ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ιωάννα Μ. Ιερείδου Επιβλέπων: Πολυχρόνης Μωϋσιάδης Καθηγητής Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 006

2

3 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ιωάννα Μ. Ιερείδου Επιβλέπων: Πολυχρόνης Μωϋσιάδης Καθηγητής Α.Π.Θ. Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την 7 η Νοεμβρίου 006. Π. Μωϋσιάδης Καθηγητής Α.Π.Θ. Φ. Κολυβά - Μαχαίρα Επικ. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 006 Ν. Φαρμάκης Επικ. Καθηγητής Α.Π.Θ.

4 .. Ιωάννα Μ. Ιερείδου Πτυχιούχος Μαθηματικός Α.Π.Θ. Copyrght Ιωάννα Μ. Ιερείδου, 006. Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rghts reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ.

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η αναζήτηση μεθόδων για την οργάνωση και εκτέλεση πειραμάτων αποτελεί αντικείμενο μελέτης και έρευνας σε όλες τις επιστήμες. Σχεδιασμοί όπως οι ορθογώνιοι πλήρεις μπλοκ σχεδιασμοί, οι λατινικοί σχεδιασμοί, οι μη ορθογώνιοι ισορροπημένοι σχεδιασμοί, οι παραγοντικοί σχεδιασμοί αποσκοπούν στη διαμόρφωση πειραμάτων που με ανάλυση των δεδομένων που συλλέγονται από αυτά να οδηγούμαστε στην εξαγωγή όσο το δυνατόν πιο ασφαλών συμπερασμάτων για τις μεθόδους που ένας ερευνητής ενδιαφέρεται να συγκρίνει. Στην εργασία αυτή μελετώνται οι κατασκευές και η στατιστική ανάλυση ορθογώνιων πειραματικών σχεδίων. Στο πρώτο κεφάλαιο περιέχονται οι έννοιες των πειραματικών σχεδιασμών και τα βασικά βήματα που ακολουθούμε για την οργάνωση ενός πειράματος. Στο δεύτερο αναπτύσσονται οι ορισμοί των ορθογώνιων σχεδιασμών και η στατιστική ανάλυση τους. Στο τρίτο μελετάται μία ειδική κλάση πειραμάτων, τα λεγόμενα παραγοντικά πειράματα, με έμφαση στα παραγοντικά πειράματα και οι διάφορες μέθοδοι κατασκευών περιορισμών των παραγοντικών πειραμάτων. Τέλος στο τέταρτο κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με την ύπαρξη και κατασκευή ορθογώνιων σχεδιασμών, με μελέτη ειδικών περιπτώσεων όπως οι Hadamard και Ορθογώνιοι πίνακες. Οι διάφορες εφαρμογές σε πραγματικά δεδομένα και οι διάφορες μέθοδοι κατασκευών και τυχαιοποίησης ορθογώνιων σχεδιασμών που παρατίθενται στην εργασία αναλύθηκαν με τη βοήθεια των στατιστικών πακέτων S-PLUS και R. Στο παράρτημα Α περιέχονται τα προγράμματα που χρησιμοποιήθηκαν και στο παράρτημα Β διάφοροι στατιστικοί πίνακες. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Ορθογώνιοι Πειραματικοί Σχεδιασμοί, Πλήρεις Μπλοκ Σχεδιασμοί, Λατινικά Τετράγωνα, Hadamard Πίνακες, Ορθογώνιοι Πίνακες

6 ABSTRACT The search of methods for the organzaton and mplementaton of experments s the subject of study and research n all scences. Desgns as the orthogonal complete bloc desgns, latn desgns, non orthogonal balanced desgns, factoral desgns am n the confguraton of experments that wth analyss of data that s collected by them we were led to the export of as much as possble sure conclusons on the methods that a researcher nterests to compare. In ths wor are studed the constructons and the statstcal analyss of orthogonal expermental desgns. In the frst chapter are contaned the meanngs of expermental desgns and the basc steps that we follow for the organzaton of experment. In the second chapter are developed the defntons of orthogonal desgns and ther statstcal analyss. In the thrd chapter s studed a specal class of experments, the factoral experments, wth accent n factoral experments and the varous methods of constructons of restrctons of factoral experments. Fnally n the fourth chapter we wll deal wth the exstence and constructon of orthogonal desgns, wth study of specal cases as Hadamard and Orthogonal arrays. The varous applcatons n real data and the varous methods of constructons and randomzaton of orthogonal desgns that are mentoned n the wor were analyzed wth the help of statstcal pacages S-PLUS and R. In annex A are contaned the programs that were used and n annex B varous statstcal tables. KEY WORDS Orthogonal Expermental Desgns, Complete Bloc Desgns, Latn Squares, Hadamard Tables, Orthogonal Arrays

7 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία συγγράφηκε για την απόκτηση Μεταπτυχιακού ιπλώματος στα πλαίσια του Μεταπτυχιακού Προγράμματος «Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας» του Τμήματος Μαθηματικών Α.Π.Θ. Ευχαριστώ θερμά τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Πολυχρόνη Μωϋσιάδη για τις πολύτιμες συμβουλές και την καθοδήγηση που μου πρόσφερε για την συγγραφή της διπλωματικής μου εργασίας. Ευχαριστώ επίσης θερμά τον καθηγητή μου κ. Νίκο Φαρμάκη και την καθηγήτρια μου κ. Φωτεινή Κολυβά Μαχαίρα για την πολύτιμη βοήθεια που μου πρόσφεραν διαβάζοντας τη διπλωματική μου εργασία και για τις χρήσιμες παρατηρήσεις τους. Τέλος ένα μεγάλο ευχαριστώ οφείλω στους γονείς μου για την υπομονή και συμπαράσταση που μου δείξανε καθ όλη τη διάρκεια των σπουδών μου

8 - 8 -

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 5 ABSTRACT... 6 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... 9 Κεφάλαιο Σελίδα. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ. Εισαγωγή Οργάνωση Πειράματος Βασικές Στατιστικές Αρχές Πειραματικών Σχεδιασμών A, D, E - Βέλτιστοι Σχεδιασμοί Στατιστικά Συμπεράσματα Μοντέλα Ανάλυσης Διακύμανσης.... ΠΛΗΡΕΙΣ ΜΠΛΟΚ ΚΑΙ ΛΑΤΙΝΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ. Τυχαιοποιημένος Σχεδιασμός Εισαγωγή Κατασκευές Τυχαιοποιημένου Σχεδιασμού με χρήση τυχαίων ψηφίων Εναλλακτικές Μέθοδοι Τυχαίας Τοποθέτησης Τυχαίοι Γεννήτορες (Random Generators)

10 ..5 Στατιστική Ανάλυση Πλήρεις Μπλοκ Σχεδιασμοί Εισαγωγή Τυχαιοποιημένος Πλήρης Μπλοκ Σχεδιασμός Βασική Ιδέα Κατασκευές Τυχαιοποιημένου Πλήρη Μπλοκ Σχεδιασμού Τυχαίοι Γεννήτορες Στατιστική Ανάλυση Μοντέλο Ανάλυσης Διασποράς Λατινικά Τετράγωνα Εισαγωγή Κατασκευές Λατινικών Τετραγώνων Επαναλαμβανόμενα Λατινικά Τετράγωνα (Repeated Latn Squares) Αμοιβαία Ορθογώνια Λατινικά Τετράγωνα Στατιστική Ανάλυση Ελληνολατινικά Τετράγωνα Εισαγωγή Στατιστική Ανάλυση ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ 3. Εισαγωγή Παραγοντικά Πειράματα Παραγοντικό Πείραμα Παραγοντικό Πείραμα Το Γενικευμένο Παραγοντικό Πείραμα Σύγχυση και BIB Σχεδιασμοί Πλήρης και Μερική Σύγχυση (Complete & Partal Confoundng) ζ φ η - h ηθ χψ Κλασματικά Παραγοντικά Πειράματα

11 3.8. Εισαγωγή ζφ η ηθ χψ Κλασματικό Παραγοντικό Πείραμα ζ φ η ηθ χψ Κλασματικό Παραγοντικό Πείραμα... ζ φ Κατασκευή η - h ηθ χψ Κλασματικών Παραγοντικών Πειραμάτων Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Κύριων Επιδράσεων (OMEP) Placett & Burman Σχεδιασμοί για παράγοντες επιπέδων ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΩΝ ΣΧΕΔΙΑΣΜΩΝ 4. Hadamard Πίνακες Ορθογώνιοι Πίνακες Συμμετρικοί Ορθογώνιοι Πίνακες... 8 t t Κατασκευή και Μοναδικότητα OA( N = 3 ;3 ; t) Κατασκευή και Ύπαρξη t t+ = t... 3 OA( N.3 ;3 ; ) Συμμετρικοί Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Εκτιμητικής Τάξης III Μικτοί Ορθογώνιοι Πίνακες Βιβλιοθήκες με Κατασκευές Hadamard, Συμμετρικών και Μικτών Ορθογώνιων Πινάκων ΠΑΡΑΡΤΗΜΑΤΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. ΚΩΔΙΚΕΣ SPLUS ΚΑΙ R Α.. Παράδειγμα.3. Τυχαίοι Γεννήτορες Τυχαιοποιημένος Σχεδιασμός A.. Παράδειγμα.4. Ανάλυση Διασποράς Τυχαιοποιημένου Σχεδιασμού Α.3. Παράδειγμα.6. Τυχαίοι Γεννήτορες Πλήρης Μπλοκ Σχεδιασμός A.4. Παράδειγμα.7. Ανάλυση Διασποράς Τυχαιοποιημένου Πλήρη Μπλοκ Σχεδιασμού... 4 A.5. Παράδειγμα.9. Τυχαιοποίηση Λατινικών Τετραγώνων

12 Α.6. Παράδειγμα.0. Ανάλυση Διασποράς 5x5 Λατινικού Σχεδιασμού... 4 Α.7. Παράδειγμα 3.. Παραγοντικό Πείραμα σε έναν Τυχαιοποιημένο Πλήρη Μπλοκ Σχεδιασμό Α.8. Παράδειγμα Παραγοντικό Πείραμα σε έναν Τυχαιοποιημένο Πλήρη Μπλοκ Σχεδιασμό A.9. Παράδειγμα 3.3. Παραγοντικό Πείραμα χωρίς επανάληψη Α.0. Placett Burman Σχεδιασμοί ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ B. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Β. Κρίσιμες τιμές της κατανομής t n σε στάθμη σημαντικότητας α B. Κρίσιμες τιμές της κατανομής F mn, σε στάθμη σημαντικότητας α= ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... 5 ΙΣΤΟΣΕΛΙΔΕΣ

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΙ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΙ. Εισαγωγή Με τον όρο «Πειραματικοί Σχεδιασμοί» (expermental desgn) εννοούμε τη διαδικασία με την οποία θα πραγματοποιηθεί (δεδομένου ότι αυτό είναι εφικτό) ένα πείραμα. Πειράματα εκτελούνται σε πολλούς επιστημονικούς κλάδους όπως στη γεωργία, ιατρική, βιολογία που σκοπό έχουν να συγκρίνουν κάποιες μεθόδους ή θεραπείες ώστε να επιτευχθεί ένας αντικειμενικός στόχος. Για παράδειγμα σε ιατρικά πειράματα ο ερευνητής μπορεί να ενδιαφέρεται να συγκρίνει διάφορες θεραπείες ή φάρμακα, σε αγροτικά πειράματα ενδιαφέρεται να συγκρίνει ποικιλίες ή μεθόδους καλλιέργειας ή διάφορα λιπάσματα. Για την εκτέλεση ενός πειράματος απαιτείται ένα σύνολο πειραματικών μονάδων και ένα επαρκές πειραματικό υλικό. Σε αγροτικά πειράματα ως πειραματικές μονάδες χρησιμοποιούνται ίσων διαστάσεων αγροτεμάχια ή πλήθος κάποιων φυτών. Σε πειράματα βιομηχανικής παραγωγής, μηχανές και άλλα παρόμοια υλικά αποτελούν τις πειραματικές μονάδες. Για τη συλλογή δεδομένων από την εκτέλεση ενός πειράματος ορίζεται μία εξαρτημένη μεταβλητή η οποία εκφράζει το αποτέλεσμα του πειράματος για κάποια πειραματική μονάδα. Οι θεραπείες που συμμετέχουν στο πείραμα αποτελούν τα επίπεδα μίας ανεξάρτητης μεταβλητής (παράγοντας) και τοποθετούνται τυχαία στις -3-

14 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί πειραματικές μονάδες ώστε να ελεγχθεί κατά πόσον επηρεάζουν την εξαρτημένη μεταβλητή. Αν οι θεραπείες αποτελούν συνδυασμούς επιπέδων δύο ή περισσοτέρων παραγόντων το πείραμα καλείται παραγοντικό. Δεδομένου ενός συνόλου θεραπειών οι οποίες μπορούν να δώσουν πληροφορίες σχετικά με τον αντικειμενικό στόχο του πειράματος, ένας πειραματικός σχεδιασμός ορίζει τις διαστάσεις και το πλήθος των πειραματικών μονάδων, τον τρόπο με τον οποίο οι διαφορετικές θεραπείες θα εφαρμοστούν στις πειραματικές μονάδες, και επιπλέον την κατάλληλη ταξινόμηση των πειραματικών μονάδων σε ομάδες αν αυτό είναι απαραίτητο.. Οργάνωση Πειράματος Για το σχεδιασμό ενός πειράματος θα πρέπει να ληφθούν δύο σημαντικές αποφάσεις. Πρώτον ο σκοπός για τον οποίο εκτελείται το πείραμα και σε ποια ερωτήματα θα βοηθήσει να απαντηθούν και δεύτερον θα πρέπει να αποφασιστεί ποιες μέθοδοι ή θεραπείες θα συμπεριληφθούν στο πείραμα, το πλήθος και τα χαρακτηριστικά των πειραματικών μονάδων και τέλος να αποφασιστεί ποιος σχεδιασμός απαιτείται, δηλαδή με ποια διαδικασία θα εκτελεστεί το πείραμα για τη συλλογή δεδομένων. Οι πειραματιστές και στατιστικοί θα πρέπει να έχουν μία πολύ καλή γνώση των πειραματικών υλικών και μονάδων. Προτού εκτελεστεί ένα πείραμα θα πρέπει να οριστεί προσεκτικά το πρόβλημα, ο αντικειμενικός του στόχος, καθώς και η εύρεση κάποιων «ενοχλητικών» παραγόντων (nusance factors) που καθιστούν τις πειραματικές μονάδες ανομοιογενείς και πιθανόν να επηρεάζουν τις μεθόδους ή διαδικασίες ή θεραπείες (treatment) που ένας ερευνητής ενδιαφέρεται να συγκρίνει. Έστω για παράδειγμα ένα ιατρικό πείραμα που αποσκοπεί στη σύγκριση κάποιων φαρμάκων για την καταπολέμηση κάποιας ασθένειας. Οι πειραματικές μονάδες ταυτίζονται με ασθενείς που πάσχουν από τη συγκεκριμένη ασθένεια στους οποίους θα χορηγηθούν οι διαφορετικές θεραπείες. Είναι ευνόητο να παρατηρήσουμε ότι η ηλικία του ασθενή καθιστά τις πειραματικές μονάδες ανομοιογενής. Επομένως σε αυτή την περίπτωση οι ασθενείς στους οποίους θα χορηγηθούν οι θεραπείες θα πρέπει να διαχωριστούν σε ομάδες που θα έχουν σαν κοινό χαρακτηριστικό την ηλικία. Ο - 4 -

15 Πειραματικοί Σχεδιασμοί διαχωρισμός σε ομοιογενείς ομάδες αποσκοπεί στη διαμόρφωση πειραματικών μονάδων που θα είναι όσο το δυνατόν πιο ομοιογενείς. Είναι δύσκολο και χρειάζεται χρόνο και μεγάλη προσπάθεια για να οργανωθεί σωστά ένα πείραμα. Οι διάφορες μέθοδοι ή διαδικασίες θα πρέπει να εφαρμοστούν σε προσεκτικά επιλεγμένες πειραματικές μονάδες ούτως ώστε τα συμπεράσματα και αποτελέσματα που θα προκύψουν μετά την εκτέλεση του πειράματος να είναι όσο το δυνατόν πιο ακριβή και ασφαλή. Αξιοσημείωτο είναι το γεγονός ότι συχνά οι πειραματικές μονάδες διαχωρίζονται σε ομάδες (μπλοκ) που έχουν κάποια κοινά χαρακτηριστικά με σκοπό να ελεγχθεί αν επηρεάζουν σημαντικά τη μέθοδο ή διαδικασία ή θεραπεία. Σημαντική κρίνεται και η απόφαση του μεγέθους του πειράματος, αφού για τη διεξαγωγή ενός πειράματος σίγουρα απαιτείται και ένα κόστος το οποίο βέβαια θέλουμε να βελτιστοποιήσουμε με την προϋπόθεση ότι τα συμπεράσματα θα είναι όσο το δυνατόν πιο επαρκώς ακριβή. Ο τρόπος ή η διαδικασία με την οποία θα πραγματοποιηθεί ένα πείραμα εξαρτάται άμεσα από το πλήθος των θεραπειών, από το πλήθος των ομάδων και από το αν ικανοποιούνται κάποιες προϋποθέσεις για τις οποίες ενδιαφέρεται ο ερευνητής. Τέτοιες προϋποθέσεις μπορεί να είναι η εμφάνιση κάθε θεραπείας στις διάφορες ομάδες το ίδιο πλήθος φορών, ή κάθε θεραπεία να εμφανίζεται τουλάχιστον μία φορά σε κάθε ομάδα κλπ. Η διαδικασία τοποθέτησης θεραπειών στις πειραματικές μονάδες με τρόπο ώστε να δημιουργούνται ομοιογενείς ομάδες (μπλοκ) και να ικανοποιούνται κάποιες προϋποθέσεις καλείται πειραματικός μπλοκ σχεδιασμός. Εύλογο είναι το ερώτημα αν είναι πάντοτε εφικτό να πραγματοποιηθεί ένα πείραμα. Αυτό εξαρτάται, σύμφωνα με τα όσα αναφέραμε πιο πάνω, από το πλήθος των θεραπειών, των ομάδων και των προϋποθέσεων που πρέπει να ικανοποιούνται. Το γεγονός αυτό οδήγησε πολλούς επιστήμονες να διερευνήσουν και να επινοήσουν συνθήκες ύπαρξης σχεδιασμών για διαφορετικές περιπτώσεις πειραμάτων, αλλά και τεχνικές κατασκευής τους. Σε περιπτώσεις που για κάποιο συγκεκριμένο πείραμα είναι διαθέσιμοι περισσότεροι του ενός σχεδιασμοί αναπτύχθηκαν μέθοδοι επιλογής του βέλτιστου μεταξύ αυτών σύμφωνα με κάποια στατιστικά κριτήρια

16 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί.3 Βασικές Στατιστικές Αρχές Πειραματικών Σχεδιασμών Τα δεδομένα που συλλέγονται κατά τη διεξαγωγή ενός πειράματος θα πρέπει να ικανοποιούν κάποιες στατιστικές αρχές. Η συλλογή πειραματικών δεδομένων γίνεται με τον τρόπο που επιβάλλει ο κατάλληλος σχεδιασμός κάτι που εξασφαλίζει εγκυρότητα των συμπερασμάτων και μη παραβίαση βασικών στατιστικών αρχών. Οι βασικές στατιστικές αρχές που πρέπει να ικανοποιούνται για την εκτέλεση ενός πειράματος είναι:. Τυχαιότητα: Καθορίζει τον τρόπο με τον οποίο θα εφαρμοστούν οι θεραπείες στις πειραματικές μονάδες.. Επαναληπτικότητα: Πλήθος συμμετοχής της κάθε θεραπείας στο πείραμα, δηλαδή το συνολικό πλήθος πειραματικών μονάδων που δέχονται την θεραπεία. 3. Αύξηση της ακρίβειας των εκτιμητών των επιδράσεων των θεραπειών με επιλογή των κατάλληλων πειραματικών μονάδων και την κατάλληλη ομαδοποίηση αυτών. Τυχαιότητα Αφού αποφασιστεί ποιες θεραπείες και πειραματικές μονάδες θα συμπεριληφθούν στο πείραμα, οι θεραπείες ταξινομούνται τυχαία στις πειραματικές μονάδες για αποφυγή οποιασδήποτε αντικειμενικής ή υποκειμενικής μεροληψίας η οποία μπορεί να είναι σημαντική ή όχι. Η τυχαία τοποθέτηση διαβεβαιώνει την αξιοπιστία και εγκυρότητα των στατιστικών συμπερασμάτων και βοηθά στην αντικειμενική σύγκριση μεταξύ των θεραπειών. Επιπλέον εξασφαλίζει ανεξαρτησία των παρατηρήσεων οπότε μετά από κατάλληλη στατιστική ανάλυση των δεδομένων να προβούμε σε σωστά συμπεράσματα. Θα δούμε μετέπειτα ότι στηριζόμενοι στη μορφή του πειράματος και των πειραματικών μονάδων υπάρχουν ποικίλοι πειραματικοί σχεδιασμοί και για τον καθένα από αυτούς έχουν αναπτυχθεί διαφορετικές διαδικασίες τυχαίας τοποθέτησης των θεραπειών στις πειραματικές μονάδες. Επαναληπτικότητα Αν μία θεραπεία συμμετέχει στο πείραμα r φορές ή καταλαμβάνει συνολικά r πειραματικές μονάδες, λέμε ότι επαναλαμβάνεται r φορές. Η επαναληπτικότητα των θεραπειών είναι αναγκαία διότι αυξάνει την ακρίβεια των εκτιμητών των επιδράσεων των θεραπειών. Παρά το γεγονός ότι όσο πιο μεγάλο το πλήθος συμμετοχής των θεραπειών τόσο το καλύτερο, όσον αφορά την ακρίβεια των - 6 -

17 Πειραματικοί Σχεδιασμοί εκτιμητών, εντούτοις δεν μπορεί να αυξηθεί απεριόριστα αφού συγχρόνως αυξάνει και το κόστος του πειράματος. Επιπλέον λόγω της περιορισμένης διαθεσιμότητας των πειραματικών υλικών περιορίζεται ταυτόχρονα και το πλήθος συμμετοχής της κάθε θεραπείας στο πείραμα. Για συγκεκριμένα πειράματα όπως πλήρεις μπλοκ σχεδιασμούς η τιμή της επαναληπτικότητας r επιλέγεται με τρόπο ώστε οι βαθμοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στον εκτιμητή της διασποράς των σφαλμάτων να είναι τουλάχιστον δέκα. Αυτό διότι το στατιστικό F που χρησιμοποιείται για τη διεξαγωγή συμπερασμάτων είναι πολύ ευμετάβλητο (ασταθές) σε βαθμούς ελευθερίας μικρότερους του δέκα. Έτσι αν για παράδειγμα έχουμε να συγκρίνουμε τέσσερις θεραπείες A,B,C,D, οι βαθμοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στα σφάλματα όταν το πείραμα εκτελεστεί με έναν πλήρη μπλοκ σχεδιασμό είναι ( - )( b- ), όπου το πλήθος των θεραπειών και b το πλήθος των ομάδων. Επομένως αν =4 τότε για να ισχύει η σχέση 3( b - ) > 0 θα πρέπει για το πλήθος b των ομάδων να ισχύει b > Αρκεί λοιπόν να διαχωρίσουμε τις πειραματικές μονάδες σε b=5 ομάδες. Επομένως αν κάθε θεραπεία συμμετέχει στο πείραμα τουλάχιστον 5 φορές (μία φορά σε κάθε ομάδα) καταφέρνουμε να αποκλείσουμε την αστάθεια του στατιστικού F..4 Α, D, E - Βέλτιστοι Σχεδιασμοί Η επιλογή ενός σχεδιασμού για κάποιο συγκεκριμένο πείραμα στηρίζεται στις στατιστικές του δυνατότητες. Από μία δεδομένη κλάση σχεδιασμών επιλέγεται ο σχεδιασμός με τις «καλύτερες» στατιστικές δυνατότητες σύμφωνα με κάποια στατιστικά κριτήρια. Θα αναπτύξουμε παρακάτω την έννοια της βελτιστοποίησης των σχεδιασμών αναφέροντας μερικά σημαντικά κριτήρια επιλογής βέλτιστων σχεδιασμών. Ορίζουμε ως D την κλάση όλων των διαθέσιμων σχεδιασμών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή ενός συγκεκριμένου πειράματος και έστω n= Lt % % το διάνυσμα των εκτιμητών των επιδράσεων των θεραπειών για το οποίο ενδιαφερόμαστε. Ο πίνακας L διάστασης l n είναι ένας πίνακας με γνωστά στοιχεία, - 7 -

