Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο

Transcript

1 Κβαντικό Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο

2 Δομή Διάλεξης Χαμιλτονιανή και Ρεύμα Πιθανότητας για Σωμάτιο σε Ηλεκτρομαγνητικό Πεδίο Μετασχηματισμοί Βαθμίδας Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Σωμάτιο σε Μαγνητικό Πεδίο Φαινόμενο Aharonov-Bohm

3 Ηλεκτροδυναμική Εξισώσεις Maxwell: Δύναμη Lorentz: Βαθμωτό και διανυσματικό δυναμικό: +11a Μετασχηματισμοί βαθμίδας (αφήνουν αναλλοίωτα τα πεδία Ε και Β): +11a

4 Χαμιλτονιανή Χαμιλτονιανή σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο: +++11b Πυκνότητα πιθανότητας: Ρεύμα πιθανότητας: +11c +11d

5 Ρεύμα Πιθανότητας Ρεύμα πιθανότητας: +11e Ρεύμα πιθανότητας

6 Μετασχηματισμός Βαθμίδας Κυματοσυνάρτησης Αρχική Χαμιλτονιανή: Μετασχηματισμένη Χαμιλτονιανή: Απαιτούμε: Ε: Ποια είναι η σχέση μεταξύ αρχικής και μετασχηματισμένης κυματοσυνάρτησης; Απαιτούμε: Θα δείξουμε ότι για να ισχύει αυτό θα πρέπει:

7 Μετασχηματισμός Βαθμίδας Κυματοσυνάρτησης Ε: Ποια είναι η σχέση μεταξύ αρχικής και μετασχηματισμένης κυματοσυνάρτησης; Απαιτούμε: Θα δείξουμε ότι για να ισχύει αυτό θα πρέπει: Έχουμε: O τελευταίος όρος γράφεται: +11f

8 Μετασχηματισμός Βαθμίδας Κυματοσυνάρτησης Ε: Ποια είναι η σχέση μεταξύ αρχικής και μετασχηματισμένης κυματοσυνάρτησης; Απαιτούμε: Δείξαμε ότι : O τελευταίος όρος γράφεται: Άρα η εξίσωση Schrodinger μένει αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδας: +11g Με την προϋπόθεση ότι η κυματοσυνάρτηση μετασχηματίζεται ως

9 Άσκηση Δείξτε ότι το ρεύμα πιθανότητας και η πυκνότητα πιθανότητας μένουν αναλλοίωτα κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδας. Δείξτε ακόμα ότι η πιθανότητα μέτρησης μιας ιδιοτιμής Q μένει αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς βαθμίδας. Υπόδειξη: Η κυματοσυνάρτηση μετασχηματίζεται ως +11h

10 Δυναμικό: Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο στην διεύθυνση x: Ολική Χαμιλτονιανή: Μετασχηματισμένη Χαμιλτονιανή: Έστω: Ε: Ποιος είναι ο απαιτούμενος μετασχηματισμός x->y,

11 Αρμονικός Ταλαντωτής σε Ηλεκτρικό Πεδίο Μετασχηματισμένη Χαμιλτονιανή: Έστω: Ε: Ποιος είναι ο απαιτούμενος μετασχηματισμός x->y, +11i Ενεργειακό φάσμα μετασχηματισμένης Χαμιλτονιανής: Κυματοσυναρτήσεις μετασχηματισμένης Χαμιλτονιανής:

12 Διανυσματικό Δυναμικό Ομογενούς Μαγνητικού Πεδίου Ομογενές μαγνητικό πεδίο: Συμμετρική βαθμίδα: Εύκολα επαληθεύεται ότι: +11j Ασύμμετρη βαθμίδα. Έστω: Τότε:

13 Εύρεση μετασχηματισμού βαθμίδας Διανυσματικό πεδίο στις δυο βαθμίδες: +11k

14 Σωμάτιο σε μαγνητικό πεδίο Έστω ομογενές μαγνητικό πεδίο: Χαμιλτονιανή: Η Χαμιλτονιανή μετατίθεται με p x, p z. Άρα έχει κοινό σύστημα ιδιοκαταστάσεων με p x, p z. : Εξίσωση ιδιοτιμών: +11l

