους στην υπόλοιπη περιοχή αρνητικής μάζας. Σημειώνεται ότι οι σολιτονικές λύσεις με αρνητική μάζα, έχουν την ίδια μορφή όπως και οι απλές λύσεις των Εξ. (3.31)-(3.37), αλλά για αντίθετη τιμή της μη γραμμικότητας, σ = +1 και σ = 1, αντίστοιχα. Ένας εναλλακτικός μηχανισμός για την δημιουργία εντοπισμένης λύσης σε μέσο με διασπορά (συγκεκριμένα σε απωστικό BEC) χρησιμοποιήθηκε σε σχετικά πρόσφατο πείραμα συμπυκνώματος παγιδευμένου σε οπτικό πλέγμα. Σε αυτό το πείραμα η αντίστοιχη αρνητική μάζα, βρέθηκε λόγω αλλαγής προσήμου της διασποράς κοντά στο άκρο της ζώνης Brillouin, και έτσι υλοποιήθηκαν πειραματικά τα λεγόμενα φωτεινά σολιτόνια χάσματος (gap) [192]. Όμως, σε αντίθεση με την προηγούμενη μέθοδο για την διαχείριση της διασποράς (dispersion management) και την δημιουργία εντοπισμένων δομών, στα BEC με σύζευξη σπιν-τροχιάς δεν χρειάζεται η επιπλέον επίδραση κάποιου ειδικού τύπου δυναμικού, αφού η δομή του γραμμικού φάσματος είναι αρκετή. Για να επαληθεύσουμε την ύπαρξη, αλλά και να μελετήσουμε την δυναμική των σολιτονίων αρνητικής μάζας, ολοκληρώνουμε αριθμητικά τις Εξ. (3.18)-(3.19) με την αντίστοιχη αρχική συνθήκη. Στην πάνω εικόνα του Σχ. 3.19, παρατηρούμε την χωροχρονική εξέλιξη ενός φωτεινού σολιτονίου, σε ένα συμπύκνωμα με απωστικές αλληλεπιδράσεις, και βλέπουμε ότι το σολιτόνιο δεν διασπείρεται, λόγω της αντιστροφής του προσήμου της μάζας, αλλά οδεύει χωρίς να αλλοιώνεται το σχήμα του. Αντίστοιχα, στην κάτω εικόνα του Σχ. 3.19, φαίνεται η χωροχρονική εξέλιξη ενός σκοτεινού σολιτονίου, σε ένα συμπύκνωμα με ελκτικές αλληλεπιδράσεις, όπου το αρνητικό πρόσημο της μάζας επιτρέπει την ύπαρξη του βυθίσματος στην πυκνότητα. Οι παράμετροι και για τις δύο εικόνες είναι Ω/kL 2 =.49, δ = 4, ε2 ω =.1 και k =.9. Για να τονίσουμε περαιτέρω την σημαντικότητα του όρου σύζευξης σπιν-τροχιάς για την ύπαρξη σολιτονίων αρνητικής μάζας, στις προσομοιώσεις αυτές, μηδενίζουμε τους αντίστοιχους όρους (k l = Ω = δ = ) τη χρονική στιγμή t = 9. Παρατηρούμε στην πάνω εικόνα του σχήματος 3.19 ότι στο συμπύκνωμα με απωστικές αλληλεπιδράσεις το 96

103 3. Σολιτόνια σε μείγματα BEC με αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς x x t = t = ψ 1 2 ψ 2 2 ψ 1 2 ψ 2 2 t = t = 11.1 σ > σ < t Σχήμα 3.19: Πάνω: Χωροχρονική εξέλιξη της συνολικής πυκνότητας ψ ψ 2 2, για ένα φωτεινό σολιτόνιο σε συμπύκνωμα με απωστικές διατομικές αλληλεπιδράσεις (σ = +1). Κάτω: Αντίστοιχα με την πάνω εικόνα αλλά για ένα σκοτεινό σολιτόνιο σε συμπύκνωμα με ελκτικές αλληλεπιδράσεις (σ = 1). Με τις κάθετες γραμμές υποδεικνύεται η χρονική στιγμή που σβήνουν οι αλληλεπιδράσεις σπιν-τροχιάς, ενώ τα ένθετα δείχνουν την πυκνότητα κάθε συνιστώσας τις χρονικές στιγμές t = 1 (αριστερά) και t = 11 (δεξιά). Οι υπόλοιπες παράμετροι είναι Ω/k 2 L =.49, δ = 4, k =.9 και ε2 ω =.1. φωτεινό σολιτόνιο δεν υποστηρίζεται από το σύστημα και αρχίζει να διασπείρεται. Αντίστοιχα στην κάτω εικόνα, το αρχικά σχεδόν ακίνητο σκοτεινό σολιτόνιο, αφού σβήσει η αλληλεπίδραση σπιν-τροχιάς, αρχίζει να καταστρέφεται και το υπόβαθρο πέφτει σε αστάθεια διαμόρφωσης (modulational instability). Αυτή, αναφέρεται στην αστάθεια του επιπέδου κύματος (υπόβαθρο του σολιτονίου) και εκδηλώνεται με την εμφάνιση ισχυρών διακυμάνσεων στην πυκνότητα του BEC, και στην τελική καταστροφή του. 97