18 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί και το διάνυσμα = ( ) ορίζει τις άγνωστες επιδράσεις των θεραπειών. Έστω t t,.., t Ά n % cov( n) d % ο πίνακας διασπορών συνδιασπορών των εκτιμητών % ˆn σχεδιασμό d Ξ D. Ορισμός.. (Α-Βέλτιστος) χρησιμοποιώντας το Έστω ότι το πλήθος των γραμμών του πίνακα L είναι πεπερασμένο και έστω ότι για την τάξη του πίνακα ισχύει ran( L) mn( l, n - ). Ο σχεδιασμός d * Ξ D θα καλείται A-βέλτιστος στην κλάση D εάν tr {cov( n ) } {cov( ) } * d tr n d % %, " d Ξ D l l Ορισμός.. (D-Βέλτιστος) Έστω ran( L) = l n -. Ο σχεδιασμός d * Ξ D θα καλείται D-βέλτιστος στην κλάση D εάν det(cov( n) * ) det(cov( n) d ), " d Ξ D d % % Ορισμός.3. (Ε-Βέλτιστος) Έστω ran( L) = l n -. Ο σχεδιασμός d * Ξ D θα καλείται Ε-βέλτιστος στην κλάση D εάν η μέγιστη ιδιοτιμή του πίνακα διασπορών συνδιασπορών cov( n) d * είναι μικρότερη ή ίση από την μέγιστη ιδιοτιμή του πίνακα % cov( n) d, για κάθε σχεδιασμό d που ανήκει στην κλάση D. % Ο Abraham Ward απέδειξε ότι οι λατινικοί σχεδιασμοί που εκτιμούν ένα πλήρες ορθογώνιο σύνολο αντιθέσεων των θεραπειών είναι D-βέλτιστοι, ενώ αργότερα ο Ehrenfeld απέδειξε ότι είναι και Ε-βέλτιστοι. Ο Kefer απέδειξε ότι οι τυχαιοποιημένοι πλήρεις μπλοκ σχεδιασμοί και οι μη πλήρεις ισορροπημένοι σχεδιασμοί που εκτιμούν ένα πλήρες ορθογώνιο σύνολο αντιθέσεων είναι Α, D, E-βέλτιστοι..5 Στατιστικά Συμπεράσματα Η στατιστική συμπερασματολογία στηρίζεται σε ένα ή περισσότερα δείγματα παρατηρήσεων από μία ή περισσότερες μεταβλητές. Οι παρατηρήσεις του δείγματος θα πρέπει να προέρχονται από πληθυσμούς κάποιας κατανομής και να είναι ανεξάρτητες. Συνήθως στα περισσότερα προβλήματα οι παρατηρήσεις προέρχονται από κανονικά κατανεμημένους πληθυσμούς. Κύριος στόχος της στατιστικής συμπερασματολογίας είναι - 8 -

19 Πειραματικοί Σχεδιασμοί η εκτίμηση κάποιων παραμέτρων χρησιμοποιώντας το δείγμα και η σύγκριση των παραμέτρων χρησιμοποιώντας το δείγμα και τους εκτιμητές των παραμέτρων. Η μεθοδολογία εκτίμησης των παραμέτρων είναι γνωστή ως εκτιμητική θεωρία, και η μεθοδολογία σύγκρισης των εκτιμητών ως έλεγχος υποθέσεων. Οι δύο κύριες μέθοδοι εκτίμησης είναι αυτή της μέγιστης πιθανοφάνειας και ελαχίστων τετραγώνων, και μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι αν το δείγμα μας προέρχεται από κανονικά κατανεμημένο πληθυσμό οι εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας και ελαχίστων τετραγώνων ταυτίζονται. Για τον έλεγχο υποθέσεων, πραγματοποιούνται έλεγχοι μεταξύ των παραμέτρων οι οποίοι εξαρτώνται από τον αντικειμενικό στόχο του πειράματος. Για παράδειγμα, έστω v, v δύο ποικιλίες και n, n το πλήθος των παρατηρήσεων που αφορούν αντίστοιχα τις v, v ποικιλίες. Έστω επιπλέον ότι οι παρατηρήσεις που προέρχονται από την ποικιλία ( =, ) κατανέμονται κανονικά με μέση τιμή m και διασπορά Χρησιμοποιώντας τα δύο δείγματα παρατηρήσεων εκτιμώνται οι παράμετροι m, s. s με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και ελέγχονται υποθέσεις που αφορούν την ισότητα των δύο μέσων και των δύο διασπορών. Υποθέσεις που ορίζουν ότι η διαφορά μεταξύ δύο αριθμών που εκφράζουν την ίδια παράμετρο είναι ίση με μηδέν, είναι της γνωστής μορφής μηδενικής υπόθεσης του ελέγχου. Ορίζοντας το στατιστικό του ελέγχου, το οποίο είναι μία συνάρτηση που εξαρτάται από τις παρατηρήσεις, ανάλογα με την τιμή αυτού έχουμε απόρριψη ή αποδοχή της μηδενικής υπόθεσης. Σε σχέση με τους σχεδιασμούς και την ανάλυση πειραμάτων, δύο στατιστικά ελέγχων, το t και F τεστ, χρησιμοποιούνται για ελέγχους που αφορούν αντίστοιχα τη διαφορά μεταξύ δύο γραμμικών εκτιμητών και την ισότητα δύο εκτιμητών της διασποράς. Μερικές από τις υποθέσεις που ελέγχουν τα στατιστικά t και F αναπτύσσονται παρακάτω. Τυχαίο δείγμα μεγέθους n, αναφέρεται στην τυχαία μεταβλητή Χ που ακολουθεί την κανονική κατανομή Nms (, ) - 9 -

20 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Ελέγχεται η μηδενική υπόθεση H : m= m 0 0 δηλαδή, αν η μέση τιμή του πληθυσμού του δείγματος δε διαφέρει σημαντικά από μία σταθερή τιμή m 0. Το στατιστικό του ελέγχου δίνεται από τη σχέση όπου t n ε y - m 0 = : / s n t a /; n- ( - ) y y y = = mˆ = y =, s ˆ = s = n n- n ε οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων του μέσου και της διασποράς. Το t στατιστικό κάτω από τη μηδενική υπόθεση ακολουθεί την κατανομή Student σε n- βαθμούς ελευθερίας και επίπεδο σημαντικότητας α. Δύο τυχαία δείγματα μεγέθους n, n, αναφέρονται στις τυχαίες μεταβλητές C, C που ακολουθούν την κανονική κατανομή αντίστοιχα. N N( m, s ), ( m, s ) Ελέγχεται η μηδενική υπόθεση H : m = m 0 δηλαδή, αν οι μέσες τιμές των δύο πληθυσμών των δειγμάτων δε διαφέρουν σημαντικά. Το στατιστικό του ελέγχου δίνεται από τη σχέση t= y- y : ζ φ s + ηn n θ χψ t a /; n+ n- όπου n n ε y y mˆ m, = = = y=, ˆ = y = n n ε s ˆ n n ( y - y) + ( y - y ) = = = s = ε n + n - ε οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων. Το t στατιστικό κάτω από τη μηδενική υπόθεση ακολουθεί την κατανομή Student σε n+ n- βαθμούς ελευθερίας

21 Πειραματικοί Σχεδιασμοί Έστω δύο τυχαία δείγματα y,..., y n και y,..., y n με κατανομές N( m, s) και (, ) N m s αντίστοιχα και έστω, s s τα μέσα τετραγωνικά αθροίσματα τα οποία είναι δύο εκτιμητές της διασποράς s Ελέγχεται η υπόθεση 0: s s H = Το στατιστικό του ελέγχου δίνεται από τη σχέση F s s = : F ( n- ),( n- ); a ή F F ( n- ),( n- ); s s = : a ανάλογα για ποιο πηλίκο ισχύει F > όπου n n ( y - y) ( y - y ) = = =, s = n- n- s ε ε οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων. Το F στατιστικό ακολουθεί την F κατανομή σε ( n- ),( n- ) ή ( n- ),( n- ) βαθμούς ελευθερίας κάτω από τη μηδενική υπόθεση. Αναφέρουμε ότι δεν είναι απαραίτητο τα, s s να υπολογίζονται από δύο ανεξάρτητα δείγματα, αλλά αρκεί τα, s s να είναι ανεξάρτητα μέσα τετραγωνικά αθροίσματα..6 Μοντέλα Ανάλυσης Διακύμανσης Μετά τον προσεκτικό σχεδιασμό και την εκτέλεση του πειράματος τα δεδομένα που συλλέγονται αναλύονται. Η ανάλυση των δεδομένων στηρίζεται στη θεωρία γραμμικών μοντέλων, με σφάλματα που κατανέμονται κανονικά. Το στατιστικό μοντέλο είναι για την ακρίβεια ένας γραμμικός συνδυασμός των επιδράσεων των διαφορετικών επιπέδων των παραγόντων που μετέχουν στο πείραμα και της τυχαίας επίδρασης των σφαλμάτων. Οι επιδράσεις των επιπέδων των παραγόντων μπορεί να είναι τυχαίες (random effects) ή καθορισμένες (fxed effects). Για παράδειγμα τυχαίες επιδράσεις έχουμε όταν τα επίπεδα του παράγοντα είναι πολλά και πραγματοποιείται τυχαία επιλογή των επιπέδων που θα συμμετέχουν στο πείραμα, ενώ καθορισμένες επιδράσεις έχουμε όταν τα επίπεδα είναι καθορισμένα και δε χρειάζεται να γίνει επιλογή. - -

22 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Στα μοντέλα με καθορισμένες επιδράσεις, ο αντικειμενικός στόχος είναι η εκτίμηση των επιδράσεων, η εύρεση του μέτρου διακύμανσης που οφείλεται στις διαφορές μεταξύ των επιδράσεων των επιπέδων των παραγόντων και η εύρεση του μέτρου διακύμανσης που οφείλεται στα σφάλματα. Ένα με καθορισμένες επιδράσεις γραμμικό μοντέλο, για έστω δύο παράγοντες Α και Β περιγράφεται από τη γραμμική σχέση y = m+ a + b + ε jm j jm όπου, y jm είναι η m παρατήρηση από το επίπεδο του παράγοντα Α και το j επίπεδο του παράγοντα Β, a, b οι επιδράσεις των επιπέδων των παραγόντων Α, Β αντίστοιχα και j e jm τα σφάλματα για τα οποία υποθέτουμε ότι κατανέμονται κανονικά με μέση τιμή μηδέν και σταθερή διασπορά s. Η υπόθεση κανονικότητας των σφαλμάτων είναι αναγκαία για την εξαγωγή συμπερασμάτων με υιοθέτηση γνωστών στατιστικών μεθόδων. Με την τεχνική της ανάλυσης διασποράς τα στατιστικά συμπεράσματα προκύπτουν με εφαρμογή του F στατιστικού, για το οποίο είναι απαραίτητο να ικανοποιείται η υπόθεση κανονικότητας των σφαλμάτων. Γενικότερα έστω ότι το μοντέλο που περιγράφει τις επιδράσεις διαφορετικών παραγόντων είναι της μορφής y= f( m, a, b, c,..) + e j όπου y οι παρατηρήσεις, f( m, a, b, c,..) η γραμμική σχέση των επιδράσεων των j διαφορετικών παραγόντων, και ε η τυχαία επίδραση των σφαλμάτων. Αφού για τα σφάλματα, e= y- f( m, a, b, c,..), υποθέτουμε ότι κατανέμονται κανονικά, οι εκτιμητές j ελαχίστων τετραγώνων των επιδράσεων προκύπτουν με μερική παραγώγηση της σχέσης (.) ως προς m, a, b, c,... κλπ και θέτοντας ίσο προς μηδέν. j ε ε ε ( (,,,,..)) j (.) E= = y- f μ a b c Επιλύνοντας τις + κανονικές εξισώσεις (.), και υποθέτοντας ότι το άθροισμα των επιδράσεων για κάθε παράγοντα είναι μηδέν - -

23 Πειραματικοί Σχεδιασμοί E E E E = 0, = 0, = 0, = 0,... κλπ (.) m a b c j μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της σχέσης (.), η οποία είναι το άθροισμα τετραγώνων των σφαλμάτων, σε N- βαθμούς ελευθερίας (όπου Ν το συνολικό πλήθος των παρατηρήσεων). Διαιρώντας το άθροισμα τετραγώνων των σφαλμάτων με τους αντίστοιχους βαθμούς ελευθερίας προκύπτει το μέσο τετραγωνικό άθροισμα των σφαλμάτων, το οποίο είναι ένας αμερόληπτος εκτιμητής της διασποράς. Το επόμενο βήμα είναι η εύρεση του μέσου τετραγωνικού αθροίσματος που οφείλεται στις επιδράσεις κάθε παράγοντα και η σύγκριση αυτών με το μέσο τετραγωνικό άθροισμα που οφείλεται στα σφάλματα. Το πηλίκο των δύο ανεξάρτητων μέσων τετραγωνικών αθροισμάτων δίνει το στατιστικό του F ελέγχου. Η μηδενική υπόθεση είναι ότι τα δύο μέσα τετραγωνικά αθροίσματα είναι ίσα, κάτι το οποίο είναι δυνατό μόνο όταν οι επιδράσεις του παράγοντα είναι ίσες. Στα επόμενα κεφάλαια θα ασχοληθούμε αναλυτικότερα με την ανάλυση διασποράς και τα στατιστικά συμπεράσματα που προκύπτουν από δεδομένα που συλλέγονται με υιοθέτηση ορθογώνιων σχεδιασμών

24

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΛΗΡΕΙΣ ΜΠΛΟΚ ΚΑΙ ΛΑΤΙΝΙΚOI ΣΧΕΔΙΑΣΜOI Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με την περιγραφή, τους τρόπους κατασκευής και τη στατιστική ανάλυση των πιο ευρύτερα γνωστών ορθογώνιων σχεδιασμών, οι οποίοι είναι : Τυχαιοποιημένος Σχεδιασμός (Completely Randomzed Desgn) Τυχαιοποιημένος Πλήρης Μπλοκ Σχεδιασμός (Randomzed Complete Bloc Desgn) Λατινικά Τετράγωνα (Latn Square) Ελληνολατινικά Τετράγωνα (Graero Latn Square). Τυχαιοποιημένος Σχεδιασμός.. Εισαγωγή Η δομή ενός τυχαιοποιημένου σχεδιασμού (completely randomzed desgn) είναι τέτοια ώστε οι διάφορες μέθοδοι ή θεραπείες που ένας ερευνητής ενδιαφέρεται να συγκρίνει να κατανεμηθούν τυχαία στις πειραματικές μονάδες. Για να χρησιμοποιηθεί ο -5-

26 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί σχεδιασμός αυτός στη διεξαγωγή ενός πειράματος θα πρέπει οι πειραματικές μονάδες να είναι ομοιογενείς. Έστω θεραπείες και έστω ότι η θεραπεία ( =,,..., ) συμμετέχει στο πείραμα r φορές. Συνήθως οι θεραπείες εμφανίζονται το ίδιο συχνά, δηλαδή ισχύει r = r, " =,..,. Το γεγονός αυτό εξασφαλίζει την ύπαρξη ίδιας ακρίβειας στους εκτιμητές των επιδράσεων των θεραπειών και το πείραμα καλείται ισορροπημένο. Προφανώς το συνολικό πλήθος πειραματικών μονάδων που απαιτείται για την εκτέλεση του πειράματος είναι μονάδες. ε = r = n. Οι θεραπείες τοποθετούνται τυχαία στις πειραματικές Το ακριβές πλήθος εμφανίσεων των θεραπειών εξαρτάται από τη διαθεσιμότητα των πειραματικών πόρων, τις απαιτήσεις ακρίβειας των εκτιμητών και το βαθμό ευαισθησίας των συγκρίσεων μεταξύ των θεραπειών. Αν για παράδειγμα υπάρχει περιορισμός στη διαθεσιμότητα πειραματικού υλικού κάποιων θεραπειών τότε το πλήθος εμφανίσεων των εκάστοτε θεραπειών μειώνεται. Επιπλέον σε περίπτωση που απαιτείται μεγαλύτερη ακρίβεια των εκτιμητών των επιδράσεων των θεραπειών, το αντίστοιχο πλήθος εμφανίσεων τους αυξάνεται. Αυτού του είδους ευελιξία στην επιλογή του πλήθους εμφανίσεων παρουσιάζεται μόνο στον τυχαιοποιημένο σχεδιασμό. Όταν το πλήθος των θεραπειών που συμμετέχουν στο πείραμα είναι αρκετά μεγάλο, μπορεί να μην είναι πάντοτε εφικτό να επιλεγούν ομοιογενείς πειραματικές μονάδες. Σε τέτοιες περιπτώσεις καλό είναι να αποφεύγεται η χρήση του τυχαιοποιημένου σχεδιασμού, αφού πιθανόν τυχόν συμπεράσματα που θα προκύψουν να μην είναι και τόσο αξιόπιστα... Κατασκευές Τυχαιοποιημένου Σχεδιασμού με χρήση τυχαίων ψηφίων Υπάρχουν αρκετές μέθοδοι τυχαίας τοποθέτησης των θεραπειών στις πειραματικές μονάδες. Μερικές από αυτές σχολιάζονται παρακάτω και για κατανόηση των μεθόδων δίνονται και σχετικά παραδείγματα

27 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί Η η μέθοδος χρησιμοποιεί πίνακες με τυχαίους αριθμούς. Οι θεραπείες αριθμούνται από έως. Οι ε r = n πειραματικές μονάδες αριθμούνται επίσης = κατάλληλα. Αν το πλήθος των θεραπειών είναι μονοψήφιος αριθμός τότε από τον τυχαίο πίνακα διαβάζουμε τα ψηφία ένα προς ένα. Αν είναι διψήφιος τότε διαβάζουμε τα ψηφία ανά ζεύγη. Όλοι οι αριθμοί οι οποίοι είναι μεγαλύτεροι του ή μηδέν απορρίπτονται. Έστω ότι ο ος αριθμός που επιλέγεται από τον πίνακα είναι ίσος με n. Τότε η θεραπεία στην οποία αντιστοιχεί ο αριθμός n εφαρμόζεται στην η πειραματική μονάδα. Αν ο ος αριθμός που επιλέγεται είναι το n, το οποίο μπορεί να ισούται ή όχι με το n, η θεραπεία που αντιστοιχεί στον αριθμό αυτό εφαρμόζεται στην η πειραματική μονάδα. Στην περίπτωση που η θεραπεία που αντιστοιχεί στον αριθμό επαναλήφθηκε ήδη r φορές συνεχίζεται η διαδικασία αγνοώντας την. Η διαδικασία αυτή συνεχίζεται έως ότου εξαντλήσουμε όλες τις πειραματικές μονάδες. Ένα μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι πολλές φορές ένα μεγάλο πλήθος τυχαίων αριθμών θα πρέπει να αγνοηθεί διότι είναι μεγαλύτερο του. Επιπλέον μπορεί να εξαντλήσουμε τον πίνακα με τα τυχαία ψηφία προτού πραγματοποιηθεί η τοποθέτηση όλων των θεραπειών. Για αποφυγή αυτής της δυσκολίας υιοθετήθηκε η ακόλουθη διαδικασία ( η μέθοδος). η μέθοδος: Έστω διψήφιος και P ο μεγαλύτερος διψήφιος που διαιρείται από το. Τότε όλοι οι διψήφιοι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του P ή 00 αγνοούνται. Αν ο τυχαίος διψήφιος αριθμός που επιλέγεται την j φορά είναι μικρότερος ή ίσος του, έστω αυτός n j, τότε η θεραπεία που αντιστοιχεί στον n j εφαρμόζεται στην j πειραματική μονάδα. Αν είναι μεγαλύτερος από το και μικρότερος από το P τότε διαιρείται με το και το υπόλοιπο διαίρεσης (mod ) χρησιμοποιείται ως τυχαίο ψηφίο. Όταν το υπόλοιπο διαίρεσης είναι μηδέν, ο τυχαίος διψήφιος αριθμός αντιστοιχεί στη θεραπεία. Γενικά αν το είναι αριθμός με n-ψηφία τότε το P είναι το μεγαλύτερο πολλαπλάσιο του με n-ψηφία. Η διαδικασία τοποθέτησης των θεραπειών είναι ανάλογη με αυτή που περιγράφηκε για διψήφιους αριθμούς

28 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Μία 3 η μέθοδος που πάλι εφαρμόζεται με τη βοήθεια πινάκων με τυχαίους αριθμούς είναι ανάλογη με τη η μέθοδο που περιγράψαμε. Η διαφορά οφείλεται στο γεγονός ότι αριθμούμε μόνο τις πειραματικές μονάδες από έως n και στις θεραπείες αντιστοιχούμε τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου A,B,C, κλπ. Έστω ότι ο ος αριθμός που επιλέχθηκε είναι ίσος με n. Τότε στην πειραματική μονάδα με αριθμό n εφαρμόζεται η θεραπεία A. Στις r A πειραματικές μονάδες που αντιστοιχούν στους πρώτους σε εμφάνιση τυχαίους αριθμούς εφαρμόζεται η θεραπεία A, όπου r A το πλήθος των εμφανίσεων της θεραπείας Α. Στις επόμενες r B πειραματικές μονάδες εφαρμόζεται η B θεραπεία κοκ. Μία εφαρμογή της μεθόδου αυτής είναι το παράδειγμα.. που ακολουθεί. Παράδειγμα.. Έστω οι μέθοδοι A και B και έστω είκοσι το πλήθος των πειραματικών μονάδων. Ας υποθέσουμε ότι δέκα εκ των είκοσι πειραματικών μονάδων θα λάβουν τη θεραπεία Α. Αρχικά βρίσκουμε τις πειραματικές μονάδες που θα χρησιμοποιηθούν και τις αριθμούμε από έως 0. Στη συνέχεια επιλέγουμε μία σειρά από τυχαία ψηφία από έναν πίνακα του οποίου κάθε θέση είναι ισοπίθανο να καταλαμβάνεται από κάθε ψηφίο εκ των 0 έως 9. Ένα απόσπασμα με τυχαία ψηφία μπορεί να είναι το πιο κάτω: Επειδή το πλήθος των πειραματικών μονάδων είναι διψήφιος αριθμός διαβάζουμε τα τυχαία ψηφία σε ζεύγη τα οποία στη συνέχεια ταυτίζουμε με τη συγκεκριμένη πειραματική μονάδα. Παρατηρούμε όμως για παράδειγμα ότι δεν υπάρχει πειραματική μονάδα που να αντιστοιχεί στον αριθμό 78 ή 95 ή σε οποιοδήποτε αριθμό μεγαλύτερο του 0. Δε μπορούμε όμως να αγνοήσουμε τα ζεύγη ψηφίων που είναι μεγαλύτερα του 0. Αυτό που μπορούμε να κάνουμε είναι να υπολογίσουμε για κάθε ζεύγος ψηφίων που είναι μεγαλύτερο από 0, το υπόλοιπο διαίρεσης του με το 0, το οποίο αφενός θα είναι μικρότερο του 0, οπότε έτσι κατορθώνουμε να πάρουμε ακέραιους αριθμούς στο εύρος έως 0. Ο μεγαλύτερος διψήφιος αριθμός που διαιρείται από το 0 είναι το P=80. Όλοι οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι του P=80 ή 00 απορρίπτονται. Σύμφωνα με την - 8 -