15 Σωμάτιο σε μαγνητικό πεδίο Η Χαμιλτονιανή μετατίθεται με p x, p y. Άρα έχει κοινό σύστημα ιδιοκαταστάσεων με p x, p y. : Εξίσωση ιδιοτιμών: ιδιοτιμές τελεστής +11m +11n

16 Σωμάτιο σε μαγνητικό πεδίο Η Χαμιλτονιανή μετατίθεται με p x, p y. Άρα έχει κοινό σύστημα ιδιοκαταστάσεων με p x, p y. : +11o +11p

17 Σωμάτιο σε μαγνητικό πεδίο Οι ενεργειακές ιδιοτιμές και οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις είναι: Επιστρέφοντας στο αρχικό σύστημα ιδιοτιμών συντεταγμένων έχουμε: Ενεργειακά επίπεδα Landau

18 Σωμάτιο γύρω από μαγνητική ροή Έστω σωμάτιο σε δακτύλιο γύρω από μαγνητική ροή: μαγνητική ροή Εύρεση διανυσματικού δυναμικού: Μαγνητική ροή: εσωτερικό δακτυλίου εσωτερικό δακτυλίου Βαθμίδα ανεξ. του φ Θ. Stokes +11q

19 Σωμάτιο γύρω από μαγνητική ροή Ιδιοκαταστάσεις - Ιδιοτιμές: ρ=r z=σταθερό Χαμιλτονιανή: Εξίσωση Schrodinger: Δοκιμαστική λύση: Κανονικοποίηση: +11r

20 Σωμάτιο γύρω από μαγνητική ροή Εξίσωση Schrodinger: Δοκιμαστική λύση: Κανονικοποίηση: N 2 R Ιδιοτιμές ενέργειας: +11s Μονοτιμία κυματοσυνάρτησης

21 Φαινόμενο Aharonov-Bohm Ιδιοτιμές ενέργειας: Μονοτιμία κυματοσυνάρτησης Ιδιοκαταστάσεις: N 2 R Κλασικά η ενέργεια δεν επηρεάζεται από την ροή αφού το σωμάτιο είναι εκτός του μαγνητικού πεδίου. Κβαντομηχανικά υπάρχει επίδραση της ροής. Αυτή η επίδραση εμφανίζεται και κατά την σκέδαση και λέγεται φαινόμενο Aharonov-Bohm.

22 Σύνοψη H Χαμιλτονιανή σωματίου σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο περιλαμβάνει μετατόπιση της ορμής κατά το διανυσματικό δυναμικό καθώς και το βαθμωτό δυναμκό. Το ρεύμα πιθανότητας συμπεριλαμβάνει επίσης το διανυσματικό δυναμικό. Κατά τον μετασχηματισμό βαθμίδας το διανυσματικό δυναμικό και το βαθμωτό δυναμικό μεταβάλλονται κατά την παράγωγο μια αυθαίρετης συνάρτησης ενώ η κυματοσυνάρτηση λαμβάνει μια φάση ανάλογη με την αυθαίρετη αυτή συνάρτηση. Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο καθώς και η εξίσωση Schrodinger μένουν αναλλοίωτα. Η εξίσωση Schrodinger για σωμάτιο σε ομογενές ηλεκτρικό με αρμονικό ταλαντωτή ή σε ομογενές μαγνητικό πεδίο μετασχηματίζεται σε εξίσωση Schrodinger για απλό αρμονικό ταλαντωτή. Σε δακτύλιο που περικλείει μαγνητική ροή, η κυματοσυνάρτηση εξαρτάται από την μαγνητική ροή ακόμα και αν το σωμάτιο περιορίζεται σε περιοχή όπου κλασσικά δεν υπάρχουν ηλεκτρομαγνητικά πεδία (φαινόμενο Aharonov-Bohm). Αυτή η συμπεριφορά εκφράζει την μη τοπικότητα της κβαντομηχανικής.