29 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί παραπάνω διαδικασία μπορούμε να βρούμε ακριβώς τέσσερα ζεύγη τυχαίων ψηφίων μικρότερα του 80 που να αντιστοιχούν σε κάθε πειραματική μονάδα. Για παράδειγμα η πειραματική μονάδα με αριθμό 9 χρησιμοποιείται όταν συναντήσουμε τα ψηφία 9, 39, 59, 79 ενώ η πειραματική μονάδα με αριθμό 0 όταν συναντήσουμε τα ψηφία 0, 40, 60, 80. Ο πρώτος διψήφιος αριθμός που προκύπτει είναι το 78, τον οποίο αντιστοιχούμε στην πειραματική μονάδα με αριθμό 8 αφού το υπόλοιπο διαίρεσης του με το 0 είναι 8. Προχωράμε στον αριθμό 95 τον οποίο απορρίπτουμε, αφού είναι μεγαλύτερος του 80, το 5 αντιστοιχεί στην πειραματική μονάδα 5, το 9 στην 9 κοκ. Συνεχίζουμε με αυτή την τυχαία διαδικασία έως ότου συναντήσουμε για τουλάχιστον μία φορά την κάθε πειραματική μονάδα. Τέλος στις 0 πρώτες πειραματικές μονάδες που εμφανίστηκαν εφαρμόζουμε τη θεραπεία Α και στις υπόλοιπες τη θεραπεία Β. Σχηματικά για το παράδειγμα έχουμε για τους διψήφιους που δεν διαγράφονται την πρώτη σειρά του παρακάτω πίνακα. Στη δεύτερη σειρά είναι οι ισοδύναμοι μετά τη διαίρεση και στην τρίτη η θεραπεία που αντιστοιχεί. Εάν η πειραματική μονάδα εμφανίστηκε μία φορά οι άλλες εμφανίσεις αγνοούνται. Επειδή έχουμε μόνο δύο θεραπείες αφού βρούμε τις 0 πειραματικές που θα πάρουν τη θεραπεία Α, οι υπόλοιπες θα πάρουν την Β. Αν είχαμε και τρίτη θα συνεχίζαμε αναλόγως Α Α Α Α Α Α Α Α Α Α Β Β Β... Συνεχίζοντας τη διαδικασία τοποθέτησης, τελικά η θεραπεία Α εφαρμόζεται στις πειραματικές μονάδες 4,5,6,7,9,,4,5,8,9 και η θεραπεία Β στις πειραματικές,,3,8,0,,3,6,7,0. Αν είχαμε ένα αγροτικό πείραμα με το κτήμα χωρισμένο σε τετράγωνα αγροτεμάχια και σκοπός μας είναι η σύγκριση δύο ειδών λιπάσματος, Α και Β, σύμφωνα με τη διαδικασία που περιγράψαμε πιο πάνω, η τελική μορφή του πειράματος θα έμοιαζε με το σχήμα

30 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Β Β 3 Β 4 Α 5 Α 6 Α 7 Α 8 Β 9 Α 0 Β Β Α 3 Β 4 Α 5 Α 6 Β 7 Β 8 Α 9 Α 0 Β Σχήμα.. Τυχαιοποίηση θεραπειών σε έναν τυχαιοποιημένο ισορροπημένο σχεδιασμό. Μπορεί για παράδειγμα να υπάρχουν έξι θεραπείες, Α, Β, C, D, E, F εκ των οποίων οι Α και Β να επαναληφθούν από 4 φορές, οι C και D από 6 φορές και οι E και F από 5 φορές (μη ισορροπημένος τυχαιοποιημένος σχεδιασμός). Προφανώς το πείραμα αποτελείται συνολικά από 30 πειραματικές μονάδες τις οποίες και αριθμούμε από έως 30. Για τα ζεύγη των τυχαίων ψηφίων θα πρέπει τώρα να βρούμε το υπόλοιπο διαίρεσης τους με το 30. Ο μεγαλύτερος διψήφιος που διαιρείται από το 30 είναι το P=90. Επομένως για να έχουμε ίσες πιθανότητες εκλογής θα πρέπει να απορρίπτουμε ζεύγη ψηφίων από 9 έως 99 και το ζεύγος 00. Παίρνοντας και πάλι το απόσπασμα τυχαίων ψηφίων προκύπτει ότι το 78 αντιστοιχεί στην πειραματική μονάδα 8, το 95 το παραλείπουμε διότι είναι μεγαλύτερο από 90, το 5 αντιστοιχεί στην πειραματική μονάδα 5 κοκ. Τελικά στις τέσσερις πρώτες πειραματικές μονάδες εφαρμόζεται η θεραπεία Α, στις επόμενες τέσσερις η Β, στις επόμενες έξι η C, στις επόμενες έξι η D, στις επόμενες πέντε η E και στις τελευταίες πέντε η F. Ο τυχαιοποιημένος σχεδιασμός που προκύπτει φαίνεται στο σχήμα

31 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί C F 3 D 4 E 5 F 6 A 7 D 8 F 9 C 0 D E B 3 E 4 C 5 B 6 E 7 C 8 Α 9 D 0 F B E 3 C 4 B 5 A 6 D 7 C 8 D 9 A 30 F Σχήμα.. Τυχαιοποίηση θεραπειών σε έναν τυχαιοποιημένο μη ισορροπημένο σχεδιασμό...3 Εναλλακτικές Μέθοδοι Τυχαίας Τοποθέτησης Στην περίπτωση που δεν είναι διαθέσιμος ένας τυχαίος πίνακας η τοποθέτηση των θεραπειών πραγματοποιείται μέσω μίας «κλήρωσης». Αριθμούμε τις πειραματικές μονάδες και συμβολίζουμε τις θεραπείες με τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου. Έστω ότι η θεραπεία συμμετέχει στο πείραμα r φορές. Τότε το γράμμα που αντιστοιχεί στην θεραπεία γράφεται σε r φύλλα χαρτιού. Τα τοποθετούνται σε ένα δοχείο. n= ε r φύλλα χαρτιού = Αυτά τα φύλλα επιλέγονται ένα προς ένα τυχαία. Η θεραπεία που επιλέχθηκε την j φορά εφαρμόζεται στην j ( j =,,..., R ) πειραματική μονάδα. Τυχαία τοποθέτηση των θεραπειών είναι επίσης εφικτή να γίνει μέσω της ρίψης ενός νομίσματος. Παρατίθεται το παράδειγμα. για κατανόηση της διαδικασίας. Παράδειγμα.. Έστω =5 θεραπείες με r = 4, " =,..,5. Προφανώς το πλήθος των πειραματικών μονάδων είναι 0, τις οποίες και αριθμούμε από έως 0. Με τη ρίψη ενός νομίσματος υπάρχουν δύο πιθανές εμφανίσεις, γράμματα (T) ή κεφαλή (H). Ρίχνοντας το νόμισμα δύο φορές ο δειγματοχώρος του πειράματος αποτελείται από τέσσερα πιθανά γεγονότα S={HH,HT,TH,TT}

32 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Όμοια με τρεις ρίψεις του νομίσματος υπάρχουν οκτώ πιθανά γεγονότα, οπότε S={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}. Μπορούν να γραφούν με όμοιο τρόπο τα γεγονότα για τέσσερις ή περισσότερες ρίψεις του νομίσματος (υπάρχουν p πιθανά γεγονότα, όπου p το πλήθος των ρίψεων). Η κάθε μία εκ των πέντε θεραπειών ταυτίζεται με ένα από τα οκτώ γεγονότα που συμβαίνουν με τη ρίψη ενός νομίσματος τρεις φορές. Ας είναι αυτά τα πέντε πρώτα από τα οκτώ γεγονότα S={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}. Το νόμισμα ρίχνεται τρεις φορές και καταγράφεται το αποτέλεσμα. Αν το αποτέλεσμα ταυτίζεται με ένα από τα πέντε πιθανά γεγονότα που επιλέξαμε, η θεραπεία που αντιστοιχεί σε αυτό εφαρμόζεται στην η πειραματική μονάδα. Αν το αποτέλεσμα ταυτίζεται με ένα εκ των τριών γεγονότων που δεν αντιστοιχεί σε κάποια θεραπεία, αγνοείται. Ρίχνω το νόμισμα άλλες τρεις φορές, καταγράφεται το αποτέλεσμα και επιλέγεται η θεραπεία που αντιστοιχεί σε αυτό η οποία στη συνέχεια εφαρμόζεται στην η πειραματική μονάδα. Αν το ίδιο γεγονός συμβεί περισσότερο από μία φορά δε το απορρίπτουμε έως ότου το πλήθος των φορών που συμβεί γίνει ίσο με το πλήθος των επαναλήψεων της θεραπείας που αντιπροσωπεύει. Η διαδικασία αυτή συνεχίζει έως ότου εξαντληθούν οι πειραματικές μονάδες...4 Τυχαίοι Γεννήτορες (Random Generators) Για την τυχαία τοποθέτηση των θεραπειών σε έναν τυχαιοποιημένο σχεδιασμό κατασκευάστηκε ένα πρόγραμμα στο στατιστικό πακέτο SPLUS, το οποίο δουλεύει με βάση την 3 η μέθοδο που περιγράφηκε στην παράγραφο... Ο χρήστης δίνει αυθαίρετα τις τιμές των παραμέτρων και r που είναι αντίστοιχα το πλήθος των θεραπειών και το πλήθος επαναλήψεων της θεραπείας, με μοναδικό περιορισμό το πλήθος των πειραματικών μονάδων, n= ε r, να είναι διψήφιος αριθμός. = Με την εντολή sample(0:9,000,rep=t) παράγεται ένα τυχαίο δείγμα ακέραιων αριθμών, το οποίο με μία επαναληπτική διαδικασία μετατρέπεται σε δείγμα διψήφιων αριθμών. Απορρίπτονται στη συνέχεια τα ψηφία 00 και οι διψήφιοι που είναι μεγαλύτεροι από το μεγαλύτερο διψήφιο P που διαιρείται από το πλήθος n των - 3 -

33 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί πειραματικών μονάδων. Για τους διψήφιους που είναι μεγαλύτεροι από το n υπολογίζεται το υπόλοιπο διαίρεσης τους με το n και τέλος στις πρώτες σε εμφάνιση r A πειραματικές εφαρμόζεται η θεραπεία A, στις επόμενες r B η θεραπεία B κοκ. Το πρόγραμμα εμφανίζει τελικά την τυχαία τοποθέτηση των θεραπειών στις n πειραματικές μονάδες. Μία εφαρμογή αυτής της διαδικασίας είναι το παράδειγμα.3 που ακολουθεί. Παράδειγμα.3. Έστω =4 και r = 6, " =,..,4. Τότε προφανώς το πλήθος των πειραματικών μονάδων είναι n=4. Ο μεγαλύτερος διψήφιος που διαιρείται από το n=4 είναι το P=96. Με την εντολή sample (0:9, 000, rep=t) παράχθηκε το τυχαίο δείγμα, το οποίο στη συνέχεια μετατράπηκε σε τυχαίο δείγμα διψήφιων. Αφού αγνοήσαμε τα ψηφία 00 και τους διψήφιους που είναι μεγαλύτεροι από το P=96 πήραμε την παρακάτω ακολουθία διψήφιων αριθμών Υπολογίσαμε στη συνέχεια το υπόλοιπο διαίρεσης τους με το n και τέλος με μία επαναληπτική διαδικασία πήραμε τη σειρά με την οποία εμφανίστηκαν για πρώτη φορά οι πειραματικές μονάδες, και στις οποίες εφαρμόσαμε τις αντίστοιχες θεραπείες. Η τυχαιοποίηση των θεραπειών που προέκυψε εμφανίζεται στον παρακάτω πίνακα. A A A A A A B B B B B B C C C C C C D D D D D D

34 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί..5 Στατιστική Ανάλυση Μετά τη διεξαγωγή ενός πειράματος ο στατιστικός είναι σε θέση να αναλύσει τα δεδομένα που προέκυψαν. Η ανάλυση των δεδομένων στηρίζεται στη θεωρία των γραμμικών μοντέλων υποθέτοντας βέβαια ότι τα σφάλματα κατανέμονται κανονικά. είναι Το γραμμικό μοντέλο ανάλυσης διασποράς για τον τυχαιοποιημένο σχεδιασμό y = m+ t + e =,..., j=,..., r j j όπου, y j η τιμή μίας εξαρτημένης μεταβλητής στην j-οστη παρατήρηση της θεραπείας, η -θεραπεία επαναλαμβάνεται r - φορές και n= ε r είναι το μέγεθος του πειράματος. = Οι παράμετροι m, t είναι αντίστοιχα ο γενικός μέσος και η απόκλιση του μέσου της - θεραπείας από το γενικό μέσο. Για τα σφάλματα e j υποθέτουμε ότι είναι ασυσχέτιστα και κατανέμονται κανονικά με μέση τιμή μηδέν και σταθερή διακύμανση τις επιδράσεις των θεραπειών υποθέτουμε ότι ισχύει η σχέση s. Τέλος για ε t = = 0 Για την εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου m, t, χρησιμοποιείται η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Δεν είναι δύσκολο να δείξουμε ότι κάτω από την υπόθεση της κανονικότητας των σφαλμάτων οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων συμπίπτουν με τους εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας. Πρέπει λοιπόν να ελαχιστοποιήσουμε την ποσότητα ε ( e ), j j = yj - -, j e m t (.) Παραγωγίζοντας τη σχέση (.) διαδοχικά ως προς τις παραμέτρους m, t και θέτοντας ίσο προς μηδέν προκύπτουν οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων για το γενικό μέσο m και τις αποκλίσεις t, οι οποίοι είναι αντίστοιχα:

35 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί όπου G T G mˆ =, t ˆ = - N r N G= εε y, r = j= j n= ε r, = r T = y," =,.., ε j= j Με βάση τα πιο πάνω, το συνολικό άθροισμα τετραγώνων SST (συνολική διακύμανση) είναι r r j = j= = j= εε ( j ) εε SST = y - y = y - G n και το οποίο σπάμε σε δύο επιμέρους αθροίσματα σύμφωνα με τη σχέση r r εε ( j ) εε ( ) SST = y - y + y - y = SSE + SSTr = j= = j= όπου, SSTr και SSE είναι αντίστοιχα η διακύμανση που οφείλεται στις διαφορές μεταξύ των θεραπειών και η διακύμανση των σφαλμάτων πρόβλεψης r G εε yj, = j= n SST = - = G T SSTr = ε -, SSE = SST - SSTr r n Ο πίνακας ανάλυσης διασποράς που προκύπτει για έναν τυχαιοποιημένο πειραματικό σχεδιασμό (completely randomzed desgn) εμφανίζεται στον πίνακα.. Πίνακας.. Πίνακας ανάλυσης διασποράς τυχαιοποιημένου σχεδιασμού Πηγή Αθροίσματα β.ε. Μέσα Τετράγωνα F Τετραγώνων Θεραπείες SSTr - MSTr=SSTr/(-) F=MSTr/MSE Υπόλοιπα SSE n- MSE=SSE/(n-) Σύνολο SST n- Από το θεώρημα του Cochran μπορεί να δειχθεί ότι οι ποσότητες SSTr s, SSE s είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την C κατανομή, σε - και n- βαθμούς ελευθερίας αντίστοιχα, κάτω από τη μηδενική υπόθεση H : t = t =... = t =

36 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Αφού οι μεταβλητές είναι X ισχύει [ SSTr] E = ( - ) και για τα μέσα τετραγωνικά αθροίσματα s και [ ] [ MSTr], [ MSE] E SSE = s ( n - ) E = s E = s Το πηλίκο επομένως των δύο εκτιμητών της διασποράς s, MSTr F =, ακολουθεί την MSE κατανομή F( - ),( n - ); a κάτω από τη μηδενική υπόθεση H 0: t = t =... = t = 0, δηλαδή όταν οι επιδράσεις των θεραπειών δεν είναι σημαντικές. Οπότε κάτω από τη μηδενική υπόθεση και τα δύο μέσα τετραγωνικά αθροίσματα MSTr, MSE δίνουν έναν αμερόληπτο εκτιμητή της διασποράς. Ωστόσο χρειαζόμαστε έναν εκτιμητή της διασποράς ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί και κάτω από την εναλλακτική υπόθεση H : t Ή 0, για κάποιο Αποδεικνύεται ότι το μέσο τετραγωνικό άθροισμα MSE δίνει έναν αμερόληπτο εκτιμητή της διασποράς κάτω και από τις δύο υποθέσεις, δηλαδή αν η μηδενική υπόθεση γίνει δεκτή ή απορριφθεί τότε και στις δύο περιπτώσεις ισχύει s ˆ Έλεγχοι Υποθέσεων F - test Eλέγχεται η υπόθεση H : t = t =... = t = 0 0 H : t Ή 0, για κάποιο = MSE MSTr F = : F-, n- ; a, όπου F είναι το στατιστικό του ελέγχου MSE Αν το στατιστικό F είναι σημαντικό, δηλαδή F> F -, n - ; a για κάποιο α, τότε σε στάθμη σημαντικότητας α η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Σε αντίθετη περίπτωση η μηδενική υπόθεση γίνεται δεκτή και μπορούμε τότε να πούμε ότι δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των θεραπειών

37 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί t-test Εάν διαπιστωθεί στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των επιδράσεων, δηλαδή αν απορριφθεί η υπόθεση H 0: t = t =... = t = 0, και ενδιαφέρει να διαπιστωθεί σε ποιες θεραπείες οφείλεται η διαφορά αυτή πραγματοποιείται μια σειρά από τεστ στα οποία ελέγχεται η διαφορά των μέσων δύο οποιοδήποτε θεραπειών Αν στο πείραμα υπεισέρχονται θεραπείες τότε για εύρεση των στατιστικά σημαντικών ανά δύο διαφορών των μέσων των θεραπειών πραγματοποιούνται ζφ η ηθ χψ t-test και ελέγχονται οι υποθέσεις H0 : m = ms H : m Ή m, " Ή s,, s=,,.., t= s y - y s + s r s r s : t α ; n- όπου, t είναι το στατιστικό του ελέγχου και s = MSE ο εκτιμητής της διασποράς. Αν το στατιστικό t είναι σημαντικό, δηλαδή t> tα ;n- για κάποιο α, τότε σε στάθμη σημαντικότητας α η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Ορίζουμε ως κρίσιμη διαφορά (crtcal dfference) την ποσότητα α ;n- s CD = t s r + s r Αν η απολύτως διαφορά μεταξύ των μέσων δύο θεραπειών είναι μεγαλύτερη της κρίσιμης διαφοράς, δηλαδή d = y - y > C. D, τότε υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ s των θεραπειών και s. Ένα 95 % διαστήματα εμπιστοσύνης για τη διαφορά των μέσων, m - m s, είναι το διάστημα τιμών α ; n-. s d ± t s r + s r Αν το εύρος του 95% διαστήματος είναι αρκετά μικρό, τότε το πείραμα λέμε ότι έδωσε ικανοποιητικά αποτελέσματα. Επιπλέον εάν στο διάστημα περιέχεται το μηδέν τότε η διαφορά d των μέσων δεν είναι σημαντική

38 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Bartlett s test: Ομοιογένεια διασπορών Προτού εφαρμόσουμε ανάλυση διασποράς στα δεδομένα που προκύπτουν από το πείραμα θα πρέπει να ελέγξουμε αν υπάρχει ομοιογένεια διασπορών, δηλαδή αν οι διασπορές των δεδομένων που προέρχονται από την επίδραση της κάθε θεραπείας ισούνται. Έστω {,,.., } s s s οι διασπορές των δεδομένων που προέρχονται από την εφαρμογή των θεραπειών και { -, -,.., - } οι αντίστοιχοι βαθμοί ελευθερίας. Ελέγχεται η υπόθεση r r r H 0: s =... = s H : s Ή s, ga καποια,j j / : c ;α M C - όπου s = = ε ( r - ) s N-, ( ) = M = N- ln( s ) -ε ( r - )ln( s ), ζ φ - - C= + ( r ) ( ) - - N- 3( ) ηε - θ χψ = Εάν / < ; a M C c - για κάποιο α, τότε σε επίπεδο σημαντικότητας α η μηδενική υπόθεση γίνεται δεκτή οπότε δεν υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των διασπορών. Το παραπάνω τεστ για τον έλεγχο της ομοιογένειας διασπορών καλείται Bartlett s test. Ελλείπουσες Τιμές (mssng values): Μετά την εκτέλεση του πειράματος εάν υπάρχουν κάποια δεδομένα που χάθηκαν για οποιοδήποτε λόγο, η ανάλυση των δεδομένων που προκύπτουν από τον τυχαιοποιημένο σχεδιασμό δεν υφίσταται επιπλοκές και συνεχίζουμε την ανάλυση αγνοώντας αυτά. Έλεγχος Καταλληλότητας του μοντέλου: Σύμφωνα με τα όσα έχουμε αναφέρει πιο πάνω για να περιγράφονται επαρκώς οι παρατηρήσεις μας από το γραμμικό μοντέλο y = m+ t + e =,..., j=,..., r j j θα πρέπει τα σφάλματα να είναι ασυσχέτιστα και να κατανέμονται κανονικά ε j ~ N(0, s )

39 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί Για τον έλεγχο προσαρμογής των σφαλμάτων στην κανονική κατανομή μελετάται το qqplot γράφημα. Για τον έλεγχο ανεξαρτησίας μελετάται το διάγραμμα των σφαλμάτων σε διακριτή κλίμακα. Αν παρατηρήσουμε ότι υπάρχει σχέση ανάμεσα στα κατάλοιπα τότε υπάρχει πρόβλημα συσχέτισης. Για να μην υπάρχει πρόβλημα θα πρέπει τα σφάλματα να εμφανίζονται στο διάγραμμα τυχαιοποιημένα. Τέλος για τον έλεγχο σταθερότητας της διακύμανσης των σφαλμάτων μελετάται το διάγραμμα ( se, y ) g g. Αν στο διάγραμμα οι διακυμάνσεις των σφαλμάτων από επίπεδο σε επίπεδο παραμένουν σταθερές τότε δεν υπάρχει πρόβλημα, αν όμως μεταβάλλονται το πρόβλημα λύνεται με κατάλληλο μετασχηματισμό των δεδομένων Παράδειγμα.4. Ένας ελασματουργός ενδιαφέρεται να προμηθευτεί ηλεκτρικά τρυπάνια. Αγόρασε πέντε διαφορετικά τρυπάνια ABCDE,,,, από πέντε διαφορετικούς προμηθευτές. Προκειμένου να ελέγξει αν υπάρχουν σημαντικές διαφορές μεταξύ των διαφορετικών τρυπανιών με υιοθέτηση ενός τυχαιοποιημένου σχεδιασμού πραγματοποίησε το ακόλουθο πείραμα. Σε ένα μεταλλικό έλασμα σημείωσε είκοσι σημεία (πειραματικές μονάδες) και με τυχαία επιλογή σε κάθε τέσσερα σημεία το άνοιγμα τρύπας πραγματοποιήθηκε με ένα από τα πέντε τρυπάνια μετρώντας το χρόνο που χρειάστηκε. Σχηματική απεικόνιση του πειράματος (σχήμα.3): A,B,C,D,E τα διαφορετικά τρυπάνια (θεραπείες), έως 0 τα είκοσι διαφορετικά σημεία του ελάσματος (πειραματικές μονάδες), Α(9), C(),, κλπ, 9 δευτερόλεπτα χρειάστηκαν για το άνοιγμα τρύπας στο σημείο με το τρυπάνι Α, δευτερόλεπτα στο σημείο με το τρυπάνι C, κλπ. Α(9) 5 E(9) 9 Β(6) 3 E(8) 7 D(7) C() 6 B(4) 0 D(5) 4 C(5) 8 A(6) 3 D(0) 7 E(30) A(6) 5 E(3) 9 B(7) 4 Α(0) 8 C(4) B() 6 D(8) 0 C(0) Σχήμα.3. Σχεδιασμός πειράματος

40 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Πίνακας αποτελεσμάτων y j = A:9 ι 0 6 6ω B : C : D : E : κλ ϊϋ y j : τα δευτερόλεπτα που χρειάστηκαν για το άνοιγμα τρύπας χρησιμοποιώντας το τρυπάνι στην j-οστή προσπάθεια. Στο γράφημα. παριστάνεται γραφικά το προφίλ των επιδράσεων των διαφορετικών τρυπανιών στην παρατηρούμενη μεταβλητή (απόκριση) Y j. Γραφικά φαίνεται ότι οι επιδράσεις των τρυπανιών τύπου E και Α είναι πιθανόν σημαντικές αφού οι μέσες τιμές τους είναι πολύ πιο πάνω και κάτω αντίστοιχα από το γενικό μέσο m ˆ = Γράφημα.. Προφίλ επιδράσεων των θεραπειών. Μοντέλο Ανάλυσης Διασποράς y = m+ τ + e, =,..,5, j=,..,4 j j G T G mˆ =, t ˆ = -, n r n 5 4 εε j, = j= G= y = n= ε r = 5.4 = 0, = 4 T = y," =,..,5 ε j= j Αθροίσματα Τετραγώνων: 5 4 G yj = j= n εε, SST = - = T G SSTr = ε - = 89.7, SSE SST SSTr 85.5 r n = - = =

41 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί Περιθώρια Αθροίσματα Θεραπειών T T T3 T4 T Εκτιμητές Επιδράσεων Θεραπειών t t t3 t4 t Πίνακας.. Πίνακας ανάλυσης διασποράς του πειράματος > summary(drll.aov) β.ε. Αθροίσματα Μέσα F Σημαντικότητα Τετραγώνων Τετράγωνα Στατιστικό Ελέγχου Θεραπείες Υπόλοιπα Σύνολο Το στατιστικό F=.7434 είναι σημαντικό (p<0.05), άρα σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 η μηδενική υπόθεση του ελέγχου απορρίπτεται, επομένως υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των θεραπειών (τρυπανιών). Η τιμή της κρίσιμης διαφοράς (Crtcal Dfference) είναι 5.68 CD = tα ;5 s r + s rj =.3 = Πίνακας.3. Μέσες τιμές στα διαφορετικά επίπεδα του παράγοντα θεραπεία. Περιθώριοι Μέσοι Θεραπειών μ 7.75 μ 4.75 μ.75 μ 5 μ = 9.50 Α = B = C = D = Ε Από τον πίνακα.3 παρατηρούμε ότι η διαφορά μεταξύ των τρυπανιών B, C, D δεν είναι στατιστικά σημαντική σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05, αφού οι ανά δύο διαφορές των μέσων τιμών τους είναι μικρότερες της κρίσιμης διαφοράς. Τα τρυπάνια τύπου A και E διαφέρουν σημαντικά με τα υπόλοιπα αλλά και μεταξύ τους. Η επιλογή του τρυπανιού Α προκύπτει να είναι η καλύτερη αφού απαιτεί το μικρότερο μέσο χρόνο ενώ αντίθετα δεν συνιστάται επιλογή του εργαλείου E αφού χρειάζεται το μεγαλύτερο μέσο χρόνο. Για τον οπτικό έλεγχο προσαρμογής των υπολοίπων στην κανονική κατανομή κατασκευάστηκε το QQnorm γράφημα.. Η κατανομή των υπολοίπων ταυτίζεται με την κανονική, αφού τα περισσότερα σημεία βρίσκονται πάνω στη διχοτόμο των αξόνων και μερικά απέχουν πολύ λίγο από αυτήν

42 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Γράφημα.. Γραφικός έλεγχος προσαρμογής των σφαλμάτων στην κανονική κατανομή.. Πλήρεις Μπλοκ Σχεδιασμοί.. Εισαγωγή Ορισμός.. Η τυχαία τοποθέτηση αντικειμένων (treatments) σε b ομάδες (μπλοκ) με τρόπο ώστε η j ομάδα να περιέχει ακριβώς πειραματικές μονάδες (expermental unt) και το αντικείμενο να καταλαμβάνει ακριβώς b πειραματικές μονάδες καλείται b x πλήρης μπλοκ σχεδιασμός (Complete Bloc Desgn). Ορισμός.. Για κάθε μπλοκ σχεδιασμό υπάρχει ένας πίνακας N διάστασης x b όπου το (,j) στοιχείο του πίνακα είναι το πλήθος των φορών που το αντικείμενο εμφανίζεται στο j μπλοκ. Ο πίνακας N καλείται πίνακας αντιστοίχησης (ncdence matrx) του σχεδιασμού. Θεώρημα.. Ένας bloc σχεδιασμός καλείται ορθογώνιος αν και μόνο αν ισχύει N = rάn όπου, r το πλήθος συμμετοχής της θεραπείας, b το πλήθος πειραματικών μονάδων Ά του b μπλοκ, r= ( r,..., r), = (,... ), N ο πίνακας αντιστοίχησης και n το συνολικό b Ά πλήθος των πειραματικών μονάδων. Εάν ένα τουλάχιστον στοιχείο του πίνακα αντιστοίχησης ισούται με μηδέν ο μπλοκ σχεδιασμός καλείται μη ορθογώνιος. Τέτοιοι μπλοκ σχεδιασμοί είναι οι γνωστοί BIB σχεδιασμοί (Balance Incomplete Bloc Desgns)

43 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί Για κάθε πλήρη ή μη πλήρη μπλοκ σχεδιασμό το κατάλληλο γραμμικό μοντέλο αν το εκφράσουμε με μοντέλο ανάλυσης διασποράς είναι: y = m+ a + b + ε, =,...,, j=,... b j j j όπου, y j η παρατηρούμενη τιμή της πειραματικής μονάδας που βρίσκεται στο j μπλοκ και λαμβάνει τη θεραπεία, a, b j η επίδραση της θεραπείας και του j μπλοκ αντίστοιχα, και e j το σφάλμα πρόβλεψης, για το οποίο υποθέτουμε ότι ej : N(0, s ). Το μοντέλο παλινδρόμησης είναι: y= DΆb + D Άa+ e % % % % D = ( d jm ) ένας b n (0,) πίνακας, όπου η j γραμμή του αντιστοιχεί στο j μπλοκ του σχεδιασμού, η m στήλη στην m πειραματική μονάδα και d jm = αν η m πειραματική μονάδα ανήκει στο j μπλοκ, διαφορετικά d jm = 0. D= ( d m) ένας n (0,) πίνακας, όπου η γραμμή του αντιστοιχεί στην θεραπεία, η m στήλη στην m πειραματική μονάδα και d αν η m πειραματική μονάδα λαμβάνει την θεραπεία, διαφορετικά d m = 0. m = ζb φ ζ a φ b a β =, a = επιδράσεις των μπλοκ και θεραπειών αντίστοιχα. % M % M η θb χψ θ ηa χψ b Εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων ba ˆ ˆ %, : U % U U = e eά, = 0, = 0 %% b a % % ˆ - d d b = ( B- NΆaˆ ), = dag(,,..., b ), N πίνακας αντιστοίχησης, B = Dy % % % % - d d - d Caˆ = Q, Q= T- N B, T =D y C= r - N NΆ. % % Για την εκτίμηση των επιδράσεων των θεραπειών θα πρέπει να βρούμε ένα γενικευμένο αντίστροφο για τον πίνακα C. Αυτό διότι για τον πίνακα C ισχύει CΆ= 0, δηλαδή το άθροισμα κάθε στήλης και κάθε γραμμής του είναι μηδέν, επομένως έχει τουλάχιστον μία μηδενική ιδιοτιμή. Ο γενικευμένος αντίστροφος που χρησιμοποιείται συνήθως είναι ο πίνακας W που προτάθηκε το 95 από τον Tocher για τον οποίο ισχύει - Ά W = C+ rr n

44 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Προσθέτοντας στον C τον πίνακα rrάπροκύπτει ένας μη ιδιάζων συμμετρικός n πίνακας. Οι εκτιμητές των επιδράσεων των θεραπειών και των ομάδων είναι αντίστοιχα - d Ά â=w Q, b ˆ = ( B- N WQ).. Τυχαιοποιημένος Πλήρης Μπλοκ Σχεδιασμός... Βασική Ιδέα Όταν το πλήθος των θεραπειών που συμμετέχουν στο πείραμα είναι αρκετά μεγάλο, μπορεί να μην είναι πάντοτε εφικτό να επιλεγούν ομοιογενείς πειραματικές μονάδες. Σε τέτοιες λοιπόν περιπτώσεις δεν μπορεί να εκτελεστεί το πείραμα με βάση τον τυχαιοποιημένο σχεδιασμό, λόγω του ότι οι εκτιμητές των επιδράσεων των θεραπειών δεν θα είναι ακριβείς, αφού η μεταβλητότητα ανάμεσα στις πειραματικές μονάδες που προκύπτει από την ύπαρξη ενός «ενοχλητικού» παράγοντα μπορεί να έχει αντίκτυπο στα αποτελέσματα. Όταν ο ενοχλητικός παράγοντας είναι γνωστός και μπορούμε να απομονώσουμε τη μεταβλητότητα του η τεχνική που χρησιμοποιείται για βελτίωση των εκτιμητών είναι η ομαδοποίηση των πειραματικών μονάδων. Ο σχεδιασμός που προκύπτει ομαδοποιώντας τις πειραματικές μονάδες ως προς ένα μπλοκ παράγοντα (bloc factor) που πιθανόν να επηρεάζει τις θεραπείες καλείται τυχαιοποιημένος πλήρης μπλοκ σχεδιασμός (Randomzed Complete Bloc Desgn) και αποτελεί την πιο απλή μορφή ορθογώνιων σχεδιασμών. Για να χρησιμοποιήσουμε έναν πλήρη μπλοκ σχεδιασμό για την εκτέλεση ενός πειράματος θα πρέπει το πλήθος των επιπέδων του παράγοντα θεραπεία (treatment), δηλαδή το πλήθος των θεραπειών που θα συγκριθούν, να ισούται με το πλήθος των πειραματικών μονάδων που αντιστοιχούν στο κάθε επίπεδο του μπλοκ παράγοντα. Ορίζουμε ως το πλήθος των θεραπειών, όπου κάθε θεραπεία συμμετέχει στο πείραμα το ίδιο πλήθος φορών, έστω αυτό r. Προφανώς το συνολικό πλήθος των πειραματικών μονάδων είναι r. Οι πειραματικές μονάδες διατάσσονται σε r ομάδες η κάθε μία εκ των οποίων είναι μεγέθους. Προκειμένου να ελεγχθεί η διασπορά

45 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί συνιστάται η δημιουργία ομάδων που αποτελούνται από ομοιογενείς πειραματικές μονάδες. Αυτές οι ομάδες είναι ευρέως γνωστές με την ονομασία μπλοκ. Σε αγροτικά πειράματα τέτοιες ομάδες αποτελούνται από γειτονικά αγροτεμάχια των επιθυμητών διαστάσεων ή φυτά με τα ίδια χαρακτηριστικά κλπ. Σε ιατρικά πειράματα, όπου τις πειραματικές μονάδες αποτελούν διάφορα είδη ζώων, τις ομάδες αποτελούν τα είδη ζώων που έχουν κοινά χαρακτηριστικά. Γενικά οι ομάδες αποτελούνται από τις πειραματικές μονάδες που εμφανίζουν ένα κοινό χαρακτηριστικό για το οποίο είναι γνωστό ότι πιθανόν να επηρεάζει τις θεραπείες και τη διασπορά των δεδομένων. Το πλήθος των ομάδων σε αυτό το σχεδιασμό θα πρέπει να ισούται με το πλήθος συμμετοχής των θεραπειών στο πείραμα. Οι θεραπείες τοποθετούνται τυχαία στις πειραματικές μονάδες που αντιστοιχούν στην κάθε ομάδα. Σχηματίζονται δηλαδή r x πειραματικές μονάδες και κάθε θεραπεία εμφανίζεται ακριβώς μία φορά σε κάθε ομάδα. Αναφέρουμε επιπλέον ότι μπορεί κάποιες μέθοδοι να εμφανίζονται περισσότερες φορές από κάποιες άλλες σε κάποιο μπλοκ, όπως για παράδειγμα το μπλοκ να περιέχει τις μεθόδους AAABBCDEF. O σχεδιασμός παραμένει ορθογώνιος αν η αναλογία εμφάνισης των μεθόδων σε κάθε μπλοκ να παραμένει η ίδια και καλείται πλήρης μη ισορροπημένος μπλοκ σχεδιασμός. Η δημιουργία ομοιογενών ομάδων και η τυχαία τοποθέτηση των θεραπειών στις διαφορετικές ομάδες αποτελούν τα δύο κύρια χαρακτηριστικά του τυχαιοποιημένου πλήρη μπλοκ σχεδιασμού. Ο πίνακας αντιστοίχησης του σχεδιασμού έχει όλα τα στοιχεία του ίσα με τη μονάδα Το ακριβές πλήθος συμμετοχής της κάθε θεραπείας στο πείραμα εξαρτάται από τη διαθεσιμότητα των φυσικών πόρων, από το συνολικό κόστος του πειράματος και από το ποσοστό ακρίβειας που απαιτείται για τους εκτιμητές των επιδράσεων των θεραπειών. Όταν το πλήθος των θεραπειών είναι μεγάλο, έστω μεγαλύτερο από δέκα, ο τυχαιοποιημένος πλήρης μπλοκ σχεδιασμός συνήθως δεν εφαρμόζεται διότι είναι δύσκολο να βρεθούν ομοιογενείς ομάδες πειραματικών μονάδων μεγέθους μεγαλύτερου του δέκα. Στην περίπτωση όμως που αυτό είναι εφικτό μπορεί να εφαρμοστεί. Για

46 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί παράδειγμα σε αγροτικά πειράματα θέτοντας ως πειραματικές μονάδες πολύ μικρά αγροτεμάχια μπορεί να εφαρμοστεί ο τυχαιοποιημένος πλήρης μπλοκ σχεδιασμός.... Κατασκευές Τυχαιοποιημένου Πλήρη Μπλοκ Σχεδιασμού Η κατασκευή ενός τυχαιοποιημένου πλήρη μπλοκ σχεδιασμού πραγματοποιείται με τη βοήθεια τυχαίων ψηφίων. Αρχικά χωρίζονται οι πειραματικές μονάδες σε ομάδες (μπλοκ) ώστε να αφαιρεθεί η μεταβλητότητα και οι πειραματικές μονάδες που αντιστοιχούν σε κάθε ομάδα να είναι μεταξύ τους ομοιογενείς. Αριθμούμε τις θεραπείες από έως. Οι πειραματικές μονάδες που αντιστοιχούν σε κάθε ομάδα αριθμούνται επίσης κατάλληλα από έως. Τότε η θεραπεία τοποθετείται τυχαία και ανεξάρτητα στις πειραματικές μονάδες της κάθε ομάδας. Με αυτό τον τρόπο οι ομάδες που προκύπτουν είναι ομοιογενείς και στην πιο απλή περίπτωση κάθε ομάδα περιέχει κάθε μέθοδο ακριβώς μία φορά. Η τυχαία τοποθέτηση μπορεί να πραγματοποιηθεί με την χρήση τυχαίων ψηφίων ενός τυχαίου πίνακα με τους τρόπους που περιγράφηκαν για την κατασκευή τυχαιοποιημένων σχεδιασμών. Έστω λοιπόν ότι το πλήθος των θεραπειών είναι διψήφιος αριθμός. Σε αυτή την περίπτωση διαβάζουμε τα ψηφία ανά ζεύγη. Αν ο πρώτος διψήφιος αριθμός που επιλέχθηκε από τον πίνακα είναι μικρότερος ή ίσος του, η θεραπεία που αντιστοιχεί στον αριθμό αυτό εφαρμόζεται στην πρώτη πειραματική μονάδα της ης ομάδας. Αν είναι μηδέν ή μεγαλύτερος του απορρίπτεται. Όμοια αν ο επόμενος διψήφιος που προκύπτει από τον τυχαίο πίνακα είναι μικρότερος ή ίσος του και δεν έχει εμφανιστεί προηγουμένως, η θεραπεία που αντιστοιχεί σε αυτόν εφαρμόζεται στην η πειραματική μονάδα του ου μπλοκ. Όταν όλες οι θεραπείες εφαρμοστούν ακριβώς μία φορά στις πειραματικές μονάδες της ης ομάδας ακολουθώντας την πιο πάνω διαδικασία, εφαρμόζονται οι θεραπείες με όμοιο τρόπο στην η και στις υπόλοιπες ομάδες χρησιμοποιώντας τους επόμενους τυχαίους διψήφιους. Όταν απορρίπτονται οι αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από, μπορεί να υπάρξουν πολλές απορρίψεις με αποτέλεσμα η διαδικασία τοποθέτησης να γίνεται χρονοβόρα. Μία παραλλαγή της πιο πάνω μεθόδου αναπτύχθηκε για αποφυγή της δυσκολίας αυτής. Η νέα μέθοδος χρησιμοποιεί όλους τους διψήφιους (όταν το είναι διψήφιος) τυχαίους αριθμούς του πίνακα εκτός του 00 και όλων των αριθμών που είναι μεγαλύτεροι του P,

47 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί όπου P ο μεγαλύτερος διψήφιος που διαιρείται από το. Όταν είναι μεγαλύτερος του και μικρότερος του P διαιρείται με το. Επιλέγεται η θεραπεία που αντιστοιχεί στο υπόλοιπο διαίρεσης του με το (mod). Αν ο μη μηδενικός αριθμός διαιρείται με το, δηλαδή το υπόλοιπο διαίρεσης του είναι μηδέν, επιλέγεται η θεραπεία που αντιστοιχεί στο. Δίνεται το παράδειγμα.5 για κατανόηση της μεθόδου. Παράδειγμα.5. Έστω εφτά θεραπείες Α,B,C,D,E,F,G οι οποίες θα τοποθετηθούν σε τέσσερις ομάδες. Χρειαζόμαστε τέσσερις τυχαίους συνδυασμούς των αριθμών έως 7. Για την εύρεση της τυχαίας διάταξης των θεραπειών αντιστοιχούμε τους αριθμούς έως 7 στα γράμματα A έως G. Σε αντίθεση με τον τυχαιοποιημένο σχεδιασμό δεν χρειάζεται μεγάλο πλήθος τυχαίων ψηφίων ώστε να κατασκευαστεί ο τυχαιοποιημένος πλήρης μπλοκ σχεδιασμός. Έστω τα τυχαία ψηφία: Απορρίπτουμε τα ψηφία 8,9,0 γιατί δεν υπάρχει θεραπεία που να αντιστοιχεί σε αυτά. Ο πρώτος τυχαίος συνδυασμός που προκύπτει είναι 7,5,,6,4,,3. Αφού γνωρίζουμε ήδη τους έξι πρώτους αριθμούς το τελευταίο ψηφίο θα είναι αναγκαστικά το 3 μια και είναι το μόνο ψηφίο που δεν έχει εμφανιστεί. Επομένως σύμφωνα με τον τυχαίο συνδυασμό ψηφίων, η τυχαία διάταξη των θεραπειών στο ο μπλοκ είναι G,E,B,F,D,A,C. Συνεχίζοντας με τα ψηφία που έχουν απομείνει ο ος τυχαίος συνδυασμός που προκύπτει είναι 6,,7,5,,4,3 ο οποίος είναι αντίστοιχα η τυχαία διάταξη F,B,G,E,A,D,C που αντιστοιχεί στο ο μπλοκ. Για το 3 ο μπλοκ έχουμε το συνδυασμό 5,3,4,,7,6, που είναι αντίστοιχα οι θεραπείες E,C,D,A,G,F,B. Τέλος για το 4 ο μπλοκ έχουμε το συνδυασμό 7,6,3,4,,5, που αντιστοιχεί στις θεραπείες G,F,C,D,B,E,A. Διατάσσοντας τους συνδυασμούς από αριστερά προς τα δεξιά προκύπτει ο ακόλουθος τυχαιοποιημένος πλήρης μπλοκ σχεδιασμός (σχήμα.4). Παρατηρούμε ότι κάθε θεραπεία εφαρμόζεται ακριβώς μία φορά σε κάθε bloc (=v) και επαναλαμβάνεται ακριβώς τέσσερις φορές σε όλο το πείραμα (r = b). G 8 F 5 E G E 9 B 6 C 3 F 3 B 0 G 7 D 4 C 4 F E 8 A 5 D 5 D A 9 G 6 B 6 A 3 D 0 F 7 E 7 C 4 C B 8 A Bloc I Bloc II Bloc III Bloc IV Σχήμα.4. Τυχαιοποίηση θεραπειών σε έναν πλήρη μπλοκ σχεδιασμό

48 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Η τυχαία τοποθέτηση μπορεί επιπλέον να επιτευχθεί μέσω κλήρωσης ή μέσω της ρίψης ενός νομίσματος με τους τρόπους που περιγράφηκαν στον τυχαιοποιημένο σχεδιασμό....3 Τυχαίοι Γεννήτορες Στηριζόμενοι στη μέθοδο που περιγράφηκε στην παράγραφο... κατασκευάστηκε ένα πρόγραμμα στο στατιστικό πακέτο SPLUS μέσο του οποίου τοποθετούνται τυχαία οι θεραπείες στις b ομάδες. Αρχικά δίνονται από το χρήστη το πλήθος των θεραπειών και το πλήθος b των ομάδων. Στη συνέχεια με μία επαναληπτική διαδικασία με την εντολή m[,]_sample(letters[:]) τοποθετούνται τυχαία οι θεραπείες στην ομάδα. Το παράδειγμα.6 που ακολουθεί είναι μία εφαρμογή του προγράμματος που κατασκευάστηκε. Παράδειγμα.6. Έστω ότι θέλουμε να τοποθετήσουμε τυχαία =4 θεραπείες σε b=5 ομάδες. Εκτελώντας το πρόγραμμα που εμφανίζεται στην εικόνα. για =4 και b=5, πήραμε την τυχαιοποίηση που εμφανίζεται στο σχήμα.5. Εικόνα.. Τυχαίοι γεννήτορες για την τυχαιοποίηση θεραπειών σε έναν τυχαιοποιημένο πλήρη μπλοκ σχεδιασμό. A C 3 B 4 D Bloc I 5 A 9 B 3 D 7 A 6 D 0 D 4 C 8 D 7 C C 5 A 9 B 8 B A 6 B 0 C Bloc II Bloc III Bloc IV Bloc V Σχήμα.5. Αντιστοιχία θεραπειών στις πειραματικές μονάδες

49 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί...4 Στατιστική ανάλυση - Μοντέλο Ανάλυσης Διασποράς Τα δεδομένα που προκύπτουν από έναν τυχαιοποιημένο πλήρη μπλοκ σχεδιασμό αποτελούν μία ταξινόμηση ως προς τα επίπεδα των παραγόντων θεραπεία και ομάδα. Υπάρχουν δηλαδή r κελιά, με μία παρατήρηση σε κάθε κελί όπως φαίνεται στον πίνακα.4. Τα δεδομένα είναι ορθογώνια και για το λόγο αυτό ο σχεδιασμός καλείται ορθογώνιος. Πίνακας.4. Πίνακας δεδομένων Μπλοκ Θεραπεία I II III Μπλοκ (r) y y y 3 y r y y y 3 y r 3 y3 y 3 y 33 y 3 y y y 3 y r Το γραμμικό μοντέλο ανάλυσης διασποράς δίνεται από τη γραμμική σχέση: y = m+ t + b + e =,..., j=,..., r j j j ε t = 0, b = 0 = j= r ε j όπου, y j είναι η παρατήρηση που αντιστοιχεί στην πειραματική μονάδα που λαμβάνει την θεραπεία και βρίσκεται στην j ομάδα, m, t, b οι παράμετροι του μοντέλου που είναι αντίστοιχα ο γενικός μέσος, η επίδραση της -θεραπείας και η επίδραση της j- ομάδας. Υποθέτουμε ότι τα σφάλματα e j είναι ασυσχέτιστα, κατανέμονται κανονικά, με μέση τιμή μηδέν και διασπορά σταθερή και ίση με Με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων οι εκτιμητές των παραμέτρων m, t, b είναι αντίστοιχα : j s. j όπου G= εε y, r = j= j G T G ˆ, ˆ, ˆ B j G m= t = - b j = - N r N N N = ε r, T = y," =,.., = r ε j= j B = y," j=,.., r j ε = j

50 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Η συνολική διακύμανση SST χωρίζεται σε τρία κομμάτια σύμφωνα με τη σχέση SST = SSB + SSTr + SSE Άθροισμα τετραγώνων των θεραπειών T SSTr = ε - r = G r Άθροισμα τετραγώνων των ομάδων Συνολικό άθροισμα τετραγώνων r B SSB = ε - j= j G r r, G ε yj, j= r SST = - Άθροισμα τετραγώνων των σφαλμάτων SSE = SST - SSB - SSTr Πίνακας.5. Πίνακας ανάλυσης διασποράς τυχαιοποιημένου πλήρη μπλοκ σχεδιασμού Πηγή Αθροίσματα Τετραγώνων β.ε. Μέσα Τετράγωνα F Ομάδες SSB r- MSB=SSB/(r-) Θεραπείες SSTr - MSTr=SSTr/(-) F=MSTr/MSE Υπόλοιπα SSE (r-)(-) MSE=SSE/(r-)(-) Σύνολο SST r- Έλεγχοι Υποθέσεων F-test Με το F τεστ ελέγχεται η υπόθεση αν οι επιδράσεις των θεραπειών διαφέρουν στατιστικά σημαντικά. H : t = t =... = t = 0 0 H : t Ή 0, για κάποιο F MSTr MSE όπου F είναι το στατιστικό του ελέγχου. = : F-,( r- )( - ); a Αν το στατιστικό F είναι σημαντικό, δηλαδή F> F -,( r - )( - ); a για κάποιο α, τότε σε στάθμη σημαντικότητας α η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. Σε αντίθετη περίπτωση

51 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί η μηδενική υπόθεση γίνεται δεκτή και μπορούμε τότε να πούμε ότι δεν υπάρχει στατιστικά σημαντική διαφορά μεταξύ των θεραπειών. Στην περίπτωση που ενδιαφέρει να συγκρίνουμε τις επιδράσεις των ομάδων για να διαπιστώσουμε αν οι ομάδες διαφέρουν σημαντικά, από τον πίνακα ανάλυσης διασποράς μπορεί εύκολα να ελεγχθεί η υπόθεση H : b = b =... = b = 0 0 με το στατιστικό MSB F = : F( r- ),( r- )( - ); a MSE Αν οι επιδράσεις δεν διαφέρουν σημαντικά η διαδικασία ομαδοποίησης των πειραματικών μονάδων δεν θα είναι απαραίτητη σε μελλοντικά πειράματα. Ωστόσο αποφεύγουμε να χρησιμοποιούμε τον παραπάνω έλεγχο διότι η τυχαιοποίηση εφαρμόζεται μόνο μέσα στις ομάδες και χρησιμοποιείται μόνο για τον προσεγγιστικό έλεγχο των επιδράσεων των ομάδων στην εξαρτημένη μεταβλητή. Αν θέλουμε να ελέγξουμε με ακρίβεια την επίδραση των ομάδων θα πρέπει να σχεδιάσουμε ξανά το πείραμα αλλάζοντας τη θέση ανάμεσα στις ομάδες και τις θεραπείες. t-test Για τον έλεγχο της σημαντικότητας της διαφοράς m - m m μεταξύ οποιοδήποτε δύο θεραπειών πραγματοποιείται το t τεστ. Υπολογίζεται η κρίσιμη διαφορά C.D από τη σχέση (.) r = a ;( r- )( - ), όπου CD. t s r s = MSE (.) και αν η απολύτως διαφορά d = mˆ - m ˆ είναι μεγαλύτερη της κρίσιμης διαφοράς C.D, m τότε υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των επιδράσεων των θεραπειών και m

52 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Αντιθέσεις (Contrasts) Έστω y = ε ct, ένας γραμμικός συνδυασμός των επιδράσεων των θεραπειών, = όπου για τους συντελεστές c,.., c ισχύει c ε = = 0. Ο γραμμικός συνδυασμός καλείται ορθογώνια αντίθεση (orthogonal contrast) και μία εκτίμηση αυτού δίνεται από τη σχέση (.3). y ˆ = ε ctˆ = ε cy, όπου T y = (.3) r = = Μία δεύτερη ορθογώνια αντίθεση y = ε ct είναι ορθογώνια (orthogonal) με την y αν και μόνο αν ε cc = 0. Γενικά οι ορθογώνιες αντιθέσεις y,.., y είναι = αμοιβαία ορθογώνιες (mutual orthogonal) αν είναι ανά δύο ορθογώνιες. Aν σε έναν πλήρη μπλοκ σχεδιασμό υπεισέρχονται θεραπείες οι οποίες επαναλαμβάνονται στο πείραμα r φορές (πλήθος ομάδων) μπορούμε να χωρίσουμε τη διακύμανση SSTr που οφείλεται στις θεραπείες σε - κομμάτια σύμφωνα με τη σχέση = ( y ) ( y ) ( y ) SSTr = SS + SS SS - όπου, ( y ) ( y ) ( y ) τα αθροίσματα τετραγώνων που αντιστοιχούν σε - SS, SS,.., SS - αμοιβαία ορθογώνιες αντιθέσεις τις οποίες ορίζουμε ανάλογα με τη δομή των θεραπειών και τις συγκρίσεις που απαιτούνται ώστε να επιτευχθεί ο αντικειμενικός στόχος του πειράματος. Σε κάθε αντίθεση αντιστοιχεί ένας βαθμός ελευθερίας και το άθροισμα τετραγώνων που οφείλεται σε κάθε αντίθεση υπολογίζεται από τη σχέση (.4). j j j ηε χ ηε = = SS( y ζ φ ζ φ ) = c T r c, j =,.., - θ ψ θ ψ χ, y = ε c t (.4) j j = Ο πίνακας ανάλυσης διασποράς που προκύπτει με την εφαρμογή - αμοιβαία ορθογώνιων αντιθέσεων εμφανίζεται στον πίνακα

53 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί Πίνακας.6. Πίνακας Ανάλυσης Διασποράς με αντιθέσεις Πηγή Αθροίσματα Τετραγώνων β.ε. Μέσα Τετράγωνα F Ομάδες SSB r- MSB=SSB/(r-) Αντίθεση () SS( y ) MS( y ) = SS( y ) MS( y ) Fy = MSE SS y MS( ) = SS( ) MS y Fy = MSE SS y - MS( - ) = SS( - ) MS y - Fy = - MSE Θεραπείες SSTr - MSTr=SSTr/(-) (Σύνολο) Υπόλοιπα SSE (r-)(-) MSE=SSE/(r-)(-) Σύνολο SST r- Αντίθεση () ( ) Αντίθεση (-) ( ) όπου Για κάθε αντίθεση y j, j=,.., - ελέγχεται η υπόθεση y j H F y το στατιστικό του ελέγχου. j Αν το στατιστικό j F 0 ε : y = c t = 0 j j = ε H : y = c t Ή 0 = MS j j = ( y j) MSE ~ F y y ( ) y y ( ),( r- )( - ); a F y είναι σημαντικό, δηλαδή Fy > F,( - )( - ); a για κάποιο α, η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται σε επίπεδο σημαντικότητας α. j r Έλεγχος Επάρκειας του μοντέλου: Μετά την προσαρμογή του μοντέλου, για να το κρίνουμε σαν επαρκές ώστε να μην προβούμε σε λάθος συμπεράσματα, θα πρέπει να ελεγχθούν Η υπόθεση κανονικότητας των σφαλμάτων (qqplot) Η υπόθεση ομοιογένειας των διασπορών των θεραπειών (Bartlett s Test) Η υπόθεση ομοιογένειας διασπορών των ομάδων Η υπόθεση ανεξαρτησίας, δηλαδή μη αλληλεπίδρασης ανάμεσα στις θεραπείες και τις ομάδες (nteracton plot)

54 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Έλεγχος αποδοτικότητας του τυχαιοποιημένου πλήρη μπλοκ σχεδιασμού (effcency of R.C.B.D): Έστω ο τυχαιοποιημένος πλήρης μπλοκ σχεδιασμός που αποτελείται από r ομάδες και θεραπείες. Το άθροισμα τετραγώνων των σφαλμάτων χωρίς την ομαδοποίηση των r. πειραματικών μονάδων είναι και η εκτίμηση της διασποράς SSE = ( r - ) MSB + r( - ) MSE ( ) ( r- ) MSB+ r( - ) MSE ( r- ) Ένα μέτρο αποδοτικότητας του μπλοκ σχεδιασμού έναντι του τυχαιοποιημένου σχεδιασμού δίνεται από τη σχέση (.5), η οποία δίνει το ρυθμό μεταβολής της διασποράς με ομαδοποίηση των πειραματικών μονάδων. E ( r- ) MSB+ r( - ) MSE) ( r- ) = (.5) MSE Εάν η τιμή του μέτρου αυτού είναι μεγαλύτερη της μονάδας, η ομαδοποίηση των πειραματικών μονάδων αυξάνει την ακρίβεια του στατιστικού F που ελέγχει την υπόθεση των επιδράσεων των θεραπειών και μειώνει τη διασπορά που οφείλεται στα σφάλματα. Ελλείπουσες Τιμές (Mssng Values): Σε περίπτωση που για κάποιο λόγο χαθεί μία από τις παρατηρήσεις, μπορούμε να εργαστούμε με δύο τρόπους: α) Να την εκτιμήσουμε με τρόπο ώστε να ελαχιστοποιείται το άθροισμα τετραγώνων των σφαλμάτων. Αφού εκτιμηθεί η άγνωστη παρατήρηση την προσθέτουμε στις υπόλοιπες, και η διαδικασία της ανάλυσης διασποράς γίνεται μειώνοντας τους βαθμούς ελευθερίας των σφαλμάτων κατά ένα. β) Να εφαρμόσουμε μη ισορροπημένο σχεδιασμό (unbalanced desgn), δηλαδή έναν πειραματικό σχεδιασμό όπου εξαρχής θεωρούμε ότι οι διάφορες ομάδες (μπλοκ) έχουν διαφορετικό αριθμό παρατηρήσεων. Παράδειγμα.7. Έστω ότι θέλουμε να ελέγξουμε την αντοχή τεσσάρων μηχανών A,B,C,D (θεραπείες). Για να το πετύχουμε αυτό πιέζουμε σε κάθε μηχανή μεταλλικές ράβδους (πειραματικές μονάδες) και από το μέγεθος παραμόρφωσης που υφίστανται, μετριέται η αντοχή των μηχανών. Οι ράβδοι όμως μπορεί ενδεχομένως να

55 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί διαφέρουν έστω και λίγο, π.χ λόγω θερμοκρασίας, οπότε στη μεταβλητότητα που πιθανόν να υπάρχει μεταξύ των μηχανών να προστεθεί και η μεταβλητότητα που μπορεί να υπάρχει ανάμεσα στις ράβδους, αλλοιώνοντας έτσι τα αποτελέσματα και οδηγώντας μας σε λάθος συμπεράσματα. Για αντιμετώπιση της μεταβλητότητας ανάμεσα στις πειραματικές μονάδες το πείραμα εκτελέστηκε με βάση έναν πλήρη μπλοκ σχεδιασμό, σύμφωνα με τον οποίο η κάθε μηχανή σε κάθε σειρά δοκιμών j να δοκιμάζεται με την ίδια ράβδο. Επιλέγουμε τέσσερις διαφορετικές ράβδους που αποτελούν τις ομάδες και κόβουμε τη κάθε μία από αυτές σε τέσσερα, όσες και οι μηχανές, κομμάτια που αποτελούν τις πειραματικές μονάδες που αντιστοιχούν στην κάθε ομάδα. Το πείραμα μπορεί να παρασταθεί σχηματικά από τoν πίνακα.7, όπου οι γραμμές αυτού αποτελούν τις ομάδες, δηλαδή τις τέσσερις διαφορετικές ράβδους που χρησιμοποιήθηκαν, και τα κελιά τις πειραματικές μονάδες στις οποίες θα εφαρμοστεί η κάθε θεραπεία, με τρόπο ώστε στις πειραματικές μονάδες κάθε ομάδας να εμφανίζεται ακριβώς μία φορά η κάθε θεραπεία και να εφαρμοστεί σε αυτές τυχαία. Τα κελιά της ομάδας αποτελούν τα τέσσερα κομμάτια στα οποία μοιράστηκε η ράβδος. Χρησιμοποιώντας τα τυχαία ψηφία τοποθετούμε τυχαία τις μηχανές A,B,C,D στις πειραματικές μονάδες που αντιστοιχούν σε κάθε ομάδα. Η πρώτη τετράδα ψηφίων είναι,4,,3 επομένως στο ο μπλοκ οι θεραπείες (μηχανές) θα εφαρμοστούν με τη σειρά B,A,D,C. Η η, 3 η και 4 η σειρά είναι αντίστοιχα (,,4,3) (Β,Α,D,C), (3,4,,) (C,D,A,B), (,4,3,) (A,D,C,B) Πίνακας.7. Πίνακας σχεδιασμού του πειράματος B A 3 D 4 C Bloc I 5 Β 6 Α 7 D 8 C Bloc II 9 C 0 D A B Bloc III 3 A 4 D 5 C 6 B Bloc IV Τα δεδομένα που προέκυψαν μετά την εκτέλεση του πειράματος εμφανίζονται στον πίνακα.8 και ο πίνακας ανάλυσης διασποράς στον πίνακα

56 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Πίνακας.8. Πίνακας δεδομένων του πειράματος. Θεραπεία Μπλοκ 3 4 Α Β C D Πίνακας.9. Πίνακας ανάλυσης διασποράς του πειράματος. > summary(alter.aov) β.ε. Αθροίσματα Μέσα F Σημαντικότητα Τετραγώνων Τετράγωνα Στατιστικό Ελέγχου Ομάδες Θεραπείες Υπόλοιπα Σύνολο 5.90 Η τιμή του στατιστικού F που ελέγχει τη μηδενική υπόθεση μη ύπαρξης σημαντικής διαφοράς μεταξύ των επιδράσεων των θεραπειών είναι σημαντική, αφού όπως προκύπτει από τον πίνακα ανάλυσης διασποράς για το στατιστικό του ελέγχου F = > F (p= <0.05). Συμπεραίνουμε επομένως ότι υπάρχει ισχύει 3,9;0.05 στατιστικά σημαντική διαφορά στην αντοχή ανάμεσα στις τέσσερις μηχανές (θεραπείες). Οι ράβδοι (ομάδες) φαίνεται να διαφέρουν σημαντικά μια και το μέσο τετραγωνικό άθροισμα MSB είναι μεγάλο σε σχέση με το μέσο τετραγωνικό άθροισμα MSE. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε υπολογίζοντας το μέτρο αποδοτικότητας του μπλοκ σχεδιασμού ( ) ( r- ) MSB+ r( - ) MSE ( r- ) E = = = 8.49> MSE το οποίο είναι μεγαλύτερο της μονάδας, οπότε η ομαδοποίηση μειώνει την διασπορά που οφείλεται στα σφάλματα και αυξάνει την ακρίβεια του στατιστικού F για τον έλεγχο των επιδράσεων των μηχανών. Υπολογίσαμε τη μέση αντοχή σε κάθε επίπεδο του παράγοντα μηχανή και την κρίσιμη διαφορά C.D ώστε να διαπιστώσουμε σε ποιες μηχανές οφείλεται η διαφορά. Περιθώριοι Μέσοι Θεραπειών μ μ 9.6 μ 9.45 μ = A = B = C = D a ;9 ( ) CD. = t s r= / 4 =

57 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί Οι μηχανές A,B,C δε διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους αφού οι ανά δύο διαφορές των μέσων τους είναι μικρότερες της κρίσιμης διαφοράς. Υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των μηχανών A,B,C και της μηχανής D, αφού οι αντίστοιχες διαφορές των μέσων είναι μεγαλύτερες της κρίσιμης διαφοράς. Παρατηρώντας γραφικά το προφίλ της επίδρασης των μηχανών (γράφημα.3) συμπεραίνουμε ότι η μέση αντοχή της μηχανής D είναι σημαντικά μεγαλύτερη από τη μέση αντοχή των μηχανών A,B,C, επομένως η επιλογή της μηχανής D προκύπτει να είναι η καλύτερη. Γράφημα.3. Προφίλ επιδράσεων των μηχανών. Η υπόθεση της κανονικότητας των υπολοίπων φαίνεται να ικανοποιείται μια και στο γράφημα qqnorm.4 η κατανομή των υπολοίπων ταυτίζεται με την κανονική. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και με πραγματοποίηση του ελέγχου καλής προσαρμογής Kolmogorov-Smrnov αφού η σημαντικότητα του ελέγχου είναι p=0.5>>0.05. Γράφημα.4. Γραφικός έλεγχος προσαρμογής υπολοίπων στην κανονική κατανομή

58 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Τέλος στο γράφημα.5 παρατηρούμε μία αρκετά καλή προσαρμογή του μοντέλου στα δεδομένα μας. Γράφημα.5. Προσαρμογή μοντέλου στα δεδομένα μας..3 Λατινικά Τετράγωνα.3. Εισαγωγή Έστω θεραπείες, οι οποίες συμμετέχουν στο πείραμα από φορές, ώστε το συνολικό πλήθος των πειραματικών μονάδων που απαιτείται για την εκτέλεση του πειράματος να είναι. Έστω P, Q δύο ελεγχόμενοι παράγοντες οι οποίοι πιθανόν να επηρεάζουν τη μεταβλητότητα των θεραπειών και να προκαλούν ανομοιογένεια των πειραματικών μονάδων. Οι παράγοντες P, Q αποτελούνται ο καθένας από επίπεδα. Προφανώς το συνολικό πλήθος συνδυασμών των επιπέδων τους είναι. Οι πειραματικές μονάδες επιλέγονται με τρόπο ώστε σε κάθε μία από αυτές να υπάρχει ένας διαφορετικός συνδυασμός των επιπέδων των P, Q παραγόντων. Έστω για παράδειγμα ότι στόχος ενός ερευνητή είναι η σύγκριση τεσσάρων ζωικών τροφών. Έστω επίσης ότι τις πειραματικές μονάδες αποτελούν νεογνά μοσχάρια, με τον αναπτυξιακό ρυθμό τους να μετριέται σε ένα χρονικό διάστημα. Επιδιώκεται μείωση της διασποράς ως προς το γένος και την ηλικία των μοσχαριών, δηλαδή πιστεύεται ότι οι δύο αυτοί παράγοντες γένος και ηλικία πιθανόν να επηρεάζουν τη

59 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί μεταβλητότητα του αναπτυξιακού ρυθμού για τις διάφορες τροφές που παρέχονται στις πειραματικές μονάδες. Τα νεογνά μοσχάρια θα προέρχονται από τέσσερις διαφορετικές ράτσες και από τέσσερις διαφορετικές ηλικιακές ομάδες. Το κάθε ένα από τα δεκαέξι μοσχάρια που απαιτούνται για την εκτέλεση του πειράματος, θα προέρχεται από έναν από τους δεκαέξι πιθανούς συνδυασμούς των επιπέδων των παραγόντων. Είναι προφανές αναγκαίο να υπάρχουν τέσσερα μοσχάρια της ίδιας ράτσας αλλά κάθε ένα από αυτά να ανήκει σε διαφορετική ηλικιακή ομάδα. Η ύπαρξη λοιπόν δύο ελεγχόμενων (ελεγχόμενων με την έννοια ότι μπορούμε να απομονώσουμε τη μεταβλητότητα τους) και γνωστών παραγόντων που πιθανόν να επηρεάζουν την εξαρτημένη μεταβλητή, οδήγησε στη μελέτη και κατασκευή των λατινικών τετραγώνων τα οποία αρχικά ορίστηκαν για τη μείωση του εκτιμητή της διασποράς των σφαλμάτων. Τα λατινικά τετράγωνα συνήθως καλούνται σχεδιασμοί γραμμή στήλη (row-column desgn), και οι παράγοντες P, Q καλούνται παράγοντες γραμμή και στήλη αντίστοιχα. Τα λατινικά τετράγωνα είναι ένας τετραγωνικός σχηματισμός όπου τοποθετούμε θεραπείες σε γραμμές και στήλες με τρόπο ώστε κάθε θεραπεία να εμφανίζεται ακριβώς μία φορά σε κάθε γραμμή και στήλη. Με λίγα λόγια ομαδοποιούμε τις πειραματικές μονάδες σε γραμμές και σε στήλες. Η συνθήκη αυτή προϋποθέτει ότι κάθε θεραπεία θα συμμετέχει ακριβώς φορές σε ολόκληρο το πείραμα, και προφανώς θα πρέπει το πλήθος των γραμμών (επίπεδα P) και στηλών (επίπεδα Q) να ισούται με το πλήθος των θεραπειών. Μπορούμε τώρα να δώσουμε τους επόμενους δύο ορισμούς. Ορισμός.3. Ένας τετραγωνικός σχεδιασμός που σχηματίζεται με την τοποθέτηση των πρώτων γραμμάτων του λατινικού αλφαβήτου σε γραμμές και στήλες με τρόπο ώστε σε κάθε γραμμή και κάθε στήλη να εμφανίζονται όλα τα γράμματα από ακριβώς μία φορά καλείται λατινικό τετράγωνο (Latn Square) τάξης. Αντί για τα γράμματα A,B,C,, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε φυσικούς αριθμούς, γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου κλπ. Η ταξινόμηση λοιπόν συμβόλων σε στήλες και γραμμές ούτως ώστε το κάθε σύμβολο να εμφανίζεται ακριβώς μία φορά σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη καλείται λατινικό τετράγωνο

60 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Ορισμός.4. Ένα λατινικό τετράγωνο είναι σε κανονική μορφή (standard form) εάν η πρώτη σειρά του αποτελείται από τη φυσική σειρά των λατινικών γραμμάτων ή ελληνικών γραμμάτων ή φυσικών αριθμών κλπ. Ένα λατινικό τετράγωνο μπορεί να αναχθεί στην κανονική του μορφή μέσω μίας μετάθεσης των γραμμάτων ή φυσικών αριθμών με τρόπο ώστε η η γραμμή να μετατίθεται στη φυσική σειρά των συμβόλων που χρησιμοποιούνται. Υπάρχει ένα λατινικό τετράγωνο σε κανονική μορφή για = ή 3. Ένας λατινικός τετραγωνικός σχεδιασμός είναι αποτελεσματικός εάν και οι δύο παράγοντες P,Q μπορούν να προκαλέσουν μείωση στον εκτιμητή της διασποράς. Αν ένας εκ των δύο παραγόντων δεν έχει σημαντική επίδραση στον εκτιμητή της διασποράς ο λατινικός τετραγωνικός σχεδιασμός δεν αποτελεί βελτίωση του τυχαιοποιημένου πλήρη μπλοκ σχεδιασμού. Για παράδειγμα σε βιομηχανικά πειράματα θέλουμε να συγκρίνουμε τους προμηθευτές μίας πρώτης ύλης. Σημαντικό ρόλο για την ποιότητα της πρώτης ύλης αποτελεί ο μηχανικός εξοπλισμός που διαθέτει ο κάθε προμηθευτής. Κατά δεύτερον, σημαντικός είναι και ο ρόλος των εργαζομένων. Επομένως υπάρχουν δύο παράγοντες που μπορεί να επηρεάζουν στην ποιότητα της πρώτης ύλης που προκύπτει από τον κάθε διαφορετικό προμηθευτή, ο μηχανικός εξοπλισμός και η ημέρα παραγωγής της πρώτης ύλης. Ένας σχεδιασμός που χρησιμοποιείται σε τέτοια πειράματα είναι τα λατινικά τετράγωνα, στα οποία οι στήλες αντιστοιχούν στον κάθε διαφορετικό μηχανικό εξοπλισμό και οι γραμμές στην ημέρα παραγωγής, φτάνει μόνο το πλήθος των προμηθευτών να ισούται με το πλήθος των γραμμών και στηλών..3. Κατασκευές Λατινικών Τετραγώνων Σύμφωνα με τον ορισμό ενός λατινικού τετραγωνικού σχηματισμού οι θεραπείες μπορούν να τοποθετηθούν στις πειραματικές μονάδες με αρκετούς τρόπους. Για κάθε υπάρχει ένα συγκεκριμένο πλήθος λατινικών τετραγώνων τάξης. Μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι για κάθε υπάρχει ένα τουλάχιστον λατινικό τετράγωνο. Πράγματι έστω ο κυκλικός πίνακας W με πρώτη γραμμή τα πρώτα γράμματα

61 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί ζa B C D... S Tφ T A B C S W = ( A B C... S T) = S T A B S T A B η ηθ B C D E... T Aχψ Παρατηρούμε ότι με μετατόπιση κατά μία θέση προς τα δεξιά των γραμμάτων της προηγούμενης γραμμής, εκτός της πρώτης, και τοποθέτηση του τελευταίου γράμματος στην η θέση σχηματίζεται οποιαδήποτε γραμμή αυτού του πίνακα εκτός βέβαια της πρώτης. Προφανώς ο πίνακας W είναι ένα λατινικό τετράγωνο. Χρησιμοποιώντας ως σύμβολα του φυσικούς αριθμούς 0,,,...,- για την κατασκευή ενός λατινικού τετραγώνου ισχύει το εξής : Θεώρημα.. Για κάθε ³ το τετράγωνο L ( l j ) = με στοιχεία lj = + j, όπου, jξ Ά = { 0,,..., - }, είναι λατινικό τετράγωνο. Η πρόσθεση που γίνεται εννοείται mod (υπόλοιπο διαίρεσης με το ), ώστε τα στοιχεία ( j) + ΞΆ. Τυχαιοποίηση λατινικών τετραγώνων: Είναι φανερό ότι ένα λατινικό τετράγωνο παραμένει λατινικό αν μεταθέσουμε τις γραμμές ή στήλες του. Έστω ότι για την εκτέλεση ενός πειράματος απαιτείται ένας λατινικός τετραγωνικός σχηματισμός τάξης. Τότε η επιλογή του λατινικού τετραγωνικού σχεδιασμού που θα χρησιμοποιηθεί θα πρέπει να γίνει τυχαία. Αρκεί να επιλεγεί ένα λατινικό τετράγωνο τάξης το οποίο στη συνέχεια θα μετασχηματιστεί, με τυχαία μετάθεση των γραμμών και στηλών, σε ένα λατινικό τετράγωνο τάξης. Έστω x ένας λατινικός σχηματισμός Αφήνοντας την πρώτη γραμμή όπως έχει, αριθμούνται και μεταθέτονται οι υπόλοιπες - γραμμές. Η μετάθεση των γραμμών πραγματοποιείται με την βοήθεια τυχαίων ψηφίων μικρότερων ή ίσων από ( - ) που επιλέγονται από έναν πίνακα με τυχαίους αριθμούς. Αν το πρώτο ψηφίο που επιλέγεται είναι ίσο με n, τότε η n γραμμή του αρχικού λατινικού τετραγώνου γράφεται ως η γραμμή του υπό κατασκευή νέου λατινικού τετραγώνου. Αν το ο ψηφίο που επιλέγεται είναι n Ή n τότε η n γραμμή του αρχικού τετραγώνου γράφεται ως 3 η γραμμή του νέου τετραγώνου. Η διαδικασία αυτή συνεχίζει έως ότου όλες οι γραμμές του αρχικού - 6 -

62 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί τετραγώνου έχουν τυχαία μετατεθεί ώστε να σχηματίζουν το νέο τετράγωνο. Μετά την τυχαία μετάθεση των γραμμών, οι στήλες του νέου τυχαίου ως προς τις γραμμές λατινικού τετραγώνου μεταθέτονται ακολουθώντας την ίδια διαδικασία. Για κατανόηση της μεθόδου δίνεται παρακάτω το παράδειγμα.8. Παράδειγμα.8. Έστω ένας λατινικός σχηματισμός τάξης =5 που αντιστοιχεί σε έναν 5 x 5 κυκλικό πίνακα W. ζa B C D Eφ E A B C D W = D E A B C C D E A B η ηθ B C D E Aχψ Αφήνοντας την η γραμμή του πίνακα W ως έχει, αριθμούνται από έως 4 οι υπόλοιπες γραμμές του. ζ A B C D Eφ E A B C D W = D E A B C 3 C D E A B 4η ηθ B C D E Aψχ Μία σειρά τυχαίων ψηφίων είναι Το ο μικρότερο του τέσσερα ψηφίο είναι το δύο. Επομένως η γραμμή του αρχικού λατινικού τετραγώνου που αντιστοιχεί στον αριθμό δύο αποτελεί τη η γραμμή του καινούριου τετραγώνου. Το επόμενο τυχαίο ψηφίο διαφορετικό του δύο είναι το τέσσερα. Επομένως η γραμμή του αρχικού λατινικού τετραγώνου που αντιστοιχεί στον αριθμό τέσσερα αποτελεί τη 3 η γραμμή του καινούριου τετραγώνου. Επόμενο ψηφίο το ένα και προφανώς το τελευταίο θα είναι το τρία, αφού είναι το μοναδικό που δεν - 6 -

63 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί εμφανίστηκε προηγουμένως. Το νέο τυχαίο ανασκευασμένο ως προς τις γραμμές λατινικό τετράγωνο που προκύπτει είναι το ακόλουθο ζa B C D Eφ D E A B C W = B C D E A E A B C D η ηθ C D E A Bχψ Στη συνέχεια οι στήλες του ανασκευασμένου τετραγώνου W αριθμούνται από έως 5 και μεταθέτονται τυχαία. Συνεχίζοντας με τα τυχαία ψηφία η σειρά εμφάνισης αυτών είναι,5,,4,3. Οπότε μία τυχαία μετάθεση των στηλών, όπου η η, 5 η, η, 4 η και 3 η στήλη του W αποτελούν αντίστοιχα την η, η, 3 η, 4 η και 5 η στήλη του νέου τετραγώνου, δίνει το τυχαίο ως προς τις γραμμές και στήλες λατινικό τετράγωνο W. ζb E A D Cφ E C D B A W = C A B E D A D E C B η ηθ D B C A Eψχ Σύμφωνα με τη μέθοδο που περιγράφηκε πιο πάνω για την τυχαιοποίηση ενός λατινικού τετραγώνου κατασκευάστηκε πρόγραμμα στο πακέτο S-Plus μέσω του οποίου παράγεται κυκλικός πίνακας τάξης, ο οποίος στη συνέχεια τυχαιοποιείται ως προς τις γραμμές και στήλες του δίνοντας έτσι ένα τυχαιοποιημένο ως προς τις γραμμές και στήλες λατινικό τετράγωνο τάξης. Ο χρήστης δίνει το πλήθος των θεραπειών και μέσω μίας επαναληπτικής διαδικασίας κατασκευάζεται ο κυκλικός πίνακας τάξης ο οποίος στη συνέχεια τυχαιοποιείται ως προς τις γραμμές και στήλες μέσω των εντολών sample(:,rep=f) και sample(:,rep=f), δίνοντας τελικά ένα τυχαίο λατινικό σχεδιασμό τάξης. Το πρόγραμμα εμφανίζεται στην εικόνα. και μία εφαρμογή αυτού είναι το παράδειγμα.9 που ακολουθεί

64 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Εικόνα.. Τυχαιοποίηση κυκλικού πίνακα τάξης για την κατασκευή τυχαιοποιημένου λατινικού τετραγώνου τάξης. Παράδειγμα.9. Έστω =6. Τότε ο κυκλικός πίνακας W τάξης =6 είναι της μορφής ζ A B C D E Fφ F A B C D E 3 E F A B C D W = 4 D E F A B C 5 C D E F A B η 6η ηθ B C D E F Aψχ χ Με την εντολή sample(:,rep=f) πήραμε το τυχαίο διάνυσμα (4,3,6,,5) το οποίο εννοεί ότι η 4 η, 3 η, 6 η, η και 5 η γραμμή του κυκλικού πίνακα W θα αποτελεί τη η, 3 η, 4 η, 5 η και 6 η γραμμή αντίστοιχα του υπό κατασκευή τυχαιοποιημένου ως προς τις γραμμές λατινικού τετραγώνου. Τέλος, θέτοντας ως η γραμμή στο υπό κατασκευή λατινικό τετράγωνο, την η γραμμή του κυκλικού πίνακα W, προκύπτει το τυχαιοποιημένο ως προς τις γραμμές λατινικό τετράγωνο που εμφανίζεται στον πίνακα W. ζ A B C D E Fφ D E F A B C E F A B C D W = B C D E F A F A B C D E η ηθ ηc D E F A B ψχ χ

65 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί Τέλος με την εντολή sample(:,rep=f) πήραμε το τυχαίο διάνυσμα (6,3,,5,,4) το οποίο εννοεί ότι η 6 η, 3 η, η, 5 η, η και 4 η στήλη του λατινικού τετραγώνου W, θα αποτελεί την η, η 3 η, 4 η, 5 η και 6 η αντίστοιχα στήλη του υπό κατασκευή τυχαιοποιημένου ως προς τις γραμμές και στήλες λατινικού τετραγώνου, το οποίο εμφανίζεται στον πίνακα W. ζf C B E A Dφ C F E B D A D A F C E B W = A D C F B E E B A D F C η ηθ ηb E D A C F ψχ χ.3.3 Επαναλαμβανόμενα Λατινικά Τετράγωνα (Repeated Latn Squares) Ένας λατινικός τετραγωνικός σχηματισμός συνήθως δε χρησιμοποιείται όταν το πλήθος των θεραπειών είναι οκτώ ή μεγαλύτερο, διότι σχεδιασμοί μεγαλύτερης τάξης απαιτούν αρκετές επαναλήψεις των θεραπειών και επιπλέον μπορεί να μην είναι εφικτή η εύρεση ανάλογων πειραματικών μονάδων. Αντίθετα αν το πλήθος των θεραπειών είναι πολύ μικρό τότε υπάρχουν δυσκολίες στην εκτίμηση της διασποράς. Όταν για παράδειγμα έχουμε δύο θεραπείες η επιλογή ενός x λατινικού σχεδιασμού είναι άσκοπη αφού δεν μπορεί να εκτιμηθεί η διασπορά. Επιπλέον για 3 x 3 και 4 x 4 λατινικά τετράγωνα οι βαθμοί ελευθερίας του αθροίσματος τετραγώνων των σφαλμάτων είναι δύο και έξι αντίστοιχα. Και στις δύο περιπτώσεις οι β.ε. είναι μικρότερο από δέκα και επομένως τα στατιστικά F και t δεν είναι τόσο ευαίσθητα με αποτέλεσμα να πάρουμε λανθασμένα αποτελέσματα μετά την εκτέλεση του πειράματος. Για το σχεδιασμό ενός πιο αποτελεσματικού πειράματος, όταν οι β.ε είναι μικρότερο από δέκα, το λατινικό τετράγωνο μπορεί να επαναληφθεί, δηλαδή αντί να πάρουμε ένα λατινικό τετράγωνο επιλέγουμε ένα πλήθος από αυτά, έστω p, της ίδιας τάξης. Σε κάθε λατινικό τετράγωνο εφαρμόζονται οι ίδιες θεραπείες, αλλά το κάθε ένα από αυτά έχει διαφορετικές πειραματικές μονάδες και διαφορετική τυχαιοποίηση των γραμμών και στηλών

66 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Επιπλέον σε περίπτωση που το πλήθος των γραμμών ή στηλών δεν ισούται με το πλήθος των θεραπειών αλλά είναι πολλαπλάσιο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο λατινικά τετράγωνα ίδιας τάξης για το σχεδιασμό του πειράματος. Ένα παράδειγμα τέτοιου είδους σχεδιασμού είναι το ακόλουθο. Έστω τέσσερις θεραπείες A,B,C,D και έστω ότι το πλήθος των επιπέδων του ενός παράγοντα που πιθανόν να επηρεάζει είναι ίσο με οκτώ. Τότε η τοποθέτηση των θεραπειών σε οκτώ γραμμές και τέσσερις στήλες προκύπτει από τη σύνδεση δύο 4 x 4 λατινικών τετραγώνων. ζb D A C A D C Bφ D A C B C B A D C B D A D C B A η ηθ A C B D B A D Cχψ.3.4 Αμοιβαία Ορθογώνια Λατινικά Τετράγωνα Ορισμός.5. Δύο λατινικά τετράγωνο ίδιας τάξης καλούνται αμοιβαία ορθογώνια (mutual orthogonal) αν στις θέσεις οι οποίες στο ο τετράγωνο καταλαμβάνονται από ένα συγκεκριμένο σύμβολο, στο ο τετράγωνο οι θέσεις αυτές καταλαμβάνονται από όλα τα σύμβολα. Για κατανόηση του ορισμού δίνεται το πιο κάτω παράδειγμα. Έστω τα λατινικά τετράγωνα ιc A D Bω ιc A D Bω D B C A A C B D A C B D B D A C κb D A Cϊ κd B C Aϊ λ ϋ λ ϋ Παρατηρούμε ότι στο ο τετράγωνο στις θέσεις (,), (,3), (3,), (4,4) βρίσκεται το σύμβολο C ενώ στο ο τετράγωνο στις αντίστοιχες θέσεις βρίσκονται αντίστοιχα τα σύμβολα C, B, D, A, δηλαδή όλα τα σύμβολα είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Τα λατινικά αυτά τετράγωνα είναι αμοιβαία ορθογώνια. Ορισμός.6. Μία συλλογή r λατινικών τετραγώνων L, L,..., L r θα λέγεται ορθογώνια οικογένεια μεγέθους r, αν τα L, L είναι αμοιβαία ορθογώνια για κάθε Ή j. j

67 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί Θεώρημα.3. Έστω L, L,..., L r μία ορθογώνια οικογένεια r τετραγώνων τάξης. Τότε μία αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη ορθογώνιας οικογένειας μεγέθους r που θα πρέπει να ικανοποιείται είναι r -. Ορισμός.7. Μία ορθογώνια οικογένεια τάξης και μεγέθους - θα καλείται πλήρης. Μία πλήρης οικογένεια υπάρχει για =3, 4 ή 5, ενώ δεν υπάρχει για =6 αφού δεν υπάρχουν αμοιβαία ορθογώνια λατινικά τετράγωνα τάξης =6. Επίσης δεν υπάρχουν ορθογώνια λατινικά τετράγωνα τάξης =, αφού υπάρχουν δύο λατινικά τετράγωνα τάξης = τα οποία δεν είναι ορθογώνια. Είναι εύκολο να βρεθούν ορθογώνια λατινικά τετράγωνα τάξης =5 ή τάξης =p, όπου p περιττός..3.5 Στατιστική ανάλυση Σε ένα λατινικό τετραγωνικό σχεδιασμό υπάρχουν τρεις παράγοντες, οι P, Q και οι θεραπείες. Τα δεδομένα που συλλέγονται μετά την εκτέλεση του πειράματος αναλύονται σύμφωνα με το γραμμικό μοντέλο y = m+ r + c + t + ε js j s js όπου, y js η παρατήρηση που βρίσκεται στην -γραμμή, j-στήλη και δέχεται τη θεραπεία s, m, r, c, t οι παράμετροι του μοντέλου που είναι αντίστοιχα ο γενικός μέσος, η j s επίδραση του παράγοντα γραμμή P, η επίδραση του παράγοντα στήλη Q και η επίδραση των θεραπειών και τέλος e js τα σφάλματα πρόβλεψης για τα οποία υποθέτουμε ότι κατανέμονται κανονικά με μέση τιμή μηδέν και σταθερή διασπορά s. Τονίζουμε ότι δεν πρέπει να υπάρχει επίδραση μεταξύ των γραμμών, στηλών και θεραπειών. Η εκτίμηση των παραμέτρων του μοντέλου γίνεται με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων, και αφού ταξινομήσουμε τα δεδομένα σε έναν πίνακα γραμμή στήλη με τρόπο ώστε το (, j ) κελί του να περιέχει την y j παρατήρηση, υπολογίζονται τα αθροίσματα τετραγώνων που οφείλονται στα σφάλματα, στις θεραπείες, και στους παράγοντες γραμμή και στήλη

68 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Θεωρούμε R C j = ε y το συνολικό άθροισμα των παρατηρήσεων που βρίσκονται στην γραμμή j= = j = ε y το συνολικό άθροισμα των παρατηρήσεων που βρίσκονται στην j στήλη j T s το άθροισμα των παρατηρήσεων που έλαβαν την s θεραπεία ε ε j το συνολικό άθροισμα όλων των παρατηρήσεων = j= G= R = C Τότε το συνολικό άθροισμα τετραγώνων χωρίζεται σε τέσσερα επιμέρους αθροίσματα σύμφωνα με τη σχέση όπου SST = SSTr + SSRow + SSCol + SSE G ε yj συνολικό άθροισμα τετραγώνων, j= SST = - Ts G ε άθροισμα τετραγώνων των θεραπειών s= SSTr = - SSRow = - R G ε άθροισμα τετραγώνων του παράγοντα γραμμή = C SSCol = - j G ε άθροισμα τετραγώνων του παράγοντα στήλη j= SSE = SST - SSTr - SSRow- SSCol άθροισμα τετραγώνων των σφαλμάτων Πίνακας.0. Πίνακας ανάλυσης διασποράς για δεδομένα που προέρχονται από ένα λατινικό σχεδιασμό. Πηγή Αθροίσματα Τετραγώνων β.ε. Μέσα Τετράγωνα F Γραμμές SSRow - MSRow=SSRow/(-) Στήλες SSCol - MSB=SSCol/(-) Θεραπείες SSTr - MSTr=SSTr/(-) F=MSTr/MSE Υπόλοιπα SSE (-)(-) MSE=SSE/(-)(-) Σύνολο SST

69 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί Οι βαθμοί ελευθερίας των σφαλμάτων είναι (-)(-): β.ε. Υπολοίπων Σε ένα καλά οργανωμένο πείραμα έχουμε ήδη αναφέρει ότι οι βαθμοί ελευθερίας που αντιστοιχούν στα σφάλματα θα πρέπει να είναι τουλάχιστον δέκα. Συνήθως χρησιμοποιείται ο 5 x 5 λατινικός σχεδιασμός, αφού είναι εύκολο να επιλεγούν 5 κατάλληλες πειραματικές μονάδες για την εκτέλεση του πειράματος και επιπλέον τα στατιστικά των ελέγχων F και t είναι αρκετά ευαίσθητα σε δώδεκα βαθμούς ελευθερίας. Τα 8 x 8 λατινικά τετράγωνα δεν είναι πρακτικά αν και δεν συναντώνται. Το στατιστικό F=MSTr/MSE ελέγχει αν οι επιδράσεις των θεραπειών είναι σημαντικές. Αν το στατιστικό του ελέγχου είναι σημαντικό για κάποιο α, σε (-) και (-)(-) βαθμούς ελευθερίας, τότε σε στάθμη σημαντικότητας α συμπεραίνουμε ότι οι επιδράσεις κάποιων θεραπειών είναι σημαντικές. Σε αντίθετη περίπτωση συμπεραίνουμε ότι δεν υπάρχουν σημαντικές διαφορές μεταξύ των θεραπειών. Εάν το στατιστικό F προκύψει σημαντικό ελέγχεται σε ποιες θεραπείες οφείλεται η διαφορά αυτή με πραγματοποίηση του t τεστ. Προφανώς η διαφορά μεταξύ των μέσων δύο θεραπειών είναι στατιστικά σημαντική εάν η απολύτως διαφορά των μέσων τους είναι μεγαλύτερη από την κρίσιμη διαφορά CD. = t s a ;( - )( - ) Επάρκεια του μοντέλου: Πραγματοποίηση ελέγχων των υποθέσεων κανονικότητας των σφαλμάτων, μη αλληλεπίδρασης μεταξύ των παραγόντων P, Q και των θεραπειών, και ομοιογένειας διασπορών των θεραπειών. Αντιθέσεις: Όπως και στους τυχαιοποιημένους πλήρεις μπλοκ σχεδιασμούς χρησιμοποιώντας - αμοιβαία ορθογώνιες αντιθέσεις τις οποίες επιλέγουμε ανάλογα με τις συγκρίσεις που απαιτούνται μεταξύ των θεραπειών, το άθροισμα τετραγώνων των θεραπειών χωρίζεται σε - αθροίσματα τετραγώνων, ένα για κάθε αντίθεση. Τα αθροίσματα τετραγώνων που αντιστοιχούν σε κάθε αντίθεση υπολογίζονται από τον τύπο j j j ηε χ η ε = = SS( y ζ φ ζ φ ) = c T c, j =,.., - θ ψ θ ψ χ, y = ε c t j j =

70 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Αποδοτικότητα του λατινικού σχεδιασμού: Ελέγχεται εάν ο εκτιμητής της διασποράς MSE, με ομαδοποίηση των πειραματικών μονάδων σε γραμμές και στήλες, μειώθηκε. Έστω το λατινικό τετράγωνο τάξης το οποίο αποτελεί το σχεδιασμό του πειράματος. Εάν αντί για το λατινικό σχεδιασμό εφαρμόζαμε έναν μπλοκ σχεδιασμό με τις γραμμές να αποτελούν τις ομάδες η εκτίμηση του αθροίσματος τετραγώνων των σφαλμάτων θα ήταν και η εκτίμηση της διασποράς SSE = ( - ) MSCol + ( - ) MSE ( - ) MSCol + ( - ) MSE ( - ) Η εκτίμηση της διασποράς με υιοθέτηση του λατινικού σχεδιασμού δίνεται από το μέσο τετραγωνικό άθροισμα MSE, επομένως το μέτρο αποδοτικότητας του λατινικού σχεδιασμού ως προς τις στήλες δίνεται από τη σχέση (.6), η οποία δίνει το ρυθμό μεταβολής της διασποράς με ομαδοποίηση των πειραματικών μονάδων και ως προς τις στήλες. ( ) ( - ) MSCol + ( - ) MSE ( - ) Ecol (.) = (.6) MSE Όμοια αν οι στήλες του λατινικού τετραγώνου αποτελούν τις ομάδες του πλήρη μπλοκ σχεδιασμού η μεταβλητότητα των γραμμών ενώνεται με την μεταβλητότητα των σφαλμάτων και το μέτρο αποδοτικότητας του λατινικού σχεδιασμού ως προς τις γραμμές δίνεται από τη σχέση (.7), η οποία δίνει το ρυθμό μεταβολής της διασποράς με ομαδοποίηση των πειραματικών μονάδων και ως προς τις γραμμές. ( ) ( - ) MSRow + ( - ) MSE ( - ) Erow ( ) = (.7) MSE Παράδειγμα.0. Μελετάμε τις επιδράσεις πέντε διαφορετικών ειδών φόρμουλας για προωστήρες που χρησιμοποιούνται στους πυραύλους μετρώντας την αποδοτικότητα του συστήματος πύραυλος - φόρμουλα (απόκριση). Κάθε φορά όμως, η κάθε φόρμουλα είναι φτιαγμένη από πέντε διαφορετικές παρτίδες υλικού, και οι πέντε φόρμουλες επεξεργάζονται από πέντε διαφορετικούς χειριστές οι οποίοι μπορεί να έχουν διαφορετικού επιπέδου ικανότητα και εμπειρία

71 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί Στη μεταβλητότητα που ενδεχομένως να υπάρχει μεταξύ των διαφορετικών ειδών φόρμουλας θα προστεθεί η μεταβλητότητα ανάμεσα των διαφορετικών παρτίδων υλικού και η μεταβλητότητα ανάμεσα των διαφορετικών χειριστών, οδηγώντας μας έτσι σε λάθος συμπεράσματα. Για να αντιμετωπίσουμε τη μεταβλητότητα που υπάρχει ανάμεσα στις πειραματικές μονάδες λόγω των δύο ελεγχόμενων παραγόντων (χειριστής, παρτίδα υλικού) σχεδιάζουμε το πείραμα με τρόπο ώστε κάθε φόρμουλα να παράγεται ακριβώς μία φορά σε κάθε παρτίδα υλικού και να επεξεργάζεται μία φορά μόνο από κάθε χειριστή. Ο σχεδιασμός προκύπτει με υιοθέτηση ενός 5 x 5 λατινικού τετραγώνου, όπου τις θεραπείες αποτελούν οι διαφορετικές φόρμουλες, τα επίπεδα του παράγοντα γραμμή οι διαφορετικές παρτίδες υλικού και τα επίπεδα του παράγοντα στήλη οι διαφορετικοί χειριστές. Τοποθετώντας τις πέντε θεραπείες σε πέντε γραμμές και πέντε στήλες με τρόπο ώστε κάθε θεραπεία να εμφανίζεται ακριβώς μία φορά σε κάθε γραμμή και στήλη και πραγματοποιώντας τυχαίες εναλλαγές των γραμμών και στηλών προέκυψε το αποτέλεσμα που φαίνεται στον πίνακα.. Πίνακας.. Πίνακας σχεδιασμού του πειράματος Χειριστής Υλικό I Α=4 Β=0 C=9 D=4 E=4 II B=7 C=4 D=30 E=7 A=36 III C=8 D=38 E=6 A=7 B= IV D=6 E=3 A=6 B=3 C= V E= A=30 B=0 C=9 D=3 Μοντέλο Ανάλυσης Διασποράς Y = m+ r + c + t + e js j s js y js παρατήρηση γραμμής, j στήλης και s θεραπείας μ r c j γενικός μέσος επίδραση της γραμμής ( παρτίδας υλικού), =I,II,III,IV,V επίδραση της j στήλης (j χειριστή), j=,,..,5 t s επίδραση της s θεραπείας (της s φόρμουλας), s=a,b,c,d,e - 7 -

72 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Πίνακας.. Πίνακας ανάλυσης διασποράς > summary(alter.aov) β.ε. Αθροίσματα Μέσα F Σημαντικότητα Τετραγώνων Τετράγωνα Στατιστικό Ελέγχου Γραμμές(υλικό) Στήλες (χειριστής) * Θεραπείες (φόρμουλα) * Υπόλοιπα Σύνολο Από την ανάλυση διασποράς προέκυψε ότι η επίδραση των διαφορετικών τύπων φόρμουλας είναι σημαντική αφού σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 η μηδενική υπόθεση μη ύπαρξης σημαντικής διαφοράς μεταξύ των επιδράσεων απορρίπτεται (p=0.005<0.05). Οι διάφορες παρτίδες υλικού δεν επηρεάζουν, ενώ η εμπειρία των χειριστών φαίνεται να παίζει σημαντικό ρόλο. Οι μέσοι των διαφορετικών τύπων φόρμουλας A,B,C,D,E είναι αντίστοιχα μα 8.6 Περιθώριοι Μέσοι Θεραπειών μ 0. μ.4 μ = 9.8 m 6 = Β = C = D Επειδή η κρίσιμη διαφορά σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 είναι 0.05 ;(5- )(5- ) ( ) E = CD. = t s 5 = = τότε προφανώς οι φόρμουλες A, D, E δε διαφέρουν σημαντικά μεταξύ τους, ούτε οι Β, C. H φόρμουλα τύπου A διαφέρει σημαντικά από τις B, C και η φόρμουλα τύπου B διαφέρει σημαντικά από τις D, E. Έχοντας υπόψη τις φόρμουλες που διαφέρουν σημαντικά και παρατηρώντας το γράφημα.6, τις μεγαλύτερες επιδόσεις παρουσιάζουν οι φόρμουλες D, A, E και τις χαμηλότερες οι B, C. Για να έχουμε επομένως μεγαλύτερη αποδοτικότητα του συστήματος πύραυλος φόρμουλα συνιστάται η κατασκευή φόρμουλων τύπου D, A, E

73 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί Γράφημα.6. Προφίλ επιδράσεων των θεραπειών..4 Ελληνολατινικά Τετράγωνα.4. Εισαγωγή Ορισμός.8. Έστω τα αμοιβαία ορθογώνια λατινικά τετράγωνα L, L τάξης. Αν στο λατινικό τετράγωνο L χρησιμοποιήσουμε ως σύμβολα τα πεζά γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου και τοποθετήσουμε τα δύο τετράγωνα στον ίδιο σχεδιασμό προκύπτει ένας καινούριος σχεδιασμός ο οποίος καλείται ελληνολατινικό τετράγωνο (Graero Latn Square) τάξης. Τα ελληνολατινικά τετράγωνα είναι ορθογώνιοι σχεδιασμοί και χρησιμοποιούνται όταν υπάρχουν τρεις γνωστοί και ελεγχόμενοι παράγοντες P,Q,R και μελετάται η επίδραση ενός παράγοντα ο οποίος υπεισέρχεται σε επίπεδα που αποτελούν τις θεραπείες. Τα επίπεδα των ελεγχόμενων παραγόντων P,Q,R αποτελούν αντίστοιχα οι γραμμές, στήλες και τα γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου. Για την κατασκευή ενός ελληνολατινικού τετραγωνικού σχεδιασμού αρκεί να διαλέξουμε δύο ορθογώνια λατινικά τετράγωνα και να τα τοποθετήσουμε στον ίδιο σχεδιασμό. Δεν υπάρχει x ή 6 x 6 ελληνολατινικό τετράγωνο, αφού δεν υπάρχουν αμοιβαία ορθογώνια λατινικά τετράγωνα τάξης = ή

74 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Παράδειγμα.. Έστω τα αμοιβαία λατινικά τετράγωνα L, L τάξης =4. ιc A D Bω ιc A D Bω D B C A A C B D L=, L A C B D = B D A C κb D A Cϊ κd B C Aϊ λ ϋ λ ϋ Τότε χρησιμοποιώντας ως σύμβολα τα πεζά γράμματα του ελληνικού αλφαβήτου στο λατινικό τετράγωνο L και τοποθετώντας τα δύο τετράγωνα στον ίδιο σχεδιασμό προκύπτει ένα ελληνολατινικό τετράγωνο τάξης =4 (Graero Latn Square). Οι γραμμές, στήλες και τα ελληνικά γράμματα αποτελούν αντίστοιχα τα επίπεδα των τριών ελεγχόμενων παραγόντων που υπεισέρχονται στο πείραμα, και τα λατινικά γράμματα A,B,C,D τις θεραπείες τις οποίες ο ερευνητής ενδιαφέρεται να συγκρίνει. ιcg Aa Dd Bbω Da Bg Cb Ad A C B D b d a g κb D A C ϊ λ d b g aϋ Για παράδειγμα το πιο πάνω ελληνολατινικό τετράγωνο μπορεί να υιοθετηθεί για πραγματοποίηση ενός πειράματος όπου τέσσερις διαφορετικοί υπάλληλοι (α,β,γ,δ) σε τέσσερις μέρες της βδομάδας (γραμμές) χρησιμοποιώντας τέσσερις διαφορετικούς επεξεργαστές κειμένων (στήλες) μπορούν να φέρουν εις πέρας τέσσερις διαφορετικούς τύπους κειμένων δακτυλογράφησης (Α= επιστολές, Β= τεχνική αναφορά,c= ερευνητικό χειρόγραφο, D= βιβλίο) μετρώντας τα λάθη που έγιναν για κάθε τύπο κειμένου. Το κύριο ενδιαφέρον του ερευνητή αναφέρεται στην εύρεση πιθανών διαφορών ανάμεσα στους διαφορετικούς τύπους κειμένων. Η τυχαιοποίηση των ελληνολατινικών τετραγώνων γίνεται όμοια με αυτή των λατινικών τετραγώνων που αναπτύξαμε στην παράγραφο.3.. Έχει δειχθεί ότι οι ελληνολατινικοί σχεδιασμοί είναι πολύ αποδοτικοί, αλλά είναι αρκετά δύσκολο να βρεθούν οι κατάλληλες συνθήκες και οι κατάλληλες πειραματικές μονάδες που απαιτούνται για την υιοθέτηση του σχεδιασμού. Μία επέκταση του ελληνολατινικού τετραγωνικού σχηματισμού αποτελούν οι υπερ-ελληνολατινικοί τετραγωνικοί σχεδιασμοί (Hyper Graeco Latn Squares) οι οποίοι

75 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί χρησιμοποιούνται όταν υπάρχουν τέσσερις ή περισσότεροι παράγοντες που μπορεί να επηρεάζουν τις θεραπείες και μπορούν να μειώσουν τη διασπορά. Κατασκευές των σχεδιασμών αυτών πραγματοποιούνται με τη σύνδεση τριών ή περισσοτέρων αμοιβαία ορθογώνιων λατινικών τετραγώνων. Η χρησιμότητα τέτοιων σχεδιασμών είναι ωστόσο περιορισμένη..4. Στατιστική Ανάλυση Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τρεις ελεγχόμενους και γνωστούς παράγοντες P,Q,R οι οποίοι υπεισέρχονται ο καθένας σε επίπεδα και θέλουμε να ελέγξουμε τις επιδράσεις των επιπέδων ενός παράγοντα θεραπεία (treatment). Σχεδιάζοντας το πείραμα με υιοθέτηση ενός x ελληνολατινικού τετραγώνου, τα δεδομένα που προκύπτουν αναλύονται σύμφωνα με το μοντέλο ανάλυσης διασποράς: y = m+ r + c + t + g + e jsl j s l jsl y jsl παρατήρηση της γραμμής, j στήλης, για το ελληνικό γράμμα l και το λατινικό γράμμα s (θεραπεία s) m γενικός μέσος r, =,.., επίδραση της γραμμής c, j=,.., επίδραση της j στήλης j t s, s =,.., επίδραση της s θεραπείας g, l=,..., επίδραση του l ελληνικού γράμματος l Το συνολικό άθροισμα τετραγώνων χωρίζεται στα αθροίσματα τετραγώνων των θεραπειών, γραμμών, στηλών, ελληνικών γραμμάτων και σφαλμάτων σύμφωνα με τη σχέση R C j = Ορίζοντας j SST = SSTr + SSRow + SSCol + SSGr + SSE = ε y συνολικό άθροισμα της γραμμής = ε y συνολικό άθροισμα της j στήλης j= j

76 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί T s συνολικό άθροισμα των παρατηρήσεων που προέρχονται από τη θεραπεία s GR l συνολικό άθροισμα των παρατηρήσεων που προέρχονται από την επίδραση του l ελληνικού γράμματος ε ε j συνολικό άθροισμα όλων των παρατηρήσεων = j= G= R = C τα αθροίσματα τετραγώνων είναι G ε yj,, j= SST = - s= s G T SSTr = ε -, = G R SSRow = ε -, j= j G C SSCol = ε -, l= l G GR SSG = ε -, SSE = SST - SSTr - SSRow- SSCol - SSG Ο πίνακας ανάλυσης διασποράς για ένα x ελληνολατινικό σχεδιασμό εμφανίζεται στον πίνακα.3. Πίνακας.3. Πίνακας ανάλυσης διασποράς ελληνολατινικού σχεδιασμού. Πηγή Αθροίσματα Τετραγώνων β.ε. Μέσα Τετράγωνα F Γραμμές SSRow - MSRow=SSRow/(-) Στήλες SSCol - MSB=SSCol/(-) Ελληνικά SSG - MSG=SSG/(-) Γράμματα Θεραπείες SSTr - MSTr=SSTr/(-) F=MSTr/MSE Υπόλοιπα SSE (-3)(-) MSE=SSE/(-3)(-) Σύνολο SST - Οι βαθμοί ελευθερίας των σφαλμάτων είναι (-3)(-), επομένως ελληνολατινικά τετράγωνα τάξης =3 ή =4 δεν χρησιμοποιούνται λόγω του ότι δεν μπορεί να εκτιμηθεί η διασπορά και τα στατιστικά F και t είναι ασταθή σε τρεις βαθμούς ελευθερίας οδηγώντας μας πιθανότατα σε λάθος συμπεράσματα. Tο πιο χρήσιμο ελληνολατινικό τετράγωνο είναι τάξης =5. Όπως και στους λατινικούς σχεδιασμούς, πραγματοποιούνται έλεγχοι υποθέσεων για την εύρεση των επιδράσεων των θεραπειών και αν αυτές υπάρχουν να δούμε σε ποιες θεραπείες οφείλονται, έλεγχοι προσαρμογής των σφαλμάτων στην κανονική κατανομή

77 Πλήρεις Μπλοκ και Λατινικοί Σχεδιασμοί και έλεγχοι μη αλληλεπίδρασης μεταξύ των γραμμών, στηλών, ελληνικών και λατινικών γραμμάτων. Ανακεφαλαιώνοντας οι τυχαιοποιημένοι πλήρεις μπλοκ σχεδιασμοί, τα λατινικά και ελληνολατινικά τετράγωνα είναι ορθογώνιοι σχεδιασμοί οι οποίοι χρησιμοποιούνται για το σχεδιασμό πειραμάτων, όταν το πλήθος των μεθόδων που έχουμε να συγκρίνουμε είναι αρκετά μικρό. Οι ελληνολατινικοί σχεδιασμοί αποτελούν βελτίωση των λατινικών σχεδιασμών αφού μειώνουν την επίδραση τριών «ενοχλητικών παραγόντων», ενώ οι λατινικοί σχεδιασμοί βελτιώνουν τους τυχαιοποιημένους πλήρεις μπλοκ σχεδιασμούς. Σημαντικό είναι να παρατηρήσουμε ότι και στους τρεις τύπους ορθογώνιων σχεδιασμών οι ελεγχόμενοι παράγοντες και οι θεραπείες δεν θα πρέπει να αλληλεπιδρούν

78

79 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΚΑΙ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΑ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΑ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ 3. Εισαγωγή Ανάλογα με τη μορφή των θεραπειών και τη σύγκριση μεταξύ αυτών που απαιτείται ώστε να επιτευχθεί ο αντικειμενικός στόχος του πειράματος, τα πειράματα ταξινομούνται σε τρεις κύριες κατηγορίες: α) Ποικίλες Δοκιμές (Varetal Trals) β) Παραγοντικά Πειράματα (Factoral Experments) γ) Bo-Assays Όταν ένας ερευνητής ενδιαφέρεται να συγκρίνει θεραπείες όπως διαφορετικές ποικιλίες, διαφορετικές ζωικές τροφές, διαφορετικά φάρμακα τότε το πείραμα που θα πραγματοποιηθεί κατατάσσεται στην κατηγορία των ποικίλων δοκιμών. Για την ακρίβεια σε ποικίλες δοκιμές τις θεραπείες αποτελούν τα διαφορετικά επίπεδα ενός παράγοντα και κύριος σκοπός είναι η σύγκριση των συνδυασμών όλων των πιθανών ζευγών των επιπέδων. Σε παραγοντικά πειράματα τις θεραπείες αποτελούν οι πιθανοί συνδυασμοί δύο ή περισσοτέρων επιπέδων δύο ή περισσοτέρων παραγόντων. Έστω για παράδειγμα οι -79-

80 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί παράγοντες A και B οι οποίοι υπεισέρχονται σε τρία και δύο επίπεδα αντίστοιχα. Συμβολίζοντας με a0, a, a και b0, b τα επίπεδα των παραγόντων A και B αντίστοιχα, οι πιθανοί συνδυασμοί των επιπέδων των παραγόντων, ba 0 0, ba 0, ba 0, ba 0, ba, ba, αποτελούν τις θεραπείες του πειράματος οι οποίες εφαρμόζονται σε κατάλληλες πειραματικές μονάδες και το πείραμα καλείται 3 x παραγοντικό. Γενικά ένα πείραμα στο οποίο υπεισέρχονται παράγοντες με l, l,.., l επίπεδα αντίστοιχα θα καλείται l l... l παραγοντικό. Εάν οι παράγοντες έχουν το ίδιο πλήθος επιπέδων το πείραμα θα καλείται l συμμετρικό παραγοντικό (symmetrcal factoral), διαφορετικά ασύμμετρο ή μικτό παραγοντικό (mxed factoral). Τα παραγοντικά πειράματα αναλύουν την επίδραση δύο ή περισσοτέρων παραγόντων σε μία εξαρτημένη μεταβλητή και μελετούν, όχι μόνο τις κύριες επιδράσεις των παραγόντων, αλλά και την αλληλεπίδραση μεταξύ αυτών. Οι κύριες επιδράσεις ενός παράγοντα αναφέρονται σε όλες τις δυνατές, ανά δύο, διαφορές μεταξύ των αναμενόμενων τιμών των επιπέδων του παράγοντα. Αν όλες αυτές οι διαφορές είναι ίσες με μηδέν, τότε αναφερόμαστε σε μη ύπαρξη κύριων επιδράσεων του παράγοντα. Η αλληλεπίδραση μεταξύ δύο παραγόντων αναφέρεται στο κατά πόσον οι κύριες επιδράσεις ενός παράγοντα είναι ίδιες σε όλα τα επίπεδα του άλλου. Αν αυτές είναι ίδιες, τότε αναφερόμαστε σε μη ύπαρξη αλληλεπίδρασης. Τα πλεονεκτήματα που παρουσιάζουν έναντι των λατινικών και ελληνολατινικών σχεδιασμών είναι ότι δε χρειάζεται οι παράγοντες να κινούνται στο ίδιο πλήθος επιπέδων και δεν επηρεάζονται από τυχόν αλληλεπίδραση μεταξύ των παραγόντων, αφού λαμβάνεται υπόψη στην ανάλυση. Έχουν επίσης το πλεονέκτημα να εξοικονομούν τους πειραματικούς φυσικούς πόρους, αφού πραγματοποιώντας πειράματα κατά ένα παράγοντα για μελέτη μόνο της κύριας επίδρασης απαιτείται μεγαλύτερη ποσότητα πειραματικού υλικού. Αυτό διότι έστω ότι μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε μόνο τις κύριες επιδράσεις των παραγόντων A και B οι οποίοι υπεισέρχονται σε τρία και δύο επίπεδα αντίστοιχα. Τότε, εκτελώντας δύο ξεχωριστά πειράματα με υιοθέτηση ενός πλήρη μπλοκ σχεδιασμού, για τον παράγοντα Α απαιτούνται τουλάχιστον 8 πειραματικές μονάδες και για τον Β τουλάχιστον. Αυτό διότι όπως έχουμε αναφέρει και στην παράγραφο.3, το πλήθος των πειραματικών μονάδων θα πρέπει να καθοριστεί

81 Παραγοντικά και Κλασματικά Παραγοντικά Πειράματα με τρόπο ώστε οι (-)(b-) β.ε. των σφαλμάτων να είναι τουλάχιστον δέκα.(=πλήθος επιπέδων του παράγοντα, b=πλήθος ομάδων). Έτσι λοιπόν αφού ο παράγοντας Α υπεισέρχεται σε =3 επίπεδα, για να ισχύει η σχέση (-)(b-)>0, θα πρέπει το πλήθος b των ομάδων είναι τουλάχιστον έξι. Επομένως κάθε επίπεδο του Α θα πρέπει να συμμετέχει τουλάχιστον b=6 φορές στο πείραμα, για αυτό και απαιτούνται τουλάχιστον b=8 πειραματικές μονάδες για τον παράγοντα Α. Όμοια για τον παράγοντα B απαιτούνται τουλάχιστον b= (=,b=) πειραματικές, αφού κάθε επίπεδο του θα πρέπει να συμμετέχει στο πείραμα τουλάχιστον b= φορές, ώστε οι (-)(b-) β.ε των σφαλμάτων να είναι τουλάχιστον δέκα. Συνολικά δηλαδή απαιτούνται 40 πειραματικές μονάδες ενώ με πραγματοποίηση ενός παραγοντικού πειράματος, εκτός του ότι μελετάται και η αλληλεπίδραση των παραγόντων, για την ίδια ακρίβεια αποτελεσμάτων απαιτούνται μόνο 8 πειραματικές μονάδες (τρεις επαναλήψεις των έξι πιθανών συνδυασμών των επιπέδων). 3. Παραγοντικά Πειράματα Μία από τις σημαντικότερες μορφές παραγοντικών πειραμάτων που παρουσιάζουν μεγάλο ενδιαφέρον, χρησιμοποιούνται σε ερευνητικά προγράμματα και αποτελούν τη βάση για άλλους σχεδιασμούς, είναι τα Παραγοντικά Πειράματα. Το αναφέρεται στο πλήθος των παραγόντων που μετέχουν στο πείραμα και το στον αριθμό των επιπέδων που έχουν οι παράγοντες αυτοί. Δηλαδή στο πείραμα υπεισέρχονται παράγοντες, ο καθένας σε δύο επίπεδα. Τα επίπεδα μπορεί να αντιπροσωπεύουν παρουσία ή απουσία, υψηλή ή χαμηλή ποσότητα, ή δύο διαφορετικούς τρόπους εφαρμογής κάποιας μεθόδου. Όταν μελετάται η επίδραση παραγόντων (ποιοτικών μεταβλητών) σε μία εξαρτημένη ποσοτική μεταβλητή έχουμε ένα παραγοντικό πείραμα και ένα ολοκληρωμένο πείραμα αυτής της μορφής θα πρέπει να έχει τουλάχιστον παρατηρήσεις. Θα συμβολίζουμε γενικά τους παράγοντες με τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου A,B,C,D,.Για την παράσταση των επιπέδων χρησιμοποιούμε σύνολα συμβόλων όπως, { a0, a, b0, b,... } ή { 0, } ή {-,}, όπου τα σύμβολα a0 b0 c0,,,... ή 0 ή ( ) - 8 -

82 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί αναφέρονται στο χαμηλό επίπεδο των παραγόντων A,B,C αντίστοιχα και τα σύμβολα a, b, c,... ή στο υψηλό. 3.3 Παραγοντικό Πείραμα Ένα παραγοντικό πείραμα αποτελεί την απλούστερη μορφή παραγοντικών πειραμάτων. Υπάρχουν συνολικά = 4 δυνατοί συνδυασμοί των επιπέδων των παραγόντων. Δηλώνοντας τις μεταβλητές (παράγοντες) ως A και B οι συνδυασμοί μπορούν να γραφούν ως Η στατιστική ανάλυση ενός γραμμικό μοντέλο ανάλυσης διασποράς ab 0 0, ab 0, ab 0, ab ή 00,0,0, ή (- - ),( - ),(- ),() παραγοντικού πειράματος στηρίζεται στο y = μ + a + b + ( ab) + ε,, j=, j j j j όπου, y j είναι η τιμή της απόκρισης για το επίπεδο του παράγοντα A και το j επίπεδο του Β, μ ο γενικός μέσος, a, b οι κύριες επιδράσεις στα διάφορα επίπεδα των j παραγόντων Α και Β αντίστοιχα, ( ab ) j οι αλληλεπιδράσεις ης τάξης μεταξύ των παραγόντων και ε j τα σφάλματα για τα οποία υποθέτουμε ότι κατανέμονται κανονικά, δηλαδή j : (0, ). Υποθέτουμε επιπλέον ότι ε N σ ε a = ε bj = 0, = j= ε ε ( ab) = ( ab) = 0 j = j= j Συμβολίζουμε με (), abab,, τους τέσσερις πιθανούς συνδυασμούς των επιπέδων. Με το συμβολισμό () θα εννοούμε ότι και οι δύο παράγοντες βρίσκονται στα χαμηλά επίπεδα τους, με το συμβολισμό a ότι ο παράγοντας Α συμμετέχει με το υψηλό του επίπεδο ενώ ο Β με το χαμηλό, με το συμβολισμό ab ότι και οι δύο παράγοντες είναι στο υψηλό επίπεδο τους κλπ. Γενικά όταν τα σύμβολα που αντιστοιχούν σε έναν παράγοντα - 8 -

83 Παραγοντικά και Κλασματικά Παραγοντικά Πειράματα δεν εμφανίζονται, ο παράγοντας αυτός συμμετέχει στο συνδυασμό με το χαμηλό του επίπεδο. Η κύρια επίδραση του παράγοντα Α ορίζεται (συμβολικά) ως η διαφορά ( a+ ab) - (() + b) δηλαδή, η διαφορά που υπάρχει μεταξύ του μέσου των παρατηρήσεων που προέρχονται από πειραματικές μονάδες στις οποίες εφαρμόστηκαν οι θεραπείες aab, (ο παράγοντας Α βρίσκεται στο υψηλό του επίπεδο) και του μέσου των παρατηρήσεων στις οποίες εφαρμόστηκαν οι θεραπείες (),b. Όμοια η κύρια επίδραση του παράγοντα Β ορίζεται ως η διαφορά ( b+ ab) - (() + a) Η αλληλεπίδραση AB των δύο παραγόντων ορίζεται ως η διαφορά Έστω τα ορθογώνια διανύσματα ( ab - b) - ( a - ()) c c c A B AB ε = (-,, -,), c = 0 4 = 4 ε = (-, -,,), c = 0 = 4 ε = (,-, -,), c = 0 και έστω y(), y( a), y( b), y ( ab), τα αθροίσματα της εξαρτημένης μεταβλητής στις θεραπείες ή συνδυασμούς των επιπέδων των παραγόντων (), abab,, αντίστοιχα. Οι γραμμικοί συνδυασμοί = A B AB ζ y φ () y ψˆ A = c η χ= - y + y - y + y θη y( ab) χψ ( a) A η () ( a) ( b) ( ab) y χ ( b)

84 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί ζ y φ () y ψˆ c η χ y y y y θη y( ab) χψ ( a) B = B = - ()- ( a) + ( b) + η ( ab) y χ ( b) ζ y φ () y ψˆ c η χ y y y y θη y( ab) χψ ( a) AB = AB = ()- ( a) - ( b) + η ( ab) y χ ( b) καλούνται ορθογώνιες αντιθέσεις και πολλαπλασιάζοντας τις σχέσεις αυτές επί r (όπου r ³ το πλήθος επαναλήψεων του πειράματος), εκτιμώνται αντίστοιχα οι κύριες επιδράσεις των παραγόντων Α, Β και η ΑΒ αλληλεπίδραση. Τα αθροίσματα τετραγώνων που οφείλονται στις κύριες επιδράσεις και αλληλεπίδραση των παραγόντων υπολογίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις SSA = ψˆ SSB= ψˆ SSAB = ψˆ r r r A,, B AB και αντιστοιχούν το καθένα σε ένα βαθμό ελευθερίας. Οι αντιθέσεις αυτές μπορούν να παρουσιαστούν σε έναν πίνακα, ο οποίος είναι ο πίνακας σχεδιασμού για κάθε παραγοντικό πείραμα για το οποίο ο κάθε συνδυασμός των επιπέδων των παραγόντων επαναλαμβάνεται το ίδιο πλήθος φορών. Επειδή οι συντελεστές των αντιθέσεων είναι ( ) και (+), στον πίνακα σχεδιασμού συμβολίζουμε με ( ) το ( ) και με (+) το (+). Συνδυασμοί Επιπέδων Πίνακας 3.. Πίνακας σχεδιασμού Γενικός Μέσος μ Κύριες Επιδράσεις Α παραγοντικού πειράματος. Κύριες Επιδράσεις Β Αλληλεπίδραση ΑΒ Αθροίσματα Εξαρτημένης Μεταβλητής () + + y () α + + y a b + + y b αb y ab

85 Παραγοντικά και Κλασματικά Παραγοντικά Πειράματα Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η στήλη AB του πίνακα 3. προκύπτει με πολλαπλασιασμό των πρόσημων των στηλών που αντιστοιχούν στις κύριες επιδράσεις των παραγόντων Α και Β. Επιπλέον είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι στη στήλη A το σύμβολο ( ) εμφανίζεται στις γραμμές () και b, δηλαδή στους συνδυασμούς στους οποίους ο παράγοντας Α εμφανίζεται με το χαμηλό επίπεδο του, ενώ το σύμβολο (+) εμφανίζεται στις γραμμές α και αb, δηλαδή στους συνδυασμούς στους οποίους ο Α εμφανίζεται με το υψηλό του επίπεδο. Όμοια συμπεράσματα ισχύουν και για τη στήλη που αντιστοιχεί στις κύριες επιδράσεις του B. Ο κανόνας αυτός είναι πολύ βοηθητικός για τη συμπλήρωση του πίνακα σχεδιασμού με σύμβολα (+) και ( ) όταν υπεισέρχονται πολλοί παράγοντες στο πείραμα. Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε με το πρώτο μέρος του σχεδιασμού, βρήκαμε δηλαδή τις θεραπείες που θα συμμετέχουν στο πείραμα. Αυτό που θα μας απασχολήσει στη συνέχεια είναι η εύρεση κάποιων ελεγχόμενων δευτερευόντων παραγόντων που πιθανόν να καθιστούν ανομοιογενείς τις πειραματικές μονάδες που είναι διαθέσιμες. Ανάλογα με την περίπτωση, θα αποφασίσουμε αν θα χρησιμοποιήσουμε έναν τυχαιοποιημένο ή έναν τυχαιοποιημένο πλήρη μπλοκ σχεδιασμό ή ένα λατινικό τετράγωνο ή οποιοδήποτε άλλο κατάλληλο σχεδιασμό. Αν για παράδειγμα χρησιμοποιηθεί ένας πλήρης μπλοκ σχεδιασμός θα πρέπει να συμμετέχουν στο πείραμα όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί των επιπέδων των παραγόντων και κάθε συνδυασμός να εμφανίζεται ακριβώς μία φορά σε κάθε ομάδα (μπλοκ) ή αν απαιτείται ένας τυχαιοποιημένος σχεδιασμός θα πρέπει όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί να 3 εμφανίζονται το ίδιο συχνά. Για και παραγοντικά πειράματα μπορεί να υιοθετηθεί ένας τυχαιοποιημένος σχεδιασμός, ή ένας πλήρης μπλοκ σχεδιασμός ή ένα λατινικό τετράγωνο. Η στατιστική ανάλυση των δεδομένων που συλλέγονται με εφαρμογή ενός πλήρους μπλοκ ή λατινικού σχεδιασμού στηρίζεται στο διαχωρισμό του αθροίσματος τετραγώνων των θεραπειών σε επιμέρους αθροίσματα που αντιστοιχούν σε κατάλληλες ορθογώνιες αντιθέσεις οι οποίες εκτιμούν τις κύριες επιδράσεις και αλληλεπιδράσεις των παραγόντων

86 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Παράδειγμα 3.. παραγοντικό πείραμα σε έναν 4x5 πλήρη μπλοκ σχεδιασμό Ένα παραγοντικό πείραμα στο οποίο υπεισέρχονται οι παράγοντες S και Μ, για τους οποίους ερευνώνται οι κύριες επιδράσεις και η τυχόν αλληλεπίδραση μεταξύ αυτών, πραγματοποιήθηκε σε πέντε διαφορετικές μέρες. Τα δύο επίπεδα του S παράγοντα δηλώνουν την πηγή ανεφοδιασμού ενός συγκεκριμένου υλικού και θα συμβολίζουμε με s την η πηγή εφοδιασμού και με την απουσία του συμβόλου την η πηγή ανεφοδιασμού. Όμοια τα δύο επίπεδα του M παράγοντα δηλώνουν την ταχύτητα με την οποία δουλεύει ένα μηχάνημα το οποίο μετατρέπει το συγκεκριμένο υλικό σε ένα ηλεκτρονικό εξάρτημα και θα συμβολίζουμε με m την υψηλή ταχύτητα με την οποία τρέχει το μηχάνημα και με απουσία του συμβόλου τη χαμηλή ταχύτητα. Οι διαφορετικές μέρες μέσα στις οποίες εκτελέστηκε το πείραμα αποτελούν τα επίπεδα του ελεγχόμενου δευτερεύοντα παράγοντα οπότε, για την πραγματοποίηση του πειράματος απαιτείται ένας πλήρης μπλοκ σχεδιασμός με b=5 μπλοκ. Το κάθε μπλοκ περιέχει τέσσερις πειραματικές μονάδες, μία δηλαδή για κάθε πιθανό συνδυασμό των επιπέδων των παραγόντων, και οι πέντε διαφορετικές ομάδες ταυτίζονται η κάθε μία με τις πέντε διαφορετικές μέρες μέσα στις οποίες πραγματοποιήθηκε το πείραμα. Έχουμε = = 4 θεραπείες οι οποίες θα κατανεμηθούν τυχαία σε b=5 ομάδες με τρόπο ώστε, η κάθε ομάδα να περιέχει τέσσερις ομοιογενείς πειραματικές μονάδες και η κάθε θεραπεία να εμφανίζεται ακριβώς μία φορά σε κάθε ομάδα. Οι θεραπείες είναι οι δυνατοί συνδυασμοί των παραγόντων, (), m, s, ms και οι πέντε ομάδες είναι αντίστοιχα η η, η, 3 η, 4 η και 5 η μέρα που πραγματοποιήθηκε το πείραμα. Στον πίνακα 3. που ακολουθεί καταγράψαμε για την κάθε διαφορετική μέρα το μέσο πλήθος των ελαττωματικών ηλεκτρονικών αντικειμένων ανά παρτίδα δέκα τυχαίων κατασκευών που παράχθηκαν για τον κάθε πιθανό συνδυασμό των επιπέδων των παραγόντων. Πίνακας 3.. Πίνακας δεδομένων Ομάδες Θεραπείες I II III IV V Αθροίσματα Θεραπειών () m s ms Αθροίσματα Ομάδων G=

87 Παραγοντικά και Κλασματικά Παραγοντικά Πειράματα Το μοντέλο ανάλυσης διασποράς είναι y = μ+ τ + β + ε =,...,4 j=,...,5 j j j όπου, y j είναι το μέσο πλήθος των ελαττωματικών αντικειμένων που παράχθηκαν την j μέρα (j μπλοκ) όταν στη μηχανή παραγωγής εφαρμόστηκε η θεραπεία ( συνδυασμός επιπέδων των παραγόντων), μ o γενικός μέσος, τ, β η επίδραση της θεραπείας και του j μπλοκ αντίστοιχα. Πίνακας 3.3. Πίνακας ανάλυσης διασποράς του πειράματος > summary(faulty.aov) β.ε. Αθροίσματα Μέσα F Σημαντικότητα Τετραγώνων Τετράγωνα Στατιστικό Ελέγχου Θεραπείες Ομάδες Υπόλοιπα Σύνολο Οι διαφορές μεταξύ των ομάδων (ημέρα παραγωγής) εμφανίζονται ασήμαντες, ενώ οι διαφορές μεταξύ των θεραπειών είναι πολύ σημαντικές (F= ). Για να ολοκληρώσουμε την ανάλυση του πειράματος και να εξάγουμε τα απαιτούμενα συμπεράσματα θα πρέπει να ορίσουμε τις απαραίτητες αντιθέσεις. Η δομή των θεραπειών επιλέχθηκε με τρόπο ώστε χρησιμοποιώντας το ορθογώνιο σύνολο αντιθέσεων, c = (-,, -,), c = (-, -,,), c = (,-, -,), να μπορούμε να M S MS εκτιμήσουμε τις κύριες επιδράσεις των παραγόντων M και S και την MS αλληλεπίδραση διαχωρίζοντας το άθροισμα τετραγώνων των θεραπειών σε τρία επιμέρους αθροίσματα, ένα για κάθε αντίθεση. Θεραπεία (Συνδυασμοί) Πίνακας 3.4. Αθροίσματα Τετραγώνων των αντιθέσεων. Κύριες Επιδράσεις M Κύριες Επιδράσεις S j Αλληλεπίδραση MS Αθροίσματα Απόκρισης () + 7 m + 6 s + 99 ms Εκτίμηση Αντίθεσης Διαιρέτης 4x5 4x5 4x5 Αθροίσματα Τετραγώνων Αντιθέσεων

88 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Ο πίνακας ανάλυσης διασποράς μπορεί να γραφεί συμπληρώνοντας τα επιμέρους αθροίσματα τετραγώνων των θεραπειών που αντιστοιχούν στις αντιθέσεις και έτσι μπορούμε να ελέγξουμε τις κύριες επιδράσεις και αλληλεπιδράσεις των παραγόντων. Πίνακας 3.5. Πίνακας ανάλυσης διασποράς με αθροίσματα τετραγώνων των αντιθέσεων. Πηγή β.ε. Αθροίσματα Τετραγώνων Μέσα Τετράγωνα Ομάδες M * S * MS Θεραπείες Υπόλοιπα Σύνολο Τα στατιστικά των ελέγχων για τις κύριες επιδράσεις των παραγόντων M και S και της MS αλληλεπίδρασης είναι αντίστοιχα F = 406, F = 977, F =.5. Και για F M S MS τους δύο παράγοντες συμπεραίνουμε ότι υπάρχει σημαντική διαφορά μεταξύ των επιπέδων τους, αφού οι τιμές των στατιστικών τους είναι αρκετά μεγάλες. Δεν υπάρχει ένδειξη για αλληλεπίδραση μεταξύ των παραγόντων, αφού το στατιστικό του ελέγχου είναι ασήμαντο, FMS =.5 < F,; a=0.05 = 4.75, επομένως σε στάθμη σημαντικότητας α=0.05 η μηδενική υπόθεση μη ύπαρξης αλληλεπίδρασης γίνεται δεκτή. Μπορούμε και γραφικά (γράφημα 3.) να διαπιστώσουμε ότι δεν υπάρχει ένδειξη αλληλεπίδρασης και αφού οι κύριες επιδράσεις είναι σημαντικές, χρησιμοποιώντας χαμηλή ταχύτητα στη μηχανή παραγωγής και υλικό από την η πηγή ανεφοδιασμού έχουμε ελαχιστοποίηση του μέσου πλήθους των ελαττωματικών ηλεκτρονικών αντικειμένων

89 Παραγοντικά και Κλασματικά Παραγοντικά Πειράματα Γράφημα 3.. Προφίλ κύριων επιδράσεων και αλληλεπίδρασης των παραγόντων Παραγοντικό Πείραμα 3 Σε ένα παραγοντικό πείραμα υπεισέρχονται τρεις παράγοντες, ο καθένας σε δύο επίπεδα και ενδεχομένως μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε τις κύριες επιδράσεις των παραγόντων, τις ανά δύο αλληλεπιδράσεις και την αλληλεπίδραση 3 ης τάξης. Υπάρχουν 3 = 8 πιθανοί συνδυασμοί των επιπέδων και αν Α,Β,C οι παράγοντες, τότε συμβολικά οι συνδυασμοί των επιπέδων που θα αποτελούν τις θεραπείες ορίζονται ως () όλοι οι παράγοντες στα χαμηλά επίπεδα (α) (b) (c) (αb) (αc) (bc) A στο υψηλό επίπεδο και B,C στο χαμηλό Β στο υψηλό και A,C στο χαμηλό C στο υψηλό και A,B στο χαμηλό Α, Β στο υψηλό και C στο χαμηλό A, C στο υψηλό και B στο χαμηλό Β, C στο υψηλό και Α στο χαμηλό (αbc) όλοι οι παράγοντες στα υψηλά επίπεδα Ορίζοντας εφτά ορθογώνιες αντιθέσεις με στοιχεία (+) και ( ) μπορούμε να εκτιμήσουμε τις κύριες επιδράσεις Α,Β,C, τις ανά δύο αλληλεπιδράσεις ΑΒ, ΑC, BC και την αλληλεπίδραση 3 ης τάξης ABC. Ο 8 x 8 πίνακας σχεδιασμού των συν και πλην

90 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί ορίζεται τοποθετώντας σε κάθε στήλη την αντίθεση που εκτιμά την αντίστοιχη επίδραση ή αλληλεπίδραση των παραγόντων αντικαθιστώντας το ( ) με ( ) και το (+) με (+). Πίνακας 3.6. Πίνακας σχεδιασμού 3 παραγοντικού πειράματος. Συνδυασμοί Παραγόντων (Θεραπείες) μ Α Β C AB AC BC ABC Αθροίσματα Εξαρτημένης Μεταβλητής () y () α y a b y b αb y ab c y c αc y ac bc y bc αbc y abc Για την εύκολη συμπλήρωση του πίνακα 3.6 ακολουθούμε την ακόλουθη διαδικασία. Αντιστοιχώντας στο (+) το σύμβολο (+) και στο ( ) το ( ) για την αντίθεση των κύριων επιδράσεων των παραγόντων A, B, C τοποθετούμε το σύμβολο (+) στους συνδυασμούς των παραγόντων που εμφανίζονται τα σύμβολα α, b, c αντίστοιχα και το ( ) στους συνδυασμούς που δεν εμφανίζονται. Με λίγα λόγια για την αντίθεση της κύριας επίδρασης του παράγοντα A έχουμε το σύμβολο (+) στους συνδυασμούς (α, αb, αc, αbc) και το σύμβολο ( ) στους συνδυασμούς ((), b, c, bc). Για την αντίθεση της αλληλεπίδρασης AB πολλαπλασιάζουμε τα πρόσημα των στηλών που αντιστοιχούν στις κύριες επιδράσεις των Α και Β. Όμοια βρίσκουμε και τις αλληλεπιδράσεις AC, BC. Τέλος για την αντίθεση της ΑΒC αλληλεπίδρασης πολλαπλασιάζουμε τα πρόσημα των στηλών A,B και C, ή των στηλών ΑΒ και C, ή ΑC και B, ή ΒC και A. Αν ˆψ A η αντίθεση για την κύρια επίδραση του παράγοντα Α, η εκτίμηση της κύριας επίδρασης του Α και το άθροισμα τετραγώνων σε ένα βαθμό ελευθερίας υπολογίζονται αντίστοιχα από τις σχέσεις A = ψˆ, ˆ 3 A SSA = ψ 3 A r r όπου, r ³ το πλήθος των επαναλήψεων του πειράματος

91 Παραγοντικά και Κλασματικά Παραγοντικά Πειράματα Το πλήρες μοντέλο ανάλυσης διασποράς για το της μορφής 3 παραγοντικό πείραμα είναι y = μ + a + b + c + ( ab) + ( ac) + ( bc) + ( abc) + ε,, j, =, j j j j j j όπου, μ ο γενικός μέσος, a, bj, c οι κύριες επιδράσεις των παραγόντων στα διάφορα επίπεδα τους, ( ab) j,( ac),( bc ) j οι ανά δύο αλληλεπιδράσεις, ( abc ) j η αλληλεπίδραση 3 ης τάξης και ε ~ N(0, σ ) τα σφάλματα πρόβλεψης. Στο μοντέλο υποθέτουμε ότι j ισχύουν οι σχέσεις ε a = ε b = ε c = 0, ε ε ε ( ab) = ( ab) = ( ac) =.. = 0 j j j j = j= κ= = j= = ε ε ε ( abc) = ( abc) = ( abc) = 0 j j j = j= = Το πλήρες μοντέλο παλινδρόμησης έχει τη μορφή y = β + β x + β x + β x + β xx + β xx + β xx+ β xxx + ε το οποίο σε μορφή πινάκων γράφεται ως όπου ζ y φ () y a y b y ab Y =, % yc y ac ybc θy abc ψ χ η Y = Xβ+ ε % % % ζ β φ 0 ζ ε φ () ζ φ β ε a β ε η b η β +χ 3 β = ε ab, ε =, X = % β % εc β +χ 3 ε η ac η β3 εbc θβ ψ θε abc ψ η χ θ ψ η χ χ η Ο τετραγωνικός πίνακας X είναι ο πίνακας σχεδιασμού 3.6, ο οποίος έχει τις γραμμές και τις στήλες του ανά δύο ορθογώνιες και περιέχει στοιχεία ( ) και (+). Ο πίνακας Χ είναι ένας 8 x 8 Hadamard πίνακας για τον οποίο ισχύει XX Ά = 8I8. Οι πίνακες Hadamard βοηθούν στην κατασκευή παραγοντικών και κλασματικών παραγοντικών πειραμάτων και έχει δειχθεί ότι ένας n x n πίνακας Hadamard μπορεί να κατασκευαστεί αν το n είναι πολλαπλάσιο του τέσσερα. Περαιτέρω μελέτη για τις ιδιότητες και κατασκευές Hadamard πινάκων παρουσιάζεται στο κεφάλαιο

92 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων των συντελεστών του μοντέλου δίνεται από τη σχέση ˆ - β = ( XX Ά) XY Ά % % - 8, ( XX Ά ) = I8 Μπορεί να δειχθεί ότι ο πίνακας διασπορών συνδιασπορών των εκτιμητών των συντελεστών του μοντέλου είναι ανάλογος του πίνακα ( XX) I8 - Ά =, δηλαδή ισχύει 8 () ˆ = ( Ά ) V β σ XX - % τότε Ο Hadamard απέδειξε ότι αν X = ( x j ) είναι ένας n x n πίνακας με στοιχεία x j det( X) n n Η ισότητα det( X) n = n ισχύει αν ο πίνακας Χ είναι Hadamard. Επομένως οι πίνακες Hadamard πετυχαίνουν το μέγιστο φράγμα της ορίζουσας όλων των πινάκων με στοιχεία x. j Αφού ο πίνακας σχεδιασμού του παραγοντικού πειράματος είναι Hadamard, η γενικευμένη διασπορά των εκτιμητών των συντελεστών του μοντέλου () ˆ - = Ά = = det( V β ) σ det(( XX) ) σ σ n % det(( XX Ά )) n είναι ελάχιστη για οποιοδήποτε άλλο πίνακα σχεδιασμού ίδιας διάστασης με στοιχεία απόλυτα μικρότερα ή ίσα της μονάδας. Αυτό εξασφαλίζει ότι ο παραγοντικός σχεδιασμός είναι D βέλτιστος. Παράδειγμα παραγοντικό πείραμα σε ένα 8 x 4 πλήρη μπλοκ σχεδιασμό. Η ανθεκτικότητα ενός υλικού πιστεύεται ότι πιθανόν να εξαρτάται από τρεις παράγοντες, τη θερμοκρασία 0 0 T(50 C,300 C ), το ποσοστό περιεκτικότητας σε πρώτη ύλη P (85%,90%) και το χρονικό διάστημα αντίδρασης που επιτρέπεται για τη σύνθεση 5 του εξαρτήματος R( h, h ). Για την εύρεση των κύριων επιδράσεων και αλληλεπιδράσεων των παραγόντων το πείραμα εκτελέστηκε σε τέσσερις διαφορετικές - 9 -

93 Παραγοντικά και Κλασματικά Παραγοντικά Πειράματα μέρες όπου, για κάθε μέρα μετρήθηκε η ανθεκτικότητα του υλικού που παράχθηκε για τον κάθε πιθανό συνδυασμό των παραγόντων. Οι =8 πιθανοί συνδυασμοί αποτελούν τις υπό εξέταση θεραπείες οι οποίες συμμετέχουν συνολικά στο πείραμα από r=b=4 φορές (μία ικανοποιητική επαναληπτικότητα των θεραπειών ώστε οι (-)(b-) β.ε των σφαλμάτων να είναι μεγαλύτερο του δέκα). Οι διαφορετικές μέρες αποτελούν τις τέσσερις ομάδες ενός τυχαιοποιημένου πλήρη μπλοκ σχεδιασμού. Έχουμε δηλαδή την τυχαία τοποθέτηση =8 θεραπειών σε b=4 διαφορετικές ομάδες με τρόπο ώστε κάθε ομάδα να περιέχει ακριβώς μία φορά την κάθε θεραπεία. Μετά την εκτέλεση του πειράματος προέκυψαν τα δεδομένα που καταγράφονται στον πίνακα 3.7. Πίνακας 3.7. Πίνακας δεδομένων. Ομάδες Θεραπείες I II III IV Συνολικά Αθροίσματα Θεραπειών () t p 3 47 tp r tr pr tpr Συνολικά Αθροίσματα Ομάδων G=384 Μοντέλο Ανάλυσης Διασποράς y = μ + τ + β + ε, = (), t, p, r, tp, tr, pr, tpr, j = I, II, III, IV j j j y j ανθεκτικότητα του υλικού που παράγεται την j μέρα μέσω του συνδυασμού των παραγόντων. τ, β η επίδραση της (=(),t,p,r,tp,tr,pr,tpr) θεραπείας και j (j=i,ii,iii,iv) ομάδας j αντίστοιχα

94 Ορθογώνιοι Σχεδιασμοί Πίνακας 3.8. Πίνακας ανάλυσης διασποράς > summary(strength.aov) β.ε. Αθροίσματα Μέσα F Σημαντικότητα Τετραγώνων Τετράγωνα Στατιστικό Ελέγχου Θεραπείες Ομάδες Υπόλοιπα Σύνολο Το στατιστικό F bl =.4 του ελέγχου για την επίδραση των ομάδων δεν είναι σημαντικό, επομένως σε στάθμη σημαντικότητας α=0.05 η μηδενική υπόθεση μη ύπαρξης σημαντικής διαφοράς μεταξύ των ομάδων γίνεται δεκτή. Οι επιδράσεις των συνδυασμών των επιπέδων είναι σημαντικές αφού το στατιστικό F trm = είναι σημαντικό και σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05 η μηδενική υπόθεση μη ύπαρξης σημαντικής διαφοράς μεταξύ των θεραπειών απορρίπτεται. Για την εύρεση των κυρίων επιδράσεων, ανά δύο αλληλεπιδράσεων και TPR αλληλεπίδρασης των παραγόντων ορίζουμε τις εφτά ορθογώνιες αντιθέσεις που εμφανίζονται στον πίνακα σχεδιασμού 3.9. Συνδυασμοί Επιπέδων (Θεραπείες) Πίνακας 3.9. Πίνακας Σχεδιασμού T P R TP TR PR TPR Αθροίσματα Εξαρτημένης Μεταβλητής () t p tp r tr pr tpr Χωρίζοντας το άθροισμα τετραγώνων των συνδυασμών των θεραπειών στα εφτά επιμέρους αθροίσματα, με ένα βαθμό ελευθερίας το καθένα, που αντιστοιχούν στις εφτά ορθογώνιες αντιθέσεις ο πίνακας ανάλυσης διασποράς γίνεται

95 Παραγοντικά και Κλασματικά Παραγοντικά Πειράματα Πίνακας 3.0. Πίνακας ανάλυσης διασποράς με τα αθροίσματα τετραγώνων των αντιθέσεων Πηγή β.ε. Αθροίσματα Τετραγώνων Μέσα Τετράγωνα Ομάδες T * P * TP R * TR PR * TPR Θεραπείες Υπόλοιπα Σύνολο Σημαντικές, σε επίπεδο σημαντικότητας α=0.05, είναι οι κύριες επιδράσεις των παραγόντων T,P,R και η PR αλληλεπίδραση, αφού τα στατιστικά των αντίστοιχων ελέγχων είναι σημαντικά. F ( FT 6.58 F,;0.05, FP F,;0.05, FR F,;0.05, FPR 4.80 F,;0.05 = > = > = > = > ) Γράφημα 3.. Προφίλ κύριων επιδράσεων, TP, TR και PR αλληλεπίδρασης. Παρατηρώντας το προφίλ των κύριων επιδράσεων που παριστάνεται γραφικά στο γράφημα 3., συνιστάται να χρησιμοποιείται η μεγαλύτερη θερμοκρασία C, αφού η